Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: Tijd: Locatie:
23 juni 2003 14:00 – 17:00 uur Hal Matrixgebouw
Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is niet toegestaan. Wel mogen het aangehechte formuleblad en een rekenmachine gebruikt worden. Tip: denk aan de correcte notatie van vectoren en tensoren. Succes!
Opgave 1 Ten behoeve van de sterkteberekening van een vlak constructieonderdeel is met het pakket M ARC een eindige-elementenanalyse uitgevoerd. Het betrof een vlakke-rek (plane strain) analyse. Figuur 1 toont een detail van het onderdeel met daarin getekend isokrommen (contourlijnen) van de maximale en minimale hoofdrek (principal strain) in het vlak. Dit wil zeggen dat de respectievelijke hoofdrekken constant zijn langs ieder van de krommen in het diagram. Merk op dat de waarden die bij de krommen zijn aangegeven nog vermenigvuldigd dienen te worden met 10 −3 om de werkelijke hoofdrekken te vinden. Bij het aflezen mag afgerond worden naar de waarde van de dichtstbijzijnde isokromme.
0.5
–0.2 2.0 –0.2
2.0 0.5 –0.6 1.5 1.0
–0.4 –0.2 –0.4
0.5 1.0
–0.4
P +
–0.2 –0.4
+
P
0.5 –0.2
Figuur 1: Maximale (links) en minimale (rechts) hoofdrekverdelingen in een deel van het constructieonderdeel; waarden zijn vermenigvuldigd met 10 3 Het onderdeel is vervaardigd van staal, dat isotroop en lineair elastisch verondersteld kan worden. De elasticiteitsmodulus (Young’s modulus) van het materiaal bedraagt E = 2.1 · 10 5 MPa, voor de dwarscontractieco¨effici¨ent (Poisson’s ratio) kan genomen worden ν = 0.30. Verder is de vloeispanning (yield stress) van het staal gelijk aan σy = 360MPa en dient gewerkt te worden met een veiligheidsfactor (safety factor) van γ = 1.25. z.o.z. 1
a. Bepaal de volumetrische rek (volumetric strain) in het punt P zoals aangegeven in beide diagrammen. b. Bepaal in P de tweede invariant van de rektensor (strain tensor). c. Bepaal de maximale normaalrek (normal strain) in het afgebeelde deel van de constructie. d. Bepaal de maximaal optredende afschuiving (shear) γ max . e. Bereken de maximale afschuifspanning (shear stress) in het constructiedeel. f. Ga na of het vloeicriterium van Tresca overschreden wordt; houd hierbij rekening met de gegeven veiligheidsfactor.
Opgave 2 De toepassing van opblaasbare constructies als partytent, noodhospitaal, etc. wint aan populariteit. Een voorbeeld van een dergelijke constructie, namelijk een mobiele ontsmettings-unit, is afgebeeld in figuur 2. Het oprichten ervan geschiedt eenvoudigweg door met een compressor lucht te pompen in een voorgevormde flexibele structuur, welke meestal vervaardigd is van een met vezels versterkt rubberachtig materiaal.
eE1 α PSfrag replacements eE2 eEz
eE3 eEθ eEr
Figuur 2: Opblaasbare ontsmettingsruimte en detail van een cilindrisch structureel element Rechts in de figuur is een cilindervormig element uit de constructie schematisch weergegeven. We willen berekenen wat de maximale luchtdruk is die veilig in dit element kan worden aangebracht, zonder dat de wand scheurt. De spanningstoestand in de wand wordt bij goede benadering gegeven door de zogenaamde ketelformules, wat wil zeggen dat de spanningstensor (stress tensor) luidt σ =
pR (2Eeθ eEθ + eEz eEz ) 2t
waarin p de interne druk voorstelt, R de straal van de cilinder is en t de wanddikte. De eenheidsvectoren (unit vectors) eEr , eEθ en eEz vormen een cilindrische basis zoals aangegeven in de figuur. De wand van de cilinder is gemaakt uit een rubber dat is versterkt met kruiselings aangebrachte glasvezels. De richting van deze vezels wordt gegeven door de eenheidsvectoren (zie ook de figuur) eE1 = − sin α eEθ + cos α eEz eE2 = − cos α eEθ − sin α eEz waarbij de hoek α voorlopig onbepaald is; verder kunnen we defini¨eren eE3 = eEr . Bepalend voor het ontstaan van scheuren blijkt te zijn de normaalspanning (normal stress) in de wand en loodrecht op de vezels, met andere woorden: de normaalspanning in de eE2 - respectievelijk eE1 -richting. 2
a. Druk de cilindrische basisvectoren eEr , eEθ en eEz uit in de eenheidsvectoren eE1 , eE2 , eE3 en de hoek α. b. Laat zien dat bovenstaande spanningstensor in termen van de basis {Ee 1 , eE2 , eE3 } herschreven kan worden als pR 2 2 σ = 1 + sin α eE1 eE1 + sin α cos α (E e1 eE2 + eE2 eE1 ) + 1 + cos α eE2 eE2 2t c. Bepaal uitdrukkingen voor de normaalspanningen in de (vezel-)richtingen eE1 en eE2 ; schets hun verloop als functie van α voor 0 ≤ α ≤ 12 π. d. Voor welke hoek α kan de interne druk p het hoogst opgevoerd worden voordat in e´ e´ n van beide vezelrichtingen falen optreedt? e. Bereken de maximaal toelaatbare druk p voor een vezelhoek α = 0 als verder gegeven is dat R = 150 mm, t = 1.25 mm en de toelaatbare normaalspanning σ y = 6.0 MPa.
Opgave 3 Het spanningsveld rond een rechte randdislocatie in een oneindig groot, lineair elastisch medium wordt gegeven door σ (x, y) = σ x x (x, y)Eex eEx + σx y (x, y) eEx eEy + eEy eEx + σ yy (x, y)Ee y eEy + ν σx x (x, y) + σ yy (x, y) eEz eEz met {Eex , eEy , eEz } een Cartesische basis met de oorsprong in de dislocatiekern (zie figuur 3) en de functies σx x (x, y), σx y (x, y) en σ yy (x, y) gegeven door 3x 2 + y 2 (x 2 + y 2 )2 x 2 − y2 σ yy (x, y) = Dy 2 (x + y 2 )2 x 2 − y2 σx y (x, y) = Dx 2 (x + y 2 )2
σx x (x, y) = −Dy
Hierin is D=
Gb 2π(1 − ν)
en G de glijdingsmodulus (shear modulus), b de lengte van de Burgers vector en ν de dwarscontractieco¨effici¨ent (Poisson’s ratio). PSfrag replacements eEy
eEx x =0
glijvlak x =a
Figuur 3: Randdislocatie op het glijvlak y = 0
z.o.z. 3
a. Laat uitgaande van de algemene evenwichtsvergelijking (equilibrium equation) E · σ + ρ qE = 0E ∇ zien dat voor evenwicht in dit geval moet gelden ∂σx x ∂σx y + =0 ∂x ∂y ∂σ yy ∂σx y + =0 ∂x ∂y b. Ga na of de gegeven spanningscomponenten σ x x (x, y), σ yy (x, y) en σ x y (x, y), inderdaad aan deze vergelijkingen voldoen. c. Bepaal de spanningsvector (stress vector) pE0 (x) die werkt op het glijvlak y = 0 als gevolg van de aanwezigheid van de dislocatie in de oorsprong. Is de uitkomst realistisch voor alle waarden van x? d. Beargumenteer dat een dislocatie in (x, y) = (a, 0) in plaats van in de oorsprong zal leiden tot een spanningsvector op het glijvlak y = 0 die gelijk is aan pEa (x) = pE0 (x − a). e. Bereken voor het geval dat beide dislocaties, te weten in (x, y) = (0, 0) en (a, 0), gelijktijdig aanwezig zijn de spanningsvector op het glijvlak y = 0 midden tussen de dislocaties (dus voor x = 12 a).
4
Uitwerkingen Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Datum: Tijd: Locatie:
23 juni 2003 14:00 – 17:00 uur Hal Matrixgebouw
Opgave 1 a. In punt P zijn de hoofdrekken gelijk aan 1 = 1.0 · 10−3 , 2 = 0 (vanwege vlakke rek) en 3 = −0.4 · 10−3 . De rektensor in dit punt kan geschreven worden als ε = 1 NE1 NE1 + 2 NE2 NE2 + 3 NE3 NE3 met NE1 , NE2 en NE3 de (onbekende) hoofdrekrichtingen. De volumetrische rek e is hiermee gelijk aan e = tr(ε) = 1 + 2 + 3 = 0.6 · 10−3 b. De tweede invariant van ε is gegeven door J2 (ε) = 12 tr2 (ε) − tr(ε · ε) = 12 (ε1 + ε2 + ε3 )2 − ε12 + ε22 + ε32 Uitwerken voor de afgelezen hoofdrekken levert dan J2 (ε) = −0.4 · 10−6 c. De maximale normaalrek wordt in ieder punt gegeven door de maximale hoofdrek: εnn,max = 1 Uit het linker diagram is eenvoudig af te lezen dat het maximum hiervan (bij benadering) gelijk is aan εnn,max = 2.0 · 10−3 d. De maximale afschuiving in een punt is gelijk aan het verschil van de maximale en minimale hoofdrek: γmax = 1 − 3 Het grootste verschil van hoofdrekken wordt gevonden bij de bovenste afronding, namelijk: γmax = 2.0 · 10−3 − −0.6 · 10−3 = 2.6 · 10−3
e. De schuifspanning op een vlakje wordt gegeven door τns = Gγns
De maximale schuifspanning zal dus ook gelijk zijn aan τmax = Gγmax =
E γmax 2(1 + ν)
Invullen van de gegeven materiaalparameters en de hierboven berekende γ max levert τmax = 210 MPa 1
f. Het Tresca-vloeicriterium stelt dat de grens van het elastische gebied wordt gegeven door σ1 − σ 3 = σ y ofwel, tevens rekening houdend met de veiligheidsfactor, 2τmax = σa Op basis van het vorige antwoord en de gegeven parameters vinden we 2τmax = 420 MPa
σa =
σy = 288 MPa γ
Het Tresca-criterium wordt dus inderdaad overschreden.
Opgave 2 a. Aangezien {Ee1 , eE2 , eE3 } een orthonormale basis vormt kunnen we schrijven eEr = (Eer · eE1 ) eE1 + (Eer · eE2 ) eE2 + (Eer · eE3 ) eE3 eEθ = (Eeθ · eE1 ) eE1 + (Eeθ · eE2 ) eE2 + (Eeθ · eE3 ) eE3 eEz = (Eez · eE1 ) eE1 + (Eez · eE2 ) eE2 + (Eez · eE3 ) eE3 Uitwerken van de inproducten levert eEr = eE3 eEθ = − sin α eE1 − cos α eE2 eEz = cos α eE1 − sin α eE2 Deze relaties kunnen ook direct uit de figuur afgeleid worden. b. De gegeven uitdrukking volgt rechtstreeks door invullen van bovenstaande relaties voor eEr , eEθ en eEz . c. De normaalspanningen in de eE1 - en eE2 -richting volgen uit pR 1 + sin2 α = 2t pR = eE2 · σ · eE2 = 1 + cos2 α = 2t
σnn1 = eE1 · σ · eE1 = σnn2
pR (3 − cos 2α) 4t pR (3 + cos 2α) 4t
Als functie van α hebben deze uitdrukkingen het volgende verloop: PSfrag replacements σnn pR t σnn2
σnn1
pR 2t
0 0
1 π 4
2
1 π 2
α
d. De optimale sterkte wordt gevonden voor die hoek waarvoor de grootste waarde van σ nn1 en σnn2 minimaal is. Uit bovenstaand diagram kan eenvoudig worden afgelezen dat dit voor α = 14 π is. e. Voor α = 0 zijn de normaalspanningen loodrecht op de vezelrichtingen gegeven door σnn1 =
pR 2t
σnn2 =
pR t
Bepalend is dus wanneer σnn2 = σy . Uitwerken van deze vergelijking levert: pmax =
t σy = 0.050 MPa = 0.50 bar R
Opgave 3 a. Aangezien er geen sprake is van een verdeelde belasting is qE = 0 in de algemene evenwichtsvergelijking. Uitwerken van de divergentie voor de gegeven uitdrukking van de spanningstensor leidt dan tot ∂σx x ∂σx y ∂σ yy ∂σx y + eEx + + eEy = 0E ∂x ∂y ∂x ∂y Gelijkstellen van de componenten in x- en y-richting van deze vergelijking levert de gevraagde relaties. b. Uitwerken van de relevante afgeleiden van σ x x (x, y), σx y (x, y) en σ yy (x, y) levert: ∂σx x 6x 3 y − 2x y 3 =D ∂x (x 2 + y 2 )3 ∂σx y −x 4 + 6x 2 y 2 − y 4 =D ∂x (x 2 + y 2 )3
∂σ yy x 4 − 6x 2 y 2 + y 4 =D ∂y (x 2 + y 2 )3 ∂σx y −6x 3 y + 2x y 3 =D ∂y (x 2 + y 2 )3
Invullen laat onmiddellijk zien dat aan de evenwichtsvergelijkingen wordt voldaan voor alle (x, y) 6 = (0, 0). c. Het glijvlak heeft als normaal nE = eEy . De spanningsvector op dit vlak volgt dus uit pE(x) = σ (x, 0) · eEy = σx y (x, 0) eEx + σ yy (x, 0) eEy =
D Gb 1 eEx = eEx x 2π(1 − ν) x
Voor x → 0 gaat de lengte van deze vector naar oneindig. Dit is niet erg realistisch; het gegeven spanningsveld kan dan ook alleen gebruikt worden op enige afstand van de dislocatie. d. Als de dislocatie verschuift van x = 0 naar x = a zal het spanningsveld meeschuiven. Dit betekent dat de spanningsvector in een punt (x, y) ten gevolge van de dislocatie in x = a gelijk moet zijn aan de spanning in (x − a, y) ten gevolge van de oorspronkelijke dislocatie in x = 0. Voor de spanningsvector op het glijvlak moet dan ook gelden dat pEa (x) = pE0 (x − a) e. Aangezien de evenwichtsvergelijking een lineaire differentiaalvergelijking is mogen we gebruik maken van superpositie. Dit wil zeggen dat de spanningstensor in (x, y) = ( 12 a, 0) ten gevolge van beide dislocaties gelijk is aan de som van de spanningen ten gevolge van de individuele dislocaties. De spanningsvector hangt op lineaire wijze af van de spanningstensoren, dus mogen we ook meteen de spanningsvectoren pE0 (x) en pEa (x) optellen. Voor x = 12 a vinden we dan, gebruik makend van de antwoorden op de vorige twee vragen: 2 2 1 1 1 1 1 pE( 2 a) = pE0 ( 2 a) + pEa ( 2 a) = pE0 ( 2 a) + pE0 (− 2 a) = D − eEx = 0E a a
3
