TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM 2)
METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU
Zpracoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové
HRADEC KRÁLOVÉ 2010
FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM 2) METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU Zpracoval: prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové Technická redakce a řešení úloh: PhDr. Miroslava Jarešová, Ph.D. HRADEC KRÁLOVÉ 2010
Obsah Úvod 1 Zadání příkladů Příklad 1 – Porovnávání teplot . . . . . . Příklad 2 – Zvedání závaží . . . . . . . . . Příklad 3 – Listonoš . . . . . . . . . . . . Příklad 4 – Sportovec s činkou . . . . . . Příklad 5 – Míchání vody 1 . . . . . . . . Příklad 6 – Míchání vody 2 . . . . . . . . Příklad 7 – Elektrický vařič ETA . . . . . Příklad 8 – Rychlovarná konvice . . . . . Příklad 9 – Elektrický průtokový ohřívač . Příklad 10 – Tepelná elektrárna . . . . . . Příklad 11 – Směšovací ventil . . . . . . . Příklad 12 – Vodopád . . . . . . . . . . . Příklad 13 – Brzdění cyklisty . . . . . . . Příklad 14 – Petrolejový vařič . . . . . . . Příklad 15 – Nábojnice . . . . . . . . . . . Příklad 16 – Automobil na dálnici 1 . . . Příklad 17 – Automobil na dálnici 2 . . . Příklad 18 – Hmotnosti atomů . . . . . . Příklad 19 – Krystalická mřížka železa . . Příklad 20 – Molekuly . . . . . . . . . . . Příklad 21 – Částice . . . . . . . . . . . . Příklad 22 – Zrnka písku . . . . . . . . . . Příklad 23 – Stavba železniční trati . . . . Příklad 24 – Napínání drátu . . . . . . . . Příklad 25 – Kyvadlové hodiny . . . . . . Příklad 26 – Elektrické vedení . . . . . . . Příklad 27 – Kanystr na benzin . . . . . . Příklad 28 – Železniční trať . . . . . . . . Příklad 29 – Mosazné kyvadlo . . . . . . . Příklad 30 – Kovové pásky . . . . . . . . . Příklad 31 – Bimetalový pásek . . . . . . Příklad 32 – Napínání drátu . . . . . . . . Příklad 33 – Svařování kolejnic . . . . . . Příklad 34 – Hustota rtuti . . . . . . . . . Příklad 35 – Skleněná nádoba . . . . . . . Příklad 36 – Zemská atmosféra . . . . . .
5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12 12 13 13 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 17 18
Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
– – – – – – – – – – –
Lokomotiva . . . . . . . . . . . . . Železná tyč . . . . . . . . . . . . . Teploměry . . . . . . . . . . . . . Rtuťový teploměr . . . . . . . . . Zavěšování závaží . . . . . . . . . Průhyb vodičů elektrického vedení Led na rybníku . . . . . . . . . . . Ohříváček na pivo . . . . . . . . . Chlazení džusu . . . . . . . . . . . Sopka pod ledovcem . . . . . . . . Pračlověk . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21
2 Řešení příkladů
22
Literatura
35
Zdroje obrázků
35
4
Úvod Předkládáme vám druhou část metodického materiálu pro učitele fyziky na středních školách pod názvem FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (řešené kvalifikovaným odhadem). První část se zabývala převážně mechanikou a byla zaměřena na první ročník gymnázia či na výuku mechaniky na dalších středních školách. Některé lehčí úlohy vycházely z obsahu výuky na základních školách. Úlohy řešené kvalifikovaným odhadem jsou problémy, jejichž zadání není zcela úplné. Původní úlohy pocházely z dílny odborných fyziků a první z nich se nazývaly tzv. Fermiho úlohy. Zadání většinou bylo velmi vágní a řešitel si musel mnoho veličin domyslet nebo dodefinovat, hodnoty nutné pro správné vyřešení specifikovat. V naší sbírce jsme takovou vůli nedovolili. Úlohy, které předkládáme, mají většinou chybějící hodnoty veličin, které nejsou uvedeny v textu zadání. Řešitel poté, co vymyslí základní strategii řešení, musí hledat ve fyzikálnětechnických tabulkách nebo příručkách, na internetu nebo v dalších, většinou dnes už informačních a komunikačních prostředcích. Pro řešení zadaných úloh je třeba pracovat s pomůckami, které nepatří mezi tradiční při řešení fyzikálních problémů, jako je atlas, encyklopedie (obojí papírové nebo elektronické). Někteří učitelé namítali, že jde o úlohy s neúplným zadáním. Ovšem je jasné, že neúplnému zadání odpovídá také malá jasná strategie řešení, leckdy i různé cesty k výsledku daného problému. Řešitel musí odhadovat nejen hodnoty nezadaných veličin, ale také míru ovlivnění výsledku. Zdá se nám, že tento stav neurčitosti zadání se odráží nejen na neurčitosti získaného výsledku, ale i na neurčitosti cest řešení. Vyznat se v řešení takové úlohy vyžaduje vyšší připravenost k tvůrčí činnosti řešitele, a proto se úlohy tohoto typu hodí pro práci se žáky, talentovanými pro fyziku. Velmi zajímavým počinem je i obrazová výprava zadávaných úloh - každá úloha je doprovázena fotografií nebo i jiným způsobem znázorňování situace, jíž se daná úloha dotýká. Samozřejmě, některá zobrazení mají účel spíše motivační, jiné ilustrační, řada poskytuje základní představu o tom, ce se bude v úloze řešit. Protože je známo, že mnoho řešitelů má tzv. malou výdrž a při eventuálním nezdaru se vzdává dalšího postupu, opatřili jsme každou úlohu návodem k řešení, který by měl pomoci nastartovat řešitele na druhý pokus. Všechny úlohy jsou doprovázeny podrobným řešením - jde o jedno ze správných řešení, samozřejmě ovlivněný zvolenými hodnotami neurčených veličin. Přejeme řešitelům hodně úspěchů, jejich učitelům vhodnou volbu návodu k řešení. Tato část pak končí první stovku zatím neobvyklých zadání úloh, které jsme připravili. A sdělíme vám ještě, že máme v záměru připojit během příštího roku další sbírky - první se bude týkat částicové fyziky a stavby látek pevných, kapalných a plynných, druhá bude zaměřena na kmity, vlny a akustiku.
5
1
Zadání příkladů
Příklad 1 – Porovnávání teplot Odhadněte, která z následujících teplot je nejvyšší: 65 ◦ C, 60◦ R, 135◦ F, 315 K. Návod k řešení: Převeďte údaje o teplotách na stupně Celsia (viz obrázek vpravo) a pak teploty porovnejte.
Příklad 2 – Zvedání závaží Odhadněte, do jaké výšky bychom museli zvednout závaží o hmotnosti 10 kg, aby změna jeho potenciální energie byla rovna teplu, které je třeba k ohřátí 1 litru vody o 10 ◦ C. Návod k řešení: Nejprve vypočtěte množství tepla potřebného k ohřátí 1 litru vody, pak porovnejte se změnou potenciální energie. Příklad 3 – Listonoš Listonoš vystoupal s doporučeným dopisem (výtah dnes nejede) do 14. poschodí, výškový rozdíl mezi podlahami dvou po sobě následujících poschodí je 3,0 m. Tím se zvětší polohová energie listonoše (o hmotnosti 80 kg). Odhadněte, o kolik stupňů by bylo možno tepelnými účinky zvýšit teplotu 10 litrů vody. Návod k řešení: Postupujte obdobně jako v příkladu 2.
6
Příklad 4 – Sportovec s činkou Během tréninku zvedl sportovec padesátkrát činku o hmotnosti 80 kg ze země do výšky 2,20 m. V pracovně trenérů si mezitím jeden z trenérů vařil vodu na kávu tak, že v rychlovarné konvici zahříval 800 g vody z teploty 15 ◦ C na 90 ◦ C. Odhadněte, zda větší práci udělal sportovec nebo rychlovarná konvice. Návod k řešení: Vypočtěte práci, kterou vykonal sportovec při posilování pomocí změny polohové energie, pak určete množství tepla při zahřívání vody v rychlovarné konvici (uvažujte stoprocentní účinnost). Příklad 5 – Míchání vody 1 Do tří litrů vody teploty 10 ◦ C nalijeme dva litry vody teploty 60 ◦ C. Odhadněte, jak vysoká bude výsledná teplota. Ztráty do okolí neuvažujte. Návod k řešení: Sestavte kalorimetrickou rovnici (rovnici tepelné výměny). Tepelnou kapacitu nádoby neuvažujte. Příklad 6 – Míchání vody 2 Do tří litrů vody teploty 15◦ C můžeme přilít vodu o teplotě 75 ◦ C tak, aby výsledná teplota byla 35 ◦ C. Odhadněte, kolik vody přilijeme a zda nám na to bude stačit pětilitrová nádoba. Ztráty do okolí neuvažujte. Návod k řešení: Sestavte kalorimetrickou rovnici (rovnici tepelné výměny). Tepelnou kapacitu nádoby neuvažujte.
7
Příklad 7 – Elektrický vařič ETA Na elektrický vařič ETA 1117 o jmenovitém příkonu 1 200 W dáme hliníkový hrnec o hmotnosti 850 gramů s vodou o objemu 1,5 litru teploty 15 ◦ C. Voda se začne vařit (tj. dosáhne teploty 100 ◦ C) za dobu 10 min 30 s. Odhadněte, jaká je účinnost vařiče. Kolik zaplatíme za ohřátí vody při ceně 3,70 Kč/kWh? Návod k řešení: Určete teplo potřebné k ohřátí vody i hrnce, pak použijte vztah pro výpočet účinnosti. Příklad 8 – Rychlovarná konvice Rychlovarná konvice má na štítku údaj 230 V, (1800 − 2200) W. Z vodovodu nalijeme do této konvice 1,2 litru vody o teplotě 15 ◦ C. Odhadněte, za jak dlouho se voda začne vařit, když účinnost konvice je 95%. Ve skutečnosti se začne voda vřít po době 4,0 min. Vysvětlete příčinu. Návod k řešení: Určete teplo potřebné k ohřátí vody, pak použijte vztah pro výpočet účinnosti. Příklad 9 – Elektrický průtokový ohřívač Elektrický průtokový ohřívač má příkon 12,5 kW a účinnost zahřívání 92%. Teplota vody vstupující do ohřívače je 15 ◦ C, teplota vody na výstupu je 80 ◦ C, hustota vody 1000 kg · m−3 , měrná tepelná kapacita 4 200 J · kg−1 · K−1 . Odhadněte, kolik litrů teplé vody můžeme odebírat z průtokového ohřívače za 1 minutu. Za jak dlouho nateče voda o objemu 140 litrů do vany? Návod k řešení: Určete teplo potřebné k ohřátí vody za 1 minutu, pak použijte vztah pro výpočet účinnosti a vypočtěte objem vody, ohřáté průtokovým ohřívačem za jednu minutu.
8
Příklad 10 – Tepelná elektrárna V úlohách 7 až 9 odhadněte, kolik kg uhlí se musí spotřebovat v tepelné elektrárně, která spaluje méně-kvalitní uhlí s výhřevností 12 MJ · kg−1 , je-li celková účinnost této elektrárny 36%, aby proběhly uvedené tepelné děje. Návod k řešení: Použijte vztah pro výpočet tepla Q = mHη. Příklad 11 – Směšovací ventil Nad vanou je směšovací ventil, který nastavíme tak, abychom získali vodu o teplotě t. Do ventilu přitéká každou minutu 8 litrů vody o teplotě 15 ◦ C a 6 litrů vody o teplotě 60 ◦ C. Ve vaně si na koupání přejeme mít 140 litrů vody. Odhadněte, za jak dlouho nateče voda na koupání a jakou bude mít teplotu. Změní se teplota vody, když vodu necháme přitékat delší dobu nebo když zkrátíme naopak dobu přitékání? Na začátku koupání chceme mít vodu o teplotě 35 ◦ C, přičemž přítok teplé vody je danými údaji již limitován. Odhadněte, jak musíme změnit přítok studené vody. Návod k řešení: Napište rovnici tepelné výměny pro směšování dvou vod různých teplot.
Příklad 12 – Vodopád Vodopád má celkovou výšku 192 m a po dopadu dole se voda takřka zastaví. Odhadněte, o kolik stupňů Celsia je voda po dopadu teplejší než byla její původní teplota nahoře. Je možno tuto změnu teploty vody registrovat? Návod k řešení: Vzniklé teplo je rovno změně polohové energie vody.
9
Příklad 13 – Brzdění cyklisty Cyklista o hmotnosti 87 kg i s kolem se pohybuje při závodech s letmým startem tak, že trasu 1,2 km urazí stálou rychlostí za dobu 100 s. Pak účinkem ráfkových brzd zastaví. Hmotnost ocelového ráfku je 800 g, měrná tepelná kapacita 460 J · kg−1 · K−1 . Odhadněte změnu teploty ráfku při brzdění, jestliže 60% původní pohybové energie způsobí ohřátí ráfku. Návod k řešení: Nejprve vypočtěte pohybovou energii cyklisty před brzděním. Pak určete teplo, které se uvolní k ohřátí ráfku při brzdění. Příklad 14 – Petrolejový vařič Odhadněte, jaká je hmotnost petroleje, který spotřebují horolezci při zahřátí 3 litrů vody na čaj z teploty 10 ◦ C na 90 ◦ C? Účinnost vařiče zvolte 40%, výhřevnost petroleje je podle tabulek 44 MJ · kg−1 . Návod k řešení: Nejprve vypočtěte teplo potřebné k zahřátí vody, pak určete teplo, které se uvolní spalováním potřebného množství petroleje. Ze znalosti účinnosti sestavte příslušnou rovnici. Příklad 15 – Nábojnice V nábojnici je asi 5 gramů střelného prachu, jehož výhřevnost je 3,8 MJ · kg−1 a účinnost využití tepla vzniklého při hoření střelného prachu je 28%. Odhadněte, jak velkou pohybovou energii získá střela o hmotnosti 25 gramů v okamžiku, kdy vyletí z hlavně. Jak velkou rychlost má střela v tomto okamžiku? Návod k řešení: Nejprve vypočtěte teplo uvolněné při zahřátí nábojnice, pak určete změnu kinetické energie na základě znalosti účinnosti, pak sestavte příslušnou rovnici.
10
Příklad 16 – Automobil na dálnici 1 Automobil, jehož motor má při jízdě rovnoměrným pohybem po dálnici při rychlosti 90 km · h−1 výkon 20 kW a účinnost 22%, má v nádrži 5 litrů benzinu o výhřevnosti 46 MJ · kg−1 a hustotě 750 kg · m−3 . Odhadněte, zda dojede automobil k benzinové stanici, která je ve vzdálenosti od daného místa 62 km, kde berou karty CCE, pojede-li i nadále rychlostí 90 km · h−1 . Návod k řešení: Nejprve obecně napište vztah pro teplo vzniklé spalováním benzinu, pak práci, kterou koná motor automobilu. Vše sestavte s použitím zadané účinnosti do jedné rovnice, z ní pak vyjádřete požadovanou dráhu. Příklad 17 – Automobil na dálnici 2 Automobil, jehož průmět čelních rozměrů je 1,6 m × 1,5 m a tvarový odporový součinitel odhadneme na 0,36, se pohybuje se po dálnici rychlostí 110 km · h−1 . Odhadněte, jak velká je tahová sílu motoru a jeho výkon. Odhadněte dále, jaká by byla spotřeba benzinu na 100 km, je-li výhřevnost benzinu 46 MJ · kg−1 , hustota benzinu 750 kg · m−3 a účinnost 22%.
Odhadněte ještě, jak se spotřeba na 100 km změní, pojede-li tento automobil rychlostí 90 km · h−1 , 120 km · h−1 , 130 km · h−1 . Hustota vzduchu je 1,25 kg · m−3 . Návod k řešení: Postupujte obdobně jako v příkladu 16. Příklad 18 – Hmotnosti atomů Atomová hmotnostní konstanta určuje hmotnost 1/12 klidové hmotnosti mC atomu nuklidu uhlíku 126 C. Přibližná hodnota této konstanty je mu = 1,66 · 10−27 kg. Tabulka prvků poskytuje údaje o relativní atomové hmotnosti. Odhadněte hmotnost atomu Fe, Al, C, dále hmotnost molekuly H2 O, C2 H5 OH, CuSO4 , NH4 NO3 , NaCl. Návod k řešení: ma = Ar · mu , mm = Mr · mu .
11
Příklad 19 – Krystalická mřížka železa Železo tvoří při teplotách do 910 ◦ C prostorově centrovanou krychlovou mřížku (tzv. železo α). Při teplotě větší než 910 ◦ C vytváří železo plošně centrovanou krychlovou mřížku. Odhadněte mřížkovou konstantu železa α a železa γ při teplotách blízkých teplotě 910 ◦ C. Při odhadu předpokládejte, že hustota železa se mění spojitě v závislosti na teplotě. Návod k řešení: Nejprve určete hustotu železa při teplotě 910 ◦ C s použitím vztahu pro teplotní objemovou roztažnost, pak určete počet atomů železa připadajících na jednu elementární buňku pro obě mřížky. Příklad 20 – Molekuly Mol vzduchu má objem 22,41 litru za normálních podmínek. Odhadněte hustotu kyslíku O2 a dusíku N2 za normálních podmínek a ve velkém vakuu p = 10−5 pa za téže teploty. Návod k řešení: Použijte stavovou rovnici ideálního plynu. Příklad 21 – Částice Loschmidtovo číslo n0 = 2,7 · 1025 m−3 udává počet částic v 1 m3 plynu za normálního tlaku. Představte si, že každý ze šesti miliard lidí na Zemi bude po celý život (70 let) odpočítávat každou sekundu 100 částic. Odhadněte, jaký objem by tyto částice zaplnily. Návod k řešení: Nejprve určete počet odpočítaných částic jedním člověkem za 70 let, pak odpovídající objem. Příklad 22 – Zrnka písku Kdosi tvrdil, že počet molekul plynů v 10 litrech vzduchu je možno přirovnat k počtu zrnek písku na Sahaře. Uvažte, že zrnko písku má střední průměr 0,5 mm, plošný obsah Sahary je 5 miliónů km2 . Odhadněte, zda toto tvrzení může být reálné. Svou odpověď podpořte příslušnými výpočty nebo odhady. 12
O O N N
Návod k řešení: Nejprve určete počet molekul plynu v 10 litrech vzduchu. Na základě tohoto údaje pak odhadněte výšku vrstvy písku na Sahaře, která by vyhovovala daným požadavkům a porovnejte s reálnými údaji o Sahaře. Příklad 23 – Stavba železniční trati Při stavbě trati se používají kolejnice délky 25 m; předpokládejme, že tato délka je přesná při teplotě 20 ◦ C. Součinitel teplotní délkové roztažnosti oceli je 0,000 012 K−1 , kolejnice mění svou délku v závislosti na teplotě ∆l = l0 α∆t. Určete šířku dilatační mezery pro každou kolejnici, když je známo, že při teplotě 60 ◦ C bude trať bez mezer. Stanovte šířku jednotlivých mezer mezi kolejnicemi při teplotě −30 ◦ C. Vysvětlete kvalitu jízdy vlakem v zimě a v létě. Návod k řešení: Vyjděte ze skutečnosti, že při teplotě 60 ◦ C bude trať bez mezer. Pak zjistěte zkrácení kolejnic pro zadané teploty. Příklad 24 – Napínání drátu Měděný drát o délce 200 m při teplotě 20 ◦ C má na obou koncích malá očka a je jedním koncem přichycen k háčku na plotě tak, že je kolmý k cestě, kam dosahuje druhý konec drátu. Odhadněte, o jakou délku musíme po cestě posunout druhé oko, aby drát zůstal napnutý, jestliže se teplota drátu zvětšila na 50 ◦ C, a spolu s tím se drát prodloužil. Návod k řešení: Postupujte obdobně jako v předchozím příkladu.
13
Příklad 25 – Kyvadlové hodiny V minulosti bylo k regulaci chodu hodin použito kyvadlo, přesněji ocelová nebo mosazná tyč, jejíž délka stanovila dobu kmitu kyvadla. Tyč z reálného materiálu však projevuje teplotní délkovou roztažnost, a tedy se změnou teploty docházelo ke změně doby kmitu kyvadla. V r. 1726 byly navrženy minimálně dva způsoby eliminace této vady. Navrhněte, jak by muselo kyvadlo vypadat, aby doba kmitu byla nezávislá na teplotě. Jestliže kyvadlo prodlouží svou délku o 0,1%, odhadněte, jaký to má vliv na chod hodin. Co vlastně měří kyvadlové hodiny? Svá tvrzení zdůvodněte. Návod k řešení: Postupujte obdobně jako v předchozím příkladu.
Příklad 26 – Elektrické vedení Elektrické vedení je umístěno na sloupech tak, že drát o délce 300 m je upevněn na izolátorech ve výšce 15 m nad vodorovným povrchem Země. Předpokládejme, že při teplotě −30 ◦ C by byl drát natažen zcela vodorovně, což není prakticky možné, neboť tíha drátu způsobí vždy průhyb tvaru řetězovky. V létě dosahuje teplota měděných drátů hodnoty 50 ◦ C, teplotní součinitel délkové roztažnosti mědi je 0,000 017 K−1 . Při výpočtu reálnou řetězovku nahraďte dvěma přímými úseky, jež vytvoří rovnoramenný trojúhelník. Odhadněte, zda je chůze pod vysokonapěťovým vedením v létě dostatečně bezpečná. Odhadněte, co se stane, když teplota v zimě poklesne pod −30 ◦ C. Návod k řešení: Odhadněte, o kolik metrů poklesne drát uprostřed vedení.
14
Příklad 27 – Kanystr na benzin Kanystr na benzin je vyroben z ocelového plechu, má objem 20 litrů (α = 0,000 012 K−1 ). Naplníme ho benzinem (β = 0,001 K−1 ) v garáži při teplotě 0 ◦ C a doneseme na dvorek k autu, kde je teplota 30 ◦ C. Vysvětlete, co se stane. Odhadněte, kolik benzinu lze do kanystru nalít, aby venku nevytekl poté, co se jeho teplota vyrovná teplotě okolí. Jak je technicky zabezpečeno, aby benzin nemohl z kanystru vytékat a ohrožovat okolí? Návod k řešení: Nejprve určete změnu objemu kanystru s rostoucí teplotou, potom také změnu objemu benzinu a oba objemy porovnejte. Příklad 28 – Železniční trať Trať z České Třebové do Prahy, hl. n. má délku 164 km; mezi sousedními kolejnicemi původně byly dilatační mezery. Délka jednotlivých kolejnic při teplotě 20 ◦ C je 25 metrů. Budeme předpokládat, že mezery se ztratí až při dosažení teploty 50 ◦ C. Odhadněte, kolik představují mezery při teplotě 0 ◦ C celkem a jak velké jsou dilatační mezery mezi dvěma sousedními kolejnicemi. Návod k řešení: Nejprve určete o kolik se po zahřátí prodlouží jedna kolejnice, potom počet kolejnic.
Příklad 29 – Mosazné kyvadlo Mosazné kyvadlo (α = 0,000 019 K−1 ) kývá při teplotě 10 ◦ C s dobou kmitu přesně 1,000 s. Odhadněte, jak se změní doba kmitu kyvadla, jestliže teplota okolního vzduchu vzroste na 25 ◦ C. O kolik by se denně rozcházely“ hodiny, řízené tímto kyvadlem, se správně ” nastavenými elektronickými hodinami? Návod k řešení: Nejprve určete změnu délky kyvadla po změně teploty. Při dalším řešení je možno použít . vztah (1 + x)n = 1 + nx pro x ≪ 1.
15
Příklad 30 – Kovové pásky Dva kovové pásky, z nichž jeden je železný a druhý měděný, jsou postupně zahřívány, přičemž oba mají v daném okamžiku stejnou teplotu. Odhadněte, jaké musejí být délky obou pásků, aby nezávisle na teplotě byl rozdíl délek 15 cm (teplotní součinitel délkové roztažnosti pro železo je 0,000 012 K−1 a pro měď 0,000 018 K−1 ). Návod k řešení: Napište vztahy pro délky jednotlivých pásků v závislosti na teplotě, pak určete jejich rozdíl tak, aby byl nezávislý na teplotě. Příklad 31 – Bimetalový pásek Dva kovové pásky, jeden měděný a druhý železný, všude stejné tloušťky 2 mm mají při teplotě 0 ◦ C stejnou délku a jsou svařeny tak, že tvoří destičku. Když oba pásky zahřejeme, prohnou se do kruhového oblouku. Odhadněte poloměr kruhového oblouku při dosažení teploty 400 ◦ C. Jak lze využít této vlastnosti bimetalového pásku v praxi? Návod k řešení: Napište vztahy pro délky jednotlivých pásků v závislosti na teplotě, pak napište také vztahy pro délky jednotlivých pásků v závislosti na jejich úhlu a poloměru. Získané vztahy pak porovnejte. Příklad 32 – Napínání drátu Při sušení prádla byl místo šňůry na prádlo použit izolovaný ocelový drát délky 10 m, který byl napnutý mezi dvě stěny při teplotě 10 ◦ C. Youngův modul pružnosti pro ocel je 21 · 1010 Pa. Odhadněte a popište jevy, které nastanou v rozmezí teplot od −30 ◦ C do 50 ◦ C. Součinitel teplotní délkové roztažnosti oceli je 0,000 012 K−1 . Návod k řešení: Napište vztah pro délku drátu v závislosti na teplotě, při výpočtu délek drátu pro konkrétní dané teploty, zda drát bude namáhán tahem, či zda dojde k jeho průhybu. 16
Příklad 33 – Svařování kolejnic Proč se dají svařovat kolejnice? Vysvětlete tento jev a pokuste se odhadnout číselné údaje, jež s ním souvisejí. Využijte fyzikálnětechnických tabulek nebo internetu k získání potřebných údajů. Návod k řešení: Pokuste se vyhledat potřebné informace na internetu. Příklad 34 – Hustota rtuti Odhadněte změny hustoty rtuti, jejíž součinitel objemové teplotní roztažnosti je 0,000 181 K−1 , a to při teplotě −20 ◦ C, 130 ◦ C, je-li hustota rtuti při 0 ◦ C podle tabulek rovna 13 595 kg · m−3 . Jak se tyto změny projeví např. při použití rtuťového barometru? Návod k řešení: Použijte vztah pro výpočet objemu m rtuti v závislosti na teplotě, dále pak vztah ̺ = . V Příklad 35 – Skleněná nádoba Prázdná skleněná nádoba, užívaná při laboratorním výzkumu, měla hmotnost 100 g, naplněná rtutí při teplotě 0 ◦ C měla hmotnost 1,431 kg. Když se nádoba zahřeje na teplotu 40 ◦ C, část rtuti vyteče a nádoba má hmotnost 1,423 kg. Odhadněte relativní a absolutní součinitel teplotní objemové roztažnosti rtuti pro případ, že součinitel teplotní délkové roztažnosti skla je 0,000 010 K−1 , popř. když roztažnost nádoby neuvažujeme. Návod k řešení: Použijte vztah pro výpočet objemu rtuti v závislosti na teplotě, uvažujte také se změnou objemu skleněné nádoby. Výsledek pak porovnejte s hodnotou získanou za předpokladu, že se objem skleněné nádoby nemění.
17
Příklad 36 – Zemská atmosféra Odhadněte, kolik tepla je třeba k ohřátí zemské atmosféry o 1 ◦ C. Nejprve si musíte provést odhad hmotnosti atmosféry. Výsledek porovnejte s teplem, které ve formě slunečního záření zachycuje Země během jednoho dne, popř. jednoho roku. Solární konstanta je 1370 W · m−2 . Návod k řešení: Neprve odhadněte hmotnost atmosféry ze znalosti hodnoty atmosférického tlaku, pak zjistěte např. pomocí tabulek měrnou tepelnou kapacitu vzduchu. Příklad 37 – Lokomotiva Kolo lokomotivy má při teplotě 0 ◦ C průměr 1,00 m. Lokomotiva jede z Hradce Králové do Prahy, jednou v zimě při teplotě −20 ◦ C, podruhé v létě při teplotě 25 ◦ C. Vzdálenost nádraží v Praze a v Hradci Králové je udána 116 km. Odhadněte, jak velký je počet otáček kola v zimě a v létě. Vysvětlete, kdy a o kolik bude počet otáček na trase Hradec Králové - Praha větší. Návod k řešení: Pro výpočet změny průměru kola lokomotivy použijte vztah pro teplotní délkovou roztažnost. Příklad 38 – Železná tyč Železnou tyč jsme vzepřeli ve starém domě mezi dvě stěny o vzdálenosti 2,4 m. Odhadněte, jak se musí zvýšit teplota tyče, aby mezi konci tyče vznikla tlaková síla, která způsobí tlak na koncích tyče 5 MPa. Návod k řešení: Použijte vztah pro teplotní délkovou roztažnost, tlak v tyči odhadněte užitím Hookova zákona.
18
Příklad 39 – Teploměry Dva stejné teploměry jsou při teplotě 0 ◦ C naplněny stejným objemem rtuti a lihu. Odhadněte, jaká je souvislost mezi délkou stupnice od 0 ◦ C až 100 ◦ C na obou paralelních teploměrech? Je značka pro 50 ◦ C ve stejné výšce? Návod k řešení: Použijte vztah pro teplotní objemovou roztažnost. Příklad 40 – Rtuťový teploměr Rtuťový teploměr se skládá z baňky o objemu 2,0 cm3 a kapilární trubice o vnitřním řezu malého obsahu. Odhadněte průměr kapilární trubice, aby při zvýšení teploty o 1 ◦ C se hladina rtuti posunula o 1 mm. Návod k řešení: Použijte vztah pro teplotní objemovou roztažnost.
Příklad 41 – Zavěšování závaží Při laboratorní práci na ocelový drát o délce 3,0 m a průměru 2,0 mm zavěsíme předmět o hmotnosti 10 kg. Mez pevnosti ocelového drátu je 600 MPa. Odhadněte, o kolik se ocelový drát prodlouží v klidové poloze. Potom drát vychýlíme ve svislé rovině o 60◦ a uvolníme. Odhadněte, o kolik se drát prodlouží při průchodu rovnovážnou polohou. Návod k řešení: Prodloužení odhadněte použitím Hookova zákona.
19
Příklad 42 – Průhyb vodičů elektrického vedení Dráty elektrického vedení mají mezi dvěma sousedními sloupy délku 500 m, při teplotě −20 ◦ C byly dráty právě nataženy. Průhyb drátů účinkem tíhové síly neuvažujte. Odhadněte, jaký je průhyb drátů při teplotě 0 ◦ C a 30 ◦ C. Jaké je napětí v drátech při teplotě −40 ◦ C? Pro zjednodušení nahraďte skutečnou řetězovku jen dvěma přímými úseky, tvořící strany rovnoramenného trojúhelníka. Návod k řešení: Uvažujte, že průhyb vzniká pouze v důsledku zvětšení délky drátů vlivem vyšších teplot, hmotnost vodičů neuvažujte. Pro výpočet napětí použijte Hookův zákon. Příklad 43 – Led na rybníku Na rybníku o plošném obsahu 2,5 ha při mrazivé zimě vznikl led o tloušťce 20 cm. Účinkem slunečního záření začíná led roztávat, ale během noci již znovu voda nebude zamrzat. Odhadněte, jaké teplo je třeba k rozmrznutí ledu. Návod k řešení: Protože voda na ledu během noci nebude již zamrzat, lze uvažovat, že teplota ledu je 0 ◦ C. Nejprve vypočtěte hmotnost ledu. Teplo potřebné k rozmrznutí ledu je rovno skupenskému teplu, které je třeba dodat ledu, aby roztál. Příklad 44 – Ohříváček na pivo Staří pivaři“ neměli rádi pivo o nízké teplotě, protože ” jim ochlazovalo žaludek. Pivo se podávalo v půllitru a chlazené ve sklepě ledem mělo teplotu 8 ◦ C. Proto používali tzv. ohříváček“, měděnou malou nádobku tvaru ” zkumavky s háčkem, do které se vešlo asi 10 cm3 vody o teplotě 90 ◦ C. Vysvětlete, jak ohříváček fungoval, a odhadněte, o kolik se mohla zvýšit teplota podávaného piva. Návod k řešení: K odhadu použijte kalorimetrickou rovnici, tepelnou kapacitu půllitru a nádobky ohřívačku zanedbejte. 20
Příklad 45 – Chlazení džusu Za letního vedra má voda ve vodovodu teplotu až 24 ◦ C, na pití jsme však zvyklí na vodu chladnější o teplotě 15 ◦ C. Když na chatě maminka připravovala osvěžující nápoj pro děti, nalila do konvice 1,8 litru vody z vodovodu s citronovou šťávou a pak vložila 200 g rozdrcené ledové tříště o teplotě 0 ◦ C. Odhadněte, jaká byla výsledná teplota vody poté, co všechen led roztál. Návod k řešení: K odhadu použijte kalorimetrickou rovnici, tepelnou kapacitu půllitru a nádobky ohřívačku zanedbejte. Příklad 46 – Sopka pod ledovcem Sopka pod ledovcem se probudila“ a ” na dno ledovce se rozlilo 0,50 km3 žhavé lávy. Teplota ledu byla původně −10 ◦ C. Kolik ledu mohlo roztát? Návod k řešení: Někdy se říká, že ztuhlá láva vypadá jako ze skla. Vytvoříme model, ve kterém přirovnáme tuhnutí lávy k tuhnutí skla, jehož počáteční teplotu odhadněte na 1 000 ◦ C, teplotu na konci odhadneme na 30 ◦ C (přibližně jako teplota okolí). Ve skutečnosti vše probíhá velmi rychle, led se promění ve vodu a ta se rychle zahřeje a vypaří. My však tento jev nebudeme uvažovat a budeme předpokládat, že vše bude probíhat pomalu a k žádnému vypařování nedojde. Příklad 47 – Pračlověk Nahý pračlověk měl teplotu 37 ◦ C a povrch jeho těla byl 1,5 m2 . Teplotu okolí budeme uvažovat 7 ◦ C. Odhadněte tepelný výkon pračlověka a vysvětlete nutnost dobíjení“ ” formou potravy. Návod k řešení: Uvažujte, že dochází k tepelné výměně vedením a zářením. Stanovte poměr těchto složek, zda by nebylo možno některou z nich zanedbat. 21
2
Řešení příkladů
1. 65 ◦ C;
5 · 60 ◦ C = 75 ◦ C; 4 5 135◦ F = · (135 − 32) ◦ C = 57 ◦ C; 9 315 K = 42 ◦ C. Nejvyšší teplota z výše uvedených teplot je 60◦ R.
60◦ R =
2. Teplo potřebné k zahřátí 1 litru vody o 10 ◦ C je Q = cm∆t = 4 200·1·10 J = = 42 kJ. Toto teplo by mělo být rovno změně potenciální energie závaží, tj. Q 42 · 103 Q = Ep = mg∆h, z čehož ∆h = = m = 420 m. mg 10 · 10
Poznámka Tento odhad však lze provést jen pro malé výšky“, kdy můžeme tíhové ” zrychlení považovat za konstantní (homogenní tíhové pole).
3. Výška, do které musí listonoš vystoupit, je h = 14 · 3 m = 42 m. Změna polohové energie po výstupu do výšky 42 metrů je ∆Ep = mgh = 80 · 10 · 42 J = 33,6 kJ. Dle zadání platí ∆Ep = Q = cm∆t, 33,6 · 103 ◦ Q = C = 0,8 ◦ C. z čehož ∆t = cm 4 200 · 10
4. Práce sportovce při tréninku je W = 50 · 80 · 10 · 2,2 J = 88 kJ. Teplo potřebné k zahřátí vody v konvici je Q = 4 200 · 0,8 · (90 − 15) J = 252 kJ. Z toho plyne Q > W . Změnu polohy těžiště u sportovce v průběhu zdvihání neuvažujeme.
5. Napíšeme rovnici tepelné výměny mezi vodami dvojí teploty (tzv. kalorimem t + m2 t2 trickou rovnici) cm1 (t − t1 ) = cm2 (t2 − t), z čehož t = 1 1 . Po m1 + m2 3 · 10 + 2 · 60 ◦ C = 30 ◦ C. dosazení je t = 3+2 6. Při odhadu budeme postupovat obdobně jako při řešení úlohy 5, tj. napíšeme rovnici cm1 (t − t1 ) = cm2 (t2 − t), z čehož 35 − 15 t − t1 m = · 3 kg = 1,5 kg. m2 = t2 − t 1 75 − 35 3 litry + 1,5 litru = 4,5 litru; pětilitrová nádoba bude stačit. 7. Odhadneme teplo potřebné na ohřátí vody (a zároveň i hrnce) Q = (c1 m1 + c2 m2 )(t − t0 ) = (4 200 · 1,5 + 896 · 0,85) · (100 − 15) J = 600 236 J = 600 kJ. 22
600 236 = 0,8 = 80%. Práce vykonaná elektric1 200 · 630 kým proudem pak je W = 1 200·630 J = 756 000 Ws = 210 Wh = 0,21 kWh. Vzhledem k tomu, že za jednu kWh zaplatíme 3,70 Kč, zaplatíme za ohřátí . vody 0,21 · 3,70 Kč = 1 Kč. Potom účinnost je η =
8. Teplo potřebné na ohřátí vody Q = cm∆t = 4 200 · 1,2 · 75 J = 378 kJ, doba 378 · 103 378 · 103 s = 221 s až τ2 = s= ohřevu bude v rozmezí τ1 = 0,95 · 1 800 0,95 · 2 200 = 181 s, tj. 3 minuty 40 sekund až 3 minuty. Ve skutečnosti je však část tepla odváděna okolním prostředím a dochází také k zahřívání nádoby konvice (což jsme ve výpočtu neuvažovali), proto je skutečná doba ohřevu delší, tedy asi 4 minuty. 9. Teplo, které může ohřívač předat vodě za 1 minutu určíme pomocí vztahu Q = P0 ·η ·τ . Objem ohřáté vody odebrané průtokovým ohřívačem je možno P ·η·τ . Po dosazení vypočítat ze vztahu P0 ·η ·τ = c·̺·V ·∆t, z čehož V = 0 c · ̺ · ∆t 3 12,5 · 10 · 0,92 · 60 m3 = 2,53 l. Tedy za 1 minutu můžeme odebrat V = 4 200 · 1 000 · (80 − 15) 2,53 litru vody o teplotě 80 ◦ C. Objem 140 litrů vody požadované teploty 140 nateče do vany za dobu τ1 = min = 55 min, nebudeme-li uvažovat 2,53 tepelné ztráty do okolí. Q . V úloze 7 je m = Hη 378 · 103 600 · 103 kg = 0,15 kg, v úloze 8 je m = kg = 0,1 kg, = 6 12 · 10 · 0,36 12 · 106 · 0,36 4 200 · 1000 · 0,14 · (80 − 15) kg = 8,9 kg. v úloze 9 je m = 12 · 106 · 0,36
10. Odhad hmotnosti uhlí provedeme pomocí vztahu m =
11. Z kalorimetrické rovnice cm1 (t − t1 ) = cm2 (t2 − t) vyjádříme teplotu m t + m2 t2 8 · 15 + 6 · 60 ◦ t = 1 1 = C = 34 ◦ C. Teplota vody nezávisí na m1 + m2 8+6 čase, pokud nebudeme uvažovat ztráty do okolí. Voda na koupání nateče za 140 dobu τ = min = 10 min. 8+6 Pokud bychom chtěli mít na začátku koupání vodu o teplotě 34 ◦ C, pak je nutno změnit přítok studené vody. Opět použijeme kalorimetrickou rovnici cm1 (t − t1 ) = cm2 (t2 − t), v tomto případě však bude neznámá m1 , tj. 60 − 35 t −t m = · 6 kg = 7,5 kg. m1 = 2 t − t1 2 35 − 15 Přítok studené vody je tedy třeba upravit na 7,5 litru za sekundu.
23
12. Z rovnosti Ep = Q dostaneme mgh = cm∆t, gh 10 · 192 ◦ z čehož ∆t = = C = 0,5 ◦ C. c 4 200 Registrovat tuto změnu teploty by asi byl problém, protože kapky vody při pádu procházejí vzduchem a mohou se o vzduch také ohřívat. 1 · 87 · 122 J = 6 264 J. Odhad 2 0,6 · 6 264 ◦ 0,6Ek = C = 10 ◦ C. Jedná se ale změny teploty je potom ∆t = cR mR 460 · 0,8 jen o odhad, protože neuvažujeme další odpory a neuvažujeme ani s tím, že část tepla může být odváděna okolním prostředím.
13. Kinetická energie cyklisty s kolem je Ek =
14. Nejprve určíme teplo, které je třeba k ohřátí vody: Q = cm∆t = 4 200 · 3 · 80 J = 1 008 kJ. Q 1 008 · 103 Dále platí Q = mp · H · η, z čehož mp = = kg = 57 g. H ·η 44 · 106 · 0,4
15. Nejprve určíme teplo vzniklé hořením střelného prachu Q = mp H = 0,005 · 3,8 · 106 J = 19 kJ. Střela získá kinetickou energii Ek = 0,28Q = 0,28 · 19 · 103 J = 5 320 J. Rychlost střely v okamžiku, kdy vyletí rz hlavněrje pak dána vztahem 2Ek 2 · 5 320 v= = m · s−1 = 650 m · s−1 . ms 25 · 10−3 16. Nejprve určíme, jakou hmotnost má 5 litrů benzinu: m = 5 · 10−3 · 750 kg = 3,75 kg. Dále platí: mHη = P
s1 , v
3,75 · 46 · 106 · 0,22 · 25 mHηv = m = 47 km. P 20 · 103 Automobil k benzinové stanici nedojede.
z čehož s1 =
17. Velikost odporové síly je dána vztahem 1 1 Fo = C̺Sv 2 = · 0,36 · (1,6 · 1,5) · 1,25v 2 = 0,54v 2 . 2 2 Dále ještě určíme výhřevnost benzinu na litr: H1 = H · ̺, H1 = 46 MJ · kg−1 · 750 kg · m−3 = 3,45 · 1010 MJ · m−3 = 34,5 MJ · l−1 . F ·s Dále platí: V · H1 · η = Fo · s, z čehož V = o . η · H1 Nyní už můžeme spočítat spotřebu benzinu na 100 kilometrů pro různé rychlosti jízdy. 2 110 · 100 · 103 0,54 · 3,6 −1 Při v = 110 km · h : V1 = litru = 6,6 litru. 0,22 · 34,5 · 106 24
2 90 0,54 · · 100 · 103 3,6 −1 Při v = 90 km · h : V2 = litru = 4,5 litru. 0,22 · 34,5 · 106 2 120 · 100 · 103 0,54 · 3,6 litru = 7,9 litru. Při v = 120 km · h−1 : V3 = 0,22 · 34,5 · 106 2 120 0,54 · · 100 · 103 3,6 −1 Při v = 130 km · h : V4 = litru = 9,3 litru. 0,22 · 34,5 · 106
18. Při řešení použijeme vztahy ma = Ar · mu , mm = Mr · mu . Pro jednotlivé atomy nalezneme v tabulce prvků relativní atomové hmotnosti. Pro Fe: Ar = 56; Al: Ar = 27; C: Ar = 12. Hmotnosti atomů pak jsou Fe: ma = 56 · 1,66 · 10−27 kg = 9,3 · 10−26 kg; Al: ma = 4,5 · 10−26 kg; C: ma = 2,0 · 10−26 kg. Pro jednotlivé molekuly musíme nejprve určit jejich relativní molekulovou hmotnost Mr . H2 O: Mr = 2 · 1 + 16 = 18; mm = 18 · 1,66 · 10−27 kg = 3 · 10−26 kg. C2 H5 OH: Mr = 2 · 12 + 5 · 1 + 16 + 1 = 36; mm = 36 · 1,66 · 10−27 kg = 6 · 10−26 kg. CuSO4 : Mr = 64 + 32 + 4 · 16 = 160; mm = 160 · 1,66 · 10−27 kg = 27 · 10−26 kg. NH4 NO3 : Mr = 14 + 4 · 1 + 1 + 3 · 16 = 67; mm = 67 · 1,66 · 10−27 kg = 11 · 10−26 kg. NaCl: Mr = 23 + 35 = 58; mm = 58 · 1,66 · 10−27 kg = 10 · 10−26 kg. 19. Nejprve určíme počet atomů připadajících na jednu elementární buňku. Pro železo α jsou to 2 atomy (obr. 1), pro železo γ jsou to 4 atomy (obr. 2).
Obr. 1 Železo α
V MFCH tabulkách nalezneme hustotu železa při 20 ◦ C: ̺0 = = 7 860 kg · m3 a teplotní součinitel délkové roztažnosti pro železo α = 1,2 · 10−5 K−1 . S použitím vztahu pro teplotní objemovou roztažnost (β = 3α) můžeme psát V = V0 (1+β∆t), pro hustotu m platí vztah ̺ = . V
Obr. 2 Železo γ
Na základě těchto informací můžeme odhadnout hustotu železa při teplotě
25
7 860 kg · m−3 = 7 620 kg · m−3 . 1 + 3 · 1,2 · 10−5 · 890 Pro hustotu železa α platí vztah 2 · Mr · mu , ̺= a31 r r 2 · 55,847 · 1,66 · 10−27 3 2 · Mr · mu z čehož a1 = = 3 m = 0,290 nm. ̺ 7 860 Pro hustotu železa γ platí vztah 4 · Mr · mu , ̺= a32 r r 4 · 55,847 · 1,66 · 10−27 3 4 · Mr · mu z čehož a2 = = 3 m = 0,365 nm. ̺ 7 860 910 ◦ C, tj. ̺ =
20. Za normálních podmínek je hustota kyslíku O2 M 2 · 16 · 10−3 ̺01 = m = kg · m−3 = 1,43 kg · m−3 Vm 22,41 · 10−3 a hustota dusíku N2 2 · 14 · 10−3 M kg · m−3 = 1,25 kg · m−3 . ̺02 = m = Vm 22,41 · 10−3 Při tlaku p = 10−5 pa , teplotě t = 0 ◦ C, tj. 273,15 K platí pro 1 mol p pVm1 = RT , pa Vm = RT , z čehož Vm1 = a Vm = 105 · Vm . Protože se p molární objem Vm se při tlaku p = 10−5 pa při nezměněné teplotě 105 krát zvětší, hustoty obou plynů se 105 krát zmenší, tj. M M ̺1 = 5 m = 1,43 · 10−5 kg · m−3 , ̺2 = 5 m = 1,25 · 10−5 kg · m−3 . 10 · Vm 10 · Vm 21. Jeden člověk odpočítá za 70 let: 70 · 365, 25 · 86 400 · 100 = 2,2 · 1011 čás2,2 · 1011 3 m = 8,1 · 10−15 m3 . Bude-li tic. Tomu odpovídá objem V1 = 2,7 · 1025 odpočítávat 6 miliard lidí, bude tomu odpovídat objem V = 6 · 109 · 8,1 · 10−15 m3 = 5 · 10−5 m3 . 22. Nejprve určíme počet molekul v 10 litrech vzduchu. Využijeme poznatku, že jeden mol vzduchu je 22,4 litru, a že 1 mol vzduchu obsahuje NA = = 6,022 · 1023 částic. Počet molekul v 10 litrech vzduchu je tedy 10 N= · 6,022 · 1023 = 2,7 · 1023 . 22,4 Pokud bychom uvažovali zrnka písku na Sahaře v jedné vrstvě, pak se jich 5 · 1012 S = = 2,5 · 1019 zrnek písku. do jedné vrstvy vejde N1 = S1 p · (0,5 · 10−3 )2 4 Nyní stačí určit počet vrstev zrnek písku k na sobě, aby jich bylo tolik, kolik
26
N 2,7 · 1023 = = 10 800. Tomuto N1 2,5 · 1019 počtu vrstev odpovídá vrstva písku o výšce h = k ·d = 10 800·0,5·10−3 m = = 5,4 m. Tento údaj bychom mohli považovat za reálný, v některých místech pouště písečné duny dosahují do výšky až 110 m.
je molekul v 10 litrech vzduchu, tj. k =
23. Nejprve určíme délku kolejnice při teplotě 60 ◦ C, tj. l60 = 25 · (1 + 1,2 · 10−5 · 40) m = 25,012 m. Při této teplotě bude trať bez mezer. Ochladí-li se kolejnice vlivem nízké teploty v zimě na −30 ◦ C, dojde k jejich zkrácení o délku ∆l1 = 25,012 · 1,2 · 10−5 · 90 m = 2,7 cm. Z výše uvedených úvah vyplývá, že v létě mají dilatační mezery při teplotě 30 ◦ C délku ∆l2 = 25,012 · 1,2 · 10−5 · 30 m = 1 cm, v zimě jsou dilatační mezery při teplotě −30 ◦ C asi 3 cm. Lepší je tedy kvalita jízdy v létě. 24. ∆l = 200 · 1,7 · 10−5 · 30 = 10 cm. 25. Doba kmitu kyvadla závisí na jeho délce, která se s teplotou mění. U přesných kyvadlových hodin se proto od 18. století začaly používat různé způsoby, jak tyto změny kompenzovat. Jedna z možností byla vytvořit tzv. roštové kyvadlo (viz obrázek u zadání) s tyčemi z různých kovů značně rozdílné teplotní roztažnosti uspořádaných vedle sebe tak, aby se jejich roztažení vyrovnávala a celková účinná délka kyvadla s teplou neměnila (obvykle 4 mosazné a 5 železných tyčí) – bratři Harrisonové (1726). Jiný způsob bylo naplnění duté kyvadlové tyče rtutí. Jak hladina rtuti s rostoucí teplotou stoupala, poloha těžiště kyvadla se neměnila. Od konce 19. století se však místo složitých a nespolehlivých kompenzací přecházelo na materiály s nepatrnou teplotní roztažností. U kyvadel to byly například křemenné tyče a později ocelové slitiny s nepatrnou nebo žádnou roztažností (invar). Je třeba však ještě doplnit, že první pokusy tohoto druhu prováděli již bratři Harrisonové – výroba dřevěných hodinr(r. 1713). l a po zahřátí Pokud by mělo kyvadlo původně dobu kmitu T0 = 2p g by se délka r kyvadla prodloužila o 0,1%, pak doba kmitu po zahřátí bude √ T 1,001l = 1,001 = 1,000 5. Doba kmitu . Z toho pak platí, že T = 2p g T0 se zvětší o 0,05%. V přepočtu na jeden den to znamená, že zatímco kyvadlo před zahřátím vykoná za den 86 400 kmitů, kyvadlo po zahřátí vykoná 86 400 = 86 357 kmitů, tedy o 3 kmity méně. Pokud bychom uvažovali, o 1,000 5 že kyvadlo je vyrobeno z mosazi, nastal by zmiňovaný rozdíl 3 s za den při 0,001 teplotním rozdílu ∆t = = 53 ◦ C. 1,9 · 10−5 27
26. Nejprve odhadneme novou délku drátu vlivem vyšší teploty, tj. l = l0 (1 + α∆t) = 300(1 + 1,7 · 10−5 · 80) m = 300,4 m. 150 m
150,2 m
150 m
h
150,2 m
Obr. 3 K průhybu drátu elektrického vedení p Střed drátu tedy poklesne o h = 150,22 − 1502 m = 7,75 m. Drát poklesne asi o 8 metrů uprostřed mezi sloupy, tj. střed drátu bude ve výšce 7 metrů nad zemí. Chůze v létě pod vedením je z tohoto hlediska ještě bezpečná. Při poklesu teploty v zimě pod −30 ◦ C dojde v drátu ke vzniku tahového napětí, při hodně nízkých teplotách by mohlo dojít k přetržení drátu. 27. Nejprve určíme objem kanystru a benzinu po zvýšení teploty. Objem kanystru po zvýšení teploty V1 = V0 (1 + 3α∆t), V1 = 20 · (1 + 3 · 1,2 · 10−5 · 30) litru, V1 = 20,02 litru. Objem benzinu v kanystru po zvýšení teploty V2 = V0 (1 + β∆t), V2 = 20 · (1 + 1 · 10−3 · 30) litru, V2 = 20,6 litru. Do kanystru je třeba vzhledem k tepelným změnám nalít o ∆V = V2 − V1 = = 0,6 litru méně benzinu, aby nemohl po zahřátí vytékat. Přesto je ještě určitým způsobem kanystr zajištěn“. Na horní části kanystru je otvor za” končený trubicí (viz obr. vpravo). U benzinové pumpy při čerpání je zabezpečeno, že trubici nelze naplnit až po okraj. Při uzavírání kanystru je uzávěr utěsněn gumovým těsněním, které je pákou (která slouží zároveň jako držadlo) pevně přitlačeno k otvoru (viz obrázky kanystru v zadání i řešení). 28. Po zahřátí na teplotu 50 ◦ C má kolejnice délku l1 = 25(1 + 1,2 · 10−5 · 30) m = 25,009 m. Nyní určíme počet kolejnic potřebných k vytvoření jedné koleje na trase 164 km: 164 000/25,009 = 6 558. Při teplotě 0 ◦ C je délka kolejnice l2 = l1 (1 + α∆t) = 25,009 · [1 + 1,2 · 10−5 · (−50)] m = 24,994 m. Při teplotě 0 ◦ C je mezera mezi kolejnicemi 6 mm. Na mezery tedy připadá 6 558 · 0,006 m = 39,3 m, což je asi 0,02%. 28
r l 29. Při teplotě 10 ◦ C je doba kmitu T = 2p 0 , při teplotě t1 = 25 ◦ C je doba g r √ l0 (1 + α∆t) . 1 kmitu kyvadla T1 = 2p = T0 1 + α∆t = T0 (1 + α∆t). g 2 Pro dané hodnoty je 1 T1 = 1,000 + 1,000 · · 1,9 · 10−5 · 15 = (1,000 + 1,425 · 10−4 ) s. Denní 2 rozchod“ je (86 400 · 1,425 · 10−4 ) s = 12 s. ” 30. Označme indexem 1 železný pásek, indexem 2 měděný pásek. Pro rozdíl délek obou pásků platí ∆l = l1 − l2 = l01 (1 + α1 ∆t) − l02 (1 + α2 ∆t) = = l01 − l02 + (l01 α1 − l02 α2 )∆t. Má-li být rozdíl délek nezávislý na teplotě, musí být závorka ve výše uvedeném výrazu rovna nule, tj. l01 α1 − l02 α2 = 0. Potom platí ∆l = l01 − l02 a α zároveň l01 α1 −l02 α2 = 0. Ze druhé rovnice můžeme vyjádřit l02 = l01 1 . Po α2 ∆l = 51 cm, l02 = 36 cm. dosazení do vztahu pro ∆l dostaneme l01 = α 1− 1 α2 31. Označme h tloušťku každého z pásků (obr. 4). Cu Fe
R
α R− R+
h 2
h 2
Pro délky jednotlivých pásků v závislosti na teplotě platí: l1 = l0Cu (1 + αCu ∆t), l2 = l0Fe (1 + αFe ∆t); při určité teplotě t0 platí, že l0Cu = l0Fe , potom 1 + αCu ∆t l . Pro délky l1 , l2 také platí poměr 1 = l2 1 + αFe ∆t h (podle obr. 4): l1 = R + α, 2 h R+ l1 h 2 α, tj. = l2 = R − . 2 l2 h R− 2
Obr. 4 Bimetalový pásek l1 +1 l h Z tohoto vztahu můžeme vyjádřit R = 2 . l1 2 −1 l2 l1 1 + 1,7 · 10−5 · 400 l1 můžeme odhadnout jako = = 1 + 5 · 10−6 . Poměr l2 l2 1 + 1,2 · 10−5 · 400 29
1 + 5 · 10−6 + 1 2 · 10−3 · m = 400 m. 2 1 + 5 · 10−6 − 1 Praktické užití bimetalového pásku v praxi – např. jističe, termostaty, elektromagnetický přerušovač.
Po dosazení do vztahu pro R =
32. Při −30 ◦ C je zkrácení drátu o ∆l = l0 α∆t = 10 · 1,2 · 10−5 · 40 m = 4,8 mm. 4,8 · 10−3 ∆l = 2,1 · 1011 · Pa = V drátu vznikne tahové napětí σt = E · l0 10 = 100,8 MPa. Při −50 ◦ C se drát prodlouží o ∆l = l0 α∆t = 10 · 1,2 · 10−5 · 40 m = 4,8 mm. Vzhledem k tomuto prodloužení dojde k průhybu drátu p o 5,002 42 − 52 m = 15 cm.
33. Bezstykové kolejnice se zhotovují svařováním dlouhých kolejnicových pásů, které musí být pevně připevněny k pražcům. Účinky tepelných změn se projevují rozdílně ve třech jejích částech, a to v obou koncových částech a ve střední části kolejí. Střední část kolejnice zůstává při všech tepelných změnách nehybná, vliv tepelných změn se projeví pouze změnou napětí v kolejnici. Upínací teplota kolejnic je 20 ◦ C (tj. při této teplotě není v kolejnici žádné napětí). ∆l Platí σ = E · = E · α∆t = 2,1 · 1011 · 1,2 · 10−5 · 1 MPa = 2,52 MPa. Lze l0 tedy říci, že napětí v kolejnici naroste o 2,52 MPa při teplotní změně o 1 ◦ C. V létě tedy při teplotních změnách od 10 ◦ C do 30 ◦ C může napětí nabývat hodnot od 25,2 MPa (tahové) do 50,4 MPa (tlakové). Tlakové napětí může způsobit vybočení kolejí, tahová napětí zase naopak mohou způsobit lomy kolejnic. V koncových částech může kolejnice dilatovat za přemáhání odporu proti posunu konce a proti posunu na pražcích anebo s pražci. Proto je třeba, aby kolejnice měly dostatečně pevné podloží. 34. Při teplotě −20 ◦ C: 13 595 ̺0 kg · m−3 = 13 644 kg · m−3 . = ̺1 = 1 + β∆t 1 + 1,81 · 10−4 · (−20) Při teplotě 130 ◦ C: 13 595 ̺0 = kg · m−3 = 13 282 kg · m−3 . ̺1 = 1 + β∆t 1 + 1,81 · 10−4 · 130 Rtuťový barometr – se změnou teploty se mění objem rtuti, ale také tlak vzduchu, což se pak promítá na stupnici barometru. 35. Označme m0 hmotnost skleněné nádoby, m1 hmotnost nádoby naplněné rtutí při teplotě 0 ◦ C, m2 hmotnost nádoby naplněné rtutí při teplotě 40 ◦ C. Změna objemu skla V = V0 (1 + 3α∆t).
30
m1 − m0 m − m0 , V0 (1 + 3α∆t) = 2 . ̺1 ̺2 Pro hustotu platí ̺1 = ̺2 (1 + β∆t), m2 − m0 m − m0 = (1 + β∆t), z čehož po dosazení 1 V0 V0 (1 + 3α∆t) 1 m1 − m0 (1 + 3α∆t) − 1 . β= m2 − m0 ∆t Po dosazení 1,431 − 0,1 1 β = · (1 + 3 · 1 · 10−5 · 40) − 1 K−1 = 1,81 · 10−4 K−1 . 1,423 − 0,1 40 Tento údaj také odpovídá tabulkové hodnotě teplotní objemové roztažnosti rtuti. Nebudeme-li uvažovat teplotní roztažnost skla, potom m − m0 m − m0 = 2 , V = 1 ̺1 ̺2 dále také platí ̺1 = ̺2 (1 + β∆t). m − m0 ̺ , z čehož Porovnáním vztahů dostaneme 1 = 1 + β∆t = 1 ̺2 m2 − m0 m − m2 m − m0 −1= 1 , β∆t = 1 m2 − m0 m1 − m0 1,431 − 1,423 1 −1 m − m1 1 = · K = 1,5 · 10−4 K−1 . β= 2 m1 − m0 ∆t 1,431 − 0,1 40 Tato hodnota je jen přibližným odhadem – s teplotní roztažností skla je třeba uvažovat. Dále platí V0 =
36. Odhad hmotnosti atmosféry (ze znalosti atmosférického tlaku): p ·S 101 325 · 4p · (6378 · 103 )2 m= a = kg = 5,3 · 1018 kg. g 9,81 Má-li se zemská atmosféra ohřát o 1 ◦ C, pak je třeba dodat teplo Q = cp m∆t = 1 005 · 5,3 · 1018 · 1 J = 5,3 · 1021 J. Kdyby Země pohltila veškeré teplo ze slunečního záření během jednoho dne dostaneme teplo Q1 = 1370 · p · (6 387 · 103 )2 · 86 400 J = 1,51 · 1022 J, což je asi třikrát více. Za jeden rok by to bylo Q365 = 365 · Q1 = 5,52 · 1024 J, což je asi tisíckrát více. 37. V zimě při teplotě t = −20 ◦ C je počet otáček 116 000 s = = 36 933. n1 = pd0 (1 + α∆t1 ) p · 1 · (1 + 1,2 · 10−5 · (−20) ◦ V létě při teplotě t = 25 C je počet otáček 116 000 s = 36 913. = n1 = pd0 (1 + α∆t2 ) p · 1 · (1 + 1,2 · 10−5 · 25 V létě je menší počet otáček na stejném úseku než v zimě – větší průměr kola v létě. ∆n = n1 − n2 = 20. 31
38. Tlak na koncích tyče je dán vztahem: p = σ = z čehož ∆t =
F l α∆t ∆l =E· 0 , =E· S l0 l0
5 · 106 p ◦ = C = 2 ◦ C. Eα 2,1 · 1011 · 1,2 · 10−5
39. Při stejném průřezu skleněné kapiláry platí: V = V0 (1 + β∆t), tj. Sh = Sh0 (1 + β∆t), h = h0 (1 + β∆t). Označme indexem 1 rtuť, indexem 2 líh. Při teplotě 0 ◦ C platí h1 = h2 = h0 , tj. obě stupnice jsou nastaveny na stejnou výšku. Při teplotě 50 ◦ C platí h1 = h0 (1 + 0,18 · 10−3 · 50) = 1,009 h0 , h2 = h0 (1 + 1,1 · 10−3 · 50) = 1,055 h0 . Při teplotě 100 ◦ C platí h1 = h0 (1 + 0,18 · 10−3 · 100) = 1,018 h0 , h2 = h0 (1 + 1,1 · 10−3 · 100) = 1,110 h0 . Obě stupnice jsou vůči sobě posunuty, nemají stejně velké dílky, a proto ani značka pro 50 ◦ C není ve stejné výšce. 40. Když je ∆t = 1 ◦ C, je ∆h = 1 mm. ∆V = V0 β∆t, S∆h = V0 β∆t, 2 · 10−6 · 1,8 · 10−4 · 1 2 V β∆t = m = 3,6 · 10−7 m2 . z čehož S = 0 ∆h r 1 · 10−3 r 4S 4 · 3,6 · 10−7 Potom d = = m = 0,7 mm. p p 41. Nejprve zjistíme, zda se drát nepřetrhne. 10 · 9,81 mg = Pa = 31,2 MPa < σPt . Napětí σ = pd2 p · (2 · 10−3 )2 4 4 Prodloužení drátu pak odhadneme užitím Hookova zákona: 31,2 · 106 · 3 σ · l0 m = 0,5 mm. = ∆l = E 2,1 · 1011 α
l0
∆h
Obr. 5 Závaží po vychýlení
Při průchodu rovnovážnou polohou odhadneme velikost síly, kterou je napínán drát v2 . Rychlost v, kterou závaží F = m g+ l0 prochází rovnovážnou polohou určíme užitím zákona zachování mechanické energie: 1 mv 2 = mg∆h, 2 √ z čehož v = 2g∆h, kde h = (1 − cos α)l0 (obr. 5).
Po dosazení do vztahu pro F dostaneme 32
F = mg(3 − 2 cos α) = 10 · 9,81 · (3 − 2 cos 60◦ ) N = 197 N. 197 Tato síla vyvolá v drátu napětí σ′ = Pa = 62,7 MPa < σPt . p · (2 · 10−3 )2 4 Drát se ani při tomto napětí nepřetrhne. Obdobně jako v případě volně zavěšeného závaží zjistíme prodloužení drátu 62,7 · 106 · 3 σ ′ · l0 = m = 0,9 mm. ∆l′ = E 2,1 · 1011
42. Budeme postupovat obdobně jako v příkladu 26. Při teplotě 0 ◦ C se drát prodlouží na délku l1 = 500(1 + 1,7 · 10−5 · 20) m = 500,2 m. Při teplotě 30 ◦ C se drát prodlouží na délku l2 = 500(1 + 1,7 · 10−5 · 50) m = 500,4 m. Při teplotě −40 ◦ C se drát zkrátí na délku l3 = 500(1 + 1,7 · 10−5 · (−20)) m = 499,8 p m. ◦ Při teplotě 0 C je průhyb y1 drátu: y1 = p250,12 − 2502 m = 7 m. Při teplotě 30 ◦ C je průhyb y2 drátu: y2 = 250,22 − 2502 m = 10 m. Při teplotě −40 ◦ C vznikne v drátu napětí: 500,0 − 499,8 l − l3 = 1,25 · 1011 MPa = 42,5 MPa. σ=E· 0 l0 500,0 43. Nejprve odhadneme hmotnost ledu na rybníku: m = ̺ · V = 920 · (2,5 · 104 · 0,2 kg = 4,6 · 106 kg. Podle zadání můžeme uvažovat, že tání probíhá při teplotě 0 ◦ C. K rozmrznutí ledu je tedy třeba teplo Q = m · lt = 4,6 · 106 · 334 · 103 J = 1,54 · 1012 J. 44. Označme indexem 1 údaje pro pivo, indexem 2 údaje pro ohříváček. Napíšeme kalorimetrickou rovnici: c1 m1 (t − t1 ) = c2 m2 (t2 − t), kde budeme . uvažovat, že c1 = c2 . Pak můžeme vyjádřit neznámou t: m t + m2 t2 0,5 · 8 + 0,01 · 90 ◦ t= 1 1 = C = 9,6 ◦ C. m1 + m2 0,5 + 0,01 45. Označíme indexem 1 vodu, indexem 2 led. Platí c1 m1 (t1 −t) = m2 ll +c1 m2 (t−tt ), z čehož t =
c1 m1 t1 − m2 lt + c1 m2 tt . c1 (m1 + m2 )
Pro dané hodnoty: 4 200 · 1,8 · 24 − 0,2 · 334 · 103 + 4 200 · 0,2 · 0 ◦ t= C = 13,6 ◦ C. 4 200 · (1,8 + 0,2
46. Na základě údajů na internetu můžeme odhadnout, že láva vytéká s teplotou 1 000 ◦C. Někdy se říká, že ztuhlá láva vypadá jako sklo. Učiňme tedy odhad jako kdyby to bylo sklo. Pro sklo můžeme nalézt v tabulkách údaje: hustota ̺1 = 2 600 kg · m−3 , měrná tepelná kapacita c1 = 1 000 J · kg−1 · K−1 . 33
Dále víme, že sklo je amorfní látka, tzn. že při tuhnutí skla se nepočítá se skupenským teplem. Pro led je možno nalézt údaje: c2 = 2 100 J · kg−1 · K−1 , lt = 334 kJ · kg−1 , tt = 0 ◦ C. Dále jsou zadány údaje: objem lávy V1 = 0,50 km3 , původní teplota ledu t2 = −10 ◦ C. Po té, co se led přemění ve vodu téže hmotnosti potřebujeme ještě znát měrné skupenské teplo tání vody: c3 = 4 200 J · kg−1 · K−1 . Teplotu na konci děje odhadneme na 30 ◦ C (nehraje při našem odhadu až tak nejpodstatnější roli, mnohem podstatnější roli hraje skupenské teplo). Nejprve odhadneme hmotnost lávy: m1 = 0,5 · 109 · 2 600 kg = 1,3 · 1012 kg. Nyní už můžeme napsat rovnici tepelné výměny: c1 m1 (t1 − t) = c2 m2 (tt − t2 ) + m2 lt + c3 m2 (t − tt ). Z této rovnice pak odhadneme hmotnost roztátého ledu m2 : c1 m1 (t1 − t) , m2 = c2 (tt − t2 ) + lt + c3 (t − tt ) 12 1 000 · 1,3 · 10 · 970 m2 = kg = 2,6 · 1012 kg. 2 100 · 10 + 334 · 103 + 4 200 · 30 2,6 · 1012 3 m = 2,8 · 109 m3 = 2,8 km3 . Tomu odpovídá objem V2 = 920 Roztají asi 3 km3 ledu. Poznámka 1. To je však jen přibližný odhad, protože děj probíhá ve skutečnosti velmi rychle a část vody u povrchu se vlivem teploty lávy vypaří. 2. Odhad, že se vše ustálí na teplotě 30 ◦ C je také jen velmi přibližný; v celkovém odhadu nehraje až tak velkou roli (můžete vyzkoušet pro různé teploty); nejvíce tepla z tuhnoucí lávy se spotřebuje na roztátí ledu. 47. Odhad tepelného výkonu pračlověka (budeme uvažovat tepelnou výměnu vedením a zářením). Teplo při výměně vedením odhadneme tak, že v okolí pračlověka dochází k tepelné výměně vedením asi do vzdálenosti 0,5 m od těla. Pak můžeme napsat, že 1,5 S · (37 − 7) W = 2,2 W. P1 = Qτ = λ (t2 − t1 ) = 24,28 · d 0,5 Kdybychom uvažovali, že pračlověk vyzařuje jako absolutně černé těleso, můžeme pro výkon zářením psát: P2 = σ(T24 − T14 )S = 5,67 · 10−8 · (3104 − 2804 ) · 1,5 W = 263 W. Vliv tepelného výkonu vedením lze oproti záření zanedbat. Tepelný výkon pračlověka byl asi 260 W, za hodinu by takto nahý pračlověk předal svému okolí teplo Q = 260 · 3 600 J = 936 MJ. Proto musel začít nosit oblečení, aby snížil své tepelné ztráty“ a doplňovat ztracenou energii potravou. ”
34
Literatura [1] MIKULČÁK, J. a kol.: MFCh tabulky pro střední školy 4. vydání. Praha: Prometheus, 2009. [2] MIKULČÁK, J. a kol.: MFCh tabulky a vzorce pro střední školy 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. [3] Wikipedia, free encyclopedia: <www.wikipedia.org>, anglická verse
Zdroje obrázků
35
˜
36
