Tentamen Natuurkunde I 09.00 uur - 12.00 uur woensdag 7 januari 2009 docent drs.J.B. Vrijdaghs
Aanwijzingen: • Dit tentamen omvat 5 opgaven met totaal 25 deelvragen • Maak elke opgave op een apart vel voorzien van naam, nummer en studierichting • Geef alleen antwoord op de gestelde vragen en beantwoord deze kort en bondig • Noodzakelijke gegevens staan op de formulekaart achteraan
Vul in: Naam
Nummer
Studie
Leiden: Delft:
1
Opgave 1. Het vizier Met een perfect horizontaal afgeregeld geweer richt een schutter op de roos van een schietschijf en schiet een kogel af. De schietschijf staat op een afstand van 100 m en geweer en roos bevinden zich op dezelfde hoogte boven de grond. Zie tekening. De kogel verlaat het geweer met een snelheid van 800 m/s. 10 We verwaarlozen luchtwrijving. Het richten gebeurt door de korrel aan het eind van de loop 20 precies in de inkeeping van het vizier te houden. 30 50
V0x = 800 m/s
X = 100 m De diameter van de roos is 4,00 cm en elke ring rond de roos heeft een dikte van 2,00 cm. a) Bereken de score van de schutter Na dit weinig succesvolle schot stelt de schutter het vizier een beetje bij door het in verticale richting te verstellen en treft dan bij het volgende schot de roos. b) Moet de schutter, om de roos te raken, het vizier iets omhoog of juist iets naar beneden verstellen? De hoek die de startsnelheid in dit geval met de horizontaal maakt wordt gegeven door:
v 02 ⋅ sin(2α ) Xt = g
waarin g de vrije valversnelling is.
c) Toon aan de hand van eenheden aan dat deze formule juist kan zijn. d) Bereken hoek alpha e) Bereken het verschil in looptijd van de twee schoten. (kies alpha gelijk aan 0,500 graden als u de vorige vraag niet kon beantwoorden) 2
Opgave 2. Slinger Een slinger bestaat uit een dunne snaar met een lengte van 67,00 meter en een verwaarloosbare massa. Aan de snaar hangt een bol met een diameter van 11,0 cm en een massa van 28,0 kg. We starten de slinger door hem onder een slingerhoek θ van 30,00 met de verticaal los te laten.
a) Leg uit waarom in dit geval de harmonische benadering voor de hoekfunctie θ t = θ 0 ⋅ cos(ω t ) niet gebruikt mag worden b) Bereken het moment ten opzichte van het ophangpunt. c) Bereken het traagheidsmoment van de als puntmassa op te vatten slingerende bol ten opzichte van het ophangpunt d) Toon aan, dat de hoekversnelling in die uiterste stand gelijk zal zijn aan 74.10 -3 rad/s2 e) Bereken de hoeksnelheid van de slinger in het laagste punt f) Bereken de spankracht in de snaar in het laagste punt
3
Opgave 3. Elektrisch veld In de hoekpunten A, B en C van een gelijkzijdige driehoek met zijde 2d plaatsen we puntladingen:.
q A = q B = +2,0 nC
en qC = −4,0 nC
a) Druk de totale kracht op puntlading qA uit in d b) Bereken de richting van de kracht op puntlading qA en geef deze in een schets aan c) Druk de totale kracht op puntlading qC uit in d d) Bereken de potentiaal in het meetkundige zwaartepunt van de driehoek e) Bereken de arbeid bij verplaatsing van een testlading van -3,0 nC vanuit het zwaartepunt naar het midden M van lijnstuk BC f) Leg uit of deze arbeid geleverd moet worden of dat deze energie vrij komt
4
Opgave 4. Krachtwerking tussen twee stromen De grootte van het magnetisch veld rond een oneindig lange stroomdraad op afstand r wordt gegeven door de formule:
B=
µ0 I ⋅ 2π r
a) Leidt deze formule af. Door twee in vacuüm evenwijdig opgestelde zeer dunne metalen staven met te verwaarlozen diameter lopen stromen in tegengestelde richting. b) Geef in een schets (zie onder) van deze situatie de stroomrichting aan en leg nauwkeurig uit in welke richting de kracht van het magnetisch veld van de ene stroom op de andere stroom werkt c) Bereken deze kracht per meter staaf tussen de twee stromen als hun onderlinge afstand gelijk is aan 0,25 m en de stroomsterkte door de staven gelijk is aan 0,50 A (Bereken hiertoe ook µ0) Vervolgens stellen we beide staven zodanig op, dat ze elkaar op t = 0 s loodrecht kruisen (en dus niet snijden), waarbij de ene staaf vrij kan bewegen en de andere staaf vast opgesteld is. Zwaartekracht is te verwaarlozen d) Beredeneer het gedrag van de vrij opgestelde staaf op t = 0 s met behulp van een schets waarin de stroomrichtingen en veldrichtingen aangegeven zijn e) Beredeneer het gedrag van de vrij opgestelde staaf een fractie later met behulp van een schets waarin de stroomrichtingen en veldrichtingen aangegeven zijn
5
Opgave 5. Polarisatiefilters Een ronde ongepolariseerde bundel monochromatisch licht (λ = 650 nm) heeft een intensiteit van 4,0 mW/m2 en een doorsnede van 6,00 mm. a) Bereken het aantal fotonen dat per seconde door een doorsnede van de bundel gaat b) Bereken de fotonendichtheid per meter in de bundel Deze bundel valt op twee onderling loodrecht staande polarisatiefilters waardoor het licht wordt tegengehouden. Vervolgens schuiven we een polarisatiefilter tussen de twee opgestelde filters waarbij het derde filter een polarisatierichting heeft dat niet samenvalt met die van een van de andere twee filters. c) Leg uit of er wel of geen licht uit het systeem van de drie filters zal komen
Werk, samen met de opgaven en volledig ingevuld aanmeldingsformulier, bovenop inleveren.
6
Tentamen_070109_uitwerking Opgave 1. Het vizier a) Horizontale worp: Kies naar beneden en naar rechts positief en kies de oorsprong in het startpunt.
X t = v0 x ⋅ t ⇒ 100 = 800 ⋅ t ⇒ t = 0,125 s 1 a y ⋅ t 2 = 0 + 0 + 0,5 ⋅ (+9,81) ⋅ 0,125 2 = 0,077 m 2
Yt = Y0 + v0 y ⋅ t + ⇒ score = 10
b) Iets omhoog. (Dan moet de achterkant van het geweer iets zakken om de richtlijn op de roos te houden en schiet je dus schuin omhoog) c)
v 2 sin 2α Xt = 0 ⇒ g [m] =
[m / s] 2 ⋅ [1] [m / s 2 ]
[m 2 ⋅ s 2 ]
=
[m ⋅ s 2 ]
= [m] ⇒ klopt
d)
sin 2α =
g ⋅ Xt v02x
=
9,81.100 800 2
= 1,533.10 − 3 ⇒
1 2
α = arcsin(1.533.10 −3 ) = 43,9.10 −3 graden e)
X t = v0 x ⋅ t = v0 cos α ⋅ t ⇒ t = ∆t =
100 −3
800 ⋅ cos(43,9.10 )
100 −3
⇒
800 ⋅ cos(43,9.10 )
− 0,125 = 36,7 ns
Als we de significantie van de gegevens in aanmerking nemen is deze uitkomst niet te verantwoorden en zou het juiste antwoord nul zijn. Bij de keuze
α = 0,500 0 krijgen we ∆ t =
100 − 0,125 = 4,76.10 − 6 s 800 ⋅ cos(0,500)
1
Opgave 2. Slinger a) Bij de afleiding van de formule is gebruik gemaakt van de benadering sin θ ≈ θ (metθ in radialen). Deze benadering is redelijk (afwijking < 1%) voor kleine hoeken (100 of kleiner). De gekozen starthoek van 300 zal een onjuiste uitkomst opleveren. b) De arm van de zwaartekracht ten opzichte van het ophangpunt is gelijk aan de afstand van het zwaartepunt van de bol tot de verticaal. De grootte van het moment is dan:
| M |=| r × Fz |= F ⋅ d = m ⋅ g ⋅ l ⋅ sin θ = 28,0.9,81.(67,00 + 0,11 / 2) / 2 = 9,21.103 Nm De richting is het papier uit. c)
I = m ⋅ r 2 = 28,0.(67,00 + 0,110 / 2) 2 = 126.103 kgm 2
dω d ω M 9,21.10 3 ⇒α= = = = 74.10 −3 rad / s 2 d) M = I ⋅ 3 dt dt I 125.10 e) We berekenen eerst de snelheid in het laagste punt met behulp van de WvBvE
L – ∆h = L.cos 300
∆h
2
mg∆h = mg ( L − L cos 30 0 ) = 28,0.9,81.(67,00 + 0,11 / 2).(1 − cos 30 0 ) = 1 2 2.2,47.10 3 2,47.10 = mv ⇒ v = = 13,3 m / s ⇒ 2 28,0 3
v r
ω= =
13,3 = 0,198 rad / s 67,00 + 0,11 / 2
f) De spankracht verminderd met de zwaartekracht levert de benodigde centripetale kracht naar het ophangpunt.
mv 2 v2 Fcent = Fs − Fz ⇒ Fs = mg + = m( g + ) = L L 28.(9,81 + 13,3 2 /(67,00 + .11 / 2)) = 348 N Opgave 3. Elektrisch veld a) + b)
FB → A = 9,0.10
9
FC → A = 9,0.10
(2.10 − 9 ) 2 ( 2d )
9
2
= 9,0.10 − 9 ⋅
2.10 − 9.4.10 − 9 ( 2d )
2
1 d
2
naar links
= 18,0.10 − 9 ⋅
1 d
2
langs AC , naar C
We zien onmiddellijk dat de vectoroptelling van deze twee krachten recht omhoog zal wijzen en in grootte gelijk is aan
Ftot . op A = FB → A ⋅ 3 = 9,0.10 − 9 ⋅
3 d
2
N
3
c) Uit de symmetrie en de derde wet van Newton volgt dat de totale kracht op C gelijk zal zijn aan de som van de twee totale krachten op A en B en dus gelijk is aan twee maal de totale kracht op A, maar dan recht naar beneden gericht.
Ftot . op C = 2 ⋅ Ftot . op A = 18,0.10 − 9 ⋅
3 d
2
N recht naar beneden
Natuurlijk kan ook de vectorsom op C naar beneden berekend worden. Zie analoog probleem in werkcollege. d)
Vtot . in Z = VZ tgv A + VZ tgv B + VZ tgv C
(2 + 2 − 4).10 − 9 = 9,0.10 = 0V 2 .d . 3 3
e) De arbeid is gelijk aan WZ → M = q∆V = We moeten dus de potentiaal in M berekenen:
9
q (VZ − VM )
Vtot . in M = VM tgv A + VM tgv B + VM tgv C = 9,0.109 (
2 d 3
+
2 −4 2 1 1 + ).10 − 9 = 9,0( + 2 − 4). = −7,6. V d d d d 3
De arbeid die het veld verricht is dus gelijk aan:
WZ → M = q∆V = q (VZ − VM ) = 1 1 − 3,0.10 − 9 [0 − (−7,6 ⋅ )] = −23.10 − 9 ⋅ J < 0 d d f) De arbeid die het veld verricht is negatief. Hiervoor moet arbeid verricht worden. Of ook: Het negatief geladen deeltje wordt naar een plaats met lagere potentiaal gebracht. Dit gaat niet vanzelf en er moet dus arbeid geleverd worden.
4
Opgave 4. Krachtwerking tussen stromen
a)
∫ ( B ⋅ ds ) = µ0 ∑ I → B.2π r = µ0 .I → B =
µ0 I 2π r
c)
µ0 I1.I 2 FL 0,50 2 FL = B.I .l → = B.I = = µ0 . = 0,159 µ 0 l 2π r 2π .0,25 c=
1
ε 0 µ0
→ µ0 =
1
ε 0c
2
=
4π 4πε 0 c
2
= 4π .9,0.109 / c 2 →
FL = 0,159.4.π .9,0.109 /(3,0.108 ) 2 = 2,0.10 − 7 N / m l b) +d)
F F B B B F
Bij de getekende tegengestelde parallelle stroomrichtingen staat het veld op de rechterdraad recht naar voren volgens de schroefregel bij een rechte stroomdraad. De stroom omhoog ondervindt dan volgens het uitproduct F = I × B.l een kracht naar rechts. Andersom geredeneerd (of volgens de derde wet van Newton: actie = - reactie) ondervindt de stroom naar beneden een kracht naar links en dus stoten de draden elkaar af.
5
In de tweede tekening ondervindt de los liggende draad een koppel zoals aangegeven en zal dus in eerste instantie in het verticale vlak gaan roteren met de gestippelde afstand tussen de draden als draaiingsas. Zodra de draad iets verdraaid is zal de stroom door die draad iets naar beneden gericht zijn. De twee lorentzkrachten, die zowel loodrecht op het magneetveld als op de stroom blijven staan, zullen dan in de richting van de verticale draad gaan werken terwijl de combinatie van de twee lorentzkrachten nog steeds voor een koppel blijft zorgen.. Het gevolg is, dat de losse draad roterend op de verticale draad afgaat. De stromen staan uiteindelijk evenwijdig en in dezelfde richting tegen elkaar aan en de staven blijven elkaar aantrekken.
Opgave 5. Polarisatiefilters a) De doorsnede van de bundel is A = π .r 2 = π .(6,00.10 − 3 / 2) 2 = 28,3 µm De energie die per seconde door de doorsnede gaat is dan: 4,0.10 − 3.28,3.10 − 6 = 113 nJ Het foton heeft een energie van:
E foton = hf = h
c
λ
= 6,62607.10 − 34.
3,0.108 650.10
−9
= 306.10 − 21 J
−9 Per seconde passeren dan 113.10 = 0,37.1012 fotonen de doorsnede − 21
306.10
b) In een seconde legt het licht een afstand van 3,0.108 meter af. Dit betekent, dat het aantal fotonen uit vraag a) dat in een seconde door een doorsnede stroomt verdeeld is over een afstand van 3,0.108 meter. De elektronendichtheid per meter bundel is dan: 0,37 .1012 / 3,0.10 8 = 1,2.10 3 fotonen per meter. c) De bundel is ongepolariseerd. Dit betekent dat de elektrische vector in de em-golf in alle richtingen (loodrecht op de voortplantingsrichting) trilt. Elke trillingsrichting is te ontbinden in een x-component samen met een y-component. Veronderstel nu, dat het eerste filter de x-componenten van de trillende elektrische vectoren er uit schept, dan zijn alleen de y-componenten van alle trillingsrichtingen nog over en die staan dan juist loodrecht op de polarisatierichting van het tweede filter en worden dan door het tweede filter tegengehouden. Vandaar dat er geen licht uit het systeem van twee onderling loodrecht staande filters komt. 6
Bij het tussenschuiven van een derde filter met een aan de andere twee filters ongelijke polarisatierichting zal een gedeelte van de zuivere y-componenten vanuit het eerste filter door het derde filter tegengehouden worden. Ontbinden we die zuivere y-componenten die uit het eerste filter komen in de twee onderling loodrechte richtingen die bij het derde filter horen, dan zal dit derde filter de ene richting tegenhouden en de andere loodrecht daarop staande richting doorlaten maar die richting is dan niet loodrecht op de polarisatierichting van het tweede filter. Er zal dan wèl (verzwakt) licht uit het systeem van drie filters komen.
7
