Klasifikace pevných látek z hlediska vodivosti
Elektrická vodivost schopnost látky transportovat nosiče
Polovodiče
elektrického náboje po přiložení vnějšího elektrického pole
Elektron a díra
Aby ji bylo možné pozorovat, je nutná současná přítomnost elektronů a volných stavů, které mohou zaujmout.
Vlastní polovodič (počet elektronů a děr) Nevlastní polovodič (akceptory a donory) Vliv teploty na vodivost polovodiče Poissonova rovnice pro polovodič Nadbyteční nositelé náboje, generace a rekombinace
EC
EC
Transport nositelů náboje
tepelná generace páru elektron/díra
ΔEg
ΔEg
Difúze nositelů náboje, driftový a difúzní proud Rovnice kontinuity
Ev
Ev
Injekce minoritních nositelů – difúzní délka Injekce majoritních nositelů – dielektrická relaxační doba
T = 0K IZOLANT POLOVODIČ
KOV
E
E
KOV POLOKOV
T > 0K
Elektrická vodivost
E
EF π k a
0
prázdný pás EF
zakázaný pás
π k a
0 0
částečně obsazený pás
obsazený pás zakázaný pás obsazený pás
π k a
částečně obsazený pás částečně obsazený pás
Pravděpodobnost obsazení vodivostního pásu exponenciálně klesá s rostoucí hodnotou šířky zakázaného pásu ΔEg.
Polovodiče
Vznik elektron-děrového páru tepelnou generací
1014
1020
●●
●●
●●
Si
Si
Si
Si
Si
●●
Si
Si
Si
+e ●● ●-e ●●
●●
●●
●●
Si
Si
Si
Si
Si
●●
●●
●●
●●
●●
t
E
díry
Si
Si
●●
●●
Si
Si
Si
Si
Si
Si
●●
Si
Si
Si
+e ●● ●-e ●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
Si
Si
Si
Si
●●
●●
●●
T=0K
●●
●●
Si ●●
Si
●●
●●
T>0K
Si ●●
●●
●●
●●
●●
●●
●● ●●
●● ●●
●● ●●
●● ●●
●● ●●
●●
●●
Si
●●
Si
●●
t + Δt elektrony
Si
●●
+
Si
●●
-
●●
Si
●●
●●
Si
●●
●●
●●
●●
Si
●●
●●
Si
●●
-e
●●
Si
●●
Si
●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
+e ●● ●●
Si
●●
●●
+e ●● -e ●●
●●
●●
Si
●●
●●
Si
●●
●●
Si
●●
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
●●
●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
●● ●●
Si
●●
●● ●●
●●
●●
Si
●●
Si
●●
Si
Vlastní (intrinzický) polovodič
●●
Si
●●
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●● ●●
●●
●●
Si
polovodič bez aktivních příměsí, volné elektrony ve vodivostním pásu pocházejí z valenčního pásu, kam se dostaly v důsledku tepelné excitace, šířka zakázaného pásu odpovídá energii nutné k přerušení vazby, hodnota aktivační energie je relativně vysoká - pro křemík ΔEg=1.12 eV@300K.
T>0K ●●
●●
Si
T>0K
T=0K Pohyb elektronu a díry v elektrickém poli
Si
●● ●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
Si
●●
●●
●●
10-3
●●
●●
ρ (Ω.cm): 10-6
●●
●●
●●
T = 0K:
●●
●●
kovy
●●
●●
polovodiče izolanty
●●
●●
1020
●● ●●
108 1010
●●
●●
10-310-3
●●
ρ (Ω.cm): 10-6
●●
T = 300K:
●●
izolanty
- elektron ve vodivostním pásu - díra uvolněný stav ve valenčním pásu (může být zaujat jiným valenčním elektronem, nese efektiní kladný náboj – nevykompenzovaný náboj jádra)
●●
polovodiče
●●
kovy
volní nositelé náboje:
●●
jsou materiály s měrnou elektrickou vodivostí σ (odporem ρ) silně závislou na teplotě a koncentraci nečistot, a to v rozsahu více než 10 řádů mezi izolanty a kovy.
skoro všechny stavy neobsazeny
Vlastní polovodič
EC
ΔEg
Koncentrace volných nositelů náboje
T≠0K
E
∞
50%
n0 =
∫ g (E)⋅ f c
FD
(E) ⋅ dE
p0 =
EV
∫ g (E)⋅ [1 − f v
FD
(E)] ⋅ dE
−∞
EC
EF E
Ev
E
1 fFD
skoro všechny stavy obsazeny
Ec
Ec
Ei
Ei
Ev
díry
Ev
g(E)[1-f(E)]
Fermiho hladina vlastního polovodiče leží téměř uprostřed zakázaného pásu E F = Ei
g(E)f(E) elektrony
0
n0 = p0
E
0.5
Ei ..... intrinzická hladina Ei = Ev + ΔEg/2
g(E)
1
f(E)
koncentrace
∞
n0 =
∫ g (E) ⋅ f c
FD
(E) ⋅ dE
EC
g c (E) =
1 2π2
součin koncentrací elektronů a děr nezávisí na EF:
3/2
⎛ 2mn* ⎞ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ h ⎠
1/2
(E − E c )
fFD (E ) ≈ fMB (E ) = exp ∞
integrál má tvar gama funkce:
∫η 0
3/2
⎛ 2π mn* kT ⎞ ⎟⎟ n0 = 2 ⎜⎜ 2 h ⎝ ⎠
- ⎞ ⎛ exp⎜ E F E c ⎟ ⎝ kT ⎠
pro elektrony
(E − EC ) n0 = NC ⋅ exp F kT pro díry (E − E F ) p0 = NV ⋅ exp V kT
1/2
exp(-η ) dη =
EF − E kT
1 π 2
efektivní hustoty stavů ⎛ 2π mn* kT ⎜⎜ = 2 Nc 2 h ⎝
3/2
⎞ ⎟⎟ ⎠
3/2
⎛ 2π mp* kT ⎞ ⎟ N v = 2 ⎜⎜ 2 ⎟ h ⎝ ⎠
E F - E c ) exp( E v - E F ) = n 2 n0 ⋅ p0 = N c N v exp( i kT kT Eg 1/2 ) ni = ( N c N v ) exp(2 kT
n0 . p0 = n2i
⎛ ( Ei - Ec ) + ( E F - Ei ) ⎞ E F - Ec )= ⎟ n0 = N c exp( N c exp ⎜ kT kT ⎝ ⎠ pro elektrony:
E F - Ei ) n0 = ni exp( kT
pro díry:
E -E p0 = ni exp( i F ) kT
Intrinzický polovodič koncentrace elektronů a děr
Nevlastní (příměsový) polovodič typ-N tvoří se zabudováním elektricky aktivních atomů do substitučních poloh ve vlastním polovodiči, zabudovaním atomů pětimocných prvků (P, As, Sb) tzv. donorů vzniká typ N (koncentrace elektronů je větší než děr n > p)
po = no = ni
donor = dárce volného elektronu
Si
Si
Si
●●
Si
P
●
●●
●●
Si
Si
Si
Si
Při 300 K všechny příměsi ionizovány! Koncentrace elektronů je dána ND!
Při nízkých teplotách T≈ 10K je Fermiho hladina polovodiče N-typu nad hladinou ED. Pro T > 100K se postupně posouvá směrem ke středu pásu (Ei) – posun je nepřímo úměrný dotaci ND. Při vysoké dotaci N+ (degenerovaný polovodič) je EF ≥ EC
●●
●●
Si
Si
Si
Si
●●
●●
●●
●●
Si
B
Si
Si
●●
●●
Si
Si
●●
●●
+q
●●
●●
Si
Si
●●
●●
EC
●●
●●
T=0
●●
1
●●
●●
0
●●
n0 = + p0 n0 = ND+
●●
EA ●●
pro ND >> ni
fFD
●●
Ev ND+
Ev
eneretická bariéra EA-EV je velmi malá (45 meV pro B v Si) tepelná energie kmitů mřížky při pokojové teplotě stačí na ionizaci!
●●
V
●●
IV
●●
III
s2p1 s2p2 s2p3
nábojová neutralita
●●
ΔEg
akceptor = příjemce valenčního elektronu
●●
EF
+
●●
+
●●
T>0
T=0
tvoří se zabudováním elektricky aktivních atomů do substitučních poloh ve vlastním polovodiči, zabudovaním atomů třímocných prvků (B, Al, Ga, In) tzv. akceptorů vzniká typ P (koncentrace děr je větší než elektronů p > n)
●●
+
E
●●
+
Si
EC
+
Nevlastní (příměsový) polovodič typ-P T≠0K
●●
EC ED
Si
●● -q
●●
majoritní nositelé náboje - elektrony minoritní nositelé náboje - díry
●●
●●
●●
Nevlastní polovodič typ-N
●● ●●
●●
ED
●●
Si
●●
●● ●●
●● ●●
●●
●●
●●
• při pokojové teplotě nízká vodivost • koncentrace nositelů exponenciálně narůstá (nevýhodné)
●●
●●
●●
●●
T = 300 K v GaAs ni = 2 × 106 / cm3 1.5 × 1010 / cm3 v Si 2.5 × 1013 / cm3 v Ge
●●
eneretická bariéra EC-ED je velmi malá (45 meV pro P v Si) tepelná energie kmitů mřížky při pokojové teplotě stačí na ionizaci!
●●
s2p1 s2p2 s2p3
●●
V
●●
IV
●●
III
T>0
ΔEg Ev
elektrony
Nevlastní polovodič typ-P
Ec
majoritní nositelé náboje - díry minoritní nositelé náboje - elektrony
EF
T≠0K
Ev
E
EC
Intrinzický
EF
pro NA >> ni
Při 300 K všechny příměsi ionizovány! Koncentrace děr je dána NA!
Při nízkých teplotách T≈ 10K je Fermiho hladina polovodiče P-typu pod hladinou EA. Pro T > 100K se postupně posouvá směrem ke středu pásu (Ei) – posun je nepřímo úměrný dotaci NA. Při vysoké dotaci P+ (degenerovaný polovodič) je EF ≤ EV
nevlastní polovodič typu N
Ev
Ev
n-typ N(E)f(E) Ec
Ec EF
Ev
p-typ
10
21
10
20
10
19
10
18
= nevlastní extrinsická vodivost
ND = 9.10 m (ρσ = = 55Ω.cm) Ω.cm
částečná ionizace
20
0
100
-3
n = ND 200
300
400
TEPLOTA (K)
koncentrace
f(E)
Nábojová neutralita φ = konst tepelná rovnováha, homogenní polovodič
-3
22
Ev N(E)[1-f(E)]
p + ND+ = n + N A− 10
Ec
EF
g(E)
Teplotní závislost koncentrace elektronů Koncentrace volných elektronù n (m )
Ec
1 fFD
0
n0 + NA- = p0 p0 = NA-
Ev díry
EA Ev nábojová neutralita
Ec
500
intrinsická = vlastní vodiovst
600
700
p ... n ... ND+... NA+...
koncentrace děr koncentrace elektronů koncentrace ioniz. donorů (fixní náboj) koncentrace ioniz. akceptorů (fixní náboj)
je-li porušena (nerovnovážný stav, heterogenní struktura, přiložené napětí) je rozložení potenciálu dáno řešením Poissonovy rovnice
∇⋅E =
ρ ε
E = −∇φ
∇⋅∇ φ = Δ φ = -
e
ε
ρ = e ( p − n + ND+ − N A− )
(p - n + N +D - N -A )
Generace a rekombinace nositelů náboje
musí být dodrženy zákony zachování energie a hybnosti
nepřímá
přímá
Mechanismy rekombinace v polovodiči zářivá
EC ΔEg
G
R
E
Et
Augerova
nezářivá E
E
Δk = 0 Δk ≠ 0
ΔE = ħω
Ev
Et k
Tepelná rovnováha: G = R, n = p = ni G – rychlost generace: počet párů elektron-díra vytvořených v 1 cm3 za 1 sekundu
k
k=0
k
k=0
polovodiče s přímým zakázaným pásem
k=0
polovodiče s nepřímým zakázaným pásem
vysoká injekce nositelů náboje
R – rychlost rekombinace: počet párů elektron-díra anihilovaných v 1 cm3 za 1 sekundu
Přímá (mezipásové) rekombinace R= r np
r – koeficient úměrnosti
rychlost rekombinace je úměrná počtu elektronů ve vodivostním pásu a počtu neobsazených míst ve valenčím pásu v rovnováze:
Gth= Rth= r n0p0 = r ni 2
v nerovnovážném stavu (při injekci, osvětlení) se koncentrace nositelů zvýší na hodnoty n = n0+Δn a p = p0+Δp, čímž dojde ke zvýšení rekombinace:
R = rnp = r (n0 + Δn )( p0 + Δp )
Doba života minoritních nosičů d Δn = - r (np − ni2 ) dt
možno zanedbat
r np = r (n0 + Δn )(p0 + Δp ) = rn0 p0 + Δn( p0 + n0 ) + Δn 2
polovodič typu P: p0 >> n0 > Δn = Δp (slabá injekce) Δn,Δp
R −G =
d Δn Δn = - r p0 Δn = dt τn Doba života minoritních nositelů náboje
Δn(0)
Δn = Δn( 0 ) e − t/τ n
Časová změna koncentrace nosičů je dána rozdílem mezi G a R:
d Δn = Gth - R = r n0 p0 - r np = - r (np − ni2 ) dt
t
τn =
1 r p0
rozsah hodnot od ms po ns
Nezářivá rekombinace jako centra rekombinace/generace slouží diskrétní hladiny uvnitř zakázaného pásu polovodiče (tzv. hluboké úrovně) spojené nejčastěji s bodovými poruchami
Transport nositelů náboje v polovodičích (vedení proudu)
SRH (Shockley-Read-Hall) model
VO pár vakance-kyslík
náboj spojený s hlubokými úrovněmi také ovlivňuje rozložení potenciálu
∇2 φ = −
(p − n + N ε e
+ D
− N A− + NT*
Drift elektronů
Si
Si ●●
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
●●
Si
Si
Si
Si
Si
Si
●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
●●
●●●
●●
●●
●●
● ●●
●●
●●
● ●● ●● ●●
●●
●● ●●
●● ●●
●● ●●
●● ●●
● ●●
●●
●●
Si
●●
Si
●●
●●
Si
●●
●●
Si
●●
Si
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
●●
Si
●●
●●
E Drift elektronů
E=0
E=0
rozptyl (srážka) na atomu mříže nebo nečistotě Elektrony se pohybují nahodile střední tepelnou rychlostí < vT > =
)
Si
●●
●●
γ
●●
●●
)
σ p σ nυth pn − ni2 Nt σ [n − ni exp {(Et − E i )/kT}] + p [n + ni exp { − (Et − E i )/kT}]
●●
●●
γ
(
hydrogenizovaný pár vakance-kyslík
●●
dn Δn =− =− σn dt τn
VOH
●●
EV
unášením gradientem koncentrace
●●
⎞ ⎟⎟ ⎠
unášením v elektrickém poli
●●
Ei
c p = σ p < υ th > p
Difúzí
●●
⎛ E − Et e p = (ν thσ p NV / γ ) exp ⎜⎜ V ⎝ k BT
t
Driftem
●●
⎞ ⎟⎟ ⎠
●●
⎛ E − EC en = (ν thσ n NC / γ ) exp ⎜⎜ t ⎝ k BT E
●●
EC c n = σ n < υth > n
-
E≠0
+
rozptyl (srážka) na atomu mříže nebo nečistotě
3kT / mn*
tepelná energie ET = 3/2kT je rovna kinetické EK= ½ mn*vT2
Na elektrony působí navíc vnější síla elektrického pole
F = −eE
Závislost pohyblivosti na teplotě
Pohyb elektronu v unášivém poli mn*
d vu =F dt
2. Newtonův zákon
⎛ d vu vu ⎞ m ⎜ + ⎟ = − eE τ ⎠ ⎝ dt
1
μ
vu unášivá rychlost
* n
τ
=
1
μI
+
1
μL
relaxační doba rozptyl na atomech ionizovaných příměsí
akcelerace polem
rozptyl elektronu (srážka s atomy mříže, defekty)
Řešení pro ustálený stav vu = −
d vu =0 dt
eτ E = − μ nE mn*
μn =
jn = − e n vu = enμ nE = σ n E
eτ mn*
rozptyl na kmitech mřížky
pohyblivost elektronů
Ohmův zákon
Závislost pohyblivosti na dotaci
Ohmův zákon
pohyblivost [cm2V-1s-1]
J = Jn + Jp = enμ nE + enμ pE = σ E L
L
L
S
∫ I dx = I L = ∫ S J dx = ∫ S σ E dx = Sσ U = ρ U 0
0
U=ρ
0
L I = RI S
erekombinace páru e-h
pohyblivost [cm2V-1s-1]
E h+
x=L
způsobuje
S
x=0
I
generaci páru e-h
U koncentrace nečistot [cm-3]
+
-
Omezení platnosti Ohmova zákona Závislost
Lineární pásový diagram
jn = − e n vu = enμ nE = σ n E
energie elektronu
platí pouze pro nízké intenzity elektrického pole E < 103 V/cm Při vyšších intenzitách se driftová rychlost saturuje
E
E
E
jn = − e n v u max
-eφ Ec
E kinetická
kB
Vumax ≈ 105 ms-1 Ec
k
A
Ei
φ
k
B
Ev
Ei energie díry
Ev +U
Difúze nositelů náboje
Difúze nositelů náboje
tok děr
t=0
difúzní proud elektronů ~ dn/dx
0
x
koncentrace děr p(x)
koncentrace elektronů n(x)
tok elektronů
n(x)
difúzní proud děr ~ dp/dx
0
x
hustota difúzního toku (Fickův zákon)
t1
jD = − Dn grad n = − Dn t2
dn dx
jD = − Dp grad p = − Dp difúzní proudová hustota
t3 0
díry
elektrony
hν > ΔEg
jDn = eDn x
dn dx
D .... difúzní koeficient
jDp = − eDp
dp dx
dp dx
Vliv rekombinace na transport náboje
Celkový proud v polovodiči
současná přítomnost elektronů a děr je dán součtem proudové hustoty elektronů a děr Ec
Jn(x)
J = Jn + Jp
Rn
Gn
z nichž každá má svou driftovou a difúzní složku
J n = en μ n E + Dn
Ev
dn dx
x
Rovnice kontinuity
V termodynamické rovnováze je celkový proud nulový
D=
μ kT e
pro elektrony
∂n (x ) 1 ∂J n (x ) = + G (x ) − R (x ) ∂t e ∂x
pro díry
∂p(x ) 1 ∂J p (x ) =− + G (x ) − R ( x ) ∂t e ∂x
Einsteinův vztah
Základní polovodičové rovnice
Injekce minoritních nositelů – difúzní délka
Poissonova rovnice
div grad φ = Δ φ = -
x + dx
1 J n ( x ) − J n ( x + Δx ) ∂n = + Gn − Rn ∂t x → x + Δx e Δx
dp J p = e n μ p E − Dp dx
j drift = − j dif
hν > ΔEg
e
ε
(p - n + N +D - N -A )
Rovnice kontinuity pro elektrony a pro díry
∂p 1 = − div jp + G - R ∂t e
P
∂n (x ) 1 ∂J n (x ) = + G (x ) − R (x ) ∂t e ∂x Předpoklady: řešíme pro nadbytečné nositele (n = Δn+n0) , oblast je kvazi-neutrální (E=0)
∂n 1 = div jn + G - R ∂t e
rychlost rekombinace úměrná „době života“ τn
n0
Δn
Rn =
∂Δn ∂x ∂Δn =0 ∂t
Δn
τn
J n = e Dn
uvažujeme pouze difúzní proud
j p = en μ pE − eDp grad p
ustálený stav (dynamická rovnováha)
d 2 Δn Δn Δn = = dx 2 Dnτ n L2n
Ln = Dnτ n
difúzní délka
Δn (x ) = Δn (0 )e − x / Ln
j n = en μ nE + eDn grad n
E = − grad φ
Jn(x+dx)
0
Ln
x
Injekce majoritních nositelů – reaxační doba t=0
t>0
N
N
∂n (x ) 1 ∂J n (x ) = + G (x ) − R (x ) ∂t e ∂x - injekovaný náboj není kompenzován nábojem opačné polarity - vzniklý prostorový náboj vyvolá elektrické pole, v jehož důsledku se náboj rychle rozptýlí
∂n (x ) 1 ∂Jn (x ) = ∂t e ∂x n0
Δn
rce. kontiunuity
Jn = σ E Ohmův zákon
σ ∂n (x ) =− n ε ∂t τ rel =
0
τrel
t
∂E ρ en =− =− ε ε ∂x Poissonova rce.
n = n0 e − t / τ rel ε σ
dielektrická relaxační doba typicky ≈ 1 ps
