IX. Erd´elyi Tudom´anyos Di´akk¨ori Konferencia Kolozsv´ar, 2006 november 25-26
Sztochasztikus folyamatok az ¨ okol´ ogi´ aban Popul´aci´odinamik´ak sztochasztikus modellez´ese Szerz˝o Reiz Reimond harmad´eves hallgat´o Babes-Bolyai Tudom´anyegyetem Kolozsv´ar Matematika ´es Informatika Kar Informatika Szak
T´emavezet˝o dr. So´os Anna docens Babes-Bolyai Tudom´anyegyetem Kolozsv´ar Matematika ´es Informatika Kar Numerikus Analizis ´es Statisztika Tansz´ek
0.1
A c´ elok ismertet´ ese
Eg´esz munk´ank azon elterjed˝oben l´ev˝o n´ezetnek a tagad´asa, miszerint az embert az ¨okol´ogia k¨or´eben ´eretelmezett jelens´egekre vonatkoz´oan inkompetencia jellemzi. C´elunknak t´agabb ´ertelemben val´o megfogalmaz´asa a term´eszeti ¨okosziszt´em´akba val´o emberi beavatkoz´asnak matematikai modellekkel t¨ort´en˝o al´at´amaszt´as´at implik´alja, eszk¨ozt k´ın´alva az ´esszer¨ u beavatkoz´asok igazol´as´ahoz. A termeszeti ¨okosziszt´em´akban lezajlott jelens´egek megfigyel´ese ´es a kapott adatok feldolgoz´asa ut´an rendelkez´es¨ unkre ´all´o ismeretek lehet˝ov´e teszik u ´gy az illet˝o ¨okosziszt´em´ak j¨ov˝obeli ´allapotaira vonatkoz´o tud´ast mint az esetleges k¨ uls¨o hat´asok, avagy tervezett m´odos´ıt´asok eredm´enyeinek kor´abbi megismer´es´et. Amennyiben sikerrel j´ar a term´eszeti ¨okosziszt´em´akban megfigyelhet˝o v´altoz´asok hat´ekony modellez´ese, valmint hasznos´ıthat´o el˝orejelz´esek elk´esz´ıt´ese, akkor ez´altal k¨ozvetlen m´odon szeml´eltethetj¨ uk a fent megfogalmazottak m¨ uk¨od´esi k´epess´eg´et. C´elunk az eml´ıtett term´eszeti ¨okosziszt´em´akban a popul´aci´odinamik´ak modellez´ese vagyis a term´eszeti popul´aci´ok, azaz ´el˝ol´enyeggy¨ uttesek egyedsz´am´anak id˝obeli valtoz´asaira mutat´o matematikai megfogalmaz´as fel´all´ıt´asa. C´elunk szerint t¨oreksz¨ unk az egy ¨okosziszt´em´aban eggy¨ utt l´etez˝o k¨ ul¨onb¨oz˝o fajok egym´asra val´o hat´as´at illetve k¨olcs¨onhat´as´at tekinteni, ´es az illet˝o egyedsz´amdinamik´akat ugyanabba a modellbe integr´alni egy fokozottan val´os´agh˝ u modell rem´eny´eben. Azonban sz´am´ıt´asi er˝oforr´asaink er˝os korl´atolts´aga miatt meg kell el´egedn¨ unk olyan modellekkel, amelyek csup´an n´eh´any faj k¨oz¨otti interakci´ot k´epesek le´ırni, noha tudjuk, hogy a ezek nem alkothatnak z´art rendszereket. A kapott modellek jelent˝os leegyszer¨ us´ıt´esek ´es elvonatkoztat´asok eredm´enyei, amelyek a val´os´aggal val´o hasonl´os´aguk tekintet´eben hasznosak. ´Igy eltekint¨ unk olyan egy ´el˝ol´enyeggy¨ utesre n´ezve s´ ulyos jelent˝os´eggel b´ır´o t´enyez˝okt˝ol, mint p´eld´aul az id˝oj´ar´as szesz´elyeit˝ol, az azonos fajfoz taroz´o egyedek k¨ ul¨onb˝oz˝os´egeit˝ol, az ´elett´er inhomog´en term´eszet´et˝ol, m´as ¨okosziszt´em´akb´ol sz´armaz´o hat´asokt´ol, term´eszeti katasztr´of´akt´ol, vagy az egyedek term´eszet´eben bek¨ovetkez˝o min˝os´egi v´altoz´asokt´ol, mint p´eld´aul a mut´aci´okt´ol, ´es az egyedi avagy a csoportos tanul´as okozta m´odosult viselked´es hat´asait´ol. Ezeket a t´enyez˝oket lehet˝os´eg szerint a megfelel˝o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okkal k´epviseltetj¨ uk modelljeinkben, ´ıgy azoknak sztochasztikus perspekt´ıv´at k¨olcs¨onz¨ unk. Az egyedsz´amok v´altoz´asainak le´ır´as´aban vagyunk ´erdekeltek ´es azokat val´oszin¨ us´egi v´altoz´oknak tekintj¨ uk; ilyenkor term´eszetesen a val´osz´ın˝ us´eg adekv´atabb, frekvencia, azaz realtiv gyakoris´ag szerinti ´ertelmez´es´et hasz1
n´aljuk, amire empirikus u ´ton k¨ovetkeztet¨ unk. Modeljeinket sztochasztikus differenci´alegyenletek form´aj´aban ´ırjuk le. A kapott sztochaszikus dinamikai rendszereket ezut´an kavalitativ vizsg´alatoknak vetj¨ uk al´a. Vizsg´aljuk ilyen ´ertelemben az illet˝o dinamikai rendszerek egyens´ ulyi pontjainak sztochasztikus stabilit´as´at. A haszn´alt fogalmak tiszt´az´asa ´eredek´eben megadjuk a tov´abbiakra ´erv´enyes meghat´aroz´asokat. ¨ Okosziszt´ ema alatt azon komponensek valamint folyamatok ¨osszess´eg´et ´ertj¨ uk, amelyek magukba fogalj´ak illetve ir´any´ıtj´ak a bioszf´era egy megha´ t´arozott r´esz´et. Altal´ aban egy ¨okosziszt´ema felfoghat´o egy biotikus k¨oz¨oss´eg n´evvel cimk´ezett szervezet, ´es egy biot´opnak nevezett k¨ornyezet m¨ uk¨od˝o egys´egek´ent. Popul´aci´o avagy ´el˝ol´enyn´epess´eg alatt valamely vizsg´alati c´el ´erdek´eben (egy ahoz kapcsol´od´o statisztikai d¨ont´es kapcs´an) kiv´alasztott, ´es a vizsg´alati c´el vonatkoz´as´aban l´enyeg´eben azonosnak tekinett ´el˝ol´enyegyedek halmaz´at ´ertj¨ uk.
0.2
A popul´ aci´ odinamikai folyamatok modellez´ es´ enek alternat´ıv´ ai
0.2.1
A determinisztikus Volterra-Lotka modell ismertet´ ese
Felt´etelezi, hogy a popul´aci´o egyedei folyamatosan t´apl´alkoznak ´es szaporodnak ´es a hat´as azonnali. A legegyszer¨ ubb megk¨ozel´ıt´esben egy bizonyos faj egyedsz´am´anak v´altoz´asa exponenci´alis u ¨tem¨ u. Le´ır´as´ahoz jel¨olje Xt az adott popul´aci´o t id˝opillanatban sz´am´ıtott egyedsz´am´at. Ekkor az eml´ıtett exponeneci´alis u ¨tem¨ u dinamik´at a dXt = rXt (1) dt determinisztikus differenci´alegyenlet ´ırja le. Ennek ´ertelm´eben az illet˝o ¨okosziszt´em´aban az adott fajra n´ezve l´etezik egy ´alland´o r ´alland´o, az egy f˝ore es˝o reprodukc´os mutat´o. Az el˝oz˝o megk¨ozel´ıt´es korl´atlan egyedsz´amn¨oveked´est sem z´ar ki, amit val´osabb mederbe helyezhet¨ unk, amennyiben felt´etelezz¨ unk az illet˝o ¨okosziszt´em´ara ´es az adott fajra ´ezve egy ´alland´o K eltart´ok´epess´eg l´etez´es´et. Ennek megfelel˝oen a popul´aci´o m´ert´enek v´altoz´as´at le´ır´o 2
dXt Xt = rXt (1 − ) (2) dt K differenci´alegyenlet biztos´ıtja az egyedsz´amok korl´atoss´ag´at [0, K] -ra n´ezve. Tekintettel az ugyanabban a biot´opban eggy¨ utt l´etez˝o k¨ ul¨onb¨oz˝o fajok egym´asra val´o hat´as´ara a k¨ovetkez˝okben az un. interspecifikus popul´aci´odinamikai modellek ker¨ ulnek t´argyal´asra. A ragadoz´o zs´akm´any vagy verseng˝o t´ıpusu modelleket Volterra munk´ai vezett´ek be 1926-t´ol. (i) Legyen a t id˝opillanatban az i-ik popul´aci´o m´erete Xt , i = 1, N , K (i) az ¨okosziszt´em´anak az i-ik fajra vonatkoz´o eltart´ok´epess´ege, ai,j a j-ik fajnak az i-ik faj egyedeire kifejtett egy f˝ore es˝o hat´ast. ´Igy N sz´amu faj eset´en a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenlet-rendszer ad´odik (i)
dXt dt
=r
(i)
(i) K Xt
(i)
−
PN
j=0 K (i)
(j)
ai,j Xt
(3)
i = 1, N eset´en. Ennek ´ertelm´eben valmely faj egyedsz´ama v´altoz´as´anak egyik komponense ar´anyos az illet˝o popul´aci´o m´eret´evel, m´asik ¨osszetev˝oje pedig az interspecifikus hat´asokb´ol ad´odik. Ez ut´obbi ar´anyos a vizsg´alt faj egyedeinek valamely m´as faj egyedeivel val´o tal´alkoz´as´anak egys´egnyi id˝ore es˝o val´oszin˝ us´eg´evel. A r¨ogz´ıtett jel¨ol´esekkel konformit´asban az i-ik illetve j-ik popu(i) (j) l´aci´ora fel´ırva, az el˝obbi mennyis´eg Xt Xt . Az ismertetett Volterra-f´ele modellel kapcsolatban m´eg determinisztikus perspektiv´ab´ol is megfogalmazhatunk n´eh´any kritik´at. A ragadoz´ok fogyaszt´as´anak mennyis´ege ar´anyos a zs´akm´annyal val´o tal´alkoz´as gyakoris´ag´aval, ´ıgy val´otlan m´ereteket ¨olthet, enyh´en sz´olva is moh´o ragadoz´okat felt´etelez. Azonban ismert, hogy az ´el˝ovil´agban a fogyaszt´as m´ert´eke nem haladja meg jelent˝osen a sz¨ uks´egletek ´altal dikt´alt mennyis´eget. M´as megk¨ozel´ıt´est jelent az 1948-az Leslie-f´ele modell, amely a ragadoz´o egyeds¨ ur¨ us´enek v´altoz´as´at a ragadoz´o ´es a zs´akm´any egyedsz´am´aval ar´anyosnak tekinti. A k¨ovetkez˝o ´abra a ragadoz´o-zs´akm´any visszonyban l´ev˝o k´et faj egyedsz´am´anak id˝obenni alakul´as´at szeml´elteti a determinisztikus Volterra-Lotka modell eset´en. A ragadoz´o-zs´akmany ar´any 45-80.
3
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Az ´abra a megfelel˝o dinamikai rendszerben l´ev˝o nem stacion´arius periodicit´asra utal. ´ Erdekes ´es gyakorlati szempontb´ol k¨ ul¨on¨osen hasznos az adott dinamikai rendszer stabilit´as´at vizsg´alni. Ezt a k´etdimenz´os esettel illusztr´aljuk. A fenti differenci´alegyenlet-rendszer a k¨ovetkez˝o alakot veszi fel K (i) = 1 eset´en (1)
dXt dt
(1)
= r(1) Xt − a1,2 X (1) X (2)
(4)
(2)
dXt (2) = r(2) Xt − a2,1 X (1) X (2) (5) dt K´et egyens´ ulyi pontot tudunk beazonos´ıtani, amelyek {X (1) = 0, X (2) = (1) (2) 0} valamint {X (1) = ar 1,2 , X (2) = ar 2,1 } Ezek a pontok olyanok, hogy a nekik megfelel˝o ´allapotokban a fenti id˝o szerinti deriv´altak z´erus´ert´eket vesznek fel, biztos´ıtva az illet˝o mennyis´egek id˝oben val´o ´alland´os´ag´at. Az egyens´ ulyi pontok stabilit´as´at a lineariz´al´as m´odszer´evel tanulm´anyozhatjuk. A fenti differenci´alegyenlet-rendszerhez rendelt Jakobi m´atrix Ã
J(X
(1)
,X
(2)
)=
r(1) − a1,2 X (2) −a1,2 X (1) (2) a1,2 X a1,2 X (1) − r(2) 4
!
A (0, 0) pontban sz´am´ıtott saj´at´ert´ekek pozit´ıvak, igy a neki megfelel˝o ´allapot instabil. Jelent´ese az, hogy nem v´arhat´o egyik faj kihal´asa sem. Megjegyezhet˝o, hogy az ¨okol´ogia vonatkoz´as´aban ´ertelmezett dinamikai rendszerek eset´en ink´abb a periodicit´as tekintet´eben be´all´o stabilit´as vizsg´aland´o. Ilyenfajta stabilit´as alakul ki a term´eszetben sikeres ¨okosziszt´em´ak eset´en. Itt a stabilit´as hi´anya el˝obb, vagy ut´obb valamely faj kihal´as´at eredm´enyezn´e, ´es egyben a teljes ¨okosziszt´em´at vesz´elyeztetn´e. Tov´abb´a a gyakorlatban nem fordul el˝o determinisztikus ´ertelemben az efajta stabilit´as, hanem ink´abb sztochasztikus szinten.
0.2.2
A sztochasztikus Volterra-Lotka modell ismertet´ ese
Sztochasztikus megk¨ozel´ıt´esben az egyedsz´amok val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´oknak tekintend˝ok. A determinisztikus Volterra-Lotka modellben szerepl˝o param´eterek pillanatnyi ´ert´eke t¨ ukr¨oz bizonytalans´agot. Ilyen megfontol´asb´ol indokolt az eml´ıtett param´eterek ´es egy zaj, adott esetben a Gauss-f´ele feh´er zaj ¨osszeg´et helyetesiteni az eredeti differenci´alegyenlet-rendszerbe az eddigi param´eterek helyett. Megadjuk a k´es˝obiekben haszn´alt Wiener folyamat ´ertelmez´es´et. Az (Ω, Σ, P) val´osz´ın˝ us´egi mez˝on ´ertelmezett (Wt )t∈R sztochasztikus folyamatot standard Wiener folyamatnak nevezz¨ uk, ha • P (W0 = 0) = 1 • Wt 1 val´osz´ın˝ us´eggel folytonos • Wt f¨ uggetlen n¨ovekm´eny˝ u ´es r´ajuk fenn´all a Wt − Ws ∼ N (0, t − s) minden 0 < s < t ∈ R+ eset´en. Feh´er zajnak nevezz¨ uk a Wiener folyamat id˝o szerinti form´alis deriv´altj´at dWt (6) dt A feh´er zaj attributumot a Wiener folyamatra n´ezve a sztochasztikus Fourier-anal´ızis eszk¨ozeivel motiv´alhatjuk. A Karhunen-Lo`eve t´etel szerint a Z0 , Z1 , Z2 , . . . f¨ uggetlen, standard norm´al eloszl´asu val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o sorozat eset´en az √ n X 2 ∗ sin(kt) (n) (7) S (t) = Z0 t + Zk kπ k=0 ξt =
5
sorozat a Wiener folyamathoz konverg´al. Vagyis spektr´alfelbont´as´at azonos eloszl´asu val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´okkal k´epezhetj¨ uk. Legyen adott a k´et fajb´ol all´o ¨okosziszt´ema dinamik´aj´at le´ır´o determinisztikus differenci´alegyenlet-rendszer nem indexelt param´eterekkel fel´ırva dXt = aXt + bXt Yt dt
(8)
dYt = aYt + bXt Yt (9) dt A param´eterekhez hozz´aadva a Gauss-f´ele feh´er zaj t, Volterra-Lotka f´ele popul´aci´odinamik´at le´ır´o sztochasztikus differenci´ alegyenlet-rendszer t kapjuk dXt = (aXt + bXt Yt )dt + (a0 Xt + b0 Xt Yt )dWt
(10)
dYt = (cYt + dXt Yt )dt + (c0 Yt + d0 Xt Yt )dWt
(11)
dWt jelent´ese a standard Wiener folyamat szerinti sztochasztikus differenci´al. A kapott sztochasztikus differenci´alegyenlet-rendszer megold´as´at az Euler m´odszer seg´ıts´eg´evel k¨ozel´ıtett¨ uk meg. Az Euler m´odszerre sztochasztikus esetben is bizony´ıtott megold´ashoz val´o konvergencia, ebben az esetben sztochasztikus konvergencia 1 val´osz´ın˝ us´eggel. Az Euler m´odszer egy iterativ algoritmust jelent. A k¨ovetkez˝o sztochasztikus kezdeti-ert´ek feladaton mutatjuk be m¨ uk¨od´es´et P (X0 = X (0) ) = 1
(12)
dXt = a(t, X)dt + b(t, X)dWt
(13)
Itt a, valamint b fuggv´enyek, a drift, illetve a diff´ uzi´os eggy˝ utthat´ok. ∗ A megold´ast az Xt val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o k¨ozel´ıti meg, felhaszn´alva az Euler s´em´at X0∗ = X (0)
(14)
Xt∗i+1 = Xt∗i + a(t, Xt∗i )∆t + b(t, Xt∗i )∆W
(15)
Magyar´azatk´eppen a megold´ast valamely [0, T ] inetrvallumon ti i = 1, n oszt´opontjaiban k¨ozel´ıtett¨ uk meg az Xt∗i val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o seg´ıts´eg´evel.
6
A k¨ovetkez˝o ´abra a fenti popul´aci´o-dinamikai sztochasztikus folyamat egy megval´osul´as´at szeml´elteti. A k¨ ul¨onbs´eg a k´et ´abra k¨ozott a Gauss-f´ele feh´er zaj jelenl´et´eben rejlik.
400
350
300
250
200
150
100
50
0 1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
Meg kell jegyezn¨ unk, hogy sajnos bizonyos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott a fenti modell val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´oi negativ ´ert´ekeket mutathatnak, ami val´otlan eredm´enyt jelent. Ez az esem´eny akkor k¨ovetkezik be, amikor a dWt sztochasztikus differenci´al t´ ul kicsi negativ el˝ojel˝ u ´ert´eket vessz fel, ami fokozottan kis val´osz´ın˝ us´eggel ugyan de korl´atlan m´ert´ekben bek¨ovetkezhet a norm´al eloszl´as term´eszete miatt. Ezen elker¨ ulhetetlen probl´ema miatt k´enytelenek vagyunk m´as megk¨ozel´ıt´esb˝ol szeml´elni a sztochasztikus modellt. Az ¨okol´ogiai folyamatok term´eszete lehet˝ov´e teszi a sz¨ ulet´es-hal´aloz´ask´ent val´o felfog´ast. Gondolunk itt az egyedsz´amok ´ert´ekeinek diszkr´et term´eszet´ere, amit a folytonos modell nem volt k´epes figyelembe venni, tov´abb´a az egyedsz´amv´altoz´asokat le´ırni tud´o v´eletlen bolyong´asoknak megfelel˝o sztochasztikus folyamatokra. A v´alasztott modell a folytonos idej˝ u v´altoz´o param´eter¨ u sz¨ ulet´es-hal´aloz´asi folyamat. Besorol´as´at tekintve folytonos idej˝ u Markov-l´anc megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok ´allapottal. 7
Sz¨ ulet´esi illeve hal´aloz´asi val´osz´ın˝ us´egintenz´ıt´asoknak nevezz˝ uk a tov´abbiakban a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´asi folyamtok v´altoz´o param´etereit. A VolterraLotka modellt ´ıgy ´at´ertelmezhetj¨ uk ´es finom´ıthatjuk, u ´gy, hogy a sz¨ ulet´esi ´es hal´aloz´asi val´osz´ın˝ us´egintenz´ıt´asokra a determinisztikus modellben kifejezett dinamika elv´et hasn´aljuk fel. A sz¨ ulet´esi folyamat va´osz´ın˝ us´egintenzit´as´at ´altal´anos k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott is megfogalmazhatjuk ´espedig ar´anyosnak tekinthetj¨ uk a popul´aci´o m´eret´evel, amelyre vonatkoz´oan fel´ırjuk. ´Igy az i-ik faj eset´en ez a mennyis´eg a k¨ovetkez˝o alakot ¨olti (i)
(i)
λt = r(i) Xt
(16)
Itt r(i) az i-ik fajnak egy egyedre ´ır´anyul´o reprodukc´os k´epess´eg´enek sztochasztikus m´ert´ek´et jel¨oli. A hal´aloz´asi folyamat els˝o komponense szint´en exponenci´alis u ¨temet ad´o kifejez´es, imm´aron a hal´aloz´asra jellemz˝o ´alland´oval. A m´asodik ¨osszetev˝ot a verseng´es, ill. az interspecifikus inetrakci´ok eredm´enyek´ent kapjuk. Ragadoz´ok eset´en a hal´aloz´asi intenz´ıt´ashoz pozitiv el˝ojellel hozz´aj´arul a deficit m´ert´eke a fogyaszt´as vonatkoz´as´aban a sz¨ uks´egleteknek megfelel˝oen. Valamely m´as fajra n´ezve puszt´an zs´akm´anyt jelent˝o fajok eset´en ugyanez a men´ nyis´eg k¨ozvetlen m´odon ad´odik az elejett egyedek sz´am´ab´ol. Ertelmezz¨ uk (i,j) az e mennyis´egeket, az i-ik faj egyedeinek a j-ik faj egyedeire ´ır´anyul´o, egy f˝ore es˝o fogyaszt´asi sz¨ uks´egletek´ent, d(i,j) -t pedig az egy f˝ore es˝o, fajok k¨ozti tal´alkoz´asb´ol sz´armaz´o ´adozatok kvantitativ jellemz˝ojek´ent. (i) µt
(i)
=h
(i) Xt
+
N X
(j)
(i)
(j)
(e(i,j) Xt ª d(i,j) Xt Xt )
(17)
j=1
Itt ª m˝ uvelet egy szelekt´ıv k¨ ul¨onbs´eget jelent, ´ert´eke megegyezik a megfelel˝o k¨ ul¨onbs´eg ´ert´ek´evel, ha az pozitiv, k¨ ul¨onben 0. A fogyaszt´asi deficitet adja, ami a hal´aloz´as m´ert´ek´ehez j´arul hozz´a, teh´at csak pozit´ıv lehet. Amennyiben a ragadoz´ok elegend˝o mennyis´egben tudnak fogyasztani, akkor a puszt´ ul´asukat a term´esztes hal´aloz´as u ¨teme dikt´alja. A fentiek ´ertelm´eben az egyedsz´amv´altoz´asokra az i-ik faj eset´en a k¨ovetkez˝o form´alis sztochasztikus differenci´alegyenlet-rendszer ´erv´enyes à (i) dXt
=
1
0 (i) (i) λt dt 1 − λt dt
8
!
Ã
−
1
0 (i) (i) µt dt 1 − µt dt
!
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Sz¨ uletlet´es-hal´ aloz´ asi folyamat szimul´al´ as´ anak eredm´enye egy fajr
A tov´abbiakban ´erdekl˝od´es¨ unk az ¨okol´ogiai id˝osorokra ´ır´any´ ul. Jel¨olje (i) ti i = 1, n az i-ik mintav´etel idej´et, xj a ti -ben m´ert popul´aci´om´eretet, (i) (i) (i) (i) (i) (i) kj = xj+1 − xj , Kj = Xj+1 − xj . Ekkor (i) Xj+1
−
(i) xj
=
Z tj+1 "Ã tj
1
0 (i) (i) λt dt 1 − λt dt
!
Ã
−
1
0 (i) (i) µt dt 1 − µt dt
!#
(18)
A fenti sztochasztikus integr´al v´egtelen sok indik´ator-val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o ¨osszegz´es´et jelenti, aminek hat´areloszl´asa egy k¨ ul¨on-k¨ ul¨on megfelel˝o param´eter¨ u Poisson eloszl´asu val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o. (i) (i) Xj+1 −xj
=
k (i)
k
(λt (tj+1 −tj )) k!
e
(i)
−(λt (tj+1 −tj ))
9
−
k (i)
(µt (tj+1 −tj )) k!
k
e
(i)
(λt (tj+1 −tj ))
(19)
Az ut´obbi ´osszef¨ ugg´es a popul´aci´om´eret v´altoz´as´at adta, felt´eve, hogy ismert az el˝oz˝o mintav´eteli eredm´eny. K´et Poisson eloszl´asu val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o k¨ ul¨onbs´ege k´epz˝od¨ott, ami a neh´ezkesen kezelhet˝o Skellam eloszl´ast eredm´enyezi. A jelenl´ev˝o param´eterek becsl´es´ehez ezen eloszl´asb´ol sz´armaz´o egym´asut´ani egyedsz´amv´altoz´asokat haszn´alhatjuk. Ez a feladat k¨ ul¨on¨osen neh´ez az eml´ıtett eloszl´as sk´alainvari´ans volta miatt, aminek k¨sz¨onhet˝oen a nagy sz´orassal rendelkez˝o val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ora lehetetlen¨ ul neh´ez a param´eterbecsl´eshez sz¨ uks´eges sz´am´ıt´asokat elv´egezni. A tov´abbiakban a fenti tekints¨ uk csup´an a nem interspecifikus eseteket, val´osz´ın˝ us´egintenzit´asok els˝o komponenseivel. Ekkor (i)
E(K (i) ) = (r(i) − h(i) )Xt (tj+1 − tj )
(20)
Felhaszn´alva a n X
(i)
Kj −→
j=1
n X (i)
kj
(21)
j=1
1 val´osz´ın˝ us´eggel t¨ort´en˝o sztochasztikus kongergenci´at, n X
(i)
E(Kj ) '
j=1
n X (i)
kj
(22)
j=1
Pn
r
(i)
−h
(i)
(i) j=1 kj Pn (i) j=1 Xt (tj+1
'
(23)
− tj )
Hasonl´o gondolatmenettel, imm´aron a sz´or´asokra n´ezve (i)
D2 (K (i) ) = (r(i) + h(i) )xt (tj+1 − tj ) n X
D
2
(i) (Kj )
−→
j=1
n X
(i)
(24) 2
(i)
(kj − (r(i) − h(i) )xt (tj+1 − tj ))
(25)
j=1
kapjuk, hogy Pn
r(i) + h(i) '
j=1
(i)
(i)
2
(kj − (r(i) − h(i) )xt (tj+1 − tj )) Pn
j=1
(i)
Xt (tj+1 − tj )
(22) ´es (25)-b˝ol azonnali a ket param´eter ´ert´eke meghat´arozott.
10
(26)
Az elm´eleti eredm´enyeket val´os id˝osorok adataira vizsg´altuk. ´Igy a Hudson¨ob¨olbeli lynx canadensis (hi´ uz), valamint lepus americanus (ny´ ul) eset´en sz´am´ıtott ´ert´ekek egy ´evre r(hiuz) ' h(hiuz) ' 9.29
(27)
r(nyul) ' h(nyul) ' 81.13
(28)
Tov´abb´a besz´amolunk arr´ol, hogy folyamatban van az eml´ıtett sztochasztikus differenci´alegyenletek megold´asainak szimul´al´asa val´os v´eletlen sz´amokat felhaszn´alva, k¨osz¨onhet˝oen a t¨obbek k¨oz¨ott erre a c´elra meg´ep´ıtett sz´am´ıt´ogep´eknek. Ugyancsak terveink k¨oz¨ott szerepel a sz¨ ulet´es-hal´aloz´asi folyamat param´etereinek genetikus algoritmusok seg´ıts´eg´evel t¨ort´en˝o becsl´ese nagyobb id˝osorok eset´en. Arra az esetre, amikor nem t´etelezhetj¨ uk fel, hogy az illet˝o egyedsz´amv´altoz´asokat a sz¨ ulet´es-hal´aloz´asi folyamat fogyaszt´as-orient´alt dinamik´aja irja le, neur´alis h´al´ozatok alkalmaz´as´at tervez¨ uk az adott id˝osorokban fellelhet˝o mint´ak felismer´es´ehez.
11
0.3
Bibliogr´ afia
[1] Kloeden, Peter E, Platen, Eckhard. Numerical Solution of Stochastic Differencial Equations. Series: Stochastic Modelling and Applied Probability. Vol. 23, 1est ed. 1992 [2] Gerall A. Edgar. Measure, Topology and Fractal Geometry [3] Lad´anyi, M´arta. Folyamatszeml´eleti lehet˝os´egek az agro-¨okosziszt´em´ak modellez´es´eben. Budapesti Corvinus Egyetem, Matematika ´es Informatika Tansz´ek, 2006 [4] T´oth J´anos, Simon L. P´eter. Differenci´alegyenletek. Bevezet´es az elm´eletbe ´es az alkalmaz´asokba. Tipotech Kiad´o, 2005 [5] Medvegyev P´eter. Sztochasztikus Anal´ızis. Tipotech Kiad´o, 2004
12
