/
E&M
Tentamen E&M 25 Juni 2012
Aanwij zingen De toets bestaat uit twee delen. Het eerste deel behelst begripsvragen en moet na 60 mi;ft,~e·~\'lo.J:AI~tll verd. De antwoorden op de begripsvragen moeten op een apart vel worden gemaakt. l\lll,.irn-"'1"t studentennummer en opleiding duidelijk in te vullen. Het tweede dee) van de toets bestaat uit opgaven met wat meer rekenwerk. Lees voor het beantwoorden de tekst van de opgave eerst helemaal zorgvuldig
Het aantal te behalen punten p er opgave staat in de hokjes in de kantlijn.
Dee I 1: Begripsvragen 1) Gegeven een elektrostatische configuratie met een aantal elektrodes, bestaande uit geleiders zoals in de
10 pt
onderstaande figuur. Geef in deze figuur aan wat de volgorde van de potentialen zijn van de elektrodes. Geef de meest extreme potentiaal aan met VI (kies deze als positief) en het andere uiterste met V4. Maak ook een schatting van de grootte van de potential en van de elektroden. De figuur is spiegelsymmetrisch in de verticale middellijn. De contouren zijn equipotentiaal-vlakken.
Figuur 1: El ekt ris ch potent iaal landschap en met geleidende elektrodes
25 juni 201 2
E&M
Bol/er, Offerhaus, Dhalle
Tentamen E&M 25 Juni 2012 E&M 140305
2) In figuur 2 hieronder is een magnetisch veld geschetst (bovenaanzicht en in doorsnede). ~
~
a) Stel dat je een Ampere Ius wil gebruiken om het veld te berekenen. Hoe kies je dan die Ius? Schets je keuze en verklaar ze in een paar zinnen. b) Stel dat de figuur een elektrische stroom voorstelt in plaats van magnetische veldlijnen. Hoe kies je dan de Ampere lussen en waarom (schets + paar zinnen uitleg).
Boven aanzicht
..... ..... ..... .....
>1100< X X »00< X X >1100(
X X
>1100< X >1100< X
Doorsnede
X X
Figuur 2: Bovenaanzicht en doorsnede van een familie magnetische veldlijnen (deelvraag a) of elektrische stroomliinen ldeelvraag b\ .
3) Een ronde staaf met massa m rolt vanuit stilstand over twee evenwijdige rails (op onderlinge afstand w) een helling af. Zowel de staaf als de rails zijn elektrisch geleidend. Bovenaan zijn de rails met elkaar pt doorverbonden via een elektrische weerstand R. De helling heeft een stijgingshoek a en bevindt zich in een homogeen verticaal magneetveld B (figuur 3).
110 I
18
zl~ylnw® y~x J~x R
0
8
0
vx B
-+
0
w
m
Figuu r 3: Zijaanzicht (links) en bovenaanzicht (rechts) van een helling w aarover een geleidende staaf door een magneetveld naar beneden rolt.
a) Na verloop van tijd wordt de snelheid van de staaf (asymptotisch) constant. Leg met een schets en maximaal 5 zinnen kwalitatief uit waarom dit zo is. Benoem hierbij de wetten en krachten die je in je argumentatie gebruikt. b) Beschouw het probleem nu kwantitatief en bepaal de horizontale component Vx van die uiteindelijke constante snelheid. (Neem daarbij aan dat de weerstand van de staaf en rails verwaarloosbaar zijn vergeleken met R.)
2
25 juni2012
E&M
Boller, Offerhaus, Dhalle
Tentamen E&M 25 Juni 2012 E&M 140305
4) Hieronder staan I 0 stelling. Lees ze aandachtig (elk woord kan belangrijk zijn). Zijn de stellingen waar of niet waar en waarom? Geef een toelichting van minimaal I en maximaal 5 zinnen.
II0 pt I a)
A Is A en B twee dichtbij elkaar gelegen punten zijn die niet op hetzelfde equipotentiaalvlak liggen, dan moet de elektrische veldsterkte in A en B verschillend zijn.
b) Het elektrische veld van een lijnlading (oneindig lange lijn met homogeen verdeelde lading) neemt kwadratisch af (als lli) met de afstand s tot de lijn c)
De vrij elektrische lading van een condensator wordt altijd verlaagd wanneer we een dielektricum inbrengen.
d) Bij een overgang tussen een dielektricum (zonder vrije lading) en het vacui.im blijven grootte en richting van het D-veld ongewijzigd. e)
De rotatie van de magnetische vector potentiaal is altijd nul in statische situaties.
f)
In een homogeen magnetisch veld (een homogene magnetische inductie B) ondervindt een stroomvoerende stroomkring die niet loodrecht op het veld staat een netto moment en een netl;o kracht.
g) Een stuk weekijzer (1-lr > 1) wordt geplaatst in een magnetisch veld B, waarbij de normaal van het oppervlak niet parallel loopt aan de magnetische veldlijnen. De magnetische veldlijnen breken dan naar de normaal toe. h) Als een brok materiaal met magnetisatie M wordt verplaatst langs de as van een oneindig lange stroomvoerende spoel, hangt het van de bewegingsrichting af of dit energie kost dan wei energie oplevert i)
In een statisch probleem is de divergentie van de volume-stroomdichtheid J altijd gelijk aan nul.
j)
De zelfinductie van een spoel is altijd evenredig met de stroom die door de stroom loopt.
3
25j uni2012
Boller, Offerhaus, Dhalle
E&M
Tentamen E&M 25 Juni 2012 E&M 140305
Deel2: Rekenvragen • • • •
Lees de vragen goed door alvorens met het oplossen te beginnen. Maak of kopieer schetsen van de situatie zoals deze in de tekst wordt voorgesteld Teken aile re levante grootheden in de schets. Begin elke vraag op een nieuwe pagina.
5) Beschouw een cilinder condensator (figuur 4). Een elektrisch geleidende, lange en cilinder-vormige staaf draagt een lading van A. Coulomb per meter. De straal van de staaf is R 1• Concentrisch om de staaf heen zit een dikke, elektrisch geleidende cilinder-mantel met binnenstraal R2 en buitenstraal R3 • Deze mantel bevat geen netto lading. De ruimte tussen de staaf en de cilinder is geheel gevuld met een dielektricum met een relatieve elektrische permeabil iteit vane= 2e0• a) Geef een uitdrukking voor de oppervlakteladingsdichtheid cr 1 (in Coulomb per m2) op de staaf (op s = RI). b) Geef uitdrukkingen voor de dielectrische verplaatsing D binnenin de staaf (s < R 1); tussen de staaf en de geleidende mantel (R 1 < s < R2 ); binnenin de geleider (R2 < s < R3) en buiten de geleider (R3 < s ). De staaf en mantel mogen als oneindig lang beschouwd worden. (Druk het antwoord uit ins, crh e, R~> R2 en R3.) c)
Gebruik het antwoord op vraag b om de grootte van E als functie van de afstand s tot de centrale as te schetsen.
d) Geef een uitdrukking voor de gebonden volume-ladingsdichtheid Pb tussen R1 en R2 (weer ins, cr~, e, R1 , R2 en R3). e)
Wat zijn de oppervlakteladingsdichtheden cr2 op de binnenwand van de Figuur 4: cilinder condensator geleidende mantel (bij s = R2) ; en cr 3 op de buitenwand van de mantel (bij s = R3).
f)
We kiezen de elektrische potentiaal V = 0 middenin de geleidende mantel (op s = ( R2+ R 3)/2 ). Geef de potentiaal op de centrale as (op s = 0).
6) Beschouw een enkele geladen ring zoals in figuur 5. l
X Figuur 5: Elektrisch vel d en pot entiaal boven het centrum van een gela den rin g?
a) Toon aan dat de grootte van het elektrische veld E op de z-as (dus loodrecht hoven het midde lpunt van de ring op een afstand z) kan geschreven worden als
E(z)-IU
z
- 2 8 o ( R 2 + z 2 ) 3/ 2
4
25j un i2012
Boller, Offerhaus, Dhalle
E&M
Tentamen E&M 25 Juni 2012 E&M 140305
b) A Is we nu het veld van een platte schijf will en berekenen kunnen we dat doen door de schijf te zien als een verzameling van ringen. Stel een integraal op voor het veld hoven het middelpunt van de ronde schijf. c)
Waartoe herleidt bovenstaande uitdrukking zich wanneer R >> z? Verwachtte je dit? Waarom?
7) Beschouw een stroomvoerend lijnstuk met eindige lengte (figuur 6a).
115 pt 1
p
I (b)
(a)
Figuur 6: magnetische inductie t .g.v. een eindig lijnstuk (a) of in het centrum van een gelijkzijdige driehoek (b).
a) Toon aan dat de magnetische inductie B in het punt P, die wordt opgewekt door de stroom I die door het lijnstuk loopt, kan worden geschreven als
-
Jll 0 - ( cosO, -cosB2 )z . 4Jrs
B =-
Hierbij iss de loodrechte afstand van P tot het lijnstuk (eventueel tot het verlengde ervan), en zijn de hoeken B1 en fh. aangeduid in de figuur. De z-as staat loodrecht op het blad van de tekening. b) Werk met deze formule de magnetische inductie B uit in het centrum C van een gelijkzijdige stroomvoerende driehoek (met zijde a en stroom I, figuur 6b).
8) Hieronder zijn vier statische vectorvelden
8
F, (r) gegeven.
De constanten a, b en c zijn telkens eindig
(m .a.w. ze zijn niet nul).
15 pt F,(r)=ax+by+cz
F2 (r) = ax X:+ by + (
(cartesisch)
~) i
( cartesisch)
F3 (r) =a cos¢ s+ (b-asin¢) q, +c i
(cilindrisch)
F4 (r) = ~ r + b q,
(sferisch)
r
a)
-
-
Bereken van elk vectorveld zowel de divergentie 'V·F, als de rotatie V x F, .
F, (r) aan: of het mogelijk een elektrisch veld E(r) kan zijn; of het een B(r) kan zijn; of het geen van beide kan zijn; of het allebei kan zijn.
b) Geef voor elk vectorveld magnetische inductie
5
25juni2012
