TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM 1)

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM 1)

METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU

Zpracoval prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové

HRADEC KRÁLOVÉ 2010

FYZIKÁLNÍ ÚLOHY (ŘEŠENÉ KVALIFIKOVANÝM ODHADEM 1) METODICKÝ MATERIÁL PRO UČITELE FYZIKY K PRÁCI SE ŽÁKY ZÁKLADNÍCH A STŘEDNÍCH ŠKOL, TALENTOVANÝMI PRO FYZIKU Zpracoval: prof. RNDr. Ivo Volf, CSc., Univerzita Hradec Králové Technická redakce a řešení úloh: PhDr. Miroslava Jarešová, Ph.D. HRADEC KRÁLOVÉ 2010

Obsah Úvod 1 Zadání příkladů Příklad 1 – Jak těžký je vzduch ve třídě? . . . . . . . . . . Příklad 2 – Jak se mění tlak vzduchu s výškou? . . . . . . . Příklad 3 – Jak by musela být vysoká přehradní hráz? . . . Příklad 4 – Jaká spotřeba uhlí v tepelné elektrárně? . . . . Příklad 5 – Kde se nachází polárník? . . . . . . . . . . . . . Příklad 6 – Kam se dostanou polárníci? . . . . . . . . . . . Příklad 7 – Malá vodní elektrárna. . . . . . . . . . . . . . . Příklad 8 – Střední tepelná elektrárna Chvaletice. . . . . . . Příklad 9 – Jaderná elektrárna nepotřebuje uhlí. . . . . . . Příklad 10 – Fotovoltaické elektrárny. . . . . . . . . . . . . . Příklad 11 – Velká vodní díla ve světě. . . . . . . . . . . . . Příklad 12 – Velké vodní dílo Jižní Ameriky. . . . . . . . . . Příklad 13 – Taková velká řeka. . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 14 – Odhadněte hmotnost zemské atmosféry. . . . . Příklad 15 – Kdyby se zemská gravitace zvětšila . . . . . . . . Příklad 16 – Kolik máme vlasů na hlavě? . . . . . . . . . . Příklad 17 – Tolik krystalků? . . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 18 – Driblování až do knihy rekordů. . . . . . . . . Příklad 19 – Nebezpečná povodí řek. . . . . . . . . . . . . . Příklad 20 – Spotřeba benzinu. . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 21 – Cyril jezdí na kole. . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 22 – Automobil na dálnici. . . . . . . . . . . . . . . Příklad 23 – Cyklista jede po vodorovné silnici. . . . . . . . Příklad 24 – Seskok padákem. . . . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 25 – Nehýříme zbytečně? . . . . . . . . . . . . . . . Příklad 26 – Hustota kostkového cukru. . . . . . . . . . . . Příklad 27 – Papír na kopírování nebo do tiskárny. . . . . . Příklad 28 – Jak daleko je vidět 1? . . . . . . . . . . . . . . Příklad 29 – Jak daleko je vidět 2? . . . . . . . . . . . . . . Příklad 30 – Maximální rychlost cyklisty při jízdě po rovině. Příklad 31 – Maximální rychlost lyžaře při jízdě po svahu. . Příklad 32 – Zatlačujeme připínáček do dřevěné desky. . . . Příklad 33 – Skleněné okno batyskafu. . . . . . . . . . . . . Příklad 34 – Bezpečná vzdálenost. . . . . . . . . . . . . . . Příklad 35 – Dva trambusy se předjíždějí. . . . . . . . . . . Příklad 36 – Skok do výšky. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 21 22 22 22 23 23 23 24 24

Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad Příklad

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

– – – – – – – – – – – – – – –

Padající rampouch. . . . . . . . . . . . . . . Jak vysoká může být zeď? . . . . . . . . . . . Lavina sněhu. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sníh na střeše. . . . . . . . . . . . . . . . . . Na zimní olympijské hry do Vancouveru! . . Výzkum pohybu plastové lahve po nakloněné Vozidla nákladní dopravy. . . . . . . . . . . . Závodní automobily. . . . . . . . . . . . . . . Jízda rychlíku. . . . . . . . . . . . . . . . . . Nákladní vlak. . . . . . . . . . . . . . . . . . Trámy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientační závod. . . . . . . . . . . . . . . . Eurotunel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vodovodní potrubí. . . . . . . . . . . . . . . Reakční doba. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . rovině. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 31 31 31

2 Řešení příkladů

32

Literatura

46

Zdroje obrázků

47

4

Úvod Fyzika nepatří v posledních letech mezi oblíbené školní vyučovací předměty. Jak je všeobecně známo, žáci se obávají nejen obtížných částí z výuky, ale především řešení složitějších fyzikálních problémů. Na druhé straně je třeba si uvědomit, že výsledky a aplikace fyzikálního poznání jsou v současnosti rozšířeny nejen po celém světě, ale ve všech oblastech lidské činnosti. Opravdu není dneska možné najít zaměstnání, profesi nebo činnost, kde by se fyzika, ať ve své přirozené podstatě nebo v různých způsobech použití, neobjevila. Na druhé straně vědí zkušení učitelé fyziky, že umět fyziku“ neznamená ” naučit se fyzikální poučky a vzorce nazpaměť, ale že je třeba ukázat při řešení konkrétních a reálných problémů, jak toto fyzikální poznání řešitel dovede použít. Proto je prověrka znalosti fyzikálních poznatků prováděna ve velké většině případů pomoci řešení fyzikálních úloh. Školní učební úloha je reálný problém, který je upraven do jednoduché podoby tak, aby mohl sloužit v některé části vyučování fyziky. Jde tedy vždycky o určité zjednodušení reálné situace, nebo jak často říkáme – o řešení problému v modelové situaci. K tomu, aby řešitel přijal určitý problém za svůj, tedy aby ho řešení problému lákalo, musí se dostat do tzv. problémové situace. Podle psychologů se to může stát tak, že předložené problémy lákají řešitele svou novostí (řešitel se s danou situací ještě nesetkal a proto by chtěl problém vyřešit), nebo svou obtížností (řešitel chce zkusit své vědomosti a dovednosti, zda stačí na vyřešení problému), popř. v procesu řešení se dostává do uzlových bodů řešení, v nichž je třeba, aby se správně rozhodl a postupoval tak ke správnému výsledku svého snažení. Tak je před něho předložen problém jako neodbytná úloha, jejíž řešení nemůže přesunout na jinou osobu, ale musí mobilizovat své myšlení, přičemž je nucen použít určitou strategii, kterou si v procesu řešení modifikuje, a to podle zaměření či obtížnosti zadaného problému. Velmi důležité je to zejména pro žáky, kteří jsou obdařeni jistou dávkou tvořivosti v daném oboru, nebo alespoň projevují zvýšený zájem takové úlohy řešit. Strategii řešení náročnějších problémů je možno stručně formulovat: 1. Formulace problému – řešitel se musí orientovat v textovém či jiném zadání úlohy, umět zařadit problém do kontextu svého dřívějšího poznání a uvědomit si, co se vlastně při řešení problému po něm bude vyžadovat“. ” 2. Analýza podmínek – řešitel si musí uvědomit, jaké podmínky byly vysloveny před řešením v textu úlohy, co je mu o dané problematice známo a co musí ještě zjistit, aby jeho řešení bylo úspěšné. S tím je spojena nejen analýza textu úlohy, ale musí analyzovat i své předchozí poznání (vědomosti a dovednosti) a zjistit, zda budou postačující k tomu, že úlohu dovede zdárně k výsledku. 5

3. Výsledkem analýzy podmínek je potom formulace hypotézy o řešení. Tu je třeba nejprve teoreticky zdůvodnit na základě existujícího předchozího poznání nebo je nutno získat další poznatky ve prospěch platnosti této hypotézy nebo i proti ní. Někdy se stává, že pro řešení budeme formulovat několik hypotéz. 4. Po teoretickém zdůvodnění vybere řešitel jednu z hypotéz, většinou tu, která se mu zdá nejvíce věrohodná, a procesem řešení se musí přesvědčit o tom, že tato hypotéza je oprávněná. Tím vznikne jedno z platných řešení nebo se ukáže, že jsme udělali chybu v teoretickém zdůvodňování, popř. že naše hypotéza pro dané podmínky není použitelná. Poté je třeba ověřit, zda těchto správných hypotéz nebude více a přesvědčit se o platnosti každé z nich. 5. Na závěr je nutno formulovat výsledek procesu řešení – zopakovat podmínky zadané v textu úlohy (popř. v jinak formulovaném zadání problému), uvést navrhované hypotézy a teoreticky je zdůvodnit, poté ověřit platnost těchto hypotéz a provést celkovou diskusi řešitelnosti zadaného problému. Tento postup se používá (vědomě či nevědomě) jako strategie u každé obtížnější fyzikální úlohy. Nejmarkantnější je to při řešení úloh v různých kategoriích Fyzikální olympiády. Zadavatelé úloh pro tuto fyzikální soutěž se snaží, aby nejen předkládali soutěžícím zajímavé a obtížné úlohy, ale současně je vedli ke správnému postupu při řešení - Fyzikální olympiáda totiž je nejenom soutěž v řešení, ale také systém práce se žáky, talentovanými pro fyziku. Pro žáky talentované je možno (nebo snad i nutno) uvedené schéma strategie řešení obtížnějších fyzikálních úloh poněkud modifikovat. Vezměme to hned z počátku: Při formulaci daného problému k řešení se snažíme jádro problému co nejvíce obalit zajímavým materiálem, aby se na první pohled nedalo zjistit, jaké vzorce“ a jaké fyzikální poznatky“ bude nutno pro řešení použít. Také ” ” text bývá někdy neúplný, aby řešitel byl nucen si řadu věcí sám domýšlet, aby musel řadu informací dohledávat, používat vhodné obrázky nejen jako ilustraci pro základní představu, ale také se pokusil nalézt prvotní představu o možném řešení. Tím vzniká jakási děravá informace“, o jejíž postupné doplňování se ” musí řešitel snažit. V rámci analýzy podmínek opět není vhodné, aby všechny informace byly v textu explicitně uvedeny. Daleko účinnější jsou náznaky, které vedou řešitele k promyšlení situace a k samostatnému rozhodování, zda udané informace jsou postačující pro smysluplné řešení, nebo zda bude nutno vytvářet postupné modely řešené situace, a s tím spojená více či méně přesná a reálná řešení. Tomu pak odpovídají i zvolené hypotézy, jejich zdůvodňování a ověřování. 6

Nejdůležitějším na procesu řešení fyzikálních úloh je závěrečný protokol o řešení obsahující: výchozí text, zdůraznění podstatných podmínek, využití užitých fyzikálních poznatků a s nimi spojených dovedností, samozřejmě i možnost využití matematických metod řešení, popř. nacházení metod jiných, jež odpovídají stavu matematického poznání řešitele. Matematické dovednosti řešitele mohou být značným omezením při řešení fyzikálních problémů - tak se i velmi jednoduchá úloha, jako je průhyb drátu, na němž je zavěšena lampa na ulici, může stát úlohou neřešitelnou. Jindy je zase řešení skryto v dosti složité diferenciální rovnici, jejíž řešení je nedostupné řešiteli ze základní nebo střední školy. Podle toho musíme zvolit jednodušší modelovou situaci, jež nepopisuje dostatečně přesně podmínky a jevy a k níž vytvořené řešení nedává dostatečně přesný výsledek. Velmi nadějné jsou úlohy, které dokážeme vyřešit kvalifikovaným odhadem. V takových úlohách je podtržena fyzikální stránka, řešitel si může volit nebo si musí vyhledat potřebné údaje k vytvoření odpovědného modelu situace, s nímž potom dospívá k výsledku. Takové úlohy se vyskytují ve školském prostředí velmi zřídka, jsou však potřebné při práci s talenty. Úkolem naší statě je uvést několik desítek fyzikálních situací, které nám dávají možnost formulace fyzikálních úloh, jež budeme řešit kvalifikovaným odhadem. Mohli bychom provést určité třídění těchto úloh podle obsahu nebo podle použitých metod řešení. Tím bychom však mnohdy naznačili i cestu, jak takové úlohy řešit. Proto jsme zvolili cestu náhodného rovnání takových úloh. Texty úloh jsou zpravidla velmi stručné, ve většině případů jsou v nich přesně formulovány úkoly nebo otázky, jež je potřebné řešit nebo zodpovědět. Současně však mají tyto úlohy společný rys v tom, že soustavy podmínek pro řešení těchto úloh nejsou úplné, takže bez dodatečných informací není možno problémy řešit. Učitelé, pro něž byl tento materiál vytvořen, by pravděpodobně uvítali i podrobné řešení zadaných problémů. Zdá se nám však, že daleko účinnější pro vlastní tvořivý přístup učitele (= zadavatele problému žákovi) bude, když uvedeme pouze návod k řešení. Američtí psychologové, kteří se zabývali problematikou psychologie produktivního myšlení (např. Duncker, Wertheimer aj.) dospěli na základě mnohaletých pedagogických experimentů k tomu, že daleko účinnější než sdělení správného postupu a výsledku řešení, je naznačit cestu, po které by se řešitel měl ubírat, aby ke správnému řešení dospěl sám. Proto jsme se rozhodli, že v první části této stati uvedeme jen návody k řešení. Zdá se nám, že v jednoduchých případech, jež souvisejí s řešením těchto úloh, by měl zadavatel být schopen dospět samostatnou cestou (třeba i na základě použití návodu) ke správnému výsledku. Jsme toho názoru, že kdo pracuje s talentovaným žákem, by měl být schopen samostatně řešit úlohy, které takovému

7

žákovi k řešení dává sám. Přesto jsou v druhé části této publikace uvedena úplná řešení, kam by bylo možno v nejnutnějších případech nahlédnout. Na úspěšném řešení fyzikálních úloh se podílí několik věcí. Především by měl řešitel alespoň dobře, ne-li výborně ovládat teoretický základ, který je spojen s problematikou předložené úlohy. Někdy se musí řešitel pustit do řešení takového problému, o němž nemá dostatek informací. Proto ruku v ruce s řešením nastupuje postupné doplňování teoretických informací, což se stává zdrojem pro neustálé studium. Ne však každá předložená úloha řešitele natolik zajímá, že se mu podaří aktivizovat svou myšlenkovou činnost. Problém se musí z psychologického hlediska stát tzv. problémovou situací. To se může stát, když na řešení úlohy bude řešitel životně závislý (ve Vernově románu Tajuplný ostrov museli zjistit trosečníci zeměpisné souřadnice, aby co nejpřesněji zjistili, kde jejich balón přistál; potřebovali oheň, ale neměli zápalky aj). Pochopitelně důležité je to, že úloha uvádí problém, který je v oblasti zájmu řešitele. Myšlenkovou činnost zahajují i problémy obtížné, které nelze řešit návykovými operacemi, ale vyžadují použití nových postupů. Ukazuje se, že řešitele může zajímat i takový problém, který popisuje činnost jiných osob, a daný řešitel se rozhodne prozkoumat, zda jejich řešení odpovídá realitě. Velmi důležitým pohledem na řešení problémů je i jejich modelový charakter. Téměř žádnou situaci nelze řešit v té šíři a v té hloubce, jak ji nacházíme v realitě. Vždy musíme na základě analýzy podmínek a zjištěných faktů řešený problém zjednodušit a tak postupně vytvořit situaci modelovou. Modelování je principem, který zejména ve fyzice využíváme nejčastěji, ale vyskytuje se v podstatě ve všech druzích lidské činnosti. V rámci řešení fyzikálních úloh se pak setkáváme s různými druhy popisu reality, jež vedou k užitečnému modelování a řešení problémů. Nejprve musíme pochopit, oč v dané úloze jde, musíme rozlišit dané a hledané údaje a vyjasnit si, co je otázkou, na kterou máme odpovědět. Potom je třeba, aby se řešitel pokusil nahradit popis vyjádřený obecným jazykem exaktnějším přístupem tak, že začne využívat odborného fyzikálního jazyka. Přitom už musí provádět jistá zjednodušení, neboť např. reálnou jízdu lyžaře z kopce musí nahradit pohybem po nakloněné rovině se stálým úhlem sklonu. Zjednodušení odpovídá znalostem i dovednostem, které řešitel již má, ale také míře zjednodušení, které chce připustit. Při analýze podmínek se stává, že některé z podstatných vstupních podmínek chybí, a tak je třeba od odborných pojmů přejít ke zjišťování údajů, tedy k fyzikálním veličinám. Na to navazuje postupné vytvoření matematického modelu, kdy se pracuje se značkami fyzikálních veličin stejně jako s písmeny v algebře, konstruují se grafy, které snadněji znázorňují funkční závislosti nebo umožňují rychlejší nebo snadnější cestu k získání výsledků matematických operací.

8

Výsledkem vhodného modelování je hypotéza, odpovídající úrovni modelované situace a užitým metodám řešení. Hypotézu je nutno teoreticky posoudit a prakticky ověřit, a nakonec sestavit odpověď na otázku zadanou v úloze; odpověď potom obsahuje vždycky nejen výchozí fakta, ale také popis zvoleného modelu, tedy za jakých podmínek se řešitel pokusil o řešení problému. Na to pochopitelně musí navázat nejen diskuse řešení, ale také úvaha, k jakým výsledkům by bylo možno dospět v případě, že by se provedlo jiné zjednodušení a zvolil jiný model řešení. Z metodických důvodů jsou uvedené texty úloh zadávány běžným písmem, ale doplňující informace a návody k řešení jsou připisovány kurzívou. Obsahově vytváří soubor zadaných úloh volnou strukturu, která může být postupně doplňována.

9

1

Zadání příkladů

Příklad 1 – Jak těžký je vzduch ve třídě? Odhadněte, zda unese patnáctiletý žák vzduch, který se nachází v učebně rozměrů 7,2 m × 6,0 m × 2,8 m. Návod k řešení: Vypočtěte tíhu vzduchu užitím vztahu G = m · g = ̺ · V · g, kde ̺ = 1,2 kg · m−3 je hustota vzduchu v učebně, V je objem vzduchu v učebně (kvádr). Příklad 2 – Jak se mění tlak vzduchu s výškou? V hustých vrstvách atmosféry klesá tlak v závislosti na nadmořské výšce tak, že každých 5 500 m klesne na polovinu předcházející hodnoty. Odhadněte, jaká bude hodnota tlaku vzduchu ve výšce, kde létají mezikontinetální letadla, jaká je hodnota tlaku na střeše světa“ a na ” Sněžce. K řešení si načrtněte příslušný graf. Návod k řešení: Nejprve načrtněte graf závislosti tlaku p(h). Mezikontinentální letadla např. Boeing létají ve výšce 11 km. Údaje o nadmořské výšce Mt. Everestu a Sněžky nalezněte v zeměpisném atlase nebo na internetu. Příklad 3 – Jak by musela být vysoká přehradní hráz? Odhadněte, jak vysoká by musela být přehradní hráz na horním Labi, aby elektrárna tam postavená při průtoku 10 m3 · s−1 byla schopna nahradit tepelnou elektrárnu v Opatovicích? Návod k řešení: Podle internetových zdrojů má Opatovická tepelná elektrárna instalovaný výkon přibližně 350 MW. 10

Kdyby na horním Labi měla přehrada výšku hráze 100 m, pak při průtoku 10 m3 · s−1 a g = 10 m · s−2 by elektrárna měla výkon asi 10 MW (při 100% účinnosti). Na základě těchto údajů je již možné odhadnout výšku přehradní hráze. Příklad 4 – Jaká je spotřeba uhlí v tepelné elektrárně? Odhadněte denní (roční) spotřebu málo-kvalitního hnědého uhlí, kterého se využívá v Opatovické elektrárně při výrobě páry. Návod k řešení: Méně kvalitní hnědé uhlí má výhřevnost 12 MJ · kg−1 . Tepelné elektrárny mají koeficient využití asi 60% (tj. z celkové doby možné činnosti, což je za rok 8766 hodin, je zpravidla elektrárna v činnosti jen 5260 h). Účinnost tepelných elektráren je asi 36% = 0,36. Instalovaný výkon tepelné elektrárny Opatovice je 350 MW. Na základě těchto údajů je již možné provést přibližný odhad. Příklad 5 – Kde se nachází polárník? Polárníci vyšli ze základního tábora na běžkách a vydali se přesně 10 km na jih, poté 10 km na východ a nakonec 10 km na sever. Pak se zastavili a přemýšleli, jak daleko jim zbývá urazit zpět do tábora. Odhadněte, kolik museli ještě urazit, aby se vrátili zpět. Návod k řešení: Nejprve odhadněte, kde se polárník nachází: zřejmě bude asi nedaleko severního pólu. Vyjde směrem poledníku k jihu, potom se dá po rovnoběžce k východu do vzdálenosti 10 km a nakonec postupuje směrem k severnímu pólu po poledníku po trase 10 km. Nakreslíme-li si pohled z místa nad severním pólem, budou vidět rovnoběžky jako soustředné kružnice.

11

Příklad 6 – Kam se dostanou polárníci? Polárníci vyrazili ze základního tábora a drží směr přesně na východ. Podruhé vyrazili přesně na sever. Potřetí se polárníci vydali přesně na severovýchod. Odhadněte, kam polárníci dorazí, půjdou-li vyznačeným směrem dostatečně dlouho. Návod k řešení: K řešení problému doporučujeme nakreslit si mapku. Na mapce jakoby z bodu na zemské ose vyznačíme krajinu do vzdálenosti např. 50 km od severního pólu. V mapce vyznačíme rovnoběžky a poledníky (není nutno tyto útvary číselně označovat, určují nám vyznačený směr). Půjdou-li polárníci směrem východním, nejsou ve své cestě omezováni. Půjdou-li směrem severním, potom mohou dorazit na severní zeměpisný pól, ale pak by se museli vydat směrem jižním. Nejobtížnější bude odhad, jak to bude vypadat, půjdou-li směrem severovýchodním, tj. pod úhlem 45◦ jak k rovnoběžce, tak k poledníku. To si vyznačte v mapce a ta vás povede ke správnému výsledku. Příklad 7 – Malá vodní elektrárna. Přehradní hráz labské vodní elektrárny Les Království (Tešnovská přehrada) má výšku asi 40 m a průměrný objemový tok vody je 8,0 m3 · s−1 . Odhadněte, jaký by měl být průměrný zisk této elektrárny, vyjádřený výkonem? Ve skutečnosti je však výkon elektrárny 2,12 MW. Kolik rozsvítí žárovek výkonu 100 W? Kolik šedesátek nebo čtyřicítek? Kolik vody protéká každou sekundu turbínami? Návod k řešení: Text uvádí několik úloh, spojených stejným tématem malé vodní elektrárny. Odhadovaný výkon stanovíme na základě změny potenciální energie. Objemový průtok vody odhadněte za předpokladu, že účinnost elektrárny je stoprocentní.

12

Příklad 8 – Střední tepelná elektrárna Chvaletice. Chvaletická elektrárna má instalovaný výkon 800 MW a teplo získává na základě spalování hnědého uhlí, dováženého ze severních Čech. Když uvážíte stejné podmínky jako v úloze 4, odhadněte denní spotřebu uhlí ve Chvaleticích. Zde se však uhlí dováží po vodním roku Labe, a to v nákladních lodích, jejichž délka je 70 m, šířka 8 m a změna ponoru vlivem nákladu je 1,8 m. Kolik uhlí se vejde do tohoto remorkéru? Odhadněte, jaké problémy mohou nastat v zimě nebo v létě. Návod k řešení: Použijte stejného principu řešení jako v příkladu 4, jen výkon elektrárny je vyšší, denní spotřeba by vám měla vyjít 16 000 t, tj. muselo by přijet 400 vagónů denně. Náklad lodě stanovte ze změny objemu ponořené části lodě. Příklad 9 – Jaderná elektrárna nepotřebuje uhlí. Jaderná elektrárna Temelín má instalovaný výkon 2000 MW; do turbin proudí pára získaná na úkor jaderné energetiky. Odhadněte, kolik paliva – hnědého uhlí o výhřevnosti 12 MJ · kg−1 při účinnosti tepelných elektráren 36% se ušetří denně (ročně) tím, že jaderná elektrárna bude nepřetržitě v činnosti (ve skutečnosti je součinitel využití jaderných elektráren 0,90). Návod k řešení: Na jedné straně se lidé jaderné energetiky obávají, neboť lidstvo má několik neblahých zkušeností (elektrárna v Černobylu aj.), na druhé straně tyto elektrárny mnohem méně zatěžují životní prostředí. Podle našich již dosti rutinních výpočtů stanovíme, že elektrárna denně ušetří 40 000 t uhlí, což představuje 1 000 vagónů s uhlím, ročně je to pak 14,5 miliónu tun uhlí. Tím se také podstatně zmenší zamoření ovzduší oxidem uhličitým a dalšími zplodinami.

13

Příklad 10 – Fotovoltaické elektrárny. Často se hovoří o tom, že by bylo dobré stavět elektrárny, které nemají špatný vliv na životní prostředí. Takovou by mohla být fotovoltaická elektrárna, která využívá fotoelektrických jevů, např. vnitřního fotoefektu v hradlovém fotočlánku. Jestliže dopadá v místech, kterými se pohybuje planeta Země, sluneční záření o výkonu 1370 W · m−2 , část se odrazí od naší atmosféry, část se dostane až na povrch Země. Buďme optimisté a doufejme, že se na povrch Země dostane záření představující výkonem asi 7,5% hodnoty výkonu záření dopadajícího. Odhadněte, jak velká by musela být plocha článků, aby nahradily malou tepelnou elektrárnu v Opatovicích. Návod k řešení: Za fotovoltaické zařízení budeme považovat tzv. sluneční články, které na úkor dopadajícího záření produkují elektrické napětí. Z textu plyne, že výkon záření zachyceného na povrchu Země bude 0, 075·1370 W · m−2 , tj. asi 100 W · m−2 . Elektrárna v Opatovicích má instalovaný výkon 350 MW. Příklad 11 – Velká vodní díla ve světě. Velké vodní dílo Tři soutěsky v Čínské lidové republice má instalovány turbíny hydroelektrárny o celkovém výkonu 18 300 MW, jež produkují celkem 80,8 TWh elektřiny ročně. Odhadněte, kolik hodin ročně (denně) mohou turbíny pracovat, aby dosáhly tohoto výkonu. Výsledek porovnejte s údaji z České republiky, které najdete na internetu (např. hydroelektrárny vltavské kaskády - Lipno, Orlík, . . . ). Návod k řešení: Vodní dílo Tři soutěsky je světově jedinečné dílo nejenom svým výkonem, svou velikostí, ale také důsledky, které způsobily přesuny několika miliónů lidí z této oblasti. Elektrárna - pokud jede na plný výkon, pracuje celkem 4 415 h ročně, což je asi 12 h denně (vypočtěte sami). Každé takové zařízení bezpodmínečně vyžaduje údržbu, která se pravděpodobně provádí po jednotlivých částech. Srovnejte, kolik uhlí se ušetří ročně oproti soustavě tepelných elektráren stejného výkonu. 14

Příklad 12 – Velké vodní dílo Jižní Ameriky. Obdobné údaje nacházíme na Internetu o dalším, značně velkém vodním díle – Itaipú. Na této přehradě na pomezí Brazílie na řece Paraná byla vybudována přehradní hráz, která má výšku 196 m. V hydroelektrárně je instalováno 20 turbogenerátorů, každý má 700 MW, tedy celkem 14 000 MW, roční výroba 94,7 TWh. Odhadněte, kolik hodin ročně (denně) mohou turbíny vodní elektrárny Itaipú pracovat. Návod k řešení: Výpočty proveďte obdobným způsobem jako v předchozím příkladu. . . Příklad 13 – Taková velká řeka. Řeka Amazonka drží několik světových priorit. V dolní části toku dosahuje řeka hloubky více než 50 m a průtoku 220 000 m3 · s−1 . Odhadněte, jak vysoké by muselo být převýšení hladiny, aby se při účinnosti 60% získal výkon vodní elektrárny stejný, jako má vodní elektrárna Itaipú, tedy 14 000 MW? Návod k řešení: V ideálním případě, který však není reálný, by se využijte výkonu celého toku řeky. Příklad 14 – Odhadněte hmotnost zemské atmosféry. Na základě vhodných údajů se pokuste alespoň dvojím způsobem odhadnout hmotnost zemské atmosféry. Výsledky porovnejte. Návod k řešení: 1. Kdybychom stlačili atmosféru do vrstvy kolem povrchu Země na hodnotu normálního tlaku, dostali bychom tloušťku vrstvy menší než 10 km. . . 2. Vyjděte ze známé hodnoty atmosférického tlaku. 15

Příklad 15 – Kdyby se zemská gravitace zvětšila . . . .

Odhadněte, jak by musel vypadat člověk, kdyby se tíhové zrychlení na Zemi zvětšilo na dvojnásobek. Návod k řešení: Vycházejme z toho, že by se zdvojnásobila tíha člověka a také vertikální zatížení kostí.

Příklad 16 – Kolik máme vlasů na hlavě? Odborníci vypočítali, že člověk má průměrně 300 vlasů na každý centimetr čtverečný. Vlasy pokrývají asi 40% povrchu hlavy, hlavu pro zjednodušení budeme modelovat jako kouli o poloměru r, přičemž budeme uvažovat, že daná osoba nosí čepici s obvodem 56 cm. Odhadněte, kolik vlasů má na hlavě průměrně vlasatý člověk. Návod k řešení: Z údaje o čepici vypočteme průměr hlavy, pak již můžeme vypočítat povrch hlavy . . . Příklad 17 – Tolik krystalků? Krystalový cukr tvoří krystalky sacharózy rozměrů 2 mm × 2 mm × 2 mm. Hustota cukru je 1130 kg · m−3 . Odhadněte, kolik takových krystalku může být v jedné tuně krystalového cukru. Návod k řešení: Ze známé hustoty cukru lze odhadnout objem 1 tuny krystalového cukru (bez mezer), ze zadaných údajů lze určit také objem jednoho krystalku. Z těchto údajů lze již snadno odhadnout požadovaný počet krystalků.

16

Příklad 18 – Driblování až do knihy rekordů. Aby se mladý basketbalista dostal do Guinessovy knihy rekordů, rozhodl se po dobu 24 h driblovat. Dribling je odrážení míče z výšky 60 cm směrem k podlaze tělocvičny a stoupání směrem vzhůru k ruce sportovce. Odhadněte, kolikrát se musí při tomto driblování míč odrazit od podlahy. Návod k řešení: Nejprve odhadneme, jak dlouho trvá, než míč dopadne z výšky 60 cm na podlahu a jakou rychlostí. Po stejnou dobu T bude stoupat do téže výšky; bohužel basketbalový míč není dokonale pružný, a tak mu musíme udělit určitou počáteční rychlost. Přesto vezmeme dobu 2T jako časový interval mezi dvěma po sobě následujícími setkáními ruky s míčem. Pak vypočtěte, kolik takových setkání proběhne v průběhu 24 hodin.

Příklad 19 – Nebezpečná povodí řek. Povodí řeky Dešťová má rozlohu 2000 km2 . Jednoho dne při prudkém přívalovém dešti napršelo na každý čtverečný metr 200 litrů, přičemž 60% vody se vsáklo a 40% vody odteklo potůčky, potoky a přítoky do řeky Dešťová. Odhadněte, jak vysoká by byla vrstva vody po tomto dešti na vybetonovaném parkovišti. Určete, kolik vody tehdy v celém povodí napršelo. Kolik vody muselo odtéci? Odhadněte, o kolik zvýšil přívalový déšť průtok řekou po dobu 24 hodin, než se hladina zase urovnala. Návod k řešení: Když napadne na každý čtverečný metr 200 litrů, potom hovoříme o srážkách 200 mm = 20 cm. V celém povodí potom napadlo 400 miliónů litrů vody. Z toho část vody se vsákla (jaká?) a část vody (jaká?) postupně odtékala po dobu 24 h.

17

Příklad 20 – Spotřeba benzinu. Automobil má při jízdě po dálnici při stálé rychlosti 120 km · h−1 spotřebu 8 litrů na trase 100 km. Jak daleko dojede na 1 litr benzinu? Jednou řidič načerpal málo benzinu a jeho vůz se zastavil na krajnici (blik – blik). Řidiči zbývá dojet ještě 500 m k benzinové stanici. Kolik benzinu by nejméně potřeboval? Jaká je minutová a sekundová spotřeba benzinu při jízdě? Návod k řešení: Při spotřebě 1 litru benzinu dojede 12,5 km, při jízdě spotřebuje na ujetí 1 km 0,08 litru benzinu, na ujetí 500 m tedy 40 ccm (starší označení 1 ccm = 1 kubický centimetr).

Příklad 21 – Cyril jezdí na kole. Cyril jezdí na kole za kamarádkou. Zpravidla udržuje stálou rychlost 12 m · s−1 . Jednou však začal experimentovat - nejprve jel první polovinu doby stálou rychlostí 9 m · s−1 a druhou polovinu doby to doháněl rychlostí 15 m · s−1 . Podruhé jel první polovinu dráhy stálou rychlostí 9 m · s−1 a druhou polovinu dráhy doháněl rychlostí 15 m · s−1 .

Odhadněte, zda dojel ve všech třech případech ke kamarádce za stejnou dobu. Svůj odhad zdůvodněte příslušným výpočtem a načrtněte graf dráhy jako funkce času.

Návod k řešení: Zvolíme si trasu např. 30 km. Když Cyril pojede stálou rychlostí 12 m · s−1 , urazí tuto vzdálenost za 2 500 s. Když pojede první polovinu doby nižší rychlostí a druhou polovinu vyšší rychlostí, pak je to stejné, jakoby jel po celou dobu střední rychlostí 12 m · s−1 , doba dojezdu bude stejná. Pojedeli Cyril prvních 15 km menší rychlostí, urazí polovinu trasy za 1667 s, druhou polovinu této trasy za 1 000 s, celkem pojede 2667 s, dojede tedy později.

18

Příklad 22 – Automobil na dálnici. Automobil se pohybuje po dálnici stálou rychlostí 126 km · h−1 (podruhé 90 km · h−1 ) a při jízdě překonává odporové síly. Odhadněte, jak velké jsou tyto odporové síly a jak se změna rychlosti projevuje na výkonu motoru automobilu i na spotřebě benzínu při jízdě po dálnici D11 z Hradce Králové na okraj Prahy. Návod k řešení: K řešení úlohy potřebujeme doplňující údaje. Protože není přesně určeno, o jaký automobil se jedná, odhadneme některé parametry. Hmotnost naloženého osobního automobilu zvolíme 1200 kg, součinitel valivého odporu pryžové pneumatiky po asfaltové silnici ξ = 1,6 mm, průměr kola auta mg = 64 N. Dále při jízdě zvolíme asi 60 cm; odtud síla valivého odporu F = ξ r na auto působí odpor vzduchu. Odporovou sílu stanovíme ze vztahu F = kv 2 , 1 kde k = CS̺. 2

Příklad 23 – Cyklista jede po vodorovné silnici. Po přímé vodorovné silnici jede cyklista stálou rychlostí 12 km · h−1 (30 km · h−1 ). Odhadněte, jaký mechanický výkon spojený s činností jeho nohou musí odvádět jeho tělo. Návod k řešení: Při jízdě musí cyklista překonávat valivý odpor a odporovou sílu, která vzniká při jeho pohybu ve vzduchu. Nejprve vypočtěte velikosti jednotlivých odporových sil: sílu vznikající při valení a odporovou sílu vzduchu. Zvažte s ohledem na rychlost pohybu, zda by bylo možno zanedbat velikost síly vznikající při valení. Postupujte obdobně jako při řešení příkladu 22.

19

Příklad 24 – Seskok padákem. Instruktor o hmotnosti 90 kg seskakuje padákem z nepříliš velké výšky, kde hustotu vzduchu můžeme považovat za konstantní o hodnotě 1,2 kg · m−3 . Podruhé se provádí tzv. tandemový seskok, kdy k instruktorovi přistoupí“ dívka ” o hmotnosti 60 kg. Odhadněte, zda a jak se změní mezní rychlost pádu v obou případech, tj. rychlost rovnoměrného pohybu poté, co se vyrovná silové působení. Návod k řešení: V okamžiku, kdy se vyrovná silové působení, je velikost 1 tíhové síly FG = mg rovna velikosti odporové síly F = kv 2 = C̺Sv 2 . Z této 2 podmínky pak lze vyjádřit mezní rychlost pohybu.

Příklad 25 – Nehýříme zbytečně? Podle dopravních předpisů musí každé vozidlo mít při jízdě rozsvíceny dva přední reflektory a zadní koncová světla, zpravidla s celkovým výkonem 130 W, a to nejen za snížené viditelnosti, ale i za plného slunečního světla, aby byla zajištěna dobrá viditelnost vozidla. Odhadněte, o kolik se zvýší spotřeba služebního automobilu, které jezdí 250 dní v roce průměrně po dobu čtyř hodin za přijatelného světla. Návod k řešení: Celkový příkon světel je 130 W, denní elektrická práce 520 Wh, za rok je to elektrická práce 130 kWh = 468 MJ. Uvážíme-li výhřevnost benzínu 32 MJ/litr a účinnost motoru vozidla 22%, pak je možno na základě těchto údajů vypočítat spotřebu benzínu navíc“. ”

20

Příklad 26 – Hustota kostkového cukru. Odhadněte hustotu kostkového cukru, máte-li k dispozici pouze délkové měřítko. Návod k řešení: Vezměte krabici s kostkovým cukrem, jejíž hmotnost znáte. Zbývá jen určit rozměry krabice. Proč výsledek není přesný? Pak změřte rozměry ”sloupečků” z kostek cukru. Příklad 27 – Papír na kopírování nebo do tiskárny. Odhadněte tloušťku jednoho listu papíru, který používáte do počítačové tiskárny nebo ke kopírování (A4, 80 g). Odhadněte jeho hustotu. Máte k dispozici délkové měřítko. Návod k řešení: Náznak řešení: Nejprve zjistěte, co znamená A4 80 g. Určete tlouťku jednoho balíku (jedné krabice) papíru a zjistěte tloušťku listu. Potom odhadněte hustotu tohoto papíru. Příklad 28 – Jak daleko je vidět 1? V australském Melbourne bylo postaveno tzv. ruské kolo o výšce 120 m. Odhadněte, do jaké vzdálenosti je vidět z kabinky, která je v nejvyšším bodě své dráhy. Trvá-li jedno otočení kola právě 30 min, jakou rychlostí se kabinky pohybují? Návod k řešení: Nejprve stanovíme vzdálenost na povrchu Země (na moři), z níž je vidět vršek kola, předpokládáme kulový tvar Země o poloměru 6371 km.

21

Příklad 29 – Jak daleko je vidět 2? V Dubaji byla otevřena věž o výšce 830 m, v níž jsou umístěny obchody, byty i kanceláře. Odhadněte, jak daleko bude od věže místo, z něhož bude věž ještě viditelná. Výsledek svých úvah si zkontrolujte na www.googleearth.com. Návod k řešení: Úlohu řešíme obdobně jako úlohu předcházející, pomocí √ vztahu d = 2hR, kde dosadíme R = 6370 km km, výška h = 0,830 km. Příklad 30 – Maximální rychlost cyklisty při jízdě po rovině. Cyklista může na vodorovné rovině dosáhnout krátkodobě největšího výkonu 1,2 kW. Odhadněte, jaké největší rychlosti při jízdě může cyklista dosáhnout. Návod k řešení: Cyklista při jízdě po rovině překonává dvě významnější síly: sílu valivého odporu a sílu odporu vzduchu. Příklad 31 – Maximální rychlost lyžaře při jízdě po svahu. Lyžař sjíždí po svahu, který nahradíme nakloněnou rovinou se stálým úhlem sklonu α = 30◦ . Odhadněte, jaké největší rychlosti při sjíždění může lyžař dosáhnout. Potřebné údaje odhadněte podle skutečnosti. Návod k řešení: Na lyžaře působí při jízdě síla způsobená tíhovou silou, tedy mg sin α ve směru pohybu, proti pohybu třecí síla, a dále odporová síla, způsobená pohybem lyžaře ve vzduchu.

22

Příklad 32 – Zatlačujeme připínáček do dřevěné desky. Při umístění informační zprávy často používáme jednoduchého zařízené, kterému říkáme připínáček. Na ten působíme prstem tlakovou silou, která vyvolá v místě styku prstu a připínáčku, popř. hrotu připínáčku a stěny určitý tlak. Odhadněte vzniklé tlaky. Návod k řešení: Nejprve odhadněte velikost působící síly, kterou působí ruka na připínáček při jeho zatlačování do dřevěné desky, pak velikost tlačné plošky připínáčku a obsah špičky. Příklad 33 – Skleněné okno batyskafu. Batyskaf je zařízení, kterého se používá při mořských výzkumech ve velkých hloubkách, tedy jakási miniponorka. Je opatřen průzorem (kruhovým oknem) s obsahem 0,15 m2 , na který působí vnější tlaková síla, způsobená hydrostatickým tlakem. Odhadněte velikost hydrostatického tlaku a vnější hydrostatické tlakové síly způsobené okolní vodou na toto okénku v hloubce 300 m, popř. při výzkumu Mariánského příkopu u Filipín. Návod k řešení: Tlakovou sílu stanovíme ze vztahu F = p · S, hydrostatický tlak p = ̺gh, hloubku Mariánského příkopu nalezněte v zeměpisném atlase nebo na internetu. Příklad 34 – Bezpečná vzdálenost. Podle novinových informací se německá policie zaměřuje na kontrolu dodržování tzv. bezpečné vzdálenosti mezi dvěma vozidly. Ta je stanovena takto: rychlost vozidla v km · h−1 se dělí dvěma a vzniklé číslo představuje tuto bezpečnou vzdálenost v metrech. Odhadněte bezpečnou vzdálenost dvou vozidel při rychlostech 50 km · h−1 , 60 km · h−1 , 90 km · h−1 , 108 km · h−1 , 126 km · h−1 , 144 km · h−1 . 23

Jestliže vozidlo má dobré brzdy, které vyvolají za každou sekundu změnu rychlosti 5 m · s−1 , stanovte, za jak dlouho a na jaké dráze by vozidlo zastavilo. Příklad 35 – Dva trambusy se předjíždějí. Po vodorovné, přímé a přehledné dvouproudé silnici jede trambus o délce 18 m stálou rychlostí 54 km · h−1 , za ním v určité vzdálenosti jede stejně dlouhé vozidlo stálou rychlostí 72 km · h−1 , které se rozhodne k předjíždění. Když druhý trambus dosáhne bezpečné vzdálenosti od předchozího vozidla, vybočí do levého jízdního pruhu a začne předjíždět. Předjíždění dokončí tak, že se zařadí zpět do pravého jízdního pruhu tak, že dodrží opět bezpečnou vzdálenost. Odhadněte dobu a vzdálenost, po kterou je silnice pro další vozidla neprůjezdná. Návod k řešení: Budeme popisovat pohyb obou vozidel z hlediska pozorovatele, jímž je závozník rychlejšího trambusu (řidič musí sledovat vozovku a jízdní situaci). Začneme ze vzdálenosti 36 m za zadní části pomalejšího vozidla, pak se rychlejší vozidlo dostane na stejnou úroveň po 18 m, dále bude jeho zadní část míjet předek pomalejšího vozidla po 18 m, zařadí se zpět ve vzdálenosti 27 m . . . Příklad 36 – Skok do výšky. Při skoku do výšky musí sportovec zdolat laťku umístěnou ve výšce 2,0 m tak, že své těžiště přenese užitím vhodného stylu skákání přes laťku pokud možno optimálně. Odhadněte výkon sportovce o hmotnosti 70 kg. Návod k řešení: Těžiště sportovce, který se rozebíhá ke skoku do výšky, se nachází ve výšce 1,0 m nad rovinou hřiště. Při přeskoku laťky se musí dostat do výšky asi 2,1 m, tedy zvýšit svou výšku o 1,1 m nad původní hodnotu. Svaly musejí vyvinout vhodnou sílu, vykonat práci v omezeném čase tak, aby lidské tělo získalo kinetickou energii. Samotný výpočet je velmi složitý, takže

24

si představíme jen pohyb těžistě. Pro výpočet výkonu je ještě třeba odhadnout dobu trvání výskoku na 0,6 s.

Příklad 37 – Padající rampouch. Když na střechy napadne v zimě sníh a ten začne tát, často se během dne tvoří na okraji střechy rampouchy (střechýle, slovensky cencúľe). Jestliže je hmotnost rampouchu 1,2 kg a visí ve výšce 38,5 m, odhadněte, jak moc je nebezpečný pro procházející chodce nebo i zvířata. Svůj výsledek porovnejte s pádem betonové střešní tašky o hmotnosti 4,5 kg z okraje střechy ve výšce 8,5 m. Návod k řešení: K výpočtu rychlosti dopadu použijte zákon zachování mechanické energie, dále je vhodné vypočítat také impuls působící síly – k tomu použijte 2. Newtonův pohybový zákon.

Příklad 38 – Jak vysoká může být zeď? Když se staví zeď, potom cihly položené na betonové základy jsou tlakovou silou nejvíce namáhány, a to v závislosti na výšce této zdi. Odhadněte, jak vysoké lze stavět cihlové zdi. Vysvětlete, jak je možné postavit např. mrakodrapy. Návod k řešení: Nejprve vytvoříme model – pro náš výpočet nastavíme cihly do sloupečku na sebe, potom určíme hustotu materiálu cihel. Tlaková síla způsobená sloupcem cihel o výšce h bude F = ̺gSh , tlak způsobený tímto sloupcem na dolní cihlu p = ̺gh. Tento tlak musí být menší než je dovolené napětí pro materiál, z něhož jsou cihly vyrobeny.

25

Příklad 39 – Lavina sněhu. Z horských úbočí za určitých podmínek se sesouvají velké objem sněhu, vznikají tzv. laviny, které zasypou domy, turisty, sportovce. Odhadem jsme zjistili, že lavina má šířku 100 m, délku ve směru pohybu 80 m a tloušťka pohybující se sněhové vrstvy je 50 cm. Odhadněte hmotnost sněhu v lavině, dosahujeli hustota sněhu hodnot 50 kg · m−3 v případě prašanu, popř. 400 kg · m−3 pro případ sněhu již delší dobu ležícího. Návod k řešení: Odhadneme nejprve objem sněhové vrstvy V = S · x = = 4 000 m3 . Odtud pro odhad hmotnosti sněhu v lavině vychází pro prašan (200 – 400) tun, pro případ sněhu ležícího delší dobu 1 600 tun.

Příklad 40 – Sníh na střeše. Při sněhové kalamitě můžeme pozorovat, jak se pomalu kupí sníh na plechové střeše kůlny, která má rozměry: délka 6,0 m, šířka 2,8 m, tloušťka sněhové vrstvy dosahuje 40 cm. Aby se střechy neprobořila, vymyslel majitel rodinného domku, že v kůlně zatopí a sníh začne roztávat. Proč nebyl jeho odhad reálný? Ve skutečnosti totiž sněhová vrstva ze střechy sjela na dvorek. Odhadněte, kolik sněhu spadlo ze střechy. Návod k řešení: Nejprve odhadněte, jak velký je objem sněhu na střeše této kůlny, hustotu sněhu uvažujte 400 kg · m−3 , pak vypočtěte hmotnost sněhu na střeše . . .

26

Příklad 41 – Na zimní olympijské hry do Vancouveru! Představme si, že z brněnského letiště Brno-Tuřany bude vypraveno speciální letadlo se sportovci, směřující do kanadského Vancouveru. Průměrná rychlost dopravního letadla je 900 km · h−1 . Odhadněte, za jak dlouho od startu může letadlo přistát na letišti ve Vancouveru.

Návod k řešení: Nejprve určete vzájemnou vzdálenost obou letišť, a to tak, že přečtete z map Google Earth 3D zeměpisné souřadnice obou míst a vzdálenost dopočítáte při známém poloměru Země, nebo lze přímo pomocí Googlu odečíst s vzdálenost, pak použijte vztah t = . v

Příklad 42 – Výzkum pohybu plastové lahve po nakloněné rovině. Vezměte si alespoň tři plastové lahve (lepší než jedna v různých situacích) takové, aby při valivém pohybu udržely přímý směr. Jedna z lahví bude prázdná, druhá bude zcela naplněna vodou, ve třetí bude vody třetina až polovina. Vezměte delší prkno, které vám bude sloužit jako nakloněná rovině, jež přechází v rovinu vodorovnou. Zkoumejte, jak se valí jednotlivé lahve, svá pozorování zapište a vysvětlete. Odhadněte vždy výsledek pokusu jako hypotézu, teoreticky zdůvodněte. Návod k řešení: Je nutno provést experimenty; lze napovědět, že menší objem kapaliny, než je objem plastové lahve, podstatně ovlivňuje valení lahve.

27

Příklad 43 – Vozidla nákladní dopravy. Tři vozidla nákladní dopravy TIR, každé o délce 18 m, jedou za sebou stálou rychlostí 54 km · h−1 a udržují mezi sebou stálou vzdálenost 30 m. Autobus o délce 14 m dojede kolonu stálou rychlostí 72 km · h−1 a řidič se rozhodne tuto kolonu vozidel předjíždět, když se dostane do vzdálenosti 20 m za poslední vozidlo. Vybočí tedy z původního směru do levého pruhu a vrátí se zpátky poté, co se jeho zadní část vzdálí od přední části prvního nákladního automobilu dostane do vzdálenosti 20 m. Zjistěte, jak dlouho probíhá předjíždění. Dále určete, jak velká je vzdálenost, po kterou je silnice pro další vozidla neprůjezdná. Návod k řešení: Postupujte obdobně jako při řešení příkladu 35. Příklad 44 – Závodní automobily. Po uzavřené závodní trati o délce 2 400 m se ve stejném okamžiku rozjedou dva závodní automobily. První automobil dosáhne po době 20 s rychlosti 180 km · h−1 a touto rychlostí jede dále. Druhý automobil dosáhne po době 25 s rychlosti 216 km · h−1 a touto rychlostí pokračuje po celou další trasu. a) Na jaké dráze se rozjížděl každý z uvedených automobilů? K řešení si nakreslete graf v(t). b) Za jak dlouho projel každý z automobilů jedno kolo uvedené v úloze? Nakreslete graf s(t). c) Kdyby oba automobily projely startovní čarou již uvedenými získanými rychlostmi, za jak dlouho by rychlejší automobil dohonil pomalejší? Kolik kol by oba automobily projely? Návod k řešení: Při řešení uvažujte, že oba automobily se rozjíždějí rovnoměrně zrychleným pohybem, dále se pak pohybují rovnoměrně.

28

Příklad 45 – Jízda rychlíku. Rychlík o délce 360 m se rozjíždí ze stanice a po době 40 s dosáhne rychlosti 54 km · h−1 . Další 4,0 min jede touto rychlostí a pak strojvůdce vidí před sebou semafor s červeným světlem. Zastaví proto za dobu 2,0 min tak, že lokomotiva je v tomto okamžiku na úrovni semaforu. Semafor (návěst) uvolní trasu po době 90 s, vlak se rozjíždí tak, že po době 60 s dosáhne vlak rychlosti 72 km · h−1 , touto rychlostí jede 2 min a musí zastavit v následující stanici tak, že brzdí rovnoměrně po dobu 4,0 min. a) Nakreslete graf v(t). b) Jak daleko je do sousední stanice a jak dlouho bude trvat jízda? c) Jaká je průměrná rychlost vlaku? Návod k řešení: Při řešení uvažujte, že rychlík se rozjíždí rovnoměrně zrychleným pohybem, dále se pak pohybují rovnoměrně, brzdí rovnoměrně zpomaleně.

Příklad 46 – Nákladní vlak. Nákladní vlak o délce 450 m se rozjíždí ze stanice, po době 60 s dosáhne rychlosti 54 km · h−1 a právě v tomto okamžiku vjíždí lokomotiva do tunelu. Z tunelu se lokomotiva vynoří za 40 s. Když vyjede z tunelu poslední vagón, začne vlak brzdit a zastaví po době 2,0 min přesně v následující stanici. a) Jakou dráhu ujede vlak, než lokomotiva začne vjíždět do tunelu? b) Jak dlouhý je tunel? c) Jak daleko je lokomotiva od tunelu, když vlak začne brzdit? 29

d) Jakou dráhu urazí vlak při brzdění? e) Nakreslete graf v(t) a určete průměrnou rychlost vlaku. Návod k řešení: Postupujte obdobně jako v příkladu 45.

Příklad 47 – Trámy. Dřevěné trámy ze suchého dřeva o hustotě 500 kg · m−3 – 600 kg · m−3 mají délku 8 m a průřez 16 cm × 14 cm. Odhadněte hmotnost trámu. Odhadněte, zda trám uzvedne jeden tesař a kde ho uchopí. Odhadněte, zda trám unesou dva tesaři. Záleží na tom, zda ho budou držet oba tak, že každý stojí na konci trámu nebo 1 metr od konce. Jakou zátěž bude představovat trám pro každého ze dvou tesařů, bude-li jeden držet trám zcela na konci a druhý 2 metry od druhého konce? Jednou trám nesli tesaři po delší trase, a tak vzadu chytil jeden z nich trám zcela na konci a další dva tesaři si přibili příčnou laťku kolmo k délce trámu a v tomto místě nesli trám oba společně. Kde měli umístit tyčku, aby všichni nesli stejně? Nezapomeňte ke každé situaci načrtnout obrázek. Návod k řešení: Při řešení použijte vztahy pro výpočet rovnováhy sil a momentů působících sil.

Příklad 48 – Orientační závod. Na orientačním závodě musí běžec seskočit ze zídky o výšce 2,5 m. Odhadněte, jakou rychlostí dopadne na nohy. Aby ztlumil důsledky dopadu, pokračuje v pohybu dále do dřepu a do podpory rukama, takže jeho těžiště se pohybuje ještě dále po dráze 80 cm až do zastavení. Odhadněte, jakou brzdicí sílu musí běžcovo tělo vyvinout. Návod k řešení: Použijte zákon zachování mechanické energie.

30

Příklad 49 – Eurotunel. Najděte si na internetu informace o tunelu, spojujícím evropský kontinent s britskými ostrovy. Jestliže rychlost elektrických vlaků v tunelu dosahuje 60 km · h−1 až 90 km · h−1 , odhadněte, jak dlouho trvá cesta v podzemí a pod mořským dnem? Návod k řešení: Tunel je dlouhý 50 km, z toho 38 km je pod mořským dnem. Příklad 50 – Vodovodní potrubí. Do malé osady má být přivedena voda vodovodním řádem. Největší spotřeba vody je v podvečer, a to 3 m3 za minutu. Doporučená rychlost průtoku vody potrubím je 1,2 m · s−1 . Odhadněte, jaký musí mít vnitřní průměr použité potrubí. Návod k řešení: Ze spotřeby vody a rychlosti proudění vody v potrubí vypočtěte průřez potrubí, z průřezu potrubí pak vypočtěte jeho průměr.

Příklad 51 – Reakční doba. Máte k dispozici delší smeták a délkové měřítko. Vezměte smetákovou tyč do pravé/levé ruky a tyč na chvíli uvolněte a rychle zase stiskněte. Odhadněte dobu reakce ruky při novém uchopení smetákové tyče.

31

2

Řešení příkladů

1. Tíhu vzduchu určíme užitím vztahu G = m · g = ̺ · V · g, kde objem V = a · b · h. Potom tíha je G = ̺abhg = 1,2 · 7,2 · 6,0 · 2,8 · 9,81 N = 1 494 N, z čehož vyplývá, že žák vzduch neunese. 2. Nejprve načrtneme graf závislosti tlaku p = f (h). Označme p0 tlak na hlap dině moře, tj. ve výšce h = 0. Podle zadání je ve výšce h = 5 500 m tlak 0 , 2 p0 , ve výšce 3 · 5 500 m = 16,5 km je ve výšce 2 · 5 500 m = 11 km je tlak 4 p tlak 0 . Obecně tedy můžeme psát, že 4   h 1 5 500 . p = p0 2

(1)

p p0 1

1 2 1 4 O

5 500

11 0000

16 500

h m

Obr. 1 Závislost atmosférického tlaku na výšce Mezikontinentální letadla např. Boeing létají ve výšce 11 km, kde je tlak asi 1/4 tlaku u hladiny moře. Případné porušení celistvosti letadla vede ke značné dekompresi a k tomu, že cestující i posádka by zahynuli. Střecha světa - Mt. Everest má výšku 8 848 m, takže tam je atmosférický tlak asi 1/3 tlaku u hladiny moře; nedostatek kyslíku by vedl k velkému přetížení 32

lidského organismu; proto se při výstupu používají kyslíkové bomby. Tlak na Sněžce je přibližně 0,82 atmosférického tlaku, tedy jen nepatrně nižší než u hladiny moře. Poznámka Vztah (1) je přibližným zjednodušením tzv. barometrické rovnice, tj. p = p0 e−0,000 125 h , protože platí   h h 1 ln 1 5 500 . = e 5 500 2 = e−0,000 125 . 2 3. Pro objemový průtok platí: QV =

m V = , z čehož m = QV · ̺ · t. Pro výkon t ̺t

Q ·̺·t·g·h mgh = V = QV · ̺ · g · h, z čehož t t P0 350 · 106 h= = m = 3 500 m. QV · ̺ · g 10 · 1000 · 10 Odhadovaná výška hráze je 3 500 m. Naše republika nemá dostatek vodních zdrojů pro stavbu velkých hydroelektráren.

platí P0 =

4. Málo–kvalitní hnědé uhlí má výhřevnost H = 12 MJ · kg−1 . Tepelné elektrárny mají koeficient využití asi 60% (tj. z celkové doby možné činnosti, což je za rok 8 766 hodin, je zpravidla elektrárna v činnosti jen 5 260 h), účinnost tepelných elektráren je asi 36% = 0,36. Instalovaný výkon tepelné elektrárny Opatovice je 350 MW, denní práce 350 · 24 MWh = 8 400 MWh, roční práce 350 · 5 260 MWh = 1 841 000 MWh. Pro teplo vzniklé spálením m kilogramů hnědého uhlí platí Q = m · H · η = W · t, z čehož W ·t . m= H ·η 8 400 · 106 · 3 600 Denně: m1 = kg = 7 000 tun. Budeme-li uvažovat hmot12 · 106 · 0,36 nost vagónu 40 tun a 1 vlak 60 vagónů, pak to činí 175 vagónů denně, tj. asi 3 vlaky. 1 841 000 · 106 · 3 600 kg = 1 534 000 tun, což je 38 350 vagónů Ročně: m2 = 12 · 106 · 0,36 ročně, a to je asi 640 vlaků ročně. 5. Odhadneme nejprve, kde se polárník nachází: zřejmě bude asi nedaleko severního pólu. Nejprve vyjde směrem poledníku k jihu, potom se dá po rovnoběžce k východu do vzdálenosti 10 km a nakonec postupuje směrem k severnímu pólu po poledníku po trase 10 km. Nakreslíme-li si pohled z místa nad severním pólem, budou vidět rovnoběžky jako soustředné kružnice. K cíli 33

mají polárníci méně než 10 km, neboť poloměr severnější rovnoběžky je menší než té jižnější, po níž se vydali k východu. V krajním případě mohli vyrazit přímo ze severního pólu a vrátili se zpět již v okamžiku, kdy se zastavili a přemýšleli. Odhadněte sami, jak to bude pro případ polárníků v blízkosti jižního zeměpisného pólu. 6. K řešení problému doporučujeme nakreslit si mapku, na níž jakoby z bodu na zemské ose vyznačíme krajinu do vzdálenosti např. 50 km od severního pólu. V mapce vyznačíme rovnoběžky a poledníky (není nutno tyto útvary číselně označovat, určují nám vyznačený směr). Půjdou-li polárníci směrem východním, nejsou ve své cestě omezováni. Půjdou-li směrem severním, potom mohou dorazit na severní zeměpisný pól, ale pak by se museli vydat směrem jižním. Nejobtížnější bude odhad, jak to bude vypadat, půjdou-li směrem severovýchodním, tj. pod úhlem 45◦ jak k rovnoběžce, tak k poledníku. To si vyznačte v mapce a ta vás povede ke správnému výsledku. 7. Odhadovaný výkon stanovíme na základě změny potenciální energie, tj. mgh ̺V gh P = = = ̺QV gh = 1000 · 8 · 10 · 40 W = 3,2 MW. t t Skutečný výkon je však P0 = 2,12 MW. Počet rozsvícených 100 W žárovek P P P je 0 = 21 200, 60 W žárovek 0 = 35 300 a 40 W žárovek 0 = 53 000. 100 60 40 Za předpokladu, že účinnost elektrárny je stoprocentní, můžeme psát (již dříve uvedený vztah) P0 = ̺QV gh, z čehož P 2,12 · 106 QV = 0 = m3 · s−1 = 5,3 m3 · s−1 . ̺gh 1 000 · 10 · 40

8. Použijeme stejného principu řešení jako v příkladu 4, jen výkon elektrárny P ·t 800 · 106 · 24 · 3 600 je vyšší; m = = kg = 16 000 tun, tj. muselo by H ·η 12 · 106 · 0,36 16 000 = 400 vagónů denně. přijet 40 Náklad lodi stanovíme ze změny objemu ponořené části lodi, tj. V = 70 · 8 · 1,8 m3 = 1 008 m3 . Potom m = V ̺ = 1 000 · 1 008 kg = 1 000 tun. Loď byla naložena nákladem 1 000 t. Zde je nutno podotknout, že úvaha je vskutku jen teoretická. Uvažovaná hloubka ponoru vyžaduje dostatečně hlubokou jízdní dráhu v řečišti řeky Labe, což však během celého roku není reálné. Proto jednak v zimě, kdy je nižší stav vody v Labi, ale také v létě je nutno zajišťovat uhlí železniční cestou. 9. Na jedné straně se lidé jaderné energetiky obávají, neboť lidstvo má několik neblahých zkušeností (elektrárna v Černobylu aj.), na druhé straně tyto elektrárny mnohem méně zatěžují životní prostředí. Podle našich již dosti 34

rutinních výpočtů stanovíme, že elektrárna denně ušetří 2 000 · 106 · 86 400 P ·t = m1 = kg = 40 000 tun uhlí, což je denně H ·η 12 · 106 · 0,36 40 000 = 1 000 vagónů s uhlím, ročně je to pak 40 2 000 · 106 · 86 400 · 365 P ·t = kg = 14,6 mil.tun uhlí, což je ročně m2 = H ·η 12 · 106 · 0,36 14 600 000 = 365 000 vagónů s uhlím. 40 Tím se také podstatně zmenší zamoření ovzduší oxidem uhličitým a dalšími zplodinami. 10. Za fotovoltaické zařízení budeme považovat tzv. sluneční články, které na úkor dopadajícího záření produkují elektrické napětí. Malá tepelná elektrárna v Opatovicích má instalovaný výkon 350 MW. Z textu vyplývá, že výkon záření zachyceného na povrchu Země bude představovat 0,07 · 1370 W · m−2 , tj. asi 100 W · m−2 . Abychom dosáhli výkonu tepelné elektrárny, musíme zvolit plochu pokrytou fotočlánky o ob350 · 106 2 m = 3, 5 km2 , nebo-li 2 km · 1,75 km, tedy v podstatě celé sahu 100 území dnešní elektrárny, včetně kaliště a dalších ploch, by zaujala tato fotovoltaická zařízení. Zatím zde neuvažujeme ekonomickou stránku projektu; dosavadní články jsou stále ještě poměrně drahé a ekonomicky se vyplatí až po několika letech. 11. Počet hodin ročně, kdy elektrárna pracuje na plný výkon, je 80,8 · 1012 4 415 n= = 12 hodinám hodin = 4 415 hodin, což odpovídá 365 18 300 · 106 . 18 300 · 12 · 3 600 · 365 denně. Ročně se ušetří m1 = kg = 67 miliónů tun, 12 · 0,36 což je asi 183 000 tun denně. 12. Postupujeme obdobně jako v předchozím příkladu. Turbíny mohou pracovat 94,7 · 1012 hodin = 6 764 hodin ročně, což je asi 18,5 hodiny denně. Denní 14 000 · 106 14 000 · 24 · 3 600 spotřeba hnědého uhlí by byla m = kg = 280 000 tun. 12 · 0,36 13. Výška přehradní hráze h =

14 000 · 106 P0 = m = 10,6 m. ̺QV gη 1 000 · 220 000 · 10 · 0,6

14. Odhadneme nejprve hmotnost zemské atmosféry tímto způsobem: Kdosi tvrdil, že kdybychom stlačili zemskou atmosféru do vrstvy kolem povrchu Země na hodnotu normálního tlaku, dostali bychom tloušťku vrstvy menší 35

než 10 km. Objem atmosférického vzduchu získáme pomocí obsahu povrchu Země, tj. V = 4pRz2 h = 4p · (6 378 · 103 )2 · 10 · 103 m3 = 5,1 · 1018 m3 (protože h ≪ Rz ). Potom m = ̺V = 1,2 · 5,1 · 1018 kg = 6 · 1018 kg. p ·S = Druhý způsob vychází ze známé hodnoty atmosférického tlaku m = a g 3 2 101 325 · 4p · (6 378 · 10 ) = kg = 5,3 · 1018 kg. Tento výpočet vede k poně9,81 kud nižší hodnotě. 15. Vycházejme z toho, že by se zdvojnásobila tíha člověka a také vertikální zatížení kostí. Příčné rozměry člověka by se musely plošně zvětšit dvakrát √ mg m · 2g pd2 pd2 = , z čehož S = 2S0 , tj. = 2 · 0 , z čehož d = 2d0 . Příčné S0 S 4 4 rozměry člověka by se musely plošně zvětšit dvakrát, tedy lineárně by se zvětšily odmocninou ze dvou, tj. asi 1,4krát. 16. Nejprve doplníme náš model hlavy – z údaje o čepici vypočteme poloměr o hlavy r = = 9 cm. Celý povrch hlavy bude S = 4pr2 = 1 000 cm2 , 2p z čehož 400 cm2 pokrývají vlasy. Uvedený ”běžný” člověk má na hlavě asi 400 · 300 = 120 000 vlasů. Jestliže nám denně vypadnou 2-3 vlasy, neberme to jako tragédii. 17. Ze známé hustoty cukru ̺ = 1 600 kg · m−3 lze odhadnout objem 1 tuny 1 000 3 m = m = 625 litrů, jeden krystalového cukru (bez mezer), tj. V = ̺ 1 600 3 −6 krystalek má objem 8 mm , což představuje 8 · 10 litru, takže v 1 tuně 625 = 78 · 106 krystalků. V jednom kg cukru krystalového cukru je asi 8 · 10−6 je to právě tisícina, takže si to můžete ověřit. 18. Odhadneme nejprve, jak r dlouho trvá, než míč dopadne z výšky 60 cm 2 · 0,6 na podlahu, tj. T1 = s = 0,35 s, a to rychlostí dopadu v = 9,81 √ = 2 · 0,6 · 9,81 m · s−1 = 3,4 m · s−1 . Po stejnou dobu bude stoupat do téže výšky; bohužel basketbalový míč není dokonale pružný, a tak mu musíme udělit určitou počáteční rychlost. Přesto vezmeme dobu T = 2T1 = = 0,7 s jako časový interval mezi dvěma po sobě následujícími setkáními ruky s míčem. Během 24 h = 86 400 s takových setkání proběhne minimálně 24 · 3 600 . = 124 000, spíše o něco víc, tedy asi 130 000. 0,7 19. Když napadne na každý čtverečný metr 200 litrů, potom hovoříme o srážkách 200 mm = 20 cm. To je na parkovišti docela dost vody, pokud neodtéká. 36

V celém povodí potom napadlo 2000 · 106 · 0,2 m3 = 400 miliónů m3 vody. Z toho část vody se vsákla a 160 miliónů m3 vody postupně odtékalo po dobu 160 · 106 3 −1 m · s = 1 850 m3 · s−1 . 24 h. Průtok se zvýšil průměrně o 24 · 3 600 20. Při spotřebě 1 litru benzinu dojede

100 km = 12,5 km, při jízdě spotřebuje 8

8 litru = 0,08 litru benzinu, na ujetí 500 m tedy 40 ccm. 100 Trasu 100 km uvedenou rychlostí ujede za 50 min, minutová spotřeba je 0,16 8 tedy litru = 0,16 litru a sekundová litru = 0,002 6 litru, tj. 2,6 ccm 50 60 (starší označení 1 ccm = 1 kubický centimetr). na ujetí 1 km

21. Zvolíme si trasu např. 30 km. Když Cyril pojede stálou rychlostí 12 m · s−1 , 30 000 s = 2 500 s. Když pojede první polovinu urazí tuto vzdálenost za 12 doby nižší rychlostí a druhou polovinu doby vyšší rychlostí, pak je to stejné, jakoby jel po celou dobu střední rychlostí 12 m · s−1 , doba dojezdu bude stejná. Pojede-li Cyril prvních 15 km rychlostí 9 m · s−1 , urazí polovinu 15 000 15 000 s = 1 667 s, druhou polovinu této trasy za s = 1 000 s, trasy za 9 15 celkem pojede 2 667 s, dojede tedy později. 22. K řešení úlohy potřebujeme doplňující údaje. Protože není přesně určeno, o jaký automobil se jedná, odhadneme některé parametry. Hmotnost naloženého osobního automobilu zvolíme 1 200 kg, součinitel valivého odporu pryžové pneumatiky po asfaltové silnici ξ = 1,6 mm, průměr kola auta zvomg = 64 N. Dále líme asi 60 cm; po dosazení je síla valivého odporu F1 = ξ r při jízdě na auto působí odpor vzduchu. Odporovou sílu stanovíme ze vztahu 1 1 F2 = kv 2 , kde k = CS̺, po dosazení k = · 0,35 · 2,4 · 1,25 kg · m−1 = 2 2 = 0,525 kg · m−1 . Při rychlosti 126 km · h−1 = 35 m · s−1 pak vychází velikost odporové síly F2 = 643 N, velikost celkové síly, kterou musí motor automobilu překonávat je potom F = F1 + F2 = 707 N. Pro rychlost 90 km · h−1 = 25 m · s−1 je velikost odporové síly rovna 328 N, velikost celkové síly F ′ = 392 N. Výkon automobilu při vyšší rychlosti stanovíme ze vztahu P = F · v = 707 · 35 W = 25 kW, při nižší rychlosti je P ′ = F ′ · v ′ = 392 · 25 W = 10 kW. Spotřeba benzinu se udává pro trasu 100 km, což je přibližně vzdálenost ujeté dráhy po dálnici mezi oběma místy. Hustota benzinu je ̺ = 750 kg · m−3 . Výhřevnost benzínu je asi 43 MJ · kg−1 = 43 · 0,75 MJ · litr−1 = 32 MJ · litr−1 . Práce vykonaná motorem automobilu při ujetí dráhy 100 km je v prvním případě W = F · s = 37

= 707 · 100 · 103 J = 70,7 MJ, ve druhém případě W ′ = 392 · 100 · 103 J = = 39,2 MJ. Pro pohyb automobilu o účinnosti motoru 22% s vyšší rychlostí 70,7 · 106 W = litrů = 10 litrů na 100 km dostáváme spotřebu V = H ·η 32 · 106 · 0,22 39,2 · 106 W′ = litru = 5, 6 litru trasy, pro pohyb nižší rychlostí V ′ = H ·η 32 · 106 · 0,22 na 100 km ujeté trasy. 23. K řešení úlohy potřebujeme doplňující údaje. Hmotnost cyklisty i s kolem zvolíme 80 kg, součinitel valivého odporu pryžové pneumatiky po asfaltové silnici ξ = 1,6 mm, průměr kola auta zvolíme asi 58 cm; po dosazení je síla mg valivého odporu F1 = ξ = 4,4 N. Dále při jízdě na cyklistu působí odpor r 1 vzduchu. Odporovou sílu stanovíme ze vztahu F2 = kv 2 , kde k = CS̺, 2 1 · 0,9 · 0,8 · 1,25 kg · m−1 = 0,45 kg · m−1 . Při jízdě po dosazení k = 2 rychlostí 12 km · h−1 je F2 = 5 N a tedy celková odporová síla má velikost F = F1 + F2 = 10 N. Při jízdě rychlostí 30 km · h−1 je F2′ = 31,3 N a tedy celková odporová síla má velikost F ′ = F1 + F2′ = 36 N. Výkon cyklisty je v prvním případě P = F ·v = 33 W, ve druhém případě P ′ = F ′ ·v ′ = 300 W. Všimněte si, že bude-li se cyklista pohybovat většími rychlostmi, je možno sílu valivého odporu zanedbat. 24. V okamžiku, kdy se vyrovná silové působení, je velikost tíhové síly FG = mg 1 rovna velikosti odporové síly F = kv 2 = C̺Sv 2 . Z této podmínky pak lze 2 r 2mg . Průměr padáku odhadneme vyjádřit mezní rychlost pohybu, tj. v = C̺S pd2 asi na 9 m, potom S = = 63,6 m2 , hustota vzduchu ̺ = 1,25 kg · m−3 , 4 r 2 · 90 · 10 m · s−1 = 4,9 m · s−1 . C = 1,2. Padá-li instruktor sám, pak v = 1,2 · 63,6 r 2 · (90 + 60) · 10 Při tandemovém seskoku je v ′ = m · s−1 = 6,3 m · s−1 . 1,2 · 63,6 Při tandemovém seskoku je třeba použít větší padák. 25. Celkový příkon světel je 130 W, denní elektrická práce 520 Wh, za rok je to elektrická práce 130 kWh = 468 MJ. Uvážíme-li výhřevnost benzínu 32 MJ · litr−1 (příklad 22) a účinnost motoru vozidla 22%, představuje toto svícení (dle postupu z příkladu 22) za denního světla celkem 66,5 litru spotřeby benzínu oproti jízdě navíc.

38

26. Vezměte krabici s kostkovým cukrem, jejíž hmotnost znáte. Zbývá jen určit m . Proč výsledek není přesný? rozměry krabice, pak použijte vztah ̺ = abc (Pak změřte rozměry sloupečků“ z kostek cukru a zkuste odhad zpřesnit“.) ” ” 27. Nejprve zjistěte, co znamená A4 80 g (80 g je hmotnost 1 m2 papíru). Určete tlouťku jednoho balíku (jedné krabice) papíru a zjistěte tloušťku listu (po vydělení 500). Označíme a, b rozměry papíru, c tloušťku balíku 500 · 0,080 · ab (budeme dosazovat v m, např. c = 5 cm). Potom ̺ = = abc 500 · 0,080 500 · 0,080 kg · m−3 = kg · m−3 = 800 kg · m−3 . = c 0,05 28. Situace je znázorněna na obr. 2. Nejprve stanovíme vzdálenost na povrchu Země (na moři), z níž je vidět vršek kola, předpokládáme kulový tvar Země o poloměru R = 6 371 km. Dle obr. 2 platí d2 = (h + R)2 − R2 , d2 =√h2 + 2hR, √ pro h ≪ R můžeme psát . d = 2hR = 2 · 120 · 6 371 · 103 m = 39 km. Pro rychlost pohybu kabinky platí 2pR 2p · 60 v= = m · s−1 = 0,2 m · s−1 . T 30 · 60

h

d

R R

R

Obr. 2 Odhad vzdálenosti

29. Situaci znázorňuje obr. 3.

Úlohu řešíme obdobně jako úlohu předcházející, pomocí vztahu √ d = 2 · h · R, kde dosadíme R = 6 371 km, výška h = 0,830 km, vychází vzdálenost d = 103 km. Skutečná vzdálenost bude asi o něco menší. Obr. 3 Viditelnost věže 30. Cyklista při jízdě po rovině překonává dvě významnější síly: sílu valivého odporu a sílu odporu vzduchu. Na základě závěru řešení příkladu 23 sílu valivého odporu v tomto případě zanedbáme. Pro okamžitý výkon cyklisty

39

můžeme psát P = F · v = kv 2 · v = kv 3 , z čehož v =

r 3

P . Součinitel k k

1 1 odhadneme ze vztahu k = C̺S = ·0,7·1,25·0,7 kg · m−1 = 0,3 kg · m−1 . 2 2 r 1 200 m · s−1 = 15,9 m · s−1 = 57 km · h−1 , což je reálný Po dosazení v = 3 0,3 výsledek. 31. Hmotnost lyžaře odhadneme na 80 kg. Na lyžaře působí při jízdě síla způsobená složkou tíhové síly, tj. F1 = mg sin α = 400 N ve směru pohybu, proti pohybu třecí síla, jejíž velikost odhadneme při součiniteli smykového . tření f = 0,007 na Ft = mgf cos α = 5 N, a dále odporová síla, způsobená pohybem lyžaře ve vzduchu, kterou vyjádříme jako F0 = kv 2 . Hodnotu součinitele k odhadneme na 0,3 stejně jako v předchozím příkladu. Sestavíme rovnici F1 −r Ft = kv 2 , r F1 − Ft 400 − 5 z čehož v = = m · s−1 = 36,3 m · s−1 = 130 km · h−1 . k 0,3 32. Nejprve odhadneme působící sílu, kterou působí ruka na připínáček při jeho zatlačování do dřevěné desky, na 40 N, tlačná ploška připínáčku má obsah přibližně 1 cm2 , obsah špičky asi na 0,1 mm2 . V obou případech je tlaková síla stejná, tj. 40 N, tlaky jsou 400 kPa, 400 MPa. 33. Hydrostatickou tlakovou sílu stanovíme ze vztahu F = p · S, hydrostatický tlak p = ̺gh. V hloubce 300 m je hydrostatický tlak p1 = 1030·10·300 Pa = = 3,1 MPa (což je asi 31krát větší než atmosférický tlak) a hydrostatická tlaková síla Fh1 = 3 · 106 · 0,15 N = 464 kN. Hloubka Mariánského příkopu je asi 11 km, v této hloubce je hydrostatický tlak ph2 = 113 MPa (1 130 pa ), na okénko batyskafu by působila tlaková síla o velikosti Fh2 = 17 MN (pokud by batyskaf byl pro takovouto hloubku zkonstruován). 34. Bezpečné vzdálenosti vycházejí 50/2 m = 25 m; 30 m; 45 m; 54 m; 63 m; 72 m. Rychlosti pohybu vozidel: 50 km · h−1 = 13,9 m · s−1 ; 16,7 m · s−1 ; 25,0 m · s−1 ; 30,0 m · s−1 ; 35,0 m · s−1 ; 40,0 m · s−1 . Dráhy nutné k zastav 2 13,92 ; m = 19, 3 m; 27,9 m; 62,5 m; 90 m; 122,5 m; 160 m. Při vení: s = 2a 2 · 5 stanovení bezpečné vzdálenosti je nutno vzít v úvahu i reakční dobu řidiče, s níž reaguje opožděně na zrakový vjem. 35. Budeme popisovat pohyb obou vozidel z hlediska pozorovatele, jímž je závozník rychlejšího trambusu (řidič musí sledovat vozovku a jízdní situaci). Začneme ze vzdálenosti 36 m za zadní částí pomalejšího vozidla, pak se rychlejší vozidlo dostane na stejnou úroveň po 18 m, dále bude jeho zadní 40

část míjet předek pomalejšího vozidla po 18 m, zařadí se zpět ve vzdálenosti 27 m, tedy musí ujet navíc (kromě dráhy pomalejšího vozidla 15 t) celkem 99 m (což urazí ve stejné době, tedy 20 t). Platí 99 + 15t = 20t, z čehož t = 19,8 s. Rychlejší vozidlo urazí dráhu s1 = 19,8 · 20 m = 396 m, pomalejší vozidlo s2 = 19,8·15 m = 297 m. Protože předjížděný i předjíždějící trambus zcela znepřehlední jízdní situaci, nedoporučuje se předjíždění za rychlejším vozidlem. Ještě složitější je pohyb v protisměru, neboť předjíždějící trambus omezuje vozidla, jedoucí v protisměru. 36. Těžiště sportovce, který se rozebíhá ke skoku do výšky, se nachází ve výšce 1,0 m nad rovinou hřiště, při přeskoku laťky se těžiště musí dostat do výšky asi 2,2 m, tedy zvýšit svou výšku o 1,2 m nad původní hodnotu. Svaly musejí vyvinout vhodnou sílu, vykonat práci v omezeném čase tak, aby lidské tělo získalo kinetickou energii. Samotný výpočet je velmi složitý, takže si představíme jen pohyb těžistě – změna polohové energie je přibližně rovna hodnotě pohybové energie, práce W = mgh = 70 · 10 · 1,2 J = 840 J. Odhadněme, že celý děj výskoku potrvá asi 0,6 s, tedy výkon sportovce 840 W = W = 1,4 kW. Je to jen první přiblížení“, které nebere P = t 0,6 ” v úvahu práci svalové a kosterní soustavy. 37. Rampouch ve výšce 38,5 m má polohovou energii Ep1 = m1 gh1 = 1,2 · ·10 · 38,5 J = 462 dopadne na povrch v okolí domu rychlostí √ J. Rampouch √ o velikosti v1 = 2h1 g = 2 · 38,5 · 10 m·s−1 = 27,7 m·s−1 . Impuls působící síly je v tomto případě roven F1 ∆t1 = m1 · ∆v1 = 1,2 · 27,7 N · s = 33,2 N · s. Taška ve výšce 2 m má polohovou energii Ep2 = m2 gh2 = 4,5 · 10 · 8,5 J = =√ 383 J. Taška √ dopadne na povrch v okolí domu rychlostí o velikosti v2 = = 2h2 g = 2 · 8,5 · 10 m · s−1 = 13 m · s−1 . Impuls působící síly je v tomto případě roven F2 ∆t2 = m2 · ∆v2 = 4,5 · 13 N · s = 58,7 N · s. Destrukční činnost vzniklá pádem rampouchu a tašky je v tomto případě (vzhledem k různým výškám) srovnatelná. 38. Nejprve vytvoříme model - zatímco pro stabilitu zdi je tzv. vázání cihel“, ” pro náš výpočet nastavíme cihly do sloupečku na sebe. Hustota materiálu cihel je asi 2000 kg · m−3 , tlaková síla způsobená sloupcem cihel o výšce h bude F = ̺·g·S ·h , tlak způsobený tímto sloupcem na dolní cihlu p = ̺·g·h. Tento tlak musí být menší než je dovolené napětí pro materiál, z něhož jsou 1 cihly vyrobeny, např. pevnost v tlaku 5,7 MPa. Ze vztahu p = σDt , kde k k je koeficient bezpečnosti ( v našem případě k = 10) dostaneme po dosazení 1 1 1 σ = · 5,7 · 106 m = 28 m. ̺gh = σDt , z čehož h = k k̺g Dt 10 · 2000 · 10 41

Pro stavbu vyšších domů je třeba používat pevnější materiály, jako např. železobeton. 39. Odhadneme nejprve objem sněhové vrstvy, V = S · x = 4 000 m3 , Potom m = ̺ · V . Odtud pro odhad hmotnosti sněhu v lavině vychází pro prašan (200 – 400) tun, pro případ sněhu ležícího delší dobu 1 600 tun. 40. Nejprve odhadneme, jak velký je objem sněhu na střeše této kůlny, V = = 6,0 · 2,8 · 0,4 m3 = 6,72 m3 , při hustotě ̺ = 400 kg · m−3 to představuje hmotnost m = ̺ · V = 2,7 tuny. Když majitel zvýšil teplotu vzduchu pod plechovou střechou, sněhová vrstva ležící na střeše začala sice odtávat, ale tím se současně změnily podmínky pro třecí sílu mezi plechovou střechou a sněhem; vznikl jev podobný lavině a sněhová vrstva nekontrolovaně sjela ze střechy dolů. Proto je sněhová vrstva na střechách životu nebezpečná a její stav se musí kontrolovat. 41. Pokusme se určit nejprve vzájemnou vzdálenost obou letišť; k tomu přečteme z map Google Earth 3D zeměpisné souřadnice obou míst: pro BrnoTuřany jsou souřadnice 49◦ 09′ N, 16◦ 41′ E, pro Vancouver 49◦ 12′ N, 123◦ 10′ W. Obě místa jsou prakticky na téže rovnoběžce, budeme tedy řešit jejich vzdálenost po 49. rovnoběžce. Délka této rovnoběžky je pro R = 6 371 km celkem 26 262 km, pro rozdíl zeměpisných délek asi 140◦ je délka 10 210 km. Měřením nejkratší vzdálenosti na Google Earth 3D však zjišťujeme délku letecké trasy 8 365 km, která vede z Brna severozápadním směrem, severně od Islandu, středen Grónska, a pak se stáčí k jihozápadu. Nejkratší trasa na kulové Zemi je tzv. loxodroma; je vidět, že náš odhad byl téměř o 1 900 km delší, tedy doba letu by se prodloužila o dvě hodiny (z hodnoty asi 9,5 h na 11,5 h). Některé trasy se proto nepoučenému cestujícímu zdají být velmi podivné. Bylo by ještě zajímavé zjistit, jak bude úloha vypadat z hlediska místního pásmového času: Necháme letadlo vyletět z Brna přesně ve 12:00 h; v tuto dobu bude ve Vancouveru 03:00. Rychlost otáčení bodu na 49. rovnoběžce je asi 1 100 km · h−1 . Poletí-li letadlo po rovnoběžce, dorazí do Vancouveru v 16:30, ve druhém případě ve 12:30. 42. Je nutno provést experimenty; že menší objem kapaliny, než je objem plastové lahve, podstatně ovlivňuje valení lahve – souvisí to s rozložením vody v láhvi, což ovlivňuje tzv. moment setrvačnosti lahve s vodou. Obdobně bychom zjistili, že vařené vajíčko se chová jinak než vajíčko syrové. 43. Budeme popisovat pohyb obou vozidel z hlediska cestujících v autobusu, (řidič autobusu musí sledovat vozovku a jízdní situaci). Začneme ze vzdálenosti 20 m za zadní částí posledního TIRu, pak se autobus dostane na stejnou úro-

42

veň po 18 m, dále bude jeho zadní část míjet předek posledního TIRu po 18 m, následuje pohyb podél mezery mezi TIRy,. . . autobus se zařadí zpět ve vzdálenosti 20 m před prvním TIRem, tedy musí ujet navíc (kromě drah TIRů 15 t) celkem (20+18+30+18+30+18+20+14) m (což urazí ve stejné době, tedy 20 t). Platí 168 + 15t = 20t, z čehož t = 33,6 s. Autobus urazí dráhu s1 = 33,6 · 20 m = 672 m, vozidla TIR s2 = 33,6 · 15 m = 504 m. Protože autobus i vozidla TIR zcela znepřehlední jízdní situaci, nedoporučuje se předjíždění za autobusem. Ještě složitější je pohyb v protisměru, neboť předjíždějící autobus omezuje vozidla, jedoucí v protisměru. 1 1 v t = · 50 · 20 m = 500 m, 2 1 1 2 1 1 druhý automobil se rozjížděl na dráze s2 = v2 t2 = · 60 · 25 m = 750 m. 2 2

44.a) První automobil se rozjížděl na dráze s1 =

v m · s−1 60 50 t s 0

20 25

52,5 58

Obr. 3 Graf závislosti rychlosti na čase b) 1. automobil projel první kolo za dobu t′1 = t1 + = 58 s; 2. automobil za dobu t′2 = t2 +

2 400 − s1 = (20 + 38) s = v1

2 400 − s2 = (25 + 27,5) s = 52,5 s. v2

s m 750 500 0

t s 20 25

52,5 58

Obr. 4 Graf závislosti dráhy na čase 2 400 s= 60 − 50 2 400 s = 48 s. = 50

c) Doba, za kterou se oba automobily zase budou míjet, je t = = 240 s. 1. automobil projede jedno kolo za dobu tk1

43

Za 240 s tedy ujede tk1 =

240 = 5 kol. 2. automobil projede jedno kolo za dobu 48

2 400 s = 40 s. Za 240 s tedy ujede 24040 = 6 kol. 60

45.a) Grafické znázornění pohybu v m · s−1 20 15 t s 0 40

280

400 490 550

670

910

Obr. 5 Graf závislosti rychlosti na čase b) Vzdálenost mezi stanicemi s je rovna obsahu ploch pod křivkou znázorňující závislost rychlosti na čase v obr. 5 , tj. 1 1 1 1 {s} = · 15 · 40 + 15 · 240 + · 15 · 120 + · 20 · 60 + 20 · 120 + · 20 · 240, 2 2 2 2 s = 10 200 m. Jízda bude trvat dobu t = 910 s = 15 min 10 s. 10 200 s = m · s−1 = 11,2 m · s−1 = c) Průměrná rychlost vlaku je vp = t 910 = 40 km · h−1 . 1 1 v t = · 15 · 60 m = 450 m. 2 1 1 2 d = v1 t2 = 15 · 40 m = 600 m. s3 = d = 450 m. 1 1 s4 = v1 t4 = · 15 · 120 m = 900 m. 2 2 Grafické znázornění

46.a) s1 = b) c) d) e)

v m · s−1 15 t s 0

60

130

Obr. 6 Graf závislosti rychlosti na čase 44

250

47. Objem trámu je V = 0,16 · 0.14 · 8 m3 = 0,18 m3 . Hmotnost trámu odhadneme pomocí vztahu m = ̺ · V , po dosazení m = (90 − 108) kg. Pro další výpočty budeme uvažovat m = 100 kg. Pokud by měl trám nést jeden tesař, musel by ho uchopit v těžišti, tj. ve vzdálenosti 4 m od jednoho z konců, ale takhle těžký trám by asi neunesl. Dva tesaři trám unesou, zátěž pro každého mg bez ohledu na to, zda trám nesou každý na jednom konci z nich bude 2 nebo každý ve vzdálenosti 1 m od konce. Jiná situace by nastala, pokud by jeden tesař nesl trám na konci a druhý 2 m od konce, což je schématicky znázorněno na obr. 7.

F2 F1 l 2

l −x 2

x

FG Obr. 7 Přenášení trámu   l l = F2 · − x , po dosazení 2 2 F1 1 za l = 8 m a x = 2 m dostaneme = . Protože zároveň platí, že F2 2 F1 + F2 = FG , dostaneme F1 = 333 N, F2 = 667 N. V případě, že by trám nesli tři tesaři nesoucí stejně velkou zátěž, pak bychom mohli psát F1 = F , F2 = 2F . Po  dosazení  do obecné podmínky pro rovnováhu dostaneme l l l − x , z čehož x = = 2 m. F · = 2F · 2 2 4

Z obr. 7 vyplývá podmínka rovnováhy: F1 ·

48. Velikost rychlosti dopadu závisí mj. na tom, jak hodně se běžci podaří snížit svoje těžiště v okamžiku, kdy začíná skákat dolů. Označme změnu po√ 2g∆h = lohy těžiště při seskoku ∆h. Pro rychlost dopadu pak platí v = p = 2 · 10 · (2,5 − 0,8) m · s−1 = 5,8 m · s−1 . Odhadněme hmotnost běžce na 60 kg; dobu t, za kterou se běžec dostane do 2s 2 · 0,8 1 = s = 0,3 s. podřepu odhadneme ze vztahu s = vt, z čehož t = 2 v 5,8 5,8 v N= Běžcovo tělo musí vyvinout brzdicí sílu o velikosti F = m = 60 · t 0,3 = 1,2 kN. (Tento problém by bylo možno též řešit užitím zákona zachování mv 2 1 ). mechanické energie F · s = mv 2 , z čehož F = 2 2s 45

49. Rychlost jízdy vlaku je v = (16,7 až 25) m · s−1 ; doba jízdy v podzemí je 12 000 = (719 − 480) s = (12 − 8) min, doba jízdy pode dnem potom t1 = v 38 000 = (2 275 − 1 520) s = (38 − 25) min. moře je t2 = v 50. Ze vztahu pro QV = S · v odhadneme průřez potrubí S =

QV 0,05 2 = m = v 1,2

pd2 pak vypočteme hledaný průměr potrubí = 0,042 m2 . Ze vztahu S = 4 r r 4S 4 · 0,042 d= = m = 0,23 m. p p

Literatura [1] VOLF, I.: Přípravy na výuku matematicko-fyzikálního semináře na PSJG 2009/10. Soukromý materiál. Hradec Králové: 2009. [2] VOLF, I.: Pracovní listy k výuce fyziky v 1. ročníku gymnázia. Hradec Králové: MAFY 2007/8. Rukopis. [3] VOLF, I. - JAREŠOVÁ, M.: Fyzika je kolem nás (Poloha a její změny). Hradec Králové: MAFY 2008, 40 s. [4] VOLF, I. - JAREŠOVÁ, M.: Fyzika je kolem nás (Pohyb a síla). Hradec Králové: MAFY 2007, 32 s. [5] VOLF, I. - JAREŠOVÁ, M.: Fyzika je kolem nás (Práce, výkon, energie. Hradec Králové: MAFY 2007, 36 s. [6] JAREŠOVÁ, M. - VOLF, I.: Fyzika je kolem nás (Hydrostatika a aerostatika). Hradec Králové: MAFY 2009, 48 s. [7] VOLF, I. - JAREŠOVÁ, M.: Fyzika je kolem nás (Pohyb těles v planetární soustavě). Hradec Králové: MAFY 2009, 48 s. [8] Wikipedia, free encyclopedia: <www.wikipedia.org>, anglická verse

46

Zdroje obrázků 47



48