Gyakorlat: Sztochasztikus idősor-elemzés alapfogalmai II. Egységgyök-folyamatok és tesztek
Dr. Dombi Ákos (
[email protected])
ESETTANULMÁNY 1. Feladat: OTP részvény átlagárfolyamának (Y=AtlAr) stacionaritás vizsgálata és transzformációja Adatállomány:
otp.gdt
Minta (training): 1995.12.11 – 2006.11.10 (T=2717)
Az idősori folyamat a szinten: OTP napi átlagárfolyam
Trend van a folyamatban!
Stacionaritási vizsgálat: Korrelogram Lag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ACF 0.999 0.997 0.995 0.994 0.992 0.991 0.990 0.988 0.987 0.985 0.984 0.982 0.981 0.980 0.978
*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ***
PACF 0.999 -0.069 0.028 0.022 0.026 -0.005 0.002 -0.010 0.012 -0.039 0.014 0.033 0.014 0.008 -0.005
Megállapítások: 1. A folyamat a szinten nem stacioner (a korrelogram nem cseng le zéróhoz kevés számú késleltetést követően) 2. Az ACF, PACF és Q-statisztika értékek értelmezhetetlenek!
Q-stat [p-value] *** 2712.1 [0.000] *** 5416.3 [0.000] 8112.8 [0.000] 10802.2 [0.000] 13484.9 [0.000] 16160.9 [0.000] 18830.2 [0.000] 21492.7 [0.000] 24148.5 [0.000] ** 26797.1 [0.000] 29438.5 [0.000] * 32073.5 [0.000] 34702.3 [0.000] 37325.0 [0.000] 39941.7 [0.000]
Stacionaritás vizsgálat: ADF egységgyök-teszt p
∆Yt = α + β1t + β2t + φ Yt −1 + ∑ δk ∆Yt −k +WN t 2
*
Trendt
, Y=AtlAr
k =1
pmax = int(12 ∗ (2716 /100) ^ 0.25) = 27 Test down from maximum lag order using modified Akaike criterion Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1996-02-05:2006-11-10 (T = 2689) Dependent variable: d_AtlAr coefficient std. error t-ratio p-value const 4.3660 4.0310 1.0830 0.2789 AtlAr_1 -0.0048 0.0019 -2.5960 0.5140 d_AtlAr_1 0.2804 0.0194 14.4600 0.0000 *** d_AtlAr_2 -0.1118 0.0201 -5.5520 0.0000 *** ⁞ d_AtlAr_26 -0.0422 0.0204 -2.0680 0.0387 ** d_AtlAr_27 -0.0177 0.0197 -0.9004 0.3680 time -0.0061 0.0068 -0.8954 0.3706 timesq 0.0000 0.0000 2.1210 0.0340 **
H0: Coeff(AtlAR_1)= φ* = 0 H1: Coeff(AtlAR_1)<0
Folyamat: elsőrendű differencia (∆AtlAr)
1995.12.11 1995.12.12 1995.12.22 1995.12.27 ⁞ 2006.11.07 2006.11.08 2006.11.09 2006.11.10
AtlAr(t)
AtlAr(t-1)
86.4 85.2 87.1 91.8 ⁞ 7529 7528 7605 7573
NA 86.4 85.2 87.1 ⁞ 7314 7529 7528 7605
d_AtlAr AtlAr(t)–AtlAr(t-1) NA -1.2 1.9 4.7 ⁞ 215 -1 77 -32
d_AtlAr - zéró körül szóródik - varianciája nem állandó, az idővel növekszik ↓ A folyamat vélhetően nem stacioner
Elsőrendű differencia: korrelogram, ADF teszt pmax = int(12 ∗ (2715 /100) ^ 0.25) = 27
Test down from maximum lag order using modified Akaike criterion Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1996-02-05:2006-11-10 (T = 2707) Dependent variable: d_d_AtlAr coeff std. error t-ratio p-value const 0.336 3.621 0.093 0.926 d_AtlAr_1 -0.787 0.050 -15.890 0.000 *** d_d_AtlAr_1 0.061 0.047 1.295 0.195 d_d_AtlAr_2 -0.052 0.044 -1.175 0.240 d_d_AtlAr_3 -0.106 0.041 -2.604 0.009 *** d_d_AtlAr_4 -0.108 0.038 -2.871 0.004 *** d_d_AtlAr_5 -0.034 0.034 -1.017 0.309 d_d_AtlAr_6 -0.091 0.029 -3.165 0.002 *** d_d_AtlAr_7 -0.017 0.024 -0.719 0.472 d_d_AtlAr_8 -0.076 0.019 -3.911 0.000 *** time 7.05E-04 6.13E-03 1.15E-01 9.09E-01 timesq 3.54E-07 2.18E-06 1.63E-01 8.71E-01
Lag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ACF 0.242 -0.058 -0.101 -0.015 0.071 0.002 0.031 -0.021 0.052 -0.037 -0.072 -0.043 -0.044 0.028 -0.017
*** *** *** ***
*** * *** ** **
PACF 0.242 -0.124 -0.060 0.021 0.060 -0.042 0.056 -0.037 0.075 -0.080 -0.037 -0.021 -0.041 0.024 -0.031
*** *** *** *** ** *** * *** *** * **
Megállapítások: Az elsőrendű differencia stacionaritása nem egyértelmű. Bár az ADF teszt nem jelez egységgyököt, a lassan lecsengő ACF és PACF függvény, valamint a változékony variancia a stacionaritás ellen szól.
Folyamat: másodrendű-differencia (∆∆AtlAr) 1995.12.11 1995.12.12 1995.12.22 1995.12.27 ⁞ 2006.11.09 2006.11.10
Augmented Dickey-Fuller test for d_d_AtlAr including one lag of (1-L)d_d_AtlAr (max was 27, criterion modified AIC) sample size 2713 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and quadratic trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + b2*t^2 + +(a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.082 estimated value of (a - 1): -1.67572 test statistic: tau_ctt(1) = -56.3926 asymptotic p-value 0
Lag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ACF -0.302 -0.169 -0.085 -0.001 0.103 -0.065 0.054 -0.083 0.107 -0.035 -0.043 0.020 -0.048 0.076 -0.054
d_AtlAr(t) d_AtlAr(t-1) NA NA -1.2 NA 1.9 -1.2 4.7 1.9 ⁞ ⁞ 77 -1 -32 77 *** *** *** *** *** *** *** *** * ** ** *** ***
PACF -0.302 -0.287 -0.285 -0.253 -0.118 -0.191 -0.080 -0.176 -0.013 -0.057 -0.071 -0.048 -0.107 -0.047 -0.104
*** *** *** *** *** *** *** *** *** *** ** *** ** ***
d_d_AtlAr NA NA 3.1 2.8 ⁞ 78 -109
Q-stat 248.0 325.9 345.5 345.5 374.1 385.6 393.5 412.4 443.8 447.2 452.1 453.2 459.5 475.4 483.2
[p-value] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000]
Folyamat: log-differencia (∆lnYt) ADF test for ld_AtlAr including one lag of (1-L)ld_AtlAr (max was 27, criterion modified AIC) sample size 2714 unit-root null hypothesis: a = 1 with constant and quadratic trend model: (1-L)y = b0 + b1*t + b2*t^2 + +(a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: -0.002 estimated value of (a - 1): -0.8908 test statistic: tau_c(1) = -36.58 asymptotic p-value 0
Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1995-12-27:2006-11-10 (T = 2714) Dependent variable: d_ld_AtlAr coefficient std. Error t-ratio p-value const 0.0044 0.0013 3.3020 0.0010 ld_AtlAr_1 -0.8908 0.0244 -36.5800 0.0000 d_ld_AtlAr_1 0.0980 0.0191 5.1250 0.0000 0.0450 time −4.555e-06 2.27096e-06 -2.0060 timesq 1.3106e-09 8.078e-010 1.6220 0.1048
H0: Coeff(ld_AtlAR_1)=0 H1: Coeff(ld_AtlAR_1)<0 *** *** *** **
Az OTP log-hozam korrelogramja LAG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
ACF 0.1906 *** -0.0562*** -0.0407** -0.0205 -0.0296 -0.023 0.0302 0.0044 -0.0089 -0.0149 0.0255 0.007 0.0104 0.0063 -0.0134
PACF 0.1906 *** -0.096 *** -0.0112 -0.0159 -0.028 -0.0152 0.0346 * -0.014 -0.0044 -0.0127 0.0309 -0.0061 0.0152 0.001 -0.0139
Q-stat. 98.7357 107.3309 111.8445 112.9868 115.3787 116.8216 119.3089 119.3617 119.5779 120.1853 121.9555 122.0885 122.3819 122.4916 122.9817
[p-value] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000] [0.000]
Feladat: Határozza meg a H0: AC(1)=AC(2)=0 null-hipotézishez tartozó Ljung-Box teszt értékét!
0.19062 −0.05622 Q = n n+2 ∑ = 2716(2716 + 2) + = 107.37 ∼ Chi2DF =2 2714 k =1 n − k 2715
(
)
K
rk2
ESETTANULMÁNY 2. Feladat: Eur/USD árfolyam (Y=EUR_USD) stacionaritás vizsgálata és transzformációja Adatállomány:
EUR_USD.gdt
Minta: 1999.01.04 – 2008.03.14 (T=2302)
A folyamat a szinten
Trend van a folyamatban!
Stacionaritási vizsgálat
Lag
ACF
PACF
Q-stat [p-value]
1 2 3 9 ⁞ 12 13 14 15
0.998 0.996 0.994 0.982
*** *** *** ***
0.998 *** 2295.3 [0.000] -0.004 4581.7 [0.000] 0.037 * 6860.2 [0.000] -0.003 20366.1 [0.000]
0.977 0.975 0.974 0.972
*** *** *** ***
0.008 0.006 0.025 -0.004
27018.0 29221.2 31418.1 33608.4
[0.000] [0.000] [0.000] [0.000]
Augmented Dickey-Fuller regression OLS, using observations 1999-01-19:2008-03-14 (T = 2291) Dependent variable: d_EUR_USD Coeff. std.e. t-ratio p-value const 0.003 0.002 1.904 0.057 * EUR_USD_1 -0.004 0.002 -2.406 0.621 d_EUR_USD_1 0.002 0.021 0.112 0.911 d_EUR_USD_2 -0.031 0.021 -1.486 0.138 d_EUR_USD_3 -0.003 0.021 -0.154 0.877 d_EUR_USD_4 -0.010 0.021 -0.467 0.641 d_EUR_USD_5 0.013 0.021 0.611 0.541 d_EUR_USD_6 0.012 0.021 0.596 0.552 d_EUR_USD_7 0.002 0.021 0.104 0.917 d_EUR_USD_8 -0.001 0.021 -0.064 0.949 d_EUR_USD_9 -0.006 0.021 -0.306 0.759 d_EUR_USD_10 -0.040 0.021 -1.914 0.056 * time 1.1E-06 8.7E-07 1.215 0.225 timesq 1.8E-10 4.1E-10 0.430 0.667
Megállapítás: Az EUR/USD árfolyam a szinten nem stacioner!
Folyamat: elsőrendű-differencia (∆EUR_USD)
Augmented Dickey-Fuller test for d_EUR_USD including 24 lags of (1-L)d_EUR_USD (max was 26, criterion modified AIC) sample size 2276 unit-root null hypothesis: a = 1 test with constant model: (1-L)y = b0 + (a-1)*y(-1) + ... + e 1st-order autocorrelation coeff. for e: 0.001 lagged differences: F(24, 2250) = 0.584 [0.9456] estimated value of (a - 1): -0.902397 test statistic: tau_c(1) = -8.50279 asymptotic p-value 1.59e-014
Megállapítás: Mind a folyamat lefutása, mind az ADF(24) teszt alapján az árfolyam elsőrendű differenciája stacioner!
Az elsőrendű differencia fehér zaj! Az EUR/USD árfolyam elsőrendű differenciája fehér zaj! ↓ 1. A diff(EUR/USD) tiszta véltetlen, nem modellezhető! 2. Az EUR/USD véletlen bolyongás!
A Drift (D) paraméter becslése a diff(EUR/USD)-re illesztett OLS üres modellel: Model 1: OLS, using observations 1999-01-05:2008-03-14 (T = 2301) Dependent variable: d_EUR_USD Const
Coefficient 0.00016
Std. Error 0.00014
t-ratio 1.1573
p-value 0.24727
Az intercept nem szignifikáns, ezért a Drift paraméter zéró!
