IIl I
I
I
.:
I 1. t--
;, '
' I
.':;i
'h
,i:' ;
"_rr
.-!'
'.
. I
€
--F.:
q
.n}
-%i_-.__
,ERPUSTAKAAN iI JAWA TIMUR t
.*
/t
-t,-t :il*F . .:-
'[4 t
.*
te i*
=*'
i,:4 ll t1
//
Pengantar
AI{AIISffi DII{AIIIIS DAI{ GEIIIPA
BenjaninLunantarna
Diterbi&an Atas Kerjasama
@ LPPil
Universitrs,ltisten PETRA Surabaya
'i
T t
rATA PEI|GAIT"AR
Oleh: Be4iomin Lumontarno
Hak Cipta @ 2000 Pda Penulis, Dilarang memperbanyah *bagian atau seluruh isi buhu ini dalam bentuh apapun, tanpa izin brtulis furi penulis. Edisi Pettamo Cetahan Pettuma, 20(N Cetahan l{edua, 2001
Pencrbit:
I*mbaga Penelitian dan Pengabdian Kepada Masyarakot llnitsersitas Kristen PETRA Surabayo don
Al,lDI
Jl.
tu
88-40,
Tetp. (02?4) 561881 (Hunting), Fax (0274) 588282
Yogalcarto 55281 Percelaharu-
AT{DI OFFSW
Jl.
b
g8-40,
Telp. (02?0 561881 (Hunthw), fax (0274) 588282
Yog&araa
55281
Pcrpuctahoan N asional: Katalog Dolam Terbitan LUMANTARNA Beniamtn
Pengontar arwlisis dinamb dan gempa/knjamin Lumantorrw' 8d.1. Cet.2 - Yogyakarto: Andi' 2001
uiii+
108
hlm .; 16 r 23 cm.
Buku ini merupakan perkembangan dari diktat kuliah dasar-dasar Perencanaan Bangunal Tanah Gempa yang dibirikan pada Fakuitas Teknik Jurusan Sipil Universitas Kristen Petra sejak tahun 1980. Materi dari buku ini dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu Analisis Struktur Secara Dinamis dan Dasar-dasar Perencanaan Bangunan Terhadap Gempa. Bagian Pertama, membicarakan dasar-dasar perhitungan struktur dengan pembebanan dinamis baik secara eksak maupun dengan cara pendekatan. Bagian Kedua membicarakan dasar-dasar perencernaan bangunan terhadap gempa dengan perhitungan secara dinamis.
Buku ini diharapkan dapat menjadi batu loncatan untuk mempeiajari analisis dinamis maupun perencErnaan bangunan terhadap gempa secara lebih mendalam.
Ditcrbithan atas herja soma lzmbaga Penelitan dan Pengobdian Kepada Masyarakat Uniuersitas Kristzn Petra Surabaya ISBN: 979533-664.9
I.
Judul
1. AI,IALISilS 2. GEMPA
DIN AIt'IIS
DDC'21:624.1762
Surabaya, April 1999
Benjamin Lumantarna
FIAYffi T.a.
zoo
DAI'TAR ISI
KATA PENGANTAR DATTAR ISI BAGIN{ PERTAMA AT{ALISIS STRUKTUR SECARA DINAMIS 1.1 Pendahuluan 1.2 Idealisasi Struktur Dengan Massa Dan per 1.3 Struktur Elastis Dengan Derajat Kebebasan Satu 1.3.1 Integrasi dengan Cara Numerik 1.3.2 Contoh Perhitungan dan Soal-soal l"atihan 1.3.3 Cara Numerik Lain 1.3.3.I Cara Percepatan dan Kecepatan Linier 1.3.3.2 Cara p dari New Mark 1.4 Struktur Elastis Dengan Derajat Kebebasan Banyak 1.4. I Contoh Perhitungan 1.5 StruktuyElastoplastis Dengan Derajat Kebebasan Satu 1.5. 1 Contoh Perhitungan 1.6 Penyelesaian Analitis Struktur Elastis Tanpa Damping Dengan Derajat Kebebasan Satu 1.6.1 Getaran Bebas 1.6.1.1 Naturai Period 1.6. 1.2 Natural Frequency 1.6.2 Getaran Tak Bebas L.6.2.1 Beban Impuls ' L.6.2.2 Beban Sebarang 1.6.3 Faktor Beban Dinamis 1.6.3. 1 Contoh Perhitungan
iii v
I I
2 3
4 8 L2 L2 13 L4 16
20
2l
23 24 25 26 26 27 28 29 30
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
vr
1.6.4 Gerakan pada Pondasi Analitis Struktur Elastis Dengan Damping Dengan Derajat Kebebasan Satu 1.7.1 Getaran Bebas dengan Damping 1.7.1.1 Dua Akar Nyata, P t I
37
1..7 Penyelesaian
1.7.1.2 DuaAkarlmajiner,9 . t 1.7.L.3 Satu Akar Nyata, p = 1 1.7 .7.4 Karakteristik Struktur dengan Damping 1.7.2 Getatan Tak Bebas dengan Damping 1.7.3 Getaran Tak Bebas dengan Beban Harmonis 1.8 Penyelesaian Analitis Struktur Dengan Derajat Kebebasan Banyak 1.8.1 Getaran Bebas Struktur dengan Derajat Kebebasan Dua 1.8.2 Getaran Bebas Struktur dengan Derajat Kebebasan Banyak 1.8.3 Natural Frequency dan Mode Shape 1.8.3.1 Cara Holzer 1.8.3.2 Cara Jacobi 1.8.4 Sifat Orthogonal Mode Shape 1.8.5 Persamaan Modal 1.8.6 Struktur Berderajat Kebebasan Banyak dengan Damping 1.8.7 Gerakan pada Pondasi
BAGIAI{ ITEDUA DASAR PERTNCAT{AAN BAI{GI'NAN TERIIADAP GEUPA 2.1 Pendahuluan 2.1.1 Stmktur Bumi dan Daerah Gempa 2.1.2 Istilah-istilah yang Banyak Digunakan 2.L.2.1 Seismograph 2.1.2.2 Seismogram 2.1.2.3 Focus atau Hypocenter dan Epicenter 2.1.3 Mekanisme Te{adinya Gempa 2.1.4 Ukuran Gempa 2.1.4.1 Magnitude 2.1.4.2 Energr
2.t.4.3Intensity 2.2 Perencanaan 2.2.1 Response Spectrum 2.2.2 Modal Analysis
38 40 47
4t 43 43 45 45 50
50 54
55 55 62 64 66 68 69
7L
7l
72 73
73 73 76 76 78 79 79 80 81
83 93
Daftar Isi
2.3flat-Hal Yang Harus Diperhatikan Daram perencanaan DATTAR PUSTAKA APPEI$DIXS IITDEKS
vlt
94
'99
101 105
BAGIAN PERTAMA
N{ALISIS STRUKTI'R SECARA DINAMIS
l.l
PENDATIT'LUAII
Dalam bagran ini akan dibahas dasar-dasar analisis dan perencanaarl struktur terhadap beban dinamis, yaitu suatu beban yang berubah-ubah sesuai dengan waktu. Meskipun sebagian besar dari bangunan sipil dapat direnca-
nakan dengan baik dengan memakai anggapan bahwa beban yang dipikul adalah suatu beban statis, nzunun ada beberapa hal di manh perhitungan secara statis tidak dapat dipergunakan. Misainya: a. Pembebanan akibat getaran mesin; b. Pembebanan akibat beban bergerak, seperti beban yang terjadi akibat beban kendaraan yang bergerak pada jembatan; c. Pembebanan impak, seperti akibat ledakan; dan d. Pembebanan akibat tedadinya gempa. Sebenarnya tidak ada satu bebanpun yang dat'at dikatakan statis, kecuali berat sendiri. Namun demikian jelas bahwa bila perubahan beban cukup kecil (perlahan-lahan), maka efek dinamis tidak akan terjadi. Dengan demikian beban tersebut dapat dianggap sebagai beban statis. Seperti akan dibicarakan lebih lanjut dalam bagian lain buku ini, ternyata bahwa waktu getar (natural perioQ dari bangunan adalah suatu parameter yang sangat penting. Besar atau kecilnya suatu perubahan pembebanan harus dibandingkan dengan waktu getar untuk menentukan apakah suatu pembebanan bersifat dinarnis atau statis. Wa}
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
getar secara sederhana dapat didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh suatu bangunan untuk melakukan satu siklus getararr.
Pembahasan analisis dinamis dimulai dengan idealisasi dari struktur yang kemudian dilanjutkan dengan pembahasar penyelesaian dengan menggunakan cara numerik (numerical analysi$. Hal ini dilakukan karena pada umumnya tidak ada satu beban dinamis pun yang dapat dinyatakan dalam suatu bentuk matematis yang sederhana sehingga dapat diselesaikan secara eksak. Penyelesaian dengan cara numerik ini dibahas terlebih dahulu agar pembaca tidak tenggelam dalam rumus-rumus matematika sehingga kehilangan pengertian frsik dari persoalan yang dihadapi. Dengan demikian pembaca diharapkan akan dapat merasakan
arti fisik dari
bermacam-macarn pembebanan dan merasakan perbedaan antara arralisis statis dan dinamis sedini mungkin sebelum menggumuli penyelesaian eksak yang lebih sulit.
1.2 IDE.ITLISASI STRUKTTIR DENGAI{ MASSA DAN PER Pada umumnya struktur-struktur yang akan ditinjau selalu dapat diidealisasikan sebagai hubungan massa dan per sebagaimana dapat dilihat dalam Gambar 1. Gambar l.a menunjukkan suatu massa M yang diletakkan di atas suatu balok yang terletak di atas dua buah perletakan dan dibebani dengan suatu beban dinamis F(t). Struktur ini dapat diidealisasikan scbagai suatu
Konstanta per k dicari dari kekakuan struktur _ kutan, yaitu
yang bersangdengan mencari besar gaya yang dibuiuhfan untuk menyebabkan pergeseran (dellectiorl sebesar satu satuan. cara mencari konstanta per ini akan dibicarakan lebih lanjut dalam bagian lain buku ini.
cara idealisasi struktur dengan massa dan per ini tidak dapat dipakai bila massa strulntur yang ditinjau terb-agi rata pada seluruh struktur. untuk mempelajari anatisis ainimis untuk strulrtur dengan massa yang merata, pembaca disarankan untuk mempelajari referenbi pada daftar pustaka [1, 2, 3]. 1.3 STRI'I(TUR EL/ISrIS DENGAII DIRA'AT XEBEBASAIY SIATU
struktur dengan derajat kebebasan satu (srngy'e Degree of Freedom sJrtem, sDoF) adalah suatu struktur y"ng trnya dapat bergerak dalam satu arah sehingga kedudukan-dari-sistem tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan satu koordinat. Keldaan ini ditunjukkan dalam Gambar 2 di mana massa M hanya dapat bergerak datam arah vertikal (sumbu y).
Itt
l
ll
sistem massa dan per yang mempunyai massa sebesar M [kg] dan konstanta per sebesar k [N/m] dengan beban F(t] [N]. Garnbar l.b menur{ukkan suatu portal yang juga diidealisasikan dengan massa dan per.
rl 1,,,,
(b)
r t.l
1,,
lto
?
l-r ,tLT,Jqtfu,_&
H*
(a)
Ganbrr L. Idalissi
*1,
(a)
(c)
(i) massa dan
per
Glnblr 2. Sflrttktur
elastis dengan der4iat kebebasan satu
Fengantar Analisis Dinamis dan Gempa
Analisis Struktur secara Dinamis
Persamaan gerak (yang merupakan. persamaan diferensial)
dari sistem ini dapat dicari dengan menggunakan persamaan keseimbangan gaya sebagai berikut (gambar 26):
F(t)-ky=My
(1)
Dalam persamaan di atas dua titik di atas y menyatakan turunan kedua da;r y, atau dalam hal ini adalah percepatan massa M dalam arah y.
Cara lain untuk mendapatkan persarnaan 1 di atas ialah dengan menggunakan prinsip D'Alembert untuk keseimbangan dinamis {Dynamic Equilibriuml. Dalam prinsip ini pada suatu massa yang bergerak diberikan suatu gaya imajiner yang berupa gaya inersia (inertia forcd sebesar M y dalam arah yang berlawanan dengan arah gerak. Problema tersebut kemudian dapat dipandang sebagai suatu problema statis (Gambar 2.c). Dengan demikian akan diperoleh persamaan gerak sistem tersebut sebagai:
r(t)-t<'y-Mji=o
12)
Jelas bahwa persamaan 2 sama dengan persanaan 1. Persamaan gerak I dan 2 yarrtg merupakan persamaan diferensial, dalam haf-hal tertentu dapat diselesaikan secara anaiitis. Namun demikian pada umumnya harus diselesaikan secara numerik, yaitu dengan menggunakan integrasi dengan cara numerik (Numerical Integration). Berikut ini akan dibahas penyelesaian persamaan diferensial dengan integrasi dengan cara, numerik.
1.3.1 Integrasi dengan Cara IitumerlL Ada bermacam-macam cara yang dapat digunakan dalam cara numerik ini. Secara umum penyelesaian dengan cara numerik menyelesaikan persamaan diferensial setapak demi setapak (step by s/ep dimulai dari waktu t = O di mana keadaan awal (Initial Condition$, perpindahan tempat dan percepatan biasanya diketahui. Dalam cara ini kurun walrtu yang akan diselesaikan dibagi-bagi dalam suatu interval waktu tertentu, 6 t, untuk kemudian diselesaikan secara bertumt-turut dari satu waktu ke walrtu berikutnya. Untuk bergerak dari waktu ke waktu ini dapat digunakan bermacam-macam anggapan. Dalam bagian ini akan dibahas suatu cara yang sangat sederhana, yaitu cara Kecepatan Tetap (Constaat Velocityl.
.f-l
(a)
5
S+t
(b) Gambar 3. Constant Velocity
Dalam cara Kecepatan Tetap ini dalam suatu tertentu, 6 t, kecepatan y dianggap tetap (konstan).interval waktu U"iut mem_ pelajari cara ini perhatikan G;b; 3. Gambar 3.a menunjukkan hubungan antara perpindahan -tempat, y, terhadap waktu, t. Se_ dangkan Gambar 3.b menunjukr
y" =(p(t")
-rv(t"))lrra
(3)
menganggap bahwa kecepatan dalam suatu interval . Dengan walrtu adal1h tetap mala perpindahan tempat y dalam waktu tersebut merupakan suatu fungsi rini"r l"hi"a; intervar y pada waktu t = tc+r dapat ditulis sebagai: Ys+l =
y" + y",
6t
g)
y., adalah kecepatan rata-rata dari t = te-r s4rlpai t = t": y., = (I" -y"-r)7at+y" ot (s)
Di mana
.. . r."r*"r, memperhatikan persamaan S, persamaan diubah menjadi: Ie+r = 2y"
-Ir-r
+y(Ot),
4
dapat (6)
i--""
dr
i
l ''
Analisis Struktur secara Dinamis
Persamaan 6 bcrarti bila perpindatran tempat pada dua waktu yang benrrutan, yaitu pada wakhr 1 - tc, Y", dan waktu t = 1"-1, y*i, d1gh diketahui, perpindatran tempat yang berikutnya, *aktu t = L*r juga daPat dicari. Dengan demikian perpindatran terrpat dari sistem yang ditindicari setapak demi setapak dengan menggunakan perdapit iau -""*""r, 6 bila perpindahan tempat awal (initial displacemen4 dan satu perpjndahan tempat yang berikutnya telatr diketahui' Dua cara untuk mendapatkan dua perpindahan tempat yang pertama akan dibahas berikut ini. Pada cara yang pertama, pada saat t = 16, keadaan awal dapat ditulis sebagai berikut:
Yo-0
yo=0
l7l
jio = F(o)lM Karena percepatan dianggap tetap dalam satu intenral, maka:
yr
= 0.5
ji"
(at)'
(8)
Dalam cara yang kedua, percepatan dianggap bembah secara linier sampai at
Dari t = t6 sampai dengan t = tl,
iift)= ii,(tlot)
(e)
Sedangkan:
y(t) = 115i(t)at at
(10)
Dengan mempergunakan batas-batas integrasi 0 dan 6t dan memperhatikan persamaan g, persamaan 10 dapat diselesaikan sebagai:
Yt =L/6ji,
(ot),
(11)
Perhatikan bahwa persamaan 11 ini memerlukan iterasi karena f , tergantung pada yr (persamaan 3). penganggap bila beban dinamis yang diberikan F(t] - Biggs[U adalah nol pada keadaan awal, cara kedua nalus digunakan karena percepatan awal y6 adalah nol sehingga yr juga nol. Teta_ pi bila kita perhatikan bahwa interval waktu 6t yang dipergunakan tentunya cukup kecil maka'kesalahan y*g it"r, terjadi dengan menganggap yr adalah nol tidaklah terlalu 6erarti. Oenian T-g.uTe".B$ VanS sama, iterasi dalam persamaan t I juga dalat dihindari bila:
jir = F(t)/nr
lt2l
Ketelitian cara anarisis numerik sangat tergantung dari pengambilan interval 6t. semakin kecil inierval v"rrg dpiur, -akan semakin teliti hasil perhitungannya. pemilihan besar interval ini dapat dilakukan denga, cara mencoba-coba sampai akhirnya didapatJ
!i
fl
Natural period, T, dari suatu sistem dengan derajat kebebasan satu dapat dihitung sebagai berikut: T =2n(naTrcp
(13)
Penurunan rumus tersebut diatas akan dibicarakan dalam
bagran lain buku ini.
Giaabar 4z Keadaan awal
MILIE Badan PerPusnlaan
Analisis Stfuktur secara Dinamis
1.3.2 Contoh Perhltungan dan Soal-sod Latlhan Untuk mendalami lebih lanjut cara perhitungan numerik ini, akan dibahas suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satu yang mempunyai massa sebesar 2 kg dan kekakuan per sebesar 20O0 N/m seperti terlihat dalam Gambar 5.a yang dibebani dengan beban dinamis F(t) seperti terlihat dalam Gambar 5.b. Beban tersebut diberikan dari keadaan tidak bergerak.
perhitungan
slatis = F/k
,, det
e.r (b)
(a)
,,
O,Z
Gambar 6. Respons contoh Gambar 6. Contoh
Natural period sistem tersebut dapat diperoleh dari rumus 13 sebesar 0.198 detik sehingga interval waktu 5t dipilih sebesar 0,02 detik. Karena sistem dalam keadaan awal tidak bergerak maka untuk t - 0,0 detik, y = 0,0 m dan untuk t = 0,02 detik (interval pertama), y dapat dicari dari rumus 8 sebesar 0,005 m. Selanjutnya dapat dicari percepatan pada waktu t = 0,02 detik, jir, dd rumus 3. Setelah y, dicari maka perhitungan dapat dilanjutkan untuk langkah berikutnya, yaitu untuk t = 0,04 detik. Perpindahan tempat untuk t = 0,04 detik, yz, dapat dihitung dengan rumus 6, kemudian dicari y2 Selanjutnya perhitungan dapat dilakukan setapak demi setapak sampai waktu yang dikehendaki. Penyelesaian soal ini sampai t = 0,34 detik ditunjukkan dalam Tabel 1 yang secara grafrs dapat dilihat dalam Gambar 6. Suatu program komputer sederhana untuk menyelesaikan soal ini dapat dilihat dalam Apendiks I.
0.3
det
l
Dalam Gambar. yang terpotong_potong menunjukkan 9,..gd" tempat bila soar terlebut di aLs aiseiesaita' Troinqa6* statis. Perhatikan bahwa perpindahan tempat maksimumsecara yang terjadi bila diperhitungkan seca.a dinamis adaiah r,s9 kali lebih besar dari perpindahan maksimum yang terjadi bila diperhitung_ kan secara statis. y;g iegaai.dalam I*"-"1 i", ,rrrt t -g1ya keadaan tinier elastis adalah ueruanalg r"*" a;G^J;.sarnya ge-ry-ilaahan tempat -"k1 gaya yang terjadi dalam [er iuga i,SO kali lebih besar dari gaya ltuar) siatistaksimum. reinatitan puta bahwa setelah beban menladi konstan maka gaya dalam per berubah-ubah secara sinusoiaa-I. Gerakan yang terjadi
g3da massa sistem dinamis yang ditin_ . dapat dihitung jau dT- {li}"t dengan menggunakan program Gempa ii yang dibuat oteh Raharjo aai Stevanri [01.
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
10
Anaiisis Stmktur secara Dinamis
11
Soal-sod Iatthan
1.
\o
o
,
aRiE qqqqq sEE:E Sqqe EHEEs dodcjcj :::q(.
ts li
>r
N
:>r
:EEge 3sEE3 33geE dddcjg cjoog? q999d
t-
o
ooooQ
,tr
9?god
o;dod
qqqq!
qqqa'1
sKsls qqq;N S$3*$
L
EEE dcict
Sistem elastis dengan derajat kebebasan satu seperti Gambar 7.a dibebani dengan bermacam-macarn beban seperti terlihat dalam Gambar 7.b sampai dengan 7.e. Carilah gerakan (resl ponse) sistem tersebut dengan menggunakan cafa numerik untuk bermacam-macarn variasi dari t /T: O,l, 0,2S, O,S, 1,0 dan 2,0, dan 6t/T sebesar 0,1 dan 0,2. f O0O k9,/trt
BB
99
*n, (b) 'oo\0",
qd? o(f) \fto tt
(c) tr
rX
>')
o o o
oooo .;Ri6
16++99,^
Q99o-
p$es"i $$T:;
torrl
sR
F(t'l
(d) tr
/r
tr
(e)
s
o o o +J
toolr)oto 6r(Y)(Y)++
aNt@O Yd666 o;-;-
lO
Ot'.rOrOn l.f)c)olNC.l
Oe{+rroO =;;;; ooocici
lorotolJ.)|o N C-{ e.l e-l e{
Ganbar 7.
lolJ) C-{
6I
Oe.{+\99Q a!lt clc{oIe{e.t tocotf) ciocicro ooo oo i
{)
.o
({
F
a I
Untuk sistem elastis seperti soal I tersebut gunakanlah bermacam-macam cara untuk mencari perpindatran tempat untuk interval yang pertamd, yr, kemudian bandingkanlah dengan hasil yang didapatkan dalam soal 1. 3. Suatu sistem elastis dengan derajat kebebasan satu diketahui mempunyai natural period sebesar I detik. Bila untuk pembebanan seperti terlihat daiam Gambar T.c.didapatkan perpindahan tempat statis maksimum sebesar 2 cm, tulislah persarnaan gerak sistem tersebut dan kemudian carilah gerakan sistem tersebut dengan menggunakan cara numerik.
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
t2
1.3.3 Cara Nunerlk Laln Cara kecepatan konstan yang telah dibahas di atas merupakan cara sederhana yang dapat memberikan hasil yang cukup baik dengan memakai interval waktu yang cukup kecil. Selain cara kecepatan konstan tersebut masih terdapat banyak cara numerik lain [1, 3, 7, 8] yang dapat dipakai, antara lain: Cara
Analisis Stmkhrr slecara Dinamis
l3
Cara ini dalam beberapa kasus tetah dibulrtikan memberikan hasil yang sangat baik [7, 81.
percepatan dan kecepatan linier dan cara p Newmark.
1.3.3.1 Cara Percepatan dan Kecepatan Llnler Pada umumnya bila percepatan dianggap linier maka kecepatan akan dianggap kuadratis (Lihat cara percepatan linier dalam Daftar Pustaka, 1 dan 8). Dalam cara ini 17, 81, meskipun percepatan dianggap sebagai sesuatu yang linier, kecepatan juga tetap dianggap linier, sehingga hubungan antara percepatan dan kecepatan dengan perpindahan tempat dalam suatu interval dapat diturunkan sebagai berikut. Perhatikan Gambar 8 yang dapat dianggap sebagai grafrk dari fungsi percepatan maupun kecepatan terhadap waktu. Kecepatan pada waktu tz, Yz, dapat diperoleh dari kecepatan pada waktu tr, Y r, dan percepatan pada intenral waktu tersebut sebagai: jjz
=!tt+lydt
(14)
Bila percepatan dalam interval waktu 6t dianggap linier maka integrasi dalam persamaan 14 di atas, yang merupakan luas di bawatr fungsi yang diintegrasikan, dapat diganti dengan (i,z + 9r \ tt 1Z sehingga persamaan 14 dapat diganti meqiadi:
i'z =2(itt
-f
,)/6t- ji,
(1s)
Dengan menganggap bahwa kecepatan dalam interval waktu 6t linier, maka dengan cara yang sama akan diperoleh:'
i'z =2(lz
-vr)/6t-ir
''
Dengan menggunakan persamaan 15
(16)
dan 16,
persamaan
gerak (2) untuk t = t2 menghasilkan:
(+r"r(a0'*t)v,
=+u7(ot)2 y, +2Ml(6t)y,
*My, +F(tr)
(L7l
Persamaan 17 menunjukkan bahwa y2 atau Yn dapat diperoleh bila data sebelumnya yt atau yn-r diketahui.
I
Gambar 8. Percepatan dan kecepatan linier
1.3.3.2 Cara 0 dari l{ewmark Cara yang dikembangkan oleh Newmark [1, 3, 8] ini dapat dituiiskan sebagai berikut: y
z = yt + 6t $, + 9,) lZaarr
yz =yt +6ty1 +(o.S-g)ji,
(ot)2 + gg,rz(at)2
(18).
Dalam persamaan di atas, p merupakan suatu variabel yang menyatakan variasi dari percepatan dalam suatu interval walrtu. Newmark, daiam penelitian yarlg telah dilakukannya [3], menyimpulkan bahwa hasil yang terbaik dapat dicapai dengan memakai p antara 1/6 sampai dengan \/a dan internal walrtu 6tantara 1/6 sampai dengan 1/5 dari Natural Period yang terpendek. Penyelidikan lebih lanjut menunjukkan bahwa p sebesar I/6 merupakan cara percepatan linier (dan kecepatan kuadratis) [3].
t4
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
Anaiisis Struktur secara Dinamis
15
di mana:
1.4 Sf,RT'KTI'R ELITS}TIS DENGAI{ DERAJAT KEBEBASAN BAITYAK
Setelah mempelajari stmktur elastis dengan derajat kebebasan satu, struktur elastis dengan der4jat kebebasan banyak (Multi Degree of Freedom System, MDOF) adalah suatu perluasan yang sederhana. Untuk mbmpela.jari hal ini, perhatikan suatu struktur elastis dengan derajat kebebasan dua seperti terlihat dalam Gambar 9. Persamaan gerak dari masing-masing massa dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan cara keseimbangan dinamis sebagai berikut:
nonffn,nu,,
n,
[M, ol Io u,]' y?= (v, y z), ![=
*kr) -ur1 L -kz kz') r. =(F, (t) r, (t)) *
=[(k,
Dalam persamaan'di atas dan selanjutnya, huruf yang ditelalkan merupakan tanda matriks. Matriks-kekakuan- Kiapat dicari dengan mudah dengan memakai definisi dari angka kekakuan (perhatikan Gambar 10). Seperti telah diketahui elemenelemen dari matriks kekakuan K, krr, kv, kzz dan seterusnya mempunyai arti sebagai berikut: kii: adalah gaya yang diperrukan pada massa i untuk memindahkan massa i sebanyak satu satuan bila semua massa yang lain ditahan pada tempatnya masing_masing. kii: adalah gaya yang diperlukan untuk ,rrenahan ,i"""" j bila massa i dipindahkan sebanyak satu satuan sedangkan semua massa yang lain ditahan pada tempatnya maiing_ masing.
trVz-ntl lurn
tr
F.ltl
kr r :kr
*ke
lx'
I
f.(tl
kr
z:-kz
H G.Eb.r 9, Stulrturelastis dengw deniat kebebasn 2
yr -kr(yz-yr)-F, (t)=9 Mz i, z +kz $ z-yr)- Fz (t)= o
H.
Mr iir +kr
(le)
yang dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:
Ui+Ky-F-
0
(20)
r2lt'l
kz r =-ka
kzz=kz
Genbar lO. Menc*i matriks ketrakuan K
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
16
krz dan kekaDengan berpedoman pada definisi ini maka krr'
kuan.kekar.""or"i""vad.apatdicaridenganmudahsepertiterlihat dalam Gambar dengan deraPenyelesaian numerik persamaan gera\ sistem dengan diturunkan mudah dengan 5at teUeUa""t U"rty"t dapat kebederajat dengan sistem plda mengikuti vuiig did"U"" "*.' basan satu' 10.
Analisis Stnrkarr secara Dinamis
di mana:
=[; :], " f, =(O 2OO),
y'=(yr
l@*z\ -2
L
-21 2J
yz)
i=-K'y+F' di mana:
1.4. 1 Contoh Perhituagan
rc
=
r
=rooo
trF =
l22l
M-r" =[T
Mr=2kg
Mz=1kB kr = 400O N/m kz = 2000 N/m
K =1ooo
atau:
Untukpenjetasanlebihlarrjut,perhatikancontohperhitungan di bawah ini.
Fr(t) = 0 Fz(t) = 2o0 N
t7
M-r
"
[3
-
i],*.[_', :1
tl
eilm
L-2 2)
=r*
[?]
_ Persamaan 6 yang diturunkan untuk sistem dinamis dengan derajat kebebasan satu juga berlaku untuk kedua perpindahan tempat, yr dan yz Dengan demikian dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut: Ir+r
=2
!. -yr_r +r.
(6t)2
(23l,
Periu diperhatikan di sini bahwa:
a. Fzltl
Gambar
Lt.
Contoh
b.
kebebasan dua sePerhatikan sist-em dinamis dengan derajat yang teriihat pada dlta Dari 1I perti yang terlihat p"a" C"*Uar dapat ditulis sebagai: Gambar S, p"r""*^u',' geratt d'ari sistem
Mi+Ky-r(t) = o
Pl\
Karena sistem yang ditinjau mempunyai derajat kebebasan dua maka periode sistem ini ada dua buah, yang dalam hat ini adalah 0,2 detik dan 0,1 detik, sehingga interval waktu 6t harus diambil0,1 dari periode yang terkecil, yaitu 0,1*0,1 = O,O1 detik. Cara menghitung periode untuk struktur elastis d.engan dera,jat kebebasan banyak akan dibicarakan kemudian. Untuk yzr, karena adanya gaya pada M2, dapat dipakai rumus 8:
yzi
= 0.5 yro
(6t)'
sedangkan untuk yrr, karena pada waktu maka dapat dipakai rumus:
e4)
t = 0, F(to) = 0,
Analisis Struktur secara Dinamis
yrr
=
jirr
(ot)2
(25)
7o
€9Fat o\\o6t€ Q(IlI_-O OOO-
ooooo
yang harus diselesaikan secara iterasi. Tetapi sekali lagi aitegaskan di sini, bila 6t diambil cukup kecil, meskipun memakai rumus 24, di mana yrr = 0, maka tidak akan terdapat
t
lgsg
\O\O6l€c! tr6rh 6st*m -iiiJ ooooo
c{
ta N
:>
grafis ditunjukkan datam Gambar 12' Bila ""c"ia Gambar iZ Eipertratitr,, lebih lanjut maka akan terlihat bahwa perpindahan tempat yr dan yz trerubah-ubah dalam bentuk yang pe[.ii"ir Sinr4geffal aengas plrioa" + O.2 detik, yaitu natural dapat demikian Dengan peiod\. per.ta*" riod yang liundamentat alsimpuil<ar{ bahwa'mode'i'ang pertama (mode yang berhubungan penganrh terh""g"tt natural period yang pertama) memberikan Hal ini akart yang ditinjau. iati p"rg"r"t Lg; terhadap "i"t"to "t ini' buku train bagran dalam teUitr-taqiut dijelaskan
C.l
tabel 2, yatg
:>t
E <)
o\Fo\rj6 =\Ot*6tF a.{an6N6 ;6Oci6
da6a6
6\t .i(a o6o
6a
rh
3s3e$:t€eh=
gsEEE gEB=E EEEEE I E=!eE qg99g dcidd? goocjct 9"9?9
FEEs; g66Sq qf 6EB r-eEs E oRR$E g88SR 3f888 6tN6tNN N6ta!ma{ -Gl
fiB9H6t=-
:
c',
6l
"3=E:
0.30
N ?,o
gE3:E
0.25
rh
0.20
tz(fz-rtl.ar'3O3
?'
(n).., c J!4
o o o
:::59
\O O\
or
E5EgB
88
"+
3:gEE ggEEE EEEE egEBs oo??? ooooo
g o
oesGp sRFST $;Sr$ sssR^
6,
:> ooooo
11
q=!al,-o\ mo\FNF ci-rui+ jJi:.;
=.,Q€\o E: SqEI 9RHXX RERFR 9iEEE ooooo odooo ooooo ooooo oo
perbedaan Yang besar Dalam v'ariabel Yr dan Yzr di atas index pertama menunjukkan nomor massa. a-an inaex kedua menunjukkan nomor langkah. Jadi yu adalah perpindahan massa no 1 (Mr) pada langkah pertama, t = tr. Hasil perhitungan untuk contoh soal ini ditunjukkan dalam
\.0.r 5
19
cC)tsrrlq9 -6FO
999?o
h€66th orir
oll tO\r.i6 oo=hr
8
at
o.o5
o
..=
oe [9 ll -!E
O\€o ^O.rORe
0.to o
€g
ood'!ls RSENA RR:Eg BRr-^ r
*s }H 6A E* h\-
N o.t0
c)
.o
t, ,.c
Cranbar L2, Simpangan massa
c,
I (yil dan massa 2 (yz)
F
e=3r= :ex=e 6q88 385t9 dcjddd d
ooooo
xil 8F ll d;
-+
a*
>'
,I
Analisis Strukarr secara Dinamis
21
i 1
gaya per yang Menarik juga untuk memperhatikan bahwa besar dari gaya yang diterjJiaJam"pi r;JA 2,67'L
KEBF' 1.5 STRT'ITTTIR EI,A$TOPLASTIS DTNGAII DERA"IAT BASAI{ SATU
Suatubatrandinamakanmempunyaisifatelastoplastisbila (atau gaya-simpangan) dapat digamdiagram tegangan-regangan -13,b' Diagram gaya simp3ttgl" tersebut barkan seperti Cam6"t elasbahwa sebelum m"ncapai Rm (disebut batas .ti.s),;;; menunjukkan batas *:::T"i selelal b"rsifat u"i"t .sedangi
g.y"'t"bit lairjut.- Setelah plastisitas tercapai, gaya yang diberikan dikurant (aU"n'Ut' unloading) sehingga.-simpangan Perhatikan bahwa akan berku.*g 3""g* sifat linier-elastis.nol kembali' narnun menjadi meskipun g^yu' y*g iiU"ti5"" telah kembali ke d39at tia"t yat'g simpangan masih akan terdap""t "i"" ditatui
ffi;'
elastis daiam arat, yat'g berlawanan' -R-'
,i
Perhatikan struktur dengan derajat kebebasan satu dengan per yang mempunyai sifat elastoplastis seperti terlihat dalam Gambar 13.a dan b. Bila stmktur tersebut dibebani dengan gaya dinamis maka persamaan gerak struktur tersebut dapat ditulis sebagai:
I
lz1l
(l^-2
ycr) <
Iti t
y
<
yn
(271
Dalam rumus di atas ycr adalah batas elastis sedangkan Radalah gaya yang berhubungan dengan yer. Rumus ketiga dalam persamaan 27 menunjukkan persamaan garis yang menyatakan adanya pengurangan gaya dalam per setelah tercapainya batas elastis (unloading). Persamaan gerak 26 dapat diselesaikan secErra numerik dengan memperhatikan batasan-batasan dalam persamaan 27. Untuk mendalami lebih l,anjut, perhatikan contoh perhitungan di bawah ini. 1.5.1 Contoh perhltungau
Misalkan dalam sistem yang terlihat dalam Gambar 13.0, massa M adalah 2 kg, kekakuan per 2O00 kN/m sedangkan batas elastis, R-, adalah I l0 N, maka ycr = Ra/k = 0.055 m dan persamaan gerak sistem tersebut dapat ditulis sebagai:
i = 0.5 F(t) - o.s R
(28)
di mana:
0.5R= 10O0y 0.5R=55N
0.5R=55-1000(y--y) (a
(cI
'
r.'ccrn
Garnbar Lg. Stutrtur elastoplastis
I
I
untukOcycyer untukycl
I
,
di mana untuk R berlaku batasan-batasan sebagai berikut:
R=RR=R--k(y--y)
{
i
Mji+R-r(t)=e R=ky
lI
untukOcy<0.O55m i untuk0.055trr
\
Hasil perhitungan dengan menggunakan cara constant velocity ditunjukkan dalam Tabel 3, sedangkan gerakan massa ditunjukkan dalam Gambar 14. Grafrk a menunjukkan respons statis, grafik b menunjukkan respons dinamis bila per bersifat linier elastis (tidak ada batas elastis) sedangkan grafrk c menunjukkan respons dinamis bila per bersifat elastoplastis.
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
22
Analisis Stnrktur secara Dinamis
23
"\ ?
YzR= 100q,, or 55 o o.a2 0.04 0.06 o:08
25 30 35 40 45
o 5.0 20.0
2s.o
0.0100
25.O
o.0roo
15.0
4r.0
-1.0 -10.0
0.0060 -o.oo04 -o.0616
0 0.0050 0.0200 0.0410 0.0616
o.l0
50 37.5 25 25 25
s5.0 55.0 55.0 50.6* 36.0*
-o.oo20 -0.0070 -0.0120 -0.0102 -0.0044
o.ox82 0.o928 0.1004 0.0960 0.0814 o.0624 0.0466 0.0403 0.0460 0.0615 0.0806 0.0957 0.1007
o.r2 0.14 0.16 0.18
55.O
-5.O
-17.5 -30.0 -25.6 -11.O
Penyelesaian Elasto plaslis R. ='110 (c)
.5o07ee'
r..
\ vi
'.--L---T------T'----' --- !.r-o!3',. \t,
0.r
25 25 25 25 25
17.0* 1.2" -5.1* 0.6* 16.1*
8.0 23.8 24.4 8.9
o.oo32 0.0095 0.0120 0.0098 0.0036
25 25
35.2* 50.3*
-to.2 -25.3
-0.0040 -0.0101
30.
i
I j I
i0.2
Penyetesaian
0.20 o.22 0.24 o.26 o.28
H:':',l3it,
\
\
/
,'
I
'perubahan
benruk sratis
=F/k(a)
o.r t. det
)'..-.i
Gaabar 14. Contoh 3 !
0.30 p.32 0.34 .
t
Y, R
-
55
-
1OOO(0.1004-Y).
3) Perhatikan bahwa dalam melakukan perhitungan- (Tabel perdalam selalu harrs diperhatikan batas-batas yang aiUella1 R telah mensarnaan 28. Milahya pada saat t = 0,08 detik' 0'5 0'5 R or,o N, hal ini tia"r. mungkin sehingga ultlk- hasaterlihat detik' t = 0'16 ""p"i i.?ii" dipakai 55 N- Unloading lada saat 0,0960' Dengan demimenjadi 0,1064 y dari dengan turunnya ketiga' kiariuntuk perumusan 0,5 R berlak-u perumusan
PerhatikanpulabahwaresponselastismemberikansimpangyTrg lebih besar an yang tebih kecil tetapi memUeriXln gaya PeJ dari Gambar 14 bahwa a# ,"Ipons elastoplasiis. Terlihat jygi terjadi simpangan tetap sebesal !. - Yct'
1.6 PEI{Y'ELESAIAN N|ALITIS gTRUKTUR ELASTTS TATPA DAMPING DDNGAN DENA.'AT I(IBEBASAN SA?U Persamaan gerak dari struktur elastis dengan der4iat kebebasan satu telah diturunkan dalam pasal 1.3 sebagai:
P(t)-t y=My
(2e)
atau:
Mi;+ky=F(t)
(30)
Persamaan 30 merupakan persamaan diferensial tingkat dua. Penyelesaian umum persamaan 30 terdiri dari penyelesaian komplementer (Complementary Solutionl dan penyelesaian partikulir (Particular Solutionl. Penyelesaian komplementer adalah penyelesaian persamaan homogen, yaitu penyelesaian di mana bagian
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
24
Analisis Struktur secara Dinamis
25
kanan dari tanda sama dengan adalah sama dengan nol. Secara fisik keadaan ini dapat diartikan sebagai suatu gerakan yang terjadi tanpa adanya gaya luar (getaran bebas, Free Vibrationl.
Pada waktu
t = 0, kecepatan awal, io, dapat ditulis
y = cr o cos
(o)- c,
1.6.1 Getaran Bebas
c1 = yo
Persamaan gerak dari getaran bebas dapat diperoleh dari persarnaan 30 sebagai:
Dengan menggunakan persamaan 35 dan 37, penyelesaian getaran bebas (34) dapat ditutis sebagai:
Mji+ky=Q
(31)
y=yolosin rot+yocosot
(32)
Persamaan 38 merupakan penyelesaian komplementer dari penyelesaian umum persamaan gerak struktur Lhstis dengan derajat kebebasan satu (30).
Penyelesaian persamaan 31 ini dapat diperoleh sebagai [4, 5],
y = cr sin,f(f< /M)t + c2 cos
'
,f(t 7U)t
dengan memakai tanda:
.
= rf(r< I
rra)
(33)
Persamaan 32 dapat ditulis sebagai:
y=cl sinort+c2
cosot
(34)
Dalam pers*lmaan 32 dan 34 di atas, cr, cz adalatr konstanta integrasi yang dapat diperoleh dari keadaan awal yang telah diketahui. Bila keadaan awal pada walctu t ' 0 dinyatakan sebagai kecepatan awal, j,o, dan perpindatran tempat awal, yo, konstanta integrasi cr dan ce dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut. Pada waktu sebagai:
t
= 0, perpindatran tempat awal, yo dapat ditulis
yo =Gr sino(O)+c, cosro(0) Sehingga didapatkan: (3s)
C2=]o
Sedangkan kecepatan awal dapat diperoleh dengan terlebih
dahulu menurunkan persamaan 34 terhadap waktu
t
untuk
memperoleh persamaan kecepatan, yaitu:
jr=cr ocos ot-c2 rosin olt
(36)
sehingga konstanta integrasi cr dapat diperoleh, yaitu sebagai berikut:
co
ro
sin
ro
/co
sebagai:
(o)
(37)
(38)
1.6.1.1 Natural Perlod Bentuk getaran bebas yang ditunjukkan dalam persamaan 38 merupakan gerakan yang berbentuk sinusoidal. Glrakan seperti ini dinamakan gerakan harmonis yang karakteristiknya ditentukan oleh besar amplitude dan natuial p"rioa gerakan tersebut. hal getaran bebas dengan perpindahan tempat awal -Dalam 15a) maka besar amplitude yo, sedangkan bila (Ca4bar !1ja diberikan percepatan awal saja (Gambar 15b), maka besar amplitudenya adalah ! o / a . Natural period T adalah waktu yang dibu_ tuhkan untuk menyelesaikan satu siklus gerakan harmonis secara lengkap.
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
26
Seperti terlihat dalam persamaan 38, besar amplitude tergantung kepada keadaan awal yang diberikan, tetapi natural period tergantung dari ro, seperti yang didefinisikan dalam persannaan 33, hanya tergantung pada karakteristik dari stmktur yang ditinjau. Besaran ol tersebut di atas dinamakan Natural Circular Frequency. o,
=
rf(r.tvr)
(3e)
[radldetik]
Analisis Stniktur Secara Dinamis
umum memperoleh penyelesaian partikulir, sebelumnya akan dibahas gerakan (respons) yang terjadi akibat pembebanan
impuls.
1.6.2.L Bebaa Impuls Impuls adalah suatu gaya yang besar yang terjadi secara tiba-tiba dan berlangsung dalam waktu yang sangat pendek (Gambar 16). Beban impuls ini dapat didefinisikan ssgngai:
Besar natural period dapat diperoleh sebagai:
T=2n/o=zrrf(rralt)
F=Fdr
[detik]
27
(43)
(40)
L.6.L.2 Natural Frequency
Natural Frequency Natural Period, f =7/T
f,
=l/2xrf(tltt)
didefinisikan sebagai kebalikan dari [cps, getaran per
detik]
nlltttl
(41)
Perhatikan dalam persarnaan 39, 40 dan 41 bahwa Natural Circular Frequency ro, Natural Period T dan Natural Frequency, f, adalah karakteristik dari sistem yang tidak tergantung kepada keadaan awal maupun pembebanan. 1.6.2 Getaran Tak Bebas
Getaran tak bebas {Forced Vibrationl adaiah getaran yang terjadi karena adanya beban luar F(t) sehingga persamaan gerak yang terjadi dapat ditulis sebagai persamaan 30:
My+kr=f(t)
(42)
Bila keadaan awal dari getaran tak bebas ini tidak nol, maka penyelesaian persamaan 42 adalah penyeiesaian umum yang terdiri dari penyelesaian partikulir dan penyelesaian komplementer. Penyelesaian komplementer, seperti telah dijelaskan sebelumnya, adalah pehyelesaian getaran bebas. Bila keadaan awal dari getaran tak bebas ini nol maka penyelesaian persamaart 42 hanya terdiri dari penyelesaian partikulir. Penyelesaian partikulir untuk bentuk-bentuk tertentu dari F(t), misalnya polynomial atau fungsi harmonis, dapat dipelajari dari buku-buku matematika [4, 5]. Untuk dapat membahas cara
Giambar 16. Beban Impuls
BiIa suatu sistem yang dalam keadaan diam dibebani dengan beban impuls, setelah beban impuls ini bekerja, maka gerakan yang terjadi adalah getaran bebas. Dengan demikian gerakan yang terjadi dapat diperoleh sebagai: o
y
=y/rosinot+yo coso
t
{441
I(arena beban impuls diberikan dari keadaan diam maka perpindahan tempat awal adalah yo = Or,sedangkan kecepatan awal !.o dapat dicari dari beban impuls, yditu sebagai berikut:
jio
=
F/M, lrcrcepatan awal
(4s)
$ I
*
;
Analisis Struktur secara Dinamis
29
l
t I
T
Karena beban impuls hanya bekeda setrama dF maka kecepatan awal dapat diperoleh sebagai: j,o
(46)
=!idI=FdI/IvI
yang dengan memperhatikan defrnisi impuls (a3) juea dapat ditulis sebagai: j'o
l47l
=ilM
Dengan demikian gerakan yang terjadi dapa.t ditulis y=
sebagai:
Bila beban impuls baru diberikan pada walrtu t = f sedangkan persamaan gerak ditulis terhadap refrensi waktu t = 0, persarnaan 48 menjadi:
,
=
r(u
o)sin
(t-r))
(4e)
1.6.2.2 Bebaa Sebaraag Beban sebarang (Gambar 17) dapat dibagi-bagi menjadi beberapa beban imputs sehingga penyelesaian getaran tak bebas a"irgat beban s.uat"ng aapit diselesaikan dengan menggunakan penyetesaian getaran akibat beban impuls (49)'
avurl
dy =
i'r(uto)sin(ro(t-r))
(so)
atau: dy =
(48)
F/Mtosintot
Ferhatikan sistem elastis dengan derajat kebebasan satu seperti terlihat dala:n Gambar 17. Sistem tersebut dibebani dengan beban sebarang F(t) = Fr f(t) (Gambar 17). Akibat satu pias yang merupakan bagian F(t), sebesar 3=E f(f)af , gerakan yang terjadi dapat ditulis selagai:
E r(rXr'a
ro)sin (o{t - r))ar
(su
Respons terhadap beban sebarang secara keseluruhan dapat diperoleh dengan mengintegrasilcan persamaan 51: y= (a,(t IF, r(r)l(rra or)sin
-r)ar
(s2)
Bila didelinisikan perpindahan tempat statis (statis deflectionl, yx, adalah:
ys =Fr /k =Fr /(r'M)
(5g)
Persamaan gerakan (52) dapat diubah menjadi: y = ysr or (o* Jr(r)sin
-r)ar
(s4)
Persamaan 54 di atas merupakan penyelesaian partikulir dari persamaan gerak 42, sedangkan penyelesaian umum persamaan gerak tersebut merupakan gabungan dari penyelesaian komplementer (36) dengan penyelesaian partikulir (54).
y=iq /ro sinot+yo
cos
ot+y,,, Jf(f)rin(or(t-f))af
(55)
1.6.3 Faktor Beban Diaanis (Dyaamtc Load Factor, DLF)
Biggs [1] mendefinisikan Faktor Beban Dinamis (Dynamic Iaad Factor, DLF) sebagai perbandingan antara perpindahan tempat dinamis pada suatu waktu terhadap perpindahan tempat statis akibat suatu beban referensi, Fr, yang dipakai untuk menyatakan besar suatu pembebanan dinamis F(t) = Fr f(t). Jadi dynamic load factor dapat ditulis sebagai: DLF= yly"t Gaabar 17. Beban
*banng
=y/(Fr/k)=kylFr
(56)
i
Analisis.Struktur secara Dinamis
31
I
I I
Dari definisi di atas tampak bahwa DLF adalah suatu besaran yang tidak mempunyai dimensi dan menyatakan gerakan yang al
I
y = ys y=
,
yst,
y = yst (t
Contoh Pcrhltua3la
Perhatikan sistem elastis dengan derajat kebebasan satu seperti terlihat dalam Gambar l8a yang dibebani dengan suatu beLan segitiga sepcrti terlihat pada Gambar 18b dari keadaan awal diam.
J-(r-rto
)/ro sin (r(r
-r)a (r -r)a{ro(t -r)} l
(r -
r
rto
I tu )l o cos (co(t - r))*
ir
)cos (o(t - r))- t r(to ro) sin (o(t - r))
Memperhatikan batas integrasi
f
) ]i bahwa hasil integrasi di atas mempunyai
= O dan
y=yst (t-cosrot)+l/tu
t, maka akan didapatkan bahwa:
(rin.t)lor-t))
(S9)
atau:
DLF= 1-cos61+ (sinolt)/
H @
Fl
lo lrrttl
L* t4
yo = yst (sin
or
tu )l(ro t6 )-cos o t6 )
i
co
tu +(cos
= y,, {osin
co
to
)lto
-tlto
(61)
}
sebagai: y = yst l(ol to ){sin
(s7)
F(t)
=1-tltd, untuk0td
f(t;
Respons sistem tersebut terhadap pembebanan yang diberikan dapat diperoleh dengan mempergunakan 55. Untuk O < t < ta, di mana keadaan awal yo = 0 dan Yo Persamaan 55 menghasilkan: to )sin (o(t
-r)ar
cu
t
*sin o (t -td
}-yst
cos o r
(62)
t
(63)
atau:
Beban segitiga tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
ysr, flt -rl
(60)
Oleh sebab itu dengan menggunakan persamaan 61, respons sistem setelah t 2 t6 dapat diperoleh dari persamaan 44, yaitu
Ganber l.t. Bcban Segitiga
- Fr f(t), dimana:
Untuk t ) to , gerakan yang terjadi adalah gerakan bebas. Keadaan awal untuk bagian gerakan ini dapat diperoleh dari persamaan 59, dengan memakai t = t6 sebagai berikut:
(b)
(a)
y=
l
j(- r t,o )/ ro cos (ro(t - r))ar
(s8)
Persamaan 58 dapat diselesaikan dengan menggunakan cara Integration by Parts [TaylorJ:
DLF = 1 i(or to Xrino: t -sin o (t
-to )-cos
ol
Gambar 19.a, 19.b dan 19.c menunjukkan respons dinamis suatu sistem elastis dengan derqjat kebebasan satu terhadap pembebanan berbentuk segiempat dan segitiga. Terlihat . dalam gambar tersebut bahwa besarnya dynamic load factor sangat tergantung kepada perbandingan antara larna pembebanan ta (atau periode pembebanan) terhadap periode dari sistem T. Gambar 19.d menunjukk4n pengaruh cara pemberian (penambahan) beban untuk mencapai suatu beban tetap. Terlihat dalam Gambar 19.d, respons sistem sangat tergantung kepada perbandingan lama pembebanan untuk mencapai suatu beban tetap tertentu, tr, terhadap periode sistem T.
32
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
Analisis S.tiukhrr secara Dinamis
33
2
I
(d)
Ganbar L9. Respons dinamis SDOF terhadap beberapa macam gaya
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
36
Analisis Struktur $ecara Dinamis
37
Gambar 20.a menuqjukkan dynamic ioad factor maksimum
untuk beban berbentuk segitiga dengan puncak pada t = 0 dan
persegi terhadap perbandingan antara ta dan T, sedangkan Gambar 20.b menunjukkan kapan dicapainya dynamic load factor maximum tersebut, t-. Gambar 21 menunjukkan besar dinamic load factor maksimum untuk beban segitiga dengan puncak yang tercapai pada waktu t = Ye t6, terhadap pJrbanding* dari waktu pem-berian beban td terhadap periode T dari sistem. Ditunjukkan pula waktu dicapainya DLF maksimum ter$ebut, t-.
rt E
) o u-
-
't.4
Gambar 21.c dan 2l.d menunjukkan dinamic load factor maksimum untuk beban tetap yang dapat dicapai dengan menambah beban. Dalam Gambar 22.a tampak bahwa efek dinamis dapat dihilangkan bila penarnbahan beban diberikan sedemikian rupa sehingga waktu yang diperlukan untuk mencapai beban tetap, tr, sama dengan periode sistem T. Persamaan gefakan dari sistem elastis dengan derajat kebe-basan satu yang tilah dianalisis datam bagian lain buku ini maupun yang ditunjukkan dalam Gambar 19 memperlihatkan -gerakan bahwa setelah beban yang diberikan berhenti bekeq'a ternyata gerakan tidak berhenti dan tetap berlangsung tanpa ada pengurangan amplitude. Tentu saja dalam kenyataannya keadaan ini tidak terjadi karena dalam keadaan yang sebenarnya dapat diharapkan bahwa sernua gerakan bebas pada suatu saat akan berhenti. Tahanan terhadap gerakan ini dinamakan Damping yang akan dibahas dalam bagran lain buku ini. 1.6.4 Gerakan pada Pondasi lra=
waktu te0adi respons max
Suatu struktur yang digerakkan pada pondasinya seperti terlihat dalam Gambar 22.a dapat diidealisasikan dalam susunan massa dan per seperti diperlihatkan daiam Gambar 22.b. x.
9artbn toLt
s
K(z-x-) G'arnbar
2L. DLF untuk beban tetap dengan kenaikan beban dari nol
c
Mx
I -f IH L'J
o 6 I
Frx
o Oerakan bman
{b)
Gambar 22. Gerakan pada pondasi
i I
Pengantar Analisis Dinarnis dan Gempa
38
Bila gerakan pada pondasi dinyatakan sebagai Yo dan gerakan pada rnassa M dinyatakan sebagai yr maka dengan menggunakan prinsip dinamic equilibriurn dari D'Alembert, persamaan gerak sistem tersebut dapat diturunkan sebagai berikut:
Miir+k(y,-yo)=0 , Perhatikatr bahwa untuk
F4l
gaya inertia harus dipergunakan percepatan absolut pada massa yang ditinjau, yr, sedangkan untuk gaya perlawanan dari per menggunakan seUsih antara gerakan pada massa, yr, dengan gerakan pada pondasi, yo. Bila gerakan relative dari massa terhadap gerakan pondasi, $r - Yo)' dinyatakan sebagai y, maka:
Y=Yr-Yo
Macem domping yang diketahui ielah: 1. tuictional (Couloab) Damping
Frictional damping terjadi karena adanya
2. 3.
gesekan i dari permukaan dua buah benda yang bergerak. Viscous Damping Viscous damping terjadi karena adanya gerakan dalam udara atau cairan. Internal Friction Damping ini terjadi karena adanya geseran antara molekulmolekul dari bahan
Secara matematik damping dapat dinyatakan dengan rumus:
n
=
c(x)'
(64)
(6s)
(66)
Perhitungan sistem dinamis suatu struktur biasanya hanya memakai viscous damping, persarnaan 65 b. Dalam idealisasi, strukhrr viscous damping ini biasanya digambarx.au* sebagai das& paf seperti terlihat dafam Gambar 23.
Dengan demikian persamaan gerak 64 berubah menjadi:.
M6r*jio)*kY=0,atau
Mi+ky=-Miio
39
Besar pangkat n ditentukan untuk bermacam-macam damping sebagai: Frictional Damping, n = O ; D = c Viscous Damping, n = 1 ; D=cx Internal Friction, n = 2; O =. (*) (65)
jr=ji-jio,dan iir =ii+iio
Analisis SE:ukhrr sec,ara Dinamis
Perhatikan bahwa persamaan gerak ini (66) sama dengan persamaan gerak getaran tak bebas (42), dengan gaya pada massa M, F(tj, sebesar (-tut Vo).
1"7 PET{T'ELESAIAI{ AT{ALITIS STRUKTI'R ELASTIS DENGAN DAUPIT{G DEITGAN
DTRA'Af I{EBEBASAN SATU
Damping adalah suatu besaran yang rnenyatakan tahanan terhadap gerakan pada suatu sistem dinamis dan merupakan salah satu sifat fisik dari sistem tersebut. Biia besar sifat lisik yang lain, massa dan kekakuan, relatif dapat dengan mudah dit*i, A" ping yang rnerupakan mekanisme penyerapan energi sangat sulit dimengerti dan didapatkan. Besarnya damping ini biasanya dinyatakan dalam presentasi dari suatu besaran yang dinamakan Critical Damping, yaitu besar damping yang akan menyebabkan hilangnya getaran. Ha1 ini akan dibahas lebih lanjut dalam bagran iain buku ini. Besarnya damping ini tergantung dari berbagai macam hal.
f (tl GaEbar 23.
Stukur
dengan damplng
Dengan memperhatikan damping, pe'rsamaan gerak sistem elastis dengan derajat kebeban satu dapat diperoleh dengan menggunakan cara d5mamic equilibrium D,Alembert, yaitu:
Pengantar Analisis O4glq9g31 C"
Analisis Stmkhrr sccara Dinamis
(66)
My+ci+ky=F(t)
menyelePenyelesaian persamaan ini dapat diperoleh dengan merypakan yang saikan persamaan homogen (getaran bebas) p""v"i"J"ian komplementer serta mencari penyelesaian partikulir yaog m"menuhi persarnaatl di atas'
1.7.1 Gctetaa iebas dcngaa Damplng dapat Persamaan gerak dari getaran beban dengan damping nol diperoleh dari firsamaan OO dengan mengganti F(t) dengan schirrgga menjadi: '(67) MY+c j'+kY=g atau:
..ck^ v+;Y+;Y=v
(68)
yang dapat diubah lebih lanjut menjadi: 1i+2Ptoo
(6e)
i+or2 Y=6
41
1.7.1.1 Dua akar nSrata, p > 1. eig 0 > 1^ maka persarnaan T2 akan menghasilkan dua buah akar, 11 dan t2. Dari persamaan T2 dengan mudah dapat dilihat bahwa kedua akar persamaan tersebut merupakan akar yang 19g1tif dan nyata sehingga penyelesaian persarnaan OS dapat ditulis sebagai: lrt + Y = Are
Azelzt
(73)
di mana: 11=-ptoo
*...f(p, -il
12=-$
-.".f6, -t)
(741
D.rg1l memperhatikan grafik dari fungsi ert yang diperli.hatkan .. dalam Gambar 24 dapat
diambil kesitpulan a&i por""maan 73 bahwa bila besaran p > I maka tidak akan terjadi getaran dari sistem dinamis yang ditinjau. Keadaan ini, p , i, dirr"*al*an OverDamping.
di mana:
f=*ffi rro
dan, (701
=*/@)
Persamaan lraralrteristik dari persamaan 69 adalah: 7 + 2proo1* oo2 =0
(71)
yang memPersaraaan 71 mempakan persamaan kuadrat dalam punyai akar-akar: 'h.r
= -F(Dn *." /${i)
PenyelesaianPersamaan6gtergantungdari'sifatakar-akar p"r"*""t karakteristik, persamaaa 72, sedangkan sifa! akar-
L", p"r"*aan karalcteristik sebagai berikut.
Grrrbu 24. Grafrk dl
172l
tergantung kepada besar bilangan p
1.7.1.2 Dua aler
laqftrcr,
p < 1.
Dalam hal besaran p . 1, besaran di bawatr tanda r1 aaUm persamaan 72 adalah bilangan negatif sehingga persamaan 72 akan memberikan dua buah akar imajiner luit-anian kompleks) sebagai berikut:
ao
dan Gempa Pengantar Analisis Dinamis 4
ur-
[(r-9')
11=p
+iar"
1e=Fon
*i.,,f(r-g') "(,r,)
(7s)
+e,
eCmt))
(761
di mana: Persam4an 76 dapat dinyatakan dalam bentuk lain sebagai berikut:
(e,
getaran. Keadaan ini, p < 1, dinamakan Under Danping.
1.7.1"3 Satu a&ar ayata, P = 1. Dalam hal p = 1 maka persamaan 72 akan menghasilkan dua buah akar yang sama, il = 12 = 1, dan merupakan bilangan nyata yang negatif. Dalam keadaan ini penyelesaian persamaan 69 dapat ditulis sebagai:
{77l.
B=(Dn.f(l-p')
y = s(-F.o,)
cos (B
43
Jelas terlihat dari gambar 25, bahwa keadaan p < 1 pada sistim dinamis yang ditinjau akan mengakibatkan terjadinya
a"rt
Dengan demikian penyelesaian persamaap 69 menjadi: y = sFF.nt) (e,
AnalisiS Struktur secara Dinamis
t)+Aa sin(a t))
(78)
Y=
Ar e-1'
+
A, t e-rt
(81)
di mana: l. = 9o)o
(82)
yang kemudiarr dapat disederhanakan menjadi: y = 4(-o'o') rir,
(."
;6
-P'
)t.
O)
lTel
79 diPersamaan gerak yang dinyatakan dalam persamaan 79 persamaan gambarkan dalam CamUit 25' Terlihat bahwa perdengan sebagai suatu fungsi sinusoidal
[.p.r
digambarkan ubahan fase sebesar
Q,
dengan fungsi: (80)
y=4aGF"t) sebagai enveloPe.
.
Craobar 26. Citical damping Pada Gambar 26jelas bahwa persamaan 81 juga menunjut-
kan tidak adanya getaran. Keadaan yang terakhir ini, 0 =
1,
merupakan pembatas antara keadaan under damped dart over datnped dalrr dinamakan sebagai Critical Damping.
Ganbar 26. Keadaan under daaPing
L.7.L.4 KarakteristiL Stnrktur deagan Damping Karal
44
rytgarlgr Analisis Dinarpis
,-,
o =(Dn
.ft-P')
dan Gempa
[rad/det]
,f[-pr)
[rpm, cps]
1.7.2 Getaraa Tcls Bebag deagan Damplng
(84)
Dalam pembatrasan dalam Subbab 1.7.1 terlihat bahwa hanya sistem dinamis yang underdamped yang memberikan respons berupa getaran. Oleh sebab itu pada bagran selanjutnya hanya kasus ini yang akan dibahas. Seperti pada penyelesaian getaran tak bebas tanpa damping, penyelesaian gerakan tak bebas dengan damping dapat dilakukan dengan menggunakan penyelesaian dari beban unit impuls (lihat persamaan 49), yaitu dengan menggunakan convolution integral.
Periode, T:
T=l/f =
45
(83)
Frekuensi, f:
," ,_
Analisis Stmktur secara Dinamis
2n
(8s)
;:1;'-.-;\ [det]
,r,J [-P')
natural cirDalam persamaan-persamaan-di atas' on adalah cular frequency dari sistem tanpa damping'
Suatukarakteristikpentinglaindarisistemdinamisdengan yang dapat diturunkan sebagai p' persaberikut. Keadaan critical damping dicapai bila besaran
O.*OG idalah critical aamping
Dengan cara yang sarna, penyelesaian terhadap unit impuls pada getaran tak bebas dengan damping dapat diperoleh, yaitu: v=
,ir,
N{,o,
ft-prl.-Foor
(.o".f(r -P'), )
Jadi penyelesaian partikulir dari getaran tak bebas dengan damping dapat diperoleh sebagai:
maan 70.a, adalah 1.
(86)
p=cr,,l-(+tvt)
(8e)
=
r(r - p' )t' - tl)*
(e0)
,t(,,.f,(,-p'l -.)a.
(el)
' i#6;''F<,,"(r-r)'io
(.,
adalah: Untuk g , 1, g = ccrr jadi besar criticai damping
"".
(87)
=..f(+ttut)
biasanya dinyataBesar damping dari suatu sistem dinamis critical damping' dari kan dalam bagian, Ui"".t'y" persentase'persamaan 86 dapat di87' ;"*pJrrr.iit t,, p"t"t',""tt
tu""
tulis sebagai: (88)
c = 0c",
p menunjukkan Dari persamaan 88 terlihat bahwa besaran persen) biasa(dalam F uasi;aari critical damping. Besaran.ini dari suatu nya digun"Lan untut meiyatakan besar damping damping (p)' sistem d.inamis. Pemakaian persen-.dari critical oleh alasan-alasan untuk menyatakanl;; damping dilandasi hal ini akan Tentang pirnitungan. oraktis untuk *"rrrrJJt"" pada bagian lain buku ini' hiu"t ^"
y = yst
,,
ifig"'eo*(t-r)
Dengan demikian penyelesai€rn umum untuk getaran tak bebas dengan damping (yang underdamped) adalah:
Y=Y"+Yp
Pzl
di mana y" adalah penyelesaian komplemen (complementa4r solufibn), persamaart 79, sedangkan y, adalah penyelesaian partikulir $carticular solutionl, persamaan 90. 1.7.3. Getaran Tak Bebas dengan Bebaa Harmouis
Beban harmonis adalah beban-beban yang besarnya berubah-ubah dalam suatu fungsi yang berbentuk sinusoidal, misalnya:
F(t)= Pr sin(o t)
(e3)
MII, IE !r-:il
,:d
ffi*?,[ir1,,t'
Analisis Stmkhrr secara Dinamis
47
Karena persamaan 97 harus dipenuhi untuk semua harga T, maka koefisien sin (At) pada bagian kiri tanda sarna dengan harus sarna dengan koefisien sin (Ot) pada bagian kanan, sedangkan koefisien cos (Ot) bagian kiri tanda sarna dengan harus sarna dengan nol sehingga:
olo'
cosa+2prooQsin o*oo2 .o.o)rin ot = \
l-^\
A(.o'
sin
harmonis Persamaan gerak sistem dinamis dengan beban cara dengan diselesaikan 27 Gambar seperti yang tamPak Pada sebagai berikut: (e4) My+c j'+kY =F(t)
di mana:
atau:
o = (.,'
(es)
freDalam persarnaan di atas, oo adalatr natural circular adalah sedangkan 0 tanpa damping) quency (dari sistem Jit koefisien damPing.
"*i*
Bila yp, (e6)
yp = Asin(ot-a)
maka y' harus adalatr penyelesaian partikulir dari persamaan 94 94' Dengan mempergumemerruhi persamaan gerak, persarrlEran g4 berubah menjadi sebagai nakan persamaan 95, p";-;#aan berilnrt: (ctt-c')= -o2A sin(cx -cr)+2p rono n cos(ctt'a)+roo2Asin (Fr / M) sin
rio
o+
(rro)(r.' -o' )4 lrta
A cos a =
A sin c =(t t O)Zp ronQ Fi / M
-o' I
+4 p2
(100)
(1o1)
Penyelesaian partikulir (95) dapat diperoleh setelah besaran A dan a didapatkan dari persamaan 1OO dan 1O1.
Dalam hal simpangan maupun kecepatan awal sistem dinamis adalah nol, penyelesaian umum persamaan gerak adalah sarna dengan penyelesaian partikulir sehingga penyelesaian persamaan getaran tak bebas dengan beban harmonis (93) dapat ditulis sebagai: y = Asin(ot-c)
(102)
di mana besaran A dan o adalah: o,
=arc*[ 'P*". ]
Il-(ryo")2./ (103)
Dari persamaan 102 diperoleh dyaamic load tactor maximum, DLF-*sebagai:
2p rooQ cos Q + Q2 sin Q)cos clt =
(r,7Iu)sin61n,'.'*"
(99)
leTl
ot
Persamaan 96 dapat diuraikan lebih tanjut menjadi: 2 .el o' cos cr + 2p ol, (l sin cr + or1 cos o)sin (o +)+
e(."'
0
Kedua persamaan 98 tersebut dapat diselesaikan lebih lanjut sehingga didapatkan:
Ganbar 27. Beban harmonis
, r(') !+29con !+con'Y=i'
Q+2poroOcosQ+Oz sin O)=
/M, dan
.,*:
;o f"*, 1,,t1..I
I
(e8)
48
Pengantar Analisis Dinamis
ae! !g!qP.
Analisis Strulch,rr secara Dinamis
49
lr I
(104)
Besar DLF-'" ini untuk bermacam-macarn koefisien damping' p, ditunjukkan dalam grafik yang terdapat dalam Gambar 28' Per.hatika4 bahwa untuk sistem dinamis yang tidak mempunyai damping, g = 0, persalnaan 104 menjadi: (10s)
Persamaan 104 menunjukkan bahwa bila sistem dinamis yang ditinjau tidak mempunyai damping, I = 0, dan pembebanan .yang diberikan adalah beban harmonis yang mempunyai periode (atau circular frequency) yang sama dengan periode sistem tersebut, O=on, maka akan terjadi respons y=o(DLF_* =o). Keadaan ini dinamakan keadaan resonansi yang tak terbatas {unbounded resonancQ. Lihat Gambar 28. Gambar 28 juga menunjukkan bahwa pada pembebanan harmonis akan selalu tedadi respons yang beiar (reionansi) bila circular frequency beban, O, mendekati circular frequency, wn, sistem yang ditinjau.
Meskipun persamaan 104 menyatakan secara matematis te{adinya unbounded resoriance bila frekuensi beban, O, sama dengan cAcular frequency sistem, ror,, pemahaman lebih lanjut menunjukkan bahwa unbounded resonance ini hanya terjiai pada waktu t = o. Perhatikan penurunan berikut ini. Untuk keadaan tanpa damping dengan simpangan dan kecepatan awal nol maka respons sistem t-rhadaj beSan harmonis (persamaan 102) menjadi:
y = Asin(o
t-c)
(l06)
di mana besaran A dan a menjadi: cr=0
A=
E
(107)
Molo2
Persamaan 105 menunjukkan bahwa untuk e=(on, y tidak tertentu (y = O/0). Harga y dapat diperoleh dengan menggunakan rumus L'Hospital. Penurunan pembilang dan penyebut persamaan 105 terhadap s menghasilkan:
, a/t
G,anbar 28. DLFrtax untuk gerakatt tak bebas dengan beban
haraonis
=
#
[,
*,
{ctt1-'h-(q"
t))
(108)
Persamaan 107 menunjukkan untuk 0=@s, akan diperoleh y tertentu. Y = otranya terjadi pada waktu t = o.
l lq :.
i i:
i
Pengantar Analisip Dinamis dan Gempa
50
Analisis. Strukarr secara Dinamis
5l
1.8 Penyelesalan Andttts stnrktur dengan Derqiat Kebebasan
\h lrli
Banyak
IJ
Bagian ini membahas respons dinamis dari sistem dengan derajat kebebasan banyak (multidegree of freedom systeml. Jumlah derajat kebebasan (degree of freedoml adalah jumlah koordinat independen yang perlu dan cukup untuk menyatakan konfigurasi suatu.sistem secara lengkap. Sebagai contoh, st4rktur a"um Gambar 29 merupakan struktur dengan derajat kebebasan dua karena diperlukan dua buah koordinat, y dan 0, untuk menyatakan konfigurasinya secara lengkap. Untuk menyederhanakan pembahasan maka akan dibahas terlebih dahulu respons dinamis untuk sistem dengan dera-jat kebebasan dua.
I
rtt,-rt
4iz
dll[r'r'
492-
r
til
,?
Gunbrr
0,O. Sistem
dinanis dengan der4iat kebfusan dua
Persamaan tersebut (lO3) dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut:
Mi+Ky=Q Dalam persamaan di atas matriks massa kuan lt dan vektor simpangan y adalah:
(1lO)
t,
matriks keka-
0l u=[M' MzJ Lo Gambar 29. Strulctur dengan kebebasan dua. 1.E.1 Gctaran Bebas Struktur dengan DeraJat Kebebasan Dua Perhatikan suatu strulrtur dengan derajat kebebasan dua seperti terlihat dalam Gambar 30. Persarnaan gerak sistem tersebui dapat diperoleh dengan menggunakan prinsip dinamic equilibrium dari D'Alembert. Pe4ggunaan prinsip D'Alembert pada massa 1 dan massa 2 menghasilkan persamaan gerak sebagai berikut:
Mr
ji+kr yr -kr(yr-y-)=0
Mr!i+keYz +kzbz-Yr)=0
dan, (10e)
* _[(t,*xr) (k, . -r, .l + kr)j L -k,
y"= (yr yz)
(l l r)
Penyeiesaian persarnaan gerak di atas dapat diperoleh sglagai;
yr =Ar sin(ro(t+o)) yz=Azsin(ro(t+a))
(112)
sedangkan percepatan massa 1 dan 2 dapat diperoleh dengan menurunkan persamaan 112 dua kali terhadap t sehingga didapatkan:
iir =-Ar
!
= -Az
ro2
sin(o(t+cr))
ro2 sin
(to(t+a)
(113)
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
s2
Untuk memperoleh besar A dan c, persamaan :112 dan 113 harus memenuhi persamaan gerak 109 atau 110 sehingga diperoleh:
(-u,.'+k,
+k2)e, *1-tr)Az =o
(-tr)e, *(-vrr 9'*k, +tr)e,
=o
*u'
)
(-r,,;:i, .-,il[l]]= [l]
(114)
(1
ls)
Karena amplitude A tidak mungkin nol (A = 0 berarti tidak ada gerakan), maka persamaari 115 hanya dapat dipenuhi bila harga determinan.
lF"t,
|
co2
+tr,
+t2)
,
-k2
(-vtr.'+k,
-r,
.l +kr)l
(116)
yang setelatr dievaluasi akan menghasilkan:
(lu z\z [(t,+tr). (tr+ks)u , ?- kr(k,+kr)+k,k3)l=v ^ \ /, -l M, M2 MrMz ) [
(1
r7)
Persamaan 117 merupakan persamaan kuadrat dalam oP Dengan demikian terlihat bahwa suatu sistem dinamis dengan derajat kebebasan dua akan mempunyai dua buah circular frequency yang nyata.
Untuk menjetraskan lebih lanjut, anggaplah kekakuan per kr, kz dan k3 semuanla sama, yaitu sebesar k. Begitu pula dengan massa Mr dan Mz yang sama dengan M. Dengan demikian persamaan 117 berubah menjadi:
6,F \ / -f+1,, l.Mi *{=o Mz
ro, = @z
atau dalarn bentuk matriks:
[f "' t;,-'
atau:
(u8)
rf(rlu)
a"o
=r,.73tr(mt)
(120)
Kedua circular frequency ini merupakan natural circular frequency dari kedua normal modes yang ada. circurar frequency yang lebih kecil, o1, merupakan frekuensi dari mode yang pertama (fundamental atau first mode, sedangkan ou adalah frekuensi dari mode yang kedua (second mode. Penggunaan cor dan rDz ke dalam persamaan 115 tidak akan dapat menghasilkan besaran Ar dan Az tetapi hanya akan meng_ hasilkan perbandingan antara Ar dan Az. Hal ini terjadi karena ror dan coz didapat dengan menyamakan determinan koefisien persarnaan 1 15 dengan nol. Harga relatif Ar dan Ae tersebut dinama_ kan bentuk karakteristik (ciara cteristic shape atau characterisic vector) dari sistem dinamis tersebut. Untuk kasus ini, dengan menggunakan ror (I2O), persamaEul pertama dari persamaan 115 menghasilkan: (-r< +
zt)e,, + (-k)Ar, = o
(r21)
sehingga diperoleh:
Att
= Azr
(122)
yang merupakan bentuk karakteristik dari mode pertama. Dalam persamaan di atas subscript kedua dari Ar dan Az menyatakan nomor mode atau nomor frekuensi. Tentu saja hasil yang sama akan didapat bila orr dimasukkan ke dalam persamaan-keaua dari persamaan 115. Penggunaan az (l2O) ke dalam persamaan ll5 menghasilkan:
(-er*2k)A"-+(-r)er, =o
(123)
sehingga didapat:
Persamaan 118 akan menghasilkan dua buah akar, yaitu:
Av = -Azz
or2 = k/M dart
yang merupakan bentuk karakteristik dati mode kedua. D1.* mode yang pertama, kedua massa bergerak dalam . arah dan besar yang sama, sedangkan dalam mode kidua, kedua
(1le}
(124l,
i
Analisis Strulfirr secara Dinamis
tar Analisis Dinamis dan
55
i
, I I I
massa tersebut bergerak dengan besar yang sama tetapi dalattt arah yang berlawanan. Dalam suatu mode tertentu kedua massa tersebut bergerak dalam fase yang sarna sehingga simpangan maksimum pada kedua massa tedadi pada waktu yang sama. Keadaan ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan program komputer gempa ii [8], yaitu dengan memberikan beban harmonis yang mempunyai. periode yang sama dengan periode yang bersangkutan.
L.8.2 Getaran Bebas Struktur dengan Derqiat Kebebasan Ban5rak
Persamaan gerak struktur dengan derajat kebebasan banyak dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai (110): (12s)
My+KY=$
di mana M adatah matriks massa, K, matriks kekakuan dan y
vektor simpangan. Db,lam kasus-kasus yang sederhana, matriks massa ![ biasanya merupakan matriks diagonal sedangkan vektor simpangan y merupalan vektor yang elemen-elemennya adalah variabel yang sesuai dengan derajat kebebasan sistem yang ditinjau (Lihat pembahasan untuk sistem dinamis dengan derajat kebebasan dua). Matriks kekakuan selalu merupakan matriks yang simetris dan dapat dicari dengan mudah dengan nnemperhatikan sifat-sifat sistem yang ditinjau (Lihat pembahasan sub bagian 1.a). Penyelesaian persamaan gerak 125 dapat diperoleh sebagai:
y=Asin(ot)
(126)
Dalam persarnaan 126, y merupakan vektor simpangan sedangkan A adalah vektor amplitude yang berpasangan untuk vektor simpangan tersebut. Dari persamaan 120, vel'rtor percepatan i dapat diperoleh sebagai:
i
=
-coz
A sin
(cot)
(1271
Penggunaan persamaan 126 dan 127 dalam persamaan 125 menghasilkan persamaan karakteristik (characteristic equationl sebagai berikut: (128) ro2MA+KA=O
atau:
k-r' Pr]e = s
(12e)
Karena A adalah vektor amplitude maka A tidak mungkin nol sehingga dengan demikian persamaan L29 harrya dapat dipenuhi bila determinan matriks koefisien dari vektor A sama dengan nol. i
*-,' * l=o
(130)
Bila sistem dinamis yang ditinjau mempunyai n buah derajat kebebasan maka persarnaan di atas adalah persamaan frekuensi yang merupakan persamaan pangkat n dalam (oz). Dari persamaan tersebut akarr diperoleh n. frekuensi o yang nyata yang ma_ sing-masing merupakan natural curcular frequency dari n buah mode yang ada.
Dari persamaarr 129, untuk setiap harga o yang diperoleh dari persamaan 130 diperoleh n buah vektor amptituai yang merupakan bentuk karakteristik (characteristic shape, characteristic n?9tor, mode shapCldari mode yang bersangkutan. Seperti telah dijelaskan dalam pembahasan sistem dinamis dengan der4iat kebebasan dua, bila sistem dinamis tersebut bergetir dalam salah satu mode maka bentuk simpangan yang terjadi selalu mengambil bentuk mode yang bersangkutan. Dalam istilah matematik, persarnaan karakteristik (129) dikenal.dengan nama persamaan Eigen, ((oz), dikenal sebagai characteristic ualues atau Eigenualues sedangkan characteriitic shape, A, dikenal sebagai Eigenvector. problema yang menghasillian bentuk persarnaan Eigen dinamakan Eigenuatub probtem atau characteri s tic ualue pro blem. 1.8.3 Natural Frequeucy daa Mode Shape Ada bermacerm-macam cara untuk mencari natural frequency {an mode shape, yang di antara cara-cara manual terdapat cara Stodola-Vianello, cara Rayleigh-Ritz [], 2, 3] dan cata Holzer. Dalam pembahasan berikut akan dibicarakan cara H6lzer.
1.8.3.1 Cara Holzer Perhatikan suatu struktur dengan derajat kebebasan n seperti terlihat dalam Gambar 31. untuk menyederhanakan pemba-
Pengantar Analisis Dinamis dan Gernpa
56
hasan, struktur tirsebut dianggap tidak mempunyai damping. Seperti telah dikemukakan di muka, persamaan gerak struktur ini dapat ditulis sebagai:
Analisis Struktur secara Dinamis
yii = Aij sih (o; t;
57
(134)
dan percepatan yg sebagai: ii,j =oj2
'e'u sin(ol,
t)
(13s)
yang dengan memperhatikan persamaan 134 dapat diubah menjadi: !'6 = ol
? Pt*r
--
Pt
-,
Dengan menggunakan dynamic equilibrium dari D,Alembirt, pada massa mi dapat dianggap terdapat gaya sebesar:
tr+r I
Ki+t / mi
(
id
(136)
v;1
P{ = }s I
mi
(132)
Substitusi persamaan 136 ke persamaan 137 menghasilkan:
I
Pij
,I
= oi
y,j
(138)
Gaya geser antara massa mi dan massa m1i.ry dapat diperoleh dengan mengalikan simpangan relatif antara massa mi dan massa m(i+r). Dengan kekakuan tingkat tersebut akan didapatkan gaya geser di atas lantai ke i, Q1i*ryj, sebagai:
l, ^,
Q1i*r); = (Y1i*r;.;yn
)t1i.rl
(13e)
Keseimbangan horizontal struktur di atas lantai ke'i menghasilkan: Q(i*r): =
Giambar 3L. Cara Hdlzer M1i+ Ky=Q
(131)
u=i,.,,
y(i+r)5-yij
y=A
sin(rot)
(132)
Bila struktur bergerak dalam mode ke j, circular frequency
or
sehingga simpangan untuk massa i, y;;diperoleh sebagai:
.
I -,Pni
=T#il
(141)
atau:
adalah:
o=oj
(r40)
Dari persamaan 139 dan 140 diperoleh:
Penyelesaian persamaan tersebut di atas dapat ditulis sebagai:
,o
n
(133)
Iii
= Y1i*r;i
.k-{i+l) I..P,n r(
(i+t)
(r421
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
58
Analisis Strukhrr secara Dinamis
59
Memperhatikan persamaan 138, persamaan 142 dapht ditulis sebagai:
i,r,,
yri
d
r,6+r)
Yg
=Y(;+r)i---,_)
(r43)
Persamaan 143 merupakan dasar dari cara H61zer. Terlihat dari persamaan 143, bila simpangan di atas massa ke i, y6*r1i, ]1i+25, ....., Ynj, dan circular frequency untuk mode ke j, q telatt diketahui, maka simpangan pada massa ke i, y5 dapat diketahui. Dengan demikian simpangan pada rnassa-massa yang lain .(di ba$rah massa ke i) iuga berturut-turut dapat diperoleh dengan cara yang sama. Dalam hal circular frequency q yang dipakai adalah circular frequency yang sebenarnya, maka simpangan pada dasar struktur, yoi adalah nol. Karena oj yang dipergunakart belum diketahui maka proses ini hartrs dilakukan dengan cara coba-coba sampai didapatkan harga oj yang menghasilkan yqi nol. Sebagai kesimpulan perhitungan (circular) frequency dengan cara Hdlzer dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai be-
rikut:
1.
2.
Tentukan perkiraan circular frequency mode yang dicari, q. Tentukan simpangan lantai teratas, ynj, sebagai satu unit, yg = 1.
3. Berturut-tumt hitung simpangan 4.
5.
lantai-lantai di bawatrnya, j1a-r15 sampai dengan simpangan di dasar stmktur yq. Bila circular frequency yang dipilih dalafn langkah pertama adalah circular frequency yang benar maka simpangan pada dasar struktur ]o; harus sama dengan nol. Bila yoi ternyata tidak nol maka cobalatr perkiraan q lain dan ulangilah langkah
I sampai 4. Setelah melakukan perkiraan
o>.; dua kali maka perkiraan selanjutnya dapat diperoleh dengan menggambarkan gralik
yang mempunyai sumbu horisontal q dan sumbu vertikal yoi. oj yang benar dapat diperoleh dari perpotongan graJik tersebut dengan sumbu ro1(Gambar 33).
Uniuk menjelaskan lebih tanjut cara ini, ikutilah perhitungan circular frequency dari sistem dengan derajat kebebasan tiga di bawatr ini (Gambar 32).
Ganbar 32..Contoh cara Hdlzer Matriks massa M dari sistem tersebut adalah:
Ir o ol u=l o r ol [o o +]
(144)i
sedangkan matriks kekakuan K:
-r ol r=l -t z -rlr< Iz
lo-r rl
(14s)
Sebagai percobaan pertama ditetapkan harga or2 sebesar 0,4
k/m, kemudian dilakukan perhitungan seperti terlihat dalam
Tabel4. Ternyata (02 yang dipilih menghasilkan ys = 0.352 sehingga harus dilakukan perhitungan selanjutnya. Misalnya kemudian dipilih co2 sebesar 0.8 k/m. Ternyata pilihan ini menghasilkan ys = - 0.934 (Tabel 5). Dalam taraf ini untuk mendapatkan pilihan yang lebih terarah dapat digambarkan grafft antara af dan yo (Gambar 33). Dengan memperhatikan gralik ini, misalnya dipilih a2 = O,2 k/m yang kemudian menghasilkan yo = O,216 (Tabel 6). Hasil ini juga digambarkan dalam grafik. Harga roz yang dipilih kemudian adalah O,27 k/m. Harga o2 ini menghasilkan y6 = 0,007 (Tabel 7l yarry cukup dekat dengan nol. Dengan demikian harga circular freguency yang diperoleh adalah o = O,S2
rf(t lr").
_ll
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
60
Tabel 4:
cD2
= O.4
m
mo2
v
3 2
0.5
1.0
I
1.0
o.2 0.4 4.4
1.O .
0.8 o.28 -0.352
0
mo2y
o.2 o.32
o.tL2
Y
o.2 o.52 o.632
rlk
x.
1.0
o.4 0.88 0.654
1.0 1.0
l/k
massa no:
m
mol2
v
3
0.5
o.1
1.0
0.1
2
1.0
o.2
0.9
1
1.0
o.2
-o.62
0
-l Ir, \k=(i+l)
Yir = Y(i*r)t
)
rumus:
mkJ/kti.r)
Y,:
I \r-(i+r)
Tabel5: o2 = 0.8 k m massa no:
m
mro2
v
mo2y
s
rlk
3
0.5
1.0
1.O
1
1.O
o.4 0.48 o.224
0.4 0.88 0.6s4
1.0
2
0.4 0.8 0.8
0.6 -0.28 -0.934
0
2,.
o.4 0.88 0.654
1.0 1.0
Rumus: (n YE = Y(i+r)1
Llk
o.1
1.0
0.1
0.18
o.28
1.0
0.28
o.t24
0.404
1.0
0.404
v
mo2y
tt
L/k
x.
l/k
Tabel 7: w2 = A.27
oj ' ,u, *tJrr.6.,l
k/m
massa no:
m
mo2
3
0.5
0.135
1.0
0.135
0.135
1.0
o.135
2
1.0
o.27
0.865
o.234
0.369
1.0
0.369
I
1.0
o.27
o.496
0.134
o.503
1.0
0.s03
o
\
-[_8,i,' vu mkJ/kti.rt
E.
("
=Y(i*r).;-l
i
s
Llk
mo2y
-o.276
rumus: (n
6i
Tabel6: o2 = A.2klm
k/m
MASSA
no:
Analisis Struktur secara Dinamis
l/k
a.oo7
Rumus:
(2.
yo
Yu = Y(i*r).i
-l(r-(i+r) Ir,' Yr *
\ l/k1,.,t
)
Perhitungan dalam Tabel 4 dan 7 dapat dengan mudah dilakukan dengan menggunakan suatu program kecil dalam suatu
y2
0r2 --\_
-0,352----J-o,934 Ganber 33
programble calculator.
Dengan caraHdlz.er ini simpangan y yang didapat dari perhitungan di atas (Tabel 7) adafah mode shape dari circular frequency, o, yang bersangkutan. Eentuk mode shape ini dapat digunakan untuk menentukan circular frequency dari mode ke berapa yang diperoleh. Dalarn contoh di atas, melihat mode shape
l I
l Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
62
Analisis S1rukfirr secara Dinamis
63
i'
) rI t I
yang diperoleh, ternyata o yang didapat adalah circular frequency dari mode yang pertama. Sebagai pedoman bentuk mode shape ke n akan memotong garis vertikal n kali. Jadi bentuk mode shape 1, menaotong garis vertikal I kali.
bansfotaationl, yaitu dengan menggunakan matriks rotasi R. Jika elemen lq dan kii hendak dijadikan nol malca matriks rotasi R adalah:
ada. Dengan perkembangan komputer pribadi yang pesat, perhitungdn circular frequency dan mode shape ini dapat dilakukan dengan mudah. Misalnya dengan menggunakan cara Jacobi [10,
t
t
-s----...
R=
(14e)
c
1.8.3.2 Cara Jacobl
[x-rr],1=o Dalam keadaan di atas, dengan persamaan 150).
adalah matriks satuan (bandingkan
Bila dengan satu dan lain cara dapat ditentukan suatu matriks yang nonsingular dan mempunyai sifat:
X'l KX=L ll47l di mana matriks L adalah suatu matriks diagonal, maka elemen diagonal matriks L, 1rr, 1zz adalah eigenvalue dari matriks K, sedangkan kolom ke i dari matriks X adalah eigenvalue dari eigenvaiue ri [1O].
Selain itu diketahui pula [10] bahwa eigenvalue dari dua buah matriks A dan B adalah sama bila matriks A dan B tersebut adaiatr matriks similar, yaitu mempunyai sifat:
B=PrAP
Dalam persamaan 149, s'adalatr sin 0 dan c adalah cos 0 Besar sudut 0 tergantung kepada elemen matriks K pada transformasi sebelumnya, yaitu:
(146)
I
(148)
di mana matriks P adalatr suatu matriks yang nonsingular. Prinsip dari metode Jacobi adalah menghilangkan elemenelemen matriks K yang berada di luar diagonal utama secara berurutan dengan menggunakan transformasi-transformasi similar
T
8
1U.
Cara Jacobi adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk mencari Eigenvalue dan Eigenvector dari problerna Eigen yang standar, yaitu:
t I
j
Bila struktur yant ditinjau adalah struktur yang mempunyai banyak derajat kebebasan maka cara ini sangat tidak praktis bila digunakan untuk mencari seluruh circular frequency mode yang
i
tan (20) =
;fr. ,
0=n/4
untuk kii ;r
\ij
dan,
untuk kii = kii
(1s0)
Matriks rotasi R merupakan suatu matriks orthogonal, yaitu matriks yang mempunyai sifat R.r = Rr. Dengan demikian transformasi similar dilakukan berturut-turut pada matriks t( sglagai3 IQn+ly =
R.r II" R.
(ls1)
Dalarn persamaan 128, IG adalah matriks K hasil transformasi ke n. Cara Jacobi yang dibahas di atas adalah cara Jacobi yang hanya dapat digunakan pada suatu problema eigen standar dan matriks K yang simetris dan tidak dapat digunakan secara langsung untuk mencari circular frequency dari suatu sistem dinamis. Hal tersebut dapat diatasi dengan menggunakan transformasi berikut. Persamaan karakteristik suatu sistem 6inamis adalah:
[*-.'
nr
Jl
=o
(1s2)
t
l Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
64
Analisis Stmktur secara Dinamis
i I
i
I I
Bila matriks A kita ganti dengan:
A=U-0.s8
(153)
on. Pengalian di belakan g Qnstuultiplstl tanspose persgrnaan l3g dengan vektor A- menghasilkan:
r^,
maka persamaan 152 menjadi:
(.o'
[*-.'Ivr ]nr-o, B=o atau, [**' -(02 M,,'s ]r=o
atau: (1s4]
(.n' no'
Bila persarnaan 154 dikalikan di depan Qremultipliedl
dengan matriks M-o's akan didapatlcan:
[*t'
KM{'s -co2
I]r=o
^.
t')l.
Pengalian
=(xrt,)r =
di
(A"r
.a,.
(160)
ilil
*')e,
(16U
(ls.s)
Perhatikan bahwa dalam setiap transformasi, elemen luar diagonal yang dalam transformasi sebelumnya sudah nol bisa saja penjadi tidak nol kembali sehingga transformasi similar ini harus dilakukan terus sampai elemen-elemen luar diagonal matriks K menjadi no1 atau mendekati nol dalam suatu toleransi yang telah ditentukan. Ada beberapa variasi dari cara Jacobi [11] yang mempunyai konvergensijauh lebih cepat dari carayang dibicarakaa di atas.
depan QreaultiplSl persatnaan 159 dengan
MA.
KA. (1621 Karena matriks f dan matriks K adalah matriks yang
oo,2 AoT
=AoT
simetris maka:
F=[dan I(r=K
(163)
Dengan demikian, dengan memperhatikam persamaan 163, pengurangan persamaan 161 dengqn pershmaan 162 menghasil-
kan:
(.,'-.,'ho'MA,
:
=9
(164)
I(arena akar karakteristik ro" tidak sErha dengan orp, maka:
1.8.4 Sifat Orthogonal Mode Shape
A.r
Dua buah vektor A dan B dikatakan orthogonal bila perkalian kedua vektor tersebut adalah nol. (1s6)
Bila ro" dan ol- adalah dua buah akar dari persamaan karakteristik dari:
l[ A- = g
(165]
Sedangkan dari persamaan 165 dan 162 serta memperhat ryr batrwa akar persamaan karakteristik ola tidak sama dengan nol maka akan diperoleh:
A"rKA-=0
(166)
(1s7)
Kea&an yang ditunjukkan d;- persamaa:n 165 dan 166 ini menunjukkan bahwa mode shape mCmpunyai sifat orthogonial - -. terhadap matriks kekakuan K dan rnatriks massa U.
(ls8)
Bila suatu matriks Q dibentuk'dengan menggunakan characteristic vector, Ar, Az, ....., l|la1 maka:.,,
(1se)
0'xo=K'd
Dalam persErmaan 158 dan 159, vektor A" dan A. masingmasing adalah karakteristik vektor (atau mode shape) dari ro- dan
0'mo=M'd
[*-r'rvr]l=o maka akan didapatkan hubungan sebagai beiikut:
orr2UA.=KA" 6)-2MA-=KA-
ll
transpose dari vektor Ao menghasilkan:
Matriks M-o.s I(M-o.s merupakan matriks yang simetris. Persamaan 155 adalah problema eigen standar yang dapat diselesaikan dengan cara Jacobi di atas.
ArB=0
)'
.
(167)
l
:'
Analisis Strr,lktur secara Dinamis
Subscript d pada matriks K* dan il* menuqjukkan bahwa kedua matriks tersebut adalah matriks diagonal. 1.8.5 PerraEean Modd
Perhatikal persarnaan gerak getaran tak bebas untuk sistem berderajat kebebasan banyak di bawah ini:
Mi+Ky=(t)
(168)
(16e)
y=9y
di mana Q adalah matriks dengan elemen-elemen karakteristik vektor A,, sehingga persamaan gerak 168 menjadi: (170)
M0Y'+K{Y'=P(1)
Pengalian di depan (premultiply) persamaan 17O dengan matriks {r menghasilkan:
jadi:
0'r MO' = I
(17s)
Dari persamaan 153, untuk ol didapat hubungan:
Pengalian menghasilkan:
y-0y'dan
i'
Karakteristik vektor A"'yang mempunyai sifat seperti persamaan 173 dinamaka;:, notmalized characteristic vector. Bila suatu matriks $' dibentuk dengan menggunakan normalized characteristic vector, maka:
K0'=.i2 M0'
misalkan:
Sr M0
67
+0' K0 y' = 0'
r(t)
(171)
Dari sifat orthogonal mode shape (166), persarnaan 171 men-
Md'y'+Kd'y'=0t r(t)
o'r ro'=roi2 0r
G76l
di muka (premultiply) persamaan
Mo'
$TTl
Menggunakan persamaan 175, persarnaan 177 menghasilkan hubungan:
O'r0' = oi2d
(1zg)
yaitu suatu matriks diagonal yang diagonal utamanya kuadrat dari circular frequency
adal,ah
oli.
Bila untuk pembentukan matriks g dipakai normalized characteristic vector:
y={'y'
dan
y=9'y $721
176 dengan g'r
(t7el
maka persamaan 172 menjadi:
Terlihat bahwa persamaan 172 adaTah Persalnaan yang terurai (uncoupled), yaitu terdiri dari n buah persamaan getaran dengan derajat kebebasan satu (single degree of freedom sysieml. persamaan yang telah terurai ini dapat diselesaikan sebagai getaran dengan derajat kebebasan satu, yaitu:
(uncoupled), yaitu n buah persamnan getaran dengan derajat kebe basan satu (srngle degree of freedom systeml, yaitu:
mii' ji'r +kii'
y'i
=
i0,,
Fr(t), i = 1 ....... n
(173)
l.= 1
Karena kdrakteristik vektor A" hanya merupakan sr'latu perbandingan maka perbandingan ini dapat dibuat sedemikian rupa menjadi A*', sehingga: (t74l. Anlr M ADl= 1
Io' y'+co,2a y' =OT F(t) Persamaan 180 adalah
+ro,2
tl80)
n buah
r'=iO',, E(t) , i=l ... n i.-
persamaan yang terurai
(181)
I
Ingat bahwa y* bukan merupakan penyelesaian yang sebenarnya. Selain daripada itu harus diingat bahwa y* yang didapat dari persamaan 181 tidak sama dengan y* yang didapat dari persamaan 173. Penyelesaian sebenarnya dapat diperoleh dari persamaan 169 atau 179:
Analisis Stnrktur secara Dinamis
1.8.6 Stnrktur Berderqfat Kebebaaan Banyak dengan Damping Persamaan gerak struktur berderajat kebebasan banyak dengan damping dapat diturunkan sebagai:
My+Ci+ry=r(1)
(182)
Seperti pada struktur tanpa damping, dengan menggunakan:
69
Anggapan dalam persamaan 187 sama dengan mengansgap bahwa koefisien damping dalam suatu mode tertentu aaalatr sebesar P kali critical damping dalam mode tersebut. C, = p Ccri (1e0) Perhatikan bahwa dalam persamaan 189, roi adalah circular frequency untuk sistem tanpa damping (natural circular frequency).
y=0y' 1.8.7 Crcrakaa pada Pondari
y=qy (18s)
i=0i' di
mana $ adalah matriks dengan elemen-elemen norlnalized characteristic vector, Iu'. Persamaan 1 6O. dapat diubah menjadi:
M0!i'+C0i'+K$y'=r(1)
(184)
yang bila dikalikan di muka dengan Qrmenjadi:
0r
MOi'+0'c0i'
Mlir +c(i,
+O'x.6y' =0r r(t)4
(18s)
y* = 0t (t)O
(186)
atau:
i'
+
0t c0 i'
+ o)i2d
Persamaan 186 hanya dapat menjadi n buah persamaan yang terpisah bila suku kedua dari persamaan 186, yaitu perkalian matriks 0rC0 menghasilkan matriks diagonal. Hal ini hanya mungkin bila besar damping, C, dapat dinyatakan dalam kombinasi antara matriks M dan matriks K sebagai:
C= aM+
bK
(187)
Misalnya C adalah sedemikian nrpa sehingga:
AitQ15=6
&rCAr=20or
j untuk i = j
untuk i *
'1.=
1
-ir)*K(y, -yo)=0
(lel)
Perhatikan bahwa untuk gaya inersia harus dipergunakan percepatan absolut pada massa yang ditinjau, 1l5, sedangkan untuk gaya perlawanan dari per digunakan selisih antara gerakan pada massa, yli, dengan gerakan pada pondasi, yo. Bila gerakan relatif dari massa terhadap gerakan pondasi, (yri - yo), dinyatakan sebagai y, maka:
v=(vr-yo) Y=(i, -Yo)
!i=(i,-Yo),d* Yr=Y+Yo
(L921
Dengan demikian persamaan gerak 191 berubah menjadi: (188)
Qengan demikian (persamaan 188), persamaan 186 menjadi:
!'+2proi y'*coi2 r'=i0,, E(t) , i=l ... n
Persamaan gerak suatu struktur berderajat kebebasan banyak yang digerakkan pada pondasinya dapat diturunkan dengan cara yang sama dengan penurunan persamaan gerak untuk struktur dengan derajat kebebasan satu sebagai berikut. Bila gerakan pada pondasi dinyatakan sebagai yo dan gerakan pada massa mt dinyatakan sebagai yri, maka dengan menggunikan prinsip dynamic equilibrium dari D,Alembert persamaan gerak sistem tersebut dapat diturunkan sebagai:
(189)
M(i, * lio)+ Ci + Ky
=0, Mi+Ci+Ky=-M!;o
atau
(le3)
Perhatikan bahwa persarnaan gerak ini (193) sarna dengan persamaan gerak getaran tak bebas (persamaan 182), dengan matriks gaya pada massa F(t) sebesar (-U 9o. Dengan demikian semua pembahasan yang telah dilakukan juga berlaku untuk gerakan pada pondasi. Dengan anggapan-anggapan dan cara yang sama, persamaan 193 dapat diuraikan menjadi n buah persamaan yang terpisah sebagai:
'i'; +29coi y' *oi2 y'
= -yo io,, *r , i=l ... n
BAGIAN KEDUA DASAR PERTNCAIIAAIT BANGI'I{AN TERHADAP GEMPA
I
I
(1e4)
l=1
Di mana:
v=0r
(1es)
Dalam persamaan 195, matriks $ adalah matriks yang elemen-elemennya terdiri dari normalized characteristic vector Ar' Perlu diingat pula bahwa dalam hal geralcan pada pondasi, simpangan y adalah simpangan relatif antara dua massa yang berurutan.
2.1 PENDAHULUAN Dalam bagian pertama telah dibicarakan dasar-dasar analisis dan perencernaan struktur terhadap beban dinamis. Dalam bagian ini akan dibahas secara khusus respons dinamis bangunan terhadap beban gempa. Q3!ah__salu- cara perhitungan respons suatu bangunan terhadap 'gemfi'b.aatafr dengan cara stitic equi_ ualent, yaitu suatu cara di mana beban dinamis diubah menjadi beban statis yang mempunyai efek ekuivalen dengan beban dinamis yang diharapkan. Beban static equivalent ini biasanya diatur dalam peraturan-peraturan bangunan tertentu. cara static equivalent ini tidak akan dibicarakan di datam bagian ini. cara yang akan dibicarakan adalah cara perhitungan secara dinamis. Perhitungan respons dinamis suatu bangunan terhadap be_ ban gempa dapat dibagi menjadi dua bagian besar, yaitu perhitungan respons riwayat waktu (time history analysi$ yang biasa_ nya dilakukan dengan memakai analisis numerik, serta perhitungan dengan cara analisis ragam spektrum respons (modal analysi$.
Cara analisis numerik untuk beban yang diberikan pada massa strukturlyang ditinjau telah dibahas aaiam bagian pertama. Karena pembebanan pada pondasi (dalam hal ini gempil aa_ pat ditinjau sebagai pembebanan pada massa strqltu_r/ makg penyelesaian dengan cara numerik yang telah dibahas dalam bal gian satu dapat langsung dipakai untuk perhitungan respons
Dasar Perehcanaan Bangunan terhadap Gempa
Pengantar Analisis Dinamis dan
terhadap gempa. Dalam bagian ini secara spesifrk akan dibicarakan cara analisis ragam spektrum respons (modal analysis).
Stnr&trrr Bg-mi, dan Daerah Gempa Struktur bumi'(Gambar 34;, diperkiralq4 terdiri dari beberapa lapisan. l,apisan yang terluai adalah kerak bu,Jni (earth crusfl. kerak bumi ini merupakan lapisan yang keras dan mempunyai tebal yang berwariasi antara 5 sampai 60 km! Di daratan kerak bumi ini dapat mencapai tebal 4O krn, sedangkan di daerah yang bergunung tinggi dapat mencapai sekitar 60 km. Di lautan yang datam, kerak ini bisa setipis 5 sampai 8 km saja' Lapisel yang [edua, di bawah kerak bumi, terdapat suatu lapisan batu-batuan v"rrg dinamakan mantel (mantlQ. Mantel ini diperkirakan ada dalam keadaan plastis atau semiplastis dengan kedalaman mencapai 29OO km. Lapisan ketiga adalah suatu lapisan yang dinamakan inti luar (outer core). Inti luar ini berada dalam keadaan cair dan diperkirakan sampai kedalaman 5000 km. tapisan yang paiing dalam dinamakan inti dalam (inner corQ yan.gpadat dan dioerkirakan terdiri atas besi, nikel dan ?at'"at padat lainnya.l peikir""r, lapisan bu4i -,ini didapatkan berdasarkan teori igetombang bumi yang tidak akan dibahas di sini"l Tekanan di 'dd^* bumi diperkirakan dapat mencapai tiga juga atmosfer' 2. 1. 1t
73
Gambar 35 menunjukkan gempa yang terjadi di dunia yang dilaporkan oleh US Coast and Geodetic Survey. Pada tahun 1966 distribusi secara geografis yang ditunjukkan dalam gambar tersebut merupakan representasi dari gempa yang tercatat dalam abad ini. Gambar tersebut juga menunjukkan edegyg_.-{U*- hg3b j-e!*r utqna gemPa, Yaitu: /1. Jalur Sirkum Pasifik (Circum Pacilik Belfl yang dimulai dari i Amerika Selatan naik ke Utara mengelilingi l,autan Pasifrk untuk kemudian turun ke Selatan melewati Jepang, Taiwan, " Phlipina, Sulawesi, Irian dan berakhir di New ?*aJartd. , 2. Jalur Trans,Asiatik (?rans Asiatic Be|fl yang melalui Mediterania, Himalaya, kernud.ian melalui Sumatra menunju Jawa, , Nusa Tenggara untuk kemudian bergabung dengan jaiur siri, kum pasifik di Sulawesi. Satu cabang dari jalur trans asiatik ini menuju ke daratan Cirra.
Gambar 36 menunjukkan jalur gempa lebih mendetail.
di Indonesia
secara
2.L.2 Istilah-istilah yang Banyak Digunakan
Untuk memperlancar pembahasan lebih lanjut maka dalam bagran ini akan dibahas beberapa istilah yang sering digunakan .dalam pembahasan mengenai gempa. Istilah-istilah lain yang lebih spesifik akan dijelaskan pada waktu diperlukan. 2.L.2.L Selsmograph Seismograph adalah suatu alat yang digunakan untuk mencatat gerakan-gerakan tanah, misalnya simpangan (displacemenfl, kecepatan (velocity) atau percepatan (accelerationl, tergantung dari alatnya, bila aiat tersebut mencatat percepatan (acceleration) gerakan tanah, alat tersebut dinamakan Accelerograph.
D {16a9sJ.5oo0
I kmr I
A-- Kerak B-- Mantel C-- Inti Luar ycrng Cair D-- tnti Dalam yang Padat
km
tzgoo !1@ dda-
Gambar 3,4. Struktur bumi
{30k8 lt
2.1.2.2 Seismograa Seismogram adalah catatan yang berupa gralik yang didapatkan dari seismograph. Grafik yang mencatat percepatan (accele-
ration) gerakan tanah dinamakan Accelerogram.
3 I t
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
74
i T 4
\ i,!.!4'..r*r.r..,.
i
i
---
_..-
a.-
Y
I
;
rl .o
{
I
-
L_
a d. t-rJ F Z LU \)
a" LtJ
lJ-
O A
Gambar 35. Gempa yang terjadi sampai dengan tahun 1966
Grabrr 36. Jalurgemp
di Indonesia
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
76
2.1.2.3 Focus atau Hypocenter dan Eplcenter Fokus
r
,//-'
1
rl\t
\i\\
-.--
_y
Ganbar 3?. Focus dan EPicenter Focus atau hypocenter adalah pusat gempa yang terdapat di dalam bumi sedangkan epicenter adalah titik di permukaan bumi tepat di atas hipocenter (Lihat Gambar 37). Suatu gempa dinamakan gempa dangkal (shaUow focus earthquakCl bila focus datri gempa terletak antara 0 sampai 70 km. Sedangkan bila focus gempa terletak antara 70 sampai de-
ngan 300 krn maka gempa tersebut dinamakan gempa menengah (intetntediate focus earthquakel. Gempa yang mempunyai focus lebih dalam dari 300 km dinamakan gempa dalam (deep focus earthquakQ.
I
'i Z.t.g Mctraalrrae TerJadlnya 1
Gerapa
Seperti problema-problema mendasar dalam -bi{e.11g sains, mekanisme fedadinya gempa sampai sekaraog masih lgtap merupakan tanda tanya. Dahulu orang mengira bahwa penyebab terjadinya gempa adalah Dewa Atlas yang capai mendukung bumidan kemudian memindahkan beban bumi dari bahu yang satu ke bahu lainnya,'atau karena adanya ikan lele raksasa yang meng-
goyangkan badannya, atau yang agak bersifat ilmiah yang menyatakan adanya gua-gua maha besar di dalam tanah yang sewaktuwaktu runtuh atau karena adanya impak akibat jatuhnya meteor ke bumi. Sekarang.o9+g percaya bahwc. gempa terjadi akibat adanya letusan gunung birapi atau karen" -"drry" f..-gi"t.r, i.ttonik di dalqm bumi. Gempa yang terjadi karena adanya letusan gunung berapi dinamakan gempa vulkanik sedangkan gempa ya5lg terjadi karena adanya kegiatan tektonik dinamakan gempa tektonik.
Untuk mempelajari proses perencanaan struktur terhadap gempa tentu diperlukan pengetahuan tentang gempa itu sendiri. Hal ,ini sebetulnya merupakan, bidang ilmu lain yang dinamakan seismologi. Berlainan dengan seorang seismolog, seorang yasawan (engineer) hanya tertarik kepada gempa-gempa besar (strong motion earthquakQ. Gempa-gempa besar ini biasanya merupakan shallow focus earthquake yang terjadi karena suatu proses tektonik. Proses ini antara lain menyebabkan terjadinya gunung-gunung. Ledakan gunung berapi tidak lagi dianggap sebagai penyebab gempa dangkal yang besar. Salah satu teori yang banyak dianut untuk menjelaskan shallow earthquake ialah Elastic Rebound Theory, Teori elastic rebound ini diusulkan oleh HF. Reid berdasarkan studi terhadap retakan yang tedadi di San Andreas Fault pada waktu terjadi gempa San Francisco pada tahun 1906. {g1t*-9ryt,._gri tgktonik lempeng, lerak bUmi te*rdiri atas beberapa
bgrgelCk satu terhadap lainnya, ,Bata$ aiitara dua b.1t"h lemp_giig. dinamakan iCiCkan kerak bumi- atau -BEsiiian (faulti. Meriurut teori elastic rebound, sebab dari gempa adalah adanya pelepasan elastic strain energ;l yang terjadi dengan tibatiba. Elastic strain enerS/ ini tertumpuk karena adanya gerakan antara lempengan kerak bumi. Bila pada suatu tempat tertentu fra.cture strength dari kerak bumi terlampaui, titik ini akan melepaskan elastic straln energr yang mlrupakan penyebab terlampauinya fracture strength di titik-titik lainnya (Gambar 38). Dengan demikian maka akan tedadi pelepasan energi yang besar sekaii yang mengakibatkan terjadinya gempa. le-mp'eng y.ang-
1
I Dasar Pprencanaan Bangunan terhadap Gempa
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
78
a. b. ,,c.
.:
(a)
&)
(c)
Gaabar 38. Elastic Rebound TheorY
2.L.4llluren Gcnpr /)
Suatu contoh accelerogram adalatr accelerogram dari gempa El Centro, 18 Mei 1940 (Gambar 39). Gambar tersebut menunjukkan komponen Utara-Selatan dari Gempa El Ccntro.
o
o.2
E I
q aa
H
e -ol a
Magnitude Enerry yang dilepas dan Intensity
ir
2.L.4.L Magnltude Magnitude adalah suatu besaran yang menggambarkan besarnya strain energ/ yang dilepaskan walctu tedadinya gempa. Ada beberapa rumusa$ untuk menc4ri magnitude ini, yang-paling fmum dipakai ialatr defrnisi magnitude yang diberikan oleh S_c-h!"r,
M=l0logA-rologAo
.Oa
ftME tN
SECS
Ganbar 39. Gempa El Centro, komponen utara-Setatan, 18 Mei 1940
yasawan struktur, hal yang penting diperhati-
/ Bagr seorang 'kan tentulah efek gempa tersebut terhadap bangunan' Ada tiga I *""* ukuran g"t"p" yang biasa dipakai untuk menyatakan besarnya suatu gempa, Yaitu:
i
it
l l
(1e6)
di.dalam persamaan diatas,A adalah amplitudo maximum dalam nim yang tercatat dengan alat standard pada jarak fOO km dari Epicenter. Alat standard yang dimaksud di sini adalatr suatu Wood-Anderson seismograph dengan natural period 0.8 det, static magnification 2800 dan damping ratio 0.8. Ao adalah aplitudo dari gempa standard yang besarnya adalah lo-s mm untuk jarak lj-Op.\Gempa standard ini dinamakan juga Zero shock, Lar--g3a Lfrtuk A sama dengan fu akan didapat magnitude gempa M = 0, /ataU- deilgan kata lain gempa standard adalah gempa yarig mempunyai magnitude nol pada skala Richter.
Biasanya letak seismograph yang mengukur tidak akan : *,/-- murgkin tepat pada. 100 km dari epicenter $auh lebih dari 100 - km) maka amplitudo A diperoleh dengan cara extrapolasi dari
t = 2
79
l.amplitudo yang tercatat. Skala Richter adalah suatu cara yang baik untuk menya' takan besar gempa. Tetapi karena perhitungan magnitude ini mengabaikan ketidak-uniforman dari kerak bumi, orientasi dari .l' fault, dan lainlain, ukuran ini bukanlah ukuran yang tepat. Dalam arti kata lain, magnitude yang sama tidaklah berarti besar .r,/ gempa yang sama.
. Magnitude juga tidak menyatakan besar kerusakan yang "terjadi di suatu daerah tertentu. 2.1.4.2 Eaergy beberapa perumusan yang menyatakan besarnya energi , ,'Ada(seismic enerry) yang dikeluarkan oleh sumber gempa.
\4[empa ',ffiecara umum perumusan ener5/ ini dihubungkan dengan besar i' rhagnitude sebagai berikut:
3
I t
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
80
rotogp-ro[6gEo+aM [Erg]
(197]
Diantararrya rumus yang banyak dipakai addatr: rolog E - 11.8 + 1.5 m, Rumus Newmark tolog E
-
112.24
t
1.35) + 1L.44
t
0.20) M, Rumus Bath
(198) = 11.4 + 1.5 M, Rumus Guttenberg Dalam rumus-rumus di atas, E addah besar enerry dalam erg, sedangkan M adalatr bcsar magnitude menurut skala Richter. Rumus-mmus ini mempakan rumus empiris yang dibuat berdasarkan gempa-gempa yang telah terjadi. Hubungg,n antara ener$l total dan enerry gempa dapat ditulis sebagai berikut: (1ee)
Dalam rumus di atas Et adalah ener$I total yang dibebaskan dan T adalatr kocfisien yang terganhrng dari mekanisme gempa. Dalam kenyataannya hanya sebagian kecil dari enerry-total diubatr menjadi energ/ gempa. Sebagai contoh suatu bom sebesar 1 megaton, melepa.skan energ/ sebesar 5.1022 erg, sedangkan untuk mendapatkan getaran gempa dengan magnitude 7.3 diperlukan 5O megaton.
-
z.f.+.a Intcnrtty Intensity adahh ukuran dnri daya rusak (destructiveness) r suatu gempa di suatu tempat tertentu. Dengan demikian suatu gempa harrya mempunyai satu magnitude, tetapi mempunyai
r
ii
1
f
bermacam-tnacarn intensity yang berbeda dari tempat pengamatan ke tempat pengamatan.
Ada beberapa macam skala intensity yang diusulkan dan telatr digunakan, beberapa di antaranya ialah:
a. b. c.
Modified mercalli (M.M Scale) Mercalli - Cancani - Sieberg (M.C.S Scale| Rossi- Forrel
e.
Japan Meteorogical Agency (JMA Scate)
Skala M.M banyak dipakai di Ameritca Utara, M.C.S dan Rossi-Forrel banyak dipakai di Eropa dan tentu saja.JMA dipakai intensitas lihatlah skala JMA di Jepang. Sebagai contoh : -- ' skala
dibawatrini:.
81
Terlihat bahwa dengan skala intensitas ini sangat baik untuk memberikan gambaran kerusakan suatu daerah akibat terjadinya
gempa.
rolog E
E-yEt,y<
Dasar Perpncanaqlr Bangunan terhadap Gempa
Tabel3: Contoh Skala Intensitas JMA intensity Scale
0.
No sensation, registered by seismograph but no perception by human body.
I.
slight, felt by person at rest or person especially sensitive to Earthquake.
II.
Weak, felt by most persons, slight rattling
Japanese latticed paper sliding door.
of doors
and
III. Rather strong, shaking of house and building, heavy ratiling of doors and sliding doors, swinging of chandeliers and other hangrng objects, movement of liquids in vessels.
IV. Strong, strong shaking of house and building; overturning of unstable objects, spilling of liquids out of vessel four Iifths fuu. V. Very strong, Cracking of plastered walls, overtuining of tomb stones and stine lanterns, damage to monsonOy chimneys and mud plastered warehouses. VI. Disastrous, demolition of up to 3Oyo of Japanese wooden houses; numerous landslides and embankments failure; fissures on flat gfound. vll.Ruinous, demolition of more than 3a%o of Japanese wooden houses.
2.2 PERENCANAAN
Data yang sangat penting untuk merencanakan struktur terhadap gempa adalah data percepatan tanah pada waktu terjadi qempa besar (strong-motion earthquake, strong ground motion). Strong ground motion ini hanya dapat direkam pada strongmotion accelerograph. Suatu contoh dari gempa besar adalah gempa El Centro, 18 Mei 1940, yang mempunyai magnitude sebesar 7.1 pada skala Richter (gambar 39). Gamblr 40 menunjukkan komponen vertikal dan komponen horizontal irrah s6gE sedaagkan gambar 41 menunjukkan komponen N21E dari gempa ?aft, California, 2l Juli 1952, yang mempunyai Magnitude T.Z. -
t
PengantarAnatisis Dinamis dan Gempa
82
terhadap _tGempa Bangunan Perencanaan DaBar _ . -
perpindattan Gambar 41 juga menudukkan Percepatan dan percepatan t *plrt"rr.rr t;d diperoleh dglsan mengintegrasi karaki"rir, v*s u"t-""rrEm[o' Untuk klperluan perencanaon' Response terisrik gempa t"tirt"-^ dapat ditunjukkan dengan Spectmm.
83
6
!r ,
2
B !
8
B.!
o3 B
I
*rfErt co.ruar,
x. d; o e E
Craabar 4L. Komponen N21E dari gempa
?d|
Califotnia, 21 Juli
1952.
$r cofxoat a 2 E
,j
oi: I
Ol'
)ar
(200)
t)ar
(2o1)
oo
g
Atau untuk Fr = I
c 'O. E
2.2.L Respoase Spectrrn Respons dari geralcan tak bebas dengan damping telah ditunjukkan dalam bagian pertama sebagai (90):
=
{2
' lffir1''F.,n(t-r)'io
('"'f('
-
P' )tt
-
Persamaan gerak dari sistem dinamis dengan derajat kebebasan satu bila dibebani dengan percepatan gempa ialah:
Genbar
(+O.
Veftikal dan Komponen S69E dari gemp Komponen Taft, California,2l Juli 1952'
my+cY+kY=-miio
(2021
atau: m!+2mro, Pj,+kY=-mlo
(203)
3
I
I
tar Analisis Dinamis dan GemPa
Dalam kedua persamaan di atas, y adalah simpangan relatif antara pondasi dan massa, sedangkan io adalah percepatan pondasi (percepatan gempa). Dalam hal ini penyelesaian persamaan 203 dapat diperoleh dari persamaan 201 sebagai:
v=Jffi; " --voF)
,-Fo"(t-r) rio (r"
{t
- p, )t
-rl)*
(2o41
ffi
iro(t)'no*x'r)
sin
(+1.f(' - p' )t' - rl)
*
(2os)
Untuk suatu accelerogram tertentu iio(t), dapat dicari y-o, untuk damping ratio p,dan periode T yang telah ditentukan. Gra-ratio p tertentu terhadap periode T fit dari y-* untuk damping'displacement respons qtectrum, s6. dinamakan sebagai ,.riau.t relatif sehingga y-a,. y simpangan adalah bahwa diingat Harus itu dapat pula Setrain maksimum. relatif si*paogan adalah digambarkan m-aximum relative vetocityyang dinamakan velocity ,ispon" spectrum, S, dan maximum absolute acceleration yang dinamakan acceleration resPons spectrum, S^. Percepatan relatif maksimum (maximum relative acceleration) yang dapat diperoleh dengan menurunkan y (persamaan 183) fua"t terialu blrguna untuk perhitungan karena untuk mendapatkan gaya yang bekerja pada massa yang ditinjau diperlukan p"r""p"t 1 aLsohrt pada massa tersebut. Untuk rnendapatkan p"rc"patan absolut, percepatan relatif harrs ditambah dengan percepatan gempa y6 tersebut. Hal ini agak rumit sehingga kemudian ditempuh cara yang lebih mudah, yaitu dengan mengingat bahwa gaya maksimum pada massa dapat juga diperoleh ae-ngan mengalikan simpangan relatif maksimum dengan kekakuan per yang bersangkutan sehingga didapat hubungan:
Q-"* =ky-"*
(206)
=m
ji-*
sehingga didapat hubungan:
=
(t/n)y-"*
(2OS)
Untuk p kecil, misalnya 9 < O.2, circular frequency, dikatakan sarna dengan o, sehingga: (t lo,)= a^2 =(zntr)2
(r / zn) j,
co,
dapa! (2oel
(2O71
^,,
= (2r / T)y
^,"*
t2r.0)
Memperhatikan persurmaan 210 di atas maka dapat ditulis hubungan antara acceleration respons spectrum, S., dengan displacement respons spectrum, 56, sebagai berikut:
(r7zr)s"
= Sp., =
(zn7r)so
(2rrl
Dalam persamaan tersebut dikenalkan besaran baru, Spu, yang dinanakan Pseudovetocity Respons Spectrum yang mempunyai hubungan dengan displacement dan acceleration respons spectrum sebagaimana terlihat dalam persamaan (211) di atas. Ultuk gempa dapat ditunjukkan bahwa pada umumnya Sp, tidak berbeda jauh dengan S, sehingga Spu. dapat dianggap sebagai S"
.
Gambar 42 menunjukkan komponen N2lE dari gempa Taft, California, 21 Juli 1952, berupa percepatan serta kecepatan dan simpangan yang diperoleh dengan mengintegrasikan.percepatan tersebut. Gambar 43 menunjukkan acceleration dan velocity response spectrum dari komponen N21E dari gempa Taft tersebut. Gambar 44 dan 45 berturut-turut menunjukkan komponen N-S dari gempa El Centro, 18 Mei 194O dan respons spectmm yang bersangkuta5r. Newmark [3] mengusulkan suatu cara untuk menggambarkan ketiga spectra, acceleration, velocity dan displacement, dalam satu gambar dengan menggunakan skala logaritma tiga arah. Gambar 46 menunjukkan gambar respons spectra komponen N-S dari gempa El Centro 18 Mei 1940 yang digambarkan dengan cara tersebut. Gambar seperti ini biasanya dinamakan gamLar
dpanite.
sedangkan Q-.,, juga dapat dinyatakan sebagai:
Q-*
ji**
85
Dengan demikian persamaan 208 dapat diubah menjadi:
Atau bila ro' diganti dengan T, oo = 2nlT ' persamaan 2O4 menjadi: v=
Dasar Perqncanaan Bangunan terhadap Gempa
Pengantar dnalisis Dinamis dan Gempa
86
-
Dasar hrencanaan BangEna! tohadap Gempa
87
a E J
TATT. CALIFORNTA JULY 2t,1932
8:
N2IE
9 E
o
=
t-
6 9
g.
U
9.s
s3
)
3
E
z
NATURAL PERICO. SCCCiIDS
2a6eDlzL6E20
Glambar 43. Respons Spectrun komponen N2lE gempa Taft, California, 21 Juli 1952
Gambar 42. Komponen N21E gempa Taft, Californiat, 21 JuIi 1952
C'
o4
z
6 F TAFT, CALIFORNIA JUI-Y 21, I9EJ?
e I
; )
N2r5
0'"
E
3oo lrJ o ()
9-oa
3 G-
o ()
(,
:3
-ot
o?468tot2t416tE20
i
TIME IN
Ganbar 44. Komponen I{ATURA!- PERJOD. SECOtiDS
N-S
SECS
gemp El Centro, Califomia, 1940
18 Mei
EL CENTRO. MAY
CALI FORI"IiA
t8. t940
N-s
t t
1 o'
a
,t
rO
t
I
I
u#rftar,lrl.: TJATURAL PERIOO. SECONDS
Ganhrr #. Rec4tons spcctum dalam beatuk tiprtite, koaponcn N-8 gemp El Cenfro, &lifornia, 18 Mei 194O
I'IATURaL PEligO -stCONDs
Grnber 46.
Respons spectrum komponen N'S gempa California, 18 Mei 1940
El Centro,
tr,spr,ns sryEum komponen Sen Ftancltry,, Fcbtu*i l97I
Ganbu 17. Notaalircd acceletation IrlW
goap
I
Pengantar Analisis Dinar:nis dan Gempa
90
Karena langkanya rekaman gempa besar di suatu tempat maka untuk merencanakan suatu struktur di suatu tempat tertentu tidak mudah untuk memperoleh rekaman gempa yang diperlukan. Untuk keperluan itu biasanya dipergunakan beberapa rekaman gempa di tempat lain yang tel,ah diskala percepatan maksimumnya sehingga sesuai dengan percepatan maksimum yang diharapkan dapat te{adi di daerah tersebut. Untuk maksud tersebut maka dibuat respons spektra untuk gempa yang telah diskala sehingga percepatan maksimumnya'menjadi satu kali kecepatan gravitasi (1g). Respons spektra seperti itu dinamakan normalized respans spectra. Gambar 47 menunjukkan nonnalized acceleration spectrum untuk komponen N-W dari gempa San Fernando,9 Februari L971.
vt
3
!E
ireriod {sec)
o v,
c
.9
o
6q
20 r0
I
o I
6
= '5
Period (sec)
o
6
!
at
I
"M
c o E
I 0
B
'/
-z
o.5
i5
Ti{i
ffi Period (sec)
l.o
2.0 Period {sec)
Giambar 48. Design Spectrum
3.0
Gambar 49. Bentuk TriWrtite dari Design Spectum
Untuk daerah California, Housner telah membuat suatu ava rage rcspons spectra dari gempa-gempa yang pernah te{adi di
I
I t
i
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
92
California. Spelctnrm seperti ini kemudian dihaluskan (saootheQ darr dinamakarr design spoctum. Gambar 48 menunjukkan velocity, acceleration dan displacement design spectrum sedangkan Gambar 49 menunjukkan bentuk tripartite dari spektntm tersebut. Design spectra dari Housner ini dipakai sebagai dasar untuk menentukan design spectra yang diberikan dalam Peraturan-peraturan gempa. .
Dnlam persamaan di atas, matriks { adalah matriks yang elemen-elemennya adalatr normalized characteristic vector Ar' sedangkan subscript d pada matriks ox dan or2 menunjukkan bahwa matriks tersebut adalah matriks diagonal dengan elemen or dan ror2 sehingga persamaan 215 dapat ditulis sebagai n buah persam.ran dengan derajat kebebasan satu seperti di bawah ini. y'i +2pro, j,'*rot2 y'=-!io gi ,i = I ... n 1216l
2.2.2todd Aaelyrtr Bila ys adalatr percepatan
Circular frequency to1 dalam persamaan 194 adalah circular requency dari sistem tanpa damping (natural circular frequency) sedangkan gr biasanya dinamakan modal participation factor dari mode ke i yang dapa.t diperoleh dari mode shape lusebagai:
gempa yang bekeda pada suatu barryak, persamaan gerak siskebebasan stn:lktur dengan dera.iat sebagai berikut: dapat ditulis tersebut tem
I
Mi+Ci+KY=-Mio
lztzy
Di datam persamaan tersebut y adalah vektor
simpangan relatif antara massa dengan pondasi/tanah sedangkan io adalah vektor yang elemen-elemennya adalah percepatan tanah (gempa),
lio'
Untuk mendapatkan respons riwayat waktu, persamaan 212 dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan cara numerik, misalnya cara Constant velocity. Bila tidak dikehendaki respons riwayat waktu dan hanya dikehendaki respons maksimum maka cara modal analysis dapat dipergunakan.
(213)
ruio
918)
dari mode ke i sedangkan Sa; adalah simpangan maksimum untuk mode ke i yang diperoleh dari displacement respons spectrum gempa yang bersangkutan.
Harrs diingat di sini bahwa yi" bukan simpangan dari bangunan sesungguhnya. Untuk mendapa.tkan simpangan bangunan sesungguhnya hanrs digunakan transformasi (persamaan
215).
,
(2L91
yang bila diuraikan lebih lanjut dapat ditulis sebagai berikut: (21,41
yi=iAiiyi',i-1....nr....n
Fr
di mana:
y=0y'
Yi' = 8i 'Sai
v=0/
Dengan demikian persamaan 190 menjadi:
!'+zp(r,I i'*(.,)3 y'=-0t
Maximum respons dari sistem dinamis dengan derajat kebebasan satu (persamaan 216) dapat diperoleh dari respons spectrum gempa yang bersangkutan dikalikan dengan gi. Dengan;perkataan lain, yi* dapat dicari dengan cara sebagai berikut:
Pada persamaan di atas gi adalah modal participation factor
Seperti telah dibahas dalam bagian pertama, persamaan gerak dari sistem dina:nis dengan derajat kebebasan n dapat dipisahkan menjadi n buah persamaarl dari sistem dinamis dengan derajat kebebasan satu, bila koefisien damping dalam suatu mode tertentu adalah sebesar p kali critical damping dalam mode tersebut. C, = p Ccri
1217l
(21s)
p)ol
Bila dalam mencari simpangan dala:n mode ke j, yj*, digunakan response spectmm Eaka hanya akan didapatkan yi* malcsi-
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
94
mum. Dengan demikian simpangan maksimum dari lantai ke i, yi, yang diperoleh dari persamaan 22O };ranya merupakan pendekatan. Cara ini dinamakan Analisis Ragam Spectrum R0spons.
Untuk restrxlns bangunan terhadap gempa ternyata bahwa: 1. Untuk balgunan bertingkat empat atau kurang, respons maksimum yang didapat dengan melakukan analisis riwayat waktu dengan caria numer* (exact solutionl {apat didekati bita dilakukan penjumlahan sebagai berikut:
yi = iAi:
2.
B: Sa:
ini tidak berpotongan di satu titik. oleh sebab itu supaya keseimbangan momen dapat dipenuhi, akan terjadi puntir, sehingga pergerak yang tetat diturunkan tidak berlaku. Untuk meli"*-^^n hat gerakan yang terjadi dalam ruang' gunakan program gempa
iii
[e].
(2211
Untuk bangunan yang lebih tinggi dari 12 tingkat simpangan maximum dapat didekati dengan menggunakat! Root Mean Square (RMS - sebenarnya Square Root of Sua of Square (SRSS), tetapi biasa disingkat dengan ,RMS) dari y1* maksimum sebagai berikut:
v,
=
(Eh,,
u, ,o,P)
(2221
Selain daripada itu ternyata karena pengamh dari mode yang tinggi tidak besar, penjumlahan dengan cara RMS tidak perlu dijumlahkan seluruh mode tetapi culmp dijumlahkan 3 atau 4 mode yang pertama:
y,
=(i6,
r,.u,P)
(2231
Percepatan fi dan kecepatan yr pada masing-masing massa dapat diperoleh dengan cara yang sama dengan menggantikan Sat berturut-turut dengan S.i dan S"i.
2.3 Hal-Hal Yang Henre Dipcrhatlkan Dalam Pcrencanaan Sampai pembahasan ini selatu diPakai anggapan bahwa struktur yang ditinjau daqpt disederhanakan menjadi massa dan pr (lump mass systeal tanpa memperhatikan adanya torsi. Hal ini sebenarnya hanya dapat dilakukan bila pusat kekakuan (qnter of stilfiies$ berimpit dengan pusat massa lcenter of mas$. Perhatjkan denah suattr stmktur yang mempunyai pusat massa tidak berimpit dengan pusat kekakuan sePerti yang terlihat dalam Gambar 50. Pusat massa merupakan titik tangkap dari gaya akibat gempa, sedangkan pusat kekakuan menrpakan titik dari resultante gaya-gaya perlawanan karena kedua gaya t
"gfop
-J-\
I Etcmcn i
G,ambar 60.
Puntir
Perlu pula diperhatikan perubahan respons dari suatu bangunan karena pengaruh kekakuan yang tidak diperhitungkan, misalnya dinding pengisi yang pada waktu perhitungan struktur tidak diperhitungkan (Lihat Gambar 51 dan 52)'
Ganbar SL. Pengaruh dinding pengisi
U Analisis Dinamis dan Gem
I {6
Gambar 51.a menunjukkan gambar portai dalam keadaan sebenarnya. Portal ini biasanya direncanakan sebagai portal dalam Gambar 5l.b di mana dinding pengisi diabaikan. Bila ternyata dinding pengisi cukup kuat maka dinding pengisi akan bertindak sebagai dinding geser (siear wal! dan mengubah respons portai yang terlihat dalam Gambar 51.b menjadi portal yang terlihat dalam Gambar 51.c. Gambar 52 menudukkan pengaruh lain yang dapat terjadi karena adanya dinding pengisi yang tidak diperhitungkan. Bila kolom direncanakan seperti Gambar 52.b terhadap momen lentur = M, maka gaya lintang yang dipakai untuk penentuan tulangan adalah Qt = 2M/Lr. Besar gaya lintang dalam Gambar 52.b ditunjukkan sebagai sudut kemiringan momen {i.
Bila dalam kenyataan terjadi keadaan seperti Gambar 52.c, kapasitas dari momen kolom tetap M. Untuk mengimbangl momen ini gaya lintang yang harus ditahan sesuai dengan pinsip strong column weak beam adalah Qz = 2M/L2 (Lihat sudut 0z dalam Gambar 52.c) yang lebih besar d*i Q, sehingga dapat terjadi kemungkinan kehancuran akibat gaya lintang. Harus diperhatikan juga agar tidak terjadi perbedaan kekakuan yang besar antara kekakuan lantai satu dengan lantai yang Iainnya. Hal ini akan menimbulkan kejadian yang dinamakan soft storey. Gerakan yang terjadi karena .pengaruh soft storey ini dapat dilihat dengan program gempa ii [6].
1
.zil
.?! Lz
Lt
l" J,Z
(b)
'lo.Lr---errer(")
Crambar 52. Dinding pengisi sebagian
Akhirnya karena perencanaan bangunan terhadap gempa merupakan perencanaan yang penuh ketidak-pastian maka pen-
ting sekali diperhatikan kemungkinan kehancuran (mode of
failurd bila beban yang kita rencanakan ternyata terlampaui. Konsep strong column weak beam mengusahakan terjadinya mode of failure yang aman. Penting pula diperhatikan detail-detail perencanaan yang dapat menjamin daktilitas bangunan yang disyaratkan sehingga tidak terjadi kegagalan konstruIisi yang be1sifat getas (misalnya: runtuh akibat gaya lintang).
rrui !
DAI.TAR PUSTAKA
l. Biggs, JM., Introduction to Structural DSmamics, Mc. Graw
Hill Book Company, New York, 1964 2. Clough, RW., Penzien, J., Dynamics HiIl Book Company, New York, 1975 3.
of Structure.s, MC.
Graw
Newmark, NM., Rosenblueth, 8., FTtndamentat of Earthquake Engineering, Prentice Hall, Inc., Newyork, l9Z1
4. Kreyszig, E., Aduanced Engineering Mathematics, and Sons, Inc., New York, 1972
John Willey
Taylor, EA., Calculus with Analytic Geomeby, Maruzen Asian Edition, Maruzen Company Ltd., prentice HaIl, Inc., 1959 6. Rahardjo, B., Setiabudi, S., program Komputer untuk pen_ didikan Bangunan Tahan Gempa, Skripsi No. 3lg.S, Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil, Universitas Kristen petra, Surabaya, 1987 7. Fleming, JF., Romualdi, JP., "A General procedure for Calcu_ lating Dynamic Response due to Impuisive loadso, Franklin Inst. Journal, Vol. 275, No. 2,}:re.l. IOT - l2O. 8. Gondokusumo, O., Soebiantoro, 8., perbandingan Beberapa Metode Numerik untuk Penyelesaian Analisa Dinamis Struktur, Skripsi No. 332.5, Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil, Universitas Kristen Petra, Surabaya, l9g7 5.
B 1OO r
Pengantar Analisis :t!
DiqrnrsjSn G!!9P1
|
9. Tanudjaja, S., Soegiantoro, S-', Program (3
APPEI{DIKS
Kom.yu!9r untuk SJrripsi No'
Pendidikan aarsun;n Tahan Gempa Pi*:1:i)' 362.5, Fakultas" Teknik Junrsan Teknik Sipil' Universitas Kristen Petra, SurabaYa, 1989 Academic 10. Stewart, GW., Intoduction to Matrix Computations' Press, NewYork, 1973' Numerical Methods in Finite Element 11. Bathe, KJ., Wilson , EL','Englewood Cliffs' New York' 1976 Analysis, Prentice HalI, I
t {i
C C
C C
C C C C
c c C C C C C C
CONTOH PROGRAM UNTUK CONSTANT VELOCITY
TN DT NIN
TIME
F
XM XK
= NATURAL PERIOD =
TIME INTERVAL UNTUK INTEGRASI NUMERIK
= JUMLAH INPUT DATA UNTUK GAYA DINAMIS F(T) = WAKTU DIMANA TERJADI PERUBAHAN GAYA
DINAMIS, BENTUK FUNGSI GAYA DIANTARA DUA WAKTU BERURUTAN DIANGGAP BERUPA GARIS LURUS GAYA DINAMIS F PADA WAKTU T = TIME BESAR = = MASSA = KEI(AKUAN PER, PERHATIKAN SATUAN XM DAN XK HARUS DISIMPAN DALAM SUATU FILE DATA BARIS PERTAMA XM, XK, NIN (2F10.2,ll0l KEMUDIAN NIN BUAH PASANGAN TIME DAN F
CHARACTER FRAME*l5 DTMENSION F(100), TIME (100)
WRITE (*,' (A\)')' NAMA FILE DIMANA TERDAPAT INPUT DATA?'
C
READ (*,',(A)',) FNAME OPEN (6, FILE ='LPI1') OPEN (9, FILE = FNAME) READ (9,1)XM, XK, NIN FORMAT (2F10.2, I10) XM DAN XK ADALAH MASSA DAN KEKAKUAN DO 9001 I=1, NIN
viffiY
Pengantar Analisis Dit alqrs
t02
READ (9, 1) TIME(I),F(I) 9OO5 CONTINUE TN = 2*3.141592653*SQRT (XM/XK) DT = TN/ 10 WRITE (*, l3)TN,DT', 13 FORMAi ( NATURAL PERIOD SISTEM F10.4,',sEC"/ SEC') " 1,', USULAN INTERVAL DT SEBESAR?' wrurB (*,; (A\',)) ANDATENTUKAN "F10.4,', READ (*,',(F10.4)') DT i WRITE (6, 1 1)XM,XK,TN,DT 11 FORMAT( MASSA"FIO'+,I: KEKAKUAN 1,' NATUTUL PERIOD "FIO'4,/DIPAKAI " 2F10.4) "F10.4/,'INTERVALYANG WRITE (6,2) 2 FORMAT(8*, 't', 9x, 'Y, 9X, ',F/M" sx,', K/M Y" sx,', D2Y"
7X: D2YtDT)2',) L=2
T0 = 0.0 Y0 = O.O FTO = F(L-1) FM = FTO/XM YKM = YO*XK/XM Y2D0 = FM-YKM YDT = Y2DO*DT**2 'r Y1 = '5*FM*DT**2 9O2O CONTINUE WRITE (6,2 1)T0,YO,FM,YKM,Y2D0,YDT 2t FORMAT (2X,6F10.4) IF ((TIME(L)-T0).IrT.0.000 1 )L*L+ 1 IF (m.GT.TIME(NIN))G0 T0 999e FTo = FT0+(F(L)-FT0) / (TIME(L)-T0)*DT T0 = TO+DT FM = FTO//XM YKM = YI*XK/XM Y2D0 = FM-YKM YDT = Y2DO*DT**2 Y2 = 2*Y1-Y0+YDT
Y0=Yl Yl=Y2
GO TO 9020 9999 STOP
END
l03
Appendix
3qILG.*p*
t, it
i. jf
N rt
.ti
l1
C CONTOH PROGRAM UNTUK CONSTANT VELOCITY UNTUK C STRU}CUR DENGAN DERA"'AT KEBEBASAN LEBIH DARI C SATU PROGRAM INI HAT.IYA DAPAT DIPAKAI UNTUK C STRUKTUR DENGAN ITAETruX MASSA YANG DIAGONAL c C DT = TIME INTERVAL UNTUK INTEGRASI NUMEzuK C NIN = JUMI"AH INPUT DATA UNTUK GAYA DINAMIS F(T} C TIME = WAKTU DIMANA TER-IADI PERUBAHAN GAYA DINAMIS, BENTUK FUNGSI GAYA D1ANTARA DUA WAI.(TU YANG BERURUTAN DI.ANGGAP BERUPA
CF
cxM cxK c c c c
GARIS LURUS = BESAR GAYA DINAMIS F PADA WAKTU T = TIME = MASSA = KEI(AKUAN PER, PERHATIAN SATUAN XM DAN XK HARUS DISIMPAN DAI,AM SUATU FILE DATA BARIS PERTAMA XM, XK, NIN (2F10.2,I10) KEMUDIAN NIN BUAH PASANGAN TIME DAN F
CHARAC-TER FNAME*1s DIMENSION F(100,5), TIME(1O0,5), XM(S,5), XK(S,6) wRlTE(r,',(A\)',)', NeUe FILE DIMANA TERDAPAT INPUT DATA?' READ (*,',(A)JFNAME OPEN (6,FILE-'LPTI') OPEN (9,FILE=FNAME) READ (9,I)NIM,NIN I FORMAT (2r1O) C NIM = JUMI,,AH DERA"IAT KEBEBASAN C NIN = JUMLq,H PUNCAK DARI BEBAN F(T) C XM DAN XK ADAI"AH MASSA DAN KEKAKUAN DO 9002I=1, NIM DO 9002 J=1, NIM XM(I,J)=0.00 9OO2 CONTINUE DO 9OO3I=I,NIM READ (9,2)XM0,I), (XK(I,J), J=1, NIM) 9OO2 CONTINUE DO 9001 I-1, NIM READ (9,22l'(TIME(I,J), Ffl,J), J=1, NIM 9OO1 CONTINUE 22 FORMAT (10F8.4)
'i!
':
;'i:'
I
Pengantar Analisis Dinamis dan Gempa
-104
WRITE (*,',(A)',)', ANDA TENTUKAN DT SEBESAR?' READ r,'(F10.4)) DT WRITE (6, 1l)DT 11 FORMAT(' INTERVAL YANG DIPAKAI ,', MASSA',) DO 9004 I=1, NIM "FlO.4,f WRITE (6,23XXM(I,J),J= 1,N) 9OO4 CONTINUE WRITE (6',2t1 2t FORMAT(//,', KEKAKUAN',) DO 9005I=I,NIM WRITE (6,23)(XK(I,J),J= 1,N) 9OO5 CONTINUE 23 FORMAT (5F8.4) WRITE (6,2) 2 FORMAT (8X,',t" 9X,'y',9X,'F/M" 5X, 'kl lMy',5X,'D2Y, 7X,'D2Y(DT)2',)
L-2
T0 = 0.0 YO
-
Analisis numeik, 71 Analisis Ragam Spectrum
9O2O CONTINUE
WRITE (6,21)T0, Y0, FM, YKM, Y2D0, YDT FORMAT (2X,6F10.4)
IF ((TIME(L)-TO.LT.0. 000 1 )L=L+
1
rF(T0.GT.TIME(NIN)) GO TO 9eee FIO - FTo+(F(L)-FTo) / (TIME(L)-T0).DT TO = TO+DT
FM = FTO/XM YKM = YI*XK/XM Y2D0 = FM-YKM YDT = Y2D0*DT"*2 Y2 = 2*YI-YO+YDT
Y0=YI
YL =Y2 G0 T0 9020
9999 STOP END
A Acceleration respons spectrum, 84 Amplitude, 25, 26
0.O
F'I0 = F(L-1) FM = FT0/XM YKM = YO*XK/XM Y2D0 = FM-YKM YDT = Y2D0*DT**2 Yl =.S"FM*DT**2
2L
IITDEKS
Respons, 94 Analisis ragam spektrum respons, 7,I Average respons spectra, 9-I B
Beban dinamis, ,I Beban statis, ,I Beban harmonis, 46 Beban impuls,27 Beban sebararrg,23
Bentuk karakteristik, 53, 55
c Cara Holzer, 55
CaraJacobi,62 Cara Kecepatan Tetap, 4, 5
Cara keseimbangan dinamis, 14 Cara numerik, 2, 4 Cara percepatan dan kecepatan linier, 12 Cara p dari Newmark, 13 Cara p Newmark, ,12 Center of mass, 94 Center of stiffness, 94 Characteristic equation, 54 Characteristic shape, 53, 55 Characteristic value problem,
55 Characteristic value, 56 Characteristic values, 5.5 Characteristic vector, 53, 55 Circular frequency, 43, 52, 53, 93 Circum Pasifft Belt, 73 Complementary Solution, 23, 45 Constant Velocity, 4 Convolution integral, 45
it
& I l
t07
Indek
Criticat damPing, 38,Y3, 44,
69,92 D
D'Alembert, 69 Damping, 37, 38,45 Degree of freedom, 5O Derajat kebebasan barrYak, 5O Derajat kebebasan, 5O Design spectrum, 92 Displacement resPons spectrum, 84 Dynamic Equilibrium, 4, 39, 69 Dynamic load factor maximum, 47 Dynamic load Factor, DLF, 29 E
G
K
Gaya inersia, 4, 69
Karalteristik vel*or, 64 Keadaan autal,4, 6, 7
Gaya inertia, 38 Gempa besar, 8./ Gempa tektonik, 77 Gempa v:ulkanik, 77
Gempa-gempabesx, 77 Gerakan harmonis, 25 Gerakan Pada Pondasi, 38, 69 Gerakan relative, 38
' Getaran bebas dengan damping,4O Getaran bebas, Free Vibration,
24 Getaran takbebas,26 H Hypocenter, 76
Earth cntst, 72 Eigenvalue problem, 55 Eigenvalues, 55 Eigenvector, 55 Elastic Rebound Ttleoi, 77 Elastoplastis, 2O Energr yang dilePas, 79 Energr, 8O Epicenter, T6 F Faktor Beban Dinamis, 28 First mode, 53 Focus, 76 Forced Vibration, 26 Frekuensi, 44 Fundamental Period, /8 Fundamental, SS Frictional (Coulum) DamPing, 39
I lmpuls,27 Inertia force, 4 Initial Conditions, 4 Initial displacement, 6 Inner core, 72 Integrasi dengan cara numerik, 4 Integration bY Parts lTaYlotl, 3O
Intensity, 79,80 Internal Friction, 39 ln;ndalan, T2 ln.ttluar, T2
J Jalur Sirkum Pasifik, 73 Jalur Trans Asiatik, 73 Japarr MeteorogiceJ AgencY, 8O JMA IntensitY Scale, 8,1 JIvIA Scale, 8O
Kegiatan lel
;; J
.f
tt g
L Lump mass system, 94
t'l
ti
u
l
Magnitude, 79 Mantel, 72 ManlJe,72 Massa danper, 94 Matriks kekakuan, ,I5 Modal analysis, 71, 92 Modal participation factor, 93 Mode kedua, 53 Mode of fanl:ure, 97 Mode pertama, 53 Mode shape, 55, 61, 64 Mode yang pertama, .I8 Modes, 53 Modifred Mercalh, 8O Multi Degree of Freedom System, MDOF, 14 Multidegree of freedom system, 50
:;
'!,
I
Natural period, 1, 7, 8, 25, 26 Normalized acceleration
spectrum,9l NoSmalized characteristic
vector,68 Normalized respons spectra, : Numerical analysis, 2 'Numerical Integration, 4
9,1
o
.
Orthogonal, 64 Outer core, 72 Over Damping, 41 P
Particular Solution, 23 Particular solution, 45 PE}TYELESAIAN ANALITIS, 23 Penyelesaian eksak, 2 Penyelesaian komplemen, 45 Penyelesaian komplementer,
23,25,26
Penyblesaian partikulir, 23, 26,
29,45 Penyelesaian umum, 29,
45
Percepatan absolut, 38, 69 Percepatan autal, 6, 7
Peiode,44
Perpindahan tempat awal, 6 Perpindahan tempat statis, 29 Persamaan Eigen, 55 Persamaan homogen, 23 Persamaan karakteristik, 4q
54,64
Persamaan yang terurat, 66, 67 t{ Prinsip D'Alembert, 4 Natural circular frequency*[Q, ., ."Prinsip dinamig equilibrium, 38 g i ffisip dina45riq equilibrium 44,46, 53, 55 Natural Frequency, 26 t ,flari Difflembert, 50 "Pririsip strong column weak Natural period yang pertamd, 96 beam, 18
. .
r Fengantar Analisis Dinamis dan Gempa
lOE
\
Stnrldur berderajat kebebasan banyak dengan damPing, 68 Strut
PseudovelocitY ResPons Spectnrm, SS
Pusat kelalnran, 94 Rrsat massa, 94
R Resonansi, 49 Respons riwaYat wd
kebebasan banYak,
/4
'{'.+,
7f
T Teori tektonik ler.P+-lrrg, 77 Time history andYsis, 7,I
Torsi,94
I Second mode, 53
Setapak demi setaPak, 4 Sifat Orthogonal Mode Shape'
&
Sifat orttrogonal, 65, 66 Simpangan relattf, TO Simparrgan tetag,22 Single Degree of Freedom Syetem, SDOF, 3 Sinusoidal, 45 Sietem rrlasca danPt, 2 Slola intcnsitas, 8J St€la Richter, 79 Soft storey, 96 Square Root ofSum ofSquare (sRssl, 94 Static equivdcnt, Z/ Statis detlcction, !*, 29 Step by steP, 4 Strong ground motlon, 8.1 Strong motion earttrquale, 27,
8t
I
Trans Agiatik Belt, 73 Ttipartite, 86, 92 U
Uknran GenrP, 78 Unbounded resonarrce, 49 Uncoupled,66, 67 Under DanPing, 43 Unit impuls, 45
v ilcbcrty lesPong elrctntm, Sv, 84 Viscous damPing, 39
w Waktu getar,
f
z ?aro strock, 79
nI- ndItIr
Drdan }rrplltrlero
i*
