TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Stereometrie je matematická vědní disciplina zabývající se prostorovými útvary a jejich vztahy. Je to geometrie v prostoru. 1. HRANOL a) kolmý hranol
kvádr
trojboký hranol
pětiboký hranol Horní podstava hranolu Boční stěny tvoří plášť hranolu Dolní podstava hranolu
V praxi se používá pojmu hranol častěji než kvádr. Např. dřevěný hranol (trám, des-ka - „fošna“), ocelový hranol atd. b) kosý hranol
Úkol: Pojmenujte tři předměty kolem sebe tvaru hranolu.
Objem tělesa Základní jednotkou objemu tělesa V je m3. 1m3 = 103 dm3 =1003 cm3 = 10003 mm3 tisíc
milion
c
miliarda 2
a
b
1. Objem hranolu se vypočte tak, že plochu podstavy Sp (m ) násobíme výškou hranolu v (m). V = Sp • v Objem kvádru o hranách a,b,c se vypočte tak, že plochu podstavy Sp = a • b (m2) násobíme výškou hranolu c (m). V = Sp • c = a • b • c Objem krychle o hraně a se vypočte tak, že hranu krychle umocníme na třetí. V = a3 Úkol: Je dán trojboký hranol. Podstavné hrany měří 3 m, 4 m, 5 m a jeho délka je 2 m. Může být jeho objem 12 m3? Ano, může. Podstavou je pravoúhlý trojúhelník.
1
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
2. Rotační válec
Horní podstava válce
Plášť válce
v
Dolní podstava válce
d
Objem válce = plocha podstavy krát výška válce.
V = π • d2 • v • 1/4 = π • r2 • v Úkol: Lze benzín z krychlové nádrže o hraně 0,85 m přelít beze zbytku do pravidelného válce d = v = 0,85m? Nelze Vkrychle>VVálce
3. Objem jehlanu je 1/3 objemu hranolu o stejné podstavě a výšce. v 1
V = /3 • a • b • v b
a
4. Objem kužele je 1/3 objemu válce o stejné podstavě a výšce.
V = π • d2 • v • 1/12 = 1/3 π • r2 • v v
Příklad: Ve skladu jsou dvě plné násypky písku. Jedna má tvar pravidelného jehlanu a = b = v = 4,2 m a druhá má tvar pravidelného kuželu d = v = 4,2 m. Ve které ná-sypce bude více písku? Více písku bude v jehlanu, protože 1/3 > π/12
d
2
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Komolá tělesa 5. Komolý jehlan
V =
(
v • Sd + Sd • Sh + S h 3
Sh
)
c
d v Sd
b
a Kolik m3 betonu je třeba na hlavici sloupku tvaru komolého jehlanu. Základna má plochu 0,16 m2, plocha horního čtverce je 0,01 m2.. Výška hlavice je 0,3 m. Postup na kalkulačce: 0,3 / 3 x ( 0,16 + √ (0,16 x 0,01) + 0,01) = 0,021 m3
5. Komolý rotační kužel
(
)
v V = • Sd + Sd •Sh + Sh = 3 π • v = • D 2 + D •d + d2 = 12 π • v = • R 2 + R • r + r2 3
( (
)
)
Sh
d v
D
Sd
Úkol: Pánvička o Ř 20 cm má tvar komolého kužele s Ř dna 14 cm. Kolik litrů oli-vového oleje je v pánvičce, když jeho vrstva je 0,5 cm silná a Ø hladiny je 16 cm? Postup: Olej v pánvičce má tvar komolého kužele vysokého 0,5 cm. ( V = π•v/12• (D2 + + D•d + d2). Pak cm3 převedeme na dm 3 (litry). Postup na kalkulačce: π ·x 0,5 / 12 x (16^2 + 16 x 14 + 14^2) / 1000 = 0,09 litru
3
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
6. Koule
4 •π • r3 3 1 V = • π • d3 6 V =
d
7. Kulová úseč V =
π •v • (3ρ 2 + v 2 ) ρ
v 2ρ
v V = π • v2 • r − 3
r v´
Úkol: Hustota železa je 7 800 kgm-3. Kolik váží přibližně kominická koule o průměru 100 mm? V = πv2(v – v/3) = πv22v/3 = 2/3 πv3 a to je ½ koule čili polokoule V = 1/6πd3 = 1/6•π•0,13 •7800 = 4 kg
Povrch těles (S)
1. Hranol
S = 2 • Spodstavy + SPláště Kvádr
c
S = 2 • (ab + ac + bc) b
a
SPláště = 2 • (ac + bc) Krychle S = 6 • a2
2. Rotační válec
S = 2 • π • (r + v) SPláště = 2 • π • r • v SPláště = π • d • v
v d
Úkol: Jsou dána dvě tělesa. Krychle o hraně 3 m a pravidelný válec o d = v = 3 m. Které těleso má větší povrch? Větší povrch má krychle, protože 6 x 32 > π x 32
4
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
3. Jehlan S = SPodstavy + SPláště S = ab + ava + bvb
va v
vb b
a
4. Rotační kužel S = SPodstavy + SPláště S = πr2 + πrs = πr • (r + s) SPláště = πrs
s v d
Úkol: Vypočtěte plochu pláště kuželové krytky. Průměr kužele je 258 mm a délka strany je také 258 mm. 104 558,5 mm2
5. Komolý jehlan S = Sd + Sh + SPláště S = a · b + c · d + (a + c) · va + (b + d¨) · vb
Sh c
d
va
6. Komolý rotační kužel S = Sd + Sh + SPláště S = π · R2 + π · r2 + π · (R + r) · s
vb Sd
b
a 2r Sh s
Úkol: Kolik barvy se spotřebuje na nátěr plechového krytu kruhového bazénu Ř 4,8 m? Kryt má tvar komolého kužele o délce strany 1,2 m a Ø stropu 4 m. Na 1 m2 se spotřebuje 0,3 kg barvy.
2R
Sd
Postup: 1. Plocha bez dolní podstavy: Sh + SPláště = π · r2 + π · (R + r) · s = π · (r2 + (R + r) · s) = mezivýsledek 2. Potřeba barvy: Plocha krytu (m2) x 0,3 Kalkulačka: π x (4^2 +(4,8 + 4) x 1,2) x 0,3 = 26 kg barvy
5
TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
6. Koule S = πd2 S = 4 πr2
d
6. Kulový vrchlík (bez podstavy) S = 2πrv S = πdv
v r
Úkol: Jak velká plocha naběračky se zaoblením o Ř 20 cm a hloubce 5 cm se smočí při ponoření do barvy? (Smáčí se pouze z vnějšku.) Kalkulačka: π x 20 x 5 =
v´
314,159 cm2
6. Kulový pás (bez podstav) S = 2πrv S = πdv
v
r
Úkol: Kolik pětikilových plechovek zelené barvy se spotřebuje na 2 m široký pás na kulovém vodojemu o Ř 8m? Vydatnost barvy je 0,4 kg/m2. S = πdv S=π.8.2 2. Spotřeba barvy: m = S . 0,4 Počet plechovek = m/5 Kalkulačka: π x 8 x 2 x 0,4 / 5 = 5 plechovek barvy Na natření kulového pásu se spotřebuje 5 plechovek barvy. Postup: 1. Plocha kulového pásu:
6
