Sztochasztikus folyamatok a gazdaságban (el˝oadás vázlat) Sinkovicz Péter PhD hallgató
SH tL
20
10
50
100
150
-10
-20
2014
200
250
t
Sinkovicz Peter
B EVEZETÉS 1 Statisztikai alapfogalmak Események valószínuségének ˝ értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adattípusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kísérlettervezés, buktatók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 1
2 Sztochasztikus folyamatok áttekintése Sztochasztikus folyamatok . . . . . . . . . . Stacionárius folyamatok . . . . . . . . . . . Markov folyamatok . . . . . . . . . . . . . . Chapman-Kolmogorov-egyenlet . . . . . . . Homogén Markov folyamatok . . . . . . . .
. . . . .
2 2 2 2 3 3
3 Az állapotok osztályozása Definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5
4 Bolyongás során felmerülo˝ alapkérdések
6
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
D ISZKRÉT IDEJ U˝ M ARKOV FOLYAMATOK 1 Diszkrét ideju ˝ Markov folyamatok dinamikája Dinamika megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P (n) mátrix analitikus meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 8 8
2 Egyensúlyi eloszlás 10 Egyensúlyi eloszlás meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Átlagos visszatérési id˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Google PageRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Elérési valószínuség, ˝ átlagos elérési ido˝ Bevezet˝o példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definíció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elérési valószínuség ˝ meghatározásának módja Átlagos elérési id˝o meghatározásának módja .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
12 12 12 12 13
R ÉSZVÉNYPIAC EGYSZER U˝ MODELLJE 1 Alapfogalmak 15 Értékpapír jellemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Portfólió választás a Markowitz-féle modellben 16 A Markowitz-féle modell feltevései . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Portfólió választás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i
˝ 3 Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tozsdén 18 Els˝o lépés analízis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Bolyongás várható ideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ˝ 4 Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tozsdén 20 Bolyongás várható ideje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 Konklúzió
23
D IFFÚZIÓS FOLYAMATOK 1 Diffúziós folyamatok leírása 25 Fokker-Planck egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Speciális diffúziós folyamatok 27 Wiener folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ornstein-Uhlenbeck folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Langevin egyenlet 31 Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz 33 Egyváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Többváltozós eset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
D ISZKRÉT IDEJ U˝ M ASTER EGYENLET EGÉSZ VÁLTOZÓKRA 1 Master egyenlet származtatása 35 Infinitezimális id˝o alatti átmeneti valószínuség ˝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Master egyenlet származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Részletes egyensúly 3 Bolyongás végtelen láncon A bolyongás diffúzitása . . . . p i meghatározása . . . . . . . Végtelen határeset . . . . . . . Kontinuum limesz . . . . . . .
36
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
37 37 38 38 39
A PPENDIX A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus 41 Tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
Sinkovicz Péter
Sinkovicz
˝ Eloszó Az el˝oadás alap valószínuségi ˝ fogalmakra épül melyekr˝ol egy jó áttekintés ad a [1] könyv. Témáját négy nagyobb szerkezeti egység képzi; Az els˝o részben a diszkrét ideju˝ Markov folyamatok átmeneti mátrixos és els˝o lépés analízises formalizmusaival ismerkedünk meg, melyek pontosabb elméleti háttere a [2-6] irodalombakban részletesebben kibontakozik. A második gondolati egységben betekintést kaphatunk a t˝ozsdepiac elemi folyamataiba, ehhez a témakörhöz jó áttekintést adnak a [7-9] könyvek. A harmadik részben néhány speciális diffúz folyamatot tekint át, melyek megtalálhatóak a [10] könyvben. Majd az el˝oadás utolsó témája a Master egyenlet konstrukciója egy adott gazdasági folyamathoz. A jegyzet a Markov Monte Carlo módszerek rövid ismertetésével válna teljessé, azonban az id˝o rövidsége miatt ez a téma kimaradt, viszont egy jó áttekintést ad ebben a témakörben a következ˝o két hivatkozás [11-12]. Továbbá szeretném kiemelni Szám Anita hallgatómat, aki lelkesen és megbízhatóan segített a jegyzet bedigitalizálásában.
Irodalomjegyzék [1] Prékopa András: Valószínuségelmélet ˝ [2] J. R. Norris: Markov Chains [3] J. R. Norris: Markov Chains lecture note [4] Aldous, D. and J. Fill: Markov Chains lecture note [5] B. Rozovskii, M. Yor: Stochastic Modelling and Applied Probability [6] Fazekas István: Markov-láncok és alkalmazásaik [7] R. E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance I-II [8] M. J. Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications [9] P. Jorion: Financial Risk Manager Handbook [10] W. Gardiner: Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences [11] Charles J. Geyer: Introduction to Markov Chain Monte Carlo [11] W. R. Gilks, S. Richardson: Markov Chain Monte Carlo in Practice
iii
Sinkovicz Péter
Bevezetés 1
Statisztikai alapfogalmak
Események valószínuségének ˝ értelmezése Véletlen folyamatok esetén a (megismételhet˝o) kísérletek kimeneteinek a valószínuségeit ˝ azonosíthatjuk a mérések során tapasztalt relatív gyakoriságaikkal:
p ( A ∈ Ω ) :=
kA n
=
kedvez˝o elemi események száma lehetséges elemi esetek száma
Az így definiált valószínuség ˝ kielégíti a valószínuségi ˝ axiómákat: • 0 ≤ p ( A ∈ Ω) ≤ 1 • p(Ω) = 1 • (egymást páronként kizáró események valószínusége ˝ összeadódik)
Adattípusok Az adatok nem mások, mint a kísérletek lehetséges kimenetei. Csoportosíthatjuk lehetséges kimenetei: • Kvalitatív adatok (lehetséges értékei számok) a) Diszkrét adatok (megszámlálhatóan végtelen számosságú) b) Folytonos adatok (megszámlálhatatlanul végtelen számosságú /intervallum adatok/) • Kvantatív adatok (melyek értékei nem számok) és szintjük szerint is: 1. Normális szintu: ˝ Az ilyen típusú adatokat nem lehet sorba rendezni (pl.: igen/nem/talán) 2. Ordinális szintu: ˝ Sorba lehet rendezni, de a különbségnek nincs értelme (pl.: egyetemek sorrendje) 3. Intervallum szintu: ˝ Van értelme a különbségnek, de nincs nulla pont, ami valaminek a hiányára utal 4. Arányszintu: ˝ Van nulla pont is (pl.: vízállás)
Kísérlettervezés, buktatók Ügyelnünk kell arra, hogy a kísérletezés során ne torzuljanak az adatok, azaz valóban a mért populációt jellemezzék. A típushibák elkerülése érdekében a következ˝oket kell szem el˝ott tartanunk: • Statisztikai hamisítás: Tilos rossz, hamis adatot a többi közé keverni, hogy igazoljuk a feltevésünket • Túl kis elemszámú minta nem ad reális képet a teljes populációról • Az ábrák torzíthatnak, a számokat nézzük • Elemi eseményekb˝ol építkezzünk • Ismernünk kell a teljes eseményteret
1
2
Sztochasztikus folyamatok áttekintése
Sztochasztikus folyamatok Legyen x( t) egy valószínuségi ˝ változó (Ω halmazon értelmezett tetsz˝oleges függvény), melyet id˝onként megmérünk. A mérés során az x( t n ), . . . , x( t 1 ) adatsort kapjuk, ahol t n < t n−1 < . . . < t 1 . Több kísérlet elvégzése után, vagy elméleti jóslatból definiálhatunk egy valószínuségi ˝ sur ˝ uséget: ˝
p n ( x1 , t 1 ; . . . ; x n , t n ) mely megadja, hogy mekkora annak a valószínusége, ˝ hogy t i -ben ( x i , x i + dx i ) intervallumon belül lesz a mérési eredmény, azaz
P ( x1 ∈ ( x1 , x1 + dx1 ), . . . , xn ∈ ( xn , xn + dxn )) ≡ p n ( x1 , t 1 ; . . . ; xn , t n ) dx1 , . . . , dxn Ezen valószínuségi ˝ leírásban x( t)-t sztochasztikus valószínuségi ˝ változónak tekintjük, ha rendelkezik a következ˝o két tulajdonsággal: • Normáltság R
p n ( x1 , t 1 ; . . . ; xn , t n ) dx1 ; . . . ; dxn ≡ 1
• Komplementaritás R
p n ( x1 , t 1 ; . . . ; x i , t i ; . . . ; xn , t n ) dx i = p n−1 ( x1 , t 1 ; . . . ; x i , t i ; . . . ; xn , t n )
Az x( t) valószínuségi ˝ változóink jellemzésére bevezethetjük a következ˝o mennyiségeket: • momentumok R – várhatóérték: < x( t) >≡ E[ x( t)] := dx xp 1 ( x, t) R – n. momentum: < x n ( t) >≡ E[ x n ( t)] := dx x n p 1 ( x, t)
• korrelációs függvények R – n. korrelációs függvény: E[ x1 ( t 1 )...xn ( t n )] = dx1 . . . dxn x1 ; ...; xn · p n ( x1 , t 1 ; . . . ; xn , t n )
Stacionárius folyamatok A stacionárius folyamatok invariánsak az id˝oeltolásra, azaz nem fejl˝odnek az id˝oben, így egyensúlyi állapotként értelmezhet˝oek: p 1stac ( x, t) ≡ p 1stac ( x, t0 ) ∀ t, t0 ⇒ p 1stac = p 1 ( x)
p 2stac ( x, t; x0 , t0 ) ≡ p 2stac ( x1 t + ∆ t; x0 , t0 + ∆ t) ∀ ∆ t ⇒ p 2stac ( x, t; x0 , t0 ) = p 2stac ( x, x0 , t − t0 )
Markov folyamatok Definiáljuk a
P ( x1 , t 1 | x2 , t 2 ; . . . ; xn , t n ) =
p n ( x1 t 1 ;...; xn t n ) p n−1 ( x2 t 2 ;...; xn t n )
feltételes valószínuséget, ˝ mely megadja, hogy mekkora valószínuséggel ˝ mérünk x1 -et t 1 -ben, ha el˝otte t 2 , x2 ; . . . ; t n , xn n − 1 db esemény bekövetkezett. Ezen feltételes valószínuség ˝ segítségével definiálhatjuk a Markov folyamatokat. Egy sztochasztikus folyamatot Markovinak tekintünk, ha
P ( x1 , t 1 | x2 , t 2 ; . . . ; x n , t n ) ≡ P ( x1 t 1 | x2 t 2 ) összefüggés fennáll, azaz a rendszernek nincs hosszútávú memóriája, csak a közvetlenül o˝ t megel˝oz˝o eseményt˝ol függ. 2
Chapman-Kolmogrov-egyenlet A p n valószínuség ˝ felépíthet˝o a feltételes valószínuségek ˝ segítségével:
p n ( x1 , t 1 ; . . . ; xn , t n )
=
P ( x1 t 1 | x2 t 2 ; . . . ; xn t n ) p n−1 ( x2 t 2 ; . . . ; xn t n ) = P ( x1 t 1 | x2 t 2 ) p n−1 ( x2 , t 2 ; . . . ; xn t n ) =
=
P ( x1 t 1 | x2 t 2 )P ( x2 t 2 | x3 , t 3 ; . . . ; xn , t n ) p n−2 ( x3 t 3 ; xn , t n ) = . . . =
=
P ( x1 t 1 | x2 t 2 )P ( x2 t 2 | x3 t 3 ) . . . P ( xn−1 t n−1 | xn t n ) p 1 ( xn , t n )
mely n=3 esetén a Chapman-Kolmogorov egyenletre vezet:
p 3 ( x1 t 1 ; x2 t 2 ; x3 t 3 )
=
p 2 ( x1 , t 1 ; x3 t 3 )
=
P ( x1 t 1 | x3 t 3 ) p 1 ( x3 t 3 )
=
P ( x1 t 1 | x3 t 3 )
=
P ( x t | x t )P ( x2 t 2 | x3 t 3 ) p 1 ( x3 t 3 ) Z 1 1 2 2 dx2 P ( x1 t 1 | x2 t 2 )P ( x2 t 2 | x3 t 3 ) p 1 ( x3 t 3 ) Z p 1 ( x3 t 3 ) dx2 P ( x1 t 1 | x2 t 2 )P ( x2 t 2 | x3 t 3 ) Z dx2 P ( x1 t 1 | x2 t 2 )P ( x2 t 2 | x3 t 3 )
azaz az x3 t 3 pont úgy függ az x1 t 1 ponttól, hogy valószínuségi ˝ értelemben kiátlagolunk az összes bens˝o x2 t 2 pontra:
x
x1
x3
t3
t1
t2
t
x3 t 3 −→ x1 t 1 átmenet valószínuségét ˝ úgy kapjuk meg, hogy statisztikusan kiátlagolunk az összes útra.
Homogén Markov folyamatok Egy Markov folyamat homogén, ha:
P ( x1 t 1 | x2 t 2 ) = P ( x1 t 1 − t 2 | x2 )
(id˝oeltolásra invariáns),
ebb˝ol még nem következik, hogy ez egy stacionárius folyamat, hiszen akkor stacionárius, ha p 1 ( x, t) = p stac ( x), azaz nincs id˝ofüggés. Ergodikus Markov folyamatnak nevezzük az olyan Markov-folyamatokat, ahol lim P ( x, t| x0 ) = p stac ( x)
t→∞
3
melyb˝ol és a Chapman-Kolmogrov egyenlet alapján: Z Z Z ³ ´ lim p 1 ( x, t) = lim dx0 P ( xt| x0 ) p 1 ( x0 , 0) = dx0 lim P ( xt| x0 ) p 1 ( x0 , 0) = p stac ( x) · dx0 p 1 ( x0 , 0) = t→∞
=
t→∞ stac
p
t→∞
( x)
azaz tetsz˝oleges eloszlás a stacionárius állapotba tart, ha t → ∞-be. A diffúz folyamatok olyan homogén Markov folyamatok, ahol Z
0 v ( x ) t + ϑ( t ) ( x − x0 )n P ( x, t| x0 ) dx = σ( x0 ) t + ϑ( t) Ø
n=1 n=2 n>2
mely integrál-egyenletrendszer megoldását azonnal leolvashatjuk
P ( x, t| x0 ) ∼ e
0 +v( x0 ) t)2 2σ2 ( x0 ) t
− ( x− x
⇒ Gauss-eloszlást követ
A megoldásokat v( x0 ) és σ( x0 ) szerint tovább csoportosíthatóak (lsd. kés˝obb).
4
3
Az állapotok osztályozása
Ett˝ol a ponttól kezdve diszkrét ideju˝ bolyongásokkal foglalkozunk úgy, hogy a mérést stroboszkópikusan és egyenközuen ˝ végezzük.
Definíciók A kísérlet lehetséges kimenetelét rendezzük gráfba. Például: kockadobás
1
2
6
3
4
5
Minden él 1/6 valószínuséggel ˝ következik be ≡ annak a valószínusége, ˝ hogy i dobása után j-t dobjak = 1/6 i, j ∈ {1, . . . , 6} A j állapotot az i állapotból elérhet˝onek nevezzük ( i * j ), ha valamely n > 0 id˝olépésre:
P ( j, n · ∆ t| i ) 6= 0 továbbá az i és j állapotok kölcsönösen elérhet˝oek ( i * ) j ), ha i * j és j * i . Egy i állapotot lényegesnek nevezünk, ha az i-b˝ol elérhet˝o állapotokból vissza lehet térni i-be, ellenkez˝o esetben i lényegtelen állapot. Az állapotok egy A halmazát zártnak nevezzük, ha ∀ i ∈ A állapot esetén: P P i ( j, ∆ t| i ) = 1 ← egy id˝olépés után A-ban maradunk. j∈ A
Egy zárt halmazt lényegesnek nevezünk, ha nincs valódi zárt részhalmaza. Egy Markov lánc irreducibilis, ha a teljes állapottér minimális zárt halmaz. Továbbá egy Markov-lánc akkor és csakis akkor irreducibilis, ha az egész állapottere egyetlen lényeges osztályt alkot (azaz minden állapot minden állapotból elérhet˝o ≡ i * ) j ∀ i, j ) Láttuk, hogy az ergodikus Markov-folyamatok a p stac ( i )-be tartanak, azonban ez a határérték nem biztos, hogy létezik. pl.: 2
1
P ( i ∆ t| j ) = 1 − δ i, j
i, j ∈ {1, 2}
azaz az (1) és a (2) állapot közt oszcillál a rendszer. Ergodikus Markov-lánc, ha aperiodikus (létezik p stac ( i )), irreducibilis és véges valószínuséggel ˝ visszatalál a kiindulási pontba. 5
4
Bolyongás során felmerülo˝ alapkérdések • Els˝o átlagos visszatérési id˝o Például: A sakktáblán véletlenszeruen ˝ bolyong egy huszár. Átlagosan hány lépés után tér vissza a kezd˝opontba? • Átlagos fedési id˝o Például: Kisgyerek zsírkrétázik az aszfalton. Átlagosan hány órát kell kint hagyni, hogy az egész utcát lefedje? • Relaxációs id˝o Például: Átlagosan mennyit kell keverni a paklit, hogy elveszítse a memóriáját? • Monte-Carlos módszerek
6
Diszkrét ideju˝ Markov folyamatok 1
Diszkrét ideju ˝ Markov folyamatok dinamikája
Dinamika megadása Egy id˝olépés valószínuségét ˝ jelöljük a következ˝oképpen:
P i ( x t+∆ t ) ≡ P ( x t+∆ t | x t = i ) ahol x t+∆ t a t + ∆ t id˝oben a "részecske" helyzete a G (V , E ) gráfon (azaz a rendszer állapota), ha ez a j-edik rácspont akkor tömören:
p ji = P i ( x t+∆ t = j )
i, j ∈ V
a p ji átmeneti mátrix tulajdonságai: • p ji ≥ 0 ∀ i, j ∈ V P • p ji = 1 (sztochasztikus mátrix) j ∈V
λ = (λ i : i ∈ V ) valószínuségi ˝ eloszlás, ha
P i
λ i = 1 és λ i ≥ 0, ∀ i ∈ V -re
Ezen elemek segítségével a következ˝oképpen definiálhatjuk a dinamikát egy λ0 kezdeti eloszlásból: X Pλ ( x t=∆ t = j ) ≡ Pλ ( x1 = j ) = λ i p ji i ∈V
... Pλ ( xn = j )
=
X i ∈V
λ i p(jin)
˝ Például: idojóslás: Megfigyelések alapján ha ma esett akkor holnap p 1 = 0.7 valószínuséggel ˝ nem esik és q 0 = 0.3 valószínuséggel ˝ esik. Hasonlóan, ha ma nem esett, akkor p 2 = 0.6 valószínuséggel ˝ nem esik és q 2 = 0.4 valószínuséggel ˝ esik.
p2,2
2
p2,1 p1,2
ahol 2 ≡ nem esik és 1 ≡ esik, így a rendszer átmeneti mátrixa · ¸ · p 1,1 p 1,2 0.3 P= = p 2,1 p 2,2 0.7
1
0. 4 0. 6
p1,1
¸
és a kezdeti valószínuségi ˝ eloszlásunk (mai nap id˝ojárása) a következ˝o: µ 1¶ µ ¶ λ 1 ← esik λ0 = 02 = 0 ← nem esik λ0 Melyen a két nap múlvai állapot meghatározásához az átmeneti mártixot kétszer kell hatatnunk: · ¸· ¸µ ¶ · ¸µ ¶ µ ¶ 0.3 0.4 0.3 0.4 1 0.3 0.4 0.3 0.37 P 2 λ0 = = = 0.7 0.6 0.7 0.6 0 0.7 0.6 0.7 0.63 tehát 0.37 valószínuséggel ˝ esni fog két nap múlva. 7
Chapman-Kolmogorov egyenlet ezen a nyelven Az el˝oz˝o példa rámutatott arra, hogy az n lépéses folyamat átmeneti mátrixa: P (n) = p(jin) a P mátrix n-edik hatványa. Így a Chapman-Kolmogorov egyenlet:
p(jin+m) =
P k∈V
m) ( n) · p(jk P ki
ami igazából a mátrix szorzás kiírása.
P (n) mátrix analitikus meghatározása Például: Két pontú markov lánc
p2,2
p2,1 p1,2
2
1
p1,1
mely átmeneti mátrixát parametrizálhatjuk a következ˝o képpen: ·
p 1,1 P= p 2,1
¸ · p 1,2 1−α = p 2,2 α
¸ β 1−β
határozzuk meg P sajátértékeit:
det
· 1−α·λ α
¸ β 1−β−λ
=
(1 − α − λ)(1 − β − λ) − αβ = 1 − α − λ − β + αβ + λβ + λ2 − λ + λα − αβ =
=
λ2 − 2λ + (α + β)λ + (1 − α − β) = 0
melynek megoldásai: λ1 = 1 és λ2 = 1 − α − β. Így az átmeneti mátrix a következ˝o alakra hozható (bázistranszformációval): µ ¶ µ ¶ −1 λ1 0 1 0 −1 UU =1 u P =U U ======⇒ P = U U −1 0 λ2 0 (1 − α − β)n ( n) −1 −1 −1 −1 melyb˝ol (P11 ) = U11 · U11 + U12 · (1 − α − β)n · U12 legyen A = U11 · U11 és B = U12 · U12 . Mivel P 0 = 1,így p(0) 11 =
1 ≡ A + B másrészt P 1 = P , így p(1) ol A és B meghatározható: 11 = 1 − α = A + B(1 − α − β) melyb˝
A=
β α+β
és
B=
α α+β
hasonlóképpen a többi mátrixelem is meghatározható β β β β n + αα − α+β (1 − α − β)n α+β +β (1 − α − β) α+β n→∞ α+β Pn = −−−−→ β α α α α n n − α+β (1 − α − β) + α+β (1 − α − β) α+β α+β α+β
8
β α+β α α+β
Például: Három pontú Markov lánc:
p3,3
p2,2 p2,3
3
2
p1,2 p3,1
1
mely a következ˝o átmeneti mátrixot definiálja:
0
P = 1 0
0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
melynek sajátértékei: λ i = 1, ± 2i , a ±
µ ¶n µ ¶n µ ¶n h ³ π´ ³ π ´i π 1 i 1 = e± in 2 = cos n ± i · sin n 2 2 2 2 2
azonossággal átalakítható az átmeneti mátrix elemei, például: µ ¶n µ ¶ i i n ( n) p 11 = A + B +C − = 2 2 µ ¶n h ³ ´ ³ π ´i π 1 = A+ B0 cos n + C 0 sin n 2 2 2 (1) (2) felhasználva, hogy p(0) 11 = 1, p 11 = 0 és p 11 = 0 ⇒ A,B’,C’ meghatározható:
n) p(11 = 15 +
¡ 1 ¢n £ 4 2
5
¡ ¢ ¡ ¢¤ n→∞ cos n π2 − 25 sin n π2 −−−−→
1 5
Recept: N pontú markov lánc 1) ε1 . . . ε N sajátértékek meghatározása (ε1 = 1 lesz) 2) Ha a sajátértékek különböznek:
p(inj ) = a 1 + a 2 ε2n + . . . + a n εnN ha az l-edik sajátérték k-szor ismétl˝odik, akkor azokat a tagokat helyettesíthetjük a következ˝ovel: ( b 0 + b 1 n + . . . + b k−1 n k−1 )εnl 3) A komplex sajátértékek párban jönnek (így kevesebb konstanst kell illesztenünk).
9
2
Egyensúlyi eloszlás
Π = (Π i : i ∈ V ) valószínuségi ˝ eloszlás egyensúlyi eloszlás, ha: PΠ = Π hiszen ekkor a dinamikában nem fejl˝odik Például: két rácspontú példa
p2,2
p2,1 p1,2
2
p1,1
1
mely átmeneti mátrixa: ·
P=
1−α α
¸ β 1−β
amit hatványozva határértékben eljutunk az egyensúlyi eloszlásokhoz l im n→∞ P n −−−−−−→
tehát
β α+β
β α+β
α α+β
α α+β
· Π1 = Π2
Π1 Π2
µ ¶ µ ¶ 1 β Π1 Π= = Π2 α+β α
például α = β határesetben:
Π=
µ ¶ µ ¶ 1 p 1 1 = 2p p 2 1
Egyensúlyi eloszlás meghatározása Például: három rácspontú példa
p3,3
p2,2 p2,3
3
2
p1,2 p3,1
1
Mely átmeneti mátrixa
0
P = 1 0
0 1 2 1 2
1 2
¡ 1 ¢
5 l im n→∞ ¡ ¢ 0 −−−−−−→ 25 ¡2¢ 1 2
10
5
¸
Ezek azonban a következ˝oképpen is meghatározhatók: 1 Π1 = Π3 · 2
Π2 = Π1 · 1 + Π2 · 12
Π1 = 1/5 Π2 = 2/5 Π3 = 2/5
megoldása
Π3 = Π2 · 21 + Π3 · 12
(Π1 + Π2 + Π3 = 1)
Átlagos visszatérési ido˝ Az m i átlagos visszatérési id˝o megadja, hogy átlagosan hány id˝olépés után érünk vissza a kiindulási i pontba. Az egyensúlyi eloszlásból meghatározható az egyes rácspontok visszatérési értékét:
mi =
1 πi
ahol m i = E i (T i ) és E i (·) olyan várhatóérték amihez a t = 0-ból i-be indított bolyongáshoz tartozik Például: két rácspontú gráf: Legyen α = β = p, ekkor
E 1 (az az id˝o ami alatt visszatér)
=
∞ X
nP (n id˝opontban tért vissza) = 1 · (1 − p) +
n=0
= =
= 1− p+
1− p+ p
∞ X
2
( m + 1) · p · (1 − p)
m=1 ∞ X 2
m−1
= 1− p+ p
∞ X
p2 · (1 − p)n−2 · n
n=2 ∞ X
2
( n + 1) · (1 − p)n−1 =
n=1
(1 − p)n−1 + p2
n=1
∞ X
n(1 − p)n−1 = 2 − p + p2
n=1
|
∞ X
(1 − p)n−1 =
n=1
{z
}
∂ p "mértani sor"
=
2 − p + p2
∞ X
(1 − p)m = 2 − p + p2 ·
m=0
|
{z
mértani sor
1 =2 p
}
Google PageRank Három szempont szerint kell optimalizálni a keres˝o motort: • keres˝o megtalálja ami szeretne • megfelel˝o reklámok legyenek • reklámból származó bevétel maximalizálása Toy modell erre az esetre: Legyen a web egy G = (V , E ) gráf, ahol V a vertexek (itt: a weboldalak) és E a linkek halmaza (kapcsolatok). Az átmeneti valószínuség ˝ meghatározható egy lapról a kapcsolódóakra: ( 1 az L(i) hivatkozásai közül egyenletesen választ egyet p˜ i j = L1( i) ha L(i)=0, akkor random választ egy lapot az összes közül N Tovább finomíthatjuk ezt a modellt, hiszen lehet hogy nem a honlapról ágazik el, hanem bezárja, és nyit egy másikat: 1 p i j = α p˜ i j + (1 − α) · N így valószínuséggel ˝ lép tovább. Az egyensúlyi eloszlása a rendszernek (Π) arányos azzal, hogy mennyi id˝ot töltenek ott az emberek, azaz ha π i > π j akkor i weboldal "fontosabb" mint a j.
P Π = Π ⇒ meghatározása nehéz ⇒ lim P n = (Π, Π . . .) n→∞
ami gyorsan konvergál (gyorsabb mint a s.é. egyenlet megoldása).
11
3
Elérési valószínuség, ˝ átlagos elérési ido˝
Bevezeto˝ példa Kétpontú gráf:
p2,2
p1,2
2
1
p1,1
mely átmeneti mátrixa:
P=
µ 1− p p
¶ 0 1
Az egyes rácspontból indulva a kettesben való elnyel˝odés valószínusége: ˝
P1 (2-be jutás)
=
∞ X
P1 (2 elérése az n-edik lépésben) =
p·
∞ X
(1 − p)n−1 p = p
n=1
n=1
=
∞ X
(1 − p)n−1 =
n=1
1 · [(1 − p)∞ − 1] 1 = p· =1 (1 − p) − 1 p
Az egyes rácspontból a kettesen való elnyel˝odés várható ideje:
E1 (2-esbe jutás ideje) =
∞ P
n=1
nP (2 elérése az n. lépésben) =
∞ P
n=1
n(1 − p)n−1 p = − p ddp
∞ P
(1 − p)n = − p(− p12 ) =
n=0
1 p
Mely els˝o lépés analízissel meghatározható: legyen f = P1 (2-be jutás) ekkor
f = (1 − p)P1 (2-be jutás| x1 = 1 = el˝oször az 1-ben marad) + pP1 (2-be jutás| x1 = 2 ≡ átment) = (1 − p) f + p · 1 amib˝ol f = 1 adódik és
g = E2 (2-esbe jutás ideje) = 1 + (1 − p) g + p · 0 amib˝ol g =
1 p
Definíció Elérési ideje egy A ∈ V halmaznak:
H A = inf{ n ≥ 0 : xn ∈ A } Elérési valószínuség: ˝
f iA = P i ( H A < ∞) Átlagos elérési id˝o:
q iA = E i ( H A ) =
P n<∞
nP i ( H A = n) + "∞ · P ( H A = ∞)"
Elérési valószínuség ˝ meghatározásának módja ˝ az a; nem negatív, minimális megoldása a A f A = ( f iA : i ∈ V ) elérési valószínuség
f iA = 1 P f iA = p ji f jA j
ha i ∈ A ha i ∉ A
egyenletrendszernek. A minimális megoldás azt jelenti, hogy ha x és f megoldások akkor x i ≥ f i 12
∀ x -re
Bizonyítás: a) f iA megoldja az említett egyenletet • Ha x0 = i ∈ A, akkor H A = 0 (nulla lépés alatt ott van) ⇒ f iA = 1 • Ha x0 ∉ A, akkor H A ≥ 1
f iA = P i ( H A < ∞) =
X
P i ( H A < ∞, x1 = j ) ≡
j ∈V
|
{z
P i ( H A < ∞| x1 = j ) P i ( x1 = j ) = {z } | {z } j ∈V | P
p ji
f jA
}
j-t érintve i-b˝ol A-ba megy
P j
p ji f jA
b) minimális megoldás Legyen x egy tetsz˝oleges megoldás, ahol f iA = x i = 1 ∀ i ∈ A -ra, így !
Ã
xi
=
X j
=
p ji x j =
X j∈ A
p ji x j +
X
X
p ji x j =
p ji +
p ji x j =
j∉ A
j∈ A
j∉ A
X
X
p ji +
j∈ A
X
X
p ji
j∉ A
k∈ A
X
n.-re ment oda
⇒
p k j xk =
k∉ A
p ji p k j xk = . . . = P i ( x1 ∈ A ) +P i ( x1 ∉ A, x2 ∈ A ) + | {z } els˝ore odament X . . . + P i ( x1 ∉ A, . . . , xn−1 ∉ A, xn ∈ A ) + p j 1 i p j 2 j 1 . . . p j n j n−1 x j n | {z } { j} P i ( x1 ∈ A ) + P i ( x1 ∉ A, x2 ∈ A ) +
j,k∉ A
+
p k j xk +
X
A
x i ≥ P i ( H ≤ n) ⇒ x i ≥ lim P i ( H A ≤ n) = P i ( H A < ∞) = f i n→∞
Átlagos elérési ido˝ meghatározásának módja : i ∈ V ) átlagos elérési id˝o az a; nem negatív, minimális megoldása a A gA = (gA i
gA i gA i
= =
i∈A
0 1+
X
p ji g Aj
i∉A
j
egyenletrendszernek. (Bizonyítása hasonló, mint az elérési valószínuségnél ˝ látott).
13
Sinkovicz Peter
Részvénypiac egyszeru˝ modellje 1
Alapfogalmak • Értékpapír: vételár ellenében szabadon átruházható • Értékpiac: értékpapírok adásvételének színtere • Árfolyam: az az ár, amennyiért az értékpapír egy egységét megvásárolhatjuk • Id˝ohorizont: Ha a piac diszkrét, egyenközu˝ ∆ t id˝olépésekre osztható, akkor ∆ t a befektetések id˝ohorizontja.
Értékpapír jellemzése Az értékpapírok jöv˝obeli értékét, árfolyamát véletlenszerunek ˝ tekinthetjük. Jelölje S ( t) sztochasztikus változó egy adott értékpapír t id˝opontban vett árfolyama, melyhez a p n ( s 1 t 1 ; . . . ; s n t n ) valószínuségi ˝ sur ˝ uség ˝ tartozik, így az egységnyi id˝olépés alatt szerzett egységnyi nyereség:
X ( t, ∆ t) = S ( t + ∆ t) − S ( t) mely relatív megváltozása a hozam vagy lineáris hozam:
r ( t, ∆ t) =
S ( t+∆ t)−S ( t) S ( t)
exponenciális trend
−−−−−−−−−−−−−→ pl. kamatos kamat
ahol r ( t, ∆ t)log az úgynevezett logaritmikus hozam.
15
r ( t, ∆ t)log = log S (St+( t∆) t) ≡ log r
2
Portfólió választás a Markowitz-féle modellben
A Markowitz-féle modell feltevései A Markowitz-féle modell az üzleti világra a következ˝o egyszerusít˝ ˝ o feltevéseket teszi: • A befektet˝ok árelfogadóak: A piac szerepl˝oi nem befolyásolják a piacot az üzleteikkel (a forgalomban lév˝o részvényekhez képest kis tételben való kereskedés esetén jó közelítés, azonban a portfólió nyereségének realizációja tömeges eladáshoz vezet) • Értékpapírok tetsz˝olegesen oszthatóak: nagy portfólióra jó közelítés • Nincsenek tranzakciós költségek: sem id˝oben sem pénzben • Az árfolyamok stacionárius és normális eloszlásúak: azaz elegend˝o az átlagukat és szórásukat megadnunk, a centrális határeloszlás tétele miatt kb. jó közelítés • A befektetések kockázatát a hozamuk szórásával mérjük: azaz a kockázat a befektetési periódus végén realizált hozam bizonytalansága. Azonban a kockázatát definiálása közel sem egyértelmu, ˝ ezt példázóan néhány fontos szempont amit figyelembe kell vennünk a kockázat definiálása során: – Diverzifikációs elv: olyan kockázati mérték kell, mely több részvényre való szétosztott befektetésre kisebb – Robosztusság: Kis zavarral szembeni ellenállás – Összehasonlíthatósag: Valahogy össze kell tudnunk hasonlítani a különböz˝o formájú befektetéseket – Szokás megkülönböztetni a kockázatokat forrásaik szerint: (a) piaci kockázat (árfolyam ingadozás) (b) hitelkockázat (fizetésképtelenné válás) (c) muködési ˝ kockázat (emberi hiba, csalás) • A befektet˝ok racionálisak: a vizsgált id˝otávon belül a legkisebb kockázat mellett a legnagyobb hozamot szeretnek (azonban hosszú távú befektetés során nem zavaró, ha az elején rosszul teljesít a befektetés)
Portfólió választás Legyen N darab különböz˝o fajta értékpapír a piacon, melyek árfolyamai S i ( t) : i ∈ {1, . . . , N }. Ekkor portfóliónak nevezzük a befektet˝o egyes értékpapírjaiból meglév˝o w i (adott részvény-kombináció) mennyiségek összességét. Tehát a portfólió értéke:
Y ( t) =
N P i =1
~ ( t) ~S w i S i ( t) ≡ W
melyb˝ol a portfólió megváltozásának értéke (nem váltunk csomagot), azaz a nyereségünk:
X ( t) = Y ( t + ∆ t) − Y ( t) =
N P
w i X i ( t)
i =1
ahol X i ( t) = S i ( t + ∆ t) − S i ( t). A Markowitz-modell feltevése miatt elegend˝o pusztán a portfólió átlagával és szórásával foglalkoznunk: µp
:=
N X
wi µi
i =1
σ2 p
:=
N X
σi j wi w j
i, j =1
ahol µ i = E[ x i ] részvény várhatóértéke és σ i j = E[ x i x j ] − E[ x i ]E[ x j ] kovariancia mátrix. 16
A befektet˝onk racionális, ha: • azonos (µ p1 = µ p2 ) várható hozamok közül azt részesíti el˝onyben, melynek kisebb a szórása azaz a p 1 , p 2 portfóliók közül p 1 -et válassza, ha σ p1 < σ p2 • azonos szórás esetén a nagyobb várhatóértékut ˝ választja Tehát a kedvez˝o portfólió megtalálásához a következ˝o optimalizációs feladatot kell megoldanunk: 1. min
N P
w∈R N i j =1
2.
N P i =1
3.
N P i =1
σi j wi w j
w i µ i = µ ⇒ rögzített hozam mellett keressük a minimális portfóliót w i = 1 ⇒ nem fektetünk be vagy vonunk ki részvényt a játék során
mely Lagrange multiplikátoros formalizmussal megoldható:
w∗i (µ) =
N P j =1
1 ∗ σ− [λ (µ) + η∗ (µ)µ i ] ij
ahol a (·)∗ megoldásra utal és λ∗ (µ) =
A=
N P i j =1
1 σ− ij
C −B−µ AC −B2
B=
N P i j =1
η∗ (µ) =
1 σ− µ ij j
A µ −B AC −B2
C=
N P i j =1
1 σ− µµ ij i j
a µ hozam melletti portfólió kockázata pedig: 2
σ ∗ ( µ ) :=
N P i, j =1
σ i j w∗i (µ)w∗j (µ) ≡
1 A 2 (µ − B A) + A AC −B2
Optimalizációs feladat vizualizációja: Μ
B A
Σ2
1 A
• besatírozott terület: lehetséges portfóliók (a 2. és 3. egyenletet kielégítik, de nincsen minimalizálva a kockázat) • határportfóliók: optimalizációs feladat széls˝oértékei (kékkel és lilával jelölt portfóliók) • hatékony portfóliók: optimalizációs feladat megoldásai (kékkel jelölt portfóliók)
17
3
˝ Egy adott portfólió szimmetrikus mozgása a tozsdén
Vegyük a következ˝o gazdasági modellt: legyen x = { x i : 1 ≤ i < ∞} véletlen változók halmaza, mely a következ˝o eloszlást mutatja:
P ( x i = 1) = P ( x i = −1) = 1/2
(pl. pénzérme dobás)
jelölje S 0 a játékos kezdeti t˝okéje, mely az n. lépésben S n = S 0 + x1 + x2 + . . . + xn , tehát M n = S n − S 0 a játékos nyeresége (egyetlen portfólióval foglalkozunk,hiszen kiválasztottuk a legjobbat) Feltehetjük azt a kérdést, hogy mekkora annak a valószínusége, ˝ hogy nyer A egységet, miel˝ott B-t vesztene? A kérdés megválaszolásához vezessük be a τ := min{ n ≥ 0 : M n = A vagy M n = −B}
id˝ot, lépésszámot mely egészen addig fut, míg vagy S n = A nyereség vagy M n = −B bukás bekövetkezik, így arra hajtunk tehát, hogy meghatározzuk a következ˝ot
P (S τ = A |S 0 = 0) ahol az S 0 = 0 kezdeti feltétel arra utal, hogy a kezd˝o árfolyamhoz képest viszonyítjuk a mozgást.
Elso˝ lépés analízis Elemi körökb˝ol, id˝olépésekb˝ol építjük fel a játékos pénzmozgását, úgy, hogy egy lépést ismételünk a játék végéig, addig amíg −B < S n < A feltétel még nem teljesül. Legyen ∧
f ( k ) := P ( S τ = A | S 0 = k )
−B ≤ k ≤ A
annak a feltételes valószínusége, ˝ hogy ha k t˝okénk van, akkor τ-ban nyerünk A -t. A már tanultak alapján f ( k) kifejezhet˝o a gráf szomszédos elemein vett értékével:
f ( k) = 21 f ( k − 1) + 12 f ( k + 1)
−B ≤ k ≤ A
mely egyenletetrendszert kell megoldanunk az f ( A ) = 1 és f (−B) = 0 kezdeti feltételekkel. Ehhez a kapott egyenletet vezessük vissza rekurzió segítségével, majd oldjuk meg: legyen f (−B + 1) ≡ α ekkor 1) α = f (−B + 1) =
1 2
f (−B + 1 − 1) + 12 f (−B + 1 + 1) | {z } ;
2α = f (− b + 2) 2) 2α = f (−B + 2) =
1 2
f (−B + 2 − 1) + 12 f (−B + 2 + 1) | {z } α
3α = f (−B + 3)
... j) j α = f (−B + j ) ahol az α értékét az f ( A ) = 1 kezdeti feltételb˝ol illeszthetjük: 1 = f ( A ) = ( A + B)α α=
1 A+B
Tehát a keresett feltételes valószínuség: ˝
f (0) = P (τ id˝o alatt elérüjük A-t, de még miel˝ott elérnénk B-t|S 0 = 0) ≡ f (−B + B) =
18
B A+B
Bolyongás várható ideje A várható id˝o pontosabb meghatározása el˝ott meg kell bizonyosodnunk arról hogy a folyamatunk valóban véges ideig tart. Ezt indikátor függvény (A. Appendix) segítségével beláthatjuk. Induljunk ki a következ˝o triviális algebrai állításból τd · 1(( k − 1)( A + B) < τ ≤ k( A + B)) ≤ k d ( A + B)d · 1(( k − 1)( A + B) < τ) P mivel ez az összefüggés minden k-ra teljesül, így a -ra is teljesül: k ∞ X
τd 1(( k − 1)( A + B) < τ ≤ k( A + B)) ≤
k=1
| τd
∞ X
{z
∞ P
k=1
k d ( A + B)d 1(( k − 1)( A + B) < τ)
}
1(( k − 1)( A + B) < τ ≤ k( A + B))
k=1
|
{z
}
a szumma olyan k-ra megy ahol ( k−1) N <τ≤ kN , és N=A+B τ ≤ k így k csak egy értéket vehet fel azaz k−1< N (többre nem teljesül az egyenl˝otlenség), tehát ez 1
τd ≤
∞ P
k=1
k d ( A + B)d 1(( k − 1)( A + B) < τ)
mindkét oldal várhatóértékét véve: ∞ P 〈τ d 〉 ≤ k d ( A + B)d k=1
P (( k − 1)( A + B) < τ) | {z }
annak a valószínusége, ˝ hogy (k-1)(A+B) lépésb˝ol egyszer sem nyert, azaz ezt úgy becsülhetjük, hogy (A+B) lépésb˝ol egyszer sem nyertünk (k-1)-szer:1-p ahol p=2−( A +B) annak a valószínusége, ˝ hogy pont A-t nyerünk egyféleképpen
mivel a jobb oldal korlátos, így a bal oldal is. Elso˝ lépés analízis Jelölje
g( k) = 〈τ|S 0 = k〉 annak a bolyongásnak a várható idejét amit az S 0 = k-ból indítunk. Ez is kifejezhet˝o a szomszédos gráfpontokbeli értékeivel
g( k) = 21 g( k − 1) + 21 g( k + 1) + 1 ez esetben a két kezdeti feltétel g(−B) = 0 = g( A ) (mindkét esetben nulla a bolyongási id˝o, hisz vagy a nyerés vagy a vesztés miatt kiszálltunk). Vegyük észre, hogy az el˝oz˝o egyenlet átírható egy Laplace egyenletté: 1 2 2 4 g( k − 1) = 1
−B < k < A
ahol 4 g( k − 1) 2
4 g( k − 1)
=
g( k) − g( k − 1)
=
g( k + 1) − 2 g( k) + g( k − 1)
melynek megoldása:
g( k) = −( k − A )( k + B) így 〈τ|S 0 〉 = g( k = 0) = A · B
19
4
˝ Egy adott portfólió aszimmetrikus mozgása a tozsdén
Legyen P ( x i = 1) = p és P ( x i = −1) = 1 − p = q ahol ( p + q = 1). Ekkor egy lépés után:
f ( k) = p f ( k + 1) + q f ( k − 1) melyet a következ˝o differenciálegyenletbe írhatunk át: 0 = p{ f ( k + 1) − f ( k)} − q{ f ( k) − f ( k − 1)}
q 4 f ( k) = ( ) · 4 f ( k − 1) p melyb˝ol: q
1) 4 f ( k + 1) = ( p )4 f ( k) q
q
2) 4 f ( k + 2) = ( p )4 f ( k + 1) = ( p )2 4 f ( k)
... q
j) 4 f ( k + j ) = ( p ) j 4 f ( k) ezt az el˝oz˝o egyenlettel analóg módon rekurzívan megoldatjuk, legyen megint α = 4 f (−B) = f (−B + 1) − f (−B) = f (−B + 1) | {z } ;
és használjuk fel az − − k+P B−1 f ( k) = 4 f ( j − B) = − j =0 − −
← f ( k)
kioltják egymást
←;
azonosságot így:
f ( k) =
k+P B−1 j =0
4 f ( j − B) =
k+P B−1 ³ j =0
´ k+P B−1 ³ ´ j q j q p 4 f (−B) = α p j =0
³ ´ k +B
=α
q p
melyben szerepl˝o α-t az f ( A ) = 1 kezdeti feltétel rögzíti ³ ´ A +B
1=α
q p
−1
q p −1
f ( k = 0) adja megint a kereset valószínuséget: ˝ f (0) = P (S n = A |S 0 = 0) =
q p −1 q A +B ( p) −1
20
q
·
( p )B − 1 q p
−1
q
=
( p )B − 1 q
−1
q p −1
( p ) A +B − 1
Bolyongás várható ideje Megint be kéne látnunk, hogy τ véges, de ezt most nem tesszük meg, hanem rögtön megoldjuk az els˝o lépés analízis egyenleteit
g( k) = p g( k + 1) + q g( k − 1) + 1 mely a következ˝o inhomogén lineáris differenciálegyenletre vezet µ ¶ 1 q · 4 g( k − 1) − 4 g( k) = p p a probléma g(−B) = 0 = g( A ) kezdeti feltételekkel rendelkezik. • homogén rész megoldása
q q 4 g( k) = ( )4 g( k − 1) = ( )[ g( k) − g( k − 1)] p p
a megoldás alakja: µ ¶k q g( k) = α + β p
melyet vissza írva azt kapjuk:
g( k + 1) − g( k)
= =
"µ ¶ µ ¶k # µ ¶k # µ ¶k+1 " q q q q k+1 − α+β =β − = p p p p µ ¶ "µ ¶k µ ¶k−1 # q q q ·β − p p p α+β
• inhomogén egyenlet megoldása, az állandók variálása helyett c · k alakban keressük a megoldást: q
c · ( k + 1) − c · k = p ( ck − c( k − 1)) −
1 p
c=
1 q− p
a kett˝o összegéb˝ol (lineáris kombinációjából) el˝oáll a megoldás:
g( k) =
k q− p
q
+ α + β( p )k
a kezdeti feltételek rögzítik az α, β konstansok értékét: q
B −B • g ( k = −B ) = − q − =0⇒α= p + α + β( p )
• g( k = A ) = ⇒
A +B q− p
A q− p q
B q− p
q
− β( p )−B
q
q
A + α + β( p ) A = 0 ⇒ α = − q− p − β( p ) q
= β(( p )−B − ( p ) A )
ebb˝ol a bolyongás várhatóértéke:
g( k = 0) = ; + α + β =
B q− p
−
q −B A +B 1 B − 1) = q− q− p ( ( q )−B −( q ) A )(( p ) p p
p
21
q
−
A +B q− p
1−( )B
· 1−( q p) A+B p
határeset: ez p = 21 + ε és q = 12 − ε-ban visszaadja az el˝oz˝o eredményt
g( k = 0) =
(1 + x)n ' 1 + nx + 12 n( n − 1) x2
B ε
−
1−(1+ε)B (1−ε)−B ) A +B [ 1−(1 ]= ε +ε) A +B (1−ε)−( A +B)
(1 − x)n ' 1 − nx + 1 n( n − 1) x2 2 ⇒ (1 + ε)B (1 − ε)B ∼ = [1 + Bε + 12 B(B − 1)ε2 ] x[1 + Bε + 12 B(B + 1)ε2 ] ' 1 − n 2 (1 + x) ' 1 − nx + 2 n( n + 1) x
(1 − x)−n ' 1 + nx + 12 n( n + 1) x2
1 + 2Bε + 2B2 ε2 Bε − B ε
2
− ε+B( A++BBε)ε2 =
B ε
− ε(1B+(1( A++BBε))ε) =
A +B ε B ε
2 2
1 2Bε+2B ε ·− −1 · 2( A +B)ε+2( A +B)2 ε2 =
− Bε [1 − 1+( AA+ε B)ε ] = AB · 1+( A1+B)ε ' AB
(torzítatlan érmés eredmény) Vegyük észre, ha a kocka kicsit cinkelt(p=0.49), annak a valószínusége, ˝ hogy hamarabb nyerünk 100$-t mint hogy 200$-t veszítünk: q
f (0) =
( p )200 −1 q ( p )300 −1
' 0.018 ' 2%
szemben a tiszta esettel:
f (0) =
B A +B
=
22
2 3
' 66.6%
5
Konklúzió
Tehát egy példafolyamat a következ˝oképpen néz ki SH tL 60
40
20
500
1000
1500
t 2500
2000
-20
-40
-60
p = 0.5, A = 50$ és B = 50$ paraméterek mellett. Nyújtsuk el a folyamatot, azaz legyen A = B = 100$, ekkor a nyerési/vesztési valószínuségek ˝ közti különbség jobban kiélez˝odik, ezt szemlélteti a következ˝o táblázat p τ f(0)
50% 10 000 50%
49.5% 7 616 11, 9%
49% 4 820 1.79%
48% 2 498 0.03%
47% 1667 6 · 10−4 %
/Tehát mindent az els˝o körben felrakni nem egy rossz statisztikájú játék (a többihez képest)/ és két nyerési plot mely az egy körben való p nyerési valószínuség ˝ függvényében pásztázza végig a teljes nyerési valószínuségeket: ˝ f H AL 1.0
f H AL 1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
p 0.47
0.48
0.49
0.50
0.51
0.52
0.53
(a) A = 50 és B = 25
p 0.47
0.48
0.49
0.50
0.51
(b) A = 100 és B = 50
23
0.52
0.53
Sinkovicz Peter
Diffúziós folyamatok 1
Diffúziós folyamatok leírása
Legyen P ( x, t| x0 ) homogén Markov folyamat (pl.: x( t) a nyereségünk az id˝o során), melyet akkor nevezünk diffúziósnak, ha a növekménymomentumok a következ˝o képpen viselkednek: Z
0 v( x )∆ t + ϑ(∆ t) 0 n 0 2 0 σ ( x )∆ t + ϑ(∆ t) ( x − x ) P ( x, ∆ t| x ) dx = ϑ(∆ t)
ha n = 1 ha n = 2 ha n ≥ 3
azaz a várhatóérték v( x0 ) driftsebességgel eltolódik (driftel˝odik) és az éles eloszlás σ diffóziósállandóval kiszélesedik: xH tL
x
x¢ Dt + t
t
〈 x − x0 〉
=
σ( x 0 , ∆ t )
=
t
v( x0 )∆ t p σ( x 0 ) ∆ t
Mivel csak az els˝o és a második momentum különbözik nullától így az eloszlásunk leírható egy
P ( x, ∆ t| x0 ) ∼ e
0 −v( x0 )∆ t)2 2σ2 ( x0 )∆ t
− ( x− x
Gauss függvénnyel.
Fokker-Planck egyenlet Véve a Chapmann-Kolmogorov egyenletet diffúziós folyamatokra vett határesetét kaphatunk egy drift egyenletet, amit minden diffúziós folyamatnak ki kell elégítenie. Fokker-Planck egyenlet levezetése során a Z Z £ ¤ 0 dx f ( x)P ( x, t + ∆ t| x ) ' dx f ( x) P ( x, t| x0 ) + ∂ t P ( x, t| x0 )∆ t várhatóértéket fogjuk több lépésben átalakítani. Els˝o lépésben használjuk fel a Z Z P ( x, t + ∆ t| x0 ) = dx"P ( x, t + ∆ t| x", t)P ( x", t| x0 ) |{z} = dx"P ( x, ∆ t| x")P ( x", t| x0 ) homogén
25
Chapmann-Kolmogorov egyenletet és hogy a bevezett f ( x) függvény sorbafejthet˝o minden x˜ pont körül:
f ( x) ' f ( x˜ ) + f 0 ( x˜ )( x − x˜ ) + így Z dx f ( x)P ( x, t + ∆ t| x0 )
· ¸ 1 dxdx" f ( x") + f 0 ( x")( x − x") + f "( x")( x − x")2 × 2 Z Z P ( x, ∆ t| x")P ( x", t| x0 ) = dx"P ( x", t| x0 ) f ( x ") dxP ( x, ∆ t| x") + {z } | =1
Z =
×
+
dxdx" f ( x)P ( x, ∆ t| x")P ( x", t| x0 ) '
0
Z
f ( x") | Z
=
1 f "( x˜ )( x − x˜ )2 , 2
Z
1 dx( x − x")P ( x, ∆ t| x") + f "( x") 2 {z } | v( x")∆ t
Z
dx( x − x")2 P ( x, ∆ t| x") = {z } =σ2 ( x")∆ t
1 dxP ( x, t| x ) f ( x) + f ( x)v( x)∆ t + f "( x)σ( x)∆ t 2 0
·
0
¸
Parciális integrálással tisztítsuk meg az f ( x) függvényeket a deriválástól Z Z £ ¤ ¡ ¢ 0 0 0 +∞ • dx f ( x)v( x)∆ tP ( x, t| x ) = f ( x)v( x)∆ tP ( x, t| x ) −∞ − dx f ( x)∂ x v( x)P ( x, t| x0 ) ∆ t = Z ¡ ¢ = ∆ t dx f ( x)∂ x v( x)P ( x, t| x0 ) µ 2 ¶ Z Z σ ( x) 1 P ( x, t| x0 ) • dx f "( x) σ2 ( x)∆ tP ( x, t| x0 ) = · · · = ∆ t dx f ( x)∂2x 2 2 az integrálás során természetes határfeltételeket alkalmaztunk, azaz lim P ( x, t| x0 ) = 0. x→±∞
A két oldal közti egyenl˝oség minden f ( x)-re fennál, így az integrandusoknak meg kell egyezniük, mely a Fokker-Planck egyenletet adja: ¡ ¢ 1 ¡ ¢ ∂ t P ( x, t| x0 ) = −∂ x v( x)P ( x, t| x0 ) + ∂2x σ2 ( x)P ( x, t| x0 ) . 2 R (Mivel p 1 ( x, t) = dx0 P ( x, t| x0 ) p 1 ( x10 , 0), így ezt az egyenlet p 1 is kielégíti.) A Fokker-Planck egyenlet nem más mint egy kontinuitás egyenlet P ( x, t| x0 )-re, ahol v( x0 ) az áramlási sebesség és σ( x0 ) a valószínuség ˝ szétfolyásának mértéke
26
2
Speciális diffúziós folyamatok
A diffúziós folyamatokat a v( x) driftsebesség és σ diffúziós állandó függvényében osztályozhatjuk: • Wiener folyamat, ha v( x) = 0 és σ2 ( x) = σ2 = 2D • Lináris (vagy Ornstein-Uhlenbeck) folyamat, ha v( x) = −γ x és σ2 ( x) = σ2 = 2D • Langevin folyamat, ha v( x) "tetsz˝oleges" és σ2 ( x) = σ2 = 2D (rendelhet˝o hozzájuk Langevin egyenlet) • Általános diffúziós folyamat ha v( x) és σ2 ( x) is "tetsz˝oleges"
Wiener folyamat Az olyan diffúziós folyamatokat, ahol v( x) = 0 és σ2 ( x) = 2D Wiener folyamatoknak nevezzük. Ekkor a FokkerPlanck egyenlet a ∂ t P ( x, t| x0 ) = D ∂2x P ( x, t| x0 ) alakot ölti. Wiener folyamat átmeneti valószínusége ˝ A Wiener folyamathoz tartozó diffúziós egyenletet a φ( z, t) := 〈 e zx 〉 =
Z
dxe zx P ( x, t| x0 )
generátor függvény (azaz a deriváltjai megadják a momentumokat) φ( z, t) = 〈 e zx 〉 =
∞ zn X 〈xn 〉 n=0 n!
→
¯ ∂nz φ( z, t)¯ z=0 = 〈 x n 〉
segítségével oldhatjuk meg. Ha a Fokker-Planck egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk e zx -szel, majd x-re kiintegrálunk akkor a generátor függvényre a következ˝o összefüggést kapjuk: Z 2 ∂ t φ( z, t) = D z dxe zx P ( x, t| x0 ) = D z2 φ( z, t) Tehát a generátor függvény bevezetésével sikerült egy szétválasztható differenciál egyenleté alakítani az egyenletünket, melyet már megoldhatunk: ¶ µ 2 φ( z, t) ln = D z2 t → φ( z, t) = φ( z, 0) e D z t φ( z, 0) melyb˝ol a φ( z, 0) konstans értékét beállítja a kezdeti feltétel. Legyen kezdetben egy lokalizált állapotunk, ekkor Z 0 0 0 P ( x, 0| x ) = δ( x − x ) → φ( z, t = 0) = dxe zx P ( x, 0| x0 ) = e zx . Nézzük meg, hogy a kapott generátor függvény milyen eloszlást generál (hátha megállapíthatjuk ebb˝ol a keresett eloszlást): • Várhatóérték
¯ ¯ 0 2 ¯ ∂ z φ( z, t)¯ z=0 = ∂ z e zx +D z t ¯
z=0
¯ ¡ ¢ 0 2 ¯ = x0 + D · 2 z · t e zx +D z t ¯
melyb˝ol a növekmény várhatóértéke: 〈 x − x0 〉 = v( x)∆ t = 0
27
z=0
= x0
• Szórás ¯ ∂2z φ( z, t)¯ z=0 = · · · = x02 + 2Dt
melyb˝ol a szórás: σ 2 = 〈 x 2 〉 − 〈 x 〉2 = 2 D · t
• Magasabb momentumok eltunnek, ˝ így a teljes megoldás Gauss lesz ¯ 〈( x − 〈 x 〉) n 〉 = 0 n≥3: ∂nz φ( z, t)¯ z=0 = · · · = 0 → Tehát a keresett egyenlet megoldása: ( x− x0 )2 ( x− x0 )2 1 e− 2·2D ·t ∼ e− 4Dt P ( x, t| x0 ) = p 2π · 2D · t
mely t → ∞-re P ( x, t| x0 ) = δ( x − x0 ) (hiszen nincsen driftel˝odés).
Ornstein-Uhlenbeck folyamat Az olyan diffúziós folyamatokat nevezzük Ornstein-Uhlenbeck folyamatnak amelyekben v( x) = −γ x és σ2 = 2D . Ekkor a Fokker-Planck egyenlet µ ¶ ¡ ¢ 2D p 1 ( x, t) = γ∂ x ( xp 1 ( x, t)) + D ∂2x p 1 ( x, t) ∂ t p 1 ( x, t) = −∂ x −γ xp 1 ( x, t) + ∂2x 2 alakot ölti. Ornstein-Uhlenbeck folyamat stacionárius eloszlása Az pstac ( x) egyensúlyi eloszlás az id˝oben nem fejl˝odik, így a diffúziós egyenlet a következ˝oképpen módosul ¡ ¢ 0 = ∂ x γ xpstac ( x) + D ∂ x pstac ( x)
C
=
γ xpstac ( x) + D ∂ x pstac ( x)
ahhoz, hogy pstac ( x) normált lehessen a C = 0 feltételt ki kell rónunk, így
ahol a pstac (0) értékét a
R
∂ x pstac ( x)
=
pstac ( x)
=
γx − pstac ( x) D r γ − γ x2 e 2D 2π D
dxpstac ( x) = 1 normálási feltétel adta meg.
Ornstein-Uhlenbeck folyamat átmeneti valószínusége ˝ A Fokker-Planck egyenlet az átmeneti valószínuségekre ˝ is fennáll. A Wiener folyamathoz hasonlóan most is a Z G ( z, t) := 〈 e zx 〉 = dxe zx P ( x, t| x0 ) generátor függvény segítségével egyszerusíthet˝ ˝ oa ¡ ¢ ∂ t P ( x, t| x0 ) = γ∂ x xP ( x, t| x0 ) + D ∂2x P ( x, t| x0 ) R Fokker-Planck egyenlet, ha mindkét oldalt megszorozzuk e zx -szel, majd kiintegráljuk dx szerint és Z Z Z £ ¤ £ ¤∞ £ ¤ γ dx∂ x xP ( x, t| x0 ) e zx = γ xP ( x, t| x0 ) e zx −∞ − γ dx xP ( x, t| x0 ) ∂ x e zx = 0 − γ z dxxP ( x, t| x0 ) e zx ·Z ¸ = −γ z ∂ z dxP ( x, t| x0 ) e zx = −γ zG ( z, t)
28
parciális integrálással leválasszuk az átmeneti valószínuségekr˝ ˝ ol a deriválást: Z Z Z ¡ ¢ dx∂ t P ( x, t| x0 ) e zx = dxγ∂ x xP ( x, t| x0 ) e zx + dxD ∂2x P ( x, t| x0 ) e zx ∂ t G ( z, t)
=
−γ z∂ z G ( z, t) + D z2 G ( z, t)
∂ t G ( z, t) + γ z∂ z G ( z, t)
=
D z2 G ( z, t)
mely megoldását keressük egy x0 -b˝ol indított lokalizált állapotból, ami a generátor függvényre a Z Z 0 G ( z, 0) = dxe zx P ( x, t = 0| x0 ) = dxe zx δ( x − x0 ) = e zx kezdeti feltételt adja. A generátor függvényre kapott differenciálegyenletet a karakterisztikák módszerével oldjuk meg, azaz a ( z, t) megoldási síkról áttérünk egy s → (ξ( s), τ( s)) egyparaméteres síkra, ekkor G ( s) = G (ξ( s), τ( s)), melynek a teljes megváltozása: dG ( s) d ξ( s ) d τ( s ) = ∂ξ G · + ∂τ G · . ds ds ds Válasszuk meg a karakterisztikus görbét úgy
dξ = γξ ds
ξ = Ceγs →
dτ =1 ds
τ=s→
és
hogy ezen paraméterezés segítségével a differenciálegyenletünk már megoldható legyen. Ekkor a parciális differenciál egyenletünk a következ˝o egyszeru˝ alakot ölti:
dG ( s) ds dG ( s) G ( s)
∂ξ G ·
=
ξ2 Dds
=
D
s
Z
ln G ( s) − ln G (0)
G ( s)
d ξ( s ) d τ( s ) + ∂τ G · = ∂ξ G · γξ + ∂τ G · 1 ≡ D ξ2 G ( s) ds ds
=
=
0
ds0 ξ2 ( s0 ) = D
G (0) e
D 2 2γ C
s
Z 0
0
ds0 C 2 e2γs = DC 2
e2γs − 1 2γ
( e2γs −1) ≡ G (ξ( s), τ( s))
melyet a ξ( s) = z és τ( s) = t helyen kell kiértékelni, azaz τ = s = t és ξ = Ceγs = z
G ( z, t)
=
G (ξ(0), τ(0)) | ¯ {z }
0¯ G (C,0)= e cx ¯
=
s= t és C = ze−γ s
D
e 2γ = e zx
z2 e−2γ t ( e2γ t −1)
0 e−γ t
· ¸ ¢ D ¡ exp zx0 e−γ t + z2 1 − e−2γ t 2γ
melyb˝ol leolvashatójuk (ugyanúgy generálja mint a Wiener folyamatnál) az eloszlás momentumait • Várhatóérték
〈 x〉 = x0 e−γ t
• Szórás σ 2 ( t ) = 〈 x 2 〉 − 〈 x 〉2 =
¢ D¡ 1 − e−2γ t γ
• Magasabb momentumok eltunnek, ˝ így a teljes megoldás is Gauss lesz
29
Tehát a megoldása az átmeneti valószínuségre ˝ a következ˝o 0
1
e P ( x, t| x ) = p 2πσ2 ( t)
2
−
(〈x2 〉−〈x〉2 ) 2σ 2 ( t )
ami egy ergodikus folyamatot definiál, hiszen t → ∞-re a stacionárius eloszlásba fut: lim P ( x, t| x0 ) = pstac ( x) = p
t→∞
30
1 2πD /γ
γ
e − 2D x
2
3
Langevin egyenlet
Egy mozgás, ami differenciálegyenlettel van megadva mindaddig determinisztikus (még ha kaotikus is), amíg valahogy nem csatolunk rá egy véletlen változót. Az ily módon származtatott differenciálegyenleteket sztochasztikus differenciálegyenleteknek nevezzük. A továbbiakban a folyamatok véletlen változását egy ξ t ( x) Gauss típusú fehér zajjal adjuk meg: 〈ξ t ( x)〉 = 0
és
〈ξ t ( x)ξ t0 ( x0 )〉 = σ2 ( x, x0 )δ( t − t0 )
Véletlen zaj, hiszen a különböz˝o id˝oben lév˝o folyamatok nem korreláltak. A zaj Gauss típusa arra utal, hogy csak az els˝o két momentumát kell megadnunk a jellemzésére, hiszen a magasabb momentumok eltunnek. ˝ Továbbá attól fehér zaj, hogy a momentumok Fourier térben konstansak, azaz valós térben delta disztribúciót tartalmaznak (így mint egy általánosított sztochasztikus folyamatként is kezelhetjük o˝ ket, hiszen a delta következtében éles változások jelennek meg).
Langevin egyenlet és a Fokker-Planck egyenlet Legyen ξ t egy Gauss típusú fehér zaj, melynek szórása x független, ekkor ∂ t x t = v( x t ) + ξ t
egyenletet Langevin egyenletnek nevezzük. Melyben ha nem szerepelne a ξ t véletlen zaj, akkor egy determinisztikus differenciálegyenletet kapnánk. A Langevin egyenlet egy infinitezimális id˝ointervallumra vett lépés alatt a következ˝o megváltozását eredményezi az x t változónknak: [ x t ] tt+dt = v( x t ) dt +
tZ+ dt
dtξ t := v( x t ) dt + [Wt ] tt+dt dx t = v( x t ) dt + dWt
t
ahol a jobb oldal els˝o tagját elegend˝o volt csak az intervallum méretével megszorozni, hiszen szemben a második taggal o˝ "szépen viselkedik" (nincs ugrása). Mivel a t + dt állapot csak t-t˝ol függ, így ez egy Markov folyamat, továbbá a momentumok meghatározásával belétható, hogy diffúziós folyamat is: • Növekmény (pl. nyereség) várhatóértéke tZ+ dt
dt 〈ξ t 〉) = v( x t ) dt |{z}
〈 dx t 〉 = 〈v( x t ) dt + dWt 〉 = v( x t ) dt + t
=0
• Növekmény szórása 〈 dx2t 〉 = 〈(v( x t ) dt + dWt )2 〉 = 〈(v( x t ) dt)2 〉 +2 · {z } | ϑ( dt2 )
〈v( x t ) dt · dWt 〉 | {z }
+ 〈 dWt2 〉 =
=0 nem korrelálnak
tZ+ dt
d t˜
t
tZ+ dt t
d t˜0 〈ξ t˜ ξ t˜0 〉 = σ2 dt | {z } σ2 δ( t˜− t˜0 )
• Növekmény magasabb momentumai 〈 dx tn 〉 = 0
ha n ≥ 3
Tehát az említett Langevin egyenlettel megadott folyamathoz a ∂ t p 1 ( x, t) = −∂ x (v( x) p 1 ( x, t)) +
σ2
2
∂2x p 1 ( x, t)
Fokker-Planck egyenlet tartozik. Ha a szórás x függ˝o lenne, azaz σ → σ( x) akkor elromlik az integrál, hiszen a zaj éles ugrásokat tartalmaz (emiatt nem folytonosan differenciálható), ekkor az integrált valahogy értelmeznünk kell (pl.: Itó integrál). 31
Langevin egyenlet általánosítása több változós esetre Legyen x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) véges sok sztochasztikus változó, melyekre a ∂ t x i = v i ( x) + ξ i
Langevin egyenletek teljesülnek, ahol 〈ξ i 〉 = 0
és
〈ξ i ( t)ξ j ( t0 )〉 = 2D i, j δ( t − t0 )
Gauss típusú fehér zajok (D i, j pozitív definit mátrix, mert diagonális rendszerben a f˝oátló elemei a 〈ξ˜2i 〉-et adják). Melyhez az n n n X X ¡ ¢ X ∂2 P ( x, t| x0 ) := − ∂ x i Ji ∂ t P ( x, t| x0 ) = − ∂ x i v i ( x)P ( x, t| x0 ) + D i, j ∂xi ∂x j i, j i i általánosított Fokker-Planck egyenlet tartozik, ahol Ji az x i valószínuségi ˝ árama.
32
4
Diffúziós folyamat konstrukciója adott stacionárius eloszláshoz
Már láttuk, hogy egy Langevin egyenletet és egy Fokker-Plack egyenletet a zajkorrelációk jó megválasztásával összekapcsolhatunk. Most az fogom megmutatni, hogy ha ismerjük a stacionárius eloszlását a rendszernek, akkor ahhoz gyárthatunk egy Langevin egyenletet.
Egyváltozós eset Idézzük fel a ∂ t p 1 ( x, t) = −∂ x (v( x) p 1 ( x, t) − D ∂ x p 1 ( x, t))
ahol D =
σ2
2 Fokker-Planck egyenletet. Stacionárius esetben p 1 ( x, t) = pstac ( x) id˝ofüggetlen, így
v( x) pstac ( x) − D ∂ x pstac ( x) = konst. azonban lim pstac ( x) = 0 = lim ∂ x pstac ( x), így konst. = 0, tehát x→±∞
x→±∞
∂ x pstac ( x) =
1 v( x) pstac ( x) D
mely egyensúlyi differenciálegyenlet megoldható (szétválasztható): 1
pstac ( x) = Ce D
R
dx( x)
:= Ce−Φ( x)
ahol Φ( x) az eloszlás potenciálja. Az egyensúlyi eloszlás ezen alakját vissza írva a differenciálegyenletbe Φ( x) és v( x) kapcsolatára a −∂ x Φ( x)
=
v( x)
=
1 v( x) D − D ∂ x Φ( x )
összefüggés adódik, melyb˝ol az ekvivalens Langevin egyenlet ∂ t x t = − D ∂ x Φ( x ) + ξ t
ahol 〈ξ t 〉 = 0 és 〈ξ t ξ t0 〉 = 2D δ( t − t0 ). Például: Ornstein-Uhlenbeck folyamat Ekkor v( x) = −γ x és σ2 = 2D és −γ x = −D ∂ x Φ( x)
mivel a végtelenben le kell, hogy csengjen a potenciál, így a Φ( x) =
γ 2 2D x
(v.ö. a korábbi számolással).
Többváltozós eset Többváltozós esetben a Flokker-Planck egyenlet à ! n X X ∂ t p n ( x, t) = − ∂ x i v i ( x) p n ( x, t) − D i, j ∂ x j p n ( x, t) i
j −Φ( x)
stac
mely stacionárius eloszlását keressük p ( x) = Ce alakban, ekkor "Ã ! # X X −Φ( x) := div( J stac ( x)) 0 = ∂ x i v i ( x) + D i, j ∂ x j Φ e i
j
azaz azt kaptuk, hogy a J stac ( x) divergenciája nulla, azonban abból, hogy egy vektor divergenciája nulla nem következik hogy a vektor egy konstans vektor, így nincs egyértelmu˝ kapcsolat a Φ( x), v( x) és D i, j mennyiségek között. 33
Két lehetséges megoldása van az el˝oz˝o egyenletnek: • A J stac ( x) valószínuségi ˝ áram konstans (nulla) vektor stacionárius állapotban: X 0 = v i ( x) + D i, j ∂ x j Φ( x) j
• A J stac ( x) valószínuségi ˝ áram antiszimmetrikus: X X v i ( x) + D i, j ∂ x j Φ( x) := − Q i, j ∂ x j Φ( x) j
j
ahol Q i, j = Q j,i antiszimmetrikus mátrix és D i, j a definíciójából fakadóan szimmetrikus. Ha felP használjuk a ∂ t Φ = ∂ i Φ · ∂ t x i egyenletet és beírjuk a ∂ t x i alakját a Fokker-Planck egyenletb˝ol akkor láthatjuk, hogy a Q i, j egy "konzervatív" mozgást ír le, azaz nem változtatja meg a potenciált (∂ t Φ = 0), míg a D i, j pedig egy disszipatív mozgást ad (∂ t Φ < 0).
34
Diszkrét ideju˝ Master egyenlet egész változókra 1
Master egyenlet származtatása
Infinitezimális ido˝ alatti átmeneti valószínuség ˝ Tekintsünk egy olyan Markov folyamatot, ahol az állapottér diszkrét (gráffal megadható), azaz
p 1 ( i, t)
i, j ∈ Z .
és P ( i, t| j )
Fejtsük sorba az átmeneti valószínuséget ˝ ∆ t szerint
p ji = P ( i, ∆ t| j ) = P ( i, 0| j ) +
∂P ( i, ∆ t| j ) ∂∆ t
· ∆ t + ϑ(∆ t) := δ i, j + w j,i ∆ t
ahol w j,i az id˝oegység alatt átmenés valószínusége: ˝ • ha i 6= j akkor P ( i, ∆ t| j ) = w j,i ∆ t, mivel ∆ t és P ( i, ∆ t| j ) is nagyobb vagy egyenl˝o nullánál, így w j,i ≥ 0 • ha i = j , akkor P ( i, ∆ t| i ) = 1 + w i,i ∆ t, mivel 1 ≥ P ( i, ∆ t| i ) ≥ 0, így w i,i ≤ 0 azonban a w j,i -k nem függetlenek, hiszen
P ( i, ∆ t| j )
=
δ i, j + w j,i ∆ t
1
=
1+
w j,i
=
0
w i,i
=
−
/
X i
X
w j,i ∆ t
i
X i
X
w j,i
i 6= j
Master egyenlet származtatása Végezzük el az el˝oz˝o sorfejtést a diszkrét folyamatok X P ( i, t + ∆ t| j ) = P ( i, ∆ t| j 0 )P ( j 0 , ∆ t| j ) j0
Chapmann-Kolmogorov egyenletén:
P ( i, t + ∆ t| j )
'
X¡ X ¢ δ j, j0 + w j0 ,i ∆ t P ( j 0 , t| j ) = P ( i, t| j ) + ∆ t w j0 ,i P ( j 0 , t| j ) j0
j0
így ∂ t P ( i, t| j )
' =
X P ( i, t + ∆ t| j ) − P ( i, t| j ) X = w j0 ,i P ( j 0 , t| j ) = w j0 ,i P ( j 0 , t| j ) + w i,i P ( i, t| j ) = ∆t j0 j 0 6= i X¡ ¢ X¡ ¢ w j0 ,i P ( j 0 , t| j ) − w i, j0 P ( i, t| j ) = w j0 ,i P ( j 0 , t| j ) − w i, j0 P ( i, t| j ) j 0 6= i
j0
melyet átírhatunk az egy esemény valószínuségekre ˝ is, ha p 1 ( i, 0)-lal rászorzunk és kiszummázunk j -re, akkor X¡ ¢ ∂ t p 1 ( i, t) = w j0 ,i p 1 ( j 0 , t) − w i, j0 p 1 ( i, t) j0
a kapott egyenletet szemléletesen azt jelenti, hogy a valószínuség ˝ megváltozása az a befolyt, illetve a kifolyt valószínuségekb˝ ˝ ol ered.
35
2
Részletes egyensúly
Stacionárius esetben ∂ t pstac. ( i ) = 0, így X¡
¢ w j0 ,i pstac. ( j 0 ) − w i, j0 pstac. ( i ) = 0
j0
részletes egyensúly esetén az egyenl˝oség minden tagra fennáll, azaz
w j0 ,i pstac. ( j 0 ) − w i, j0 pstac. ( i ) w j0 ,i w i, j0
=
0
=
pstac. ( i ) pstac. ( j 0 )
∀ i, j 0 ∈ V
Belátható, hogy ha a rendszernek id˝otükrözési szimmetriája van ( p 2 ( i, t; j, 0) = p 2 ( j, t; i, 0)), akkor ez az összefüggés mindig teljesül:
p 2 ( i, t; j, 0) stac.
P ( i, t| j ) p ( j) ¡ ¢ δ i, j + w j,i pstac. ( j ) w j,i p
stac.
( j)
w j,i w i, j
=
p 2 ( j, t; i, 0)
= =
P ( j, t| i ) pstac. ( i ) ¡ ¢ δ i, j + w i, j pstac. ( i )
=
w i, j pstac. ( i )
=
pstac. ( i ) pstac. ( j )
36
3
Bolyongás végtelen láncon
Vegyünk egy páros N rácspontból álló láncot p N +1 = p 1 periodikus határfeltétellel. Az infinitezimális id˝o alatti átugrás valószínusége ˝ legyen, els˝o szomszédok között és homogén, jelöljük w-vel, ekkor a folyamatot a ∂ t p i = wp i+1 + wp i−1 − 2wp i = 2w
³p
i +1 + p i −1
2
− pi
´
Master egyenlet vezérli. Tehát a folyamat igyekszik kisimítani, egyenletesen kiosztani a rácspontokon való tartózkodás valószínuségeit, ˝ így pstac várhatóan pstac lesz. i
A bolyongás diffúzitása Nézzük meg, hogy a várható értéke és a szórása hogyan adható meg a rendszernek. A pozíció várhatóértékének megváltozásának megállapításához szorozzuk be i -vel a Master egyenletet, majd összegezzünk ki i -re, ekkor X ∂ t p i = wp i+1 + wp i−1 − 2wp i / n és i NX −1
i∂t p i
w
=
i =1
NX −1
[ i p i+1 + i p i−1 − 2 i p i ]
i =1
∂t 〈 i〉
w
=
X
[( i + 1 − 1) p i−1 + ( i + 1 − 1) p i+1 − 2 i p i ]
i
w
=
X
[( i + 1) p i + ( i − 1) p i − 2 i p i ] = 0
i
Tehát a részecske pozíciójának várhatóértéke id˝oben állandó. A pozíció szórásának megváltozásának meghatározásához az el˝oz˝ohöz hasonló módon járhatunk el: X ∂ t p i = wp i−1 + wp i+1 − 2wp i / i 2 és i
∂t 〈 i2 〉
w
=
X£
i 2 p i−1 + i 2 p i+1 − 2 i 2 p i
¤
i
felhasználva a
i2
=
( i + 1 − 1)2 = ( i + 1)2 − 2( i + 1) + 1
=
( i − 1)2 + 2( i − 1) + 1
algebrai azonosságokat, azt kapjuk: X£ 2 X ¤ ∂t 〈 i2 〉 = w i p i − 2 i p i + p i + i 2 p i + 2 i p i + p i − 2 i 2 p i = 2w p i = 2w i
i
Melyet közvetlenül integrálhatjuk, hogy megkapjuk a várhatóértéket: 〈 i 2 ( t)〉 = 〈 i 2 (0)〉 + 2wt
melyb˝ol a szórásnégyzet: σ2 ( t) = 〈 i 2 ( t)〉 − 〈 i ( t)〉2 = 〈 i 2 (0)〉 + 2wt − 〈 i (0)〉2
Tehát ha p i (0) = δ i,0 éles kezdeti eloszlásból indítjuk a bolyongást, azaz 〈 i (0)〉 = 0 és 〈 i 2 (0)〉 = 0, akkor egy diffúziós folyamatot kapunk. A szemléletesség kedvéért térjünk át hely reprezentációra: x = ia, ahol a a rácsállandó, így: 〈 x〉 = 0 〈 x2 〉 = 2wa2 t → D = wa2 és
37
p i meghatározása A periodikus határfeltételek miatt áttérhetünk Fourier térbe, a következ˝o transzformációval: 1 X iq ja pj = p e pq N q
1 X − iq ja e pj pq = p N j
és
a határok illesztéséb˝ol következik, hogy Naq = 2π m ( m ∈ {1, 2, . . . , N − 1}), ezzel ekvivalens választás szimmetrikussá (kés˝obb hasznos lesz az integrálok kiszámításához) transzformáljuk a Brillouin zónát: −
π
a
π
q=
a
2π m m ∈ {− N /2, . . . , N /2} a N
Fourier térben diagonális a Master egyenlet: ∂t p q
=
³ ´ ¢ 1 X − iq ja ¡ e w p j+1 + p j−1 − 2 p j = w e iqa p q + e− iqa p q − 2 p q p N j
=
2w (cos( qa) − 1) p q := γ( q) p q
amit közvetlenül integrálhatunk
p q ( t) = p q (0) e−γ( q) t
a p q (0) konstanst a p j (0) = δ j,0 kezdeti feltételb˝ol határozhatjuk meg: 1 X − iq ja 1 p q (0) = p e δ j,0 = p N j N Elvégezve a vissza Fourier transzformálást megkaphatjuk a keresett p j valószínuséget: ˝ 1 X iq ja 1 X iq ja −2(1−cos( qa))wt p j ( t) = p e p q ( t) = e e N q N q (Analitikusan nehéz elvégezni az összegzést, így további vizsgálatokhoz sorfejtést fogunk alkalmazni.)
Végtelen határeset Vegyük az N → ∞ limeszt, ekkor az összegzést integrállá írhatjuk át Zπ/a Zπ/a 1 X Na dq dq ··· = a ... ··· = N q N 2π 2π −π/a
−π/a
Ebben a limeszben a p j ( t) valószínuség ˝ már meghatározható: Zπ/a
p j ( t)
=
a −π/a
Zπ = −π
dq iq ja −2(1−cos( qa))wt e e = |{z} 2π
Zπ
ϕ= qa −π
¢ dϕ ¡ cos( j ϕ) + i sin( j ϕ) e2wt cos ϕ e−2wt 2π
dϕ cos( j ϕ) e2wt cos ϕ e−2wt = e−2wt I j (2wt) 2π
ahol
Zπ
I j (2wt) = −π
dϕ cos( j ϕ) e2wt cos ϕ 2π
a j. módosított Bessel függvény. 38
A kapott eredménynek vizsgáljuk meg a hosszú ideju˝ viselkedését. Mivel a 1/γ( q) a q hullámszámhoz tartozó Fourier komponens relaxációs ideje, így t > t 0 esetén csak a γ( q) < 1/ t 0 komponenseket kell vizsgálnunk. Továbbá a γ( q) = 2(1 − cos( qa)) függvény szigorúan monoton növekszik a (0, π/a) intervallumon és ¶ µ ( qa)2 w = ( qa)2 w γ( q) ' 2 1 − 1 + 2
négyzetesen indul, így
a p j ( t) ' 2π
Zq0
dqe
iq ja −( qa)2 wt
e
− q0
a ' 2π
Z∞
dq (cos( q ja) + 0) e−( qa)
2 wt
−∞
ahol az integrálási határokat azért terjeszthettük ki, mert gyorsan levág az integrandus. Felhasználva a Z∞
2
dx cos( bx) e−ax =
−∞
π
a
b2
e − 4a
azonosságot elvégezhetjük az integrálást
a p j ( t) = 2π
r
π
wa2 t
e
−
( ja)2 4wa2 t
( ja)2 a − =p e 4wa2 t 4πwa2 t
Tehát egy Gauss eloszlást kaptunk (nem olyan meglep˝o, hiszen diffúziós folyamat volt), (4πwt) maximális p értékkel és 2wa2 t = 2σ szórással. A kapott Gauss eloszlás egy Wiener folyamathoz tartozik (ez se olyan meglep˝o hiszen a várhatóérték id˝oben változatlan): ¯ 2 p n ( t) ¯¯ 1 − x P ( x, t|0) = e 4wa2 t =p ¯ a x=na 4πwa2 t ahol D = wa2 és γ( x) = 0.
Kontinuum limesz Kontinuum limeszben
¯ p j ( t) ¯ ¯ p( x, t) = a ¯
x= ja
melyhez tartozó Master egyenlet ∂ t (ap( ja, t))
=
=
w [ p(( j + 1)a, t) + p(( j − 1)a, t) − 2 p( ja, t)] a =
p( ja + a, t) − p( ja, t) p( ja − a, t) − p( ja, t) wa2 − a a {z } | {z } | p0 ( ja,t)+1/2 p"( ja,t)a
∂ t p( ja, t)
=
2
wa p"( ja, t)
helyreprezentációban: ∂ t p( x, t) = wa2 ∂2x p( x, t)
melyr˝ol látszik, hogy tényleg egy Wiener folyamatot kaptunk.
39
p0 ( ja,t)+1/2 p"( ja,t)(−a)
Sinkovicz Peter
Appendix A. Appendix: Indikátorfüggvény formalizmus 1 A (ω) egy indikátorfüggvénye A eseménynek, ha
1 A (ω ) =
( 1
ω ∈ A (feltétel teljesül)
0 ω ∉ A (nem teljesül)
Például: Legyen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} alaphalmaz és A = {1, 3, 4} ekkor
1 A (ω ) =
( 1
ω ∈ {1, 3, 5}
0
ω ∈ {2, 4, 6}
Tulajdonságai • Indikátorfüggvényhez rendelt valószínuség ˝
P ( A ) p(1 A (ω) = x) = P ( A ) = 1 − P ( A ) ;
ha x = 1 ha x = 0 erre nincs értelmezve, mert 1 A (ω) ∈ {1, 0}
• hatványa (1 A (ω))n = 1 A (ω)
∀ n, ω-ra
nyilván, hisz 1n = 1 és 0n = 0 • várható értéke 〈(1 A (ω))2 〉 :=
P x∈{0,1}
xp(1 A (ω) = x) = 1 · p(1 A (ω) = 1) + 0 · p(1 A (ω) = 0) = 1 · P ( A ) + 0 · P ( A ) = P ( A )
• varianciája σ2 = 〈(1 A (ω))2 〉 − 〈1 A (ω)〉2 = . . . = P ( A )(1 − P ( A ))
• összetett esemény indikátor függvény legyen ω ∈ A ∩ B, ekkor 1 A ∩B (ω) = 1 egyébként ;, így
A A ∩B (ω) = 1 A (ω) · 1B (ω) • azonosság (minimuma alatti viselkedés)
Z=
∞ X
k=1
1( z ≥ k) = 1 | + 1 + 1{z+ . . . + 1} +0 + . . . z
• az el˝oz˝oek alapján 〈 z〉 =
∞ X
k=1
41
P ( z ≥ k)
