Sztochasztikus analízis

Sztochasztikus analízis Medvegyev Péter Magyar Külkereskedelmi Bank Vállalati Katedra Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetem 2016. október 29.

Tartalomjegyzék 1. A sztochasztikus folyamatok általános elmélete 1 1.1. Véletlen függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1. Sztochasztikus folyamatok trajektóriái . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Kanonikus modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Sztochasztikus folyamatok egyenl˝osége . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Sztochasztikus folyamatok mérhet˝osége . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhet˝o folyamatok . . . 8 1.2.2. Megállási id˝ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Megállított változók, folyamatok és σ-algebrák . . . . . . . . 20 1.2.4. Megállított σ-algebrák interpretációja . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.5. El˝orejelezhet˝o és kockázatos folyamatok . . . . . . . . . . . 29 1.2.6. Néhány megjegyzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3. Szemimartingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.1. Korlátos változású, jobbról reguláris folyamatok . . . . . . . 42 1.3.2. Martingálok, Doob–egyenl˝otlenségek . . . . . . . . . . . . . 44 1.3.3. Lokalizáció, lokális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.3.4. Néhány gyakran használt jelölés, a szemimartingálok definíciója 64 1.3.5. Lokálisan korlátos folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.3.6. Megállításra való stabilitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 1.4. Vetítési tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.4.1. Kiterjesztett feltételes várható érték . . . . . . . . . . . . . . 74 1.4.2. El˝orejelezhet˝o vetület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.4.3. Fisk–féle egyértelm˝uségi tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 1.5. Kompenzátorok, Doob—Meyer–dekompozíció . . . . . . . . . . . . 84 1.5.1. Kvázimartingálok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 1.5.2. Lokálisan integrálható folyamatok el˝orejelezhet˝o kompenzátora 90 1.5.3. Egyszer˝u pontfolyamatok el˝orejelezhet˝o kompenzátora . . . . 95 1.6. Lokális martingálok f˝otétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 1.7. Tisztán nem folytonos lokális martingálok . . . . . . . . . . . . . . . 115 1.7.1. Korlátos változású lokális martingálok tisztán nem folytonosak 117 1.7.2. H2 -martingálok ortogonális felbontása . . . . . . . . . . . . 119 1.7.3. Lokális martingálok folytonos része . . . . . . . . . . . . . . 123 1.8. Szemimartingálok felbontása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2

TARTALOMJEGYZÉK

3

2. Sztochasztikus integrálok 2.1. Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás . . . . . . . 2.2. Folytonos folyamatok sztochasztikus integrálása . . . . . . . . 2.2.1. Wiener–integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Itô—Stieltjes–integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Itô–formula Wiener–folyamat esetén . . . . . . . . . . 2.2.4. Itô–formula frakcionális Wiener–folyamatra . . . . . . 2.3. Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás . . . . . . . . 2.3.1. Folytonos, korlátos martingálok négyzetes változása . 2.3.2. Folytonos, lokális martingálok négyzetes változása . . 2.3.3. Folytonos szemimartingálok négyzetes változása . . . 2.3.4. Négyzetesen integrálható, folytonos martingálok tere . 2.3.5. Folytonos lokális martingálok Doléans–mértéke . . . . 2.3.6. Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség . . . . . . . . . . 2.3.7. Folytonos H2 -martingálok szerinti integrálás . . . . . 2.3.8. Folytonos lokális martingálok szerinti integrálás . . . 2.3.9. A sztochasztikus integrálás és az el˝orejelezhet˝o vetület 2.3.10. Szemimartingálok szerinti integrálás . . . . . . . . . . 2.3.11. Határérték és az integrál felcserélése . . . . . . . . . . 2.3.12. Adaptált szorzatmérhet˝o folyamatok integrálása . . . . 2.4. Lokálisan korlátos folyamatok integrálása . . . . . . . . . . . 2.4.1. El˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció . . . . . . . . . . 2 2.4.2. Az integrál definiálása Hloc integrátorokra . . . . . . 2.4.3. Az integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Szemimartingálok szerinti integrálás . . . . . . . . . . 2.5. Bichteler—Dellacherie–tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Fubini–tétel sztochasztikus integrálokra . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 129 132 132 138 148 154 156 156 159 164 165 168 169 170 178 181 183 184 187 191 191 195 196 200 204 209

3. Itô–formula 3.1. Itô–formula folytonos szemimartingálokra . . . . . . . . . 3.2. A formula néhány alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Wiener–folyamat zérushelyei . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Lévy–féle karakterizációs tétel . . . . . . . . . . . 3.2.3. Minden folytonos Lévy–folyamat Wiener–folyamat 3.2.4. Bessel–folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Integrálreprezentációs tétel . . . . . . . . . . . . . 3.3. Itô–formula nem folytonos szemimartingálokra . . . . . . 3.3.1. Parciális integrálás formulája . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Lokális martingálok kvadratikus variációja . . . . 3.3.3. Kvadratikus ugrófolyamatok . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja . 3.3.5. Itô–formula igazolása . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Exponenciális szemimartingálok . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Itô–formula konvex függvényekre . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Lokális id˝o definíciója . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Meyer—Itô–formula . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

217 217 221 221 224 230 231 234 239 240 246 250 256 257 261 268 268 276

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

TARTALOMJEGYZÉK

4

3.5.3. Folytonos szemimartingálok lokális ideje . . . . . . . . . . . 286 3.5.4. Wiener–folyamat lokális ideje . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 3.5.5. Ray—Knight–tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 4. Mértékcsere 4.1. Girszanov–formula . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Szemimartingálok és mértékcsere . . . . . 4.1.2. Mértékcsere és folytonos szemimartingálok 4.1.3. Girszanov–formula Wiener–folyamatokra . 4.1.4. Kazamaki—Novikov–feltétel . . . . . . . 4.1.5. További feltételek . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A formula alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat . . . 4.2.2. Clark–formula . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Ekvivalens martingálmértékek . . . . . . . . . . . 4.3.1. Származtatott termékek árazása . . . . . . 4.3.2. Eszközárazás és arbitrázs . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Függelék A. Wiener–folyamat A.1. Alapvet˝o tulajdonságok . . . . . . . . . . . A.2. Wiener–folyamat L2 konstrukciója . . . . . A.3. Wiener–mérték . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Wiener–folyamattal kapcsolatos eloszlások A.5. Wiener–folyamat kvadratikus variációja . .

305 305 307 313 315 320 325 327 327 330 334 339 347 353

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

353 . . . . . 353 . . . . . 360 . . . . . 363 . . . . . 365 . . . . . 370

B. Az általános elmélet néhány tétele B.1. Monoton osztály tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2. Megállási id˝okr˝ol szóló további tételek . . . . . . . . . . . . . . B.3. Szelekciós tételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4. Doob—Meyer–felbontás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.1. A felbontás létezése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.4.2. A Doob—Meyer–felbontás és az Itô–formula kapcsolata B.5. Természetesség és el˝orejelezhet˝oség . . . . . . . . . . . . . . . B.6. Kolmogorov–kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

379 379 383 385 390 390 397 398 400

C. Lévy—Hincsin–formula C.1. Véletlen mértékek kompenzátora . . . . . . . . . . . C.2. Szemimartingálok karakterisztikái . . . . . . . . . . C.3. Független növekmény˝u folyamatok . . . . . . . . . . C.3.1. Független növekmény˝u szemimartingálok . . C.3.2. Általános független növekmény˝u folyamatok C.3.3. Független növekmény˝u lokális martingálok .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

404 404 414 424 424 431 437

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

TARTALOMJEGYZÉK

D. Nem lokálisan korlátos folyamatok integrálása D.1. Tisztán nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálás D.1.1. Ritka halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.1.2. Tisztán nem folytonos lokális martingálok ugrásai . D.1.3. Az integrál konstrukciója . . . . . . . . . . . . . . . D.1.4. Az integrál tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . D.2. Szemimartingálok szerinti integrálás . . . . . . . . . . . . . D.2.1. Speciális szemimartingálok szerinti integrálás . . . . D.2.2. Az integrál additivitása . . . . . . . . . . . . . . . . D.2.3. Asszociativitási szabály . . . . . . . . . . . . . . . D.2.4. Mértékcsere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.3. Davis–egyenl˝otlenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

440 442 442 444 447 447 450 451 453 454 455 459

Tárgymutató

472

Jelölések

476

ii

TARTALOMJEGYZÉK

Ez a könyv a „Fejezetek a matematikai analízisb˝ol és a valószín˝uségszámításból” cím˝u könyvem folytatása, és miként a címb˝ol is kiderül, a sztochasztikus folyamatok általános elméletét tárgyalja. Az olvasóban valószín˝uleg felmerül˝o els˝o kérdés, hogy mennyiben támaszkodik a jelen könyv az el˝oz˝ore, mennyiben tekinthet˝o annak folytatásának. A válasz nem túl meglep˝o módon az, hogy a jelen könyv az el˝oz˝o szerves folytatása. Ez azonban nem jelenti azt, hogy a könyv megértéséhez az el˝oz˝o könyvet minden részletében ismerni kell. A valószín˝uségszámítás egy sor matematikai terület megalapozását adja. Ide tartozik például a statisztika és a matematika számos egyéb ága. A sztochasztikus folyamatok a valószín˝uségszámítás csak egyik lehetséges alkalmazási területe. A sztochasztikus folyamatok tárgyalásakor abból indultam ki, hogy az olvasó biztos mértékelméleti alapokkal rendelkezik és jól tájékozott a valószín˝uségszámítás területén: tisztában van a feltételes várható értékkel, a martingálok legegyszer˝ubb tulajdonságaival, illetve a karakterisztikus függvényre épül˝o módszer elemeivel. Az absztrakt mértékelmélet ismerete a modern analízis bármely területének tanulmányozásakor megkerülhetetlen. A valószín˝uségszámítás és a sztochasztikus folyamatok elmélete is erre az elméletre épül, így a mértékelmélet beható tanulmányozását nem lehet megúszni. Ide tartozik többek között az egyenletes integrálhatóság, a Fubini–tétel, a mértékkiterjesztési tétel stb. A feltételes várható értékkel kapcsolatos állítások ismerete, tartalmuk pontos megértése ugyancsak nem t˝unik megkerülhet˝onek. Az absztrakt mértékelmélet, illetve a feltételes várható értékkel kapcsolatos tételek azonban csak körülbelül az el˝oz˝o könyv harmadát teszik ki. A könyv megmaradt részére csak érint˝olegesen fogunk hivatkozni. A nagy számok törvényei, a centrális határeloszlás-tételek, illetve a hozzájuk kapcsolódó állítások és technikák a sztochasztikus folyamatok itt tárgyalt fejezeteiben nem játszanak szerepet. A felhasznált állításokra való hivatkozásokat általában minden további magyarázat nélkül csak megadom. A hivatkozásokat figyelmeztetésként kell felfogni: az adott ponton valami fontos eredményt, esetlegesen nem triviális módon, használtunk fel. Ha nem világos hogy mit és hogy miért, akkor a hivatkozott helyen az olvasónak utána kell néznie. Ha azonban a hivatkozott eredmény evidens, kézenfekv˝o, akkor a hivatkozást egyszer˝uen figyelmen kívül kell hagyni. Másképpen fogalmazva: visszahivatkozással az analízis és a valószínuségszá˝ mítás lényeges, rejtett, vagy nagyon trükkös, nem közismert kérdéseire implicit módon nem támaszkodom. Ilyen értelemben a könyv önállóan, az el˝oz˝o ismerete nélkül is használható. A sztochasztikus analízis célja a klasszikus kalkulus kiterjesztése sztochasztikus folyamatokra. A sztochasztikus analízis olyan fogalmakkal operál mint sztochasztikus integrál, sztochasztikus differenciálegyenletek stb. Az elmélet központi tétele az Itô–formula, amely a Newton—Leibniz–szabály sztochasztikus folyamatokra való kiterjesztése. Az elmélet matematikailag pontos kifejtésekor legalább három szint képzelhet˝o el. Ha csak Wiener–folyamatokra épül˝o állításokat tárgyalunk, akkor a gondolatmenet lerövidíthet˝o és különösebb nehézségekkel nem kell szembenézni. Az elmélet egyszer˝u és harmonikus. Valamivel több, de azért nem túlzóan sok nehézséggel találkozhatunk, ha Wiener–folyamatok mellett folytonos lokális martingálokat is vizsgálni akarunk. A folytonos lokális martingálokra épül˝o tárgyalás lényegében szintén fájdalommentes út, amely elkerüli a sztochasztikus folyamatok általános elméletét, ugyanakkor lehet˝ové teszi a kulcs tételek érdemi bemutatását. A harmadik út az általános, szakadásokat és ugrásokat is tartalmazó szemimartingálokra épül. Ha

TARTALOMJEGYZÉK

iii

az ugrásokat, szakadásokat is figyelembe akarjuk venni, akkor át kell tanulmányozni a sztochasztikus folyamatok úgynevezett általános elméletét. Az általános elmélet azonban nagyszámú matematikai nehézséget tartalmaz, amelyek kifejtése és megértése komoly er˝ofeszítést igényel. Az idevágó tételeket ismertetik az els˝o fejezet és a függelékek. Nem biztos, hogy szerencsés az olvasót mindjárt a könyv elején lerohanni, és a matematikai analízis rendkívül kifinomult tételeinek bemutatásával elriasztani. Bizonyos szempontból szerencsésebb lett volna, ha ezeket a tételeket mind áttettem volna a függelékbe, és így hosszabb-rövidebb id˝ore elrejtettem volna o˝ ket az olvasó el˝ol. Úgy érezem azonban, hogy ez az olvasó becsapása lenne. A sztochasztikus folyamatok általános elmélete nem nehéz, sokkal inkább rendkívül elegáns, és az elegancia arányában persze formális és absztrakt. Minden matematikai elmélet megértését a példák részletes tanulmányozása teszi megalapozottá. Az általános elmélet megértésének kulcsa az állításokat illusztráló konkrét konstrukciók áttanulmányozása. Ugyanakkor meg kell jegyezni, hogy az általános elméletre vonatkozó példák legtöbbje maga is elméleti eredmény. Az elmélet alkalmazása maga az elmélet. A sztochasztikus folyamatok általános elméletének célja és tárgya a sztochasztikus folyamatok elméletének elegáns kifejtése. „A cél halál, az élet küzdelem..." Mindjárt a bevezet˝oben érdemes hangsúlyozni, hogy a véletlen folyamatok két alapvet˝oen eltér˝o osztályba sorolhatóak: a véletlen folyamatok egy része valódi kockázatot jelent. Az, hogy síelés közben eltörik a lábunk, vagy a síelésre utazva hirtelen tönkremegy a vadonatúj autónk és −200 fokban az útszélén maradunk, valódi kockázat, amit nem láthatunk el˝ore, ugyanis ha el˝orelátnánk, akkor biztosan el is tudnánk kerülni. A véletlen folyamatok másik csoportja az el˝orejelezhet˝o folyamatok családja. A két osztályt az ugrások természete különbözteti meg. El˝orejelezhet˝o folyamatok esetén, legalábbis infinitezimálisan, az ugrások el˝oreláthatóak, kockázatos folyamatok esetén ez a tulajdonság nem teljesül. A kockázatos és az el˝orejelezhet˝o folyamatokat kapcsolja össze a kompenzáció m˝uvelete. Valamely kockázatos folyamathoz létezik-e olyan el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyet levonva bel˝ole a megmaradt rész már véletlen szempontból elhanyagolható? Hogyan tudjuk magunkat biztosítani a kockázatos folyamatokban rejl˝o, jobb szót nem tudok rá, kockázat ellen? Mit jelent az, hogy a kompenzáció után megmaradt rész véletlen szempontból elhanyagolható? Mikor létezik kompenzátor? Valamely folyamat kompenzátorából miként számolható ki egy másik folyamat kompenzátora? Az absztraktság „filozófiai” szintjén ezek a sztochasztikus folyamatok általános elméletének releváns kérdései. Az általános elmélet központi eleme az el˝orejelezhet˝o és a kockázatos folyamatok osztályainak pontos bevezetése, illetve annak indoklása, hogy miért van szükség a fogalmakra. A területtel el˝oször ismerked˝o olvasótól nem várható el, hogy azonnal átlássa és valódi súlyán értékelje ezeket az igen kifinomult és trükkös kategóriákat. Ugyanakkor az olvasónak bízni kell a szerz˝oben, és el kell fogadni azt a megjegyzésemet, hogy az el˝orejelezhet˝oség és a vele szoros rokonságban álló kockázatosság, illetve a két fogalmat összekapcsoló kompenzáció a sztochasztikus analízis kulcsa. Miközben a sztochasztikus analízis részleteit tisztázzuk, az el˝orejelezhet˝oség és a kockázatosság fogalma egyre kézenfekv˝obb, és egyre világosabb tartalmú lesz. Megítélésem szerint a könyv áttanulmányozása után, minden kezdeti berzenkedése ellenére, az olvasó az el˝orejelezhet˝oséget, a kockázatosságot és a kompenzációt kézenfekv˝o fogalmaknak fogja tartani. Természetesen ez a matematika összes absztrakt fogalmára érvényes. A topológia, vagy a mérhet˝o tér fogalma az analí-

iv

TARTALOMJEGYZÉK

zissel ismerked˝o számára komoly kihívást jelent. Ahogy azonban a tanulmányai során egyre többször találkozik velük lassan elsajátítja az alapfogásokat, ráérez a fogalmak ízére és erejére, végül triviálisnak érzi o˝ ket. Valamely matematikai terület elsajátítása olyan mint a hegymászás. Rohanni nem érdemes, de a türelem és az id˝o lassan meghozza az eredményét. Így van ez a sztochasztikus folyamatok általános elméletével is, megértéséhez csak türelem és id˝o szükséges. Sok id˝o, sok türelem! Az általános elmélet bevezet˝o részét az els˝o fejezet tárgyalja. Itt találhatóak a legfontosabb definíciók és az elmélet legegyszer˝ubb tételei. Az elmélet nehéz részét, az úgynevezett Doob—Meyer–felbontás bizonyítását, áttettem a függelékbe. A sztochasztikus analízis kulcsa a Doob—Meyer–dekompozíció, de nem feltétlenül a Doob—Meyer–dekompozíció bizonyításával kell kezdeni a sztochasztikus analízis tanulmányozását. A területtel ismerked˝o olvasó számára már az is kérdéses, hogy miért olyan fontos a tétel, nem beszélve arról, hogy a tétel tartalmának megértése, s˝ot önmagában már a tételben szerepl˝o fogalmak definíciójának átlátása is, komoly el˝otanulmányokat kíván. Ugyancsak a függelék tartalmazza a független növekmény˝u folyamatok elméletét. Az általános elmélet hasznát talán legjobban a független növekmény˝u folyamatok klasszikus elméletén lehet demonstrálni. Itt érezhet˝o leginkább az általános elmélet ereje. Ha a régi 286-os gépre írt programunkat áttesszük az új 586-os gépünkre, meg fogunk döbbenni: a régi, megunt program szárnyalni fog. A sztochasztikus analízis eszközei a független növekmény˝u folyamatok elméletét teljesen más megvilágításba helyezik. A második fejezet a sztochasztikus integrálok tárgyalását tartalmazza. A sztochasztikus integrálás a klasszikus integrálelmélet általánosítása. Az általánosítás szükségessége abból ered, hogy számos érdekes sztochasztikus folyamat, például a folytonos lokális martingálok, trajektóriái nem korlátos változásúak, így az ilyen folyamatok segítségével az integrál a megszokott módon nem definiálható. A sztochasztikus integrálelmélet központi fogalma a kvadratikus variáció. Valamely f függvény [f ] kvadratikus P 2 variációján a k (f (tk ) − f (tk−1 )) alakú összegek határértékét értjük. Jellemz˝oen az f (tk )−f (tk−1 ) eltérések kicsik, legalábbis, ha a folyamat P folytonos részét vesszük, így a négyzetük még kisebb, tehát elképzelhet˝o, hogy a k |f (tk ) − f (tk−1 )| összegek határértéke végtelen, de a kvadratikus variáció mégis véges. Például az úgynevezett szemimartingálok kvadratikus variációja mindig véges. Ez lehet˝ové teszi az integrál definiálását nem korlátos változású folyamatokra, els˝osorban lokális martingálokra. Az egyetlen figyelemreméltó eltérés, hogy az új konstrukcióban az integrál értéke függ a közelít˝o összegek választási módjától. A kvadratikus variáció végessége miatt nem igaz, hogy az integrálközelít˝o összegek a közelít˝o pont választási módjától függetlenül az integrálhoz tartanak. Ennek intuitíve világos okai vannak. A sztochasztikus integrál értéke valamilyen kockázatos folyamat elleni stratégiai játék nyereményeként interpretálható. Evidens módon a nyeremény függ attól, hogy milyen id˝opontokban, milyen információk birtokában tehetjük meg a „téteket”. A sztochasztikus integrál, mint minden integrál, végs˝o soron valamilyen közelít˝o összegek határértéke. Ha S egy eszköz véletlenszer˝uen alakuló piaci ára, akkor az S (tk ) − S (tk−1 ) eltérés az eszköz árának megváltozása a [tk−1 , tk ] id˝oszak alatt. Ha PX (t) jelöli az eszközb˝ol a t id˝opontban rendelkezésünkre álló mennyiséget, akkor a k X (sk ) (S (tk ) − S (tk−1 )) összeg éppen az árváltozásból ered˝o veszteségünk, illetve nyereségünk nagysága. Határértékben az

TARTALOMJEGYZÉK

v

integrál egyfajta folytonos kereskedés mellett keletkezett nyereség, illetve veszteség. Intuitíve világos, hogy a kereskedésb˝ol származó nyereség, illetve veszteség értéke er˝osen függ attól, hogy az X nagyságát a [tk−1 , tk ] szakasz mely sk pontjában rendelkezésünkre álló információ alapján határozhatjuk meg. A legtermészetesebb az sk = tk−1 , amikor az id˝oszak során tartott portfoliót az id˝oszak elején adjuk meg. Másképpen fogalmazva az S integrátorfolyamat valódi kockázatot tartalmazhat, ugyanakkor az X integrandus el˝orejelezhet˝o kell hogy legyen. Hangsúlyozni kell, hogy az integrál létezését két sajátos körülmény biztosítja. Egyrészt a kvadratikus variáció végessége, amely bizonyos Hilbert–tér technikák bevezetését teszi lehet˝ové, másrészt a közelít˝o összegek speciális megválasztása, amely viszont az el˝orejelezhet˝oség szerepét hangsúlyozza. Külön tárgyaljuk a folytonos lokális martingálok és külön a nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálokat. Itt is érvényes amit már elmondtam. Nem biztos, hogy az olvasónak els˝o olvasásra el kell mélyülnie a nem folytonos eset részleteiben. A folytonos és a nem folytonos eset szinte szó szerint megegyezik. Az egyetlen eltérés, hogy a folytonos esetben a Doob—Meyer–felbontással kapható úgynevezett el˝orejelezhet˝o és a közönséges kvadratikus variáció megegyezik. Ebb˝ol következ˝oen a folytonos esetben a kvadratikus variáció létezése, illetve alapvet˝o tulajdonságainak teljesülése igen egyszer˝uen igazolható. A nem folytonos esetben azonban az analóg tételek csak a Doob—Meyer–felbontás segítségével indokolhatóak. A nem folytonos esetben, szemben a folytonos esettel, el˝ofordulhat, hogy valamely lokális martingál trajektóriái mégis korlátos változásúak, így a sztochasztikus integrál a klasszikus trajektóriánként vett értelemben is létezik. Természetesen biztosítani kell az új és a régi definíció egybeesését. Ezt csak úgy tehetjük meg, ha a nem folytonos esetben korlátozzuk a lehetséges integrandusok körét. Éppen ez a korlátozás miatt szükséges bevezetni az el˝orejelezhet˝o folyamatok családját, ugyanis a klasszikus, trajektóriánként vett és az új definíció azonosságát csak az el˝orejelezhet˝o folyamatok körében tudjuk biztosítani. A fejezet végén bebizonyítjuk a Bichteler—Dellacherie–tételt, amely a sztochasztikus integrálelmélet egyik legszebb állítása. Sztochasztikus integrálok definíciójában integrátorként két fajta folyamat szerepelhet: korlátos változású, illetve lokális martingál. A két folyamatosztály összegeként felírható folyamatokat szemimartingáloknak hívjuk. Ebben a megfogalmazásban a szemimartingálok némiképpen er˝oltetett, minden mélyebb megfontolást nélkülöz˝o gondolatmenettel formálisan bevezetett osztály. A Bichteler—Dellacherie–tétel szerint kézenfekv˝o megkötések teljesülése esetén az egyedül lehetséges integrátorok éppen a szemimartingálok. A harmadik fejezet az Itô–formulát tárgyalja és a könyv legfontosabb része. Miként a második fejezetben, most is a kvadratikus variációé a f˝oszerep. Ismét külön tárgyaljuk a folytonos és külön a nem folytonos folyamatokat. A folytonos és a nem folytonos esetekben a bizonyítások ismét szinte szó szerint megegyeznek. Az egyedüli eltérés újra a kvadratikus variáció körül adódik. Az Itô–formula a Newton—Leibniz– szabály általánosítása. Bizonyítása során az egyetlen lényeges eltérés, hogy mivel az integrálközelít˝oközelít˝o összegeket speciálisan kell megválasztani, a formula igazolásakor az f (X (tk )) − f (X (tk−1 )) eltéréseket nem lehet pusztán a középérték-tétellel közelíteni, ugyanis a középérték-tétellel nem biztosítható, hogy az f 0 (X (sk )) (X (tk ) − X (tk−1 )) közelít˝o „téglalap” magasságát meghatározó sk köztes id˝opont éppen az intervallum

vi

TARTALOMJEGYZÉK

eleje legyen. Mivel az integrál értéke, szemben a klasszikus esettel, függ a közelít˝o pont értékékét˝ol, ezért az f (X (tk )) − f (X (tk−1 )) eltérést a Taylor–formula szerint a tk−1 pont körül másodrend˝uen kell közelíteni. A folyamat kvadratikus variációja véges, így ebb˝ol nem származik semmi probléma, de a formulában szükségszer˝uen megjelenik a második deriváltakat tartalmazó korrekciós tag. A fejezetben röviden tárgyalom a formula bizonyos alkalmazásait. Igen szerteágazó területr˝ol van szó, így az alkalmazások csak betekintést nyújtanak és távolról sem törekszem teljességre. A legfontosabb tárgyalt eredmények a Lévy–féle karakterizációs, illetve a martingálreprezentációs tétel. A nem folytonos Itô–formula alkalmazásaként megvizsgáljuk a Doléans–egyenlet megoldását, illetve az exponenciális martingálokat. Az exponenciális martingálok kulcs szerepet játszanak a matematikai-pénzügyekben, de alapvet˝o a szerepük a független növekmény˝u folyamatok karakterisztikus függvényét reprezentáló Lévy—Hincsin–formula függelékben található levezetésében is. A negyedik fejezet a mértékcsere kérdését tárgyalja. A mértékcsere a sztochasztikus analízis sajátos technikája. A sztochasztikus folyamatok trajektóriái, hasonlóan a valószín˝uségszámításhoz, önmagukban csak a lehetséges kimeneteleket adják meg. Az hogy az egyes kimenetelek milyen valószín˝uséggel figyelhet˝ok meg a téren értelmezett mértékt˝ol függ. Kézenfekv˝o gondolat, hogy a kimenetelek terén egyetlen értelmes mérték létezik, az amelyet statisztikailag megfigyelhetünk. Ez azonban nincs így. A matematikai pénzügyek központi fogalma a kockázat-semleges mérték. A közgazdaságtan releváns problémáinak jelent˝os része jöv˝oben bekövetkez˝o eseményekhez kapcsolódik. Ilyen például a biztosítások, a származtatott terméke ára, de ilyenek a beruházások, a megtakarítások, a várakozások kérdése. A legegyszer˝ubb példa a határid˝os ügylet. Ilyenkor a jöv˝obeni kifizetés, vagyis a határid˝os ügylet statisztikai mérték melletti kockázata nagyobb mint az ügylet tényleges kockázata, ugyanis fedezeti ügylettel a határid˝o ügylet kockázata nullává tehet˝o. Hasonlóan, a származtatott termékek árát nem a tényleges kifizetés kockázata határozza meg. A tényleges kockázat aktív cselekvéssel csökkenthet˝o, és az árat a csökkentett kockázathoz tartozó mérték határozza meg. A negyedik fejezetben a mértékcserével kapcsolatos legismertebb tételeket foglalom össze. A sztochasztikus analízisben járatos olvasónak azonnal felt˝unhet, hogy a könyv gyanúsan vékony. Különösen érvényes ez, ha összevetjük a valószín˝uségszámítással, amely több mint kétszer ilyen hosszú. Ennek oka természetesen az, hogy a könyv a sztochasztikus analízis számos, igen fontos fejezetét nem tartalmazza. A könyv megírásakor arra törekedtem, hogy tisztázzam a Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetemen induló pénzügyi-matematikai képzéshez szükséges ismereteket és az oktatás során használható tankönyvet készítsek. Ezt a tervemet biztosan túlteljesítettem, ugyanis a könyvben tárgyalt anyag messze túln˝o a rendelkezésre álló id˝okeret alatt ésszer˝uen elmondható mennyiségen. Bár a sztochasztikus analízis a pénzügyi– matematika alapja, egyesek szerint a pénzügyi–matematika a sztochasztikus analízis fed˝oneve, mégis úgy érzem nincs mód arra, hogy a könyvben tárgyalt számos csodálatos matematikai eredményt az el˝oadásokon a hallgatók számára prezentálni lehessen. Tisztában vagyok avval, hogy több maradt ki a könyvb˝ol, mint ami belekerült. A legfontosabb kimaradt kérdés a sztochasztikus differenciálegyenletek és a parciális differenciálegyenletek kapcsolata. Ez a terület önmagában is hatalmas, és szerepeltetése a valószín˝uségszámításhoz hasonló méret˝u könyvet eredményezne, amit mindenképpen

TARTALOMJEGYZÉK

vii

el akartam kerülni. A könyvet nem írhattam volna meg, ha az elmúlt években a Magyar Külkereskedelmi Bank vállalati professzori ösztöndíja nem tette volna lehet˝ové számomra a nyugodt munkát. A bankon kívül köszönettel tartozom a Budapesti Közgazdasági és Államigazgatási Egyetem vezet˝oségének, els˝osorban Chikán Attila rektor úrnak, aki a vállalati professzori státusszal biztosította számomra azt a hátteret, amely nélkül a jelen könyv biztosan nem készült volna el. Budapest, 2003 november.

1. fejezet

A sztochasztikus folyamatok általános elmélete A fejezet a sztochasztikus folyamatok általános elméletének alapfogalmait tárgyalja. A sztochasztikus folyamatokkal a martingálelmélet, illetve a Lévy–folyamatok tárgyalásakor már találkoztunk, ezért a már ismert fogalmakat csak összefoglaljuk. A fejezet els˝o felének legf˝obb eredménye a mérhet˝o sztochasztikus folyamatok különböz˝o osztályainak bevezetése és jellemzése. A legfontosabb alább bevezetett osztály az úgynevezett el˝orejelezhet˝o folyamatok családja, amely a kés˝obbiekben alapvet˝o szereppel fog bírni, ugyanis tetsz˝oleges szemimartingál esetében csak el˝orejelezhet˝o integrandusokra fogjuk a sztochasztikus integrálokat definiálni. A fejezet további célja, hogy indokolja az úgynevezett szokásos feltételeket, vagyis azokat a megkötéseket, amelyekkel a tárgyalás folyamán élni fogunk. A fejezet második felében a Doob—Meyer– dekompozíció következményeit tárgyaljuk. A következmények közül kiemelkedik a lokális martingálok f˝otétele, amely szerint minden lokális martingál felírható két lokális martingál összegeként oly módon, hogy az egyik trajektóriái korlátos változásúak, a másik ugrásai pedig egy megadott korlát alatt maradnak. A sztochasztikus integrálás elméletében számos bonyodalom forrása, hogy a felbontás nem egyértelm˝u. A sztochasztikus folyamatok általános elméletét els˝o ismerkedéskor túlzottan absztraktnak szokás találni. Ez csak részben igaz. Az elmélet kétségkívül igen absztrakt, de az absztrakció szintje nem komolyabb a mértékelméletben megszokottnál. A bizonyítások jórészt egyszer˝ubb folyamatok által generált σ-algebrák tulajdonságait részletezik és nagyrészt a Meyer–féle monoton osztály tételre épülnek. Az elmélet tanulmányozásakor a probléma nem az absztraktság, hanem sokkal inkább az, hogy az elmélet formális, viszonylag kevés a mérhet˝oségi koncepciók viszonyát jól megvilágító példa. A definíciók, a bevezetett fogalmak igen gyakran csak részben motiváltak, és csak a teljes elmélet fényében válnak tartalmassá. Éppen ezért, illusztrációként a fejezetben bemutatjuk az egyszer˝u pontfolyamatokat. A pontfolyamatok el˝onyös tulajdonsága, hogy a trajektóriáik korlátos változásúak, ezért a folyamatok szerinti sztochasztikus integrálok közönséges Lebesgue—Stieltjes–integrálok, így a tárgyalás során nem kell felhasználni a sztochasztikus integrálok általános elméletét. 1

1. A SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK ÁLTALÁNOS ELMÉLETE

2

Bár az itt tárgyalt kérdések megértése hosszútávon elkerülhetetlen, az olvasó a definíciók tartalmának pontos megértése esetén a tételek bizonyítását els˝o olvasásra elhagyhatja.

1.1. Véletlen függvények A továbbiakban rögzítsük az (Ω, A, P) valószín˝uségi mez˝ot. Az (Ω, A) szerint mérhet˝o, valós szám érték˝u függvények összességére mint valószín˝uségi változókra fogunk hivatkozni. Az (Ω, A, P) mez˝or˝ol feltesszük, hogy teljes, vagyis tartalmazza a nulla valószín˝uséggel rendelkez˝o halmazok összes részhalmazát is. Ez a feltétel, bár nem jelent megszorítást némiképpen meglep˝o1 . A teljességre azonban folyamatosan szükségünk lesz. Például folytonos id˝oparaméter mellett is biztosítani szeretnénk, hogy a Borel–halmazok találati ideje2 mindig megállási id˝o3 legyen. Ennek igazolása a vetítési tételre4 épül, és a vetítési tétel alkalmazásakor fel kell tételezni a mérhet˝o tér teljességét. Ugyancsak szükségünk lesz a mérhet˝o szelekciós tételre5 , amely szintén a vetítési tétel következménye. A sztochasztikus folyamatok elméletében sokszor találkozhatunk olyan mérhet˝o függvényekkel, amelyek pozitív mérték˝u halmazon végtelenek, vagyis a függvény értékkészlete hangsúlyozottan nem az R, hanem a kiterjesztett valós számok R $ [−∞, ∞] halmaza. A legfontosabb példát a véletlen id˝opontban bekövetkez˝o, úgynevezett megállási id˝ok, más néven megállási szabályok szolgáltatják. Ha a megállási szabály által reprezentált esemény valamely kimenetelre nem következik be, akkor a szabály értékét az adott kimenetelen célszer˝u végtelennek választani, így a megállási id˝ok értéke pozitív valószín˝uség˝u halmazon végtelen lehet. A sztochasztikus folyamatok értékeit minden id˝opontban valószín˝uségi változónak tekintjük, el˝ofordulhat azonban, hogy valamely sztochasztikus folyamat értéke bizonyos id˝opontokban végtelen6 .

1A

teljesség feltétele mindig garantálható, így ártalmatlan és lényegtelen feltételnek t˝unik. A megkötés meglep˝o volta éppen az, hogy erre a „jelentéktelen”, és éppen ezért „gyanús” feltételre egyáltalán szükség van. A feltétel „gyanús” volta éppen abban áll, hogy a valószín˝uségszámításban használt absztrakt mértékelmélet kifejtése során a teljességre tulajdonképpen nincsen szükség. A mértékelmélet tárgyalásakor láttuk, hogy a teljességre egyrészt a mértékderiválás, [20] 5.34. lemma, 190. oldal, másrészt a vetítési tétel [20], 2.118. tétel, 89. oldal, B.16. tétel, 385. oldal, tárgyalása során kell hivatkozni. A sztochasztikus folyamatok elméletében éppen ez utóbbi állítás kiterjedt használata miatt kell a teljességet az alapfeltételek között szerepeltetni. Némi problémát jelent azonban, hogy bizonyos modellekben a P mérték nem feltétlenül egyértelm˝u és az (Ω, A) mérhet˝o téren számos további mérték létezhet, és nem ekvivalens mértékek esetén a nullmérték˝u halmazok családja nem azonos. A problémák elkerülése céljából csak azt szokás feltenni, hogy az A tartalmazza az úgynevezett univerzálisan mérhet˝o halmazokat, vagyis azokat a halmazokat, amelyek az összes véges mérték teljessé tételekor el˝ofordulnak. Ez a kiterjesztés lehet˝ové teszi a vetítési tétel használatát. 2 V.ö.: 1.19. definíció, 15. oldal. 3 V.ö.: 1.14. definíció, 13. oldal. 4 V.ö.: B.16. tétel, 385. oldal. 5 V.ö.: B.17. tétel, 385. oldal. 6 Tipikus példa a pontfolyamatokhoz rendelt számláló folyamat.

1.1. VÉLETLEN FÜGGVÉNYEK

3

1.1.1. Sztochasztikus folyamatok trajektóriái Els˝o megközelítésben a sztochasztikus folyamat olyan X (t, ω) kétváltozós függvény, amely rögzített t paraméter esetén az (Ω, A, P) téren értelmezett valószín˝uségi változó. A lehetséges id˝oparaméterek Θ halmaza rendszerint a valós számok részhalmaza. Ha folytonos idej˝u sztochasztikus folyamatokat vizsgálunk, akkor a Θ intervallum, általában Θ = R+ $ [0, ∞), de paraméterhalmazként a [0, ∞] és a (0, ∞) is gyakran el˝ofordul. A továbbiakban, ha másképpen nem említjük, akkor a lehetséges id˝opontok Θ halmazán az R+ félegyenest értjük. A definíció azonban pontosításra szorul. A valószín˝uségi változók a valószín˝uségszámítás és a matematikai analízis felfogása szerint ekvivalenciaosztályok. Ennek megfelel˝oen rögzített ω esetén nem beszélhetünk az X (t, ω) értékr˝ol. Mivel erre szükségünk van, a továbbiakban valószín˝uségi változó alatt nem az ekvivalenciaosztályt, hanem a függvényosztályból alkalmas szabályok szerint kivett konkrét reprezentánst értünk. Másképpen a sztochasztikus folyamat megadásakor meg kell adni a függvényosztályt, amely tartalmazza a trajektóriákat, és a folyamat tekinthet˝o az (Ω, A,P) téren értelmezett függvényérték˝u valószín˝uségi változónak. 1.1 Definíció. Valamely (Ω, A,P) mez˝on és Θ id˝ohalmazon értelmezett sztochasztikus folyamaton olyan a Θ × Ω halmazon értelmezett kétváltozós függvényt értünk, amely a második koordinátájában az (Ω, A, P) mez˝on értelmezett mérhet˝o valós függvény7 . 1.2 Definíció. Ha az ω ∈ Ω kimenetelt rögzítjük, akkor a t 7→ X (t, ω) hozzárendeléssel definiált X (·, ω) : Θ → R függvényt az X sztochasztikus folyamat ω kimenetel melletti realizációjának vagy trajektóriájának fogjuk nevezni. Ebben a felfogásban a folyamat konkrét realizációja nem „id˝opontonként” függ a véletlent˝ol, hanem a realizáció „egésze” függ t˝ole. A sztochasztikus folyamatok „lezajlását” nem célszer˝u úgy elgondolni, hogy minden id˝opontban „kockát vetünk”, hanem úgy, hogy a folyamat „elején” egyszer generálunk egy véletlen kimenetelt, amely már kiválasztja a folyamat teljes realizációját. A látszólagos „szemléleti ellentmondást” úgy oldhatjuk fel, ha megjegyezzük, hogy az Ω halmaz általában már maga is függvénytér, amely a t ∈ Θ paramétert˝ol függ˝o függvényekb˝ol áll, tehát az ω ∈ Ω meghatározása egy „véletlen folyam” kiválasztását jelenti8 . Mindjárt a tárgyalás elején célszer˝u jelezni, hogy a trajektóriákról folytonossági megkötéseket fogunk tenni. Igen gyakran meg fogjuk követelni a trajektóriák folytonosságát, vagy hogy a trajektóriáknak minden id˝opontban legyen jobb és bal oldali határértéke. 7 A definíció talán a tartalmatlanság erejéig túl általános, de mégis hogy nézne ki, hogy egy sztochasztikus folyamatokról szóló könyv nem tartalmazza a sztochasztikus folyamat definícióját. 8 Általában Ω a lehetséges trajektóriák halmaza, és a különböz˝ o folyamatokat az Ω-án megadott mértékek definiálják. Ebben a szemléletben a folyamatok konstrukciója alkalmas mértékek konstruálását jelenti. Ha Ω a lehetséges trajektóriák tere, akkor a folyamat kanonikus modelljér˝ol beszélünk. A sztochasztikus folyamatok elmélete nem függvénytér érték˝u valószín˝uségi változókkal foglalkozó valószín˝uségszámítás, de az elmélet számos kérdése függvénytereken értelmezett mértékek vizsgálatára vezethet˝o vissza.

4


1.3 Definíció. Az X folyamatot jobbról regulárisnak mondjuk, ha a trajektóriái jobbról folytonosak és rendelkeznek bal oldali határértékkel. Hasonlóan, ha a folyamat trajektóriái balról folytonosak és rendelkeznek jobb oldali határértékkel, akkor a folyamatot balról regulárisnak mondjuk. Az értelmezési tartomány alsó határán a folyamat bal oldali határértékén, illetve az értelmezési tartomány fels˝o határán a folyamat jobb oldali határértékén, definíció szerint, a folyamat helyettesítési értékét értjük, amennyiben természetesen a helyettesítési érték létezik. Némiképpen meglep˝o, de az, hogy a szakadási pontokban a folyamat a jobb, vagy a bal oldali határértékét veszi fel lényeges megkötést jelent. Ezt azért érdemes jelezni, hogy az olvasó mindjárt a tárgyalás elején érzékelje a trajektóriákra, illetve a folyamatokra tett mérhet˝oségi és folytonossági megkötések súlyát. Ha az X folyamat trajektóriái minden id˝opontban rendelkeznek jobb és bal oldali határértékkel, akkor beszélhetünk a folyamat ∆X (t) $ X (t+) − X (t−) ugrásairól. Az értelmezési tartomány alsó és fels˝o határán a határértékekre vonatkozó konvenciónak megfelel˝oen az R+ -on értelmezett, jobbról reguláris függvény esetén ∆X (0) = X (0+) − X (0−) = 0. Például a χR+ függvény, legalábbis mint sztochasztikus folyamat a t = 0 pontban balról és jobbról is folytonos, a t = 0 nulla pontban vett ugrása a konvenciónak megfelel˝oen nem egy hanem nulla! Természetesen nem akarjuk a határérték fogalmát újradefiniálni9 , csak a szóhasználat egyszer˝usítésér˝ol és a terminológia pontosításáról van szó. A határértékek létezése miatt egy ε > 0 számnál nagyobb nagyságú ugrások nem torlódhatnak, így érvényes a következ˝o fontos és a kés˝obbiekben gyakran hivatkozott észrevétel: 1.4 Állítás. Ha az X folyamat trajektóriái jobbról, vagy balról regulárisak, akkor minden trajektóriára minden véges intervallumon az adott ε > 0 számnál nagyobb ugrások száma véges, és minden trajektóriára az ugrások száma legfeljebb megszámlálható.

1.1.2. Kanonikus modell Ugyancsak a tárgyalás elején, az alapfogalmak bevezetésekor célszer˝u hangsúlyozni az úgynevezett kanonikus reprezentáció, vagy modell szerepét. Emlékeztetünk, hogy a valószín˝uségszámításban az (Ω, A, P) mez˝o bevezetése nagyrészt didaktikai okokból történik, ugyanis a releváns kérdések mindegyike a valószín˝uségi változók eloszlásához köt˝odik és független a változókat hordozó mez˝o minden konkrét tulajdonságától. Az, hogy melyik ω következett be, nem tudjuk, csak a ξ (ω) értékeket ismerjük. Az (Ω, A, P) tartalmazza az „okokat”, de mi csak a ξ (ω) „okozatokat” látjuk. Mindaddig, amíg a figyelembe vett változók együttes eloszlása azonos, azonosnak tekintjük o˝ ket függetlenül attól, hogy az együttes eloszlás mögött lev˝o, a konkrét változókat hordozó különböz˝o (Ω, A, P) terek milyen tulajdonságokkal bírnak. Ennek megfelel˝oen az (Ω, A, P) tér, amennyiben ez segít, minden további megfontolás nélkül „kanonikus” 9 Az értelmezési tartományon kívülr˝ ol nem lehet határértéket venni, így az általunk bevezetett konvenció nem ütközik a megszokott definícióval. Megjegyezzük, hogy az irodalomban néhány szerz˝o az X (0−) $ 0 konvencióval él. Ilyenkor általában (∆X) (0) = X (0) 6= 0.

1.1. VÉLETLEN FÜGGVÉNYEK

5

módon megválasztható, vagyis feltehetjük, hogy Ω $ R, A $ B (R) és P a ξ eloszlásfüggvénye által generált mérték. Többdimenziós eloszlások esetén a „kanonikus modellben” Ω $ Rn , A $ B (Rn ) és P az együttes eloszlásfüggvény által generált mérték. A ξ függvényr˝ol kimondott egyetlen olyan állítás sem tekinthet˝o valószín˝uségszámítási állításnak, amely nem igazolható, vagy írható le a „kanonikus modell” keretei között. Analóg módon a sztochasztikus folyamatok elméletében az X folyamat trajektóriát „látjuk”, vagyis a ténylegesen megfigyelt objektumok a trajektóriák. Ennek megfelel˝oen az Ω alapteret, természetesen csak akkor, ha ez a tárgyalást megkönnyíti, „kanonikus” módon a trajektóriák terének választhatjuk. A valószín˝uségszámítás és a sztochasztikus folyamatok elmélete közötti nem elhanyagolható eltérés pusztán annyi, hogy az A „kanonikus” mérhet˝oségi struktúra kijelölése nem mindig kézenfekv˝o, ugyanis függvényterek esetén elvileg több, eltér˝o „természetes” mérhet˝oségi struktúra vezethet˝o be, így a „kanonikus” struktúra megadása általában nem magától érthet˝od˝o10 . Legtöbbször a mérhet˝oségi struktúrát a szorzatmérhet˝oség az Ω által reprezentált függvényosztályra való lesz˝ukítése adja. Ugyanakkor lehetséges mérhet˝oségi struktúraként felvethet˝o az Ω függvényosztályon eredend˝oen meglev˝o, vagy speciálisan konstruált topológiai struktúra által generált Borel–mérhet˝oség is. Semmi garancia nincsen arra, hogy a kett˝o megegyezzen11 .

1.1.3. Sztochasztikus folyamatok egyenl˝osége Az X sztochasztikus folyamat három természetes „metszettel” rendelkezik. Az egyik maga a folyamat, a „kétdimenziós metszet”, amelyre az X mellett az X (t, ω) jelölést is használni fogjuk. Ez a jelölés hangsúlyozza leginkább, hogy a folyamat kétváltozós függvény. Például a folyamat különböz˝o mérhet˝oségi tulajdonságai az X kétváltozós függvény különböz˝o σ-algebrák szerinti mérhet˝oségét jelenti. Természetesen precízebb lenne a (t, ω) 7→ X (t, ω) jelölés, de ez túlzott pedantéria, amit kerülni fogunk. Gyakran használjuk az X (t) vagy az Xt jelölést, amely a t id˝oponthoz tartozó valószín˝uségi változót jelöli. Hasonlóképpen használni fogjuk az X (ω) , illetve az Xω jelöléseket is, amelyek alatt az ω kimenetelhez tartozó trajektóriát értjük. Általános szabályként azt mondhatjuk, hogy ha valamelyik változót nem írjuk ki, akkor a jelölt objektum, mint a ki nem írt változó függvénye értend˝o. Nem biztos, hogy ez a legszerencsésebb és legprecízebb konvenció, de talán a legegyszer˝ubb. Mikor tekintsünk sztochasztikus folyamatokat ekvivalensnek, vagyis mikor mondjuk, hogy két folyamat ugyanazt a „jelenséget” írja le. 1.5 Definíció. A lehetséges definíciók közül tekintsük a következ˝oket: 1. Közös Θ paraméterhalmazzal rendelkez˝o X és Y folyamatok eloszlása megegyen n zik, ha tetsz˝oleges n ≥ 1 és (tk )k=1 ⊆ Θ paraméterekre az (X (tk ))k=1 és az 10 Nem beszélve a nullmérték˝ u halmazok, illetve a szokásos feltételek szerepér˝ol, amellyel analóg probléma a valószín˝uségszámítás tárgyalásakor nem jelentkezik. 11 A folytonos függvények C [0, ∞) osztályán a két struktúra egybeesik, de például a jobbról reguláris függvények D [0, ∞) terének alkalmas topologizálása már nem oldható meg triviálisan. [15], VI. fejezet.


6

n

(Y (tk ))k=1 vektorok eloszlása azonos. Érdemes megjegyezni, hogy mivel a definíció szerint csak az X és az Y véges dimenziós eloszlásainak kell megegyezni, ezért esetlegesen az X és az Y folyamatokhoz tartozó valószín˝uségi mez˝ok különböz˝oek lehetnek. 2. Az X folyamat az Y folyamat sztochasztikusan ekvivalens módosítása, röviden ekvivalens módosítása, ha minden t ∈ Θ esetén az X (t) és az Y (t) változók legfeljebb csak nullmérték˝u halmazon különböznek, vagyis ha minden t ∈ Θ id˝opontban P (X (t) = Y (t)) = P ({ω : X (t, ω) = Y (t, ω)}) = 1. Hangsúlyozni kell, hogy a definíció megengedi, hogy az eltér˝o érték˝u kimenetelek halmaza minden t ∈ Θ id˝opontban más és más legyen12 . Ha tartjuk magunkat ahhoz a valószín˝uségszámítási konvencióhoz, hogy a nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve megegyez˝o változókat azonosnak tekintjük, akkor az X az Y ekvivalens módosítása, ha minden t ∈ Θ id˝opontban X (t) = Y (t). 3. Az X és az Y sztochasztikus folyamatok megkülönböztethetetlenek, ha létezik olyan N ⊆ Ω nulla valószín˝uség˝u halmaz, hogy ha ω ∈ / N, akkor X (ω) = Y (ω) , vagyis minden t ∈ Θ id˝opontban és ω ∈ / N kimenetelre X (t, ω) = Y (t, ω). Ha a sztochasztikus folyamatok azonosságát az els˝o definíció szerint értjük, akkor lényegében a sztochasztikus folyamatok elmélete a klasszikus valószín˝uségszámítás nem túl hosszú fejezetére redukálódik. A terület specifikus állításaiban vagy a második, vagy a harmadik definíció szerinti azonosságot fogjuk használni. Legtöbbször a második definíció szerint ekvivalens folyamatok családjából kiválasztunk egy „jó” tulajdonsággal rendelkez˝ot, amelyr˝ol viszont megmutatjuk, hogy a harmadik értelemben egyértelm˝u. Például, miként jeleztük, a trajektóriákról általában feltesszük, hogy valamilyen folytonossági tulajdonsággal rendelkeznek. Az alábbi állítás alapján legtöbbször a második definíció is biztosítja a trajektóriák azonosságát. 1.6 Állítás. Tegyük fel, hogy az X és az Y realizációi minden id˝opontban majdnem minden ω kimenetelre egyszerre vagy jobbról vagy balról folytonos függvények13 . Ha X az Y ekvivalens módosítása, akkor az X és az Y megkülönböztethetetlen. 12 Fel kell hívni a figyelmet arra, hogy ha nem teljesülnek a szokásos feltételek, v.ö.: 1.9. definíció, 8. oldal, akkor mivel az F filtráció Ft elemei nem feltétlenül tartalmazzák az (Ω, A, P) nullmérték˝u halmazait, ezért el˝ofordulhat, hogy az X az Y ekvivalens módosítása, az X adaptált, de az Y nem az. Ez mindjárt igen jó ok arra, hogy a filtráció tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat. Erre több okból is szükségünk lesz, de a lehetséges okok közül az egyik legkézenfekv˝obb, hogy így az ekvivalens módosítás megtartja az adaptáltságot. 13 Az, hogy melyik oldalról folytonos közömbös, és az állításnak megfelel˝ oen függhet a t ponttól. A határpontokban a „belülr˝ol” való folytonosságot kell megkövetelni, tehát például ha Θ = [0, ∞), akkor a 0 pontban a jobbról való folytonosságot, hiszen csak ennek van értelme. Ennek megfelel˝oen a balról folytonos folyamatokat általában a 0 pontban nem is szokás értelmezni.

1.2. SZTOCHASZTIKUS FOLYAMATOK MÉRHETSÉGE

7

Bizonyítás: Legyen N0 az állításban szerepl˝o folytonossági szempontból kivételezett pontok halmaza, vagyis ha ω ∈ / N0 , akkor minden t0 pontban az X (ω) és az Y (ω) ugyanarról az oldalról folytonos. Legyen (rk )k a Θ mindenütt s˝ur˝u, megszámlálható részhalmaza, és legyenek (Nk )k az (rk )k id˝opontokhoz tartozó kivételes ω kimenetelek halmazai. Ha N $ ∪∞ / N kimenek=0 Nk , akkor P (N ) = 0, és minden ω ∈ telre X (rk , ω) = Y (rk , ω). Mivel azonban az X (ω) és az Y (ω) függvények minden t ∈ Θ id˝opontban ugyanarról az oldalról folytonosak, ezért minden t ∈ Θ-ra X (t, ω) = Y (t, ω) . 2 1.7 Példa. Az ekvivalens módosítással a trajektóriák topológiai, folytonossági tulajdonságai megváltoztathatóak. Valamely sztochasztikus folyamat tárgyalása során rögzíteni kell a folyamat trajektóriáinak a vizsgálatban felhasznált tulajdonságait. Ilyen tulajdonság lehet például a trajektóriák folytonossága, vagy deriválhatósága stb. Az ekvivalens módosítás során ezek a tulajdonságok nem túl meglep˝o módon megváltozhatnak. Legyen (Ω, A, P) $ ([0, 1] , B, λ) és Y (t, ω) ≡ 0. Az Y trajektóriái triviálisan folytonosak. Ha χQ a racionális számok halmazának karakterisztikus függvénye, akkor az X (t, ω) $ χQ (t + ω) trajektóriái minden ω-ra egyetlen t id˝opontban sem folytonosak, ugyanakkor az X az Y = 0 ekvivalens módosítása. A példából az is látszik, hogy abból hogy X az Y ekvivalens módosítása általában nem következik, hogy az X és az Y megkülönböztethetetlenek. 2

1.2. Sztochasztikus folyamatok mérhet˝osége Nem túl meglep˝o módon a sztochasztikus folyamatok imént bevezetett fogalma túl általános. Ebben a pontban néhány további definíciót ismertetünk. Érdemes explicite rögzíteni, hogy a valószín˝uségszámítás, és így a sztochasztikus folyamatok elmélete a matematikai analízisre épül, és így lényegében csak mérhet˝o függvényekkel foglalkozik. Míg ez a megjegyzés természetes, távolról sem triviális a mérhet˝o függvények alkalmas osztályának kijelölése. Minden sztochasztikus folyamatról megköveteljük, hogy mint kétváltozós függvény szorzatmérhet˝o legyen. Ennek azonban nincsen túlzott jelent˝osége, ugyanis a tárgyalás során számos, a szorzatmérhet˝oségnél jóval szigorúbb mérhet˝oségi koncepcióval fogunk találkozni. 1.8 Példa. Majdnem mindenhol folytonos trajektóriájú folyamat, amely nem szorzatmérhet˝o. Legyen (Ω, A, P) $ ([0, 1] , B, λ) és jelölje E a [0, 1] valamely nem Lebesgue–mérhet˝o részhalmazát. Az 0 ha ω 6= 0 X (t, ω) $ χE (t) ha ω = 0


8

majdnem minden ω esetén folytonos, de az {X = 1} halmaz nem szorzatmérhet˝o, hiszen a metszete az {ω = 0} egyenessel nem mérhet˝o14 . 2 Az olvasónak az alább bevezetett egyes mérhet˝oségi fogalmak viszonyát pontosan meg kell érteni, ugyanis matematikai szempontból a nehézségek jelent˝os része valamilyen mérhet˝oségi problémaként jelentkezik. A mérhet˝oségi problémák két szorosan összefügg˝o okból jelentkeznek. Az egyik ok a filtráció és az adaptáltság bevezetése, a másik a trajektóriák analitikus tulajdonságainak megkövetelésével függ össze. A trajektóriák jobbról vagy balról való folytonossága a határátmenet15 során nem o˝ rz˝odik meg, ezért a jobbról, illetve balról folytonos trajektóriájú folyamatokat mérhet˝oségi értelemben le kell zárni, vagyis be kell vezetni a jobbról, illetve balról folytonos folyamatok által generált mérhet˝oségi struktúrákat.

1.2.1. Filtráció, adaptált és progresszíven mérhet˝o folyamatok Minden folyamat alapvet˝o sajátossága az alapul vett id˝o „irreverzíbilis változása”. Az „id˝o múlását” a filtráció fogalma írja le. 1.9 Definíció. Az (Ω, A, P) valószín˝uségi mez˝on minden t ∈ Θ id˝oponthoz rendeljük hozzá az Ft ⊆ A σ-algebrát. Ha minden s < t esetén Fs ⊆ Ft , akkor az F $ (Ft )t∈Θ összességet eseményfolyamnak, filtrációnak nevezzük. Az (Ω, A,P, F) négyest sztochasztikus alaptérnek mondjuk. Az F filtráció segítségé vel elkészíthetjük az Ft+ $ ∩s>t Ft , Ft− $ σ (∪s

9

Miként az elnevezés is mutatja, általában a filtrációról, illetve az alaptérr˝ol fel fogjuk tenni a szokásos feltételeket. Ennek számos oka van. Az olvasónak a tárgyalás során folyamatosan érzékelnie kell a feltétel szerepét és súlyát. A nullhalmazoknak a filtrációhoz csatolása kézenfekv˝o, mivel így az ekvivalens módosítás nem rontja el az adaptáltságot. A jobbról való folytonosság többek között azért hasznos, mert ilyenkor minden gyenge megállási id˝o megállási id˝o16 . Ha az alaptér teljesíti a szokásos feltételeket, akkor a Borel–halmazok találati ideje megállási id˝o. A fejezet els˝o részében sem az (Ω, A, P) teljességét, sem a filtrációra tett szokásos feltételeket hallgatólagosan nem követeljük meg. Ennek oka azonban nem az általánosságra való törekvés, hanem annak explicit kiemelése és demonstrálása, hogy az említett két feltétel az elmélet alapját jelent˝o állítások igazolásához szükség. Ennek megfelel˝oen a fejezet második részében, illetve kés˝obb a könyv hátralev˝o részében mindig hallgatólagosan, tehát minden további említés nélkül, megköveteljük az említett feltételeket. Meg kell azonban jegyezni, hogy a szokásos feltételek megkövetelése nem mindig szerencsés. Ennek oka, hogy a nullmérték˝u halmazok családja függ az alapul vett mértékt˝ol és az (Ω, A, F) filtrált téren több különböz˝o mérték is értelmezhet˝o, s˝ot értelmezend˝o. Ebb˝ol önmagában nem származik semmi probléma, ugyanis a vetületi tétel használhatóságához az A σ-algebrát a nullmérték˝u halmazok helyett elegend˝o az úgynevezett univerzálisan mérhet˝o nullmérték˝u halmazokkal kib˝ovíteni. Az univerzálisan mérhet˝o halmazok családja a különböz˝o mértékek szerint teljessé tett σ-algebrák metszete, vagyis az olyan halmazok családja, amelyek a számba jöhet˝o véges mértékek szerint kib˝ovített terek metszete. El˝ofordulhat azonban, hogy egy olyan Q mértéket kell vizsgálni, amelyik nem abszolút folytonos az eredeti P mértékre nézve. Széls˝oséges esetben el˝ofordulhat, hogy valamely A halmazra P (A) = 0, de Q (A) = 1. Ilyenkor az A összes részhalmaza eleme az A kib˝ovített térnek amely a Q szempontjából értelmetlenül sok esemény bevezetését jelenti. A probléma klasszikusan a Girszanov–formula kapcsán jelentkezik. Ilyenkor a Q mértékre való áttérés során általában csak véges id˝ohorizonton lesz a transzformált folyamat Wiener–folyamat. A gond abból származik, hogy a Girszanov–transzformációval kapott új Q mérték nem abszolút folytonos az eredeti P mértékre nézve, csak úgymond lokálisan abszolút folytonos, vagyis a Q csak az összes Ft σ-algebrára lesz˝ukítve lesz abszolút folytonos a P-re nézve. Az ebb˝ol ered˝o problémákat elkerülend˝o a filtrációt csak az olyan nullmérték˝u halmazokkal érdemes b˝ovíteni, amelyek az Ft , t < ∞ σ-algebrák és nem az F∞ $ σ (Ft , t < ∞) teljessé tétele miatt keletkeznek17 . A figyelmes olvasó könnyen beláthatja, hogy az így kapott jóval sz˝ukebb b˝ovítés is megfelel˝oen b˝o, vagyis az így kapott kib˝ovített tér is elegend˝oen b˝o ahhoz, hogy a sztochasztikus analízis tételeit be tudjuk látni18 . Az Ft σ-algebrát szokás úgy interpretálni, mint az olyan események halmaza, amelyek bekövetkezése, illetve be nem következése a t id˝opontig eldönthet˝o, másképpen fogalmazva Ft a t id˝opontig „felhalmozódott” információk összessége. Ha Ft a t id˝o16 V.ö.:

1.14. definíció, 13. oldal, 1.16. állítás, 14. oldal. t σ-algebrák számossága nem megszámlálható, ezért ha ∗ jelöli a σ-algebra teljessé tételét, akkor σ (Ft∗ : t < ∞) ⊆ (σ (Ft : t < ∞))∗ és a tartalmazás szigorú. V.ö.: 4.24. példa, 320. oldal. 18 A teljessé tétellel kapcsolatos problémákkal csak érint˝ olegesen fogunk foglalkozni, de hasznos, ha az olvasó pontosan követi az egyes állítások bizonyítása során fellép˝o nullmérték˝u halmazok szerkezetét. A probléma világos megértését nagyban el˝osegíti a 4.24. példa, 320. oldal, áttanulmányozása. 17 Másképpen fogalmazva az F

10


pontig bezárólag bekövetkezett események, akkor az Ft− elemeire úgy gondolhatunk, mint az olyan eseményekre, amelyek a t id˝opont el˝ott következtek be, az Ft+ elemei az olyan események, amelyek a t id˝opontot közvetlenül követ˝o id˝opontig bezárólag következnek be19 . A filtráció fogalmával esetlegesen el˝oször találkozó olvasóban felmerülhet, hogy miként lehet filtrációt „készíteni”, illetve hogy az A σ-algebrának milyen rész σ-algebrái vannak. Filtrációt számos módszerrel lehet megadni. Tekintsük a kanonikus modellt, vagyis tegyük fel, hogy az Ω elemei a Θ paramétertéren értelmezett alkalmas tulajdonsággal rendelkez˝o függvények, és az (Ω, A) eseménytér legyen a szorzatmérhet˝oség által indukált mérhet˝oségi struktúra, vagyis tekintsük az {ω : ω (t1 ) ∈ I1 , . . . , ω (tn ) ∈ In }

(1.1)

alakú halmazok által generált σ-algebrát, ahol a t1 , . . . , tn id˝opontok a Θ tetsz˝oleges elemei, az I1 , . . . , In pedig az esemény megfogalmazásához szükséges halmazok. Ha az Ft0 halmazt úgy definiáljuk, mint az olyan (1.1) alakú halmazok által generált σ-algebrát, amelyekre a ti id˝opontok egyike sem nagyobb mint t, akkor monoton növeked˝o σ-algebra sorozathoz jutunk. Az Ft0 ismeretében az Y (t, ω) $ ω (t) folyamat aktuális realizációját meghatározó ω kimenetel t id˝opontig való lefutása meghatározható, hiszen tetsz˝oleges s ≤ t id˝opontra és I intervallumra eldönthet˝o, hogy az {ω (s) ∈ I} ∈ Ft0 esemény teljesült vagy sem. Természetesen, ha s > t, akkor az ω (s) alakulását az Ft0 már „nem írja el˝o”. Ez a konstrukció speciális esete a következ˝onek: Rögzítsük az X alapfolyamatot, és FtX $ σ (X (s) : s ≤ t). Mindkét esetben a fels˝o index arra utal, hogy a definiált filtráció még nem azonos a tényleges filtrációval. Ennek oka, hogy a folyamat által generált filtráció általában nem teljesíti a szokásos feltételeket, azaz nem tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat és legtöbbször nem jobbról folytonos. Mivel ez igen nagy hiányosság, ezért az F X filtrációt ki kell b˝ovíteni. Leggyakrabban a tényleges F filtrációt az X alapfolyamat és az (Ω, A, P)-nullmérték˝ u halmazok valamilyen N ⊆ A osztálya generálja, vagyis Ft $ σ FtX ∪ N . Az így kapott F filtrációt szokás az F X kib˝ovített filtrációjának mondani. Meglep˝o módon a kib˝ovített filtráció igen gyakran20 jobbról folytonos, vagyis teljesíti a szokásos feltételeket. 1.10 Definíció. Ha F filtráció, az X folyamat minden t id˝opontban az ω szerint Ft -mérhet˝o, akkor azt mondjuk, hogy az X adaptált az F-re nézve21 . Az A ⊆ Θ × Ω halmazt adaptáltnak mondjuk, ha az A halmaz χA karakterisztikus függvénye adaptált. 19 Vegyük észre, hogy szemben az F t− σ-algebrával az Ft+ interpretációja némiképpen homályos. A t id˝opont el˝ott fogalma világos, de a t id˝opontot követ˝o id˝opont fogalma nem t˝unik világosnak. Valami vagy a t id˝opont el˝ott, vagy a t id˝opontban vagy a t id˝opont után következhet be. Ez heurisztikusan arra utal, hogy az F jobbról való folytonossága nem jelent er˝os megkötést. 20 V.ö.: [20], 14.43. állítás, 642. oldal. Vegyük észre, hogy ha a filtráció jobbról folytonos, akkor a nullhalmazokkal kib˝ovített filtráció is jobbról folytonos marad, tehát a jobbról folytonosság garantálása a nehezebb. 21 Az irodalomban szokás volt jöv˝ ot˝ol való függetlenségr˝ol beszélni. Ez alatt az kellett érteni, hogy a folyamat értéke a t id˝opontban nem függ a t után felvett értékét˝ol, a folyamatnak nincsenek a jöv˝ore nézve „várakozásai”.


11

A továbbiakban, ha csak explicite nem mondjuk az ellenkez˝ojét, mindig csak adaptált folyamatokkal foglalkozunk. Könnyen belátható, hogy az adaptált halmazok σalgebrát alkotnak. Az adaptáltság és a mérhet˝oség közötti különbség választja el a mértékelméletet a sztochasztikus folyamatoktól. Az Ft σ-algebrák elvileg jóval sz˝ukebbek lehetnek mint az A, de mivel csak adaptált folyamatokkal foglalkozunk, feltehetjük22 , hogy A = F∞ , ahol F∞ $ σ (Ft : t ∈ Θ). 1.11 Példa. Ha F ≡ {∅, Ω}, akkor csak az ω szerint konstans sztochasztikus folyamatok adaptáltak23 . Az F ≡ A, filtrációra nézve minden mérhet˝o sztochasztikus folyamat adaptált. Nem érdektelen rögzíteni, hogy az F felhalmozott információként való interpretációját óvatosan kell kezelni, a szemléletes, intuitív tartalom, a matematikában megszokott módon, nem pontosan esik egybe a definícióval. Példaként (Ω, A, P) legyen a [0, 1] intervallum az egyenletes eloszlással. Ha F az egy pontból álló halmazok által generált σ-algebra, vagyis az olyan halmazok összessége, amelyek vagy maguk, vagy a komplementerük legfeljebb megszámlálható, akkor az F és az A σ-algebrák függetlenek, vagyis az F minden halmaza független az A minden halmazától, hiszen ha A ∈ A és F ∈ F, akkor vagy P (F ) = 0, vagy P (F c ) = 0, és így P (A ∩ F ) = P (A) P (F ). A függetlenség szokásos interpretációja alapján az F „nem tartalmaz információt” az A-ra nézve. Ha az F által reprezentált összes „információ” rendelkezésünkre áll, vagyis az összes F ∈ F halmazról el tudjuk dönteni, hogy bekövetkezett vagy sem, akkor meg tudjuk állapítani azt is, hogy melyik konkrét ω ∈ Ω kimenetel realizálódott. Az ω kimenetel ismeretében már minden A ∈ A eseménnyel kapcsolatban el tudjuk dönteni, hogy bekövetkezett vagy sem, következésképpen az F tartalmazza az összes A-ra vonatkozó „információt”. Az A σ-algebra a valószín˝uségszámításban azokat az eseményeket tartalmazza, amelyeknek van valószín˝usége, vagyis amelyek valószín˝usége a rendelkezésre álló „információ” alapján kiszámolható. Az „információ” az adott esemény valószín˝uségére és nem annak bekövetkezésére vonatkozik. Az adaptáltság a parciális mérhet˝oséget általánosítja, a szorzatmérhet˝oség általánosítása a progresszíven való mérhet˝oség. Miként a mértékelmélet tárgyalásakor láttuk, a parciális mérhet˝oségb˝ol nem következik a szorzatmérhet˝oség24 . Ennek következtében abból, hogy az X folyamat adaptált még nem következik, hogy valamely [0, t] szakaszra való megszorítása B ([0, t]) × Ft szorzatmérhet˝o, ahol természetesen szorzatmérhet˝oségen a B ([0, t]) és az Ft σ-algebrák segítségével képzett mérhet˝o téglák által generált legsz˝ukebb σ-algebrát értjük25 . 1.12 Definíció. Az A ⊆ Θ × Ω halmazt progresszíven mérhet˝onek mondjuk, ha minden t ∈ Θ esetén A ∩ ([0, t] × Ω) ∈ B ([0, t]) × Ft , 22 Feltehetjük,

de ennek semmi jelent˝osége a kés˝obbiekben nem lesz. szokás determinisztikus folyamatoknak mondani. 24 V.ö.: [20], 2.74. példa, 65. oldal. 25 V.ö.: [20], 2.21. definíció, 32. oldal. 23 Ezeket

12


vagyis az A halmaznak a [0, t]×Ω halmazra való lesz˝ukítése (B ([0, t]) × Ft )-mérhet˝o. A progresszíven mérhet˝o halmazok σ-algebrát alkotnak, amelyet R-rel fogunk jelölni. Az X folyamat progresszíven mérhet˝o, ha mint kétváltozós függvény R-mérhet˝o. A progresszíven való mérhet˝oség fogalma némiképpen er˝oltetettnek t˝unik. Miért nem elegend˝o az adaptáltság? Milyen heurisztikus indok magyarázza a progresszíven való mérhet˝oség bevezetését? A filtrációt általában a modellben szerepl˝o küls˝o véletlen forrás definiálja. A generált σ-algebrák struktúrája szerint az Ft σ-algebrában a véletlen forrás megszámlálható t el˝otti id˝opontban való megfigyeléséb˝ol származó információk találhatóak. Ennek megfelel˝oen az adaptáltság a megszámlálható id˝opontban megfigyelt információtól való függést jelenti. A progresszíven való mérhet˝oség megkövetelése esetén nem megszámlálható id˝opontban való megfigyeléseket is figyelembe akarunk venni26 . 1.13 Példa. Minden jobbról vagy balról folytonos, adaptált folyamat progresszíven mérhet˝o. A példa triviálisan következik abból, hogy minden olyan kétváltozós függvény, amelyik az egyik változójában mérhet˝o és a másik változójában jobbról, vagy balról folytonos szorzatmérhet˝o27 . Progresszíven mérhet˝o folyamatokra a kanonikus példát a sztochasztikus folyamatok ugrásaiból álló folyamatok szolgáltatják. Ha az X folyamat például jobbról reguláris, akkor az ugrásaiból álló ∆X (t) $ X (t) − X (t−) folyamat nem lesz se jobbról, se balról folytonos, de progresszíven mérhet˝o lesz. 2 Miként a szorzatmérhet˝oség, úgy a progresszíven való mérhet˝oség is igen enyhe feltétel, tulajdonképpen a legenyhébb használható mérhet˝oségi megkötés. A progresszíven való mérhet˝oség fontos következménye, amely a Fubini–tétel közvetlen folyománya, hogy a feltétel teljesülésekor tetsz˝oleges µ lokálisan véges mérték28 esetén a Z t (t, ω) 7→ X (s, ω) dµ (s) 0 29

integrálfolyamat adaptált marad .

1.2.2. Megállási id˝ok A filtráció mellett a sztochasztikus folyamatok elméletének másik alapfogalma a megállási id˝o, vagy másképpen megállási szabály. A megállási id˝o interpretációja a vélet26 Kés˝ obb látni fogjuk, hogy a progresszíven való mérhet˝oség a sztochasztikus folyamatok trajektóriánkénti integrálása során, illetve a megállított változók mérhet˝oségének indoklásakor szerepel. Mindkét esetben a konstrukció során készített változók értéke az eredeti folyamat nem megszámlálható id˝opontban felvett értékét˝ol függ. 27 V.ö.: [20] 9.109. példa, 370. oldal. 28 Vagyis a mérték σ-véges. Természetesen hallgatólagosan feltesszük, hogy az integrál értelmes és a Fubini–tétel használható, vagyis például X ≥ 0, vagy az X korlátos, stb. 29 A progresszíven való mérhet˝ oség a sztochasztikus analízisben a kockázatos és az el˝orejelezhet˝o folyamatokhoz képest másodlagos szerepet játszik. Az integrálfolyamat adaptáltsága mellett a progresszíven mérhet˝o folyamatokra vonatkozó leggyakrabban használt állítás, a megállított változók Fτ -mérhet˝oségét garantáló 1.33. állítás, 23. oldal.


13

len id˝opontban bekövetkez˝o esemény bekövetkezésének id˝opontja. Nem túl meglep˝o módon a sztochasztikus folyamatokkal kapcsolatban felvethet˝o legtöbb releváns kérdés megállási szabályokkal függ össze. Nem minden véletlen id˝opont megállási id˝o. Csak azokat a véletlen id˝opontokat tekintjük megállási id˝onek, amelyek az alábbi definícióban szerepl˝o módon összekapcsolódnak a filtrációval. Interpretációját tekintve a megállási id˝o olyan véletlen id˝opont, amelynek bekövetkezése a filtrációban szerepl˝o információ alapján eldönthet˝o30 . 1.14 Definíció. Legyen adva az Ω kimenetelek halmaza és az F filtráció. Legyen τ : Ω → Θ ∪ {∞}. 1. A τ függvényt az F filtrációhoz tartozó megállási id˝onek, vagy megállási szabálynak mondjuk, ha minden t ∈ Θ esetén {τ ≤ t} ∈ Ft . A továbbiakban a megállási id˝ok halmazát Υ-vel fogjuk jelölni. 2. A τ : Ω → Θ∪{∞} az F filtrációhoz tartozó gyenge megállási id˝o, vagy gyenge megállási szabály ha minden t ∈ Θ esetén {τ < t} ∈ Ft . Ha az F filtráció a szövegkörnyezetb˝ol evidens, akkor a rá való hivatkozást elhagyjuk és egyszer˝uen megállási id˝or˝ol, vagy gyenge megállási id˝or˝ol fogunk beszélni. 1.15 Példa. Majdnem mindenhol nulla függvények mint megállási id˝ok. Legyen N nulla valószín˝uség˝u halmaz és a τ ≥ 0 függvény legyen nulla az N komplementerén. Ha az F filtráció Ft elemei tartalmazzák a nulla valószín˝uség˝u halmazokat és minden t-re az (Ω, Ft , P) teljes, akkor a τ megállási id˝o, ugyanis minden t-re teljesül a {τ ≤ t} ∈ Ft feltétel. Hasonlóan, ha a σ nullmérték˝u halmaztól eltekintve +∞, akkor az említett feltételek teljesülésekor a σ megállási id˝o. A két példa speciális esete a következ˝onek: Tegyük fel, hogy az (Ω, A, P,F) teljesíti a szokásos feltételeket. Ilyenkor az (Ω, A, P) teljes az Ft minden t-re tartalmazza a nulla valószín˝uség˝u eseményeket. Ha a τ megállási id˝o és a τ és a σ nullmérték˝u halmaztól eltekintve azonosak és σ ≥ 0, akkor a σ is megállási id˝o. A példa minden trivialitása ellenére alapvet˝o, ugyanis rámutat a teljesség egyik igen gyakran használt következményére, 30 Ha autóval utazunk, és τ egy megadott város utáni els˝ o benzinkút elérésének ideje, akkor a τ megállási id˝o, de a város utolsó benzinkútjának elérési ideje nem megállási id˝o, ugyanis csak úgy találhatjuk meg, ha a város végét jelz˝o tábla után visszafordulunk. Ugyancsak nem megállási id˝o például a trajektória maximumának helye, ugyanis az, hogy hol van a maximum csak a teljes trajektória ismeretében állapítható meg. Nem megállási id˝o a trajektóriák utolsó zérushelye, de általában az els˝o zérushely megállási id˝o. A megállási id˝o tehát interpretációját és matematikai definícióját tekintve igen speciális mérhet˝o függvény. Az irodalomban a terminológia nem egységes. Id˝onként megállási id˝on csak a véges érték˝u megállási id˝oket értik, a végtelen értéket is felvev˝o megállási id˝ot pedig Markov–id˝onek nevezik, de a fordított megkülönböztetésre is találhatunk példát.


14

miszerint teljesülése esetén a megállási szabályokat nullmérték˝u halmazon módosítva megállási szabályt kapunk. 2 Többször látni fogjuk, hogy a sztochasztikus folyamatok elmélete az id˝otengely szempontjából nem szimmetrikus. A filtráció az id˝otengely egyértelm˝u irányítását definiálja. Ennek egyik fontos megjelenése a következ˝o elemi, de igen gyakran használt állítás. 1.16 Állítás. Minden megállási id˝o gyenge megállási id˝o. Ha az F filtráció jobbról folytonos, akkor minden gyenge megállási id˝o megállási id˝o. Bizonyítás: Valóban, felhasználva, hogy minden filtráció monoton n˝o 1 ∈ Ft . {τ < t} = ∪n τ ≤ t − n Megfordítva, ha az F jobbról folytonos, vagyis ha Ft+ = Ft , akkor 1 ∈ ∩n Ft+1/n $ Ft+ = Ft . {τ ≤ t} = ∩n τ < t + n 2 A filtráció jobbról való folytonossága fontos szerepet játszik a következ˝o állításban is. 1.17 Állítás. Ha τ és σ megállási id˝ok, akkor a τ ∧ σ és a τ ∨ σ is megállási id˝o. Ha (τ n )n megállási id˝ok monoton növeked˝o sorozata, akkor a τ $ lim τ n n→∞

is megállási id˝o. Ha az F filtráció jobbról folytonos és (τ n )n megállási id˝ok monoton csökken˝o sorozata, akkor a τ $ lim τ n n→∞

szintén megállási id˝o. Bizonyítás: Legyenek τ és σ megállási id˝ok. {τ ∧ σ ≤ t}

=

{τ ≤ t} ∪ {σ ≤ t} ∈ Ft ,

{τ ∨ σ ≤ t}

=

{τ ≤ t} ∩ {σ ≤ t} ∈ Ft .

Ha τ n % τ , akkor minden t-re {τ ≤ t} = ∩n {τ n ≤ t} ∈ Ft . Ha τ n & τ , akkor minden t-re {τ ≥ t} = ∩n {τ n ≥ t} ∈ Ft


15

vagyis {τ < t} = ∪n {τ n < t} ∈ Ft . Ha az F filtráció jobbról folytonos, akkor a τ megállási id˝o. 2 1.18 Következmény. Ha az F filtráció jobbról folytonos és (τ n )n megállási id˝okb˝ol álló sorozat, akkor a lim supτ n , n→∞

lim inf τ n n→∞

határértékek szintén megállási id˝ok. A megállási id˝o absztrakt fogalmát a következ˝o definíció és az azt követ˝o tétel teszi tartalmassá. 1.19 Definíció. Ha Γ ⊆ R+ × Ω, akkor a τ Γ (ω) $ inf {t : (t, ω) ∈ Γ}

(1.2)

kifejezést a Γ halmaz kezd˝oidejének nevezzük. Ha B ⊆ R, X sztochasztikus folyamat, akkor a τ B (ω) $ inf {t : X (t, ω) ∈ B} (1.3) esetenként a τ B (ω) $ inf {t > 0 : X (t, ω) ∈ B}

(1.4)

változót a B halmaz elérési, vagy találati idejének fogjuk nevezni31 . A halmazok elérési ideje speciális esete a halmaz kezd˝oidejének, ugyanis ha B ⊆ R, X sztochasztikus folyamat, Γ $ {X ∈ B} , illetve Γ $ {X ∈ B} ∩ {t > 0} , akkor τ Γ = τ B. 1.20 Példa. Találati id˝okre, így megállási id˝okre vonatkozó legfontosabb példák a τ a (ω) $ inf {t : X (t, ω) Ra} típusú szintátlépési id˝ok, ahol R a ≥, >, ≤, < relációk valamelyike. A szokásos feltételek alapvet˝oek a következ˝o tételben: 1.21 Tétel. (Megállási id˝ok konstruálása) Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket és a Γ halmaz progresszíven mérhet˝o, akkor a Γ (1.2) kezd˝oideje megállási id˝o. 31 Ha τ (ω) = ∞, akkor ezt úgy interpretáljuk, hogy az ω kimenetelre az τ által leírt esemény nem következik be. Ennek megfelel˝oen τ Γ (ω) $ ∞, ha nincs olyan t, amelyre (t, ω) ∈ Γ. A τ B típusú jelöléseket különböz˝o helyzetekben eltér˝o tartalommal fogjuk használni. Ha a B halmaz a folyamat értékkészletének részhalmaza, akkor a τ B a B találati ideje, ha B az R+ × Ω részhalmaza, akkor a τ B kezd˝oid˝o. Ha B az Ω részhalmaza, akkor a τ B a τ megállási id˝o lesz˝ukítése a B eseményre. V.ö.: (B.1) sor, 383. oldal.

16


Bizonyítás: Vegyük a Γt $ Γ ∩ [0, t) × Ω halmazt. Az elérési id˝o definíciója alapján {τ Γ < t} = projΩ (Γt ) , ugyanis ha τ Γ (ω) < t, akkor van olyan s, hogy (s, ω) ∈ Γt , vagyis az ω eleme a vetületnek, megfordítva, ha ω eleme a vetületnek, akkor alkalmas s ∈ [0, t) esetén (s, ω) ∈ Γ, vagyis τ Γ (ω) ≤ s < t. A Γ progresszíven mérhet˝o, ezért Γt ∈ B ([0, t]) × Ft . Emlékeztetünk, hogy általában valamely szorzatmérhet˝o halmaz vetülete nem lesz mérhet˝o32 . Az A a feltétel szerint teljes, az Ft a szokásos feltételek teljesülése miatt tartalmazza a nulla halmazokat, ezért az Ft is teljes, így a vetítési tétel33 alapján a Γt szorzatmérhet˝o halmaz vetülete Ft -mérhet˝o, vagyis {τ Γ < t} = projΩ (Γt ) ∈ Ft , Az F jobbról folytonos34 , ezért minden gyenge megállási id˝o megállási id˝o, vagyis a τ Γ megállási id˝o. 2 1.22 Következmény. Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket, az X folyamat progresszíven mérhet˝o és a B halmaz Borel–mérhet˝o, akkor az (1.3) és az (1.4) kifejezések megállási id˝ok. 1.23 Példa. Borel–halmaz n-edik elérési ideje. Legyen X progresszíven mérhet˝o folyamat, σ megállási id˝o. Az (1.2) helyett gyakran kell a τ $ inf {t > σ : X (t) ∈ B} típusú változókat vizsgálni. A Γ $ {(t, ω) : X (t, ω) ∈ B} ∩ {(t, ω) : σ (ω) < t} , halmaz progresszíven mérhet˝o, ugyanis az X-re tett feltétel miatt a metszet els˝o halmaza progresszíven mérhet˝o, a másodikhoz tartozó karakterisztikus függvény pedig adaptált és balról folytonos. A tétel alapján, ha az (Ω, A,P,F) teljesíti a szokásos feltételeket, akkor a τ = τ Γ $ inf {t : (t, ω) ∈ Γ} megállási id˝o. Ez alapján az említett feltételek teljesülése esetén tetsz˝oleges Borel– halmazra a τ 0 $ 0, τ n+1 $ inf {t > τ n : X (t) ∈ B} 32 A vetítési tétel és a hozzá kapcsolódó problémák a mértékelmélet valóban nehéz kérdései közé tartoznak és távolról sem természetesek, vagy intuitíve világosak. Számos látszólag egyszer˝u probléma megoldásakor szembekerülünk avval, hogy mérhet˝o halmazok képét kell vizsgálni. A mérhet˝o függvény definíciója a mérhet˝o halmazok o˝ sképének mérhet˝oségét biztosítja. Még folytonos függvények esetén is el˝ofordulhat, hogy valamely mérhet˝o halmaz képe nem mérhet˝o. Például két Borel–mérhet˝o halmaz összege nem feltétlenül lesz Borel–mérhet˝o. 33 V.ö.: B.16, tétel, 385. oldal. 34 El˝ ofordulhat, hogy (s, ω) ∈ Γ, ha s > t, de (t, ω) ∈ / Γ. Ilyenkor τ Γ (ω) = t, de ω ∈ / projΩ (Γ ∩ [0, t] × Ω) . A bizonyításban tehát a filtráció jobbról folytonosságát kihasználtuk!


17

sorozat minden tagja megállási id˝o. 2 A bemutatott konstrukció el˝onye, hogy igen általános, de a tétel egyértelm˝u hátránya, hogy indoklása a vetületi tételre épül. A tétel által biztosított általánosságra a legtöbb konkrét konstrukció során nincsen szükség. 1.24 Példa. Nyílt és zárt halmazok elérési ideje. 1. Ha B halmaz zárt, X folytonos trajektóriájú folyamat, akkor az (1.3) megállási id˝o. Az X és a B egyszer˝u tulajdonságai miatt ezt minden további megkötés nélkül könnyen igazolhatjuk. A trajektóriák folytonossága miatt minden ω kimenetelre a K (t, ω) $ X ([0, t] , ω) halmaz kompakt. A B zártsága miatt K (t, ω) ∩ B = ∅ pontosan akkor, ha a két halmaz távolsága pozitív, és ilyenkor τ B (ω) > t. A trajektóriák folytonossága miatt az X ([0, t] ∩ Q, ω) s˝ur˝u a K (t, ω) halmazban. A távolságfüggvény folytonossága alapján {τ B ≤ t}

= {ω : K (t, ω) ∩ B 6= ∅} = {ω : d (K (t, ω) , B) = 0} = = {ω : inf {d (X (s, ω) , B) : s ≤ t, s ∈ Q} = 0} .

Rögzített s ≤ t-re az X (s, ω) Ft -mérhet˝o, ami az x 7→ d (x, B) folytonossága miatt teljesül a d (X (s, ω) , B)-ra is. Megszámlálható mérhet˝o függvény infimuma mérhet˝o, mérhet˝o függvény nívóhalmazai mérhet˝oek, tehát {τ B ≤ t} ∈ Ft . 2. Ha B nyílt, és az X trajektóriái jobbról folytonosak, akkor a (1.3) találati id˝o megállási id˝o az Ft+ σ-algebrára nézve, tehát ha az Ft jobbról folytonos, akkor a τ B megállási id˝o. Ezt úgy igazolhatjuk , ha megmutatjuk, hogy minden t-re {τ B < t} ∈ Ft . A trajektóriák jobbról folytonossága és a B nyíltsága miatt, X (s, ω) ∈ B, pontosan akkor akkor, ha egy alkalmas ε > 0 számra X (u, ω) ∈ B, ha u ∈ [s, s + ε). Ebb˝ol {τ B < t} = ∪s∈Q∩[0,t) {X (s) ∈ B} ∈ Ft . 3. Hasonlóan belátható, hogy ha X balról folytonos, a filtráció jobbról folytonos és B nyílt, akkor a τ B elérési id˝o megállási id˝o. 4. Ha B nyílt, és a filtráció nem jobbról folytonos, akkor még folytonos trajektóriák esetén sem tudjuk garantálni, hogy τ B megállási id˝o legyen35 . Ha például X (t, ω) $ t · ξ (ω) , ahol ξ (ω) normális eloszlású változó, és Ft a természetes filtráció, akkor F0 = {0, Ω} , és a B $ {x > 0} halmazhoz tartozó τ B , vagy nulla, vagy ∞ értéket vesz fel, attól függ˝oen, hogy ξ (ω) > 0, vagy ξ (ω) ≤ 0, következésképpen {τ B ≤ 0} ∈ / F0 . 2 A példa alapján a következ˝o állítás evidens: 35 Ennek oka a bemutatott gondolatmenet alapján is világos, ugyanis a {τ = t} tartalmazhat olyan ω Γ kimeneteleket, amelyekre az elérés csak a t „után” következik be. Ezért kell a {τ Γ < t} eseménnyel foglalkozni.

18


1.25 Állítás. Ha az F filtráció jobbról folytonos, X jobbról vagy balról folytonos adaptált folyamat, c tetsz˝oleges szám, akkor a τ (ω) $ inf {t : X (t, ω) > c} szintátlépési id˝o megállási id˝o. 1.26 Állítás. Ha σ tetsz˝oleges megállási id˝o, X jobbról reguláris, adaptált folyamat és c > 0, akkor a τ (ω) $ inf {t > σ : |∆X (t, ω)| ≥ c} szintátlépési id˝o megállási id˝o. A τ megállási id˝ore a {τ < ∞} halmazon |∆X (τ )| ≥ c, a {σ < ∞} halmazon τ > σ. Bizonyítás: Rögzítsünk egy ω kimenetelt és tegyük fel, hogy ∞ > tn & τ (ω) . Az X (ω) trajektória regularitása miatt a c-nél nagyobb nagyságú ugrások nem torlódhatnak, így egy elég nagy indext˝ol kezdve a tn már konstans, vagyis τ (ω) = tn > σ (ω) és |∆X| (τ (ω)) = |∆X| (tn ) ≥ c. Vezessük be az A (t) $ {r ∈ Q : r ≤ t} ∪ {t} halmazt. Megmutatjuk, hogy τ (ω) ≤ t pontosan akkor, ha minden n ∈ N esetén találhatók olyan qn , pn ∈ A (t) id˝opontok, amelyekre σ (ω) < pn < qn < pn + 1/n és 1 |X (pn , ω) − X (qn , ω)| ≥ c − . (1.5) n Az egyik irány evidens, vagyis ha τ (ω) ≤ t, akkor mivel a c-nél nagyobb ugrások nem torlódhatnak, ezért valamely s ≤ t id˝opontban |∆X (s, ω)| ≥ c, következésképpen a trajektóriák regularitása miatt a kívánt sorozatok elkészíthet˝oek. Megfordítva, tegyük fel, hogy a (pn )n , (qn )n sorozatok léteznek. Tekintsük a sorozatok egy-egy konvergens részsorozatát. Az egyszer˝ubb jelölés kedvéért feltehetjük, hogy már maguk a (pn )n , (qn )n sorozatok konvergensek. Legyen σ (ω) ≤ s ≤ t a közös határértékük. Ha végtelen sok indexre pn ≥ s, akkor az s tetsz˝oleges jobb oldali környezetében végtelen sok olyan [pn , qn ] szakasz van, amelyen az X megváltozása nagyobb c/2 > 0, ami ellentmond az X jobbról való folytonosságának. Hasonlóan, csak véges számú indexre lehet qn ≤ s. Ebb˝ol következ˝oen elég nagy indexre σ (ω) < pn ≤ s ≤ qn . Az (1.5) sorban határértéket véve |∆X (s, ω)| ≥ c, tehát τ (ω) ≤ s ≤ t. Összefoglalva:

1 {τ ≤ t} = ∩n∈N ∪ p,q∈A(t) {σ < q} ∩ |X (p) − X (q)| ≥ c − n p
.

Az A (t) megszámlálható, az X adaptált így triviálisan {τ ≤ t} ∈ Ft , következésképpen a τ megállási id˝o. 2


19

1.27 Következmény. Ha X jobbról vagy balról reguláris folyamat, c > 0 akkor a τ $ inf {t : |∆X (t)| ≥ c} szintátlépési id˝o megállási id˝o. Bizonyítás: Tetsz˝oleges reguláris folyamat esetén a folyamat c-nél nagyobb ugrásainak helye független attól, hogy a folyamatot jobbról, vagy balról regularizáltuk. 2 A szokásos feltételek között szerepl˝o jobbról való folytonosság alapvet˝o következménye a megállási és a gyenge megállási id˝ok egybeesése, amely a belátott állítások legtöbbjében kulcsszerepet játszott. A szokásos feltételek teljesülését mindig meg fogjuk követelni, így a megállási és a gyenge megállási id˝ok megkülönböztetése valójában súlytalan észrevétel. Ugyancsak az id˝otengely irányítottságával összefügg˝o, azonban sokkal mélyebb, és ezért jóval tartalmasabb a megállási id˝ok következ˝o osztályozása: 1.28 Definíció. Ha minden ω kimenetelre σ (ω) ≤ τ (ω) és σ (ω) < τ (ω) valahányszor τ (ω) > 0, akkor azt mondjuk, hogy a σ el˝orejelzi a τ megállási id˝ot. Ilyenkor a σ ≺ τ jelölést fogjuk használni. 1. A τ megállási id˝ot el˝orejelezhet˝onek, vagy jósolhatónak mondjuk, ha megadható (τ n )n megállási id˝okb˝ol álló olyan sorozat, amelyre τ n ≺ τ és τ n % τ . A (τ n )n sorozatot a τ el˝orejelzésének, jóslásának szokás mondani. 2. Ha a τ megállási id˝o olyan, hogy minden σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore P (τ = σ < ∞) = 0, akkor a τ -t teljesen el˝orejelezhetetlennek fogjuk mondani. 1.29 Példa. Poisson–folyamat ugrásaihoz tartozó megállási id˝ok teljesen el˝orejelezhetetlenek. Legyen N λ paraméter˝u Poisson–folyamat. Jelölje τ az N els˝o ugrásának helyét, vagyis τ $ inf {t : N (t) = 1} . A τ szintátlépési id˝o, tehát megállási id˝o. A Poisson–folyamat tulajdonságai alapján a τ λ paraméter˝u exponenciális eloszlású változó36 . Megmutatjuk, hogy a τ nem el˝orejelezhet˝o. Tegyük fel, hogy (τ n )n a τ jóslása. A triviálisan teljesül˝o N (τ n ) = 0 és a Lévy–folyamatok er˝os Markov–tulajdonsága37 alapján az N (n) $ N (t + τ n ) − N (τ n ) = N (t + τ n ) szintén λ paraméter˝u Poisson–folyamat. Ha σ n az N (n) els˝o ugrásának helye, akkor σ n = τ − τ n , és a σ n λ paraméter˝u exponenciális eloszlású változó. 1 = P (τ n % τ ) = P (σ n & 0) , 36 V.ö.: 37 V.ö.:

[20] 653. oldal. [20] 14.47. állítás, 645. oldal,


20

ami lehetetlen, ugyanis mivel a pontonkénti konvergenciából következik a gyenge konvergencia a (σ n )n határértékének eloszlása λ paraméterrel rendelkez˝o exponenciális eloszlású változó, amely csak nulla valószín˝uség˝u halmazon lehet nulla. A gondolatmenet megismétlésével azonnal látható, hogy a τ egyetlen „része” sem jósolható, vagyis nincsen olyan ρ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre pozitív valószín˝uség˝u B halmazon ρ = τ . Tegyük fel, hogy van ilyen és (ρn )n legyen a ρ jóslása. A τ n $ ρn ∧τ megállási id˝ore az N (n) $ N (t + τ n ) − N (τ n ) ismét λ paraméter˝u Poisson–folyamat. Ha ismét σ n jelöli az N (n) els˝o ugrásának helyét, akkor a σ n λ paraméter˝u exponenciális eloszlású változó. A (σ n )n majdnem mindenhol, tehát eloszlásban is konvergens, ami lehetetlen, ugyanis a (σ n )n σ ∞ határértéke a pozitív valószín˝uség˝u B halmazon nulla. 2 1.30 Példa. Ha w Wiener–folyamat és a > 0, akkor a τ a $ inf {t : w (t) = a} = τ a $ inf {t : w (t) ≥ a} szintátlépési id˝o jósolható. Valóban, mivel a > 0, ezért elég nagy n-re a − 1/n ≥ 0, és a τ a−1/n n megállási id˝ok sorozata szigorúan monoton n˝o. A w trajektóriáinak folytonossága miatt 1 = lim w τ a−1/n = w lim τ a−1/n , a = lim a − n→∞ n→∞ n→∞ n amib˝ol triviálisan τ a−1/n % τ a .

2

1.2.3. Megállított változók, folyamatok és σ-algebrák Megállási id˝ok segítségével definiálhatjuk a megállított változókat, folyamatokat és σ-algebrákat. Ezek a fogalmak a sztochasztikus folyamatok elméletének specifikus38 kategóriái. Az Fτ megállított σ-algebra mellett szokás még definiálni az Fτ + és Fτ − megállított σ-algebrákat. 1.31 Definíció. Legyen X sztochasztikus folyamat, τ megállási id˝o. 1. Megállított folyamaton az X τ (t, ω) $ X (τ (ω) ∧ t, ω) folyamatot, 38 Specifikus

abban az értelemben, hogy a mértékelméletben a fogalmaknak nincsen igazán analóg párja.


21

2. megállított változón a Xτ (ω) $ X (τ (ω) , ω) változót értjük. Az Xτ helyett legtöbbször a jobban olvasható X (τ ) jelölést fogjuk használni. Vegyük észre, hogy a megállított változó definíciója pontatlan, ugyanis nem világos, hogy amennyiben a folyamat nem terjeszthet˝o ki a ∞ id˝opontra, akkor mi a megállított változó értéke a {τ = ∞} halmazon. Ilyenkor szokás az Xτ (ω) $ X (τ (ω) , ω) χ (τ < ∞) (ω) definícióval élni39 . 3. Az Fτ megállított σ-algebra az olyan A ∈ A halmazokból áll, amelyekre minden t-re A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft . 4. Fτ + az olyan A ∈ A halmazokból áll, amelyekre minden t-re A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft+ . 5. Fτ − az F0 és az A ∩ {t < τ } , 40

alakú halmazok

A ∈ Ft

által generált σ-algebra, vagyis Fτ − $ σ (F0 , {A ∩ {t < τ } , A ∈ Ft }) .

A szokásos feltételek teljesülésekor Fτ = Fτ + , így az Fτ + σ-algebra kevés tételben játszik szerepet. Könnyen belátható, hogy ha τ = t, akkor Fτ − = Ft− , illetve Fτ + = Ft+ , vagyis a jelölés egyértelm˝u. Az Fτ + és az Fτ − definíciója nem szimmetrikus. Az Fτ interpretációjára kés˝obb vissza fogunk térni. Az Fτ + és az Fτ − σ-algebrák bevezetését, miként alább látni fogjuk, az indokolja, hogy ha τ n & τ , akkor Fτ n & Fτ + , illetve ha (τ n )n a τ jóslása, akkor Fτ n % Fτ − . Ennek megfelel˝oen az Fτ − csak jósolható megállási id˝ok esetén „érdekes”. Az Fτ − σ-algebrára az el˝orejelezhet˝o vetület tárgyalásakor lesz szükségünk. A megállási id˝okkel, illetve megállított σ-algebrákkal kapcsolatban számos egyszer˝u állítás, reláció fogalmazható meg. Ezek mindegyikének igazolása néhány sor, de mivel a közel azonos, gyakran igen hasonló tartalmú állítások száma igen nagy, éppen elemi voltuk miatt nem feltétlenül didaktikus o˝ ket egy csokorban, el˝ore igazolni. Az olvasónak nem az egyes állításokat, hanem azok igazolásának technikáját célszer˝u elsajátítani. Éppen ezért a többszörös ismétlésb˝ol ered˝o terjedelemnövekedést elfogadva a megállási id˝okkel kapcsolatos kisebb észrevételeket a felmerülésük helyén, esetlegesen többször, fogjuk indokolni. Az alábbi állítás a legfontosabb összefüggéseket tartalmazza, és tekinthet˝o az említett elsajátítandó „technika” bemutatásának. 39 Amennyiben az X valamilyen játék értéke, és τ a játék befejezésének id˝ opontja, akkor a definíció alapján, ha a játéknak valamely ω kimenetelre soha sincsen vége, akkor a játék nyereménye nulla. A jelölés egyszer˝usítés kedvéért a χ (τ < ∞) kifejezéssel való szorzást rendszerint elhagyjuk. 40 A B $ A ∩ {t < τ } eseményben szerepl˝ o ω kimenetelek esetén az A esemény a t id˝opont el˝ott, beleértve a t id˝opontot is, következik be, ugyanakkor a τ csak a t id˝opont után következik be, így a B esemény valóban a τ el˝ott következik be.


22

1.32 Állítás. Legyen F tetsz˝oleges filtráció, τ és σ legyenek megállási id˝ok. 1. A τ Fτ − -mérhet˝o. 2. Teljesül az Fτ − ⊆ Fτ ⊆ Fτ +

(1.6)

Fσ ⊆ Fτ − .

(1.7)

tartalmazás. 3. A τ Fτ -mérhet˝o. 4. Ha σ ≤ τ , akkor Fσ ⊆ Fτ . 5. Ha σ ≺ τ , akkor 6. Fσ ∩ Fτ = Fσ∧τ . 7. {σ ≤ τ } , {σ < τ } , {σ = τ } ∈ Fσ∧τ . Bizonyítás: Miként említettük, az összefüggések indokolása a definíciók elemi következménye. 1. Minden t-re Ω ∈ Ft , ezért az Fτ − definíciója szerint {t < τ } = {t < τ } ∩ Ω ∈ Fτ − , következésképpen a τ Fτ − mérhet˝o. 2. Ha A ∈ Ft , akkor a t értékét˝ol függetlenül minden u-ra {t < τ } ∩ A ∩ {τ ≤ u} = A ∩ {t < τ ≤ u} ∈ Fu , tehát {t < τ } ∩ A ∈ Fτ . Ha A ∈ F0 ⊆ Ft , akkor a megállási id˝o definícióját felhasználva A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft , következésképpen F0 ⊆ Fτ . Az Fτ − definíciója alapján az (1.6) tartalmazás evidens. 3. A τ Fτ mérhet˝osége azonnal következik az el˝oz˝o két állításból41 . 4. Ha σ ≤ τ , akkor {τ ≤ t} ⊆ {σ ≤ t} . Ha A ∈ Fσ , akkor A ∩ {τ ≤ t} = (A ∩ {σ ≤ t}) ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft , ugyanis a metszet mindkét tényez˝oje eleme az Ft -nek, így A ∈ Fτ . 5. A feltétel szerint tetsz˝oleges A halmazra A = (∪r∈Q A ∩ {σ < r < τ }) ∪ (A ∩ {τ = 0}) . Ha A ∈ Fσ , akkor B $ A ∩ {σ < r} ∈ Fr , és az Fτ − definíciója miatt A ∩ {σ < r < τ } $ B ∩ {r < τ } ∈ Fτ − . 41 Közvetlenül

is triviálisan igazolható.


23

A σ ≤ τ miatt A ∩ {τ = 0} = A ∩ {σ = 0} ∩ {τ = 0} . A τ megállási id˝o, ezért {τ = 0} ∈ F0 . Ugyanakkor az A ∈ Fσ miatt A ∩ {σ = 0} ∈ F0 , tehát ismételten az Fτ − definíciója miatt A ∩ {τ = 0} = A ∩ {σ = 0} ∩ {τ = 0} ∈ Fτ − , tehát teljesül az (1.7) tartalmazás. 6. A negyedik pont alapján Fτ ∧σ ⊆ Fτ ∩ Fσ . Ugyanakkor, ha F ∈ Fτ ∩ Fσ , akkor F ∩ {σ ∧ τ ≤ t}

= F ∩ ({σ ≤ t} ∪ {τ ≤ t}) = =

(F ∩ {σ ≤ t}) ∪ (F ∩ {τ ≤ t}) ∈ Ft ,

vagyis F ∈ Fσ∧τ . 7. Elegend˝o belátni, hogy tetsz˝oleges σ és τ megállási id˝okre {σ ≤ τ } , {τ ≤ σ} ∈ Fσ . Ebb˝ol a szimmetria miatt {σ ≤ τ } ∈ Fσ ∩ Fτ = Fσ∧τ , illetve {σ = τ } = {σ ≤ τ } ∩ {τ ≤ σ} ∈ Fσ∧τ és {σ < τ } = {σ ≤ τ } \ {σ = τ } ∈ Fσ∧τ . Egyrészt a megállási id˝o definíciója alapján c

{σ ≤ τ } ∩ {σ ≤ t}

= {σ > τ } ∩ {σ ≤ t} = = ∪r∈Q {σ > r > τ } ∩ {σ ≤ t} = = ∪r∈Q,r≤t {σ > r > τ } ∩ {σ ≤ t} ∈ Ft ,

ugyanis ha r ≤ t, akkor {σ > r > τ } ∈ Ft , vagyis {σ ≤ τ } ∈ Fσ . Ugyanakkor {τ ≤ σ} ∩ {σ ≤ t} = {σ ≤ t} ∩ {τ ≤ t} ∩ {τ ∧ t ≤ σ ∧ t} ∈ Ft , ugyanis az els˝o két halmaz a megállási id˝o definíciója miatt eleme az Ft halmaznak és a harmadik halmazban szerepl˝o mindkét változó Ft -mérhet˝o, vagyis {τ ≤ σ} ∈ Fσ . 2 A megállási id˝ok specifikus tulajdonsággal rendelkez˝o véletlen id˝opontok. A definícióban szerepl˝o megkötések célja, hogy a megállási id˝okkel képzett új folyamatok mérhet˝oségi, adaptáltsági tulajdonságaik megmaradjanak. 1.33 Állítás. Ha X progresszíven mérhet˝o és τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor az Xτ megállított változó Fτ -mérhet˝o, az X τ megállított folyamat progresszíven mérhet˝o.


24

Bizonyítás: Az els˝o állítás következik a másodikból, ugyanis ha B Borel–mérhet˝o és X progresszíven mérhet˝o, akkor minden s-re {Xτ ∈ B} ∩ {τ ≤ s}

= {X (τ ∧ s) ∈ B} ∩ {τ ≤ s} = = {X τ (s) ∈ B} ∩ {τ ≤ s} ∈ Fs ,

vagyis az Xτ Fτ -mérhet˝o. A második állítás kapcsán vegyük észre, hogy az ω 7→ τ (ω) ∧ t hozzárendelés (Ω, Ft ) → ([0, t] , B ([0, t]))-mérhet˝o, következésképpen az (s, ω) 7→ τ (ω) ∧ s, mint egyik változójában mérhet˝o, a másik változójában folytonos függvény B ([0, t]) × Ft -mérhet˝o, tehát az (s, ω) 7→ (τ (ω) ∧ s, ω) a ([0, t] × Ω, B ([0, t]) × Ft ) mérhet˝o tér önmagára való mérhet˝o leképezése. A progresszív mérhet˝oség miatt az X (s, ω) lesz˝ukítése az s ≤ t id˝otartományra a B ([0, t]) × Ft σ-algebrára nézve mérhet˝o, ezért az (s, ω) 7→ X (τ (ω) ∧ s, ω) összetett függvény is B ([0, t]) × Ft -mérhet˝o, vagyis a megállított folyamat progresszíven mérhet˝o. 2 1.34 Következmény. Ha X progresszíven mérhet˝o, τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor az X τ megállított folyamat adaptált. Megállási id˝ok hasznos tulajdonsága a következ˝o: 1.35 Állítás. Ha τ megállási id˝o, akkor található olyan τ n & τ megállási id˝o sorozat, amelyre minden n-re a τ n értékkészlete véges sok pontból áll42 . Bizonyítás: Az állítás igazolása nem túl meglep˝o módon a mérhet˝o függvényekre vonatkozó analóg állítás igazolására emlékeztet. A [0, n) intervallumot bontsuk fel n2n egyenl˝o részre. A felbontás során kapott Ik $ [(k − 1) /2n , k/2n ) intervallum τ −1 (Ik ) o˝ sképén τ n $ k/2n . Ha τ (ω) ≥ n, akkor τ n (ω) $ ∞. A már meglév˝o intervallumok mindig felez˝odnek, és mindig az intervallum fels˝o határát választjuk, ezért evidens módon τ n & τ . A τ megállási id˝o, ezért felhasználva, hogy minden megállási id˝o gyenge megállási id˝o c k k−1 −1 τ (Ik ) = τ < n ∩ τ < ∈ Fk/2n , 2 2n amib˝ol

i τn ≤ n 2

= ∪k≤i

k τn = n 2

= ∪k≤i τ −1 (Ik ) ∈ Fi/2n .

42 Természetesen a τ értékkészlete, mind bármely megállási id˝ o értékkészlete, esetlegesen tartalmazhatja n a +∞ értéket is. Vegyük észre, hogy a triviális τ n = τ esett˝ol eltekintve τ n % τ közelít˝o sorozat általában nem létezik. Éppen ez indokolja az el˝orejelezhet˝o megállási id˝o fogalmának bevezetését. V.ö.: 1.29. példa, 19. oldal.


25

A τ n értékkészlete az i/2n , i = 1, 2, . . . , n2n alakú diadikus törtek halmaza, +∞-nel kiegészítve, ezért a τ n megállási id˝o. 2 1.36 Állítás. Ha az F filtráció jobbról folytonos, és (τ n )n megállási id˝ok olyan sorozata, amelyre τ n & τ akkor Fτ n & Fτ . Bizonyítás: Az Fτ ⊆ ∩Fτ n tartalmazás evidens43 . Ha A ∈ ∩n Fτ n , akkor a τ n & τ felhasználásával A ∩ {τ < t} = A ∩ (∪n {τ n < t}) = ∪n (A ∩ {τ n < t}) ∈ Ft . Felhasználva, hogy a filtráció jobbról folytonos 1 A ∩ {τ ≤ t} = ∩n A ∩ τ < t + ∈ Ft+ , n vagyis A ∈ Fτ + .

2

Az Fτ − σ-algebra jelent˝oségét a következ˝o állítás adja: 1.37 Állítás. Ha a τ el˝orejelezhet˝o44 megállási id˝o és (τ n )n a τ jóslása, akkor Fτ n % Fτ − . Bizonyítás: A jósló sorozat definíciója alapján az (1.7) sorban lev˝o tartalmazásból következ˝oen, Fτ n ⊆ Fτ − , tehát ha Fτ n % G, akkor G ⊆ Fτ − . Megfordítva, ha A ∈ Ft , akkor a τ n % τ alapján, felhasználva az (1.6) sorból következ˝o Fτ n − ⊆ Fτ n tartalmazást A ∩ {t < τ } = ∪n (A ∩ {t < τ n }) ∈ ∪n Fτ n − ⊆ σ (∪n Fτ n ) $ G. Triviálisan F0 ⊆ Fτ n , ezért Fτ − ⊆ G.

2

1.2.4. Megállított σ-algebrák interpretációja A megállási id˝ok segítségével bevezetett fogalmak közül a legkomolyabb szemléleti probléma az Fτ definíciója kapcsán vethet˝o fel. Az Fτ szokásos interpretációja szerint a τ megállási id˝o el˝ott bekövetkezett események σ-algebrája. Nem világos azonban, hogy ez mit jelent. Az Ω részhalmazai logikai kapcsolatok. Ezek a logikai összefüggések absztrakt körülmények között miként köthet˝ok össze az id˝ovel? Általános (Ω, A,P) esetén mit jelent a τ el˝ott való bekövetkezés? Az Ω id˝obelisége csak a kanonikus reprezentáció esetén evidens, ugyanis ilyenkor a kimenetelek explicite függnek az id˝ot˝ol. Az kanonikus reprezentációban az Ω általában elég b˝o, amin most a következ˝o tulajdonság teljesülését értjük: 43 V.ö.:

1.32 állítás, 22. oldal, 4. pont. csak Fτ n − % Fτ − , és az Fτ n − helyébe általában nem írható Fτ n , ugyanis ha a jóslással kapcsolatos megkötést nem tesszük fel, akkor semmi sem zárja ki a τ n = τ esetet. 44 Általában

26


1.38 Definíció. A kanonikus reprezentációban megadott (Ω, A,P,F) teret megállításra teljesnek mondjuk, ha tetsz˝oleges σ F-megállási id˝o esetén minden ω kimenetelhez létezik olyan α (ω) kimenetel, hogy X σ (ω) $ ω σ = α (ω) $ X (α (ω)) . (1.8) A feltétel pontosan akkor teljesül, ha a folyamat trajektóriáit alkotó függvénytér olyan, hogy tetsz˝oleges f ∈ Ω függvény és s id˝opont esetén a t 7→ f (t ∧ s) is eleme a megengedett trajektóriák Ω családjának45 . Az Fτ mellett definiáljunk két további σalgebrát. Az egyik legyen a Gτ $ σ (X (τ ∧ t) : t ∈ Θ) . A másik definiálásához az Ω téren vezessük be az ∼τ ekvivalenciarelációt: az ω és az ω 0 kimeneteleket ekvivalensnek tekintjük, ha az X τ megállított folyamat ω és ω 0 melletti trajektóriái azonosak, vagyis az ω pontosan akkor ekvivalens az ω 0 -vel, ha a τ megállási id˝o bekövetkezéséig egybeesnek. A ∼τ triviálisan ekvivalenciareláció. A Hτ σ-algebra álljon az F∞ $ σ (Ft , t ∈ Θ) olyan elemeib˝ol, amelyek felírhatóak a ∼τ által generált partíciót alkotó halmazok egyesítéseként. Ha [A]τ jelöli az olyan ω 0 kimenetelek halmazát, amelyekhez van olyan ω ∈ A, amelyre ω ∼τ ω 0 , akkor A ∈ Hτ pontosan akkor, ha A ∈ F∞ , és A = [A]τ . A ∼τ ekvivalenciareláció által meghatározott partíció elemeit joggal interpretálhatjuk a τ id˝opont el˝ott bekövetkez˝o „elemi eseményekként”46 . 1.39 Állítás. (Megállított σ-algebrák struktúrája) Ha a kanonikus reprezentációjú X folyamat 1. progresszíven mérhet˝o, 2. F $ F X , ahol miként korábban F X jelöli az X által generált filtrációt, valamint 3. az Ω megállításra teljes, vagyis tetsz˝oleges σ megállási id˝o esetén teljesül az (1.8) sorban szerepl˝o X σ (ω) = X (α (ω)) egyenl˝oség, akkor Fτ = Hτ = Gτ . 45 Ha az Ω például a konvex vagy a szigorúan monoton növeked˝ o trajektóriákból áll, akkor az (1.8) tulajdonság nem teljesül, de szerencsére általában nem err˝ol van szó, így az (1.8) igen enyhe megkötés. A folytonos id˝oparaméter˝u sztochasztikus folyamatok trajektóriái általában a C [0, ∞) vagy a D [0, ∞) terek, ahol a feltétel triviálisan teljesül. Az alábbiakban tárgyalt egyszer˝u pontfolyamatok esetén a trajektóriák tere az egy magasságú ugrásokat tartalmazó jobbról folytonos lépcs˝os függvények tere, amely szintén teljes a megállításra nézve. A feltétel bár nem elegáns és némiképpen szokatlan, de minden értelmes kanonikus reprezentáció esetén teljesül. 46 Az elemi események és a kimenetelek halmaza nem azonos. Az elemi események, definíció szerint az eseménytér atomjai. A szorzatmérhet˝oségi struktúrában a kimenetelek halmaza az egyes függvények, de a szorzatmérhet˝o térnek az egyes kimenetelek nem atomjai, ugyanis az egy elemb˝ol álló halmazok nem mérhet˝oek. Ennek megfelel˝oen az elemi eseményként való interpretálás némiképpen pontatlan, ugyanis az egyes [ω]τ ekvivalenciaosztályok nem biztos, hogy mérhet˝oek.


27

Bizonyítás: A bizonyítás az Fτ ⊆ Hτ ⊆ Gτ ⊆ Fτ tartalmazások igazolásából áll. 1. A bizonyítás „nehéz” része az Fτ ⊆ Hτ tartalmazás, vagyis annak igazolása, hogy az Fτ minden eleme felbontható τ el˝otti „elemi események” egyesítéseként. Tegyük fel el˝oször, hogy τ ≡ s. Jelölje L az olyan B ∈ Fτ halmazokat, amelyekre [B]τ = B, vagyis amelyek a ∼τ ekvivalenciareláció által generált partíció elemeinek egyesítése. Az L triviálisan λ-rendszer. Tekintsük a B $ ∩k {X (sk ) ≤ λk } $ ∩k {ω (sk ) ≤ λk } ,

sk ≤ s,

alakú halmazokból álló π-rendszert. A ∼τ és a kanonikus modell definíciója alapján ismételten triviálisan B = [B]τ . Dinkin–tétele47 alapján Fs $ FsX $ σ (X (sk ) ≤ λk ) ⊆ L, ami éppen a bizonyítani kívánt összefüggés. Legyen τ tetsz˝oleges és A ∈ Fτ . Fτ ⊆ F∞ , ezért A ∈ Hτ pontosan akkor, ha A = [A]τ . Tegyük fel, hogy ω ∈ A és ω ∼τ ω 0 . Meg kell mutatni, hogy ω 0 ∈ A. Ha s $ τ (ω) és t ≤ s, akkor X (t, ω) = X τ (t, ω) = X τ (t, ω 0 ) = X (t, ω 0 ) , tehát ω ∼s ω 0 , ahol értelemszer˝uen az ∼s ekvivalenciareláción azt értjük, hogy a trajektóriák az s id˝opontig egybeesnek. ω ∈ A ∩ {τ ≤ s} $ B ∈ Fs . A már belátott τ ≡ s eset miatt ω 0 ∈ [B]s = B ⊆ A. 2. Megmutatjuk, hogy az (1.8) sorban definiált α : (Ω, Gτ ) → (Ω, F∞ ) leképezés mérhet˝o. Ha B $ {X (t) ≤ λ} az F∞ σ-algebrát generáló halmazok bármelyike, akkor α−1 (B)

=

{ω : α (ω) ∈ B} = {ω : X (t, α (ω)) ≤ λ} =

=

{ω : X τ (t, ω) ≤ λ} = {X (τ ∧ t) ≤ λ} ∈ Gτ ,

amib˝ol a mérhet˝oség már evidens. Tegyük fel, hogy A ∈ Hτ , vagyis A ∈ F∞ és A = [A]τ . Megmutatjuk, hogy α−1 (A) = A, amib˝ol az igazolni kívánt A ∈ Gτ az α imént belátott mérhet˝osége miatt evidens. Ha ω ∈ A, akkor definíció szerint α (ω) ∼τ ω. Az A = [A]τ miatt α (ω) ∈ A, vagyis ω ∈ α−1 (A) , tehát A ⊆ α−1 (A) . Megfordítva, ha ω ∈ α−1 (A) , akkor α (ω) ∈ A. De ω ∼τ α (ω) , tehát ω ∈ [A]τ = A, vagyis α−1 (A) ⊆ A. 3. Az X progresszíven mérhet˝o, tehát az X (τ ∧ t) változó Fτ ∧t ⊆ Fτ mérhet˝o, így Gτ ⊆ Fτ . 47 V.ö.:

[20] 2.34. állítás, 40. oldal.

28


2 Az állítás hiányossága, hogy csak akkor alkalmazható, ha az X folyamat trajektóriáinak halmaza teljes a megállításra, vagyis ha az Ω elég b˝o. Tegyük fel, hogy az X trajektóriáit tartalmazó Φ tér teljes a megállításra nézve. Ez mindig elérhet˝o, ugyanis a trajektóriák mindegyike eleme az id˝otengelyen értelmezett összes függvények terének. Meg kell azonban követelnünk, hogy a Φ progresszíven mérhet˝o legyen. Ezt elérhetjük, ha a Φ a jobbról vagy balról folytonos függvények halmaza. Természetesen el˝ofordulhat, hogy adott Ω esetén az összes X (ω) trajektóriákból álló halmaz a Φ függvénytér valódi részhalmaza, és a trajektóriák halmaza nem teljes a megállításra nézve. Tekintsük az X kanonikus reprezentációját, vagyis az Ω-át azonosítsuk az összes X (ω) trajektóriákból álló halmazzal. A filtráció legyen az X által generált filtráció, vagyis Ω FtΩ $ σ (fs (ω) $ ω (s) : s ≤ t) . Az így kapott Ω, F alapteret az X minimális reprezentációjának szokás mondani. Ha τ az Ω, F Ω minimális reprezentáció megállási ideje, akkor a τ megállási id˝oként kiterjeszthet˝o a teljes Φ térre, ugyanis elegend˝o az X trajektóriái között nem szerepl˝o függvényekre a τ értékét +∞-nek definiálni48 . A τ megállási szabály marad, ugyanis tetsz˝oleges t-re{τ ≤ t} ⊆ Ω. Az állítás szerint az Ω-át tartalmazó Φ térben a FτΦ elemei a ∼τ ekvivalenciaosztályainak egyesítéseként Φ . Ha f ∈ Ω az írhatók fel, vagyis A ∈ FτΦ pontosan akkor, ha A = [A]τ és A ∈ F∞ eredeti trajektóriák egyike, g ∈ Φ\Ω, akkor a τ kib˝ovítésének definíciója miatt az f és a g nem ekvivalensek, ugyanis a g a megállítás során nem változik és így nem lehet azonos az eredeti Ω trajektóriák egyikével sem. Ebb˝ol következ˝oen a Φ, FτΦ mérhet˝o tér elemeit alkotó halmazokban szerepl˝o ekvivalenciaosztályok két csoportba oszthatóak. Az egyikben szerepl˝o függvények az eredeti folyamat trajektóriái, a másikban pedig az utólag a Φ-be bevett elemek vannak. Ilyenkor az ekvivalenciaosztályok egyetlen kimenetelb˝ol állnak. Ha A ∈ FτΩ , akkor definíció szerint A ∩ {τ ≤ t} ∈ FtΩ ⊆ FtΦ , Ω tehát A ∈ FτΦ . Így az állítás szerint49 A = [A]τ és triviálisan A ∈ F∞ . Megfordítva, Φ Ω tegyük fel, hogy A ∈ F∞ és A = [A]τ . Ekkor A ∈ F∞ és mivel az új és a régi kimenetelek nem lehetnek ekvivalensek, ezért továbbra is A = [A]τ . Tegyük fel, hogy a Φ progresszíven mérhet˝o. Az állítás miatt50 A ∈ FτΦ , vagyis A ∩ {τ ≤ t} ∈ FtΦ . A ∩ {τ ≤ t} ⊆ Ω, így A ∩ {τ ≤ t} ∈ FtΦ ∩ Ω. Ha (fγ )γ∈Γ valamely U halmazon értelmezett tetsz˝oleges függvényosztály és V ⊆ U , akkor a σ (fγ : γ ∈ Γ) lesz˝ukítése a V -re megegyezik a gγ $ fγ | V lesz˝ukített függvények által generált σ-algebrával. Az ft (ω) = ω (t) , ω ∈ Φ függvények Ω-ra való lesz˝ukítése éppen gt (ω) = ω (t) , ω ∈ Ω, így FtΦ ∩ Ω = FtΩ , vagyis A ∩ {τ ≤ t} ∈ FtΩ , így A ∈ FτΩ . Az elmondottak miatt érvényes a következ˝o: 1.40 Állítás. Tegyük fel, hogy az X sztochasztikus folyamat trajektóriái vagy jobbról vagy balról folytonosak51 . Ha τ az X minimális reprezentációjának megállási ideje, akkor A ∈ a Φ téren a F Φ filtrációt a Φ által generált filtrációval definiáljuk. óvatosan kell eljárni, ugyanis nem feltétlenül tudjuk, hogy a kib˝ovített Φ folyamat progresszíven mérhet˝o. Az Fτ ⊆ Gτ ⊆ Hτ tartalmazáshoz a progresszíven való mérhet˝oségre nincsen szükség. 50 A progresszíven való mérhet˝ oségre azért kellett hivatkozni, mert felhasználtuk, hogy a megállított változók Fτ mérhet˝oek. 51 Természetesen a feltétel az összes trajektória egyidej˝ u jobbról, illetve balról való folytonosságát követeli meg. 48 Értelemszer˝ uen

49 Némiképpen


29

X FτX pontosan akkor, ha A ∈ F∞ és A = [A]τ .

1.2.5. El˝orejelezhet˝o és kockázatos folyamatok A progresszíven mérhet˝o folyamatok családja túlságosan b˝o. Már jeleztük, és kés˝obb folyamatosan látni fogjuk, hogy a sztochasztikus folyamatok között kitüntetett szereppel bírnak azok, amelyek trajektóriáinak minden id˝opontban létezik mind a két oldalról vett határértéke, vagyis az olyan folyamatok, amelyek trajektóriáinak nincsen másodfajú szakadása. Meg szokás továbbá követelni, hogy a trajektóriák vagy jobbról, vagy balról folytonosak legyenek. Némiképpen meglep˝o, hogy a két függvényosztályt külön kezeljük, de mivel a folyamatok trajektóriái nem pusztán függvények, és az értelmezési tartományuk irányított, a különböz˝o oldali folytonosságok mögött eltér˝o fogalmak vannak. 1.41 Definíció. Legyen adva az (Ω, A, P,F) struktúra. A Θ × Ω szorzaton definiáljuk a következ˝o σ-algebrákat: 1. A balról reguláris trajektóriájú, adaptált folyamatok családja által generált σalgebra elemeit (infinitezimálisan) el˝orejelezhet˝oknek mondjuk. Az (infinitezimálisan) el˝orejelezhet˝o halmazok σ-algebráját P-vel jelöljük. A P-mérhet˝o kétváltozós függvényeket (infinitezimálisan) el˝orejelezhet˝o folyamatoknak mondjuk. 2. A jobbról reguláris trajektóriájú, adaptált folyamatok családja által generált σalgebra elemeit (infinitezimálisan) kockázatosnak mondjuk. Az (infinitezimálisan) kockázatos halmazok σ-algebráját O-val fogjuk jelölni. Az O-mérhet˝o kétváltozós függvényeket (infinitezimálisan) kockázatos folyamatoknak mondjuk52 . A balról folytonos függvények értékei az ugrásokban, legalábbis infinitezimálisan, el˝orejelezhet˝oek, de a jobbról folytonos függvények értékér˝ol az ugráspontot megel˝oz˝o id˝opontokban az ugráspont tetsz˝oleges bal oldali környezetében sem tudunk semmit mondani, vagyis a folyamat értéke még infinitezimálisan sem látható el˝ore. Sem a jobbról, sem a balról folytonos függvények osztálya nem zárt a pontonkénti konvergenciára, ezért a két osztályt a pontonkénti konvergenciára nézve le kell zárni, vagyis venni kell az általuk generált σ-algebrára nézve mérhet˝o folyamatokat. Az így kapott két függvényosztály a sztochasztikus folyamatok legfontosabb mérhet˝oségi osztályai. Másképpen fogalmazva, a véletlen folyamatok nem egyforma módon jelezhet˝ok el˝ore. A telefon éjszaka való megcsörrenése valódi meglepetés, az hogy mikor vesszük fel a telefont az már valamelyest kiszámíthatóbb, és nagyrészt attól függ, hogy mennyire mélyen aludtunk a telefon megszólalása el˝ott. A nyaralás során a kisebb kiadásokra elköltött pénz mennyisége jól megbecsülhet˝o, ha úgy tetszik el˝orejelezhet˝o és a nyaralás szempontjából nem jelent kockázatot. A strandon vett fagylaltok száma véletlen 52 Az angol nyelv˝ u irodalomban „optional” folyamatokról szokás beszélni. Erre utal az osztályt jelöl˝o O. A megállási opciókról szóló tételben a martingálok jobbról való folytonossága kulcs szerepet játszik, esetlegesen ez indokolhatja az optional elnevezést. Az O σ-algebrára az irodalomban ugyancsak szokásos a „well measurable” jól mérhet˝o elnevezés is, de talán az er˝osen mérhet˝oség jobb fordítás lenne. Mivel az optional szóra nem sikerült jó magyar megfelel˝ot találni, végül a kockázatos szó mellett döntöttem, ugyanis úgy éreztem, hogy ez a szó írja le a legjobban az O-ban lev˝o folyamatok természetét.

30


folyamat, amely függ a küls˝o h˝omérséklett˝ol, a fagylaltárusok aktuális helyzetét˝ol stb. A fagylalt vásárlásáról a fagylalt megvásárlása el˝ott döntünk, és az abból ered˝o kárunk miatt, hogy a fagylalt nem fog ízleni nem jár kompenzáció. A fagylaltvásárlásból ered˝o kockázatot nem tudjuk biztosítással csökkenteni. Ugyanakkor az, hogy ellopják a pénzünket, kirabolnak, tönkremegy az autónk vagy baleset ér minket, a teljes nyaralást veszélyeztet˝o, el˝ore nem látható események. Hasonlóan, a magas gáz és villanyszámlából ered˝o hirtelen fellép˝o „pénzhiány” el˝orejelezhet˝o, a kockázat kiküszöbölésére nem lehet biztosítást kötni. Ugyanakkor az autó ellopásából, vagy a lakás leégéséb˝ol ered˝o kockázat biztosítással kompenzálható. Ezek az események nem láthatók el˝ore, és olyan valódi kockázatot jelentenek, amelyet csak el˝ore megkötött biztosítással tudunk kompenzálni. Ha szerencsejátékot játszunk, és a szerencsejáték jól van megtervezve, akkor a játék kockázatos, a nyeremény értéke nem el˝orejelezhet˝o, de természetesen a játék során követett stratégiánk függ a nyereményfolyamat lefutásától, tehát bár véletlenül alakul, mégis valamelyest determinisztikus, ugyanis a játék során követett stratégia a nyereményfolyamat múltja alapján determinált. Hogy ez matematikailag mit jelent, az diszkrét id˝opontokból álló id˝ohalmaz esetén teljesen nyilvánvaló, vagy legalábbis kézenfekv˝o. Ha X a játék nyereményfolyamata és F a játék során felhalmozódott információ, akkor az X (t) igazi meglepetést tartalmaz, ezért az X (t) csak Ft -mérhet˝o. Ha Y a játék során alkalmazott stratégia, akkor az Y (t) csak Ft−1 -mérhet˝o lehet. A rulettben a téteket a kerék megforgatása el˝ott meg kell tenni, a nyereményt a golyó megállása után fizetik ki! A két fajta el˝orejelezhet˝oség közötti „filozófiai” különbség nem meglep˝o módon a folytonos id˝oparaméter esetén is megvan. 1.42 Példa. Determinisztikus folyamat pontosan akkor el˝orejelezhet˝o, illetve kockázatos, ha Borel– mérhet˝o. Értelemszer˝uen az X folyamatot determinisztikusnak mondjuk, ha nem függ a véletlent˝ol, ami pontosan fogalmazva azt jelenti, hogy az X az Ω téren sztochasztikus folyamat az A $ {Ω, ∅} mérhet˝oségi struktúra mellett. Ilyenkor a balról, illetve jobbról reguláris, adaptált folyamatok osztálya azonosítható az id˝otengelyen értelmezett balról, illetve jobbról reguláris függvények osztályával. Világos, hogy a balról, illetve jobbról reguláris függvények által a számegyenesen generált mérhet˝oségi struktúra éppen a Borel–halmazok családja, tehát a determinisztikus el˝orejelezhet˝o, illetve kockázatos folyamatok azonosíthatóak az id˝otengelyen értelmezett Borel–mérhet˝o függvényekkel. 2 Az elnevezésekkel kapcsolatban megjegyezzük, hogy az infinitezimálisan el˝orejelezhet˝oség, illetve kockázatosság elnevezések túlzottan hosszúak, ezért az infinitezimálisan jelz˝ot elhagyjuk, és egyszer˝uen csak el˝orejelezhet˝o, illetve kockázatos folyamatokról fogunk beszélni. A mérhet˝o folyamatok imént bevezetett osztályai zártak a mérhet˝o függvények körében alkalmazott szokásos m˝uveletekre53 . A sztochasztikus folyamatok körében alkalmazott leggyakoribb speciális m˝uvelet a folyamat megállítása. 1.43 Állítás. Legyen τ tetsz˝oleges megállási id˝o. 53 Algebrai

és háló m˝uveletek, sorozatok határértéke, stb.


31

1. Ha X el˝orejelezhet˝o, akkor az X τ megállított folyamat is el˝orejelezhet˝o. 2. Ha az X kockázatos, akkor az X τ is kockázatos. Bizonyítás: Vegyük az összes olyan X folyamatot, amelyre az X τ megállított folyamat el˝orejelezhet˝o, illetve kockázatos. Azonnal látható, hogy mindkét esetben λrendszert kapunk. Ha az X balról, vagy jobbról reguláris, akkor az X τ is az. A jobbról, illetve a balról reguláris folyamatok π-rendszert alkotnak. Ezt követ˝oen alkalmazzuk a Meyer–tételt. 2 Az alpont végéig tartó gondolatmenet célja az el˝orejelezhet˝o és a kockázatos folyamatok jellemzése. El˝oször a szükséges fogalmakat definiáljuk, majd egy önmagában is érdekes lemmát igazolunk. 1.44 Definíció. Ha τ és σ megállási id˝ok, akkor beszélhetünk a {(t, ω) ∈ [0, ∞) × Ω : τ (ω) R1 tR2 σ (ω)} alakú halmazokról, ahol R1 és R2 a ≤ vagy < relációk valamelyike. Az így kapott négyféle halmazt véletlen intervallumnak nevezzük. A [σ, τ ] , [σ, τ ) , (σ, τ ] , (σ, τ ) jelölések önmagukért beszélnek. Hangsúlyozzuk, hogy a sztochasztikus intervallum definíciója szerint a t id˝opont mindig véges, vagyis például ha valamely ω esetén τ (ω) = ∞, akkor (∞, ω) ∈ / [τ , τ ] . A mértékelméletben megszoktuk, hogy a különböz˝o intervallumok által generált σalgebrák megegyeznek. Ennek oka, hogy mindegyik fajta intervallum a másik típusból megszámlálható halmazoperációval el˝oállítható. Véletlen intervallumok esetén azonban ez nem teljesül. Például ha [0, τ ) félig nyílt szakaszt akarnánk a [0, σ] alakú zárt szakaszokkal el˝oállítani, akkor olyan (σ n )n megállási id˝okb˝ol álló sorozatra lenne szükségünk, amelyre σ n % τ . Ha ilyen van, akkor [0, σ n ] % [0, τ ) , vagyis a [0, τ ) eleme a zárt véletlen intervallumok által generált σ-algebrának. Ugyanakkor alulról közelít˝o megállási id˝ok sorozata csak az el˝orejelezhet˝o megállási id˝oknek van. Ugyanakkor természetesen tetsz˝oleges megállási id˝o felülr˝ol közelíthet˝o megállási id˝okkel, ugyanis ha τ megállási id˝o és α > 0 konstans, akkor a τ + α szintén megállási id˝o. Ugyanakkor a τ − α nem megállási id˝o! Ez a jelenség ismételten mutatja, hogy az id˝otengely, és így a folyamatok irányítása, nem szimmetrikus. Ha F ∈ Fs és t ≥ s, akkor a σ t,F (ω) $

t ha ∞ ha

ω∈F ω∈ /F

megállási id˝o, ugyanis triviálisan minden u ≥ 0 számra {σ t,F ≤ u} ∈ Fu . 1.45 Definíció. A {0} × F, F ∈ F0 és {(s, t] × F, F ∈ Fs } alakú téglákat el˝orejelezhet˝o mérhet˝o tégláknak, vagy egyszer˝uen el˝orejelezhet˝o tégláknak fogjuk nevezni. Az el˝orejelezhet˝o téglák halmazát jelölje T .


32

A definíció el˝ott tett megjegyzésb˝ol evidens, hogy minden el˝orejelezhet˝o tégla speciális sztochasztikus intervallum ugyanis {0}×F = [σ 0,F , σ 0,F ] , (s, t]×F = (σ s,F , σ t ,F ] . 1.46 Definíció. Az R+ félegyenesen értelmezett Y folyamatot 1. egyszer˝u el˝orejelezhet˝o folyamatnak mondjuk, ha megadhatók 0 = τ0 < τ1 < . . . < τn < . . . megállási id˝ok és η i Fτ i -mérhet˝o változók, hogy Y = η 0 χ ({0}) +

X

η i χ ((τ i , τ i+1 ]) .

i

2. Az Y =

X

η i χ ([τ i , τ i+1 ))

i

alakú folyamatokat egyszer˝u kockázatos folyamatoknak mondjuk. 3. Az olyan egyszer˝u folyamatokat, ahol a (τ k )k megállási id˝ok konstansok el˝orejelezhet˝o, illetve kockázatos lépcs˝os folyamatoknak fogjuk nevezni. Az el˝orejelezhet˝o és kockázatos folyamatok jellemzése a következ˝o önmagukban is érdekes észrevételekre épül. 1.47 Lemma. Érvényesek a következ˝ok: 1. Ha az F filtráció jobbról folytonos, akkor minden jobbról reguláris, adaptált folyamat el˝oállítható egyszer˝u kockázatos folyamatok egyenletesen konvergens sorozatának határértékeként. 2. Ha az F filtráció jobbról folytonos, akkor minden jobbról folytonos, adaptált folyamat majdnem minden kimenetelre el˝oállítható kockázatos egyszer˝u folyamatok egyenletesen konvergens sorozatának határértékeként. 3. Minden balról folytonos, adaptált folyamat el˝oállítható el˝orejelezhet˝o lépcs˝os függvények határértékeként. Bizonyítás: Az egyes állítások indoklása a következ˝o: 1. Legyen X jobbról reguláris, adaptált folyamat. Rögzítsük az ε > 0 számot. Legyen τ ε1 $ 0. Az X jobbról folytonos, a filtráció szintén jobbról folytonos, tehát az τ εn+1 (ω) $ inf {t ≥ τ εn (ω) : |X (t, ω) − X (τ εn (ω) , ω)| > ε} ,


33

függvények megállási id˝ok54 . A jobbról folytonosság miatt55 , ha τ εn (ω) < ∞, akkor τ εn+1 (ω) > τ εn (ω) . Xε $

∞ X

X (τ εn ) · χ

ε ε τ n , τ n+1

n=1

Ha (t, ω) ∈ τ εn , τ εn+1 , akkor |X (t, ω) − X (τ εn )| ≤ ε, ugyanis ha ez nem teljesülne, akkor a t < τ εn+1 miatt a τ εn+1 csökkenthet˝o lenne. A jobbról való folytonosság miatt X (τ εn ) − X τ εn+1 ≥ ε. Az X folyamat trajektóriái a feltétel szerint regulárisak, így a trajektóriáknak nincsenek másodfajú szakadásai, így a (τ εn )n sorozatnak semmilyen kimenetelre sincsen torlódási pontja, tehát τ εn % ∞, következésképpen tetsz˝oleges t-re |X (t, ω) − X (τ εn )| ≤ ε. 2. Legyen X jobbról folytonos, adaptált folyamat. Az els˝o esethez képest lényeges eltérés, hogy mivel nem tesszük fel a bal oldali határértékek létezését, a bizonyítás során konstruált (τ εn )n sorozatról nem tudjuk, hogy végtelenhez tart, ezért csak egy elegend˝oen hosszú, „maximális” megállási id˝o sorozatot tudunk definiálni. Rögzítsük az ε > 0 számot. Jelölje S az olyan τ megállási id˝ok halmazát, amelyekhez van olyan (τ εn )n megállási id˝okb˝ol álló sorozat, hogy az Xε $

∞ X

X (τ εn ) · χ

ε ε τ n , τ n+1

n=1

egyszer˝u kockázatos folyamatra majdnem minden kimenetelre |X (t) − X ε (t)| ≤ ε,

t ≤ τ.

(1.9)

0 ∈ S, ezért S = 6 ∅. A megállási id˝ok minimuma és maximuma szintén megállási id˝o, valamint ha (σ n )n megállási id˝ok monoton növeked˝o sorozata, akkor a σ ∞ $ limn→∞ σ n is megállási id˝o. Az említett operációk triviálisan nem vezetnek ki az S halmazból. Az 1 f (x) $ 1 + exp (−x) függvény a [−∞, ∞] rendezett halmazt szigorúan monoton növeked˝o módon ráképezi a [0, 1] szakaszra. Tekintsük az Z s0 $ sup f (τ ) dP < ∞ τ ∈S

54 V.ö.:

Ω

1.24. példa, 17. oldal. Jobbról folytonos, adaptált folyamat nyílt halmazhoz tartozó találati idejér˝ol van szó. 55 Ha a folyamat balról folytonos, akkor a τ ε után ugrás következhet, így el˝ ofordulhat, hogy τ εn+1 = τ εn . n Ebb˝ol következ˝oen balról reguláris folyamatokra a bizonyítás nem vihet˝o át.


34

értéket. Legyen (ρn )n ⊆ S olyan sorozat, amelyre Z lim f (ρn ) dP = s0 . n→∞

Ω

A ρn helyett a max1≤k≤n ρn ∈ S megállási id˝oket véve feltehet˝o, hogy a (ρn )n sorozat monoton n˝o, következésképpen ρ∗ $ lim ρn ∈ S. n→∞

A monoton konvergencia tétel miatt Z Z f (ρn ) dP = s0 = lim n→∞

Z lim f (ρn ) dP =

Ω n→∞

Ω

f (ρ∗ ) dP.

Ω

Ha ρ ∈ S tetsz˝oleges, akkor Z Z f (max (ρ, ρ∗ )) dP = lim f (max (ρ, ρn )) dP ≥ s0 . n→∞

Ω

Ω

m.m.

Mivel max (ρ, ρ∗ ) ∈ S, ezért max (ρ, ρ∗ ) = ρ∗ , vagyis majdnem mindenhol ρ ≤ ρ∗ . Tekintsük a ρ∗∗ $ inf {t ≥ ρ∗ : |X (t) − X (ρ∗ )| > ε} függvényt. Természetesen csak a {ρ∗ < ∞} halmazt kell tekinteni. Ha {ρ∗ = ∞} , akkor a ρ∗∗ legyen ∞. A már bemutatott gondolatmenetet alapján a készítsük el a ρ∗∗ megállási id˝o. Ha valamely kimenetelre ρ∗ (ω) < ∞, akkor a jobbról való folytonosság miatt ρ∗∗ (ω) > ρ∗ (ω) . Az X (ρ∗ )·χ ([ρ∗ , ρ∗∗ )) taggal a közelít˝o sorozatot kiegészítve m.m. egyszer˝uen megmutatható, hogy ρ∗∗ ∈ S, ami csak akkor lehetséges, ha ρ∗ = ∞, következésképpen majdnem minden kimenetelre minden t id˝opontban |X (t) − X ε (t)| ≤ ε.

(1.10)

3. Legyen X balról folytonos, adaptált folyamat. Az adaptáltság miatt az Xn (t) $ X (0) χ ({0}) +

∞ X k=0

X

k 2n

k k+1 χ , 2n 2n

folyamat adaptált lépcs˝os folyamat. Az X balról való folytonossága56 miatt minden (t, ω) párra Xn (t, ω) → X (t, ω) . 2 Térjünk rá az el˝orejelezhet˝o folyamatok jellemzésére. 1.48 Állítás. A következ˝o állítások ekvivalensek: 56 Vegyük

észre,hogy a gondolatmenet nem vihet˝o át jobbról folytonos folyamatokra, ugyanis az analóg h módon képzett X k+1 χ 2kn , k+1 nem lenne adaptált. 2n 2n


35

1. Az X folyamat mérhet˝o az adaptált folytonos folyamatok által generált σ-algebrára nézve. 2. Az X folyamat el˝orejelezhet˝o, vagyis mérhet˝o az adaptált balról reguláris folyamatok által generált σ-algebrára nézve. 3. Az X folyamat mérhet˝o a balról folytonos, adaptált folyamatok által generált σ-algebrára nézve. 4. Az X folyamat mérhet˝o az el˝orejelezhet˝o téglák által generált σ (T ) σ-algebra szerint. Bizonyítás: Jelölje P1 , P2 , P3 és P4 a megfelel˝o állításban szerepl˝o σ-algebrát. Nyilván elegend˝o a négy σ-algebra azonosságát igazolni. 1. Triviálisan P1 ⊆ P2 ⊆ P3 . 2. Tegyük fel, hogy X a P3 -mérhet˝oséget generáló folyamatok egyike, vagyis az X legyen balról folytonos, adaptált folyamat. Az el˝oz˝o lemma utolsó pontja szerint az X el˝oállítható el˝orejelezhet˝o lépcs˝os folyamatok határértékeként. Minden el˝orejelezhet˝o lépcs˝os folyamat P4 $ σ (T )-mérhet˝o, következésképpen az X P4 -mérhet˝o, így P3 ⊆ P4 . 3. Legyen R $ (s, t] × F ∈ T , és legyen (fn )n olyan folytonos, trapéz alakú valós függvényekb˝ol álló sorozat, amelyre lim fn = χ ((s, t]) ,

n→∞

fn (u) = 0,

ha u ∈ [0, s) .

Az Xn $ fn · χF folyamat adaptált és folytonos, tehát P1 -mérhet˝o. A határértéke χR , tehát R ∈ P1 . Ha F ∈ F0 és az fn a nulla pontban 1 és az [1/n, ∞) intervallumon nulla értéket felvev˝o lineáris törtfüggvény, akkor az Xn $ fn χF sorozat tagjai P1 mérhet˝oek, következésképpen a sorozat χ ({0} × F ) határértéke P1 -mérhet˝o, tehát P4 $ σ (T ) ⊆ P1 . 2 Minden folytonos folyamat jobbról reguláris, tehát az el˝orejelezhet˝o folyamatok kockázatosak, és mivel minden jobbról folytonos trajektóriájú, adaptált folyamat progresszíven mérhet˝o, ezért a kockázatos folyamatok progresszíven mérhet˝oek. Az osztályok szimbólumait felhasználva: P ⊆ O ⊆ R. 1.49 Állítás. A [0, τ ] alakú véletlen zárt intervallumok által generált σ-algebra megegyezik az el˝orejelezhet˝o halmazokkal. Bizonyítás: Jelölje P 0 a [0, τ ] alakú véletlen zárt intervallumok által generált σ-algebrát. A χ ([0, τ ]) alakú folyamatok trajektóriái balról regulárisak57 . A τ megállási id˝o, ezért c

{χ ([0, τ ]) (t) = 1} = {t ≤ τ } = {τ < t} ∈ Ft , 57 Emlékeztetünk rá, hogy a folyamatokat az R félegyenesen definiáljuk. A bevezetett konvenciónak + megfelel˝oen a nulla pontban a bal oldali határérték definíció szerint éppen a helyettesítési érték, így a χ ([0, τ ]) valóban balról folytonos, még a t = 0 pontban is! A jelölés némiképpen pontatlan, és nem teljesen egyértelm˝u, de reméljük nem túl zavaró. Természetesen arról van szó, hogy a χ ([0, τ ]) , mint sztochasztikus folyamat, nincs értelmezve a {t < 0} id˝otartományon. V.ö.: 1.3. definíció, 3. oldal.

36


vagyis a χ ([0, τ ]) folyamat adaptált, következésképpen a χ ([0, τ ]) folyamat el˝orejelezhet˝o, így a [0, τ ] nívóhalmaza is el˝orejelezhet˝o, tehát tetsz˝oleges τ megállási id˝ore a [0, τ ] véletlen szakaszok mindegyike el˝orejelezhet˝o halmaz, tehát a [0, τ ] szakaszok által generált P 0 σ-algebra minden eleme is el˝orejelezhet˝o halmaz, tehát a P 0 ⊆ P irányú tartalmazás teljesül. Térjünk rá a másik irányú tartalmazás igazolására. Ha F ∈ F0 , akkor τ n $ n1 χF megállási id˝o, és {0} × F = ∩n [0, τ n ] ∈ P 0 . Ha R $ (s, t] × F, F ∈ Fs , akkor σ $ sχF + tχF c megállási id˝o. Evidens módon χR = χ ((σ, t]) = χ ([0, t]) − χ ([0, σ]) ∈ P 0 , vagyis minden P = σ (T ) el˝orejelezhet˝o halmaz mérhet˝o a [0, τ ] alakú véletlen zárt intervallumok által generált P 0 σ-algebra szerint. 2 1.50 Következmény. Ha X el˝orejelezhet˝o és a τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor az Xτ megállított változó Fτ − mérhet˝o. Speciálisan ha az X el˝orejelezhet˝o, akkor minden t-re az X (t) Ft− mérhet˝o. Bizonyítás: Ha X $ χ ([0, σ]) , akkor X (τ ) = χ (τ < ∞) χ (τ ≤ σ) . A τ Fτ − mérhet˝o58 , tehát {τ < ∞} ∈ Fτ − . c

{τ ≤ σ} = {τ > σ} = ∪r∈Q {r < τ } ∩ {σ < r} . A megállási id˝o definíciója miatt {σ < r} ∈ Fr , így az Fτ − definíciója miatt {r < τ } ∩ {σ < r} ∈ Fτ − , tehát {τ ≤ σ} ∈ Fτ − , vagyis az állítás az X $ χ ([0, σ]) alakú folyamatokra teljesül. Meyer–tételével az állítás kiterjeszthet˝o minden X el˝orejelezhet˝o folyamatra. 2 1.51 Következmény. A {0}×F, F ∈ F0 és a (σ, τ ] alakú véletlen intervallumok generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat. Bizonyítás: Az el˝oz˝o állítás59 alapján az összefüggés evidens, ugyanis mivel (σ, τ ] = [0, τ ] \ [0, σ] , és

58 V.ö.: 59 V.ö.:

1 {0} × F = ∩n 0, χF n 1.32. állítás, 22. oldal. 1.49. állítás, 35. oldal.


37

ezért a [0, τ ] szakaszok által generált σ-algebra tartalmazza a megadott halmazok által generált σ-algebrát. A fordított irány evidens, ugyanis az el˝orejelezhet˝o téglák mindegyike a megadott típusú két osztály egyikének speciális esete. 2 Érdemes felhívni az olvasó figyelmét a következ˝ore: Az el˝orejelezhet˝o folyamatok tulajdonságainak leírása némiképpen „csúnya” abban az értelemben, hogy a {0} × F , F ∈ F0 halmazokat mindig külön fel kell tüntetni. A folyamatosztály jellemzése sokkal elegánsabb lenne, ha például azt mondhatnánk, hogy az (s, t] × F, F ∈ Fs el˝orejelezhet˝o téglák, vagy például a (σ, τ ] véletlen szakaszok generálják. Vegyük észre, hogy a problémát magunk kreáltuk amikor el˝oírtuk, hogy a folyamat értelmezési tartománya a [0, ∞) szakasz legyen. Számos szerz˝o explicite csak a (0, ∞) nyílt intervallumon definiálja az el˝orejelezhet˝o folyamatokat. Ez nagyon sok szempontból indokolt és igencsak el˝onyös. Az osztályt a balról reguláris, adaptált folyamatok „lezárásaként" képzeljük el, és a balról folytonosság a t = 0 pontban csak az általunk megadott speciális definíció miatt értelmes, így ez a megkötés semmilyen „kényszerít˝o er˝ot" nem jelent a trajektóriákra nézve. Ha a (0, ∞) szakaszon adott egy X balról folytonos folyamat, akkor a t = 0 pontban az értékét bárhogyan megadhatjuk mindaddig amíg az X (0) F0 -mérhet˝o lesz. Ugyanakkor megjegyezzük, hogy az el˝orejelezhet˝o folyamatok R t a sztochasztikus integrálok integrandusaként szerepelnek, és definíció szerint az HdX integrál a (0, t] szakaszon vett integrál, ezért a H-nak a t = 0 pontban felvett 0 értéke érdektelen. Természetesen ugyanez az X integrátorra nem érvényes, ugyanis az integrátor súlyfüggvény növekményének kiszámolásakor az X (t) − X (0) értékre szükség van. Amennyiben az olvasó, ragaszkodik az elegánsabb megfogalmazáshoz felteheti, hogy az el˝orejelezhet˝o folyamatok a (0, ∞) szakaszon vannak értelmezve. Ha mégis szüksége lenne a t = 0 pontban vett értékre, akkor az általánosság megszorítása nélkül mindig felteheti, hogy X (0) $ 0. A t = 0 id˝opont kizárása azonban, miként azonnal látni fogjuk, ugyancsak „esztétikai” problémákat eredményezhet. Az el˝orejelezhet˝oség kifejezést idáig kett˝os értelemben használtuk: Egyrészt beszéltünk el˝orejelezhet˝o halmazokról, másrészt beszéltünk el˝orejelezhet˝o megállási id˝okr˝ol. A szóhasználat nem véletlen. 1.52 Következmény. Ha az (Ω, A,P,F) térre teljesülnek a szokásos feltételek, akkor a τ megállási id˝o pontosan akkor el˝orejelezhet˝o, ha τ Graf (τ ) $ [τ , τ ] grafikonja el˝orejelezhet˝o60 . Bizonyítás: Legyen τ el˝orejelezhet˝o, és (τ n )n a τ jóslása. Graf (τ ) = (∩n (τ n , τ ]) ∪ ({0} × {τ = 0}) , vagyis a Graf (τ ) grafikon el˝orejelezhet˝o. Vegyük észre, hogy a τ , mint minden megállási id˝o, esetlegesen felveheti a nulla értéket is, így a τ grafikonja tartalmaz {0} × F0 alakú halmazt. Ez indokolja, hogy az el˝orejelezhet˝o halmazokat a [0, ∞) szakaszon definiáltuk. Ha nem így tennénk, akkor csak a τ > 0 megállási id˝ok grafikonja lenne el˝orejelezhet˝o, és még nullmérték˝u halmazon sem engedhetnénk meg, hogy a τ nulla legyen. 60 V.ö.:

B.19. következmény. 388. oldal.

38


1. A fordított irány igazolása valamivel komplikáltabb. Tegyük fel, hogy a Graf (τ ) el˝orejelezhet˝o. Tekintsük a {τ = 0} ∈ F0 halmazt. A H $ {0} × {τ = 0} el˝orejelezhet˝o, így el˝orejelezhet˝o a Graf (τ ) \ H. Ha ∞ ha τ (ω) = 0 0 τ (ω) $ , τ (ω) ha τ (ω) > 0 akkor {τ 0 ≤ t} = {τ ≤ t} \ {τ = 0} ∈ Ft , tehát a τ 0 szintén megállási id˝o. A grafikon definíciója szerint Graf (τ 0 ) = Graf (τ )\H. Ha a τ 0 el˝orejelezhet˝o, akkor létezik olyan (τ 0n )n sorozat, amelyre τ 0n ≺ τ 0 és τ 0n % τ . A τ n $ τ 0n χ (τ > 0) szintén megállási id˝o, ugyanis {τ n ≤ t} = {τ 0n ≤ t} ∪ {τ = 0} ∈ Ft . A definíciókból világos, hogy τ n ≺ τ és τ n % τ , tehát a τ is el˝orejelezhet˝o. 2. Az egyszer˝uség kedvéért a {τ = 0} halmazt az Ω-ból elhagyva az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy τ > 0. Ha a Graf (τ ) el˝orejelezhet˝o, akkor a [0, τ ) = [0, τ ] \ Graf (τ ) ,

c

[τ , ∞) = [0, τ )

halmazok is el˝orejelezhet˝oek. Legyen µ az R+ -on értelmezett folytonos, pozitív s˝ur˝uségfüggvénnyel rendelkez˝o véges mérték61 . A B (R+ ) × Ω σ-algebrán tekintsük a ν $ µ × P szorzatmértéket. A [0, τ ] alakú, zárt sztochasztikus intervallumok generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat, ezért a mértékkiterjesztési tétel során bemutatott konstrukció miatt62 tetsz˝oleges ε > 0 esetén megadható megszámlálható (ρ0i , ρ00i ] , alakú véletlen szakasz, hogy X [τ , ∞) ⊆ ∪i (ρ0i , ρ00i ] és ν ((ρ0i , ρ00i ]) ≤ ν ([τ , ∞)) + ε. i

A megállási id˝ok halmaza a valós számokhoz hasonlóan zárt a háló m˝uveletekre, így a lefed˝o véletlen szakaszok diszjunktizálhatóak, illetve egyesíthet˝oek, ezért ha ρ (ε) $ ρ $ inf ρ0i , akkor [τ , ∞) ⊆ (ρ (ε) , ∞)

és ν ((ρ (ε) , ∞)) ≤ ν ([τ , ∞)) + ε.

Komplementerre áttérve [0, ρ (ε)] ⊆ [0, τ ) ,

ν ([0, τ ) \ [0, ρ (ε)]) < ε.

Ha σ m $ supk≤m ρ (1/k) , akkor [0, τ )

ν-m.m.

=

∪m [0, σ m ] ,

(1.11)

ahol a σ m megállási id˝ok mindegyikére [0, σ m ] ⊆ [0, τ ) . A σ ∞ $ supm σ m szintén megállási id˝o. Majdnem mindenhol σ m % τ , ugyanis ha a pozitív valószín˝uség˝u halmazon σ ∞ < τ , akkor a Fubini–tétel miatt az (1.11) nem teljesülhet. Az (Ω, A, P,F) 61 Például

az exponenciális eloszláshoz tartozó mérték. [20]. (2.15) sor, 76. oldal. A {τ = 0} halmazt elhagytuk, ezért a 0, ρ00 i alakú szakaszokra nincsen szükség. 62 V.ö.:


39

teljesíti a szokásos feltételeket, ezért minden nem negatív, majdnem mindenhol nulla függvény megállási id˝o, így feltehet˝o, hogy minden kimenetelre σ m % τ , vagyis a τ el˝orejelezhet˝o. 2 Térjünk rá a kockázatos folyamatok jellemzésére. 1.53 Állítás. Tegyük fel, hogy a filtráció kielégíti a szokásos feltételeket. A következ˝o állítások ekvivalensek: 1. Az X folyamat mérhet˝o az összes sztochasztikus intervallum által generált σalgebra szerint. 2. Az X mérhet˝o a σ ([τ , ∞) : τ ∈ Υ) σ-algebrára nézve. 3. Az X kockázatos, vagyis mérhet˝o a jobbról reguláris, adaptált folyamatok által generált σ-algebrára nézve. 4. Az X mérhet˝o a jobbról folytonos, adaptált folyamatok által generált σ-algebrára nézve. Bizonyítás: Jelölje O1 , O2 , O3 és O4 az állításban szerepl˝o σ-algebrákat. 1. Elemi megfontolások alapján 1 (τ , ∞) = ∪n τ + , ∞ . n Ha a τ megállási id˝o, akkor a τ + 1/n is megállási id˝o63 , ezért (τ , ∞) ∈ O2 . A [τ , ∞) és a (τ , ∞) alakú intervallumokból halmazm˝uveletekkel az összes sztochasztikus intervallum el˝oállítható, ezért O1 ⊆ O2 . 2. A [τ , ∞) alakú halmazok karakterisztikus függvényei jobbról regulárisak. {χ ([τ , ∞)) (t) = 1} = {ω : (t, ω) ∈ [τ , ∞)} = {τ ≤ t} ∈ Ft , vagyis a folyamat adaptált, így O2 ⊆ O3 . 3. Triviálisan O3 ⊆ O4 . 4. Meg kell mutatni, hogy O4 ⊆ O1 . Legyen τ megállási id˝o, Fτ a τ szerint megállított σ-algebra. Tegyük fel, hogy A ∈ Fτ . El˝oször tekintsük az X $ χA · χ ([τ , ∞)) alakú folyamatokat. X (t, ω) = 1 pontosan akkor ha ω ∈ A ∩ {τ ≤ t} . Vezessük be a τ (ω) ha ω ∈ A τ A (ω) $ ∞ ha ω ∈ /A függvényt. Mivel A ∈ Fτ , ezért {τ A ≤ t} = A ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft , 63 A

τ − 1/n viszont nem megállási id˝o!

40


tehát a τ A megállási id˝o. Mivel X = χ ([τ A , ∞)) , ezért az X O1 -mérhet˝o. A szokásos módon lépcs˝os függvényekre áttérve, illetve a mérhet˝o függvényeket lépcs˝os függvényekkel közelítve könnyen belátható, hogy ha ξ tetsz˝oleges Fτ -mérhet˝o függvény, akkor az X $ ξ · χ ([τ , ∞)) folyamat O1 -mérhet˝o. Ebb˝ol következ˝oen az összes egyszer˝u kockázatos folyamat is O1 -mérhet˝o. Miként láttuk64 minden jobbról folytonos, adaptált folyamat majdnem minden kimenetelre egyenletesen közelíthet˝o egyszer˝u kockázatos folyamatokkal, így ha X jobbról folytonos és adaptált, akkor létezik olyan X 0 O1 -mérhet˝o folyamat, hogy az X és az X 0 megkülönböztethetetlenek. 5. A megkülönböztethetetlenség erejéig való egyenl˝oségb˝ol származó problémát a következ˝oképpen orvosolhatjuk: Tegyük fel, hogy a Z jobbról folytonos folyamat a nulla folyamat ekvivalens módosítása. A szokásos feltételek teljesülése miatt a filtrációban szerepl˝o σ-algebrák minden t-re tartalmazzák a nullmérték˝u halmazokat, tehát a Z (s) F o, minden t-re Ft -mérhet˝o, így a majdnem mindenhol nulla Z k+1 k/2n -mérhet˝ 2n tehát a X k + 1 k k + 1 Zn $ Z , χ 2n 2n 2n k

O1 -mérhet˝o. A Z jobbról folytonos, ezért minden kimenetelre és minden id˝opontban65 Zn → Z, következésképpen a Z O1 -mérhet˝o. 2 1.54 Következmény. Ha (Ω, A,P,F) térre teljesülnek a szokásos feltételek és az X kockázatos folyamat megkülönböztethetetlen az Y el˝orejelezhet˝o folyamattól, akkor az X is el˝orejelezhet˝o66 . Bizonyítás: Elegend˝o belátni, hogy ha az X kockázatos folyamat megkülönböztethetetlen a nulla folyamattól, akkor az X el˝orejelezhet˝o. Ez másképpen azt jelent, hogy ha az R+ × Ω halmazon értelmezett O-mérhet˝o X függvényhez van olyan M ⊆ Ω nullmérték˝u halmaz, amelyre az X az R+ × M halmazon kívül nulla, akkor az X Pmérhet˝o. Az állítást elég lépcs˝os függvényekre, illetve karakterisztikus függvényekre igazolni. Tegyük fel, hogy az N ⊆ R+ × Ω kockázatos halmaz megkülönböztethetetlen az üres halmaztól. Megmutatjuk, hogy az N el˝orejelezhet˝o. Mivel teljesülnek a szokásos feltételek, ezért az M $ projΩ N ∈ F0 nullmérték˝u halmazon értelmezett minden f ≥ 0 függvény esetén a f (ω) ha ω ∈ M τ 0f (ω) $ ∞ ha ω ∈ /M és a τ 00f (ω) $

f (ω) ha 0 ha

ω∈M ω∈ /M

h i megállási id˝o67 . Ebb˝ol következ˝oen tetsz˝oleges f ≥ 0 függvényre 0, τ 0f ∈ P. Ha h i f = ∞, akkor U $ 0, τ 00f ∈ P. Ebb˝ol következ˝oen R+ ×M = U \({0} × M c ) ∈ P. 64 V.ö.:

1.47. lemma, 32. oldal. észre, hogy a folyamat az intervallumok jobb oldali végpontjaik által definiált. 66 V.ö.: 1.8. példa, 7. oldal. 67 V.ö.: 1.15. példa, 13. oldal. 65 Vegyük


41

Így az Ω téren értelmezett tetsz˝oleges f ≥ 0 függvény esetén [0, f ] ∩ (R+ × M ) ∈ P. Mivel az f tetsz˝oleges lehet, a [0, f ] ∩ (R+ × M ) alakú szakaszok által generált σalgebra megegyezik a [0, f ) ∩ (R+ × M ) alakúak által generált σ-algebrával amely az N feltételezett kockázatossága miatt tartalmazza az N halmazt, így az N el˝orejelezhet˝o. 2 1.55 Példa. Kockázatos halmaz, amely nem el˝orejelezhet˝o. Legyen Ω $ [0, 1] , és minden t < 1 esetén Ft $ σ (B ([0, t]) ∪ (t, 1]) , ha t ≥ 1, akkor Ft $ B ([0, 1]) . Ha s ≤ t, akkor Fs ⊆ Ft , vagyis az F filtráció68 . 2 Tekintsük a τ (ω) = ω megállási id˝ot. A [τ , τ ] , a τ gráfja éppen a [0, 1] zárt egységnégyzet átlója. Az elmondottak szerint a [τ , τ ] kockázatos69 . Megmutatjuk, hogy az A ⊆ R+ × Ω halmaz pontosan akkor lesz P ∩ [0, τ ] , P ∈ P alakú, ha (B × Ω) ∩ [0, τ ] ,

B ∈ B ([0, 1])

(1.12)

módon írható fel. Ebb˝ol következ˝oen a [τ , τ ] nem lehet el˝orejelezhet˝o, ugyanis ha az lenne, akkor a [τ , τ ] = [τ , τ ] ∩ [0, τ ] triviális felírás miatt az A $ [τ , τ ] átló felírható lenne az (1.12) sorban jelzett módon, ami lehetetlen. Legyen F ∈ Fs s < t, és R $ (s, t] × F. Két eset lehetséges70 . Ha F ∩ (s, 1] = ∅, akkor R ∩ [0, τ ] = ∅ = (∅ × Ω) ∩ [0, τ ] . Az Fs struktúrája miatt az (s, 1] az Fs atomja, így ha F ∩(s, 1] 6= ∅, akkor F ∩(s, 1] = (s, 1] , ezért71 R ∩ [0, τ ] = ((s, t] × Ω) ∩ [0, τ ] , vagyis mindkét esetben a metszet B × Ω alakú, ami akkor is igaz marad, ha a {0} × F, F ∈ F0 alakú generáló téglákat vesszük. A σ-algebra generálása és a σ-algebra lesz˝ukítése felcserélhet˝o, ezért P ∩ [0, τ ]

= σ (T ) ∩ [0, τ ] = σ (T ∩ [0, τ ]) = = σ (((s, t] × F ) ∩ [0, τ ]) = σ ((B × Ω) ∩ [0, τ ]) = = σ (B × Ω) ∩ [0, τ ] = (B ([0, 1]) × Ω) ∩ [0, τ ] ,

ami éppen a kívánt (1.12) egyenl˝oség. 2 68 Az

Ft az y = x ∧ t ∧ 1 által generált σ-algebra. V.ö.: 1.143. példa, 100. oldal. F jobbról folytonos, de nem tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat, így nem teljesülnek a szokásos feltételek, tehát az el˝oz˝o állítás elvileg nem használható. A bizonyításból evidens, hogy a nullmérték˝u halmazokat csak a jobbról folytonos folyamatok miatt szükséges a filtrációhoz csatolni, a kockázatos folyamatok ezen tulajdonságára az ellenpélda során nem támaszkodunk. 70 Érdemes egy rajzott készíteni. Ha az Ω-át az y-tengelyre az id˝ ot az x-tengelyre mérjük, akkor a [τ , τ ] az y = x egyenes, a [0, τ ] a fels˝o háromszög. A következ˝o gondolatmenetben az els˝o esetben az F az átló alá esik, így a teljes R téglalap is az átló alá esik. 71 Rajzoljuk le! Az átló és az s, t egyenesek közötti trapézról van szó. 69 Az

42


1.2.6. Néhány megjegyzés A sztochasztikus folyamatok általános elméletében használt négy mérhet˝oségi osztály, az adaptált, a progresszíven mérhet˝o, a kockázatos és az el˝orejelezhet˝o folyamatok bevezetését követ˝oen érdemes néhány összefoglaló megjegyzést tenni. Az elmondottakból világos, hogy a felsorolásban mindegyik σ-algebra része a megel˝oz˝onek. Ugyanakkor a tartalmazás mindegyik esetben szigorú. A P ⊆ O példát az imént láttuk, az O ⊆ R példát a függelékben ismertetjük72 , a valószín˝uségszámítás tárgyalásakor pedig példát adtunk adaptált folyamatra, amelyik nem progresszíven mérhet˝o73 . A progresszíven mérhet˝o folyamatok osztályát a trajektóriánkénti integrálás miatt kell bevezetni. Ha valamely adaptált folyamatot trajektóriánként akarunk integrálni, akkor nem tudjuk garantálni hogy az integrálfolyamat adaptált maradjon. Ezt csak a progresszíven mérhet˝o folyamatokra tudjuk biztosítani. Az el˝orejelezhet˝o folyamatokat szintén a sztochasztikus integrálás miatt kell bevezetni. Miként kés˝obb látni fogjuk nem csak korlátos változású folyamatok szerint tudunk integrálni, hanem lokális martingálok szerint is. Sajnálatos módon azonban a két osztály nem diszjunkt. El˝orejelezhet˝o lépcs˝os folyamatokra a két integrálfogalom megegyezik. A Meyer–féle monoton osztály tétellel az ilyen folyamatok által generált σ-algebrán mérhet˝o folyamatokra, vagyis az el˝orejelezhet˝o folyamatokra, garantálni tudjuk a két definíció egybeesik. Ugyanakkor a folytonos lokális martingálok, a triviális konstans esett˝ol eltekintve, nem lehetnek korlátos változásúak, így ilyenkor az említett probléma nem lép fel, tehát folytonos lokális martingálok esetén minden progresszíven mérhet˝o folyamatot lehet integrálni. Bizonyos esetekben az integrál nem progresszíven mérhet˝o folyamatokra is kiterjeszthet˝o. Például látni fogjuk, hogy Wiener–folyamat esetén még a szorzatmérhet˝o, adaptált folyamatok szerint is tudunk integrálni. Ugyanakkor az így kapott általánosság bizonyos szempontból érdektelen. Meg fogjuk mutatni74 , hogy ha RX folytonos lokális martinRt t gál, akkor minden 0 HdX integrálfolyamat el˝oállítható 0 H 0 dX módon ahol a H 0 el˝orejelezhet˝o. Másképpen, avval, hogy nem el˝orejelezhet˝o folyamatokra is definiáljuk az integrált, az integrálként el˝oállítható folyamatok köre nem b˝ovül.

1.3. Szemimartingálok A sztochasztikus analízis legfontosabb folyamatosztályát a szemimartingálok alkotják. Szemimartingálon olyan X sztochasztikus folyamatot értünk, amely felírható X = X (0) + V + L alakban, ahol a V folyamat trajektóriái jobbról regulárisak és korlátos változásúak, az L pedig úgynevezett lokális martingál. Ebben a pontban a szemimartingálok definícióját és legegyszer˝ubb tulajdonságait ismertetjük.

1.3.1. Korlátos változású, jobbról reguláris folyamatok Szemimartingálra vonatkozó legegyszer˝ubb példa a jobbról reguláris, korlátos változású folyamatok családja. 72 V.ö.:

B.21. példa, 389. oldal. [20], 9.108. példa, 369. oldal. A probléma gyökere, hogy a parciális mérhet˝oségb˝ol nem következik a szorzatmérhet˝oség. 74 V.ö.: 2.3.9. alpont, 181. oldal. 73 V.ö.:

1.3. SZEMIMARTINGÁLOK

43

1.56 Definíció. Jelölje Var (V ) a V folyamat trajektóriáinak totális variációjából készített folyamatot, vagyis Var (V ) (t, ω) definíció szerint legyen az ω kimenetelhez tartozó trajektória totális variációja a [0, t] szakaszon. A V folyamatot korlátos változásúnak mondjuk, ha minden véges t-re Var (V ) (t) < ∞. 1.57 Állítás. Ha V jobbról reguláris adaptált, korlátos változású folyamat, akkor a Var(V ) is jobbról reguláris és adaptált. Ha V el˝orejelezhet˝o, akkor a Var(V ) is el˝orejelezhet˝o. Bizonyítás: A totális variáció képzése meg˝orzi a függvény folytonossági tulajdonságait75 , így ha a V jobbról reguláris, akkor a Var(V ) is jobbról reguláris. Definíció szerint ( ) X Var (V ) (t) $ sup |V (tk ) − V (tk−1 )| , ∆

k

ahol a ∆ a [0, t] összes (tk )k véges felbontásán fut végig. A V jobbról való regularitása miatt elég a ∆ felbontás osztópontjait a [0, t] mindenhol s˝ur˝u, megszámlálható részhalmazából venni. Az így kapott felosztások száma megszámlálható és mindegyik közelít˝o összeg Ft -mérhet˝o, így a Var (V ) (t) szuprémumuk is Ft -mérhet˝o. Var (V ) = Var (V )− + ∆Var (V ) = Var (V )− + |∆V | . A Var (V )− folyamat el˝orejelezhet˝o, így ha a V is el˝orejelezhet˝o, akkor a ∆V = V − V− is el˝orejelezhet˝o, tehát a Var (V ) is el˝orejelezhet˝o. 2 Ha a V folyamat korlátos változású, akkor minden ω kimenetelre a V (ω) trajektória tekinthet˝o az R+ félegyenes korlátos Borel–halmazain értelmezett el˝ojeles mértéknek. Emlékeztetünk, hogy a V (ω) által definiált mérték független a V (ω) ugráspontjaiban felvett értékekt˝ol. A mértékelméletben általában a súlyfüggvényeket balról folytonos módon regularizáljuk, a sztochasztikus folyamatokról azonban általában a jobbról való folytonosságot tesszük fel. Ennek megfelel˝oen a mértékelméletben megszokott Z dV = V (b) − V (a) [a,b)

helyett Z dV = V (b) − V (a) . (a,b]

Rb R Ennek megfelel˝oen az a f dV jelölésen célszer˝ubb az (a,b] f dV integrált érteni, ahol az integrált trajektóriánként kell definiálni. A sztochasztikus folyamatok szerinti integrálokra kés˝obb a sztochasztikus integrálok vizsgálatakor vissza fogunk térni, most a 75 V.ö.:

[20], 2.129. állítás, 96. oldal.

44


kérdést csak a jelölés tisztázása céljából vetettük fel76 . A Jordan–dekompozíció alapján teljesül a következ˝o: 1.58 Következmény. Ha V nulla id˝opontban nulla értéket felvev˝o, jobbról reguláris adaptált, korlátos változású folyamat77 , akkor a V egyértelm˝uen felbontható V = V + − V − módon, ahol a V ± folyamatok a nulla id˝opontban nullák, jobbról regulárisak, adaptáltak, monoton növeked˝oek78 és Var (V ) = V + + V − . Ha V el˝orejelezhet˝o, akkor a V ± folyamatok is el˝orejelezhet˝oek.

1.3.2. Martingálok, Doob–egyenl˝otlenségek A martingálok fogalmával már a valószín˝uségszámítás tárgyalásakor találkoztunk. Most a legfontosabb állításokat foglaljuk össze. 1.59 Definíció. Az X F-adaptált sztochasztikus folyamatot az F filtrációra nézve martingálnak mondjuk, ha 1. a folyamat trajektóriái jobbról regulárisak, 2. minden t-re az X (t)-nek van véges várható értéke, m.m.

3. ha s < t, akkor79 M (X (t) | Fs ) = X (s) . Ha az egyenl˝oség helyett ≥ van, vagyis M (X (t) | Fs ) ≥ X (s) , akkor szubmartingálról, ha ≤ van, vagyis M (X (t) | Fs ) ≤ X (s) , akkor szupermartingálról beszélünk. Szubmartingáloknál megengedett, hogy csak az M (X + (t)) , szupermartingáloknál csak az M (X − (t)) várható érték legyen véges80 . Ha a trajektóriák regularitási tulajdonságára tett feltételr˝ol nem tudjuk, hogy teljesül, akkor logikai martingálról vagy szub, illetve szupermartingálról fogunk beszélni. Érdemes hangsúlyozni, hogy a trajektóriákra tett feltétel távolról sem ártalmatlan. Ha ξ integrálható változó, akkor az X (t) $ M (ξ | Ft ) folyamat nem lesz feltétlenül 76 Érdemes megjegyezni, hogy azért nem teljesen mindegy, hogy az integrált az (a, b] vagy az [a, b) intervallumokkal definiáljuk. Bizonyos szempontból a mértékelméletben megszokott definíció a „jobb”. Az F (x) $ µ ((−∞, x)) eloszlásfüggvény tetsz˝oleges mértékre a monoton konvergencia tétel miatt mindig balról folytonos, vagyis minden x pontban F (x − 0) = F (x) . A G (x) $ µ ((−∞, x]) alakú függvény a majorált konvergencia tétel miatt azokban az x pontokra, ahol a G (x + 0) véges jobbról folytonos, de ha G (x + 0) végtelen, akkor el˝ofordulhat, hogy G (x) 6= G (x + 0) . Ez a helyzet például, ha µ az (1 + 1/n)n sorozatra támaszkodó számlálómérték. Ilyenkor G (1) = 0, de G (1 + 0) = ∞. 77 Az alább bevezetett jelölés szerint V ∈ V. 78 Vagyis V ± ∈ V + . 79 Folytonos id˝ oparaméter esetén a feltétles várható érték osztály, a folyamat értéke függvény. Ez indokolja a majdnem mindenhol való jelölést. Amennyiben ennek nincsen jelent˝osége, az egyszer˝uség kedvéért, csak egyenl˝oséget írunk. 80 Bizonyos szerz˝ ok a szub és szupermartingáloktól is megkövetelik, hogy a várható érték véges legyen. Ilyenkor integrálható szub, illetve szupermartingálokról fogunk beszélni. Érdemes hangsúlyozni, hogy a szubmartingálok várható értéke n˝o, a szupermartingáloké csökken!


45

martingál, csak logikai martingál, ugyanis semmi sem biztosítja, hogy teljesülni fog a trajektóriákra tett folytonossági feltétel, pontosabban, hogy létezik az X-nek olyan verziója, amely trajektóriái jobbról folytonosak és rendelkeznek bal oldali határértékkel. Ahhoz, hogy ezt biztosítani tudjuk, fel kell tételezni, hogy a filtráció teljesíti a szokásos feltételeket. Az „X martingál” feltétel mögött hallgatólagosan ott húzódik, hogy az alapul vett filtrációra teljesülnek a szokásos feltételek. A martingálok regularizálhatósága a szokásos feltételek egyik legfontosabb következménye. 1.60 Példa. A szokásos feltételek teljesülése esetén nem minden logikai szubmartingál regularizálható. Tetsz˝oleges Ω halmaz esetén az Ft $ A $ {∅, Ω} σ-algebra és filtráció mellett minden az R+ félegyenesen értelmezett f determinisztikus függvény adaptált sztochasztikus folyamat. Az (Ω, A,P,F) triviálisan teljes, és kielégíti a szokásos feltételeket. Ha az f monoton n˝o, akkor az f logikai szubmartingál, de a definíció értelmében csak akkor tekinthet˝o szubmartingálnak, ha jobbról folytonos, és rendelkezik bal oldali határértékekkel. Ha az f nem jobbról folytonos, akkor evidens módon ekvivalens módosítással nem tehet˝o jobbról folytonossá, vagyis nem tehet˝o szubmartingállá. 2 1.61 Példa. A trajektóriákra tett regularitási feltételek teljesülése nélkül a martingálelmélet legfontosabb állításai nem teljesülnek. Tekintsük például a szubmartingálokra vonatkozó

λP sup X (t) ≥ λ ≤ sup X + (t) 1 t∈I

t∈I

Doob–egyenl˝otlenséget81 . Az egyenl˝otlenség teljesüléséhez a trajektóriákra valamilyen megkötést kell tenni, ugyanis tetsz˝oleges trajektóriák esetén az egyenl˝otlenség nem igaz. Legyen (Ω, A,P) a [0, 1] szakasz a Lebesgue–mértékkel. Ha Ft $ A $ 2 B ([0, 1]) és ∆ jelöli a [0, 1] átlóját, akkor az X $ χ∆ folyamat logikai martingál, de ha λ = 1, akkor !

1 = λP sup X (t) ≥ λ > sup X + (t) = 0. t∈[0,1]

t∈I

1

Vegyük észre, hogy az X sem jobbról, sem balról nem folytonos, s˝ot nem is szeparábilis82 , de természetesen rendelkezik a megadott tulajdonsággal rendelkez˝o ekvivalens módosításokkal. Például az Y ≡ 0 az X szeparábilis83 módosítása. A módosított Y -ra az egyenl˝otlenség természetesen teljesül. 2 81 V.ö.:

1.67. állítás, 48. oldal. [20], 17.39. definíció, 837. oldal. 83 És természetesen jobbról reguláris. 82 V.ö.:


46

A trajektóriák jobbról való regularizálásának szükségességét hangsúlyozza a következ˝o példa: 1.62 Példa. A megállási opciókról szóló tétel csak jobbról reguláris trajektóriák esetén érvényes. Legyen P λ paraméter˝u Poisson–folyamat84 és legyen π (t) $ P (t) − λt az úgynevezett kompenzált Poisson–folyamat. Könnyen megmutatható, hogy π martingál. Ha a folyamatot nem jobbról, hanem balról tesszük folytonossá, és τ a folyamat els˝o ugrásának az id˝opontja, akkor P (τ ) = 0. Ha N > 0, akkor a ρ $ τ ∧ N korlátos megállási id˝o, de M (π (0)) = 0 6= M (−λρ) = M (P ρ − λρ) = M (π ρ ) . 2 A sztochasztikus analízis szempontjából a martingálok legfontosabb osztálya a négyzetesen integrálható martingálok családja. 1.63 Definíció. Legyen p > 1 és jelölje Hp az olyan M martingálok osztályát, amelyekre sup kM (t)kp < ∞. t

A H2 tér elemeit négyzetesen integrálható vagy L2 -martingáloknak szokás mondani85 . A martingálok fontos elemi tulajdonsága a következ˝o: 1.64 Állítás. (Energiaazonosság) Ha az M martingálra minden t id˝opontban az M (t) négyzetesen integrálható és s < t, akkor 2 M (M (t) − M (s)) = M M 2 (t) − M M 2 (s) . Bizonyítás: Bár az azonosság kiemelked˝oen fontos szerepet játszik, indoklása egyszer˝u. A két oldal különbsége ∆ $ 2 · M (M (s) [M (s) − M (t)]) . A teljes várható érték tétel, a kiemelési szabály és a martingáltulajdonság miatt ∆

$ 2 · M (M (s) · [M (s) − M (t)]) = =

2 · M (M (s) · M (M (s) − M (t) | Fs )) =

=

2 · M (M (s) · 0) = 0.

84 A Poisson–folyamat ismeretét feltételezzük. A példa szempontjából elég azt tudni, hogy a Poisson– folyamat diszkrét id˝opontokban beérkez˝o véletlen események számát adja meg. Az egyes ugrások között eltelt id˝o λ paraméter˝u exponenciális eloszlású valószín˝uségi változó. A folyamat stacionárius és független növekmény˝u. A t id˝opontban beérkez˝o ugrást definíció szerint hozzászámoljuk a folyamathoz, ezért a folyamat jobbról folytonos. Egyszer˝uen belátható, hogy λt = M (P (t)) . Az, hogy a t id˝opontban bekövetkezett ugrásokat beszámítjuk, vagy sem, nem módosítja a folyamat által generált kib˝ovített filtrációt, vagy a megállási id˝oket, ugyanis az, hogy a t id˝opontban ugrás lesz nulla valószín˝uség˝u esemény. 85 A terminológia némiképpen félrevezet˝ o, ugyanis arra utal, mintha pusztán a H2 -martingálok, különböz˝o id˝opontokban felvett értékei lennének négyzetesen integrálhatóak.


47

2 1.65 Állítás. (H2 -martingálok struktúrája) Ha M ∈ H2 , akkor létezik olyan M (∞) ∈ L2 (Ω, F∞ , P), hogy M (t) = M (M (∞) | Ft ) ,

(1.13)

és L2 -konvergenciában M (t) → M (∞) . Bizonyítás: Legyen tn % ∞ tetsz˝oleges. Az energiaazonosság miatt az 2 kM (tn )k2 $ M M 2 (tn ) n n

sorozat monoton n˝o, a H2 definíciója miatt korlátos, tehát van határértéke. Ugyancsak az energiaazonosság miatt, ha n > m, akkor 2

2

2

kM (tn ) − M (tm )k2 = kM (tn )k2 − kM (tm )k2 , így az (M (tn ))n Cauchy–sorozat. Az L2 (Ω) teljessége miatt az (M (tn ))n sorozat L2 -konvergens. Különböz˝o sorozatok összefésüléséb˝ol kapott sorozatok konvergensek, így az M (∞) határérték, mint az L2 (Ω)-tér eleme, egyértelm˝u. A martingáltulajdonság miatt, ha s ≥ 0, akkor M (t) = M (M (t + s) | Ft ) . Ha az alaptér mértéke véges, akkor az L2 -konvergenciából következik az L1 -konvergencia, tehát ha s → ∞, akkor M (t) = M lim M (t + s) | Ft = M (M (∞) | Ft ) . s→∞

2 1.66 Példa. Wiener–folyamat és a H2 -martingálok struktúratétele. Legyen w Wiener–folyamat a [0, T ], T < ∞ véges szakaszon. Mivel w független növekmény˝u, ezért M (w (T ) | Ft ) = M (w (T ) − w (t) | Ft ) + M (w (t) | Ft ) = w (t) . A w az R+ félegyenesen nem L2 -korlátos, vagyis w ∈ / H2 , és természetesen nem teljesül az (1.13). 2 A martingálelmélet legfontosabb egyenl˝otlenségei Doob–egyenl˝otlenségek.


48

1.67 Állítás. (Doob–egyenl˝otlenségek) n Ha λ ≥ 0 és X = (Xk , Fk )k=1 szubmartingál, akkor λP max Xk ≥ λ ≤ max M Xk+ = 1≤k≤n 1≤k≤n = M Xn+ ≤ M (|Xn |) .

(1.14)

n

Speciálisan, ha (Xk , Fk )k=1 martingál86 , vagy nem negatív szubmartingál, akkor minden λ ≥ 0 számra és p ≥ 1 kitev˝ore87 p p λ P max |Xk | ≥ λ ≤ M (|Xn | ) . (1.15) 1≤k≤n

n

Ha X = (Xk , Fk )k=1 nem negatív szubmartingál, és p > 1, akkor

p

max X kXk kp ≤

1≤k≤n k ≤ p − 1 kXn kp $ q kXn kp . p

(1.16)

∞

Speciálisan ha X = (Xk , Fk )k=1 martingál és p > 1, akkor X ∗ $ sup |Xk | ∈ Lp k

pontosan akkor, ha az (Xk )k korlátos az Lp térben. Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy mindkét egyenl˝otlenség a szubmartingálok maximumának növekedését becsüli. 1. Legyen X szubmartingál és λ > 0. A1 $ {X1 ≥ λ} , Ak $ max Xi < λ ≤ Xk , 1≤i
A$

max Xk ≥ λ .

1≤k≤n

Megmutatjuk. hogy λP (A) $ λP

Z max Xk ≥ λ ≤ Xn dP,

1≤k≤n

(1.17)

A

amib˝ol az els˝o (1.14) egyenl˝otlenség következik, ugyanis Z Xn dP ≤ M Xn+ ≤ M (|Xn |) . A

Evidens módon az Ak halmazok diszjunktak és A = ∪k Ak . Vegyük észre, hogy Ak ∈ Fk , következésképpen a szubmartingál tulajdonság felhasználásával n n Z n Z X X X λP (A) = λ P (Ak ) ≤ Xk dP ≤ M (Xn | Fk ) dP = =

k=1 n Z X k=1

86 Az

Ak

k=1

Ak

k=1

Ak

Z Xn dP =

Xn dP. A

|x| függvény konvex, tehát a (|Xk | , Fk )n k=1 szubmartingál. észre, hogy a Markov–egyenl˝otlenség általánosításáról van szó.

87 Vegyük


49

Az els˝o egyenl˝oség igazolását befejezend˝o megjegyezzük, hogy ha az (Xk )k szubmart ingál, akkor az Xk+ k is szubmartingál, ezért a várható értékek sorozata nem csökken, tehát max M Xk+ = M Xn+ . 1≤k≤n

2. A második (1.15) egyenl˝otlenség igazolása során az egyetlen problémát az jelenti, p hogy meg kell mutatni, hogy az (|Xk | )k sorozatra alkalmazható az els˝o egyenl˝otlenség. A feltételek teljesülése esetén az (|Xk |)k sorozat nem negatív szubmartingál88 , ezért M (|Xn | | Fk ) ≥ |Xk | , amib˝ol a Jensen–egyenl˝otlenség és a teljes várható érték tétel felhasználásával p

p

p

p

M (|Xn | ) = M ((M (|Xn | | Fk ))) ≥ M ((M (|Xn | | Fk )) ) ≥ M (|Xk | ) . p

p

Ha M (|Xn | ) = ∞, akkor az egyenl˝otlenség triviálisan teljesül. Ha M (|Xn | ) < p ∞, akkor az imént belátott egyenl˝otlenség miatt minden k-ra az M (|Xk | ) is véges, és mivel az x → xp a nem negatív számok halmazán konvex, monoton növeked˝o p függvény, ezért az (|Xk | )k szubmartingál. A p p max |Xk | ≥ λ = max |Xk | ≥ λ 1≤k≤n

1≤k≤n

egyenl˝oségb˝ol az els˝o egyenl˝otlenség felhasználásával a második egyenl˝otlenség már triviálisan igazolható. 3. Térjünk rá az (1.16) igazolására. Vezessük be az Xn∗ $ max1≤k≤n Xk jelölést. Mivel 0 ≤ Xk ≤ Xn∗ , ezért az els˝o egyenl˝otlenség triviális, csak a másodikkal foglalkozunk. Ha kXn∗ kp ≥ kXn kp = ∞, akkor az állítás evidens. Tegyük fel, hogy kXn kp < ∞. Elvileg el˝ofordulhat, hogy kXn∗ kp = ∞, ezért az Xn∗ változót le kell vágni. Rögzítsük az N számot, és legyen η $ min (N, Xn∗ ) . Vezessük be az A (x) $ {Xn∗ ≥ x} jelölést. Az (1.17) egyenl˝otlenség alapján Z xP (A (x)) ≤ Xn dP. A(x) 89

A Fubini–tétel és a Newton—Leibniz–formula szerint ! Z η Z N p p−1 p−1 M (η ) = M px dx = M px χA(x) dx = 0

Z

0

N p−1

= p

Z

x

Ω N

≤ p

x

p−2

Z Xn 0

N

Z

Z

Xn dPdx = p A(x)

Z Ω

0

Z

0

= p

xp−1 P (A (x)) dx ≤

χA(x) dPdx = p

0

Z

N

Z

η

xp−2 dxdP =

0

p p−1

Xn xp−2 χA(x) dPdx =

Ω

Z

Xn η p−1 dP.

Ω

88 A Jensen–egyenl˝ otlenség miatt martingál integrálható, konvex függvénye szubmartingál. V.ö.: [20], 9.56. példa, 336. oldal. 89 Vegyük észre, hogy felhasználtuk, hogy X ≥ 0. n


50

A Hölder–egyenl˝otlenség alapján

1/q M (η p ) ≤ q kXn kp η p−1 q = q kXn kp M (η p ) . 1/q

Az M (η p ) miatt

kifejezéssel átosztva90 kηkp ≤ q kXn kp . A monoton konvergencia tétel lim kmin (N, Xn∗ )kp = kXn∗ kp ,

N →∞

amib˝ol az egyenl˝otlenség már következik. 2 A martingálok, illetve a szubmartingálok definíció szerint jobbról folytonosak, így a trajektória szuprémuma vehet˝o a racionális számok halmazán, így tetsz˝oleges I intervallum esetén a supt∈I S (t) változó mérhet˝o. Az egyenl˝otlenségeket véges sok racionális id˝opontra felírva, majd a racionális id˝opontok számát növelve határértéket véve belátható a következ˝o általánosítás91 : 1.68 Állítás. Legyen I tetsz˝oleges intervallum. Ha S szubmartingál az I-n, akkor

λP sup S (t) ≥ λ ≤ sup S + (t) 1 . t∈I

t∈I

Ha p ≥ 1 és az M martingál, vagy nem negatív szubmartingál az I-n, akkor p λp P sup |M (t)| ≥ λ ≤ sup kM (t)kp . t∈I

(1.18)

t∈I

Ha p > 1, akkor

sup |M (t)| ≤

t∈I

p

p sup kM (t)kp . p − 1 t∈I

(1.19)

Ha b az I intervallum véges, vagy végtelen végpontja, akkor a megadott feltételek mellett

λP sup S (t) ≥ λ ≤ S + (b) 1 , (1.20) t∈I p λp P sup |M (t)| ≥ λ ≤ kM (b)kp , t∈I

p

sup |M (t)| ≤ kM (b)kp .

t∈I

p−1 p Tekintsük az egyenl˝otlenségek néhány következményét. Emlékeztetünk, hogy a Hp tereket csak a p > 1 esetben definiáltuk. A Doob–egyenl˝otlenségek segítségével a definíció kiterjeszthet˝o a p = 1 esetre is: 90 Ha

a kifejezés nulla, akkor az egyenl˝otlenség triviális. [20], 9.98. állítás, 364. oldal.

91 V.ö.:


51

1.69 Definíció. Ha p ≥ 1, akkor jelölje Hp az olyan M martingálok osztályát, amelyekre

sup |M (t)| < ∞.

t

p

Természetesen ha p > 1, akkor az (1.19) miatt új és a régi definíció ekvivalens. A Hp tér definíciójából evidens, hogy a tér elemei egyenletesen integrálható martingálok. Emlékeztetünk, hogy az M martingál pontosan akkor egyenletesen integrálható, ha lezárható, vagyis ha Θ $ R+ , akkor az M felírható M (t) = M (M (∞) | Ft ) módon92 . Ilyenkor az L1 (Ω) topológiájában M (t) → M (∞) . Az els˝o Doob–egyenl˝otlenségb˝ol következ˝o hasznos észrevétel, hogy Hp terekben az Lp -konvergenciából következik a majdnem mindenhol való konvergencia. 1.70 Következmény. Legyen M martingál, és tegyük fel, hogy M (t) = M (M (∞) | Ft ) ,

t ≥ 0,

vagyis tegyük fel, hogy az M lezárható. Ha az Lp , p ≥ 1 tér topológiájában M (t) → m.m. M (∞), akkor M (t) → M (∞) . Bizonyítás: Legyen ε > 0 tetsz˝oleges. Vezessük be a β (s) $ sup |M (t) − M (s)| t>s

változót. Az M jobbról folytonos, így a szuprémumot elegend˝o a racionális id˝opontokra venni, következésképpen a β (s) mérhet˝o. Az N (u) $ M (u + s) − M (s) triviálisan lezárható martingál a Gu $ Fs+u filtrációra nézve. sup kN (u)kp ≤ kM (s) − M (∞)kp + sup kM (u + s) − M (∞)kp , u

u

Lp

és az M (t) → M (∞) feltétel miatt a jobb oldal elég nagy s-re kisebb, mint ε > 0. A Doob–egyenl˝otlenség szerint ε p P (β (s) > δ) = P sup |N (u)| > δ ≤ , δ u P

vagyis β (s) → 0. Sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol m.m. konvergens részsorozata. A β (s) definíciója alapján a β (sk ) → 0 konvergenciából m.m. következik az M (t) → M (∞) konvergencia. 2 92 A H2 esetet már beláttuk, az általános esetet lásd. [20], 9.104. állítás, 367. oldal. Ha Θ 6= R , akkor + értelemszer˝uen a ∞ helyébe a Θ szuprémumát kell írni.

52


1.71 Következmény. Ha M ∈ H2 , akkor létezik olyan M (∞) ∈ L2 (Ω) változó, hogy M (t) → M (∞) , ahol a konvergencia majdnem mindenhol és L2 (Ω)-ban érvényes. Emlékeztetünk93 , hogy nem csak a p = 2 esetben, hanem minden p > 1 esetben a Hp martingálok lezárhatóak. Az M (t) = M (M (∞) | Ft ) megfeleltetéssel az M azonosítható az M (∞) változóval, így a Hp ekvivalens az Lp (Ω, F∞ , P) egy alterével94 . Ez lehet˝ové teszi a Hp topologizálását. 1.72 Definíció. Ha p > 1 és (Mn )n ⊆ Hp , akkor azt mondjuk, hogy az (Mn )n sorozat az M ∈ Hp martingálhoz95 tart, ha Mn (∞) → M (∞) , ahol az utóbbi konvergencia az Lp (Ω, F∞ , P) tér topológiájában értend˝o. Ha p > 1, akkor az (1.19), (1.20) egyenl˝otlenségek szerint

sup |Mn (t) − M (t)| ≤ p · kMn (∞) − M (∞)k → 0, p

t p−1 p következésképpen, van olyan (Mnk )k részsorozat, amelyre az Mnk trajektóriái egyenletesen tartanak az M trajektóriáihoz. Ebb˝ol következ˝oen a konvergencia során a martingáltulajdonság, és a trajektóriák regularitási tulajdonságai is megmaradnak. Ennek megfelel˝oen az olyan folyamatok, amelyek trajektóriái jobbról regulárisak zárt alteret alkotnak, de zárt teret alkotnak a folytonos trajektóriával rendelkez˝o martingálok is. A Doob–egyenl˝otlenség a p = 1 esetben nem teljesül, így a normát a

kM kH1 $ sup |Mn (t)|

t

(1.21)

1

definícióval terjesszük ki a H1 térre. A figyelmes olvasóban joggal felmerülhet a kérdés miért nem az (1.21) normával topologizáltuk az összes Hp teret? A p > 1 esetben a két topológia a Doob–egyenl˝otlenség miatt triviálisan ekvivalens, ugyanis egyrészt

sup |M (t)| ≤ p · kM (∞)k , p

t p−1 p másrészt mivel kM (t)kp ≤ ksupt |M (t)|kp , ezért az Lp -konvergencia miatt

kM (∞)kp ≤ sup |M (t)|

. t

p

A két metrizálás közötti lényeges eltérés, hogy az egyedül érdekes p = 2 esetben a kM kHp $ kM (∞)k2 norma a H2 teret Hilbert–térré alakítja. Másképpen fogalmazva a Doob–egyenl˝otlenségek legfontosabb következménye, hogy a p = 2 esetben az 93 V.ö.:

[20] 9.75. következmény, 347. oldal.

M (t) $ M (ξ ∗ | Ft ) , ξ ∗ ∈ Lp (Ω, F∞ , P) kifejezés csak akkor lesz martingál, ha az M jobbról reguláris, vagyis ha az F filtráció jobbról folytonos. 95 Elvileg elképzelhet˝ o, hogy az M csak logikai martingál, a trajektóriák regularitását a Doob– egyenl˝otlenség garantálja. 94 A martingálra megadott definíciónk alapján az


53

(1.21) topológia megadható skaláris szorzattal. Miként látni fogjuk az integrálelmélet általunk bemutatott tárgyalásásnak éppen ez a kiindulópontja. Végezetül röviden vizsgáljuk meg az L1 -martingálokat. 1.73 Definíció. Az M martingált L1 -martingálnak mondjuk, ha az M korlátos az L1 (Ω) térben, vagyis van olyan K, hogy minden lehetséges t id˝opontra kM (t)k1 ≤ K. A Doob–egyenl˝otlenség p = 1 esetén nem érvényes, ezért a H1 és az L1 -martingálok családja nem azonos. Az L1 -martingálok az L2 -martingálokhoz képest a sztochasztikus analízisben alárendelt szerepet játszanak. Az alábbi gondolatmenetet célja els˝osorban a sztochasztikus analízisben kés˝obb kulcs szerepet játszó fogalom96 diszkét id˝oparaméter esetén való el˝ozetes bevezetése. 1.74 Állítás. (Austin) Ha (Mn , Fn )n∈N a természetes számok halmazán értelmezett, diszkrét id˝oparaméter˝u L1 -martingál és (τ n )n megállási id˝ok monoton növeked˝o sorozata, akkor majdnem minden értelemben ∞ X 2 Mτ n+1 − Mτ n < ∞. (1.22) n=1

Bizonyítás: El˝oször az állítást a τ n = n esetben igazoljuk, az általános esetet ezt követ˝oen látjuk be. 1. M ∗ $ supn |Mn | és jelölje K az (kMn k1 )n sorozat definíció szerint létez˝o fels˝o korlátját. A Doob–egyenl˝otlenség miatt P (M ∗ ≥ p) ≤

K , p

így az M ∗ majdnem minden kimenetelre véges97 . Rögzítsük a p számot és tekintsük az t2 ha |t| ≤ p f (t) $ 2p |t| − p2 ha |t| > p folytonosan deriválható konvex függvényt. Az f konvexitása miatt a g (v1 , v2 ) $ f (v2 ) − f (v1 ) − (v2 − v1 ) f 0 (v1 ) kifejezés nem negatív. Ha |v1 | , |v2 | ≤ p, akkor 2

g (v1 , v2 ) = v22 − v12 − (v2 − v1 ) 2v1 = (v2 − v1 ) . Az f definíciója miatt f (t) ≤ 2p |t| , tehát M (f (Mn )) ≤ 2pM (|Mn |) ≤ 2pK. 96 Természetesen 97 Ugyanakkor

a (1.22) sorban szerepl˝o „kvadratikus variációról" van szó. az M ∗ ∈ L1 (Ω) általában nem teljesül. V.ö.: [20], 9.61. példa, 339. oldal.

(1.23)


54

A teljes várható érték tétel és a kiemelési szabály szerint M ((Mk+1 − Mk ) f 0 (Mk ))

= M (M ((Mk+1 − Mk ) f 0 (Mk )) | Fk ) = = M (f 0 (Mk ) M ((Mk+1 − Mk )) | Fk ) = 0.

Ebb˝ol következ˝oen a g definíciója alapján minden n-re 2pK

n−1 X

≥ M (f (Mn ) − f (M1 )) =

M (f (Mk+1 ) − f (Mk )) = (1.24)

k=1

=

n−1 X

M (g (Mk+1 , Mk )) ,

k=1

vagyis a monoton konvergencia tétel miatt ! ∞ X ∗ M g (Mk+1 , Mk ) χ (M ≤ p)

≤ M

k=1

∞ X

! g (Mk+1 , Mk )

=

k=1

=

∞ X

M (g (Mk+1 , Mk )) ≤ 2pK,

k=1

következésképpen M

∞ X

! 2

∗

(Mk+1 − Mk ) χ (M ≤ p)

≤ 2pK.

k=1

Az M ∗ majdnem mindenhol véges, így az majdnem minden kimenetelre konvergens.

P∞

k=1

2

(Mk+1 − Mk ) is, miként állítottuk,

2. Az Mτ n megállított változó definíciója miatt feltehetjük, hogy minden kimenetelre a τ n értéke véges. A bizonyítás alapgondolata megegyezik a már bemutatottal. Els˝o lépésként megmutatjuk, hogy teljesül a (1.23) sorral analóg M (f (M (τ n ))) ≤ 4pK

(1.25)

becslés. {τ n ≥ k} ∈ Fk−1 , ami miatt M ((Mk+1 − Mk ) f 0 (Mk ) χ (τ n ≥ k)) = 0, így a (1.24) sor és a monoton konvergencia tétel felhasználásával M (f (M (τ n )) − f (M1 ))

= M

= M

∞ X k=1 ∞ X

! f (Mk+1 ) − f (Mk ) χ (τ n ≥ k) ! g (Mk+1 , Mk ) χ (τ n ≥ k)

k=1

= ≤

∞ X k=1 ∞ X k=1

M (g (Mk+1 , Mk ) χ (τ n ≥ k)) ≤ M (g (Mk+1 , Mk )) ≤ 2pK, .

=

=


55

vagyis a (1.25) teljesül. Tetsz˝oleges N -re az τ n változók helyett vegyük a τ N n $ τ n ∧N változókat. A véges id˝oparaméter˝u98 megállási opciókról szóló tétel miatt, az Fτ N n közbeiktatásával 0 N M M τN f M τN = 0, n+1 − M τ n n így a már bemutatott módon okoskodva 4pK

≥ M f M

τN n

−f M

τN 1

=

n−1 X

M f M τN k+1

− f M τN k

k=1

=

n−1 X

N M g M τN . k+1 , M τ k

k=1

A monoton konvergencia tétel miatt 4pK

≥

≥

M

M

∞ X k=1 ∞ X

! g M

M

τN k+1 τN k+1

,M

τN k

−M

τN k

2

≥ ! ∗

χ (M ≤ p) .

k=1

Ha N → ∞, akkor ismét a monoton konvergencia tétel miatt ! ∞ X 2 ∗ M (M (τ k+1 ) − M (τ k )) χ (M ≤ p) ≤ 4pK, k=1

amib˝ol az állítás már evidens. 2 1.75 Következmény. Ha (Mn , Fn )n∈N a természetes számok halmazán értelmezett L1 -martingál, akkor majdnem minden értelemben létezik a lim Mn = M (∞)

n→∞

határérték99 . Bizonyítás: Ha a konvergencia nem teljesül, akkor van olyan ε > 0, hogy pozitív valószín˝uség˝u halmazon lim sup |M (p) − M (q)| ≥ ε.

(1.26)

p,q→∞ 98 V.ö.:

[20], 9.120. lemma, 377. oldal. Hangsúlyozzuk, hogy elemei, közvetlenül a definíciókra támaszkodó egyszer˝u számolásról van szó, ugyanis ellenkez˝o esetben felmerülhetne, hogy a bizonyítandó állítást felhasználtuk a bizonyítás során. 99 Az állítás szubmartingálokra is igaz. V.ö.: [20], 9.65. tétel, 342. oldal, és érvényes folytonos id˝ oparaméter esetén is. V.ö.: [20], 9.101. állítás, 366. oldal.

=

56


Ha τ 1 $ 1 és τ n+1 $ inf {m ≥ τ n : |M (m) − Mτ n | ≥ ε} , akkor a (τ n )n sorozat minden tagja megállási id˝o, és a (τ n )n sorozat monoton n˝o, így a (1.22) majdnem minden kimenetelre teljesül, ami nem lehetséges, ugyanis a (1.26) miatt pozitív valószín˝uség˝u halmazon a sor minden tagja legalább ε2 , vagyis pozitív valószín˝uség˝u halmazon a sor divergens. 2 Emlékeztetünk, hogy a konvergencia L1 -ben nem teljesül100 . Ennek oka, hogy szemben a p > 1 esettel az L1 (Ω) térben a korlátos halmazok nem egyenletesen integrálhatóak101 . Ha az L1 -korlátosság helyett az egyenletes integrálhatóságot követelnénk meg, akkor a majdnem mindenhol való konvergenciából következne az L1 -konvergencia102 .

1.3.3. Lokalizáció, lokális martingálok A valószín˝uségszámítás tárgyalásakor már röviden érintettük a lokális martingálokat. 1.76 Definíció. Legyen X valamilyen tulajdonsággal rendelkez˝o folyamatok családja. Az X folyamatról azt mondjuk, hogy lokálisan az X osztályba esik, ha megadható megállási id˝okb˝ol álló olyan (τ n )n sorozat, amelyre majdnem mindenhol103 τ n % ∞, és minden n-re X τ n ∈ X . A (τ n )n sorozatot az X lokalizációs sorozatának szokás mondani. A lokálisan X tulajdonságú folyamatokat Xloc módon fogjuk jelölni. A lokalizáció definíciójának sajátos problémája, hogy a definíció alapján az X (0) értékét nem tudjuk módosítani, vagyis a lokalizált sorozat minden tagja a t = 0 pontban ugyanazt az értéket veszi fel. Ezt megel˝ozend˝o számos szerz˝o az X τ n helyett az X τ n χ (τ n > 0) definícióval lokalizálja a folyamatot. A továbbiakban, ha csak másképpen nem írjuk, mindig a definícióban szerepl˝o egyszer˝ubb lokalizációra gondolunk104 . Lokalizált folyamatok körében a konvergenciát kézenfekv˝o lokalizációval definiálni, vagyis Xm → X, ha létezik olyan (τ n )n közös lokalizációs sorozat, hogy minden τn n-re limm→∞ Xm = X τ n . Miként láttuk, általában a Hp terekben a konvergenciát a kM kHp $ ksupt |M (t)|kp normával definiáljuk. Ha T < ∞ tetsz˝oleges id˝opont, 100 V.ö.:

[20], 9.69. példa, 345. oldal. [20], 2.65. példa, 57. oldal, 2.66. állítás, 58. oldal. 102 V.ö.: [20], 2.67. állítás, 59. oldal. 103 Majdnem mindenhol és nem mindenhol! V.ö.: 1.105. állítás, 71. oldal. 104 Az X (0) értékének általában nincsen jelent˝ osége. Például a sztochasztikus integrálok értékét sem integrátorként sem integrandusként az X (0) nem befolyásolja. Bizonyos szerz˝ok a lokalizációt az X (t)−X (0) folyamatra hajtják végre, vagyis implicite felteszik, hogy a lokalizálandó folyamat a nulla pontban nulla. Tulajdonképpen lokális martingálok esetén általában err˝ol is van szó, hiszen a szemimartingálok definíciójában az X (0) értéket explicite leválasztjuk. A lokalizációval bevezetett másik fontos függvényosztály, a lokálisan korlátos folyamatok családja esetén az X (0) értéke szintén érdektelen, ugyanis a lokálisan korlátos folyamatokat a szemimartingálok szerinti integrálok integrandusaként szerepeltetjük, és az integrál értéke független az X (0)-tól. 101 V.ö.:


57

akkor a τ n % ∞ miatt minden δ > 0 számhoz van olyan n, hogy P (τ n ≤ T ) < δ. Legyen ε > 0 tetsz˝oleges. Ha A $ sup |Xm (s) − X (s)| > ε , s≤T

akkor P (A)

= P ((τ n ≤ T ) ∩ A) + P ((τ n > T ) ∩ A) ≤ ≤ P (τ n ≤ T ) + P ((τ n > T ) ∩ A) ≤ δ + P ((τ n > T ) ∩ A) ≤ τn τn ≤ δ + P sup |Xm (s) − X (s)| > ε . s≤T

A Markov–egyenl˝otlenségb˝ol következ˝oen az Lp -konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia. Ez indokolja a következ˝o alapvet˝oen fontos definíciót: 1.77 Definíció. Az (Xn )n sztochasztikus folyamatokból álló sorozatról azt mondjuk, hogy sztochasztikus konvergenciában a kompakt szakaszokon egyenletesen az X folyamathoz konvergál, ha tetsz˝oleges T < ∞ id˝opontra a sups≤T |Xn (s) − X (s)| változó105 sztochasztikusan nullához tart. A lokalizációval megadott legfontosabb folyamatosztály a lokális martingálik családja. 1.78 Definíció. Jelölje M az egyenletesen integrálható106 martingálok osztályát. Az Mloc osztály elemeit lokális martingáloknak mondjuk. 1.79 Példa. Minden martingál lokális martingál. Ha M martingál és τ n $ n, akkor a (τ n )n az M lokalizációs sorozata. Ilyenkor M τ n (t) = M (t ∧ n) = M (M (n) | Ft ) , és az (M τ n (t))t≥0 halmaz egyenletesen integrálható107 .

2

Az olvasónak felt˝unhetett , hogy a lokális martingálokat nem a martingálok osztályával, hanem az egyenletesen integrálható martingálokkal definiáltuk. Ha az L folyamatra az 105 Minden további megkötés nélkül természetesen nem kapunk valószín˝ uségi változót, ha azonban a trajektóriák jobbról folytonosak, akkor a szuprémumot elegend˝o a racionális id˝opontok szerint venni. 106 V.ö.: [20] 2.64. definíció, 57. oldal. Az egyenletes integrálhatóságból következ˝ o legfontosabb tulajdonság, hogy véges mérték esetén a majdnem mindenhol való konvergenciából következik az L1 -ben való konvergencia. V.ö.: [20], 2.67. állítás, 59. oldal. Egyenletesen integrálható függvényhalmazokra a legfontosabb két példa az Lp (Ω) , p > 1 tér korlátos részhalmazai, [20], 2.65. példa, 57. oldal, illetve az {M (ξ | Fα ) , α ∈ A} alakú halmazok, ahol ξ ∈ L1 (Ω) rögzített, [20], 9.72. példa, 346. oldal. 107 V.ö.: [20], 9.72. példa, 346. oldal.


58

Lτ n martingál, akkor Lτ n ∧n ∈ M, így a lokális martingálok definíciója szempontjából érdektelen, hogy a lokalizációt a martingálok vagy az egyenletesen integrálható martingálok körében hajtjuk végre. A tételek bizonyítása szempontjából azonban kényelmesebb, ha az egyenletesen integrálható martingálokból indulunk ki, ugyanis gyakran az állítások martingálokra való igazolása is lokalizációra épül, így a definíció a tényleges bizonyításokat leegyszer˝usíti. A lokális martingálok mellett fontos szerepet játszanak a lokálisan négyzetesen integrálható martingálok. 1.80 Definíció. 2 A Hloc osztály elemeit lokálisan négyzetesen integrálhatónak mondjuk. 1.81 Példa. 2 Minden L2 -érték˝u martingál108 eleme a Hloc térnek. Ha a valós számokból álló (Tn )n sorozatra Tn % ∞, és M L2 -érték˝u martingál, akkor 2 . az M Tn a Doob–egyenl˝otlenség miatt L2 -ben korlátos martingál, tehát M ∈ Hloc 2 1.82 Példa. 2 Martingálok, amelyek nem elemei a Hloc térnek109 . Legyen (Ω, A,P) tetsz˝oleges, ξ ∈ L1 , de ξ ∈ / L2 . Ekkor az M (t) $ ξ, Ft $ A mellett τ 2 M ∈ M. Minden megállási id˝ore M (t) = M (t) , tehát M ∈ / Hloc . Valamivel élesebb példa a következ˝o: Ha σ (N ) a nullmérték˝u halmazok által generált σ-algebra, Ft $

σ (N ) ha A ha

t<1 t≥1

és a ξ ∈ L1 , de ξ ∈ / L2 megkötés mellett még az M (ξ) = 0 is teljesül, akkor az m.m. M (t) $ M (ξ | Ft ) martingál, ugyanis az F teljesíti a szokásos feltételeket, M (0) = 2 0, de M ∈ / Hloc , ugyanis ha a τ megállási id˝o nem konstans, akkor majdnem minden 2 kimenetelre τ ≥ 1. A kés˝obb bevezetett jelölést alkalmazva M ∈ L, de M ∈ / Hloc . 2 1.83 Példa. Lokális martingál, amely nem martingál. Legyen Ω $ C [0, ∞) az R+ félegyenesen értelmezett folytonos függvények halmaza. X legyen a koordinátaleképezés, vagyis ha ω ∈ Ω, akkor X (ω, t) $ ω (t) .Az F filtrációt definiáljuk az X folyamattal. P legyen az Ω téren értelmezett olyan valószín˝uségi mérték, amely alatt az X az 1 pontból elindított Wiener–folyamat. τ 0 legyen ha minden t-re M (t) ∈ L2 . 1 térnek, vagyis bár H2 fogjuk mutatni, hogy minden lokális martingál eleme a Hloc loc 6= Mloc , = Mloc .

108 Vagyis 109 Meg 1 de Hloc


59

az X nulla pontba való érkezésének id˝opontja. Az Ft σ-algebrán definiáljuk a Q (t) mértéket a dQ (t) dP

$ X (t ∧ τ 0 ) = X (t) χ (t < τ 0 ) + X (τ 0 ) χ (t ≥ τ 0 ) = = X (t) χ (t < τ 0 )

deriválttal. Az X τ 0 a P mérték mellett martingál, ezért M (X (t ∧ τ 0 ) | Fs ) = X (s ∧ τ 0 ) , következésképpen a (Q (t))t≥0 mértékek konzisztensek, ugyanis ha s < t és F ∈ Fs ⊆ Ft , akkor Z Z Z dQ (s) Q (s) (F ) = dP $ X (s ∧ τ 0 ) dP = X (t ∧ τ 0 ) dP $ dP F F ZF dQ (t) $ dP = Q (t) (F ) . dP F Az X τ 0 martingáltulajdonsága miatt Z Z Q (t) (Ω) $ X (t ∧ τ 0 ) dP = X (0) dP = 1, Ω

Ω

így a Q (t) mértékek mindegyike valószín˝uségi mérték. A C [0, ∞) Kolmogorov–féle mértéktér110 , így a C [0, ∞) Borel–halmazain létezik olyan Q valószín˝uségi mérték, amely lesz˝ukítése az Ft -re éppen Q (t) . Tetsz˝oleges t-re {τ 0 ≤ t} ∈ Ft , tehát Z Q (τ 0 ≤ t) = Q (t) (τ 0 ≤ t) $ χ (τ 0 ≤ t) X (τ 0 ∧ t) dP = Ω Z = χ (τ 0 ≤ t) X (τ 0 ) dP = 0, Ω

így Q (τ 0 = ∞) = 1, vagyis a Q mérték mellett 1 valószín˝uséggel az X nem veszi fel m.m. a nulla értéket111 , vagyis a Q mérték mellett X > 0, így az Y $ 1/X folyamat a Q mérték esetén majdnem minden kimenetelre értelmes. Els˝o lépésben megmutatjuk, hogy az Y nem martingál. Ennek belátásához elegend˝o igazolni, hogy az Y várható értéke az id˝o függvényében csökken. Z Z Z 1 1 dQ (t) = χ (t < τ 0 ) X (t) dP = Y (t) dQ = X (t) X (t) Ω Ω ZΩ = χ (t < τ 0 ) dP = P (t < τ 0 ) , Ω

amely kifejezés a t növekedésével nullához tart. Megmutatjuk, hogy az Y a Q alatt lokális martingál. Legyen ε > 0 és τ ε az ε pontba való érkezés id˝opontja. A τ ε 110 V.ö.:

4.23. példa, 318. oldal. észre, hogy minden t-re a Q (t) ≪ P, de a Q ≪ P nem teljesül, ugyanis P (τ 0 = ∞) = 1.

111 Vegyük


60

megállási id˝o, és az X folytonosság miatt ha ε & 0, akkor minden ω kimenetelre τ ε (ω) % τ 0 (ω) , így a Q mérték esetén majdnem minden kimenetelre112 τ ε % ∞. Megmutatjuk, hogy az Y τ ε a Q mérték mellett korlátos martingál, vagyis a τ 1/n n sorozat az Y alkalmas lokalizációs sorozata. A 0 < Y τ ε ≤ 1/ε miatt a korlátosság triviálisan teljesül, így elegend˝o belátni, hogy az Y τ ε martingál. Ha s < t és F ∈ Fs , akkor a τ ε < τ 0 felhasználásával Z Z 1 τε dQ (t) = Y (t) dQ = X (t ∧ τ ε) F ZF 1 = X (t) χ (t < τ 0 ) dP = X (t ∧ τ ε) F Z 1 1 = χ (t < τ ε ) + χ (t ≥ τ ε ) X (t) χ (t < τ 0 ) dP = X (t) X (τ ε ) F Z X (t) = χ (t < τ ε ) + χ (τ 0 > t ≥ τ ε ) dP = ε F Z 1 ε + (X τ 0 (t) − ε) χ (t ≥ τ ε ) dP. = ε F Megmutatjuk, hogy az integrál mögötti M (t) $ (X τ 0 (t) − ε) χ (t ≥ τ ε ) kifejezés P-martingál. Ha σ korlátos megállási id˝o, akkor, felhasználva, hogy τ ε < τ 0 M (M (σ))

$ M ((X τ 0 (σ) − ε) χ (σ ≥ τ ε )) = = M (M (X τ 0 (σ) − ε | Fσ∧τ ε ) χ (σ ≥ τ ε )) = = M ((X τ 0 (σ ∧ τ ε ) − ε) χ (σ ≥ τ ε )) = 0.

Ebb˝ol következ˝oen az utolsó integrálban t helyébe s írható, amib˝ol értelemszer˝uen visszafelé számolva Z Z 1 1 dQ = dQ, X (t ∧ τ ) X (s ∧ τ ε) ε F F vagyis az Y τ ε valóban martingál. 2 Minden matematikai területen van egy olyan „technikai” probléma, amely felett könny˝u elsiklani, de a figyelmetlenségre nagyon rá lehet fizetni. Az elemi algebrában ilyen a nullával való osztás, a gyöknyerés és gyökvesztés kérdése, stb. A konvex analízis tárgyalásakor a „szabad szemmel nem látható" és éppen ezért érdekes és nem triviális kérdések a szeparálandó halmazok zártságának teljesülése körül jelentkeznek. A számos technikai bonyodalmat okozó mérhet˝oségi problémák mellett a sztochasztikus analízis kulcsa a lokális martingálok és a martingálok közötti különbségtétel. A martingálokat a „tovább már nem bontható” véletlenként érdemes interpretálni. Míg a martingál 112 Emlékeztetünk,

hogy a lokalizációs sorozatnak, csak majdnem mindenhol kell végtelenbe tartani.


61

fogalma intuitíve elég jól elképzelhet˝o, a sztochasztikus analízis egyik113 legrejtélyesebb fogalma a lokális martingál. Intuitíve mi a különbség a lokális és a közönséges martingálok között? Matematikai szempontból a két fogalom igen távol áll egymástól, de interpretációját és intuitív tartalmát tekintve a lokális martingálok és a martingálok között nem célszer˝u különbséget tenni. Erre utal a következ˝o igen meglep˝o tétel, amelynek bizonyítását a függelékben közöljük: 1.84 Tétel. Minden független növekmény˝u lokális martingál martingál114 . Kézenfekv˝o, de helytelen elképzelés, hogy a lokális martingálok rosszul integrálható martingálok. Erre utal a következ˝o nevezetes példa: 1.85 Példa. L2 -ben korlátos lokális martingál, amelyik nem martingál115 . Tekintsünk az R3 térben egy w standard Wiener–folyamatot. A t = 0 pontból ered˝o problémák elkerülése céljából tegyük fel, hogy a w folyamatot egy u = 6 0 pontból indítjuk el. Ha t → ∞, akkor116 R (t) $ kw (t)k2 → ∞. Közvetlen deriválással egyszer˝uen ellen˝orizhet˝o, hogy az R3 \ {0} térben az f (x) $

1 1 =p 2 kxk2 x1 + x22 + x23

függvény harmonikus, vagyis117 ∆f $

∂2 ∂2 ∂2 f+ f+ f = 0, 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x23

következésképpen az Itô–formula118 miatt az M $ 1/R lokális martingál. Mivel ! Z 2 1 1 1 X (xk − uk ) 2 P 2 √ 3 exp − M M (t) $ dλ3 (x) ≤ 2 t R3 k xk 2πt k

≤

K < ∞,

113 A másik igen talányos konstrukció a „kis ugrásokból” álló Lévy–folyamatok, illetve evvel összefüggésben az olyan ugrófolyamatok, mint például a Cauchy–folyamatok, amelyek variációja végtelen, de kvadratikus variációja véges. 114 V.ö.: C.36. tétel, 437. oldal, 1.89. példa, 63. oldal. 115 A példa több kés˝ obb tárgyalt állításra épül, ezért els˝o olvasásra elhagyható. 116 Hangsúlyozni kell, hogy a tér dimenziója fontos. Például, ha n = 1, akkor a Wiener–folyamat végtelen sokszor visszatér az origóba, vagyis végtelen sokszor a normája nulla. Ha n = 2, akkor bár a Wiener– folyamat nem lesz nulla, de a pályái s˝ur˝uek a síkban, vagyis az els˝o „jó” dimenzió az n = 3. V.ö.: 3.5. következmény, 221. oldal. 117 A ∆ jelölés általában valamely folyamat ugrásaira utal. Remélhet˝ oleg nem zavaró, hogy ugyancsak ∆ jelöli a Laplace–operátort. Semmi sem, így a matematika szokásos jelölésrendszere sem tökéletes. 118 V.ö.: 3.2. tétel, 217. oldal. Természetesen el˝ orehivatkozásról van szó. Hangsúlyozni kell, hogy az Itô–formula csak azért használható, mert ha a tér dimenziója nagyobb mint egy, akkor majdnem minden kimenetelre a Wiener–folyamat nem nulla és f ∈ C 2 (Rn \ {0}) .


62

ezért a folyamat L2 -ben korlátos. Evidens módon az integrálban csak az x = 0 körül lehet probléma, de ott az integrál konvergens, ugyanis119 Z 1 P 2 dλ3 (x) < ∞, kxk≤1 k xk és az u 6= 0 pontba való eltolás miatt a nulla pont környezetében a s˝ur˝uségfüggvény a t függvényében is korlátos. Megjegyezzük, hogy minden nem negatív lokális martingál szupermartingál, ugyanis a feltételes várható értékre érvényes a Fatou–lemma120 , tehát, M (M (t) | Fs ) = M lim inf M τ n (t) | Fs ≤ lim inf M (M τ n (t) | Fs ) = n→∞

=

n→∞

lim inf M τ n (s) = M (s) . n→∞

A nem negatív szupermartingálok konvergencia tétele miatt121 az M (t) majdnem minden kimenetelre konvergál. A Wiener–folyamat abszolút értéke majdnem mindenhol végtelenhez tart122 , ezért limt→∞ M (t) = 0. Az M nem lehet martingál, ugyanis az L2 korlátosság miatt az M egyenletesen integrálható, így ha martingál lenne, akkor123 0 6= M (t) = M (M (∞) | Ft ) = M (0 | Ft ) = 0. 2 A példa tárgyalása során felhasználtuk, és fontosságának hangsúlyozása céljából explicite is rögzítjük a következ˝o alapvet˝o észrevételt: 1.86 Állítás. Minden alulról korlátos lokális martingál szupermartingál. Az ellenpéldából többek között az is következik, hogy még az egyenletes integrálhatóság sem elegend˝o a martingáltulajdonság „kikényszerítésére”. Ennek oka, hogy az (X (t))t∈Θ család egyenletes integrálhatóságából nem következik a megállított változókból álló (X (τ ))τ ∈Υ család egyenletesen integrálhatósága. A jelenség definíció szerint nem léphet fel, ha a folyamat Dirichlet–osztályba esik. 1.87 Definíció. Az X folyamatot Dirichlet, röviden D-osztályba es˝onek mondjuk, ha az {X (τ ) : τ < ∞ megállási id˝o} függvényhalmaz egyenletesen integrálható. A D-osztályba es˝o folyamatok családját D-vel jelöljük. 119 Vö.:

[20], 5.56. példa, 205. oldal. bizonyítása megegyezik a közönséges Fatou–lemma igazolásával, ugyanis érvényes a monoton konvergencia tétel és a feltételes várható érték nem negatív operátor. 121 V.ö.: [20], 9.102. következmény, 366. oldal. 122 V.ö.: A.8. állítás, 359. oldal. 123 V.ö.: [20], 9.104. állítás, 367. oldal. 120 A


63

1.88 Példa. Az L lokális martingál pontosan akkor eleme a D-osztálynak, ha az L egyenletesen integrálható martingál. A példa nem élesíthet˝o, vagyis létezik olyan nem negatív lokális martingál, amely egyenletesen integrálható, de nem eleme a D-osztálynak. 1. Legyen az L ∈ D lokális martingál. Ha (τ n )n az L lokalizációs sorozata, akkor L (τ n ∧ s)

=

Lτ n (s) = M (Lτ n (t) | Fs ) =

=

M (L (τ n ∧ t) | Fs ) .

τ n → ∞, ezért az (L (τ n ∧ s))n , (L (τ n ∧ t))n sorozatok minden kimenetelre az L (s) és L (t) változókhoz tartanak. A feltételezett egyenletes integrálhatóság miatt a konvergencia L1 -ben is teljesül, tehát a határérték bevihet˝o a feltételes várható értékbe, következésképpen L (s) = M (L (t) | Fs ) , tehát az L martingál124 . A feltétel szerint az (L (t))t család triviálisan egyenletesen integrálható, tehát L ∈ M. 2. A fordított irány igazolása evidens, ugyanis a megállási opciókról szóló tétel miatt, ha az L egyenletesen integrálható martingál, akkor L (τ ) = M (L (∞) | Fτ ) , így az (L (τ ))τ család egyenletesen integrálható. 3. Emlékeztetünk125 , hogy létezik olyan L nem negatív, L2 -ben korlátos lokális martingál, amely nem martingál. A Fatou–lemma miatt minden nem negatív lokális martingál szupermartingál, így az L L2 -korlátos szupermartingál. Ha p > 1, akkor az Lp térben korlátos halmazok egyenletesen integrálhatóak, így az L egyenletesen integrálható, de az L nem eleme a D-osztálynak, ugyanis akkor az elmondottak miatt martingál lenne. 2 1.89 Példa. Ha L független növekmény˝u folyamat126 , akkor az X $ exp (L) pontosan akkor martingál, ha lokális martingál127 . Csak azt kell belátni, hogy ha az X lokális martingál, akkor az X egyúttal martingál is. A független növekmény˝u folyamatok definíciója alapján L (0) = 0, tehát X (0) = 1. Az X nem negatív lokális martingál, így szupermartingál128 , így az X (t) m (t) várható értékére 1 ≥ m (t) > 0. A független növekmény feltétele miatt ha t > s, akkor m (t) $ M (X (t)) = M (X (s)) M (exp (L (t) − L (s))) = = m (s) M (exp (L (t) − L (s))) , 124 A gondolatmenet szerint elegend˝ o megkövetelni, hogy az {L (τ )}τ a korlátos megállási id˝okre egyenletesen integrálható. 125 V.ö.: 1.85. példa, 61. oldal. 126 V.ö.: C.27. definíció, 424. oldal. 127 V.ö.: C.36. tétel, 437. oldal. A martingálok két „alappéldája” a független nulla várható érték˝ u változók összege, illetve az egy várható érték˝u független változók szorzata. Az idézett állítás, illetve a jelen példa alapján a két „alappélda” esetén a lokális martingálok automatikusan martingálok. 128 V.ö.: 1.86. állítás, 62. oldal.

64


következésképpen az M (t) $ X (t) /m (t) martingál, ugyanis ha t > s, akkor exp (L (t)) M (M (t) | Fs ) $ M | Fs = m (t) exp (L (t) − L (s) + L (s)) | Fs = = M m (t) exp (L (s)) = M (exp (L (t) − L (s)) | Fs ) = m (t) exp (L (s)) M (exp (L (t) − L (s))) = = m (t) exp (L (s)) = = M (s) . m (s) Tetsz˝oleges T < ∞ id˝opont esetén az M a [0, T ] véges szakaszon egyenletesen integrálható martingál, vagyis eleme a D-osztálynak. A 0 ≤ X = M m ≤ M miatt a [0, T ] szakaszon az X is D-osztályba esik, következésképpen az X D-osztályba es˝o lokális martingál, így az el˝oz˝o példa alapján martingál. 2 Ha valamely X folyamatnak van integrálható majoránsa, vagyis ha van olyan η integrálható valószín˝uségi változó, amelyre minden t id˝opontra |X (t)| ≤ η, akkor X ∈ D, vagyis érvényes az alábbi egyszer˝u észrevétel: 1.90 Állítás. Ha az X folyamatnak létezik integrálható majoránsa, akkor X ∈ D, következésképpen ha L ∈ Mloc és az L-nek létezik integrálható majoránsa, akkor L ∈ M.

1.3.4. Néhány gyakran használt jelölés, a szemimartingálok definíciója A továbbiakban gyakran fogjuk használni a következ˝o jelöléseket: 1.91 Definíció. Tekintsünk egy tetsz˝oleges sztochasztikus alapteret. 1. JelöljeL az olyan lokális martingálokat, amelyekre L (0) = 0. 2. Jelölje V az olyan véges szakaszokon korlátos változású, jobbról reguláris, adaptált V folyamatok családját, amelyekre V (0) = 0. 3. Jelölje A a V osztályba es˝o olyan A folyamatokat, amelyekre M (Var (A) (∞)) < ∞. Az A halmazba es˝o folyamatokat szokás integrálható változású folyamatoknak mondani129 . 129 A figyelmes olvasó észrevehette, hogy az A jelölést két eltér˝ o fogalomra is alkalmaztuk. Egyrészt A jelöli a sztochasztikus alaptér eseményeit, másrészt A jelöli az integrálható változójú folyamatokat. Mind a két jelölés standard módon használatos az irodalomban, és a jelölés pontatlansága remélhet˝oen nem okoz félreértést.


65

4. Jelölje V + a V osztályban lev˝o nem csökken˝o trajektóriákkal rendelkez˝o folyamatokat. 5. Jelölje A+ az A osztályba es˝o nem csökken˝o folyamatokat. 6. Az S adaptált folyamatot szemimartingálnak mondjuk, ha felírható S = S (0) + L + V

(1.27)

alakban, ahol V ∈ V és L ∈ L. A szemimartingálok családját S-sel fogjuk jelölni.130 7. Az S speciális szemimartingál, ha az (1.27) felbontásban a V választható el˝orejelezhet˝onek131 . A speciális szemimartingálok családját Sp -vel fogjuk jelölni. 8. Az X folyamat kompenzátorán, vagy el˝orejelezhet˝o kompenzátorán azt a V ∈ V el˝orejelezhet˝o folyamatot értjük, amelyre X − V − X (0) ∈ L. A definícióból evidens, hogy valamely X folyamatnak pontosan akkor van kompenzátora, ha X ∈ Sp . 1.92 Példa. Egyetlen ugrást tartalmazó folyamatok és az Aloc tér. Tegyük fel, hogy (Ω, A,P) = ([0, 1] , B,λ), a lehetséges id˝opontok halmaza legyen a Θ $ [0, 1] szakasz, 0 ha t < ω X (t, ω) $ . 1 ha t ≥ ω Az X éppen a σ (ω) = ω véletlen id˝oponthoz tartozó számláló folyamat. Ha Ft az X által generált filtráció, akkor minden s ≤ t esetén [0, s] ∈ Ft , valamint (t, 1] ∈ Ft , így ha 0 < u ≤ v ≤ t, akkor (u, v] ∈ Ft , következésképpen az X által generált filtráció minden F ∈ Ft halmaza felírható F = B ∪ C módon ahol B ∈ B ([0, t]) és vagy C = ∅, vagy C = (t, 1] . 1. Tekintsük az

Y (t, ω) $

0 ha 1/ (1 − ω) ha

t<ω t≥ω

folyamatot. Az ω = 1 kimenetelt˝ol eltekintve az Y értelmes, az Y F-adaptált, Var (Y ) (1, ω) = 1/ (1 − ω) , így Y ∈ / A. A konstans id˝opontok mindegyike megállási id˝o, így az Y triviálisan lokálisan korlátos, tehát Y ∈ Aloc . 2. Tekintsük most az ω 6= 0 kimeneteleken értelmezett 0 ha t < ω Z (t, ω) $ 1/ω ha t ≥ ω 130 A

felbontás nem feltétlenül egyértelm˝u. el˝orejelezhet˝oség definícióját lásd. 1.41. definíció, 29. oldal. A speciális szemimartingálok el˝orejelezhet˝o komponenst tartalmazó felbontása egyértelm˝u. V.ö.: 1.123. következmény, 84. oldal. 131 Az

66


adaptált, jobbról reguláris, korlátos változású folyamatot. Var (Z) (1, ω) = 1/ω ∈ / A. A pontfolyamatok megállási idejének szerkezete alapján132 , ha τ 6= 0 az F filtrációhoz tartozó megállási id˝o, akkor van olyan ϕ0 konstans, hogy a {τ < σ} halmazon τ ≡ ϕ0 .A {σ ≤ τ } halmazon Var (Z τ ) (1) = Var (Z) (1) . Ha 0 < P (τ < σ) < 1, akkor a ϕ0 = 0 lehetelen, ugyanis így {τ ≤ 0} ∈ / F0 = {∅, Ω} . Ha ϕ0 > 0, akkor a {τ < σ} halmazon a Var (Z τ ) (1) = Var (Z) (ϕ0 ) várható értéke végtelen, következésképpen Zτ ∈ / A, tehát Z ∈ / Aloc. 2 1.93 Példa. Minden Lévy–folyamat szemimartingál133 . Többször szükségünk lesz a következ˝o elemi észrevételre: 1.94 Állítás. Ha a filtráció jobbról folytonos és V ∈ V ∩ L, akkor V ∈ Aloc. Bizonyítás: Legyen (σ n )n a V lokalizációs sorozata. τ n $ inf {t : Var (V ) (t) > n} ∧ σ n . A V jobbról folytonos, tehát a Var (V ) is jobbról folytonos, tehát a filtráció jobbról való folytonossága miatt a τ n megállási id˝o134 . Ha miként korábban is ∆X jelöli az X folyamat ugrásait, akkor Var (V ) (τ n ) ≤ Var (V ) (τ n −) + ∆Var (V ) (τ n ) = =

Var (V ) (τ n −) + |∆V (τ n )| ≤

≤ n + V (τ n ) + V (τ n −) ≤ 2n + V (τ n ) . A V σn egyenletesen integrálható martingál, ezért a V (τ n ), és így a Var (V ) (τ n ) változó is integrálható, amib˝ol az A definíciója miatt V ∈ Aloc. 2 Mivel a Poisson-folyamat ugrásai nem torlódhatnak, ezért minden összetett Poisson– folyamat triviálisan eleme a V osztálynak. Mikor lesz a folyamat eleme az Aloc térnek? 1.95 Példa. Egy X összetett Poisson–folyamat pontosan akkor eleme az Aloc térnek, ha az ugrások nagyságának várható értéke véges135 . 132 V.ö.:

1.143. példa, 100. oldal, (1.50) sor. C.29. példa, 427. oldal, [20], 14.66. állítás, 665. oldal. A Lévy–folyamatok családja, szemben a szemimartingálokkal, nem zárt a legegyszer˝ubb m˝uveletekre sem. Például Lévy–folyamatok négyzete általában nem Lévy–folyamat. Éppen ez indokolja, hogy a sztochasztikus analízis tárgya nem a Lévy–folyamatok, hanem a szemimartingálok. Ugyanakkor a szemimartingálra vonatkozó alappélda éppen a Lévy–folyamat, így minden szemimartingálokra vonatkozó állítást célszer˝u Lévy–folyamatokra konkretizálni. 134 V.ö.: [20], 9.112. példa, 371. oldal. 135 V.ö.: C.18. példa, 417. oldal. 133 V.ö.:


67

Legyen (τ n )n az X ugrásainak id˝opontjai és (ξ n )n az egyes ugrások nagysága. Ha az ugrások közös eloszlásának van várható értéke, akkor M $ M (|ξ k |) < ∞, így ! n X τn M (Var (X (∞))) = M |ξ k | = nM < ∞, k=1

így X ∈ Aloc . Megfordítva, tegyük fel, hogy X ∈ Aloc , és az ugrások közös várható értéke nem véges, vagyis M $ M (|ξ k |) = ∞. Legyen (σ n )n az X lokalizációs sorozata. Tekintsük a ρn $ σ n ∧ τ 1 megállási id˝oket. ρn ≤ τ 1 , így a ρn a τ 1 -hez hasonlóan Fτ 1 -mérhet˝o. P (τ 1 < ∞) = 1, így elég nagy n-re P (ρn = τ 1 ) > 0. Az összetett Poisson-folyamat er˝os Markov-tulajdonsága miatt a ξ 1 független az Fτ 1 -t˝ol, így ∞

> M (Var (X σn (∞))) ≥ M (Var (X ρn (∞))) = M (|ξ 1 | χ (τ 1 = ρn )) = = M (|ξ 1 |) P (τ 1 = ρn ) = ∞,

ami lehetetlen. 2

1.3.5. Lokálisan korlátos folyamatok A lokális martingálok mellett a lokalizációval definiált másik fontos folyamatosztály a lokálisan korlátos folyamatok családja. 1.96 Definíció. A t = 0 id˝opontban nulla értéket felvev˝o X folyamatot lokálisan korlátosnak mondjuk, ha megadható (τ n )n megállási id˝okb˝ol álló olyan sorozat, amelyre majdnem mindenhol τ n % ∞, és minden n-re az X τ n folyamat korlátos, vagyis minden n-re megadható olyan Kn konstans, hogy |X τ n | ≤ Kn . Az X folyamatot lokálisan korlátosnak mondjuk, ha az X − X (0) folyamat lokálisan korlátos136 . Könnyen látható, hogy tetsz˝oleges f reguláris függvény minden véges intervallumon korlátos, ugyanis, ha |f (tn )| → ∞ és a (tn )n sorozat korlátos, akkor a (tn )n tetsz˝oleges torlódási pontjában az f -nek nem létezhet a jobb és a bal oldali határértéke. Folyamatok esetén azonban a trajektóriák regularitásából általában nem következik a lokális korlátosság. Ennek oka, hogy általában sem az ugrások nagysága, illetve az ugrás id˝opontjában a folyamat értéke, sem az ugrások id˝opontja nem el˝orejelezhet˝o. Tekintsük a τ a $ inf {t : |X (t)| > a} típusú elérési id˝oket. Ha a X jobbról reguláris, akkor |X (τ a )| ≥ a, de el˝ofordulhat, hogy az |X (τ a )| valamely kimenetelre nagyobb mint a ugyanis az a szintet esetleg ugrással éri el a folyamat. Jobbról folytonos folyamatokra általában csak az |X (τ a )| ≤ a + |∆X (τ a )| 136 Némiképpen

eltérünk a lokalizálás általános definíciójától, de ennek els˝osorban esztétikai okai vannak.

68


becslés érvényes. A |∆X (τ a )| ugrás tetsz˝olegesen nagy lehet, így az X folyamat a [0, τ a ] $ {(t, ω) : 0 ≤ t ≤ τ a (ω)}

(1.28)

véletlen szakaszon nem feltétlenül korlátos. Ha azonban az X balról folytonos, akkor a {τ a > 0} halmazon |X (τ a )| ≤ a, ugyanis ha valamely ω kimenetelre az |X (τ a , ω)| > a, akkor a τ a értéke, a balról való folytonosság miatt, csökkenthet˝o lenne. Ebb˝ol következ˝oen, ha az X balról folytonos, akkor az X az (1.28) véletlen szakaszon korlátos. A jobbról, illetve a balról reguláris folyamatok itt említett tulajdonságát rögzítik az alábbi állítások. 1.97 Állítás. Ha a filtráció jobbról folytonos, akkor minden X balról reguláris folyamat lokálisan korlátos. Bizonyítás: Az X helyett az X−X (0) folyamatot vizsgálva feltehetjük, hogy X (0) = 0. Tekintsük a τ n $ inf {t : |X (t)| > n} változót. A filtráció jobbról folytonos, az X balról folytonos, tehát a τ n megállási id˝o137 . |X (τ n )| ≤ n, ugyanis ha valamely ω kimenetelre |X (τ n (ω) , ω)| > n, akkor a balról való folytonosság miatt a τ n (ω) > 0 csökkenthet˝o lenne138 . Ebb˝ol következ˝oen az X τ n megállított folyamat korlátos. Megmutatjuk, hogy τ n % ∞, tehát a (τ n )n lokalizációs sorozat. A (τ n )n sorozat triviálisan egyetlen kimenetelre sem csökken. Ha a (τ n (ω))n sorozat valamely ω kimenetelre korlátos, akkor található olyan (tn )n korlátos sorozat, amelyre |X (tn , ω)| > n.Ha a (tnk )k a (tn )n konvergens monoton részsorozata139 , akkor tnk → t∗ , miközben |X (tn , ω)| → ∞, ami ellentmond annak, hogy a folyamatnak minden id˝opontban létezik jobb és bal oldali határértéke. 2 1.98 Állítás. Ha a filtráció jobbról folytonos, akkor minden olyan X reguláris folyamat, amely ugrásainak |∆X| nagysága egy megadott a korlát alatt marad lokálisan korlátos. Bizonyítás: Az X helyett az X − X (0) folyamatot vizsgálva feltehetjük, hogy X (0) = 0. Miként az el˝oz˝o állításban a τ n $ inf {t : |X (t)| > n} , megállási id˝o és |X (τ n −)| ≤ n, következésképpen |X τ n | ≤ n + |∆X (τ n )| ≤ n + a. 2 137 V.ö.:

1.25. állítás, 18. oldal. észre, hogy a τ n (ω) > 0 az X (0) = 0 miatt teljesül. 139 Nem tudjuk, hogy a (t o, vagy esetleg csökken. nk )k monoton n˝ 138 Vegyük


69

1.99 Állítás. Ha az (Ω, A,P,F) alaptér teljesíti a szokásos feltételeket, akkor minden el˝orejelezhet˝o, jobbról reguláris folyamat lokálisan korlátos. Bizonyítás: Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy X (0) = 0. A τ n $ inf {t : |X (t)| > n} , megállási id˝o, és mivel a trajektóriáknak mind a két oldali határértéke létezik, ezért τ n % ∞. Az indoklás nehézsége abból ered, hogy bár az |X| a [0, τ n ) halmazon kisebb mint n, de az X a τ n pontban tetsz˝oleges nagyságú ugrással rendelkezhet, ezért a [0, τ n ] szakaszon a korlátosság nem garantálható. Az X folyamat jobbról folytonos, ezért |X (τ n )| ≥ n, következésképpen [τ n , τ n ] $ {(t, ω) : t = τ n (ω)} = [0, τ n ] ∩ {(t, ω) : |X (t, ω)| ≥ n} . Az X el˝orejelezhet˝o, tehát az {|X| ≥ n} halmaz el˝orejelezhet˝o, így a τ n grafikonja (n) el˝orejelezhet˝o halmaz, következésképpen a τ n el˝orejelezhet˝o. Ha σ m a τ n jósló m (n) (n) sorozata, akkor a X σm ≤ n. Tetsz˝oleges n-re a σ n $ σ m megállási id˝ot válasszuk meg úgy, hogy P (τ n − σ n ≥ 2−n ) ≤ 2−n legyen. A Borel—Cantelli–lemma miatt egy nullmérték˝u halmaztól eltekintve tetsz˝oleges ω-ra véges sok n-t˝ol eltekintve σ n < τ n < σ n + 2−n , m.m.

így σ n → ∞. A (σ n )n helyett a ρm $ max1≤k≤m σ k megállási id˝oket véve majdnem mindenhol ρm % ∞. Az X σn folyamatok korlátosak, így az X ρm folyamatok is korlátosak, vagyis az X lokálisan korlátos140 . 2 1.100 Példa. Az el˝oz˝o állításokban a mindkét oldali határértékek létezésének feltétele nem hagyható el. Az

1/t ha t > 0 0 ha t = 0 folyamat balról folytonos, de triviálisan nem lokálisan korlátos. Az 1/ (1 − t) ha t < 1 X (t) $ 0 ha t ≥ 1 X (t) $

jobbról folytonos, de szintén nem lokálisan korlátos. 2 1.101 Példa. A balról való folytonosság, illetve az el˝orejelezhet˝oség feltétele általában nem hagyható el. 2 Létezik olyan M martingál, amely nem eleme a Hloc térnek141 . Az M nem lokálisan 140 Vegyük észre, hogy a definíció szerint a megállási szabályok lokalizációs sorozatának csak majdnem mindenhol kell végtelenbe tartani. 141 V.ö.: 1.82. példa, 58. oldal.


70

2 korlátos, ugyanis minden lokálisan korlátos martingál triviálisan eleme a Hloc térnek. 2

Mivel a Poisson-folyamat ugrásai nem torlódhatnak, ezért minden összetett Poisson– folyamat triviálisan eleme a V osztálynak így szemimartingál. Mikor lesz a folyamat speciális szemimartingál? 1.102 Példa. Egy X összetett Poisson-folyamat pontosan akkor speciális szemimartingál, ha az ugrások közös várható értéke véges142 . Ha az ugrásoknak van M véges várható értéke, akkor mivel az X független növekmény˝u, ezért az L (t) $ X (t) − tλM martingál, így az X (t) = L (t) + tλM felbontás miatt az X triviálisan speciális szemimartingál. Ha az X speciális szemimartingál, akkor definíció szerint az X felbontható L + A módon, ahol L ∈ L és az A ∈ V.el˝orejelezhet˝o. Az L jobbról reguláris, így az A is jobbról reguláris, vagyis az A lokálisan korlátos, vagyis A ∈ Aloc . De L ∈ V ∩ L, így L ∈ Aloc , tehát X ∈ Aloc , vagyis az ugrások várható értéke véges143 . 2

1.3.6. Megállításra való stabilitás A lokalizációval kapcsolatban felvethet˝o, hogy milyen X tulajdonság esetén teljesül az (Xloc )loc = Xloc egyenl˝oség. 1.103 Definíció. Az X tér stabil a megállításra nézve ha X ∈ X esetén minden megállási id˝ore X τ ∈ X (k) A megállításra való stabilitás fontos következménye, hogy ha Xk ∈ Xloc és τ n

n

(k)

o m Xk , közös lokalizációs az Xk lokalizációs sorozata, akkor a τ n $ ∧m k=1 τ n az els˝ sorozata, vagyis, ha az X stabil a megállításra, akkor véges számú folyamat esetén feltehet˝o, hogy a lokalizációs sorozatuk közös. A definícióból az is következik, hogy ha az X stabil a megállításra, akkor az Xloc is stabil a megállításra, ugyanis ha (τ n )n valamely X lokalizációs sorozata és τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor a (τ n )n az X τ nak is lokalizációs sorozata. 1.104 Példa. Az M és a H2 , illetve a korlátos folyamatok halmaza stabil a megállításra. A megállási opciókról szóló tétel144 miatt M, a Doob–féle 2 M sup (X τ (t)) ≤ M sup X 2 (t) ≤ 4 sup M X 2 (t) t≥0 142 V.ö.:

1.175. példa, 126. oldal. 1.95. példa, 66. oldal. 144 V.ö.: [20], 9.126. következmény, 381. oldal. 143 V.ö.:

t≥0

t≥0

1.4. VETÍTÉSI TÉTELEK

71

L2 -egyenl˝otlenség miatt H2 stabil a megállítás m˝uveletére. 2 1.105 Állítás. Ha az F filtráció jobbról folytonos, az X tér stabil a megállításra nézve, akkor (Xloc )loc = Xloc . Bizonyítás: A lokalizációs sorozatnak választható a τ n = ∞ sorozat, tehát triviálisan Xloc ⊆ (Xloc )loc . Legyen X ∈ (Xloc )loc . Legyen (τ n )n olyan lokalizációs sorozat, amelyre X τ n ∈ Xloc .Vegyük a σ k megállási id˝oket X τ k ∧σk ∈ X , P (σ k ≤ τ k ) ≤ 2−k módon. Ezt követ˝oen definiáljuk a ρn $ τ n ∧ inf k≥n σ k sorozatot. A (ρn )n sorozat monoton n˝o, P (ρn < τ n ) ≤

∞ X

P (σ k < τ n ) ≤

k=n

∞ X

P (σ k ≤ τ k ) ≤

k=n

∞ X

2−k = 2−n+1 → 0,

k=n

következésképpen mivel majdnem mindenhol τ n % ∞, ezért nullmérték˝u halmaztól eltekintve ρn % ∞. inf σ k < t = ∪k≥m {σ k < t} ∈ Ft . k≥m

Az F filtráció jobbról folytonos, így inf k≥n σ k , következésképpen a ρn is megállási id˝o145 . 2

1.4. Vetítési tételek A kockázatos folyamatok igen b˝o osztályt alkotnak, ugyanis érvényes a következ˝o állítás: 1.106 Állítás. Ha az F filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, akkor tetsz˝oleges X adaptált, szorzatmérhet˝o folyamatnak van kockázatos ekvivalens módosítása. Bizonyítás: Legyen η tetsz˝oleges A-mérhet˝o, integrálható változó. A t 7→ M (η | Ft ) folyamat logikai martingál. A filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, ezért a folyamatnak van jobbról folytonos, bal oldali határértékkel rendelkez˝o verziója146 , következésképpen ha az X folyamat η · χ [0, s) alakú, akkor az o

X (t) $ χ [0, s) · M (η | Ft )

145 Vegyük észre, hogy a definíció szerint a megállási szabályok lokalizációs sorozatának csak majdnem mindenhol kell végtelenbe tartani. 146 V.ö.: [20], 9.95. tétel, 362. oldal.


72

kockázatos. Evidens módon minden t-re teljesül az m.m. o

M (X (t) | Ft ) =

X (t) .

(1.29) o

Legyen L az olyan X korlátos folyamatok családja, amelyekre alkalmas X kockázatos folyamatra teljesül az (1.29). A feltételes várható érték elemi tulajdonságai alapján az L λ-rendszer. Például, ha 0 ≤ Xn % X, az X korlátos, akkor az o Xn (t) sorozat majdnem minden kimenetelre monoton n˝o, és mivel a monoton növeked˝o sorozatra a határérték és a feltételes várható érték felcserélhet˝o, ezért az o

X $ lim inf o Xn n→∞

(1.30)

módon definiált folyamatra az (1.29) érvényben marad. Korlátos η változók esetén az η · χ [0, s) alakú folyamatok π-rendszert alkotnak, ezért a Meyer–tétel szerint az L tartalmazza az η · χ [0, s) alakú, korlátos folyamatok által generált σ-algebrára nézve mérhet˝o függvényeket, vagyis az összes korlátos szorzatmérhet˝o folyamatot. Ebb˝ol következ˝oen ha X adaptált, korlátos szorzatmérhet˝o folyamat, akkor van olyan o X kockázatos folyamat, amelyre o

m.m.

m.m.

X (t) = M (X (t) | Ft ) = X (t) ,

(1.31)

o

tehát az X az X kockázatos ekvivalens módosítása. Legyen X tetsz˝oleges és Xn $ Xχ (|X| ≤ n) . Az állítás már belátott része alapján van olyan o Xn módon jelölt kockázatos folyamat, amely az Xn ekvivalens módosítása. Az o X folyamatot ismételten m.m. definiáljuk az (1.30) képlettel. Az o X kockázatos és tetsz˝oleges t-re és n-re Xn (t) = o o Xn (t) . Az Xn (t) sorozat minden kimenetelre konvergens, így az Xn (t) majdnem minden kimenetelre konvergens, következésképpen az o X (t) definíciójában szerepl˝o m.m. lim inf helyébe majdnem minden kimenetelre lim írható, és o X (t) = X (t) . 2 Ezen a ponton talán nem érdektelen a következ˝o észrevétel: A sztochasztikus folyamatok elméletében nem evidens, hogy mikor tekintsünk egy halmazt elhanyagolhatónak. Lényegében három definíció lehetséges: a halmaz megkülönböztethetetlen az üres halmaztól, a halmaz az üres halmaz ekvivalens módosítása, a halmaz a szorzattér nullmérték˝u részhalmaza. A harmadik definíció kézenfekv˝o hiányossága, hogy a szorzattéren nincs mérték. Kézenfekv˝o147 gondolat, hogy az id˝otengelyt a λ Lebesgue–mértékkel tegyük mértéktérré. A Fubini–tétel miatt ha az N az üres halmaz ekvivalens módosítása, akkor az N a λ × P mérték szerint nullmérték˝u. Az alábbi állításból evidens, hogy a λ × P szorzatmérték nullmérték˝u részhalmazaival való módosítással a folyamat mérhet˝oségi struktúrája alapvet˝oen megváltoztatható. 1.107 Állítás. e Jelölje N a λ ×P szorzatmérték szerint nullmérték˝u halmazok családját, és legyen b $ σ P ∪N e . Ha a filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, akkor a P b halmaz P tartalmazza az összes adaptált szorzatmérhet˝o folyamatot. 147 Ugyanakkor helytelen gondolat, ugyanis az id˝ o múlását az alapul vett folyamat kvadratikus variációjával érdemes mérni, ami csak a Wiener–folyamat esetén λ. Másképpen a szorzatteret a folyamat Doléans– mértékével érdemes mértéktérré alakítani. Ugyanakkor a Wiener–folyamat a legfontosabb sztochasztikus folyamat, tehát az alábbi megfontolások azért relevánsak.


73

Bizonyítás: A feltétel szerint a filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, így tetsz˝oleges szorzatmérhet˝o halmaz ekvivalens módosítással kockázatossá tehet˝o, következésképb Mivel a minden ω-ra λ (t : τ (ω) = t) = 0, ezért pen elég megmutatni, hogy O ⊆ P. a Fubini–tétel alapján a [τ , τ ] = {(t, ω) : τ (ω) = t} halmaz a λ × P szorzatmérték szerint nullmérték˝u. A (σ, τ ] alakú véletlen intervallumok generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat. Minden véletlen intervallum csak egy [ρ, ρ] alakú148 , nullmérték˝u halmazban különbözik egy (σ, τ ] alakú véletlen intervalb tartalmazza a sztochasztikus intervallumok által generált σ-algebrát. lumtól, így a P Ha a filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, akkor a véletlen intervallumok által generált σ-algebra éppen a kockázatos halmazok családja. 2 1.108 Következmény. (Az integrálfüggvény adaptáltsága) Ha 1. az F filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, 2. az X adaptált, szorzatmérhet˝o folyamat, 3. a µ a számegyenesen értelmezett lokálisan véges mérték, akkor az Z I (t, ω) $

t

X (s, ω) dµ (s) 0

integrálfolyamat F-adaptált149 . Bizonyítás: Legyen o X az X kockázatos, tehát progresszíven is mérhet˝o, ekvivalens módosítása. A progresszíven való mérhet˝oség miatt a Fubini–tétel alapján, az Z t o X (s, ω) dµ (s) 0

valószín˝uségi változó Ft -mérhet˝o. Legyen N $ {(t, ω) : X (t, ω) 6= o X (t, ω)} . Mind az X, mind az o X mérhet˝o, ezért az N halmaz is mérhet˝o, így a Fubini–tétel alapján150 , felhasználva, hogy az o X az X ekvivalens módosítása Z Z t Z tZ χN (s, ω) dµ (s) dP (ω) = χN (s, ω) dP (ω) dµ (s) = 0. Ω 148 ρ

0

0

Ω

= τ , vagy ρ = σ. R 149 Ha valamely ω-ra az X (ω) nem integrálható, akkor definíció szerint t X (s, ω) dµ (s) $ 0. Emlé0 keztetünk rá, hogy egy függvény integrálja lehet ±∞. Az 0 értéknek nincs jelent˝osége, bármilyen, de fix konstans, beleértve a ∞, vagy a −∞ értékeket megfelel. A lényeges gondolat, hogy a Fubini–tétel szerint a paraméteres integrál a paraméter mérhet˝o függvénye, feltéve, hogy azokra a paraméterértékekre, ahol az integrál nem létezik egy fix konstanst definiálunk, ugyanis azok a paraméterértékek, ahol a paraméteres integrál nem létezik, mérhet˝o halmazt alkotnak. Vegyük észre, hogy ismételten a ∞ − ∞ = 0 konvenciót alkalmaztuk. 150 Mivel a µ lokálisan véges, ezért σ-véges.


74

Rt Ez alapján majdnem minden ω-ra 0 χN (s, ω) dµ (s) = 0, amib˝ol világos, hogy majdnem minden ω-ra és µ-majdnem minden t-re X (t, ω) = o X (t, ω) , vagyis majdnem minden ω-ra Z Z t

t

o

X (s, ω) dµ (s) = 0

X (s, ω) dµ (s) .

0

Az Ft tartalmazza az A nulla halmazait, ezért az

Rt 0

X (s, ω) dµ (s) is Ft -mérhet˝o. 2

A már elmondottakkal analóg módon igazolható a következ˝o állítás: 1.109 Állítás. Ha az F filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, akkor tetsz˝oleges korlátos vagy nem negatív X szorzatmérhet˝o folyamathoz van p X-vel jelölt el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre p X (t) = M (X (t) | Ft− ) . (1.32) Bizonyítás: A bizonyítás lényegében megegyezik a kockázatos verzió létezésének igazolásával151 . Ha η tetsz˝oleges mérhet˝o, integrálható változó, akkor az M (t) $ M (η | Ft ) logikai martingálnak van jobbról regularizált verziója. Az p M (t) $ M (t−) függvény balról folytonos, tehát el˝orejelezhet˝o. A Lévy–féle konvergencia tétel szerint 1 p = lim M η | Ft−1/n = M (t) $ M (t−) = lim M t − n→∞ n→∞ n = lim M M (η | Ft ) | Ft−1/n = lim M M (t) | Ft−1/n = n→∞

=

n→∞

lim M (M (t) | Ft− ) .

n→∞

A Meyer–féle monoton osztály tétel alapján a kockázatos folyamatra vonatkozó analóg állítás már bemutatott érvelését megismételve152 az egyenl˝oség kiterjeszthet˝o tetsz˝oleges korlátos mérhet˝o folyamatra. A nem negatív folyamatra az állítást a monoton konvergencia tétel segítségével igazolhatjuk. 2

1.4.1. Kiterjesztett feltételes várható érték Ha az állításban az X-re tett megkötéseket elhagyjuk, akkor esetlegesen az (1.32) sorban szerepl˝o feltételes várható érték értelmetlen lesz. Az állítást tetsz˝oleges mérhet˝o folyamatra ki akarjuk terjeszteni, ezért ki kell terjesztenünk a feltételes várható érték fogalmát. 1.110 Definíció. Legyen η tetsz˝oleges mérhet˝o függvény. 151 V.ö.: 152 V.ö.:

1.106. állítás, 71. oldal. 1.106. állítás, 71. oldal.


75

1. Az E (η | F) kiterjesztett feltételes várható értéken az E (η | F) $ M η + | F − M η − | F

(1.33)

kifejezést értjük, ahol a kivonásban a ∞ − ∞ $ 0 konvencióval élünk153 . 2. Az E (η | F) kiterjesztett várható értéket jól definiáltnak mondjuk, ha a képzésekor nullmérték˝u halmaztól eltekintve nem kell a ∞ − ∞ $ 0 konvencióval élni. 3. Az E (η | F) definíció szerint véges, ha egyrészt jól definiált, másrészt az értéke véges. Megjegyezzük, hogy az E (η | F) F-mérhet˝o, de a fogalom nem esik egybe sem a valószín˝uségszámítás tárgyalása során definiált feltételes várható értékkel154 sem a valószín˝uségszámítás tárgyalásakor ismertetett általánosított feltételes várható értékkel, ugyanis az utóbbit csak akkor tekintettük értelmezettnek, ha a pozitív és a negatív rész feltételes várható értéke véges. Vegyük észre, hogy a megadott definíciók szerint az E (η | F) pontosan akkor véges, ha az E operáció egybeesik az általánosított feltételes várható értékkel. Ugyancsak megjegyezzük, hogy a definícióban az egyszer˝uség kedvéért mindig feltételezzük, hogy a feltételes várható érték egy konkrét verzióját a kivonást megel˝oz˝oen kiválasztottunk. Vegyük észre, hogy az (1.33) kiterjesztett feltételes várható érték, szemben az általánosított feltételes várható értékkel, nem additív. Ha a feltételes várható értéket kiterjesztett értelemben értjük, vagyis az (1.32) helyett az m.m. p X (t) = E (X (t) | Ft− ) egyenl˝oséget követeljük meg, akkor az X-re tett megkötések elhagyhatóak. Ett˝ol, az inkább esztétikai mint tartalmi általánosítástól eltekintve az E kiterjesztett várható érték nehezen használható operáció, amely csak akkor rendelkezik áttekinthet˝o, egyszer˝u tulajdonságokkal, amikor az értéke véges, vagyis amikor egybeesik az általánosított feltételes várható értékkel. 1.111 Példa. Ha G ⊆ F, akkor a kiterjesztett várható értékre nem feltétlenül teljesül az E (E (η | F) | G) = E (η | G) egyenl˝oség. 153 Az angol nyelv˝ u irodalomban az E (η | F ) jelölés a feltételes várható érték szokásos jelölése. Az E szimbólumot mi inkább az extended, kiterjesztett, és nem az expected, várható, értelemben használjuk. Szokás még a ∞ − ∞ = ∞ konvencióval is élni. V.ö.:[15], 2. oldal. 154 Emlékeztetünk, hogy a feltételes várható értéket a kvázi-integrálható változók körében definiáltuk. Az R f függvényt az X halmazon a µ mérték szerint kvázi-integrálhatónak mondjuk ha értelmezhet˝o az X f dµ integrál, beleértve hogy az integrál esetlegesen ±∞ is lehet. Ha a ξ változó a P valószín˝uség szerint kváziintegrálható, akkor tetsz˝oleges F feltételi σ-algebra esetén értelmezhet˝o az M (ξ | F ) feltételes várható érték, de az M (ξ | F ) értéke esetlegesen végtelen is lehet. M (ξ | F ) = M ξ + | F − M ξ − | F , de a kvázi-integrálhatóság miatt ∞ − ∞ a kivonásban nem fordulhat el˝o .


76

Jelölje B az olyan kimenetelek halmaza, ahol M (η + | F) = M (η − | F) = ∞. Nem negatív változókra teljesül a teljes várható érték tétele és a kiemelési szabály, így + − E (E (η | F) | G) $ M (E (η | F)) | G − M (E (η | F)) | G = = M M η + | F χB | G − M M η − | F χB | G = = M M η + χB | F | G − M M η − χB | F | G = = M η + χB | G − M η − χB | G $ E (ηχB | G) . Legyen (Ω, A,P) a (−1, 1) intervallumon értelmezett egyenletes eloszlás. F a (−1, 1) (−1/2, 1/2) , (1/2, 1) , (−1, −1/2) intervallumok által generált σ-algebra, G az Ω $ (−1, 1) intervallum által generált σ-algebra és 1/ω ha |ω| ≤ 1/2 η (ω) $ . 1 ha |ω| > 1/2 Ekkor E (η | G) $ M η + | G − M η − | G = ∞ − ∞ = 0. Ugyanakkor E (η | F) (ω) =

0 1

ha ha

|ω| ≤ 1/2 |ω| > 1/2

és így E (E (η | F) | G) = 1/2. 2

1.4.2. El˝orejelezhet˝o vetület A további gondolatmenet célja, hogy az X 7→ p X hozzárendelést egyértelm˝uvé tegyük. Ennek céljából a definíciót némiképpen pontosítjuk. 1.112 Definíció. Ha az X folyamathoz található olyan p X-vel jelölt el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore a {τ < ∞} halmazon p

m.m.

X (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − ) ,

(1.34)

akkor az p X folyamatot az X el˝orejelezhet˝o vetületének mondjuk. Az p X el˝orejelezhet˝o vetület jól definiált, ha az értéke, illetve létezése független attól, hogy a ∞−∞ értéket a kiterjesztett feltételes várható érték definíciójakor hogyan rögzítettük155 . Az p X véges, ha jól definiált és az értéke véges, ilyenkor az p X definíciójában p

m.m.

X (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − )

= M (X (τ ) | Fτ − ) = = M X + (τ ) | Fτ − − M X − (τ ) | Fτ − ,

ahol M az általánosított feltételes várható értéket jelöli. 155 Másképpen fogalmazva az (1.34) sorban szerepl˝ o feltételes várható érték minden τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o esetén jól definiált.


77

1.113 Példa. A nem negatív folyamatok el˝orejelezhet˝o vetülete mindig jól definiált. A korlátos folyamatok el˝orejelezhet˝o vetülete mindig véges. Vegyük észre, hogy ha az p X jól definiált, akkor tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o esetén az E (X (τ ) | Fτ − ) kiszámolásakor nem fordulhat el˝o a ∞ − ∞ kifejezés. Ugyancsak, ha az p X véges, akkor az p X definíciójában az E kiterjesztett feltételes várható érték helyébe az M általánosított feltételes várható érték írható. Ha az X nem terjeszthet˝o ki a +∞ id˝opontra, akkor a {τ = ∞} halmazon a megállított változó definíciója miatt az (1.34) két oldala automatikusan egyenl˝o, ugyanis mind a két oldal értéke a {τ = ∞} halmazon nulla156 . Ha az X kiterjeszthet˝o a +∞ id˝opontra, akkor el˝oírhatnánk, hogy az p X is kiterjeszthet˝o legyen a +∞ id˝opontra és a két oldal egyenl˝o legyen. Ennek megfelel˝oen a {τ < ∞} halmazra való lesz˝ukítésnek az el˝orejelezhet˝o vetület definíciójában nincsen túlzott szerepe. A következ˝o tétel igazolásakor a szokásos feltételek kulcsszerepet játszanak. 1.114 Tétel. (El˝orejelezhet˝o vetület egyértelmusége) ˝ Ha teljesülnek a szokásos feltételek, akkor az (1.34) sorban definiált p X el˝orejelezhet˝o vetület a megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝u. Bizonyítás: Ha az p X mellett az Y el˝orejelezhet˝o folyamatra is minden τ véges el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore m.m.

Y (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − ) , akkor

m.m. p

Y (τ ) =

X (τ ) .

(1.35)

Ha a két folyamat nem megkülönböztethetetlen, akkor a B $ {(t, ω) : Y (t, ω) 6= p X (t, ω)} halmaz Ω-ra való vetületének mértéke pozitív. A B el˝orejelezhet˝o, ezért az el˝orejelezhet˝o szelekciós tétel157 miatt van olyan τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amely grafikonja pozitív mérték˝u vetülettel rendelkez˝o halmazon a B-ben halad. Ha minden n-re a (τ (ω) ∧ n, ω) csak nullmérték˝u halmazon lenne a B-ben, akkor a τ is csak nullmérték˝u halmazon haladna a B-ben, ezért az ellentmondás miatt feltehet˝o, hogy van olyan n, hogy a (τ (ω) ∧ n, ω) egy pozitív mérték˝u halmazon eleme a B-nek, így feltehet˝o, hogy a τ véges. Az Y (τ ) és az p X (τ ) pozitív valószín˝uség˝u halmazokon különbözik, ami az (1.35) miatt lehetetlen. 2 1.115 Állítás. (El˝orejelezhet˝o vetület tulajdonságai) Ha az (Ω, A,P.F) alaptérre teljesülnek a szokásos feltételek, akkor az el˝orejelezhet˝o vetület a megkülönböztethetetlenség erejéig rendelkezik a következ˝o tulajdonságokkal: 156 Ha

a ξ az F ∈ F halmazon konstans, akkor az M (ξ | F ) is konstans az F halmazon. B.18. tétel, 385. oldal.

157 V.ö.:


78

1. Ha Y el˝orejelezhet˝o, akkor az p Y létezik, és p (Y ) = Y. 2. Az X 7→ p X operáció monoton, vagyis ha 0 ≤ X ≤ Y és léteznek az p X és p Y el˝orejelezhet˝o vetületek, akkor 0 ≤ p X ≤ p Y. 3. Ha az X és az Y folyamatok el˝orejelezhet˝o vetülete véges, akkor az X + Y folyamatnak is van el˝orejelezhet˝o vetülete és p

(X + Y ) = p X + p Y.

Speciálisan ilyenkor minden t id˝opontban p

m.m. p

(X + Y ) (t) =

X (t) + p Y (t) .

Az X 7→ p X hozzárendelés a nem negatív folyamatok körében is additív. 4. Az X 7→ p X hozzárendelés homogén, vagyis ha az X folyamatnak van el˝orejelezhet˝o vetülete és λ tetsz˝oleges valós szám, akkor a λX folyamatnak is van el˝orejelezhet˝o vetülete és p (λX) = λ (p X) . 5. Érvényes a kiemelési szabály, vagyis ha az Y folyamat véges érték˝u és el˝orejelezhet˝o, az X folyamat p X el˝orejelezhet˝o vetület létezik és véges, akkor az p (XY ) is létezik és p (XY ) = (p X) Y. (1.36) 6. Teljesül a monoton konvergencia tétele, vagyis ha 0 ≤ Xn % X∞ és az Xn folyamatoknak van el˝orejelezhet˝o vetülete, akkor az X∞ változónak is létezik el˝orejelezhet˝o vetülete és p X % p X∞ . 7. Az el˝orejelezhet˝o vetület lokalizálható, vagyis ha a (σ n )n lokalizációs sorozat minden tagjára létezik az p (X σn ) el˝orejelezhet˝o vetület és p (X σn ) = Y σn , akkor létezik az p X el˝orejelezhet˝o vetület és p X = Y. Ha minden n-re az el˝orejelezhet˝o vetület p (X σn ) jól definiált, illetve véges, akkor a p X is jól definiált, illetve véges. Bizonyítás: A tulajdonságok bizonyítása a feltételes várható érték analóg tulajdonságaira, illetve a szelekciós tételre épül: 1. Ha Y el˝orejelezhet˝o, akkor az Y ± (τ ) Fτ − mérhet˝o158 . Ha p Y létezik, akkor tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o esetén a {τ < ∞} halmazon p Y (τ ) $ E (Y (τ ) | Fτ − ) $ M Y + (τ ) | Fτ − − M Y − (τ ) | Fτ − = = Y + (τ ) − Y − (τ ) = Y (τ ) . Az egyenl˝oséget fordított irányba olvasva azonnal látható, hogy az p Y létezik. 2. A monotonitás következik az E monotonitásából, ugyanis ha B $ {(t, ω) : p Y (t, ω) < p X (t, ω)} 158 V.ö.:

1.50. következmény, 36. oldal.


79

és a B Ω-ra való vetületének valószín˝usége pozitív, akkor az el˝orejelezhet˝o szelekciós tétel miatt létezik olyan σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre egy pozitív valószín˝uség˝u C $ {σ < ∞} halmazon (σ (ω) , ω) ∈ B, vagyis p

Y (σ (ω) , ω) < p X (σ (ω) , ω) ,

ω ∈ C.

A χC $ χ (σ < ∞) függvénnyel a két oldalt beszorozva, felhasználva, hogy a σ Fσ− mérhet˝o, tehát a χC bevihet˝o az Fσ− szerint feltételes várható értékbe, a teljes valószín˝uség tétel felhasználásával M (p Y (σ) χC ) < M (p X (σ) χC ) = = M (X (σ) χC ) ≤ M (Y (σ) χC ) , ami lehetetlen. 3. Az el˝orejelezhet˝o vetület definíciója szerint tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore a {τ < ∞} halmazon p

m.m.

X (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − ) ,

p

m.m.

Y (τ ) = E (Y (τ ) | Fτ − ) .

A két egyenl˝oséget összeadva és felhasználva, hogy a feltétel szerint mindenhol az E helyébe M írható, a feltételes várható érték additivitását felhasználva a {τ < ∞} ∈ Fτ − halmazon (p X (τ ) + p Y (τ )) χ (τ < ∞)

=

(E (X (τ ) | Fτ − ) + E (Y (τ ) | Fτ − )) χ (τ < ∞) =

=

(M (X (τ ) χ (τ < ∞) | Fτ − ) + M (Y (τ ) χ (τ < ∞) | Fτ − )) =

= M (X (τ ) + Y (τ ) | Fτ − ) χ (τ < ∞) = = E (X (τ ) + Y (τ ) | Fτ − ) χ (τ < ∞) , amib˝ol az p (X + Y ) létezik és p (X + Y ) = p X + p Y . 4. A homogenitás igazolása analóg159 . 5. A kiemelési szabály igazolása a következ˝o: Ha Y el˝orejelezhet˝o, akkor minden τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore az Yτ Fτ − mérhet˝o160 . A feltétel szerint p

X (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − ) = M (X (τ ) | Fτ − ) .

A két oldalt Y (τ )-val beszorozva az általánosított feltételes várható értékre vonatkozó kiemelési szabály szerint Y (τ ) (p X (τ )) = Y (τ ) M (X (τ ) | Fτ − ) = M (Y (τ ) X (τ ) | Fτ − ) . Az el˝orejelezhet˝o vetület egyértelm˝usége alapján (p X) Y =

p

(XY ) .

159 Emlékeztetünk, hogy a ∞ − ∞ $ 0 konvencióval éltünk. A ∞ − ∞ $ ∞ konvenció esetén az el˝orejelezhet˝o vetület csak pozitív homogén. 160 V.ö.: 1.50. következmény, 36. oldal.


80

6. Tegyük fel, hogy 0 ≤ Xn % X∞ , és tegyük fel, hogy minden n-re létezik az p Xn el˝orejelezhet˝o vetület. Tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore a {τ < ∞} halmazon az p

m.m.

Xn (τ ) = E (Xn (τ ) | Fτ − ) = M (Xn (τ ) | Fτ − ) .

A Z $ lim inf n→∞ p Xn határérték el˝orejelezhet˝o. Az el˝orejelezhet˝o vetület monotonitása miatt egy nullmérték˝u halmaztól eltekintve létezik a limn→∞ p Xn (τ ) $ Z (τ ) határérték. A feltételes várható értékre teljesül a monoton konvergencia tétele, tehát ha n → ∞, akkor Z (τ )

m.m.

lim p Xn (τ ) = lim M (Xn (τ ) | Fτ − ) = n→∞ = M lim Xn (τ ) | Fτ − = M (X∞ (τ ) | Fτ − ) , =

n→∞

n→∞

így Z (τ ) = M (X∞ (τ ) | Fτ − ) , tehát a Z éppen az X∞ el˝orejelezhet˝o vetülete. Megjegyezzük, hogy az p X % p X∞ konvergencia nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve minden trajektória minden id˝opontjában teljesül. Ha ugyanis B az olyan (t, ω) párok halmaza ahol a konvergencia nem érvényes, akkor a B vetülete az Ω-ra nullmérték˝u, hiszen ellenkez˝o esetben van olyan τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre az p Xn (τ (ω) , ω) sorozat egy pozitív valószín˝uség˝u halmazon nem konvergens, ami az el˝orejelezhet˝o vetület monotonitása miatt lehetetlen. 7. A gondolatmenet lényege, hogy nem negatív változókra a kiterjesztett várható értékre is érvényes a kiemelési szabály. Tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o esetén161 c {τ ≤ σ n } = {σ n < τ } ∈ Fτ − . E (X (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − ) = = E (X σn (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − ) $ + − $ M (X σn ) (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − − M (X σn ) (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − = + − = χ (τ ≤ σ n ) M (X σn ) (τ ) | Fτ − − χ (τ ≤ σ n ) M (X σn ) (τ ) | Fτ − = = χ (τ ≤ σ n ) E (X σn (τ ) | Fτ − ) = χ (τ ≤ σ n ) Y σn (τ ) = = χ (τ ≤ σ n ) Y (τ ) . Hasonlóan E (X (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − ) $ $ M X + (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − − M X − (τ ) χ (τ ≤ σ n ) | Fτ − = = χ (τ ≤ σ n ) M X + (τ ) | Fτ − − χ (τ ≤ σ n ) M X − (τ ) | Fτ − = = χ (τ ≤ σ n ) M X + (τ ) | Fτ − − M X − (τ ) | Fτ − $ $ χ (τ ≤ σ n ) E (X (τ ) | Fτ − ) . 161 V.ö.:

B.14. állítás, 384. oldal.


81

Ha n → ∞, akkor ebb˝ol a {τ < ∞} halmazon Y (τ ) = E (X (τ ) | Fτ − ) . Az Y σn folyamatok a feltétel szerint el˝orejelezhet˝oek, így az Y határértékük is el˝orejelezhet˝o, így az p X létezik és p X = Y. Az utolsó megjegyzés az χ (τ ≤ σ n ) M X + (τ ) | Fτ − = M χ (τ ≤ σ n ) X + (τ ) | Fτ − = + = M χ (τ ≤ σ n ) (X σn ) (τ ) | Fτ − = + = χ (τ ≤ σ n ) M (X σn ) (τ ) | Fτ − < ∞ egyenl˝otlenségb˝ol evidens. 2 Térjünk rá a létezés kérdésére. El˝oször néhány önmagában is érdekes állítást igazolunk. 1.116 Állítás. (El˝orejelezhet˝o megállási opciókról szóló tétel) Ha X egyenletesen integrálható martingál, τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, akkor m.m.

X (τ −) = M (X (τ ) | Fτ − ) = M (X (∞) | Fτ − ) .

(1.37)

Bizonyítás: Ha (τ n )n a τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ot jósló sorozat, akkor a megállási opciókról szóló tétel szerint m.m.

X (τ n ) = M (X (τ ) | Fτ n ) = M (X (∞) | Fτ n ) . Az egyenletes integrálhatóság miatt X (∞) ∈ L1 , tehát X (τ ) ∈ L1 . Ha τ n % τ , akkor a martingálok bal oldali határértékének definíció szerinti létezése, az Fτ n % Fτ − konvergencia, illetve a Lévy–féle martingálkonvergencia-tétel162 miatt az (1.37) teljesül. 2 1.117 Állítás. Tegyük fel, hogy teljesülnek a szokásos feltételek. Ha L lokális martingál, akkor az L-nek van p L véges el˝orejelezhet˝o vetülete és p

L (t) = L− (t) $ L (t−) .

Bizonyítás: Ha L egyenletesen integrálható martingál és τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, akkor teljesül az (1.37) miatt p L = L− . Az általános eset az el˝orejelezhet˝o vetület lokalizációs tulajdonságai miatt evidens. 2 1.118 Következmény. Ha teljesülnek a szokásos feltételek, akkor az L lokális martingál pontosan akkor el˝orejelezhet˝o, ha folytonos. 162 V.ö.:

[20] 9.73. tétel, 346. oldal.

82


Bizonyítás: Ha az L folytonos, akkor triviálisan el˝orejelezhet˝o. A fordított irány az L+ = L = p L = L− .egyenl˝oségb˝ol evidens. 2 Az el˝orejelezhet˝o vetületre vonatkozó legfontosabb példa a következ˝o: 1.119 Következmény. Tegyük fel, hogy teljesülnek a szokásos feltételek. Ha L lokális martingál, akkor az L ugrásaiból álló ∆L folyamatra p (∆L) = 0, ahol a p (∆L) el˝orejelezhet˝o vetület véges. Bizonyítás: Az el˝orejelzhet˝o vetület additivitása miatt evidens. 2 1.120 Állítás. (El˝orejelezhet˝o vetület létezése) Ha teljesülnek a szokásos feltételeket, akkor tetsz˝oleges X szorzatmérhet˝o folyamatnak van p X el˝orejelezhet˝o vetülete. Bizonyítás: Legyen η integrálható változó. A szokásos feltételek teljesülése miatt az M (t) $ M (η | Ft ) logikai martingál rendelkezik jobbról reguláris verzióval, vagyis az M egyenletesen integrálható martingál. Legyen τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. Az el˝orejelezhet˝o megállási opciókról szóló tétel szerint a {τ < ∞} halmazon M (τ −)

= M (M (∞) | Fτ − ) = = M (η | Fτ − ) $ M (X (τ ) | Fτ − ) ,

vagyis az X ≡ η konstans folyamat rendelkezik el˝orejelezhet˝o vetülettel és p X = M− . Ha I ∈ B (R+ ) , akkor a χI el˝orejelezhet˝o, így a kiemelési szabály szerint p (XχI ) = χI p X, vagyis az X $ η · χI típusú folyamatok rendelkeznek el˝orejelezhet˝o vetülettel és p X $ p (η · χI ) = M− · χI . (1.38) Az η ·χI típusú korlátos folyamatok a szorzatmérhet˝o halmazokat generáló π-rendszert alkotnak. Vegyük észre, hogy az el˝orejelezhet˝o vetület alaptulajdonságai miatt az állítást kielégít˝o korlátos folyamatok L halmaza λ-rendszer: az 1 konstans folyamat el˝orejelezhet˝o, így az 1 ∈ L triviálisan teljesül; az el˝orejelezhet˝o vetület linearitása miatt az el˝orejelezhet˝o vetülettel rendelkez˝o korlátos folyamatok halmaza lineáris tér; az el˝orejelezhet˝o vetülettel rendelkez˝o korlátos folyamatokra alkalmazható a monoton konvergencia tétele. A Meyer–tétel miatt az L tartalmazza a szorzatmérhet˝o, korlátos folyamatokat. A monoton konvergencia tétel miatt tetsz˝oleges nem negatív szorzatmérhet˝o folyamatnak van el˝orejelezhet˝o vetülete. Ha X tetsz˝oleges, akkor az p (X ± ) változókból készítsük el az p X $ p X + − p X − folyamatot. Ha az p X definiálásánál a kiterjesztett feltételes várható érték definíciójával analóg módon alkalmazzuk a ∞ − ∞ $ 0 konvenciót, akkor a kiterjesztett feltételes várható érték definíciója miatt az p X kielégíti az (1.34) feltételt, így az p X éppen az X el˝orejelezhet˝o vetülete. 2


83

1.4.3. Fisk–féle egyértelmuségi ˝ tétel A sztochasztikus analízis egyik leggyakrabban hivatkozott állítása a következ˝o: 1.121 Tétel. (Fisk) Legyen L korlátos változású trajektóriákkal rendelkez˝o lokális martingál. Ha az L folytonos, akkor az L trajektóriái nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve konstansok. Speciálisan, ha teljesülnek a szokásos feltételek és az L ∈ Mloc ∩ V el˝orejelezhet˝o, akkor az L majdnem minden kimenetelre nulla. Bizonyítás: A második állítás triviálisan következik az els˝ob˝ol, ugyanis egy L lokális martingál pontosan akkor folytonos, ha el˝orejelezhet˝o. A lokalizáció során mind a folytonosság, mind a korlátos változás tulajdonsága megmarad. Legyen (ρn )n az L lokalizációs sorozata. Tekintsük az M (t) $ Lρn (t) − L (0) martingált, és V $ Var (M ). A ρn % ∞ miatt elegend˝o megmutatni, hogy M = 0. A folytonos függvények variációja is folytonos163 , ezért a υ n (ω) $ inf {t : |M (t, ω)| ≥ n} és a κn (ω) $ inf {t : V (t, ω) ≥ n} 164

kifejezések megállási id˝ok , következésképpen a τ n $ υ n ∧ κn is megállási id˝o. τ n % ∞, így ha minden n-re M τ n ≡ 0, akkor M ≡ 0. Mivel az M τ n martingálok trajektóriái, illetve a variációk korlátosak, ezért elegend˝o az állítást akkor belátni, ha n az M és a Var (M ) korlátos. Tekintsük a [0, t] szakasz tetsz˝oleges (tk )k=0 felbontását. Az energiaazonosság miatt 2 M [M (t) − M (s)] = M M 2 (t) − M 2 (s) , (1.39) ezért az M (0) = 0 felhasználásával M M 2 (t) = M M 2 (tn ) − M M 2 (t0 ) = = M

n−1 X

! 2 2 M (tk+1 ) − M (tk ) =

k=0

= M

n−1 X

! 2

[M (tk+1 ) − M (tk )]

.

k=0

A V a feltétel miatt egy K konstanssal korlátozható, tehát M M 2 (t) ≤ M V (t) · max |M (tk+1 ) − M (tk )| ≤ k ≤ K · M max |M (tk+1 ) − M (tk )| . k

163 V.ö.: 164 V.ö.

[20], 2.129. állítás, 96. oldal. [20], 9.112. példa, 371. oldal, 2. pont.


84

A trajektóriák folytonosak, a véges intervallumon való egyenletes folytonosság miatt, ha a felbontás finomsága nullához tart, akkor max |M (tk+1 ) − M (tk )| → 0. k

Ugyanakkor evidens módon, ha jelöli a felbontást, akkor max |M (tk+1 ) − M (tk )| ≤ V (t) $ sup k

n−1 X

|M (tk+1 ) − M (tk )| ≤ K,

k=0

így a bal oldali kifejezés egyenletesen korlátos, tehát a majorált konvergencia tétele miatt M max |M (tk+1 ) − M (tk )| → 0, k

amib˝ol az M (t) majdnem mindenhol nulla. Az M folytonossága miatt az M trajektóriái egy nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve konstansok. 2 1.122 Példa. Folytonosság feltétele lényeges. A π λ paraméter˝u Poisson–folyamat trajektóriái monoton növeked˝oek és a folyamat független növekmény˝u, amib˝ol az L (t, ω) $ π (t, ω)−λt kompenzált Poisson–folyamat martingál, de a trajektóriák minden véges intervallumon korlátos változásúak. 2 1.123 Következmény. (Unicitási tétel) Tegyük fel, hogy teljesülnek a szokásos feltételek. Ha az X speciális szemimartingál, akkor az X = X (0) + V + L, V ∈ V, L ∈ L felbontás az el˝orejelezhet˝o korlátos változású V folyamatok körében egyértelm˝u. Ezt a felbontást az X kanonikus felbontásának mondjuk. Bizonyítás: Ha V1 + L1 = V2 + L2 , akkor az M $ V1 − V2 = L2 − L1 el˝orejelezhet˝o, korlátos változású lokális martingál, következésképpen M = 0. 2

1.5. Kompenzátorok, Doob—Meyer–dekompozíció Az alábbiakban kulcs szerepet játszó kompenzátorok definíciója igen absztrakt. Az olvasónak ugyanakkor pontosan érzékelnie kell a fogalom fontosságát. Általánosságban az X véletlen folyamat kompenzátorán olyan el˝orejelezhet˝o, korlátos változású folyamatot értünk, amelyet az X-b˝ol levonva lokális martingált kapunk. Miként jeleztük a martingálok, illetve a lokális martingálok a tovább már nem bontható, trend nélküli, „nem diverzifikálható" véletlen folyamatok. Az alkalmazásokban a kompenzátor

1.5. KOMPENZÁTOROK, DOOBMEYERDEKOMPOZÍCIÓ

85

általában determinisztikus, s˝ot igen gyakran folytonos függvény, amely az X kockázatos folyamatban lev˝o „szisztematikus”, „diverzifikálható” kockázat kiküszöböléséért el˝ore fizetend˝o biztosítási díjként interpretálható. Természetesen az, hogy el˝orejelezhet˝o módon kell az X-ben lev˝o bizonytalanságot kompenzálni igen kézenfekv˝o és fontos megkötés, amely ugyanakkor jól mutatja az el˝orejelezhet˝oség szerepét és rávilágít a fogalom tartalmára. A kompenzátor valamilyen „el˝ore” elhatározott stratégia, amely célja az X-ben lev˝o „szisztematikus” bizonytalanság megszüntetése. A definíciók alapján evidens, hogy csak speciális szemimartingáloknak lehet kompenzátora, és a kompenzáció éppen a speciális szemimartingálok el˝orejelezhet˝o, korlátos változású folyamatra és lokális martingálra való felbontása. Ha A ∈ A+ és M ∈ M, akkor az X $ A + M folyamat D-osztályba es˝o szubmartingál, ugyanis ha τ véges érték˝u megállási id˝o, akkor |A (τ )| = |A (τ ) − A (0)| ≤ Var (A) (∞) ∈ L1 ,

(1.40)

következésképpen az {X (τ ) : τ ∈ Υ, τ < ∞} halmaz egyenletesen integrálható. A sztochasztikus analízis központi észrevétele, hogy igaz a megfordítás is. 1.124 Tétel. (Doob—Meyer–felbontás) Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket és az X szubmartingál eleme a Dosztálynak, akkor az X egyértelm˝uen felbontható X = X (0) + M + A +

módon, ahol A ∈ A , M ∈ M és az A el˝orejelezhet˝o. A tétel bizonyítását a függelékben közöljük. Számos tankönyv, a Doob—Meyer–felbontásban az A el˝orejelezhet˝osége helyett az A természetességét követeli meg. 1.125 Definíció. A V ∈ V folyamatot természetesnek mondjuk, ha minden N nem negatív, korlátos martingálra Z t Z t M N dV = M N− dV . 0

0

A két megfogalmazás azonban ekvivalens, ugyanis érvényes a következ˝o: 1.126 Tétel. (Doléans) Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket, akkor a V ∈ A+ folyamat pontosan akkor el˝orejelezhet˝o, ha természetes. A tétel bizonyítását ugyancsak a függelékben közöljük165 . A fejezet hátralev˝o részében szerepl˝o állítások a Doob—Meyer–felbontás következményei, ezért a továbbiakban, anélkül, hogy explicite kimondanánk, mindig fel fogjuk tételezni, hogy az (Ω, A, P,F) kielégíti a szokásos feltételeket. 165 V.ö.:

B.38. tétel, 400. oldal.

86


1.5.1. Kvázimartingálok A szemimartingálok osztályának definíciója igen formális. A Doob—Meyer–felbontás els˝o alkalmazásaként néhány példát mutatunk szemimartingálra166 . 1.127 Állítás. Minden X integrálható167 szub- és szupermartingál szemimartingál. Bizonyítás: Legyen X integrálható szubmartingál. Az egyszer˝uség kedvéért feltehetjük, hogy X (0) = 0. 1. Megjegyezzük, hogy ha X integrálható szubmartingál, akkor a martingálokhoz hasonlóan tetsz˝oleges τ megállási id˝ore X τ szintén szubmartingál. Ennek indoklása lényegében azonos a martingálokra vonatkozó megfelel˝o állítás bizonyításával168 : Legyen s < t és A ∈ Fs . A σ $ (τ ∧ t) χAc + (τ ∧ s) χA korlátos megállási id˝o, σ ≤ τ ∧t, az X a feltétel szerint integrálható, tehát alkalmazható rá a megállási opciókról szóló tétel169 , vagyis a várható érték a megállított változókra is n˝o, ezért M (X τ (t) χAc + X τ (s) χA )

=

M (X (τ ∧ t) χAc + X (τ ∧ s) χA ) =

=

M (X (σ)) ≤ M (X (τ ∧ t)) = M (X τ (t)) =

=

M (X τ (t) χAc + X τ (t) χA ) ,

amib˝ol M (X τ (s) χA ) ≤ M (X τ (t) χA ) , tehát X τ (s) ≤ M (X τ (t) | Fs ) , vagyis miként állítottuk az X τ szubmartingál. 2. Ha az X szubmartingál D-osztályba esik, akkor a Doob—Meyer–felbontás170 miatt szemimartingál. Meg kell mutatni, hogy van olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, hogy minden n-re az X τ n D-osztályba es˝o szubmartingál, ugyanis akkor a Doob—Meyer– felbontás egyértelm˝usége miatt az X τ n+1 Ln+1 + Vn+1 felbontása a [0, τ n ] szakaszon megegyezik az X τ n Ln + Vn felbontásával, így az X felbontható L + V $ limn Ln + limn Vn módon, ahol az L lokális martingál, a V trajektóriái pedig véges szakaszokon korlátos változásúak. 3. Definiáljuk a τ n $ inf {t : |X (t)| ≥ n} ∧ n 166 Az 1.5.1. alpontban elmondottakra egyedül a Bichteler—Dellacherie–tétel bizonyítása során fogunk hivatkozni, így az alpont els˝o olvasásra elhagyható. 167 Vagyis az X (t) minden t-re integrálható. 168 V.ö.: [20], 9.126. következmény, 381. oldal. 169 Az integrálhatóság feltételére szükség van. V.ö.: [20], 9.122. állítás, 379. oldal. 170 Felhasználjuk, hogy az (Ω, A,P) teljes és teljesülnek a szokásos feltételek.


87

korlátos megállási id˝oket. A megállási opciókról szóló tétel miatt, ismételten kihasználva, hogy az X integrálható, X (τ n ) ∈ L1 (Ω) . Minden t-re |X τ n (t)| ≤ n + |X (τ n )| ∈ L1 (Ω) , vagyis az X τ n D-osztályba es˝o szubmartingál. Triviálisan τ n ≤ τ n+1 . Tegyük fel, hogy a (τ n (ω))n sorozat valamely ω kimenetelre korlátos. Ekkor τ n (ω) → τ ∞ (ω) < ∞, így elég nagy n-re τ n (ω) < n, következésképpen |X (τ n (ω))| ≥ n, és ezért az (X (τ n (ω)))n sorozat nem lehet konvergens, ami ellentmond annak, hogy az X szubmartingál definíció szerint minden id˝opontban minden kimenetelre rendelkezik véges bal oldali határértékkel. 2 A szemimartingálok lineáris teret alkotnak, tehát ha X = Y − Z, ahol az Y és a Z integrálható, nem negatív szupermartingálok, akkor az X szintén szemimartingál. Az ilyen alakú folyamatokra érvényes a következ˝o: Legyen : 0 = t0 < t1 < . . . < tn < tn+1 = ∞

(1.41)

az R+ félegyenes felbontása. Képezzük a sup M

n X

! |M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fti )|

(1.42)

i=0

kifejezést, ahol a szuprémumot az összes lehetséges (1.41) felbontás szerint kell venni. Ha a t = ∞ pontban az X nincsen definiálva, akkor definíció szerint X (∞) $ Y (∞) $ Z (∞) $ 0. A nem negativitás miatt a kiterjesztett folyamatok szupermartingálok maradnak. P M Xti − Xti+1 | Fti ≤ M i P P ≤M M Yti −Yti+1 | Fti +M M Zti −Zti+1 | Fti . i

i

Az Y szupermartingál, tehát171 M (Y (ti ) − Y (ti+1 ) | Fti ) = Y (ti ) − M (Y (ti+1 ) | Fti ) ≥ 0, ezért az abszolút érték elhagyható. A teljes várható érték tétel szerint ! n X M |M (Y (ti ) − Y (ti+1 ) | Fti )| = M (Y (0)) − M (Y (∞)) , i=0

amely kifejezés az Y feltételezett integrálhatósága miatt véges. A Z-vel hasonlóan eljárva azonnal látható, hogy az (1.42) szuprémum véges. 171 Vegyük észre, hogy a nem negativitást kihasználtuk, ugyanis ha t n+1 = ∞, akkor esetlegesen Y (tn+1 ) $ 0.


88

1.128 Definíció. Az X integrálható172 , adaptált, jobbról reguláris folyamatot kvázimartingálnak mondjuk, ha az (1.42) sorban szerepl˝o szuprémum véges. 1.129 Állítás. (Rao) Az R+ félegyenesen értelmezett X integrálható, adaptált, jobbról reguláris folyamat pontosan akkor kvázimartingál, ha felírható két pozitív integrálható szupermartingál különbségeként. Bizonyítás: Az egyik irányt már beláttuk, csak a megfordítást kell igazolni. A korábban említett konvenciónak megfelel˝oen X (∞) $ 0. Rögzítsük az s id˝opontot. A [s, ∞] minden felbontására definiáljuk a ! X ± ± C (s) $ M (M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fti )) | Fs i

összegeket. C± (s) változók mindegyike Fs -mérhet˝o. Tegyük fel, hogy a (n )n felosztássorozat finomsága minden határon túl csökken173 és tegyük fel, hogy n ⊆ n+1 , vagyis tegyük fel, hogy a n+1 a n finomítása. Megmutatjuk, hogy ilyenkor a C±n (s) n sorozatok majdnem minden kimenetelre véges határértékhez konvergálnak. Ennek indoklásához megmutatjuk, hogy ha a 00 felbontás finomabb mint a 0 , akkor C±0 (s) ≤ C±00 (s) , (1.43) amib˝ol a konvergencia következni fog, ugyanis a kvázi-martingál tulajdonság miatt a C± (s) változók halmaza L1 (Ω)-ban korlátos174 . Az (1.43) igazolásához tegyük fel, hogy az új t osztópont a ti és a ti+1 közé kerül. Az ξ

$

M (X (ti ) − X (t) | Fti ) ,

ζ

$

M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fti )

η $ M (X (t) − X (ti+1 ) | Ft ) ,

jelölés mellett ζ = ξ+M (η | Fti ) , következésképpen a Jensen–egyenl˝otlenség szerint + ζ + ≤ ξ + + M (η | Fti ) ≤ ξ + + M η + | Fti , tehát M ζ + | Fs ≤ M ξ + | Fs + M η + | Fs , amib˝ol az (1.43) egyenl˝otlenség triviális. Jelölje a C±n (s) n sorozat határértékét C ± (s) . A C ± (s) határérték integrálható és Fs -mérhet˝o. Tetsz˝oleges felosztásra az 172 Vagyis

minden t-re az X (t) integrálható. a [0, ∞] végtelen hosszú szakasz felbontásairól van szó a feltétel úgy értend˝o, hogy a [0, ∞] halmazt rendezéstartó módon ráképezzük a [0, 1] szakaszra és a ·n felbontások finomsága a [0, 1] szakaszon tart nullához. A ·n például a [0, 1]-ben legyen a k2−n alakú diadikus törtek halmaza. 174 A monoton konvergencia tétel miatt egy pozitív mérték˝ u halmazon a C·± (s) % ∞ nem teljesülhet. n Vegyük észre, hogy a gondolatmenetb˝ol evidens, hogy a sorozat határértéke csak nullmérték˝u halmaztól eltekintve létezik, így a C ± (s) változók csak nullmérték˝u halmaz erejéig értelmezettek. 173 Mivel


89

X (∞) $ 0 konvenció és az X adaptáltsága miatt ! C+

(s) −

C−

(s)

X

= M

M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fti ) | Fs

=

i

=

X

M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fs ) =

i

= M (X (s) | Fs ) − M (X (∞) | Fs ) = X (s) , amely egyenl˝oség a (n )n sorozat szerinti határértékre áttérve is érvényben marad, vagyis C + (s) − C − (s) = X (s) , (1.44) ahol az egyenl˝oség minden s-re majdnem mindenhol érvényes. Tegyük fel, hogy bizonyos n-t˝ol a t a (n )n felosztások mindegyikének tagja. Mivel s < t, ezért ! X ± ± = M (M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Fti )) | Fs ≤ M Cn (t) | Fs i

≤

C±n

(s) ,

amib˝ol határértékre áttérve, a feltételes várható értékre vonatkozó monoton konvergencia tétel felhasználásával M C ± (t) | Fs ≤ C ± (s) . (1.45) Legyen (n )n a [0, ∞] végtelenül finomodó felosztássorozata. Ha S jelöli a (n )n sorozatban lev˝o osztópontok halmazát, akkor az S s˝ur˝u az R+ -ban. Az elmondottak szerint a C ± az S pontjaiban logikai szupermartingál. Az S pontjainak száma megszámlálható, így a C ± nullmérték˝u halmaztól eltekintve jól definiált175 . A szupermartingál tulajdonság miatt egy N nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve176 minden kimenetelre minden t id˝opontban léteznek a D± (t) $ C ± (t+) $

lim

s&t,s∈S

C ± (s)

folyamatok177 és a D± (t) jobbról reguláris178 . Az X jobbról reguláris, így az (1.44) az N nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve minden t ≥ 0 esetén a D± (t) folyamatokra is teljesülni fog. A D± (t) minden n-re Ft+1/n mérhet˝o, így Ft+ -mérhet˝o. A szokásos feltételek miatt az F filtráció jobbról folytonos, így a D± (t) Ft -mérhet˝o, következésképpen a D± folyamatok adaptáltak. Ha sn & t és sn ∈ S, akkor a (C ± (sn ))n sorozat fordított szupermartingál, így a fordított szupermartingálokra vonatkozó konvergenciatétel179 szerint a (C ± (sn ))n L1 (Ω)-konvergenciájához szükséges és elegend˝o, 175 A nullmérték˝ u halmazok miatt a C ± folyamatot az R+ minden id˝opontjában közvetlenül nem tudjuk definiálni, csak az R+ egy megszámlálható s˝ur˝u részhalmazán. 176 A filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, így a kivételezett pontok N halmaza a folyamatok adaptáltságát nem befolyásolja. 177 V.ö.: [20], 9.90. állítás, 358. oldal. 178 V.ö.: [20], 9.92. következmény, 360. oldal. 179 V.ö.: [20], 9.78. tétel, 348. oldal.


90

hogy a sorozat L1 (Ω)-ben korlátos legyen. A szupermartingál tulajdonság és az (sn )n csökkenése miatt a (C ± (sn ))n várható értéke n˝o, a kvázimartingál tulajdonság miatt a C ± (0) integrálható, így a nem negativitás miatt a (C ± (sn ))n sorozat L1 (Ω)-ban korlátos, tehát L1 (Ω)-konvergens. Ebb˝ol egyrészt a D± (t) minden t-re integrálható, másrészt mivel a feltételes várható érték L1 (Ω)-ban folytonos operáció, ezért az (1.45) sorban határértéket képezve a határérték bevihet˝o a feltételes várható értékbe következésképpen a D± folyamatok az R+ félegyenesen integrálható szupermartingálok. 2 1.130 Következmény. Minden kvázimartingál szemimartingál.

1.5.2. Lokálisan integrálható folyamatok el˝orejelezhet˝o kompenzátora Az A ∈ Aloc folyamatok triviálisan szemimartingálok. Az alábbi tétel alapján van kompenzátoruk, így speciális szemimartingálok180 . 1.131 Tétel. (El˝orejelezhet˝o kompenzátor létezése) + p Ha A ∈ A+ orejelezhet˝o folyamat, amely a megloc , akkor létezik olyan A ∈ Aloc el˝ különböztethetetlenség erejéig egyértelm˝uen jellemezhet˝o a következ˝o tulajdonságok bármelyikével: 1. A − Ap ∈ L. 2. Minden τ megállási id˝ore181 M (A (τ )) = M (Ap (τ )) . 3. Minden H nem negatív, el˝orejelezhet˝o folyamatra Z ∞ Z ∞ M HdA = M HdAp , 0

(1.46)

0

ahol az integrálok trajektóriánként vett Lebesgue—Stieltjes–integrálként értend˝oek182 . Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. 1. El˝oször belátjuk, hogy a fenti három állítás ekvivalens. Legyen A − Ap ∈ L és (τ n )n az A, Ap , illetve az A − Ap közös lokalizációs sorozata. Mivel az A+ loc és 180 V.ö.:

1.174. tétel, 125. oldal. észre, hogy a monotonitás miatt az A (∞) és az Ap (∞) értelmes, bár esetlegesen végtelen. 182 A biztosításmatematikában az el˝ orejelezhet˝o kompenzátor definíciójában lev˝o szabályt szokás nettó ekvivalencaelvnek is mondani. Ha A a kockázati folyamat Ap a fizetend˝o nettó biztosítási díj és H a biztosítási kötvények száma, akkor átlagban a kifizetett kártérítések összege megegyezik a befizetett biztosítási díjakkal, és ennek minden H ≥ 0 esetén teljesülnie kell. Az Ap azért a nettó díj, ugyanis nem tartalmazza a felmerül˝o költségeket. A dolog lényege, hogy mind a díjat, mind a kötvények számát a káresemény el˝ott, vagyis el˝orejelezhet˝oen kell meghatározni. A második feltétel szerint a kárértékek és a díjak átlagos egyez˝osége minden megállási id˝o esetén is teljesülni kell. Az els˝o feltétel szerint a nettó ekvivalencia teljesülésekor a biztosítási díj a kockázati folyamat „korrekt” el˝orejelzése. 181 Vegyük


91

az L terek zártak a megállításra nézve, ezért ilyen közös lokalizációs sorozat találhaτ tó. (A − Ap ) n ∈ M, tehát a megállási opciókról szóló tétel miatt M (Aτ ∧τ n ) = p M (Aτ ∧τ n ) . Az A és az Ap definíció szerint az A+ loc tér elemei, így a két folyamat monoton n˝o, így a monoton konvergencia tétel miatt M (Aτ ) = M (Apτ ) . Ha H $ χ ([0, τ ]) és X tetsz˝oleges olyan korlátos változású Rtrajektóriákkal rendelke∞ z˝o jobbról folytonos folyamat, amelyre X (0) = 0, akkor 0 HdX = X (τ ) , így a H $ χ ([0, τ ]) folyamatokra a második feltételb˝ol következik a harmadik. A [0, τ ] véletlen szakaszok által generált σ-algebra éppen az el˝orejelezhet˝o halmazok, így az általános eset a Meyer–tételb˝ol, illetve a monoton konvergencia tételb˝ol evidens, ugyanis a χ ([0, τ ]) alakú függvények π-rendszert183 , az (1.46) sort teljesít˝o korlátos H folyamatok triviálisan λ-rendszert alkotnak. Az utolsó gondolatmenet megfordítható, így tetsz˝oleges θ megállási id˝ore M (Aθ ) = M (Apθ ) . El˝ofordulhat azonban, hogy a két várható érték egyszerre végtelen. Ha (τ n )n az A és az Ap közös lokalizációs sorozata, akkor minden τ megállási id˝ore M (Aτ ∧τ n ) = M (Apτ ∧τ n ) , ahol a lokalizáció miatt a τ várható értékek már végesek, következésképpen (A − Ap ) n ∈ M, vagyis az A − Ap lokális martingál. 2. Ha Ap1 , Ap2 ∈ Aloc el˝orejelezhet˝o folyamatok és az i = 1, 2 indexekre az A − Api lokális martingál, akkor az Ap1 − Ap2 ∈ V el˝orejelezhet˝o lokális martingál, tehát Fisk– tétele184 miatt konstans. 3. Hátra van az Ap létezésének igazolása. Legyen (τ n )n az A lokalizációs sorozata. Aτ n ∈ A+ , tehát az Aτ n D-osztályba es˝o szubmartingál185 , következésképpen a Doob—Meyer–felbontás miatt van olyan Bn , amelyre Aτ n − Bn $ Mn ∈ M. A továbbiak jobb megértése céljából megjegyezzük, hogy Aτ n = (Aτ n )

τn

τn

= (Bn + Mn )

= Bnτ n + Mnτ n .

Az Mnτ n martingál, a B τ n el˝orejelezhet˝o, így a felbontás egyértelm˝usége miatt, Bn = τn Bnτ n és Mn = Mnτ n . Ismételten felhasználva, hogy Mn+1 ∈ M, illetve, hogy el˝orejelezhet˝o folyamat megállítása is el˝orejelezhet˝o τn

τn Bn+1 = (Aτ n+1 − Mn+1 )

Az Ap $

X

τn = Aτ n − Mn+1 = Bn .

Bk χ ((τ k , τ k+1 ]) = lim Bk k→∞

k

el˝orejelezhet˝o, !τ n p τn

(A )

=

X k

=

n−1 X

Bk χ ((τ k , τ k+1 ])

=

n−1 X

Bk χ ((τ k , τ k+1 ]) =

k=1

Bnτ k+1 χ ((τ k , τ k+1 ]) = Bn ∈ A+ ,

k=1 183 χ ([0, τ ]) χ ([0, σ])

= χ ([0, σ ∧ τ ]) és a σ ∧ τ szintén megállási id˝o. 1.121. tétel, 83. oldal. 185 A folyamatnak van integrálható majoránsa. V.ö.: (1.40) sor, 85. oldal. 184 V.ö.:


92

tehát Ap ∈ A+ loc . Ugyanakkor τn

(A − Ap )

τn

= Aτ n − (Ap )

= Aτ n − Bn = Mn ∈ M,

így A − Ap ∈ L. 2 1.132 Következmény. Ha A ∈ Aloc , akkor az Aloc térben létezik olyan Ap -vel jelölt, korlátos változású el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre az A − Ap lokális martingál. Az Ap folyamat a megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝u. Bizonyítás: A Jordan–dekompozíció miatt az A felbontható B − C, B, C ∈ A+ loc módon186 . Az Ap $ B p − C p folyamat el˝orejelezhet˝o és triviálisan A − Ap ∈ L. Az egyértelm˝uség igazolása megegyezik az el˝oz˝o állítás során bemutatottal. 2 A kompenzátor korábban már bevezetett definíciójával összhangban tekintsük a következ˝o definíciót: 1.133 Definíció. Az Ap folyamatot az A ∈ Aloc kompenzátorának, vagy el˝orejelezhet˝o kompenzátorának, id˝onként az A duális el˝orejelezhet˝o vetületének fogjuk nevezni. 1.134 Példa. Összetett Poisson–folyamat el˝orejelezhet˝o kompenzátora. Legyen X összetett Poisson–folyamat. Tegyük fel, hogy az ugrások nagyságának M várható értéke véges. Ha N jelöli az ugrásokhoz tartozó λ paraméter˝u Poisson– folyamatot, akkor M (X (t))

= =

∞ X k=0 ∞ X k=0

M (X (t) | N (t) = k) P (N (t) = k) = k

kM

(λt) exp (−λt) = λtM. k!

Az X független növekmény˝u, így azonnal látható, hogy az X (t) − λM t martingál187 . A λM t folyamat determinisztikus, tehát triviálisan el˝orejelezhet˝o, így X p (t) = λM t. Tegyük fel, hogy az ugrások nagyságának nincs véges várható értéke. Ilyenkor188 X ∈ / Aloc . Megmutatjuk, hogy az X ∈ V folyamatnak nincs kompenzátora189 . Ha lenne, akkor az X p jobbról reguláris és el˝orejelezhet˝o lenne, következésképpen lokálisan korlátos lenne190 . X − X p ∈ L ∩ V, tehát191 X − X p ∈ Aloc , ami csak akkor lehetséges, ha X ∈ Aloc. 186 Ugyanis

B + C = Var (A) ∈ Aloc . X független növekmény˝u nulla várható értékkel rendelkez˝o folyamat martingál. 188 V.ö.: 1.95. példa, 66. oldal, C.18. példa, 417. oldal. 189 Általában, ha X ∈ V, de X ∈ / Aloc , akkor az elmondottak miatt az X-nek nem létezhet kompenzátora. 190 V.ö.: 1.99. állítás, 69. oldal. 191 V.ö.: 1.94. állítás, 66. oldal. Vegyük észre, hogy az összetett Poisson–folyamat filtrációja jobbról folytonos, 1.138. állítás, 97. oldal, így az állítás alkalmazható. 187 Tetsz˝ oleges


93

2 Foglaljuk össze az Ap legfontosabb tulajdonságait. Érdemes megjegyezni, hogy az alább többször szerepl˝o Z t HdA ∈ Aloc , A ∈ Aloc 0

feltétel teljesüléséhez elegend˝o megkövetelni, hogy a H lokálisan korlátos legyen. 1. Ha A ∈ Aloc és az A el˝orejelezhet˝o, akkor192 Ap = A. 2. Ha A ∈ Aloc , akkor az A pontosan akkor lokális martingál, ha Ap = 0. p

p

3. (A + B) = Ap + B p , (cA) = cAp . 4. Ha A ∈ A, akkor Ap ∈ A és A − Ap ∈ M. p

p

Ap = (A+ ) − (A− ) . A Doob—Meyer–dekompozíció alapján a konstrukció miatt p (A± ) ∈ A+ . p

τ

5. Ha A ∈ Aloc és τ megállási id˝o, akkor (Aτ ) = (Ap ) . τ

τ

A−Ap ∈ L, tehát (A − Ap ) = Aτ −(Ap ) ∈ L. El˝orejelezhet˝o folyamat megállítása p p τ is el˝orejelezhet˝o193 , így az (Aτ ) egyértelm˝usége miatt (Aτ ) = (Ap ) . 6. Ha A ∈ Aloc , akkor ∆ (Ap ) = A ∆ (Ap ) $ Ap −

Ap−

p

(∆A) .

(1.47)

el˝orejelezhet˝o, ezért194 p

(∆ (Ap )) = ∆ (Ap ) .

A lokális martingálokra vonatkozó p (∆L) = 0 szabály, illetve a p (∆L) el˝orejelezhet˝o vetület végessége miatt teljesül˝o linearitás miatt195 0

=

p

=

p

(∆ (A − Ap )) =

p

(∆A − ∆ (Ap )) =

p

(∆A) −

p

(∆ (Ap )) =

p

(∆A) − ∆ (A ) ,

ami éppen az (1.47). Rt 7. Ha H el˝orejelezhet˝o, A ∈ Aloc és 0 HdA ∈ Aloc , akkor Z t p Z t HdA = HdAp . 0

(1.48)

0

Az el˝orejelezhet˝o kompenzátor definíció szerint eleme az Aloc térnek, tehát a megadott feltételek mellett Z t

HdAp ∈ Aloc .

0 192 0

∈ L. 193 V.ö.: 1.43. állítás, 30. oldal. 194 V.ö.: 1.115. állítás, 77. oldal. 195 V.ö.: 1.119. következmény, 82. oldal.


94

Legyen B R− C az A felbontása196 . Az el˝ojeles mérték szerinti integrál definíciója t + p alapján197 0 H + dB ∈ A+ orejelezhet˝o és ha H + = loc . Az B ∈ Aloc integrátor el˝ χ ([0, τ ]) , akkor az Z t τ H + dB p = B p (τ ∧ t) − B p (0) = B p (τ ∧ t) = (B p ) (t) 0

integrálfolyamat is el˝orejelezhet˝o. A χ ([0, τ ]) alakú folyamatok olyan π-rendszert alkotnak, amely által generált σ-algebra éppen az el˝orejelezhet˝ o halmazok P családja. Rt Az olyan korlátos H folyamatok halmaza amelyre az 0 HdB p el˝orejelezhet˝o triviálisan λ-rendszer. A Meyer–tétel alapján minden H korlátos el˝orejelezhet˝o folyamat Rt esetén az 0 HdB p el˝orejelezhet˝o. A monoton konvergencia tétel miatt minden H + Rt el˝orejelezhet˝o, nem negatív folyamatra az 0 H + dB p el˝orejelezhet˝o. Az el˝orejelezheRt t˝o kompenzátort definiáló harmadik tulajdonság198 miatt ha 0 H + dB ∈ A+ loc , akkor Rt + p + H dB ∈ Aloc . Tetsz˝oleges G nem negatív, el˝orejelezhet˝o folyamatra az (1.46) 0 felhasználásával Z ∞ Z t Z ∞ + + M Gd H B = M GH dB = 0 0 Z0 ∞ + p = M GH dB = 0 Z ∞ Z t + p = M Gd H dB . 0

következésképpen Z

t

H + dB

p

0

t

Z

H + dB p .

= 0

0

Az általános eset az el˝ojeles mérték szerinti integrál definíciója és az imént belátott additivitás miatt evidens199 . Rt Rt 8. Ha H el˝orejelezhet˝o, A ∈ Aloc és 0 HdA ∈ Aloc , akkor az 0 Hd (A − Ap ) lokális martingál. Valóban, Z

t

p Hd (A − Ap )

Z

t

0

p

Hd (A − Ap ) =

= 0

Z

t

p

Hd (Ap − (Ap ) ) =

= 0

Z =

t

Hd0 = 0. 0

196 V.ö.:

1.58. következmény, 44. oldal. Rt 0 HdA ∈ Aloc . 198 V.ö.: 1.131. tétel, 90. oldal, (1.46) sor. R 199 Megjegyezzük, hogy az állítás alapján, ha a H és az A ∈ A orejelezhet˝o és 0t HdA ∈ Aloc , loc el˝ Rt akkor az 0 HdA folyamat is el˝orejelezhet˝o. Speciálisan, ha A ∈ Aloc , H lokálisan korlátos és az A, R valamint a H el˝orejelezhet˝o, akkor az 0t HdA integrálfolyamat is el˝orejelezhet˝o. 197 Ugyanis


9. Ha H el˝orejelezhet˝o, V ∈ V ∩ L és martingál200 .

Rt 0

HdV ∈ Aloc , akkor az

95

Rt 0

HdV lokális

A feltétel miatt201 V ∈ Aloc . A már belátott 7. tulajdonság és a V ∈ L-b˝ol következ˝o V p = 0 felhasználásával p Z t Z t Z t HdV = HdV p = Hd0 = 0, 0

tehát a 2. tulajdonság szerint

0

Rt 0

0

HdV ∈ L. 2

1.135 Példa. Nem el˝orejelezhet˝o integrandus esetén lokális martingál szerinti sztochasztikus integrál nem feltétlenül lokális martingál. A sztochasztikus integrálás elméletében a sztochasztikus integrálok fontos tulajdonsága, hogy amennyiben az integrátor lokális martingál, az integrandus el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, akkor az integrálfolyamat lokális martingál. Ez az el˝orejelezhet˝o kompenzátor 9. tulajdonsága miatt a korlátos változású folyamatok szerinti trajektóriánként vett integrálokra teljesül. Hangsúlyozni kell, hogy ha az integrandus nem el˝orejelezhet˝o, akkor az integrálfolyamat nem lesz feltétlenül martingál202 . Legyen L kompenzált Poisson–folyamat, τ legyen a folyamat els˝o ugrásának id˝opontja, és H $ χ (t < τ ) . A H trajektóriái jobbról folytonosak, és rendelkeznek bal oldali határértékkel. Az Z t HdL = −t ∧ τ 0

folyamat nem lehet lokális martingál, ugyanis a trajektóriái folytonosak és monoton csökken˝oek, következésképpen a folyamat el˝orejelezhet˝o, és korlátos változású, tehát Fisk–tétele miatt csak a konstans esetben lehetne lokális martingál, ami lehetetlen ugyanis a τ exponenciális eloszlású. 2

1.5.3. Egyszeru˝ pontfolyamatok el˝orejelezhet˝o kompenzátora Minden elmélet megértése szempontjából igen hasznosak a konkrét példák. Az el˝orejelezhet˝o kompenzátor definíciója igen absztrakt, az alpont célja, hogy konkretizálja a fogalmat. A legszemléletesebb, bár nem feltétlenül a legegyszer˝ubb sztochasztikus folyamatok az úgynevezett egyszer˝u pontfolyamatok203 . 1.136 Definíció. Legyen F filtráció, (τ n )n megállási id˝ok olyan sorozata amelyre 200 V.ö.:

1.135. példa, 95. oldal. 1.94. állítás, 66. oldal. 202 Intuitíve, ha a véletlen elleni játékban nem el˝ ore kell dönteni, akkor szisztematikus nyereményhez lehet jutni. 203 Minden „fancy” tulajdonsága ellenére a legegyszer˝ ubb és legelegánsabb sztochasztikus folyamat a Wiener–folyamat. 201 V.ö.:


96

1. τ 0 = 0, 2. τ n (ω) < τ n+1 (ω) , ha τ n (ω) < ∞, 3. τ n ≤ τ n+1 . A (τ n )n sorozatot egyszer˝u pontfolyamatnak fogjuk nevezni204 . Ha a szövegkörnyezetb˝ol világos, hogy milyen pontfolyamatról van szó, akkor az egyszer˝u jelz˝ot elhagyjuk. A (τ n )n sorozat ekvivalens az N (t) $

∞ X

χ (τ n ≤ t)

n=1

számláló folyamat vizsgálatával, amely véges a [0, τ ∞ ) véletlen szakaszon, ahol értelemszer˝uen τ ∞ $ limn τ n . Az N trajektóriái monoton növeked˝oek, így rendelkeznek jobb és bal oldali határértékekkel. A második, illetve a harmadik feltétel miatt az N jobbról folytonos205 . Az N F-adaptált, ugyanis mivel a τ n függvények F-megállási id˝ok, ezért tetsz˝oleges a ≥ 0 számra {N (t) ≤ a} = τ [a]+1 > t ∈ Ft . Az F filtrációra valójában nincsen szükség. A pontfolyamat konstruálásához elegend˝o megadni a definícióban megadott tulajdonsággal rendelkez˝o (τ n )n változók sorozatát. A (τ n )n segítségével definiálhatjuk az N számlálófolyamatot, majd tekinthetjük az N által generált F N filtrációt. 1.137 Definíció. A (τ n )n pontfolyamathoz tartozó N, F N párt a (τ n )n minimális reprezentációjának mondjuk. Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés, miszerint a minimális reprezentációra való áttérés nem módosítja-e a modell tulajdonságait. Természetesen a válasz igen, az új és a régi modell nem ekvivalens. A filtráció sz˝ukítése csökkentheti a modellben megadható megállási szabályok számát, így a minimális reprezentációval megadott modell esetleg szegényebb az eredetinél. Ha az ω és az ω 0 kimenetelekhez tartozó N (ω) és N (ω 0 ) tra N N jektóriák egybeesnek, akkor az F∞ $ σ Ft , t ≥ 0 σ-algebra minden olyan eleme, amely tartalmazza az ω kimenetelt tartalmazza az ω 0 kimenetelt is. Ennek megfelel˝oen N az N (ω) = N (ω 0 ) egyenl˝oség által definiált ekvivalenciaosztály elemei az Ω, F∞ N mérhet˝o tér atomjai. Ha az F∞ valamelyik így kapott atomja nem atomja az eredeti Ft σ-algebrák valamelyikének, akkor van olyan A ∈ Ft , amelyre ω ∈ A, de ω 0 ∈ / A, így a t ha ω ∈ A τ (ω) $ ∞ ha ω ∈ /A 204 Megjegyezzük, hogy az egyszer˝ u pontfolyamat definíciójához nem szükséges, hogy a téren valamilyen valószín˝uség értelmezve legyen. Ha ilyen van, akkor a definiáló relációk teljesülését majdnem mindenhol értelemben követeljük meg. Ennek jelent˝osége a kanonikus modell tárgyalása során lesz világos. 205 Az N nem valós, hanem kiterjesztett valós szám érték˝ u folyamat.


97

az eredeti F filtráció olyan megállási szabálya, amely nem megállási szabály az F N filtráció szerint. Hangsúlyozni kell azonban, hogy a filtráció explicit megadását két, tulajdonképpen különböz˝o ok teszi szükségessé. Egyrészt modellezési szempontok miatt a filtráció rögzíti a modellben szerepl˝o küls˝o véletlen folyamat által definiált mérhet˝oségi struktúrát, másrészt a filtrációt esetleg technikai okokból kell kib˝ovíteni, ugyanis az alapfolyamat által generált filtráció „technikai okból” esetleg nem fog jól viselkedni, például nem lesz jobbról folytonos, így a folyamat matematikai vizsgálata túlságosan nehéz lenne. Ez utóbbira tipikus példa a Wiener–folyamatok kib˝ovített filtrációja. Ha a Wiener–folyamatokat a folyamat által generált filtráció mellett vizsgáljuk, akkor a filtráció nem lesz jobbról folytonos, amib˝ol számos olyan technikai bonyodalom származhatna, ami célszer˝u elkerülni. Éppen a kib˝ovítés teszi a Wiener–folyamatot vizsgálhatóvá. Ha a modell relevanciája a minimális reprezentációra való áttéréskor csökken, vagyis az új filtráció mellett a modellben vizsgálandó kérdések valamelyike nem vethet˝o fel, akkor a minimális reprezentációra nem lehet áttérni. A pontfolyamatokkal azonban olyan jelenségeket kívánunk modellezni, ahol az egyedüli információ az egyes események bekövetkezése, tehát a filtrációt csak akkor b˝ovítjük ki, ha az technikailag szükséges. A jobbról folytonosság biztosításához, a modell egyszer˝u szerkezete miatt, most nincs szükség, ugyanis érvényes a következ˝o: 1.138 Állítás. Ha az X folyamat trajektóriái jobbról regulárisak, valamint tetsz˝oleges t id˝opontra az X (t, ω) trajektória egy ω-tól és t-t˝ol függ˝o pozitív hosszúságú szakaszon konstans, akkor az X által generált F X filtráció jobbról folytonos. Bizonyítás: Könnyen belátható, hogy tetsz˝oleges ξ γ γ∈Γ változócsalád által generált −1 ∞ σ-algebratetsz˝oleges C halmaza el˝oállítható Ψ (B) módon, ahol B ∈ B (R ) , és Ψ (ω) $ ξ γ k (ω)

k

, ahol a (γ k )k indexek száma legfeljebb megszámlálható206 . Az

X (ω) trajektória minden ω-ra jobbról folytonos, pozitív hosszúságú szakaszon konstans, ezért van olyan, elég nagy n-re nem üres An ⊆ Ω, hogy ha ω ∈ An , akkor az X (ω) trajektória a t id˝opont utáni [t, t + 1/n] hosszú szakaszon konstans X (t, ω) . Ha most C ∈ Ft+ , akkor minden n-re C ∈ Ft+1/n , és a generált σ-algebrák említett tulajdonságai alapján a C Ψ−1 (B) alakú, ahol Ψ (ω) $ (X (t1 , ω) , . . . , X (tk , ω) , . . .) ,

B ∈ B (R∞ ) ,

tk ≤ t +

1 . n

(n)

Ha a tk helyébe a tk $ min (tk , t) id˝opontot tesszük, és tekintjük az így kapott analóg X 207 Cn $ Ψ−1 n (B) ∈ Ft halmazt, akkor Cn ∆C ⊆ Acn ,

(1.49)

Q ilyen alakú C halmazok mindegyike a B (R∞ ) = ∞ n=1 B (R) definíciója szerint triviálisan eleme a generált σ-algebrának, csak azt kell igazolni, hogy az így kapott halmazok σ-algebrát alkotnak. 207 ∆ most a halmazokra vonatkozó szimmetrikus differencia. Mivel a jelek száma, különösen a könnyen leírható és megjegyezhet˝o jelek száma véges, ezért gyakran el˝ofordul, hogy ugyanaz a jel a szövegkörnyezett˝ol függ˝oen mást és mást jelent. A ∆ általában a folyamat ugrása, id˝onként a számegyenesen lev˝o partíció... 206 Az

98


(n) hiszen az An halmazon a (tk )k -hoz és a tk -hez tartozó Ψ és Ψn leképezések k megegyeznek. X C∞ $ lim sup Cn $ ∩n ∪∞ m=n Cm ∈ Ft , n→∞

Acn & ∅, következésképpen az (1.49) miatt, C = C∞ ∈ FtX , tehát az F X filtráció jobbról folytonos. 2 1.139 Következmény. Pontfolyamathoz rendelt N számláló folyamat által generált F N filtráció jobbról folytonos. Miként megjegyeztük, a folyamatokat id˝onként célszer˝u kanonikus modellben vizsgálni. 1.140 Definíció. Pontfolyamatok esetén a kanonikus modell a következ˝o: 1. Az Ω az R+ félegyenesen értelmezett, olyan szakaszonként konstans, jobbról folytonos, monoton növeked˝o függvények halmaza, amelyek a t = 0 pontban nulla értéket vesznek fel és amelyek ugrásainak nagysága mindig egy. 2. Az F filtrációt, illetve az A mérhet˝oségi struktúrát az Ω elemei által generált σalgebrákkal definiáljuk, vagyis Ft az ω 7→ ω (s) , s ≤ t alakú függvények által generált σ-algebra208 , A $ F∞ $ σ (Ft , t ≥ 0) . A kanonikus modellre való áttérés nem teljesen problémamentes, ugyanis az új Ω bevezetésével a trajektóriák köre és a filtráció b˝ovül. Ugyanakkor a kanonikus modellre való áttérés el˝onye, hogy az Ω tér teljes lesz a megállításra nézve, így használni tudjuk a megállított σ-algebrák struktúráját leíró tételt209 . Az Ω elemei jobbról folytonosak, ezért minden n-re a τ n $ inf {t : ω (t) = n} = inf {t : ω (t) ∈ (n − 1, n + 1)} megállási id˝o210 , így tetsz˝oleges P valószín˝uségi mérték esetén211 a (τ n )n pontfolyamat. Természetesen a (τ n )n pontfolyamat nem azonos az eredetivel. A filtráció b˝ovítése nem feltétlenül megengedett m˝uvelet, ugyanis a modell gazdagabb lehet a 208 Természetesen az Ω függvények halmaza, az ω (s) az ω ∈ Ω függvény értéke az s id˝ opontban. Tetsz˝oleges Ω halmazon ha adott függvények egy olyan halmaza, amelyek egy (B, B) mérhet˝o térb˝ol veszik fel az értéküket, akkor az Ω halmazon beszélhetünk a legsz˝ukebb σ-algebráról amelyre nézve az összes függvény mérhet˝o. Az s ≤ t kitétel miatt az F $ (Ft )t filtráció az Ω-án. 209 V.ö.: 1.39. állítás, 26. oldal. 210 V.ö.: [20] 9.112. példa, 371. oldal, 3. pont. 211 Az elmondottakból nem tudjuk, hogy milyen valószín˝ uségi mértékek definiálhatók a kanonikus struktúrán.


99

vizsgálandó jelenségnél, esetlegesen új megállási szabályok keletkezhetnek, így a modellben nem releváns kérdéseket is lehet behatóan elemezni212 . Ebb˝ol következ˝oen a kanonikus modellben levont következtetések automatikusan nem érvényesek a pontfolyamatokra is. A kanonikus pontfolyamat minimális reprezentációjú pontfolyamat, de nem megfordítva. Az F filtráció nem teljesíti a szokásos feltételeket, ugyanis bár jobbról folytonos, de nem tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat213 . 1.141 Állítás. (Megállási id˝ok reprezentálása) Ha a τ kanonikus reprezentációban megadott egyszer˝u pontfolyamat megállási ideje214 , akkor megadhatók (ϕn )n esetlegesen végtelen értéket is felvev˝o Borel–mérhet˝o függvények, ahol a ϕn n-változós, a ϕ0 konstans, hogy τ

=

ϕ0 χ (τ < τ 1 ) +

∞ X

χ (τ n ≤ τ < τ n+1 ) ϕn (τ 0 , . . . , τ n ) $

n=1

$

∞ X

χ (τ n ≤ τ < τ n+1 ) ϕn (τ 0 , . . . , τ n ) .

n=0

Ha τ < ∞, akkor a (ϕn )n függvények választhatók végesnek. Bizonyítás: A τ Fτ -mérhet˝o, tehát a generált σ-algebra szerkezete215 miatt alkalmas ϕ : R∞ → R Borel–mérhet˝o függvényre τ

= =

ϕ (N (τ ∧ t1 ) , N (τ ∧ t2 ) , . . . , N (τ ∧ tk ) , . . .) = ∞ X χ (τ n−1 ≤ τ < τ n ) ϕ (N (τ ∧ tk ) , k ∈ N) . n=1

A {τ n ≤ τ < τ n+1 } halmazon N (τ ∧ tk ) = N (τ n ∧ tk ) =

n X

χ (τ l ≤ tk ) ,

l=1

amib˝ol az el˝oállítás már evidens. 2 1.142 Következmény. Az állításban szerepl˝o el˝oállítás minden pontfolyamat minimális reprezentációjában érvényes. 212 A fizika klasszikus modelljében néhány másodperc alatt el lehet jutni a galaxis másik oldalára, így a modellben számos olyan jelenség tanulmányozható amire a modellezett fizikai tér nem képe. V.ö.: Ferengi filozófia, Romulán–Klingon háborúk, Deep Space 9, stb. Hasonló problémák lépnek fel a közgazdaságtani vizsgálatok egy része során. A kutatások olyan modellek keretében zajlanak, amelyek számos szempontból gazdagabbak a valóságnál. V.ö.: általános egyensúlyelmélet, magekvivalencia tételek, stb. 213 Ez problémát okozhat, ugyanis bár minden gyenge megállási id˝ o megállási id˝o, de a logikai martingálok nem feltétlenül martingálok, nem alkalmazható a Doob—Meyer–tétel, stb. 214 Vagyis τ az 1.140, definícióban szerepl˝ o modell megállási ideje. 215 V.ö.: 1.39. állítás, 26. oldal. Vegyük észre, hogy a kanonikus modell triviálisan teljes a megállításra nézve.

100


N Bizonyítás: A minimális reprezentációban az F∞ atomjai szerinti ekvivalenciaosztá N lyokat tekintve az Ω, F∞ beágyazható a kanonikus modellbe216 . Triviálisan a miN nimális reprezentáció minden megállási ideje konstans az F∞ minden atomján, így a minimális reprezentáció minden megállási ideje a beágyazás után is megállási id˝o lesz. Vegyük észre, hogy a kanonikus reprezentációban a beágyazott minimális reprezentációhoz képest a kimenetelek száma csak b˝ovülhet. A régi, minimális modell minden megállási ideje megállási szabály a kanonikus modellben is, feltéve, ha az új kimeneteleken az értékét végtelennek definiáljuk, ugyanis a {τ ≤ t} alakú halmazok nem változnak és az eredeti filtráció szerint mérhet˝o halmazok részei az új filtrációnak. Az így kapott beágyazásra az állítás már alkalmazható. 2

1.143 Példa. Egyetlen ugrást tartalmazó pontfolyamat. A pontfolyamatok között, különösen ellenpéldák konstruálásakor, fontos szerepet játszanak az olyan folyamatok, amelyek valamely esemény bekövetkezésének σ ≥ 0 véletlen id˝opontját adják meg. Ezek a folyamatok tekinthet˝ok olyan pontfolyamatnak, ahol τ 1 $ σ és τ k $ ∞, ha k ≥ 2. Ilyenkor N (t, ω) $ χ (σ (ω) ≤ t). A minimális reprezentációval rendelkez˝o pontfolyamatok megállási idejének reprezentálása alapján ha a τ ≥ 0 megállási id˝o, akkor a τ konstans a {τ < σ} halmazon ugyanis τ = ϕ0 χ (τ < σ) + χ (σ ≤ τ < ∞) ϕ1 (σ) .

(1.50)

Ezt közvetlenül is217 igazolhatjuk. Tetsz˝oleges t id˝opontra az Ft a {σ ≤ s} , s ≤ t halmazok által generált σ-algebra, amely nem más mint a σ ∧t által generált σ-algebra, így az Ft minden halmaza U ∪ V alakú, ahol U ∈ σ −1 (B ([0, t])) és a V vagy a {σ > t} , vagy ∅. Tekintsük a τ megállási id˝ot. A megállási id˝o definíciója szerint {τ ≤ t} ∈ Ft , vagyis a {τ ≤ t} U ∪ V alakú. Ha V = ∅, akkor {τ ≤ t} ⊆ {σ ≤ t} ,

(1.51)

ha V = {σ > t} , akkor c

{σ ≤ t} = {σ > t} ⊆ {τ ≤ t} ,

(1.52)

vagyis az (1.50) és (1.50) sorok közül mindig pontosan az egyik teljesül. Tekintsük a H $ {t : (1.52) teljesül} halmazt. Ha H = ∅, akkor minden t-re az alternatív (1.51) teljesül, vagyis minden ω-ra ha t $ τ (ω) , akkor σ (ω) ≤ t $ τ (ω) , így a {τ < σ} halmaz üres, következésképpen nincs mit bizonyítani. Feltehetjük tehát, hogy H 6= ∅. A H triviálisan félegyenes, 216 A

valószín˝uségszámítási irodalomban id˝onként meg szokás különböztetni a kimenetelt és az elemi eseményt. Az elemi események az eseménytér atomjai. A beágyazás során a két tér elemi eseményei azonosak lesznek. 217 Tehát a kanonikus reprezentációra, illetve a megállított σ-algebrák reprezentálására vonatkozó állításra való hivatkozás nélkül.


101

ugyanis ha t ∈ H és s > t, akkor s ∈ H. Legyen s a H infimuma. Megmutatjuk, hogy a {τ < σ} halmazon τ = s. Az s < τ (ω) < σ (ω) lehetetlen, ugyanis az infimum definíciója miatt minden ε > 0 esetén s + ε ∈ H, vagyis {s + ε < σ} ⊆ {τ ≤ s + ε} ,

ε > 0,

ami az ε $ (τ (ω) − s) /2 > 0 esetben nem teljesül. Ha τ (ω) < s, akkor τ (ω) ∈ / H, vagyis ha t $ τ (ω) , akkor az (1.51) sor teljesül, tehát σ (ω) ≤ t $ τ (ω) , ami a {τ < σ} halmazon triviálisan nem teljesülhet. Ebb˝ol következ˝oen a {τ < σ} halmazon τ = s. Megjegyezzük, hogy a fordított irány nem igaz. Abból, hogy a {τ < σ} halmazon a τ konstans, még nem következik, hogy a τ megállási id˝o. Ha például Ω = R+ , σ (ω) $ ω, és   ω ha 0 ≤ ω ≤ 1 0 ha 1 < ω ≤ 2 τ (ω) $  ω ha ω≥2 akkor a {τ < σ} halmazon a τ konstans, de egyszer˝uen belátható, hogy a τ nem megállási id˝o a σ-által generált filtrációra. 2 A pontfolyamatokhoz rendelt N számláló folyamatok monoton növeked˝oek. Az N τ n N korlátos, így ha τ n % ∞, akkor triviálisan N ∈ A+ filtráció jobbról folyloc . Az F tonos, de nem teljesülnek a szokásos feltételek, következésképpen az N -re nem tudjuk a Doob—Meyer–felbontást alkalmazni, így nem tudjuk garantálni, hogy az N -nek van N kompenzátora. Ha az Ω, F∞ mérhet˝o teret a P valószín˝uség szerint teljessé tesszük és a nullmérték˝u halmazokat hozzáadjuk az FtN σ-algebrákhoz, akkor teljesülni fognak a szokásos feltételek, így a folyamatnak az új kib˝ovített térben lesz kompenzátora. Mi történik a megállási id˝okkel? 1.144 Állítás. A kib˝ovített tér tetsz˝oleges τ megállási ideje felbontható τ = τ 0 + τ 00 módon, ahol τ 0 az eredeti F N megállási ideje, a τ 00 pedig majdnem mindenhol nulla218 . m.m.

Bizonyítás: Valóban minden t-re van olyan At ∈ FtN , amelyre {τ < t} = At . Ha τ 0 (ω) $ inf {r ∈ Q : ω ∈ Ar } , akkor {τ 0 < t} = ∪s∈Q,s
{τ < t} = ∪s∈Q,s
így a τ = τ 0 . 2 218 A

τ 00 -r˝ol

nem tudjuk, hogy nem negatív, így a

τ 00

nem biztos, hogy megállási id˝o.


102

1.145 Példa. Egyszer˝u pontfolyamat el˝orejelezhet˝o kompenzátora. Legyen N számlálófolyamat, és tegyük fel, hogy a folyamatot a minimális reprezentációban vizsgáljuk219 . Legyen F1 (t) $ P (τ 1 ≤ t) ,

Fk (t) $ P (τ k ≤ t | τ 1 , . . . ., τ k−1 ) ,

(1.53)

az ugrások feltételes eloszlása. A feltételes eloszlásokról feltesszük, hogy regulárisak. Ha Z t∧τ k dFk (u) Ak (t) $ , (1.54) 1 − Fk (u−) 0 akkor Np =

X

Ai $ B,

(1.55)

i

aminek igazolásához elegend˝o belátni, hogy a B el˝orejelezhet˝o, és az N τ k − B τ k egyenletesen integrálható martingál. A bizonyítás bemutatása el˝ott érdemes megvizsgálni a formula interpretációját. Az Fk -hoz tartozó mérték a (τ k−1 , ∞] szakaszra koncentrálódik, ugyanis a τ k biztosan nagyobb mint a τ k−1 , ezért a [0, τ k−1 ] véletlen szakasz Fk feltételes valószín˝usége nulla. Az integrálban szerepl˝o dFk (u) 1 − Fk (u−) kifejezés informálisan annak a valószín˝usége, hogy a k-adik ugrás az u id˝opont végtelenül kicsi környezetében következik be, feltéve, hogy az u id˝opont el˝ott az ugrás még nem következett be. Ha az Fk eloszlásfüggvénye folytonos220 , akkor Z 0

t∧τ k

dFk (u) = − ln (1 − Fk (t ∧ τ k )) . 1 − Fk (u−)

Ha az N folyamat minden ugrását mint egységnyi kifizetést interpretáljuk221 , akkor a B olyan el˝orejelezhet˝o kifizetésfolyam, amely a véletlen folyamatot „korrektté” teszi. Az (1.54) a k − 1-edik és a k-adik ugrás közötti id˝oszak folyamán kifizetett kompenzáció. Az egyes ugrások id˝opontjában a következ˝o ugrás feltételezett valószín˝usége, így az elvárható kompenzáció is, megváltozik222 . Az Ai kompenzációt csak a (τ i−1 , τ i ] szakaszon kell fizetni. 1. El˝oször belátjuk, hogy az N τ k − B τ k egyenletesen integrálható martingál. Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges θ megállási id˝o esetén M (N (θ ∧ τ k )) = M (B (θ ∧ τ k )) .

(1.56)

219 Pontosabban a minimális reprezentáció filtrációját kib˝ ovítjük a nullmérték˝u halmazokkal. Az így kapott sztochasztikus alaptér teljesíti a szokásos feltételeket. 220 V.ö.: 1.146. példa, 106. oldal. 221 Gondoljunk például egymást követ˝ o balesetek számára. Az N a kifizetett kártérítések összege. 222 Az egyes már bekövetkezett balesetek közötti id˝ oszakok hosszából következtethetünk a következ˝o baleset bekövetkezésének eloszlására.


103

A kanonikus reprezentációhoz tartozó megállási id˝ok reprezentációját felhasználva m.m.

θ =

∞ X

χ (τ k−1 ≤ θ < τ k ) ϕk−1 (τ 0 , . . . , τ k−1 ) .

k=1

Az el˝oállítás alapján megadhatóak olyan θs $ θs (τ 1 , . . . , τ s ) s-változós Borel–mérhet˝o függvények, illetve valószín˝uségi változók, hogy a {θ < τ k } halmazon θ ∧ τ k = θk−1 ∧ τ k . Az Fk -hoz tartozó mérték a (τ k−1 , ∞] szakaszra koncentrálódik, így M (B (θ ∧ τ n ))

= = =

∞ X k=1 n X k=1 n X

M (Ak (θ ∧ τ n )) =

n X

M (Ak (θ ∧ τ k )) =

k=1

M (Ak (θk−1 ∧ τ k )) = M (M (Ak (θk−1 ∧ τ k ) | τ 1 , τ 2 , . . . , τ k−1 )) .

k=1

Számoljuk ki a bels˝o feltételes várható értéket. Az Ak definícióját behelyettesítve a feltételes várható érték ! Z θk−1 ∧τ k dFk (u) I$M | τ 1 , . . . , τ k−1 . 1 − Fk (u−) 0 A feltételes eloszlások szerinti feltételes várható értéket paraméteres integrálként felírva Z ∞ Z θk−1 ∧s dFk (u) I = dFk (s) = 1 − Fk (u−) 0 0 Z θk−1 Z s Z ∞ Z θk−1 ∧s dFk (u) dFk (u) = dFk (s) + dFk (s) . 1 − F (u−) 1 − Fk (u−) k 0 0 θ k−1 0 Ha s > θk−1 , akkor a második tagban a bels˝o integrál változatlan, vagyis a második tag értéke Z θk−1 dFk (u) . (1 − Fk (θk−1 )) 1 − Fk (u−) 0 Az els˝o tagban szerepl˝o integrált parciálisan átalakítva és felhasználva , hogy Fk (0) = 0, ha k ≥ 1 Z θk−1 Z θk−1 dFk (u) Fk (u−) Fk (θk−1 ) − dFk (u) . 1 − F (u−) 1 − Fk (u−) k 0 0


104

Átrendezve Z (Fk (θk−1 ) − 1) 0

θ k−1

dFk (u) + Fk (θk−1 ) . 1 − Fk (u−)

A két integrált összeadva Z

θ k−1 ∧τ k

M 0

dFk (u) | τ 1 , . . . , τ k−1 1 − Fk (u−)

! = Fk (θk−1 ) ,

amib˝ol M (B (θ ∧ τ n )) =

∞ X

Fk (θk−1 ) .

k=1

Másrészr˝ol a τ 0 = 0 és az N (0) = 0 felhasználásával M (N (θ ∧ τ n ))

= =

n X i=1 n X

[M (N (θ ∧ τ i ) − N (θ ∧ τ i−1 ))] = [M (N (θi−1 ∧ τ i ) − N (θi−1 ∧ τ i−1 ))] =

i=1

= M (χ (τ 1 ≤ θ0 )) +

n X

M (χ (τ i ≤ θi−1 )) =

i=2

=

n X

Fi (θi−1 ) ,

i=1

következésképpen teljesül az (1.56). 2. Vegyük észre, hogy ebb˝ol még nem következik, hogy a megállított folyamat egyenletesen integrálható martingál, ugyanis a két oldal lehet egyszerre végtelen. |N τ n (t) − B τ n (t)| ≤ N τ n (t) + B τ n (t) ≤ n + B τ n (t) . Az elmondottak miatt azonban M (B τ n (t)) = M (B (τ n ∧ t)) ≤ M (B (τ n )) = M (N (τ n )) = n,

(1.57)

következésképpen a megállított folyamat valóban egyenletesen integrálható. 3. Be kell még látni, hogy a B el˝orejelezhet˝o. Megmutatjuk, hogy természetes223 . Legyen M nem negatív korlátos martingál. Az F1 valódi, nem feltételes eloszlás, ezért 223 A természetes és el˝ orejelezhet˝o folyamatok ekvivalenciája csak a szokásos feltételek teljesülésekor igaz. Ha a kompenzátor definíciójában az el˝orejelezhet˝oség helyett a természetességet követeljük meg, akkor nincs szükség a szokásos feltételekre.


105

a nem negativitás miatt használható a Fubini–tétel, így Z t Z t χ (u ≤ τ 1 ) M dA1 = M M M (u) dF1 (u) = 0 1 − F1 (u−) 0 Z t χ (u ≤ τ 1 ) = M M (u) dF1 (u) = 1 − F1 (u−) 0 Z t χ (u ≤ τ 1 ) = M M M (u) | Fu− dF1 (u) = 1 − F1 (u−) 0 Z t χ (u ≤ τ 1 ) M M (M (u) | Fu− ) dF1 (u) = = 1 − F1 (u−) 0 Z t χ (u ≤ τ 1 ) = M M− (u) dF1 (u) = 1 − F1 (u−) 0 Z t = M M− dA1 . 0

Az i > 1 eset bonyolultabb ugyanis az Fi (u) $ P (τ i ≤ u | τ 1 , . . . , τ i−1 ) feltételes valószín˝uség esetén a Fubini–tétel nem használható. Az Fi (u) feltételes eloszlás minden u-ra Fτ i−1 mérhet˝o, amit felhasználva megmutatjuk, hogy Z M

t

M dAi

t

Z =

M

0

0

Z

t

= M 0

χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) dFi (u) = 1 − Fi (u−)

(1.58) !

M χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) | Fτ i−1 dFi (u) . 1 − Fi (u−)

Valóban, ha (uk )k a [0, t] felosztása, akkor a χ (τ i−1 < uk ≤ τ i )

M (uk ) M (u) → χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) . 1 − Fi (uk−1 −) 1 − Fi (u−)

A közelít˝o függvények integráljára a teljes várható érték tétel miatt érvényes az (1.58) formula. Az (1.57) miatt az (1.58) várható érték véges, tehát a majorált konvergencia tételével az egyenl˝oség átvihet˝o a határértékre is224 . Megmutatjuk, hogy minden u-ra az integrál mögötti feltételes várható értékbe beszúrható az Fu− feltételi σ-algebra. Ez megtehet˝o, ha adott u-ra az Fτ i−1 szerinti feltételes várható érték ekvivalens a σ Fτ i−1 ∧u−1/n , n = 1, 2, . . . ⊆ Fu− szerinti feltételes várható értékkel. ξ $ M χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) | Fτ i−1 . 224 Kihasználtuk, hogy az M korlátos, illetve, hogy az 1/ (1 − F ) kifejezést a közelít˝ o pontok megválasztása miatt alulról közelítjük.


106

Az Fτ i−1 szerkezete miatt a σ-algebrát nullmérték˝u halmaztól eltekintve az N (τ i−1 ∧ s) alakú változók generálják225 , következésképpen, ha F $ {N (τ i−1 ∧ s) ≤ λ} , akkor Z Z ξdP = χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) dP = F ZF = χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) dP = F ∩{τ i−1
F ∩{τ i−1 ≤u−1/n}

XZ

=

k

χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u) dP,

{N (τ i−1 ≤s∧(u−1/n))≤λ}

ami éppen az igazolni kívánt összefüggés. Az Fu− szerint σ-algebrát közbeszúrva és felhasználva, hogy a χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) Fu− mérhet˝o ! Z t Z t M χ (τ i−1 < u ≤ τ i ) M (u−) | Fτ i−1 dFi (u) . M M dAi = M 1 − Fi (u−) 0 0 Ezt követ˝oen az (1.58) sorhoz vezet˝o megfontolásokat visszafelé végrehajtva éppen a kívánt egyenl˝oséghez jutunk. A természetességb˝ol következik az el˝orejelezhet˝oség, amivel az (1.55) formula igazolását befejeztük. 2 1.146 Példa. Egyetlen ugrást tartalmazó folyamat. Tegyük fel, hogy a folyamat egyetlen a τ véletlen id˝opontban létrejött ugrásból áll. Tegyük fel továbbá, hogy az ugrás idejének F eloszlása folytonos. N p (t) $

Z 0

t∧τ

dF (u) = − ln (1 − F (t ∧ τ )) , 1 − F (u)

ugyanis lényegében a Newton—Leibniz–formula bizonyítását megismételve és felhasználva, hogy az F folytonos, így teljesül rá a Bolzano–tétel

=

ln (1 − F (u)) = ln (1 − F (u)) − ln 1 = X [ln (1 − F (uk )) − ln (1 − F (uk−1 ))] $ k

$

X

[ln yk − ln yk−1 ] $

k

=

−

θ−1 k [yk − yk−1 ] $

k

X k

225 Vö.:

X

1 [F (uk ) − F (uk−1 )] → − 1 − F (υ k )

kanonikus modell tulajdonságai, 1.39. állítás, 26. oldal.

Z 0

t

dF (u) . 1 − F (u)


107

Speciálisan, ha a τ λ = 1 paraméter˝u exponenciális eloszlású változó, akkor N p (t) = t ∧ τ . Ha a τ a (0, τ ] szakaszon egyenletes eloszlású, akkor N p (t) = log (1 − τ ∧ t) . Tetsz˝oleges folytonos F esetén N p (∞) = N p (τ ) = − log (1 − F (τ )) . A τ eloszlásfüggvénye F, így az F (τ ) egyenletes eloszlású, következésképpen az N p (∞) exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel. 2 1.147 Példa. Empirikus folyamatok kompenzátora. n

Legyen (ξ k )k=1 közös, független F folytonos eloszlással rendelkez˝o pozitív valószín˝uségi változókból álló sorozat. Ha i 6= j és ∆ jelöli az R2+ szorzattérben az átlót, akkor a változók függetlensége és az eloszlások folytonossága miatt P ξi = ξj = P így az Nn $

n X

ξ i , ξ j ∈ ∆ = (F × F ) (∆) = 0,

χ (ξ i ≤ t) folyamat tekinthet˝o elemi számlálófolyamatnak. Az

i=1 n

En (t) $

1X 1 χ (ξ i ≤ t) $ Nn n i=1 n

n

folyamatot a (ξ k )k=1 empirikus folyamatának szokás nevezni. Az Nn kompenzátora az összeg kompenzátorára vonatkozó képlet alapján Nnp (t)

n X

n Z X

ξ i ∧t

dF (s) = 1 − F (s−) i=1 i=1 0 Z t n Z t X dF (s) dF (s) = 1 − χ (ξ i ≤ s) = . n − Nn (s) 1 − F (s) 1 − F (s) 0 0 i=1 =

p

(χ (ξ i ≤ t)) =

2 1.148 Példa. Poisson–folyamat el˝orejelezhet˝o kompenzátora. Legyen π (t) λ paraméter˝u Poisson–folyamat. Mivel a π független és stacionárius növekmény˝u, ezért a π (t) − λt martingál, ugyanis ha t > s, akkor M (π (t) − λt | Fs )

= π (s) + M (π (t) − π (s) | Fs ) − λt = = π (s) + M (π (t) − π (s)) − λt = = π (s) + λ (t − s) − λt = π (s) − λs,


108

így az el˝orejelezhet˝o kompenzátor definíciója szerint π p (t) = λt. Más oldalról, az egyes ugrások közötti id˝o eloszlása λ paraméter˝u exponenciális eloszlású változó.

=

Z t∧τ t f (u) du dFi (u) = = 1 − F (u−) 1 − Fi (u) i 0 0 − ln (1 − Fi (t ∧ τ i )) = .

=

− ln (exp (−λ (max (0, t ∧ τ i − τ i−1 )))) =

=

λ (max (0, t ∧ τ i − τ i−1 )) ,

Z

Ai (t)

=

t∧τ i

amib˝ol az el˝orejelezhet˝o kompenzátort az el˝oz˝o példa alapján, természetesen jóval körülményesebben számolva π p (t) = λ (t ∧ τ 1 ) + λ (max (0, t ∧ τ 2 − τ 1 )) + . . . = λt. A következ˝o állítás jobb megvilágítása céljából hangsúlyozzuk, hogy λt = M (N (t)) . 2 1.149 Definíció. Az N egyszer˝u számlálófolyamatot általánosított Poisson–folyamatnak mondjuk, ha 1. minden t-re az M (N (t)) véges, és 2. minden t > s esetén az N (t) − N (s) növekmény független az Fs σ-algebrától. 1.150 Állítás. Az N egyszer˝u számlálófolyamat N p kompenzátora pontosan akkor determinisztikus a [0, σ ∞ ) , σ ∞ $ inf {t : N p (t) = ∞} , szakaszon, ha az N általánosított Poisson–folyamat. Ilyenkor N p (t) = M (N (t)) .

(1.59)

Bizonyítás: Ha N általánosított Poisson–folyamat, akkor M (N (t) − N (s) | Fs ) = M (N (t) − N (s)) = M (N (t)) − M (N (s)) , és így az N (t) − M (N (t)) triviálisan martingál és ugyancsak triviálisan teljesül az (1.59). A fordított irány igazolásához emlékeztetünk rá, hogy a ξ változó pontosan akkor független az F σ-algebrától, ha a ϕF (t) $ M (exp (itξ) | F) feltételes Fourier–transzformáció determinisztikus226 . Az N folyamatnak megszámlál226 V.ö.:

[20], 9.25. példa, 307. oldal.


109

ható sok ugrása van, az ugrások nagysága egy, így exp (itN (u)) − exp (itN (v)) = X = [exp (itN (s)) − exp (itN (s−))] =

(1.60)

v<s≤u

X

=

[exp (it (N (s−) + 1)) − exp (itN (s−))] =

v<s≤u

X

=

(exp (it) − 1) · exp (itN (s−)) · 1 =

v<s≤u

=

(exp (it) − 1)

X

exp (itN (s−)) [N (s) − N (s−)]

v<s≤u Z u

=

(exp (it) − 1)

exp (itN (s−)) dN (s) = v u

Z =

exp (itN (s−)) d (N − N p ) (s) +

(exp (it) − 1) v

Z + (exp (it) − 1)

u

exp (itN (s−)) dN p (s) .

v

Az N − N p lokális martingál, az exp (itN− ) korlátos és el˝orejelezhet˝o, így az els˝o Z q I (q) $ exp (itN (s−)) d (N − N p ) (s) v

integrál lokális martingál227 . Ugyanakkor ha q ≤ u Z u Z u |I (q)| ≤ 1dN (s) + 1dN p (s) = 0

0

= N (u) + N p (u) . Az N p (u) determinisztikus, és u < σ ∞ , ezért228 M (N (u)) = M (N p (u)) = N p (u) < ∞, tehát az I (q) rendelkezik integrálható majoránssal, következésképpen martingál: Z u M exp (itN (s−)) d (N − N p ) (s) | Fv = I (v) = 0. v

Vezessük be a V (u) $ M (exp (itN (u)) | Fv ) függvényt. A majorált konvergencia tétel szerint V (u−) $ M (exp (itN (u−)) | Fv ) . 227 V.ö.: 228 Ez

sága.

el˝orejelezhet˝o kompenzátor 8. tulajdonsága, 94. oldal. a független növekmény feltétele mellett az általánosított Poisson–folyamat másik definiáló tulajdon-


110

A bizonyítás elején felírt (1.60) felbontás Fv szerinti feltételes várható értéket véve, kihasználva, hogy az N p determinisztikus, így használható a Fubini–tétel, vagyis ha F ∈ Fv , akkor Z u exp (itN (s−)) dN p (s) = M χF v Z u = M (χF exp (itN (s−))) dN p (s) = Zv u M (χF M (exp (itN (s−)) | Fν )) dN p (s) = = v Z u p M (exp (itN (s−)) | Fν ) dN (s) . = M χF v

Ugyancsak a Fubini–tétel miatt az integrál Fν -mérhet˝o, következésképpen Z u Z u M exp (itN (s−)) dN p (s) | Fν = M (exp (itN (s−)) | Fν ) , v

v

vagyis a kimenetelenkénti integrálás felcserélhet˝o a feltételes várható értékkel229 u

Z

V (s−) dN p (s) .

V (u) = V (v) + exp (it − 1) v

A két oldalt V (u)-val végigosztva, és bevezetve a U (u) $

V (u) = M (exp (it (N (u) − N (v))) | Fv ) V (v)

függvényt az Z U (u) = 1 + (exp (it) − 1)

u

U (s−) dN p

(1.61)

v

úgynevezett Doléans–egyenlethez jutunk230 . Megmutatjuk, hogy adott, determinisztikus N p -re az egyenletnek egyetlen korlátos megoldása van, következésképpen az U is determinisztikus. Ha az egyenletnek két megoldása lenne, akkor a két megoldást egymásból kivonva, az egyenlet linearitását kihasználva a Z Z (u) = c

u

Z (s−) dN p (s)

v

integrálegyenlethez jutunk, ahol a Z függvény korlátos. Az állítás a következ˝o, önmagában is fontos lemma alapján már evidens. 2 229 A szokásos módon is igazolható. El˝ oször intervallumok karakterisztikus függvényére, aztán lépcs˝os függvényekre, majd tetsz˝oleges nem negatív függvényre. 230 V.ö.: (3.31) sor, 261. oldal.


111

1.151 Lemma. Ha V jobbról reguláris, korlátos változású függvény, akkor az Z f (h) = f (s−) dV (s) (0,h]

egyenletnek az egyedüli jobbról reguláris megoldása az f ≡ 0. Bizonyítás: Legyen σ $ inf {t : f (t) 6= 0} . Triviálisan a [0, σ) szakaszon f = 0, így a feltétel szerint f (σ) = 0. Ha σ < ∞, akkor a V jobbról való folytonossága miatt van olyan τ > σ, hogy Var (V (τ )) − Var (V (σ)) ≤ 1/2. Ha τ ≥ t > σ, akkor Z t Z t 1 sup |f (t)| , f (t) = f (σ) + f− dV = f− dV ≤ 2 σ≤t≤τ σ σ így sup |f (t)| ≤ t≤τ

1 sup |f (t)| . 2 t≤τ

Az f -re feltétel szerint az f minden véges szakaszon korlátos, így az f nulla a [0, τ ] szakaszon is, ami ellentmond a σ definíciójának. 2 1.152 Definíció. Az N egyszer˝u számlálófolyamatot kiterjesztett Poisson–folyamatnak mondjuk, ha a folyamat független növekmény˝u és minden t-re az N (t) Poisson–eloszlású. 1.153 Következmény. Ha az N számlálófolyamat N p el˝orejelezhet˝o kompenzátora folytonos, determinisztikus függvény, akkor minden u < σ ∞ $ inf {s : N p (s) = ∞} id˝opontban az N (u) λ $ N p (u) paraméter˝u Poisson–eloszlású változó, vagyis a [0, σ ∞ ) intervallumon az N kiterjesztett Poisson–folyamat. Bizonyítás: Emlékeztetünk, hogy a λ paraméter˝u exponenciális eloszlás karakterisztikus függvénye exp (λ (exp (it) − 1)) . A feltétel szerint az N p folytonos, így az állítás az (1.61) sor és a következ˝o önmagában is érdekes észrevétel alapján már evidens. 2 1.154 Lemma. Ha az x korlátos változású, folytonos függvény, akkor az Z u y (u) = y (0) + y (u−) dx (s) 0

Doléans–egyenlet megoldása y (u) = exp (x (u)) .


112

Bizonyítás: Ha az x folytonos, akkor az y is folytonos, tehát Z u y (u) = y (0) + y (u) dx (s) 0

és az integrál Stieltjes–integrál, így a közelít˝o összegek határértéke. Az egyenlet egyetlen megoldással rendelkezik231 , tehát elég megmutatni, hogy a megadott formula megoldása azegyenletnek. A középérték-tétel, illetve a Bolzano–tétel szerint a [0, u] tet (n)

sz˝oleges tk

n

felbontása esetén

y (u) − y (0)

=

i X h (n) (n) y tk − y tk−1 = k

i Xh (n) (n) exp x tk − exp x tk−1 = = k

=

X

i h (n) (n) (n) − x tk−1 , x tk exp x τ k

k (n) τk

h

(n) (n) tk−1 , tk

i

. Ha a felbontás finomsága az n növekedésével nullához tart, ahol ∈ akkor jobb oldali kifejezés határértéke, Z u Z u exp (x (s)) dx (s) $ y (s) dx (s) . 0

0

2

1.6. Lokális martingálok f˝otétele A szemimartingálok fogalma a Lévy–folyamatok általánosítása. A Lévy—Hincsin– formula indoklásakor láttuk, hogy minden Lévy–folyamat három részre bontható: trendre, folytonos és ugró részre. Szemimartingálok esetén hasonló felbontás végezhet˝o el. A trend leválasztását megadó tétel lokális martingálok esetén a következ˝o: 1.155 Tétel. (Lokális martingálok f˝otétele) Legyen a > 0. Tetsz˝oleges L lokális martingál felbontható232 L = L (0) + L0 + L00 ,

L0 , L00 ∈ L,

módon, ahol L0 ∈ Aloc és az L00 ugrásai nem nagyobbak mint a, vagyis |∆L00 | ≤ a. A 2 felbontásban szerepl˝o L00 lokálisan korlátos, speciálisan L00 ∈ Hloc . Bizonyítás: Az egyszer˝ubb jelölés céljából tegyük fel, hogy L (0) = 0. 1. Tegyük fel, hogy az állítást egyenletesen integrálható martingálokra már igazoltuk. Legyen (τ n )n az L lokalizációs sorozata233 . Az egyszer˝ubb jelölés kedvéért τ 0 $ 231 V.ö.:

1.151. lemma, 111. oldal. felbontás nem egyértelm˝u. 233 A felbontás nem egyértelm˝ u, így a lokalizáció után kapott egyenletesen integrálható martingálok a lokalizációs szakaszokon nem feltétlenül esnek egybe. A bizonyítás körülményességének ez az oka. A lokalizált martingált úgy bontjuk fel, hogy az el˝oz˝o felbontás „kiterjesztése” legyen. 232 A

1.6. LOKÁLIS MARTINGÁLOK FTÉTELE

113

0. Tekintsük a Cn $ Lτ n − Lτ n−1 egyenletesen integrálható martingálokat. A Cn folyamat a [0, τ n−1 ] szakaszon nulla. Legyen Un és Vn a Cn olyan felbontása, ahol τ Un , Vn ∈ Mloc , Vn ∈ Aloc és a Vn ugrásaira |∆Vn | ≤ a2−(n+1) . Az Un − Un n−1 τ n−1 és Vn − Vn folyamatok olyan lokális martingálok, amelyek a [0, τ n−1 ] szakaszon nullák, |∆ (Vn − Vnτ n )| ≤ 2 |∆Vn | ≤ a2−n . (Un − Unτ n−1 ) + (Vn − Vnτ n−1 )

=

(Un + Vn ) − (Unτ n−1 + Vnτ n−1 ) =

= Cn − Cnτ n−−1 = Cn , következésképpen feltehet˝o, hogy az Un és a Vn a Cn olyan felbontása, amelyre az Un és a Vn a [0, τ n−1 ] szakaszon nulla. L00 $ L000 $ V0 $ U0 $ 0 és indukcióval L0n $ L0n−1 + Un

és L00n $ L00n−1 + Vn .

Triviálisan minden n-re L0n , L00n ∈ Mloc , L0n ∈ Aloc és X X |∆L00n | ≤ |∆Vk | ≤ a 2−k = a k

k

továbbá L0n + L00n

$ =

n X k=1 n X k=1

Uk + Ck =

n X k=1 n X

Vk =

n X

(Uk + Vk ) =

k=1

(Lτ k − Lτ k−1 ) = Lτ n − L (0) = Lτ n .

k=1

Az eljárást folytatva az L felbontása triviálisan megkonstruálható. 2. Legyen L ∈ M és b $ a/2. A martingálok trajektóriáira definíció szerint tett feltételek miatt az L trajektóriáknak nincsenek másodfajú szakadásai, tehát a b-nél nagyobb abszolút érték˝u, az úgynevezett „nagy ugrások” száma minden véges szakaszon véges, tehát értelmezhet˝o az L b-nél nagyobb ugrásaiból álló A folyamat. Az A trajektóriái evidens módon korlátos változásúak. Ha a t 6= 0 pontban lev˝o esetleges ugrást hozzávesszük az A (t)-hez, akkor az A jobbról folytonos, rendelkezik bal oldali határértékkel és adaptált, vagyis A ∈ V. Vezessük be a τ n $ inf {t : Var (A) (t) > n} ∧ inf {t : |L (t)| > n} megállási id˝ot. Var (A) (τ n ) ≤ n + |∆L (τ n )| ≤ ≤ n + |L (τ n )| + |L (τ n −)| ≤ ≤ 2n + |L (τ n )| . Az L egyenletes integrálhatósága miatt az L (τ n ) integrálható, vagyis a Var (A) (τ n ) is integrálható, következésképpen A ∈ Aloc .


114

3. Tekintsük az A folyamat Ap kompenzátorát, és vezessük be az L0 $ A − Ap és az L00 $ L − L0 folyamatokat. Az Ap definíciója szerint az L0 , következésképpen az L00 is, lokális martingál. Ap ∈ Aloc , így az L0 trajektóriái korlátos változásúak. Meg kell mutatni, hogy az L00 ugrásai nem nagyobbak a-nál. Ha B az L b-nél nem nagyobb vagyis a „kis ugrásokból” álló folyamat, akkor ∆A = ∆L−B. Számoljuk ki a p (∆L − B) el˝orejelezhet˝o vetületet. Az L ∈ M feltétel miatt tetsz˝oleges τ megállási id˝ore az L (τ ) változó integrálható, a B folyamat korlátos, így a B (τ ) is integrálható, következésképpen a két folyamat el˝orejelezhet˝o vetülete véges, így az el˝orejelezhet˝o vetület ilyenkor teljesül˝o lineárisa miatt p

(∆L − B) =

p

(∆L) − p B.

Az el˝orejelezhet˝o kompenzátor hatodik tulajdonsága234 szerint ∆ (Ap ) = p (∆A). Felhasználva a lokális martingálok ugrásaira vonatkozó p (∆L) = 0 szabályt235 ∆ (Ap ) =

p

(∆A) =

p

(∆L − B) =

p

(∆L) − p B = − p B.

Ugyanakkor ∆L00

$

∆L − ∆L0 $ ∆L − ∆ (A − Ap ) =

=

∆L − ∆A + ∆ (Ap ) = B − p B.

|B| ≤ b, triviálisan236 |p B| ≤ b, ahol az egyenl˝otlenség majdnem minden kimenetelre minden id˝opontban teljesül. Következésképpen |∆L00 | ≤ 2b $ a. 4. Az ugrások korlátossága miatt, ha σ n $ inf {t : |L00 (t)| ≥ n} , akkor |L00 (σ n )| ≤ |L00 (σ n −)| + |∆L00 (σ n )| ≤ n + a, vagyis az L00 lokálisan korlátos. 2 A tétel elnevezésének indoka az integrálelmélet tárgyalásakor lesz világos. Miként látni fogjuk, a sztochasztikus integrál viszonylag egyszer˝uen megkonstruálható, ha az 2 vagy a V térben van. Az alaptétel segítségével az integrált akkor integrátor vagy a Hloc is definiálni tudjuk, ha az integrátor lokális martingál, illetve ha szemimartingál. A konstrukcióban a legnagyobb gondot az fogja jelenteni, hogy mivel az alaptételben a felbontás nem egyértelm˝u ezért az integrál definíciója sem egyértelm˝u. Ez szükségessé fogja tenni az integrandusok korlátozását. Éppen ez, az integrandusokra bevezetett korlátozás miatt van szükség az el˝orejelezhet˝o folyamatokra, ugyanis az el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamatok körében lehet az integrált egyértelm˝uen definiálni. 1.156 Következmény. Tetsz˝oleges L ∈ L lokális martingál rendelkezik H1 -lokalizációval. 234 V.ö.:

93. oldal. továbbá 1.119. következmény, 82. oldal. 236 Az el˝ orejelezhet˝o vetület monoton operáció. 235 V.ö.

1.7. TISZTÁN NEM FOLYTONOS LOKÁLIS MARTINGÁLOK

115

2 Bizonyítás: Az alaptétel szerint az L felbontható L0 + L00 módon, ahol L00 ⊆ Hloc ⊆ 1 1 Hloc . Az állítás következik az Aloc ∩ L ⊆ Hloc triviális tartalmazásból. 2

1.157 Példa. Lévy–folyamatok ugró részének felbontása. Ha X nulla várható érték˝u Lévy–folyamat, akkor az X martingál. Ha ε > 0, akkor az ε-nál nagyobb abszolút érték˝u, úgymond nagy ugrásokból álló folyamat összetett Poisson–folyamat, így korlátos változású. Ha az ugrások eloszlása szimmetrikus, akkor az összetett Poisson–folyamat szintén martingál. A kis ugrásokból álló rész eleme a H2 térnek, így a felbontás, amely természetesen függ az ε-tól nem egyértelm˝u. 2

1.7. Tisztán nem folytonos lokális martingálok A lokális martingálok trajektóriái jobbról regulárisak, vagyis a folyamat trajektóriáinak nincsenek másodfajú szakadásai. Ennek megfelel˝oen értelmes, és nyilván érdemes is, a folyamat ugrásairól beszélni. Ha szétválasztjuk a trajektóriák ugrásait, illetve folytonos részét, sajnos a két folyamat külön-külön nem lesz lokális martingál. Például ha X kompenzált Poisson–folyamat, akkor az X martingál, de az ugrásaiból álló ∆X folyamat triviálisan nem lehet lokális martingál, ugyanis mivel |∆X| ≤ 1 korlátos, ezért csak akkor lehet lokális martingál, ha egyenletesen integrálható martingál, de ∆X (0)P = 0 és ha τ az X els˝o ugrásának helye, akkor ∆X (τ ) = 1. Vegyük észre, hogy a ∆X monoton n˝o így szintén nem lehet lokális martingál. Milyen értelemben beszélhetünk a lokális martingálok folytonos és ugró részér˝ol? A pontban leírtak jobb megértése céljából vázlatosan tekintsük át a felbontást biztosító eljárást. Els˝o lépésként az L lokális martingálról a lokális martingálok f˝otételével leválasztjuk a nagy ugrásokat. Az így kapott L = L (0) + H + A felbontásban az A korlátos változású lokális martingál. Folytonos lokális martingál, a triviális konstans esett˝ol eltekintve, nem lehet korlátos változású, így az A folyamat a nem folytonos részhez fog tartozni. 2 A H ∈ Hloc folyamatot lokalizáljuk. A Doob–egyenl˝otlenség miatt a H2 térben a folytonos martingálok Hc2 halmaza zárt altér. A Hd2 módon jelölt kiegészít˝o altér elemeit szintén a nem folytonos komponens részének célszer˝u tekinteni. A H2 Hilbert–tér 2 egyértelm˝uen felírható Hc2 + Hd2 módon, tehát a lokalizációval a Hloc is egyértelm˝uen felbontható folytonos és nem folytonos részre. A H2 Hilbert–térben a skaláris szorzatot az (M, N ) $ M (M (∞) N (∞)) definiálja. Tegyük fel, hogy az N ∈ H2 az összes folytonos folyamatra ortogonális. A megállási opciókról szóló tétel miatt tetsz˝oleges τ megállási id˝ore M (M (τ ) N (τ ))

= M (M (M (τ ) N (τ ) | Fτ )) = = M (M (τ ) M (N (τ ) | Fτ )) = = M (M (τ ) M (N (∞) | Fτ )) = = M (M (τ ) N (∞)) = M (M τ (∞) N (∞)) .

116


Ha az M folytonos, akkor az M τ is folytonos, tehát a feltételezett ortogonalitás miatt minden τ megállási id˝ore M (M (τ ) N (τ )) = 0. Az M N adaptált folyamat várható értéke minden megállási id˝o mentén konstans, következésképpen az M N egyenletesen integrálható martingál237 . Ez indokolja a következ˝o definíciókat: 1.158 Definíció. Az M és N lokális martingálokat mer˝olegesnek mondjuk, ha az M N szorzat lokális martingál. 1.159 Definíció. Az L lokális martingált tisztán nem folytonosnak mondjuk, ha L ∈ L és az L minden folytonos lokális martingálra mer˝oleges238 . Tetsz˝oleges vektortérben a mer˝olegesség szokásos matematikai koncepciójába beletartozik, hogy csak a nulla vektor lehet mer˝oleges önmagára. Lokális martingálok esetén is majdnem ez a helyzet. 1.160 Állítás. Az L lokális martingál pontosan akkor mer˝oleges önmagára, ha az L (0) négyzetesen integrálható és megkülönböztethetetlenség erejéig az L konstans239 . Bizonyítás: Ha az L konstans, akkor az L2 is konstans. Vegyük észre, hogy lokalizációval a folyamat nulla id˝opontban felvett értékét nem tudjuk módosítani, ennek következtében a konstans folyamat csak akkor lokális martingál, ha az értékét megadó konstans integrálható, amely most az L2 (0)-re tett feltétel szerint teljesül. Megfordítva, ha az L mer˝oleges önmagára, akkor az L és az L2 is lokális martingál. Legyen (τ n )n a két folyamat közös lokalizációs sorozata. Ha az Lτ n minden n-re konstans, akkor az L is konstans, ezért feltehetjük, hogy azL és az L2 egyenletesen integrálható martingálok. Speciálisan minden t-re M L2 (0) = M L2 (t) . Ha L (t) 6= L (0) = M (L (t) | F0 ) , akkor a szigorúan konvex függvényekre vonatkozó Jensen–egyenl˝otlenség240 szerint pozitív mérték˝u halmazon 2 L2 (0) = (M (L (t) | F0 )) < M L2 (t) | F0 , amib˝ol a két oldalon várható értéket véve M L2 (0) < M L2 (t) , ami lehetetlen. 2 237 V.ö.:

[20], 9.125. állítás, 381. oldal. észre, hogy ha az L tisztán nem folytonos lokális martingál, akkor definíció szerint L (0) = 0. Az elnevezés némiképpen félrevezet˝o. Egy tisztán nem folytonos folyamat trajektóriái lehetnek szakaszonként folytonosak. V.ö.: 1.164. példa, 119. oldal. A tisztán nem folytonos és a tiszta ugrófolyamat nem azonos fogalmak! 239 Az id˝ o szerint konstans, vagyis minden id˝opontban ugyanaz a valószín˝uségi változó, vagyis minden t id˝opontra L (t) = L (0) . 240 V.ö.: [20] 238 Vegyük


117

1.161 Következmény. Ha L folytonos tisztán nem folytonos lokális martingál, akkor L = 0. Bizonyítás: A feltétel szerint az L mer˝oleges önmagára, tehát az L konstans és definíció szerint L (0) = 0. 2

1.7.1. Korlátos változású lokális martingálok tisztán nem folytonosak A vázlatos ismertetésnek megfelel˝oen els˝o lépésként megmutatjuk, hogy a korlátos változású lokális martingálok tisztán nem folytonosak. 1.162 Tétel. (Általánosított Fisk–tétel) Ha L ∈ V ∩ L, akkor az L tisztán nem folytonos241 . Bizonyítás: Az L ∈ V ∩ L feltételb˝ol következ˝oen242 L ∈ Aloc . Legyen N folytonos lokális martingál. Az N folytonos, tehát el˝orejelezhet˝o, következésképpen az el˝oreRt jelezhet˝o kompenzátor kilencedik tulajdonsága243 miatt az 0 N dL lokális martingál. Megmutatjuk, hogy az Z t

LN −

N dL 0

szintén lokális martingál, amib˝ol az LN triviálisan lokális martingál, tehát az L mer˝oleges az N -re, következésképpen az L, definíció szerint, tisztán nem folytonos. Az N folytonos, tehát lokálisan korlátos. Legyen (τ n )n az L és az N közös lokalizációs sorozata. A trajektóriánként vett integrál definíciója alapján τ n Z t Z t = Lτ n N τ n − N τ n dLτ n , LN − N dL 0

0

ezért feltehet˝o, hogy az N korlátos és L ∈ A. Az N korlátossága és az L ∈ A miatt Z ∞ M |N | dVar (L) < ∞. (1.62) 0

A martingáltulajdonság teljesüléséhez a várható érték megmaradásáról szóló tétel miatt244 elegend˝o megmutatni, hogy minden τ megállási id˝ore Z τ M ((LN ) (τ )) = M N dL . (1.63) 0

Az egyenl˝oség teljesülésekor az (1.62) miatt a két oldal véges, így átrendezhet˝ o. Mivel Rt az egyenl˝oség minden τ megállási id˝ore teljesül, ezért az LN − 0 N dL egyenletesen integrálható martingál. Mivel az (1.63) egy igen fontos egyenl˝oség, ezért önálló lemmaként is megfogalmazzuk. A lemma bizonyításával az állítást is igazolni fogjuk. 2 241 V.ö.:

3.28. példa, 243. oldal. 1.94. állítás, 66. oldal. 243 V.ö.: 95. oldal. 244 V.ö.: [20], 9.125. állítás, 381. oldal. 242 V.ö.:


118

1.163 Lemma. Ha V ∈ V, N el˝orejelezhet˝o, korlátos martingál és τ tetsz˝oleges megállási szabály, akkor Z τ N dV . (1.64) M ((V N ) (τ )) = M 0

Bizonyítás: V ∈ V, tehát a Jordan–dekompozíció miatt245 V = V + − V − . Az (1.64) egyenl˝oséget triviálisan elegend˝o külön a V + -ra és a V − -ra belátni, következésképpen feltehet˝o, hogy a V monoton n˝o. Legyen σ t $ inf {s : V (s) ≥ t} . A σ t megállási id˝o. A V jobbról való folytonossága miatt {(t, s) : σ t ≤ s} = {(t, s) : t ≤ V (s)} . Ha λ jelöli a Lebesgue–mértéket , akkor kimenetelenként okoskodva Z

∞

χ ((s, t]) dV

= V (t) − V (s) = λ ((V (s) , V (t)]) =

0

= λ {u : V (s) < u ≤ V (t)} = Z ∞ = λ {u : s < σ u ≤ t} = χ ((s, t]) (σ t ) dλ (t) . 0

Az egyenl˝oséget tetsz˝oleges F ∈ Fs halmaz χF karakterisztikus függvényével beszorozva azonnal látható, hogy az egyenl˝oség minden el˝orejelezhet˝o tégla karakterisztikus függvényére is teljesül. Az egyenl˝oségre alkalmazható a Meyer–tétel, vagyis minden X korlátos el˝orejelezhet˝o folyamatra Z

∞

Z

0

∞

X (σ t ) χ (σ t < ∞) dλ (t) .

X (s) dV (s) =

(1.65)

0

Az N korlátos, tehát egyenletesen integrálható , így a megállási opciókról szóló tétel, szerint M (N (τ ∨ σ t ) | Fσt ) = N (σ t ) .

(1.66)

Miként láttuk246 , {σ t ≤ τ } ∈ Fσt . A σ t Fσt -mérhet˝osége miatt a χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞) is Fσt -mérhet˝o. Az (1.66) egyenl˝oséget beszorozva, majd várható értéket véve M (N (σ t ) χ (σ t ≤ τ , σ t < ∞))

= M (N (τ ∨ σ t ) χ (σ t ≤ τ , σ t < ∞)) = = M (N (τ ) χ (σ t ≤ τ , σ t < ∞)) .

245 V.ö.: 1.58. következmény, 44. oldal. Az integrálok végességét nem kell feltenni, így el˝ ofordulhat, hogy a két oldal egyszerre nincs értelmezve. 246 V.ö.: 1.32. állítás, 22. oldal.


119

Ez, az (1.65) sor, illetve a Fubini–tétel többszöri felhasználásával247 Z ∞ M ((V N ) (τ )) = M N (τ ) χ ((0, τ ]) dV = 0 Z ∞ χ ([0, τ ]) dV = = M N (τ ) 0 Z ∞ = M N (τ ) χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞) dλ (t) = Z ∞ 0 N (τ ) χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞) dλ (t) = = M Z ∞ 0 M (N (τ ) χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞)) dλ (t) = = Z0 ∞ = M (N (σ t ) χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞)) dλ (t) = 0 Z ∞ = M N (σ t ) χ (σ t ≤ τ ) χ (σ t < ∞) dλ (t) $ Z0 ∞ $ M X (σ t ) χ (σ t < ∞) dλ (t) = Z0 ∞ = M X (s) dV (s) $ Z0 ∞ Z τ $ M N (s) χ (s ≤ τ ) dV (s) = M N dV , 0

0

és ez éppen az (1.64). 2 1.164 Példa. Ha A ∈ Aloc , akkor az A − Ap ∈ L tisztán nem folytonos.

1.7.2. H2 -martingálok ortogonális felbontása Megmutatjuk, hogy a mer˝olegesség fogalma lokalizálható. 1.165 Állítás. (Mer˝olegesség lokalizálása) Lokális martingálokra érvényesek a következ˝ok: 1. Ha τ és σ megállási id˝ok, valamint M és N mer˝oleges lokális martingálok, akkor az M τ és N σ megállított folyamatok is mer˝olegesek. 2. Az M lokális martingál pontosan akkor mer˝oleges az N lokális martingálra, ha az N -nek van olyan (τ n )n lokalizációs sorozata, hogy minden n-re az M és az N τ n mer˝olegesek. 247 Az

L (0) = 0, így a nulla id˝opont mértéke nulla.


120

Bizonyítás: Hangsúlyozzuk, hogy a mer˝olegességet a lokális martingálok körében és 2 nem például csak a Hloc család elemei között definiáltuk. Az összefüggések igazolása a következ˝o: 1. Elegend˝o belátni, hogy ha N és M mer˝olegesek, σ megállási id˝o, akkor az N σ és az M mer˝olegesek, ugyanis az állítást következ˝o lépésben alkalmazhatjuk az M és az N σ lokális martingálokra és a τ megállási id˝ore. Tekintsük az M, N és az N M közös (τ n )n lokalizációs sorozatát. Tetsz˝oleges ρ megállási id˝ore M ((N σ M ) σ

= M ((N M )

τn

(ρ)) =

τn

(ρ) (χ (σ < ρ) + χ (σ ≥ ρ))) =

(1.67)

= M ((N M )

τn

(ρ ∧ σ) χ (σ ≥ ρ)) + M ((N σ M )

= M ((N M )

τn

τn

(ρ ∧ σ)) +

(ρ) χ (σ < ρ)) =

+M (N τ n (σ) (M τ n (ρ) − M τ n (σ)) χ (σ < ρ)) . τ

A megállási opciókról szóló tétel szerint az (N M ) n egyenletes integrálhatóságát felhasználva τ τ M ((N M ) n (ρ ∧ σ)) = M ((N M ) n (0)) . A megállási opciókról szóló tétel következtében M (M τ n (ρ ∨ σ) | Fσ ) = M τ n (σ) . Az egyenl˝oséget a χ (σ < ρ) Fσ -mérhet˝o248 változóval beszorozva, majd a kiemelési szabály segítségével átrendezve M ((M τ n (ρ ∨ σ) − M τ n (σ)) χ (σ < ρ) | Fσ ) = 0. Vegyük észre, hogy a feltételes várható értéken belüli kifejezés (M τ n (ρ) − M τ n (σ)) χ (σ < ρ) . Felhasználva, hogy a megállított változó mérhet˝o a megállított σ-algebrára nézve a teljes várható érték tétele miatt az (1.67) második tagja M (N τ n (σ) M ((M τ n (ρ) − M τ n (σ)) χ (σ < ρ) | Fσ )) = 0, tehát tetsz˝oleges ρ megállási id˝ore M ((N σ M )

τn

(ρ)) = M ((M σ N )

τn

(0)) ,

τn

következésképpen249 az (N σ M ) egyenletesen integrálható martingál, vagyis N σ M lokális martingál, következésképpen az N σ és az M mer˝olegesek. 2. Csak azt kell belátni, hogy a feltétel elegend˝o. Legyen (τ n )n az N olyan lokalizációs sorozata, amelyre az M és az N τ n mer˝olegesek, vagyis amelyre (N M τ n ) ∈ Mloc . Az Mloc triviálisan stabil a megállításra nézve, így (N M ) 248 V.ö.: 249 V.ö.:

1.32. állítás, 22. oldal. [20], 9.125. állítás, 381. oldal.

τn

τn

= (N M τ n )

∈ Mloc ,


121

vagyis250 N M ∈ (Mloc )loc = Mloc , tehát az N mer˝oleges az M -re.

2

1.166 Következmény. 2 Az M ∈ Hloc folyamat pontosan akkor tisztán nem folytonos, ha az alábbi két állítás közül az egyik teljesül. 1. Az M minden folytonos H2 -martingálra mer˝oleges. 2. Az M minden korlátos, folytonos martingálra mer˝oleges. Bizonyítás: Ha L folytonos, adaptált folyamat, akkor a τ n $ inf {t : |L (t)| ≥ n} megállási id˝o, így minden folytonos lokális martingál lokálisan korlátos. 2 A H2 Hilbert–tér, ahol a skaláris szorzatot az (M, N ) $ M (M (∞) · N (∞)) kifejezés definiálja. A Hilbert–tér tulajdonság miatt a H2 elemei között két mer˝olegesség definiálható. Az egyszer˝uség kedvéért ebben az alpontban ha (M, N ) = 0, akkor az M és az N martingálokat ortogonálisnak, ha az M N lokális martingál, akkor az M és N martingálokat mer˝olegesnek fogjuk mondani. 1.167 Állítás. (Mer˝olegesség és ortogonalitás) Ha M, N ∈ H2 , akkor a következ˝o állítások ekvivalensek: 1. Az M és az N martingálok mer˝olegesek. 2. Tetsz˝oleges τ megállási id˝o esetén (M τ , N − N (0)) = 0, vagyis tetsz˝oleges τ megállási id˝o esetén az M τ és az N − N (0) ortogonálisak. Bizonyítás: Legyenek N és M elemei a H2 térnek. 1. Ha az M és az N mer˝olegesek, akkor az M τ és N is mer˝olegesek251 . Az M és az N négyzetesen integrálható, ezért M N (0) integrálható. Az N (0) F0 -mérhet˝o, következésképpen az M N (0) martingál, tehát az M és az N − N (0) is mer˝oleges. A két észrevételt kombinálva evidens, hogy az M τ és az N − N (0) mer˝olegesek. Ha (τ n )n az M τ (N − N (0)) lokalizációs sorozata, akkor a megállási opcióról szóló tétel miatt M (M τ (N − N (0)) (τ n ))

τn

= M ((M τ (N − N (0)))

(∞)) =

= M (M (0) (N (0) − N (0))) = 0. 250 V.ö.: 251 V.ö.:



122

A Doob–egyenl˝otlenség miatt, ha M ∈ H2 , akkor supt |M (t)| ∈ L2 , következésképpen |M N (t)| ≤ sup |M (t)| sup |N (t)| ∈ L1 , t

t

vagyis ha N, M ∈ H2 , akkor az N M rendelkezik integrálható majoránssal, így ha n → ∞, akkor alkalmazható a majoráns konvergencia tétele, tehát M (M τ (N − N (0)) (∞)) = lim M (M τ (N − N (0)) (τ n )) = 0, n→∞

vagyis az M τ és N − N (0) ortogonálisak. 2. Megfordítva, tegyük fel, hogy teljesül a második tulajdonság. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore a megállási opciókról szóló tétel alapján M (M (τ ) N (τ ))

= M (M (τ ) M (N (∞) | Fτ )) = =

M (M (M (τ ) N (∞) | Fτ )) =

=

M (M (τ ) N (∞)) =

=

M (M τ (∞) (N (∞) − N (0))) + M (M (τ ) N (0)) =

=

M (M (τ ) N (0)) = M (M (M (τ ) N (0) | F0 )) =

=

M (N (0) M (M (τ ) | F0 )) = M (N (0) M (0)) ,

tehát az M N martingál. 2 Ha Hc2 jelöli a H2 folytonos elemeit, akkor a Doob–egyenl˝otlenség miatt a Hc2 a H2 zárt altere. Nem túl meglep˝o módon érvényes a következ˝o: 1.168 Állítás. Ha Hd2 jelöli a H2 tisztán nem folytonos elemeit, akkor a Hd2 a Hc2 zárt altér ortogonális kiegészít˝oje. Bizonyítás: Legyen N ∈ Hd2 és M ∈ Hc2 . A tisztán nem folytonos martingálok definíciója alapján N (0) = 0. Ha az M és az N mer˝olegesek, akkor az el˝oz˝o állítás harmadik pontja alapján, τ = ∞ választással, az M és az N = N − N (0) ortogonális. Megfordítva, tegyük fel, hogy az N ∈ H2 ortogonális a Hc2 altérre. Legyen ξ ∈ L2 (Ω, F0 , P) tetsz˝oleges. Az M (t) $ ξ triviálisan folytonos martingál, tehát M (ξN (0))

=

M (M (∞) N (0)) = M (M (∞) M (N (∞) | F0 )) =

=

M (M (∞) N (∞)) = 0,

amib˝ol, felhasználva, hogy az N (0) F0 -mérhet˝o N (0) = 0. Ha M ∈ Hc2 , akkor tetsz˝oleges megállási id˝ore M τ ∈ Hc2 , tehát az M τ és az (N − N (0)) ortogonálisak, tehát az el˝oz˝o állítás szerint az M és az N mer˝olegesek, vagyis az N tisztán nem folytonos. 2


123

1.169 Következmény. Tetsz˝oleges M ∈ H2 egyértelm˝uen felbontható M = M (0) + M c + M d ,

M c ∈ Hc2 , M d ∈ Hd2

módon. 1.170 Példa. Lévy–folyamatok kompenzált ugrásai tisztán nem folytonosak. Ha az ugrás nagyságának van várható értéke, akkor a kompenzált összetett Poisson– folyamat tisztán nem folytonos252 . A Lévy–folyamatok tárgyalásakor láttuk, hogy a kompenzált ugró rész összetett kompenzált Poisson–folyamatok H2 -határértéke. A Hd2 altér zárt, ezért a kompenzált ugró rész szintén tisztán nem folytonos. A kompenzált ugró folyamatok trajektóriái nem feltétlenül korlátos változásúak. Az „igazi" tisztán nem folytonos folyamatra vonatkozó példát éppen az ilyen folyamatok, mint például a Cauchy–folyamat, szolgáltatják. 2

1.7.3. Lokális martingálok folytonos része Térjünk rá a pont f˝o állításának igazolására. 1.171 Tétel. (Lokális martingálok folytonos és tisztán nem folytonos része) Tetsz˝oleges lokális martingál megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝uen felbontható L = L (0) + Lc + Ld , Lc , Ld ∈ L módon, ahol az Lc folytonos, az Ld pedig tisztán nem folytonos. Bizonyítás: Ha Lci , Ldi , i = 1, 2 az L két felbontása, akkor Lc1 − Lc2 = Ld2 − Ld1 , ami csak akkor lehetséges, ha mind a két oldalon nulla áll253 , vagyis a felbontás egyértelm˝u. 1. Tekintsük a lokális martingálok f˝otételében szerepl˝o L = L (0)+L0 +L00 felbontást. 2 Miként megjegyeztük, L00 ∈ Hloc . Mivel L0 ∈ V, ezért az általánosított Fisk–tétel254 0 2 alapján az L tisztán nem folytonos. Feltehetjük tehát, hogy L ∈ Hloc . 2. Legyen (τ n )n az L lokalizációs sorozata, és legyen Lck és Ldk az Lτ k H2 térben való felbontása: τ k τ τ k Lτ k = Lck+1 + Ldk+1 = Lck+1 k + Ldk+1 . τ Az Lck+1 k folytonos H2 -martingál megállítása, tehát folytonos H2 -martingál. Mer˝oleges folyamatok megállítása is mer˝oleges255 . Az Ldk+1 minden folytonos lokális 252 V.ö.:

1.134. 1.161. 254 V.ö.: 1.162. 255 V.ö.: 1.165. 253 V.ö.:

példa, 92. oldal, 1.164. példa, 119. oldal. következmény, 117. oldal. következmény, 117. oldal. állítás, 119. oldal.


124

τ martingálra mer˝oleges, ezért az Ldk+1 k is minden folytonos lokális martingálra meτ r˝oleges, tehát az Ldk+1 k tisztán nem folytonos. Az ortogonális felbontás egyértelm˝usége miatt τ k τ Ldk+1 = Ldk , Lck+1 k = Lck . τ τ Ebb˝ol következ˝oen egyértelm˝uen definiálhatók az (Lc ) k $ Lck és az Ld k $ Ldk lokális martingálok. Az Lc triviálisan folytonos. 3. Megmutatjuk, hogy az Ld tisztán nem folytonos. Ehhez meg kell mutatni, hogy az Ld tetsz˝oleges U folytonos H2 martingálramer˝oleges256 . Ha (τ n )n az el˝oz˝o pontban τn szerepl˝o lokalizációs sorozat, akkor az Ld ∈ Hd2 ortogonális az U -ra, így mer˝oled ges is az U -ra, tehát az U és az L mer˝olegesek257 . 2

1.8. Szemimartingálok felbontása A sztochasztikus analízis alapvet˝o kategóriája a szemimartingálok S osztálya. Kés˝obb látni fogjuk, hogy az S osztály számos m˝uveletre nézve zárt258 . A lokális martingálok felbontásáról szóló tételek közvetlenül átvihet˝ok szemimartingálokra. 1.172 Tétel. (Szemimartingálok folytonos része) Ha S ∈ S, akkor létezik, mégpedig a megkülönböztethetetlenség erejéig egyetlen olyan Lc folytonos lokális martingál, amelyre az S (1.27) sorban szerepl˝o tetsz˝oleges S = S (0) + V + L felbontása esetén az L folytonos része Lc . A tétellel kapcsolatban nyomatékosan jelezni kell, hogy az Lc -t˝ol eltekintve a felbontás nem egyértelm˝u. Bizonyítás: Vegyük az S (0) + V1 + Lc1 + Ld1 = S (0) + V2 + Lc2 + Ld2 felbontásokat. Az egyenl˝oséget átrendezve Lc1 − Lc2 = V2 − V1 + Ld2 − Ld1 .

(1.68)

A V2 − V1 ∈ V ∩ L, tehát a V2 − V1 tisztán nem folytonos259 , tehát az (1.68) jobb oldala tisztán nem folytonos, a bal oldala folytonos, tehát Lc1 − Lc2 = 0. 2 1.173 Példa. Lévy–folyamatok felbontása. 256 V.ö.:

1.166. következmény , 121. oldal. 1.166. következmény , 121. oldal. 258 Az osztály legfontosabb tulajdonága, hogy amennyiben S ∈ S és a H folyamat el˝ orejelezhet˝o és lokáR lisan korlátos, akkor értelmezhet˝o az 0t HdS sztochasztikus integrál. A sztochasztikus integrál definiálása a sztochasztikus analízis legfontosabb eredménye és kiindulópontja. 259 V.ö.: 1.162. tétel, 117. oldal. 257 V.ö.:

1.8. SZEMIMARTINGÁLOK FELBONTÁSA

125

A Lévy–folyamatok folytonos részét a Wiener–folyamatok adják. Ugyanakkor az ugró részt több módon is felbonthatjuk, attól függ˝oen, hogy a kis és a nagy ugrásokat milyen módon választjuk szét. Ennek megfelel˝oen a Lévy—Hincsin–formulában a csonkoló függvény megválasztása esetleges. 2 Emlékeztetünk, hogy a szemimartingálokkal szemben a speciális szemimartingálok kanonikus módon felbonthatóak. 1.174 Tétel. (Speciális szemimartingálok karakterizálása) Legyen S szemimartingál. A következ˝o állítások ekvivalensek: 1. Az S speciális szemimartingál. 2. Van olyan S = S (0) + A + L felbontás, amelyre L ∈ L és A ∈ Aloc . 3. Minden S = S (0) + V + L, V ∈ V, L ∈ L felbontásra V ∈ Aloc . 4. Y (t) $ sups≤t |S (s) − S (0)| ∈ A+ loc . Bizonyítás: Az állítások ekvivalenciáját fordított sorrendben, hátulról visszafelé igazoljuk. 1. Tegyük fel, hogy teljesül az utolsó, negyedik feltétel, és legyen S = S (0) + V + L az S tetsz˝oleges felbontása. Legyenek L∗ (t) $ sup |L (s)| , s≤t

és (τ n )n az L lokalizációs sorozata, valamint σ n $ inf {t : |L (t)| ≥ n} ∧ τ n . A (σ n )n minden n-re megállási id˝o, σ n % ∞, és (L∗ )

σn

(∞)

= L∗ (σ n ) ≤ L∗ (σ n −) + |∆L∗ (σ n )| ≤ ≤ n + |L (σ n )| = n + |Lτ n (σ n )| ,

amely kifejezés az Lτ n ∈ M miatt integrálható, következésképpen L∗ ∈ A+ ol loc . Ebb˝ és a feltételb˝ol következ˝oen V ∗ (t) $ sup |V (s)| ∈ A+ loc . s≤t

A Var (V )− folyamat monoton n˝o és balról folytonos, ezért lokálisan korlátos260 , tehát Var (A)− ∈ A+ loc . A Var (V ) ≤ Var (V )− + ∆Var (V ) ≤ Var (V )− + 2V ∗ 260 V.ö.:

1.97. példa, 68. oldal.

126


becslés miatt Var (V ) ∈ A+ loc , vagyis teljesül a harmadik tulajdonság. 2. A harmadik tulajdonságból triviálisan következik a második. 3. Ha S = S (0) + A + L az S felbontása, és A ∈ Aloc , akkor létezik az Ap el˝orejelezhet˝o kompenzátor. Az A − Ap lokális martingál, tehát az S = S (0) + Ap + (A − Ap + L) felbontás miatt S ∈ Sp . 4. Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy S (0) = 0. Ha A∗ (t) $ sups≤t |A (s)| , akkor a triviálisan teljesül˝o A∗ ≤ Var (A) miatt Y ≤ A∗ + L∗ ≤ Var (A) + L∗ . Az els˝o pontban elmondottak miatt L∗ ∈ A+ o belátni, hogy ha A ∈ V loc , ezért elegend˝ el˝orejelezhet˝o, akkor Var (A) ∈ A+ , amihez elegend˝ o belátni, hogy a Var (A) lokáliloc san korlátos. Az A jobbról folytonos, ezért a Var (A) meghatározásakor az osztópontokat elegend˝o a diadikus törtek körében, vagyis megszámlálható halmazból, választani, következésképpen az A el˝orejelezhet˝osége esetén a Var (A) szintén el˝orejelezhet˝o. A Var (A) tehát jobbról folytonos és el˝orejelezhet˝o, következésképpen lokálisan korlátos261 . 2 1.175 Példa. Az X ∈ V pontosan akkor speciális szemimartingál, ha X ∈ Aloc , speciálisan az összetett Poisson–folyamat pontosan akkor speciális szemimartingál, ha az ugrások nagyságának várható értéke véges. Az állítás els˝o fele a második és a harmadik feltétel alapján evidens. Emlékeztetünk262 , hogy az összetett Poisson–folyamat pontosan akkor lokálisan integrálható, ha az ugrások várható nagysága véges. 2 1.176 Példa. Ha az S szemimartingál lokálisan korlátos, akkor az S speciális szemimartingál. Az el˝oz˝o állítás negyedik pontja alapján az összefüggés triviális. 2 1.177 Állítás. Legyen 1 < p ≤ ∞ és jelöle q a p konjugált párját. Ha az S szemimartingálra263 K $ ksupt>0 |∆S|kp < ∞, akkor az S speciális. Ha S = S (0) + A + L jelöli az S kanonikus felbontását, akkor 261 V.ö.:

1.99. állítás, 69. oldal. 1.134. példa, 92. oldal. C.18. példa, 417. oldal. 263 A t > 0 feltételre azért van szükség, mert (∆X) $ X (0) és az X (0) értéke nem befolyásolja az X 0 tulajdonságait. 262 V.ö.:

1.8. SZEMIMARTINGÁLOK FELBONTÁSA

1. ksupt |∆A|kp ≤

Kp p−1

$

127

K q ,

2. ksupt |∆L|kp ≤ K 2p−1 p−1 $ K

1 q

+1 .

Bizonyítás: Az egyszer˝uség kedvéért feltehetjük, hogy S (0) = 0. Ha σ n $ inf {t : |S (t)| ≥ n} , akkor az ugrásokra tett feltétel miatt |S σn | ≤ n + |∆S (σ n )| ≤ n + sup |∆S| ∈ Lp (Ω) ⊆ L1 (Ω) , t>0

vagyis a sups≤t |S (s)| lokálisan integrálható, így az el˝oz˝o állítás negyedik pontja alapján az S speciális szemimartingál. Az A el˝orejelezhet˝o, tehát a ∆A is el˝orejelezhet˝o. Az S ∗ $ supt |∆S| integrálható, így az M (t) $ M (S ∗ | Ft ) egyenletesen integrálható martingál. Triviálisan |∆S (t)| ≤ M (t) , így a p (|∆S|) létezik és p (|∆S|) ≤ M− . A p (∆L) = 0 szabály264 alapján |∆A| = =

|p (∆A)| = |p (∆S − ∆L)| = |p (∆S) − p

| (∆S)| ≤

p

t

p

(∆L)| =

(|∆S|) ≤ M− .

p > 1, így a Doob–egyenl˝otlenségb˝ol

sup |∆A (t)| ≤ sup |M (t)| ≤

t

p

p

p p kM (∞)kp = kS ∗ kp , p−1 p−1

amib˝ol

sup |∆L|

t

≤

sup |∆S| + sup |∆A| ≤

t

t

≤

p K+ K. p−1

p

p

p

2 1.178 Következmény. Ha az S szemimartingálra |∆S| ≤ a, akkor az S speciális szemimartingál és az S = S (0) + A + L kanonikus felbontásában |∆A| ≤ a, |∆L| ≤ 2a. Speciálisan, ha az S folytonos, akkor az S speciális szemimartingál és a felbontásában szerepl˝o A és L folyamatok folytonosak. Bizonyítás: Alkalmazzuk az el˝oz˝o állítást p = ∞ esetén. 2 264 V.ö.:


2. fejezet

Sztochasztikus integrálok Ebben a fejezetben a sztochasztikus integrálás elméletét foglaljuk össze. A sztochasztikus integrál, a kifejtés minden hosszadalmassága ellenére, igen természetes konstrukció. Szemléleti tartalmát tekintve valamilyen kockázatos folyamat elleni „stratégiai játék” nyereményeként képzelhetjük el. A játék egyes lépéseiben az elemi „nyereményeket” egy M folyamat ∆M növekményei adják. Ha a játékot véges sok id˝opontban játsszuk, és minden lépésben megadjuk az X „téteket”, akkor a nyereményünk az egyes P lépések során az X · ∆M szorzat lesz. A teljes játék eredményét a X · ∆M összeg adja. Minden integrál, intuitív tartalmát tekintve, a közelít˝o összegek határértéke. A kérdés csak az, hogy a konvergencia milyen topológiában értend˝o. Szemléletileg a legegyszer˝ubb konvergencia természetesen a kimenetelenkénti konvergencia. Sajnos azonban a közelít˝o összegek csak akkor konvergálhatnak kimenetelenként, ha az M súlyfolyamat korlátos változású. Az alkalmazások szempontjából kulcsfontosságú esetekben azonban ez nem teljesül. Például a Wiener–folyamatok trajektóriája majdnem minden kimenetelre nem deriválható, következésképpen nem korlátos változású. Ebb˝ol következ˝oen a Wiener–folyamatok szerinti integrálok kimenetelenként nem konvergálhatnak. Az általános matematikai tapasztalat azt mutatja, hogy a nem triviális konstrukciókban a konvergencia gyakran valamilyen Lp térben teljesül. Wiener–folyamatok trajektóriáinak „szuper rücskössége" a folyamattípus martingál tulajdonságával függ össze. Ha az M martingál, akkor egyszer˝uen belátható, hogy amennyiben az X téteket a ∆M növekményhez tartozó intervallum elején választjuk, akkor az integrálközelít˝o összegek körében az integrál L2 -izometria. Ezt az észrevételt szokás Itô–izometriának mondani. Az Itô–izometria segítségével az integrál a lépcs˝os folyamatokról kiterjeszthet˝o a lépcs˝os folyamatok lezártjára. Mivel L2 -izometriáról van szó, ezért a közelít˝o összegek konvergenciája természetesen L2 -ben teljesül. Ez a sztochasztikus integrálás kulcsa! Természetesen legalább két kérdés vethet˝o fel. Egyrészt az egzisztencián kívül milyen értelmes tulajdonságokkal fog az integrál rendelkezni, másrészt milyen folyamatokra lehet az integrált kiterjeszteni, vagyis milyen folyamatok állíthatók el˝o lépcs˝os folyamatok határértékeként? További probléma, hogy milyen módon lehet az integrált martingálokról lokális martingálokra kiterjeszteni. Az irodalomban számos felépítés található. A fejezet célja, hogy egyszer˝u és követhet˝o bevezetést adjon, éppen ezért a tárgyalást több részre bontjuk. Els˝o lépésben egy egyszer˝usített konstrukciót mutatunk 128

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS

129

be, az általános sztochasztikus integrált a fejezet második részében tárgyaljuk. Az olvasónak minden lépésben mérlegelni, és f˝oleg értékelni kell a konstrukció egyrészr˝ol természetes, másrészr˝ol azonban meghökkent˝oen eredeti voltát. Egyrészt rögzített intervallumokon akarunk integrált definiálni, másrészt az integrálfolyamatot is definiálni akarjuk. Szemben a determinisztikus esettel, a második feladat megoldása nem következik automatikusan az els˝ob˝ol, ugyanis a lényegében1 L2 -konvergencia miatt nem világos, hogy az egyes intervallumokon vett integrálokból, a kivételezett nullmérték˝u halmazok miatt, miként épül fel az integrálfüggvény. Az L2 -típusú konstrukció miatt az egyes intervallumokon vett integrálok csak nullmérték˝u halmaz erejéig értelmesek. A probléma gyökere, hogy az integrálfüggvény, mint minden sztochasztikus folyamat, nem valószín˝uségi változók indexelt sorozata, hanem egy alkalmasan választott verzió, amely el˝oírt folytonossági tulajdonságokkal rendelkezik.

2.1. Korlátos változású folyamatok szerinti integrálás A sztochasztikus integrál fogalmával már az els˝o fejezetben is találkoztunk. A fogalom igen egyszer˝u, ha az integrátor folyamat trajektóriái minden véges szakaszon korlátos változásúak. 2.1 Definíció. Ha a V minden véges szakaszon korlátos változású, jobbról folytonos folyamat és minden (t, ω) párra létezik az id˝oparaméter szerinti Z t Z (X • V ) (t, ω) $ X (s, ω) dV (s, ω) $ X (s, ω) dV (s, ω) 0

(0,t]

integrál2 , akkor az X folyamatot a V szerint integrálhatónak mondjuk. Hangsúlyozzuk, hogy az integrál trajektóriánként értend˝o, vagyis minden rögzített ω-ra ki kell számítani a megfelel˝o integrált. Az integrál kiszámításakor tekinteni kell az R+ félegyenesen a t 7→ V (t, ω) függvény által meghatározott mértéket, majd venni kell az így definiált mérték szerinti integrált. Mivel a V és a V − V (0) szerint definiált mértékek megegyeznek, az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy V (0) = 0. A sztochasztikus folyamatok elméletében az integrátorról a jobbról való folytonosságot szokás feltételezni3 , ezért a mértéket az (a, b] alakú intervallumok által tekintjük definiRt áltnak. Ennek megfelel˝oen az 0 XdV jelölésen a (0, t] szakaszon vett integrált értjük, következésképpen az X (0) változó értéke az integrál nagyságát nem befolyásolja4 . A jelölési konvenció miatt az integrál mindig jobbról folytonos folyamat5 . 1 A lényegében jelz˝ o oka, hogy miként látni fogjuk, általában, vagyis ha az M integrátor, illetve az X integrandus nem elég jól integrálható, akkor csak sztochasztikus konvergenciát tudunk biztosítani. 2 Értelemszer˝ uen az X • V integrál létezésén azt értjük, hogy az értéke véges. 3 Az integrátorok másik nagy csoportja, a lokális martingálok definíció szerint mindig jobbról folytonosak. 4 Ez éppen egyik indoka annak, hogy a lokalizáció definíciójában a t = 0 id˝ opont kezelése lényegében esztétikai kérdés. 5 Vegyük észre, hogy az integrált csak akkor definiáltuk, ha az értéke a korlátos intervallumokon véges. Ez némi zavar forrása, ugyanis a mértékelméletben általában az [a, b) szakaszokból szokás kiindulni, és ezért az integrálfüggvények mindig balról folytonosak. Monoton konvergencia versus majorált konvergencia tétel!

2. SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLOK

130

2.2 Állítás. Ha az X progresszíven mérhet˝o folyamat integrálható a V ∈ V folyamat szerint, akkor az X • V adaptált6 . Bizonyítás: A progresszíven való mérhet˝oség definíciója szerint az X lesz˝ukítése a [0, t] szakaszra B ([0, t]) × Ft szorzatmérhet˝o. Vegyük észre, hogy bár a Fubini–tétel közvetlenül nem használható, ugyanis a V (ω) mérték függ az ω-tól, de a Fubini–tétel bizonyítása érdemi módosítás nélkül alkalmazható. Ha a Fubini–tétel bizonyításához hasonlóan kívánunk eljárni, meg kell mutatni, hogy az olyan B ⊆ [0, t] × Ω halmazok családja, amelyekre az X $ χB választás mellett az állítás igaz, tartalmazza a B ((0, t]) × Ft szorzatmérhet˝o halmazokat. Ha C ∈ Ft és s1 , s2 ≤ t, akkor a B $ (s1 , s2 ] × C, halmazokra a V adaptáltsága miatt az Z

t

χB dV = χC [V (s2 ) − V (s1 )] 0

integrál Ft -mérhet˝o. Jelölje H az olyan kétváltozós, korlátos függvényeket, amelyekre az integrál minden t-re Ft -mérhet˝o. Világos, hogy a H altér, tartalmazza az 1 függvényt, valamint ha 0 ≤ Hn ∈ H és Hn %R H és a H korlátos, akkor H ∈ H, t ugyanis a monoton konvergencia tétel miatt az 0 Hn dV sorozat is konvergens. Ennek megfelel˝oen a H λ-rendszer. Az (s1 , s2 ] × C alakú halmazok π-rendszert alkotnak, tehát a függvényekre vonatkozó π–λ tétel miatt a H tartalmazza az (s1 , s2 ] × C alakú halmazok által generált σ-algebrára nézve mérhet˝o korlátos függvényeket, vagyis a B ((0, t])×Ft halmazok karakterisztikus függvényeit. Ebb˝ol az állítás a szokott módon már következik, ugyanis a karakterisztikus függvényekr˝ol áttérhetünk a lépcs˝os, majd nem negatív és végül az összes szorzatmérhet˝o függvényre. 2 2.3 Állítás. Legyen V ∈ V. 1. Ha X lépcs˝os folyamat, vagyis ha X$

X

ξ i χ (ti−1 , ti ] ,

i

akkor (X • V ) (t) =

X

ξ i [V (ti ∧ t) − V (ti−1 ∧ t)] .

i

2. Ha valamely [a, b] szakaszon majdnem minden ω-ra X (t, ω) = 0,

vagy

V (t, ω) = V (a, ω) ,

akkor az X • V az [a, b] szakaszon majdnem minden ω kimenetelre nulla. 6 Az

X • V folyamat mindig jobbról folytonos, így az adaptáltság miatt progresszíven mérhet˝o.

2.1. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ FOLYAMATOK SZERINTI INTEGRÁLÁS

131

3. Ha az Y • V integrál létezik, akkor az X • (Y • V ) létezésének szükséges és elegend˝o feltétele az (XY ) • V létezése. Ilyenkor X • (Y • V ) = (XY ) • V. 4. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore τ

(X • V ) = (χ ([0, τ ]) X) • V = X • V τ . 5. Ha miként korábban most is Var (V ) , illetve Var (X • V ) jelöli a totális változásokból álló folyamatot, akkor Var (X • V ) = |X| • Var (V ) , ahol értelemszer˝uen |X| az X folyamat abszolút értéke. 6. ∆ (X • V ) = X∆V, ahol ∆ jelöli a folyamat ugrásaiból álló folyamatot. 7. Ha minden (t, ω) párra Xn (t, ω) → X (t, ω) és az V szerint integrálható Y folyamatra |Xn | ≤ Y , akkor sup |Xn • V (s) − X • V (s)| → 0. s≤t

8. Ha az X trajektóriái minden véges szakaszon korlátosak7 , akkor az X •V létezik és X • V ∈ V. Ha V ∈ Aloc és az X lokálisan korlátos, akkor X • V ∈ Aloc . Bizonyítás: Az összefüggések igazolása nagyrészt a jelölés „dekódolásából” áll. Az els˝o két állítás az integrál definíciója miatt evidens. Az Z s Z t (X • (Y • V )) (t) $ X (s) d Y (u) dV (u) = 0

Z

0 t

X (s) Y (u) dV (u) $ ((XY ) • V ) (t) .

= 0

egyenl˝oség teljesülése evidens, ha X minden kimenetelre valamely véges intervallum karakterisztikus függvénye. A monoton osztály tétel segítségével az egyenl˝oség akkor is belátható, ha X minden kimenetelre valamely korlátos intervallum Borel–mérhet˝o halmazának karakterisztikus függvénye. Ezt követ˝oen monoton konvergencia tétellel az állítás átvihet˝o minden nem negatív szorzatmérhet˝o folyamatra. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore evidens módon Z τ ∧t Z t τ (X • V ) (t) $ XdV = χ ([0, τ ]) XdV = (χ ([0, τ ]) X • V ) (t) . 0 0 Z t Z t Xχ ([0, τ ]) dV = XdV τ = (X • V τ ) (t) . 0

0 7 Tipikus

példa, amire gyakran hivatkozni fogunk, hogy ha az X szemimartingál, akkor a trajektóriáinak minden id˝opontban létezik jobb és bal oldali határértéke, következésképpen az X minden trajektóriája minden véges id˝oszakon korlátos, így ha V korlátos változású, akkor az X • V integrál létezik. Természetes, de azért nem szükségtelen hangsúlyozni, hogy abból hogy a trajektóriák minden véges szakaszon korlátosak nem következik, hogy a folyamat lokálisan korlátos.


132

Az ugrásokra vonatkozó egyenl˝oséget elég trajektóriánként igazolni. A majorált konvergencia tétele szerint, felhasználva, hogy az X minden véges szakaszon minden kimenetelre a V szerint integrálható Z Z t Z t− Z t XdV = lim XdV = XdV = lim XdV − n→∞ (t−1/n,t] n→∞ t−1/n 0 0 Z = XdV = X∆V. {t}

A hetedik tulajdonság a majorált konvergencia tétel következménye: Z t sup |Xn • V (s) − X • V (s)| ≤ |Xn − X| dV → 0, s≤t

0

ahol a konvergencia kimenetelenként értend˝o. Az utolsó állítás a megadott definíciók miatt evidens. 2 A sztochasztikus integrálás elméletének célja a fenti integrálfogalom kiterjesztése korlátos változású folyamatokról szemimartingálokra.

2.2. Folytonos folyamatok sztochasztikus integrálása A sztochasztikus integrálás problémája nagyrészt abból származik, hogy az igazán érdekes szemimartingálok trajektóriái nem korlátos változásúak, így az el˝oz˝o pontban bemutatott módon az integrál nem definiálható. A sztochasztikus integrálok tárgyalását célszer˝u a lehet˝o legegyszer˝ubb eset bemutatásával kezdeni. Ilyenkor az integrandus determinisztikus függvény, az integrátor pedig Wiener–folyamat. Az így kapott integrált Wiener–integrálnak szokás nevezni. Ha az integrandus folytonos sztochasztikus folyamat, akkor az integrált a Stieltjes–integrál mintájára érdemes definiálni. Ilyenkor Itô—Stieltjes–integrálról fogunk beszélni. Az általános integrálfogalmat, amely a Lebesgue–integrál sztochasztikus megfelel˝oje, a következ˝o pontban tárgyaljuk.

2.2.1. Wiener–integrál Miel˝ott a sztochasztikus integrál általános definícióját megadnánk egy speciális esetet ismertetünk. Legyen f : [a, b] → R folytonos függvény, w Wiener–folyamat. Minden integrál els˝o megközelítésben közelít˝o összegek határértékének tekinthet˝o. Tekintsük az [a, b] ∆ $ {a = t0 , t1 , . . . , tm = b} felosztását. A felosztáshoz rendeljük hozzá az X I∆ $ f (sk ) [w (tk ) − w (tk−1 )] , k

Riemann—Stieltjes közelít˝o összeget.

sk ∈ [tk , tk−1 ]

(2.1)

2.2. FOLYTONOS FOLYAMATOK SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLÁSA

133

2.4 Definíció. Ha létezik olyan ζ valószín˝uségi változó, hogy minden olyan (I∆n )n sorozatra, amelyre (n) (n) lim max tk − tk−1 = 0

n→∞

k

egyúttal a ζ = lim I∆n n→∞

is teljesül, akkor a ζ határértéket az f függvény Wiener–integráljának nevezzük, és az Z

b

Z

a

b

f dw

f (t) dw (t) , a

módon jelöljük. A definíció nyilvánvaló hiányossága, hogy nem mondtuk meg, hogy milyen konvergenciát követelünk meg. A w (ω) trajektória majdnem minden ω-ra nem deriválható8 , tehát nem korlátos változású, ezért ha a felosztást finomítjuk, nem biztos, hogy a közelít˝o összegek ω szerint pontonként konvergálnak. Ez alapján a majdnem mindenütt való konvergencia fogalma a Wiener–integrálra nem alkalmazható. Miként látni fogjuk az általános esetben csak sztochasztikus konvergenciát tudunk garantálni, de a most tárgyalt feltételek mellett a közelít˝o összegek az L2 (Ω) tér normájában konvergálnak. A kés˝obbiek miatt hangsúlyozni kell, hogy az sk közbüls˝o pont tetsz˝olegesen megválasztható. Bár ez nyilvánvalónak látszik, mivel a Riemann–típusú integrálokra ezt mindig meg szokás követelni, látni fogjuk, hogy az általános esetben nem élhetünk majd ezzel a feltétellel, és a sztochasztikus integrálok értéke függ a közbüls˝o pont választásának módjától. 2.5 Állítás. Ha az f : [a, b] → R folytonos, akkor az f Wiener–integrálható, és a (2.1) kifejezés L2 (Ω) normában konvergál.  s  Z b Z b f dw ∼ f 2 dλ , (2.2) = N 0, a

a

vagyis az integrál értéke nulla várható értékkel és kf k2 szórással rendelkez˝o normális eloszlású valószín˝uségi változó. Bizonyítás: Elegend˝o megmutatni, hogy a (2.1) kifejezés az L2 (Ω) térben Cauchy– sorozat. Legyen adva egy ε > 0 szám. Az f folytonos az [a, b] intervallumon, ezért egyenletesen is folytonos. Ez alapján létezik olyan δ > 0, hogy ha |x − y| < δ, akkor r ε |f (x) − f (y)| < . (2.3) b−a 8 V.ö.:

A.7. tétel, 356. oldal.


134

Legyen n0 olyan nagy, hogy ha k > n0 akkor az Ik közelít˝o összeghez tartozó felosztásban a leghosszabb intervallum hossza is rövidebb legyen mint δ/2. Legyen most m, n > n0 , és jelölje a = t0 , t1 , . . . , tN = b a két felosztás közös finomítását. A (2.1) közelít˝o összegek eltérése felírható D$

N X

(f (s0k ) − f (s00k )) [w (tk ) − w (tk−1 )]

(2.4)

k=1

alakban, ahol természetesen az s0k és s00k közbüls˝o pontok már nem feltétlenül a hozzájuk rendelt [tk−1 , tk ] intervallumban vannak. Valamely s0k és s00k páros távolsága legfeljebb akkora lehet, mint a két felosztás leghosszabb intervallumának az összege, vagyis kisebb mint δ. Az egyszer˝ubb jelölés miatt legyen ϑk $ f (s0k ) − f (s00k ) . Mivel |s0k − s00k | < δ, ezért a (2.3) alapján r ε . (2.5) |ϑk | < b−a A (2.4) összeg az alábbi módon becsülhet˝o:

2

N

X

2 ϑk [w (tk ) − w (tk−1 )] = kDk2 =

k=1 2  !2  N X = M ϑk [w (tk ) − w (tk−1 )]  = k=1

=

N X

N X 2 ϑ2k M [w (tk ) − w (tk−1 )] = ϑ2k (tk − tk−1 ) ≤

k=1

≤

k=1

max ϑ2k (b − a) , k

hiszen a w folyamat független növekmény˝u és az ϑk konstans, ezért ha i 6= j akkor Dij

$ M (ϑi [w (ti ) − w (ti−1 )] · ϑj [w (tj ) − w (tj−1 )]) = = ϑi ϑj M (w (tj ) − w (tj−1 )) · M (w (ti ) − w (ti−1 )) = 0.

A (2.5) alapján 2 max ϑk (b − a) < ε, k

így a (2.4) valóban Cauchy–sorozat az L2 (Ω) térben. Az ismertetett gondolatmenettel azt is be lehet látni, hogy a határérték egyértelm˝u, ugyanis, ha lenne két olyan közelít˝o sorozat, amely eltér˝o határértékhez konvergálna, akkor az „összefésült” sorozatnak két torlódási pontja lenne ellentétben az imént belátott konvergenciával. Az (In )n sorozatra egyrészt X M (In ) = f (sk ) M (∆w (tk−1 )) = 0, k


135

másrészt mivel a w folyamat független növekmény˝u, ezért ha i 6= j, akkor a ∆w (ti−1 ) és ∆w (tj−1 ) változók függetlenek, ezért ! 2

D (In )

= D

X

2

f (sk ) ∆w (tk−1 )

=

k

=

X

f 2 (sk ) D2 (∆w (tk−1 )) =

X

k

f 2 (sk ) (tk − tk−1 ) .

k

Harmadrészt mivel az In független, normális eloszlású ∆w (tk ) valószín˝uségi változók lineáris kombinációja, ezért maga is normális eloszlású, vagyis   sX In ∼ f 2 (sk ) (tk − tk−1 ) . = N 0, k

Rb Az In → a f dw konvergencia L2 -ben teljesül, ezért a sztochasztikus, tehát a gyenge konvergenciában is teljesül. Ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, akkor sX f 2 (sk ) (tk − tk−1 ) → kf k2 , k

amib˝ol w

In → N (0, kf k2 ) ∼ =

Z

b

f dw. a

2 2.6 Példa. R1 Számoljuk ki az 0 xn dw eloszlását. Az állítás alapján Z

1

xn dw ∼ =N

0

1 0, √ . 2n + 1 2

2.7 Példa. Az Ornstein—Uhlenbeck–folyamat kovarianciafüggvénye S (t, s) =

1 exp (−λ |t − s|) . 2λ

A fizikailag megfigyelt Brown–mozgás9 v sebességére a dv = −λv · dt + dw (t) 9A

folyadékban mozgó apró részecske mozgása.


136

egyenletet szokás felírni, ahol λ a folyadékban mozgó részecskére ható „ellenállás", dw a molekuláris szintr˝ol származó „lökdös˝odés”. Az egyenlet pontos matematikai interpretációja a Z t v (s) ds + w (t) (2.6) v (t) = v (0) − λ 0

integrálegyenlet. A sztochasztikus integrálás kés˝obb ismertetett elméletének felhasználásával belátjuk, hogy a

Z

v (t) $ exp (−λt) v (0) +

t

exp (λs) dw (s)

$ exp (−λt) h (t)

0

folyamat kielégíti az egyenletet10 . A parciális integrálási formula és a sztochasztikus integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály alapján, felhasználva, hogy ha az egyik komponens korlátos változású, akkor a keresztvariáció nulla Rt (−λ) v (s) ds = 0

=

Rt

h (s) d exp (−λs) =

0

=

t

[exp (−λs) h (s)]0 −

Rt

exp (−λs) dh (s) − [h (s) , exp (−λs)] =

0

=

exp (−λt) h (t) − v (0) −

Rt

exp (−λs) dh (s) =

0

= v (t) − v (0) −

Rt

exp (−λs) exp (λs) dw (s) =

0

= v (t) − v (0) − w (t) , amib˝ol a (2.6) teljesülése már triviális. Ha v (0) normális eloszlású és független a w „hibafolyamattól”, akkor a v sebességfolyamat Gauss–folyamat. Ha −1/2 v (0) ∼ , = N 0, (2λ) akkor M (v (t)) $ M (exp (−λt) h (t)) = exp (−λt) M (v (0)) = 0, és a kovariancia struktúra S (t, s) $ cov (v (t) , v (s)) = exp (−λ (t + s)) cov (h (t) , h (s)) . A (2.2) képlet alapján közvetlen számolással, kihasználva a v (0) szórására tett feltételt, 10 Az

egyenlet megoldásával kapcsolatos most következ˝o megfontolások els˝o olvasásra elhagyhatóak.


137

ha t > s, akkor cov (h (t) , h (s)) = Z t Z exp (λu) dw (u) , = D2 (v (0)) + cov

exp (λu) dw (u) = 0 !

0

Z

= D2 (v (0)) + M

s

2

s

exp (λu) dw (u)

=

0

= =

Z s 1 2 (exp (λu)) du = + 2λ 0 1 1 1 s + [exp (2λu)]0 = exp (2λs) , 2λ 2λ 2λ

tehát S (t, s) =

1 exp (−λ |t − s|) . 2λ

Összefoglalva a v stacionárius, folytonos trajektóriájú Gauss–folyamat. Az így kapott folyamatot szokás Ornstein—Uhlenbeck–folyamatnak mondani. 2 A Wiener–integrál speciális esete egy jóval általánosabb konstrukciónak. Legyen H Hilbert–tér, Z a Z halmaz részhalmazaiból álló félgy˝ur˝u. Tegyük fel, hogy minden A ∈ Z halmazhoz hozzárendeltük a H egy X (A) elemét. 2.8 Definíció. Az X hozzárendelést elemi ortogonális mértéknek mondjuk, ha 1. X (∅) = 0 és 2. ha A1 ∩ A2 = ∅, akkor X (A1 ∪ A2 ) = X (A1 ) + X (A2 ) 3. valamint ilyenkor az X (A1 ) és az X (A2 ) mer˝oleges. Vezessük be a 2

µ (A) $ kX (A)k2 úgynevezett kontrollmértéket. Triviálisan µ ≥ 0. Ha A1 ∩ A2 = ∅, akkor µ (A1 ∪ A2 )

2

=

kX (A1 ) + X (A2 )k2 =

=

µ (A1 ) + µ (A2 ) + 2 (X (A1 ) , X (A2 )) =

=

µ (A1 ) + µ (A2 ) ,

tehát a kontrollmérték végesen additív. Ha f $ Z f dX $ Z

X k

P

k ck χAk

ck X (Ak ) .

lépcs˝os függvény, akkor


138

Triviálisan érvényes a bevezet˝oben említett

2 X

Z Z

2 2

f dX = ck kX (Ak )k2 = f 2 dµ

Z

2

(2.7)

Z

k

izometria. Ha a µ a Z félgy˝ur˝un σ-additív, akkor a µ kiterjeszthet˝o a σ (Z) σ-algebrára. A X ck χAk , Ak ∈ Z k

alakú lépcs˝osRfüggvények s˝ur˝uek az L2 (Z, σ (Z) , µ) térben11 . A (2.7) izometria segítségével az Z f dX integrál kiterjeszthet˝o minden f ∈ L2 (Z, σ (Z) , µ) elemre. A részletek kidolgozását az olvasóra bízzuk.

2.2.2. Itô—Stieltjes–integrál Az elmondottakból azt gondolhatjuk, hogy a sztochasztikus integrál közönséges függvényérték˝u Riemann—Stieltjes–integrál. Sajnos nem err˝ol van szó. A bemutatott kép alapjában változik, amint az f integrandus szintén függ az ω kimenetelekt˝ol, vagyis amint az integrálandó függvény sztochasztikus folyamat. A lehetséges problémákat jól szemlélteti az alábbi példa, amely szerint az integrál értéke függ a közbüls˝o pont megválasztásának módjától. 2.9 Példa. Rb Próbáljuk meg definiálni az a wdw integrált! Az integrált Riemann—Stieltjes–integrálnak fogjuk fel. Az alábbi határértékek mindegyike az L2 (Ω) normában értend˝o. Legyen (n)

a = t0

(n)

< t1

< . . . < t(n) m =b

az [a, b] szakasz tetsz˝oleges felosztása. Definiáljuk az i X (n) h (n) (n) Sn $ w tk w tk − w tk−1 , k

illetve az In $

X

h i (n) (n) (n) w tk−1 w tk − w tk−1

k

közelít˝o összegeket. Az Sn − In =

i2 X h (n) (n) w tk − w tk−1 , k

11 [20]

3.31. állítás, 126. oldal.


139

éppen a Wiener–folyamat kvadratikus variációjának közelít˝o összege, ezért12 az L2 (Ω) tér normájában lim (Sn − In ) = b − a 6= 0. n→∞

Ugyanakkor In

= =

1 2

i X h i2 X h (n) (n) (n) (n) w 2 tk w tk − w2 tk−1 − − w tk−1 k

! =

k

i2 1 X h (n) 1 2 (n) w tk − w tk−1 w (b) − w2 (a) − . 2 2 k

Ez alapján lim In =

n→∞

1 2 b 1 w (t) a − (b − a) , 2 2

és lim Sn

n→∞

= =

1 2 b w (t) a − 2 1 2 b w (t) a + 2

1 (b − a) + (b − a) = 2 1 (b − a) . 2

2 A bemutatott jelenség, bár els˝o látásra meghökkent˝o, valójában nem meglep˝o. A közbüls˝o pont választási módja alapvet˝oen befolyásolja az integrál mögötti valószín˝uségszámítási szituációt. A Wiener–folyamat tulajdonságai alapján a w (sk ) [w (tk ) − w (tk−1 )] szorzatban az egyes tényez˝ok csak akkor lesznek függetlenek, ha sk ≤ tk−1 , vagyis ha közbüls˝o pontnak éppen az intervallum kezd˝opontját választjuk. Minden más esetben a szorzat két tényez˝oje összefügg. Ez alapján indokolt kitüntetni az sk $ tk−1 pontot. A függetlenségnek az integrál kiszámításakor játszott alapvet˝o szerepe miatt csak olyan függvényeket lehet integrálni, amelyek értéke független a Wiener–folyamat növekményeit˝ol. Ennek megfelel˝oen a továbbiakban mindig feltesszük, hogy adott a (w, F) Wiener–folyamat13 , és az X integrandus adaptált az F filtrációra, következésképpen minden t-re az X (t) független a w (t + h) − w (t) növekményt˝ol. 2.10 Definíció. (Itô—Stieltjes–integrál) Legyen X sztochasztikus folyamat és minden (n)

(n)

a = t0 , t1 , . . . , t(n) m =b felosztáshoz rendeljük hozzá az i X (n) h (n) (n) In $ X tk−1 w tk − w tk−1 k 12 V.ö.:


13 Vagyis adott a folyamat, és rögzített a filtráció, amely természetesen eleget tesz a szokásos feltételeknek.


140

Itô–közelít˝o összeget. Ha létezik olyan ζ valószín˝uségi változó, hogy minden olyan felosztásra, amelyre (n) (n) lim max tk − tk−1 = 0 n→∞

k

a közelít˝o összegek sorozatára sztochasztikus konvergenciában lim In = ζ,

n→∞

akkor ezt a közös ζ határértéket az X w szerinti Itô—Stieltjes–integráljának mondjuk, Rb és a Xdw módon jelöljük. Az, hogy a definícióban integrátorként Wiener–folyamat szerepel, túlzott megkötés, amelyre a tárgyalás során nincsen szükségünk. Ha X és M tetsz˝oleges sztochasztikus folyamatok, akkor értelemszer˝u módosítással definiálhatjuk az Z b XdM a

Itô—Stieltjes–integrált. A kérdés csak az, vajon a definíció értelmes-e, vagyis az integrál milyen feltételek teljesülése esetén konvergens. Igen hasznos a következ˝o elemi összefüggés: 2.11 Lemma. Legyen M az F filtrációra nézve diszkrét idej˝u martingál, X az F-re nézve adaptált folyamat. Ha az Xk−1 · [Mk − Mk−1 ] kifejezések integrálhatóak, akkor a Z0 $ 0,

Zn $

n X

Xk−1 · [Mk − Mk−1 ]

k=1

sorozat nulla várható értékkel rendelkez˝o martingál. Speciálisan, ha X egyenletesen korlátos és M tetsz˝oleges martingál, akkor a Z is martingál. Bizonyítás: Kihasználva, hogy a feltétel szerint az Xk−1 · [Mk − Mk−1 ] integrálható, a kiemelési szabály és a teljes várható érték tétele szerint, ha k − 1 ≥ m M (Xk−1 [Mk − Mk−1 ] | Fm )

= M (M (Xk−1 [Mk − Mk−1 ] | Fk−1 ) | Fm ) = = M (Xk−1 M ([Mk − Mk−1 ] | Fk−1 ) | Fm ) = = M (Xk−1 · 0 | Fm ) = 0,

amib˝ol a lemma igazolása már evidens. 2 2.12 Állítás. Ha az X adaptált sztochasztikus folyamat az [a, b] véges szakaszon majdnem minden ω-ra folytonos és M ∈ H2 , akkor az X az [a, b]-én M szerint Itô—Stieltjes– integrálható14 . 14 A

Wiener–folyamat véges szakaszokon eleme a H2 térnek.


141

Bizonyítás: Az egyszer˝uség kedvéért tegyük fel, hogy az X minden kimenetelre folytonos. A bizonyítást több lépésre bontjuk: (n) 1. Tegyük fel, hogy |X| ≤ K és legyen tk az [a, b] szakasz felbontása. Az el˝oz˝o k lemma alapján az integrálközelít˝o összegek i X (n) h (n) (n) In $ X tk−1 M tk − M tk−1 , k

sorozat martingál, így a sorozat tagjainak várható értéke nulla. A bizonyítás kulcsa, hogy 2 kIn k2 = D2 (In ) ≤ K 2 L, (2.8) ahol az L rögzített, X-t˝ol nem függ˝o determinisztikus konstans. Az energiaazonosság alapján i 2 h X

(n) (n) (n) 2 − M tk−1 . kIn k2 =

X tk−1 M tk 2

k

Az energiaazonosság újabb alkalmazásával 2

kIn k2

=

h i 2 X

(n) (n) (n) − M tk−1 ≤

X tk−1 M tk 2

k

2 X

(n) (n) ≤ K2 − M tk−1 =

M tk 2

k

2 2 X

(n) (n) = K2

M tk − M tk−1 = 2

2

k

2

2

2

2

= K 2 kM (b)k2 − kM (a)k2 , tehát az M ∈ H2 feltételezés miatt az L $ kM (b)k2 − kM (a)k2 < ∞ definícióval érvényes a (2.8). 2. A sztochasztikus konvergenciában minden Cauchy–sorozat konvergens, ezért az integrál konvergenciájának belátásához elegend˝o megmutatni, hogy az integrálközelít˝o összegek (In )n sorozata sztochasztikusan Cauchy–sorozat. Az X trajektóriái folytonosak, vagyis az [a, b] véges szakaszon egyenletesen is folytonosak, ezért ha δ → 0, akkor tetsz˝oleges ω kimenetelre az U (ω, δ) $ sup |X (t, ω) − X (s, ω)| |t−s|≤δ

folytonossági modulus nullához tart. Könnyen látható, hogy az U kiszámolásakor elegend˝o a racionális id˝opontokat venni, így az U mérhet˝o. A pontonkénti konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért tetsz˝oleges τ , ε > 0 számokhoz található olyan A halmaz és δ > 0 szám, hogy P (Ac ) < τ , és ha ω ∈ A, akkor


142

U (ω, δ) < ε. Mivel az [a, b] intervallum felosztása végtelenül finomodik, ezért tetsz˝oleges α > 0 számra, elegend˝oen nagy n, m indexekre a Csebisev–egyenl˝otlenség miatt P (|In − Im | > α) ≤ P (Ac ) + P (A ∩ {|In − Im | > α}) ≤ τ +

ε2 L . α2

A jobb oldali kifejezés az ε és a τ megválasztásával tetsz˝olegesen kicsivé tehet˝o, így az (In )n sztochasztikusan Cauchy–sorozat. 3. Megjegyezzük azonban, hogy a bizonyítás pontatlan, ugyanis az XχA függvényhez rendelt lépcs˝os folyamatra nem alkalmazható a (2.8) becslés, ugyanis az így „csonkolt” folyamat nem feltétlenül adaptált! A gondolatmenet azonban könnyen pontosítható. Ha U (u, ω, δ) jelöli az [a, u] szakaszon vett folytonossági modulust, akkor evidens módon az (u, ω) 7→ U (u, ω, δ) folytonos trajektóriájú adaptált folyamat15 . Ha τ (ω) $ inf {u : U (u, ω, δ) ≥ ε} ∧ b, akkor a τ megállási id˝o16 , és elegend˝o az A halmazon való „csonkolás” helyett az X τ megállított folyamatra17 alkalmazni a (2.8) becslést és a τ P (|In − Im | > α) ≤ P (Ac ) + P (|Inτ − Im | > α)

egyenl˝otlenséget. 2 A gondolatmenet egyszer˝uen általánosítható. Legyen S szemimartingál. A lokális 2 martingálok f˝otétele18 szerint S = S (0) + H + V, ahol H ∈ Hloc és L ∈ V. A i X (n) h (n) (n) − V tk−1 X tk−1 V tk k

közelít˝o összegek kimenetelenként konvergálnak. h i (n) (n) (n) In $ X tk−1 H tk − H tk−1 . Legyen (τ s )s a H lokalizációs sorozata. Tetsz˝oleges δ esetén ha s elég nagy, akkor P (τ s ≤ b) < δ. P (|In − Im | > α) ≤ P (τ s ≤ b) + P (|In − Im | > α, τ s ≥ b) ≤ ≤ δ + P (|In − Im | > α, τ s ≥ b) . Ha Ien $

X

h i (n) (n) (n) X tk−1 H τ s tk − H τ s tk−1 ,

k 15 Mindig

elég a racionális id˝opontokat venni. 9.112. példa, 371. oldal. 17 A megállított folyamat adaptált lesz. 18 V.ö.: 1.155. tétel, 112. oldal. 16 V.ö.:[20],


akkor

143

P (|In − Im | > α, τ s ≥ b) ≤ P Ien − Iem > α → 0,

így az (In )n is sztochasztikusan konvergál. A pontonkénti konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, valamint a sztochasztikusan konvergencia és az összeadás felcserélhet˝o, így érvényes a következ˝o: 2.13 Tétel. (Itô—Stieltjes–integrál létezése) Ha S szemimartingál és az X adaptált sztochasztikus folyamat az [a, b] véges szakaszon majdnem minden ω-ra folytonos, akkor az X az [a, b]-én az S szerint Itô— Stieltjes–integrálható19 . 2.14 Állítás. Legyenek M , N szemimartingálok, X, Y folytonos adaptált folyamatok, α, β konstansok. Az Itô—Stieltjes–integrál következ˝o tulajdonságai evidensek20 : 1. α 2.

Rb

Rb a

a

XdM + β

Rb a

Y dM =

Xd (αM + βN ) = α

3. Ha a < c < b, akkor

Rb a

Rb a

Rb a

(αX + βY ) dM.

XdM + β

XdM =

Rc a

Rb a

XdN.

XdM +

4. Ha X az Y ekvivalens módosítása21 , akkor

Rb a

Rb c

XdM.

XdM =

Rb a

Y dM.

Fontos hangsúlyozni, hogy az integrált nem trajektóriánként kell venni, ugyanis a trajektóriánkénti integrálnak nincs értelme. Ez azonban nem jelenti azt, hogy az integrál nem a trajektóriák által van definiálva, és nem a trajektóriák határozzák meg az értékét. 2.15 Állítás. Ha az A ⊆ Ω halmazon az X és az Y folytonos folyamatok trajektóriái megegyeznek, Rb Rb akkor az a XdM és az a Y dM integrálok is majdnem mindenhol megegyeznek az A halmazon. Rb Bizonyítás: Elég belátni, hogy ha az X az A halmazon nulla, akkor az a XM majdnem mindenhol nulla az A-n. Evidens módon az integrál közelít˝o összegek mindegyike nulla az A-n. Az intergál a közelít˝o összegek sztochasztikus határértéke. Ugyanakkor minden sztochasztikusan konvergens sorozatnak van majdnem mindenhol konvergens része, amib˝ol az állítás evidens. 2 A kés˝obbi tárgyalás során kulcsszerepet fog játszani a kvadratikus variáció, illetve a parciális integrálás formulája. 19 Vegyük észre, hogy az integrál értéke a közelít˝ o összegek határértéke, így automatikusan nem függ az S felbontási módjától. 20 Értelemszer˝ uen az egyenl˝oség mint ekvivalenciaosztályok közötti egyenl˝oség értend˝o, vagyis a két oldal majdnem minden kimenetelre egyenl˝o. 21 Ilyenkor a trajektóriák majdnem minden kimenetelre egybeesnek. V.ö.: 1.6. állítás, 6. oldal.


144

2.16 Definíció. (n) Legyenek X és Y az [a, b] szakaszon értelmezett folyamatok, tk

az [a, b] végtek,n

lenül finomodó felosztássorozata. A i h i X h (n) (n) (n) (n) X tk Tn $ − X tk−1 Y tk − Y tk−1 k

összeg sztochasztikus konvergenciában vett határértékét, amennyiben létezik és füg (n) getlen a tk felosztássorozattól, az X és az Y folyamatok [a, b] szakaszon vett k,n

b

négyzetes keresztvariációjának mondjuk, és az [X, Y ]a módon jelöljük. 2.17 Állítás. (Parciális integrálási formula) Ha M és N folytonos szemimartingálok, akkor tetsz˝oleges véges [a, b] szakasz esetén b létezik az [M, N ]a négyzetes keresztvariáció és22 Z (M N ) (b) − (M N ) (a) =

b

Z M dN +

a

a

b

b

N dM + [M, N ]a .

Bizonyítás: Tekintsük az X X X (n) (n) (n) (n) (n) (n) M tk ∆N tk + N tk ∆M tk + ∆M tk ∆N tk . k

k

k

közelít˝o összegeket. Elemi számolással minden k-ra (n) (n) (n) (n) N tk M tk+1 N tk+1 − M tk

(n) (n) + ∆N tk = M tk (n) (n) + ∆M tk +N tk (n) (n) , ∆N tk +∆M tk

amit k szerint összeadva a bal oldalon éppen a parciális integrálási formula bal oldalán álló M (b) N (b) − M (a) N (a) kifejezést kapjuk. A jobb oldalon álló két integrálközelít˝o összeg sztochasztikusan konvergál, ezért a négyzetes keresztvariáció is létezik és a formula triviálisan teljesül. 2 Rb Térjünk rá az integrálfolyamat vizsgálatára. Az a XdM alakú integrálokat [a, b] szakaszokon definiáltuk. A definíció nullmérték˝ R tu halmaz erejéig határozza meg az integrál értékét. Nem világos, hogy a t 7→ I (t) $ a XdM integrálfolyamat milyen tulajdonságokkal bír. Milyen feltételek mellett kapunk martingált? Tegyük fel, hogy M ∈ H2 22 A

formula általánosabb körülmények között is érvényben marad. V.ö.: 3.27. állítás, 242. oldal.


145

és az X legyen egyenletesen korlátos. Jelölje K az X folyamat egy korlátját. Miként láttuk tetsz˝oleges t ∈ [a, b] esetén a közelít˝o összegekre  !2  X 2 kIn (t)k2 = M  X (tk−1 ∧ t) [M (tk ∧ t) − M (tk−1 ∧ t)]  ≤ k

≤

K

2

M M 2 (b) − M M 2 (a) $ L,

vagyis az In (t) $

X

X (tk−1 ∧ t) [M (tk ∧ t) − M (tk−1 ∧ t)]

k

sorozat az L2 (Ω) térben korlátos, következésképpen az integrálközelít˝o összegek soroL1 .

p

zata egyenletesen integrálható, így az In (t) → I (t) mellett az In (t) → I (t) konvergencia is teljesül. A közelít˝o pontok választása miatt triviálisan23 M (In (t) | Fs ) = In (s) . Az integrálfolyamat definíciójában a t ponthoz a t-ben lev˝o ugrást hozzászámoljuk, ezért az In jobbról reguláris, tehát martingál. A korlátossági feltételb˝ol követL1 R t kez˝o In (t) → a XdM konvergenciát felhasználva Z

t

XdM | Fs

M a

Z

s

=

XdM. a

Rs Az a XdM Fs -mérhet˝o24 , vagyis az integrálfolyamat, a trajektóriák regularitásától eltekintve martingál. Az Im − In martingál, ezért a Doob–egyenl˝otlenség szerint tetsz˝oleges λ > 0 esetén λP sup |In (t) − Im (t)| ≥ λ ≤ M (|In (b) − Im (b)|) . t

Az (In (b))n L1 -ben konvergál, vagyis P

sup |In (t) − Im (t)| → 0, t

következésképpen alkalmas részsorozatra m.m.

sup |Ink (t) − Imk (t)| → 0, t

tehát egy részsorozaton a konvergencia egyenletes, vagyis nullmérték˝u halmaztól eltekintve az In trajektóriáinak folytonossági tulajdonságai meg˝orz˝odnek. Az In jobbról reguláris. Majdnem minden kimenetelre a jobbról való regularitás meg˝orz˝odik az integrálfüggvényre, vagyis az integrálfüggvény a megkülönböztethetetlenség erejéig 23 V.ö.:

2.11. lemma, 140. oldal. a nullmérték˝u halmazok nem elemei a filtrációnak, akkor önmagában a sztochasztikus konvergencia még nem implikálja az adaptáltság megmaradását, de az integrál konstrukciója alapján feltehetjük, hogy az integrálfüggvény adaptált lesz, ugyanis az integrál konvergenciáját minden t-re az (Ω, Ft , P) téren követeljük meg. 24 Ha


146

ekvivalens egy jobbról reguláris trajektóriájú folyamattal. Ha feltételezzük, hogy a filtráció tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat, akkor a módosítás az adaptáltság mego˝ rzése mellett végrehajtható, következésképpen az integrálfüggvény martingál. R t Ha az M folytonos, akkor az Ink (ω) trajektóriák folytonosak, vagyis a t 7→ a XdM is folytonos. Ezzel beláttuk a következ˝o állítást:

2.18 Állítás. Ha X tetsz˝oleges véges szakaszon egyenletesen korlátos, folytonos és adaptált folyamat, M ∈ H2 , akkor a Z (X • M ) (t) $

t

XdM,

t ∈ [a, b]

a

integrálfolyamatnak van olyan verziója, amely martingál25 . Ha (In ) közelít˝o összegek sorozata, akkor minden t-re P

sup |In (s) − (X • M ) (s)| → 0. s≤t

Ha az M folytonos, akkor az X • M integrálfolyamatnak van folytonos verziója.

2.19 Definíció. A X • M integrálfolyamaton mindig a megfelel˝o folytonossági tulajdonsággal rendelkez˝o verziót fogjuk érteni.

A lokális martingálok szerinti sztochasztikus integrálok általában csak lokális martingálok26 . Az elmélet alkalmazásai szempontjából kiemelked˝oen fontosak azok a feltételek, amelyek teljesülésekor az integrál valódi martingál lesz. A bemutatott feltétel, miszerint az integrandusnak egyenletesen korlátosnak kell lenni túlságosan er˝os. A gondolatmenet kulcsa, hogy egyrészt a közelít˝o összegek martingálok legyenek, amihez a közelít˝o összegben szerepl˝o tagok integrálhatósága szükséges, másrészt a közelít˝o összegek konvergenciájára a sztochasztikus konvergenciánál er˝osebb L1 (Ω)konvergenciát kell biztosítani. Az utóbbi feltétel biztosítható, ha az (In (t))n közelít˝o összegek egyenletesen integrálhatóak. Ha például az M Wiener–folyamat és az X az

25 Hallgatólagosan 26 S˝ ot

feltételezve, hogy a nullmérték˝u halmazok elemei a filtrációnak. bizonyos általánosítások esetén csak szemimartingálok. V.ö.: D.11. definíció, 450. oldal.


147

L2 (Ω) térben korlátos, akkor az energiaazonoság szerint 2

kIn (t)k2 =  !2  X = M X (tk−1 ∧ t) [w (tk ∧ t) − w (tk−1 ∧ t)]  = k

=

X

=

X

=

X

=

X

2 M (X (tk−1 ∧ t) [w (tk ∧ t) − w (tk−1 ∧ t)]) =

k

2 2 M X (tk−1 ∧ t) M [w (tk ∧ t) − w (tk−1 ∧ t)] | Ftk−1 ∧t =

k

2 2 M X (tk−1 ∧ t) M [w (tk ∧ t) − w (tk−1 ∧ t)] =

k

2 M X (tk−1 ∧ t) [(tk − tk−1 ) ∧ t] ≤ K · t,

k

tehát az (In (t))n korlátos az L2 (Ω) térben így egyenletesen integrálható, következésképpen az X • w az elmondottak miatt martingál. Vegyük ugyanakkor észre, hogy az X L2 (Ω)-korlátosságánál kevesebb is elegend˝o. Az Ω × [0, t] szakaszon tekintsük a P × λ szorzatmértéket, amely a kés˝obb bevezetett terminológia szerint éppen a Wiener–folyamat αw Doléans–mértéke. Ha X ∈ L2 (Ω, A × B ([0, t]) , αw ) , akkor a Fubini–tétel miatt majdnem27 minden t-re X (t) ∈ L2 (Ω) , és az X 2 2 2 kIn (t)k2 = M X (tk−1 ∧ t) [(tk − tk−1 ) ∧ t] → kXk2 < ∞ k

2

miatt az kIn (t)k2 sen integrálható.

n

sorozat korlátos, vagyis a közelít˝o összegek sorozata egyenlete-

2.20 Példa. Tetsz˝oleges p ≥ 1 esetén a wp • w integrálfüggvény martingál. 2.21 Példa. Az exp (w) • w integrálfüggvény martingál. Elegend˝o belátni, hogy az exp (w) folyamat tetsz˝oleges véges szakaszon korlátos az L2 (Ω) térben. Az √ 2 |exp (w (t))| = exp (2w (t)) ∼ = exp N 0, 2 t változó eloszlása lognormális, és a lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján az exp (w) minden véges szakaszokon L2 -korlátos. 2 27 Vegyük észre, hogy csak majdnem minden t-re tudjuk a a folyamat értékeinek négyzetes integrálhatóságát garantálni, így, ha explicite nem tesszük fel, általában nem tudjuk biztosítani, hogy tetsz˝oleges közelít˝o összeg martingál legyen ugyanis nem tudjuk az összes közelít˝o összeg integrálhatóságát garantálni. V.ö.: 2.11. lemma 140. oldal.


148

2.2.3. Itô–formula Wiener–folyamat esetén A sztochasztikus integrálokkal kapcsolatos legfontosabb állítás az úgynevezett Itô– formula. Most csak a legegyszer˝ubb verzióját igazoljuk. 2.22 Tétel. (Itô–formula) Ha f : R → R kétszer folytonosan deriválható függvény és w Wiener–folyamat, akkor Z

b

f 0 (w) dw +

f (w (b)) − f (w (a)) = a

1 2

Z

b

f 00 (w) dλ.

(2.9)

a

Bizonyítás: A (2.9) jobb oldalán szerepl˝o els˝o integrál Itô—Stieltjes, a második pedig trajektóriánként Riemann értelemben létezik, ugyanis a feltétel szerint az f 00 második derivált folytonos28 . Megjegyezzük, hogy az Itô-formula tekinthet˝o a Newton— Leibniz–szabály általánosításának, így nem meglep˝o módon a bizonyítás gondolata emlékeztet a Newton—Leibniz–szabály indoklására. A Newton—Leibniz–szabály bizonyítása, hasonlóan az Itô–formula igazolásához, a (2.10) teleszkopikus összeg tagjainak lokális közelítésén alapszik. A determinisztikus esetben, a Newton—Leibniz– szabály esetén, a közelítés els˝orend˝u, a sztochasztikus esetben, az Itô–formula esetén, másodrend˝u. Könnyen belátható, hogy a determinisztikus esetben a másodrend˝u közelítés értelmetlen és nem eredményez pontosabb formulát, ugyanis a másodrend˝u tagok összege nullához tart. A sztochasztikus esetben azonban az els˝orend˝u közelítése nem megfelel˝ P 0 o, mert a középérték-tétel segítségével kapott köztes közelít˝o pont esetén a k f (w (ξ k )) ∆wk összeg nem lesz konvergens. A konvergenciát csak akkor tudjuk biztosítani, ha a közelít˝o pontot a [tk−1 , tk ] szakasz elején vesszük, de ilyenkor csak a másodrend˝u tag segítségével tudjuk a ∆f növekményt pontosan megadni. Mivel az els˝orend˝u közelít˝oösszeg a közelít˝o pontok helyes megválasztása miatt konvergens, a másodrend˝u tagokból álló összegnek is konvergálni kell. A bizonyítás egyedül a másodrend˝u tagok határértékének kiszámolásából áll. (n) 1. Legyen ti az [a, b] végtelenül finomodó felbontása. Az egyszer˝ubb jelölés n,i

(n)

céljából a ti

pontok jelölésében a fels˝o indexet elhagyjuk. Evidens módon X f (w (b)) − f (w (a)) = [f (w (ti )) − f (w (ti−1 ))] .

(2.10)

i

A Taylor–formula szerint ∆i

$ f (w (ti )) − f (w (ti−1 )) = 1 2 = f 0 (w (ti−1 )) [w (ti ) − w (ti−1 )] + f 00 (ξ i ) [w (ti ) − w (ti−1 )] , 2

ahol29 ξ i ∈ (w (ti−1 ) , w (ti )) . Ha a felbontást minden határon túl finomítjuk, akkor Rb az els˝o tagok összege a Itô—Stieltjes–integrál definíciója szerint az a f 0 (w) dw integrálhoz tart. Csak a második tag határértékének alakja kérdéses. Minden folytonos módon az f 0 folytonos, tehát az f 0 (w (ω)) trajektória folytonos. esetlegesen ξ i (ω) ∈ (w (ti , ω) , w (ti−1 , ω)) . Vegyük észre, hogy a ξ i változókról nem állítjuk, hogy mérhet˝oek, bár az f 00 (ξ i ) evidens módon mérhet˝o. 28 Evidens

29 Értelemszer˝ uen,


149

függvény Riemann–integrálható, ezért X

Z

00

b

f (w (ti−1 )) [ti − ti−1 ] →

f 00 (w (t)) dt,

a

i

ahol a konvergencia ω kimenetenként és trajektóriánként értend˝o30 . Tegyük fel el˝oször, hogy a g $ f 00 függvény korlátos. A 2. pontban alább megmutatjuk, hogy h i X 2 D$ g (w (ti−1 )) (ti − ti−1 ) − (w (ti ) − w (ti−1 )) → 0, (2.11) i

ahol a konvergencia az L2 (Ω) térben értend˝o. Mind a majdnem mindenhol, mind az L2 konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, a sztochasztikus konvergenciában az összeadás folytonos31 , ezért X

Z

2 P

g (w (ti−1 )) [w (ti ) − w (ti−1 )] →

b

g (w (t)) dt. a

i

A X X 2 2 g (ξ i ) [w (ti ) − w (ti−1 )] − g (w (ti−1 )) [w (ti ) − w (ti−1 )] i

(2.12)

i

eltérés felülr˝ol becsülhet˝o a max (|g (ξ i ) − g (w (ti−1 ))|) i

X

2

[w (ti ) − w (ti−1 )]

(2.13)

i

a sorozattal. A második tag sztochasztikusan a w [a, b] szakaszon vett kvadratikus variációjához, vagyis (b − a)-hoz, tart. Az els˝o tag a g és a w folytonossága miatt majdnem mindenhol nullához tart, vagyis az egész (2.13), következésképpen a (2.12) kifejezés sztochasztikusan nullához tart32 . 2. A (2.11) L2 (Ω) konvergencia igazolása a következ˝o:  2

kDk2 $ M 

X i

h

g (w (ti−1 )) ∆ti − (∆w (ti ))

2

i

!2  =

XX i

M (Dij ) ,

j

ahol értelemszer˝uen i h i h 2 2 Dij $ g (w (ti−1 )) ∆ti − (∆w (ti )) g (w (tj−1 )) ∆tj − (∆w (tj )) . 30 Mindenhol, vagy majdnem mindenhol, attól függ˝ oen, hogy a Wiener–folyamat definíciójában milyen megkötést teszünk. 31 V.ö.: [20], 3.14. következmény, 117. oldal. 32 V.ö.: [20], 3.22. következmény, 121. oldal.


150

Ha i < j, akkor a szorzat els˝o három tagja független a negyedikt˝ol és a g korlátossága miatt az els˝o három tag szorzatának van várható értéke, ezért a várható érték képzése felcserélhet˝o az utolsó szorzással, vagyis M (Dij ) = 0. h i2 2 2 M (Dii ) $ M g (w (ti−1 )) ∆ti − (∆w (ti )) ≤ h i2 2 ≤ K 2 M ∆ti − (∆w (ti )) = h i 2 2 4 = = K 2 (∆ti ) − 2∆ti M (∆w (ti )) + M (∆w (ti )) 2

2

= K 2 (∆ti ) (1 − 2 + 3) = 2K 2 (∆ti ) , ahol K a g függvény korlátja. Ebb˝ol, felhasználva, hogy a felosztás finomsága minden határon túl növekszik X X 2 2 kDk2 ≤ 2K 2 (∆ti ) ≤ 2K 2 max (∆ti ) ∆ti = i

i

=

2 (b − a) K 2 max (∆ti ) → 0. i

2

Ezzel az L (Ω) konvergenciát beláttuk. 3. Hátra van a g $ f 00 második derivált korlátosságának elejtése. Legyen (fN )N kétszer folytonosan deriválható függvények olyan sorozata, amely tagjai a [−N, N ] szakaszon megegyeznek az f -fel, és mondjuk a [−N − 1, N + 1] szakasz komplementerén nullák. Világos, hogy az fN második deriváltja korlátos, így érvényes rá a (2.9) egyenl˝oség. Evidens módon33 P

P

fN (w (a)) → f (w (a)) ,

fN (w (b)) → f (w (b)) .

Tetsz˝oleges ω-ra a w (ω) az [a, b] szakaszon korlátos, így ha N elég nagy akkor az 0 (w (ω)) = f 0 (w (ω)) , tehát [a, b] szakaszon fN Z

b

P

00 fN

b

Z

f 00 (w (s, ω)) ds.

(w (s, ω)) ds →

a

a

Tetsz˝oleges ε > 0 számra, ha az N elég nagy, akkor egy Aε ⊆ Ω halmazon, amelyre P (Acε ) < ε a trajektóriák mindegyikének az N korlátja, vagyis 0 f 0 (w (ω)) = fN (w (ω)) , ha ω ∈ Aε , Rb Rb 0 amib˝ol az Aε halmazon34 , a f 0 (w) dw = a fN (w) dw, vagyis

Z a

b 0 fN

P

Z

(w) dw →

b

f 0 (w) dw.

a

2 33 Majdnem 34 V.ö.:

mindenhol is teljesül. 2.15. állítás, 143. oldal.


151

2.23 Példa. Számoljuk ki a sin w sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô–formula alapján Z 1 t − sin (w (s)) ds = cos w (s) dw (s) + = 2 0 0 Z t Z t 1 cos w (s) dw (s) − = sin (w (s)) ds. 2 0 0 Z

sin w (t) − sin w (0)

t

A sin x függvény korlátos, tehát az els˝o sztochasztikus integrál martingál35 , így a várható értéke nulla. Mind a két oldalon várható értéket véve Z t Z t 1 cos w (s) dw (s) − M sin (w (s)) ds = M (sin w (t)) = M 2 0 0 Z t 1 = − M (sin (w (s))) ds. 2 0 Ha f (t) $ M (sin (w (t))) , akkor f (t) = −

1 2

t

Z

f (s) ds,

f (0) = 0.

0

Mind a két oldalt deriválva a 1 d f = − f, ds 2

f (0) = 0

differenciálegyenlethez jutunk, amely megoldása f (t) = 0. Ez azonban nem meglep˝o, ugyanis a keresett integrál a Wiener–folyamat eloszlása alapján 2 Z ∞ 1 x √ sin x exp − dx, 2t 2πt −∞ amely a szinusz függvény páratlansága miatt nulla. 2 2.24 Példa. Számoljuk ki a cos w sztochasztikus folyamat várható értékét. Az Itô–formula alapján Z cos w (t) − cos w (0) = −

sin w (s) dw (s) + 0

35 V.ö.:


t

1 2

Z

t

− cos (w (s)) ds 0


152

Várható értéket véve, felhasználva, hogy az els˝o sztochasztikus integrál várható értéke nulla t t R R 1 M (cos w (t)) − 1 = −M sin w (s) dw (s) − M cos (w (s)) ds = 2 0 0 1 Rt = − M (cos w (s)) ds. 2 0 Bevezetve az f (t) $ M (cos w (t)) függvényt 1 d f (t) = − f (s) , dt 2

f (0) = 1,

amely megoldása 1 f (t) = exp − t . 2

(2.14)

Vegyük észre, hogy éppen az 2 2 Z ∞ Z ∞ √ x 1 1 x √ dx = √ dx cos x exp − cos tx exp − 2t 2 2πt −∞ 2π −∞ integrált számoltuk ki, amely az N (0, 1) eloszlás karakterisztikus függvényének értéke √ a t helyen, amely alapján a (2.14) már magától érthet˝o. 2 2.25 Példa. Számoljuk ki az exp (w) folyamat várható értékét. Ismételten az Itô–formula alapján Z t Z 1 t exp (w (t)) − 1 = exp (w (s)) dw (s) + exp (w (s)) ds. 2 0 0 Várható értéket véve Z t Z t 1 exp (w (s)) ds . M (exp (w (t))) − 1 = M exp (w (s)) dw (s) + M 2 0 0 Miként megjegyeztük az exp (w) • w martingál, így az els˝o várható érték nulla. A már bemutatott módon eljárva 1 d f (t) = f (t) , dt 2

f (0) = 1

egyenletet kapjuk, amely megoldása36 f (t) = exp

1 t . 2 2

36 Vegyük

észre, hogy az okoskodás körkörös, ugyanis a lognormális eloszlás várható értékének képletét implicite felhasználtuk, ugyanis erre hivatkozva igazoltuk, hogy az exp (w) • w martingál.


153

2.26 Példa. Vizsgáljuk meg a lognormális eloszlás várható értékére vonatkozó képletet. Vegyük észre, hogy az el˝oz˝o példa általánosításáról van szó. Az Itô–formula alapján Z t exp (µ + σw (t)) − exp (µ) = σ exp (µ + σw (s)) dw + 0 Z 1 2 t exp (µ + σw (s)) ds. + σ 2 0 Várható értéket véve és elhagyva a sztochasztikus integrál várható értékét a d σ2 f= f (t) , dt 2

f (0) = exp (µ)

egyenlethez jutunk, amely megoldása f (t) = exp

σ2 t+µ , 2

amely a t = 1 helyen éppen a kívánt formulát adja37 . 2 2.27 Példa. R1 Számoljuk ki az 0 wn dw integrált.

wn+1 (1) − wn+1 (0) =

Z

1

(n + 1) wn (s) dw (s) +

0

Ebb˝ol Z 0

1

wn dw =

1 1 wn+1 (1) − n+1 2

Z

1 2

Z

1

(n + 1) nwn−1 (s) ds.

0

1

nwn−1 ds.

0

A példával kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy bár az integrált sikerült „egyszer˝ubb” kifejezésekkel felírni, az integrál eloszlását nem adtuk meg. A képlet alapján meghatározhatjuk azonban az integrál várható értékét. Z 1 Z n 1 1 n n+1 M w dw = M w (1) − M wn−1 (s) ds. n + 1 2 0 0 Ha n páros, akkor az n + 1 és az n − 1 páratlan, és ilyenkor a jobb oldalon szerepl˝o várható értékek nullák, tehát a bal oldal értéke is nulla. Ha az n = 2k + 1, akkor M (wn (t)) = 1 · 3 · . . . · (n − 1) · tn/2 , tehát M wn+1 (1) = 1 · 3 · . . . · n 37 Hangsúlyozzuk,

hogy a gondolatmenet körkörös okoskodást tartalmaz.


154

valamint Z

1

M wn−1 (s) ds =

Z 1 · 3 · . . . · (n − 2)

0

1

t

n−1 2

dt =

0

=

1 · 3 · . . . · (n − 2)

2 , n+1

tehát Z

1 n

w dw

M 0

=

1 · 3 · ... · n n 2 − 1 · 3 · . . . · (n − 2) = 0. n+1 2 n+1

Az eredmény nem túl meglep˝o, ugyanis miként korábban megjegyeztük a wn • w martingál. 2

2.2.4. Itô–formula frakcionális Wiener–folyamatra Az Itô–formula legmeglep˝obb része a másodrend˝u korrekciós tag jelenléte. A másodrend˝u tag a Wiener–folyamat négyzetes változásának pozitivitásával függ össze. Az Itô–formula megértése szempontjából nem érdektelen megvizsgálni a frakcionális Wiener–folyamat esetét. 2.28 Definíció. Legyen 0 < H ≤ 1 és vezessük be az RH (t, s) $

o 1 n 2H 2H 2H |t| + |s| − |t − s| 2

függvényt38 . Frakcionális Wiener–folyamaton, más néven frakcionális Brown–mozgáson olyan wH sztochasztikus folyamatot értünk, amelyre 1. wH (0) = 0, 2. a wH stacionárius növekmény˝u, 3. a növekmények eloszlása normális, nulla várható értékkel, 4. a wH trajektóriái folytonosak, és 5. cov (wH (t) , wH (s)) = M (wH (t) wH (s)) = RH (t, s) , speciálisan 2 2H M [wH (t) − wH (s)] = |t − s| . 38 Csak a H-ra megadott tartományban definiálható a frakcionális Wiener-folyamat egyébként az R nem H lehet kovariancia függvény.


155

Ha H = 1/2, akkor wH Wiener–folyamat. Számoljuk ki a frakcionális Brown–mozgás kvadratikus variációját az [a, b] szakaszon. ! X X 2 2 M [wH (tk ) − wH (tk−1 )] = M [wH (tk ) − wH (tk−1 )] k

k

=

X

|tk − tk−1 |

2H

.

k

Ha 2H − 1 > 0, vagyis ha H > 1/2, akkor X X 2H 2H−1 |tk − tk−1 | ≤ max |tk − tk−1 | |tk − tk−1 | = k

k

k 2H−1

max |tk − tk−1 |

=

k

(b − a) → 0.

A Markov–egyenl˝otlenség miatt ! P

X

2

[wH (tk ) − wH (tk−1 )] ≥ ε

≤

k

1 2H−1 max |tk − tk−1 | (b − a) → 0, ε k

vagyis a kvadratikus variáció sztochasztikusan nullához tart. Ha H < 1/2, akkor a kifejezés határértéke végtelen, ugyanis ha véges lenne, akkor 1 − 2H > 0, és ezért X X 2H 1−2H |tk − tk−1 | → 0 b−a= |tk − tk−1 | ≤ max |tk − tk−1 | k

k

k

lenne. Ennek megfelel˝oen a frakcionális Wiener–folyamat kvadratikus variációja a H = 1/2 esett˝ol eltekintve vagy nulla, vagy végtelen. Tegyük fel, hogy H > 1/2. Ilyenkor a kvadratikus variáció nulla39 . Legyen f 00 ∈ C 2 . Az Itô–formula bizonyítását megismételve ha X f (wH (b)) − f (wH (a)) = [f (wH (tk )) − f (wH (tk−1 ))] , k

akkor a Taylor–formula alapján f (wH (b)) − f (wH (a)) =

X

f 0 (wH (tk−1 )) [wH (tk ) − wH (tk−1 )] + R(n) .

k

ahol R(n) =

1 X 00 2 f (wH (ξ k )) [wH (tk ) − wH (tk−1 )] . 2 k

A trajektóriák folytonossága miatt az f 00 (wH (t)) az [a, b] szakaszon minden kimenetelre korlátos, ezért X 1 2 P |Rn | ≤ sup f 00 (wH (t)) [wH (tk+1 ) − wH (tk )] → 0. 2 t k

39 A

H < 1/2 esettel nem foglalkozunk.


156

Ebb˝ol következ˝oen a lim

∆→0

X

f 0 (wH (tk−1 )) [wH (tk ) − wH (tk−1 )]

k

határérték sztochasztikus konvergenciában létezik, és a határértékre joggal írhatjuk az b

Z

f 0 dwH

a

jelet. Vegyük észre, hogy most az Itô–formulának közvetlenül a Newton—Leibniz– szabály felel meg. A sztochasztikus analízis szokásos jelölésével, ha 1 ≥ H > 1/2, akkor df = f 0 dwH , szemben a H = 1/2 esettel, amikor 1 df = f 0 dw + f 00 dt. 2

2.3. Folytonos szemimartingálok szerinti integrálás Ebben a pontban az integrálelméletet egy relatíve egyszer˝u felépítését mutatjuk be. A pontban az M integrátorról feltesszük, hogy a trajektóriái folytonosak. A tárgyalás tengelyébe a négyzetes változás fogalmát tesszük. A folytonosság miatt a Doob— Meyer–felbontás a négyzetes változás segítségével egyszer˝uen megadható. Másképpen fogalmazva folytonos martingálok esetén a négyzetes változás egybeesik az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációval, és ez lehet˝ové teszi a Doob—Meyer–felbontás közvetlen megadását. A felépítés származékos el˝onye, hogy nem csak az el˝orejelezhet˝o, hanem a progresszíven mérhet˝o folyamatok integrálját is definiálni tudjuk. A tárgyalás során fel fogjuk használni a már tárgyalt Itô—Stieltjes–integrál elemi tulajdonságait.

2.3.1. Folytonos, korlátos martingálok négyzetes változása A sztochasztikus integrálok definiálásakor abból indultunk ki, hogy az integrátorok trajektóriái általában nem korlátos változásúak, így a klasszikus módon nem tudjuk az integrált definiálni. Ha a közelít˝o összegeket speciálisan választjuk és megelégszünk a sztochasztikus konvergenciával, akkor az integrál40 értelmezhet˝o. Az integrál értéke azonban függ a közelít˝o összeg képzési módjától. Ennek oka, hogy az integrátor folyamatok négyzetes változása véges. Emlékeztetünk a definícióra. 2.29 Definíció. Tetsz˝oleges X folyamatra legyen ∆ TX (t) $

X

2

[X (tk ) − X (tk−1 )]

k 40 Természetesen

idáig csak folytonos trajektóriájú folyamatokra értelmeztük az integrált.

(2.15)

2.3. FOLYTONOS SZEMIMARTINGÁLOK SZERINTI INTEGRÁLÁS

157

ahol ∆ a [0, t] felbontása. Azt mondjuk, hogy a [0, t] intervallumon az X négyzetes ∆ változása véges, ha ∆ → 0 esetén a TX (t) sztochasztikusan konvergens. A (2.15) határértékét az X négyzetes változásának mondjuk és [X, X] (t) , illetve [X] (t) módon jelöljük. Ha az X a szövegkörnyezetb˝ol evidens, akkor az egyszer˝ubb jelölés céljából ∆ a TX helyett csak a T ∆ szimbólumot írjuk. 2.30 Példa. m.m. Ha az X ∈ V trajektóriái majdnem minden kimenetelre folytonosak, akkor [X] = 0. Valóban, ha ∆ → 0, akkor X ∆ 2 T (t) = |X (tk ) − X (tk−1 )| ≤ k

≤

m.m.

max |X (tk ) − X (tk−1 )| Var (X) (t) → 0, k

ugyanis az X ∈ V feltétel miatt Var (X) (t) < ∞, és a trajektóriák folytonossága miatt, a véges szakaszokon az X trajektóriái egyenletesen folytonosak, tehát m.m.

max |X (tk ) − X (tk−1 )| → 0. k

2 2.31 Példa. A Wiener–folyamat négyzetes változása t. A Poisson–folyamat négyzetes változása az adott intervallumba es˝o ugrások száma, vagyis önmaga. Ha ∆w (tk ) $ w (tk ) − w (tk−1 ), akkor a Wiener–folyamat definíciója alapján ! X X 2 M (∆w (tk )) = (tk − tk−1 ) = b − a. k

k

A w független növekmény˝u és a növekmények várható értéke nulla, ezért, ha a felosztás finomsága nullához tart, akkor

2

!

X X

2 2 2 (∆w (tk )) − (b − a) = D (∆w (tk )) =

k k 2 X 2 = D2 (∆w (tk )) ≤ k

≤

X

≤

3 · (b − a) · max (tk − tk−1 ) → 0.

2

3 · (tk − tk−1 ) ≤

k k

Ha π Poisson–folyamat, akkor minden ω kimenetre a [0, t] szakaszon csak véges sok ugrással rendelkezik. Ha a felbontás elég finom, akkor egy részintervallumban legfeljebb csak egy ugrás van, tehát X 2 T ∆ (t, ω) = (∆π (tk , ω)) = az ugrások száma. k


158

m.m.

Evidens módon T ∆ (t, ω) → [π] (t, ω) . 2 2.32 Állítás. (Elemi Doob—Meyer-felbontás) Ha M korlátos, folytonos martingál, akkor az [M ] létezik. Az [M ] az egyetlen olyan folytonos, monoton növeked˝o folyamat, amelyre [M ] (0) = 0 és az M 2 − [M ] martingál41 . Tetsz˝oleges t-re, ha a [0, t] intervallum (∆n )n felbontássorozat nullához tart, akkor p sup T ∆n (s) − [M ] (s) → 0. (2.16) s≤t

Bizonyítás: Az egyértelm˝uség Fisk tétele42 alapján evidens, ugyanis ha az M 2 − A és az M 2 − B folytonos martingál, akkor az A − B is folytonos martingál. Mivel az A és a B monoton n˝o, ezért az A − B korlátos változású, tehát konstans. Mivel A (0) − B (0) = 0, ezért A − B ≡ 0. Az [M ] definíciójából evidens, hogy a trajektóriái monoton n˝onek. Az Itô—Stieltjes–integrálra vonatkozó parciális integrálási formula alapján43 M 2 − [M ] = M 2 (0) + 2M • M. Az M feltételezett korlátossága miatt az M • M folytonos martingál44 . A (2.16) igazolásához tekintsük az elemi x2 − y 2 = 2y (x − y) + (x − y)

2

azonosságból következ˝o M 2 (t) − M 2 (0)

=

X M 2 (tk ) − M 2 (tk−1 ) =

=

2

k

X

M (tk−1 ) ∆M (tk ) +

k

X

2

(∆M (tk ))

k

azonosságot, amelyet átrendezve X X 2 M 2 (t) − (∆M (tk )) = M 2 (0) + 2 M (tk−1 ) ∆M (tk ) . k

k

Az Itô—Stieltjes–integrál létezése kapcsán beláttuk, hogy a jobb oldal minden kompakt szakaszon sztochasztikusan egyenletesen konvergál45 , ezért ugyanez teljesül a bal oldalra is. Ugyancsak beláttuk, hogy ha az M folytonos és korlátos, akkor az M • M sztochasztikus integrál martingál, következésképpen az M 2 − [M ] = M 2 (0) + 2M • M martingál. 2 41 Vagyis

[M ] = hM i . 1.121. állítás, 83. 43 V.ö.: 2.17. állítás, 144. 44 V.ö.: 2.18. állítás, 146. 45 V.ö.: 2.18. állítás, 146. 42 V.ö.:

oldal. oldal. oldal. oldal.


159

2.33 Állítás. Az el˝oz˝o tételben szerepl˝o feltételek mellett tetsz˝oleges τ megállási id˝ore [M τ ] = τ [M ] . Bizonyítás: A martingálmegmaradási tételmiatt az M 2 −[M ] martingált τ id˝opontban τ 2 megállítva martingált kapunk. Mivel M 2 = (M τ ) , ezért az 2

τ

(M τ ) − [M ] = M 2

τ

τ τ − [M ] = M 2 − [M ] τ

martingál, tehát az egyértelm˝uség miatt [M τ ] = [M ] . 2

2.3.2. Folytonos, lokális martingálok négyzetes változása Legyen M folytonos, lokális martingál. Az M folytonos, ezért a υ n $ inf {t : |M (t)| ≥ n} találati id˝o megállási id˝o, tehát ha a τ n helyett a σ n $ τ n ∧ υ n lokalizációs sorozatot vesszük, akkor az (M σn )n lokalizált sorozat elemei korlátos martingálok46 . 2.34 Állítás. Ha M folytonos, lokális martingál, akkor létezik, mégpedig egyetlen olyan folytonos, monoton növeked˝o [M ] folyamat, amelyre [M ] (0) = 0 és az M 2 − [M ] folytonos lokális martingál. Tetsz˝oleges t-re, ha a [0, t] intervallum (∆n )n felbontássorozata nullához tart, akkor p sup T ∆n (s) − [M ] (s) → 0. (2.17) s≤t

Bizonyítás: Legyen (τ n )n olyan lokalizációs sorozat, amelyre az Mn $ M τ n korlátos martingál. A korlátos martingálokra vonatkozó állítás szerint van olyan [Mn ] folyamat, amelyre az Mn2 − [Mn ] folytonos martingál. Az el˝oz˝o állítás szerint τn τ [Mn ] = Mn+1 = [Mn+1 ] n , vagyis a [0, τ n ] intervallumon [Mn ] = [Mn+1 ] . Mivel τ n % ∞, ezért egyértelm˝uen definiálható az [M ] függvény mint az [Mn ] függvények „egyesítése”. Evidens módon az [M ] folytonos, monoton n˝o és [M ] (0) = 0. Nyilvánvalóan τ n 2 τ M 2 − [M ] = (M τ n ) − [M ] n = Mn2 − [Mn ] , amely a konstrukció alapján martingál, tehát az M 2 − [M ] lokális martingál. Ha valamilyen A folytonos, növeked˝o folyamatra, amelyre A (0) = 0 az M 2 − A szintén lokális martingál, akkor az A−[M ] korlátos változású, folytonos lokális martingál, így a Fisk–tétel szerint konstans, és mivel a nulla pontban nulla, ezért azonosan nulla47 . 46 Természetesen

kihasználtuk, hogy martingálok megállítása martingál. észre, hogy a konstrukcióból és az egyértelm˝uségb˝ol következ˝oen tetsz˝oleges lokalizációs sorozatot vehetünk. 47 Vegyük


160

Hátra van még a (2.17) belátása. Legyenek ε, δ, t > 0 rögzítettek. Mivel τ n → ∞, elég nagy n-re P (τ n ≤ t) ≤ δ. Az egyszer˝uség kedvéért jelölje σ $ τ n az így kapott megállási id˝ot. A [0, σ] véletlen ∆ ∆ ∆ ∆ intervallumon a TM megegyezik a TM σ folyamattal, vagyis TM (t, ω) = TM σ (t, ω) , σ ha 0 ≤ t ≤ σ (ω) . Az [M ] konstrukciója alapján a [0, σ]-án [M ] = [M ] . Ebb˝ol ha ∆n A $ sup TM (s) − [M ] (s) > ε , s≤t

akkor P (A)

=

P ((σ ≤ t) ∩ A) + P (A ∩ (σ > t)) ≤

≤

P (σ ≤ t) + P (A ∩ (σ > t)) ≤ δ + P (Aσ )

ahol Aσ az A-val analóg módon képzett halmaz, csak M helyébe az M σ megállított folyamatot kell tenni. A megállított folyamat korlátos folytonos martingál, tehát ha ∆ → 0, akkor P (Aσ ) → 0. 2 2.35 Állítás. Ha M és N folytonos lokális martingálok, akkor létezik, mégpedig egyetlen, olyan [M, N ] korlátos változású folytonos folyamat, amely a t = 0 pontban nulla, és amelyre az M N − [M, N ] folytonos lokális martingál. Továbbá a [0, t] tetsz˝oleges nullához tartó (∆n )n felbontássorozatára a sup T ∆n (s) − [M, N ] (s) s≤t

változó sztochasztikusan nullához tart, ahol X T ∆n (s) $ [M (tk ∧ s) − M (tk−1 ∧ s)] [N (tk ∧ s) − N (tk−1 ∧ s)] .

(2.18)

k

Bizonyítás: Az egyértelm˝uség ismételten evidens, ugyanis ha az A és a B folyamatokra az M N − A és az M N − B folytonos lokális martingál, akkor mivel a lokális martingálok lineáris teret alkotnak, ezért A − B ∈ V ∩L, tehát a Fisk–tétel miatt konstans. Mivel a feltétel miatt A (0) = B (0) = 0, ezért A − B ≡ 0. MN =

1 2 2 (M + N ) − (M − N ) , 4

ezért könnyen látható, hogy az [M, N ] $

1 ([M + N ] − [M − N ]) 4

(2.19)

teljesíti az állítás feltételeit. 2


161

2.36 Definíció. Az [M, N ] értéket az M és az N négyzetes keresztvariációjának mondjuk. 2.37 Példa. Független folytonos martingálok négyzetes keresztvariációja nulla. Ha M és N független martingálok, akkor az M N szorzat martingál az Ft $ FtM FtN filtrációra nézve, ahol az FtM FtN szorzaton a A ∩ B alakú metszetek által generált σ-algebrát értjük. Ha F = A ∩ B, A ∈ FsM , B ∈ FsN akkor M (M N (t) χF )

=

M (M (t) χA N (t) χB ) = M (M (t) χA ) M (N (t) χB ) =

=

M (M (s) χA ) M (N (s) χB ) = M (M N (s) χF ) ,

amely egyenl˝oség a mértékek egyértelm˝u kiterjeszthet˝osége48 miatt minden F ∈ Fs halmazra is teljesül. A kvadratikus variáció nem függ a filtrációtól, ezért [M, N ] = 0. 2 Nem érdektelen megjegyezni, hogy az [M ] azon tulajdonsága, hogy az M 2 − [M ] lokális martingál, csak folytonos folyamatok esetén ekvivalens a négyzetes változást megadó definícióval. 2.38 Példa. A kompenzált Poisson-folyamat felbontása. Legyen π (t) λ paraméter˝u Poisson–folyamat. A π független és stacionárius növekmény˝u, ezért a ν (t) $ π (t)−λt martingál49 . Ugyanakkor a ν 2 (t)−λt szintén martingál, ugyanis 2 M ν 2 (t) − λt | Fs = ν (s) + 2ν (s) M (ν (t) − ν (s) | Fs ) + 2 +M (ν (t) − ν (s)) | Fs − λt. A folyamat független növekmény˝u, ezért a feltételes várható értékek valódi várható értékek, tehát, felhasználva, hogy a folyamat stacionárius növekmény˝u 2ν (s) M (ν (t) − ν (s) | Fs ) = 2ν (s) M (ν (t − s)) = 0 2 2 M (ν (t) − ν (s)) | Fs = M (ν (t − s)) = λ (t − s) , amib˝ol M ν 2 (t) − λt | Fs

= ν 2 (s) + λ (t − s) − λt = = ν 2 (s) − λs.

Ha a [0, t] szakaszt részekre bontjuk, és tekintjük a négyzetes változást, akkor X X 2 Tν∆ = Tπ∆ − 2λ (π (tk ) − π (tk−1 )) (tk − tk−1 ) + λ2 (tk − tk−1 ) . k

k

Könnyen látható, hogy ha maxk (tk − tk−1 ) → 0, akkor az els˝o tag határértéke a π folyamat50 , a másik két tag pedig nullához tart. függetlenség miatt M N ∈ L1 . 1.148. példa, 107. oldal. 50 V.ö.: 2.31. példa, 157. oldal. 48 A

49 V.ö.:


162

2 A kés˝obbiek pontos megértéséhez érdemes hangsúlyozni, hogy minden M folytonos folyamat lokálisan korlátos, így ha M folytonos lokális martingál, akkor tri2 viálisan M ∈ Hloc . Az integrál alábbi konstrukciója során a kvadratikus variáció dönt˝o szerepet fog játszani. Fel kell hívni azonban a figyelmet arra, hogy az kvadratikus variáció egyetlen tulajdonsága, amire a továbbiakban szükségünk lesz az, hogy az [M ] az egyetlen olyan monoton növeked˝o, folytonos folyamat, amelyre az M 2 − [M ] lokális martingál51 . Kés˝obb az integrált ki fogjuk terjeszteni nem foly2 tonos Hloc folyamatokra. Ilyenkor az [M ] helyett az úgynevezett el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációt fogjuk használni. Az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációt hM i módon fogjuk jelölni. Definíció szerint hM i az egyetlen olyan monoton növeked˝o el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre M 2 − hM i . 2.39 Állítás. Ha M és N tetsz˝oleges folytonos lokális martingálok, akkor [M, N ] = [M − M (0) , N − N (0)] = [M − M (0) , N ] . Bizonyítás: Triviálisan az (M − M (0)) (N − N (0)) − [M, N ]

=

M N − [M, N ] + M (0) N (0) − −M (0) N − M N (0)

lokális martingál, így a keresztvariáció egyértelm˝u jellemzése miatt az állítás evidens. 2 2.40 Állítás. (Négyzetes változás megállítási szabálya) Legyen τ tetsz˝oleges megállási id˝o. τ

1. Ha M folytonos lokális martingál, akkor [M τ ] = [M ] . 2. Ha M és N folytonos lokális martingálok, akkor τ

[M τ , N τ ] = [M, N ] = [M, N τ ] . Bizonyítás: Az [M τ ] az egyetlen olyan A a nulla id˝opontban nulla, folytonos, monoton 2 növeked˝o folyamat, amelyre az (M τ ) − A folytonos lokális martingál. Az M 2 − [M ] az [M ] definíciója szerint folytonos lokális martingál, így az τ τ τ 2 τ M 2 − [M ] = M 2 − [M ] = (M τ ) − [M ] τ

is folytonos lokális martingál. Az egyértelm˝uség miatt [M ] = [M τ ] . A (2.19) és az állítás már belátott része alapján [M τ , N τ ] $ = 51 V.ö.:

2.83. tétel, 191. oldal.

1 τ τ ([(M + N ) ] − [(M − N ) ]) = 4 1 τ τ τ ([M + N ] − [M − N ] ) = [M, N ] . 4


163

Ha U és V martingálok, τ megállási id˝o, akkor tetsz˝oleges σ korlátos megállási id˝ore, a megállási opciókról szóló tétel szerint M (U τ · (V − V τ ) (σ))

= M (U (τ ∧ σ) · M (V (σ) − V (τ ∧ σ) | Fτ ∧σ )) = = M (U (τ ∧ σ) · 0) = 0,

következésképpen az U τ (V − V τ ) martingál. Ebb˝ol lokalizációval azonnal következik, hogy az M τ (N − N τ ) lokális martingál, így az M τ N − [M, N ]

τ

τ

= M τ N − M τ N τ + M τ N τ − [M, N ] = τ

τ

= M τ (N − N τ ) + ((M N ) − [M, N ] ) is lokális martingál, amib˝ol a keresztvariáció egyértelm˝usége miatt τ

[M, N τ ] = [M, N ] = [M τ , N τ ] . 2 2.41 Állítás. Az [M ] kvadratikus variáció pontosan akkor azonosan nulla, ha az M konstans. Bizonyítás: Ha az M konstans, akkor az M 2 is konstans, ami martingál, vagyis τ [M ] = 0. Tegyük fel, hogy [M ] = 0. Mivel [M τ ] = [M ] , a fordított állítást elég martingálokra igazolni. Mivel 2

2

(M − M (0)) = (M − M (0)) − [M ] és a jobb oldal martingál, ezért, a bal oldal is az, így mindent t-re 2 2 M (M (t) − M (0)) = M (M (0) − M (0)) = 0, m.m.

vagyis M = M (0) . 2 2.42 Következmény. Valamely [a, b] intervallumon az M folytonos lokális martingál pontosan akkor konstans52 , ha az [a, b] szakaszon az [M ] konstans. Bizonyítás: Ha τ n % ∞, akkor tetsz˝oleges X folyamat pontosan akkor konstans az [a, b] szakaszon, ha minden n-re az X τ n konstans a megadott szakaszon. Ezt figyeτ lembe véve és felhasználva, hogy [M τ n ] = [M ] n feltehetjük, hogy az M martingál. 1. Ha az M konstans az [a, b] szakaszon, akkor az N (t) $ M (t + a) − M (a) 52 Természetesen majdnem mindenhol értelemben. A feltétel úgy értend˝ o, hogy az M konstans valószín˝uségi változó.


164

konstans a [0, b − a] szakaszon. Az N triviálisan martingál a Gt $ Ft+a , t ≥ 0 filtrációra nézve, így az el˝oz˝o állítás szerint az [N ] nulla a [0, b − a] szakaszon. N 2 (t) − [N ] (t) = M 2 (t + a) − 2M (t + a) M (a) + M 2 (a) − [N ] (t) . Az M 2 (t + a) − [M ] (t + a) − [M ] (a) és az M (t + a) M (a) + M 2 (a) nyilván G-martingál, így a kvadratikus variáció egyértelm˝usége miatt [N ] (t) = [M ] (t + a) − [M ] (a) = 0, vagyis a [0, b − a] szakaszon az [M ] (t + a) konstans53 . 2. Miként az el˝obb [N ] (t) = [M ] (t + a) − [M ] (a) . Ha az [M ] konstans az [a, b] szakaszon, akkor az [N ] nulla az N pedig konstans a [0, b − a] szakaszon, ami alapján M (a) = M (t + a) , ha t ∈ [0, b − a] . 2 Az elmondottak alapján a következ˝o állítás evidens. 2.43 Állítás. Az [M, N ] bilineáris, szimmetrikus forma, [M ] ≥ 0, [M ] = 0, pontosan akkor, ha az M konstans. Az összefüggés tetsz˝oleges [a, ∞) félegyenesen is érvényes, ha az [M, N ] helyett az [M, N ] − [M, N ] (a) növekményeket vesszük.

2.3.3. Folytonos szemimartingálok négyzetes változása Emlékeztetünk a következ˝o definícióra: 2.44 Definíció. A X folyamatot folytonos szemimartingálnak mondjuk, ha X = X (0) + V + L, ahol L folytonos lokális martingál, V folytonos korlátos változású folyamat. 2.45 Állítás. Ha X folytonos szemimartingál, akkor a X-nek van véges négyzetes változása és [X] = [L]. 53 Vegyük észre, hogy az állítás igazolása a kvadratikus variáció képlete alapján evidens, de a továbbiakban szándékosan kerüljük a kvadratikus variáció definíciójára való közvetlen hivatkozást, ugyanis egyedül az [M ] = hM i tulajdonságot akarjuk felhasználni.


165

Bizonyítás: Vegyünk a [0, t] ∆ felbontást és tekintsük a X 2 T ∆ (t) $ [X (tk ) − X (tk−1 )] = k

=

X

2

[L (tk ) − L (tk−1 )] +

k

+2

X

2

[V (tk ) − V (tk−1 )] +

k

X

[L (tk ) − L (tk−1 )] [V (tk ) − V (tk−1 )]

k

közelít˝o összeget. Az els˝o tag az [L]-hez a második tag nullához tart. A harmadik tagra X X |V (tk ) − V (tk−1 )| ≤ ∆L (tk ) ∆V (tk ) ≤ max |L (tk ) − L (tk−1 )| k k

k

≤ max |L (tk ) − L (tk−1 )| (Var (V )) (t) , k

ahol (Var (V )) (t) a V véges variációja. Az L folytonos, ezért ha ∆ → 0, akkor maxk |L (tk ) − L (tk−1 )| → 0. Mindez természetesen ω-ként majdnem mindenhol értend˝o. De a majdnem mindenhol való konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, vagyis az X-nek létezik a kvadratikus variációja. 2

2.3.4. Négyzetesen integrálható, folytonos martingálok tere 2.46 Definíció. Miként korábban jelölje H2 az L2 (Ω)-ban korlátos54 , H2 $ Hc2 az L2 (Ω)-ban korlátos, majdnem minden kimenetelre folytonos trajektóriákkal rendelkez˝o martingálok családját. H20 az olyan M ∈ H2 martingálok halmaza, amelyre M (0) = 0. A H2 és a H2 elemei ekvivalenciaosztályok. A megkülönböztethetetlen folyamatokat azonosnak tekintjük. 2.47 Állítás. A megadott azonosítással a H2 Hilbert-tér, kM kH2 $ kM (∞)k2 = lim kM (t)k2 , t→∞

és a folytonos trajektóriával rendelkez˝o martingálok H2 halmaza a H2 zárt altere. Bizonyítás: Az els˝o állítás nyilvánvaló, ugyanis az M (t) → M (∞) konvergencia L2 normában teljesül, és a norma folytonos függvény. Legyen (Mn )n folytonos martingálok sorozata és tegyük fel, hogy Mn → M, ahol a konvergencia a H2 térben értend˝o. A Doob–egyenl˝otlenség55 miatt 2 ! 2 M sup |Mn (t) − M (t)| ≤ 4 kMn (∞) − M (∞)k2 $ t

2

$ 4 kMn − M kH2 → 0. 54 Vagyis 55 V.ö.:

supt kM (t)k < ∞. (1.20) sor, 50. oldal.


166

Az L2 -konvergenciából alkalmas részsorozatra következik a majdnem mindenhol való konvergencia, ezért m.m. sup |Mnk (t) − M (t)| → 0, t

tehát majdnem minden ω kimenetelre Mnk (t, ω) → M (t, ω) ahol a konvergencia tben egyenletes, ezért az M (t, ω) folytonos, vagyis az M trajektóriái majdnem minden kimenetelre folytonosak. 2 2.48 Példa. A Wiener–folyamat. A Wiener–folyamat minden véges szakaszon eleme √ a H0 -nak, vagyis minden T -re a τ ≡ T megállási id˝ovel wτ ∈ H0 és kwτ kH2 = T . 2 2.49 Állítás. (Négyzetesen integrálható martingálok jellemzése) Legyen M folytonos lokális martingál. Az alábbi állítások ekvivalensek: 1. M ∈ H2 , 2. az M 2 − [M ] egyenletes integrálható martingál, 3. M (0) ∈ L2 , M ([M ] (∞)) < ∞. Bizonyítás: Az állítások ekvivalenciájának körkörös igazolása a következ˝o: 1. Tegyük fel, hogy M ∈ H2 , és legyen (τ n )n az M 2 − [M ] lokális martingál lokalizációs sorozata. 2

(M τ n (t)) − [M τ n ] (t)

=

2

τn

(M τ n (t)) − [M ]

(t) =

2

= M (σ n ) − [M ] (σ n ) , ahol σ n $ τ n ∧ t. A martingál tulajdonság miatt M M 2 (σ n ) − [M ] (σ n ) = M M 2 (0) . A Doob–egyenl˝otlenség miatt M 2 (σ n ) ≤ sup M 2 (t) ∈ L1 , t

így a majorált konvergencia tétel szerint lim M M 2 (σ n ) = M M 2 (∞) < ∞.

n→∞

Az [M ] monotonitása miatt használható a monoton konvergencia tétele, tehát lim M ([M ] (σ n )) = M ([M ] (∞)) ,

n→∞

(2.20)


167

amib˝ol a (2.20) alapján M ([M ] (∞)) < ∞. Ismételten a Doob–egyenl˝otlenség szerint tetsz˝oleges τ megállási id˝ore M 2 − [M ] (τ ) ≤ sup M 2 (t) − [M ] (t) ≤ t

2

≤ sup |M (t)| + sup [M ] (t) = sup M 2 (t) + [M ] (∞) ∈ L1 , t

t

t

tehát az M 2 − [M ] rendelkezik integrálható majoránssal, tehát egyenletesen integrálható. Az egyenl˝otlenség miatt az M 2 − [M ] D-osztályba es˝o lokális martingál, tehát martingál56 . 2. Ha az M 2 − [M ] egyenletesen integrálható martingál, akkor M M 2 (0) = M

M 2 − [M ] (0) < ∞,

illetve M

M 2 − [M ] (∞) < ∞.

Ez azonban a várható érték definíciója alapján csak akkor lehetséges, ha M ([M ] (∞)) < ∞. 3. Legyen τ tetsz˝oleges megállási id˝o. A kvadratikus variáció definíciója szerint M 2 (τ ) ≤ [M ] (∞) + M 2 (0) . A feltétel szerint a jobb oldal várható értéke véges, tehát az M (τ ) alakú változók S halmaza L2 -ben korlátos, vagyis az S egyenletesen integrálható, ezért az M Dosztályba es˝o lokális martingál, tehát martingál57 . Az M 2 ≤ [M ] (∞) + M 2 (0) miatt az M triviálisan L2 -korlátos, vagyis M ∈ H2 . 2 2.50 Következmény. Ha M ∈ H2 és σ ≤ τ megállási id˝ok, akkor M M 2 (τ ) − M 2 (σ) | Fσ

= =

M ([M ] (τ ) − [M ] (σ) | Fσ ) = 2 M (M (τ ) − M (σ)) | Fσ ,

speciálisan M M 2 (τ ) − M M 2 (0) = M ([M ] (τ )) . 56 V.ö.: 57 V.ö.:

1.88. példa, 63. oldal. 1.88. példa, 63. oldal.


168

Bizonyítás: Az els˝o egyenl˝otlenség azonnal következik a megállási opciókról szóló tételb˝ol, illetve abból, hogy az M 2 − [M ] egyenletesen integrálható martingál, ugyanis ha σ ≤ τ , akkor M M 2 (τ ) − [M ] (τ ) | Fσ = M 2 (σ) − [M ] (σ) . Az M is egyenletesen integrálható és ezért M (σ) = M (M (τ ) | Fσ ) 2 M (M (τ ) − M (σ)) | Fσ = = M M 2 (τ ) + M 2 (σ) − 2M (σ) M (τ ) | Fσ = = M M 2 (τ ) − M 2 (σ) | Fσ . 2

2.3.5. Folytonos lokális martingálok Doléans–mértéke Legyen M folytonos szemimartingál. Vezessük be az Z ∞ αM (C) $ M χC d [M ] 0

úgynevezett Doléans–mértéket. Az αM mértéket megadó képlet értelmes58 a szorzatmérhet˝o halmazokon. Például, ha τ tetsz˝oleges véletlen id˝opont, akkor Z ∞ αM ([0, τ ]) $ M χ [0, τ ] d [M ] = M ([M ] (τ ) − [M ] (0)) = 0

=

M ([M ] (τ )) ,

és az [M ] folytonossága miatt αM ([0, τ ]) = αM ((0, τ )) = αM ((0, τ ]) = αM ([0, τ )) . 2.51 Állítás. Ha M ∈ H2 , akkor a véletlen szakaszok Doléans–mértéke αM ([0, τ ]) = M M 2 (τ ) − M M 2 (0) . Bizonyítás: Az M 2 − [M ] egyenletesen integrálható martingál, így ha τ megállási id˝o, akkor a megállási opciókról szóló tétel szerint M M 2 − [M ] (τ ) = M M 2 − [M ] (0) . Az M ∈ H2 miatt a várható értékek szétszedhet˝ok, tehát αM ([0, τ ])

= M ([M ] (τ )) − M ([M ] (0)) = = M M 2 (τ ) − M M 2 (0) . 2

58 V.ö.:



169

2.52 Következmény. Ha M ∈ H20 , akkor kM kH2 $

p

M (M 2 (∞)) =

p

p

p

M ([M ] (∞)) $ [M ] (∞) = αM (R+ × Ω). 2 (2.21)

Bizonyítás: Ha M ∈ H20 , akkor M 2 − [M ] ∈ M, így a második egyenl˝oség teljesül. A többi egyenl˝oség a bevezetett definíciók miatt evidens. 2

2.3.6. Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség A sztochasztikus integrálok konstrukciója a következ˝o egyenl˝otlenségre épül. 2.53 Állítás. Ha X és Y szorzatmérhet˝o sztochasztikus folyamatok és M, N folytonos lokális martingálok59 valamint T ≤ ∞ és V $ Var ([M, N ]) az [M, N ] teljes megváltozása, akkor s s Z T Z T Z T 2 |XY | dV ≤ X d [M ] Y 2 d [N ], (2.22) 0

0

0

ahol az integrálok trajektóriánként, az egyenl˝otlenség majdnem mindenhol értend˝o. Az egyenl˝otlenséget az integrál új jelölése szerint felírva p p |XY | • V ≤ X 2 • [M ] Y 2 • [N ]. Bizonyítás: Elég az állítást véges T -kre bizonyítani, a T = ∞ eset határértékként kapható. A monoton konvergencia tétel miatt elegend˝o az állítást korlátos X és Y foigazolni. lyamatokra Ugyancsak elegend˝o belátni az egyenl˝otlenséget ha a bal oldalon R T 0 XY d [M, N ] áll, ugyanis ha az egyenl˝otlenség ebben a formában teljesül, akkor az Y helyébe vehetjük az Ye $ Y · sgn (XY )

dV d [M, N ]

folyamatot. El˝oször tegyük fel, hogy az X és az Y minden ω-ra egy-egy (a (ω) , b (ω)] intervallum karakterisztikus függvénye. Ilyenkor az egyenl˝otlenség q q b b b [[M, N ]]a ≤ [[M ]]a [[N ]]a . Ennek igazolása megegyezik a Cauchy—Schwarz–egyenl˝otlenség igazolásával, csak azt kell észrevenni, hogy minden r racionális számra nulla mérték˝u halmaztól eltekintve60 b b b b 0 ≤ [[M + rN ]]a = [[M, M ]]a + 2r [[M, N ]]a + r2 [[N, N ]]a , 59 Vegyük észre, hogy az X és az Y nem feltétlenül adaptált, az M és az N esetében csak a kvadratikus variáció létezését és jobbról való folytonosságát használjuk ki. 60 V.ö.: 2.43. állítás, 164. oldal.


170

és mivel a kvadratikus variáció majdnem mindenhol jobbról folytonos, ezért az egyenl˝otlenség mint r valós számra is teljesül61 . Legyenek X és Y a (0, T ] szakasz valamely felbontásához62 tartozó lépcs˝os függvények. Ekkor, mivel trajektóriánként kell integrálni Z T X t |X (tk ) Y (tk )| [[M, N ]]tk+1 XY d [M, N ] ≤ ≤ k 0 k q q X t t ≤ |X (tk ) Y (tk )| [[M ]]tk+1 [[N ]]tk+1 . k k k

A Cauchy—Schwarz–egyenl˝otlenség miatt ez tovább becsülhet˝o s s rP rP T R RT 2 tk+1 t 2 d [M ] ≤ X Y 2 d [N ]. |X (tk )| [[M ]]tk Y 2 (tk ) [[N ]]tk+1 = k k

k

0

0

Rögzítsük mondjuk az Y lépcs˝os folyamatot, és tekintsük azokat az X folyamatokat, amelyekre az egyenl˝otlenség teljesül. Világos, hogy az ilyen X függvények eleget tesznek a π-λ tételnek, tehát tartalmazzák a lépcs˝os folyamatok által generált σ-algebrára nézve mérhet˝o függvényeket. De a lépcs˝os függvények által generált σ-algebra éppen a szorzat σ-algebra, tehát az X lehet az összes a szorzat σ-algebrára nézve mérhet˝o korlátos függvény. Ezt követ˝oen rögzítsük az X-et és ismételjük meg a gondolatmenetet az Y -ra. 2 2.54 Következmény. Ha q, p ≥ 1 és 1/p + 1/q, akkor Z

∞

|XY | d [M, N ]

M 0

sZ

∞

≤ X 2 d [M ]

0

sZ

∞

Y 2 d [N ] .

0

p

q

Bizonyítás: A Hölder-egyenl˝otlenség és a már belátott (2.22) egyenl˝otlenség alapján sZ sZ ! Z ∞ ∞ ∞ 2 2 M |XY | d [M, N ] ≤ M X d [M ] Y d [N ] ≤ 0

0

0

sZ

∞

2 ≤ X d [M ]

0

p

sZ

∞

2 Y d [N ] .

0 q

2

2.3.7. Folytonos H2 -martingálok szerinti integrálás 2.55 Definíció. Legyen M folytonos lokális martingál. Jelölje L2 (M ) az (R+ × Ω, R, αM ) mértéktéren négyzetesen integrálható függvények ekvivalenciaosztályaiból álló teret. Az L2 (M ) Hilbert–térben a normát k·kM módon fogjuk jelölni. 61 A

kvadratikus variáció és az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció jobbról reguláris. hogy a felbontás a két folyamatra azonos.

62 Feltehet˝ o,


171

2.56 Példa. A Wiener–folyamat esete. A Wiener–folyamat kvadratikus variációja a [0, t] szakaszon t, ezért a [0, T ] szakaszon R T 2 kXkw = M 0 X 2 dλ . Speciálisan w ∈ L2 (w) , ugyanis a Fubini–tétel szerint 2 kwkw

Z

!

T 2

w (s) ds

=M

Z

T

=

M w2 (s) ds =

sds < ∞. 0

0

0

T

Z

2 2.57 Állítás. (Sztochasztikus integrálás és kvadratikus variáció) Ha M folytonos lokális martingál és X ∈ L2 (M ) , akkor létezik, mégpedig egyetlen, olyan X • M módon jelölt H20 -beli elem, amelyre minden N ∈ H2 esetén érvényes az [X • M, N ] = X • [M, N ]

(2.23)

úgynevezett felcserélési szabály. Ha az X • M folyamatot akkor a (2.23) felcserélési szabály Z t Z t XdM, N = Xd [M, N ] 0

Rt 0

XdM módon jelöljük,

0

módon írható. Bizonyítás: A bizonyítás több részb˝ol áll. Egyrészt be kell látni, hogy a definíció értelmes, másrészt egyértelm˝u, harmadrészt teljesül a kvadratikus variációra vonatkozó azonosság. 1. Az egyértelm˝uséget könnyen igazolhatjuk. Ha I1 és I2 két a (2.23) felcserélési szabálynak eleget tev˝o H20 -beli elem, akkor minden N ∈ H2 -re [I1 , N ] = [I2 , N ] , amib˝ol tetsz˝oleges N ∈ H2 -re [I1 − I2 , N ] = 0. Speciálisan I1 − I2 ∈ H20 ⊆ H2 , ezért [I1 − I2 , I1 − I2 ] $ [I1 − I2 ] = 0. Felhasználva, hogy I1 − I2 ∈ H20 , I1 − I2 = 0, amib˝ol I1 = I2 . 2. Rátérve a létezés igazolására els˝o lépésként tegyük fel, hogy N ∈ H20 . A Kunita— Watanabe–egyenl˝otlenség és a H2 normájának képlete szerint63

sZ

sZ

Z ∞

∞ ∞

2 d [M ] M ≤ Xd [M, N ] X d [N ]

$ (2.24)

0 0 0 2 2 s Z ∞

$ kXkM = kXkM 63 V.ö.:


M

d [N ]

=

0

p

M ([N ] (∞)) = kXkM kN kH2 .


172

Ez alapján az64 Z N 7→ M

∞

Xd [M, N ]

0

a H20 Hilbert–téren H20 , hogy Z

∞

M

értelmezett folytonos lineáris funkcionál, tehát van olyan X • M ∈

Xd [M, N ] = (X • M, N ) $ M ((X • M ) (∞) N (∞)) .

(2.25)

0

3. A bizonyítás érdemi része annak belátása, hogy teljesül a kvadratikus variációra vonatkozó (2.23) azonosság. Ha τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor mivel X • M ∈ H20 , és a H20 elemei egyenletesen integrálhatóak, ezért a megállási opciókról szóló tétel alapján (X • M ) (τ ) = M ((X • M ) (∞) | Fτ ) , amit N (τ )-val megszorozva, és mind a két oldal várható értékét véve: M ((X • M ) (τ ) N (τ )) = M (M ((X • M ) (∞) | Fτ ) N (τ )) .

(2.26)

A teljes várható érték tétel és a (2.25) sor szerint tovább számolva M ((X • M ) (τ ) N (τ ))

= M (M ((X • M ) (∞) N (τ ) | Fτ ))

(2.27)

= M ((X • M ) (∞) N (τ )) = = M ((X • M ) (∞) N τ (∞)) = Z ∞ τ = M Xd [M, N ] = Z0 ∞ τ = M Xd [M, N ] = Z0 τ = M Xd [M, N ] . 0

Tekintsük az Z S (t) $ (X • M ) (t) N (t) −

t

Xd [M, N ] 0

folyamatot. S (0) = 0. Vegyük észre, hogy az S adaptált, ugyanis az (X • M ) N tag Rt definíció szerint két martingál, vagyis két adaptált függvény szorzata, az 0 Xd [M, N ] függvény pedig adaptált, ugyanis az X az L2 (M ) definíciója szerint progresszíven mérhet˝o. Az (X • M ) N kifejezés a konstrukció szerint két folytonos függvény szorRt zata, tehát folytonos. Az [M, N ] folyamat szintén folytonos, tehát az 0 Xd [M, N ] integrál a t határ olyan folytonos függvénye, amely a Kunita—Watanabe-egyenl˝otlenség szerint majdnem minden kimenetelre véges. A (2.27) alapján tetsz˝oleges τ megállási id˝ovel Z τ M (S (τ )) $ M ((X • M ) (τ ) N (τ )) − M X [M, N ] = 0 = M (S (0)) , 0 64 Vegyük

észre, hogy az X szorzatmérhet˝o, és a bels˝o integrált trajektóriánként kell venni.


173

ezért, felhasználva, hogy az S adaptált, az S martingál, így a négyzetes keresztvariáció65 definíciója alapján [X • M, N ] = X • [M, N ] , ami éppen a (2.23) felcserélési szabály! 4. Végezetül, ha N ∈ H2 , akkor, N − N (0) ∈ H20 , tehát [X • M, N ]

=

[X • M, N − N (0) + N (0)] =

=

[X • M, N − N (0)] + [X • M, N (0)] =

=

X • [M, N − N (0)] + 0. 2

2.58 Állítás. (Linearitás) Az X • M bilineáris, vagyis X • (α1 M1 + α2 M2 ) = α1 (X • M1 ) + α2 (X • M2 ) és (α1 X1 + α2 X2 ) • M = α1 (X1 • M ) + α2 (X2 • M ) feltéve, hogy az összes kifejezés értelmes. Ha az egyenl˝oségben szerepl˝o három tagból kett˝o értelmes, akkor értelmes a harmadik is. Bizonyítás: Ha X ∈ L2 (M1 ) ∩ L2 (M2 ) , akkor Z ∞ Z M X 2 d [M1 ] < ∞ és M 0

∞

X 2 d [M2 ]

< ∞.

0

Elemi megfontolásokból [M1 + M2 ] ≤ 2 ([M1 ] + [M2 ]) , amib˝ol Z ∞ Z ∞ Z ∞ M X 2 d [M1 + M2 ] ≤ 2M X 2 d [M1 ] +2M X 2 d [M2 ] < ∞, 0

0

0

vagyis X ∈ L2 (M1 + M2 ) . A trajektóriánként való integrálás linearitása és a kvadratikus keresztvariáció bilinearitása alapján [X • (α1 M1 + α2 M2 ) , N ]

=

X • [(α1 M1 + α2 M2 ) , N ] =

=

X • (α1 [M1 , N ] + α2 [M2 , N ]) =

=

α1 X • [M1 , N ] + α2 X • [M2 , N ] =

=

[α1 X • M1 + α2 X • M2 , N ] ,

amib˝ol az integrál linearitása evidens. A második sor az [(α1 X1 + α2 X2 ) • M, N ]

=

(α1 X1 + α2 X2 ) • [M, N ] =

=

α1 X1 • [M, N ] + α2 X2 • [M, N ]

65 Valójában az egyenl˝ oség az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációra teljesül, de az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció és a kvadratikus variáció a folytonosság miatt egybeesik.


174

miatt evidens. Az integrálhatóságra vonatkozó megjegyzés azonnal következik az L2 (M ) tér linearitásából. 2 A fejezet elején vázolt konstrukció szerint a sztochasztikus integrál a közelít˝o összegek határértéke. Az integrál imént megadott definíciójából azonban ez nem evidens. 2.59 Definíció. Az X elemi folyamat, ha X$

n X

ξ i χ ((ti−1 , ti ])

i=1

ahol az ξ i ugrások Fti−1 mérhet˝oek és a ti pontok száma véges. 2.60 Állítás. (Korlátos elemi folyamatok integrálja) Ha X korlátos elemi folyamat, M ∈ H2 , akkor Z

t

XdM $ (X • M ) (t) = 0

X

ξ i [M (ti ∧ t) − M (ti−1 ∧ t)] .

i

Bizonyítás: Az integrál linearitását kihasználva elég kiszámolni az X = ξχ ((a, b]) alakú folyamatok integrálját. A kiemelési szabály66 segítségével azonnal látható, hogy a ξ (M (b ∧ t) − M (a ∧ t)) = ξ M b (t) − M a (t) $ ξU (t) H2 -martingál. Az U N − [U, N ] martingál, így felhasználva a ξ mérhet˝oségére tett feltételt, a ξU N − ξ [U, N ] is martingál67 , tehát ξ M b − M a , N = ξ M b − M a, N . Ezt felhasználva [X • M, N ]

ξ M b − M a , N = ξ M b − M a, N = = ξ M b , N − [M a , N ] = b a = ξ [M, N ] − [M, N ] = =

= ξχ ((a, b]) • [M, N ] = X • [M, N ] . 2 2.61 Állítás. (Itô-izometria) Ha M ∈ H2 , akkor az X 7→ X • M leképezés L2 (M ) → H20 izometria, vagyis Z 2 2 2 M (X • M ) (∞) $ kX • M kH2 = kXkM $ M

0

66 KI

kell használni, hogy a ξ korlátos. 67 Az U N − [U, N ] a [0, a] szakaszon nulla. V.ö.: 2.41. állítás, 163. oldal.

∞

X 2 d [M ] .


175

Bizonyítás: A H2 tér normájának képlete68 (2.21) és (2.23) szerint 2 2 kX • M kH2 $ M (X • M ) (∞) = M ([X • M ] (∞)) = Z ∞ Xd [M, X • M ] . = M ([X • M, X • M ] (∞)) = M 0

A (2.23) felcserélési szabály alapján [X • M, M ] = X • [M, M ] , felhasználva, hogy a jobb oldalon trajektóriánkénti integrálról van szó Z ∞ Z ∞ Z ∞ Xd [X • M, M ] = Xd [X • [M ]] = X 2 d [M ] , 0

0

0

ami összefoglalva 2

kX • M kH2 = M

Z 0

∞

2 X 2 d [M ] = kXkM ,

vagyis az X 7→ X • M izometria. 2 A sztochasztikus integrálás elméletének számos felépítése ismert. A legtermészetesebb az Itô–izometriára épül. El˝oször az elemi folyamatok integrálját definiáljuk, majd a martingáltulajdonság segítségével elemi számolással belátjuk az Itô–izometriát. Következ˝o lépésként az izometria segítségével az integrált kiterjesztjük az elemi folyamatok lezártjára. Az Itô–izometriára épül˝o felépítés, bár igen szemléletes, valamivel nehezebb mint az itt tárgyalt felépítés. A nehézség egyrészt abban áll, hogy nem világos, hogy milyen folyamatokra lehet az integrált definiálni, vagyis milyen folyamatok állnak el˝o elemi folyamatok határértékeként. Az elemi folyamatok lezártjáról csak azt tudjuk, hogy tartalmazza az el˝orejelezhet˝o folyamatokat és nem világos, hogy a progresszíven mérhet˝o folyamatok családja miért integrálható. Az, hogy az integrált közvetlenül csak az el˝orejelezhet˝o folyamatokra terjesztjük ki nem jelent túlzott megszorítást. Egyrészt a tényleges számolások során az integrandus el˝orejelezhet˝osége nem jelent megkötést, másrészt miként látni fogjuk, a sztochasztikus integrálként el˝oálló folyamatok körét nem b˝ovítjük ha az el˝orejelezhet˝o folyamatokon kívül más folyamatokat is integrálunk. Ebb˝ol a szempontból az el˝orejelezhet˝o folyamatok korai exponálása inkább el˝ony mint hátrány. Az Itô–izometriára épül˝o felépítés f˝o hátránya, hogy közvetlenül az izometriából valamivel nehezebb az integrál alább tárgyalt tulajdonságait igazolni, ugyanis a kulcs szerepet játszó (2.23) egyenl˝oséget külön be kell látni. 2.62 Példa. √ R1 Az 0 wdw változó szórása 1/ 2. 68 V.ö.:



176

Az integrál definíciója értelmes. Az integrálfüggvény martingál, ezért a várható értéke nulla. Az Itô–izometria és a Fubini–tétel szerint Z 1 Z 1 2 ! Z 1 w2 (s) ds = = M M w2 (s) ds = M wdw 0

0

0

1

Z

D2 (w (s)) ds =

=

1

Z

sds =

0

0

1 , 2

√ amib˝ol a keresett szórás 1/ 2.Vegyük észre, hogy kiindulhattunk volna abból is, hogy az 2 Z t Z t wdw wdw − 0

0

martingál, így Z M

2 !

1

Z

wdw

=

M

1

wdw

0

Z M

1

Z wdw,

0

=

1

Z =M 0

Z w2 d [w] =

0

1

0

1

wdw

=

0

1 M w2 (s) ds = . 2 2

A sztochasztikus integrál tulajdonságai a (2.23) és a kvadratikus variáció alaptulajdonságainak közvetlen következményei. 2.63 Állítás. (Asszociativitási szabály) Ha X ∈ L2 (M ) és Y ∈ L2 (X • M ) , akkor XY ∈ L2 (M ) és (Y X) • M = Y • (X • M ) .

(2.28)

Bizonyítás: A sztochasztikus integrál konstrukciója szerint, felhasználva a (2.28) trajektóriánkénti integrálokra teljesül [X • M ]

[X • M, X • M ] = X • [M, X • M ] =

=

= X • (X • [M, M ]) = X 2 • [M, M ] . Ha Y ∈ L2 (X • M ) , akkor Z

∞

∞ > M Z0 ∞ = M 0

2

Y d [X • M ] = M 2 2 Y X d [M ] ,

Z

∞ 2

Z

Y d 0

0

s

X d [M ] = 2


177

vagyis Y X ∈ L2 (M ) . Ugyanakkor ismételten a (2.23) felcserélési szabály miatt [(Y X) • M, N ]

(Y X) • [M, N ] $ Z t Y Xd [M, N ] = $ 0 Z s Z t Xd [M, N ] $ Yd = =

0

(2.29)

0

$ Y • (X • [M, N ]) , ahol felhasználtuk, hogy mivel X ∈ L2 (M ) , a (2.23) miatt, a X majdnem minden kimenetelre [M, N ] integrálható. Továbbá a (2.23) szerint Y • (X • [M, N ]) = Y • [X • M, N ] = [Y • (X • M ) , N ] , vagyis a (2.29) sorral összevetve [(Y X) • M, N ] = [Y • (X • M ) , N ] , amib˝ol a sztochasztikus integrál egyértelm˝usége alapján (Y X) • M = Y • (X • M ) , ami éppen a bizonyítani kívánt asszociativitási szabály. 2 2.64 Állítás. (Megállítási szabály) Ha τ megállási id˝o, akkor τ

X • M τ = (χ ([0, τ ]) X) • M = (X • M ) .

(2.30)

Bizonyítás: A (2.23) felcserélési szabály alapján τ

[(X • M ) , N ]

=

τ

τ

τ

[(X • M ) , N ] = (X • [M, N ]) = X • [M, N ] =

= X • [M τ , N ] = [X • M τ , N ] , következésképpen τ

[(X • M ) − X • M τ , N ] = 0, N ∈ H2 , ami csak akkor lehetséges, ha τ

(X • M ) = X • M τ . Hasonlóan, ha N ∈ H2 tetsz˝oleges, akkor [X • M τ , N ]

τ

= X • [M τ , N ] = X • [M, N ] = =

(χ ([0, τ ]) X) • [M, N ] =

=

[(χ ([0, τ ]) X) • M, N ] ,

amib˝ol X • M τ = (χ ([0, τ ]) X) • M. 2


178

2.3.8. Folytonos lokális martingálok szerinti integrálás A (2.30) megállítási szabály lehet˝ové teszi az integrálfogalom általánosítását. 2.65 Definíció. Legyen M folytonos, lokális martingál. Az L2loc (M ) téren az olyan X progresszíven mérhet˝o folyamatok halmazát értjük, amelyekhez az M -nek van olyan (τ n )n H2 lokalizációs sorozata, hogy minden n-re X ∈ L2 (M τ n ) , vagyis Z ∞ Z ∞ τ X 2 d [M ] n = = M X 2 d [M τ n ] M 0 Z0 τ n X 2 d [M ] = = M Z0 ∞ = M χ ([0, τ n ]) X 2 d [M ] $ 0 Z $ χ ([0, τ n ]) X 2 dαM < ∞. (0,∞)×Ω

2.66 Állítás. Ha M folytonos lokális martingál, akkor tetsz˝oleges X ∈ L2loc (M ) folyamathoz létezik olyan X • M módon jelölt, 1. a nulla pontban nulla értéket felvev˝o, folytonos lokális martingál, amelyre 2. minden N folytonos lokális martingálra érvényes az [X • M, N ] = X • [M, N ]

(2.31)

felcserélési szabály, 3. tetsz˝oleges τ megállási id˝ore teljesül az τ

(X • M ) = χ ([0, τ ]) X • M = X τ • M τ = X • M τ

(2.32)

megállítási szabály, valamint 4. az asszociativitási szabály, vagyis ha X ∈ L2loc (M ), Y ∈ L2loc (X • M ) , akkor XY ∈ L2loc (M ) és (Y X) • M = Y • (X • M ) . (2.33) 5. Az X • M bilineáris, vagyis X • (α1 M1 + α2 M2 ) = α1 (X • M1 ) + α2 (X • M2 ) és (α1 X1 + α2 X2 ) • M = α1 (X1 • M ) + α2 (X2 • M ) feltéve, hogy az összes kifejezés értelmes. Ha az egyenl˝oségben szerepl˝o három tagból kett˝o értelmes, akkor értelmes a harmadik is.


179

Bizonyítás: Legyen X ∈ L2loc (M ) és (τ n )n legyen az M olyan lokalizációs sorozata, amelyre M τ n ∈ H2 és X ∈ L2 (M τ n ) . Tekintsük az In $ X • M τ n integrálokat. Az In+1 a [0, τ n ] szakaszon megegyezik az τn

τn $ (X • M τ n+1 ) In+1

τn

= X • (M τ n+1 )

= X • M τ n = In

folyamattal, vagyis a X • M integrál egyértelm˝uen definiálható ha értékét a [0, τ n ] szakaszon az In -nel értelmezzük. A konstrukcióból nyilvánvaló, hogy az X • M nem függ a (τ n )n lokalizációs sorozattól. Az X • M a nulla id˝opontban biztosan elt˝unik és folytonos. Triviálisan (X • M )

τn

$ (X • M τ n )

τn

= X • M τn. τ

Az X • M τ n ∈ H20 egyenletesen integrálható martingál és ezért az (X • M ) n megállított folyamat is egyenletesen integrálható martingál, így az X • M lokális martingál. 1. Meg kell mutatni, hogy teljesül a (2.31). A megállítási szabály szerint69 τn

[X • M, N ]

=

τn

[(X • M )

, N τn] $

$ [X • M τ n , N τ n ] = X • [M τ n • N τ n ] = τn

= X • [M • N ]

τn

= (X • [M • N ])

,

amib˝ol a (2.31) evidens. Az összefüggés alapján az X • M egyértelm˝uen definiált. 2. Legyen τ tetsz˝oleges megállási id˝o. Ha X ∈ L2loc (M ) , akkor az |χ ([0, τ ]) X| ≤ |X| miatt triviálisan χ ([0, τ ]) X ∈ L2loc (M ) . A H2 -integrálokra vonatkozó analóg szabály alapján τ τn

((X • M ) )

τ

τ

τ

=

((X • M ) n ) $ (X • M τ n ) =

=

χ ([0, τ ]) X • M τ n $

$

(χ ([0, τ ]) X • M )

τn

.

A (2.32) egyenl˝oség többi részének igazolása analóg. 3. Legyen (τ n )n az M és az X • M közös lokalizációs sorozata. Az Y ∈ L2loc (X • M ) τ

tartalmazásból evidens módon Y ∈ L2 ((X • M ) n ) = L2 ((X • M τ n )) . (Y • (X • M ))

τn

τ

τn

$ (Y • (X • M τ n ) n ) τn

=

((Y • (X • M

=

((Y X • M τ n ))

)) )

τn

=

τn τn

=

$ ((Y X • M ))

τn

,

amib˝ol az asszociativitási szabály evidens. 4. A linearitás a konstrukció miatt evidens. 2 69 V.ö.:



180

2.67 Következmény. Ha M folytonos lokális martingál és X ∈ L2loc (M ) , akkor [X • M ] = X 2 • [M ] .

(2.34)

Bizonyítás: A trajektóriánkénti integrálás elemi szabályai szerint [X • M ] $ [X • M, X • M ] = X • [M, X • M ] = = X • (X • [M, M ]) = X 2 • [M ] . 2 2.68 Következmény. Az L2loc (M ) tér pontosan azokból a progresszíven mérhet˝o folyamatokból áll, amelyekre minden t-re Z t X 2 d [M ] $ X 2 • [M ] (t) < ∞. (2.35) 0

Bizonyítás: Az [X • M ] majdnem mindenhol való végességéb˝ol és a (2.34) sorból következ˝oen ha X ∈ L2loc (M ) , akkor teljesül a (2.35). Megfordítva, ha (σ n )n az M H2 -lokalizációs sorozata, és ha a progresszíven mérhet˝o X folyamathoz vesszük az Rt olyan (τ n )n megállási id˝oket , ahol a t 7→ 0 X 2 d [M ] folytonos folyamat el˝oször lépi át az n szintet, akkor könnyen látható, hogy ρn $ σ n ∧ τ n esetén X ∈ L2 (M ρn ) , vagyis X ∈ L2loc (M ) , tehát az L2loc (M ) tér tartalmazza az összes olyan R-mérhet˝o folyamatot, amelyre majdnem minden kimenetelre minden t-re teljesül a (2.35). 2 2.69 Következmény. Tegyük fel, hogy az X •M létezik. Tetsz˝oleges Y progresszíven mérhet˝o folyamat esetén Y ∈ L2 (X • M ) pontosan akkor, ha XY ∈ L2loc (M ) . Ilyenkor teljesül a (2.33). Bizonyítás: Egyrészt az XY ∈ L2loc (M ) ekvivalens az X 2 Y 2 • [M ] végességével, 2 2 2 2 másrészt mindig teljesül az Y • X • [M ] = Y X • [M ] . 2 2.70 Állítás. Ha valamely [a, b] szakaszon majdnem minden ω-ra X (t, ω) = 0, vagy M (t, ω) = M (a, ω) , akkor az X • M konstans. Bizonyítás: A megadott feltételek mellett a X 2 • [M, M ] az [a, b] szakaszon konstans, ugyanis közönséges trajektóriánkénti integrálokról van szó. Mivel [X • M ] = X 2 • [M ] , ezért a 2.41. állítás miatt a X • M konstans az [a, b] szakaszon. 2


181

2.3.9. A sztochasztikus integrálás és az el˝orejelezhet˝o vetület A sztochasztikus integrálokat tetsz˝oleges progresszíven mérhet˝o folyamat esetén definiáltuk. A kés˝obbiek szempontjából érdemes hangsúlyozni, hogy a sztochasztikus integrálként el˝oálló folyamatok köre azonos az el˝orejelezhet˝o folyamatok integráljaként el˝oálló folyamatok halmazával. Ennek igazolása a következ˝o gyakran hasznos észrevételre épül: 2.71 Állítás. (Dellacherie–formula) Ha A ∈ V, A el˝orejelezhet˝o és σ ≤ τ tetsz˝oleges megállási id˝ok, akkor minden X nem negatív, szorzatmérhet˝o folyamatra ! ! Z Z X (t) dA (t) | Fσ

M (σ,τ ]

p

=M

X (t) dA (t) | Fσ

,

(σ,τ ]

ahol a két oldal egyszerre létezik, vagy nem létezik70 . Bizonyítás: Az egyszer˝uség kedvéért feltehetjük, hogy az A monoton n˝o71 . Ilyenkor a feltételes várható érték alatti kifejezések mindig léteznek és nem negatívok. Legyen F ∈ Fσ .Be kell látni, hogy Z τ Z τ p M χF X (t) dA (t) = M χF X (t) dA (t) . (2.36) σ

σ

A

σ F (ω) $

σ (ω) ha ω ∈ F ∞ ha ω ∈ /F

megállási id˝o ugyanis {σ F ≤ t} = {σ ≤ t} ∩ F ∈ Ft . σ ≤ τ , következésképpen Fσ ⊆ Fτ , így az analóg módon képzett τ F szintén megállási id˝o. A H $ (σ F , τ F ] halmaz el˝orejelezhet˝o, így χH p X = p (χH X) következésképpen a bizonyítani kívánt (2.36) sor Z ∞ Z ∞ Z ∞ p p M χH XdA = M χH XdA = M (χH X) dA 0

0

0

módon írható. Vezessük be a σ (t, ω) $ inf {s : A (s, ω) ≥ t} folyamatot. Rögzített t mellett a σ t mint az ω függvénye megállási id˝o. Az A jobbról folytonos, tehát [σ t ] ⊆ {A ≥ t} , így [σ t ] = [0, σ t ] ∩ {A ≥ t} ∈ P, 70 V.ö.: 71 V.ö.:

B.37. állítás, 398. oldal. 1.57. állítás, 43. oldal.


182

vagyis a σ t el˝orejelezhet˝o72 . Ez el˝orejelezhet˝o vetület definíciója szerint M (χH Xχ (σ t < ∞)) = M ( p (χH X) χ (σ t < ∞)) . Tetsz˝oleges f ≥ 0 Borel–mérhet˝o függvényre Z ∞ Z ∞ f (σ t ) χ (σ t < ∞) dt, f (u) dA (u) = 0

0

ugyanis ha f $ χ ([0, v]) , akkor, felhasználva, hogy A (0) = 0 Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z f dA = A (v) = χ (s ≤ A (v)) ds = χ (σ s ≤ v) ds = 0

0

0

∞

f (σ s ) χ (σ s < ∞) ds.

0

Az általános eset a szokásos módon kapható73 . Ha az egyszer˝ubb jelölés kedvért Y $ χH X, akkor elemei számolással Z ∞ Z ∞ M Y dA = M Y (ρt ) χ (ρt < ∞) dt = 0 Z ∞ 0 = M (Y (ρt ) χ (ρt < ∞)) dt = Z0 ∞ = M ( p Y (ρt ) χ (ρt < ∞)) dt = 0 Z ∞ p = M Y dA , 0

amib˝ol az állítás már evidens. 2 2

p

2

Legyen X ∈ L (M ) progresszíven mérhet˝o. A Jensen–egyenl˝otlenség miatt ( X) ≤ p X 2 , így a Dellacherie–formula miatt p X ∈ L2 (M ) . Ugyancsak a Dellacherie– formula alapján74 Z ∞ Z ∞ p M Xd [M, N ] = M Xd [M, N ] , 0

0

következésképpen a sztochasztikus integrál definiálásakor az Z ∞ Z ∞ p N 7→ M Xd [M, N ] , N 7→ M Xd [M, N ] 0

0

lineáris funkcionálok egybeesnek, tehát X • M = p X • M, illetve lokalizációval ha X ∈ L2loc , akkor p X ∈ L2loc , és X • M = p X • M. 72 V.ö.:

1.52. következmény, 37. oldal. (1.65) sor, 118. oldal. 74 Az [M, N ] folytonos, így el˝ orejelezhet˝o. Kés˝obb az [M, N ] szerepét az hM, N i el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció veszi át. 73 V.ö.:


183

2.3.10. Szemimartingálok szerinti integrálás Az integrál definícióját értelemszer˝uen kiterjeszthetjük bizonyos típusú szemimartingálokra: 2.72 Definíció. Ha X = X (0) + L + V olyan szemimartingál, amely L lokális martingál része folytonos, akkor az X folyamatot lényegében folytonos szemimartingálnak mondjuk. 2.73 Definíció. Legyen X = X (0) + L + V lényegében folytonos szemimartingál. Ha valamely Y folyamatra az Y • L és az Y • V integrálok értelmesek, akkor az Y folyamat X szerinti sztochasztikus integrálján az Y •X $Y •L+Y •V összeget értjük. Emlékeztetünk, hogy Fisk tétel miatt a definícióban megadott feltételek mellett az X = X (0) + L + V felbontás egyértelm˝u, így az integrál jól definiált. 2.74 Állítás. Az Y • X sztochasztikus integrál legfontosabb tulajdonságai a következ˝oek: 1. Az Y • X bilineáris, vagyis Y • (α1 X1 + α2 X2 ) = α1 (Y • X1 ) + α2 (Y • X2 ) és (α1 Y1 + α2 Y2 ) • X = α1 (Y1 • X) + α2 (Y2 • X) feltéve, hogy az összes kifejezés értelmes. Ha az egyenl˝oségben szerepl˝o három tagból kett˝o értelmes, akkor értelmes a harmadik is. 2. Minden Y, Z lokálisan korlátos folyamatra Z • (Y • X) = (ZY ) • X. 3. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore τ

(Y • X) = (Y χ ([0, τ ]) • X) = Y • X τ . 4. Ha X lokális martingál, vagy korlátos változású folyamat, akkor ugyanez igaz az Y • X esetén. 5. Az Y • X minden olyan szakaszon konstans, ahol vagy Y (t) = 0, vagy az X konstans.


184

6. Ha Y $

P

i

η i χ ((ti−1 , ti ]) elemi folyamat, akkor75 (Y • X) (t) =

X

η i [X (ti ∧ t) − X (ti−1 ∧ t)] .

i

7. Tetsz˝oleges Z folytonos szemimartingál esetén érvényes az [Y • X, Z] = Y • [X, Z] felcserélési szabály.

2.3.11. Határérték és az integrál felcserélése Minden fajta integrál talán legfontosabb tulajdonsága, hogy általános feltételek mellett felcserélhet˝o a határértékkel. 2.75 Állítás. (Majorált konvergencia tétele) Legyen X lényegében folytonos szemimartingál. Tegyük fel, hogy (Yn )n progresszíven mérhet˝o folyamatok olyan sorozata, amelyre az Yn minden pontban valamely Y∞ folyamathoz tart. Ha van olyan Y integrálható76 folyamat, amelyre |Yn | ≤ Y, akkor Yn • X → Y∞ • X, ahol a konvergencia sztochasztikus konvergenciában minden kompakt intervallumon egyenletesen, vagyis p

sup |(Yn • X) (s) − (Y∞ • X) (s)| → 0,

t ≥ 0.

s≤t

Bizonyítás: Az állítást elég külön-külön az X korlátos változású és lokális martingál részére belátni. Elegend˝o belátni az állítást akkor, ha Y∞ = 0. 1. El˝oször tegyük fel, hogy az X korlátos változású. Mivel |Yn | ≤ Y , ezért tetsz˝oleges ω-ra és [0, t] intervallumra az Yn (ω) trajektória a [0, t] szakaszon integrálható. Trajektóriánként alkalmazva a Lebesgue-féle majorált konvergencia tételt minden s ≤ t fels˝o határra Z t Z s ≤ |Yn | dVar (X) → 0, Y dX n 0

0

tehát az integrál trajektóriánként, a fels˝o határ szerint egyenletesen, nullához tart. A pontonkénti konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, így az állításban szerepl˝o konvergencia teljesül. 2. Legyen X lokális martingál. Az Y a feltétel szerint az X szerint integrálható, tehát Y ∈ L2loc (X) .Legyen τ olyan megállási id˝o, amelyre X τ ∈ H2 és Y ∈ L2 (M τ ) . Ha 75 A tulajdonság bizonyítása a majorált konvergencia tételre épül, így el˝ orehivatkozásról van szó. V.ö.: 2.78. következmény, 186. oldal. 76 Az Y integrálhatósága függ az X folyamatra tett feltételekt˝ ol. Ha X lokális martingál, akkor például Y ∈ L2loc (X) . Ha X valódi szemimartingál, akkor az Y integrálhatóságán az egyszer˝uség kedvéért lokálisan korlátosságot értünk. Minden lokálisan korlátos folyamat eleme az L2loc (X) térnek, így az Y -tól megkövetelt legegyszer˝ubb általános feltétel, hogy az Y lokálisan korlátos legyen. Ugyanakkor a bizonyításból látszik, hogy elegend˝o feltenni, hogy ha X = X (0) + L + V az X felbontása, akkor Y ∈ L2loc (L) és az Y • V trajektóriánkénti integrál létezzen.


185

Y ∈ L2 (M τ ) , akkor Yn ∈ L2 (M τ ) , így a majorált konvergencia tétel miatt Z ∞ Z ∞ 2 τ Yn2 d [X] kYn kX τ $ M Yn2 d [X τ ] = M = 0 0 Z ∞ χ ([0, τ ]) Yn2 d [X] → 0, = M 0

tehát az L2 (X τ ) térben Yn → 0. Legyen (τ n )n az X H2 -lokalizációs sorozata. Legyen ε, δ > 0 és jelölje σ az egyik olyan τ n megállási id˝o, amelyre P (τ n ≤ t) ≤ δ.A [0, σ] véletlen intervallumon az Yn • X megegyezik az Yn • X σ folyamattal, vagyis ha s ≤ σ (ω) , akkor (Yn • X) (s, ω) = (Yn • X σ ) (s, ω) . Ha

A$

sup |Yn • X| (s) > ε , s≤t

akkor P (A)

= P ((σ ≤ t) ∩ A) + P ((σ > t) ∩ A) ≤ ≤ P (σ ≤ t) + P ((σ > t) ∩ A) ≤ δ + P (Aσ )

ahol Aσ az A-val analóg módon képzett halmaz, vagyis ahol az Yn • X, helyett az Yn •X σ folyamat van. Mivel az L2 (X σ ) topológiában Yn → 0, és mivel a Z 7→ Z•X σ izometria77 , ezért a H02 -ban Yn • X σ → 0. A Doob–egyenl˝otlenség78 szerint 2 ! 2 σ M sup |Yn • X | (s) ≤ 4 M2 ((Yn • X σ ) (∞)) = s≤∞

=

2

4 kYn • X σ kH2 → 0.

A Markov–egyenl˝otlenség szerint az L2 -konvergenciából következik a sztochasztikus konvergencia, ezért P (Aσ ) $ P sup |Yn • X σ | (s) > ε → 0. s≤τ

2 Emlékeztetünk a definícióra: 2.76 Definíció. Az Y folyamatot egyszer˝u el˝orejelezhet˝o folyamatnak mondjuk, ha megadhatók 0 = τ0 < τ1 < . . . < τn < . . . P megállási id˝ok és η i Fτ i−1 -mérhet˝o változók, hogy Y = i η i χ ((τ i−1 , τ i ]) . 77 V.ö.: 78 V.ö.:

Itô-izometria, 2.61. állítás, 174. oldal. [20], (1.20) sor, 50. oldal, 2.47. állítás, 165. oldal.


186

2.77 Következmény. Ha X lényegében folytonos szemimartingál és Y lokálisan korlátos egyszer˝u el˝orejelezhet˝o folyamat, akkor X (Y • X) (t) = η i [X (τ i ∧ t) − X (τ i−1 ∧ t)] . i

Bizonyítás: Ha σ és τ megállási id˝ok, akkor a megállítási szabályból és az integrál linearitásából χ ((σ, τ ]) • X

=

(χ ([0, τ ]) − χ ([0, σ])) • X =

=

(1 • X) − (1 • X) = X τ − X σ .

τ

σ

A definíciókból azonnal igazolható, hogy ha F ∈ Fσ , akkor az σ (ω) ha ω ∈ F σ F (ω) $ ∞ ha ω ∈ /F és az analóg módon képzett τ F szintén megállási id˝ok79 , tehát (χF χ ((σ, τ ])) • X = χ ((σ F , τ F ]) • X = X τ F − X σF = χF (X τ − X σ ) . Ha ξ Fσ -mérhet˝o lépcs˝os függvény, akkor a linearitás miatt a χF helyébe ξ írható. A majorált konvergencia segítségével a lépcs˝os függvények helyébe tetsz˝oleges korlátos Fσ -mérhet˝o függvény írható. A lokális korlátosság miatt létezik olyan (ρs )s sorozat, hogy a χ ([0, ρs ]) Y (τ k−1 ) változók korlátosak. Ha ξ $ Y (τ k−1 ) , σ = τ k−1 , τ $ τ k , akkor ξ (X τ ∧ρs − X σ∧ρs )

= ξχ ([0, ρs ]) (X τ − X σ ) = =

ξχ ([0, ρs ]) χ ((σ, τ ]) • X = ξχ ((σ, τ ]) • X ρs ,

amib˝ol az integrál definíciója szerint ξχ ((σ, τ ]) • X = ξ (X τ − X σ ) . Az általános eset az integrál linearitása és a majorált konvergencia tétele segítségével kapható. 2 2.78 Következmény. P Ha i η i χ ((ti−1 , ti ]) elemi folyamat, X lényegében folytonos szemimartingál, akkor Z t X Y dX $ (Y • X) (t) = η i [X (ti ∧ t) − X (ti−1 ∧ t)] . 0

i

Bizonyítás: Minden elemi folyamat a (0, ∞) nyílt félegyenesen lokálisan korlátos80 . 2 79 V.ö.:

B.12. állítás, 383. oldal. egyenl˝oség a majorált konvergencia tételre való közvetlen hivatkozással is igazolható. Bizonyos konstrukciókban az összefüggés az integrál konstrukciójának kiindulópontja, az általunk tárgyalt felépítésben azonban lényegében az integrálelmélet utolsó állítása. 80 Az


187

2.79 Állítás. Ha X lényegében folytonos szemimartingál, Y balról folytonos, adaptált, lokálisan korlátos folyamat81 , akkor az Y • X integrál el˝oáll Riemann—Stieltjes–típusú közelít˝o összegek határértékeként, ahol a konvergencia sztochasztikusan a véges szakaszokon egyenletes. A Riemann—Stieltjes–típusú közelít˝o összegben a felbontások választhatóak véletlennek is. (n)

(n)

Bizonyítás: Pontosabban az n-dik lépésben legyenek adva a τ k < τ k+1 megállási id˝ok, és tetsz˝oleges t-re képezzük a i X (n) h (n) (n) Y τ k−1 X τ k ∧ t − X τ k−1 ∧ t k

(n) közelít˝o összegeket. A közelít˝o megállási id˝ok τ k sorozataira feltesszük, hogy az k n növelésével minden t-re és minden ω kimenetelre a felosztások finomsága nullához tart. Vegyük az X (n) (n) (n) i Y (n) $ Y τ k−1 χ τ k−1 , τ k k

sorozatot. Miként láttuk i X (n) h (n) (n) Y (n) • X (t) = Y τ k−1 X τ k ∧ t − X τ k−1 ∧ t . k

Az Y balról folytonos, ezért pontonként Y (n) → Y. Vegyük a K (t) $ sup |Y (s)| s
folyamatot. Az Y balról folytonos ezért a szuprémumot elég a racionális koordinátájú pontokban venni, így a K progresszíven mérhet˝ o . Ha Y lokálisan korlátos, akkor tri viálisan a K is lokálisan korlátos, és mivel Y (n) ≤ K, ezért a majorált konvergencia tétel szerint Y (n) • X → Y • X, ahol a konvergencia sztochasztikusan a kompakt intervallumokon egyenletes. 2

2.3.12. Adaptált szorzatmérhet˝o folyamatok integrálása Ha az X és az Y folyamatok az M folytonos lokális martingál Doléans–mértéke szerint majdnem mindenhol megegyeznek, akkor az Itô–izometria miatt az M szerinti integráljaik a megkülönböztethetetlenség erejéig egybeesnek. Ezt felhasználva bizonyos esetekben az integrálás a progresszíven mérhet˝o folyamatokról kiterjeszthet˝o az adaptált szorzatmérhet˝o folyamatokra. 81 Speciálisan,

ha az Y balról reguláris. V.ö.: 1.97. állítás, 68. oldal.


188

2.80 Állítás. Ha M folytonos lokális martingál és αM λ × P, akkor az X • M sztochasztikus integrál értelmezhet˝o a lokálisan négyzetesen integrálható adaptált, szorzatmérhet˝o folyamatokra. Bizonyítás: Az állítás az alábbi, önmagában is érdekes állítás közvetlen következménye. 2 2.81 Állítás. b progresszíven Minden X adaptált szorzatmérhet˝o folyamat λ × P ekvivalens egy X mérhet˝o folyamattal82 . Bizonyítás: Az állítás bizonyítását több lépésre bontjuk. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy az X egy [a, b) véges szakaszon van értelmezve, és az X korlátos. 1. Vezessük be a ϕn (t) $

k−1 , 2n

ha

t∈

k−1 k , 2n 2n

képlettel definiált ϕn : R → R ugró függvényt. A bizonyítás els˝o lépéseként megmutatjuk, hogy minden s ≥ 0 esetén t−

1 ≤ ϕn (t − s) + s < t. 2n

Mivel s ≥ 0, alkalmas m ≥ 0 egész számra m m+1 ≤s< , 2n 2n amib˝ol, ha t ∈ ((k − 1) /2n , k/2n ], akkor k−m k−m−2
k−m−2 , 2n

ϕn (t − s) $

k−m−1 . 2n

a második esetben

82 V.ö.:


(2.37)


189

Az egyenl˝otlenségeket átrendezve az els˝o esetben t−

k−m−2 1 ≤ + s $ ϕn (t − s) + s < t, n 2 2n

illetve a második esetben t−

1 k−m−1 ≤ + s = ϕn (t − s) + s < t. 2n 2n

2. Rögzítsük az s ≥ 0 számot, és tekintsük a ϕn függvénnyel definiált Xn (s, t, ω) $ X (ϕn (t − s) + s, ω) sztochasztikus folyamatot. Az X esetleg csak az [a, b) intervallumon van értelmezve, így el˝ofordulhat, hogy az Xn (s, t, ω) nincs értelmezve, ezért a jelölés egyszer˝usítése céljából, ha ϕn (t − s) + s < a, akkor Xn (s, t, ω) $ 0. ϕn (t − s) + s < t, és az X (t, ω) Ft -adaptált, ezért ha t ∈ [a, b] , akkor az Xn (s, t, ω) is Ft -adaptált. Rögzített s-re és ω-ra az Xn (s, t, ω) balról folytonos lépcs˝os függvény az [a, b]-n, következésképpen az Xn (s, t, ω) minden s-re progresszíven mérhet˝o. Ha az i ≥ 0 egész számra az s1 < s2 az [i/2n , (i + 1) /2n ) intervallum különböz˝o pontjai, akkor ϕn (t − s1 ) + s1 6= ϕn (t − s2 ) + s2 , ugyanis ellenkez˝o esetben 1 > s2 − s1 = ϕn (t − s2 ) − ϕn (t − s1 ) > 0 2n lenne, ami ellenmond annak, hogy a ϕn (u) $ k/2n . Ez és a (2.37) alapján az s 7→ ϕn (t − s) + s leképezés az [i/2n , (i + 1) /2n ) intervallumot a [t − 1/2n , t) intervallumba képez˝o injekció. A leképezés alakja83 miatt minden t számra n (i+1)/2 R

|Xn (s, t) − X (t)| ds $

i/2n

n (i+1)/2 R

|X (ϕn (t − s) + s) − X (t)| ds ≤

i/2n

≤

Rt

|X (u) − X (t)| du ≤

t−1/2n

≤

n 1/2 R

|X (t − h) − X (t)| dh.

0 83 A

függvény y = x +

P

ugr´ as alakú, ahol az ugrások száma az intervallumon belül véges.


190

Ez alapján, ha b

Z

!

1

Z

|Xn (s, t, ω) − X (t, ω)| dsdt ,

I$M 0

a

akkor a Fubini–tétel szerint, felhasználva, hogy az X szorzatmérhet˝o ! n Z b 2X −1 Z (i+1)/2n I $ M |Xn (s, t, ω) − X (t, ω)| dsdt ≤ a n

i/2n

i=0 bZ

Z

1/2n

|X (t − h, ω) − X (t, ω)| dhdt

≤ 2 M a

=

n

Z

1/2n

2

Z

max

!

b

|X (t − h, ω) − X (t, ω)| dt dh ≤

M

0≤h≤2−n

=

0

a

0

≤

!

2n ·M 2n

Z

!

b

|X (t − h, ω) − X (t, ω)| dt . a

Az X korlátos, ezért ha n → ∞, akkor az utolsó tag nullához tart, tehát az L1 ([0, 1] × [a, b] × Ω) m.m.

térben Xn (s, t, ω) → X (t, ω) . Alkalmas részsorozatra Xnk (s, t, ω) → X (t, ω) . Legyen H az olyan (s, t, ω) pontok halmaza, ahol a konvergencia teljesül. A Fubini– tétel alapján a szorzattér egy teljes mérték˝u részhalmazának tetsz˝oleges koordináta mentén vett metszetei majdnem mind teljes mérték˝uek. Ennek megfelel˝oen majdnem minden s ∈ [0, 1]-re a Hs $ {(t, ω) : (s, t, ω) ∈ H} halmaz mértéke megegyezik az [a, b] × Ω halmaz mértékével, és ezért létezik olyan s pont, amelyre ez teljesül, vagyis hogy majdnem minden (t, ω) pontban lim Xnk (s, t, ω) = X (t, ω) .

k→∞

Ha b $ lim inf Xn , X k k→∞

b progresszíven mérhet˝o. Ugyanakkor az elmondottak szerint majdnem minakkor az X b (t) m.m. den t-re84 X = X (t) . 2 2.82 Következmény. Rt Wiener–folyamat85 szerinti 0 Xdw sztochasztikus integrálban az X integrandus tetsz˝oleges olyan adaptált, szorzatmérhet˝o folyamat lehet, amelyre Z t 2 P X ds < ∞ = 1. 0 84 És

nem minden t-re. V.ö.: 1.106. állítás, 71. oldal. 85 A Wiener–folyamat kib˝ ovített filtrációja kielégíti a szokásos feltételeket, így az adaptált szorzatmérhet˝o folyamatoknak van kockázatos ekvivalens módosítása, így az állítás, a 1.106. állításra való hivatkozással is igazolható.

2.4. LOKÁLISAN KORLÁTOS FOLYAMATOK INTEGRÁLÁSA

191

2.4. Lokálisan korlátos folyamatok integrálása A továbbiakban az integrátorról nem tételezzük fel a folytonosságot. Az integrátor folytonosságának elvetése több problémát vett fel. Fisk tétele szerint a triviális konstans esett˝ol eltekintve a folytonos lokális martingálok nem lehetnek korlátos változásúak, így a folytonos lokális martingálok körében bevezetett integrál definíciója nem ütközik a korlátos változású folyamatokra vonatkozó klasszikus trajektóriánként vett definícióval. Másképpen fogalmazva, ha az integrátor folytonos lokális martingál, akkor az integrandusok igen b˝o körében szabadon definiálhatjuk az integrált. Nem folytonos esetben azonban bizonyos lokális martingálokra a korábbi definíció el˝oírja az integrál lehetséges értékét. Evvel szoros kapcsolatban a szemimartingálok felbontása a folytonos esetben egyértelm˝u, így az integrál definíciója is egyértelm˝u, az általános esetben azonban ez a tulajdonság sem érvényes. Ehhez képest másodlagos jelent˝osé2 g˝u, hogy minden folytonos lokális martingál eleme Hloc térnek, az általános esetben ez 2 sem igaz, és az L ⊆ Hloc + V felbontás a szemimartingálok felbontásához hasonlóan szintén nem egyértelm˝u. Ugyancsak a korlátos változású integrátorokkal függ össze, hogy míg a folytonos integrátorok esetén az integrál a fels˝o határ folytonos függvénye, a nem folytonos esetben az ugráspontokban az integrál értékét csak a korlátos változású integrátoroknál már látott klasszikus módon írhatjuk el˝o. A továbbiakban folyamatosan hivatkozni fogunk a Doob—Meyer–felbontásra, így nem folytonos integrátorok esetén mindig feltesszük, hogy az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket.

2.4.1. El˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció A folytonos lokális martingálok szerinti integrál bemutatott felépítése a kvadratikus variációra épült. Emlékeztetünk, hogy az L folytonos lokális martingál [L] kvadratikus variációja az egyetlen olyan folytonos, monoton növeked˝o folyamat, amelyre az L2 − [L] lokális martingál86 . Tetsz˝oleges L lokális martingál esetén a kvadratikus variáció nem lesz folytonos87 , ezért a kvadratikus variáció helyett bevezetjük az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációt. Az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációt azonban csak 2 Hloc folyamatokra tudjuk definiálni. 2.83 Tétel. (El˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció létezése) 2 Tetsz˝oleges M, N ∈ Hloc esetén 1. létezik olyan hM, N i módon jelölt hM, N i ∈ Aloc , el˝orejelezhet˝o folyamat amelyre M N − M (0) N (0) − hM, N i ∈ L. (2.38) 2. A megadott tulajdonságok teljesülése esetén az hM, N i a megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝u. 86 V.ö.: 87 V.ö.:

2.34. állítás, 159. oldal. 3.33. állítás, 246. oldal, de ami fontosabb nem lesz el˝orejelezhet˝o sem.


192

3. Érvényes az hM, N i =

1 (hM + N, M + N i − hM − N, M − N i) 4

(2.39)

egyenl˝oség. 4. Ha M, N ∈ H2 , akkor hM, N i ∈ A és a (2.38) egyenletesen integrálható martingál. 2.84 Definíció. 2 Az hM, N i kifejezést az M, N ∈ Hloc folyamatok el˝orejelezhet˝o kvadratikus kovariációjának, vagy el˝orejelezhet˝o keresztvariációjának fogjuk mondani. Az hM, M i kifejezésre az hM i jelölést fogjuk használni. Az hM i folyamatot az M el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációjának nevezzük. Bizonyítás: Az egyértelm˝uség igazolása a következ˝o: Ha az M N − hM, N i mellett az X korlátos változású, el˝orejelezhet˝o folyamatra is az M N − X lokális martingál, akkor az hM, N i−X olyan el˝orejelezhet˝o lokális martingál, amely trajektóriái korlátos változásúak, így Fisk tétele alapján az hM, N i − X konstans. Ha még megköveteljük az X (0) = 0 teljesülését is, akkor hM, N i = X. Az MN =

1 2 2 (M + N ) − (M − N ) 4

algebrai azonosság és az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció egyértelm˝usége miatt az (2.39) szabály evidens. A (2.39) szabály miatt elegend˝o megmutatni, hogy ha M ∈ 2 Hloc , akkor létezik az hM i el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció. 1. Legyen M ∈ H2 . Mivel az M martingál, ezért az M 2 szubmartingál. A Doob– féle L2 -egyenl˝otlenség és a H2 definíciója miatt a supt M 2 (t) négyzetesen integrálható, következésképpen az X $ M 2 folyamat D-osztályba es˝o szubmartingál. A Doob—Meyer–felbontás szerint létezik olyan hM i módon jelölt el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre hM i ∈ A+ és M 2 − hM i ∈ M. 2. Legyen (τ n )n az M lokalizációs sorozata, és jelölje hM τ n i az M τ n el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációját. Egyenletesen integrálható martingál megállítása is egyenletesen integrálható martingál, és a megállítás ugyancsak nem vezet ki az el˝orejelezhet˝o, illetve az A+ folyamatok köréb˝ol, ezért az τ n 2 2 τ (M τ n+1 ) − hM τ n+1 i = (M τ n ) − hM τ n+1 i n . egyenl˝oség, illetve az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció egyértelm˝usége miatt hM τ n i = hM τ n+1 i

τn

Ez alapján definiálható az hM i $ lim hM τ n i n→∞

.


el˝orejelezhet˝o, A+ o folyamat. Az hM i konstrukciójából következ˝o hM i loc -ba es˝ hM τ n i felhasználásával τ n τ n 2 τ − hM i n = (M τ n ) − hM τ n i = M2 M 2 − hM i

193

τn

=

megállított folyamat egyenletesen integrálható martingál, vagyis az M 2 − hM i lokális martingál, ami alapján az hM i jelölés indokolt. 2 2.85 Példa. Wiener–folyamat el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja hwi (t) = t. Valóban, ha M (t) $ w2 (t) − t és s < t, akkor 2 M (M (t) | Fs ) = M (w (s) + w (t) − w (s)) | Fs − t = =

w2 (s) + 2w (s) M (w (t) − w (s) | Fs ) − t + 2 +M (w (t) − w (s)) | Fs .

A w (t) − w (s) független az Fs -t˝ol, így a feltételes várható érték közönséges várható érték, tehát M (M (t) | Fs ) = w2 (s) + t − s − t = M (s) , vagyis hwi (t) = t. A példa némiképpen általánosítható. Ha X Lévy–folyamatra minden t-re M (X (t)) = 0 és λ $ M X 2 (1) < ∞, akkor hXi (t) = λt. 2 2.86 Példa. Egyszer˝u pontfolyamatok L lokális martingál részének el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja Z t X 2 hLi (t) = (1 − ∆N p (s)) dN p (s) = N p (t) − (∆N p (s)) . (2.40) 0

s≤t p

Legyen N egyszer˝u pontfolyamat. Az N definíciója szerint az L $ N − N p lokális martingál. Az N triviálisan lokálisan korlátos88 , az N p jobbról reguláris, el˝orejelezhet˝o folyamat, tehát szintén lokálisan korlátos89 , következésképpen az L lokálisan korlá2 tos, tehát L ∈ Hloc . A korlátos változású függvényekre vonatkozó parciális integrálás formulája alapján Z t Z t L2 (t) = L (s−) dL (s) + L (s) dL (s) = 0 0 Z t Z t = 2 L (s−) dL (s) + ∆L (s) dL (s) = 0 0 Z t X 2 = 2 L (s−) dL (s) + (∆L (s)) , 0

N τ n ≤ n. 1.99. állítás, 69. oldal.

88 Hiszen 89 V.ö.:

s≤t


194

ahol az integrál trajektóriánként értend˝o90 . Vegyük észre, hogy (∆L (s))

2

2

=

(∆N (s) − ∆N p (s)) =

=

∆N (s) − 2∆N p (s) ∆N (s) + (∆N p (s)) ,

2

tehát X

Z

2

(∆L (s)) = N (t) − 2

t

Z

p

∆N (s) dN (s) + 0

s≤t

t

∆N p (s) dN p (s) ,

0

amit behelyettesítve az N $ L + N p felhasználásával Z t Z t L2 (t) = 2L (s−) + 1 − 2∆N p (s) dL (s) + (1 − ∆N p (s)) dN p (s) . 0

0

Az els˝o integrál lokális martingál, ugyanis az integrandus lokálisan korlátos és el˝orejelezhet˝o91 . A második Z t X 2 (1 − ∆N p (s)) dN p (s) = N p (t) − (∆N p (s)) 0

s≤t

integrálról belátjuk, hogy el˝orejelezhet˝o, amib˝ol a Doob—Meyer–felbontás egyértelp m˝usége miatt a (2.40) teljesül. Az N p el˝orejelezhet˝o, tehát (N p ) = N p . Az p 1 − ∆N p $ 1 − N p − N− integrandus el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, így a (1.48) sor szerint Z t p Z t p (1 − ∆N p (s)) dN p (s) = (1 − ∆N p (s)) d (N p ) (s) = 0

0

Z =

t

(1 − ∆N p (s)) dN p (s) ,

0

következésképpen a folyamat, miként állítottuk, el˝orejelezhet˝o. 2 2.87 Példa. Poisson–folyamat lokális martingál részének el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja. Ha π Poisson–folyamat, akkor π p (t) = λt, tehát az L (t) $ π (t) − λt 92

2

lokális martingál . Az L (t) − λt szintén martingál, ugyanis 2 M L2 (t) − λt | Fs = L (s) + 2L (s) M (L (t) − L (s) | Fs ) + 2 +M (L (t) − L (s)) | Fs − λt. P (3.16) sor, 240. A folyamat úgynevezett kvadratikus variációja (∆L)2 . Az L korlátos változású, tehát tisztán nem folytonos lokális martingál. 1.162. tétel, 117. oldal, 3.42. állítás, 250. oldal. 91 V.ö: az el˝ orejelezhet˝o kompenzátor 8. tulajdonsága, 1.5.2. oldal. 92 Természetesen elemi megfontolásokból tudjuk, hogy martingál. 90 V.ö.:


195

A π független növekmény˝u, ezért a feltételes várható értékek valódi várható értékek, tehát, felhasználva, hogy a folyamat stacionárius növekmény˝u 2L (s) M (L (t) − L (s) | Fs ) = 2 M (L (t) − L (s)) | Fs =

2L (s) M (L (t − s)) = 0 2 M (L (t − s)) = λ (t − s) ,

amib˝ol M L2 (t) − λt | Fs

= L2 (s) + λ (t − s) − λt = = L2 (s) − λs,

másképpen hLi (t) = λt. Ugyanakkor a (2.40) formula szerint számolva Z t Z t hLi (t) = 1 − ∆N p (s) dN p (s) = 1d (λs) = λt. 0

0

2 2 2.4.2. Az integrál definiálása Hloc integrátorokra

Az integrál folytonos lokális martingálokra való felépítése szó szerint megismételhet˝o 2 . Elegend˝o mindenhol az [M, N ] kvadratikus variáció helyett akkor is, ha M ∈ Hloc 2 az hM, N i el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációt írni. Ha például M ∈ Hloc , akkor a Doléans–mértéket az Z ∞ αM (C) $ M χC d hM i 0

képlettel kell definiálni. Emlékeztetünk, hogy hasonlóan a kvadratikus variációhoz, ha hLi $ hL, Li = 0, akkor az L konstans93 . Ugyancsak érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy a folytonos esetben bemutatott gondolatmenet során kulcs szerepet játszott τ az [M, N τ ] = [M τ , N τ ] = [M, N ] egyenl˝oség, amelynek igazolása azonban éppen arra épült, hogy folytonos lokális martingálok esetén a kvadratikus variáció azonos az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációval94 . Megjegyezzük azonban, hogy szemben a folytonos esettel, a lehetséges integrandusok köre most nem lesz azonos az L2loc (M ) osztályba es˝o progresszíven mérhet˝o folyamatok halmazával. Ugyan a folytonos esetben bemutatott eljárás során az integrált minden progresszíven mérhet˝o, L2loc (M ) folyamatra értelmezni tudjuk, az integrál néhány fontos tulajdonságát95 azonban csak akkor tudjuk belátni, ha az integrandus el˝orejelezhet˝o. Ugyancsak az elemi folyamatok által generált mérhet˝oségi struktúrára, vagyis az el˝orejelezhet˝o folyamatokra tudjuk indokolni, hogy a két verseng˝o definíció, a trajektóriánként vett integrál és a lokális martingál szerint vett integrál megegyezzen. Az elmondottakat rögzíti a következ˝o definíció: 93 Definíció

szerint hLi = 0 pontosan akkor, ha az L mer˝oleges önmagára. V.ö.: 1.160. állítás, 116. oldal. 2.40. állítás, 162. oldal. 95 V.ö.: az ugrásokra vonatkozó 9. tulajdonsággal. 198. oldal. 94 V.ö.:


196

2.88 Definíció. 2 Legyen M ∈ Hloc lokális négyzetesen integrálható martingál. Az L2loc (M ) téren az olyan X el˝orejelezhet˝o folyamatok halmazát értjük, amelyekhez az M -nek van olyan (τ n )n H2 -lokalizációs sorozata, hogy minden n-re X ∈ L2 (M τ n ) , vagyis Z ∞ Z ∞ τn 2 2 τn X d hM i = X d hM i = M M 0 Z0 τ n X 2 d hM i = = M 0 Z ∞ 2 χ ([0, τ n ]) X d hM i $ = M 0 Z $ χ ([0, τ n ]) X 2 dαM < ∞. (0,∞)×Ω

Az X-re vonatkozó integrálhatósági feltétel X 2 •hM i ∈ A+ obb loc módon is írható. Kés˝ be fogjuk látni96 , hogy tetsz˝oleges M lokális martingál esetén létezik az [M ] kvadrati2 kus variáció, és ha M ∈ Hloc , akkor [M ] ∈ Aloc

és

p

[M ] = hM i .

Ha X el˝orejelezhet˝o, akkor az el˝orejelezhet˝o kompenzátor definíciója alapján97 Z ∞ Z ∞ M χ ([0, τ n ]) X 2 d hM i = M χ ([0, τ n ]) X 2 d [M ] , 0

0

2 így ha M ∈ Hloc , akkor az el˝orejelezhet˝o X folyamatra pontosan akkor X ∈ L2loc (M ) 98 ha X 2 • [M ] ∈ A+ loc .

2.4.3. Az integrál tulajdonságai 2 -sztochasztikus integrál tulajdonságait ismertetjük. A megEbben az alpontban a Hloc adott szabályok képezik, kiegészülve a Newton—Leibniz–formula szerepét játszó Itô– formulával, illetve a vele szoros kapcsolatban álló parciális integrálás formulájával a sztochasztikus analízis számolási szabályait. A klasszikus integrálelmélet ismeretében az integrálási szabályok mindegyike természetesnek t˝unik és könnyen megjegyezhet˝o. A bizonyítások nehézsége abból ered, hogy az integrál nem vehet˝o trajektóriánként. A bemutatott számolási szabályokban a sztochasztikus integrálok közötti egyenl˝oségek megkülönböztethetetlenség erejéig teljesülnek. 2 1. Ha M ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , akkor (X • M ) (0) = 0. 2 2. Ha M ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , akkor X • M = X • (M − M (0)) . 96 V.ö.:

3.35. állítás, 247. oldal. 1.131. tétel, 90. oldal. 98 V.ö.: D.1.3. alpont, 447. oldal. 97 V.ö.:


197

2 2 3. Ha M ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , akkor X • M ∈ Hloc. 2 4. Az integrál lineáris, vagyis ha M ∈ Hloc és X, Y ∈ L2loc (M ) , a és b konstansok, akkor a megkülönböztethetetlenség erejéig

aX • M + bY • M. = (aX + bY ) • M. Általában az integrál additivitása azt jelenti, hogy az integrálokat össze lehet „vonni”, de természetesen csak akkor lehet o˝ ket „szétszedni”, ha a szétszedett kifejezés értelmes. Az L2loc (M ) tér lineáris tér, vagyis a linearitás a megadott körben odavissza érvényes. Ha M ∈ H2 , akkor a linearitás a konstrukció miatt evidens. Legyen 2 M ∈ Hloc , X, Y ∈ L2loc (M ) . Ha (τ k )k az M lokalizációs sorozata, akkor, felhasználva, hogy X, Y ∈ L2 (M τ k ) , az elmondottak szerint X • M τ k + Y • M τ k = (X + Y ) • M τ k , amib˝ol az integrál definíciója szerint X • M + Y • M = (X + Y ) • M. 2 , (Xn )n el˝orejelez5. Érvényes a majorált konvergencia tétele, vagyis ha M ∈ Hloc het˝o folyamatok olyan sorozata, amelyre a pontonkénti konvergenciában Xn → X, és amelyhez van olyan Y ∈ L2loc (M ) , hogy

|Xn | ≤ Y, akkor tetsz˝oleges t-re P

sup |(Xn • M ) (s) − (X • M ) (s)| → 0. s≤t 2 Ha M ∈ H2 , akkor a t választható végtelennek, ha M ∈ Hloc , akkor a t tetsz˝oleges véges szám lehet.

A bizonyítás szó szerint megegyezik a folytonos lokális martingálokra bemutatott bizonyítással99 . 2 6. Érvényes az asszociativitási szabály, vagyis ha M ∈ Hloc , Y ∈ L2loc (M ) , X ∈ 2 2 Lloc (Y • M ) , akkor XY ∈ Lloc (M ) , és

X • (Y • M ) = (XY ) • M. A bizonyítás szó szerint megegyezik a folytonos esetben közölttel. 2 7. Ha M ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , akkor tetsz˝oleges megállási id˝ore τ

(X • M ) = χ ([0, τ ]) X • M = X • M τ . A bizonyítás szó szerint megegyezik a folytonos esetben közölttel. 99 V.ö.:

2.4.3. állítás, 196. oldal.


198

2 8. Ha M ∈ Hloc és τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor

M τ = M (0) + χ ([0, τ ]) • M. A megállítási szabály szerint τ

τ

χ ([0, τ ]) • M = (1 • M ) = (M − M (0)) = M τ − M (0) .

2 9. Ha M ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , akkor ∆ (X • M ) = X • ∆ (M ) , ahol a ∆ jelölés a folyamat ugrásaira utal.

Megjegyezzük, hogy ez olyan tulajdonság, amely a folytonos esetben értelemszer˝uen nem szerepelt. Ugyancsak érdemes odafigyelni arra, hogy a tulajdonság indoklása során kihasználjuk, hogy a megengedett integrandusok el˝orejelezhet˝oek. Az egyenletes konvergencia és a határérték felcserélhet˝oségének az elemi analízisb˝ol ismert szabálya miatt a ∆ operáció felcserélhet˝o az egyenletes konvergenciával. Legyen el˝oször M ∈ H2 . Jelölje L az olyan korlátos el˝orejelezhet˝o folyamatokat, amelyekre az egyenl˝oség teljesül. Az L triviálisan tartalmazza az elemi folyamatok π-rendszerét. Ha X, Y ∈ L, akkor ∆ ((X + Y ) • M )

=

∆ (X • M + Y • M ) = X∆ (M ) + Y ∆ (M ) =

=

(X + Y ) ∆ (M ) , L2

vagyis az L lineáris tér100 . Ha 0 ≤ Xn → X és az X korlátos, akkor Xn → X és ilyenkor a Doob–egyenl˝otlenség miatt alkalmas részsorozatra az integrálok konvergenciája trajektóriánként egyenletes, tehát a határérték és a ∆ felcserélhet˝o: X∆M

lim Xn ∆M = lim ∆ (Xn • M ) =

=

n→∞

(2.41)

n→∞

∆ lim (Xn • M ) = ∆ (X • M ) .

=

n→∞

A Meyer–tétel miatt az L tartalmazza az összes el˝orejelezhet˝o korlátos folyamatot. Ha Xn $ Xχ (|X| ≤ n) , akkor Xn → X pontonként. Mivel az X négyzetesen integrálható, ezért az (Xn )n sorozat rendelkezik négyzetesen integrálható majoránssal, így a majorált konvergencia tétel szerint (Xn • M ) → (X • M ) , és mivel trajektóriák szerinti konvergencia a véges szakaszokon valószín˝uségben egyenletesen, ezért alkalmas részsorozatra a (2.41) ismételten teljesül. Tetsz˝oleges (τ n )n lokalizációs sorozatra ∆ (X • M )

τn

$

∆ (X • M τ n )

=

(X∆M τ n )

τn

τn

= (∆ (X • M τ n )) τn

= (X∆M )

τn

=

,

és az M lokalizációjával az állítás triviálisan átvihet˝o az általános esetre. 10. Korlátos változású integrátorok és lokálisan korlátos integrandusok esetén a definíció egybeesik a klasszikus, trajektóriánként vett integrállal. 100 A

skalárral való szorzásra az egyenl˝oség triviálisan teljesül.


199

Vegyük észre hogy a folytonos esetben a tulajdonság semmitmondó, illetve érdektelen, ugyanis minden korlátos változású, folytonos lokális martingál konstans. Tegyük fel, 2 hogy M ∈ Hloc és az M trajektóriái minden véges intervallumon korlátos változásúak, tegyük fel továbbá, hogy a X lokálisan korlátos. Ilyenkor a X • M folyamatnak elvileg két definíciója van. Egyrészt az integrált tekinthetjük trajektóriánként, másrészt az integrált vehetjük a bemutatott konstrukció segítségével. Mindkét esetben jobbról reguláris, adaptált folyamatot kapunk. Ha X elemi folyamat, akkor a két definíció egybeesik. A majorált konvergencia tétele mind a két fajta integrálra teljesül, ezért a Meyer–tétel alkalmazható, vagyis korlátos, el˝orejelezhet˝o folyamatokra a két fajta integrál egybeesik. Általános esetben a két integrál egybeesése lokalizációval közvetlenül igazolható. 2 11. Ha M ∈ Hloc és az Y balról folytonos, adaptált, lokálisan korlátos folyamat, akkor az Y • M integrál el˝oáll Riemann–típusú közelít˝o összegek határértékeként, ahol a konvergencia a kompakt id˝ointervallumokon valószín˝uségben való egyenletes konvergencia. A Riemann–típusú közelít˝o összegben a felbontások választhatóak véletlennek is.

A tulajdonság igazolása szinte szó szerint megegyezik a folytonos esetben bemutatottal101 , az egyetlen amit érdemes megjegyezni, hogy az X (n) (n) (n) i Y (n) $ Y τ k−1 χ τ k−1 , τ k k

közelít˝o összeg balról folytonos, tehát el˝orejelezhet˝o. 2 12. Ha M, N ∈ Hloc , X ∈ L2loc (M ) , Y ∈ L2loc (N ) , akkor102 érvényes az

hX • M, Y • N i = XY • hM, N i felcserélési szabály. 2 lokális martingálok el˝orejelezhet˝o Emlékeztetünk, hogy hM, N i az M, N ∈ Hloc kvadratikus variációját jelöli. Megjegyezzük továbbá, hogy a megadott feltételek telje2 sülésekor az X •M és az Y •M folyamatok szintén elemei a Hloc térnek, így a két oldal értelmes. Az egyenl˝oség a konstrukció miatt a korábban tett megjegyzés értelmében τ a H2 -integrálokra evidens. Az általános eset az hM τ , N i = hM τ , N τ i = hM, N i felhasználásával lokalizációval kapható. 2 13. Ha M ∈ Hloc , akkor az L2loc (M ) pontosan azokból az el˝orejelezhet˝o X folyamatokból áll, amelyekre X 2 • hM i ∈ A+ orejelezhet˝o, akkor az loc . Ha az X el˝ 2 X 2 • hM i ∈ A+ loc pontosan akkor teljesül, ha az X • hM i lokálisan korlátos.

Megjegyezzük, hogy a tulajdonság megfogalmazása némiképpen eltér a folytonos esetben megadott karakterizációtól103 . Ennek oka, hogy folytonos integrátor esetén az X 2 • hM i = X 2 • [M ] folytonos, és egy folytonos, monoton növeked˝o folyamat a 101 V.ö.:

2.79. állítás, 187, oldal. be fogjuk látni, hogy az [X • M, Y • N ] = XY • [M, N ] is teljesül. V.ö.: (3.27) sor, 256.

102 Kés˝ obb

oldal. 103 V.ö.: 2.68. következmény, 180. oldal.


200

Bolzano–tétel miatt pontosan akkor véges, ha eleme az A+ oloc térnek. Ha az X el˝ rejelezhet˝o, akkor az X 2 is el˝orejelezhet˝o és mivel az hM i el˝orejelezhet˝o, ezért ha X 2 • hM i ∈ Aloc , akkor az X 2 • hM i el˝orejelezhet˝o, ugyanis104 p p X 2 • hM i = X 2 • hM i = X 2 • hM i . Az X 2 •hM i el˝orejelezhet˝o és jobbról reguláris, tehát miként állítottuk lokálisan korlátos105 . A tulajdonság indoklására rátérve, ha X ∈ L2loc (M ) , akkor X •M ∈ L2loc (M ) 2 és X 2 • hM i = hX • M i ∈ A+ loc .Megfordítva, legyen (σ n )n az M H -lokalizációs 2 sorozata, és (τ n )n legyen az X • hM i lokalizációs sorozat. Ha ρn $ σ n ∧ τ n , akkor a trajektóriánkénti integrálás elemi tulajdonsága miatt Z ∞ Z ∞ ρn 2 2 ρn X d hM i = X d hM i = M M 0 Z0 ρn = M X 2 d hM i = 0 ρ = M X 2 • hM i n (∞) < ∞, vagyis X ∈ L2 (M ρn ) , következésképpen X ∈ L2loc (M ).

2.4.4. Szemimartingálok szerinti integrálás Emlékeztetünk, hogy szemimartingál alatt az X = X (0) + V + L alakú folyamatokat értjük, ahol a V ∈ V korlátos változású, az L ∈ L pedig lokális martingál. A nem folytonos szemimartingálok szerinti integrálásakor két probléma merül fel. Egyrészt az elmondottak alapján közvetlenül nem folytonos lokális martingálok szerint nem tudunk integrálni, másrészt a felbontás nem egyértelm˝u. Emlékeztetünk azonban, hogy a szemimartingálok felbontásában a lokális martingálok f˝otétele106 miatt feltehetjük, 2 hogy L ∈ Hloc . Ez lehet˝ové teszi, hogy definiáljuk az Y •X $Y •V +Y •L sztochasztikus integrált. Vegyük észre, hogy a felbontás nem egyértelm˝u, ezért az Y • X definíciója sem feltétlenül egyértelm˝u. Megjegyezzük, hogy el˝orejelezhet˝o folyamatokra az integrál nem függ a felbontástól, vagyis az X szemimartingál által egyértelm˝uen meghatározott. Ha ugyanis V1 +L1 = V2 +L2 , akkor az elemi folyamatokra Y • V1 + Y • L1 = Y • V2 + Y • L2 , Az elemi el˝orejelezhet˝o folyamatok által generált mérhet˝oségi struktúra éppen az el˝orejelezhet˝o folyamatok osztálya, így a majorált konvergencia tétellel az egyenl˝oség a Meyer–tétellel kiterjeszthet˝o a korlátos el˝orejelezhet˝o folyamatokra. Ha Y el˝orejelezhet˝o és az Y a V1 , V2 , illetve az L1 , L2 folyamatok szerint integrálható, akkor mind a négy folyamatra érvényes a majorált konvergencia tétele, tehát az Yn $ Y χ (|Y | ≤ n) integrálja az Y megfelel˝o integráljához tart. Másképpen fogalmazva: 104 V.ö.:

(1.48) sor, 93. oldal. 1.99. állítás, 69. oldal. 106 V.ö.: 1.155. állítás, 112. oldal, 1.155. tétel, 112. oldal. 105 V.ö.:


201

2.89 Állítás. Ha az Y • X integrálja az X szemimartingál valamilyen felbontása esetén létezik, akkor az integrál értéke független a felbontástól abban az értelemben, hogy minden más olyan felbontás esetén, amikor az integrál értelmezhet˝o a két integrál értéke egybeesik. Ha az X szemimartingál korlátos változású és létezik a trajektóriánként, illetve a szemimartingál értelemben vett integrál, akkor a két definíció egybeesik. 2.90 Példa. Az integrál nem minden felbontás esetén értelmezhet˝o. Az állítás szerint el˝orejelezhet˝o Y esetén az Y • X integrál létezéséhez az szükséges, hogy az X rendelkezzen olyan X (0) + L + V felbontással, amelyre az Y • L és az Y • V integrálok értelmezhet˝oek. Az integrál létezéséb˝ol azonban nem következik, hogy az X integrátor minden felbontása esetén a két integrál értelmes. Ha X Poisson– folyamat, akkor az X két fajta felbontással is rendelkezik. Egyrészt felírható P + λt, alakban, ahol L $ P $ X − λt kompenzált Poisson–folyamat, másrészt felírható X = X + 0 módon, ahol L $ 0 az X szemimartingál martingál része, V $ X pedig a korlátos változású rész. Jelölje τ az X els˝o ugrásának helyét , és tekintsük az Y (t, ω) $ (0, τ (ω)] /t el˝orejelezhet˝o folyamatot107 . Az X = X + 0 alakú felbontás Rs esetén Y • 0 = 0, Y • X = 1/τ , így az integrál létezik. Ugyanakkor az 0 Y λdt kifejezés minden ω-ra ∞, vagyis az integrál az X = P + λt felbontás esetén nem értelmezhet˝o. 2 2.91 Állítás. Érvényes a majorált konvergencia tétele, vagyis ha (Yn )n el˝orejelezhet˝o folyamatok sorozata és létezik Y el˝orejelezhet˝o, az X szemimartingál szerint integrálható folyamat, amelyre |Yn | ≤ Y, akkor az Yn • X integrálok is léteznek és érvényes a majorált konvergencia tétel, vagyis ha minden kimenetelre és minden id˝opontban Yn (t, ω) → Y∞ (t, ω) , akkor a kompakt szakaszokon való sztochasztikusan egyenletes konvergenciában Yn • X → Y∞ • X. Bizonyítás: Az Y integrálhatósága azt jelenti, hogy az X-nek van olyan X (0)+V +L felbontása, hogy Y ∈ L2loc (L) és az Y a V szerint minden véges szakaszon trajektóriánként integrálható. Triviálisan az |Yn | ≤ Y esetén a két tulajdonság megörökl˝odik az Yn -re is. A (Yn • L)n és az (Yn • V )n sorozatokra teljesül a majorált konvergencia tétele, így mivel sztochasztikusan konvergens sorozatok összege is konvergens, ezért az összegükre is, vagyis az (Yn • X)n sorozatra is teljesül. 2 2.92 Állítás. Minden lokálisan korlátos108 , el˝orejelezhet˝o folyamat integrálható. 107 Az

Yn $ (1/n, τ ] /t folyamatok triviálisan el˝orejelezhet˝oek és Y = limn Yn . Vegyük észre, hogy az Y bár el˝orejelezhet˝o, nem lokálisan korlátos, ugyanis az origóban nem balról folytonos. 108 Emlékeztetünk, hogy az Y folyamatot akkor mondjuk lokálisan korlátosnak, ha az Y − Y (0) folyamathoz létezik olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, amelyre az (Y − Y (0))τ n korlátos. Az integrál egyértelm˝uségének igazolásakor fel kell használni az Y • X = Y (0) • X + (Y − Y (0)) • X egyenl˝oséget.

202


Bizonyítás: A definícióval kapcsolatban megjegyezzük, hogy ha az Y lokálisan korlátos, akkor mind az Y •V, mind az Y •L integrálok léteznek. Az Y •V létezése nyilván2 való, az Y • L létezése pedig az L ∈ Hloc lokális martingálokra teljesül˝o hLi ∈ A+ loc triviális következménye. 2 A következ˝o tétel távolról sem triviális: 2.93 Tétel. (Lokális martingálok szerinti integrálás) Ha X el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, L lokális martingál, akkor az X • L sztochasztikus integrál létezik és az integrál lokális martingál109 . Bizonyítás: Megjegyezzük, hogy az integrál az elmondottak miatt értelmes és egyértelm˝u, de a konstrukció szerint csak szemimartingál és nem lokális martingál. Az L lokális martingált a lokális martingálok f˝otétele110 alapján bontsuk fel L = A + H 2 módon, ahol A ∈ Aloc és H ∈ Hloc . Mivel az X lokálisan korlátos és hXi ∈ A+ loc , + 2 2 2 ezért X • hXi ∈ Aloc , így X ∈ Lloc (H) , így X • H ∈ Hloc , vagyis az X • H a konstrukció szerint lokális martingál. Az X lokálisan korlátos, tehát X • A ∈ Aloc és A ∈ V ∩ L, tehát az X • A szintén lokális martingál111 . 2 A sztochasztikus integrálás elméletének egyik alapvet˝o ellenpéldája a következ˝o: 2.94 Példa. Ha az integrandus nem lokálisan korlátos, akkor nem minden sztochasztikus integrál lesz lokális martingál112 . Legyen M a τ > 0 exponenciális eloszlású id˝opontban lejátszott, η $ ±1 érték˝u, a τ tól független pénzfeldobási játék eredménye113 . Az M trajektóriái nem folytonosak és az M az önmaga által generált F filtrációra nézve martingál. Mivel az M trajektóriái monotonok, ezért értelmes az Z 1 0 ha t < τ (ω) dM (s, ω) = L (t, ω) $ η (ω) /τ (ω) ha τ (ω) ≤ t s (0,t] trajektóriánként vett Stieltjes–típusú sztochasztikus integrál. Megmutatjuk, hogy az L nem lokális martingál. Ehhez elegend˝o belátni, hogy tetsz˝oleges σ 6= 0 megállási id˝ore114 M (|L (σ)|) = ∞, 109 A lokális korlátosság és az el˝ orejelezhet˝oség feltétele nem hagyható el. V.ö.: 2.94. példa, 202. oldal, 1.135. példa, 95. oldal. 110 V.ö.: 1.155. tétel, 112. oldal. 111 V.ö.: el˝ orejelezhet˝o kompenzátor 9. tulajdonsága. 95. oldal. Természetesen hallgatólagosan kihasználtuk, hogy az (Ω, A,P,F )-re teljesülnek a szokásos feltételek. 112 Az integrál csak akkor lesz lokális martingál, ha az integrandus el˝ orejelezhet˝o és lokálisan korlátos. V.ö.: 1.135. példa, 95. oldal, 2.93. tétel, 202. oldal. 113 V.ö.: [20], 9.54. példa, 335. oldal. 114 σ 6= 0, F = {∅, Ω} , ezért {σ ≤ 0} = ∅, vagyis σ > 0. 0


203

ugyanis, ha a folyamat rendelkezik (τ k )k lokalizációs sorozattal, akkor az Lτ k martingál, tehát a σ $ τ k ∧ t megállási id˝ore a Lτ k (t) = Lτ k ∧t $ L (σ) várható értékének végesnek kellene lenni. A σ F-megállási id˝o, így minden t-re, az F szerkezete alapján, {σ ≤ t} = U ∪ V, ahol U ∈ τ −1 (B ([0, t])) ∩ {η = ±1} , a V halmaz pedig vagy üres, vagy V = {τ > t} . Ha valamely tn & 0 sorozat minden n indexére {σ ≤ tn } ⊇ {τ > tn } , akkor {σ ≤ tn } ⊇ {τ > tn } ⊇ {τ > tn−1 } ⊇ {τ > tn−2 } ⊇ · · · , következésképpen minden n-re {σ ≤ 0} ⊇ {τ > tn } , amib˝ol, a τ > 0 felhasználásával, σ = 0. Ebb˝ol alkalmas T > 0 id˝opontra minden t ≤ T esetén {σ ≤ t} ∈ τ −1 (B ([0, t])) ∩ {η = ±1} . Megmutatjuk, hogy {τ ≤ T } ⊆ {τ ≤ σ ∧ T } . Ha nem, akkor van olyan ω kimenetel, amelyre τ (ω) ≤ T,

σ (ω) ∧ T < τ (ω) .

Ekkor τ (ω) ∈ / [0, σ (ω)] $ [0, t0 ] ⊆ [0, T ] , tehát alkalmas B ∈ B [0, t0 ] halmazra ω ∈ {σ ≤ t0 } ⊆ τ −1 (B) ⊆ τ −1 ([0, t0 ]) , ami ellentmondás. A τ exponenciális eloszlású, ezért Z Z 1 1 χ (τ ≤ σ) dP ≥ χ (τ ≤ T ) dP = M (|L (σ)|) = Ω τ Ω τ Z T 1 = λ exp (−λx) dx = ∞. 0 x 2 A bemutatott konstrukció lényegében csak lokálisan korlátos, el˝orejelezhet˝o folyamatok esetén használható. Ennek legf˝obb oka, hogy az integrál additívitását a megadott


204

definíció keretében általában nem tudjuk biztosítani. Ha az Y folyamat az X1 és az X2 szemimartingálok szerint integrálható, akkor létezik az Y • (X1 + X2 ) integrál és Y • (X1 + X2 ) = Y • X1 + Y • X2 ugyanis az X $ X1 + X2 alkalmas felbontásához elegend˝o az Xi = Xi (0) + Li + Vi , (i = 1, 2) felbontásokban a megfelel˝o Li és Vi tagokat összeadni. Ha azonban az Y1 és az Y2 integrálható az X szemimartingál szerint, akkor az idáig elmondottak alapján általában nem tudjuk indokolni, hogy az Y1 + Y2 is integrálható az X szerint. Ezt csak akkor tudjuk biztosítani, ha az Y1 és az Y2 az X összes X (0) + L + V felbontása mellett integrálható, amit jószerével csak a lokálisan korlátos folyamatok esetén tudunk könnyen biztosítani115 . Az elmondottakat rögzíti a következ˝o állítás: 2.95 Állítás. (Az integrál additivitása) Ha X1 és X2 tetsz˝oleges szemimartingálok és léteznek az Y • X1 és Y • X2 integrálok, akkor létezik az Y • (X1 + X2 ) integrál és Y • (X1 + X2 ) = Y • X1 + Y • X2 . Ha Y1 és Y2 lokálisan korlátos, el˝orejelezhet˝o folyamatok, X tetsz˝oleges szemimartingál, akkor (Y1 + Y2 ) • X = Y1 • X + Y2 • X.

2.5. Bichteler—Dellacherie–tétel A szemimartingálok szerinti sztochasztikus integrál definíciója némiképpen mesterkéltnek t˝unik. Ebben a pontban a szemimartingálok fontos karakterizációját mutatjuk be. A karakterizáció lényege, hogy a szemimartingálokat mint az ésszer˝u integrátorok halmazát definiáljuk. A többszörös, és esetlegesen ellentmondó definíciók elkerülése céljából a korábbi definíciók szerinti szemimartingálokra a pont végéig mint klasszikus szemimartingálok fogunk hivatkozni. 2.96 Definíció. Az E folyamatot elemi folyamatnak mondjuk, ha megadható 0 = t0 < t1 < . . . < tn monoton növeked˝o sorozat, hogy E = ξ 0 χ ({0}) +

n X

ξ i χ ((ti−1 , ti ]) ,

i=1

ahol a ξ i változók korlátosak és Fti−1 -mérhet˝oek. 115 A függelékben a szemimartingálok szerinti integrált jóval körültekint˝ obben fogjuk megadni, és az ott megadott definíció mellett az integrál additivitását be fogjuk látni.

2.5. BICHTELERDELLACHERIETÉTEL

205

Ha X tetsz˝oleges folyamat, akkor az E • X egyedül értelmes definíciója116 X (E • X) (t) = ξ i [X (ti ∧ t) − X (ti−1 ∧ t)] . i

A definíció triviálisan rendelkezik az integráltól elvárható linearitással. Valamely hozzárendelést azonban csak akkor érdemes integrálnak tekinteni, ha megfelel˝o folytonossági tulajdonságokkal is rendelkezik. Az elemi folyamatok körében tekintsük a (t, ω)-szerinti egyenletes konvergenciát, a valószín˝uségi változók körében konvergencián értsük a sztochasztikus konvergenciát. 2.97 Definíció. Az X folyamatot szemimartingálnak mondjuk, ha tetsz˝oleges t id˝opontra az elemi folyamatok körében az E 7→ (E • X) (t) leképezés folytonos. Vegyük észre, hogy a megkövetelt folytonosság igen enyhe, ugyanis az integrandusok körében, vagyis az értelmezési tartományon, a topológia az ésszer˝uség keretein belül a lehet˝o leger˝osebb, az értékkészleten pedig a lehet˝o leggyengébb. Az integrál linearitása miatt a folytonossági feltétel a következ˝o: ha elemi el˝orejelezhet˝o folyamatok sorozata egyenletesen nullához tart, akkor minden t-re a (0, t] szakaszon vett integrál sztochasztikusan nullához tart. 2.98 Tétel. (Bichteler—Dellacherie) Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket, akkor az X adaptált, jobbról reguláris folyamat pontosan akkor szemimartingál, ha klasszikus szemimartingál. Bizonyítás: Ha az X klasszikus szemimartingál, akkor az új definíció értelmében triviálisan szemimartingál, tehát csak a másik irányt kell igazolni. A bizonyítást több lépésre bontjuk. 1. A bizonyítás els˝o lépéseként válasszuk le az X egynél nagyobb ugrásait. Az X trajektóriáira tett regularitási feltételek miatt az egynél nagyobb abszolút érték˝u ugrások nem torlódhatnak, így a felbontás értelmezhet˝o. Triviálisan az egynél nagyobb ugrásokból álló folyamat trajektóriái korlátos változásúak. Ezt felhasználva triviálisan látható, hogy az ugrások leválasztása után megmarad folyamat szintén szemimartingál. Ha a megmaradt folyamatról belátjuk, hogy klasszikus szemimartingál, akkor az egynél nagyobb ugrásokból álló folyamattal kiegészítve is klasszikus szemimartingál. Amennyiben a „nagy” ugrások leválasztása után megmaradt folyamat klasszikus szemimartingál, akkor a megmaradt folyamat speciális117 és ilyenkor a megmaradt klasszikus szemimartingál felbontása egyértelm˝u118 . Az egyértelm˝u felbontás fontos következménye, hogy elegend˝o belátni, hogy az X minden véges [0, T ] szakaszon klasszikus szemimartingál. 116 V.ö.: 2.78. következmény, 186. oldal. Emlékeztetünk, hogy integrálon mindig a (0, t] szakaszon való integrált értjük. Ha a [0, t] szakaszon akarunk integrálni, akkor az összeghez hozzá kell még adni a ξ 0 X (0) tagot. 117 V.ö.: 1.178. következmény, 127. oldal. 118 V.ö.: 1.123. következmény, 84. oldal.


206

2. A bizonyítás következ˝o lépése a Girszanov–tételre épül, amellyel külön pontban fogunk foglalkozni119 . A Girszanov–tétel szerint, ha X klasszikus szemimartingál valamely P valószín˝uségi mérték esetén és a Q valószín˝uségi mérték ekvivalens a P-vel, ami alatt azt értjük, hogy a P és a Q nullmérték˝u halmazainak halmaza megegyezik, akkor az X a Q alatt is klasszikus szemimartingál120 . Ebb˝ol következ˝oen elegend˝o belátni, hogy minden X szemimartingálhoz található olyan Q a P-vel ekvivalens mérték, hogy az X klasszikus szemimartingál a Q alatt. Megjegyezzük, hogy a sztochasztikus konvergencia invariáns az ekvivalens mértékcserére, ugyanis valamely sorozat pontosan akkor konvergál sztochasztikusan, ha bármely részsorozatának van majdnem mindenhol konvergens részsorozat. Ebb˝ol következ˝oen a szemimartingálok halmaza triviálisan invariáns az ekvivalens mértékcserére. 3. Rögzítsük a [0, T ] szakaszt. Az trajektóriának regularitása miatt az X trajektóriái minden véges szakaszon korlátosak, így η $ supt≤T |X (t)| < ∞. Ugyancsak a trajektóriák regularitása miatt a szuprémumot elegend˝o a racionális id˝oP pontokban venni, tehát az η valószín˝uségi változó. Am $ {m ≤ η < m + 1} , ζ $ m 2−m χAm . A ζ evidens módon korlátos. Az η végessége miatt a ζ triviálisan pozitív. Ugyancsak triviálisan az ηζ a P mérték szerint integrálható. Az Z 1 ζdP R (A) $ M (ζ) A valószín˝uségi mérték a ζ pozitivitása miatt ekvivalens a P-vel, és tetsz˝oleges t ≤ T id˝opontra Z Z Z 1 ηζdP < ∞, |X (t)| dR ≤ ηdR = M (ζ) Ω Ω Ω vagyis az X az R mérték mellett integrálható. Feltehetjük tehát, hogy az X (t) minden t-re integrálható121 . 4. Vezessük be a B $ {(E • X) (T ) ,

|E| ≤ 1}

(2.42)

halmazt, ahol az E értelemszer˝uen a [0, T ] szakaszon értelmezett tetsz˝oleges olyan elemi folyamat, amely ugrásai minden id˝opontban abszolút értékben nem nagyobbak egynél. Megmutatjuk, hogy a szemimartingálokra tett folytonossági megkötés miatt a B sztochasztikusan korlátos, vagyis minden ε > 0 számhoz van olyan K, hogy P (|η| ≥ K) < ε minden η ∈ B változóra. Valóban, ha nem így lenne, akkor létezne ε > 0 szám, elemi el˝orejelezhet˝o folyamatokból álló |En | ≤ 1 sorozat és Kn % ∞, hogy (En • X) (T ) P ≥ 1 ≥ ε. Kn Ugyanakkor az En /Kn egyenletesen nullához tart, így a folytonossági feltétel miatt (En • X) (T ) En P = • X (T ) → 0, Kn Kn 119 V.ö.:

4.3. állítás, 307. oldal. A Girszanov–tételre való hivatkozás természetesen el˝orehivatkozás. a klasszikus szemimartingálok családja zárt az ekvivalens mértékcserére. 121 Az egyszer˝ uség kedvéért az R helyett továbbra is a P jelölést fogjuk használni. 120 Másképpen

2.5. BICHTELERDELLACHERIETÉTEL

207

ami lehetetlen. 5. A bizonyítás utolsó lépéseként megmutatjuk, hogy létezik olyan Q a P-vel ekvivalens valószín˝uségi mérték, amelyre Z sup ηdQ : η ∈ B $ L < ∞. Ω

Ebb˝ol az állítás következni fog, ugyanis a [0, T ] minden 0 = t0 < t1 < . . . < tn+1 = T felbontására, ha122 ξ i $ sgn MQ (X (ti+1 ) − X (ti ) | Fti ) , akkor MQ ((Z • X) (T )) = n X = MQ (ξ i [X (ti+1 ) − X (ti )]) = i=0

=

n X

MQ MQ (ξ i [X (ti+1 ) − X (ti )] | Fti ) =

i=0

=

n X

MQ ξ i MQ (X (ti+1 ) − X (ti ) | Fti ) =

i=0 Q

= M

n X Q M (X (ti ) − X (ti+1 ) | Ft ) i

! ≤ L,

i=0

tehát az X kvázimartingál a Q alatt, következésképpen a Q alatt klasszikus szemimartingál123 . 6. A Q ekvivalens mérték létezését a Hahn—Banach–tétellel igazoljuk. Jelölje L∞ + az L∞ nem negatív elemeit. Z ∞ H $ ζ ∈ L+ : sup ηζP : η ∈ B < ∞ . Ω

Elegend˝o belátni, hogy a H tartalmaz ζ 0 pozitív elemet, ugyanis akkor a Z 1 Q (A) $ ζ dP M (ζ 0 ) A 0 valószín˝uségi mérték alkalmas ekvivalens mérték. Jelölje G a H elemeinek tartóhalmazaiból124 álló halmazt. A G zárt a megszámlálható egyesítésre nézve, ugyanis ha MQ a Q alatti várható érték. 1.130. következmény, 90. oldal. 124 Egy függvény tartóhalmaza az olyan pontok halmaza, ahol a függvény nem nulla. 122 Értelemszer˝ uen 123 V.ö.:


208

P ζ n ∈ H, akkor alkalmas (bn )n pozitív számokból álló sorozatra n bn ζ n ∈ H. Ebb˝ol következ˝oen a G háló tulajdonságait felhasználva a szokásos módon igazolható, hogy a G tartalmaz D maximális mérték˝u elemet125 . Jelölje C a D komplementerét. Megmutatjuk, hogy P (C) = 0. Tegyük fel, hogy nem így van, és P (C) $ ε > 0. A (2.42) sorban bevezetett B halmaz sztochasztikusan korlátos, ezért az ε > 0 számhoz van olyan K, hogy minden β ∈ B változóra P (β ≥ K) ≤ ε/2. Ebb˝ol következ˝oen θ $ 2KχC ∈ / B. Természetesen, ha ϑ ≥ 0, akkor θ + ϑ ∈ / B, hiszen P (θ + ϑ ≥ K) ≥ ε, vagyis θ ∈ / B − L1+ . A θ a B − L1+ konvex halmaz126 lezártjának sem eleme, ugyanis ha γ n $ β n − ϑn → θ L1 -ben, akkor sztochasztikusan is, de ha δ elég kicsi, akkor P (|γ n − θ| > δ) ≥ P ({β n < K} ∩ {θ ≥ 2K}) ≥

ε , 2

ami lehetetlen. A Hahn—Banach–tétel miatt127 van olyan ζ ∈ L∞ \ {0} , hogy Z Z (β − ϑ) ζdP < θζdP, β ∈ B, ϑ ∈ L1+ . (2.43) Ω

Ω

A B konstrukciója miatt 0 ∈ B, amib˝ol ζ ≥ 0, ugyanis ha pozitív mérték˝u halmazon a ζ negatív lenne, akkor a (2.43) bal oldala alkalmas ϑ ∈ L1+ -ra nagyobb lenne mint a jobb oldalon lev˝o fix érték. Ugyancsak a 0 ∈ B miatt a jobb oldal pozitív, ami csak úgy lehetséges, ha a ζ a C halmaz pozitív mérték˝u részén pozitív. A ζ tartójával a D maximális halmazt kiegészítve a D-nél nagyobb mérték˝u elemet kapnánk, ami ellentmond a D konstrukciójának. 2 2.99 Következmény. (Stricker) Ha X klasszikus szemimartingál az F filtrációra, a G filtráció sz˝ukebb mint az F és az X adaptált a G-re, akkor az X klasszikus szemimartingál a G filtráció szerint. Bizonyítás: Az elemi el˝orejelezhet˝o folyamatok halmaza a filtráció sz˝ukítésével sz˝ukül. 2 2.100 Példa. Stricker–tétele nem igaz lokális martingálokra. Emlékeztetünk, hogy a martingál tulajdonság a filtráció sz˝ukítésével szintén megmarad. Lokális martingálok esetén a probléma abból ered, hogy a filtráció sz˝ukítésével a megállási id˝ok halmaza is sz˝ukül. Legyen η olyan, szimmetrikus, az egész számegyenesen pozitív, folytonos s˝ur˝uségfüggvénnyel rendelkez˝o változó, amelynek nincsen várható értéke. 0 ha t < 0 X (t) $ . η ha t ≥ 1 125 A

D-hez persze tartozik ζ D ∈ H. Ha P (D) = 1, akkor ζ D > 0. B halmaz konvex, így B − L1+ konvex. 127 Felhasználva, hogy az L1 duálisa L∞ . Konvex, zárt halmaz a komplementerének minden pontjától szigorúan elválasztható. 126 A

2.6. FUBINITÉTEL SZTOCHASZTIKUS INTEGRÁLOKRA

209

A filtráció legyen Ft $

σ (|η|) ha t < 1 . σ (η) ha t ≥ 1

A τ n (ω) $

0 ha ∞ ha

|η| ≥ n |η| < n

triviálisan megállási id˝o, és az η szimmetriája miatt az X τ n martingál. Az X által generált filtráció {0, Ω} ha t < 1 Gt $ . σ (η) ha t ≥ 1 A τ n a G filtrációra nézve nem megállási id˝o, ugyanis az η s˝ur˝uségfüggvényére tett feltétel miatt {τ n ≤ 0} = {τ n = 0} = {|η| ≥ n} ∈ / {0, Ω} = G0 . Legyen τ megállási id˝o a G filtráció mellett. Ha pozitív mérték˝u halmazon τ ≥ 1, akkor minden kimenetelre τ ≥ 1, így az X τ (1) nem lesz integrálható.128 2

2.6. Fubini–tétel sztochasztikus integrálokra Klasszikus paraméteres integrálok mérhet˝oségét a Fubini–tétel biztosítja. Ebben a pontban a sztochasztikus integrálokra vonatkozó Fubini–tételt tárgyaljuk. A klasszikus gondolatmenetet általánosítva el˝oször a paraméteres integrálok mérhet˝oségét vizsgáljuk meg. 2.101 Állítás. (Paraméteres integrálok mérhet˝osége) Legyen X az (Ω, A,P,F) sztochasztikus alaptéren értelmezett szemimartingál, (C, C) tetsz˝oleges mérhet˝o tér. Ha H (c, t, ω) olyan (C × P)-mérhet˝o129 függvény, amelyre a H (c) minden c-re az X szerint integrálható130 , akkor a H (c) • X paraméteres sztochasztikus integrál rendelkezik (C × B (R+ ) × A)-mérhet˝o verzióval, vagyis megadható olyan Z (c, t, ω) a C × B (R+ ) × A σ-algebra szerint mérhet˝o függvény, amely a c paraméter minden értéke esetén a megkülönböztethetetlenség erejéig azonos a H (c) • X integrállal131 . 128 A G nem teljesíti a szokásos feltételeket, de a nullmérték˝ u halmazokkal való kib˝ovítéssel példa természetesen nem javítható. 129 Emlékeztetünk, hogy P az R ×Ω téren az el˝ orejelezhet˝o halmazok σ-algebrája. Az állítás igazolásakor + a P-mérhet˝oségre nincsen szükség. A P helyébe a (t, ω) szerinti mérhet˝oség tetsz˝oleges olyan osztálya tehet˝o, amelyre nézve az X szerinti integrál értelmes. 130 Szándékosan nem tisztázzuk, hogy milyen értelemben vett integrálhatóságról beszélünk. Az integrálható folyamatok családja az X szemimartingálok különböz˝o családjai esetén más és más. A kulcs tulajdonság az adott osztályon belül a majorált konvergencia tétel teljesülése. 131 A Z (c) természetesen, mint minden sztochasztikus integrál, adaptált és a t id˝ oparaméter szerint jobbról reguláris.


210

Bizonyítás: A bizonyítás gondolatmenete megegyezik a Fubini–tétel bizonyítása során követettel. Jelölje H az olyan korlátos, (C × P)-mérhet˝o H függvények halmazát, amelyekre az állítás teljesül. Ha H (c, t, ω) = H1 (c) H2 (t, ω) , ahol a H1 C, a H2 P-mérhet˝o, akkor a H1 (H2 • X) triviálisan teljesíti az állítást. A H evidens módon vektortér, és egyedül azt kell belátni, hogy a H zárt a monoton konvergenciára nézve, ugyanis akkor a Meyer–tétel miatt az állítás minden C × P korlátos függvényre is teljesül. Ennek igazolásához szükségünk lesz a következ˝o önmagában is érdekes lemmára: 2.102 Lemma. Legyen (Zn (c, t, ω))n jobbról reguláris (C × B (R+ ) × A)-mérhet˝o folyamatok sorozata. Ha minden c-re a (Zn (c))n sorozat sztochasztikusan a kompakt halmazokon egyenletesen konvergens, akkor létezik olyan Z folyamat, amely 1. (C × B (R+ ) × A)-mérhet˝o, 2. minden c-re Z (c) majdnem minden kimenetelre a t id˝oparaméter szerint jobbról reguláris, 3. Zn (c) → Z (c) , ahol a konvergencia sztochasztikusan a kompakt halmazokon egyenletes. A lemma bizonyítása: A lemma mögött egyszer˝u, általánosan használt mértékelméleti megfontolás húzódik meg. A lemma tartalmának jobb megvilágítása céljából el˝oször ezt látjuk be. A lemma tényleges bizonyítását ezt követ˝oen közöljük. 1. Legyen (C, C) tetsz˝oleges mérhet˝o tér, (M, d) teljes metrikus tér, ξ n (c, ω) M érték˝u kétváltozós mérhet˝o függvények olyan sorozata, amelyre tetsz˝oleges c-re a ξ n (c, ω), mint az ω függvénye, sztochasztikusan konvergens. Megjegyezzük, hogy az (M, d) téren a mérhet˝oséget Borel–mérhet˝oségként értelmezzük. Megmutatjuk, hogy ekkor a határértékként kapott függvényosztályoknak van ξ (c, ω) szorzatmérhet˝o verziója. Minden c-re az n0 (c) $ 1 indulóértékkel elkészíthet˝o az −k −k nk (c) $ inf m > nk−1 (c) : sup P d ξ i (c) , ξ j (c) > 2 <2 i,j≥m

indexsorozat. A Fubini–tétel miatt a képletben szerepl˝o valószín˝uség a c paramétert˝ol mérhet˝o módon függ, így triviálisan az nk a c mérhet˝o függvénye. Definiáljuk az η k (c, ω) $ ξ nk (c) (c, ω) „megállított változókat”. Az {η k ∈ G} = ∪p nk = p, ξ p ∈ G felbontás miatt az η k szorzatmérhet˝o. Minden c-re X X −k sup P d η i (c) , η j (c) > 2−k ≤ 2 < ∞, k

i,j≥k

k


211

így a Borel—Cantelli–lemma szerint egy N (c) nulla valószín˝uség˝u eseményt˝ol eltekintve elég nagy i, j indexekre d η i (c, ω) , η j (c, ω) < 2−k , vagyis az M teljessége miatt az η i (c, ω) minden c-re majdnem mindenhol konvergens. A limk η k (c, ω) , ha a határérték létezik, ξ (c, ω) $ 0 egyébként függvény (C × A)-mérhet˝o. Tetsz˝oleges c-re az (η i (c))i a (ξ n (c))n részsorozata, tehát sztochasztikusan konvergens. A pontonkénti konvergenciából véges mérték esetén következik a sztochasztikus konvergencia, tehát a ξ (c, ω) majdnem minden ω-ra a ξ n (c, ω) határértéke. 2. Az állítás jobb megértése céljából megjegyezzük, hogy az imént belátott összefüggést gyakran a következ˝oképpen szokás megfogalmazni: Legyen F az (C, C) mérhet˝o téren értelmezett L0 (Ω, A,P) érték˝u valószín˝uségi változó. Függvénytér érték˝u változók esetében a mérhet˝oség definíció szerint azt jelenti, hogy az F -hez található olyan P Fn $ k χCk fk lépcs˝os függvénysorozat, hogy minden c-re Fn (c) → F (c) , ahol a konvergencia a függvénytér topológiájában, az L0 esetén sztochasztikusan, értend˝o132 . Az Fn triviálisan választható (C × A)-mérhet˝onek, így az imént elmondottak szerint az F -nek van (C × A)-mérhet˝o verziója. 3. A tényleges állításra rátérve megjegyezzük, hogy az f ∈ D [0, ∞) függvények a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia topológiában teljes metrikus teret alkotnak. A jobbról való regularitás miatt tetsz˝oleges [0, u] szakasz esetén a supt≤u |f (t)| félnorma kiszámolásakor elég a szuprémumot a racionális id˝opontokban venni, így az X (c, t, ω) mérhet˝oségéb˝ol következik a supt≤u |X (c, ω)| mérhet˝osége, tehát a lemmában szerepl˝o (Zn )n folyamatok D [0, ∞) érték˝u mérhet˝o függvények, így a lemma az els˝o pontban belátott állítás speciális esete. 2 Az állítás bizonyítására visszatérve vegyük észre, hogy ha Hn ∈ H és 0 ≤ Hn % H, ahol a H korlátos, akkor a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel miatt minden c-re Hn (c) • X → H • X, ahol a konvergencia a kompakt id˝oszakaszokon való sztochasztikusan egyenletesen konvergens, így a lemma miatt a H • X rendelkezik (C × B (R+ ) × A)-mérhet˝o verzióval, vagyis H ∈ H, következésképpen az állítás korlátos függvényekre teljesül. Ha a H nem korlátos, akkor tekintsük a Hn $ Hχ (|H| ≤ n) csonkolt sorozatot. A Hn folyamatok szintén (C × P)-mérhet˝oek, ugyanakkor korlátosak, így Hn • X folyamatok rendelkeznek az állításban szerepl˝o verzióval. A majorált konvergencia tétel miatt minden c-re Hn (c) • X → H (c) • X, így a H (c) • X is rendelkezik az állításban szerepl˝o mérhet˝o verzióval. 2 132 Az külön probléma, hogy ez mikor azonos avval, hogy a függvénytér topológiája által generált minden mérhet˝o halmaz inverzképe mérhet˝o.


212

2.103 Tétel. (Fubini-tétel korlátos integrandusokra) Legyen X szemimartingál, (C, C, µ) véges mértéktér, H (c, t, ω) korlátos a C × P szorzat σ-algebra szerint mérhet˝o függvény. Jelölje H (c) • X a paraméteres integrál mérhet˝o verzióját. Ekkor Z Z (H (c) • X) dµ (c) = H (c) dµ (c) • X, (2.44) C

C

vagyis a bal oldali integrál a jobb oldalon szerepl˝o sztochasztikus integrál jobbról reguláris verziója. Bizonyítás: Nem túl meglep˝o módon a tétel igazolása ismételten a Meyer–tételre épül. Miel˝ott a bizonyításra rátérnénk vizsgáljuk meg az egyenl˝oség két oldalán álló kifejezéseket. A bal oldalon a paraméteres integrál (C × B (R+ ) × A)-mérhet˝o verzióját vettük, amely a c paraméter szerint mérhet˝o. Nem világos azonban, hogy adott t id˝opontban és ω kimenetelre a c-ben vett integrál miért létezik. A klasszikus Fubini– R tétel miatt a c paraméter szerint kiintegrált C H (c) dµ (c) kifejezés a µ végessége és a H korlátossága miatt korlátos és el˝orejelezhet˝o, így a jobb oldali kétszeres integrál értelmes. Vegyük észre, hogy a jobb oldalon álló folyamat trajektóriái a sztochasztikus integrál konstrukciója miatt jobbról folytonosak, de például nem evidens, hogy ez miért igaz a bal oldalon is. 1. Az X szemimartingál a lokális martingálok f˝otétele133 alapján felbontható X (0) + 2 V + L módon, ahol V ∈ V, L ∈ Hloc . A V ∈ V komponensre az egyenl˝oség minden trajektóriára a Fubini–tétel segítségével igazolható. A (2.44) jobb oldala triviálisan lokalizálható, a bal oldalon a c szerinti integrálás és a lokalizálás felcserélhet˝o, így 2 feltehet˝o, hogy X (0) = 0, X ∈ H2 . Ha M ∈ Hloc , akkor134 [M ] ∈ Aloc , így további lokalizációval feltehet˝o még, hogy M ([X] (∞)) < ∞. 2. Jelölje L az olyan korlátos el˝orejelezhet˝o folyamatokat, amelyekre az egyenl˝oség teljesül. Ha H = H1 (c) H2 (t, ω) , ahol a H1 C-mérhet˝o, a H2 P-mérhet˝o és korlátos függvények, akkor Z Z Z H • Xdµ $ (H1 (c) H2 ) • Xdµ (c) = H1 (c) dµ (c) (H2 • X) = C C C Z Z = H1 (c) dµ (c) H2 • X = Hdµ • X, C

C

így H ∈ L. 3. Meyer–tétele szerint csak azt kell igazolni, hogy az L monoton osztály. Legyen 0 ≤ Hn % H. Igazolni fogjuk, hogy az Z Z (Hn • X) dµ = Hn dµ • X C

C

egyenl˝oség két oldalán határértéket véve az egyenl˝oség meg˝orz˝odik. Vegyük észre, hogy a jobb oldalon a µ végessége és a H korlátossága miatt az integrandusok soro133 V.ö.: 134 V.ö.:



213

zata egyenletesen korlátos, következésképpen alkalmazható a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel, tehát a jobb oldalon a kompakt id˝ointervallumokon a trajektóriák sztochasztikusan egyenletesen konvergálnak. Vezessük be a Zn $ Hn • X és a Z $ H • X jelöléseket. Meg kell mutatni, hogy a bal oldal is konvergál, vagyis Z Z P Z (c) dµ (c) → 0. ∆ $ sup Zn (c) dµ (c) − t

C

C

A Jensen, Cauchy—Schwarz és Doob–egyenl˝otlenségek szerint Z 1 1 2 2 M (∆) ≤ M sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) ≤ kµk kµk C t Z 2 sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) = ≤ M C t Z 2 = M sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) ≤ t C Z 2 ≤ 4 M (Zn (c, ∞) − Z (c, ∞)) dµ (c) . C

A kvadratikus variáció képlete alapján, felhasználva az integrálok kvadratikus variációjára vonatkozó összefüggést135 az utolsó kifejezés Z t Z 2 4 M (Hn − H) d [X] dµ, (2.45) C

0

amely a majorált konvergencia tételek többszöri alkalmazása alapján, kihasználva, hogy a µ, illetve az M ([X] (∞)) véges, illetve, hogy az integrandus korlátos nullához tart. Ebb˝ol speciálisan Z sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) < ∞, m.m. C

t

AR Zn = Hn • X függvényekre teljesül az állításban szerepl˝o egyenl˝oség, és mivel az H (c) dµ (c) • X kifejezés értelmes, ezért minden t-re majdnem minden kimen C netelre Z |Z (c, t, ω)| dµ (c) < ∞, m.m, C

vagyis az egyenl˝oség bal oldala a H határérték esetén is értelmes. Ugyanakkor Z Z M sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) ≤ M sup |Zn (c) − Z (c)| dµ (c) → 0, t

C

C

t

vagyis a kompakt szakaszokon sztochasztikusan egyenletes konvergencia szerint Z Z Zn dµ → Zdµ., C 135 V.ö.:

(3.27), 256. oldal.

C


214

és ez az amit akartunk. Miként jeleztük, a µ végessége és a H korlátossága R igazolni miatt a C Hn dµ n sorozat egyenletesen korlátos, és a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia miatt Z Z Z Z Zn dµ $ Hn • Xdµ = Hn dµ • X → Hdµ • X, C

C

C

C

tehát Z

Z

Hdµ • X = C

Z H • Xdµ.

Zdµ $ C

C

2 A Fubini–tétel itt bemutatott verziója a legtöbb alkalmazásban megfelel˝oen er˝os. Felmerül azonban a kérdés, hogy mit lehet mondani nem korlátos folyamatokra. 2.104 Tétel. (Fubini–tétel nem korlátos integrandusokra) Legyen X szemimartingál, (C, C, µ) véges mértéktér, H (c, t, ω) olyan C × P szorzat σ-algebra szerint mérhet˝o függvény, amelyre a sZ C

H 2 (c, t, ω) dµ (c) = kH (t, ω)k2

(2.46)

az X szerint integrálható. Ha H (c)•X jelöli a paraméteres integrál mérhet˝o verzióját, akkor µ-majdnem minden c-re létezik a H (c) • X integrál és Z

Z

H (c) dµ (c) • X,

(H (c) • X) dµ (c) = C

(2.47)

C

vagyis a bal oldali kétszeres integrál a jobb oldalon szerepl˝o sztochasztikus integrál jobbról reguláris verziója. Bizonyítás: Ha a H helyébe a Hn $ Hχ (|H| ≤ n) folyamatokat tesszük, akkor az egyenl˝oség a korlátos integrandusokra elmondottak miatt teljesül. A közönséges Fubini–tétel bizonyítása alapján kézenfekv˝o a gondolat, hogy vegyük mind a két oldalon n szerinti határértéket. 1. A Cauchy—Schwarz–egyenl˝otlenség szerint Z |H (c, t, ω)| dµ (c) ≤

p

sZ µ (X)

C

H 2 (c, t, ω) dµ (c).

C

A tétel feltételei szerint a µ véges, a H (c, t, ω) mint a c paraméter függvénye eleme az L2 (µ) ⊆ L1 (µ) térnek, így a majorált konvergencia tétel miatt minden (t, ω) esetén Z Z Hn (c, t, ω) dµ (c) → H (c, t, ω) dµ (c) , C

C


215

R R 136 valamint a C Hdµ és a C |H| dµ folyamatok az X szerint integrálhatóak R , így a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel szerint C Hn dµ • R X → C Hdµ • X, ahol a konvergencia a szokásos módon a kompakt szakaszokon való sztochasztikusan való egyenletes konvergencia. 2. Megjegyezzük, hogy majdnem minden c esetén a H (c) • X integrál létezik. Legyen 2 X $ X (0)+V +L, ahol V ∈ V, L ∈ Hloc .Feltehetjük, hogy V ∈ V + . A Fubini–tétel kimenetelenként alkalmazva a Cauchy—Schwarz–egyenl˝otlenség szerint

Z t Z t Z t p p

, |H| dV kHk1 dV ≥ µ (C) ∞> kHk2 dV ≥ µ (C)

0

0

0

1

Rt

így a trajektóriánként vett 0 HdV integrál majdnem minden c-re véges. A t id˝oparamétert a racionális id˝opontokon véve azonnal látható, hogy majdnem minden c-re minden t esetén a H • V integrál létezik. Emlékeztetünk137 , hogy G ∈ L2loc (L) pontosan akkor, ha G • [L] ∈ A+ loc .A feltétel szerint alkalmas (τ n )n lokalizációs sorozatra Z τn Z Z Z τn H 2 (c) dµ (c) d [L] = H 2 (c) d [L] dµ (c) 0

C

C

0

várható R τ értéke véges, ami csak akkor lehetséges, ha nullmérték˝u halmazoktól eltekintve a 0 n H 2 (c) d [L] várható értéke is véges. A nullmérték˝u halmazokat egyesítve azonnal látható, hogy hogy majdnem minden c esetén H 2 (c) ∈ L2loc (L) . 3. Nézzük a (2.47) bal oldalát. A H (c) • X majdnem minden c esetén létezik, így majdnem minden c-re Hn (c) • X → H (c) • X, ahol a konvergencia a sztochasztikusan egyenletes konvergencia. A |Hn (c)| ≤ |H (c)| egyenl˝otlenségb˝ol azonban nem következik a |Hn (c) • X| ≤ |H (c) • X| egyenl˝otlenség, így a majorált konvergencia tétel a µ szerinti integrál esetén nem használható. Miként az el˝oz˝o bizonyításban láttuk, a Hn (c) • X → H (c) • X konvergenciát a (2.45) becsléssel indokolhatjuk. Ha µX jelöli az X Doléans–mértékét, akkor azonnal látható, hogy Z t Z Z Z 2 2 M (Hn − H) d [X] dµ = (Hn − H) dµX dµ = C 0 C (0,t]×Ω Z Z 2 = (Hn − H) dµdµX . (0,t]×Ω

C

2

R

A (2.46) feltétel szerint a C (Hn − H) dµ minden (t, ω) párra véges és ezért a majorált konvergencia tétel miatt monoton csökken˝oleg nullához tart. Miként az el˝oz˝o bizonyításban a (2.47) lokalizációjával most is feltehetjük, hogy a µX véges. R Az X lokalizációjakor a (2.46) feltétel miatt ugyancsak megkövetelhetjük, hogy a C H 2 dµ Doléans–mérték szerinti integrálja véges legyen, következésképpen ismételten a majoráns konvergencia tétel miatt Z Z 2 (Hn − H) dµdµX → 0, (0,t]×Ω

C

fel, hogy |H| ≤ G. Ha a G lokálisan korlátos, akkor a H is az, illetve ha G ∈ L2loc , akkor H ∈ L2loc , így az általunk bevezetett integrálfogalmak esetén ha |H| ≤ G és a G integrálható, akkor a H is integrálható. 137 V.ö.: 3.37. következmény, 248. oldal. 136 Tegyük


216

így a (2.47) bal oldala is konvergens. 2 2.105 Következmény. (Fubini–tétel Wiener–folyamatokra) 2 Ha M ∈ Hloc , (C, C, µ) véges mértéktér és az X (c, t, ω) (C × P)-mérhet˝o folyamatra Z X 2 (c, s) dµ (c) • [M ] ∈ A+ loc , C

akkor

t

Z Z

Z tZ X (c, s) dM (s) dµ (c) =

C

0

X (c, s) dµ (s) dM (s) . 0

C

Ha az M folytonos lokális martingál, akkor az integrálok felcseréléséhez elegend˝o ha minden t id˝opontban Z t Z 2 P X (c, s) dµ (c) d [M ] (s) < ∞ = 1. 0

C

Speciálisan, ha w Wiener–folyamat, és az X (c, t, ω) adaptált, szorzatmérhet˝o folyamatra minden t id˝opontra Z t Z 2 P X (c, s) dµ (c) ds < ∞ = 1, 0

akkor Z Z

C

t

Z tZ X (c, s) dw (s) dµ (c) =

C

0

X (c, s) dµ (s) dw (s) . 0

C

3. fejezet

Itô–formula Az Itô–formula a sztochasztikus analízis talán legfontosabb állítása. A formula a klasszikus analízis Newton—Leibniz–szabályának sztochasztikus párjának tekinthet˝o. A fejezet els˝o részében a formulát csak folytonos szemimartingálokra igazoljuk, az általános esetet a fejezet második részében tárgyaljuk.

3.1. Itô–formula folytonos szemimartingálokra A folytonos folyamatok integrálja el˝oáll a közelít˝o összegek határértékeként, így érvényes a parciális integrálás formulája1 .

3.1 Állítás. (Parciális integrálás formulája) Ha X és Y folytonos szemimartingálok, akkor tetsz˝oleges t-re Z X (t) Y (t) − X (0) Y (0) =

t

Z XdY +

0

t

Y dX + [X, Y ] (t) . 0

Speciálisan 2

Z

2

X (t) − X (0) = 2

t

XdX + [X] . 0

3.2 Tétel. (Itô–formula) Ha az X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) vektor elemei folytonos szemimartingálok és F ∈ C 2 (Rn ) , 1 V.ö.:

2.17. állítás, 144. oldal, 2.79. következmény, 187. oldal.

217

(3.1)

3. ITÔFORMULA

218

vagyis az F kétszer folytonosan deriválható Rn -nen értelmezett2 függvény, akkor F (X (t)) − F (X (0))

=

n Z X

t

∂F (X) dXk + ∂x k k=1 0 Z 1 X t ∂2F (X) d [Xi , Xj ] . + 2 i,j 0 ∂xi ∂xj

(3.2)

Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. 1. A bizonyítás els˝o lépéseként az állítást polinomokra igazoljuk. A formula az F ≡ c konstansra triviálisan teljesül, tehát ahhoz, hogy minden polinomra teljesüljön elegend˝o megmutatni, hogy ha az F polinomra teljesül, akkor a G $ xl F -re is teljesül. Tegyük fel, hogy F (X) = F (X (0)) +

X ∂F 1 X ∂2F (X) • Xk + (X) • [Xi, Xj ] . ∂xk 2 i,j ∂xi ∂xj k

A parciális integrálási formula alapján G (X) $ Xl F (X) = = G (X (0)) + Xl • F (X) + F (X) • Xl + [Xl , F (X)] = ! X ∂F (X) • Xk = G (X (0)) + Xl • F (X (0)) + Xl • + ∂xk k   2 X ∂ F 1 (X) • [Xi, Xj ] + +Xl •  2 i,j ∂xi ∂xj +F (X) • Xl + [Xl , F (X)] . Az asszociativitási szabály felhasználásával, illetve a Xl • F (X (0)) = 0 tagot elhagyva G (X)

=

G (X (0)) +

X

Xl

k

∂F (X) • Xk + ∂xk

1X ∂2F + Xl (X) • [Xi, Xj ] + 2 i,j ∂xi ∂xj +F (X) • Xl + [Xl , F (X)] . A szorzat deriválási szabálya szerint ∂G xl ∂F/∂xk = x ∂xk l ∂F/∂xl + F

ha ha

k 6= l , k=l

2 Elegend˝ o, ha az F értelmezési tartománya olyan nyílt halmaz amely tartalmazza az X véletlen vektor értékkészletét.

3.1. ITÔFORMULA FOLYTONOS SZEMIMARTINGÁLOKRA

219

amit behelyettesítve G (X)

=

G (X (0)) +

X ∂G (X) • Xk + ∂xk k

1X ∂2F + Xl (X) • [Xi, Xj ] + [Xl , F (X)] . 2 i,j ∂xi ∂xj A G függvényhez tartozó másodrend˝u parciális deriváltak  xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj ha    2 ∂ G xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj + ∂F/∂xj ha = xl ∂ 2 F/∂xi ∂xj + ∂F/∂xi ha  ∂xi ∂xj   xl ∂ 2 F/∂ 2 xl + 2∂F/∂xl ha

i, j 6= l i = l, j 6= l , i 6= l, j = l i=j=l

vagyis az F 00 és a G00 csak az l-dik sorban és az l-dik oszlopban különbözik, tehát elegend˝o belátni, hogy [Xl , F (X)] =

n X ∂F (X) • [Xl , Xj ] . ∂x j j=1

Az F (X) az indukciós feltétel szerint szemimartingál. A sztochasztikus integrál rész kvadratikus variációja   n n X X ∂F ∂F Xl ,  (X) • Xk = (X) • [Xl , Xj ] , ∂x ∂x k j j=1 j=1 a korlátos változású rész kvadratikus keresztvariációja a Xl folytonossága miatt viszont nulla. Evvel az állítást polinomokra igazoltuk. 2. Megmutatjuk, hogy a kifejezés lokalizálható, vagyis elég a tételt (X τ n )n alkalmasan lokalizált folyamatokra belátni. Legyen τ megállási id˝o. A második sorban szerepl˝o integrálok trajektóriánként értend˝oek, tehát ∂2F (X τ ) • Xiτ , Xjτ = ∂xi ∂xj =

∂2F τ (X τ ) • [Xi , Xj ] = ∂xi ∂xj ∂2F (X) χ ([0, τ ]) • [Xi , Xj ] . ∂xi ∂xj

Hasonló összefüggés igaz a sztochasztikus tagra, ugyanis ∂F (X τ ) • Xkτ ∂xk

= =

∂F (X τ ) χ ([0, τ ]) • Xk = ∂xk ∂F (X) χ ([0, τ ]) • Xk . ∂xk

Tegyük fel, hogy a (X τ n )n lokalizált sorozat minden tagjára az állítás igaz. Alakítsuk át az integrálokat a bemutatott módon. F ∈ C 2 , így a ∂F/∂xk (X) és a

3. ITÔFORMULA

220

∂ 2 F/∂xi ∂xj (X) trajektóriái folytonosak, vagyis lokálisan korlátosak. Evidens, hogy az átalakított integrálok integrandusainak van közös lokálisan korlátos majoránsa. Ha τ n → ∞, akkor χ ([0, τ n ]) → 1, és a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel alkalmazható, ezért ha mind a két oldalon határértéket veszünk, akkor felhasználva, hogy F (X τ n ) → F (X) éppen az állítást kapjuk. 3. Legyen (τ n )n a lokális korlátosság miatt létez˝o olyan lokalizációs sorozat, amelyre az X τ n képhalmaza korlátos. Legyen K olyan kompakt halmaz, amely tartalmazza a X τ n értékkészletét. Megmutatható3 , hogy létezik polinomok olyan (Pn )n sorozata, amelyre a C 2 (K) topológiájában Pn |K → F |K . A C 2 topológia definíciója szerint, az összes derivált is egyenletesen konvergens. A formula teljesül polinomokra, így a sztochasztikus és a közönséges integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel szerint a tétel teljesül az F ∈ C 2 függvényre is. 2 3.3 Állítás. Ha az Xl szemimartingál korlátos változású, akkor elegend˝o feltenni, hogy az F az l-edik változó szerint folytonosan differenciálható és a (3.2) képletben az l szerinti másodrend˝u tagokat el kell hagyni. Bizonyítás: Ha az Xl korlátos változású, akkor tetsz˝oleges véges szakaszon X X ∆Xl (tk ) ≤ ∆Xl (tk ) ∆Xi (tk ) ≤ max |∆Xi (tk )| k k

k

≤ Var (Xl ) max |(Xi (tk ))| → 0, k

tehát [Xl , Xi ] = 0. Ha F polinom, akkor az l szerinti másodrend˝u deriváltakat tartalmazó tag értéke nulla, és a közelítés során az l szerinti második deriváltakra nincs szükség. 2 3.4 Következmény. (Id˝ot˝ol függ˝o Itô–formula) Ha az X = (X1 , X2 , . . . , Xn ) vektor elemei folytonos szemimartingálok és F ∈ C 2 Rn+1 , akkor4 Z

F (X (t) , t) − F (X (0) , 0)

3 V.ö.: 4 Az

=

t

∂F (X) ds + 0 ∂s n Z t X ∂F (X) dXk + + ∂x k k=1 0 Z 1 X t ∂2F + (X) d [Xi , Xj ] . 2 i,j 0 ∂xi ∂xj

[20], 17.10. állítás, 816. oldal. id˝o szerint elegend˝o feltenni a folytonos deriválhatóságot.

3.2. A FORMULA NÉHÁNY ALKALMAZÁSA

221

3.2. A formula néhány alkalmazása Ebben a pontban az Itô–formula néhány alkalmazását tárgyaljuk. A bemutatott példák eleganciája remélhet˝oleg meggy˝ozi az olvasót a formula erejér˝ol.

3.2.1. Wiener–folyamat zérushelyei Els˝o alkalmazásként az n-dimenziós Wiener–folyamat origóba való visszatéréseit vizsgáljuk meg. Legyen w valamely x ∈ Rn pontból elindított Wiener–folyamat. ϑ $ inf {kw (t)k : t ≥ 0} . Mi a ϑ eloszlása? 3.5 Tétel. (Wiener–folyamat origóba való visszatérése) A többdimenziós Wiener–folyamatra teljesülnek a következ˝ok5 : 1. Ha n ≥ 2, akkor az n-dimenziós Wiener–folyamat majdnem minden kimenetelre nem veszi fel a nulla értéket, vagyis P (kw (t)k = 6 0, ∀t > 0) = 1. 2. Ha n = 2, akkor P (ϑ = 0) = 1, vagyis a folyamat ugyan majdnem biztosan nem veszi fel a nulla értéket, de tetsz˝olegesen közel kerül hozzá. 3. Ha n = 2, akkor a w majdnem minden trajektóriája s˝ur˝u az R2 -ben. 4. Ha n ≥ 3, akkor az x 6= 0 pontból elindított Wiener–folyamatra n−2 r , ha 0 ≤ r ≤ kxk , P (ϑ ≤ r) = kxk vagyis az x 6= 0 pontból elindított Wiener–folyamat pozitív valószín˝uséggel nem jut el az origó r < kxk sugarú környezetébe. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az U ⊆ Rn nyílt halmazon értelmezett f ∈ C 2 (U ) függvény kielégíti a n X ∂2f ∆f $ =0 (3.3) ∂x2i k=1

Laplace–egyenletet. Legyen τ megállási id˝o. Ha az x pontból elindított w n-dimenziós Wiener–folyamatra wτ az U halmazon belül marad, akkor az Itô–formula alapján f (wτ ) − f (x)

=

n X ∂f (wτ ) • wkτ + ∂xk

k=1

+ 5 V.ö.:

A.9. állítás, 359. oldal.

1 X X ∂2f (wτ ) • wiτ , wjτ , 2 i j ∂xi ∂xj

3. ITÔFORMULA

222

ami a kvadratikus variáció képlete szerint éppen n X ∂f f (w ) − f (x) = (wτ ) • wkτ . ∂xk τ

(3.4)

k=1

Tegyük fel, hogy τ < ∞ és a w a [0, τ ] véletlen szakaszon egyenletesen korlátos. Ilyenkor a (3.4) sorban szerepl˝o integrandusok korlátosak, tehát a sztochasztikus integrálok martingálok lesznek. A megállási opciókról szóló tétel alapján tetsz˝oleges T < ∞ id˝opontra M (f (w (T ∧ τ ))) = M (f (x)) = f (x) . A korlátosság miatt ha T → ∞, akkor M (f (w (τ ))) = f (x) .

(3.5)

A tétel a (3.5) sorban szerepl˝o Dinkin–formulának nevezett összefüggésb˝ol elemi számolással már könnyen igazolható. 1. Egyszer˝u deriválással azonnal belátható, hogy ha n = 2, akkor az q f (x1 , x2 ) $ log x21 + x22 , ha n ≥ 3, akkor az

2−n

f (x) $ kxk

függvény az U $ Rn \ {0} nyílt halmazon kielégíti a Laplace–egyenletet6 . 2. Tegyük fel, hogy az kxk a 0 < r < R < ∞ sugarak közé esik. Wiener–folyamatok trajektóriái a t ≥ 0 félegyenesen majdnem minden kimenetelre nem korlátosak és minden kimenetelre folytonosak, ezért a küls˝o körb˝ol a w egy valószín˝uséggel kilép. A kérdés csak az, hogy a bels˝o vagy a küls˝o határon fogja-e a folyamat a B $ {u : r ≤ kuk ≤ R} gy˝ur˝ut elhagyni. 3. Tegyük fel, hogy n ≥ 3. A Dinkin–formula alapján M (f (w (τ ∂B ))) = f (x) .

(3.6)

Az f konkrét alakját felhasználva 2−n

r2−n P (kw (τ ∂B )k = r) + R2−n (1 − P (kw (τ ∂B )k = r)) = kxk és

,

2−n

P (kw (τ ∂B )k = r) = 6 Vegyük

kxk − R2−n . r2−n − R2−n

észre, hogy az n = 2 és az n ≥ 3 esetekben a függvények eltér˝oen viselkednek, ha kxk → ∞.


223

Ha R → ∞, akkor, felhasználva, hogy az f a végtelenben nullához tart, a jobb oldal n−2 határértéke (r/ kxk) . Ez éppen annak a valószín˝usége, hogy az x 6= 0 pontból elindított Wiener–folyamat belemetsz az r ≤ kxk sugarú körbe. Ha n = 2, akkor 2−n f (x) $ kxk ≡ 1, és a számolás nem hajtható végre. Legyen f (x) $ log kxk. Felhasználva, hogy ilyenkor az f a végtelenben végtelenhez tart, lim

R→∞

log kxk − log R = 1. log r − log R

Ha adott R mellett r & 0, akkor lim

r&0

log kxk − log R = 0, log r − log R

következésképpen az x 6= 0 pontból elindított folyamat nulla valószín˝uséggel érhet a 0 pontba azt megel˝oz˝oen, hogy az R sugarú gömbb˝ol kilépjen. Mivel ez minden R esetén érvényes az x 6= 0 pontból elindított folyamat nulla valószín˝uséggel lesz nulla. 4. Tegyük fel, hogy x = 0. A teljes várható érték formula alapján, ha ε > 0, akkor Z P (kw (t)k > 0, ε ≤ t) = P (kw (t)k > 0, ε ≤ t | w (ε) = x) dρ (x) , Rn

ahol ρ a w (ε) eloszlása. Ki kell számolni a feltétles valószín˝uséget. A w független és stacionárius növekmény˝u, tehát P (kwk (t) > 0, ε ≤ t | w (ε) = x) = =

P (k(w − w (ε)) + w (ε)k (t) > 0, ε ≤ t | w (ε) = x) =

=

P (k(w − w (ε)) +xk (t) > 0, ε ≤ t) =

=

P (kw (t) + xk > 0, 0 ≤ t) =

=

P (kwx (u)k > 0, 0 ≤ u) ,

ahol wx az x pontból elindított Wiener–folyamat. Mivel P (w (ε) 6= 0) = 1, ezért az el˝oz˝oekben az x 6= 0 esetén már belátott összefüggés alapján Z P (kw (t)k > 0, ε ≤ t) = P (kwx (t)k > 0, 0 ≤ t) dρ (x) = Rn Z = P (kwx (t)k > 0, 0 ≤ t) dρ (x) = n R \{0} Z = 1dρ (x) = 1. Rn \{0}

Ha ε → 0, akkor P (kw (t)k > 0, 0 < t) = lim P (kw (t)k > 0, ε ≤ t) = 1, ε&0

amivel az állítást minden x ∈ Rn induló vektorra beláttuk.

3. ITÔFORMULA

224

5. Az origó körüli gömb helyett tetsz˝oleges más gömb is vehet˝o. Ha tekintjük a racionális középpontú, racionális sugarú gömbök megszámlálható halmazát, akkor a kétdimenziós Wiener–folyamat az összes gömbbe külön-külön, így mindegyikbe is, egy valószín˝uséggel belemetsz, tehát a trajektóriái egy valószín˝uséggel s˝ur˝uek az R2 térben. 2 3.6 Következmény. Ha n ≥ 3 és w n-dimenziós Wiener–folyamat, akkor limt→∞ kw (t)k = ∞. Bizonyítás: Elegend˝o az állítást n = 3 esetén belátni, ugyanis elég megmutatni, hogy a folyamat els˝o három koordinátájának normája végtelenhez tart. Az X $ 1/ kwk értelmes. Az 1/ kxk kielégíti a (3.3) egyenletet, így az X lokális martingál. Minden nem negatív lokális martingál szupermartingál7 , így ha t → ∞, akkor majdnem mindenhol értelemben létezik az X (∞) határérték és a kiterjesztett folyamat szintén szupermartingál8 . A Fatou–lemma miatt, ha t → ∞, akkor   p p 1  X (∞) ≤ lim inf M X (t) ≤ lim inf M  q M √ = t→∞ t→∞ N 0, t 2 Z ∞ 2 1 x √ exp − = √ dx = 2t x 2πt 0 Z ∞ √ 1 2 1 √ = √ exp (−u) 2t u−1/2 du = 4 2 2πt 0 2ut Z ∞ 1 1 1 1 −1/2 √ √ √ = exp (−u) u du = 2 √ Γ → 0, 4 π 0 4 2ut 2t π tehát X (∞) = 0. 2

3.2.2. Lévy–féle karakterizációs tétel A Lévy–folyamatok tárgyalása során láttuk, hogy lineáris trendt˝ol eltekintve minden folytonos trajektóriájú Lévy–folyamat Wiener–folyamat. A Lévy–féle karakterizációs tétel tartalma igen hasonló, és a folytonos lokális martingálok körében karakterizálja a Wiener–folyamatokat. Az exponenciális martingálok és a kvadratikus variáció kapcsolatát tárgyalja a következ˝o állítás: 3.7 Állítás. Ha X és A a t ≥ 0 félegyenesen értelmezett folytonos, adaptált folyamatok, X (0) = 0, akkor az alábbi állítások ekvivalensek: 1. minden α ∈ C esetén az Yα $ exp αX − α2 A/2 lokális martingál, 7 V.ö.: 8 V.ö.:

1.85. példa, 61. oldal. [20]


225

2. [X] = A, és az X lokális martingál.

Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy mindegyik állításból következik a másik. 1. A 2. ⇒ 1. irány az Itô–formula alapján evidens, ugyanis felhasználva, hogy folytonos szemimartingálok kvadratikus variációja megegyezik a lokális martingál rész kvadratikus variációjával, ha Z $ αX − α2 A/2, akkor Yα = exp (Z) , és

Yα − Yα (0)

1 = Yα • Z + Yα • [Z] $ 2 1 A A $ Yα • αX − α2 + Yα • αX − α2 = 2 2 2 α2 1 = αYα • X − Yα • [X] + Yα • [αX] = 2 2 α2 α2 = αYα • X − Yα • [X] + Yα • [X] = 2 2 = αYα • X,

amely, mint folytonos lokális martingál szerinti sztochasztikus integrál, lokális martingál.

2. Megfordítva, tegyük fel, hogy az Yα lokális martingál, és (σ n )n legyen az Yα tetsz˝oleges lokalizációs sorozata. τ n $ inf {t : |X (t)| ≥ n} ∧ inf {t : |A (t)| ≥ n} ∧ σ n . A lokális martingál definíciója alapján az Yατ n martingál. Az Yατ n folyamatra 1 |Yατ n | ≤ exp |α| n + α2 n , 2 d τ Yα n ≤ |Yατ n | |X τ n − αAτ n | , dα 2 d τn τn τn τn 2 τn Y ≤ |Y | − αA ) + A (X . α dα2 α Könnyen látható, hogy ha az α az origó korlátos intervallumán fut végig, akkor a jobb oldali kifejezések egyenletesen korlátosak, ezért alább az α = 0 pontban való deriválás

3. ITÔFORMULA

226

és az integrálás felcserélhet˝o, következésképpen tetsz˝oleges A ∈ Fs halmazra9 Z Z d τn Yα (t) | Fs dP = M (X τ n (t) | Fs ) dP = M dα A ZA d τn = Yα (t) dP = dα A Z d = Y τ n (t) dP = dα A α Z d Y τ n (s) dP = = dα A α Z Z d τn = Y (s) dP = X τ n (s) dP, dα A A amib˝ol

m.m.

M (X τ n (t) | Fs ) = X τ n (s) . Hasonló számolással, a második derivált korlátossága és az α = 0 pontban teljesül˝o 2 2 d2 Y τ n /dα2 = (X τ n ) − Aτ n alapján az (X τ n ) − Aτ n martingál, tehát [X] = A. 2 3.8 Tétel. (Lévy–féle karakterizációs tétel) Ha (X, F) a nulla pontban nulla, n-dimenziós folyamat, akkor az alábbi három állítás ekvivalens: 1. X n-dimenziós Wiener–folyamat. 2. X olyan folytonos10 lokális martingál, amelyre [Xi , Xj ] (t) = δ ij t. 3. Tetsz˝oleges fk ∈ L2 (R+ ) függvényekre az ! n Z t n Z X 1X t 2 E (if • X) (t) $ exp i fk dXk + fk dλ 2 0 0 k=1

k=1

komplex martingál. Speciálisan, ha az X olyan folytonos lokális martingál, amelyre az Y (t) $ X 2 (t) − t folytonos lokális martingál, akkor az X Wiener–folyamat. Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az állítások körkörösen implikálják egymást. 1. Az 1. ⇒ 2. implikáció triviálisan következik a [w] (t) = t relációból11 . 2. A 2. ⇒ 3. indoklása a következ˝o. Az el˝oz˝o állítás alapján az E (if • X) lokális martingál. Az fk ∈ L2 (R+ ) miatt az ! ! n Z t n Z X 1X t 2 E (if • X) (t) = exp i fk dXk exp fk dλ 2 0 0 k=1

9A

d/dα deriválás az α = 0 pontban értend˝o. 3.34. példa, 246. oldal. 11 V.ö.: 2.31. példa, 157. oldal, 2.37. példa, 161. oldal. 10 V.ö.:

k=1


227

egyenletesen korlátos, így D-osztályba es˝o lokális martingál, vagyis martingál. 3. Végezetül tekintsük a 3. ⇒ 1. implikációt. Ha u ∈ Rn és f $ uχ ([0, T ]) , akkor, felhasználva, hogy X (0) = 0, ! 1 2 E (if • X) (t) = exp i uk χ ([0, T ]) dXk + kuk2 (t ∧ T ) = 2 k=1 0 1 2 = exp i (u, X (T ∧ t)) + kuk2 (t ∧ T ) . 2 n Z X

t

Mivel az E (if • X) 6= 0 martingál, ezért ha s < t < T, akkor 1

−1 = M E (if • X) (t) (E (if • X) (s)) | Fs = 1 2 = M exp i (u, X (t) − X (s)) + kuk2 (t − s) | Fs , 2

amib˝ol 1 2 M (exp (i (u, X (t) − X (s))) | Fs ) = exp − kuk2 (t − s) , 2 vagyis tetsz˝oleges A ∈ Fs halmazra 1 2 exp (i (u, X (t) − X (s))) dP = P (A) exp − kuk2 (t − s) . 2 A

Z

√ Ebb˝ol A = Ω választással az Xi (t) − Xi (s) eloszlása N 0, t − s . Mivel az egyenl˝oség tetsz˝oleges trigonometrikus polinomra teljesül, ezért a π-λ tétel miatt az X (t) − X (s) független az Fs σ-algebrától12 . 2 3.9 Példa. A sgn (w) • w integrál Wiener–folyamat. A sztochasztikus integrál konstrukciója szerint a folyamat folytonos és lokális martingál. A kvadratikus variációja Z

t

2

(sgn (w)) dλ = t. 0

2 3.10 Példa. Wiener–folyamat tükrözése Wiener–folyamat. 12 V.ö.:

[20], 9.25. példa, 307. oldal.

3. ITÔFORMULA

228

Legyen w Wiener–folyamat, τ megállási id˝o, és tekintsük a w (t, ω) ha t ≤ τ (ω) w b (t, ω) $ 2w (τ (ω) , ω) − w (t, ω) ha t > τ (ω) tükrözött folyamatot. Evidens módon w b (0) = 0, és a w b trajektóriái folytonosak. Ugyancsak evidens, hogy [w] b = [w] . Megmutatjuk, hogy a w b martingál, amib˝ol a karakterizációs tétel miatt a w b Wiener–folyamat. Ha σ korlátos megállási id˝o, akkor M (w b (σ))

= M (w (σ) χ (σ ≤ τ ) + (2w (τ ) − w (σ)) χ (σ > τ )) = = M (w (σ) χ (σ ≤ τ ) + (2w (σ ∧ τ ) − w (σ)) (1 − χ (σ ≤ τ ))) = =

2M ((w (σ) − w (σ ∧ τ )) χ (σ ≤ τ )) + M (2w (σ ∧ τ ) − w (σ)) .

A második várható érték a megállási opciókról szóló tétel alapján M (w (0)) = 0. Megmutatjuk, hogy {σ ≤ τ } ∈ Fτ ∧σ , amib˝ol ugyancsak a megállási opciókról szóló tétel szerint az els˝o kifejezés is nulla. Miként közismert13 Fτ ∩ Fσ = Fτ ∧σ . Ugyanakkor {σ ≤ τ } ∩ {τ ≤ t} = {σ ≤ t} ∩ {τ ≤ t} ∩ {σ ∧ t ≤ τ ∧ t} ∈ Ft , ugyanis az els˝o kett˝o tag Ft -ben van mivel megállási id˝ok, a harmadik tag pedig azért van Ft -ben, mivel a σ∧t és τ ∧t változók Ft -mérhet˝oek. Ebb˝ol következ˝oen {σ ≤ τ } , c {σ > τ } = {σ ≤ τ } ∈ Fτ . {τ = σ} = {τ = σ ∧ τ } ∩ {σ ≤ τ } ∈ Fτ , ugyanis mind a τ , mind a σ ∧ τ Fτ -mérhet˝oek. Ebb˝ol {σ ≥ τ } ∈ Fτ . A τ és a σ szerepének felcserélésével kapjuk az {σ ≤ τ } ∈ Fσ tartalmazást. 2 3.11 Következmény. Ha M ∈ L és az M folytonos valamint az [M ] kvadratikus variáció determinisztikus, akkor az M független növekmény˝u és a folyamat véges dimenziós eloszlásai normálisak. Megfordítva, ha az M folytonos martingál véges dimenziós eloszlásai normálisak, akkor az M kvadratikus variáció determinisztikus. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy az [Xi , Xj ] (t) = δ ij t összefüggést csak az Xi (t) − Xi (s) szórásának meghatározásakor használtuk ki. Ha a kifejezés determinisztikus, akkor a bemutatott számolás értelemszer˝uen megismételhet˝o, esetlegesen más szórást eredményezve. A fordított állítás igazolása el˝ott megjegyezzük, hogy mivel normális eloszlás esetén a korrelálatlanság és a függetlenség egybeesik, és mivel a folyamat martingál, korrelálatlanok, ezért a folyamat független növekméP tehát a növekmények 2 ∼ P 2 2 ny˝u. [X (t ) − X (t )] = k+1 k k k σ (tk , tk+1 ) (N (0, 1)) , ahol σ (tk , tk+1 ) a 13 V.ö.:



229

megfelel˝o intervallumra es˝o növekmény szórása, és az egyes N (0, 1) változók fügP getlenek. A függetlenség miatt k σ 2 (tk , tk+1 ) = σ 2 (t) . A folytonosság miatt a tk osztópontok megválasztható úgy , hogy mindig a σ 2 (t) variancia n-ed része legyen Pn 2 a σ 2 (tk , tk+1 ) , vagyis az összeg eloszlása σ 2 (t) k=1 N (0, 1) /n. A nagy számok törvénye miatt, felhasználva az egyes komponensek függetlenségét, a határérték konstans. 2 3.12 Állítás. (Doob) Legyen M az (Ω, A,P,F) sztochasztikus alaptéren értelmezett folytonos lokális martingál. Ha az M kvadratikus variációja felírható Z t [M ] (t, ω) = α2 (s, ω) ds 0

módon ahol α (t, ω) > 0 és az α adaptált és szorzatmérhet˝o, akkor az (Ω, A,P,F) alaptéren létezik olyan w Wiener–folyamat, amelyre Z t M (t) = M (0) + α (s) dw (s) . 0

Bizonyítás: A w Wiener–folyamat explicite megadható: 1 • M. α Az egyedül felmerül˝o kérdés, hogy az integrál értelmes-e. Az M folytonos lokális martingál szerint integrálható folyamatok azokból az X progresszíven mérhet˝o folyamatokból állnak, amelyekre az X 2 • [M ] integrál egy valószín˝uséggel véges14 . Ez teljesül, ugyanis Z t Z t 1 1 2 d [M ] = α ds = t < ∞. 2 2 α α 0 0 Gondot jelent azonban, hogy a feltétel szerint az α csak adaptált és szorzatmérhet˝o. Miként láttuk15 , létezik olyan α b progresszíven mérhet˝o folyamat, amely λ × P ekvivalens az α-val, így az α helyett az α b -ot írva az állítás feltételei progresszíven mérhet˝o folyamatra is teljesülnek. Az 1/α • M $ 1/b α • M definíció konzisztens a korábban elmondottakkal, ugyanis folytonos lokális martingálok esetén az integrál az integrandus Doléans–mérték szerinti ekvivalenciaosztályának minden elemére definíció szerint azonos. A w folytonos lokális martingál, és [w] (t) $ [1/α • M ] (t) = 1/α2 • [M ] (t) = t, w$

így a w Wiener–folyamat. 1 1 α•w =α• • M = α • M = 1 • M = M − M (0) , α α amib˝ol az állítás evidens. 2 14 V.ö.:

(2.35) sor, 180. oldal. 15 V.ö.: 2.81. állítás, 2.81. oldal.

3. ITÔFORMULA

230

3.13 Következmény. Legyen M az (Ω, A,P,F) sztochasztikus alaptéren értelmezett folytonos lokális martingál. Ha az M kvadratikus variációja abszolút folytonos a λ Lebesgue–mértékre néze e e e ve, akkor létezik az alaptér olyan Ω, A,P,F b˝ovítése és a kib˝ovített téren értelmezett w e Wiener–folyamat, amelyre Z tr d [M ] dw (s) . M (t) = M (0) + dλ 0 Bizonyítás: Az (Ω, A,P,F) tér mellett vegyünk egy w b Wiener-folyamatot. Az új alaptér legyen az (Ω, A,P,F) és a w b folyamatot hordozó tér szorzata. Világos, hogy a Rt w b független az A-tól. A feltétel szerint [M ] (t) $ 0 α2 (s) ds. A Z w e (t) $

t

1 χ (α > 0) dM + α

0

Z 0

t

χ (α = 0) dw b

folytonos lokális martingál. Független folytonos lokális martingálok négyzetes keresztvariációja nulla16 , tehát Z t Z t [w] e (t) = (α > 0) ds + χ (α = 0) ds = t, 0

0

tehát a w e Wiener–folyamat.

α•w e

$ =

1 α• χ (α > 0) • M + χ (α = 0) • w b α χ (α > 0) • M.

=

Ugyanakkor [χ (α = 0) • M ] = χ (α = 0) • [M ] = 0, tehát χ (α = 0) • M = 0, így α•w e = χ (α > 0) • M + χ (α = 0) • M = M − M (0) . 2

3.2.3. Minden folytonos Lévy–folyamat Wiener–folyamat Legyen X folytonos Lévy–folyamat. Tekintsük az X [X] kvadratikus variációját. Az X Lévy–folyamat, így a kvadratikus variáció képzési szabály szerint az [X] is Lévy–folyamat. Az X folytonos, ezért az [X] is folytonos. Az [X] folytonossága miatt az összes momentuma, speciálisan a várható értékes is, véges17 , így az Y (t) $ [X] (t) − M ([X] (t)) martingál. Az [X] triviálisan el˝orejelezhet˝o, M ([X] (t)) monoton n˝o, tehát Borel–mérhet˝o, következésképpen el˝orejelezhet˝o18 , így az Y korlátos változású, el˝orejelezhet˝o martingál, tehát Fisk–tétele19 miatt konstans, vagyis [X] (t) = 16 V.ö.:

2.37. példa, 161. oldal. [20], 14.48 Állítás, 646. oldal. 18 V.ö.: 1.42. példa, 30. oldal. A momentumok korlátossága miatt megmutatható, hogy minden véges szakaszon az [X] L2 -ben is korlátos, így egyenletesen integrálható, tehát az M ([X]) folytonos. 19 V.ö.: 1.121. tétel, 83. oldal. 17 V.ö.:


231

M ([X]) . A növekmények stacionaritása miatt az M ([X]) √ lineáris, vagyis [X] (t) = at, így a Lévy–féle karakterizáció tétel20 szerint az X/ a Wiener–folyamat. Az állítást az Itô–formulával a karakterizációs tétel nélkül is igazolhatjuk. A Lévy– folyamatok elemi tulajdonságai alapján az X (t) ϕ (t, u) módon jelölt karakterisztikus függvénye egyetlen u-ra sem lehet nulla és a Z (t, u) $

exp (iuX (t)) = exp (iuX (t) − tψ (u)) ϕ (t, u)

kifejezés martingál, ahol ψ (u) az X (1) karakterisztikus függvényének logaritmusa21 . Minden u-ra az iuX (t) − tψ (u) triviálisan folytonos szemimartingál, így az Itô– formula szerint Z t Z t Z (t, u) − 1 = Z (s, u) d (iuX (s)) − Z (s, u) d (sψ (u)) + 0 0 Z 1 t Z (s, u) d [iuX (s)] . + 2 0 Az X szerinti sztochasztikus integrál lokális martingál, így a folytonos szemimartingálok egyértelm˝u felbontása miatt a korlátos változású rész nulla, tehát Z Z t u2 t − Z (s, u) d [X (s)] = ψ (u) Z (s, u) ds. 2 0 0 Felhasználva, hogy [X] (s) = as, Z Z t u2 t −a Z (s, u) ds = ψ (u) Z (s, u) ds. 2 0 0 2

t szerint deriválva, majd Z-vel végigosztva ψ (u) = −a u2 , így√a normális elosz√ lás karakterisztikus függvényének képlete szerint X (1) ∼ = N (0, a) , így az X/ a Wiener–folyamat.

3.2.4. Bessel–folyamatok A Lévy–féle karakterizációs tétel alkalmazásaként vizsgáljuk meg a Bessel–folyamatokat. Megjegyezzük, hogy a Bessel–folyamatok tárgyalása szorosan összefügg a Wiener–folyamat zérushelyeinek vizsgálatával. 3.14 Definíció. Legyen w $ (w1 , w2 , . . . , wn ) n-dimenziós Wiener–folyamat. Az sX R $ kwk $ kwk2 $ wk2 k 20 V.ö.: 21 V.ö.:

3.8. tétel, 226. oldal. [20], 17.36 Állítás, 834. oldal.

3. ITÔFORMULA

232

folyamatot n-dimenziós Bessel–folyamatnak mondjuk. Az általánosság kedvéért feltesszük, hogy a w egy x ∈ Rn pontból indult, vagyis R (0) = kxk . Szükség esetén az x pontot külön jelöljük. Evidens módon az R eloszlása az x ponttól csak az r $ kxk nagyságán keresztül függ22 . 3.15 Állítás. (Bessel-folyamat differenciálegyenlete) Ha n ≥ 2 és r ≥ 0, akkor az r = kxk pontból indított R n-dimenziós Bessel– folyamatra Z t n−1 ds + B (t) , 0 ≤ t < ∞, (3.7) R (t) = r + 2R (s) 0 ahol B Z s X wk (k) (k) B$ B , B (s) $ dwk , (3.8) 0 R k

és a B Wiener–folyamat. Másképpen fogalmazva az R Bessel–folyamat kielégíti a dR =

n−1 dt + dB 2R

sztochasztikus differenciálegyenletet. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy az (3.7) képlet értelmes, ugyanis a nevez˝oben lev˝o kifejezés az n ≥ 2 megkötés miatt P majdnem minden kimenetelre egyetlen t id˝opontban sem nulla. Az (3.7) sorban szerepl˝o trajektóriánkénti integrál értelmes. Ugyanakkor Z t 2 Z t 2 Z t wk wk d [wk ] = dλ ≤ 1dλ = t, R R 0 0 0 ezért az (3.8) sorban szerepl˝o integrál integrandusa minden véges szakaszon eleme az L2 (wk ) térnek, ezért a B (k) sztochasztikus integrál szintén értelmes. Az egyenl˝oségek igazolását több lépésre bontjuk. 1. Sztochasztikus integrálok keresztvariációjának képlete alapján Z t Z t h i wk wj wk wj B (k) , B (l) (t) = d [w , w ] = δ dλ, k j kj 2 R R2 0 0 ezért Z tX 2 Z t i Xh wk (k) [B] (t) = B (t) = dλ = 1dλ = t, R2 0 0 k

k

amib˝ol, felhasználva, hogy lokális martingálok összege lokális martingál, a Lévy–féle karakterizációs tétel alapján a B Wiener–folyamat. 2. Az (3.7) sor igazolása az Itô–formulán alapszik. Az R2 folyamatra X 1X R2 − R2 (0) = 2wk • wk + 2 • [wk ] , 2 k

k

22 Ha kxk = kyk , akkor egy Q ortonormált transzformációra xQ = y, és a Qw szintén Wiener– folyamat, amely az y-ból indul, és Rx $ kwk = kQwk $ Ry .


233

tehát R2 (t) − R2 (0)

$

X

wk2 (t) − wk2 (0) =

(3.9)

k

=

2

XZ k

t

wk dwk + t · n.

0

23 3. A több √ dimenziós Wiener–folyamat majdnem minden kimenetelre nem lesz nulla , ezért a x függvényre alkalmazható az Itô–formula

R−r

= = =

1 111 1 √ • R2 = • R2 − 3/2 2 2 2 2 (R2 ) 2 R X wk n 1 1 X 2 wk • λ = • wk + •λ− 4 R 2R 8 R3 k k X wk n−1 • wk + • λ.. R 2R

(3.10)

k

2 Kézenfekv˝o kérdés, hogy adott w Wiener–folyamathoz és δ ≥ 2 számhoz vajon megadhatóe olyan R folyamat, amelyre Z t δ−1 R (t) = r + ds + w (t) , 0 ≤ t < ∞. (3.11) 2R (s) 0 A kérdés megválaszolásához a sztochasztikus differenciálegyenletek néhány eredménye szükséges, így a választ csak röviden vázoljuk24 . A Bessel–folyamatok konstrukciójának kiindulópontja a Z tp Z (t) = z + 2 |Z (s)|dw (s) + δt 0

sztochasztikus differenciálegyenlet. Megmutatható, hogy ha δ ≥ 0, akkor az egyenletet rendelkezik√egyértelm˝u megoldással és Z ≥ 0. Ha még a δ ≥ 2 is teljesül, akkor Z > 0. A x függvény az x > 0 halmazon kétszer folytonosan deriválható, így az Itô–formula alkalmazható: √ √ δ −1/2 1 1 √ 1 −1 −3/2 Z− z = Z •t+2 √ Z •w+ Z 4Z • t = 2 2 Z 2 4 δ − 1 −1/2 = Z • t + w, 2 √ így az R $ Z folyamat adott w Wiener–folyamat esetén kielégíti a (3.11) egyenletet. 23 Érdemes hangsúlyozni, hogy igen lényeges lépésr˝ ol van szó, ugyanis itt használjuk ki, hogy n ≥ 2. Ha√n = 1, akkor az Itô-lemma nem használható, ugyanis ilyenkor csak az R2 ≥ 0 biztosítható, ugyanis a x függvény az x ≥ 0 tartományon nem eleme a C 2 térnek. Ha formálisan mégis használjuk, akkor az R = sign (w) • w egyenl˝oséghez jutunk. Az 3.9. példa alapján a jobb oldali kifejezés Wiener–folyamat, a baloldali pedig nem negatív, így a két oldal nem lehet azonos. 24 V.ö.: [25] XI. fejezet.

3. ITÔFORMULA

234

3.2.5. Integrálreprezentációs tétel Legyen w Wiener–folyamat és jelölje F a hozzá tartozó filtrációt. Rögzítsük a T < ∞ id˝opont. 3.16 Állítás. Ha a h végigfutja az L2 ([0, T ]) determinisztikus függvényosztály elemeit, akkor az ! Z T Z 1 T 2 hdw − (E (h • w)) (T ) $ exp h d [w] 2 0 0 alakú függvények s˝ur˝uek az L2 (Ω, FT , P) térben. Bizonyítás: Jelölje U az (E (h • w)) (T ) alakú függvények halmazát. Megmutatjuk, m.m. hogy ha a g függvény mer˝oleges az U-ra, akkor g = 0. Elég a lépcs˝os függvények által definiált függvényeket venni, vagyis elég megmutatni, hogy ha ! ! X 1X 2 0 = M exp λk ∆w (tk ) − λk ∆tk g $ 2 k k ! ! X $ C · M exp λk ∆w (tk ) g k

minden (λk , tk )k sorozatra, akkor g = 0. Evidens módon C 6= 0, vagyis feltehetjük, hogy ! ! X M exp λk ∆w (tk ) g = 0. k

A következ˝o gondolatmenet célja, hogy a λk valós paraméterek helyébe az iλk imaginárius értékeket tegyük. Rögzítsük a λ0 kivételével a λk konstansokat. Az exp (λk ∆w (tk )) alakú kifejezések lognormálisak, vagyis L2 -beli elemek. Mivel függetlenek, a szorzatuk is L2 -beli, következésképpen a g-vel szorozva egy L1 -beli h függvényt adnak. ! ! X M (λ0 ) $ M exp λk ∆w (tk ) g $ k

$ M (exp (λ0 ∆w (t0 )) h) $ Z $ exp (λ0 ∆w (t0 )) hdP $ Ω Z $ exp (λ0 ∆w (t0 )) dµ ≡ 0, Ω

következésképpen az M a µ véges, el˝ojeles mérték momentumgeneráló függvénye. Az M a teljes számegyenesen értelmezve van, tehát a komplex momentumgeneráló


235

függvény a teljes komplex síkban analitikus függvény25 , amely így az imaginárius tengely mentén is nulla, vagyis M (exp (iλ0 w∆ (t0 )) h) = 0. Ezt követ˝oen vegyük a λ1 változót, majd ismételjük meg a gondolatmenetet a λ1 -re stb. ! ! X M (λ0 , . . . , λn ) $ M exp iλk ∆w (tk ) g = 0. k

A π-λ tétel szerint, ha A ∈ σ (∆w (t0 ) , . . . , ∆w (tn )) = σ (w (t0 ) , . . . , w (tn )) , akkor M (χA g) = 0. Ha a felosztás elemeinek számát növeljük, akkor a mérték egyértelm˝u kiterjesztésér˝ol szóló tétel alapján M (χA g) = 0,

A ∈ σ (w (t) , t ∈ [0, T ] ∩ S) ,

ahol az S megszámlálható halmaz. A w folytonos, ezért σ (w (t) , t ∈ [0, T ]) = σ (w (t) , t ∈ [0, T ] ∩ Q) , A g FT -mérhet˝o és F a feladat megfogalmazása szerint a w által generált filtráció26 , m.m. ezért g = 0. 2 3.17 Állítás. Ha ξ ∈ L2 (Ω, FT , P) , akkor található, mégpedig egyetlen olyan X ∈ L2 (w), amelyre Z T

ξ = M (ξ) +

Xdw.

(3.12)

0

Az X folyamat választható el˝orejelezhet˝onek. Bizonyítás: Az állítás igazolása két lépésb˝ol áll. El˝oször a létezést, majd az unicitást igazoljuk. 1. Legyen U a megadott tulajdonságú ξ változók halmaza. Ha ξ ∈ U, akkor27  ! !2  T T R R 2 M ξ2 = M (ξ) + 2M (ξ) M Xdw + M  Xdw  = (3.13) 0 2

= M (ξ) + M

RT

0

! X 2 dλ ,

0

ugyanis egyrészt az X • w, martingál28 , tehát M ((X • w) (T )) = M ((X • w) (0)) = 0, 25 [20],

10.10. állítás, 417. oldal. A momentumgeneráló függvény végessége miatt be lehet deriválni az integrál mögé. 26 V.ö.: 3.20. példa, 238. oldal. 27 Emlékeztet˝ oül, λ a [w] kvadratikus variáció által generált mérték, vagyis λ a Lebesgue–mérték. 28 V.ö.: 2.57. állítás, 171. oldal. A sztochasztikus integrál a t = 0 pontban mindig nulla.

3. ITÔFORMULA

236

másrészt az X 7→ X • w leképezésre az Itô–izometria29  !2  Z T 2 2 Xdw  $ k(X • w) (T )k2 $ kX • wkH2 = M 0

2 kXkw

=

Z

!

T 2

X d [w]

$M

Z

2

X dλ .

=M

0

!

T

0

A (3.13) miatt a U zárt, ugyanis ha (ξ n )n L2 (Ω, FT , P) Cauchy–sorozat, akkor a megfelel˝o (Xn )n L2 (w) Cauchy–sorozat, és mivel az L2 (w) teljes, ezért az (Xn )n sorozatnak van X határértéke. Az integrálás izometria, vagyis folytonos operáció, ezért az (3.12) teljesül a határértékre. Megmutatjuk, hogy az U tartalmazza a 1 ξ $ E (h • w) (T ) $ exp h • w − h2 • λ (T ) , h ∈ L2 ([0, T ]) 2 alakú változókat. A

1 V $ h • w − h2 • λ 2

folyamatra alkalmazva az exp függvényt, az Itô–formula alapján E (h • w) − 1

exp (V ) − exp (V (0)) = 1 = exp (V ) • V + exp (V ) • [V ] . 2

=

A V definícióját és a [V ] = h2 • λ egyenl˝oséget behelyettesítve az asszociativitási szabály alapján 1 exp (V ) • V = exp (V ) • h • w − h2 • λ = 2 1 = exp (V ) • (h • w) + exp (V ) • − h2 • λ = 2 1 = h exp (V ) • w − exp (V ) • [V ] , 2 ezért ξ

$

E (h • w) = 1 + h exp (V ) • w =

=

M (ξ) + .h exp (V ) • w.

Meg kell mutatni, hogy h exp (V ) ∈ L2 (w) . A h determinisztikus, h • w Wiener– integrál, így √ h•w ∼ = N 0, h2 • λ . 29 V.ö.:



237

A lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján a [0, T ] szakaszon I

$ = =

2

kh exp (V )kw = 2 ! Z T 1 2 M h exp h • w − h • λ dλ = 2 0 Z T √ h2 exp −h2 • λ M exp N 0, 2 h2 • λ dλ = 0

Z

T

= 0

Z

T

$ 0

h2 exp −h2 • λ exp 2h2 • λ dλ $ Z t 2 2 h (t) exp h (s) ds dt = 0 ! Z T

=

h2 (s) ds

exp

− 1 < ∞,

0

következésképpen h exp (V ) ∈ L2 (w) . Az E (h • w) (T ) alakú változók s˝ur˝uek az L2 (FT ) térben, ezért a V zártsága miatt U = L2 (FT ) . 2. Az egyértelm˝uség igazolása céljából tegyük fel, hogy Z T Z ξ = M (ξ) + X1 dw = M (ξ) + 0

T

X2 dw,

0

vagyis Z

T

Z X1 dw −

0

T

X2 dw = 0. 0

Az Itô–izometria felhasználásával  !2  Z T Z 0 = M X1 − X2 dw  = M 0

T

! 2

(X1 − X2 ) dλ .

(3.14)

0

Definíció szerint az L2 (w) az (R+ × Ω, R, αw ) , vagyis az αM = λ×P mérték szerint ekvivalens folyamatokból áll, így X1 = X2 . 3. Miként korábban megjegyeztük, a Dellacherie–formula30 miatt az X választható el˝orejelezhet˝onek. 2 3.18 Állítás. Ha az F filtráció folytonos és az M F filtrációra nézve lokális martingál, akkor az M trajektóriái nullmérték˝u halmaztól eltekintve folytonosak. Speciálisan a Wiener– folyamat által generált filtráció szerinti lokális martingálok folytonosak31 . 30 V.ö.:

2.71. állítás, 181. oldal. hogy a Wiener-folyamat által generált kiterjesztett filtráció folytonos. [20], 14.46. állítás, 644. oldal. 31 Emlékeztetünk,

3. ITÔFORMULA

238

Bizonyítás: Legyen az M el˝oször martingál. Minden martingál jobbról folytonos, és rendelkezik bal oldali határértékekkel. A Lévy–féle konvergencia tétel alapján M (t−) = M (M (t) | Ft− ) = M (M (t) | Ft ) = M (t) , ahol az egyenl˝oség természetesen csak majdnem mindenhol értend˝o. A kivételezett kimeneteleket egyesítsük a racionális id˝opontokban. A megmaradt kimeneteleken az M folytonos, ugyanis ha valamely t id˝opontban a jobb oldali határérték nem egyezik meg a bal oldalival, akkor a trajektória a racionális id˝opontokra megszorítva sem lehetne folytonos. Az általános eset lokalizációval triviálisan igazolható. 2 3.19 Tétel. (Integrálreprezentációs tétel) Ha F a w Wiener–folyamat által generált filtráció, akkor tetsz˝oleges M, a [0, T ] szakaszon értelmezett F-lokális martingálra M = M (0) + X • w, ahol X ∈ L2loc (w). Ha M ∈ H2 , akkor X ∈ L2 (w) . Az el˝oállításban szerepl˝o X választható el˝orejelezhet˝onek és mint ekvivalenciaosztály egyértelm˝uen meghatározott. Bizonyítás: Ha M ∈ H2 , akkor az M egyenletesen integrálható, vagyis lezárható, és mivel M (T ) ∈ L2 (Ω) , ezért Z M (t)

= M (M (T ) | Ft ) = M M (M (T )) +

!

T

Xdw | Ft

=

0

Z = M (M (T )) +

t

Xdw, 0

ugyanis X ∈ L2 (w) és ezért az integrálfüggvény martingál. Ilyenkor tehát az állítás teljesül. Megjegyezzük, hogy az X az αw mérték erejéig egyértelm˝u, ugyanis a (3.14) szerint az X1 • w = X2 • w csak úgy állhat fenn, ha X1 és X2 az L2 (w) azonos reprezentánsa. Ha M lokális martingál, akkor az M folytonos, ezért feltehet˝o, hogy az M τ n megállított martingálok mindegyike egyenletesen korlátos. Ennek megfelel˝oen M τ n = Cn + Xn • w. Ugyanakkor M τ n−1

=

τ n−1

(M τ n )

τ n−1

= (Cn + Xn • w)

τ n−1

= Cn + (Xn • w)

=

= Cn + Xn χ ([0, τ n−1 ]) • w. Az egyértelm˝uség miatt Cn−1 = Cn , Xn−1 „összeragaszthatók” egyetlen X folyamattá.

m.m.

=

Xn χ ([0, τ n−1 ]) , és az Xn -ek 2

3.20 Példa. A reprezentációs tulajdonság általában csak Wiener–folyamatokra érvényes.

3.3. ITÔFORMULA NEM FOLYTONOS SZEMIMARTINGÁLOKRA

239

Legyen ((w1 , w2 ) , G) független koordinátákból álló kétdimenziós Wiener–folyamat. Legyen X $ w1 • w2 , és F legyen az X által generált filtráció. Evidens módon Ft ⊆ Gt , és az [X] kvadratikus variációja F-adaptált. Mivel Z t Z t 2 [X] (t) = w1 d [w2 ] = w12 (s) ds, 0

0

w12

éppen az [X] deriváltja, tehát szintén F-adaptált, következésképpen Fezért a adaptált a 1 2 w1 − [w1 ] (t) = w1 • w1 (t) Z (t) $ 2 folyamat is. A Z F-martingál, ugyanis ha s < t, akkor, felhasználva, hogy a Z = w12 − [w1 ] G-martingál32 M (Z (t) | Fs )

= M (M (Z (t) | Gs ) | Fs ) = = M (Z (s) | Fs ) = Z (s) .

Analóg megfontolással látható, hogy az X is F-martingál. Tegyük fel, hogy Z = Y • X $ Y • (w1 • w2 ) = Y w1 • w2 . Felhasználva, hogy a w1 és w2 függetlenek, ezért [w1 , w2 ] = 0 0 < [Z • Z] = [w1 • w1 , Y • X] = [w1 • w1 , Y w1 • w2 ] = Y w12 • [w1 , w2 ] = 0, lenne, ami lehetetlen. 2

3.3. Itô–formula nem folytonos szemimartingálokra Ebben a pontban az Itô-formulát nem feltétlenül folytonos szemimartingálokra általánosítjuk. 3.21 Tétel. (Itô-formula) Ha az X $ (X1 , X2 , . . . , Xn ) vektor elemei szemimartingálok és F ∈ C 2 (Rn ) , vagyis az F kétszer folytonosan deriválható Rn -nen értelmezett33 függvény, akkor F (X (t)) − F (X (0)) = (3.15) Z Z n t t 2 X

1X ∂ F ∂F (X− ) dXk + (X− ) d Xic , Xjc + = ∂xk 2 i,j 0 ∂xi ∂xj k=1 0 " # n X X ∂F + F (X (s)) − F (X (s−)) − (X (s−)) ∆Xk (s) . ∂xk 0<s≤t

k=1

Az F értelmezési tartományáról elegend˝o feltenni, hogy olyan nyílt halmaz amely tartalmazza az X értékkészletét. 32 Ugyanis

a w1 G-martingál. ha az F értelmezési tartománya olyan nyílt halmaz amely tartalmazza az X értékkészletét.

33 Elegend˝ o,

3. ITÔFORMULA

240

Miként látni fogjuk a formula már bemutatott bizonyításának kiterjesztése viszonylag kézenfekv˝oen végrehajtható, a nehézség a kvadratikus variáció általánosításának szükségességéb˝ol ered. Emlékeztetünk, hogy korábban a kvadratikus variációt csak folytonos szemimartingálok esetén vizsgáltuk, ebben a pontban azonban a kvadratikus variációt nem folytonos szemimartingálokra is definiálni fogjuk. Az Itô-formula kiterjesztése mellett a pont legfontosabb eredménye az [Z • X, U • V ] = ZU • [X, V ] formula igazolása, Ha a Z, U integrandusok el˝orejelezhet˝oek és az X, V integrátorok szemimartingálok, akkor az egyenl˝oség teljesüléséhez elegend˝o megkövetelni az integrálok létezését.

3.3.1. Parciális integrálás formulája Az integrálok kiszámolásakor gyakran hasznos a parciális integrálás formulája. Az Itô– formulában megjelen˝o korrekciós tagok oka, hogy a korlátos változású folyamatokra érvényes parciális integrálás formulája változatlan formában nem vihet˝o át szemimartingálokra. A kvadratikus variációt a legegyszer˝ubben a parciális integrálás formulájában megjelen˝o korrekciós taggal definiálhatjuk: 3.22 Definíció. Az X szemimartingál kvadratikus variációján az [X] $ X 2 − X 2 (0) − 2X− • X

(3.16)

kifejezést értjük, ahol értelemszer˝uen X− (t) $ lim X (t − h) . h&0

A definícióban szerepl˝o integrál mindig létezik, ugyanis az X− folyamat balról folytonos, tehát el˝orejelezhet˝o, és mivel minden szemimartingál jobbról reguláris, ezért az X− balról reguláris, tehát lokálisan korlátos34 . 3.23 Állítás. A kvadratikus variációra érvényes a megállítási szabály, vagyis ha X szemimartingál τ és τ megállási id˝o, akkor [X τ ] = [X] . Bizonyítás: A sztochasztikus integrálokra vonatkozó megállítási szabály alapján 2

2

τ [X τ ] $ (X τ ) − (X τ (0)) − 2X− • Xτ = τ τ τ = X 2 − X 2 (0) − 2X− χ [0, τ ] • X = τ 2 τ 2 = X − X (0) − 2X− χ [0, τ ] • X = τ τ τ τ = X 2 − X 2 (0) − 2 (X− • X) $ [X] . 34 V.ö.: 1.97. állítás, 68. oldal. A definícióból evidens, hogy az X (0) értéke nem befolyásolja a kvadratikus variáció értékét, így az feltehet˝o, hogy X− (0) $ 0.


241

2 A kvadratikus variáció elnevezést a következ˝o állítás indokolja: 3.24 Állítás. Ha X szemimartingál, akkor Xh

[X] (t) = lim

n→∞

i2 (n) (n) X τ k+1 ∧ t − X τ k ∧ t ,

(3.17)

k

(n) ahol τ k megállási id˝ok tetsz˝oleges olyan növeked˝o sorozata, amelyre az n nök vekedésével a sorozat által generált felbontás finomsága minden kimenetelre nullához tart. (n) (n) lim sup τ k+1 − τ k = 0. n→∞ k

A (3.17) sorban szerepl˝o konvergencia tetsz˝oleges t-re a [0, t] szakaszon a sztochasztikus konvergenciában egyenletes, vagyis tetsz˝oleges ε > 0 esetén ! i2 X h (n) (n) X τ k+1 ∧ s − X τ k ∧ s lim P sup [X] (s) − > ε = 0. n→∞ s≤t k

2

Bizonyítás: Az elemi (x − y) = x2 − y 2 − 2y (x − y) azonosság felhasználásával i2 X h (n) (n) (n) [X] (t) $ X τ k+1 ∧ t − X τ k ∧ t = =

k 2

X (t) − X 2 (0) − h i X (n) (n) (n) −2 X τ k ∧ t X τ k+1 ∧ t − X τ k ∧ t . k

Vegyük észre, hogy az utolsó összeg éppen az X (n) (n) (n) i χ τ k , τ k+1 X (n) $ X τk k

balról folytonos folyamat [0, t] szakaszon vett X-szerinti integrálja. Érdemes felfigyelni arra, hogy tetsz˝oleges (t, ω) esetén X (n) (t, ω) → X− (t, ω) . Meg kell mutatni, hogy az integrálás és a határérték felcserélhet˝o. Ez megtehet˝o, ha az X (n) n sorozatnak van lokálisan korlátos majoránsa. Tekintsük a K (t) $ sup |X (s)| = sup |X− (s)| s
s≤t

35 folyamatot. Az X− balról reguláris, tehát az X− , így a K is lokálisan korlátos . A (n) bizonyítás befejezéséhez elég megjegyezni, hogy minden n-re X ≤ K. 2

Felvethet˝o a kérdés, hogy a sztochasztikus konvergencia helyett lehet-e más topológiát írni. 35 V.ö.:


3. ITÔFORMULA

242

3.25 Állítás. (n) Ha M lokális martingál és a [0, t]tetsz˝oleges felosztássorozatára [M ] (t) → [M ] (t) 1 ∗ 1 L (Ω)-ban, akkor M (t) $ sups≤t |M (s)| ∈ L (Ω) , vagyis a [0, t] szakaszon M ∈ H1 .

(n) (n) Bizonyítás: Ha az [M ] (t) sorozat L1 -ben konvergens, akkor K $ supn [M ] (t) < ∞. A Davis36 és Jensen–egyenl˝otlenségek szerint r

q

(n) (n) ∗

kMn k1 ≤ C [M ] (t) ≤ C [M ] (t) ≤ L < ∞. 1

1

Mn∗

∗

% M , így a a monoton konvergencia tétel szerint

q

(n)

≤ L < ∞. kM ∗ (t)k1 ≤ lim supC [M ] (t)

Alkalmas felosztássorozatra

n→∞

1

2 3.26 Definíció. Ha X és Y szemimartingálok, akkor az 1 ([X + Y ] − [X − Y ]) (3.18) 4 kifejezést az X és az Y szemimartingálok kvadratikus keresztvariációjának mondjuk. A keresztvariációt definiáló (3.18) egyenl˝oséget polarizációs egyenl˝oségnek mondjuk. [X, Y ] $

Definíció szerint 2

2

4 [X, Y ] $ (X + Y ) − (X + Y ) (0) − −2 (X + Y )− • (X + Y ) − 2

2

− (X − Y ) − (X − Y ) (0) + +2 (X − Y )− • (X − Y ) , amely elemi számolással 4XY − 4X (0) Y (0) − 4Y− • X − 4X− • Y, amelyb˝ol [X, Y ] = XY − X (0) Y (0) − Y− • X − X− • Y. Elemi átrendezéssel: 3.27 Állítás. (Parciális integrálás formulája) Ha X és Y tetsz˝oleges szemimartingálok, akkor XY − X (0) Y (0) = X− • Y + Y− • X + [X, Y ] . Az integrálás hagyományos jelölését használva tetsz˝oleges t-re Z t Z t X (t) Y (t) − X (0) Y (0) = X− dY + Y− dX + [X, Y ] (t) . 0 36 V.ö.:

D.22. tétel, 461. oldal.

0


243

3.28 Példa. Ha V ∈ L ∩ V, akkor az L tisztán nem folytonos37 . Elegend˝o belátni, hogy minden M folytonos lokális martingálra az M L szorzat lokális martingál. A parciális integrálás formulája szerint M L = M− • L + L− • M + [M, L] . Az M folytonos és L ∈ V ezért [M, L] = 0. Az M− és az L− lokálisan korlátos és el˝orejelezhet˝o folyamatok, így a két integrál lokális martingál, tehát az M L is lokális martingál. 2 A négyzetes közelítés (3.17) képletéb˝ol evidens, hogy az [X] monoton n˝o. A sztochasztikus integrál mindig jobbról folytonos és rendelkezik bal oldali határértékkel, tehát az [X] trajektóriái jobbról regularizáltak. A sztochasztikus integrálok ugrásaira vonatkozó formula38 alapján ∆ (X− • X) = X− ∆X, amib˝ol (∆X)

2

2 2 = X 2 − 2XX− + X− = X 2 − X− + 2X− (X− − X) = (3.19) 2 2 = ∆ X − 2X− ∆X = ∆ X − 2∆ (X− • X)

=

∆ [X] .

A polarizációs egyenl˝oség felhasználásával [X, Y ] ∈ V, és ∆ [X, Y ] = ∆X∆Y. Ha az X szemimartingál korlátos változású, és az Y folytonos39 , akkor X (n) [X (tk+1 ) − X (tk )] [Y (tk+1 ) − Y (tk )] ≤ [X, Y ] $

(3.20)

(3.21)

k

≤

max |Y (tk+1 ) − Y (tk )| Var (X) → 0 k

tehát ilyenkor a parciális integrálás formulája az analízisben megismert XY − X (0) Y (0) = Y • X + X− • Y alakot ölti. Ugyanakkor az Y folytonosságára nincsen szükség. Legyen Y = Y f + Y u az Y folytonos és ugró részre való felbontása. Az X-r˝ol továbbra is feltételezve, hogy korlátos változású [Y, X] = Y f , X + [Y u , X] = [Y u , X] . 37 V.ö.:

1.162. tétel, 117. oldal. a sztochasztikus integrál 9. tulajdonsága, 198. oldal. 39 Vagyis minden trajektóriája minden véges szakaszon egyenletesen folytonos. 38 V.ö.:

3. ITÔFORMULA

244

Hangsúlyozzuk, hogy az Y f és az Yu nem szemimartingálok, de az (3.21) sorban bemutatott megfontolás miatt Y f , X = 0, így az [Y u , X] mint a közelít˝o összegek határértéke létezik. Ha a Yεu az Y ε-nál nagyobb abszolút érték˝u ugrásaiból álló folyamat, akkor mivel az ilyen ugrások száma minden véges szakaszon véges triviálisan X X [Yεu , X] = Yεu ∆X = ∆Yε ∆X = Yεu • X. Ha ε & 0, akkor |[Y u , X] − [Yεu , X]| ≤ εVar (X) → 0. A majorált konvergencia tétel szerint, trajektóriánként okoskodva X X Yεu • X → Y u • X = Y u ∆X = ∆Y ∆X, u

feltéve, hogy az |Y | trajektóriánként minden véges szakaszon az X szerint integrálható. Ez utóbbi azonban teljesül, ugyanis az Y trajektóriáinak nincsen másodfajú szakadása, így minden véges hosszúságú szakaszon az Y ugrásainak nagysága a szakasztól és a trajektóriától függ˝o korlát alatt marad. Összefoglalva: 3.29 Állítás. (Parciális integrálás formulája) Ha X korlátos változású, Y tetsz˝oleges szemimartingál, akkor [X, Y ] =

X

∆Y ∆X = ∆Y • X

(3.22)

következésképpen40 XY − X (0) Y (0)

= Y− • X + X− • Y + [X, Y ] = = Y− • X + X− • Y + ∆Y • X = = Y • X + X− • Y.

Az X ∈ V mellett tegyük Pfel, hogy az X el˝orejelezhet˝o. Az X ∈ V miatt természetesen továbbra is [Y, X] = ∆X∆Y. Tegyük fel, hogy az X ugrásai nagyobbak mint ε > 0. Ekkor az ugrások nem torlódhatnak. Trajektóriánként okoskodva X ∆X • Y = ∆X∆Y. Az X el˝orejelezhet˝o, tehát lokálisan korlátos41 , így a ∆X is lokálisan korlátos és el˝orejelezhet˝o. Lokálisan korlátos és el˝orejelezhet˝o függvények körében a trajektóriánkénti integrál, ha létezik, megegyezik a sztochasztikus integrállal. Ha (∆X)ε az X ε-nál nagyobb ugrásokból álló folyamat, akkor X (∆X)ε • Y = (∆X)ε ∆Y. 40 Az állítás alapján, ha az X korlátos változású, az Y szemimartingál, akkor létezik az Y • X integrál. Vegyük észre, hogy ezt közvetlenül is igazolhatjuk, ugyanis a szemimartingálok trajektóriái minden véges szakaszon korlátosak, ugyanis a trajektóriáknak minden id˝opontban létezik jobb és bal oldali határértéke. 41 V.ö.: 1.99. állítás, 69. oldal.


245

sztochasztikus integrálban a ∆X el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, tehát a bal oldalon alkalmazható a majorált konvergencia tétel. A jobb oldalon a Cauchy–egyenl˝otlenség felhasználásával X 2 2 |∆X| |∆Y | ≤ [X] [Y ] < ∞, így a jobb oldalon a konvergencia abszolút, tehát [X, Y ] =

X

∆Y ∆X = ∆X • Y

3.30 Állítás. (Parciális integrálás formulája) Ha X korlátos változású és el˝orejelezhet˝o, Y tetsz˝oleges szemimartingál, akkor [X, Y ] =

X

∆X∆Y = ∆Y • X = ∆X • Y,

(3.23)

és a parciális integrálás formulája a XY − X (0) Y (0)

= Y− • X + X− • Y + [X, Y ] = = Y− • X + X− • Y + ∆X • Y = = Y− • X + X • Y

alakot ölti. 3.31 Következmény. Ha X ∈ V és az X folytonos, Y tetsz˝oleges szemimartingál, akkor [X, Y ] = 0. Bizonyítás: A parciális integrálás imént belátott formulája szerint Y− • X + X • Y + [X, Y ]

= Y− • X + X− • Y + [X, Y ] = = Y− • X + X • Y,

ami csak akkor lehetséges, ha [X, Y ] = 0. 2 3.32 Példa. Ha F jobbról reguláris, korlátos változású determinisztikus függvény, w Wiener–folyamat, akkor   s Z T Z T 2 (F (T ) − F (s)) ds . w (s) dF (s) ∼ = N 0, 0

0

A parciális integrálás formulája szerint, felhasználva, hogy az F folyamat el˝orejelezhet˝o Z T Z T w (T ) F (T ) = wdF + F− dw, 0

0

3. ITÔFORMULA

246

amib˝ol Z

T

T

Z wdF

= w (T ) F (T ) −

0

F− dw = 0

Z

T

Z F (T ) dw −

=

F− dw = 0

0

Z

T

T

(F (T ) − F (s−)) dw (s) .

= 0

Az utolsó integrál Wiener–integrál, így Z

T

wdF

∼ =

0

 s Z  N 0,



T

2

(F (T ) − F (s−)) ds =

0

=

 s Z  N 0,

T

 2 (F (T ) − F (s)) ds .

0

2

3.3.2. Lokális martingálok kvadratikus variációja 2 A kvadratikus variációt tetsz˝oleges szemimartingálra értelmeztük. Ha M ∈ Hloc , akkor létezik, mégpedig egyetlen olyan hM i módon jelölt el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre hM i ∈ Aloc és az M 2 − M 2 (0) − hM i lokális martingál42 . Az hM i fo2 el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja. lyamatot az M ∈ Hloc

A kvadratikus variáció következ˝o jellemzése emlékeztet az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció jellemzésére. 3.33 Állítás. Ha X lokális martingál, akkor az [X] az egyetlen olyan a nulla pontban nulla monoton növeked˝o folyamat, amelyre X 2 − X 2 (0) − [X] ∈ L és

2

(∆X) = ∆ [X] .

Bizonyítás: Csak az egyértelm˝uség nem teljesen triviális. Ha az A $ [X] mellett a B folyamatra is teljesülnek az állítás feltételei, akkor egyrészt A − B ∈ L, másrészt az A − B folytonos és korlátos változású, tehát Fisk–tétele szerint A = B. 2 3.34 Példa. A Lévy–féle karakterizációs tételben nincs szükség a folytonossági feltételre. 42 V.ö.:



247

A Lévy–féle karakterizációs tétel43 szerint az X folytonos lokális martingál pontosan akkor Wiener–folyamat, ha [X] (t) = t. Az el˝oz˝o állítás szerint az X folytonos, ugyan2 is (∆X) = ∆ [X] = 0, így a folytonosságra tett feltétel elhagyható. 2 A két fajta kvadratikus variáció viszonyát tisztázza a következ˝o állítás: 3.35 Állítás. Lokális martingálok körében a kvadratikus és az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció között a következ˝o kapcsolat van: 1. Az [M ] minden lokális martingálra definiálva van, az hM i értelmezési tartomá2 nya Hloc . 2. [M ] ∈ V és [M ]

1/2

∈ Aloc , ugyanakkor hM i ∈ Aloc . p

2 3. Ha M ∈ Hloc , akkor [M ] ∈ Aloc és [M ] = hM i .

4. Ha M ∈ H2 , akkor [M ] ∈ A és M 2 − [M ] ∈ M. 5. Ha M (0) ∈ L2 és [M ] ∈ A, akkor M ∈ H2 . 2 6. Ha M (0) ∈ L2 és [M ] ∈ A+ loc , akkor M ∈ Hloc .

7. Ha az M folytonos lokális martingál, akkor [M ] = hM i. Bizonyítás: Az egyes tulajdonságok igazolása a következ˝o: 1. A definíciók triviális következménye: 2. Az [M ] ∈ V és az hM i ∈ Aloc evidens. A lokális martingálok f˝otétele44 szerint tetsz˝oleges M lokális martingál felbontható M = M (0) + M 0 + M 00 módon, ahol M 0 ∈ Aloc és M 00 lokálisan korlátos.. Legyen (τ n )n az M 0 és az M 00 közös lokalizációs sorozata. Ha σ n $ inf {t : [M ] ≥ n} ∧ τ n , akkor a (3.19) felhasználásával 1/2

[M ]

√ √ 1/2 n + ∆ [M ] (σ n ) = n + |∆M | (σ n ) ≤ √ ≤ n + |∆M 0 | (σ n ) + |∆M 00 | (σ n ) ≤ √ ≤ n + Var (M 0 ) (τ n ) + 2 sup |M 00 | (t ∧ τ n ) .

(σ n ) ≤

t 1/2

A jobb oldali kifejezés várható értéke véges, tehát [M ]

∈ Aloc .

2 3. Ha M ∈ Hloc , akkor 2M− • M lokális martingál, és mivel az hM i is értelmes, ezért az [M ] − hM i = M 2 − M 2 (0) − 2M− • M − hM i 43 V.ö.: 44 V.ö:

3.8. tétel, 226. oldal. 1.155. tétel, 112. oldal.

3. ITÔFORMULA

248

két lokális martingál összege, vagyis lokális martingál. Triviálisan [M ] − hM i ∈ V, és mivel45 L ∩ V ⊆ Aloc , ezért [M ] − hM i ∈ Aloc . Mivel hM i ∈ Aloc , ezért [M ] ∈ Aloc . p Az [M ] − hM i ∈ L miatt az [M ] ∈ A+ loc folyamat [M ] kompenzátora éppen hM i . 4. Tegyük fel, hogy M ∈ H2 . Ilyenkor46 hM i ∈ A és M 2 − hM i ∈ M. A kompenzátorokat jellemz˝o M (Aτ ) = M (Apτ ) egyenl˝oség miatt, ha τ = ∞, akkor M ([M ] (∞)) = M (hM i (∞)) < ∞, vagyis ilyenkor [M ] ∈ A. A várható értékek végessége miatt tetsz˝oleges τ megállási id˝ore teljesül˝o M (([M ] − hM i) (τ ))

= M ([M ] (τ )) − M (hM i (τ )) = =

0 = M (([M ] − hM i) (0))

egyenl˝oség miatt az [M ] − hM i martingál, és mivel az [M ] (∞) + hM i (∞) az [M ] − hM i integrálható majoránsa, ezért [M ] − hM i ∈ M. Következésképpen, ha M ∈ H2 , akkor M 2 − [M ] = M 2 − hM i + hM i − [M ] ∈ M. 5. Megfordítva, tegyük fel, hogy M (0) ∈ L2 és [M ] ∈ A, vagy ami ugyanaz az M ([M ] (∞)) < ∞, és elegend˝o a H2 -martingálokra kimondott analóg állítás bizonyítását szó szerint megismételni47 . 6. Lokalizációval evidens. 7. Emlékeztetünk, hogy minden folytonos lokális martingál lokálisan korlátos, így lokálisan négyzetesen integrálható. A folytonos lokális martingálok kvadratikus variációjának tárgyalása során megmutattuk, hogy az [M ] az egyetlen olyan monoton növeked˝o folyamat, amelyre M 2 − [M ] lokális martingál, vagyis folytonos lokális martingálok esetén [M ] = hM i . 2 3.36 Következmény. (Doléans–mérték és kvadratikus variáció) 2 Ha X ∈ Hloc és A ∈ P, akkor az A Doléans–mértéke Z ∞ Z ∞ µX (A) = M χA d [M ] = M χA d hM i . 0

0

p

Bizonyítás: Az [X] = hXi alapján nyilvánvaló48 . 2 3.37 Következmény. (L2loc és kvadratikus variáció) 2 Ha M ∈ Hloc , akkor az L2loc (M ) tér pontosan azokból az X el˝orejelezhet˝o folyamatokból áll, amelyekre X 2 • [M ] ∈ A+ loc . 45 V.ö.:

1.94. állítás, 66. oldal. 2.83. tétel, 191. oldal. 47 V.ö.: 2.49. állítás, 166. oldal. 48 V.ö.: (1.46) sor, 90. oldal. 46 V.ö.:


249

Bizonyítás: A sztochasztikus integrálok jellemzésekor láttuk49 , hogy X ∈ L2loc (M ) + pontosan akkor, ha X 2 • hM i ∈ loc , vagy ami ekvivalens alkalmasan választott R τA n (τ n )n lokalizációs sorozatra M 0 X 2 d hM i < ∞. Ugyanakkor a kompenzátorok definíciója alapján50 Z τ n τ X 2 d [M ] M = M X 2 • [M ] n (∞) = M X 2 • [M τ n ] (∞) = 0 p = M X 2 • [M τ n ] (∞) = M X 2 • hM τ n i (∞) = Z τ n τ X 2 d hM i < ∞, = M X 2 • hM i n (∞) = M 0

amib˝ol az állítás már evidens. 2 3.38 Állítás. (Négyzetesen integrálható lokális martingálok jellemzése) Tegyük fel, hogy L ∈ L. A következ˝o állítások ekvivalensek: 2 1. L ∈ Hloc .

2. Van olyan el˝orejelezhet˝o, monoton növeked˝o, a nulla pontban nulla hLi módon jelölt folyamat, amelyre L2 − hLi ∈ L. 3. [L] ∈ A+ loc . 2

4. sups≤t |L (s)| ∈ A+ loc Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az állítások körkörösen következnek egymásból. 1. Az els˝ob˝ol a második állítás az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció definíciója szerint evidens. 2. A kvadratikus variáció definíciója szerint L2 − [L] ∈ L, így [L] − hLi ∈ L ∩ V ⊆ Aloc . A második feltétel szerint az L2 speciális szemimartingál, így51 hLi ∈ A+ loc , következésképpen [L] ∈ A+ . loc 2 3. Az L2 − [L] = L2 (0) + 2L− • L = 2L− • L ∈ L, [L] ∈ A+ loc miatt az U $ L speciális szemimartingál, amib˝ol 2

sup |L (s)| = sup |U | ∈ A+ loc . s≤t

s≤t

2

4. Ha (τ n )n az U (t) $ sups≤t |L (s)| lokalizációs sorozata, akkor 2 M Lτ n (t) ≤ M (U (τ n )) < ∞, 2 vagyis L ∈ Hloc .

A Burkholder—Davis–egyenl˝otlenséggel az el˝oz˝o állítás élesíthet˝o: 49 V.ö.:

13. tulajdonság, 199. oldal. (1.46) sor, 90. oldal. 51 V.ö.: 1.174. tétel, 125. oldal. 50 V.ö.:

2

3. ITÔFORMULA

250

3.39 Állítás. p/2 p Ha L ∈ L, p ≥ 1, akkor L ∈ Hloc pontosan akkor, ha [L] ∈ Aloc .

3.3.3. Kvadratikus ugrófolyamatok A sztochasztikus analízis nehézségeinek és szépségének egyik forrása, hogy léteznek nem folytonos lokális martingálok. 3.40 Definíció. Az M folyamatot tiszta kvadratikus ugrófolyamatnak mondjuk, ha [M ] =

X

2

(∆M ) .

(3.24)

3.41 Példa. Minden korlátos változású folyamat tiszta kvadratikus ugrófolyamat. Korlátos változású tényez˝o esetén érvényes a (3.22) összefüggés, amib˝ol a (3.24) teljesülése evidens. 2 3.42 Állítás. Minden tisztán nem folytonos lokális martingál tiszta kvadratikus ugrófolyamat. Bizonyítás: Meg kell mutatni, hogy teljesül a (3.24) azonosság. 1. Az egyenl˝oséget elegend˝o lesz M ∈ H2 esetén belátni, ugyanis az azonosság loka2 lizációval triviálisan átvihet˝o az M ∈ Hloc esetre, ha pedig M tisztán nem folytonos lokális martingál, akkor a lokális martingálok f˝otétele52 miatt M = M (0) + V + H, 2 ahol V ∈ V, H ∈ Hloc , és felhasználva, hogy minden korlátos változású folyamat kvadratikus ugrófolyamat, illetve a (3.22) sort [M ]

=

[H + V ] = [H] + 2 [H, V ] + [V ] = X X X 2 2 = (∆H) + 2 ∆H∆V + (∆V ) = X X 2 2 = (∆H + ∆V ) = (∆M ) ,

ami éppen a bizonyítandó egyenl˝oség. P 2 2. A (3.24) azonosság indoklásához elég belátni, hogy az M 2 − (∆M ) lokális martingál, ugyanis akkor, felhasználva, hogy az M 2 − [M ] szintén lokális martingál, az X 2 [M ] − (∆M ) (3.25) 2

is lokális martingál. A (3.19) alapján ∆ [M ] = (∆M ) , ezért a (3.25) folytonos lokális martingál. Ugyanakkor a (3.25) triviálisan korlátos változású, ugyanis két monoton növeked˝o folyamat különbsége, következésképpen Fisk–tétele53 miatt a kifejezés 52 V.ö.: 53 V.ö.:

1.171. tétel, 123. oldal, 1.155. tétel, 112. oldal. 1.121. tétel, 1.121. oldal.


251

konstans. A (3.25) a nulla id˝opontban nulla, ezért X 2 [M ] − (∆M ) ≡ 0. P 2 3. Tegyük fel tehát, hogy M ∈ H2 . Belátjuk, hogy az M 2 − (∆M ) martingál. Az M trajektóriáinak regularitása miatt az {∆M 6= 0} halmaz minden kimenetelre legfeljebb megszámlálható, és mivel egy adott ε > 0 számnál nagyobb ugrások nem torlódhatnak, ezért triviálisan lefedhet˝o megszámlálható megállási id˝o grafikonjának egyesítésével. A megállási id˝oket diszjunktizálva és külön véve az el˝orejelezhet˝o és a teljesen el˝orejelezhetetlen részeket54 a {∆M 6= 0} halmaz lefedhet˝o ∪n [σ n ] és ∪m [τ m ] halmazokkal, ahol minden n-re a σ n teljesen el˝orejelezhetetlen a τ m pedig minden m-re el˝orejelezhet˝o. A τ m el˝orejelezhet˝oségét felhasználva megmutatjuk, hogy az Nm $ ∆M (τ m ) χ ([τ m , ∞)) folyamat martingál. Az Nm trajektóriái triviálisan jobbról regulárisak. A ∆M progresszíven mérhet˝o, tehát a ∆M (τ m ) Fτ m -mérhet˝o, így az Nm adaptált. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore M (Nm (τ ))

= M (∆M (τ m ) χ (τ m < ∞, τ m ≤ τ )) = = M ((p ∆M ) (τ m ) χ (τ m < ∞, τ m ≤ τ )) = 0,

ugyanis egyrészt55 {τ m < ∞, τ m ≤ τ } = {τ m < ∞} ∩ {τ m ≤ τ } ∈ Fτ m − , másrészt56 , felhasználva hogy az M martingál p (∆M ) = 0. A Cn $ ∆M (σ n ) χ ([σ n , ∞)) nem feltétlenül martingál, de a trajektóriái korlátos változásúak és mivel M ∈ H2 , ezért Cn ∈ A. Jelölje Cnp a Cn el˝orejelezhet˝o kompenzátorát. Az el˝orejelezhet˝o kompenzátor 6. tulajdonsága szerint57 ∆ (Cnp ) =

p

(∆Cn ) =

p

(∆M (σ n ) χ ([σ n ])) .

A σ n teljesen el˝orejelezhetetlen, ezért ha τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, akkor a {τ = σ n } halmaz nullmérték˝u, tehát p

(∆M (σ n ) χ ([σ n ])) (τ )

következésképpen a ∆ (Cnp ) =

p

=

M (∆M (σ n ) χ ([σ n ]) (τ ) | Fτ − ) =

=

M (0 | Fτ − ) = 0,

(∆M (σ n ) χ ([σ n ])) nulla, vagyis az Un $ Cn − Cnp

kompenzált ugrásból álló martingál ugrásai megegyeznek a Cn ugrásaival. 54 V.ö.:

B.38. állítás, 400. oldal bizonyítása. 1.32. állítás, 22. oldal, B.14 állítás, 384 oldal. 56 V.ö.: 1.119. következmény, 82. oldal. 57 V.ö.: 93. oldal. 55 V.ö.:

3. ITÔFORMULA

252

4. Vegyük a Bn $ ∪nk=1 ([σ k ] ∪ [τ k ]) halmazokat és az Yn $

n X

(Uk + Nk )

k=1

folyamatokat. M ∈ H2 , így supt |M (t)| ∈ L2 (Ω) , tehát az Yn négyzetesen integrálható martingál, az Yn trajektóriái korlátos változásúak, valamint ∆Yn = (∆M ) χBn .Triviálisan X 2 [Yn − Ym ] (t) = (∆M ) (s) χBn \Bm . s≤t

Ezt felhasználva, valamint felhasználva, hogy ha X ∈ H2 , akkor X 2 − [X] ∈ M kYn − Ym kH2

$ kYn (∞) − Ym (∞)k2 = M ([Yn − Ym ] (∞)) ! X 2 = M (∆M ) (s) χBn \Bm . s

2

Az M ∈ H felhasználásával az [M ] definíciója alapján M ([M ]) < ∞. Az [M ] 2 monoton n˝o, ∆ [M ] = (∆M ) , ezért az X 2 (∆M (s)) ≤ [M ] (t) s≤t

miatt a

P

2

(∆M ) integrálható, következésképpen ha az n, m → ∞, akkor kYn − Ym kH2 → 0. H2

A H2 teljes, tehát létezik Y ∈ H2 , hogy Yn → Y. A H2 térben való konvergencia a trajektóriákra nézve egy részsorozatra egyenletes konvergencia, vagyis alkalmas részsorozatra ∆Ynk → ∆Y. A konstrukció alapján ∆Y = ∆M. Az Yn trajektóriái korlátos változásúak, tehát az Yn martingálok mindegyike tisztán nem folytonos. A tisztán nem folytonos martingálok a H2 térben zárt alteret alkotnak58 , ezért az Y tisztán nem folytonos. A ∆Y = ∆M miatt, felhasználva, hogy az M a feltétel szerint tisztán nem folytonos59 M = Y. 5. A kvadratikus variáció már belátott elemi tulajdonsága miatt az Yn2 −[Yn ] martingál, és ha n → ∞, akkor az Yn2 − [Yn ] határértéke X X 2 2 Y2− (∆M ) = M 2 − (∆M ) . 1 A konvergencia minden t id˝opontra LP -ben is teljesül60 , vagyis a feltételes várható 2 1 2 érték L -folytonossága miatt az M − (∆M ) martingál. 2 58 V.ö.:

1.168. állítás, 122. oldal. D.2. következmény, 441. oldal. P 60 Az Y 2 -re a H2 konvergencia miatt a (∆M )2 -re pedig a monoton konvergencia tétel miatt. n 59 V.ö.:


253

3.43 Példa. Poisson–folyamat struktúraegyenlete. A Lévy–féle karakterizációs tétel szerint az egydimenziós Wiener–folyamatok családja a lokális martingálok L halmazában egyértelm˝uen jellemezhet˝o az [X] (t) = t egyenlettel61 . Tekintsük a némiképpen bonyolultabb [X] (t) = t + cX (t) 2

egyenletet. A (3.19) sor alapján az X folyamat szakadásaira (∆X) = c∆X, vagyis ∆X = c. Az [X] korlátos változású, tehát az X is korlátos változású, tehát X ∈ V ∩L, így az X tisztán nem folytonos, így kvadratikus ugrófolyamat, Az ugrások nagysága konstans, így az [X] csak úgy lehet véges, ha minden véges szakaszon az ugrások száma véges. Két ugrás között a kvadratikus variáció növekménye nulla, így az ugrások között az X (t) lineáris függvény. Ha N jelöli az X ugrásait számláló folyamatot, ak 2 kor c2 N (t) = [X] (t) = t + cX (t) . Átrendezve az N (t) − 1/c t lokális martingál. 2 Ebb˝ol következ˝oen az N kompenzátora 1/c t, vagyis az N Poisson–folyamat62 , így az X kompenzált Poisson–folyamat. Ezt közvetlenül is igazolhatjuk. Az N számláló folyamat, így X exp (itN (u)) = [exp (itN (s)) − exp (itN (s−))] = s≤u

=

X

[exp (it (N (s−) + 1)) − exp (itN (s−))] =

s≤u

=

X

(exp (it) − 1) · exp (itN (s−)) · 1 =

s≤u

=

(exp (it) − 1)

X

exp (itN (s−)) [N (s) − N (s−)]

s≤u Z u

=

(exp (it) − 1)

exp (itN (s−)) dN (s) . 0

A két oldalon várható értéket véve, a kompenzátor63 definíciója szerint Z u ϕu (t) $ M (exp (itN (u))) = (exp (it) − 1) M exp (itN (s−)) dN (s) = 0 Z u = (exp (it) − 1) M exp (itN (s−)) dN p (s) = 0 Z u 1 exp (itN (s−)) ds = = (exp (it) − 1) 2 M c Z0 u 1 = (exp (it) − 1) 2 M exp (itN (s)) ds = c 0 Z 1 u = (exp (it) − 1) 2 ϕ (t) ds. c 0 s 61 V.ö.:

3.34. példa, 246. oldal. 1.150. állítás, 108. oldal. 63 V.ö.: (1.46) sor, 90. oldal. 62 V.ö.:

3. ITÔFORMULA

254

A két oldalt deriválva a ϕ0 = aϕ differenciálegyenlethez jutunk, ahol a $ (exp (it) − 1) /c2 . Az egyenlet megoldása 1 ϕu (t) = exp 2 (exp (it) − 1) u , c amely alapján az N (u) u/c2 paraméter˝u Poisson–eloszlású változó64 . 2 3.44 Példa. Lokálisan korlátos, korlátos változású folyamatok lokális martingál részének el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja65 . Ha N ∈ Aloc , akkor az N p definíciója szerint az L $ N − N p lokális martingál. Az N p el˝orejelezhet˝o és jobbról folytonos, tehát lokálisan korlátos, így ha az N lokálisan 2 korlátos, akkor L ∈ Hloc . Az L korlátos változású, tehát tisztán nem folytonos lokális martingál66 , így X X X X 2 2 2 [L] = (∆L) = (∆N ) − 2 ∆N ∆N p + (∆N p ) = Z Z = [N ] − 2 ∆N p dN + ∆N p dN p . p

Az hLi = [L] képlet miatt67 Z p + ∆N p dN p = Z Z p = [N ] − 2 ∆N p dN p + ∆N p dN pp = Z X p P 2 = [N ] − ∆N p dN p = [N ] − (∆N p ) =

hLi =

=

p

Z

[N ] − 2

∆N p dN

p

p

[N ] − [N p ] . 2

3.45 Példa. Összetett Poisson–folyamat lokális martingál részének el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációja68 . Legyen X összetett Poisson–folyamat. Miként láttuk69 ha az X ugrásainak van M véges várható értéke és λ jelöli az ugrások s˝ur˝uségét, akkor X ∈ Aloc és X p (t) = λM t. Az L = X − X p folyamat korlátos változású, tehát X X 2 2 [L] = (∆L) = (∆X) . 64 V.ö.: 65 V.ö.: 66 V.ö.: 67 V.ö.: 68 V.ö.: 69 V.ö.:

[20], 10.17. példa, 424. oldal. 2.86. példa, 193. oldal. 1.162. tétel, 117. oldal. (2.40) sor, 193. oldal. 2.87. példa, 194. oldal. 1.134. példa, 92. oldal.


255

2 Az L ∈ Hloc pontosan akkor teljesül, ha [L] ∈ A+ el˝orejeloc , amelyaz X ugrásainak 2 70 lezhetetlensége miatt pontosan akkor teljesül, ha D $ M (∆X) < ∞. Az el˝oz˝o példa gondolatmenetét megismételve p

p

hLi = [X] − [X p ] = [X] . p

Az [X] szintén összetett Poisson–folyamat, így hLi = [X] = λDt. 2 3.46 Állítás. (Szemimartingálok kvadratikus variációjának felbontása) Tetsz˝oleges X szemimartingál esetén X X 2 2 [X] = [X c ] + (∆X) = hX c i + (∆X) , illetve általánosabban, ha X és Y szemimartingálok, akkor X X [X, Y ] = [X c , Y c ] + ∆X∆Y = hX c , Y c i + ∆X∆Y.

(3.26)

Bizonyítás: Emlékeztetünk71 , hogy minden X szemimartingál felbontható X = X (0) + X c + L + V 2 módon, ahol az X c folytonos lokális martingál, V ∈ V és az L ∈ Hloc tisztán nem folytonos. Elemi megfontolásokkal

[X]

=

[X c ] + [V ] + [L] + +2 [X c , L] + 2 [X c , V ] + 2 [L, V ] .

2 Az X c folytonos, a V korlátos változású, tehát [X c , V ] = 0. Az L ∈ Hloc tisztán nem c 2 folytonos, az X ∈ Hloc folytonos lokális martingál, tehát definíció szerint mer˝olegesek egymásra, következésképpen hX c , Li = 0. p

[X c , L] = [X c , L] − hX c , Li = [X c , L] − [X c , L] ∈ L ∩ V. Az [X c , L] kifejezés folytonos, ugyanis a (3.20) szerint ∆ [X c , L] = ∆X c ∆L = 0, így Fisk–tétele szerint [X c , L] = 0. Ebb˝ol következ˝oen [X] = [X c ] + [V ] + [L] + 2 [L, V ] . Minden korlátos változású folyamat tiszta kvadratikus ugrófolyamat, tehát X 2 [V ] = (∆V ) , az L definíció szerint tisztán nem folytonos, lokális martingál, tehát szintén tiszta kvadratikus ugrófolyamat, vagyis X 2 [L] = (∆L) . 70 V.ö.: 71 V.ö.:

1.134. példa, 92. oldal. 1.172. tétel, 124. oldal, 1.155. tétel, 112. oldal.

3. ITÔFORMULA

256

Ugyanakkor a V korlátos változású, és ilyenkor a (3.22) miatt X [L, V ] = ∆L∆V, amib˝ol [V ] + [L] + 2 [L, V ] =

X

2

(∆L + ∆V ) =

X

2

(∆X) . 2

3.3.4. Sztochasztikus integrálok kvadratikus variációja Az alpont végéig tartó gondolatmenet célja a következ˝o tétel igazolása: 3.47 Tétel. (Felcserélési szabály) Ha U el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, X és W szemimartingálok, akkor [U • X, W ] = U • [X, W ] .

(3.27)

Speciálisan, ha W = V • Y, ahol Y szemimartingál és V el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, akkor [U • X, V • Y ] = U • [X, V • Y ] = U • (V • [X, Y ]) = U V • [X, Y ] , következésképpen, ha Z el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, akkor [Z • X] = Z 2 • [X] . Emlékeztetünk, hogy az el˝orejelezhet˝o kvadratikus variációra vonatkozó analóg hU • X, V • Y i = U V • hX, Y i egyenl˝oség, az integrál konstrukciója miatt, lényegében definíció szerint teljesül. Ugyan2 , U ∈ L2loc (X) , V ∈ L2loc (Y ) feltéteakkor a szabály teljesülésekor a X, Y ∈ Hloc lekkel kell élni. Bizonyítás: Csak a (3.27) azonosságot kell indokolni. A tétel többi állítása a trajektóriánként való integrálás szabályai miatt evidens. A (3.26) szerint X c [Z • X, Y ] = h(Z • X) , Y c i + ∆ (Z • X) ∆Y. Emlékeztetünk, hogy ∆ (Z • X) = Z∆X, vagyis a második tag X Z∆X∆Y = Z • X d , Y d . Ha az els˝o tagban Z • X c szerepelne, akkor hZ • X c , Y c i = Z • hX c , Y c i , és a két sort összeadva éppen a (3.27) azonosságot kapjuk. A következ˝o önmagában is érdekes állítás bizonyításával a (3.27) felcserélési szabály igazolását befejeztük. 2


257

3.48 Állítás. Ha Z el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat és L lokális martingál, akkor c

(Z • X) = Z • X c ,

d

(Z • X) = Z • X d .

Bizonyítás: A Z • X c + Z • X d felbontásban az els˝o tag folytonos. Ha megmutatjuk, hogy a második tag tisztán nem folytonos, akkor a felbontás egyértelm˝usége miatt 2 teljesül az állítás. X d $ V + H, ahol a V korlátos változású H ∈ Hloc .AZ•V korlátos változású, tehát tisztán nem folytonos. A Z lokálisan korlátos, tehát Z ∈ L2loc (H) . Ha Y folytonos lokális martingál, akkor hZ • H, Y i = Z • hH, Y i = 0, vagyis a Z • H mer˝oleges az Y -ra tehát tisztán nem folytonos. 2 3.49 Következmény. Ha X lokális martingál, U el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, akkor U • X az egyetlen olyan eleme az L-nek amelyre tetsz˝oleges W ∈ L esetén teljesül a (3.27). Bizonyítás: Miként láttuk72 a feltételek teljesülésekor U • X ∈ L és a felcserélési szabály szerint teljesül rá a (3.27) szabály. Megfordítva, ha Z ∈ L és minden W ∈ L esetén [Z, W ] = U • [X, W ] = [U • X, W ] , akkor [Z − U • X, W ] = 0, amib˝ol ha W $ Z − U • X, akkor [Z − U • X] = 0. Ha Y $ Z − U • X, akkor a szemimartingálok kvadratikus variációjának felbontására vonatkozó állítás73 szerint az Y folyamatnak nincsenek ugrásai. Így az Y folytonos lokális martingálra [Y ] = 0, amib˝ol74 Y = 0. 2

3.3.5. Itô–formula igazolása Megjegyezzük, hogy a (3.15) formulában szerepl˝o kifejezések mindegyike értelmes. Vegyük észre, hogy az els˝o és a második tagban nem X hanem X− szerepel, amely kifejezés lokálisan korlátos. Lokálisan korlátos folyamat folytonos függvénnyel vett transzformációja lokálisan korlátos marad, így a képletben szerepl˝o integrál létezik. Az ugrásokból álló harmadik tag létezése következik abból, hogy a szemimartingálok trajektóriáinak nincsen másodfajú szakadása, így minden trajektóriára a szakadási pontok száma megszámlálható. 1. A folytonos esetben követett bizonyításnak megfelel˝oen az egyenl˝oséget el˝oször polinomokra igazoljuk. Ha F konstans, akkor az els˝o és a második derivált nulla, a harmadik tag pedig triviálisan nulla, ami pedig azonos a bal oldallal, amely konstans 72 V.ö:

2.93. tétel, 202. oldal. 3.46. állítás, 255. oldal. Természetesen el˝orehivatkozásról van szó. De ez nem gond, ugyanis a tételt sem igazoltuk és az állítás igazolása része a tétel bizonyításának. 74 V.ö.: 2.41. állítás, 163. oldal. 73 V.ö.:

3. ITÔFORMULA

258

F esetén szintén nulla. Ha az F -re teljesül a formula, akkor az F (X) szemimartingál. Elég az állítást egyváltozós polinomokra igazolni, vagyis elég belátni, hogy Xl F (X) esetén a formula teljesül, ahol a Xl a X koordinátáinak valamelyike. A parciális integrálás formulája, illetve az asszociativitási szabály alapján, felhasználva, hogy az F (X) az indukciós feltétel szerint szemimartingál, valamint hogy szemimartingálok szorzata szintén szemimartingál75 a G (X) $ Xl F (X) szemimartingálra G (X)

G (X (0)) + Xl− • F (X) + F (X− ) • Xl + [Xl , F (X)] = (3.28) n P ∂F (X− ) • Xk + Xl− G (X (0)) + ∂xk k=1 1P ∂ 2 F (X− ) c c + Xl− • Xi , Xj + 2 i,j ∂xi ∂xj n ∂F (X ) P P − ∆Xk (s) + + Xl (s−) F (X (s)) − F (X (s−)) − ∂xk s≤t k=1

= =

+F (X− ) • Xl + [Xl , F (X)] . Számoljuk ki a [Xl , F (X)] kvadratikus variációt! Az F -et megadó formulában szerepl˝o második és harmadik tag korlátos változású, ezért a korlátos változású tényez˝ot tartalmazó kvadratikus variáció képlete, illetve a sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjára vonatkozó szabály alapján [Xl , F (X)]

=

n ∂F P (X− ) • [Xi , Xl ] + i=1 ∂xi X n ∂F P + ∆Xl F (X (s)) − F (X (s−)) − (X− ) ∆Xi (s) . i=1 ∂xi s≤t

Vegyük észre, hogy az Xic , Xjc szerinti tagot elhagytuk, ugyanis a kifejezés folytonos és korlátos változású76 , és a kvadratikus variáció ilyenkor nulla. A kvadratikus variáció (3.26) képletét a [Xi , Xl ]-re felírva [Xl , F (X)]

=

n X ∂F (X− ) • hXic , Xlc i + ∂x i i=1 X + ∆Xl (s) [F (X (s)) − F (X (s−))] . s≤t

A második tagban a szumma mögötti kifejezés G (X (s)) − ∆Xl F (X (s−)) − Xl (s−) F (X (s)) , amihez az az indukciós feltételb˝ol származó Xl (s−) F (X (s)) − G (X (s−)) −

n X

Xl (s−)

k=1 75 Ez

következik a parciális integrálás formulájából. súlyfüggvény által vett trajektóriánkénti integrál.

76 Folytonos

∂F (X (s−)) ∆Xk (s) ∂xk

(3.29)


259

összeget hozzáadva a szorzat függvény deriválási szabályát felhasználva G (X (s)) − G (X (s−)) −

n X ∂G (X (s−)) ∆Xk (s) ∂xk

k=1

korrekciós taghoz jutunk. A többi tag kiszámolása megegyezik a folytonos esetben bemutatottal. 2. A bizonyítás további része nagyrészt szintén megegyezik a folytonos szemimartingálokra bemutatott bizonyítás befejezésével. Az egyetlen eltérés, hogy a nem folytonos esetben megjelen˝o harmadik kifejezés konvergenciáját is indokolni kell. A harmadik tag felírható Z

t

F (X (s)) − F (X (s−)) − 0

n X ∂F (X (s−)) ∆Xk (s) dµ (s) ∂xk

k=1

módon ahol a µ a számegyenesen a számláló mérték. A Taylor-formula alapján, felhasználva, hogy az F kétszer folytonosan deriválható és a lokalizáció miatt az X értékkészlete kompakt n X ∂F 2 (X (s−)) ∆Xk (s) ≤ K k∆Xk k2 . F (X (s)) − F (X (s−)) − ∂xk k=1

A K konstans a második derivált egyenletesen való közelítése miatt választható univerzálisnak. Ugyanakkor Z 0

t

2

k∆Xk k2 dµ =

X

2

k∆Xk (s)k2 ≤

s≤t

n X

[Xk ] (t) < ∞,

k=1

következésképpen a harmadik tagra szintén alkalmazható a majorált konvergencia tétele. 2 3.50 Példa. Itô–formula korlátos változású folyamatokra. Legyen F folytonosan deriválható függvény. Tegyük fel el˝oször, hogy az X korlátos változású, folytonos folyamat, Ekkor az Itô–formula a Newton—Leibniz–szabályra emlékeztet˝o Z t

F 0 (X) dX

F (X (t)) − F (X (0)) = 0

alakot ölti. Ez, miként korábban már többször láttuk77 , a klasszikus Newton—Leibniz– (n) formula mintájára elemi úton igazolható. A [0, t] tetsz˝oleges tk felbontása esetén n

77 V.ö.:

1.154. lemma, 111. oldal.

3. ITÔFORMULA

260

a középérték–tétel és a Bolzano–tétel miatt i X h (n) (n) F X tk − F X tk−1 = F (X (t)) − F (X (0)) = k

=

X

=

X

h i (n) (n) (n) F 0 ξk X tk − X tk−1 =

k

h i (n) (n) (n) X tk − X tk−1 , F0 X τk

k (n)

h

(n)

(n)

i

ahol τ k ∈ tk−1 , tk . Az F 0 (X (s)) az F 0 és az X feltételezett folytonossága miatt az X szerint Stieltjes–integrálható, így ha a felbontás finomsága az n növekedésével nullához tart, akkor jobb oldali kifejezés határértéke Z t F 0 (X (s)) dX (s) . 0

Második lépésként tegyük fel, hogy az X jobbról reguláris korlátos változású tiszta ugró folyamat. Mivel Z t X F 0 (X− ) dX = F 0 (X− ) ∆X, 0

0<s≤t

ezért ilyenkor a formula az F (X (t)) − F (X (0)) =

X

[F (X (t)) − F (X (t−))]

(3.30)

0<s≤t

kifejezésre redukálódik. A formula ilyenkor is elemi úton igazolható. Ha az X ugrásai egy adott ε > 0 számnál nagyobbak, akkor csak véges számú ugrás van a [0, t] szakaszon, és mivel ilyenkor az egyes ugrások közötti szakaszokon az X konstans, ezért valamely jobb oldali határérték éppen a következ˝o ugráshoz tartozó bal oldali határérték, ezért a (3.22) összeg valójában egy egyszer˝u teleszkópikus összeg, így az egyenl˝oség teljesül. Tetsz˝oleges X esetén ha X (ε) jelöli az ε-nál nagyobb abszolút érték˝u ugrásokból álló folyamatot, akkor az egyenl˝oség teljesül, ha az X helyébe az X (ε) -t írjuk. Ha ε & 0, akkor X (ε) → X, és a bal oldal az F folytonossága miatt az F (X (t)) − F (X (0)) értékhez tart. Az X-r˝ol feltettük, hogy korlátos változású, ami azt jelenti, hogy a számegyenesen értelmezett ν számláló mértékre nézve a ∆X folyamat integrálható. Ha az F folytonosan deriválható, akkor például a „kis ugrásokat” tartalmazó [−1, 1] véges szakaszon |F (x) − F (y)| ≤ K |x − y|, és ha az X véges számú „nagy ugrását” elhagyjuk, akkor X X |F (X (s)) − F (X (s−))| ≤ K |∆X (s)| < ∞, 0<s≤t

0<s≤t

így az F (∆X) szintén integrálható a számláló mérték szerint, vagyis a majorált konvergencia tétel miatt a jobb oldal határértéke X [F (X (s)) − F (X (s−))] . 0<s≤t

3.4. EXPONENCIÁLIS SZEMIMARTINGÁLOK

261

Tegyük fel, hogy X tetsz˝oleges korlátos változású folyamat. Ekkor X = X c + X d , ahol az X c folytonos, az X d ugró folyamat. Ilyenkor a formula az F (X (t)) − F (X (0)) = Z t F 0 (X− ) dX + 0 P + [F (X (s)) − F (X (s−)) − F 0 (X (s−)) ∆X (s)]

=

0<s≤t

alakot ölti.

t

Z

X

F 0 (X− ) dX d =

0

F 0 (X (s−)) ∆X (s) ,

0<s≤t

így a formula az Z F (X (t)) − F (X (0)) =

t

F 0 (X− ) dX c +

0

X

[F (X (s)) − F (X (s−))]

0<s≤t

kifejezéssé redukálódik. A kiszámítandó integrálok természetét jól mutatja a következ˝o egyszer˝u számpélda: Ha t ha t < 1 X (t) $ , t + 1 ha t ≥ 1 akkor tetsz˝oleges n-re n

3

n

Z

n

= X (2) − X (0) = n

2

X n−1 (s−) ds + 2n − 1n =

0

Z

1

= n =

0 n 1 [s ]0

sn−1 ds + n

Z

2

(s + 1)

n−1

ds + 2n − 1 =

1 n 2

+ [(s + 1) ]1 + 2n − 1 = 3n 2

3.4. Exponenciális szemimartingálok Az általános Itô–formula els˝o alkalmazásaként megvizsgáljuk az exponenciális szemimartingálokat. Legyen Z tetsz˝oleges komplex érték˝u szemimartingál, vagyis Z $ X + iY, ahol X és Y valós érték˝u szemimartingálok. Tekintsük az E = 1 + E− • Z sztochasztikus integrálegyenlet megoldásait. 3.51 Definíció. A (3.31) egyenletet Doléans–egyenletnek szokás nevezni.

(3.31)

3. ITÔFORMULA

262

Az egyenlet legegyszer˝ubb alakja az Z t Z t E (s) ds, E (s−) ds = 1 + E (t) = 1 + 0

0

amely a valós függvények körében karakterizálja az E (t) = exp (t) függvényt, így ésszer˝u a következ˝o definíció: 3.52 Definíció. A (3.31) egyenlet megoldását a Z folyamathoz tartozó exponenciális szemimartingálnak mondjuk és E (Z) módon jelöljük. 3.53 Állítás. (Yor–formula) Ha X és Y tetsz˝oleges szemimartingálok, akkor E (X) E (Y ) = E (X + Y + [X, Y ]) . Bizonyítás: A sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjára vonatkozó tétel szerint [E (X) , E (Y )] $ 1 + E (X)− • X, 1 + E (Y )− • Y = = E (X)− E (Y )− • [X, Y ] . A parciális integrálás formulája alapján E (X) E (Y ) − 1

=

E (X)− • E (Y ) + E (Y )− • E (X) + [E (X) , E (Y )] =

=

E (X)− E (Y )− • (Y + X + [X, Y ]) ,

amib˝ol a Yor–formula a E operáció definíciója alapján evidens. 2 A definícióban, illetve a Yor–formula igazolása során implicite felhasználtuk a következ˝o tételt: 3.54 Tétel. (A Doléans–egyenlet megoldása) Legyen Z $ X + iY tetsz˝oleges komplex szemimartingál. Létezik, mégpedig a megkülönböztethetetlenség erejéig egyetlen olyan jobbról reguláris adaptált E $ E (Z) folyamat, amely kielégíti a (3.31) egyenletet. A megoldás explicit módon megadható78 : 1 c 1 c c c E (Z) = exp Z − Z (0) − hX i + hY i − i hX , Y i × 2 2 Y × (1 + ∆Z) exp (−∆Z) , ahol a szorzás abszolút konvergens. Az E (Z)-re teljesülnek a következ˝oek: 1. Az E (Z) szemimartingál. 78 Az egyszer˝ uség kedvéért az id˝o jelölését elhagytuk. Az E (Z) (t) kiszámolásakor szorzás értelemszer˝uen az összes s ≤ t értékekre értend˝o.


263

2. Ha Z korlátos változású, akkor az E (Z) is korlátos változású. 3. Ha Z lokális martingál, akkor az E (Z) is lokális martingál. 4. Ha τ $ inf {t : ∆Z = −1} , akkor E (Z) 6= 0 a [0, τ ) szakaszon, E (Z)− 6= 0 a [0, τ ] szakaszon és a [τ , ∞) szakaszon E (Z) = 0. Bizonyítás: A tétel bizonyítása az Itô-formulára épül˝o közvetlen számolásokból áll. Az egyedüli nehézség a Z komplex voltából ered, ugyanis külön kell a valós és külön az imaginárius részt kezelni, és ez a formulákat némiképpen elbonyolítja. 1. A szemimartingálok kvadratikus variációja véges, így tetsz˝oleges t-re a X 2 |∆Z (s)| s≤t

összeg konvergens. Ebb˝ol következ˝oen a [0, t] szakaszon csak véges sok olyan id˝opont van, amikor |∆Z| > 1/2. Ha |u| ≤ 1/2, akkor 2

|ln (1 + u) − u| ≤ C |u| , így ln

Y

|1 + ∆Z| |exp (−∆Z)|

=

X

≤

X

(ln (|1 + ∆Z|) − |∆Z|) ≤

|ln (1 + |∆Z|) − |∆Z|| ≤ X 2 ≤ C |∆Z| < ∞,

tehát, miként állítottuk, az exponenciális szemimartingál képletében szerepl˝o Y V (t) $ (1 + ∆Z (s)) exp (−∆Z (s)) s≤t

szorzat abszolút konvergens. A szorzatban a komplex és a valós részt szétválasztva és szorzat logaritmusát véve azonnal belátható, hogy a V adaptált jobbról reguláris és minden véges szakaszon korlátos változású. A szorzás definíciója szerint V (0) $ 1. 2. Jelölje U az exponenciális szemimartingál kitev˝ojében szerepl˝o kifejezést. E

$ E (Z) $ V exp (U ) = exp (Re U + i Im U ) (Re V + i Im V ) $ $ f (Re U, Im U, Re V, Im V ) .

A Re U, Im U, Re V, Im V folyamatok triviálisan szemimartingálok. Az Itô–formula alapján, felhasználva, hogy E (0) = 1, illetve, hogy a V korlátos változású ezért tisztán nem folytonos, így V c = 0, következésképpen az hU c , V c i típusú keresztvariációk nullák E= =

1 + E− • Re U + iE− • Im U + exp (U− ) • Re V + i exp (U− ) • Im V + 1 1 + E− • hRe U c i − E− • hIm U c i + iE− • hRe U c , Im U c i + 2X 2 + (∆E − E− (∆ Re U + ∆ Im U ) − exp (U− ) (∆ Re V + ∆ Im V )) .

3. ITÔFORMULA

264

A V tiszta ugrófüggvény, így A$ $ exp (U− ) • Re V + i exp (U− ) • Im V = exp (U− ) • V =

X

exp (U− ) ∆V.

Az U definíciója miatt hRe U c i = hRe Z c i és hIm U c i = hIm Z c i , így az E− integrátora B$ 1 hRe U c i − 2 1 Re U + i Im U + hRe Z c i − 2

$ Re U + i Im U + =

1 hIm U c i + i hRe U c , Im U c i = 2 1 hIm Z c i + i hRe Z c , Im Z c i = Z − Z (0) . 2

Ugyanakkor mivel ∆U = ∆Z C$ $ ∆E $ E − E− $ exp (U ) V − exp (U− ) V− = =

exp (U− + ∆U ) V− (1 + ∆Z) exp (−∆Z) − exp (U− ) V− =

=

exp (U− + ∆U ) exp (−∆U ) V− (1 + ∆U ) − exp (U− ) V− =

=

exp (U− ) V− ∆U = E− ∆U.

Az A, B és kifejezéseket az E képletébe visszahelyettesítve E

1 + E− • B + A +

X

=

(C − E− ∆U − exp (U− ) ∆V ) = X 1 + E− • (Z − Z (0)) + 0=

=

1 + E− • (Z − Z (0)) = 1 + E− • Z,

=

vagyis az E kielégíti az egyenletet. 3. Meg kell mutatni, hogy a megoldás egyértelm˝u. Legyen az E mellett az Y is megoldása az egyenletnek. A sztochasztikus integrálok szemimartingálok, ezért az Y szemimartingál. A H $ Y exp (−U ) az Itô–formula miatt szintén szemimartingál. Az exp (−x − iy) (u + iv) függvényre alkalmazva az Itô–formulát H= =

1 − H− • Re U − iH− • Im U + exp (U− ) • Re Y + i exp (U− ) • Im Y + 1 1 + H− • hRe U c i − H− • hIm U c i + iH− • hRe U c , Im U c i − 2 2 − exp (−U− ) • hRe U c , Re Y c i − i exp (−U− ) • hRe U c , Im Y c i − −i exp (−U− ) • hIm U c , Re Y c i + exp (−U− ) • hIm U c , Im Y c i + X + (∆H − H− (∆ Re U + i∆ Im U ) − exp (U− ) (∆ Re Y + i∆ Im Y )) .


265

A sztochasztikus integrálok polaritási formulája és az U definíciója szerint79 c

hRe U c , Re Y c i = hRe U c , (1 + Re Y− • Re Z − Im Y− • Im Z) i = = hRe U c , 1 + Re Y− • Re Z c − Im Y− • Im Z c i = =

Re Y− • hRe U c , Re Z c i − Im Y− • hRe U c , Im Z c i =

=

Re Y− • hRe U c , Re U c i − Im Y− • hRe U c , Im U c i .

Hasonlóan hRe U c , Im Y c i =

Re Y− • hRe U c , Im U c i + Im Y− • hRe U c , Re U c i

hIm U c , Re Y c i =

Re Y− • hIm U c , Re U c i − Im Y− • hIm U c , Im U c i

hIm U c , Im Y c i =

Re Y− • hIm U c , Im U c i + Im Y− • hIm U c , Re U c i

és így a − exp (−U− ) integrátora D$ $

hRe U c , Re Y c i + i hRe U c , Im Y c i + i hIm U c , Re Y c i − hIm U c , Im Y c i =

=

Y− • (hRe U c , Re U c i − hIm U c , Im U c i + 2i hRe U c , Im U c i) ,

következésképpen exp (−U− ) • D

= H− • (hRe U c i − hIm U c i + 2i hRe U c , Im U c i) . $ $ H− • K

Visszahelyettesítve H

=

1 1 − H− • U + exp (−U− ) • Y − H− • K + 2 X + (∆H − H− ∆U − exp (U− ) ∆Y ) .

Az U + (1/2) K = Z − Z0 azonosság felhasználásával 1 H− • U + K = H− • Z 2 Ugyanakkor exp (−U− ) • Y

tehát H =1+

X

=

exp (−U− ) • (1 + Y− • X) =

=

exp (−U− ) Y− • X = H− • X,

(∆H − H− ∆U − exp (U− ) ∆Y ) .

Az Y megoldása a (3.31) egyenletnek, így ∆Y = Y− ∆Z = Y− ∆U 79 V.ö.:


(3.32)

3. ITÔFORMULA

266

amely felhasználásával H

= = =

1+

X

(∆H − H− ∆U − exp (U− ) Y− ∆U ) =

1+

X

(∆H − H− ∆U − H− ∆U ) =

1+

X

∆H.

Ugyanakkor ismételten a (3.32) alapján ∆H

$ H − H− $ Y exp (−U ) − H− = =

exp (−U− − ∆U ) (Y− + ∆Y ) − H− =

=

exp (−U− − ∆U ) Y− (1 + ∆Z) − H− =

=

exp (U− ) Y− exp (−∆U ) (1 + ∆Z) − H− =

= H− (exp (−∆Z) (1 + ∆Z) − 1) következésképpen H = 1 + H− • R,

(3.33)

ahol R$

X

(exp (−∆Z) (1 + ∆Z) − 1) .

Az R komplex érték˝u korlátos változású folyamat, ugyanis C konstansra ha |z| ≤ 1/2, akkor

P

2

(∆Z) < ∞ és alkalmas

|exp (−x) (1 + x) − 1| ≤ Cx2 . 3. Az E (Z) megoldása az egyenletnek, így az elmondottak miatt a V = E (Z) exp (−U ) folyamatra V = 1 + V− • R.

(3.34)

Ha G $ H − V, akkor a (3.33) és (3.34) egyenleteket egymásból kivonva G = G− • R. Az R jobbról reguláris és korlátos változású, ezért miként korábban beláttuk80 G ≡ 0, tehát H = V. Így Y $ H exp (U ) = V exp (U ) = E (Z) , tehát az E (Z) az egyenlet egyedüli megoldása. 4. Az E (Z) az Itô–formula miatt triviálisan szemimartingál, és a (3.31) és a sztochasztikus integrálok alaptulajdonságai miatt ha a Z lokális martingál, akkor az E (Z) is lokális martingál, ha pedig a Z korlátos változású, akkor az E (Z) is az. Az E (Z)-re megadott formula alapján a tétel több része evidens. 2 80 V.ö.:

1.151. lemma, 111. oldal.


267

3.55 Példa. Az N általánosított Poisson–folyamat növekményeinek karakterisztikus függvénye M (exp (it (N (u) − N (v)))) = c

c

exp ((exp (it) − 1) ((N p (u)) − (N p (v)) )) ×   Y × (1 + (exp (it) − 1) ∆N p (r)) ,

=

u
ahol (N p ) értelemszer˝uen az N p kompenzátor folytonos része. Emlékeztetünk, hogy U (u) $ M (exp (it (N (u) − N (v))) | Fv ) függvény folyamatra teljesül a Z U (u) = 1 + (exp (it) − 1)

u

U (s−) dN p (s)

v

exponenciális egyenlet81 . A két oldal várható értékét véve és felhasználva, hogy az N p determinisztikus tehát használható a Fubini–tétel a Z u ϕ (u) = 1 + ϕ (s−) d ((exp (it) − 1) N p (s)) v

Doléans–egyenletet kapjuk. Az egyenlet megoldása ϕ (u)

=

E (N p ) (u) = exp ((exp (it) − 1) N p ) × Q × (1 + ∆ ((exp (it) − 1) N p (r))) exp (−∆ ((exp (it) − 1) N p (r))) ,

amit elemi módon átalakítva éppen a keresett képletet kapjuk. 2 3.56 Példa. Az u id˝opontban az N általánosított Poisson–folyamat pontosan akkor ugrik pozitív valószín˝uséggel, ha az u id˝opontban az N p kompenzátor nem folytonos. Ha az N karakterisztikus függvényének képletében v % u, akkor M (exp (it∆N (u))) = 1 + (exp (it) − 1) ∆N p (u) , és a bal oldal pontosan akkor azonosan egy ha a jobb oldalon ∆N p = 0. 2 81 V.ö.:

(1.61) sor, 110. oldal.

3. ITÔFORMULA

268

3.5. Itô–formula konvex függvényekre Ebben a pontban az Itô–formula általánosításait tárgyaljuk. Az Itô–formula komoly hiányossága, hogy csak elegend˝oen sima függvényekkel alkalmazható. A leggyakrabban használt függvények közül például az |x| és az x± nem deriválható, így az Itô–formula szerint nem tudjuk például, hogy a szemimartingálok abszolút értéke vajon szemimartingál lesz vagy sem. Miként látni fogjuk igen, és a kulcs tulajdonság az |x| függvény konvexitása.

3.5.1. Lokális id˝o definíciója Ebben az alpontban megmutatjuk, hogy a C 2 függvények mellett a konvex függvénnyel való transzformáció sem vezet ki a szemimartingálok köréb˝ol. A bizonyítás során szükségünk lesz a következ˝o elemi, de igen fontos állításra: 3.57 Tétel. (Newton—Leibniz-szabály konvex függvényekre) Legyen F az [a, b] véges, vagy végtelen intervallumon értelmezett, folytonos, konvex függvény. Ha F+0 , illetve F−0 jelöli az F jobb, illetve bal oldali deriváltjaiból álló függvényt, akkor Z

b

F+0 (x) dx =

a

Z

b

F−0 (x) dx = F (b) − F (a) .

(3.35)

a

Bizonyítás: Az F konvexitása miatt tetsz˝oleges x ∈ (a, b) pontra82 a h 7→

F (x + h) − F (x) h

(3.36)

különbségi hányadosok a h = 0 környezetében értelmesek és monoton növeked˝oek, így az F±0 (x) deriváltak léteznek és monoton n˝onek, így Riemann–integrálhatóak, ugyanis tetsz˝oleges monoton f függvényre az alsó és fels˝o közelít˝o összegek különbsége legfeljebb |f (b) − f (a)| · maxn (xn − xn−1 ). Legyen (xn )n az [a, b] tetsz˝oleges felosztása. Az (3.36) monoton növekedése miatt F (xn ) − F (xn−1 ) = xn − xn−1 F (xn−1 ) − F (xn ) ≤ F−0 (xn ) ≤ F+0 (xn ) . xn−1 − xn

F−0 (xn−1 ) ≤ F+0 (xn−1 ) ≤ =

Az egyenl˝otlenség két oldalát az xn −xn−1 pozitív számmal beszorozva, majd n szerint 82 Az F folytonosságát itt használjuk ki, ugyanis csak az (a, b) nyílt intervallum pontjaiban értelmezhetjük a jobb és bal oldali deriváltakat, pontosabban az alábbi gondolatmenetet csak az (a, b) kompakt szakaszain hajthatjuk végre, majd az F feltételezett folytonossága miatt vehetünk határértéket. Ha véges intervallumon a folytonosság feltételét elhagyjuk, akkor az integrál értéke F (b−)−F (a+) , ugyanis a konvex függvények az értelmezési tartományuk belsejében folytonosak, de az értelmezési tartományuk határán rendelkezhetnek szakadással.

3.5. ITÔFORMULA KONVEX FÜGGVÉNYEKRE

269

összegezve X

F±0 (xn−1 ) (xn − xn−1 ) ≤

F (b) − F (a) ≤

n

X

≤

F±0 (xn ) (xn − xn−1 ) .

n

A bal oldali kifejezés éppen a felosztáshoz tartozó alsó, a jobb oldali kifejezés pedig a fels˝o közelít˝o összeg, így az integrál létezése miatt teljesül az (3.35) egyenl˝oség. Végtelen integrációs tartomány esetén a formula határértékkel kapható83 . 2 3.58 Tétel. Ha F : R → R konvex függvény, X szemimartingál, akkor az F (X) folyamat szintén szemimartingál, és érvényes az Z t F (X (t)) − F (X (0)) = F 0 (X (s−)) dX (s) + A (t) (3.37) 0

ahol F 0 az F konvex függvény bal oldali deriváltja84 , A ∈ V + , vagyis az A jobbról folytonos, monoton növeked˝o, adaptált folyamat. Az A ugrásaira érvényes a ∆A = F (X) − F (X− ) − F 0 (X− ) ∆X egyenl˝oség. Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. A bizonyítás alapgondolata, hogy az F konvex függvényt kétszer folytonosan deriválható függvényekkel közelítjük. R 1. Legyen g ∈ Cc∞ ((−∞, 0]) olyan nem negatív függvény, amelyre R gdλ = 1. Tetsz˝oleges n-re definiáljuk az Z y g (y) dy = Fn (x) $ F x+ n R Z = n F (z) g (n (z − x)) dz R

függvényt. Az F konvex, tehát minden véges intervallumon korlátos, így az utolsó formula alapján az Fn tetsz˝oleges sokszor deriválható, és Z 0 2 Fn (x) = −n F (z) g 0 (n (z − x)) dz. R

Az F konvex, így igaz rá a Newton—Leibniz–formula, tehát Z t F (t) = F (s) + F 0 (v) dv. s 83 Végtelen

intervallum esetén a folytonosság a számegyenes kiterjesztett topológiájában, a konvexitás pedig a számegyenesen értend˝o. Természetesen el˝ofordulhat, hogy az integrál nem létezik, de akkor az F (b) − F (a) kifejezés is értelmetlen. 84 Az F 0 monoton n˝ o, tehát Borel–mérhet˝o, így az F 0 (X− ) el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, tehát a sztochasztikus integrál értelmes.

3. ITÔFORMULA

270

A parciális integrálás formulája alapján, ha h (z) $ ng (n (z − x)) , akkor Z Z −∞ hdF + F dh = 0 = [hF ]∞ = R R Z Z 0 0 = hF dλ + F h dλ, R

R

tehát85 Z

Fn0 (x)

=

F h0 dλ = n

R

Z

F 0 (z) g (n (z − x)) dz =

(3.38)

R

Z

y g (y) dy. F0 x + n R

=

Az F konvex, tehát az F 0 monoton n˝o, következésképpen lokálisan korlátos, így ha n → ∞, akkor a határérték és az integrálás sorrendje felcserélhet˝o. Ha n → ∞, akkor az integrál alatti kifejezés határértéke, felhasználva, hogy a g tartója a nem pozitív számok halmaza F 0 (x − 0) g (y) . Z Z y 0 0 0 lim Fn (x) = lim F x + g (y) dy = F (x − 0) gdλ = n→∞ n R n→∞ R = F 0 (x − 0) = F 0 (x) . 2. Az Itô–formula használható az Fn ∈ C 2 függvényekre, tehát Z t Fn (X (t)) − Fn (X (0)) = Fn0 (X− ) dX + An (t) ,

(3.39)

0

ahol An (t) $

X

[Fn (X (s)) − Fn (X (s−)) − Fn0 (X (s−) ∆X (s))] +

0<s≤t

+

1 2

Z

t

Fn00 (X (s−)) d hX c (s)i .

0

Az Fn szintén konvex, tehát az An monoton n˝o. Az Fn folytonossága miatt a (3.39) bal oldala jobbról folytonos. A jobb oldalon álló integrál a sztochasztikus integrál konstrukciója miatt szintén jobbról folytonos, tehát az An függvény is jobbról folytonos és az ugrásokra vonatkozó megjegyzés triviálisan teljesül. 3. Ha n → ∞, akkor a bal oldalon a határérték F (X (t)) − F (X (0)) . Ha y ≤ 0, akkor az F 0 monoton növeked˝o volta miatt F 0 (x + y/n) ≤ F 0 (x), így az Fn0 (3.38) képlete alapján Fn0 ≤ F 0 . Ugyancsak a konstrukció alapján F10 ≤ Fn0 . Ha az X (0) korlátos, akkor az X− folyamat lokálisan korlátos, és mivel a konvex 85 Vagyis

a deriválást bevihetjük az integrál mögé.


271

függvények deriváltja monoton n˝o, ezért az F 0 (X− ) és az F10 (X− ) lokálisan korlátos, következésképpen az (Fn0 (X− ))n sorozat rendelkezik lokálisan korlátos majoránssal, vagyis ha n → ∞, akkor lim Fn0 (X− ) • X = F 0 (X− ) • X,

n→∞

ahol a konvergencia, trajektóriákra nézve a kompakt sztochasztikusan egyenletes. Ebb˝ol következ˝oen az An is sztochasztikusan konvergens, és a határértékként kapott folyamat triviálisan monoton n˝o. 4. Megmutatjuk, hogy az A jobbról folytonos, és teljesül az ugrások nagyságára vonatkozó összefüggés. Ehhez elegend˝o belátni, hogy az An → A konvergencia a trajektóriákra nézve a véges szakaszokon sztochasztikusan egyenletes, amihez viszont elég belátni, hogy az Fn (X) → F (X) konvergencia a véges id˝ointervallumokon trajektóriánként sztochasztikusan egyenletes. Ha n → ∞, akkor az Fn → F konvergencia minden kompakt szakaszon egyenletes86 . Ha az X (0) korlátos, akkor az X− folyamat lokálisan korlátos87 , legyen (τ m )m a lokalizációs sorozata. Világos, hogy a (3.37) sor lokalizálható, így a bizonyítást elég az X τ m megállított folyamatokra elvégezni. Az Fn (X τ m ) − Fn (X (0))

=

τm Fn X− − Fn (X (0)) + +∆Fn (X (τ m )) .

τm Ha n → ∞, akkor az X− korlátosságaés az (Fn )n kompakt szakaszokon való egyenτm letes konvergenciája miatt az Fn X− konvergenciája minden trajektórián egyenletes, az ∆Fn (X (τ m )) pedig egy az id˝ot˝ol független sorozat konvergenciája, tehát az

Fn (X τ m ) → F (X τ m ) konvergencia trajektóriánként minden kompakt szakaszon egyenletes. 5. Végezetül tegyük fel, hogy az X (0) nem korlátos. Az F (X) = F (X − X (0) + X (0)) $ G (X − X (0) , X (0)) felbontással a bizonyítás szó szerint megismételhet˝o. Az Itô–formula alkalmazásakor természetesen a több dimenziós verziót kell alkalmazni88 , egyébként a bizonyítás szó szerint megismételhet˝o, ugyanis a második komponens az Itô–formula alkalmazását követ˝oen már nem szerepel. 2 A gondolatmenet most következ˝o részének célja az A korrekciós tag tartalmának tisztázása. 86 Általában is igaz, hogy konvex függvények pontonkénti konvergenciájából következik a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia, [12], 105. oldal, most azonban a deriváltak konvergenciájából a Newton—Leibniz–szabály segítségével a konvergencia közvetlenül is igazolható. 87 V.ö.: 1.97. állítás, 68. oldal. 88 Az Itô–formula alkalmazását megel˝ oz˝oen a Gn (x, y) $ Fn (x + y) közelítést kell venni.

3. ITÔFORMULA

272

3.59 Definíció. sign (x) függvényen az |x| konvex függvény bal oldali deriváltját értjük89 , vagyis 1 ha x > 0 sign (x) $ . −1 ha x ≤ 0 3.60 Állítás. Tetsz˝oleges a esetén |X (t) − a| = |X (0) − a| + Z t sign (X (s−) − a) dX (s) + Aa (t) . +

(3.40)

0

3.61 Definíció. Tetsz˝oleges a esetén a (3.40) felbontásban szerepl˝o Aa folyamat folytonos részét, vagyis az X L (a, t) $ Aa (t) − (∆ |X (s) − a| − sign (X (s−) − a) ∆X (s)) 0<s≤t

folyamatot az X a pontban vett lokális idejének mondjuk. 3.62 Példa. Ha X szemimartingál, akkor érvényesek a következ˝o, úgynevezett Tanaka–formulák: +

+

(X (t) − a) − (X (0) − a)

t

Z =

χ (X (s−) > a) dX (s) + X − + χ (X (s−) > a) (X (s) − a) + 0

0<s≤t

+

X

+

χ (X (s−) ≤ a) (X (s) − a) +

0<s≤t

1 + L (a, t) , 2 illetve90 −

−

(X (t) − a) − (X (0) − a)

Z

t

= −

χ (X (s−) ≤ a) dX (s) + X − + χ (X (s−) > a) (X (s) − a) + 0

0<s≤t

+

X

+

χ (X (s−) ≤ a) (X (s) − a) +

0<s≤t

1 + L (a, t) . 2 89 Vagyis

nem keverend˝o össze az sgn el˝ojelfüggvénnyel. A sign függvény a nulla pontban −1. észre, hogy az integrál utáni korrekciós tagok megegyeznek.

90 Vegyük


273

−

+

Az f (x) $ (x − a) és g (x) $ (x − a) konvex függvényekre alkalmazzuk az Itô– formula már belátott általánosítását91 : Z t f 0 (X− ) dX + A(+) (t) , f (X (t)) = f (X (0)) + 0 Z t g (X (t)) = g (X (0)) + g 0 (X− ) dX + A(−) (t) . 0

A két formulát kivonva egymásból, és felhasználva az f 0 (x) = χ (x > a) ,

g 0 (x) = −χ (x ≤ a)

egyenl˝oségeket Z X (t) − X (0) =

t

1dX + A(+) (t) − A(−) (t) ,

0

amib˝ol A(+) (t) = A(−) (t) . Ha B (+) (t) $ A(+) (t) −

X

(f (X (s)) − f (X (s−)) − f 0 (X (s−)) ∆X (s))

0<s≤t

B

(−)

(t) $ A

(−)

(t) −

X

(g (X (s)) − g (X (s−)) − g 0 (X (s−)) ∆X (s))

0<s≤t

akkor a lokális id˝o definíciója szerint B (+) (t) + B (−) (t) = L (a, t) , továbbá mivel a két sorban szerepl˝o szummák különbsége nulla, ezért B (+) (t) = B (−) (t) , vagyis B (+) = B (−) = L (a) , így az egyenl˝oségek teljesülnek. 2 Kés˝obb látni fogjuk, hogy folytonos lokális martingálok esetén az L (a, t) lokális id˝o tekinthet˝o a t id˝opont el˝ott az a pontban való tartózkodás id˝otartamának92 . 3.63 Példa. A Green-függvény és a Wiener-folyamat lokális ideje. (x)

Rögzítsük az I $ (a, b) intervallumot és τ I jelölje az x ∈ I pontból elindított w(x) Wiener-folyamat I-b˝ol való kilépésének id˝opontját. Számoljuk ki az M L(x) (y, τ I ) várható értéket, amely tekinthet˝o az I intervallum elhagyását megel˝oz˝oen az y pontban való tartózkodás átlagos idejének. A lokális id˝o definíciója szerint (x) w (t) − y = w(x) (0) − y + Z t + sign w(x) − y dw(x) (s) + L(x) (y, t) . 0 91 V.ö.: 92 V.ö.:

3.58. tétel, 269. oldal. Lokális id˝o deriválásos formája; 3.81. következmény, 290. oldal.

3. ITÔFORMULA

274

A wτ I megállított folyamat korlátos, így ha két oldalt megállítjuk, akkor a sztochasztikus integrál rész az Itô–izometria miatt eleme a H2 térnek, így egyenletesen integrálható, tehát a megállási opciókról szóló tétel miatt (x) (x) . − y = |x − y| + M L(x) y, τ I M w(x) τ I A w(x) az (a, b) szakaszból biztosan kilép, így (x) (x) (x) − y = |a − y| P τ I = a + |b − y| P τ I = b . M w(x) τ I A valószín˝uségek a megállási opciókról szóló tétel segítségével egyszer˝uen kiszámolhatóak. Egyrészt (x)

P τI

(x)

= a + P τI

= b = 1,

másrészt (x) (x) (x) x = M w(x) τ I = aP τ I = a + bP τ I = b , amelyb˝ol két egyenletünk van két ismeretlennel, így b−x (x) P τI = a = , b−a

x−a (x) P τI = b = . b−a

Visszahelyettesítve x−a b−x (x) + |b − y| − |x − y| . M L(x) y, τ I = |a − y| b−a b−a Elemi számolással

(x)

M L

(x) y, τ I

2 $ b−a

(x − a) (b − y) ha a ≤ x ≤ y ≤ b . (y − a) (b − x) ha a ≤ y ≤ x ≤ b

A kifejezésben szerepl˝o 1 GI (x, y) $ b−a

(x − a) (b − y) ha (y − a) (b − x) ha

a≤x≤y≤b a≤y≤x≤b

függvényt szokás Green–függvénynek nevezni. Összefoglalva (x) M L(x) y, τ I = 2GI (x, y) . 2 3.64 Példa. Ha 0 < a < b, akkor a b pontba való érkezés el˝ott a Wiener-folyamat az a pontban várhatóan 2 (b − a) hosszú idejig tartózkodik.


275

Legyen w Wiener-folyamat, 0 < a < b. Jelölje τ b a b pontba való érkezés id˝opontját. A lokális id˝o említett iterpretációja alapján az M (L (a, τ b )) várható értéket kell kiszámolni. Vegyük észre, hogy az el˝oz˝o példában követett gondolatmenet analóg módon nem alkalmazható, ugyanis a lokális id˝o definíciója szerint |b − a| = M (|w (τ b ) − a|) = Z τ b sign (w (s) − a) dw (s) + = |a| + M 0

+M (L (a, τ b )) , de a sztochasztikus integrál várható értéke nem lesz nulla93 , ugyanis a wτ b , szemben az el˝oz˝o példában szerepl˝o wτ I -vel, nem eleme a H2 térnek, így a sztochasztikus integrál nem lesz egyenletesen integrálható, következésképpen a megállási opciókról szóló tétel nem alkalmazható. Ugyanakkor, ha c < 0 < a < b, akkor a már bemutatott gondolatmenet alapján M (L (a, τ b ∧ τ c )) = |b − a|

b −c + |c − a| − |a| . b−c b−c

Ha c & −∞, akkor a jobb oldal határértéke |b − a| + b − |a| = 2 (b − a) , a bal oldalon τ b ∧ τ c % τ b és mivel a t 7→ L (a, t) monoton n˝o, ezért a monoton konvergencia tétel miatt a határérték és a várható érték felcserélhat˝o, vagyis M (L (a, τ b )) = 2 (b − a) . 2 A megadott definíció szerint az L (a, t) lokális id˝o a t id˝oparaméter szerint folytonos, de az a helyparaméter szerinti tulajdonságokról a tárgyalás jelen szintjén nem tudunk semmit. Ennek oka, hogy az A konstrukciója során használt Itô–formulában a két oldal csak a megkülönböztethetetlenség erejéig, vagyis nullmérték˝u halmaztól eltekintve egyezik meg. A kivételezett kimenetelek halmazát természetesen tetsz˝olegesen el˝oírhatjuk, de nem világos, hogy az így kapott, a-val indexelt kontinuum számosságú nullmérték˝u halmaz vajon egyesíthet˝o-e, illetve, hogy az L (a, t, ω) rendelkezik-e mérhet˝o verzióval. Természetesen a probléma a sztochasztikus integrál a-tól való függése miatt jelentkezik, ugyanis a sztochasztikus integrál, mivel nem trajektóriánként definiált, csak a megkülönböztethetetlenség erejéig értelmezett. A sztochasztikus integrálokra vonatkozó Fubini–tétel alapján94 azonban a paraméteres integrálról feltehetjük hogy szorzatmérhet˝o. A továbbiakban mindig feltesszük, hogy az L lokális id˝o éppen ez a szorzatmérhet˝o verzió95 . 93 Az

alábbi gondolatmenetb˝ol látszik, hogy az értéke éppen −b. észre, hogy a lokális id˝o definícióját megadó integrálban az integrandus egyenletesen korlátos. V.ö.: 2.101. állítás, 209. oldal. 95 Kés˝ obb folytonos lokális martingálokra megmutatjuk, hogy az L (a, t, ω) lokális id˝o rendelkezik az (a, t) párban folytonos verzióval. 94 Vegyük

3. ITÔFORMULA

276

3.5.2. Meyer—Itô–formula El˝oször a lokális id˝o elnevezés próbáljuk indokolni, illetve ami ugyanaz, az A korrekciós tag alakját próbáljuk tisztázni. 3.65 Tétel. Legyen X szemimartingál. Ha L (a) az X a pontban vett lokális ideje, akkor majdnem minden ω kimenetelre az L (a, t, ω) monoton növeked˝o függvény által generált mérték tartója része96 az {s : X (s−, ω) = X (s, ω) = a} halmaznak. Bizonyítás: Az L (a, t, ω) függvény a lokális id˝o definíciója miatt a t id˝oparaméter szerint folytonos, így az általa az id˝otengelyen generált mértékre nézve az egy pontból álló halmazok mértéke nulla. Az X szemimartingál ugráspontjainak száma minden trajektóriára legfeljebb megszámlálható számosságú, ezért elég belátni, hogy az L (a, t, ω) által generált mérték tartója minden ω kimenetelre része az {s : X (s−, ω) = a} halmaznak. A kvadratikus variáció definíciója alapján, ha Y $ |X − a| , akkor97 Y 2 = Y 2 (0) + 2Y− • Y + [Y ] . A Z $ X−a szemimartingál kvadratikus variációjának képletét felírva, és az Y 2 = Z 2 triviális összefüggést felhasználva Y 2 = Y 2 + 2Z− • Z + [Z] . Vegyük észre, hogy ugyancsak triviális módon98 [Z] = [Y ] , következésképpen Y− • Y = Z− • Z. Ugyanakkor az Y = |Z| alapján Z Y (t) = Y (0) +

t

signZ (s−) dZ (s) + Aa (t) ,

0

következésképpen az asszociativitási szabály felhasználásával Z

t

Z Y− (s) dY (s) =

0

t

Z Y (s−) signZ (s−) dZ (s) +

0

t

Y (s−) dAa (s) .

0

A sign függvény definíciója szerint Y (s−) signZ (s−) = |Z (s−)| signZ (s−) = Z (s−) , 96 Vagyis

(3.41)

a komplementer halmaz mértéke nulla. észre, hogy kihasználtuk, hogy szemimartingál konvex függvénye szemimartingál, tehát a formula értelmes. 98 V.ö.: 3.24. állítás, 241. oldal. 97 Vegyük


277

tehát Z

t

t

Z Z− (s) dZ (s)

Z 0

0

0

t

Z (s−) dZ (s) +

Y− (s) dY (s) =

= Z

t

Y (s−) dAa (s) ,

+ 0

amib˝ol az L (a, t, ω) definícióját felhasználva Z t 0 = Y (s−) dAa (s) = (3.42) 0 Z t X = Y (s−) dLa (s) + Y (s−) (∆ |Z (s)| − signZ (s−) ∆Z (t)) . 0

0<s≤t

Vegyük észre, hogy az (3.41) miatt a szumma mögötti kifejezés |a| (|b| − |a|) − a (b − a)

= |a| |b| − a2 − ab + a2 = = |ab| − ab ≥ 0

Rs alakú. Az A , következésképpen az L is, monoton n˝o, tehát az 0 Y (s−) dLa (s) integrál nem negatív, ami csak akkor lehetséges, ha az (3.42) összefüggésben szerepl˝o összeg és az integrál nulla. Az integrál nulla volta azonban azt jelenti, hogy az La által generált mérték tartója része az a

a

{Y (s−) = 0} $ {|X (s−) − a| = 0} = {X (s−) = a} halmaznak. 2 99

Korábban láttuk, hogy ha L (a, t) jelöli a w Wiener-folyamat lokális idejét és τ b a b pont találati ideje, akkor M (L (a, τ b )) = 2 (b − a) . Most valamivel többet igazolunk100 . 3.66 Példa. −1 Ha 0 ≤ a < b, akkor az L (a, τ b ) exponenciális eloszlású λ $ (2 (b − a)) paraméterrel. Megmutatjuk, hogy az L (a, τ b ) megállított változó Laplace-transzformáltja101 L (s) $ M (exp (−s · L (a, τ b ))) =

1 , 1 + 2s · (b − a)

(3.43)

amib˝ol az állítás már következni fog. A gondolatmenet lényege annak igazolása, hogy az 1 + + s · (w (t) − a) exp (−s · L (a, t)) X (t) $ 2 99 V.ö.:

3.64. példa, 274. oldal. hogy a λ paraméter˝u exponenciális eloszlás várható értéke λ−1 . 101 A jelölés némiképpen problémás, L egyidejüleg jelöli a Laplace-transzformáltat és a lokális id˝ ot. Reméljük a kett˝os jelölés nem okoz félreértést. Emlékeztetünk, hogy a λ paraméter˝u exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvénye M (s) = λ/ (λ − s) . V.ö.: [20], 10.19. példa, 426. oldal. 100 Emlékeztetünk,

3. ITÔFORMULA

278

folyamat lokális martingál. Ebb˝ol a (3.43) egyenl˝oség következni fog, ugyanis az 1 + + s · (wτ b − a) exp (−s · Lτ b (a)) 2 megállított folyamat triviálisan korlátos, így korlátos lokális martingál, vagyis egyenletesen integrálható martingál, tehát a megállási opciókról szóló tétel szerint a 0 ≤ a < b felhasználásával 1 1 + = M + s · (w (0) − a) exp (−s · L (a, 0)) = 2 2 1 + = M + s · (w (τ b ) − a) exp (−s · L (a, τ b )) = 2 1 = + s · (b − a) L (s) , 2 amib˝ol a (3.43) már átosztással kapható. Térjünk rá az X (t) folyamat vizsgálatára. A parciális integrálás formulája miatt ha U (t) $

1 + + s · (w (t) − a) , 2

V (t) $ exp (−sL (a, t)) ,

akkor X (t)

= =

U (t) V (t) = Z t Z t X (0) + U dV + V dU + [U, V ] . 0

0

Az U folytonos, a V korlátos változású, így [U, V ] = 0.Az el˝oz˝o tétel102 szerint a V által generált mérték tartóján a w értéke a, így Z t 1 1 + U dV = + s · (a − a) (V (t) − V (0)) = (V (t) − 1) . 2 2 0 A lokális id˝o definíciója alapján 1 U (t) $ H (t) + s · L (a, t) , 2 Rt ahol a H folytonos lokális martingál, így a Z (t) $ 0 V dH integrálfolyamat lokális martingál. Ugyanakkor a korlátos változású integrátorokra vonatkozó Newton— Leibniz–szabály103 szerint Z Z t s t 1 s·L = exp (−s · L (u, a)) dL (u, a) = Vd 2 2 0 0 t s exp (−s · L (u, a)) = = 2 −s 0 1 1 = − (exp (−s · L (t, a)) − 1) = − (V (t) − 1) . 2 2 102 V.ö.:

3.65. tétel, 276. oldal. Itô-formula.

103 Illetve


279

Összefoglalva X (t)

=

X (0) + Z (t) +

=

X (0) + Z (t) ,

1 1 (V (t) − 1) − (V (t) − 1) = 2 2

tehát az X valóban lokális martingál. 2 3.67 Lemma. Ha F az R I nyílt intervallumán konvex függvény, akkor az F−0 bal oldali derivált balról, az F+0 jobb oldali derivált jobbról folytonos. Bizonyítás: Vegyük például az F+0 függvényt. Meg kell mutatni, hogy lim F+0 (x) = F+0 (w) .

(3.44)

x&w

Legyen w < x < y. Konvex függvényekre a különbségi hányados monoton n˝o, így F+0 (x) = inf

z>x

amib˝ol lim F+0 (x) ≤ lim

x&w

x&w

F (z) − F (x) , z−x

F (y) − F (x) F (y) − F (x) = . y−x y−x

A jobb oldalon infimumot véve lim F+0 (x) ≤ inf

x&w

y>x

F (y) − F (x) = F+0 (x) . y−x

Megfordítva, az F+0 monoton növekedése miatt limx&w F+0 (x) ≥ F+0 (x) , következésképpen a (3.44) teljesül. 2 3.68 Definíció. A g függvényt a h függvény általánosított deriváltjának mondjuk, ha tetsz˝oleges φ ∈ Cc∞ (I) függvényre érvényes a parciális integrálás formulája, vagyis ha minden φ ∈ Cc∞ (I) függvényre Z Z Z hφ0 dλ = [hφ]I − gφdλ = − gφdλ. I

I

I

Nem túl meglep˝o módon az F konvex függvényekre az F−0 bal oldali derivált az F általánosított deriváltja, ugyanis a majorált konvergencia tétel alapján, felhasználva, hogy a ϕ tartója része az I-nek, így az F folytonos, tehát korlátos a ϕ tartóján Z Z φ (x + h) − φ (x) F φ0 dλ = F (x) lim dx = h→0 h I I Z φ (x + h) − φ (x) = lim F (x) dx = h→0 I h Z Z F (x − h) − F (x) φ (x) dx = − F−0 φdλ. = lim − h&0 I −h I

3. ITÔFORMULA

280

Az F−0 általánosított deriváltját tekinthetjük az F általánosított második deriváltjának. Az F 00 általánosított második derivált azonban már nem lesz függvény, de az F 00 tekinthet˝o az F−0 monoton, balról folytonos függvény által generált µ mértéknek, ugyanis a parciális integrálási formula szerint, felhasználva, hogy a φ ∈ Cc (I), vagyis az I határaihoz közel a φ nulla Z Z Z Z F−0 φ0 dλ = F−0 dφ = − φdF−0 $ − φdµ. I

I

I

I

3.69 Példa. Az y = f (x) $ |x| függvény általánosított második deriváltja 2δ 0 , az x± függvények általánosított második deriváltja δ 0 . Az |x| függvény konvex és 0 f− (x) =

1 −1

x>0 , x≤0

ha ha

amely által generált mérték 2δ 0 . Hasonlóan indokolható, hogy az x± függvények általánosított második deriváltja δ 0 . 2 3.70 Lemma. Ha az F konvex függvény µ második általánosított deriváltjának tartója része az [a, b] kompakt intervallumnak, akkor alkalmas α és β konstansokkal érvényes az Z 1 |x − t| dµ (t) = (3.45) F (x) = αx + β + 2 [a,b) Z 1 = αx + β + |x − t| dµ (t) . 2 R reprezentáció. Bizonyítás: Konvex függvényekre teljesül a Newton—Leibniz–szabály, ezért a parciális integrálási formula alapján, ha x ∈ [a, b] , akkor104 Z Z F (x) − F (a) = F−0 (t) dt = xF−0 (x) − aF−0 (a) − tdF−0 (t) = [a,x) [a,x) Z 0 0 0 = xF− (a) − aF− (a) + x − tdF− (t) , . [a,x)

vagyis alkalmas α1 , β 1 konstansokkal Z |x − t| dµ (t) .

F (x) = α1 x + β 1 + [a,x) 104 Az

0 balról folytonos, tehát µ ([a, b)) = f 0 (b) − f 0 (a) . f− − −


281

A számolást analóg módon a másik oldalról is elvégezve Z F (x) = α2 x + β 2 + |x − t| dµ (t) . [x,b)

A két egyenl˝oséget összeadva, majd kett˝ovel elosztva az (3.45) reprezentációját kapjuk. 2 3.71 Példa. Az F (x) = x+ függvény el˝oállítása. Az F (x) = x+ függvény második általánosított deriváltja δ 0 , így Z 1 1 |x − t| dµ (t) = |x| 2 R 2 és x+ =

1 1 x + |x| , 2 2

vagyis az el˝oállításban α = 1/2, β = 0. 2 3.72 Tétel. (Meyer–Itô–formula) Legyen X szemimartingál és F két konvex függvény különbsége. Ha F 0 jelöli az F bal oldali deriváltját és µ az F általánosított második deriváltját és L az X lokális ideje, akkor

=

F (X (t)) − F (X (0)) = Z t F 0 (X (s−)) dX (s) + 0 X + (F (X (s)) − F (X (s−)) − F 0 (X (s−)) ∆X (s)) + 0<s≤t

+

1 2

Z L (a, t) dµ (a) . R

Bizonyítás: A tételt elegend˝o konvex függvényekre igazolni105 . 1. El˝oször tegyük fel, hogy a µ általánosított második derivált tartója kompakt. Ekkor érvényes az (3.45) el˝oállítás. Az αx + β alakú affin függvényre a formula triviálisan teljesül106 , tehát feltehetjük, hogy Z 1 |x − t| dµ (t) . F (x) = 2 R Ha J (a, t) $

X

(|X (s) − a| − |X (s−) − a| − sign (X (s−) − a) ∆X (s)) ,

0<s≤t 105 Vegyük észre, hogy mivel az |x| második deriváltja 2δ , így ha F (x) = |x| , akkor visszakapjuk a 0 lokális id˝o definícióját. 106 A µ és az ugrásokból álló korrekciós tag értéke nulla.

3. ITÔFORMULA

282

akkor Z X 1 J (a, t) dµ (t) = (F (X (s)) − F (X (s−)) − F 0 (X (s−)) ∆X (s)) , 2 R 0<s≤t

illetve, ha H (a, t) $ |X (t) − a| − |X (0) − a| , akkor F (X (t)) − F (X (0)) =

1 2

Z H (a, t) dµ (a) . R

Vegyük észre, hogy a majorált konvergencia tétel segítségével az integrál alatt „deriválva” Z 1 0 sign (x − t) dµ (t) . F (x) = 2 R Tekintsük a

t

Z

sign (X (s−) − a) dX (s)

Z (a, t) $ 0

paraméteres sztochasztikus integrált és tekintsük a sztochasztikus Fubini–tétel szerint létez˝o B (R) × B (R+ ) × A mérhet˝o verzióját107 . A sztochasztikus Fubini–tétel szerint108 Z Z t Z 1 1 Z (a, t) dµ (a) = sign (X (s−) − a) dµ (a) dX (s) = 2 R 0 2 R Z t = F 0 (X (s−)) dX (s) . 0

A lokális id˝o definíciója alapján L = H − J − Z, vagyis 1 1 1 1 H = J + Z + L, 2 2 2 2 amit µ szerint integrálva, a már belátott összefüggések felhasználásával az azonosság triviálisan igazolható. 2. Térjünk rá az általános esetre. Az F helyett vegyük az  x ≤ −n  F (−n) + F 0 (−n) (x + n) ha F (x) ha −n < x < n Fn (x) $  F (n) + F 0 (n) (x − n) ha x≥n csonkolt függvényeket. Az Fn szintén konvex. Evidens módon az Fn -hez tartó µn általánosított második derivált tartója része a [−n, n] szakasznak, és a µn mérték véges, így alkalmazható rá a tétel már belátott része. Tekintsük a τ n $ inf {t : |X (t)| ≥ n} 107 V.ö.: 108 V.ö.:

2.101. állítás, 209. oldal. 2.103. tétel, 212. oldal.


283

megállási id˝oket, és vegyük az X τ n megállított folyamatokat. A tétel már belátott része alapján

=

Fn (X τ n (t)) − Fn (X τ n (0)) = Z t Fn0 (X τ n (s−)) dX τ n (s) + 0 X + (∆Fn (X τ n (s)) − Fn0 (X τ n (s−)) ∆X τ n (s)) + 0<s≤t

1 + 2

Z Ln (a, t) dµn (a) , R

ahol Ln (a) az X τ n folyamathoz tartozó lokális id˝o. Vegyük észre, hogy az egyenl˝oségben az Fn helyébe mindenhol F is írható, ugyanis az X τ n lehetséges értékein az F és az Fn , illetve az F 0 és az Fn0 függvények megegyeznek. Az Ln (a) az olyan s id˝opontokra koncentrálódik, amelyekre X τ n (s−) = a, vagyis az Ln (a)-hoz tartozó mérték nulla valahányszor |a| > n, vagyis, ha |a| > n, akkor minden t-re Ln (a, t) = 0. A µ és a µn mértékek a [−n, n] szakaszon megegyeznek, tehát lokális id˝ot tartalmazó integrálban a µn mérték helyébe írható µ, vagyis Z Z Ln (a, t) dµn (a) = Ln (a, t) dµ (a) . R

R

A lokális id˝o definíciójából, illetve a sztochasztikus integrálok megállításának szabályából evidens, hogy az X τ n lokális ideje Lτ n , tehát ha t ≤ τ n , akkor Z Z Ln (a, t) dµn (a) = Lτ n (a, t) dµ (a) = R R Z = L (a, t) dµ (a) . R

Ha n → ∞, akkor τ n % ∞, így az egyenl˝oség az általános esetben is teljesül.

2

3.73 Következmény. (Lokális id˝ore vonatkozó integrálformula) Ha X szemimartingál és L jelöli az X lokális idejét, akkor minden g : R → R korlátos, Borel–mérhet˝o függvényre majdnem minden kimenetelre és minden t id˝opontra109 . Z Z t L (a, t) g (a) da = g (X (s−)) d [X c ] (s) . (3.46) R

0

Az egyenl˝oség akkor is teljesül, ha g nem negatív Borel–mérhet˝o függvény. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az f függvény konvex és C 2 . Ilyenkor az Itô–formula alkalmazható, így az Itô–formula és az Itô—Meyer–formula megfelel˝o tagjait összevetve Z Z t 00 L (a, t, ω) f (a) da = f 00 (X (s−)) d [X c ] . R 109 X c

az X folytonos része.

0

3. ITÔFORMULA

284

Természetesen az egyenl˝oségben az f 00 helyébe tetsz˝oleges g pozitív, folytonos függvény írható, így a monoton osztály tétel alapján az egyenl˝oség minden korlátos, Borel– mérhet˝o függvényre is teljesül. A nem negatív függvényekre vonatkozó egyenl˝oség a monoton konvergencia tétel miatt érvényes. 2 3.74 Következmény. Ha X szemimartingál és L jelöli az X lokális idejét, akkor110 [X c ] (t) =

Z L (a, t) da. R

3.75 Következmény. (Meyer—Tanaka–formula) Ha X folytonos trajektóriákkal rendelkez˝o szemimartingál és L jelöli111 az X lokális idejét, akkor |X| = |X (0)| + sign (X) • X + L (0) . Az Itô–formula és különböz˝o általánosításai szerint igen b˝o függvényosztály elemeire való transzformációra nézve a szemimartingálok családja zárt. Éppen ezért tanulságos a következ˝o példa: 3.76 Példa. Ha X folytonos lokális martingál, X (0) = 0 és 0 < α < 1, akkor a konstans nulla α esett˝ol eltekintve az |X| folyamat nem szemimartingál112 . α

Tegyük fel, hogy az Y $ |X| mégis szemimartingál. Az α konstansra tett feltétel miatt β $ 1/α > 1. Vegyük észre, hogy a β x ha x > 0 g (x) $ 0 ha x ≤ 0 függvény a teljes számegyenesen értelmezett konvex függvény. Ha β ≥ 2, akkor C 2 függvényekre vonatkozó Itô–formula szerint |X| = Y β = βY β−1 • Y +

β (β − 1) β−2 Y • [Y ] . 2

Ha 2 > β > 1, akkor a akkor a konvex függvényekre vonatkozó Itô–formula szerint Z 1 |X| = Y β = βY β−1 • Y + H (a) dµ (a) , 2 R 110 X c

az X folytonos része. L (0) az a = 0 ponthoz tartozó lokális id˝o. 112 Ez látszólag ellentmond annak, hogy az |X| szemimartingál konkáv függvénye szemimartingál. Emlékeztetünk azonban, hogy a 3.58. tételben az F értelmezési tartománya a teljes számegyenes, vagy legalábbis az X értékkészletét tartalmazó nyílt intervallumon. Most ilyen függvény azonban nincsen. Vegyük észre ugyanakkor, hogy az |x|α függvény nem konvex. 111 Vagyis


285

ahol H az Y lokális ideje. Jelölje L az X lokális idejét. Megmutatjuk, hogy L (0) = 0. A lokális id˝o tartójára vonatkozó észrevétel113 és a Meyer—Tanaka–formula alapján Z t L (0, t) = χ (X (s) = 0) dL (0, s) = 0 Z t Z t = χ (X (s) = 0) d |X (s)| − χ (X (s) = 0) sign (X (s)) dX (s) . 0

0

Tekintsük a második Z Z (t) $

t

χ (X (s) = 0) sign (X (s)) dX (s) 0

integrált. Az Itô–izometria és a (3.46) felhasználásával114 Z t M Z 2 (t) = M χ (X (s) = 0) d [X] (s) = Z0 = M χ ({0}) (a) L (a, t) da = R ! Z = M

L (a, t) da

= 0.

{0}

Tegyük fel, hogy β ≥ 2. Az {X (s) = 0} = {Y (s) = 0} felhasználásával a másik integrálra Z t I (t) $ χ (Y (s) = 0) d |X (s)| = 0 Z t = β χ (Y (s) = 0) Y β−1 dY + 0 Z β (β − 1) t χ (Y (s) = 0) Y β−2 d [Y ] . + 2 0 Az els˝o integrál integrandusa nulla, vagyis az integrál is nulla. Ha β > 2, akkor a második integrál integrandusa is nulla, így az integrál nulla. Ha β = 2, akkor az (3.46) felhasználásával Z t Z Z χ (Y (s) = 0) d [Y ] = L (a, t) χ ({0}) da = L (a, t) da = 0. 0

{0}

R

Tegyük fel, hogy 2 > β > 1. Ilyenkor a Z Z t χ (Y (s) = 0) d H (a, s) dµ (a) 0 113 V.ö.: 114 Az

oldal.

R

3.65. tétel, 276. oldal. X folytonossága miatt lokalizációval feltehetjük, hogy X ∈ H2 . V.ö.: 3.73. következmény, 283.

3. ITÔFORMULA

286

integrált kell vizsgálni. A µ mértékhez a Z x βxβ−1 ha x > 0 0 g− (x) $ = h (t) dt, 0 ha x ≤ 0 −∞ monoton növeked˝o súlyfüggvény tartozik, ahol β (β − 1) xβ−2 h (x) $ 0 Így Z

Z

x>0 . x≤0

∞

H (a, s) dµ (a) =

Z H (a, s) h (a) da =

0

R

ha ha

s

h (Y ) d [Y ] , 0

következésképpen a második integrál Z

t

χ (Y (s) = 0) h (Y ) d [Y ] = 0, 0

tehát, miként állítottuk, minden β > 1 esetén L (0) = 0. A Meyer—Tanaka–formula alapján |X| = sign (X) • X + L (0) = sign (X) • X. A jobb oldali integrál folytonos lokális martingál, tehát az |X| folytonos, nem negatív, lokális martingál, vagyis szupermartingál. Az |X| a feltétel szerint a nulla pontban nulla, tehát 0 = M (|X (0)|) ≥ M (|X (t)|) , ami csak akkor lehetséges, ha |X| = 0. 2

3.5.3. Folytonos szemimartingálok lokális ideje Az alpont célja, hogy megmutassuk, hogy az X szemimartingálra tett bizonyos megszorító feltételek teljesülése esetén115 az L (a, t, ω) folyamatnak van olyan verziója, amely az a paraméter szerint jobbról regularizált, illetve ha az X folytonos lokális martingál, akkor az L (a, t, ω) rendelkezik az (a, t) változópárban folytonos verzióval. El˝oször egy egyenl˝otlenséget igazolunk. 3.77 Állítás. (Burkholder–egyenl˝otlenség) Legyen X ∈ L és tegyük fel, hogy az X folytonos. Ha 2 ≤ p < ∞ és a τ véges értékeket felvev˝o megállási id˝o, akkor p p/2 M sup |X (s)| (τ ) ≤ Cp M [X] (τ ) , s 115 A trajektóriák ugrásaira bizonyos megkötéseket mindenképpen tenni kell. V.ö.: [22], 180. oldal, Azema–martingálokról szóló fejezetet.


287

ahol116 Cp $

qp

p (p − 1) 2

p/2 .

Bizonyítás: Az egyenl˝otlenség triviálisan lokalizálható, ugyanis a két oldalon a várható érték mögötti kifejezések az id˝o szerint monoton növeked˝oek. Ebb˝ol következ˝oen, felhasználva, hogy az X, így az [X] is, folytonos, feltehetjük, hogy az X és az [X] korp látos, az X martingál. A feltétel szerint p ≥ 2, így az |x| függvény kétszer folytonosan deriválható, tehát alkalmazható az Itô–formula. Az X (0) = 0 feltételt felhasználva Z τ p p−1 |X (τ )| = p sign (X (s)) |X| dX (s) + 0 Z τ p (p − 1) p−2 |X (s)| d [X] (s) . + 2 0 Az X és az [X] korlátossága miatt az els˝o tag martingál, így a várható értéke nulla. Jelölje X ∗ a szuprémumokból álló folyamatot. A Doob és a Hölder–egyenl˝otlenségek szerint p

p

M ((X ∗ (τ )) ) ≤ q p M (|X (τ )| ) = Z p (p − 1) τ p−2 p = q M |X (s)| d [X] (s) ≤ 2 0 p (p − 1) ∗ p−2 p X (τ ) [X] (τ ) ≤ ≤ q M 2 2/p p (p − 1) p 1−2/p p/2 ≤ qp M (X ∗ (τ ) ) M [X] (τ ) . 2 p 1−2/p

A lokalizáció alapján az X feltételezett korlátossága miatt M (X ∗ (τ ) ) < ∞, így végigoszthatunk vele. Ha az új egyenl˝otlenség két oldalát a p/2-dik hatványra emeljük, akkor pontosan a keresett egyenl˝oséget kapjuk. 2 3.78 Állítás. Ha X folytonos lokális martingál, akkor az X L (a, t, ω) lokális idejének van olyan ekvivalens módosítása, amely B (R) × P mérhet˝o és amely az (a, t) változókban folytonos. Bizonyítás: Az állítás lokalizálható, ugyanis a megállított folyamat lokális ideje éppen az eredeti folyamat lokális idejének megállítása, tehát feltehet˝o, hogy X −X (0) ∈ H2 . Definíció szerint Z t L (a, t) = |X (t) − a| − |X (0) − a| − sign (X (s) − a) dX (s) . 0 116 A q a p-hez tartozó konjugált kitev˝ o, vagyis 1/p + 1/q = 1. Az egyenl˝otlenség jóval általánosabb körülmények között is teljesül. V.ö.: D.26. tétel, 466. oldal.

3. ITÔFORMULA

288

Vezessük be az

u

Z

sign (X (s) − x) dX c (s)

c (x, u) $ M 0

jelölést117 . A Kolmogorov–kritériumot118 fogjuk használni. Megmutatjuk, hogy minden t-re 4 c 2 c (3.47) M sup M (a, s) − M (b, s) ≤ K |a − b| , s≤t

A Burkholder, illetve a Jensen–egyenl˝otlenségek, illetve a lokális id˝okre vonatkozó integrálformula119 szerint 4 c c (3.48) M sup M (a, s) − M (b, s) ≤ s≤t h i2 c (a, t) − M c (b, t) = ≤ C4 M M Z 2 ! t

χ (a < X (s) ≤ b) d [X c ] (s)

= C4 M

=

0

 Z

!2 

b

L (x, t) dx

= C4 M 

=

a

 Z

2

b

= C4 (b − a) M  a

dx L (x, t) b−a

1 b−a

2

≤ C4 (b − a) M

≤ !!

b

Z

!2 

2

L (x, t) dx

.

a

A Fubini–tétel alapján az integrálokat felcserélve az utolsó kifejezés felülr˝ol becsülhet˝o a 2 C4 (b − a) sup M L2 (x, t) (3.49) x

kifejezéssel. ||X (t) − a| − |X (0) − a|| ≤ |X (t) − X (0)| , így a lokális id˝o definícióját és a 2

(z1 − z2 ) ≤ 2 z12 + z22

elemi egyenl˝otlenséget felhasználva 2

L2 (x, t) ≤ 2 (X (t) − X (0)) + 2

Z

t

2 sign (X (s) − x) dX (s) .

0 117 A jelen állításban X c helyébe természetesen X írható, de kés˝ obb a bizonyításban az alábbiakat ebben az alakban fogjuk felhasználni. 118 V.ö.: B.39. állítás, 400. oldal. 119 V.ö.: 3.73. következmény, 283. oldal.


289

A Doob–egyenl˝otlenség segítségével a (3.49) sorban szerepl˝o várható érték a 2

2

8 kX − X (0)kH2 + 8 ksign (X − x) • XkH2 kifejezéssel becsülhet˝o. Az Itô–izometria miatt Z 2 ksign (X − x) • XkH2 = M

∞

1d [X]

=

0

=

2

2

k1 • XkH2 = kX − X (0)kH2 ,

így az M L2 (x, t) megadott becslése független az x-t˝ol, így az (3.49) sor alapján a (3.47) egyenl˝otlenséget igazoltuk. 2 3.79 Példa. Még folytonos szemimartingál esetén sem biztosítható a lokális id˝o folytonossága. Legyen X a nulla pontban tükrözött Wiener–folyamat, vagyis X $ |w| . Ha a < 0, akkor L (a, t) = 0, ugyanis az L (a) által definiált mérték tartója az {X (s) = a} = ∅ halmaz. Legyen a = 0. Az L az a paraméter szerint jobbról folytonos, tehát a (3.46) alapján Z Z 1 1 ε χ (0 ≤ a < ε) L (a, t) da = L (a, t) da = lim L (0, t) = lim ε&0 ε R ε&0 ε 0 Z 1 t = lim χ (|w| < ε) d [|w|] . ε&0 ε 0 A Meyer—Tanaka–formula szerint |w| = sign (w) • w + Lw (0) , ezért [|w|] = [sign (w) • w] = [w] , tehát Z 1 t χ (−ε < w < ε) d [w] = 2Lw (0) 6= 0, . L (0, t) = lim ε&0 ε 0 vagyis a lokális id˝o az a paraméter szerint balról nem folytonos. A teljesség kedvéért legyen a > 0. A gondolatmenetet megismételve ismételten a jobbról való folytonosság miatt Z 1 t L (a, t) = lim χ (|w| ∈ [a, a + ε)) (s) ds = ε&0 ε 0 Z 1 t χ (w ∈ [a, a + ε)) (s) ds + = lim ε&0 ε 0 Z 1 t + lim χ (−w ∈ [a, a + ε)) (s) ds. ε&0 ε 0 Az els˝o határérték éppen Lw (a, t) a második pedig Lw (−a, t) , tehát L (a, t) = Lw (−a, t) + Lw (a, t) ,

3. ITÔFORMULA

290

amely kifejezés az a ≥ 0 halmazon folytonos. 2 3.80 Definíció. Ha X folytonos lokális martingál, akkor az L (a, t, ω) lokális id˝on mindig az (a, t) pár szerint folytonos verziót értjük. 3.81 Következmény. (A lokális id˝o deriválásos formája) Ha X folytonos lokális martingál, akkor minden a és t paraméterre 1 ε&0 2ε

t

Z

χ (−ε + a < X (s) < a + ε) d [X] (s) .

L (a, t) = lim

0

Bizonyítás: Az egyenl˝oség a lokális id˝ore vonatkozó Z

t

Z χ ((−ε, ε)) (X (s)) d [X] (s)

0

=

L (a, t) χ ((−ε, ε)) (a) da = ZRε = L (a, t) da −ε

integrálformula120 , valamint az L a szerinti folytonossága miatt evidens. 2 Miként megjegyeztük általában a lokális id˝o nem lesz jobbról reguláris. 3.82 Definíció. Azt mondjuk, hogy az X szemimartingál kielégíti az A hipotézist, ha minden t id˝opontban majdnem minden kimenetelre X |∆X (s)| < ∞. 0<s≤t

Jelölje ∆X az X ugrásaiból álló folyamatot. Ha teljesül az A hipotézis, akkor a ∆X korlátos változású, vagyis szemimartingál, következésképpen az X − ∆X folytonos szemimartingál. 3.83 Állítás. Ha X olyan szemimartingál, amelyre teljesül az A hipotézis, akkor az L (a, t, ω) lokális id˝onek van olyan ekvivalens módosítása, amely B (R) × P mérhet˝o és amely a t változóban folytonos és az a változókban majdnem minden kimenetelre jobbról regularizált. Bizonyítás: Jelölje J az X ugrásaiból álló folyamatot. A feltétel miatt az X − J folytonos szemimartingál, így egyértelm˝uen felbontható M + V módon, ahol M folytonos lokális martingál, V pedig folytonos, korlátos változású folyamat. A lokális id˝o 120 V.ö.:



291

definíciója szerint |X (t) − a| =

|X (0) − a| + Z t + sign (X (s−) − a) dX (s) + 0 X + (∆ |X (s) − a| − sign (X (s−) − a) ∆X (s)) + 0<s≤t

+L (a, t) . Tetsz˝oleges s-re a háromszög-egyenl˝otlenség miatt |∆ |X (s) − a|| ≤ |∆X (s)| ,

(3.50)

így az A hipotézis miatt a X

sign (X (s−) − a) ∆X (s)

0<s≤t

és a

X

∆ |X (s) − a|

0<s≤t

összegek végesek, így a X (∆ |X (s) − a| − sign (X (s−) − a) ∆X (s))

(3.51)

0<s≤t

összeg szétbontható. Tetsz˝oleges Z szemimartingálra vezessük be a Z t b (a, t) $ Z sign (X (s−) − a) dZ (s) 0

jelölést. Vegyük észre, hogy a (3.51) összeg második tagja éppen −Jb (a, t) . Az X $ M + V + J felbontásnak megfelel˝oen c (a, t) + Vb (a, t) + Jb (a, t) − Jb (a, t) + |X (t) − a| = |X (0) − a| + M X + ∆ |X (s) − a| + L (a, t) , 0<s≤t

vagyis L (a, t)

=

c (a, t) − Vb (a, t) − |X (t) − a| − |X (0) − a| − M X − ∆ |X (s) − a| . 0<s≤t

A (3.50) egyenl˝otlenség és az A hipotézis miatt az a szerint folytonos ∆ |X (s) − a| folyamat az id˝otengelyen definiált számláló mérték mellett rendelkezik integrálható majoránssal, így a Lebesgue-féle majorált konvergencia tétel miatt X X lim ∆ |X (s) − u| = ∆ |X (s) − a| , u→a

0<s≤t

0<s≤t

3. ITÔFORMULA

292

c (a, t) így az összeg az a paraméter szerint folytonos. Meg kell mutatni, hogy az M és Vb (a, t) folyamatokra is érvényes az állítás. A V minden véges szakaszon korlátos változású, a sign (X (s−) − u) korlátos függvény az u paraméter szerint jobbról reguláris, így a Lebesgue-féle majorált konvergencia tétel miatt a Vb módon jelölt pac raméteres integrál az a paraméter szerint szintén jobbról reguláris. Hátra van az M 121 vonatkozó állítás . Vegyük ugyanakkor észre, hogy az X szemimartingál folytonos része X c = M, így az el˝oz˝o tétel bizonyítása az M definíciójának értelemszer˝u c (a, t) rendelkezik folytonos módosításával szó szerint megismételhet˝o122 , tehát az M verzióval. 2 3.84 Következmény. Ha X az A hipotézist kielégít˝o szemimartingál, X − ∆X $ M + V az X folytonos részének felbontása123 , akkor ∆L (a, t)

L (a, t) − L (a−, t−) = L (a, t) − L (a−, t) = Z t = 2 χ (X (s−) = a) dV (s) = 0 Z t = 2 χ (X (s) = a) dV (s) . =

0

Bizonyítás: Valóban, az el˝oz˝o állítás bizonyítása szerint a csak a Vb (a, t) nem folytonos, így Z t ∆L (a) = ∆Vb (a) = sign (X (s−) − a) − sign (X (s−) − a−) dV (s) = 0 Z t = 2 χ (X (s−) = a) dV (s) . 0

A V folytonos és megszámlálható s ponttól eltekintve X (s−) = X (s) , így Z t Z t 2 χ (X (s−) = a) dV (s) = 2 χ (X (s) = a) dV (s) . 0

0

2

3.5.4. Wiener–folyamat lokális ideje 3.85 Definíció. Wiener–folyamat nulla ponthoz tartozó lokális idejét, az egyszer˝ubb jelölés kedvéért, L-lel fogjuk jelölni. 121 Vegyük észre, hogy a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tételt nem használhatjuk, ugyanis a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tételben az integrálok csak sztochasztikusan konvergálnak. 122 V.ö.: (3.48) sor. 123 Az A hipotézis miatt a ∆X korlátos változású, így az X − ∆X folytonos szemimartingál, így az X − ∆X $ M + V felbontás egyértelm˝u.


293

3.86 Példa. Wiener–folyamatra vonatkozó Tanaka–formula. Ha w Wiener–folyamat és L jelöli a w lokális idejét, akkor a Tanaka–formula szerint |w| = sign (w) • w + L. 2

A sign (w) • w folytonos, lokális martingál, amely kvadratikus variációja (sign (w)) • [w] = [w] , így a Lévy–féle karakterizáció tétel alapján a β $ sign (w) • w szintén Wiener–folyamat. 2 Az L eloszlásának meghatározásához szükségünk lesz a következ˝o egyszer˝u lemmára: 3.87 Lemma. (Szkorohod) Ha y az R+ félegyenesen értelmezett olyan folytonos függvény, amelyre y (0) ≥ 0, akkor léteznek, mégpedig egyetlen olyan az R+ félegyenesen értelmezett z és a függvények, amelyekre 1. z = y + a, 2. a z nem negatív, 3. az a monoton növeked˝o, folytonos, a nulla pontban nulla és az a-hoz tartozó mérték tartója éppen az {s : z (s) = 0} halmaz. Az a függvény felírható a (t) = sup y − (s) s≤t 124

módon

.

Bizonyítás: El˝oször az egyértelm˝uséget igazoljuk. Legyenek (a1 , z1 ) és (a2 , z2 ) két a feltételeket kielégít˝o pár. y = z1 − a1 = z2 − a2 , tehát z1 − z2 = a1 − a2 és mivel az a1 és az a2 monoton n˝o, ezért a z1 − z2 és az a1 − a2 korlátos változású. A parciális integrálási formula szerint 0

Z t 2 ≤ (z1 − z2 ) (t) = 2 z1 (s) − z2 (s) d (z1 − z2 ) (s) = 0 Z t = 2 z1 (s) − z2 (s) d (a1 − a2 ) (s) . 0

Az ai függvények által generált mértékek tartójára tett feltétel szerint az utolsó integrál értéke Z Z t

−2 0 124 A

t

z1 (s) da2 − 2

z2 da1 ≤ 0, 0

lemma megértésében sokat segít, ha egyszer˝u rajzot készítünk.

3. ITÔFORMULA

294

vagyis z1 = z2 . Megmutatjuk, hogy a megadott a és a z $ y + a kielégíti a lemma feltételeit. Az a triviálisan monoton n˝o. Az y a feltétel szerint folytonos, tehát az y − negatív része is folytonos, így elemi megfontolásokkal beláthatjuk, hogy az a is folytonos. Tetsz˝oleges t id˝opontban z (t) = y (t) + a (t) ≥ y (t) + y − (t) = y + (t) ≥ 0. Be kell még látni az a által generált mérték tartójára vonatkozó megjegyzést, vagyis hogy Z χ (z (s) > 0) da (s) = 0. R+

A z függvény folytonos, így tetsz˝oleges ε > 0 számra a {z > ε} halmaz nyílt, következésképpen szétesik megszámlálható nyílt komponensre. Legyen (u, v) egy ilyen komponens. Ha s ∈ (u, v) , akkor −y (s) = a (s) − z (s) ≤ a (v) − ε. Ebb˝ol azonban a (v) = max a (u) , sup y − (s) ≤ max (a (u) , a (v) − ε) , u≤s≤v

ami csak akkor lehetséges, ha a (v) ≤ a (u) , vagyis a (v) = a (u) . 2 3.88 Állítás. Az L (t, ω) $ L (0, t, ω) változó eloszlása megegyezik a Wiener–folyamat [0, t] szakaszon felvett maximumának eloszlásával, vagyis az L (t) s˝ur˝uségfüggvénye ft (x) $ 2 √

2 x 1 exp − , 2t 2πt

x > 0.

Bizonyítás: A Tanaka–azonosság miatt |w| = β + L, ahol a β Wiener–folyamat. Tetsz˝oleges kimenetelre az L által definiált mérték tartója éppen a {|w| = 0} halmaz, így a Szkorohod–lemma szerint L (t) = sup β − (s) = sup β (s) = Sβ (t) , s≤t

s≤t

amib˝ol az állítás már evidens125 . 2 125 V.ö: A.17. következmény, 367. oldal. Az állítás szerint a lokális id˝ o nem tekinthet˝o különösen „vad” folyamatnak, ugyanis véds˝o soron egy másik Wiener-folyamat maximumfolyamata.


295

3.89 Állítás. Ha L (a, ∞, ω) jelöli a limt→∞ L (a, t, ω) határértéket, akkor tetsz˝oleges a-ra P (L (a, ∞) = ∞) = 1. Bizonyítás: Ha miként az el˝oz˝o állítás bizonyításában Sβ jelöli a β Wiener–folyamat maximumát, akkor P (L (0, ∞) = ∞) = P (Sβ (∞) = ∞) = 1. Jelölje τ a az a 6= 0 szint els˝o elérési ideje. A Wiener–folyamat er˝os Markov–tulajdonsága miatt a β a (t) $ β (τ a + t) − a szintén Wiener–folyamat, és a β a -hoz tartozó L (0) határértéke megegyezik az L (a) határértékével, következésképpen minden a-ra P (L (a, ∞) = ∞) = 1. 2 3.90 Állítás. A β $ sign (w) • w és a |w| által generált filtráció azonos, következésképpen az L F |w| = F β adaptált. Bizonyítás: Az el˝oz˝o állítás alapján az L adaptált a β által generált F β filtrációra, így a |w| F β adaptált, tehát F |w| ⊆ F β . Ugyanakkor, felhasználva, hogy Wiener–folyamat lokális ideje az a paraméter függvényében folytonos, az Z ε 1 L (a, t, ω) da = L (t) = lim ε&0 2ε −ε Z 1 = lim L (a, t, ω) χ ((−ε, ε)) (a) da = ε&0 2ε R Z t 1 = lim χ (|w (s)| < ε) ds ε&0 2ε 0 képlet miatt az L F |w| adaptált126 , tehát a β is F |w| adaptált, következésképpen F β ⊆ F |w| . 2 Végezetül megmutatjuk, hogy Wiener–folyamat esetén az L tartója majdnem minden kimenetelre nem csak része, de egybe is esik a Z (ω) $ {t : w (t, ω) = 0} halmazzal. Ehhez szükségünk lesz a következ˝o észrevételre: 3.91 Állítás. Majdnem minden ω kimenetelre a Z (ω) halmaz zár és a belseje üres. 126 Az

integrandus progresszíven mérhet˝o, így a trajektóriánként vett integrálás meg˝orzi az adaptáltságot.

3. ITÔFORMULA

296

Bizonyítás: Wiener–folyamat trajektóriáinak folytonossága miatt a Z (ω) zártsága evidens. Megmutatjuk, hogy majdnem minden ω kimenetelre a Z (ω) λ (Z (ω)) Lebesgue– mértéke nulla, így a Z (ω) nem tartalmazhat pozitív hosszúságú szakaszt. A Fubini– tétel szerint, felhasználva, hogy minden t > 0-ra a Wiener–folyamat értéke nem elfajult normális eloszlású, tehát nulla valószín˝uséggel nulla, M (λ (Z (ω)))

Z ∞ χ (Z (ω)) (t) dt = = M Z ∞ 0 = M (χ (Z (ω)) (t)) dt = 0. 0

2 3.92 Definíció. Tetsz˝oleges t id˝oponthoz definiáljuk a σ t (ω) $ inf {s > 0 : L (s) ≥ t} ρt (ω) $ inf {s > 0 : L (s) > t} , megállási id˝oket127 . A továbbiakban O (ω) $ ∪t (σ t (ω) , ρ (ω)) . Ha t az L növekedési pontja128 , akkor (σ t (ω) , ρ (ω)) = ∅. Könnyen látható, hogy a t1 6= t2 , id˝opontokhoz tartozó nyílt intervallumok vagy egybeesnek, vagy diszjunktak, és a nem üres intervallumok száma megszámlálható. A [σ t , ρt ] zárt szakaszok megegyeznek azon intervallumokkal, amelyeken a folytonos L függvény a konstans t értéket veszi fel. 3.93 Állítás. Majdnem minden ω kimenetelre a következ˝o három halmaz megegyezik: 1. A Wiener–folyamat zérushelyeinek halmaza, vagyis a Z (ω) $ {t : w (t, ω) = 0} ; 2. Az O (ω) halmaz komplementere; 3. Az L által generált mérték S (ω) tartója, vagyis a legkisebb olyan zárt halmaz, c amelyre az (S (ω)) nyílt halmaz mértéke az L (ω) által generált mérték szerint nulla. 127 A filtráció kielégíti a szokásos feltételeket, ugyanis az alapfolyamat Wiener–folyamat. Az L folytonos, így a σ és a ρ függvényekr˝ol elemi úton belátható, hogy megállási id˝ok. [20] 128 A t az f monoton növeked˝ o függvény növekedési pontja, ha tetsz˝oleges u < t < v pontokra f (u) < f (t) < f (v) .


297

Bizonyítás: Az O (ω) komponensein az L konstans, így az L által generált mértéke nulla. A konstrukcióból evidens, hogy ha az I nyílt intervallum diszjunkt az O (ω) halmaztól, akkor az L (ω) szerinti mértéke pozitív, így az O (ω) a maximális nullmérték˝u nyílt halmaz, következésképpen a második és a harmadik feltételek egyez˝osége m.m.

triviálisan teljesül. Az S (ω) ⊆ Z (ω) tartalmazás az általános esetben is teljesül. Az L (t) eloszlására elmondottak miatt tetsz˝oleges t-re majdnem minden kimenetelre L (t) > 0. Ebb˝ol speciálisan majdnem minden kimenetelre σ 0 = 0 A dt (ω) $ inf {s ≥ t : w (s) = 0} megállási id˝o, ugyanis, ha u < t, akkor {dt ≤ u} = ∅, ha u ≥ t, akkor {dt ≤ u} = min |w (s)| = 0 ∈ Fu . t≤s≤u

A Wiener–folyamatok er˝os Markov–tulajdonsága miatt a w b (s) $ w (dt + s) − w (dt ) = w (dt + s) . szintén Wiener–folyamat. A w-re felírt Tanaka–formula szerint |w (dt + s)| = β (dt + s) + L (dt + s) , amib˝ol |w b (s)| = |w (dt + s)| = β (dt + s) − β (dt ) + +L (dt + s) − L (dt ) . b (s) $ A β (dt + s)−β (dt ) Wiener–folyamat, vagyis folytonos, lokális martingál, az L L (dt + s) − L (dt ) korlátos változású és folytonos, így a folytonos szemimartingálok b éppen a w egyértelm˝u felbontása szerint az L b lokális ideje, következésképpen majdnem minden kimenetelre b (s) = L (dt + s) − L (dt ) > 0, L c

vagyis majdnem minden ω kimenetelre a dt (ω) ∈ (O (ω)) = S (ω) . A kivételezett m.m. nullmérték˝u halmazok egyesítésével a dt ∈ S teljesül minden r racionális számra. Legyen most s ∈ Z (ω) , és legyen I olyan nyílt intervallum, amelyre s ∈ I. A Z (ω) zárt és a belseje üres, ezért található olyan 0 ≤ r < s racionális szám, amelyre r ∈ / Z (ω) , r ∈ I. Triviálisan r ≤ dr ≤ s, így az s az S (ω) zárt halmaz torlódási pontja, vagyis s ∈ S (ω.) , így S (ω) = Z (ω) . 2

3.5.5. Ray—Knight–tételek Legyen σ valamely esemény bekövetkezését megadó valószín˝uségi változó. Az Lσ (a, ω) $ L (a, σ (ω) , ω) megadja, hogy a σ által reprezentált esemény bekövetkezését megel˝oz˝oen mennyi ideig volt a Wiener–folyamat az a pont környezetében. Az Lσ szintén tekinthet˝o sztochasztikus folyamatnak. Milyen tulajdonságokkal bír az így kapott folyamat. El˝oször egy általános eredményt fogalmazunk meg.

3. ITÔFORMULA

298

3.94 Állítás. Ha X folytonos szemimartingál és σ tetsz˝oleges valószín˝uségi változó, akkor az Lσ (a, ω) $ L (a, σ (ω) , ω) sztochasztikus folyamat kvadratikus variációja véges. Minden u < v esetén az Lσ [u, v] szakaszon vett kvadratikus variációja Z σ Z v m.m. ∆L (X (s) , s) χ (u < X (s) ≤ v) dX (s) . L (a, σ) da + 4 [Lσ ] = 4 0

u

Speciálisan, ha az L (a, t) az a folytonos függvénye, akkor Z v m.m. [Lσ ] = 4 L (a, σ) da. u

Bizonyítás: Értelemszer˝uen az Lσ [u, v] szakaszon vett kvadratikus variációja alatt azt a ξ valószín˝ uségi változót értjük, amelyre az [u, v] tetsz˝oleges, végtelenül finomodó (n)

ak

k,n

felbontássorozata esetén X

2 P (n) (n) Lσ ak − Lσ ak−1 → ξ.

k

1. Miként korábban, tetsz˝oleges U szemimartingálra vezessük be a Z t b (a, t) $ U sign (X (s) − a) dU (s) 0

jelölést. A lokális id˝o definíciója alapján, felhasználva, hogy az X $ M + V folytonos b (a, t) = = |X (t) − a| − |X (0) − a| − X c (a, t) − Vb (a, t) . = |X (t) − a| − |X (0) − a| − M

L (a, t)

A ϕ (a) $ |X (σ) − a| − |X (0) − a| függvény az a paraméter szerint Lipschitz–folytonos, így minden kimenetelre [ϕ] $ ≤ ≤

lim

n→∞

2 X (n) (n) ϕ ak − ϕ ak−1 ≤ k

X (n) (n) (n) (n) lim sup max ϕ ak − ϕ ak−1 − ϕ ak−1 ≤ ϕ ak n→∞

k

n→∞

k

k X (n) (n) (n) (n) lim sup max ϕ ak − ϕ ak−1 K ak − ak−1 = 0, k

h i c, ϕ = 0, ugyanis az M c, miként láttuk, az a szerint folytonos, és ezért illetve M h i X c (n) c (n) (n) c a(n) K ak −M M , ϕ ≤ lim sup max M ak − ak−1 = 0. k−1 n→∞

k

k


299

Hasonlóan X (n) (n) (n) (n) ϕ ak − ϕ ak−1 Vb ak − Vb ak−1 ≤ lim n→∞ k X b (n) (n) (n) (n) ≤ lim sup max ϕ ak − ϕ ak−1 − Vb ak−1 = V ak

h i b V ,ϕ $

k

n→∞

k (n) (n) − ϕ ak−1 × = lim sup max ϕ ak k n→∞ Z X ak sign (X (s) − u) dV (s) . × ak−1 k

Az utolsó összeg felülr˝ol becsülhet˝o az Z X Z ak dVar (V ) (s) = ak−1

k

v

dVar (V ) (s) < ∞

u

h i h i b ϕ = 0, így értékkel, így a ϕ folytonossága miatt Vb , ϕ = 0. Ebb˝ol következ˝oen X, h i bσ . [Lσ ] = X 2. Az Itô–formula szerint 2 b (ak ) − X b (ak−1 ) X =

b (ak ) − X b (ak−1 ) + b (ak ) − X b (ak−1 ) • X 2 X i h b (ak ) − X b (ak−1 ) . + X

Vegyük észre, hogy tetsz˝oleges x-re sign (x − ak ) − sign (x − ak−1 ) =

2 0

ha x ∈ (ak−1 , ak ] . ha x ∈ / (ak−1 , ak ]

b definíciója miatt, ha Ln jelöli a kvadratikus variáció közelít˝o összegét, akkor Az X Ln (t)

=

4

XZ t 0

k

+

b (ak , s) − X b (ak−1 , s) χ (ak−1 < X (s) ≤ ak ) dX (s) + X

X Z

t

2χ (ak−1

< X (s) ≤ ak ) dX (s) .

0

k

A lokális id˝ore vonatkozó integrálformula miatt a második összeg minden t id˝opontban és majdnem minden kimenetelre 4

XZ k

0

t

Z

v

χ (ak−1 < X (s) ≤ ak ) d [X (s)] = 4

L (a, t) da. u

3. ITÔFORMULA

300

Az egyenl˝oség két oldalán szerepl˝o kifejezések a t id˝oparaméter folytonos függvényei, így ha valamely ω kimenetelre az egyenl˝oség a racionális id˝opontokban teljesül, akkor az irracionális id˝opontokban is teljesülni fog, így a nullmérték˝u halmazok összevonhatóak, következésképpen az egyenl˝oségben a t id˝oparaméter helyébe tetsz˝oleges σ véletlen id˝opont is írható. 3. Hátra van még az els˝o tag határértékének meghatározása. A megállított folyamat lokális ideje az eredeti folyamat lokális idejének megállítása, így feltehet˝o, hogy az X folyamat korlátos. Ha n → ∞, akkor a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel szerint az els˝o tag határértéke Z t b (X (s) , s) − X b (X (s) −, s) χ (u < X (s) ≤ v) dX (s) , X 4 0

b (a) ahol a konvergencia a kompakt id˝oszakaszokon sztochasztikusan egyenletes. Az X ugrásai azonosak az L (a) lokális id˝o ugrásaival, így a határérték éppen Z t 4 ∆L (X (s) , s) χ (u < X (s) ≤ v) dX (s) . 0

Mivel a konvergencia a kompakt id˝oszakaszokon a sztochasztikus konvergenciában egyenletes, ezért a t helyébe tetsz˝oleges σ valószín˝uségi változó írható. 2 Emlékeztetünk, hogy a folytonos lokális martingálok lokális ideje folytonos. Ebb˝ol következ˝oen érvényes a következ˝o: 3.95 Következmény. Ha X folytonos lokális martingál és σ tetsz˝oleges valószín˝uségi változó, akkor az Lσ (a, ω) $ L (a, σ (ω) , ω) sztochasztikus folyamat kvadratikus variációja véges. Minden u < v esetén az Lσ [u, v] szakaszon vett kvadratikus variációja Z v m.m. [Lσ ] = 4 L (a, σ) da. u

Legyen b tetsz˝oleges szám, τ b a w Wiener-folyamat b pontba való érkezésének id˝opontja. Vezessük be [0, b] szakaszon értelmezett Z (a, ω) $ L (b − a, τ b (ω) , ω) folyamatot. Korábban129 láttuk, hogy a Z (a) λ $ 1/ (2a) paraméter˝u exponenciális eloszlású változó. Most ennek a meglep˝o észrevételnek az „okát” próbáljuk meg tisztázni. El˝oször a szükséges segédállításokat tisztázzuk. 3.96 Állítás. Jelölje Z $ (Za )a a [0, b] szakaszon értelmezett Z (a, ω) $ L (b − a, τ b (ω) , ω) folyamat által generált filtrációt. Ha ξ ∈ L2 (Za ), akkor a ξ felírható Z τb H · χ (w > b − a) dw ξ = M (ξ) + 0 129 V.ö.:



301

módon, ahol H olyan a w Wiener–folyamathoz tartozó filtrációra nézve el˝orejelezhet˝o folyamat amelyre Z τ b 2 H χ (w > b − a) d [w] < ∞. M 0

Bizonyítás: Jelölje U az állítást kielégít˝o ξ változók halmazát. Miként az integrálreprezentációs tétel bizonyítása során130 , most is belátható, hogy az U L2 (Ω, Za , P) zárt részhalmaza. Tekintsük azokat az η változókat, amelyek el˝oállíthatóak Z a g (s) Z (s) ds η $ exp − 0

módon, ahol g olyan kompakt tartójú, folytonosan deriválható függvény amely tartója része a [0, a] szakasznak. A Z folytonossága miatt az η változók által generált σ-algebra megegyezik a Za -val, így elegend˝o az állítást az η változókra igazolni. Tekintsük az Z t U (t) $ exp − g (b − w (s)) ds $ exp (−K (t)) 0

folyamatot. A g kompakt tartójú, tehát korlátos, így az U is korlátos. A lokális id˝ore vonatkozó integrálformula szerint Z a Z a η $ exp − g (s) Z (s) ds $ exp − g (s) L (b − s, τ b ) ds = 0 0 ! Z b

=

exp −

g (b − s) L (s, τ b ) ds

=

b−a

=

Z exp −

τb

g (b − w (s)) ds = U (τ b ) .

0 2

Legyen F ∈ C , M $ F (w) U $ F (w) exp (−K) . A K korlátos változású, így az Itô–formula szerint M − M (0)

= F 0 (w) U • w − F (w) U • K + 1 + U F 00 (w) • [w] . 2

A második integrál éppen Z (F (w) U • K) (t) =

t

U (s) F (w (s)) g (b − w (s)) ds. 0

Válasszuk az F függvényt úgy, hogy a (−∞, b − a] szakaszon az F 0 legyen nulla, F (b) = 1 és F 00 (x) = 2g (b − x) F (x) . Mivel F 0 (x) = F 0 (x) χ (x > b − a) , ezért Z τb M (τ b ) η = U (τ b ) = = M (0) + U (s) F 0 (w (s)) χ (w (s) > b − a) dw (s) $ F (b) 0 Z τb $ F (0) + Hχ (w > b − a) dw. 0

2 130 V.ö.:


3. ITÔFORMULA

302

3.97 Állítás. A Z (a) − 2a folyamat a Z filtráció mellett a [0, b] szakaszon folytonos martingál. Bizonyítás: Természetesen a Z (a) − 2a az a paraméter folytonos függvénye. A Tanaka–formula miatt Z t 1 + χ (w (s) > b − a) dw (s) + L (b − a, t) , (w (t) − (b − a)) = 2 0 amib˝ol t = τ b helyettesítéssel Z

τb

Z (a) − 2a $ L (b − a, τ b ) − 2a = −2

χ (w (s) > b − a) dw (s) . 0

Ebb˝ol a Z (a) integrálható131 és a várható értéke 2a. Ha u < v, akkor minden H Zu -mérhet˝o korlátos változóra az el˝oz˝o állítás, illetve az Itô–izometria alapján Z τ b Z τb M ((Z (v) − 2v) H) = −2M χ (w > b − v) dw Hχ (w > b − u) dw = 0 Z0 τ b = −2M χ (w (s) > b − v) Hχ (w (s) > b − u) ds = Z0 τ b = −2M Hχ (w (s) > b − u) ds = 0

= M ((Z (u) − 2u) H) , vagyis a Z (a) − 2a valóban martingál. 2 3.98 Állítás. (Ray–Knigth) Létezik olyan β Wiener-folyamat, hogy a Za a [0, b] szakaszon kielégíti a Z

a

√ Zdβ + 2a

Z (a) = 2

(3.52)

0

egyenletet. Bizonyítás: Az L (u, t) Rminden t > 0 esetén pozitív, így Z (a) > 0. A Z (a) − 2a a kvadratikus variációja 4 0 Z (s) ds. A Doob–féle integrálreprezentációs-tétel132 szerint van olyan a [0, b] szakaszon értelmezett a Z filtrációhoz tartozó β Wiener-folyamat, amelyre az állítás teljesül. 2 Ha (w1 , w2 ) független Wiener-folyamatok és U (t) $ w12 (t) + w22 (t) , akkor az Itô– formula szerint U (t) = 2w1 • w1 + 2w2 • w2 + 2t. 131 Mint 132 V.ö.:

tudjuk exponenciális eloszlású. 3.12, állítás, 229. oldal.


303

Az U a (0, ∞) intervallumban egy valószín˝uséggel nem veszi fel a nulla értéket. Ha133 w2 w1 β $ √ • w1 + √ • w2 , U U akkor a β kvadratikus variációja a [0, t] szakaszon t, így a β Wiener-folyamat. Azonnal látható, hogy Z tp U (t) = 2 U (s)dβ (s) + 2t. 0

A sztochasztikus differenciálegyenletek elméletéb˝ol ismert, hogy az egyenletek megoldásának eloszlása egyértelm˝u, így a Z (a) ∼ = w12 (a) + w22 (a) = a · N 2 (0, 1) + a · N 2 (0, 1) = 1 1 1 1 , +a·Γ , = = a·Γ 2 2 2 2 1 = a · Γ 1, . 2 A Γ (1, 1/2) eloszlás λ $ 1/2 paraméter˝u exponenciális eloszlás, így a Z (a) exponenciális eloszlású 2a várható értékkel, vagyis a Z (a) λ $ 1/ (2a) paraméter˝u exponenciális eloszlású változó. Ezt közvetlenül is igazolhatjuk. Az Itô–formula szerint Z a exp (−sZ (a)) − 1 = exp (−sZ (u)) d (−sZ (u)) + 0 Z 1 a + exp (−sZ (u)) d [−sZ (u)] . 2 0 Vezessük be az L (a, s) $ M (exp (−sZ (a))) jelölést. Tekintsük az Itô–formula két oldalának várható értékét. A Z ≥ 0 folyamat kielégíti a sztochasztikus differenciálegyenletet, így az exp (−sZ) korlátos, következésképpen Z a Z a 2 M (exp (−sZ (u))) d [−sZ (u)] ≤ s2 M (Z (u)) du = 0 0 Z a = s2 2udu < ∞, 0

amib˝ol az els˝orend˝u tagban szerepl˝o sztochasztikus integrál valódi martingál. Ismételten a sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjának képlete szerint Z Z a 4s2 a d L (s, u) du. L (s, a) − 1 = −2s L (s, u) du − 2 0 ds 0 Az a szerint deriválva ∂L ∂L = −2sL (s, a) − 2s2 , ∂a ∂s 133 A

√ wi / U integrandus a nulla pontban legyen nulla.

L (0, s) ≡ 1.

3. ITÔFORMULA

304

Közvetlen számolással azonnal látható, hogy az L (a, s) =

1 1 + 2sa

kielégíti az egyenletet. A megoldás egyértelm˝usége következik a parciális differenciálegyenletek elméletében közismert Cauchy—Kovalevszkaja-tételb˝ol. Ebb˝ol következ˝oen a Z (a) valóban 2a paraméter˝u exponenciális eloszlású változó. A továbbiakban tekintsük a τ T $ inf {t : L (0, t) > T } megállási id˝ot. A lokális id˝o interpretációja alapján τ T id˝opontig a Wiener–folyamat T id˝oegységet tölt a nulla környezetében. Az L (a, τ T ) interpretációja, hogy mennyi ideig van a Wiener-folyamat az a pont környezetében azt megel˝oz˝oen, hogy a nulla pont környezetében T ideig volt. Megjegyezzük, hogy a definícióban a nagyobb jel nem véletlen és nem helyettesíthet˝o a nagyobb egyenl˝o jellel, ugyanis az L (0, t) a t függvényében monoton n˝o, de nem feltétlenül szigorúan monoton n˝o. 3.99 Állítás. (Ray—Knight) Az a ≥ 0 halmazon értelmezett Z (a) $ L (a, τ T ) folyamathoz létezik olyan β Wiener– folyamat, amelyre a Z kielégíti a Z a√ Z (a) = T + 2 Zdβ 0

egyenletet. Bizonyítás: 2 Az eloszlás meghatározásához ismét számoljuk ki a Laplace–transzformáltat. Az Itô– formula szerint: Z

a

exp (−sZ (a))−exp (−sT ) = 0

4 −s exp (−sZ (s)) dZ (a)+ s2 2

Z

a

exp (−sZ (u)) Z (u) du. 0

A két oldalon várható értéket véve: ∂L ∂L (a, s) = −2s2 (a, s) , ∂a ∂s

L (0, s) = exp (−sT ) .

Azonnal látható, hogy az

sT L (a, s) = exp − 2sa + 1

kielégíti az egyenletet és a Cauchy—Kovalevszkaja–tétel miatt a megoldás ismét egyértelm˝u.

4. fejezet

Mértékcsere A szemimartingálok osztálya számos m˝uveletekre meglehet˝osen stabil. Például az Itô–formula szerint, ha valamely szemimartingált beteszünk egy C 2 , vagy egy konvex függvénybe, akkor újra szemimartingált kapunk. A Girszanov–formula a szemimartingálok másik fontos stabilitási tulajdonságát, a mértékcserére vonatkozó, stabilitást tartalmazza. A mértékcsere a helyettesítéssel való integrálás technikájának átvitele közönséges integrálokról sztochasztikus folyamatokra, vagyis függvénytereken értelmezett mértékekre.

4.1. Girszanov–formula Ha a Q mérték abszolút folytonos a P-re nézve, akkor tekinthetjük a dQ/dP deriváltat. Ha az F filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, akkor evidens módon a dQ Λ (t) $ M |Ft dP folyamat martingál1 , és az Z Z dQ Λ (t) dP = dP = Q (F ) , F F dP

F ∈ Ft

miatt Λ (t) éppen a dQ/dP Radon—Nikodym–derivált az (Ω, Ft , P)-n. Megfordítva, ha minden t-re a Q mérték Ft -re való lesz˝ukítése, amit Q (t)-vel jelölünk, abszolút folytonos a P Ft -re való P (t) lesz˝ukítésére nézve, akkor beszélhetünk a Λ (t) $

dQ (t) dP (t)

deriváltról. Ha F ∈ Fs ⊆ Ft , akkor Z Z Z Z dQ (t) dQ (s) Λ (t) dP $ dP = Q (F ) = dP $ Λ (s) dP, F F dP (t) F dP (s) F 1 Emlékeztetünk, hogy a szokásos feltételek biztosítják, hogy a Λ ekvivalens módosítás erejéig jobbról reguláris. A mértékcsere tárgyalásakor fel fogjuk tételezni az (Ω, A, P,F ) teljesíti a szokásos feltételeket.

305

4. MÉRTÉKCSERE

306

ezért a Λ martingál2 . A Λ nem feltétlenül egyenletesen integrálható, ezért nem feltétlenül van olyan ξ, amelyre Λ (t) = M (ξ | Ft ) , vagy ami ugyanaz, abból, hogy a Q abszolút folytonos minden Ft mellett még nem következik, hogy a Q abszolút folytonos az F∞ = σ (∪t Ft ) σ-algebrán is, vagyis hogy létezik a dQ/dP. Természetesen általában3 Λ ≥ 0. 4.1 Definíció. A Q mértéket a P mértékre nézve lokálisan abszolút folytonosnak mondjuk ha minden t id˝opontra Q (t) P (t) , vagyis minden t id˝opontra a Q lesz˝ukítése az Ft -re abszolút loc

folytonos a P Ft -re való lesz˝ukítésére nézve. A lokális abszolút folytonosságot Q P loc

loc

módon fogjuk jelölni. Ha Q P és P Q, akkor a P és Q mértékeket lokálisan loc ekvivalensnek mondjuk. A lokális ekvivalenciát P ∼ Q módon fogjuk jelölni. 4.2 Lemma. loc Ha Q P és σ tetsz˝oleges korlátos megállási id˝o, akkor az Fσ σ-algebrán Λ (σ) = dQ/dP. Ha a Λ egyenletesen integrálható, akkor az egyenl˝oség minden σ megállási id˝ore teljesül. Bizonyítás: A σ korlátos megállási id˝o és σ ≤ t, akkor a martingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel miatt Λ (σ) = M (Λ (t) | Fσ ) , vagyis ha F ∈ Fσ ⊆ Ft , akkor Z Z Λ (σ) dP = Λ (t) dP = Q (t) (F ) = Q (F ) , F

F

amib˝ol a lemma állítása evidens. 2 Hangsúlyozni kell, hogy a Λ általában csak martingál, és nem egyenletesen integrálható martingál. A Λ evidens módon nem negatív szupermartingál, ezért a szubmartingál konvergencia tétel miatt4 a Λ (∞) értelmes és a Fatou–lemma szerint a kiterjesztett folyamat szupermartingál, ugyanis Λ (t)

= ≥

M (Λ (N ) | Ft ) = lim inf M (Λ (N ) | Ft ) ≥ N →∞ M lim inf Λ (N ) | Ft = M (Λ (∞) | Ft ) . N →∞

A nem negatív martingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel5 alapján, ha σ ≤ τ tetsz˝oleges, nem feltétlenül korlátos, megállási id˝ok, akkor Λ (σ) ≥ M (Λ (τ ) | Fσ ) . 2 Ez

implicite azt jelenti, hogy az F filtrációról feltesszük, hogy teljesíti a szokásos feltételeket. > 0 teljesülését. Ha Λ > 0, akkor a P (t) és Q (t) mértékek ekvivalensek, vagyis a nulla mérték˝u halmazok egybeesnek. 4 V.ö.: [20], 9.102 következmény, 366. oldal. 5 V.ö.: [20], 9.122. állítás, 379. oldal. 3 De semmi sem biztosítja a Λ

4.1. GIRSZANOVFORMULA

307

4.1.1. Szemimartingálok és mértékcsere A Bichteler—Dellacherie–tétel igazolásakor már hivatkoztunk a következ˝o igen fontos észrevételre: 4.3 Állítás.loc(Szemimartingálok invarianciája) Ha Q P, akkor minden P alatti szemimartingál szemimartingál a Q alatt is. Bizonyítás: Ha valamely trajektória a véges id˝oszakaszokon korlátos változású a P alatt, akkor triviálisan korlátos változású bármely más Ω-án értelmezett mérték alatt, következésképpen, ha a V adaptált folyamat valamely szakaszon P-majdnem mindenhol korlátos változású, akkor Q-majdnem mindenhol is korlátos változású, így az állítás a következ˝o önmagában is érdekes állítás következménye. 2 4.4 Állítás.loc(Lokális martingálok transzformációja) Ha Q P, dQ (t) Λ (t) $ dP (t) és az L folyamat lokális martingál a P mérték esetén, akkor az b $ L − Λ−1 • [L, Λ] L

(4.1)

kifejezés létezik és lokális martingál a Q mérték esetén. A Λ−1 •[L, Λ] integrálfolyamat a Q mérték alatt korlátos változású. Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. b definíciója korrekt. Ehhez igazolni kell, hogy a Λ 1. El˝oször is tisztázzuk, hogy az L szigorúan pozitív a Q szerint. Vezessük be a τ $ inf {t : Λ (t) = 0} megállási id˝ot. Ha 0 ≤ q ∈ Q, akkor τ + q ≥ τ , ezért a nem negatív martingálokra vonatkozó említett megállási opciókról szóló tétel miatt Λτ ≥ M (Λτ +q | Fτ ) . A két oldalt az Fτ mérhet˝o χ (τ < ∞) függvénnyel beszorozva, majd várható értéket véve, felhasználva, hogy a jobbról való folytonosság miatt, ha τ (ω) < ∞, akkor Λ (τ (ω) , ω) = 0 0 ≥ M (Λτ +q χ (τ < ∞)) ≥ 0, m.m.

amib˝ol a {τ < ∞} halmazon Λτ +q = 0. Felhasználva, hogy a Λ jobbról folytonos, egy P nullmérték˝u halmaztól eltekintve ha τ (ω) ≤ t < ∞, akkor Λ (t, ω) = 0 . Ebb˝ol Z Q (t) ({Λ (t) = 0}) ≤ Q (t) ({τ ≤ t}) = Λ (t) dP = 0, {τ ≤t}

tehát Q (t) majdnem mindenhol Λ (t) > 0, tehát a Λ−1 a Q mérték alatt értelmes. Másképpen fogalmazva: bárhogyan is definiáljuk a Λ−1 értékét a {Λ = 0} halmazon b értéke a Q alatt a megkülönböztethetetlenség erejéig változatlan marad. az L

4. MÉRTÉKCSERE

308

2. Tegyük fel, hogy az N Λ szorzat lokális martingál a P alatt. Megmutatjuk, hogy az σ N lokális martingál a Q alatt. Tegyük fel, hogy a σ megállási id˝ore a (ΛN ) lokalizált 6 folyamat P-martingál. Ha F ∈ Fσ∧t , és r ≥ t, akkor Z Z N σ (t) dQ = N σ (t) Λσ (t) dP = F F Z Z σ σ = N (r) Λ (r) dP = N σ (r) dQ F

F

vagyis az N σ Q-martingál az (Fσ∧t )t filtráció szerint. Megmutatjuk, hogy Q-martingál az F filtráció szerint is. Tetsz˝oleges korlátos ρ F-megállási id˝ore a megállási opciókról szóló tétel alapján, felhasználva, hogy a τ $ ρ ∧ σ (Fσ∧t )t megállási id˝o7 M (N σ (0)) = M (Nτσ ) = M Nρσ , ahol az M várható értéket értelemszer˝uen a Q szerint vettük, és ezért a N σ Q martingál, tehát az N a Q mérték szerint lokális martingál. 3. Megmutatjuk, hogy az 1/Λ Q-martingál. Legyen t > s, és Z $ {ω : Λ (t, ω) > 0} . A Z halmazon Λ (s) > 0. Ha F ∈ Fs , akkor Z Z Z 1 1 1 (t) dQ = (t) dQ = (t) Λ (t) dP = Λ Λ Λ F ∩Z F ∩Z F Z 1 = P (F ∩ Z) = Λ (s) dP = F ∩Z Λ (s) Z Z 1 1 = dQ = dQ, Λ (s) Λ (s) F ∩Z F vagyis az 1/Λ F-martingál a Q alatt. 4. Az egyszer˝ubb jelölés céljából tegyük fel, hogy L (0) = 0, amib˝ol triviálisan b (0) = 0. A parciális integrálási formula, pontosabban a kvadratikus keresztvariáL ció definíciója szerint LΛ − [L, Λ] = L− • Λ + Λ− • L.

(4.2)

A bal oldalon a Λ és az L P lokális martingál, vagyis a bal oldali integrálok lokális martingálok a P mérték mellett. A két oldal Λ-val végigosztva a 2. pontban belátott megjegyzés alapján az 1 L − [L, Λ] Λ 6 V.ö.:

4.2. lemma, 306. oldal. kell látni, hogy {ρ ∧ σ ≤ t} ∈ Fσ∧t , vagyis {ρ ∧ σ ≤ t} ∩ {σ ∧ t ≤ r} ∈ Fr . Ha t ≤ r, akkor ez teljesül, ugyanis az ρ ∧ σ és a σ ∧ t megállási id˝ok. Ha t > r, akkor a vizsgált halmaz {σ ≤ r} ∈ Fr . 7 Be


309

lokális martingál a Q alatt. Ugyancsak a parciális integrálás formulája szerint a Q mérték mellett, felhasználva, hogy az 1/Λ Q-martingál és az hogy a [L, Λ] korlátos változású8 1 1 1 [L, Λ] = • [L, Λ] + [L, Λ]− • . Λ Λ Λ Ebb˝ol speciálisan az 1 • [L, Λ] Λ véges, tehát korlátos változású és a (4.1) formula értelmes9 . Az 1/Λ Q-martingál, ezért az 1 1 1 [L, Λ] − • [L, Λ] = [L, Λ]− • Λ Λ Λ szintén Q lokális martingál. Lokális martingálok összege is lokális martingál, tehát az b $ L − 1 • [L, Λ] = L Λ 1 1 1 = L − [L, Λ] + [L, Λ] − • [L, Λ] Λ Λ Λ lokális martingál a Q mérték szerint. 2 4.5 Definíció. A (4.1) transzformációt Girszanov–transzformációnak nevezzük. 4.6 Példa. Bessel–folyamat mint Girszanov–transzformált. Legyen w a w (0) = 1 feltételnek megfelel˝o a [0, 1] szakaszon definiált P Wiener– folyamat, és legyen τ a nulla pontba érkezéshez tartozó megállási id˝o. A w martingál, így a Λ $ wτ is martingál. Legyen F a Λ által generált filtráció. A Q mértéket az F1 halmazon definiáljuk a dQ/dP $ Λ (1) relációval. A Λ folytonos F-martingál, ezért a Q valószín˝uségi mérték. Pozitív P-mérték˝u halmazon a Λ (1) nulla, ezért a P és a Q nem ekvivalensek, a Q szerinti nulla halmazok a P szerinti nulla halmazok és a {Λ (1) = 0} részhalmazai. Az b $ Λ − Λ−1 • [Λ] N $Λ Q lokális martingál kvadratikus variációja a P alatt τ

[N ] (t) = [Λ] (t) = [wτ ] (t) = [w] (t) = t ∧ τ , 8 V.ö.:

(3.22) sor, 244. oldal. hogy a Λ−1 • [L, Λ] a Q alatt értelmes következik abból is, hogy a Λ−1 Q-martingál, következésképpen jobbról reguláris, így a trajektóriái minden véges szakaszon korlátosak, így az [L, Λ] ∈ V miatt a Λ−1 • [L, Λ] trajektóriánkénti integrál értelmes. 9 Az,

4. MÉRTÉKCSERE

310

R amely a Q alatt majdnem mindenhol t, ugyanis Q (τ < 1) = {τ <1} Λ (1) dP = 0. A Lévy-féle karakterizációs tétel alapján a Q alatt az N az 1 pontból elindított Wiener– m.m. folyamat. A Q alatt [Λ] = t, ezért Λ=N+

1 1 • dt = 1 + • dt + B Λ Λ

ahol B Wiener–folyamat, tehát a Λ a Q alatt az r = 1 pontból elindított három dimenziós Bessel–folyamat10 . 2 4.7 Állítás. Ha Q P, akkor az el˝orejelezhet˝o vetület a mértékcsere során nem változik. Bizonyítás: Legyen X tetsz˝oleges szorzatmérhet˝o folyamat, τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. Ha (τ n )n a τ jóslása, akkor11 Fτ n % Fτ − . Ha Λ (t) a dQ/dP megszorítása az Ft σ-algebrára, akkor Λ (τ n ) a dQ/dP megszorítása az Fτ n -re. Λ (τ n ) = M (Λ (∞) | Fτ n ) . A Lévy–féle konvergencia tétel miatt Λ (τ −) = M (Λ (∞) | Fτ − ) , tehát ha F ∈ Fτ − , akkor Z Z Z dQ dP = Q (F ) , Λ (τ −) dP = Λ (∞) dP = F F F dP vagyis Λ (τ −) éppen a dQ/dP megszorítása az Fτ − -re. Ha X ≥ 0 és F ∈ Fτ − , akkor Z Z Z dQ p p p X (τ −) dQ = X (τ −) dP $ X (τ −) hdP, dP F F Ω ahol a h Fτ − mérhet˝o. De az el˝orejelezhet˝o vetület definíciója szerint minden F ∈ Fτ − esetén Z Z p X (τ −) dP = X (τ ) dP, F

F

amib˝ol lépcs˝os függvényekre áttérve a monoton konvergencia tétel szerint Z Z p X (τ −) hdP = X (τ ) hdP, F

F

vagyis Z F

p

Z X (τ −) dQ =

X (τ ) dQ, F

tehát p X az X el˝orejelezhet˝o vetülete a Q alatt. 2 10 V.ö: 11 V.ö.:

(3.7), 232. oldal. 1.37. állítás, 25. oldal.


311

4.8 Példa. Ekvivalens mértékcserénél a Doléans–mérték megváltozhat. Legyen w Wiener–folyamat, τ $ inf {t : |w (t)| = 1} , L $ wτ . Emlékeztetünk, hogy M (τ ) < ∞, ezért Z ∞ µL (R+ × Ω) $ M d [L] = M ([L] (∞)) = 0

=

M ([wτ ] (∞)) = M ([w] (τ )) = M (τ ) < ∞.

Természetesen a τ nem korlátos, és ezért12 létezik olyan ξ ∈ L1 (Ω) , ξ > 0, kξk1 = 1, amelyre M (ξτ ) = ∞. Tekintsük a ξ által definiált ekvivalens mértékcserét. Az új mérték alatt a Doléans–mérték µ bL (R+ × Ω) = M (ξτ ) = ∞. 2 A példa érdekességét a következ˝o állítás adja. 4.9 Állítás.loc Ha Q P és X szemimartingál, H el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, akkor a H • X integrál értéke a P és a Q alatt megkülönböztethetetlen. Bizonyítás: Ha X szemimartingál a P alatt akkor szemimartingál a Q alatt is, így az állításban szerepl˝o integrálok léteznek. Az elemi folyamatok integrálja független az alapul vett mértékt˝ol. A sztochasztikus konvergencia csak a nullmérték˝u halmazoktól függ, így ha valamely sorozat sztochasztikusan konvergens a P alatt, akkor sztochasztikusan konvergens a Q alatt is. A sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel segítségével egyszer˝uen belátható, hogy az olyan korlátos folyamatok, amelyekre az állítás teljesül λ-rendszer, így a Meyer–tétel miatt a korlátos, el˝orejelezhet˝o folyamatok integrálja a két mérték esetén a megkülönböztethetetlenség erejéig egybeesik. A lokális korlátosság miatt az integrál mind a két mérték esetén létezik, így a majorált konvergencia tétellel az egyenl˝oség tetsz˝oleges el˝orejelezhet˝o lokálisan korlátos folyamatra átvihet˝o13 . 2 4.10 Állítás.loc Ha Q P és L lokális martingál, H el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamat, akkor a Q mérték alatt b \ H • L = H • L, vagyis a Girszanov–transzformáció felcserélhet˝o a sztochasztikus integrálással. ∗ L1 duálisa L∞ , vagyis τ ∈ / L1 , ezért a τ nem lehet korlátos. 13 Vegyük észre, hogy a lokális korlátosság és az el˝ orejelezhet˝oség helyett megkövetelhettük volna, hogy a H olyan el˝orejelezhet˝o folyamat legyen, amelyre a H • X integrál mind a két mérték szerint létezik. Ilyenkor a Hn $ Hχ (|H| ≤ n) korlátos folyamatokra alkalmazhatjuk a majorált konvergencia tételét. A függelékben be fogjuk látni, hogy ha H • X a P alatt létezik, akkor a Q alatt is létezik. V.ö.: D.17. állítás, 455. oldal. 12 Az

4. MÉRTÉKCSERE

312

Bizonyítás: A Λ−1 • [L, Λ] folyamat korlátos változású, tehát a H • Λ−1 • [L, Λ] integrál értelmes. A H • L lokális martingál, így értelmes az [H • L, Λ] kvadratikus variáció. A Λ−1 martingál a Q alatt, tehát a parciális integrálás formulája miatt14 Λ−1 [H • L, Λ] = Λ−1 • [H • L, Λ] + [H • L, Λ]− • Λ−1 , következésképpen a Λ−1 • [H • L, Λ] integrál a Q alatt létezik. Elemi számolással, felhasználva, hogy a H lokálisan korlátos így minden korlátos változású folyamat szerint integrálható 1 1 b • [L, Λ] =H •L−H • • [L, Λ] = H •L $ H • L− Λ Λ 1 = H • L − H • [L, Λ] = Λ 1 \ = H • L − • [H • L, Λ] $ H • L. Λ 2 4.11 Következmény. Ha az el˝oz˝o állításban feltesszük, hogy az L és az F filtráció folytonos, akkor az el˝orejelezhet˝oség feltételére nincs szükség. b folytonos lokális martingálok. Emlékeztetünk, hogy Bizonyítás: Ilyenkor az L és az L az el˝orejelezhet˝o vetület nem függ az alapul vett mértékt˝ol tehát H • L = p H • L és b = p H • L. b Ebb˝ol H •L 1 b = p\ H •L H • L $ p H • L − • [p H • L, Λ] = Λ 1 \ = H • L − • [H • L, Λ] = H • L. Λ

b = H •L

p

2 4.12 Állítás.loc Ha Q P, akkor a kvadratikus variációkra teljesülnek a következ˝ok: 1. Ha X tetsz˝oleges szemimartingál, akkor az X [X] kvadratikus variációja a P és a Q alatt megegyezik, illetve általánosabban ha X és Y tetsz˝oleges szemimartingálok, akkor [X, Y ] keresztvariáció értéke P és a Q alatt megegyezik. 2. Ha L tetsz˝oleges lokális martingál, N tetsz˝oleges folytonos szemimartingál, akkor h i b N [L, N ] = L, Bizonyítás: A szemimartingálok kvadratikus variációjának definíciója szerint [X] $ X 2 − X 2 (0) − 2X− • X. 14 V.ö.:

(3.29. állítás 244. oldal.


313

Az X− el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos, így az X− • X integrál értéke a P és a Q mértékek alatt megegyezik. Λ−1 • [L, Λ] ∈ V az N folytonos, tehát a keresztvariáció nulla. Ezt felhasználva a második állítás a h i b N L, $ L − Λ−1 • [L, Λ] , N = = [L, N ] − Λ−1 • [L, Λ] , N = [L, N ] összefüggés miatt evidens. 2

4.1.2. Mértékcsere és folytonos szemimartingálok A Girszanov–formulában szerepl˝o transzformáció az alábbi észrevételen alapszik: 4.13 Állítás. (Folytonos lokális martingálok logaritmusa) Ha Λ szigorúan pozitív, folytonos lokális martingál, akkor létezik, mégpedig egyetlen Lo} (Λ) „sztochasztikus logaritmusa”. Pontosabban az L $ Lo} (Λ) $ log Λ (0) + Λ−1 • Λ az egyetlen olyan folytonos lokális martingál, amelyre15 1 Λ = E (L) $ exp L − [L] . 2 A sztochasztikus logaritmus és a közönséges logaritmus között a log Λ = L −

1 1 [L] = Lo} (Λ) − [Lo} (Λ)] 2 2

kapcsolat van. Bizonyítás: Ha Λ = E (L1 ) = E (L2 ) , akkor mivel Λ > 0, ezért Λ 1 1 1 = = exp L1 − L2 − [L1 ] + [L2 ] , Λ 2 2 vagyis L1 −L2 = 12 ([L1 ] − [L2 ]) , tehát az L1 −L2 folytonos lokális martingál korlátos változású, következésképpen konstans, és mivel evidens módon L1 (0) = L2 (0) , ezért L1 = L2 . Mivel Λ > 0, a log Λ kifejezés értelmes, és az Itô–formula alapján log Λ

Ebb˝ol

1 1 • [Λ] $ 2 Λ2 1 1 1 $ L− • [Λ] = L − [L] . 2 Λ2 2 =

log Λ (0) + Λ−1 • Λ −

1 Λ = exp (log Λ) = exp L − [L] = E (L) . 2 2

15 Emlékeztetünk,

hogy a logaritmus egy lehetséges definíciója szerint ln x $

Rx 1

t−1 dt.

4. MÉRTÉKCSERE

314

4.14 Állítás. (Lokális martingálok logaritmikus transzformációja) loc Tegyük fel, hogy P ∼ Q, valamint, hogy a Radon—Nikodym-deriváltakból álló Λ (t) $

dQ (t) dP

martingál folytonos. Ha Λ = E (L) , vagyis L = Lo} (Λ) és az M a P mérték mellett lokális martingál, akkor az c$M cL $ M − [M, L] = M − [M, Lo} (Λ)] M

(4.3)

lokális martingál a Q mérték alatt. Ilyenkor dP (t) = dQ

−1 dQ b (t) . (t) = E −L dP

Bizonyítás: Az els˝o egyenl˝oség teljesüléséhez elegend˝o megjegyezni, hogy [M, L] $ M, log Λ (0) + Λ−1 • Λ = M, Λ−1 • Λ = =

Λ−1 • [M, Λ] .

A második igazolása a következ˝o:

b E −L

1 h b bi b $ exp −L − −L, −L = 2 1 = exp −L + [L, L] − [L, L] = 2 1 −1 = exp − L − [L, L] = (E (L)) . 2 2

Az alábbi állításban a gondolatmenetet némiképpen megfordítjuk. A mértékcserét a derivált sztochasztikus logaritmusán keresztül definiáljuk. 4.15 Állítás. (Lokális martingálok exponenciális transzformációja) Ha M és L folytonos lokális martingálok és a 1 Λ $ E (L) $ exp L − [L] 2 folyamat a [0, T ] véges vagy végtelen szakaszon martingál, akkor az c $ M − [L, M ] = M − 1 • [Λ, M ] M Λ a

Z Q (A) $

Λ (T ) dP, A

dQ $ Λ (T ) dP

(4.4)


315

mérték alatt a [0, T ] szakaszon folytonos, lokális martingál16 . Bizonyítás: Az [L, M ]-re vonatkozó formula a korábbiak szerint kapható. Evidens c folytonos, és mivel a feltétel szerint a Λ martingál, ezért módon az M dQ Λ (t) = M (Λ (T ) | Ft ) = M | Ft , dP vagyis tetsz˝oleges F ∈ Ft halmazra Z Z dQ Λ (t) dP = dP = Q (F ) , F F dP vagyis Λ (t) éppen a dQ (t) /dP (t) Radon—Nikodym–derivált az Ft σ-algebrán. Ebb˝ol az állítás az elmondottak miatt már evidens. 2

4.1.3. Girszanov–formula Wiener–folyamatokra loc

Tegyük fel, hogy w Wiener–folyamat a P mérték mellett. Ha áttérünk a Q P mértékre, akkor a w a Q alatt folytonos szemimartingál marad. Jelölje A + M a folyamat Q alatti felbontását. Az M folytonos lokális martingál, M (0) = 0. A kvadratikus variáció a mértékcsere során nem változik, így [M ] (t) = [M + A] (t) = [w] (t) = t. A Lévy–féle karakterizációs tétel17 alapján az M Wiener–folyamat a Q mérték mellett. 4.16 Definíció. Ha w Wiener–folyamat és A ∈ V, akkor a w + A folyamatot korlátos változású drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamatnak mondjuk. Ha az A folytonos és korlátos változású, akkor a w + A alakú folyamatokat Girszanov–féle Wiener–folyamatoknak mondjuk. A definíció terminológiáját felhasználva a lokálisan abszolút folytonos mértékcsere nem vezet ki a Girszanov–féle Wiener–folyamatok köréb˝ol. Másképpen fogalmazva, b transzformált szintén Wiener– ha L Wiener–folyamat, akkor a (4.1) sorban szerepl˝o L 18 folyamat . A speciális szemimartingálok egyértelm˝u felbontása miatt az említett w = A+M felbontásban M = w b = w−Λ−1 •[w, Λ] . A Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség miatt a [w, Λ] által generált mérték abszolút folytonos a [w] által generált Lebesgue– Rt mértékre nézve, így alkalmas X folyamattal M (t) = w (t) − 0 X (s) ds. A Wiener– folyamat által generált kib˝ovített filtráció folytonos, így a Radon—Nikodym–deriváltakból 16 Ha a Λ martingál, akkor Q (Ω) $ M (Λ (T )) = M (Λ (0)) = 1, vagyis a Q valószín˝ uségi mérték. Mivel a Λ szupermartingál, ahhoz, hogy a [0, T ] szakaszon martingál legyen szükséges és elegend˝o ha M (Λ (T )) = 1. Ennek megfelel˝oen a martingál feltétel pontosan azt jelenti, hogy a Q szintén valószín˝uségi mérték. V.ö.: 4.41. példa, 337. oldal. 17 V.ö.: 3.8. tétel, 226. oldal. 18 Ugyanis lokális martingál.

4. MÉRTÉKCSERE

316

álló Λ folytonos. Ha a P és a Q lokálisan ekvivalens, akkor a Λ pozitív, így reprezentálható 1 Λ $ E (N ) $ exp N − [N ] 2 módon. Az F0 σ-algebrára mérhet˝o függvények majdnem mindenhol konstansok, így Λ (0) = 1, vagyis N (0) = 0. Az N az integrálreprezentációs tétel19 miatt alkalmas Y ∈ L2loc (w) folyamattal N = N (0) + Y • w = Y • w. A mértékcsere képRt lete alapján a w (t) − 0 Y (s) ds lokális martingál, ami csak akkor lehetséges, ha Rt Rt loc X (s) ds = 0 Y (s) ds, vagyis ha P ∼ Q, akkor X ∈ L2loc (w) . Megfordítva le0 gyen X a [0, T ] szakaszon értelmezett, adaptált20 folyamat. Tegyük fel, hogy majdnem minden ω kimenetelre az X (ω) trajektória eleme az L2 ([0, T ]) térnek, vagyis tegyük fel, hogy X ∈ L2loc (w, [0, T ]) . Tegyük fel továbbá, hogy a Z 1 t 2 X (s) ds $ 2 0 0 1 2 $ exp X • w − X • [w] (t) $ E (X • w) 2 Z

Λ (t) $ exp

t

X (s) dw (s) −

(4.5)

folyamat martingál21 . Definiáljunk a Q mértéket22 a dQ/dP $ Λ (T ) szabállyal. Világos, hogy a mértékcsere során a w Wiener–folyamatnak a Z w b (t) $ w (t) −

t

X (s) ds

(4.6)

0

Wiener–folyamat fog megfelelni. 4.17 Tétel. (Girszanov–formula) Az elmondottak alapján evidens a következ˝o: 1. Lokálisan abszolút folytonos mértékcsere során Wiener–folyamat (4.1) transzformáltja az új mérték alatt szintén Wiener–folyamat. 2. Lokálisan abszolút folytonos mértékcsere során Wiener-folyamat Girszanov–féle Wiener–folyamatba megy át, a drift abszolút folytonos a Lebesgue–mértékre nézve. 3. Ha a mértékcsere lokálisan ekvivalens, akkor a drift X deriváltja eleme az L2loc (w) térnek. 19 V.ö.:

3.19. tétel, 238. oldal. a filtráció tartalmazza a nulla halmazokat, akkor a λ Lebesgue–mérték szerinti sztochasztikus integrálok adaptáltak maradnak. Ha az F nem tartalmazza a nulla halmazokat, akkor az X-r˝ol fel kell tenni, hogy progresszíven mérhet˝o. 21 Ez például teljesül ha az X konstans. Általában csak lokális martingál és mivel nem negatív, ezért szupermartingál. V.ö: 4.18. példa, 317. oldal, 4.25. állítás, 320. oldal. 22 Világos, hogy Λ (T ) F mérhet˝ o, ezért a Q az FT -n van értelmezve. T 20 Ha


317

4. Ha w Wiener-folyamat, X ∈ L2loc (w) és a (4.5) sorban szerepl˝o Λ folyamat az I = [0, T ] intervallumon martingál, akkor a (4.6) folyamat a dQ/dP $ Λ (T ) szabállyal definiált Q mérték mellett23 az I intervallumon Wiener–folyamat. 4.18 Példa. A Λ $ E (X • w) nem mindig martingál, avagy újabb24 példa integrálható lokális martingálra, amelyik nem martingál. Legyen T = 1, τ $ inf t : w2 (t) = 1 − t . Majdnem minden ω-ra w2 (t, ω) < 1−t, ha t = 0 és w2 (t, ω) > 1−t, ha t = 1, ezért a Bolzano–tétel miatt P (0 < τ < 1) = 1. Ha −2w (t) χ (τ ≥ t) , X (t) $ 2 (1 − t) akkor a τ < 1 miatt T

Z

X 2 d [w] = 4

τ

Z

0

w2 (t) (1 − t)

0

4 dt

< ∞,

vagyis X ∈ L2loc (w, [0, T ]) . Az Itô–formula alapján, ha t < 1 w2 (t) (1 − t)

2

Z = 0

t

2w2 (s)

3 ds + (1 − s)

Z 0

t

2w (s)

2 dw (s) + (1 − s)

Z 0

t

1 (1 − s)

2 ds,

amib˝ol a jobb oldali középs˝o tagot kifejezve Z τ 1 1 1 2 τ X 2 • [w] = X ds = (X • w) − Xdw − 2 0 2 0 Z τ Z τ Z τ w2 (τ ) 2w2 (s) 1 2w2 − + ds + ds − 2 3 2 4 dt = (1 − τ ) 0 (1 − s) 0 (1 − s) 0 (1 − t) # " Z τ 1 1 1 1 2 − + − + 2w (s) 3 4 2 ds ≤ 1−τ (1 − s) (1 − s) (1 − s) 0 Z τ 1 1 − + 2 dt = −1, 1−τ 0 (1 − s) Z

I

$ = = ≤

1

következésképpen Λ (1) = exp (I) ≤ 1/e, vagyis M (Λ (1)) = M (exp (I)) ≤

1 < 1 = M (Λ (0)) , e

tehát a Λ nem martingál. 2 23 Az I általában I $ [0, T ], ahol a T általában véges. Ha a Λ egyenletesen integrálható, akkor a Λ (∞) értelmes, és ilyenkor a T = ∞ is megengedett. A I zártságára azért van szükség, hogy a Λ mértékcserét definiáljon. 24 V.ö.: 1.85. példa, 61. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

318

4.19 Példa. Nem minden (4.6) alakú folyamatokhoz van olyan Q P mérték az A $ F∞ σalgebrán, hogy a w b az R+ -on Q Wiener–folyamat, vagyis nem minden Girszanov–féle Wiener–folyamatból lehet abszolút folytonos mértékcserével Wiener–folyamatot készíteni. Ha X ≡ µ, akkor w b (t) $ w (t) + µt. A nagy számok törvénye25 alapján, ha w b valamely Q mértékre Wiener–folyamat és w (t) w b (t) = 0 = lim =µ , A $ lim t→∞ t→∞ t t akkor26 , 1 = Q (A) 6= P (A) = 0, vagyis a Q nem abszolút folytonos a P-re nézve. Ennek oka, hogy bár a 1 2 Λ (t) = exp µw (t) − µ t 2 martingál, nem egyenletesen integrálható martingál, és ezért nem terjeszthet˝o ki a T = ∞ id˝opontra, ezért a Λ (t) = M (Λ (∞) |Ft ) nem teljesülhet. 2 A felmerül˝o mértékelméleti probléma jobb megértése céljából tekintsük a következ˝o definíciókat: 4.20 Definíció. Legyen (Ω, F) tetsz˝oleges filtrált tér. Az (Ω, Ft , Pt ) mez˝oket konzisztensnek mondjuk, ha tetsz˝oleges s < t esetén a Pt lesz˝ukítése az Fs -re éppen Ps . 4.21 Definíció. Az (Ω, F) filtrált teret Kolmogorov–félének mondjuk, ha valószín˝uségi mez˝ok minden (Ω, Ft , Pt ) konzisztens sorozatára az F∞ $ σ (Ft : t ≥ 0) σ-algebrán van olyan P valószín˝uségi mérték amelyre a Pt éppen a P lesz˝ukítése az Ft -re. Az elnevezést a Kolmogorov–féle alaptétellel való nyilvánvaló szoros kapcsolat indokolja. Ezt rögzíti a következ˝o példa: 4.22 Példa. Ha X tetsz˝oleges teljes, szeparábilis metrikus tér, akkor az X R+ szorzattér a cilinderhalmazok által indukált természetes filtrációval Kolmogorov–féle filtrált tér. 4.23 Példa. A C [0, ∞) a természetes filtrációval Kolmogorov–féle filtrált tér. 25 V.ö.:

A.10. állítás, 359. oldal. hogy µ 6= 0.

26 Feltéve,


319

Az Ft elemei azonosíthatók a C [0, t] teljes szeparábilis metrikus tér Borel–halmazaival. C $ ∪t≥0 Ft . A konzisztencia miatt a P halmazfüggvény egyértelm˝uen definiálható a C algebrán. A C [0, t] teljes szeparábilis metrikus tér, ezért a C elemei belülr˝ol kompakt regulárisak27 , így a P a C algebrán σ-additív28 , tehát a kiterjesztési tétel szerint kiterjeszthet˝o a σ (C) = B (C [0, ∞)) σ-algebrára. 2 Érdemes megjegyezni, hogy a Girszanov–tételben a Λ martingál, ezért ha s ≤ t, akkor a Q (t) a Q (s) kiterjesztése, tehát a mértékcsalád konzisztens. A B (C [0, ∞)) σalgebrára kiterjesztett Q mértékre nézve a w b Wiener–folyamat. Az ellenpélda szerint a Q azonban nem abszolút folytonos a P-re nézve. Az A halmaz P-nullmérték˝u, így az összes részhalmazával együtt eleme a w Wiener–folyamathoz tartozó P-szerint kib˝ovített F P filtráció minden σ-algebrájának. Ha az áttérés után a filtrációt megtartjuk és a w b folyamathoz a w kib˝ovített F P filtrációját rendeljük, akkor a t = 0 id˝opontban már az A összes részhalmaza ismert, vagyis egy Q szerint teljes mérték˝u halmaz összes B részhalmaza esetén a t = 0 id˝opontban eldönthetjük, hogy az aktuális kimenetel benne van-e a B halmazban, vagy sem, vagyis nullmérték˝u halmaztól eltekintve az összes kimenetelr˝ol a t = 0 id˝opontban már minden „információ” a rendelkezésünkre áll, tehát aw b a w kib˝ovített filtrációja szerint nem lehet Wiener–folyamat. Ha a P és a Q mértékek nem ekvivalensek, akkor a kib˝ovített filtrációk különböz˝oek lesznek! Amennyiben a Girszanov–tételt végtelen id˝ohorizonton is alkalmazni akarjuk, és ragaszkodunk ahhoz, hogy a P és a Q mértékek ugyanahhoz a filtrációhoz tartozzanak, akkor a filtráció megadásakor az Ft0 σ-algebrákat csak az Ft0 nullmérték˝u elemeinek részhalmazaival 0 nullmérték˝u részhalmazaival. A P és a Q mértékek célszer˝u b˝ovíteni és nem az F∞ minden véges t-re az Ft0 σ-algebrán ekvivalensek, így a kib˝ovített Ft egyértelm˝uen definiálható. Nyilvánvaló, hogy az így kapott F filtrált tér nem fogja teljesíteni a szokásos feltételeket. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a szokásos feltételek definiálásakor túlságosan nagyvonalúak voltunk. Természetesen a nullmérték˝u halmazok egy részét hozzá kell adni az F 0 filtrációhoz, de elegend˝o az egyes (Ω, Ft , Pt ) tereket teljessé tenni és az (Ω, F∞ ) mérhet˝o teret csak az így kapott Nt nullmérték˝u halmazokkal b˝o0 és víteni. Az így kapott F∞ minden halmaza felbontható F ∪ N módon, ahol F ∈ F∞ az N legfeljebb megszámlálható Ft0 -típusú nullmérték˝u halmaz egyesítése. Könnyen látható, hogy az F az így kapott b˝ovítéssel is folytonos marad, ugyanis minden véges id˝ohorizonton teljesülnek a szokásos feltételek. Az F filtráció mellett a w P, a w bQ Wiener–folyamat lesz. Érdemes hangsúlyozni, hogy ha a szokásos feltételek definiálásakor csak az Ft σ-algebrák teljességét követeljük meg, akkor a megállási id˝ok konstruálásáról szóló tétel29 bizonyítása szó szerint érvényben marad. Ugyancsak könnyen látható, hogy a mérhet˝o szelekció konstruálásakor is elegend˝o a filtrációt a véges id˝oszakaszokhoz tartozó nullmérték˝u halmazokkal b˝ovíteni, így a sztochasztikus analízis tételei érvényben maradnak az így konstruált sz˝ukebb filtráció esetén is30 . A bemutatott jelenség nem csak a Girszanov–formula kapcsán léphet fel. A tárgyalt mértékelméleti nehézségek a következ˝o elemi példában is jelentkeznek. 27 V.ö.:

[20], 4.2. állítás, 145. oldal. [20], 2.105. állítás, 81. oldal. 29 V.ö.: 1.21. tétel, 15. oldal. 30 Ennek tényleges ellen˝ orzését természetesen az olvasóra bízzuk. 28 V.ö.:

4. MÉRTÉKCSERE

320

4.24 Példa. A diadikus racionális számok által generált filtrált tér és a szokásos feltételek. (Ω, A,P) valószín˝uségi mez˝onek válasszuk a [0, 1] szakaszt a P $ λ Lebesgue– mértékkel. Az egyszer˝uség kedvéért a filtrációt csak a t = 0, 1, 2, . . . id˝opontokban adjuk meg az n < t < n + 1 id˝opontokban Ft $ Fn . Fn legyen a [k2−n , (k + 1) 2−n ] alakú zárt intervallumok által generált σ-algebra. Vegyük észre, hogy mivel a generáló szakaszok zártak, ezért az Fn a 0 és 1 pontok kivételével tartalmazza a k2−n alakú diadikus racionális számokat, amelyek az Fn σ-algebra egyedüli nullmérték˝u halmazai, így ha Pt a P lesz˝ukítése az Ft -re, akkor az (Ω, Ft , Pt ) mez˝ok mindegyike teljes. Az F∞ tér a diadikus racionális hosszúságú intervallumok által generált σ-algebra, vagy a [0, 1] Borel–halmazainak halmaza. A B ([0, 1]) a Lebesgue–mértékre nézve nem teljes, így a szokásos feltételek teljesüléséhez teljessé kell tenni. A teljessé tett tér a [0, 1] Lebesgue–mérhet˝o halmazai, következésképpen a nullmérték˝u halmazok száma 2c , ahol c jelöli a kontinum számosságot. Ugyanakkor, ha az F∞ teret csak az Ft nullmérték˝u halmazaival b˝ovítjük, akkor az F∞ változatlan marad, ugyanis a diadikus racionális számok részhalmazai már a kib˝ovítést megel˝oz˝oen is elemei voltak az F∞ = B ([0, 1]) mérhet˝o térnek. A B ([0, 1]) számossága c, következésképpen a nullmérték˝u halmazokkal különböz˝oképpen kib˝ovített két struktúra lényeges módon eltér. Legyen Q a 0 ∈ Ω kimenetelre koncentrálódó Dirac–mérték. Ha t < ∞, akkor az ω = 0 kimenetel nem eleme az Ft filtrációknak, így ha A ∈ Ft és Pt (A) = 0, akkor Q (A) = 0, vagyis a Q abszolút folytonos a Pt mértéke mindegyikére, következésloc

képpen Q P, miközben a Q P triviálisan nem teljesül. 2

4.1.4. Kazamaki—Novikov–feltétel Bár maga a Girszanov–formula viszonylagosan egyszer˝u, nem feltétlenül könnyen alkalmazható, ugyanis nem világos, hogy az E (L) mikor lesz a [0, T ] szakaszon martingál. A 4.15. állításból evidens, hogy ha az L folytonos lokális martingál, akkor az E (L) is lokális martingál, és mivel E (L) ≥ 0, ezért szupermartingál31 . Ha L (0) = 0, akkor E (L) (0) = 1, ezért ahhoz, hogy az E (L) martingál legyen elég igazolni, hogy M (E (L) (T )) = 1, ugyanis akkor minden t ∈ [0, T ] id˝opontban M (E (L) (t)) = 1, tehát az M (E (L) (t) | Fs ) ≤ E (L) (s) egyenl˝otlenségben majdnem minden kimenetelre egyenl˝oség van. A Girszanov–tétel nem triviális alkalmazásai azokra az állításokra épülnek, amelyek biztosítják az E (L) martingál voltát. Ezek közül a legismertebb a következ˝o: 4.25 Állítás. (Novikov–feltétel) Ha a [0, T ] véges vagy végtelen szakaszon értelmezett L folytonos, lokális martingálra 1 [L] (T ) < ∞, M exp 2 31 V.ö.:

(4.7)

1.85. példa, 61. oldal. Emlékeztetünk rá, hogy a szupermartingálok „veszítik” a várható értéket.


321

akkor a [0, T ] szakaszon a Λ $ E (L) egyenletesen integrálható32 martingál, ugyanis ilyenkor M (Λ (T )) = M (Λ (0)) . Az állítás bizonyítását megel˝oz˝oen tekintsünk a következ˝o példát: 4.26 Példa. A Novikov–feltétel elegáns, de gyenge kritérium. Legyen τ megállási id˝o. Ha L folytonos lokális martingál, akkor az Lτ is folytonos lokális martingál. 1 τ E (Lτ ) = exp Lτ − [Lτ ] = E (L) , 2 következésképpen a Novikov–feltételben a T helyébe tetsz˝oleges τ ≤ T megállási id˝o is írható. Ha a τ megállási id˝ore 1 τ <∞ (4.8) M exp 2 és w Wiener–folyamat, akkor a Novikov–feltételnek megfelel˝oen 1 M exp w (τ ) − τ = 1, 2 ugyanis a Wiener–folyamat esetén [w] (τ ) = τ . Ha τ $ inf {t : w (t) = 1} , akkor 1 1 M exp w (τ ) − τ = M exp 1 − τ = 2 2 1 1 = eM exp − τ = eL = 1, 2 2 √ ugyanis, miként közismert33 L (s) = exp − 2s . Ugyanakkor a τ megállási id˝ore triviálisan a (4.8) nem teljesül. A Novikov–feltétel gyenge volta abból is látható, az L és a −L martingálokra a kritérium egyszerre teljesül, vagy nem teljesül. Az imént bevezetett L $ wτ megállított martingálra 1 τ E (L) = exp w − τ ∧ t ≤ exp (wτ ) ≤ e 2 vagyis az E (L) korlátos, ugyanakkor az E (−L) nem egyenletesen integrálható, ugyanis 1 −1 M (E (−L) (∞)) = e M exp −1 − τ = 2 1 = e−1 M exp − τ = e−2 < 1. 2 32 A Λ egyenletes integrálhatósága hallgatólagosan abból is következik, hogy az értelmezési tartománya a [0, T ] zárt, véges esetlegesen végtelen intervallum. 33 V.ö.: [20]. Az L a τ Laplace-transzformáltja.

4. MÉRTÉKCSERE

322

2 Bizonyítás: Az E (L) nem negatív lokális martingál, tehát szupermartingál. A szupermartingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel miatt minden τ korlátos megállási id˝ore E (L (τ )) ≤ E (L (0)) = 1. A Cauchy—Schwarz–egyenl˝otlenség szerint L (τ ) M exp ≤ 2 s s [L] (τ ) [L] (τ ) ≤ $ M exp L (τ ) − M exp 2 2 s s p [L] (τ ) [L] (τ ) $ E (L (τ )) M exp ≤ M exp ≤ 2 2 s 1 ≤ M exp [L] (T ) < ∞, 2 így a Novikov–feltétel teljesülése esetén 1 sup M exp L (τ ) < ∞, 2 τ ≤T

(4.9)

ahol a szuprémumot az összes T -nél nem nagyobb34 , korlátos megállási id˝ore kell venni. Ez éppen a következ˝o állításban szerepl˝o úgynevezett Kazamaki–feltétel. 2 4.27 Állítás. (Kazamaki–feltétel) Ha L folytonos lokális martingál és teljesül a (4.9) egyenl˝oség, akkor az E (L) egyenletesen integrálható martingál. Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. 1. El˝oször egy önmagában is érdekes észrevételt igazolunk. Legyen p > 1, és tegyük fel, hogy !! √ p L (τ ) sup M exp $ K < ∞, (4.10) √ 2 p−1 τ ≤T ahol τ az összes korlátos, T -nél nem nagyobb megállási id˝on fut végig. Megmutatjuk, hogy ekkor az E (L) az Lq térben35 korlátos martingál. Vegyük az √ p+1 r$ √ p−1 34 Persze 35 q

esetlegesen T = ∞. a p-hez tartozó konjugált kitev˝o, vagyis 1/p + 1/q = 1.


323

√ kitev˝ot. A hozzá tartozó s konjugált kitev˝o p + 1 /2. Triviálisan r r q q q q E (L) = exp L − [L] exp q− L . r 2 r A Hölder–egyenl˝otlenség szerint r 1/s q √ 1/r M (E (L) (τ )) ≤ M (E ( rqL (τ ))) M exp s q − L (τ ) . r √ rqL A jobb oldalon szerepl˝o szorzat els˝o tagja nem nagyobb mint 1, ugyanis az E nem negatív, lokális martingál, vagyis szupermartingál, így a megállási opciókról szóló tétel miatt a megállított változó várható értéke nem n˝ohet. Ugyanakkor elemi számolással r √ p q , s q− = √ r 2 p−1 q

amib˝ol q

M (E (L) (τ )) ≤ M exp

!!1/s √ p L (τ ) ≤ K 1/s . √ 2 p−1 q

Az Lq térben korlátos halmazok egyenletesen integrálhatóak36 , így E (L) martingál37 , vagyis az E (L) egyenletesen integrálható martingál. 2. Megjegyezzük, hogy bár a feltételben csak a korlátos megállási id˝okre tettünk megkötést, a Fatou–lemma miatt tetsz˝oleges τ < ∞ megállási id˝ore 1 1 L (τ ) = M lim exp L (τ ∧ n) ≤ M exp n→∞ 2 2 1 L (τ ∧ n) ≤ K. ≤ lim inf M exp n→∞ 2 Megjegyezzük, hogy az L (T ) változó nem feltétlenül létezik, ugyanis például a T = ∞ is megengedett, de explicite nem követeltük meg az L (∞) létezését. Ha például L (∞) $ lim inf n L (n) , akkor az L (∞) értelmes38 és az exp (L (∞)) integrálja véges, speciálisan majdnem mindenhol39 L (∞) < ∞. 3. Megjegyezzük, hogy a (4.9) ekvivalens az 1 + sup M exp L (τ ) <∞ 2 τ ≤T 36 V.ö.:

[20], 2.65. példa, 57. oldal. 1.88. példa, 63. oldal. Vegyük észre, hogy a D osztály definíciójában az egyenletes integrálhatóságot az összes véges megállási id˝o szerinti megállított változóra követeltük meg, de annak igazolásakor, hogy a D osztályba es˝o lokális martingálok egyidej˝uleg martingálok csak a (τ n ∧ t)n és (τ n ∧ s)n alakú, korlátos megállási id˝okre használtuk a megállított változók egyenletes integrálhatóságát. 38 Az E (L) szupermartingál, ezért a T = ∞ id˝ opontra folytonos módon kiterjeszthet˝o, és az L (∞) definíciója a kiterjesztéssel konzisztens. 39 Az L (∞) = −∞ elvileg lehetséges. 37 V.ö.:

4. MÉRTÉKCSERE

324

megkötéssel, ugyanis 1 + 1 M exp L (τ ) ≤ M exp L (τ ) + 1. 2 2 Vegyük észre, hogy ha p → ∞, akkor a (4.10) feltételben szerepl˝o konstans éppen az állításban szerepl˝o 1/2-hez tart. A konstans nagyobb mint 1/2 így a (4.10) megkötés er˝osebb mint az állításban szerepl˝o, de a következmény is er˝osebb, ugyanis az egyenletes integrálhatóság helyett Lq korlátosságot igazoltunk. 4. Legyen 0 < a < 1, és tegyük fel, hogy √ p 1 < . 1< √ p−1 a A már elmondottakat az aL lokális martingálra alkalmazva !! √ a p 1 + + L (τ ) ≤ L (τ ) ≤ M exp M exp √ 2 2 p−1 ≤ K + 1 < ∞, így az E (aL) egyenletesen integrálható martingál. 1 a2 E (aL) $ exp aL − [aL] = exp aL − [L] = 2 2 a2 = exp (a (1 − a) L) exp a2 L − [L] = 2 =

exp (a (1 − a) L) (E (L))

a2

Vegyük észre, hogy az egyenl˝oség az esetlegesen végtelen T id˝opontban is érvényben marad hiszen az E (aL) és E (L) nem negatív szupermartingálok az értelmezési tartomány végpontjára folytonosan kiterjeszthet˝oek. A Hölder–egyenl˝otlenség felhasználásával 1

= M (E (aL) (T )) = a2 = M E (L) (T ) exp (a (1 − a) L (T )) ≤ 1−a2 a (1 − a) a2 ≤ M (E (L) (T )) M exp L (T ) = 1 − a2 1−a2 a a2 = M (E (L) (T )) M exp L (T ) . 1+a

Az egyenl˝otlenségb˝ol speciálisan következik, hogy az L (T ) nem lehet majdnem mindenhol −∞. Az xy függvény az x > 0 halmazon folytonos, így a majorált konvergencia tétel miatt 1−a2 0 a 1 lim M exp L (T ) = M exp L (T ) = 1, a%1 1+a 2


325

amib˝ol 1 ≤ M (E (L) (T )) , ami éppen a bizonyítani kívánt állítás. 2 4.28 Következmény. Ha L folytonos lokális martingál és az exp 12 L egyenletesen integrálható szubmartingál, akkor E (L) egyenletesen integrálható martingál. Bizonyítás: Az egyenletes integrálhatóság miatt az exp 21 L tekinthet˝o a [0, T ] zárt szakaszon. A szubmartingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel szerint, ha τ ≤ T, akkor 1 1 exp L (τ ) ≤ M exp L (T ) | Fτ , 2 2 amib˝ol a (4.9) feltétel már következik. 2 4.29 Következmény. Ha L egyenletesen integrálható martingál és M exp egyenletesen integrálható martingál.

1 2 L (T )

< ∞, akkor az E (L)

Bizonyítás: Martingál konvex függvénye szubmartingál. Az M exp 21 L (T ) < ∞ és a megállási opciókról szóló tétel miatt az exp 12 L (τ ) minden τ -ra integrálható, és teljesül az (4.9). 2

4.1.5. További feltételek Ebben az alpontban Wiener–folyamat esetén vizsgáljuk meg a Girszanov–formula alkalmazhatóságának feltételeit. Az alpontban w legyen Wiener–folyamat, X ∈ L2loc (w) és L $ X • w, Λ $ E (L). Tegyük fel továbbá, hogy T < ∞. 4.30 Állítás. Ha X és w függetlenek, akkor a Λ a [0, T ] szakaszon martingál. Bizonyítás: Tekintsük a Z Λ (T ) $ exp 0

T

1 Xdw − 2

Z

!

T 2

X dλ 0

kifejezést és tegyük fel, hogy az X és a w függetlenek. A Λ nem negatív lokális martingál, tehát szupermartingál, így elegend˝o megmutatni, hogy M (Λ (T )) = 1.A várható érték kiszámításakor a függetlenségre tett feltétel miatt feltehetjük, hogy Ω =

4. MÉRTÉKCSERE

326

Ω1 × Ω2 és a w csak az ω 1 az X csak az ω 2 függvénye, illetve az (Ω1 , A1 , P1 ) és az (Ω2 , A2 , P2 ) terek megegyeznek. A Fubini–tétel szerint

=

M (Λ (T )) = Z Λ (T ) d (P1 × P2 ) = Ω1 ×Ω2

Z

Z

=

Z exp

Ω2

0

Ω1

T

1 X (ω 2 ) dw (ω 1 ) − 2

!

T

Z

2

X (ω 2 ) dλ dP1 (ω 1 ) dP2 (ω 2 ) . 0

RT A bels˝o integrálban az L (ω 2 ) $ 0 X (ω 2 ) dw (ω 1 ) kvadratikus variációja az X ∈ RT 2 L2loc (w) feltétel miatt 0 X (ω 2 ) dλ < ∞ majdnem minden ω 2 -re, így Z 1 [L (ω 2 )] dP1 (ω 1 ) < ∞ exp 2 Ω1 tehát teljesül a Novikov–feltétel, így a bels˝o integrál majdnem minden ω 2 -re egy következésképpen a teljes integrál értéke is egy. 2 4.31 Állítás. Ha alkalmas δ > 0 számra sup M exp δX 2 (t)

< ∞,

t≤T

akkor a Λ a [0, T ] szakaszon martingál. Bizonyítás: A Jensen–egyenl˝otlenség alapján exp

1 [L] (T ) 2

=

exp

≤

1 T

! T X 2 (t) dt ≤ 2 0 T X 2 (t) exp dt. 2

1 T

Z

T

0

Z

T

Ha T /2 ≤ δ, akkor a feltételt felhasználva becslés folytatható 1 M exp [L] (T ) 2

≤ ≤

T

T X 2 (t) M exp dt ≤ 2 0 sup M exp δX 2 (t) < ∞, 1 T

Z

t≤T n

így teljesül a Novikov–feltétel, vagyis M (Λ (T )) = 1. Osszuk fel a (tk )k=0 pontokkal a [0, T ] véges szakaszt n darab 2δ-nál rövidebb szakaszra. Ha Z tk+1 Z 1 tk+1 2 Λk $ exp X (t) dw (s) − X (s) ds 2 tk tk

4.2. A FORMULA ALKALMAZÁSAI

327

m.m.

akkor az elmondottak miatt M (Λk ) = 1 és M (Λk | Ftk ) = 1, következésképpen M (Λ (T ))

= M M Λ (T ) | Ftn−1

=

= M M Λn−1 Λ (tn−1 ) | Ftn−1

=

=

= M Λ (tn−1 ) M Λn−1 | Ftn−1

= M (Λ (tn−1 )) = · · · = M (Λ (t1 )) = 1. 2 4.32 Példa. Ha X Gauss-folyamat és sup |M (X (t))| < ∞ és

sup D (X (t)) < ∞,

t≤t

t≤T

akkor a Λ a [0, T ] szakaszon martingál. Ha µ és σ jelöli az X (t) változó szórását és várható értékét, akkor közvetlen számolással 2 ! Z 1 x−µ 1 2 2 √ exp δx exp − dx == M exp δX (t) = 2 σ σ 2π R exp δµ2 / (1 − 2δσ) √ . = 1 − 2δσ Ha δ < 1/ 2 supt≤T D (X (t)) , akkor a feltétel miatt az M exp δX 2 (t) korlátos. 2

4.2. A formula alkalmazásai Tekintsük a formula két alkalmazását.

4.2.1. Drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat A Wiener–folyamat egyszer˝u általánosítása a drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat. 4.33 Definíció. Legyen µ ∈ R, w Wiener–folyamat. A w(µ) (t) $ w (t) + µt folyamatot µ drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamatnak mondjuk. 4.34 Példa. A drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat találati idejének Laplace–transzformáltja.

4. MÉRTÉKCSERE

328

(µ)

(µ)

Jelölje τ a a w(µ) a ponthoz tartozó találati idejét. Számoljuk ki a τ a transzformáltját! Vezessük be a

Z 1 2 Q (A) $ exp µw (t) − µ t dP $ Λ (t) dP, 2 A A Z

Laplace–

A ∈ Ft

(4.11)

mértéket40 . A Girszanov–tétel miatt a w b (s) $ w (s) − µs a Q alatt Wiener–folyamat (µ) a [0, t] szakaszon. Jelölje b τ a w b (t) + µ (t) a pontba való érkezésének id˝opontját. a

b τ (µ) b b τ (µ) τ a(µ) (ω) = a pontosan akkor, ha b τ a(µ) (ω) < ∞ a (ω) < ∞ és w a (ω) + µb és w b τ (µ) = a. Ha σ ≤ t megállási id˝o, akkor az Fσ σ-algebrán a dQ/dP a (ω) derivált41 Λ (σ) . A σ Fσ -mérhet˝o, vagyis az alábbi várható értékeket elég az Fσ -en venni. A Laplace–transzformált csak az eloszlástól függ, ezért ha s > 0, akkor

(µ,a)

Lt

(s) $ MP exp −s τ (µ) = MQ exp −s b = τ (µ) a ∧t a ∧t dQ = = MP exp −s b τ a(µ) ∧ t dP (µ) ∧ t = ∧ t Λ b τ = MP exp −s b τ (µ) a a 1 τ a(µ) ∧ t − µ2 b = MP exp −s b τ a(µ) ∧ t exp µw b ∧ t . τ (µ) a 2

s > 0, így az MP mögötti kifejezést majorálja az exp µw b τ (µ) ∧ t . Ha a ≥ 0, a (µ) akkor w b τ a ∧ t ≤ a, tehát

exp µw b τ (µ) ≤ exp µa, a ∧t

ezért a t → ∞ határérték bevihet˝o az integrálok mögé42 . A Wiener–folyamat τ a találati

40 Miként

a 4.19. példában, 318. oldal, megjegyeztük, a Q tekinthet˝o az egész téren értelmezett mérték (µ) lesz˝ukítésének, de erre nincs szükség. Vegyük továbbá azt is észre, hogy az alább definiált b τ a az eredeti P mérték szerint m.m. véges, de a Q szerint esetleg egy pozitív halmazon végtelen is lehet. Ez éppen a már látott jelenség, a Q nem abszolút folytonos a P-re nézve. 41 V.ö.: 4.2. lemma, 306. oldal. (µ) 42 Vegyük észre, hogy mivel b τ a < ∞ P m.m., ezért az integrálok alatti határértékek P m.m. léteznek.


329

idejének Laplace–transzformáltját felhasználva43 L(µ,a) (s) $ M exp −sτ (µ) = a 1 2 (µ) = M exp −sb τ a(µ) exp µw b µ τ (µ) b τ − = a a 2 1 = exp (µa) M exp − s + µ2 b τ (µ) = a 2 1 = = exp (µa) M exp − s + µ2 τ a 2 p = exp (µa) exp − |a| 2s + µ2 . (µ)

A Wiener–folyamat szimmetriája miatt τ a L(µ,a) (s)

(−m) ∼ = τ −a , ezért ha a < 0, akkor

= L(−µ,−a) (s) = p = exp (µa) exp − |a| 2s + µ2 .

Ha s → 0, akkor P τ (µ) a < ∞ = exp (µa − |µa|) ,

(4.12)

amely szerint a µ drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat pontosan akkor éri el majdnem minden kimenetelre az a értéket, ha az a és a µ el˝ojele azonos. 2 4.35 Példa. Drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamat maximumfolyamata. A w(µ) µ drifttel rendelkez˝o Wiener–folyamatra definiálható az n o S (µ) (t) $ max w(µ) (s) : 0 ≤ s ≤ t maximumfolyamat. Határozzuk meg az w(µ) , S (µ) együttes eloszlását. Vezessük be a (4.11) sorban szerepl˝o mérték „inverzét”, vagyis a dQ 1 2 $ Λ (t) $ exp (−µ) w (t) − µ t dP 2 mértéket. A Girszanov–tétel miatt a Q alatt a w(µ) Wiener–folyamat. Ha x ≤ y, y > 0, akkor F (µ) (x, y) $ P w(µ) (t) < x, S (µ) (t) < y = = MP χ w(µ) (t) < x, S (µ) (t) < y = dP , = MQ χ w(µ) (t) < x, S (µ) (t) < y dQ 43 Illetve (µ) τa (µ) τa

kihasználva, hogy τ a < ∞, vagyis w (τ a ) = a majdnem minden kimenetre. Mivel a felveheti a +∞ értéket is a Laplace–transzformált definícióját értelemszer˝uen módosítani kell. Ha (ω) = ∞ és s > 0, akkor exp (−sτ a (ω)) $ 0.

4. MÉRTÉKCSERE

330

ahol dP 1 1 = Λ−1 (t) = exp µw (t) + µ2 t = exp µw(µ) (t) − µ2 t . dQ 2 2 A Wiener–folyamat és a maximumfolyamatának együttes s˝ur˝uségfüggvénye44 2y − x 2 (2y − x) √ , x ≤ y, y > 0, ϕ f (x, y) $ t3/2 t ahol ϕ a standard normális eloszlás s˝ur˝uségfüggvénye, ezért ha x ≤ y > 0, akkor F (µ) (x, y) = Z x Z y = −∞

Z

x

= −∞ x

Z =

−∞

1 2 (2u − s) 2u − s √ exp µs − µ2 t ϕ duds = 2 t3/2 t max(0,s) exp µs − 12 µ2 t s − 2 (max (0, s)) s − 2y √ √ √ ϕ −ϕ ds = t t t exp µs − 12 µ2 t s s − 2y √ √ ϕ √ −ϕ ds. t t t

Az exponenciális tagokban teljes négyzetet véve a kifejezés45 Z x 1 s − tµ s − 2y − tµ (µ) √ √ √ F (x, y) = ϕ − exp (2µy) ϕ ds = t t t −∞ x − tµ x − tµ − 2y √ √ = Φ − exp (2µy) Φ . t t A kifejezést x majd y szerint deriválva 2 (2y − x) x − tµ − 2y √ f (µ) (x, y) = ϕ exp (2µy) = t3/2 t ! 2 1 2 2 (2y − x) (x − 2y) √ exp µx − µ t . = exp − 2t 2 t3/2 2π 2

4.2.2. Clark–formula Jelölje P az Ω $ C ([0, T ]) téren értelmezett Wiener–mértéket. Ha w (t, ω) $ ω (t) jelöli a koordinátafolyamatot, akkor a Wiener–mérték definíciója miatt a w Wiener– folyamat. Legyen g az Ω téren értelmezett differenciálható funkcionál. Ez másképpen azt jelenti, hogy tetsz˝oleges ω ∈ C ([0, 1]) esetén g (ω + h) − g (ω) = hgω0 , hi + o (khk) , 44 V.ö.:

A.15. állítás, 366. oldal. Φ a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

45 Értelemszer˝ uen


331

ahol gω0 ∈ C ∗ ([0, T ]) , vagyis gω0 a C ([0, T ]) téren értelmezett, folytonos lineáris funkcionál. A reprezentációs tétel szerint a gω0 alkalmas µω mérték szerinti integrálként áll el˝o, vagyis Z T hgω0 , ϕi = ϕ (t) dµω (t) , ϕ ∈ C ([0, T ]) . (4.13) 0

Tegyük fel, hogy a g deriváltja korlátos, vagyis tetsz˝oleges ω esetén alkalmas K konstansra kg 0 (ω)k ≤ K. A középérték-tétel miatt |g (ω) − g (0)| ≤ K kωk = K sup |ω (t)| . t∈[0,T ]

A supt∈[0,T ] |ω (t)| s˝ur˝uségfüggvénye46 fT (a) $ 2 √

a2 1 exp − , 2T 2πT

a>0

amelynek triviálisan létezik az összes momentuma, így g ∈ L2 (Ω, B (Ω) , P). A sztochasztikus integrálokra vonatkozó reprezentációs tétel szerint47 Z g = M (g) +

T

hdw.

(4.14)

0

Az alábbi gondolatmenet célja a h folyamat „explicit” el˝oállítása. Legyen u a [0, T ] szakaszon értelmezett tetsz˝oleges korlátos, adaptált folytonos folyamat. A Girszanov– tétel miatt tetsz˝oleges ε > 0 esetén a ! Z T Z ε2 T 2 dQ(ε) $ exp ε u (s) dw (s) − u (s) ds dP 2 0 0 mérték mellett a w(ε) (t) $ w (t) − ε

Z

t

u (s) ds $ w (t) − ϕ (t) 0

Wiener–folyamat. (ε) M (g) $ MP (g (ω)) = MP (g (w)) = MQ g w(ε) = dQ(ε) dQ(ε) (ε) P P g w =M g (w − εϕ) $ = M dP dP $ M (Λ (ε) g (ω − εϕ)) . Az ε = 0 pontban a kifejezést deriválva a bal oldalon nulla van. Megmutatjuk, hogy a jobb oldalon a deriválás elvégezhet˝o a várható érték mögött. Az egyenl˝oséget átren46 V.ö.: 47 V.ö.:

A.17. következmény, 367. oldal. (3.12) sor, 235. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

332

dezve

0

Λ (ε) g (ω − εϕ) − Λ (0) g (ω) = ε g (ω − εϕ) − g (ω) M (Λ (ε) − 1) + ε g (ω − εϕ) − g (ω) +M + ε Λ (ε) − 1 g (ω) . +M ε

= M =

Mivel |g (ω + ϕ) − g (ω)| ≤ K kϕk ,

(4.15)

az els˝o tag kisebb mint K kϕk M (|Λ (ε) − 1|) → 0, Ugyancsak e miatt a második tagra alkalmazható a majoráns konvergencia tétel, tehát a határértéke −M (hg 0 (w) , ϕi) . A harmadik kifejezésben Λ (ε) − 1 → ε

Z

T

u (s) dw (s) 0

és a konvergencia L2 -ben teljesül, g ∈ L2 , így ! ! Z T 0=M udw g (w) − M (hg 0 (w) , ϕi) . 0

Átrendezve ! !

T

Z M

= M (hg 0 , (u • λ)i) =

udw g 0

T

Z

!

t

Z

u (s) dsdµω (t) .

= M 0

0

A (4.14) sorban szerepl˝ o reprezentációt beírva és felhasználva, hogy az u korlátossága RT miatt M 0 udw = 0 ! Z T

M g

udw

=

0

Z = M

!Z

T

M (g) + Z

udw

Z +M

= M

0

! Z

T

hdw 0

!!

T

udw 0

! Z

T

hdw

0

Z

=

0

!

T

= M (g) M

udw

hdw 0

!

T

.

!!

T

udw 0

=


333

A parciális integrálás formulája és a sztochasztikus integrálok kvadratikus variációjának képlete szerint ! ! Z !! Z Z T

T

M g

udw

T

hdw

= M

udw

0

0

=

0

!

T

Z = M ([h • w, u • w] (T )) = M

h (t) u (t) dt . 0

Tekintsük az (s, ω) 7→ µω ((s, T ]) módon definiált C folyamat p C el˝orejelezhet˝o vetületét. Az el˝orejelezhet˝o vetület létezik, ugyanis a Wiener-folyamathoz tartozó kiterjesztett F filtráció teljesíti a szokásos feltételeket, a C az s változóban jobbról folytoRT nos, és mivel tetsz˝oleges ψ ∈ Ω esetén a hg 0 (ω) , ψi $ 0 ψdµω iránymenti derivált az ω változóban mérhet˝o, ezért a C az ω-ban mérhet˝o, így a C szorzatmérhet˝o. A p C definíciója szerint48 , felhasználva, hogy a Wiener-folyamat szerinti filtráció balról folytonos p

C (s, ω)

=

M (C (s, ω) | Fs− ) $ M (µω ((s, T ]) | Fs− ) =

=

M (µω ((s, T ]) | Fs ) .

Ezt figyelembe véve és az integrációs határokat felcserélve ! ! Z T Z T M u (t) h (t) dt = M g (w) udw = 0

0

Z

T

Z

= M

u (s, ω) dsdµω (t) 0

Z

=

0 T

Z

= M

!

T

u (s, ω) dµω (t) ds 0

Z

T

Z u (s, ω)

0

Z

=

s

= M

=

!

t

!

T

dµω ds

=

s

!

T

M

u (s, ω) µω ((s, T ]) ds

$

0

Z $

T

M

! u (s) C (s) ds

=

0

Z

T

=

M (u (s) C (s)) ds = 0

Z

T

= 0

M (u (s) M (C (s) | Fs )) ds = ! Z T

=

u (s) (p C (s)) ds ,

M 0

48 V.ö.:

(1.34) sor, 76. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

334

amib˝ol, felhasználva, hogy az u tetsz˝oleges a (4.14) el˝oállításban h (t, ω) = p C (t, ω) = M (µω ((t, T ]) | Ft ) , amit szokás Clark–formulának is nevezni. Megjegyezzük, hogy a formula levezetéséhez nem szükséges, hogy a g korlátosan deriválható legyen. Elegend˝o megkövetelni, hogy a g Lipschitz–folytonosságát, vagyis alkalmas K konstanssal teljesüljön a (4.15), és hogy a g iránymenti deriváltja majdnem minden kimenetelre minden ϕ = u • λ alakú folyamatra létezzen és felírható legyen (4.13) módon. 4.36 Példa. RT Számoljuk ki a g (ω) = g (w) $ 0 w (s) ds reprezentációját. A kifejezés folytonos lineáris funkcionál, így hg 0 (w) , ϕi =

T

Z

ϕ (s) ds, 0

vagyis µω (t) = t. A Clark–formula szerint h (t, ω) = M (µω ((t, T ]) | Ft ) = T − t, tehát Z

T

Z

0

T

(T − s) dw (s) .

w (s) ds = M (g) + 0

A Fubini–tétel miatt az M (g) triviálisan nulla, így Z

T

Z

T

(T − s) dw (s) .

w (s) ds = 0

0

p Az utóbbi kifejezés Wiener–integrál, amely eloszlása49 N 0, T 3/2 / 3/2 . 2

4.3. Ekvivalens martingálmértékek Legyen S szemimartingál a P mérték alatt. A Girszanov–transzformáció szorosan összefügg a következ˝o kérdéssel: található-e olyan P-vel ekvivalens Q mérték, amely alatt az S martingál, vagy lokális martingál lesz? 4.37 Definíció. Az ilyen mértékeket az S ekvivalens martingál, illetve ekvivalens lokális martingálmértékének nevezzük. 4.38 Példa. Nincs feltétlenül ekvivalens martingálmérték. 49 A

formula a parciális integrálás formulájából közvetlenül is kiszámolható. V.ö.: 3.32. példa, 245. oldal.

4.3. EKVIVALENS MARTINGÁLMÉRTÉKEK

335

Ha X folytonos, korlátos változású folyamat, akkor az X minden mérték mellett folytonos, korlátos változású folyamat marad, így ha nem konstans, akkor nincs olyan mérték, amely mellett lokális martingál lenne. Felvethet˝o, hogy az ellenpélda nem „igazi", ugyanis az X-nek a „lokális martingál része” nulla. Tekintsük az X (t) $ w (t ∧ 1) + t szemimartingált. Tegyük fel, hogy a Q P mérték mellett az X lokális martingál. Az X kvadratikus variációja Z t Z t t∧1= χ ([0, 1]) ds $ α2 (s) ds, 0

0

így Doob–féle integrálreprezentációs tétel miatt alkalmas w e Wiener–folyamatra Q majdnem mindenhol Z t X (t) = χ ([0, 1]) dw e (s) = w e (t ∧ 1) = w (1 ∧ t) + t. 0

Ha t % ∞, akkor a bal oldal és a jobb oldali els˝o kifejezés mindenhol konvergens. Ebb˝ol következ˝oen a t Q majdnem mindenhol konvergens, vagyis Q (Ω) = 0, ami lehetetlen. 2 4.39 Példa. Az ekvivalens martingálmérték nem feltétlenül egyértelm˝u. Legyen (w1 , w2 ) független koordinátákból álló kétdimenziós Wiener–folyamat50 . [wi ] t = exp wi − (t) . Mi (t) $ exp wi (t) − 2 2 Tekintsük a

1 τ $ inf t : M1 (t) = 2

,

σ $ inf {t : M2 (t) = 2}

m.m.

megállási id˝oket. Mivel51 M1 → 0 és M1 (0) = 1, ezért τ < ∞. Világos, hogy az M2σ korlátos, ezért egyenletesen integrálható martingál. Ennek megfelel˝oen 1 = M (M2σ (0)) = M (M2σ (∞)) . Az M2σ (∞) értéke 0, vagy 2, attól függ˝oen, hogy a σ véges vagy végtelen, ezért P (σ = ∞) = P (σ < ∞) =

1 . 2

Vezessük be az X $ M1σ∧τ és Y $ M2σ∧τ folyamatokat. Megmutatjuk, hogy az Xhez több ekvivalens martingálmérték tartozik. Az X martingál, ezért az eredeti P az X martingálmértéke. Belátjuk, hogy a Z Q (A) $ Y (∞) dP A 50 A

filtráció legyen a generált filtráció. 51 V.ö.: [20], 9.105. példa, 367. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

336

szintén az X martingálmértéke. Az Y $ M2σ∧τ korlátos, tehát egyenletesen integrálható, így az Y (∞) érték létezik. Majdnem minden kimenetelre τ < ∞, ezért az Y (∞) majdnem mindenhol pozitív, így a Q és a P ekvivalensek. Ha F jelöli a σ eloszlásfüggvényét, akkor a megállási opciókról szóló tétel alapján52 , felhasználva, hogy a σ független az M1τ -tól Z Z M1 (σ ∧ τ ) dP = M (M1 (t ∧ τ )) dF (t) = {σ<∞} {σ<∞} Z Z = M (M1 (0)) dF (t) = 1dF (t) = {σ<∞}

=

{σ<∞}

1 P (σ < ∞) = , 2

Az M1 M2 szorzat a két folyamat függetlensége miatt martingál53 , ezért az XY = σ∧τ (M1 M2 ) megállított folyamat is martingál. Az M2σ egyenletesen integrálható, ezért a megállási opciókról szóló tétel miatt M2 (σ ∧ τ ) = M2σ (σ ∧ τ ) = M (M2σ |Fσ∧τ ) , amib˝ol, felhasználva, hogy az M1 (σ ∧ τ ) Fσ∧τ mérhet˝o M (XY (∞))

$ M (M1 (σ ∧ τ ) M2 (σ ∧ τ )) = = M (M1 (σ ∧ τ ) M (M2 (σ) |Fσ∧τ )) = = M (M (M1 (σ ∧ τ ) M2 (σ) |Fσ∧τ )) = = M (M1 (σ ∧ τ ) M2 (σ)) = 2M (M1 (σ ∧ τ ) χ (σ < ∞)) = Z = 2 M1 (σ ∧ τ ) dP = 1, {σ<∞}

amib˝ol az XY egyenletes integrálható martingál, tehát MP (X (∞) Y (∞)) = MP (X (0) Y (0)) = 1. A Girszanov–transzformáció miatt a Q alatt az X − Y −1 • [Y, X] lokális martingál. Az XY martingál, ezért [Y, X] = 0, amib˝ol az X lokális martingál a Q alatt. Ugyanakkor 1 = MQ (X (0)) = MP (X (∞) Y (∞)) = 1, vagyis az X a Q alatt is martingál, vagyis az X-hez több ekvivalens martingálmérték is található. 2 52 Az

M1 martingál, a τ ∧ t korlátos megállási id˝o. 2.37. példa, 161. oldal.

53 V.ö.:


337

4.40 Állítás. Ha S = S (0) + V + L folytonos szemimartingál, akkor az S csak úgy rendelkezhet ekvivalens lokális martingálmértékkel, ha a V abszolút folytonos az [L] kvadratikus variációra nézve. Bizonyítás: Jelölje Q az S-hez tartozó valamelyik ekvivalens lokális martingálmértéket. Vezessük be a dQ |Ft , Λ (t) $ M dP deriváltfolyamatot. Triviálisan S = S (0) + V + L−1 • [Λ, L] + L − L−1 • [Λ, L] . A (4.1) Girszanov–transzformáció szerint az L−L−1 •[Λ, L] kifejezés a Q alatt lokális martingál. Az L folytonos, így a kvadratikus variáció ugrásaira vonatkozó (3.20) képlet miatt a [Λ, L] is folytonos, következésképpen az L−1 • [Λ, L] integrál is folytonos, tehát az L − L−1 • [Λ, L] a Q alatt folytonos lokális martingál. A S szemimartingál54 folytonos részekre való felbontása egyértelm˝u55 , így az S pontosan akkor lokális martingál a Q alatt ha V = −L−1 • [Λ, L] . A Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség miatt a [Λ, L] által generált mérték abszolút folytonos az [L] által generált mértékre nézve, így a V is abszolút folytonos az [L]-re. 2 Korábban56 láttuk, hogy amennyiben a Girszanov–transzformációt megadó Λ martingál nem egyenletesen integrálható, akkor esetleg nincs ekvivalens martingálmérték. Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés, hogy ha van ekvivalens martingálmérték, akkor ez mindig megadható-e a Girszanov–transzformáció segítségével vagy sem? 4.41 Példa. Az S = S (0) + A • [M ] + M szemimartingálhoz létezik ekvivalens lokális martingálmérték, az E (−A • M ) kiterjeszthet˝o a ∞ id˝opontra, de az ekvivalens lokális martingálmérték nem adható meg a Girszanov–transzformáció formális alkalmazásával. Miként láttuk, ha az S = S (0) + V + M folytonos szemimartingál rendelkezik Q ekvivalens martingálmértékkel, akkor a V korlátos változású rész abszolút folytonos az [M ] kvadratikus variációra nézve, vagyis alkalmas A folyamatra S = S (0) + A • [M ] + M. Kézenfekv˝o arra gondolni57 , hogy a Q ekvivalens martingálmértéket a Λ $ E (−A • M ) $ E (L) 54 V.ö.:

4.3. állítás, 307. oldal. 1.178. következmény, 127. oldal. A mértékcsere nem változtat a trajektóriák folytonosságán, így az S felbontása az új mérték mellett is egyértelm˝u. 56 V.ö.: 4.19. példa, 318. oldal. 57 V.ö.: (4.6) sor, 316. oldal. 55 V.ö.:

4. MÉRTÉKCSERE

338

transzformáció definiálja , ugyanis a (4.4) szerint az c $ M − [L, M ] = M − [−A • M, M ] = M + A • [M, M ] = S − S (0) M lokális martingál a Q-alatt. A (4.4) azonban az ekvivalens martingálmérték meghatározására csak akkor használható, ha a Λ a teljes [0, ∞] zárt szakaszon martingál, vagy ha az R+ félegyenesen egyenletesen integrálható martingál, ami azonban nem feltétlenül teljesül, még akkor sem, ha tudjuk, hogy van olyan mérték, amely alatt az S folyamat martingál. Az ellenpélda bemutatásakor a korábbi 4.39. példa58 jelöléseit fogjuk használni. τ < ∞, ezért az X folytonos pozitív martingál, tehát alkalmas N folytonos lokális martingálra X $ E (N ) . A Λ $ XY egyenletesen integrálható martingál, ezért a dQ/dP $ Λ (∞) deriválttal definiált Q valószín˝uségi mérték, és a Q alatt az S $ N − Λ−1 • [Λ, N ]

(4.16)

lokális martingál, vagyis a (4.16) szemimartingál a Q alatt lokális martingál, vagyis a Q az S ekvivalens lokális martingálmértéke. Felhasználva, hogy az XY martingál, ezért [Y, X] = hY, Xi = 0, illetve hogy folytonos folyamatnak minden korlátos változású folyamattal való keresztvariációja nulla Λ−1 • [Λ, N ]

−1 1 1 • [Λ] , N = Λ • Λ, N = log Λ (0) + Λ−1 • Λ − 2 Λ2 = [log Λ, N ] = [log X, N ] + [log Y, N ] = =

= = = = =

[log E (N ) , N ] + [log Y, N ] = 1 1 N − [N ] , N + log Y, N − [N ] = 2 2 [N, N ] + [log Y, log X] = [N, N ] + Y −1 • Y, X −1 • X = [N ] + Y −1 X −1 • [Y, X] = [N ] .

Az S definíciója szerint S $ N − Λ−1 • [Λ, N ] = N − [N ] $ A • [M ] + M, tehát az S éppen az N X = E (N ) $ E (−A • M )-hez tartozó (4.3) Girszanov– transzformálja. Megjegyezzük, hogy az X nem felülr˝ol korlátos, és így, szemben az Y -nal, az X nem egyenletesen integrálható. A pozitív szupermartingálok konvergenciatétele miatt az X (∞) határérték azonban létezik. Megjegyezzük, hogy a konstrukció miatt az X (∞) triviálisan pozitív. A Girszanov–formula59 által „sugallt” dR $ E (N ) (∞) $ E (−A • M ) (∞) = X (∞) dP 58 V.ö.: 59 V.ö.:

335. oldal. 4.14. állítás, 314. oldal.


339

nem valószín˝uségi mérték, ugyanis M (X (∞))

= M (M1 (σ ∧ τ )) = Z Z = M1 (τ ) dP+ M1 (σ ∧ τ ) dP = {σ=∞} {σ<∞} Z 1 = P (σ = ∞) + M1 (σ ∧ τ ) dP = 2 {σ<∞} Z 3 1 = + M1 (σ ∧ τ ) dP = . 4 4 {σ<∞} 2

4.3.1. Származtatott termékek árazása Az ekvivalens martingálmértékek szoros kapcsolatban vannak az eszközárazás pénzügyi problémájával. 4.42 Példa. Ármérce invarienca, önfinanszírozó portfoliónk diszkontálása. Legyen (R, S) két kockázatos termék60 és jelölje (X, Y ) a termékekb˝ol tartott mennyiségeket. Az (R, S) párról feltesszük, hogy szemimartingál, az (X, Y ) portfolió súlyokból álló folyamat pedig legyen el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos. Az (X, Y ) mennyiségeket tartalmazó portfolió értéke értelemszer˝uen V $ XR + Y S. Az (X, Y, S, R) vektorfolyamatot önfinanszírozónak mondjuk, ha V − V (0) = X • R + Y • S.

(4.17)

Az önfinanszírozás definíciója jobban érthet˝o, ha az integrálokat a hagyományos jelöléssel írjuk fel. A (4.17) egyenlet t

Z V (t) − V (0) =

Z X (s) dR (s) +

0

t

Y (s) dS (s) , 0

amely szerint a portfolió értékét a t id˝opontban úgy kapjuk, hogy a portfolió nulla id˝opontban vett értékéhez hozzáadjuk a portfolióban szerepl˝o eszközök értékváltozásából származó nyereségek és veszteségek kumulált összegét. Legyen U egy további szemimartingál. Ha U 6= 0, akkor az S és R termékek árát kifejezhetjük az U -ben is, vagyis ha U 6= 0, akkor az U válaszható ármércének. Az 1/x függvény az x 6= 0 halmazon tetsz˝olegesen sokszor deriválható, így az Itô–formula miatt az U $ S/U és az R/U szintén szemimartingál és az új ármérce mellett a portfolió értéke V $X

R S +Y $ XR + Y S. U R

60 A matematikai pénzügyek szokásos modelljében R a kötvény, S a részvény ára. V.ö.: 4.43. példa, 341. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

340

Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés, hogy vajon az X, Y, S, R vektorfolyamat önfinanszírozó marad vagy sem, vagyis érvényes-e a V − V (0) = X • R + Y • S, egyenl˝oség. A V szemimartingál, így a parciális integrálás formulája szerint V 1 1 1 V $ = V (0) + V− • + • V + V, . U U U− U Az els˝o integrálra V− •

1 U

$ = =

1 = U 1 (XR− + Y S− ) • = U 1 1 X • R− • + Y • S − • . U U (XR + Y S)− •

A levezetésben kulcs szerepet játszó (XR + Y S)− •

1 1 = (XR− + Y S− ) • U U

egyenl˝oség triviálisan teljesül, ha az (X, Y ) balról folytonos, az általános eset, amikor az (X, Y ) el˝orejelezhet˝o és lokálisan korlátos a sztochasztikus integrálokra vonatkozó majorált konvergencia tétel és a Meyer–féle monoton osztály tétel miatt teljesül. A második integrál az önfinanszírozás definíciója alapján 1 •V U−

$ = = =

1 • (V (0) + X • R + Y • S) = U− 1 • (X • R + Y • S) = U− 1 1 X •R+ Y •S = U− R− 1 1 X• •R +Y • •S . U− U−

Az utolsó tag a sztochasztikus integrál kvadratikus variációjának (3.27) képletét felhasználva 1 1 X • R, + Y • S, . U U Elemi átrendezéssel

V − V (0)

=

1 1 1 X • R− • + • R + R, + U U− U 1 1 1 +Y • S− • + • S + S, . U U− U


341

Ismételten a parciális integrálás formulája szerint R R (0) S S (0) V − V (0) = X • − +Y • − = U U (0) U U (0) X • R + Y • S.

=

A gondolatmenetet az utolsó sorra és a W $ 1/U ármércére is alkalmazhatjuk, követ kezésképpen az (X, Y ) pontosan akkor önfinanszírozó az R, S árak mellett, ha az (X, Y ) önfinanszírozó az (R, S) árak mellett. 2 4.43 Példa. Ekvivalens martingálmértékek és a származtatott termékek árazása. Tegyük fel, hogy a piaci ármozgásokat a kötvények árát megadó R és a részvények árát leíró S folyamattal modellezzük. Legyen H a T > 0 id˝opontban esedékes pénzügyi tranzakció kifizetésfüggvénye. A H természetesen FT -mérhet˝o valószín˝uségi változó. Mi a H ára a 0 id˝opontban? 1. Tegyük fel, hogy a H tranzakció replikálható, vagyis létezik olyan (X, Y ) önfinanszírozó portfolió61 , amelyre VT $ XT RT + YT ST = H.

(4.18)

Ha a kötvény R ára nem lehet nulla és az értékfolyamatot a kötvény ára szerint diszkontáljuk, akkor felhasználva, hogy a diszkontált folyamat is önfinanszírozó Z T Z T H VT Y dR + XdS = = = V (0) + RT RT 0 0 Z T = V (0) + XdS. 0

Ha R (0) = 1, akkor V (0) = V (0) . A megadott feltételek mellett a modellben62 a H egyedül értelmes ára V (0) , ugyanis ha az ár nem V (0) lenne, akkor az (X, Y ) replikáló portfoliót dinamikusan megvéve biztos nyereséghez juthatnánk63 . Az így kapott ár egyértelm˝u, ugyanis ha Z T H = V 0 (0) + X 0 dS, RT 0 akkor 0

Z

V (0) − V (0) =

T

X − X 0 dS.

0 61 V.ö.: 4.42. példa, 339. oldal. Az (X, Y ) portfoliósúlyoktól megköveteljük, hogy el˝ orejelezhet˝oek és lokálisan korlátosak legyenek. 62 Természetesen csak a modellben, ugyanis eltekintettünk például a tényleges kereskedés költségeit˝ ol stb. 63 Ha a származtatott termék ára alacsonyabb mint V (0) , akkor a származtatott termék olcsó, tehát meg kell venni, a replikáló portfolió drága, tehát el kell adni. A vagyongyüjtés, feltehet˝oen els˝o szabálya szerint minden Ferengi–üzlet alapja olcsón venni, drágán eladni.

4. MÉRTÉKCSERE

342

Kvadratikus variációkra áttérve

hR T 0

i RT X − X 0 dS = 0, tehát 0 X − X 0 dS = 0, ami-

b˝ol V 0 (0) = V (0) . A kérdés csak az, hogyan lehet a V (0) értékét egyszer˝uen kiszámolni. 2. Ha Q az X • S szemimartingál martingálmértéke és az R (0) = 1 mellett az S (0) , X (0) és Y (0) determinisztikusak64 , akkor ! Z T H Q Q Q Q XdS = (4.19) $ M = M (V (0)) + M M H RT 0 =

MQ (V (0)) + 0 = V (0) .

Feltéve persze, hogy az H replikálható. A (4.19) egyenletet az eszközárazás alapképletének szokás nevezni. 3. A (4.19) egyenl˝oség levezetéséhez szükséges replikálhatóság a martingálok integrálreprezentációs tulajdonságával függ össze. Tegyük fel, hogy az S a Q mérték mellett integrálreprezentációs tulajdonsággal rendelkezik65 , valamint hogy a Q mérték mellett a H integrálható. Tekintsük az N (t) $ MQ H | Ft folyamatot66 . Ha az F teljesíti a szokásos feltételeket, akkor az N martingál, így az S integrálreprezentációs tulajdonsága miatt alkalmas X el˝orejelezhet˝o, lokálisan korlátos folyamatra67 Z t

N (t) = N (0) +

XdS. 0

Ha az F0 a triviális filtráció, akkor N (0) = MQ H | F0 = MQ H . A H FT mérhet˝o, ezért triviálisan N (T ) = H. Az Y (t) $

N (t) R (t) − X (t) S (t) R (t)

definícióval a V $ N R = XS + Y R portfolióra V (T ) = H. Vegyük azonban észre, hogy az Y el˝orejelezhet˝oségét és lokális korlátosságát általában semmi sem biztosítja. Mivel erre szükségünk van feltesszük, hogy az (R, S) és az N folytonos. Megmutatjuk, hogy az (X, Y ) önfinanszírozó. I

64 Ez

N R − XS •R+X •S = R = N • R − X • S • R + X • S. $ Y •R+X •S $

(4.20)

a modell keretei között az alkalmazások szempontjából nem jelent megszorítást. ez pontosan mit jelent azt alább látni fogjuk. 66 Az ötlet alapja, hogy a diszkontált értékfolyamatot martingálnak szeretnénk, így N várhatóan éppen a keresett diszkontált értékfolyamat. 67 Ez éppen az emlegetett reprezentációs tulajdonság. Természetesen távolról sem világos, hogy ez mikor teljesül. 65 Hogy


343

A parciális integrálás formulája miatt S − S (0)

= S • R + R • S + R, S = = S • R + R • S,

ugyanis az R monoton n˝o68 és folytonos. X •S

= X • S•R +X • R•S = = X • S • R + XR • S = = X • S•R +R• X •S = = X • S • R + R • (N − N (0)) = = X • S • R + R • N.

A (4.20) összeget tovább számolva a parciális integrálás formulája szerint I = N • R + R • N = RN − R (0) N (0) = V − V (0) , vagyis az (X, Y ) pár valóban önfinanszírozó. Ha tehát a Q az S martingálmértéke és az S a Q alatt integrálreprezentációs tulajdonsággal bír69 , akkor érvényes az eszközárazás (4.19) alapképlete, vagyis a H ára V (0) = MQ H . 2 A bemutatott kritérium alapvet˝o hiányossága, hogy az (R, S) folyamatok ismeretében nem operacionalizálható. Ugyanakkor az elmondottakból érzékelhet˝o, hogy a (4.19) formula csak az (R, S) folyamatra tett bizonyos megkötések teljesülése mellett biztosítható és nem várható, hogy a formula általános feltételek mellett teljesüljön70 . A (4.19) teljesülését úgynevezett Itô–folyamatokra fogjuk igazolni. 4.44 Definíció. A szokásos feltételeket kielégít˝o (Ω, A,P,F) sztochasztikus alaptéren71 értelmezett S folyamatot Itô–folyamatnak mondjuk, ha az S felírható Z t Z t S (t) = S (0) + a (s, ω) ds + b (s, ω) dw (s) 0

0

módon, ahol w Wiener–folyamat, az a és b folyamatok adaptáltak és szorzatmérhet˝oek, valamint Z t P ω: |a (s, ω)| ds < ∞ = 1, t > 0 0 Z t P ω: b2 (s, ω) ds < ∞ = 1, t > 0. 0 68 Az

R a kockázatmentes befektetés ára, így monoton n˝o. a H Q alatti várható értéke véges. 70 Diszkrét véges id˝ ohorizont esetén a formula replikálható portfoliókra általában is teljesül, de diszkrét id˝ohorizont esetén az értékfolyamatot megadó „sztochasztikus integrálok” martingálok. 71 Általában az F a w Wiener–folyamat kib˝ ovített filtrációja, így az F általában folytonos és nem csak jobbról folytonos. 69 Valamint

4. MÉRTÉKCSERE

344

Az S Itô–folyamatot formálisan szokás a dS = a · dt + b · dw

(4.21)

módon jelölni. A (4.21) kifejezést az S sztochasztikus differenciáljának szokás nevezni. 4.45 Példa. Az eszközárazás alapképlete exponenciális Itô–folyamatokra. 1. Tegyük fel, hogy a részvények ára kielégíti a dS = S · [µ (t, ω) · dt + σ (t, ω) · dw]

(4.22)

sztochasztikus differenciálegyenletet, ahol µ és σ adaptált, szorzatmérhet˝o folyamatok. Az egyenlet természetesen azonos az Z t Z t S (t, ω) − S (0, ω) = µ (s, ω) S (s, ω) ds + σ (s, ω) S (s, ω) dw (s) 0

0

integrálegyenlettel. Az integrálegyenletet kielégít˝o S az S (0) , illetve a µ és a σ ismeretében könnyen kiszámolható. Az Itô–formulával azonnal ellen˝orizhet˝o, hogy az Z t Z t σ 2 (s, ω) S (t, ω) = S (0) exp µ (s, ω) − ds + σ (s, ω) dw 2 0 0 kielégíti az egyenletet. VegyükR észre, hogy implicite megköveteltük, hogy az integráRt t lok létezzenek, vagyis hogy a 0 |µ| ds és az 0 σ 2 ds integrálok majdnem minden kimenetelre végesek legyenek. A kötvény mint kockázatmentes befektetés R ára az id˝oben monoton n˝o és mivel a kötvény árával diszkontálni akarunk, ezért feltesszük, hogy az R pozitív. Ha még megköveteljük az R (0) = 1 egyenl˝oséget, akkor a Lebesgue– féle felbontási tétel miatt Z t R (t, ω) = exp r (s, ω) ds + A (t, ω) , 0

ahol az A a Lebesgue-mérték szerint szinguláris. A modell közgazdasági tartalma segítségével megmutatható, hogy az általánosság megszorítása nélkül az A szinguláris rész tekinthet˝o nullának72 , így az egyszer˝uség kedvéért feltesszük, hogy A = 0. Az így kapott (R, S) modellt diffúziós modellnek szokás mondani. Ismételten implicite Rt feltettük, hogy az 0 rds integrál majdnem minden kimenetelre véges. A részvényS diszkontált árfolyama triviálisan Z t Z t σ 2 (s, ω) S (t, ω) = S (0) exp µ (s, ω) − r (s, ω) − ds + σ (s, ω) dw , 2 0 0 így ismételten az Itô–formula miatt dS = S · [(µ (t, ω) − r (t, ω)) dt + σ (t, ω) dw] . 72 V.ö.:

[17], Theorem B.2.,329. oldal. A bizonyítás az arbitrázs kizárásának elvére épül.


Vezessük be a θ (t, ω) $

345

µ (t, ω) − r (t, ω) σ (t, ω)

folyamatot, amit a kockázat piaci árának szokás mondani. Tekintsük a Z t Z 1 t 2 θ (s, ω) dw (s) − Λ (t) $ E (−θ • w) (t) = exp − θ (s, ω) ds 2 0 0 Girszanov–féle transzformációs függvényt, ahol értelemszer˝uen megköveteljük, hogy a formula R értelmes, vagyis többek között σ > 0 és az integrálok léteznek, vagyis t P ω : 0 θ2 (s, ω) ds < ∞ = 1. Feltesszük még, hogy a Girszanov–formula alkalmazásakor nem lép fel probléma, vagyis a Λ valódi martingál73 . Legyen H a T < ∞ id˝opontban esedékes pénzügyi tranzakció. A Q mértéket válasszuk a dQ/dP = Λ (T ) egyenl˝oséggel. Vezessük ismét be az N (t) $ MQ H | Ft = M Λ (T ) H | Ft martingált. Vegyük észre, hogy a Λ−1 N adaptált folyamat replikálja a H változót. Tegyük fel, hogy az F filtráció a (4.22) modellben szerepl˝o w Wiener–folyamat filtrációja74 . Megmutatjuk a V $ RΛ−1 N reprezentálható önfinanszírozó portfolióként. A filtrációra tett feltétel miatt a Wiener–folyamat integrálreprezentációs tulajdonsága alapján75 az N Z t

N (t) = N (0) +

ψ (s) dw (s) 0

módon írható, ahol P

R

T 0

ψ 2 (s) ds < ∞ = 1. Az Itô–formula szerint

Λ−1 (t) − Λ−1 (0) =

Z

t

Λ−1 (s) θ (s) dw (s) +

0

Z

t

Λ−1 (s) θ2 (s) ds.

0

Ezt felhasználva a parciális integrálás formulája szerint I

$ Λ−1 N − Λ−1 (0) N (0) = = Λ−1 • N + N • Λ−1 + M, Λ−1 = = Λ−1 • (ψ • w) + N • Λ−1 θ2 • [w] + Λ−1 θ • w + +Λ−1 θψ • [w] .

Ez elemi számolással I = Λ−1 ψ • w + N Λ−1 θ2 • [w] + N Λ−1 θ • w + Λ−1 θψ • [w] . 73 Erre valójában nincsen szükség, a (4.19) a feltétel nélkül is teljesül, legfeljebb a Q nem valószín˝ uségi mérték. 74 Az F filtráció b˝ ovebb lehet mint az F w , de a H változónak a w Wiener–folyamat által generált filtráció szerint kell mérhet˝onek lenni. A modellben tehát csak egy „véletlen forrás” a w szerepelhet. Ha például az r a µ, vagy a σ meghatározásához további Wiener–folyamatokra van szükség és F az összes Wiener–folyamat által meghatározott filtráció, akkor a modell nem teljes, vagyis az összes FT -mérhet˝o változó árát nem tudjuk a (4.19) képlettel megadni. 75 V.ö.: 3.19. tétel, 238. oldal.

4. MÉRTÉKCSERE

346

Ha bevezetjük az α $ Λ−1 (ψ + N θ) jelölést, akkor I = θα • [w] + α • w. Elemi módon tovább alakítva I

=

θα α • [w] + Sσ •w = Sσ Sσ α • [w] + (µ − r) S Sσ α +σS • w, Sσ

Sσ

Ha X $ α/ (Sσ), akkor I

=

(µ − r) XS • [w] + σXS • w =

=

X • [(µ − r) S • [w] + σS • w] =

=

X •S

tehát Λ−1 N − Λ−1 (0) N (0) = X • S, másképpen −1

Λ

t

Z

Q

N (t) = N (0) +

XdS = M

Z

H | F0 +

0

t

XdS, 0

amib˝ol az el˝oz˝o példában76 belátott módon megmutatható, hogy a V $ RN reprezentálható önfinanszírozó portfolióval, így a H tranzakció ára a t = 0 id˝opontban éppen V (0) = MQ H . 2. Bár a levezetésb˝ol evidens, de érdemes hangsúlyozni, hogy az X •S integrál létezik. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy az Z

t

X 2d S =

0

Z 0

t

α2 2 2 σ S ds = S 2 σ2

Z

t

α2 ds

0

kifejezés majdnem minden kimenetelre véges legyen. Ez az α $ Λ−1 (ψ + N θ) kifejezésre mindig teljesül, ugyanis a ψ és a θ függvények négyzetesen integrálhatóak a Λ−1 és az N folytonos77 . 3. A P mérték mellett az S folyamat folytonos, tehát speciális szemimartingál, amely lokális martingál része Z M$

t

σ (s, ω) S (s, ω) dw (s) . 0

76 V.ö.:

4.43. példa, 341. oldal. N definíciójában F a Wiener–folyamathoz tartozó filtráció, tehát az F folytonos. V.ö.: [20] 14.43. állítás, 642. oldal, 14.46. állítás, 644. oldal. 77 Az


347

A Λ által megvalósított Q mérték mellett az c $ M − [−θ • w, M ] = M + [θ • w, M ] = M = M + σSθ • [w] = M + (µ − r) S • [w] = S lokális martingál, vagyis a Q az S lokális martingálmértéke. Megmutatjuk, hogy a Q egyértelm˝u. Legyen R az S lokális martingálmértéke. Az dR Λ (t) $ M | Ft dP pozitív martingál, amely a filtrációra tett feltétel miatt folytonos, tehát felírható E (L) módon78 . Az L az F szerint lokális martingál, az F pedig a Wiener–folyamat filtrációja, így az integrálreprezentációs tétel miatt alkalmas ϕ folyamattal L = ϕ • w. Megm.m. mutatjuk, hogy ϕ = −θ. Vegyük az S speciális szemimartingál P alatti S = M + A felbontását. Az R mérték alatt az S szintén speciális szemimartingál és az imént elmondottakkal analóg módon az S = M − ϕσS • [w] + A + ϕσS • [w] , m.m.

felbontás egyértelm˝usége miatt A = −σϕS • [w] , vagyis Z

t

Z θ (s, ω) σ (s, ω) S (s, ω) ds = −

0

t

σ (s, ω) ϕ (s, ω) S (s, ω) ds. 0

Az θ, σ és ϕ folyamatok négyzetesen integrálhatóak, az S folytonos, így az integrandusok minden véges szakaszon integrálhatóak, következésképpen a két oldalt deriválva azonnal látható, hogy majdnem minden ω kimenetelre és majdnem minden s-re az integrandusok megegyeznek. S > 0 és σ > 0 tehát m.m.

θ (s, ω) = −ϕ (s, ω) , következésképpen P = Q. 2

4.3.2. Eszközárazás és arbitrázs Az ekvivalens lokális martingálmértékek létezése szorosan összefügg az arbitrázs fogalmával. 4.46 Definíció. Azt mondjuk, hogy az (R, S) modellben az (X, Y ) pár arbitrázs a T id˝opontban, 1. ha az (X, Y ) önfinanszírozó, 2. a V $ XS + Y R értékfolyamat a [0, T ] szakaszon alulról korlátos, 78 V.ö.:


4. MÉRTÉKCSERE

348

3. V (0) = 0, V (T ) ≥ 0 és P (V (T )) > 0. 4.47 Példa. Arbitrázs és duplázó stratégiák. A V értékfolyamat alulról való korlátossága a „duplázó” stratégiák lehet˝oségével függ össze. Duplázó stratégián olyan stratégiát szokás érteni, amely biztos nyereséget eredményez, de a stratégia finanszírozásához szükséges összeg korlátlanul nagy lehet. Diszkrét id˝oparaméter˝u modellekben ehhez végtelen id˝ohorizont szükséges, de folytonos id˝oparaméter˝u modellekben ez korlátos id˝ohorizont esetén is megvalósítható. Tegyük fel, hogy (R, S) $ (1, w) . A [0, T ) félig nyílt intervallumon vegyük az I (t) $ Rt √ √ 1/ T − sdw (s) integrált. Mivel a [0, T ) intervallumon az 1/ T − s négyzete0 sen integrálható, ezért az I definíciója értelmes és az I lokális martingál. Z t 1 T [I (t)] = ds = ln . T −t 0 T −s Az [I] inverze f (t) $ T − T exp (−t) , amely a [0, ∞) félegyenest a [0, T ) intervallumra képezi. A [0, ∞) félegyenesen értelmezett J (t) $ I (f (t)) folyamat folytonos lokális martingál és [J (t)] = t, így a J Wiener–folyamat, tehát ha t → ∞, akkor a J ±∞ között ingadozik79 . Ebb˝ol következ˝oen tetsz˝oleges a számra a τ a $ inf {t ∈ [0, T ) : I (t) = a} √ megállási id˝o és majdnem minden kimenetelre τ a < T. Ha X (s) $ 1/ T − sχ (τ a ≤ s), akkor a megállítási szabály miatt a diszkontált értékfolyamat Z t Z t V (t) $ X (s) dS (s) $ X (s) dw (s) = I (t ∧ τ a ) . 0

0

Ha a > 0, akkor V (T ) = a > 0, így ha az arbitrázs definíciójában nem követelnénk meg az alulról való korlátosságot, akkor az X triválisan arbitrázs lenne80 . 2 4.48 Példa. Arbitrázs lehet˝oséget tartalmazó modell. Emlékeztetünk, hogy a háromdimenziós Bessel–folyamat kielégíti a dB =

1 dt + dw B

sztochasztikus differenciálegyenletet81 . Tekintsük a Z t 1 Q (t) = 1 + (s) ds + w (t) − 2t Q 0 79 V.ö.:

A.8. állítás, 359. oldal. 4.50. állítás, 350. oldal. 81 V.ö.: 3.15. állítás, 232. oldal. 80 V.ö.:

(4.23)


349

egyenletet kielégít˝o folyamatot. Ilyen Q folyamat van, ugyanis ha a Q mérték alatt a w b (t) $ w (t) − 2t Wiener–folyamat, akkor a Q éppen a Q-hoz tartozó háromdimenziós Bessel–folyamat82 . Miként megjegyeztük, majdnem minden kimenetelre Q > 0. Tegyük fel, hogy R ≡ 1 és S (t) $ Q (t) + 2t.Az X ≡ 1, Y ≡ −1 portfolióra V = S − R, így triviálisan V (0) = 0 és V (1) = S (1) − 1 = Q (1) + 1 > 0. A V triviálisan alulról korlátos. Megmutatjuk, hogy az (X, Y ) önfinanszírozó, következésképpen az (X, Y ) arbitrázs. V

= S − 1 $ Q (t) + 2t − 1 $ Z t 1 (s) ds + w (t) − 2t + 2t − 1 = $ 1+ Q 0 Z t 1 = (s) ds + w (t) = Q 0 Z t 1 = 1• (s) ds + w (t) = 0 Q Z t 1 = 1• 1+ (s) ds + w (t) = 0 Q = 1 • (Q (t) + 2t) = X • S = X • S + Y • R,

vagyis a V önfinanszírozó. V

= S − 1 $ Q (t) − 1 $ Z t 1 $ 1+ (s) ds + w (t) − 1 = 0 Q Z t 1 (s) ds + w (t) = = 0 Q Z t 1 = 1• (s) ds + w (t) = 0 Q Z t 1 = 1• 1+ (s) ds + w (t) = 0 Q = 1 • Q = X • S = X • S + Y • R, 2

4.49 Definíció. Azt mondjuk, hogy az (Ω, A,P,F) téren értelmezett (R, S) modell rendelkezik lokális martingálmértékkel, ha létezik P-vel ekvivalens Q valószín˝uségi mérték amely mellett az S $ S/R diszkontált részvényárfolyam lokális martingál. 82 Emlékeztetünk, hogy bár igaz, nem igazoltuk, hogy adott w Wiener-folyamat esetén a (4.23) egyenlet megoldható.

4. MÉRTÉKCSERE

350

4.50 Állítás. Ha az (X, Y ) pár arbitrázs az (R, S) modellben és U ≥ 1 tetsz˝oleges ármérce, akkor az (X, Y ) arbitrázs az (R/U, S/U ) modellben is. A Q pontosan akkor ekvivalens lokális martingálmérték az (R, S) modellben, ha ekvivalens lokális martingálmérték az (R/U, S/U ) modellben. Bizonyítás: Az (X, Y ) pár pontosan akkor önfinanszírozó az (R, S) árak mellett, ha önfinanszírozó az (R/U, S/U ) árak mellett83 . Az U pozitivitása miatt az XS + SU el˝ojele megegyezik az SR/U + Y R/U el˝ojelével. Az U ≥ 1 miatt a diszkontált értékfolyamat alulról korlátos. A második állítás evidens. 2 Az alulról való korlátosság feltétele kulcs szerepet játszik a következ˝o elemi, ugyanakkor a matematikai pénzügyekben kiemelked˝o jelent˝oség˝u állításban: 4.51 Állítás. Ha a [0, T ] szakaszon R ≥ 1 és az (R, S) modellben van ekvivalens lokális martingálmérték, akkor a modellben nincsen arbitrázs84 . Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a Q mérték mellett az S/R lokális martingál. Legyen az (X, Y ) az (R, S) modellben önfinanszírozó portfolió. Tegyük fel, hogy V (0) = 0 és a V legyen alulról korlátos. Az (X, Y ) önfinanszírozó az 1, S modellben is és az R ≥ 1 feltétel miatt a V diszkontált értékfolyamat szintén alulról korlátos. A portfolió súlyokra tett feltételek miatt a sztochasztikus integrálok lokálisan martingálok, így a V $

XS + RY $X •S R

alulról korlátos lokális martingál, tehát szupermartingál85 , tehát MQ V (T ) ≤ 0, m.m. következésképpen ha V (T ) ≥ 0, akkor V (T ) = 0, természetesen a Q, de a Q ∼ P m.m. ekvivalencia miatt a P alatt is, amelyb˝ol V (T ) = 0, tehát az (X, Y ) nem lehet arbitrázs. 2 4.52 Példa. Van olyan modell, amelyben sem arbitrázs sem ekvivalens lokális martingálmérték nincsen. 1. Legyen w Wiener–folyamat. Vezessük be a Z t Z 1 1 t 1 √ Λ (t) = exp − dw (s) − ds , 2 0 1−s 1−s 0

t < 1.

folyamatot. A folyamat minden t < 1 id˝opontra értelmes és a lognormális eloszlás várható értékének képlete alapján triviálisan nem negatív martingál. Mivel a Λ nem 83 V.ö.:

4.42. példa, 339. oldal. R ≥ 1 feltétel közgazdaságilag triviális megkötés. Az állítás természetesen az arbitrázs definíciójában szerepl˝o korlátossági feltételen múlik. 85 V.ö.: 1.86. állítás, 62. oldal. 84 Az


351

negatív martingál, ezért ha t % 1, akkor a Λ (t) majdnem minden kimenetelre konm.m. vergens. Jelölje Λ (1) a határértéket. Megmutatjuk, hogy Λ (1) = 0. Ha I (t) $ Rt √ 1/ 1 − sdw (s) , akkor az I (1 − exp (−t)) kifejezés Wiener–folyamat86 , követke0 zésképpen majdnem minden kimenetelre létezik olyan (tn )n sorozat, amelyre tn % 1 Rt m.m. és I (tn ) = 0, így az 0 1/ (1 − s) ds divergenciája miatt Λ (1) = 0.Definiáljuk a τ $ inf {t ≤ 1 : Λ (t) = 2} megállási id˝ot. Megjegyezzük, hogy ha τ < 1, akkor Λ (τ ) = 2, ha τ = 1, .akkor Λ (τ ) = 0. A Λτ folyamat a [0, 1) intervallumon korlátos, tehát egyenletesen integrálható martingál, így martingálként kiterjeszthet˝o a [0, 1] szakaszra, következésképpen a megállási opciókról szóló tétel szerint M (Λ (τ )) = 1, tehát P (τ < 1) = P (τ = 1) = 1/2. Az S árfolyamatot definiáljuk az S (t) $ w (t ∧ τ ) + I (t ∧ τ ) ,

R (t) = 1

folyamattal. 2. Tegyük fel, hogy a Q P mérték mellett az S lokális martingál. Az S kvadratikus variációja Z Z t

t∧τ =

t

α2 (s) ds,

χ (s ≤ τ ) ds $ 0

0

így Doob–féle integrálreprezentációs tétel87 miatt alkalmas w e Wiener–folyamatra a [0, 1) intervallumon Q majdnem mindenhol Z S (t) = 0

t

αdw e (s) = w (t ∧ τ ) + I (t ∧ τ ) .

Ugyanakkor α•w e = 1χ ([0, τ ]) • w e=1•w eτ = w eτ . Ha t % 1, akkor a w eτ mindenhol konvergens. A w trajektóriái folytonosak, így minden kimenetelre a w (t ∧ τ ) is konvergens. Ebb˝ol következ˝oen az I (t ∧ τ ) Q majdnem mindenhol konvergens, vagyis Q (τ < 1) = 1, tehát Q (τ = 1) = 0, ugyanakkor P (τ = 1) = 1/2, vagyis a P és a Q nem ekvivalensek. 3. Megmutatjuk, hogy a modellben nincsen arbitrázs. A Q mértéket definiáljuk a dQ/dP = Λ (τ ) képlettel. A megállási opciókról szóló tétel miatt Z Z Q (1) = Λ (τ ) dP = 1dP = 1, Ω

Ω

tehát a Q valószín˝uségi mérték. Legyen H az arbitrázst a P mérték alatt megvalósító stratégia. (H • S) (1) = H • S (1) ≥ 0, ahol természetesen a ≥ reláció P majdnem mindenhol értend˝o. Q P ezért Q majdnem mindenhol is (H • S) (1) ≥ 0.A 86 V.ö.:

4.47. példa, 348. oldal. 3.13. következmény 230. oldal. Emlékeztetünk, hogy a w e , esetlegesen egy kib˝ovített téren értelmezett. 87 V.ö.:

4. MÉRTÉKCSERE

352

Girszanov–formula a [0, 1) intervallumon alkalmazható, tehát az S a [0, 1)-en lokális martingál a Q alatt, tehát a H • S alulról korlátos88 lokális martingál a Q alatt, tehát a H • S szupermartingál a Q alatt, tehát a lim (H • S) (t) = (H • S) (1)

t%1

m.m.

létezik89 és MQ ((H • S) (1)) ≤ 0, vagyis (H • S) (1) = 0, ahol értelemszer˝uen a majdnem minden reláció a Q mérték alatt értend˝o. Legyen ε > 0 és σ ε $ inf {t : H • S ≥ ε} . Ha K $ χ [0, σ ε ] , akkor (KH • S) (1) = (H • S) (σ ε ) . Ha σ ε = 1, akkor az integrál értéke nulla, ha σ ε < 1, akkor az értéke ε, így a Q mérték alatt a KH csak akkor nem arbitrázsstratégia90 , ha Q (σ ε < 1) = 0, amib˝ol ha t < 1, akkor Q (H • S (t) ≤ 0) = 1. A t < 1 halmazon a P és a Q ekvivalensek, így P ((H • S) (t) ≤ 0) = 1, amib˝ol a folytonosság miatt P ((H • S) (1) ≤ 0) = 1. 2

88 Az

arbitrázst megadó értékfolyamat definíció szerint alulról korlátos. integrál a P alatt az arbitrázs definíciója miatt létezik, vagyis a H a P alatt a [0, 1] szakaszon integrálható. A mértékcsere nem sz˝ukíti az integrálható folyamatokat, így a (H • S) (1) Q alatt is létezik. 90 A Q az S lokális martingálmértéke, tehát a Q alatt nincs arbitrázsstratégia. 89 Az

A. függelék

Wiener–folyamat Talán a legfontosabb sztochasztikus folyamatok a Wiener–folyamatok. A folyamatosztállyal kapcsolatos matematikai tételek száma rendkívül nagy. A függelék els˝o részében a folyamattípus legegyszer˝ubb tulajdonságait foglaljuk össze. A függelék második részében a folyamat egy lehetséges konstrukcióját ismertetjük. A függelék utolsó pontjában a Wiener–folyamatokhoz kapcsolódó néhány nevezetes eloszlást ismertetünk.

A.1. Alapvet˝o tulajdonságok Érdemes hangsúlyozni, hogy a Wiener–folyamat elnevezésen nem konkrét folyamatot, hanem egy folyamatcsaládot értünk. A folyamatosztályt a tulajdonságain keresztül definiáljuk. A.1 Definíció. A {w (t, ω)}t≥0 folyamatot Wiener–folyamatnak mondjuk, ha teljesíti az alábbi négy feltételt: 1. w (0) ≡ 0, 2. a w növekményei függetlenek, √ 3. tetsz˝oleges 0 ≤ s < t értékekre a w (t) − w (s) ∼ = N 0, t − s , vagyis a w (t) − w (s) változó s˝ur˝uségfüggvénye 1

gt−s (x) $ p exp 2π (t − s)

−x2 2 (t − s)

.

4. A w folytonos abban az értelemben, hogy minden ω kimenetelre a w (ω) trajektória folytonos. A normális eloszlás momentumai alapján triviális a következ˝o: 353

A. WIENERFOLYAMAT

354

A.2 Lemma. Tetsz˝oleges 0 ≤ s < t értékekre n

M ([w (t) − w (s)] ) =

1 · 3 · . . . · (n − 1) · (t − s) 0

n/2

ha ha

n = 2k . n = 2k + 1

A.3 Lemma. Ha t1 < t2 < . . . < tk , akkor a (w (t1 ) , w (t2 ) , . . . , w (tk )) vektor eloszlásának létezik f s˝ur˝uségfüggvénye, és ! k 2 Y − (xi − xi−1 ) 1 p exp f (x1 , x2 , . . . , xk ) = 2 (ti − ti−1 ) 2π (ti − ti−1 ) i=1 ahol a jelölés egyszer˝usítése végett t0 = x0 = 0. Bizonyítás: Legyen t0 $ 0. Definíció szerint a (∆w (t0 ) , ∆w (t1 ) , . . . , ∆w (tk−1 )) független normális eloszlású változókból álló vektor, így a g s˝ur˝uségfüggvénye g (u1 , u2 , . . . , uk ) =

k Y

1 p

i=1

2π (ti − ti−1 )

exp

−u2i 2 (ti − ti−1 )

.

Az A : Rk → Rk u1

=

x1

u2

=

x2 − x1 ...

uk

=

xk − xk−1

lineáris transzformáció determinánsa 1, hiszen olyan fels˝o háromszög mátrixról van szó, amely átlójában csupa egyes van. Ha f jelöli az esetlegesen létez˝o s˝ur˝uségfüggvényt, akkor definíció szerint Z P $ f (x) dx1 . . . dxk = P ((w (t1 ) , w (t2 ) , . . . , w (tk )) ∈ H) . H

Az integráltranszformációs-tétel alapján az egyenl˝oség a következ˝oképpen folytatható: P

$ P (A (w (t1 ) , w (t2 ) , . . . , w (tk )) ∈ AH) = = P ((∆w (t0 ) , ∆w (t1 ) , . . . , ∆w (tk−1 )) ∈ AH) = Z = g (u1 , u2 , . . . , uk ) du1 . . . duk = ZAH Z = g (Ax) |det (A)| dx1 . . . dxk = g (Ax) dx1 . . . dxk , H

H

A.1. ALAPVET TULAJDONSÁGOK

355

amelyb˝ol f (x) = g (Ax) =

k Y i=1

1

p exp 2π (ti − ti−1 )

2

− (xi − xi−1 ) 2 (ti − ti−1 )

ahol x0 $ 0.

! ,

2

Miként többször jeleztük, a filtrációról érdemes megkövetelni, hogy teljesítse a szokásos feltételeket. Minden Wiener–folyamat Lévy–folyamat, illetve Feller–folyamat, ezért ez elérhet˝o ha a folyamat által generált filtrációt kiegészítjük a nullmérték˝u halmazokkal. Ennek fényében módosítjuk a Wiener–folyamat definícióját: A.4 Definíció. A t ∈ [0, ∞) id˝oparamétert˝ol függ˝o w F-adaptált folyamatot Wiener–folyamatnak mondjuk, ha teljesíti az alábbi négy feltételt: 1. w (0) = 0, 2. minden t-re és tetsz˝oleges h > 0 számra a w (t + h)−w (t) növekmény független az Ft -t˝ol, 3. tetsz˝oleges √ 0 ≤ s < t értékekre a w (t) − w (s) normális eloszlású, 0 várható értékkel és t − s szórással, 4. a w (ω) trajektóriák minden ω-kimenetelre folytonosak, 5. az F teljesíti a szokásos feltételeket. Ha másképpen nem említjük, a továbbiakban feltételezzük, hogy az F filtráció valamilyen módon adott. A.5 Példa. Ha w Wiener–folyamat az F filtrációra, akkor nem feltétlenül Wiener–folyamat egy b˝ovebb G filtrációra. Ha w Wiener–folyamat az F filtrációra, akkor a Gt $ σ (Ft ∪ F1 ) filtrációra nem lesz Wiener–folyamat, ugyanis ha 1 = s > t, akkor mivel a w (s) Ft -mérhet˝o, nem érvényes az M (w (s) | Ft ) = w (t) martingáltulajdonság. 2 A.6 Példa. A filtráció kib˝ovítése lényeges, az Ft0 $ σ (w (s) : s ≤ t) nem feltétlenül jobbról folytonos.

A. WIENERFOLYAMAT

356

Legyen w Wiener–folyamatot és F legyen az olyan ω kimenetelek halmaza, amelyhez van ε > 0, hogy a [0, ε] szakaszon a w (ω) trajektória nulla. Világos, hogy F = ∪n Fn , ahol Fn az olyan kimenetelek halmaza, ahol a w (ω) nulla a [0, 1/n] szakaszon. Az Fn mérhet˝o, hiszen ekvivalens a w (rn , ω) = 0, rn ∈ [0, 1/n] ∩ Q feltétellel. Evidens módon P (Fn ) = 0, ezért P (F ) = 0. Definíció szerint w (0) ≡ 0, ezért F00 = {Ω, ∅} , tehát1 F ∈ / F00 . Ha t > 0 és 1/n ≤ t, akkor Fn ∈ Ft0 , amib˝ol ∪1/n≤t Fn ∈ Ft0 . Ugyanakkor ∪1/n≤t Fn = F, ugyanis evidens módon ∪1/n≤t Fn ⊆ F, de ha ω ∈ F, akkor alkalmasan nagy n-re ω ∈ Fn ⊆ ∪1/n≤t Fn . Ebb˝ol viszont F ∈ ∩t>0 Ft0 = 0 0 F0+ , vagyis F00 6= F0+ . Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy az F0 σ-algebra teljes, amib˝ol az is következik, hogy a filtrációkat az A nullmérték˝u halmazaival kell b˝ovíteni és nem elegend˝o az Ft0 szerint teljessé tenni o˝ ket. 2 A Wiener–folyamatra tett feltételek nem függetlenek egymástól. Érdemes hangsúlyozni, hogy a fajsúlyos feltétel a negyedik, amely szerint a trajektóriák folytonosak. Tudunk-e ennél többet mondani? A Wiener–folyamat talán legérdekesebb tulajdonsága, hogy majdnem minden ω-ra a w (ω) trajektória egyetlen pontban sem deriválható. A.7 Tétel. (Paley–Wiener—Zygmund ) Majdnem minden ω kimenetelre a w (ω) trajektória egyetlen id˝opontban sem deriválható. Bizonyítás: Elegend˝o megmutatni, hogy majdnem minden ω-ra a w (t, ω)-nak egyetlen t id˝opontban sem létezik a jobb oldali deriváltja. Ha f tetsz˝oleges valós függvény, akkor minden t pontban tekinthetjük a következ˝o deriváltszámokat: D+ f (t) = lim sup h&0

f (t + h) − f (t) , h

D+ f (t) = lim inf h&0

f (t + h) − f (t) . h

Világos, hogy az f függvény a t pontban pontosan akkor deriválható jobbról, ha a deriváltszámok végesek és megegyeznek. Az egyszer˝ubb jelölés véget legyen [a, b] = [0, 1]. Legyenek j ≥ 1 és k ≥ 1 egész számok, és tekintsük az [ \ w (t + h) − w (t) ≤j = Ajk $ h t∈[0,1] h∈(0,1/k] [ \ = {|w (t + h) − w (t)| ≤ hj} t∈[0,1] h∈[0,1/k] ∞ halmazokat. Világos, hogy a B $ ∪∞ j=1 ∪k=1 Ajk halmaz pontosan azokból az ω kimenetelekb˝ol áll, amelyekhez létezik t id˝opont, hogy

−∞ < D+ w (t, ω)

és

D+ w (t, ω) < +∞.

1 Felmerülhet a kérdés, hogy esetleg F = ∅. Kés˝ obb megmutatjuk, hogy ha Ω $ C ([0, ∞)) jelöli a [0, ∞) szakaszon értelmezett folytonos függvények összességét és A a C ([0, ∞)) szeparábilis metrikus tér Borel–halmazai, akkor van olyan P valószín˝uségi mérték az (Ω, A) mérhet˝o struktúrán, amelyre a w (t, ω) $ ω (t) , ω ∈ Ω koordinátafolyamat Wiener–folyamat. (A pontosság kedvéért a Wiener– folyamatot w (0) ≡ 0-val definiáltuk, ezért a C ([0, ∞)) helyett csak a t = 0-ban nulla függvényeket kell venni, de ez a gondolatmenetet nem befolyásolja.) Ebben a speciális esetben az F 6= ∅ evidens módon teljesül.


357

A tételt belátjuk, ha megmutatjuk, hogy P (B) = 0. Ehhez viszont elegend˝o belátni, hogy minden k és j természetes számra P (Ajk ) = 0. Rögzítsük a j és a k számokat. Legyen ω ∈ Ajk , és legyen t az ω-hoz tartozó egyik id˝opont. A definíció alapján, ha 0 < h ≤ 1/k, akkor |w (t + h, ω) − w (t, ω)| ≤ j, h vagy ami ugyanaz |w (t + h, ω) − w (t, ω)| ≤ hj. Legyen n ≥ 4k, és osszuk fel a [0, 1] intervallumot n egyenl˝o részre. Legyen 1 ≤ i ≤ n olyan, hogy t ∈ [(i − 1) /n, i/n] . Tekintsük a következ˝o három becslés: El˝oször w i + 1 − w i ≤ w i + 1 − w (t) + w i − w (t) ≤ n n n n 2j j ≤ + n n hiszen mivel

t∈

i−1 i , n n

és

4 1 ≤ n k

(A.1)

ezért 0

<

0 <

i+1 i 1 2 1 −t= −t + ≤ ≤ , n n n n k i 1 1 −t≤ ≤ . n n k

Másodszor w i + 2 − w i + 1 ≤ n n ≤

w i + 2 − w (t) + w i + 1 − w (t) ≤ n n 3j 2j + n n

hiszen ismételten az (A.1) alapján 0

<

0 <

i+2 i 2 3 1 −t= −t + ≤ ≤ , n n n n k i+1 2 1 −t≤ ≤ n n k

Harmadszor w i + 3 − w i + 2 ≤ n n ≤

w i + 3 − w (t) + w i + 2 − w (t) ≤ n n 4j 3j + n n

A. WIENERFOLYAMAT

358

hiszen továbbra is az (A.1) alapján 0

<

0

<

i+3 −t= n i+2 −t≤ n

i 3 4 1 −t+ ≤ ≤ , n n n k 3 1 ≤ . n k

Jelölje Cin a ∩3m=1

2m + 1 i+m−1 i+m ,ω − w , ω ≤ j ω : w n n n

halmazt. Ha ω Ajk akkor az ω-hoz tartozó valamelyik t id˝opontra alkalmas i indexre t ∈ [(i − 1) /n, i/n] ezért, ha n ≥ 4k akkor az imént belátott három egyenl˝otlenségb˝ol Ajk ⊆ ∪ni=1 Cin . Elegend˝o tehát megmutatni, hogy lim P (∪ni=1 Cin ) = 0.

n→∞

Becsüljük meg a Cin esemény valószín˝uségét. A Wiener–folyamat definíciója alapján a √ i+m−1 i+m −w ξm $ n w n n változó normális eloszlású nulla várható értékkel és 1 szórással. Az exp −x2 /2 függvény a maximumát a 0 pontban veszi fel, és exp (0) = 1, ezért Z α 1 1 1 2 P (|ξ m | ≤ α) = √ exp − x dx ≤ √ 2α ≤ α. 2 2π −α 2π Felhasználva, hogy a Wiener–folyamat független növekmény˝u, minden i indexre √ i+m i + m − 1 2m + 1 3 = −w P (Cin ) = P ∩m=1 nw ≤ √n j n n 3 Y √ i+m i + m − 1 2m + 1 = P ≤ −w nw ≤ √n j n n m=1 ≤

3 · 5 · 7 · j3 . n3/2

Ez alapján lim supP (∪ni=1 Cin ) n→∞

≤ lim sup n→∞

n X i=1

P (Cin ) ≤ lim n n→∞

105j 3 = 0. n3/2 2

Az, hogy a Wiener–folyamat nem deriválható, úgy fogalmazható, hogy „lokálisan” túlságosan ingadozik. Hasonló igaz „globálisan”.


359

A.8 Állítás. Ha w Wiener–folyamat, akkor majdnem minden kimenetelre lim sup w (t) = ∞, t→∞

lim inf w (t) = −∞. t→∞

Bizonyítás: A bizonyítás kiindulópontjaként megjegyezzük, hogy elemi megfonto lások miatt tetsz˝oleges c 6= 0 esetén a cw t/c2 szintén Wiener–folyamat. Ezt az elemi, de igen fontos tulajdonságot szokás a folyamat skálázási tulajdonságának is ne vezni. Jelölje η a supt w (t) változót. Triviálisan supt cw t/c2 = cη. Valószín˝uségi változók tetsz˝oleges seregének szuprémumának eloszlása, csak a változók együttes2 , esetlegesen végtelen dimenziós eloszlásától függ, következésképpen az η és a c · η eloszlása megegyezik, így az η tetsz˝oleges Wiener–folyamatra a 0 és a ∞ pontokból álló halmazra koncentrálódik. Ha p $ P (η = 0) , akkor p

$ P (η = 0) ≤ P (w (1) ≤ 0, w (t) ≤ 0, ∀t ≥ 1) ≤ ≤ P w (1) ≤ 0, sup {w (t + 1) − w (t)} = 0 , t≥0

ugyanis a w (t + 1) − w (1) szintén Wiener–folyamat és az {η = 0} halmazon a szuprémuma nem lehet végtelen3 . Az utolsó valószín˝uségben lev˝o két esemény független, így 1 p ≤ P (w (1) ≤ 1) P sup {w (t + 1) − w (t)} = 0 = p, 2 t≥0 következésképpen p = 0. 2 A.9 Következmény. Tetsz˝oleges a számra a {t : w (t) = a} halmaz felülr˝ol nem korlátos. Speciálisan az egy dimenziós Wiener–folyamat végtelen sokszor visszatér a nulla pontba.4 A.10 Állítás. (Nagy számok törvénye) Ha w Wiener–folyamat, akkor lim

t→∞

w (t) = 0. t

Bizonyítás: A Doob–egyenl˝otlenség miatt 2 ! w (t) 1 M sup ≤ M 2n t 2 n n+1 2 ≤t≤2 ≤

! sup

2

w (t)

≤

2n ≤t≤2n+1

1 4 8 4M w2 2n+1 = 2n 2n+1 = n . 2n 2 2 2

2 A szuprémumot elég a racionális id˝ opontokban venni, tehát a szuprémum valóban valószín˝uségi változó. P (supt ξ (t) ≤ x) = P (ξ (t) ≤ x, ∀t) . 3 Valójában a második egyenl˝ otlenség egyenl˝oség, de erre nincsen szükségünk. 4 V.ö.: 3.5. tétel, 221. oldal.

A. WIENERFOLYAMAT

360

A Markov–egyenl˝otlenség szerint M

sup 2n ≤t≤2n+1

! |w (t)| 8 > ε ≤ n 2. t 2 ε

A Borel—Cantelli–lemma miatt majdnem minden kimenetelre véges sok n kitev˝ot˝ol eltekintve |w (t)| sup ≤ ε, t n n+1 2 ≤t≤2 ami éppen a kívánt összefüggés. 2

A.2. Wiener–folyamat L2 konstrukciója A Wiener–folyamatot a tulajdonságaival definiáltuk. Miként láttuk a folyamatra tett feltételekb˝ol megmutatható, hogy majdnem minden trajektóriája egyetlen id˝opontban sem differenciálható, ami alapján távolról sem triviális konstrukcióról van szó. Tetsz˝oleges sztochasztikus folyamat esetén felvethet˝o, hogy a definiáló tulajdonságok vajon konzisztensek vagy sem? Ebben a pontban a Wiener–folyamat létezésének kérdését tárgyaljuk. Számos konstrukció ismert, amely Wiener–folyamatot eredményez. Mindegyiknek van valamilyen sajátos tulajdonsága, amely a folyamat mélyebb jellemz˝ojére utal. A legegyszer˝ubb konstrukció talán a következ˝o5 : 1. A Wiener–folyamatot el˝oször a [0, 1] intervallumon állítjuk el˝o, kés˝obb a független és stacionárius növekmény feltételével a konstrukciót kiterjesztjük az R+ félegyenesre. Legyen (Ω, A, P) olyan mez˝o, amelyen létezik megszámlálható sok (ξ n )n független, normális eloszlású valószín˝uségi változó6 . Jelölje H ⊆ L2 (Ω) a változók által kifeszített zárt L2 alteret. Mivel független normális eloszlású változók lineáris kombinációja újra normális eloszlású, valamint mivel az L2 -konvergenciából következik a gyenge konvergencia7 , ezért normális eloszlású változók sorozatának L2 -határértéke normális, így a H elemeinek tetsz˝oleges véges részhalmazának együttes eloszlása normális8 . Tekintsük az L2 [0, 1] Hilbert–teret. Legyen (en )n az L2 [0, 1] tetsz˝oleges ortonormált bázisa. Tekintsük az en ←→ ξ n megfeleltetés által meghatározott T :

X k

an en 7−→

X

an ξ n

k

5 A bemutatott konstrukciót szokás Ciesielski–konstrukciónak is mondani, amely az eredeti Wienert˝ ol származó konstrukció egyszer˝usített verziója. 6 Az (Ω, A, P) választható a Lebesgue–mértékkel ellátott [0, 1] intervallumnak. 7 Vagy a s˝ ur˝uségfüggvények konvergenciája, ugyanis az L2 konvergencia miatt a várható értékek és a szórások sorozata konvergens. 8 Ebb˝ ol következ˝oen elegend˝o meghatározni a várható érték vektort, ami evidens módon nulla, illetve a korreláció mátrixot.

A.2. WIENERFOLYAMAT L2 KONSTRUKCIÓJA

361

izomorfiát. Tetsz˝oleges t-re χ [0, t] ∈ L2 [0, 1] , ezért értelmes a ! X X w (t) $ T (χ [0, t]) = T ak (t) ek = ak (t) T (ek ) = k

=

X

ak (t) ξ k =

k

X

k

(χ [0, t] , ek ) · ξ k =

X Z

k

t

ek dλ · ξ k

0

k

változó. Evidens módon a Parseval–formula9 alapján M (w (t) w (s))

=

(T (χ [0, t]) , T (χ [0, s])) =

XX l

=

X

ak (t) al (s) (ξ k , ξ l ) =

k

ak (t) ak (s) = (χ [0, t] , χ [0, s]) =

k

Z =

1

χ [0, t] χ [0, s] dλ = min (t, s) , 0

amib˝ol könnyen látható, hogy a folytonosságtól eltekintve a w Wiener–folyamat10 . A kérdés csak az, hogy alkalmasan megválasztott ortonormált bázis esetén vajon a w (ω) majdnem minden ω kimenetelre folytonos-e? Az alkalmas ortonormált bázist a Haar– függvények szolgáltatják. Jelölje I (n) a 0 és 2n közötti páratlan számokat, vagyis legyen I (0) = {1} , I (1) = {1} , I (2) = {1, 3} , stb. A [0, 1] intervallumon tekintsük a11   +2(n−1)/2 ha t ∈ [(k − 1) /2n , k/2n ) (n) Hk (t) $ −2(n−1)/2 ha t ∈ [k/2n , (k + 1) /2n )  0 ha t ∈ / [(k − 1) /2n , (k + 1) /2n ) Haar–féle függvényrendszert. A Haar–függvények igen fontos tulajdonsága, hogy az L2 [0, 1] teljes, ortonormált rendszerét alkotják. Az ortonormáltság közvetlen számolással egyszer˝uen ellen˝orizhet˝o. A teljességet a következ˝o módon igazolhatjuk: Ha f Rx (n) mer˝oleges az összes Hk függvényre, akkor az f F (x) $ 0 f (t) dt integrálfügg(0)

vényére F (1) − F (0) = f, H1 = 0, amib˝ol F (1) = F (0) = 0. Hasonlóan (1) 0 = f, H0 = 2F (1/2) = 0 stb., amib˝ol F (k/2n ) = 0, vagyis F ≡ 0. Minden k ∈ I (n) (n, k) párhoz tekintsük az (n) Sk

Z (t) $ 0

t

(n)

Hk dλ

n

sátorfüggvényt, amely a [0, (k − 1) /2 ] , illetve a [(k + 1) /2n , 1] halmazokon nulla, és a [(k − 1) /2n , (k + 1) /2n ] intervallumon pedig a gráfja a k/2n pont mint középpont fölé emelt, és a két szomszédos páros számlálóval rendelkez˝o n-ed rend˝u diadikus 9A

P Parseval-formula szerint, ha (ek )k ortonormált bázis, akkor (f, g) = k (f, ek ) (g, ek ) . 2 2 D (w (t)) = M w (t) = t, M ([w (t + h) − w (t)] w (t)) = 0, vagyis a folyamat független növekmény˝u, ugyanis normális eloszlású változók esetén a korrelálatlanságból következik a függetlenség. 11 H (0) (t) $ 1. 1 10 Például

A. WIENERFOLYAMAT

362

törtekre mint csúcspontokra támaszkodó 2−(n+1)/2 magasságú, egyenl˝o szárú háromszög. Az imént vázolt konstrukciónak megfelel˝oen legyen n X X

wn (t) $

(m)

Sk

(m)

(t) ξ k .

m=0 k∈I(m)

A wn definíciója igen szemléletes, és emlékeztet a mindenhol folytonos, de egyetlen pontban sem deriválható függvény konstrukciójára: ha már a wn folyamatot megkonstruáltuk, akkor a wn+1 trajektóriáit úgy kapjuk, hogy a wn „f˝urészhez” egy még „fino(n) mabb f˝urészt” hozzáadunk. Mivel az Sk (t) függvények folytonosak, a wn (ω) trajektória minden ω kimenetelre folytonos. Megmutatjuk, hogy majdnem minden ω-ra a (wn (t, ω))n sorozat t-ben egyenletesen konvergens. Tekintsük a (n) bn $ max ξ k k∈I(n)

∼ = N (0, 1) , ezért ha x > 0, akkor 2 Z ∞ 1 u (n) du ≤ exp − = 2√ P ξ k > x 2 2π x r Z ∞ r 2 2 u 2 exp −x2 /2 u ≤ exp − , du = π x x 2 π x (n)

változót. ξ k

amib˝ol  r o [ n (n) 2 exp −n2 /2 n   ≤2 P (bn > n) = P . ξ k > n π n 

k∈I(n)

∞ P

2n exp −n2 /2 /n < ∞, ezért a Borel—Cantelli–lemma alapján

n=1

P lim sup {bn > n} = 0, n→∞

vagyis majdnem minden ω-ra, ha n ≥ n0 (ω), akkor bn (ω) ≤ n, amib˝ol majdnem minden ω-ra elég nagy n indext˝ol X (n) (n) |wn (t, ω) − wn−1 (t, ω)| = ξ k (ω) Sk (t) ≤ k∈I(n) X (n) ≤ n Sk (t) ≤ n2−(n+1)/2 . k∈I(n) ∞ P n=1

n2−(n+1)/2 < ∞, ezért a (wn (t, ω))n sorozat majdnem minden ω-ra egyenletesen

konvergens, és ezért a w (t, ω) határérték a t id˝oparaméter szerint folytonos.

A.3. WIENERMÉRTÉK

363

2. Hátra van a w kiterjesztése a [0, 1]-r˝ol a [0, ∞)-re. Legyen w(n) (n = 1, 2, . . .) megszámlálható [0, 1]-en definiált olyan Wiener–folyamat, amelyekre minden t, s ∈ [0, 1] esetén ha m 6= k akkor w(m) (t) és a w(k) (s) változók függetlenek. Ilyen folyamatok léteznek, hiszen a kiindulási feltétel alapján az alapul vett Ω valószín˝uségi mez˝on létezik megszámlálható sok független normális eloszlású valószín˝uségi változó, amelyeket két dimenziós végtelen mátrixba rendezve megszámlálható sok Wiener– folyamatot kapunk. Mivel az egyes sorokban lev˝o változók függetlenek, ezért mind a lineáris kombinációik mind a lineáris kombinációk határértékei függetlenek. Legyen w (t) $ w(1) (t) , ha t ∈ [0, 1] , és legyen w (t) $ w (n) + w(n+1) (t − n) ,

ha

t ∈ [n, n + 1] .

Minden n-re w(n) (0) = 0, ezért a w folytonos a [0, ∞) halmazon. Közvetlen ellen˝orzéssel könnyen belátható, hogy a w-re teljesülnek a Wiener–folyamat tulajdonságai12 . 2

A.3. Wiener–mérték Milyen értelemben egyértelm˝u a Wiener–folyamat? Beszélhetünk-e a Wiener–folyamatról, mint egyértelm˝uen definiált objektumról, vagy csak valamelyik Wiener–folyamatról beszélhetünk. A Wiener–folyamat kifejezést jelz˝oként kell használni, hasonló értelemben mint ahogyan folytonos folyamatokról beszélünk? Természetesen igen. Számos Wiener–folyamat van, és a Wiener–folyamat csak eloszlás értelemben egyértelm˝u! Folyamatok esetén mit jelent az eloszlás? Folyamatokra az eloszlás a kanonikus reprezentációt jelenti, vagyis azt, amikor az Ω alaptér a trajektóriák halmaza és a folyamat a koordinátafolyamat. Vajon megadható-e olyan W valószín˝uségi mérték a C [0, ∞) téren, amely mellett a koordinátafolyamat Wiener–folyamat? El˝oször tisztázzuk a σ-algebrát. A legtermészetesebb megoldás a következ˝o: A C [0, ∞) téren vegyük a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia topológiát, vagyis tekintsük a pN (f ) $ max {|f (x)| : |x| ≤ N } félnormákat, és a teret topologizáljuk a pN (f ) félnormákkal, vagyis a d (f, g) $

∞ X 1 pN (f − g) 2N 1 + pN (f − g)

N =1

távolsággal. A Stone—Weierstrass–tétel segítségével könnyen belátható, hogy az így megadott metrikára nézve a C [0, ∞) teljes, szeparábilis metrikus tér. Megmutatjuk, hogy a cilinderhalmazok által generált σ-algebra éppen a B (C [0, ∞)) . A cilinderhalmazok által generált mérhet˝oségi struktúra megegyezik az egy tartó pontból álló cilinderhalmazok által generált struktúrával, amelyek viszont részei a {ω : ω (t) ∈ I} alakú 12 A konstrukció csak nullmérték˝ u halmaz erejéig definiált. Az némiképpen ízlés dolga, hogy mi történjék a kimaradó nullmérték˝u halmazon. A legegyszer˝ubb, ha a kimaradó nullmérték˝u halmazon a folyamatot azonosan nullának definiáljuk.

364

A. WIENERFOLYAMAT

cilinderhalmazok által generált struktúrának, ahol az I végigfutja az összes nyílt intervallumot. Az ilyen halmazok evidens módon nyíltak, tehát a cilinderhalmazok által generált mérhet˝o halmazok mindegyike Borel–mérhet˝o. Megfordítva, mivel a C [0, ∞) szeparábilis, a Borel–mérhet˝o halmazokat generálják a nyílt gömbök. Ugyanakkor mivel pN (f ) = sup {|f (r)| : 0 ≤ r ≤ N, r ∈ Q} , ezért a pN (f ) ≤ ε halmaz mérhet˝o a koordináta leképezések által generált struktúrában, vagyis a két mérhet˝oségi struktúra megegyezik. A folytonos függvények egyértelm˝uen reprezentálhatók a racionális id˝opontokban felvett értékeikkel, így az elmondottakból evidens, hogy a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia által generált Borel–halmazok családja megegyezik az RR tér szorzattopológiájának a C [0, ∞) térre való lesz˝ukítése által generált σ-algebrával. Ugyancsak könnyen látható, hogy a B (C [0, ∞)) egyúttal az RR szorzatalgebrájának lesz˝ukítése a folytonos függvények terére. A.11 Definíció. A C [0, ∞) Borel–halmazain értelmezett W mértéket Wiener–mértéknek mondjuk, ha a W mértékre nézve a w (t, ω) $ ω (t) , ω ∈ C [0, ∞) koordinátafolyamat Wiener– folyamat13 . A.12 Állítás. Létezik, mégpedig egyetlen Wiener–mérték. Bizonyítás: Vegyünk egy tetsz˝oleges Wiener–folyamatot, és tekintsük az ω 7→ w (ω) hozzárendeléssel definiált F : Ω → C [0, ∞) leképezést. Az F Borel–mérhet˝o14 , ugyanis a Wiener–folyamat sztochasztikus folyamat, tehát tetsz˝oleges t esetén a w (t) mérhet˝o, tehát a {w (t) ∈ B} = F −1 ({w (t) ∈ B}) típusú halmazok (Ω, A)-mérhet˝oek, amib˝ol evidens módon a C [0, ∞) cilinderhalmazainak inverzei is mérhet˝oek, tehát az F „szorzatmérhet˝o” és a két mérhet˝oségi struktúra megegyezik. A Wiener–folyamat valószín˝uségi struktúrája a cilinderhalmazoktól függ, ezért az F eloszlására nézve a koordinátafolyamat Wiener–folyamatot alkot. A Wiener–mérték egyértelm˝u, ugyanis a véges dimenziós peremeloszlások egyértelm˝uen meghatározottak, vagyis a cilinderhalmazokon a mérték egyértelm˝u. A cilinderhalmazok π-rendszert alkotnak, ezért a mérték egyértelm˝uen terjeszthet˝o ki a cilinderhalmazok által generált σ-algebrára, vagyis a B (C [0, ∞)) σ-algebrára. 2 Az Ω, A0 ,P0 $ (C [0, ∞) , B (C [0, ∞)) , W ) tér nem teljes, ezért ahhoz, hogy a szokásos feltételek teljesüljenek, teljessé kell tenni. Ha F 0 jelöli a koordinátafolyamat 13 Eltekintve a w (0) = 0 megkötést˝ ol, ugyanis ha ehhez is ragaszkodunk, akkor le kell sz˝ukíteni a teret. A konstrukcióból persze világos, hogy az olyan függvények, amelyre w (0) 6= 0 a Wiener–mérték szerint nullmérték˝u halmazt alkotnak. Ez nem túl meglep˝o, ugyanis például az összes deriválható függvény is nullmérték˝u halmazt alkot. 14 Az állításnak ez a lényege, ugyanis némiképpen meglep˝ o, hogy az egyenletes konvergencia topológia a szorzat mérhet˝oségi struktúrát definiálja.

A.4. WIENERFOLYAMATTAL KAPCSOLATOS ELOSZLÁSOK

365

által generált filtrációt és F a teljessé tett (Ω, A,P) tér kib˝ovített filtrációja, akkor az így kapott (Ω, A,P,F) teret a Wiener–folyamat kanonikus reprezentációjának szokás mondani.

A.4. Wiener–folyamattal kapcsolatos eloszlások A sztochasztikus folyamatok elméletében megjelen˝o objektumok eloszlása a legritkább esetben adható meg zárt egyszer˝u formulával. Éppen ezért rendkívül fontosak azok az eloszlások, amelyek konkrét alakját ismerjük. Wiener–folyamat segítségével számos érdekes eloszlás definiálható. A.13 Definíció. Legyen w Wiener–folyamat. A továbbiakban jelölje S (t) $ sup {w (s) : 0 ≤ s ≤ t} = max {w (s) : 0 ≤ s ≤ t} , τa

$ inf {t : w (t) = a} .

Az S folyamatot a w maximumfolyamatának mondjuk. A.14 Állítás. (Tükrözési elv) Ha w Wiener–folyamat, akkor tetsz˝oleges τ megállási id˝ore a w (t, ω) ha t ≤ τ (ω) w b (t, ω) $ 2w (τ (ω) , ω) − w (t, ω) ha t > τ (ω) „tükrözött” folyamat szintén Wiener–folyamat. Bizonyítás: Evidens módon w b (0) = 0, és a folyamat trajektóriái folytonosak. Legyen B a C [0, ∞) tér Borel–halmaza15 . Megmutatjuk, hogy P (ω : w (ω) ∈ B) = P (ω : w b (ω) ∈ B) , vagyis hogy a w és a w, b mint C [0, ∞) érték˝u változók16 , eloszlása megegyezik. Evidens módon P (ω : w (ω) ∈ B, τ (ω) = ∞) = P (ω : w b (ω) ∈ B, τ (ω) = ∞) , vagyis feltehetjük, hogy τ < ∞. Tetsz˝oleges f ∈ C [0, ∞) , g ∈ C [0, ∞) , g (0) = 0 függvényekhez és t ≥ 0 számhoz rendeljük hozzá az f (s) ha s ≤ t F (f, t, g) (s) $ ∈ C [0, ∞) f (s) + g (s − t) ha t ≤ s „tükrözött” folyamatot. Az F mindegyik változója szerint parciálisan folytonos, ezért szorzatmérhet˝o. Tekintsük a wτ megállított és a w∗ a τ id˝opontban újraindított folyamatokat, és tekintsük o˝ ket C [0, ∞) érték˝u valószín˝uségi változóknak. A wτ (t) 15 A

topológia a kompakt halmazokon való egyenletes konvergencia. V.ö.: A.12. állítás, 364. oldal. A.12. állítás, 364. oldal.

16 V.ö.:

A. WIENERFOLYAMAT

366

minden t pontban Fτ mérhet˝o, ezért mint C [0, ∞) érték˝u változó17 is Fτ mérhet˝o. A Wiener–folyamat er˝os Markov–tulajdonsága miatt a w∗ (t) függetlenek az Fτ -tól és szimmetrikus18 , ezért a w∗ is független az Fτ -tól és szimmetrikus, következésképpen, felhasználva, hogy a τ Fτ mérhet˝o, az (wτ , τ ) független a w∗ -t˝ol, ezért az ((wτ , τ ) , w∗ ) eloszlása megegyezik az ((wτ , τ ) , −w∗ ) eloszlásával, következésképpen az F (wτ , τ , w∗ ) = w eloszlása azonos az F (wτ , τ , −w∗ ) = w b eloszlásával. 2 A.15 Állítás. Ha S jelöli a w Wiener–folyamat maximumfolyamatát, akkor az (w (t) , S (t)) pár eloszlásának s˝ur˝uségfüggvénye ( 2(2y−x) √ ha y ≥ 0, x ≤ y ϕ 2y−x 3/2 t t = f (x, y) $ 0 egyébként ( q (2y−x)2 2 2y−x ha y ≥ 0, x ≤ y exp − π t3/2 2t = 0 egyébként Bizonyítás: Rögzítsük az y ≥ 0 értéket és vezessük be a τ y id˝opontban „tükrözött” w b (t, ω) $

w (t, ω) ha t ≤ τ y (ω) . 2y − w (t, ω) ha t ≥ τ y (ω)

folyamatot19 . A tükrözési elv miatt miatt a w b szintén Wiener–folyamat. Ebb˝ol következ˝oen, ha x ≤ y P (w (t) ≤ x, S (t) ≥ y)

=

P (w (t) ≤ x, τ y ≤ t) =

=

P (w b (t) ≥ 2y − x, τ y ≤ t) .

Aw b Wiener–folyamat, továbbá a τ y evidens módon azonos a w és a w b folyamatokra, ezért az utolsó kifejezésben w b helyébe ismét w írható. Mivel y − x ≥ 0, és ezért {w (t) ≥ 2y − x} ⊆ {w (t) ≥ y} ⊆ {S (t) ≥ y} = {τ y ≤ t} , következésképpen P (w (t) ≤ x, S (t) ≥ y)

= =

P (w (t) ≥ 2y − x, τ y ≤ t) = (A.2) 2y − x √ . P (w (t) ≥ 2y − x) = 1 − Φ t

A kifejezést deriválva éppen a megadott képletet kapjuk. 2 17 A

mérhet˝oségi struktúrát meghatározzák a cilinderhalmazok. [20] 14.47. állítás, 645. oldal. 19 Rajzoljuk fel, mi történt a folyamat trajektóriáival! 18 V.ö.:


367

A.16 Következmény. Tetsz˝oleges a > 0, t > 0 számokra20 P (τ a ≤ t) = P (S (t) ≥ a) = 2 · P (w (t) ≥ a) = P (|w| (t) ≥ a) . Bizonyítás: Az els˝o egyenl˝oségben szerepl˝o két esemény evidens módon megegyezik, ezért csak a második egyenl˝oség nem triviális. Az (A.2) szerint P (S (t) ≥ a)

= P (S (t) ≥ a, w (t) ≤ a) + P (S (t) ≥ a, w (t) > a) = = P (S (t) ≥ a, w (t) ≤ a) + P (w (t) > a) = a = 1 − Φ √ + P (w (t) > a) = 2P (w (t) > a) . t 2

A.17 Következmény. Az S (t) eloszlásának s˝ur˝uségfüggvény 2 a 1 exp − , ft (a) $ 2 √ 2t 2πt

a > 0,

a τ a s˝ur˝uségfüggvénye21 2 |a| a fa (t) $ √ exp − . 2t 2πt3 Bizonyítás: Az els˝o összefüggés az Z P (S (t) ≥ a) = a

∞

2 1 u 2√ exp − du. 2t 2πt

egyenl˝oség miatt evidens. A második kiszámolásához ismételten induljuk ki a 2 Z ∞ u 1 exp − du P (τ a ≤ t) = P (S (t) ≥ a) = 2√ 2t 2πt a összefüggésb˝ol. A t > 0 paraméter szerint deriválva22 2 2 Z ∞ Z ∞ −1 u 1 u fa (t) = √ t−3/2 exp − du + √ t−1/2 t−2 u2 exp − du. 2t 2t 2π 2π a a A második integrálban parciálisan integrálva 2 2 ∞ Z ∞ 2 Z ∞ 2u u u u exp − du = u exp − − exp − du, u· − 2t 2t 2t 2t a a a 20 Ha

t = a = 0, akkor az állítás nem teljesül. Ha például t = 0, a > 0, az állítás teljesül. √ τ a Laplace-transzformáltja, exp − |a| 2s , amely éppen az fa s˝ur˝uségfüggvényhez tartozik. V.ö.: [20] 9.131. példa, 386. oldal. 22 Mivel t > 0, egyszer˝ uen látható, hogy a deriváltnak van integrálható majoránsa egy alkalmas (t − h, t + h) × (a, ∞) tartományban, vagyis be lehet az integrál mögé deriválni. 21 A

A. WIENERFOLYAMAT

368

az integrál kiesik, tehát 2 1 1 a fa (t) = a √ exp − . 2t 2π t3/2 2 A.18 Definíció. Legyen x tetsz˝oleges pont és w(x) $ x + w. A w(x) folyamatot az x pontból elindított Wiener–folyamatnak mondjuk. Az a id˝opont utáni eseményen értelemszer˝uen azokat az eseményeket értjük, amelyeket az a utáni id˝opontokra támaszkodó cilinderhalmazok generálnak. A.19 Állítás. (Markov-tulajdonság) Ha W a Wiener–mérték23 , akkor az a id˝opont utáni tetsz˝oleges B eseményre W (B | w (a) = x) = W w(x) ◦ θ−1 a ∈B .

(A.3)

Bizonyítás: Legyen B a C Borel-halmaza és a t ≥ a id˝opontra támaszkodó cilinderhalmaz. A Wiener–folyamat független és stacionárius növekmény˝u, ezért W (w ∈ B | w (a) = x) = = W (w (t) ∈ C | w (a) = x) = = W (w (t) − w (a) + w (a) ∈ C | w (a) = x) = = W (w (t) − w (a) + x ∈ C) = = W (w (t − a) + x ∈ C) = = W w(x) (t − a) ∈ C = W w(x) ◦ θ−1 a ∈B . Az egyenl˝oség analóg módon igazolható az a id˝opont utáni cilinderhalmazokra, és a π-λ tétel segítségével az egyenl˝oség átvihet˝o a cilinderhalmazokról minden az a utáni id˝opontokra támaszkodó eseményre. 2 Ha A tetsz˝oleges tulajdonság, akkor a θ−1 opont utáni halmaz. Így az (A.3) a (A) a id˝ tulajdonság a −1 (x) (x) W θ−1 ◦ θ−1 ∈A a (A) | w (a) = x = W w a ∈ θ a (A) = W w módon is írható. A.20 Állítás. Érvényesek a következ˝o összefüggések: 23 Vagyis

a kanonikus Wiener–folyamathoz tartozó valószín˝uségi mérték.


369

1. Tetsz˝oleges x 6= 0 számra annak a valószín˝usége, hogy a w(x) -nek legalább egy zéruspontja van a (0, t) intervallumban 2 Z t x |x| −3/2 √ u exp − du. 2u 2π 0 2. Annak a valószín˝usége, hogy az w folyamat legalább egyszer nulla az (a, b) szakaszon r a 2 arccos . π b 3. Annak a valószín˝usége, hogy az (a, b) szakaszon a Wiener–folyamat nem nulla r 2 a arcsin . π b 4. Ha γ (t) jelöli a t el˝otti utolsó, β (t) a t utáni els˝o zérus helyet, akkor r 2 x P (γ (t) ≤ x) = arcsin π t r t 2 arcsin P (β (t) ≥ y) = π y r 2 x arcsin . P (γ (t) ≤ x, β (t) ≥ y) = π y Bizonyítás: Az összefüggések igazolása a következ˝o: 1. Jelölje A az állításban szerepl˝o els˝o eseményt. Ha x < 0, akkor a w(x) folytonossága miatt, felhasználva a Wiener–folyamat maximumának eloszlását (x) P (A) = P max w (s) ≥ 0 = P max (w (s) + x) ≥ 0 = s≤t s≤t = P max (w (s)) ≥ −x = P (τ −x ≤ t) = s≤t 2 Z t −x x √ exp − = u−3/2 du. 2u 2π 0 Az x > 0 tárgyalása analóg. 2. Az valószín˝uség kiszámolásakor feltehetjük, hogy (Ω, A,P) a kanonikus reprezentáció. Jelölje B az állításban szerepl˝o második eseményt. 2 B = min w (t) = 0 , t∈(a,b)

tehát a B Borel–mérhet˝o, következésképpen szorzatmérhet˝o. A feltételes valószín˝uség definíciója alapján Z P (B) = P (B | w (a) = x) dν (x) . R

A. WIENERFOLYAMAT

370

ahol ν a w (a) eloszlása. A B az a után bekövetkez˝o esemény, tehát a Markov– tulajdonság szerint P (w ∈ B | w (a) = x) = P w(x) ◦ θ−1 a ∈B . A jobb oldal éppen annak a valószín˝usége, hogy a w(x) a (0, b − a) szakasz valamely pontjában nulla. Az els˝o pont alapján P (B)

= = = = =

b−a

2 2 x 1 x |x| −3/2 √ exp − u du √ exp − dx = 2u 2a 2π 2πa R 0 2 Z b−a Z x 1 1 1 √ u−3/2 |x| exp − + dxdu = 2 u a 2π a 0 R Z b−a Z ∞ 1 u−3/2 √ exp (−s) dsdu = 1/u + 1/a 0 π a 0 √ Z b−a −1/2 a u du = π 0 a+u r r 2 b 2 a arctan − 1 = arccos , π a π b

Z Z

ugyanis, ha x ≥ 1, akkor r

√

arctan x − 1 = arccos

1 , x

mivel, ha x = 1, akkor a két oldal evidens módon egyenl˝o és a két oldal deriváltja megegyezik. 3. A harmadik esemény valószín˝usége 2 1 − P (B) = 1 − arccos π

r

2 a = arcsin b π

r

a . b

4. A többi állítás az elmondottak alapján már evidens. Például P (γ (t) ≤ x, β (t) ≥ y) annak a valószín˝usége, hogy a folyamat nem nulla az (x, y) szakaszon. 2

A.5. Wiener–folyamat kvadratikus variációja A sztochasztikus analízis talán legalapvet˝obb észrevétele, hogy minden Wiener–folyamat kvadratikus variációja véges. Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés: milyen pótlólagos feltételek mellett teljesül a konvergencia majdnem mindenhol értelemben is?

A.5. WIENERFOLYAMAT KVADRATIKUS VARIÁCIÓJA

371

A.21 Tétel. (Kvadratikus variációlétezése) (n) Legyen w Wiener–folyamat, tk az [a, b] szakasz minden határon túl finomodó k

felosztásaiból álló sorozat. Az L2 (Ω) tér norma szerinti konvergenciájában i2 X h (n) (n) w tk − w tk−1 lim = b − a. n→∞

Hasonlóan, ha w1 és w2 két független Wiener–folyamat, akkor i h i X h (n) (n) (n) (n) w1 tk − w1 tk−1 w 2 tk − w2 tk−1 = 0. lim n→∞

(A.4)

k

(A.5)

k

(n) Ha a tk sorozatban az (n + 1)-edik felbontás az n-edik felbontás finomítása, k akkor a konvergencia majdnem mindenhol is teljesül. Bizonyítás: Jelölje ∆w (tk ) a w (tk ) − w (tk−1 ) eltérést. 1. A Wiener–folyamat definíciója alapján ! X X 2 M (∆w (tk )) = (tk − tk−1 ) = b − a. k

k

A w független növekmény˝u és a növekmények várható értéke nulla, ezért ha a felosztás finomsága nullához tart, akkor

2 !

X

X

2 2 2 (∆w (tk )) − (b − a) = D (∆w (tk )) =

k k 2 X 2 = D2 (∆w (tk )) ≤ k

≤

X

≤

3 · (b − a) · max (tk − tk−1 ) → 0.

2

3 · (tk − tk−1 ) ≤

k k

√ Ha w1 és w2 két független Wiener–folyamat, akkor a (w1 ± w2 ) / 2 szintén Wiener– folyamatok. Az (A.5) azonnal következik a X ∆w1 (tk ) ∆w2 (tk ) k

4

=

X

2

[∆ (w1 + w2 ) (tk )] −

k

−

X

2

[∆ (w1 − w2 ) (tk )]

k

„polarizációs” egyenl˝oségb˝ol. 2. A majdnem mindenhol való konvergencia igazolása jóval nehezebb. A kvadratikus variáció csak a trajektória tulajdonságaitól függ, ezért feltehet˝o, hogy (Ω, A, P) = (C [0, ∞) , B, W ) ,

A. WIENERFOLYAMAT

372

ahol B a Borel–halmazok, W pedig a Wiener–mérték. Rögzítsük a [0, T ] intervallumot, és egy n osztópontot tartalmazó felosztást. Az n tagú felosztáshoz rendeljük hozzá a 2n darab ±1 el˝ojelet. Minden egyes ±1 sorozathoz és f ∈ C [0, ∞) függvényhez rendeljük hozzá az h (n) (n) (n) (n) fe(t) $ fe tk−1 ± f (t) − f tk−1 , t ∈ tk−1 , tk , „áttördelést”. Megjegyezzük, hogy ha egy Wiener–folyamat trajektóriáit a megadott módon „áttördeljük”, akkor újra Wiener–folyamatot kapunk, ugyanis a normális eloszlás szimmetrikussága miatt a folyamatot definiáló összes tulajdonság érvényben marad. A Wiener–mérték egyértelm˝u, ezért az „áttördel˝o” leképezésekre nézve a Wiener– mérték invariáns. Jelölje Bn ⊆ B az olyan események halmazát, amelyre az n-edik felosztáshoz rendelt mind a 2n leképezés invariáns. Könnyen igazolható, hogy a Bn σ-algebra. Mivel a felosztások finomítások, ezért a durvább felbontáshoz tartozó „áttördelések” mindegyike „áttördelés” a finomabb felosztásra is, tehát Bn+1 ⊆ Bn . Ha i 6= j, akkor (n) (n) M ∆w ti ∆w tj | Bn = 0, ugyanis ha B invariáns az i-dik intervallumot áttördel˝o leképezésre, akkor az integráltranszformációs tétel miatt, felhasználva, hogy a Wiener–mérték, az áttördelésre invariáns Z Z (n) (n) (n) (n) ∆w ti ∆w tj dW = − ∆w ti ∆w tj dW. B

B

(n)

Ugyanakkor a ∆w ti

2

invariáns az összes tördelésre, tehát Bn mérhet˝o. 

M w2 (T ) | Bn

X

= M

(n)

∆w tk



!2

| Bn  =

k

i2 Xh (n) = M ∆w tk | Bn

! =

Xh

k

i2 (n) ∆w tk .

k

A fordított martingálokról szóló Lévy–tétel alapján a bal oldali kifejezés majdnem minden ω-ra konvergens, ezért a jobb oldali összeg is konvergál. Ha a felosztás minden határon túl finomodik, akkor a sorozat határértéke, a már belátott L2 -konvergencia miatt, éppen a kvadratikus variáció. 2 Felmerül a kérdés, hogy mit lehet mondani akkor, ha a felosztássorozat minden tagja nem az el˝oz˝o felbontás finomítása. A.22 Tétel.(A kvadratikus variáció majdnem mindenhol való konvergenciája) (n) Ha a tk partíciósorozatra k

ln $ max k

(n) tk+1

−

(n) tk

=o

1 log n

,


373

akkor tetsz˝oleges szakaszon a Wiener–folyamat kvadratikus variációja majdnem mindenhol konvergens. Bizonyítás: Az egyszer˝uség kedvéért a megadott szakasz legyen a [0, 1] . Vegyük a N (n) (n) (n) (n) [0, 1] tk felosztását. Vezessük be ck $ tk − tk−1 jelölést. A bizonyítás a k=0

Bernstein–egyenl˝otlenség24 indoklásához hasonlít és a χ2n eloszlás konjugált függvényére25 épül. Emlékeztetünk, hogy a χ2n eloszlás momentumgeneráló függvénye26 M (s) $ p

1 (1 − 2s)

n,

konjugált függvénye27 C ∗ (t) $

n n t n + − . ln 2 t 2 2

1. Tegyük fel, hogy 0 < a < 1 és s < 0. A Markov–egyenl˝otlenség szerint, a 2 χ21 = N (0, 1) momentumgeneráló függvényének képlete alapján, felhasználva, hogy ha x ≥ 0, akkor ln (1 + x) ≥ x − x2 /2 ! 2 X (n) (1) pn (a) $ P ∆w tk ≤a = k

= P s

X

∆w

(n) tk

2

! ≥ sa

≤

k

≤

P 2 M exp s k ck N (0, 1) exp (sa) Y k

=

√ 1/ 1 − 2sck

= exp (sa) Y 1 = exp −sack − ln (1 − 2sck ) ≤ 2 k Y ≤ exp −s (ack − ck ) + s2 c2k = =

k

! =

2

exp −s (a − 1) + s

X k

≤ exp −s (a − 1) + s2 ln . Az s < 0 szerint minimumot véve a minimum helye s= 24 V.ö.:

[20] 12.27. [20] 12.21. 26 V.ö.: [20] 10.21. 27 V.ö.: [20] 12.31. 25 V.ö.:

lemma, 548. oldal. definíció, 546. oldal. példa, 427. oldal. példa 552. oldal.

a−1 , 2ln

c2k

≤

A. WIENERFOLYAMAT

374

amit visszahelyettesítve p(1) n

(a) ≤

=

! 2 2 (a − 1) (a − 1) exp − + = 2ln 4ln ! 2 K1 (a) (a − 1) $ exp − , exp − 4ln ln

(A.6)

ahol K1 (a) > 0. 2. Tegyük fel, hogy a ≥ 1. Ha s > 0, akkor p(2) n

(a) $

X

P

∆w

(n) tk

2

! ≥a

=

k

=

P s

X

∆w

(n) tk

2

! ≥ sa

≤

k

2 P (n) M exp s k ∆w tk ≤

exp (sa) Y

= ≤

k

=

√ 1/ 1 − 2sck

≤ exp (sa) N (n) √ 1/ 1 − 2sln . exp (sa)

A számlálóban éppen az ln χ2N (n) eloszlás momentumgeneráló függvénye van. Vegyük észre, hogy N (n) ln ≥ 1, így M ln χ2N (n) ≥ 1. Az s > 0 szerint minimumot véve28 , a konjugált függvények transzformációs szabálya alapján29 N N ln a N p(2) (a) ≤ exp − ln + = − n 2 a 2ln 2 N ln a N ln N ln ln = exp − +1− $ 2ln a a a a N ln = exp − U . 2ln a Deriválással azonnal látható, hogy az U (x) a minimumát az x = 1 pontban veszi fel. Mivel U (1) = 0, ezért ha √ N ln 2π ≥C$c > 1, a 2 28 V.ö.: 29 V.ö.:

[20] 12.27. lemma, 548. oldal. [20] 12.26. példa, 548. oldal.


375

ahol30 c < 1, akkor p(2) n

K2 (a) (a) ≤ exp − , ln

(A.7)

ahol K2 (a) > 0. 3. Tegyük fel, hogy a ≥ 1 és N ln /a ≤ C. A akkor

√

x függvény konkáv, így ha s > 0,



N (n)

 p(2) n (a) $ P

X



(n)

∆w tk

2

≥ a =

k=1

 v uN (n) √  u X 2 ck N (0, 1) ≥ a ≤ = P t k=1



N (n)

≤ P

X

 q √ 2 ck N (0, 1) ≥ a =

k=1



N (n)

= P

X

ck |N (0, 1)| ≥

√

 a ≤

k=1

Y ≤

k

M (exp (sck |N (0, 1)|)) √ . exp (s a)

Számoljuk ki az |N (0, 1)| momentumgeneráló függvényét. 2 Z ∞ 1 x M (s) $ 2 √ exp (sx) exp − dx = 2 2π 0 r Z ∞ 2 2 x − 2sx = exp − dx = π 0 2 ! r Z ∞ 2 2 (x − s) − s2 = exp − dx = π 0 2 ! r 2Z ∞ 2 2 s (x − s) = exp exp − dx = π 2 2 0 r 2Z ∞ 2 2 s u = exp exp − du = π 2 2 −s 2 s = 2 exp Φ (s) . 2 30 A c < 1 megkötésre kés˝ obb szükségünk lesz. Az (A.6), (A.7) alakú becslést csak a 0 < a < 1/c2 esetben fogjuk igazolni.

A. WIENERFOLYAMAT

376

Visszahelyettesítve X  p(2) n (a) ≤ exp

k

c2k s2

2

 Y √ − s a 2N Φ (ck s) ≤ k

2

√ ln s N (n) ≤ ≤ exp − s a (2Φ (ln s)) 2 2 N (n) √ ln s 1 ln s ≤ exp = −s a 2 +√ 2 2 2π 2 N √ ln s 2ln s √ = exp −s a . 1+ 2 2π

A feltétel szerint N ln /a ≤ C, így √ Ca ac 2π ln ≤ $ . N 2N tehát a C definíciója szerint31 p(2) n

√ cas N ln s2 1+ −s a (a) ≤ exp ≤ 2 N 2 √ ln s − s a exp (cas) = ≤ exp 2 2 √ ln s = exp − s a − ca . 2

Tegyük fel, hogy a < 1/c2 . Ilyenkor

√

a − ca > 0. s szerint minimumot véve ! √ 2 1 ( a − ca) K3 (a) (2) pn (a) ≤ exp − $ exp − . 2 ln ln

(A.8)

4. A feltétel szerint ln = o (1/ ln n), így alkalmas εn → 0 sorozatra K/εn K ln n 1 K = exp − = , bn $ exp − ln εn n P így n bn < ∞. Ebb˝ol következ˝oen az (A.6), (A.7) és (A.8) becsléseket összevetve minden32 m esetén ! ∞ X X 1 2 P < ∞, (∆w (tk )) − 1 ≥ m n=1

k

31 Felhasználtuk, hogy az (1 + x/N )N 32 Ha

N

sorozat, ha x > 0, monoton n˝o. [30], 269. oldal.

a0 > a00 , akkor P (ξ ≥ a0 ) ≤ P (ξ ≥ a00 ) , tehát az egyenl˝otlenség minden m-re teljesül!


377

így a Borel—Cantelli–lemma szerint X 2 m.m. (∆w (tk )) → 1. k

2 Felmerül a kérdés, hogy az ln nagyságrendjére adott becslés javítható-e. A válasz nem. A.23 Példa. A Wiener–folyamat kvadratikus variációja tetsz˝oleges felbontás esetén nem konvergál majdnem mindenhol. Van olyan felbontássorozat, amelyre ln = O (1/ log n) és a kvadratikus variáció nem konvergál majdnem mindenhol. Tetsz˝oleges p ≥ 1 egészre Πp jelölje a [0, 1] olyan partícióit, amelyekben vagy az 2k 2k + 2 k k+1 , Ipk $ p , = , 2 2p 2p−1 2p−1 vagy az Ip2k

2k 2k + 1 2k + 1 2k + 2 2k+1 , $ p, , Ip $ 2 2p 2p 2p p−1

szakaszok szerepelnek. A Πp -ben szerepl˝o partíciók száma 22 .Πp -ben szerepl˝o p−1 partíciók közül egyikben a maximális intervallum hossza 2−p és a többi 22 −1 felbontásban a maximális szakasz hossza 2−(p−1) . Ha a Πp partíciócsaládokat egymás után felsoroljuk, a Πp -n belül a partíciókat pedig tetsz˝oleges sorrendben vesszük, akkor a Πp családban szerepl˝o partíció indexe legfeljebb X q−1 p−1 22 < 21+2 . 1≤q≤p

Vegyük észre, hogy ha ln jelöli az n-edik partícióban szerepl˝o szakaszok hosszának maximumát, akkor ln ln n ≤ 2−(p−1) 1 + 2p−1 ≤ 3, vagyis ln = O (1/ log n) .Jelölje Q (π) a kvadratikus variáció π partícióhoz tartozó közelít˝o összegét. Mp $ max {Q (π) : π ∈ Πp } . A Q (π) lim sup-ja megegyezik az Mp lim sup-jával. Vezessük be a 2 2 2 Mp(k) $ max ∆w Ip2k + ∆w Ip2k+1 , ∆w Ipk P (k) jelölést. Mp = 0≤k≤2p−1 −1 Mp . A ∆w Ip2k és a ∆w Ip2k+1 változók független N 0, 2−p/2 eloszlású változók a ∆w Ipk pedig az említett két változó összege. Ha ξ és η tetsz˝oleges független N (0, σ) eloszlású változók és 2 ζ $ max ξ 2 + η 2 , (ξ + η) ,

A. WIENERFOLYAMAT

378

akkor találhatók a, b > 0 konstansok, hogy M (ζ) = 2 (1 + a) σ 2 Ebb˝ol következ˝oen M Mp(k) = (1 + a) 2−(p−1)

és D2 (ζ) = bσ 4 .

és

D2 Mp(k) = b2−2p .

Az Mp 2p−1 darab független változó összege, így M (Mp ) = 1 + a

és D2 (Mp ) = b2−p−1 .

b2−(p−1) → 0, így a Csebisev–egyenl˝otlenség szerint lim Mp = lim sup Q (π n ) = 1 + a > 1,

p→∞

n→∞

vagyis a {Q (π n )}π nem lehet majdnem mindenhol konvergens.

2

B. függelék

Sztochasztikus folyamatok általános elméletének néhány tétele Ebben a függelékben néhány nehezebb állítás bizonyítását ismertetjük. A leírtak az els˝o fejezet szerves folytatását, illetve kiegészítését tartalmazzák.

B.1. Monoton osztály tétel A mérhet˝o halmazokkal és függvényekkel kapcsolatos legfontosabb állítás a monoton osztály tétel1 . A tételnek számos alakja van, a legjobban és leggyakrabban alkalmazható alak P.A. Meyert˝ol származik. Ebben a pontban a tétel bizonyítását közöljük2 . El˝oször a szükséges definíciókat adjuk meg: B.1 Definíció. Valamely X alaphalmazon értelmezett korlátos3 , valós érték˝u függvények L családját λ-rendszernek4 mondjuk, ha 1. 1, vagyis az azonosan 1 függvény eleme az L-nek, 2. az L vektortér, 3. ha 0 ≤ fn % f , fn ∈ L és az f korlátos, akkor f ∈ L. B.2 Definíció. Valamely X alaphalmazon megadott valós érték˝u függvények V összességét vektorhálónak mondjuk, ha 1 Egyes

szerz˝ok Dinkin–tételként hivatkoznak az állításra. bizonyítás itt közölt megfogalmazása Kánnai Zoltántól származik. V.ö.: [20] 2.1.8 alpont. 3 Hangsúlyozzuk, hogy a π-λ tételek kapcsán csak korlátos függvényekkel foglalkozunk. 4 Szokásos még a , elnevezések. A λ-rendszer elnevezés feltehet˝ oen arra utal, hogy az L lineáris tér. 2A

379

B. AZ ÁLTALÁNOS ELMÉLET NÉHÁNY TÉTELE

380

1. V vektortér, 2. bármely f ∈ V esetén |f | ∈ V. A V vektorhálót Stone–hálónak mondjuk, ha minden f ∈ V esetén az f ∧ 1 ∈ V is teljesül. Ha V vektorháló, akkor bármely két f, g ∈ V elemre f ∨g $

f + g + |f − g| ∈V 2

és

f + g − |f − g| ∈ V. 2 Tetsz˝oleges függvény esetén f + $ f ∨ 0, f − $ −f ∨ 0. A definícióból evidens, hogy f = f + − f − . Ha V vektorháló és f ∈ V, akkor f ± ∈ V. f ∧g $

B.3 Definíció. Valamely X alaphalmazon értelmezett valós függvényekb˝ol álló P családot π-rendszernek5 mondunk, ha a P zárt a szorzásra, vagyis ha f1 , f2 ∈ P, akkor f1 f2 ∈ P. B.4 Lemma. Ha H valamely X alaphalmazon értelmezett korlátos valós érték˝u függvények tetsz˝oleges halmaza, akkor létezik legsz˝ukebb λ-rendszer, amely tartalmazza a H halmazt. Bizonyítás: Az X-en értelmezett korlátos függvények halmaza λ-rendszer, λ-rendszerek metszete triviálisan λ-rendszer, így a H halmazt tartalmazó λ-rendszerek családja nem üres, és az ilyen rendszerek metszete éppen H halmazt tartalmazó legsz˝ukebb λ-rendszer. 2 B.5 Definíció. A H halmazt tartalmazó legsz˝ukebb λ-rendszert jelölje D (H) . B.6 Lemma. Ha korlátos függvényekb˝ol álló P halmaz π-rendszer, akkor a D (P) is π-rendszer. Bizonyítás: Tetsz˝oleges f -re Df $ {g ∈ D (P) : gf ∈ D (P)} . Rögzítsük az f ∈ D (P) elemet. Elemi számolással ellen˝orizhet˝o, hogy a Df λrendszer. Például, tegyük fel, hogy 0 ≤ gn % g, g korlátos és gn f ∈ D (P). Az f korlátos, tehát alkalmas α-ra f + 1α ≥ 0, tehát 0 ≤ gn (f + α1) % g (f + α1). gn (f + α1) = gn f + αgn ∈ D (P) , a D (P) definíció szerint λ-rendszer, így g, g (f + α1) ∈ D (P) , vagyis gf ∈ D (P), tehát g ∈ Df . A P szorzatzárt, így ha f ∈ P, akkor minden g ∈ P esetén f g ∈ P ⊆ 5A

π jelölés feltehet˝oen a szorzat, produktum, zártságra utal.

B.1. MONOTON OSZTÁLY TÉTEL

381

D (P) , vagyis g ∈ Df , következésképpen P ⊆ Df . A Df λ-rendszer, tehát D (P) ⊆ Df . Másképpen fogalmazva, ha f ∈ P és g ∈ D (P) , akkor f g ∈ D (P). Ezt ismét némiképpen átfogalmazva, minden f ∈ P és g ∈ D (P) esetén f ∈ Dg , vagyis P ⊆ Dg . A Dg λ-rendszer, tehát D (P) ⊆ Dg . Ez azonban azt jelenti, hogy tetsz˝oleges, f, g ∈ D (P) esetén f g ∈ D (P) , vagyis a D (P), miként állítottuk, szorzatzárt. 2 B.7 Lemma. Minden N > 0 számhoz van olyan (pn )n polinomsorozat, hogy ha |x| ≤ N, akkor 0 ≤ pn (x) % |x| . Bizonyítás: Az egyszer˝ubb jelölés céljából az N − |x| függvényt fogjuk monoton csökken˝o sorozattal el˝oállítani. Az y0 ≡ N, pontból kiindulva vegyük az yn+1 (x) $

1 y 2 (x) + N 2 − x2 2N n

iterációt. Világos, hogy minden n-re az yn az x változó polinomja, és a [−N, N ] szakaszon yn ≥ 0. Indukcióval megmutatjuk, hogy az (yn )n monoton csökken. Ha n = 0, akkor közvetlen behelyettesítéssel y1 (x) = N −

x2 , 2N

amire igaz, hogy y0 ≥ y1 ≥ 0. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re már beláttuk az állítást, vagyis yn−1 ≥ yn ≥ 0. Akkor yn (x) − yn+1 (x)

= =

1 2 yn−1 (x) − yn2 (x) = 2N 1 (yn−1 (x) − yn (x)) (yn−1 (x) + yn (x)) ≥ 0. 2N

Minden alulról korlátos monoton csökken˝o sorozatnak van határértéke. Ha N ≥ y ∗ (x) ≥ 0 a határérték, akkor y ∗ (x) =

1 ∗ 2 (y (x)) + N 2 − x2 , 2N

vagyis 2

x2 = (y ∗ (x) − N ) , amib˝ol |x| = |y ∗ (x) − N | = N − y ∗ (x) . 2 B.8 Állítás. Ha korlátos függvényekb˝ol álló P halmaz π-rendszer, akkor a D (P) Stone–háló.

382


Bizonyítás: A D (P) szorzatzárt és λ-rendszer. Ha f ∈ D (P), akkor az f korlátos, így alkalmas N -re |f | ≤ N. Ha (pn )n olyan polinomsorozat, amelyre a [−N, N ] szakaszon 0 ≤ pn (x) % |x|, akkor 0 ≤ pn (f (x)) % |f (x)| . A D (P) λ-rendszer, (pn (f ))n ⊆ D (P) , így |f | ∈ D (P) , tehát a D (P) háló. Ugyanakkor 1 ∈ D (P) , tehát a D (P) Stone–háló. Megjegyezzük, hogy az állítás közvetlenül a polinomokra vonatkozó Weierstrass–tétel6 segítségével is igazolható. Az f korlátos, így a Weierstrass–tétel miatt van olyan (pn )n polinomsorozat, amelyre a pn (f ) egyenletesen tart az |f | függvényhez. Az általánosság megszorítása nélkül feltehet˝o, hogy kpn (f ) − |f |k∞ < 2−n /4, következésképpen kpn (f ) − pn+1 (f )k∞ < 2−n /2, tehát pn+1 (f ) − pn (f ) ≥ −

2−n = 2−n+1 − 2−n , 2

vagy ami ugyanaz a qn $ pn (f ) − 2−n sorozat monoton növeked˝o. Alkalmas konstans hozzáadásával feltehet˝o, hogy a (qn (f ) + K)n nem negatív, monoton növeked˝o sorozat, így a λ-rendszer definíciója miatt a qn (f ) határértéke, vagyis az |f | eleme a D (P)-nek. 2 B.9 Állítás. Ha az L λ-rendszer és Stone–háló, akkor az L éppen a σ (L)-mérhet˝o, korlátos függvények halmaza, ahol természetesen σ (L) jelöli az L által generált σ-algebrát. Bizonyítás: Az L minden eleme σ (L)-mérhet˝o, tehát elegend˝o belátni, hogy a σ (L)mérhet˝o, korlátos függvények mindegyike eleme az L-nek. Legyen G $ {A : χA ∈ L} . Az L háló, tehát ha A, B ∈ G, akkor A ∪ B, A ∩ B ∈ G. 1 ∈ L, tehát ha X jelöli az alaphalmazt, akkor X ∈ G. χAc = 1 − χA , az L lineáris tér, tehát ha A ∈ G, akkor Ac ∈ G, így a G algebra. Az L λ-rendszer, ezért ha An % A és An ∈ G, akkor A ∈ G, így a G σ-algebra. Megmutatjuk, hogy σ (L) ⊆ G. Legyen f ∈ L tetsz˝oleges. Az L Stone–háló, így ha fn $ 1 ∧ (n (f − 1 ∧ f )) , akkor fn ∈ L. 0 ≤ fn % χ (f > 1) , az L λ-rendszer, tehát χ (f > 1) ∈ L, vagyis {f > 1} ∈ G. Az L altér, tehát minden α > 0 számra {f > α} ∈ G. Ez pontosan azt jelenti, hogy f + G-mérhet˝o. Az f -helyett (−f )-et véve az f − is G-mérhet˝o, vagyis az f is G-mérhet˝o, így σ (L) ⊆ G. A G ⊆ σ (L) tartalmazás triviálisan teljesül, tehát G = σ (L) , vagyis az L tartalmazza a σ (L) σ-algebra elemeinek karakterisztikus függvényét. Az L altér, tehát az L tartalmazza az összes σ (L)-mérhet˝o lépcs˝os függvényt. Lépcs˝os függvények monoton növeked˝o határértékeként minden nem negatív mérhet˝o függvény el˝oállítható, ezért tetsz˝oleges σ (L)-mérhet˝o, korlátos, nem negatív függvény eleme az L-nek, amib˝ol a tartalmazás már minden σ (L)-mérhet˝o, korlátos függvényre következik. 2 6 Ez nem túl meglep˝ o ugyanis az el˝oz˝o lemma, a Dini–tétellel kiegészítve, éppen a polinomokra vonatkozó Weierstrass-tétel bizonyításának érdemi része.

B.2. MEGÁLLÁSI IDKRL SZÓLÓ TOVÁBBI TÉTELEK

383

B.10 Tétel. (Meyer) Ha P π-rendszer és L λ-rendszer és P ⊆ L, akkor az L tartalmazza az összes σ (P)mérhet˝o, korlátos valós érték˝u függvényt. Bizonyítás: Triviálisan D (P) ⊆ L, a D (P) λ-rendszer és Stone–háló, így az L tartalmazza a D (P)-mérhet˝o, korlátos függvényeket. 2

B.2. Megállási id˝okr˝ol szóló további tételek Ebben a pontban megállási szabályokkal kapcsolatos néhány további állítást ismertetünk. B.11 Definíció. Ha τ megállási id˝o, akkor a τ B (ω) $

τ (ω) ha ω ∈ B ∞ ha ω ∈ /B

(B.1)

függvényt a τ B halmazra való lesz˝ukítésének szokás nevezni. A τ B egy másik definíciója τ B $ τ + ∞χB c . B.12 Állítás. Ha τ megállási id˝o és B ∈ Fτ , akkor a τ B megállási id˝o. Bizonyítás: Valóban {τ B ≤ t} = B ∩ {τ ≤ t} ∈ Ft .

2

B.13 Állítás. Tegyük fel, hogy az (Ω, A,P,F) teljesíti a szokásos feltételeket. Ha τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o és B ∈ Fτ − , akkor a τ B szintén el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. Bizonyítás: Jelölje B az olyan B halmazokat, amelyekre és amelyek komplementerére az állítás teljesül. A B algebra, ugyanis, el˝orejelezhet˝o megállási id˝ok maximuma és minimuma el˝orejelezhet˝o. El˝orejelezhet˝o megállási id˝ok monoton növeked˝o sorozatának határértéke is el˝orejelezhet˝o, így a B σ-algebra. Meg kell mutatni, hogy az Fτ − halmazt generáló alkalmas halmazok mindegyike eleme a B-nek. Legyen (τ n )n a τ megállási id˝ot jósló sorozat. Vegyünk egy B ∈ Fτ n halmazt. Ha m ≥ n, akkor Fτ n ⊆ Fτ m , így a τ m (ω) ha ω ∈ B B τm $ ∞ ha ω ∈ /B megállásiid˝o. Az m ≥ n indexekre definiált τ B o, és a m ∧ m, szintén megállási id˝ τB ∧ m triviálisan a τ jóslása, tehát a τ el˝ o rejelezhet˝ o . Mivel F % Fτ − , B B τn m m≥n ezért Fτ − = σ (∪Fτ n ) ⊆ B. 2


384

B.14 Állítás. Ha τ tetsz˝oleges, σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, akkor {σ ≤ τ } , {σ < τ } , {τ = σ} ∈ Fτ − . Bizonyítás: Legyen (σ n )n a σ id˝ot jósló sorozat. Tegyük fel, hogy B ∈ Fσm . B ∩ {σ ≤ τ } = (B ∩ {σ = 0}) ∪ (∩n (B ∩ {σ n+m < τ })) .

(B.2)

Triviálisan B ∩ {σ = 0} ∈ F0 ⊆ Fτ − . Elemi megfontolások alapján {B ∩ σ n+m < τ } = ∪r∈Q {B ∩ σ n+m < r} ∩ {r < τ } . B ∈ Fσm ⊆ Fσn+m , ezért B ∩{σ n+m < r} ∈ Fr , tehát a (B.2) második komponense eleme az Fτ − σ-algebrának. A σ el˝orejelezhet˝o, ezért Fσn % Fσ− . Az olyan B halmazok, amelyre B ∩ {σ ≤ τ } ∈ Fτ − (B.3) σ-algebrát alkotnak, tehát minden B ∈ Fσ− esetén teljesül a (B.3). Ebb˝ol triviálisan {σ ≤ τ } = {σ ≤ τ } ∩ Ω ∈ Fτ − . Tetsz˝oleges τ és σ megállási id˝okre {σ < τ } = ∪r∈Q {σ < r} ∩ {r < τ } ∈ Fτ − , következésképpen {σ = τ } = {σ ≤ τ } \ {σ < τ } ∈ Fτ − .

2 B.15 Állítás. (Megállási id˝ok el˝orejelezhet˝o része) Tetsz˝oleges τ megállási id˝o esetén létezik legfeljebb megszámlálható el˝orejelezhet˝o megállási id˝ob˝ol álló (σ k )k sorozat és X ∈ Fτ halmaz, hogy a τ X megállási id˝o teljesen el˝orejelezhetetlen, és a τ X c grafikonja lefedhet˝o a (σ k )k megállási id˝ok grafikonjával. Az X halmaz nullmérték˝u halmaz erejéig egyértelm˝u. Bizonyítás: Jelölje S az olyan S ∈ A halmazok családját, amelyekre S $ ∪i {σ i = τ < ∞} , ahol σ i minden i-re el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, és a lehetséges indexek száma legfeljebb megszámlálható. Világos, hogy az S σ-felszálló rendszer, vagyis ha legfeljebb megszámlálható sok Si halmazra Si ∈ S akkor ∪i Si ∈ S. Ebb˝ol következ˝oen létezik az S halmaznak lényeges szuprémuma, vagyis megadható S0 ∈ S, hogy ha S ∈ S,

B.3. SZELEKCIÓS TÉTELEK

385

akkor P-nullmérték˝u halmaztól eltekintve S ≤ S0 . S0 ∈ Fτ , ugyanis tetsz˝oleges σ megállási id˝ore7 {τ = σ} ∈ Fτ .Vezessük be az X $ S0c halmazt. A τ X triviálisan teljesen el˝orejelezhetetlen és a τ X x grafikonja része az S0 -hoz tartozó megállási id˝ok grafikonjának. 2

B.3. Szelekciós tételek Az (Ω, A, P) tér teljességét a következ˝o tétel miatt szükséges feltenni8 : B.16 Tétel. (Vetítési tétel) Ha az (Ω, A, P) tér teljes és U ∈ B (Rn ) × A, akkor projΩ U $ {x : ∃t, (t, x) ∈ U } ∈ A. Érdemes hangsúlyozni, hogy az állítás érvényét veszti, ha az (Ω, A, P) nem teljes. Meg kell még jegyezni, hogy a tétel akkor sem teljesül, ha a B (Rn ) × A helyett egy b˝ovebb σ-algebrát veszünk, ami egyúttal a Borel és a szorzatmérhet˝oség fogalmak fontosságát nyomatékosítja. A vetítési tétel fontos következménye a mérhet˝o szelekciós tétel. B.17 Tétel. (Mérhet˝o szelekciós tétel) Ha az (Ω, A, P) valószín˝uségi mez˝o teljes és B ∈ B (R+ ) × Ω, akkor létezik olyan f : Ω → [0, ∞] A-mérhet˝o függvény, amelyre Graf (f ) $ {(t, ω) : t = f (ω) < ∞} ⊆ B és {f < ∞} = projΩ B. A mérhet˝o szelekciós tétel a vetítési tételhez hasonlóan az analitikus halmazok elméletére épül, így a bizonyítását elhagyjuk. Az f szelekció általában nem megállási id˝o. Éppen ezért fontos a következ˝o: B.18 Tétel. (El˝orejelezhet˝o szelekciós tétel) Ha az (Ω, A, P,F) teljesíti a szokásos feltételek és B ⊆ R+ × Ω el˝orejelezhet˝o, akkor minden ε > 0 számhoz van olyan σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre [σ] = Graf (σ) $ {(t, ω) : t = σ (ω)} ⊆ B, és P (prof Ω B) ≤ P (σ < ∞) + ε. 7 V.ö.: 8 V.ö.:

1.32. állítás, 22. oldal. [13], [7].


386

Bizonyítás: A bizonyítást több lépésre bontjuk. 1. Emlékeztetünk, hogy a [0, τ ] szakaszok, így a (τ , ∞) nyílt félegyenesek is, ahol τ tetsz˝oleges megállási id˝o, generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat9 . Ha σ el˝orejelezhet˝o és (σ n )n a σ id˝opontot jósló sorozat, akkor [σ, ∞) = ∩n (σ n , ∞) , így ha a σ el˝orejelezhet˝o, akkor a [σ, ∞) zárt véletlen félegyenes el˝orejelezhet˝o. Tetsz˝oleges τ megállási id˝ore (τ , ∞) = ∪n [τ + 1/n, ∞) . A τ + 1/n triviálisan el˝orejelezhet˝o, így a [σ, ∞) , σ el˝orejelezhet˝o alakú szakaszok generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat10 . Azonnal látható, hogy a [σ, τ ) alakú véletlen intervallumok félgy˝ur˝ut alkotnak. 2. A mérhet˝o szelekció tétel alapján létezik f mérhet˝o függvény amelyre Graf (f ) ⊆ B

és

{f < ∞} = projΩ B.

A (R+ B (R+ )) × (Ω, A) szorzaton vezessük be a µ (E) $ P (projΩ (E ∩ Graf (f ))) mértéket. Megmutatjuk, hogy az f mérhet˝oségéb˝ol következik a Graf (f ) szorzatmérhet˝osége, tehát a projΩ mögött álló halmaz szorzatmérhet˝o, így a vetület, a mértéktér feltételezett teljessége miatt mérhet˝o. A Graf (f ) mérhet˝oségének indoklása a következ˝o: Jelölje U az R nyílt halmazait generáló megszámlálható nyílt intervallumok egy halmazát. Ha (y, x) ∈ / Graf (f ) , akkor y 6= f (x) , így alkalmas U ∈ U esetén f (x) ∈ U, de y ∈ / U . Az f mérhet˝osége és az U megszámlálhatósága miatt a Z $ ∪U ∈U U c × f −1 (U ) halmaz szorzatmérhet˝o és (y, x) ∈ Z, de minden x-re (f (x) , x) ∈ / Z, következésképpen a Graf (f ) komplementere szorzatmérhet˝o, így a Graf (f ) mérhet˝o. Ha E1 ∩ E2 = ∅, akkor projΩ (E1 ∩ Graf (f )) ∩ projΩ (E2 ∩ Graf (f )) = ∅,

(B.4)

ugyanis ha x eleme lenne a metszetnek, akkor mivel csak y = f (x) esetén (x, y) ∈ Graf (f ) , ezért (x, f (x)) ∈ E1 ∩E2 . A (B.4) miatt a µ valóban mérték. Az el˝orejelezhet˝o megállási id˝okkel definiált [σ, τ ) véletlen szakaszok generálják az el˝orejelezhet˝o halmazokat. Tekintsük az általuk generált elemi halmazokat, vagyis a félgy˝ur˝u által generált gy˝ur˝ut. A B halmaz feltételezett el˝orejelezhet˝osége miatt található olyan C ⊆ B, amely a gy˝ur˝ub˝ol vett megszámlálható halmaz metszete és amelyre P (prof Ω B) $ µ (B) ≤ µ (C) + ε. Elegend˝o belátni, hogy létezik olyan σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre Graf (σ) ⊆ C. 9 V.ö.:

1.49. állítás, 35. oldal. hogy ha σ és τ tetsz˝oleges megállási id˝o, akkor a [σ, τ ) alakú szakaszok a kockázatos halmazokat generálják. V.ö.: 1.53. állítás, 39. oldal. 10 Emlékeztetünk,


387

3. Tekintsük a C halmaz τ C (ω) $ inf {t : (t, ω) ∈ C} kezd˝oidejét. A [σ, τ ) alakú halmazok progresszíven mérhet˝oek, így a C halmaz is progresszíven mérhet˝o. A tétel feltételei alapján az alaptér kielégíti a szokásos feltételeket, így a τ C megállási id˝o11 . Meg kell mutatni, hogy majdnem minden olyan kimenetelre, amelyre τ C (ω) < ∞ (τ C (ω) , ω) ∈ C, illetve hogy a τ C el˝orejelezhet˝o. Legyen C $ [σ, ρ) , ahol σ és ρ el˝orejelezhet˝o. Elemi megfontolásokkal az Fρ− definíciója szerint B $ {σ < ρ} = ∪r∈Q {σ < r < ρ} ∈ Fρ− , amib˝ol12 σ B (ω) $

σ (ω) ha ∞ ha

ω∈B = ω∈ /B

σ (ω) ha σ (ω) < ρ (ω) ∞ ha ρ (ω) ≤ σ (ω)

el˝orejelezhet˝o, ezért a τ C = σ B is el˝orejelezhet˝o. Ha τ C (ω) < ∞, akkor triviálisan, (τ C (ω) , ω) ∈ C, így ilyenkor az állítás teljesül. Ha C véges számú [σ i , τ i ) egyesítése, akkor τ C = min τ Ci ∈ C. i

El˝orejelezhet˝o megállási id˝ok minimuma is el˝orejelezhet˝o, tehát az állítás ilyenkor is teljesül. 4. Végezetül legyen C $ ∩n Cn , ahol a Cn minden n-re elemi halmaz. Jelölje T a τ C kezd˝oid˝onél nem nagyobb el˝orejelezhet˝o megállási id˝ok halmazát: T $ {τ ≤ τ C : τ el˝orejelezhet˝o} . A T σ-felszálló rendszer, vagyis ha τ 1 , τ 2 ∈ T akkor τ1 ∨ τ2 ∈ T és ha σ n % σ, (i) a τ ι jóslása, akkor a σ n ∈ T , σ ∈ T . Az els˝o tulajdonság evidens, ugyanis ha ρn n

(1)

(2)

ρ ρn ∨ ρn a τ 1 ∨ τ 2 jóslása. A második tulajdonság indoklása a következ˝o: ha n $ (n) σk a σ n jóslása, akkor k

n

σ n $ max σ (k) n k=1

a σ jóslása. Legyen τ ≤ τ C a T a P szerinti lényeges szuprémumának egy verziója. A lényeges szuprémum szokásos konstrukciója alapján azonnal látható, hogy a τ választható el˝orejelezhet˝onek. Vegyük a Dn $ Cn ∩ [τ , ∞) halmazokat, majd tekintsük a τ Dn kezd˝oid˝oket. Mivel a τ el˝orejelezhet˝o, ezért a τ Dn = τ Cn ∧ τ is el˝orejelezhet˝o. A τ ≤ τ C miatt C ⊆ Cn ∩ [τ C , ∞) ⊆ Cn ∩ [τ , ∞) $ Dn ⊆ Cn , 11 V.ö.: 12 V.ö.:

1.21. tétel, 15. oldal. B.13 állítás, 383. oldal.


388

következésképpen C = ∩n Dn . Ha H ⊆ E, akkor triviálisan τ E ≤ τ H , ezért τ = τ [τ ,∞) ≤ τ Dn ≤ τ C , m.m.

tehát a τ definíciója miatt τ = τ Dn . Az egyenl˝oséget értelemszer˝uen a grafikonokra alkalmazva m.m. Graf (τ ) = Graf (τ Dn ) ⊆ Dn , vagyis majdnem mindenhol értelemben Graf (τ ) ⊆ ∩n Dn ⊆ C, m.m.

(B.5)

m.m.

vagyis τ ≥ τ C , tehát τ = τ C . A szokásos feltételek miatt a nullmérték˝u halmaztól eltekintve nulla függvény el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, így a τ C el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. A (B.5) miatt majdnem minden ω kimenetelre, ha τ C (ω) < ∞, akkor (τ C (ω) , ω) ∈ C. 2 B.19 Következmény. Tegyük fel, hogy az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket. A τ pontosan akkor el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, ha a Graf (τ ) halmaz el˝orejelezhet˝o13 . Bizonyítás: Ha τ el˝orejelezhet˝o és (τ n )n a τ jóslása, akkor Graf (τ ) = (∩n (τ n , τ ]) ∪ ({0} × {τ = 0}) , vagyis a Graf (τ ) grafikon el˝orejelezhet˝o. Megfordítva, alkalmazzuk a Graf (τ ) halmazra az el˝orejelezhet˝o szelekciós tételt. Tetsz˝oleges n-re megadható olyan τ n el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amely véges értékei 1/n-nél kisebb valószín˝uség˝u halmazon egybeesnek a τ véges értékeivel. Ha a τ n megállási id˝o helyett a τ 0n $ mink≤n τ k id˝oket vesszük, akkor nullmérték˝u halmaztól eltekintve τ 0n → τ . Megállási id˝ok határértéke megállási id˝o14 , valamint a nullmérték˝u halmaztól eltekintve nulla függvények a szokásos feltételek teljesülésekor szintén megállási id˝ok, ezért a τ megállási id˝o, következésképpen a τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. 2 Az el˝orejelezhet˝o szelekciós tétel bizonyítását értelemszer˝uen módosítva kapjuk a következ˝o állítást: B.20 Tétel. Ha (Ω, A, P,F) teljesíti a szokásos feltételek és B ⊆ R+ × Ω kockázatos halmaz, akkor minden ε > 0 számhoz van olyan τ megállási id˝o, amelyre Graf (τ ) $ {(t, ω) : t = τ (ω)} ⊆ B, és P (prof Ω B) ≤ P (τ < ∞) + ε. 13 V.ö.: 14 V.ö.:

1.52. következmény, 37. oldal. 1.17. állítás, 14. oldal.


389

B.21 Példa. Létezik progresszíven mérhet˝o halmaz, amely nem kockázatos. Legyen w a kanonikus Wiener–folyamat. Tetsz˝oleges ω esetén az N (ω) $ {s : w (s, ω) = 0} halmaz zárt, így a komplementere nyílt. A számegyesen alaptulajdonságai miatt az N c (ω) nyílt intervallumok egyesítése. A P ⊆ R+ × Ω álljon az egyes intervallumok bal oldali végpontjaiból. Megmutatjuk, hogy P ∈ R, vagyis hogy a P progresszíven mérhet˝o. Tetsz˝oleges s-re D (s, ω) $ inf {t > s : w (t, ω) = 0} . A D (s, ω) a Wiener–folyamat w (ω) trajektóriájának s id˝opont utáni els˝o zéruspontja. Elemi megfontolásokkal belátható15 , hogy a D minden s-re megállási id˝o, így a D az ω változó szerint mérhet˝o. Ugyanakkor minden ω-ra a D (ω) jobbról folytonos, ugyanis a D (ω) trajektória triviálisan monoton n˝o, és ha sn & s, akkor {t > sn : w (t, ω) = 0} % {t > s : w (t, ω) = 0} . A D tehát szorzatmérhet˝o, következésképpen az F+ $ {(s, ω) : D (s, ω) = s} szintén szorzatmérhet˝o. Felhasználva, hogy a Ds minden s-re megállási id˝o és a gondolatmenetet a [0, t] szakaszra sz˝ukítve könnyen igazolható, hogy F+ ∩ [0, t] × Ω ∈ B ([0, t]) × Ft , vagyis az F+ progresszíven mérhet˝o. Az N $ {(s, ω) : w (s, ω) = 0} halmaz triviálisan progresszíven mérhet˝o, ugyanis a w folytonos, tehát progresszíven mérhet˝o folyamat nívóhalmaza. A P pontjai az olyan (t, ω) párokból állnak, ahol bár w (t, ω) = 0, de a t id˝opontot követ˝o pozitív hosszúságú id˝oszakaszon a w (ω) trajektória nem tér vissza a nulla pontba. Másképpen P = F+c ∩ N , következésképpen P ∈ R. Tegyük fel, hogy a P kockázatos. Majdnem minden ω-ra a w (ω) trajektória nem azonosan nulla, tehát a P ω irányú metszete majdnem minden kimenetelre nem üres, így a szelekciós tétel miatt létezik τ megállási id˝o, amelyre Graf (τ ) ⊆ P és a τ pozitív valószín˝uség˝u halmazon véges. Triviálisan w (τ ) = 0, és az er˝os Markov– tulajdonság miatt a w e (t) $ w (t + τ ) − w (τ ) = w (t + τ ) Wiener–folyamat. Ez azonban lehetetlen, ugyanis egy pozitív valószín˝uség˝u halmazon a w e csak pozitív id˝o elteltével tér vissza az origóba, míg a Wiener–folyamat majdnem minden kimenetelére a t = 0 a zérushelyek torlódási pontja16 . 2 15 V.ö.: 1.23. példa, 16. oldal. Természetesen közvetlenül is igazolható, vagyis most még nincs szükségünk a tér teljességére. 16 V.ö.: 3.93. állítás, 296. oldal.


390

B.4. Doob—Meyer–felbontás Ebben a pontban a következ˝o állítást fogjuk igazolni: B.22 Tétel. (Doob—Meyer–felbontás) Ha a sztochasztikus alaptér kielégíti a szokásos feltételeket és az X szubmartingál eleme a D-osztálynak, akkor az X egyértelm˝uen felbontható X = X (0) + M + A módon, ahol A ∈ A+ , az A el˝orejelezhet˝o és M ∈ M. Bizonyítást több lépésre bontjuk. Az egyértelm˝uség indoklása egyszer˝u. Ha X (0) + M1 + A1 = X (0) + M2 + A2 az X két felbontása, akkor M 1 − M 2 = A2 − A1 . Az A2 − A1 el˝orejelezhet˝o martingál, tehát folytonos17 . Ugyanakkor az A2 − A1 korlátos változású, így Fisk tétele szerint18 A1 = A2 , vagyis M1 = M2 .

B.4.1. A felbontás létezése A felbontás létezésének indoklása jóval bonyolultabb. B.23 Definíció. A P szupermartingált potenciálnak mondjuk, ha19 1. nem negatív, 2. limt→∞ M (P (t)) = 0. B.24 Állítás. (Riesz–dekompozíció) Tegyük fel, hogy az F filtráció kielégíti a szokásos feltételeket. Ha az X szubmartingál eleme a D-osztálynak, akkor az X megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝uen felírható X =M −P (B.6) módon, ahol a P D-osztályba es˝o potenciál, az M pedig egyenletesen integrálható martingál. 17 V.ö.: 1.118. következmény, 81. oldal. Vegyük észre, hogy hallgatólagosan kihasználtuk a szokásos feltételek teljesülését. 18 V.ö.: 1.121. tétel, 83. oldal. 19 Emlékeztetünk, hogy a szupermartingálok várható értéke csökken.

B.4. DOOBMEYERFELBONTÁS

391

Bizonyítás: Az X D-osztályba esik, ezért az (X (t))t halmaz egyenletesen integrálható, következésképpen L1 -korlátos. Ebb˝ol következ˝oen sup M X + (t) ≤ sup M (|X (t)|) < K. t

t

A szubmartingálkonvergencia-tétel alapján létezik lim X (t) = X (∞) ∈ L1 .

t→∞

Vezessük be az M (t) $ M (X (∞) | Ft ) folyamatot, amely a filtrációra tett feltételek miatt egyenletesen integrálható martingál. A P $ M − X folyamat triviálisan eleme a D-osztálynak, ugyanis két ilyen osztályba es˝o folyamat különbsége. A szubmartingál tulajdonság miatt P (s) $ =

M (s) − X (s) ≥ M (M (t) | Fs ) − M (X (t) | Fs ) = M (M (t) − X (t) | Fs ) . m.m.

Ha t → ∞, akkor M (t) − X (t) → 0, és mivel az (M (t) − X (t))t egyenletesen is integrálható, ezért a konvergencia L1 -ben is teljesül. A feltételes várható érték L1 -folytonossága miatt az egyenl˝otlenség jobb oldala majdnem minden kimenetelre nullához tart, vagyis P (s) ≥ 0. M (P (s)) = M (M (s)) − M (X (s)) → M (M (∞)) − M (X (∞)) = 0, vagyis a P tényleg potenciál. Ha a felbontás nem egyértelm˝u, és Pi , Mi , i = 1, 2 az X felbontásai, akkor (P1 − P2 ) (t) = M1 (t) − M2 (t) = M (M1 (∞) − M2 (∞) | Ft ) . L

A potenciál definíciója szerint Pi (t) →1 0, vagyis 0 = M (M1 (∞) − M2 (∞) | F∞ ) = M1 (∞) − M2 (∞) , következésképpen M1 = M2 , tehát P1 = P2 . 2 Elegend˝o tehát az állítást a szubmartingál potenciál részére belátni. Meg kell mutatni, hogy ha P D-osztályba es˝o potenciál, akkor van, mégpedig egyetlen olyan N egyenletesen integrálható martingál és A monoton növeked˝o, el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre N = P + A. Ha ez teljesül, akkor a −P = N + A folyamatot a (B.6) sorba behelyettesítve éppen a kívánt felbontást kapjuk. A potenciál definíciójából következ˝o M (A (t)) = M (N (t)) − M (P (t)) ≤ M (N (∞))


392

L1

egyenl˝oség és a monoton konvergencia tétel miatt M (A (∞)) < ∞, és mivel P (t) → L1

P (∞) = 0, A (t) → A (∞) , ezért A (∞) = N (∞) . Ebb˝ol következ˝oen elegend˝o belátni, hogy van olyan A ∈ A+ el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre P (t) + A (t) = N (t) = M (N (∞) | Ft ) = M (A (∞) | Ft ) , amit átrendezve P (t) = M (A (∞) − A (t) | Ft ) . A feltételes várható érték definíciója szerint ez ekvivalens az M (χF (A (∞) − A (t))) = M (χF P (t)) = M (χF (P (t) − P (∞))) ,

F ∈ Ft

egyenl˝oség teljesülésével. Vegyük észre, hogy az S $ −P szubmartingál, és S (∞) = 0, tehát az egyenl˝oség M (χF (A (∞) − A (t))) = M (χF (S (∞) − S (t))) ,

F ∈ Ft

(B.7)

módon írható. Legyen A tetsz˝oleges monoton növeked˝o, jobbról folytonos folyamat. Minden ω kimenetelre az A (ω) monoton növeked˝o függvény egy µ (ω) mértéket definiál. Ha X B (R+ ) × A mérhet˝o folyamat, akkor az X (ω) trajektória B (R+ ) mérhet˝o, tehát ha X (ω) ≥ 0, akkor értelmes az Z ∞ Z ∞ X (s, ω) dµ (s, ω) = X (s, ω) dA (s, ω) (B.8) 0

0

integrál. Természetesen az integrál értéke függ az ω kimenetelt˝ol. Ha X $ χF χ (s, t] alakú, és az A (s) minden s-re az ω szerint A-mérhet˝o, akkor az Z ∞ X (s, ω) dA (s, ω) = χF [A (t, ω) − A (s, ω)] 0

A-mérhet˝o. A Meyer–tétel segítségével igazolható, hogy tetsz˝oleges X szorzatmérhet˝o folyamatra a (B.8) A-mérhet˝o, így értelmes az Z ∞ Z Z ∞ M XdA $ X (s, ω) dA (s, ω) dP (ω) , 0

Ω

0

kifejezés. Ugyancsak könnyen látható, hogy a Z µA (B) $ M

∞

χB dA

0

mérték a B (R+ ) × A σ-algebrán. Ha M (A (∞)) < ∞, akkor a mérték véges. B.25 Definíció. Az A folyamat által generált mértéket µA módon fogjuk jelölni.


393

B.26 Definíció. Ha S szubmartingál, akkor az el˝orejelezhet˝o téglákon értelmezett µS ((s, t] × F ) $ M (χF (S (t) − S (s))) , µS ({0} × F ) $ 0,

F ∈ Fs

F ∈ F0

halmazfüggvényt az S Doléans–mértékének mondjuk. Vegyük észre, hogy a (B.7) jobb oldalán éppen az S szubmartingálhoz tartozó µS Doléans–mértéket definiálja. Ennek megfelel˝oen a Doob—Meyer–felbontás létezése arra a kérdésre redukálódik, hogy mikor lehet a µS Doléans–mértéket el˝orejelezhet˝o A folyamattal generálni. B.27 Állítás. (Doléans–mérték kiterjesztése) Ha S D-osztályba es˝o szubmartingál, akkor az S által definiált µS mérték kiterjeszthet˝o mértékké az el˝orejelezhet˝o halmazok P = σ (C) σ-algebrájára. Bizonyítás: Az állítás igazolása a mértékkiterjesztési-tételre épül, amelyet akkor tudunk használni, ha belátjuk, hogy a µS mérték az el˝orejelezhet˝o elemi halmazok C algebráján. Az S szubmartingál, ezért a µS nem negatív. A µS az elemi halmazokon triviálisan additív. A (0, ∞] elemi halmaz, ezért a µS ≥ 0 miatt tetsz˝oleges C ∈ C esetén µS (C) ≤ µS ([0, ∞]) = µS ({0} × Ω) + µS ((0, ∞]) = = µS ((0, ∞]) $ M (S (∞) − S (0)) ≤ ≤ M (|S (∞)|) + M (|S (0)|) < ∞, ahol felhasználtuk, hogy S egyenletesen integrálható, tehát az S (∞) és az S (0) integrálható. A µS végessége miatt elegend˝o megmutatni, hogy ha Cn ∈ C, és Cn & ∅, akkor µS (Cn ) & 0. Legyen ε > 0 tetsz˝oleges. Az (s, t] × F el˝orejelezhet˝o téglához tekintsük az 1 1 s + , t × F ⊆ s + , t × F ⊆ (s, t] × F n n mérhet˝o téglákat. A szubmartingál tulajdonság miatt, ha F ∈ Fs , akkor 1 M χF S s + − S (s) ≥ n 1 M χF c S s + − S (s) ≥ n

0, 0.

Az S eleme a D-osztálynak, így az egyenletes integrálhatóság miatt a két sorozat összegére 1 lim M S s + − S (s) = 0. n→∞ n


394

Két nem negatív sorozat összegének határértéke pontosan akkor nulla, ha a sorozatok határértéke nulla, ezért 1 1 lim µS s + ,t × F $ lim M χF S (t) − S s + = n→∞ n→∞ n n = M (χF [S (t) − S (s)]) $ µS ((s, t] × F ) , így minden Cn elemi halmazhoz vannak olyan Kn és Bn halmazok, amelyekre Bn ⊆ K n ⊆ C n , és ahol minden ω-ra a Kn ω irányú metszetei kompakt20 halmazok, a Bn szintén elemi halmaz, valamint µS (Cn ) < µS (Bn ) + ε2−n . Vezessük be az Ln $ ∩k≤n Bk monoton csökken˝o halmazokat. Az Ln halmazok triviálisan szintén elemiek. Tekintsük az Ln halmazokat, amelyeket definíció szerint az Ln -ben szerepl˝o véges id˝ointervallumok lezárásaival kapunk. Ln ⊆ Kn ⊆ Cn & ∅, ezért Ln & ∅, ami csak úgy lehetséges, ha az Ln halmazok γ n (ω) $ inf {t : (t, ω) ∈ Ln } kezd˝oidejei monoton növeked˝oen végtelenhez tartanak21 , vagyis γ n % ∞, ugyanis ellenkez˝o esetben létezik olyan ω kimenetel és K < ∞ korlát, hogy γ n (ω) ≤ K, (γ n (ω) , ω) ∈ Ln . A [0, K] ∩ Ln (ω) alakú egymásba ágyazott kompakt halmazok egyike sem üres, tehát a metszetük sem üres, vagyis alkalmas γ ∞ elemre (γ ∞ , ω) ∈ ∩n Ln , ami lehetetlen. Az S eleme a D osztálynak, tehát az (S (γ n ))n sorozat egyenletesen integrálható. Az egyenletes integrálhatóság miatt µS (Ln ) ≤ M (S (γ n ) − S (∞)) → 0, amib˝ol lim supµS (Cn ) ≤ lim supµS (Cn \ Ln ) + lim supµS (Ln ) ≤ ε. n→∞

n→∞

n→∞

2 B.28 Definíció. Az N ∈ B (R+ ) × A halmazt elhanyagolhatónak mondjuk, ha megkülönböztethetetlen az üres halmaztól, vagyis a χN trajektóriái egy nullmérték˝u halmaztól eltekintve nullák, vagyis a χN és az azonosan nulla folyamat megkülönböztethetetlen. 20 Felhasználtuk, hogy a bizonyítás elején tett megjegyzés miatt a lehetséges id˝ opontok halmaza jobbról korlátos halmazba esik. Ez azonban nem jelent megszorítást ugyanis a lényegi feltétel, hogy az X kiterjeszthet˝o a jobb oldali végpontra. 21 A γ (ω) = ∞ azt jelenti, hogy az ω irányú metszet üres. n


395

B.29 Definíció. A B (R+ )×A téren értelmezett µ mértéket paraméteresen abszolút folytonosnak mondjuk, ha minden B elhanyagolható halmazra µ (B) = 0. B.30 Állítás. (Paraméteres Radon—Nikodym–tétel) Legyen µ a (R+ × Ω, B (R+ ) × A) mérhet˝o téren értelmezett σ-véges mérték. Pontosan akkor létezik A monoton növeked˝o, jobbról folytonos integrálható22 folyamat, amely a Z ∞

µA (B) $ M

χB dA

= µ (B) ,

B ∈ B (R+ ) × A

0

módon reprezentálja a µ mértéket, ha 1. µ ([0]) = 0, 2. minden t id˝opontra µ ([0, t]) $ µ ([0, t] × Ω) < ∞, és 3. a µ paraméteresen abszolút folytonos. A µ mértéket generáló A folyamat a megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝u. Bizonyítás: A feltételek triviálisan szükségesek. Ha például a B megkülönböztethetetlen az üres halmaztól, akkor egy P-nullmérték˝u halmaztól eltekintve minden trajektóriája nulla, így triviálisan µA (B) = 0. Térjünk rá az elégségesség igazolására. Minden t-re definiáljuk a ρt (H) $ µ ([0, t] × H) ,

H∈A

mértéket. A harmadik feltétel miatt a ρt abszolút folytonos a P-re nézve, tehát létezik a dρt /dP Radon—Nikodym–derivált. Legyen A0t a derivált valamelyik nem negatív verziója. Triviálisan majdnem minden értelemben A00 = 0, A0s ≤ A0t , ha s ≤ t. Ha tn & t∞ , akkor A0tn & A0∗ . A második feltétel alapján a majorált konvergencia tétel miatt µ ([0, t∞ ] × F )

= =

lim µ ([0, tn ] × F ) = Z Z Z lim A0tn dP = lim A0tn dP $ A0∗ dP,

n→∞

n→∞

F

F n→∞

F

vagyis a Radon—Nikodym–derivált egyértelm˝usége miatt az A0∗ majdnem mindenhol megegyezik A0t∞ -nel. Természetesen a szokásos problémával találkoztunk, az A0t csak a racionális id˝okoordináták esetére használható. Tetsz˝oleges t-re At $ inf {A0r : t < r, r ∈ Q} . Az At minden t-re A-mérhet˝o, és a folyamat az id˝o szerint monoton n˝o, jobbról folytonos és minden t-re At = dρt /dP. A [0, t] × H alakú halmazok π-rendszert alkotnak, 22 Vagyis

minden t-re az M (A (t)) véges.


396

és az ilyen alakú halmazokon a µ egyértelm˝uen meghatározott. A konstrukcióból világos, hogy ha B egy másik a µ mértéket generáló monoton növeked˝o, jobbról folytonos folyamat, akkor a B egyrészt az A módosítása, másrészt mivel a két folyamat jobbról folytonos, ezért megkülönböztethetetlenek. 2 Szükségünk lesz a következ˝o egyszer˝u észrevételre: B.31 Állítás. Legyen F ⊆ A σ-algebra, és tegyük fel hogy az F tartalmazza az A nullmérték˝u halmazait. Ha ξ ∈ L1 (Ω, A,P) és minden F ∈ A halmazra M (ξ · χF ) = M (ξ · M (χF | F)) ,

(B.9)

akkor a ξ F-mérhet˝o. Bizonyítás: A ξ tekinthet˝o az L∞ (Ω, F, P) téren értelmezett x∗ (h) $ M (ξ · h) folytonos, lineáris funkcionálnak. Legyen b ξ $ M (ξ | F) ∈ L1 (Ω, F, P) . b ξ szin∗ ∞ tén az x funkcionált az L (Ω, F, P) téren reprezentáló változó. M (χF | F) ∈ L∞ (Ω, F, P) , tehát ha F ∈ A, akkor M (ξ · χF ) = M (ξ · M (χF | F)) = M b ξ · M (χF | F) = = M M b ξ · χF | F =M b ξ · χF . a.s. Az egyenl˝oség minden F ∈ A halmazra teljesül, tehát ξ = b ξ. Mivel az F tartalmazza a nullmérték˝u halmazokat a ξ F-mérhet˝o. 2

B.32 Állítás. Tegyük fel, hogy teljesülnek a szokásos feltételek, és a B (R+ ) × A σ-algebrán értelmezett µA mértéket az A folyamattal generáltuk. Ha p X = p Y esetén23 µA (X) = µA (Y ), akkor az A el˝orejelezhet˝o. Bizonyítás: El˝oször megmutatjuk, hogy az A adaptált. Az el˝oz˝o állítás alapján elegend˝o belátni, hogy M (χH A (t)) = M (M (χH | Ft ) A (t)) ,

H ∈ A,

vagy ami ugyanaz µA ([0, t] × H) = µA ([0, t] × M (χH | Ft )) . A szokásos feltételek teljesülése miatt az M (t) $ M (χH | Ft ) kifejezés martingál, következésképpen a χH χ [0, t] és az M (χH | Ft ) χ [0, t] folyamatok el˝orejelezhet˝o 23 Emlékeztetünk, hogy p X az X szorzatmérhet˝ o halmaz el˝orejelezhet˝o vetülete. V.ö.: 1.120. állítás, 82. oldal.


397

vetületei megegyezik, ugyanis mind a kett˝o24 M− (t) χ [0, t] . Annak belátáshoz, hogy az A el˝orejelezhet˝o, elég belátni, hogy minden τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore az A (τ ) Fτ − mérhet˝o. Ez ekvivalens az M (χH A (τ )) = M (M (χH | Fτ − ) A (τ )) ,

H∈A

azonossággal, amely pedig éppen a µA (χH χ [0, τ ]) = µA (M (χH | Fτ − ) χ [0, τ ]) Ez azonban teljesül ugyanis az χH χ [0, τ ] és az M (χH | Fτ − ) χ ([0, τ ]) folyamatok el˝orejelezhet˝o vetületei ismét azonosak, nevezetesen megegyezik az M− · χ ([0, τ ]) folyamattal. 2 Az elmondottak miatt a szubmartingálok felbonthatósága már egyszer˝uen igazolható. A µS Doléans–mértéket a µ (X) $ µS (p X) (B.10) definícióval terjesszük ki az el˝orejelezhet˝o halmazokról az összes nem negatív szorzatmérhet˝o folyamatra. Vegyük észre, mivel az (Ω, A,P,F) teljesíti a szokásos feltételeket, ezért a µ (X) definíciója egyértelm˝u. Az el˝orejelezhet˝o vetület elemi tulajdonságai alapján világos, hogy a µ valóban mérték, tehát nem negatív és σ-additív. A µ triviálisan parametrikusan abszolút folytonos, ugyanis ha az X megkülönböztethetetlen a nulla folyamattól, akkor van olyan N nulla valószín˝uség˝u halmaz, amelyre az X lefedhet˝o a megszámlálható [0, τ n ] n ha ω ∈ N τ n (ω) $ ∞ ha ω ∈ /N alakú véletlen szakasszal. A tér feltételezett teljessége miatt a τ n megállási id˝o, így a [0, τ n ] szakaszok el˝orejelezhet˝ok és a Doléans–mértékük triviálisan nulla. Az el˝oz˝o állítások alapján a µ reprezentálható A ∈ A+ el˝orejelezhet˝o folyamattal.

B.4.2. A Doob—Meyer–felbontás és az Itô–formula kapcsolata El˝oször is megjegyezzük, hogy a Doob—Meyer–felbontás lokalizálható. B.33 Definíció. Az X folyamatot lokális integrálható szubmartingálnak mondjuk, ha van olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, hogy minden n-re az X τ n megállított folyamatok integrálható szubmartingálok. B.34 Tétel. Ha az (Ω, A,P,F) teljesíti a szokásos feltételeket és az X lokális integrálható szubmartingál, akkor az X egyértelm˝uen felbontható X = X (0) + L + V módon, ahol L ∈ L, V ∈ V + és ahol a V el˝orejelezhet˝o. 24 V.ö.:



398

Bizonyítás: Elegend˝o belátni, hogy az X rendelkezik olyan (τ n )n lokalizációs sorozattal, amelyre az X τ n folyamatok elemei a D-osztálynak. Ha (σ n )n az X lokalizációs sorozata és τ n $ inf {t : |X (t)| ≥ n} ∧ n ∧ σ n , akkor |X τ n | ≤ n + |X (τ n )| . A τ n korlátos az X σn integrálható szubmartingál, így a szubmartingálokra vonatkozó megállási opciókról szóló tétel miatt X (τ n ) ∈ L1 (Ω) , tehát az X τ n rendelkezik integrálható majoránssal, így eleme a D-osztálynak. 2 B.35 Példa. Meyer–Itô–formula és a Doob—Meyer–felbontás. τ

Legyen L folytonos lokális martingál, f konvex függvény. Az (f (L)) n = f (Lτ n ) egyenl˝oség és az f konvexitása miatt az f (L) lokális submartingál. A folytonosság τ miatt a lokalizációs sorozat választható úgy hogy az f (L) n folyamatok korlátosak. Az Itô–formula szerint Z Z t 1 0 L (a, t) dµ (a) . f (L (t)) − f (L (0)) = f− (M ) dM + 2 R 0 Az els˝o kifejezés folytonos lokális martingál, a második folytonos monoton növeked˝o függvény, így a Meyer—Itô–formula éppen az f (L) integrálható lokális szubmartingál Doob—Meyer–felbontását adja. 2

B.5. Természetesség és el˝orejelezhet˝oség Emlékeztetünk a definícióra: B.36 Definíció. A V ∈ V folyamatot természetesnek mondjuk, ha minden N nem negatív, korlátos martingálra Z t Z t M N dV = M N− dV . 0

0

Emlékeztetünk, hogy p N = N− , tehát a természetességet definiáló egyenl˝oség Z t Z t p M N dV = M N dV 0

0

módon is írható. B.37 Állítás. (Dellacherie–formula) Ha V ∈ A+ természetes akkor, tetsz˝oleges X nem negatív szorzatmérhet˝o folyamatra Z ∞ Z ∞ p M XdV = M XdV . (B.11) 0

0

B.5. TERMÉSZETESSÉG ÉS ELREJELEZHETSÉG

399

Bizonyítás: Legyen η tetsz˝oleges korlátos, nem negatív változó, X $ η · χ ((s, t]) . Ekkor Z ∞ XdV = M (η (V (t) − V (s))) = M 0 ! X = M η (V (tk ) − V (tk−1 )) = k

X

=

M (M (η (V (tk ) − V (tk−1 )) | Ftk )) =

k

! =

X

M

M (η | Ftk ) (V (tk ) − V (tk−1 )) .

k

Az M (t) $ M (η | Ft ) a szokásos feltételek teljesülése miatt korlátos, nem negatív martingál. Ha az id˝otengely (tk )k felbontásának finomsága nullához tart, akkor, felhasználva, hogy a közelít˝o pontoknak a részintervallum végpontját vettük, valamint hogy az M jobbról folytonos X (n) (n) (n) i Mn $ M tk χ tk−1 , tk → M. k

Az η korlátos, a feltétel szerint V ∈ A+ , így a várható érték mögött lev˝o kifejezésnek van integrálható majoránsa. A majorált konvergencia tétel alapján ! Z ∞ X (n) (n) (n) = − V tk−1 M V tk XdV = lim M M tk n→∞

0

= M

k

X

lim

n→∞

= M

M

(n) tk

! =

k

Z

t

lim Mn dV s Z t = M M dV . n→∞

(n) (n) − V tk−1 V tk

Z =M

t

lim Mn dV

s n→∞

=

s

Emlékeztetünk, hogy az X $ η · χI alakú folyamatok el˝orejelezhet˝o vetülete25 p

X$

p

(η · χI ) = M− · χI .

A természetesség feltétele alapján Z ∞ Z t Z t M XdV = M M dV = M M− dV = 0 s Zs ∞ Z ∞ p = M M− χ ((s, t]) dV = M XdV , 0 25 V.ö.:

(1.38) sor, 82. oldal.

0


400

tehát a speciálisan választott X folyamatra teljesül a (B.11). A (B.11) sorba írható korlátos X folyamatok halmaza λ-rendszer, így a Meyer–tétel segítségével az egyenl˝oség kiterjeszthet˝o az X $ η · χ ((s, t]) típusú korlátos folyamatok π-rendszere által generált σ-algebra szerint mérhet˝o korlátos folyamatokra, vagyis az X helyébe tetsz˝oleges korlátos szorzatmérhet˝o folyamat írható. Az általános eset a monoton konvergencia tétellel igazolható. 2 B.38 Tétel. (Doléans) Ha az (Ω, A,P,F) kielégíti a szokásos feltételeket, akkor a V ∈ A+ folyamat pontosan akkor el˝orejelezhet˝o, ha természetes. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a V folyamat természetes. A V -hez tartozó µV mértékre teljesül a (B.11) következésképpen, ha p X = p Y , akkor µV (X) = µV (Y ), így a V el˝orejelezhet˝o26 . Megfordítva, tegyük fel, hogy a V el˝orejelezhet˝o. A Dellacherie– formula27 szerint minden X szorzatmérhet˝o folyamatra Z ∞ Z ∞ p M XdV = M XdV . 0

0

Mivel tetsz˝oleges X $ N egyenletesen integrálható martingálra28 p N = N− , így a V természetes. 2

B.6. Kolmogorov–kritérium A különböz˝o sztochasztikus folyamatok folytonos módosításának létezését igen gyakran a következ˝o állítással szokás indokolni. B.39 Állítás. (Kolmogorov—Csencov) Ha az I intervallumon értelmezett X sztochasztikus folyamathoz léteznek olyan α, β és C pozitív konstansok, hogy minden s, t ∈ I számpárra α

M (|X (t) − X (s)| ) ≤ C |t − s|

1+β

,

akkor az X-nek létezik minden29 ω-ra folytonos ekvivalens módosítása. Az X folyamat értékeit tetsz˝oleges Banach–térb˝ol is veheti, ilyenkor az |·| a Banach–tér normáját jelöli. Bizonyítás: A Csebisev–egyenl˝otlenség alapján α

P (|X (t) − X (s)| ≥ ε) ≤ 26 V.ö.:

M (|X (t) − X (s)| ) εα

B.32. állítás, 396. oldal. 2.71. állítás, 181. oldal. 28 V.ö.: 1.116. állítás, 81. oldal. 29 Valójában a folytonos módosítás létezését csak nullmérték˝ u halmaz erejéig igazoljuk, de a megmaradt pontokon az új folyamatot definiálhatjuk például azonosan nullának. 27 V.ö.:

B.6. KOLMOGOROVKRITÉRIUM

401

amib˝ol a tétel feltételét használva 1+β

P (|X (t) − X (s)| ≥ ε) ≤ Cε−α |t − s|

.

(B.12)

1. Az állítást elegend˝o az I = [a, b] alakú, véges zárt intervallumokra belátni, az általános eset a tetsz˝oleges I intervallum esetén létez˝o I = ∪n [an , bn ] felbontás segítségével triviálisan igazolható. A jelölés egyszer˝usítése végett legyen [a, b] = [0, 1] . Legyen 0 < γ < β/α tetsz˝oleges, és tekintsük az k k−1 ≥ 1 , ω − X , ω An $ ω : max n X 2γn 1≤k≤2 2n 2n halmazokat. Felhasználva a (B.12) becslést ! 2n [ k − 1 1 k P (An ) = P ≥ 2γn ≤ X 2n − X 2n k=1 −α X 1+β 2n 1 1 ≤ C = 2γn 2n n

αγn

= C ·2 ·2

k=1 −n(1+β)

·2

=

= C · 2n(1+γα−1−β) = C · 2−n(β−γα) . Mivel β > γα, ezért

∞ X

C · 2−n(β−γα) < ∞

n=1

és így a Borel—Cantelli–lemma alapján P lim sup An = 0. n→∞

2. A lim supn An halmazon az X módosítását definiáljuk azonosan nullának. Vegyünk egy ω ∈ / lim supn An , kimenetelt. Az ω kimenetelhez létezik olyan n (ω), hogy ha n ≥ n (ω) , akkor k k−1 1 , ω − X , ω |< γn . (B.13) max n | X 1≤k≤2 2n 2n 2 Jelölje D a diadikus racionális számok halmazát. Megmutatjuk, hogy a t 7→ X (t, ω) egyenletesen folytonos a D halmazon. Ehhez elég belátni, hogy ha K$ és |t − s| < akkor

2 1 − 2−γ

1 , 2n(ω)

t, s ∈ D γ

|X (t, ω) − X (s, ω)| ≤ K |t − s| .


402

Rögzítsük az n ≥ n (ω) indexet. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy ha m > n, akkor minden t, s ∈ Dm , |t − s| < 2−n esetén m X

|X (t, ω) − X (s, ω)| ≤ 2

2−γj ,

(B.14)

j=n+1

ahol Dm jelöli a k/2m alakú diadikus törtek halmazát. Valóban, ha m = n + 1, akkor a |t − s| < 2−n csak akkor teljesülhet, ha t és s szomszédos m-ed rend˝u diadikus racionális számok, és ekkor a (B.14) következik a (B.13) sorból. Tegyük fel, hogy valamely m-re az állítást már beláttuk és legyen s, t ∈ Dm+1 és s < t. Legyen t0

$ max {u ∈ Dm : u ≤ t} ,

s0

$ min {u ∈ Dm : u ≥ s} .

Világos, hogy egyrészt s ≤ s0 ≤ t0 ≤ t következésképen |s0 − t0 | < 2−n , másrészt |s − s0 | ≤ 2−(m+1) és |t − t0 | ≤ 2−(m+1) . Az indukciós feltétel alapján |X (t0 , ω) − X (s0 , ω)| ≤ 2

m X

2−γj .

j=n+1

Ismételten felhasználva a (B.13) egyenl˝otlenséget, illetve a háromszög egyenl˝otlenséget m+1 X |X (t, ω) − X (s, ω)| ≤ 2 2−γj . j=n+1

Ebb˝ol a D-n való egyenletes folytonosság már következik, hiszen ha |s − t| < 2−n(ω) , akkor alkalmas n ≥ n (ω)-re 2−(n+1) ≤ |s − t| < 2−n . Ha s, t ∈ Dm , akkor (B.14) alapján |X (t, ω) − X (s, ω)|

≤

2

≤ 2

m X j=n+1 ∞ X j=n+1

2−γj ≤ 2−γj = 2

2−γ(n+1) $ 1 − 2−γ

γ γ $ K 2−(n+1) ≤ K |s − t| . 3. Ha az értékkészlet teljes, akkor minden egyenletesen folytonos függvényt ki lehet terjeszteni folytonos függvényé az értelmezési tartományának lezártjára. A (B.12) miatt az X a sztochasztikus konvergencia topológiában folytonos. A majdnem mindenhol való konvergenciából következik a valószín˝uségben való konvergencia30 , ezért 30 Ez

igen általános körülmények között igaz, a lényeges feltétel a mérték végessége. [20]

B.6. KOLMOGOROVKRITÉRIUM

403

p

m.m.

ha rn ∈ D, és rn → t, akkor X (rn ) → X (t) , tehát31 X 0 (t) = X (t) , következésképpen a kiterjesztett X 0 az X módosítása. 2 B.40 Példa. Létezik Wiener–folyamat. A Kolmogorov féle alaptétel alapján létezik olyan X (t, ω) sztochasztikus folyamat, amely a folytonosság kivételével a Wiener–folyamat összes tulajdonságával rendelke √ zik. Mivel a X (t) − X (s) ∼ = N 0, t − s , ezért 4 2 M (X (t) − X (s)) = 3 (t − s) amib˝ol a Kolmogorov—Csencov–tétel alapján létezik a X-nek folytonos módosítása 2

31 A

sztochasztikus konvergencia nullmérték˝u halmaz erejéig egyértelm˝u.

C. függelék

Lévy—Hincsin–formula független növekményu˝ folyamatokra A függelék harmadik részében a független növekmény˝u folyamatok alaptulajdonságait tárgyaljuk. A független növekmény˝u folyamatok speciális részhalmaza a Lévy– folyamatok családja, amikor a folyamat növekményei nem csak függetlenek, hanem stacionáriusak is. A Lévy–folyamatokkal kapcsolatos legfontosabb eredmények a Lévy— Hincsin–formula következményei. A pont célja a Lévy—Hincsin–formula független növekmény˝u folyamatokra való általánosítása. Az alábbi tárgyalás jól illusztrálja a sztochasztikus folyamatok absztrakt elméletének erejét, és tekinthet˝o a sztochasztikus analízis, az általános Itô–kalkulus példaszer˝u alkalmazásai egyikének. A továbbiakban rögzítjük az (Ω, A,P,F) teret amelyr˝ol feltesszük, hogy kielégíti a szokásos feltételeket.

C.1. Véletlen mértékek kompenzátora A Lévy—Hincsin–formula kulcsa a Lévy–folyamatok három részre való bontása. A formulában a f˝oszerepet a folyamat ugrásai, illetve az ugrások által definiált spektrálmérték alakítja. Legyen (E, E) mérhet˝o tér. Az E a vizsgált X folyamat ∆X ugrásainak értékkészlete. Az alábbiakban általában E $ Rn \ {0} és E az E Borel–halmazai. A bevezet˝o részben elég megkövetelni, hogy az E tetsz˝oleges teljes, szeparábilis metrikus tér és E az E Borel–halmazai. Miként látni fogjuk az elmélet absztrakt kifejtése során az (E, E)-vel kapcsolatos egyedüli megkötés az lesz, hogy az E érték˝u valószín˝uségi változók feltételes eloszlásának legyen reguláris verziója. C.1 Definíció. Igen kézenfekv˝oek a következ˝o definíciók: 404

C.1. VÉLETLEN MÉRTÉKEK KOMPENZÁTORA

405

1. Ha (U, U) tetsz˝oleges mérhet˝o tér, akkor a µ (ω, A) , A ∈ U véletlen halmazfüggvényt az (U, U) mérhet˝o téren véletlen mértéknek mondjuk, ha minden ω esetén a µ (ω, A) az A ∈ U halmazok szerint mérték az (U, U) téren. 2. Ha (U, U) $ (R+ × E, B (R+ ) × E), akkor azt mondjuk, hogy a µ véletlen mérték az R+ × E téren. A továbbiakban, ha másképpen nem említjük véletlen mértéken mindig az R+ × E téren értelmezett véletlen mértéket értünk. A következ˝o példa a véletlen mértékre vonatkozó kanonikus példa. C.2 Példa. Ha X Rn -érték˝u jobbról regularizált sztochasztikus folyamat, E $ Rn \ {0} , D ⊆ R+ × E, akkor a µX ω (D) $

X

δ (s, ∆X (s, ω))

(C.1)

(s,∆X(s,ω))∈D

az X ugráspontjaira támaszkodó véletlen mérték1 . A µX ω (D) az ω kimenetel mellett a D által definiált id˝otartományban bekövetkez˝o és a D által meghatározott nagyságú ugrások száma. A figyelmes olvasó azonnal észrevette, hogy a véletlen mérték fogalma emlékeztet az átmenetvalószín˝uség fogalmára, ámbár nem kötöttük meg, hogy a µ (ω, A) az ω változó szerint mérhet˝o legyen. Ennek oka, hogy a véletlen mértékek mérhet˝oségén a sztochasztikus folyamatok mérhet˝oségéhez hasonlóan a parciális mérhet˝oségnél jóval er˝osebb megkötést értünk. Ezt tisztázzuk a következ˝o definíciókban. C.3 Definíció. Legyen Z az R+ × Ω téren értelmezett valamilyen mérhet˝oségi koncepció. Ha az e $ R+ × Ω × E téren értelmezett f : Ω e → R kiterjesztett valós szám érték˝u függvény Ω Z × E mérhet˝o, akkor az f függvényt Z-mérhet˝onek mondjuk. Ennek megfelel˝oen e halmazon beszélhetünk szorzatmérhet˝o, kockázatos, progresszíven mérhet˝o vagy az Ω el˝orejelezhet˝o függvényekr˝ol. e téren értelmezett szorzatmérhet˝o, vagyis B (R+ )×A×E mérhet˝o függvény, Ha f az Ω akkor a Fubini–tétel miatt minden ω esetén az fω (t, e)-kétváltozó függvény B (R+ ) × E mérhet˝o. Ha µ véletlen mérték, akkor értelmezhet˝o az Z tZ

Z (f • µ) (t, ω) $

fω (s, e) dµω (s, e) $ (0,t]×E

fω (t, e) µω (dt, de) 0

E

trajektóriánként vett integrál. Az egyszer˝uség kedvéért, ha az integrál nem létezik, akkor az integrál értékét definíció szerint tekintsük +∞-nek. Mivel az integrált mindig 1 A trajektóriák regularitása miatt minden ω-ra az X (ω) trajektóriának legfeljebb megszámlálható számú szakadása lehet.

C. LÉVYHINCSINFORMULA

406

a (0, t] × E halmazon vesszük, a µ véletlen mérték definíciójában semmilyen megszorítást nem jelent, ha feltesszük, hogy µ (ω, {0} × E) = 0. Erre azonban a kés˝obb explicite nem lesz szükségünk2 . Az alábbi példa ismételten a kanonikus példa. C.4 Példa. Ha X Rn -érték˝u jobbról regularizált sztochasztikus folyamat és f : Rn → R mérhet˝o3 , akkor X f • µX (t) = f (∆X (s)) . s≤t

C.5 Definíció. A µ véletlen mértékek tulajdonságait az f • µ integrál segítségével definiáljuk: 1. Legyen Z az R+ × Ω téren értelmezett valamilyen mérhet˝oségi koncepció. A µ e → R Z-mérhet˝o véletlen mértéket Z-mérhet˝onek mondjuk, ha minden f : Ω függvényre az f • µ az R+ × Ω szorzaton Z-mérhet˝o4 . 2. Ha a µ (R+ × E) várható értéke véges, akkor a µ véletlen mértéket végesnek, vagy integrálhatónak mondjuk. 3. A véges O-mérhet˝o véletlen mértékek halmazát A+ -szal fogjuk jelölni. 4. A µ véletlen mértéket a Z-mérhet˝oségi koncepció szerint σ-végesnek mondjuk, ha van olyan V > 0 Z-mérhet˝o függvény, amelyre V • µ ∈ A+ . Egy altere halmazsorozat, amelyre natív megfogalmazás, hogy van olyan (Zn )n , Zn ⊆ Ω e ∪n Zn = Ω továbbá a (Zn )n sorozat tagjai Z-mérhet˝oek és χZn • µ ∈ A+ . 5. Ha µ a kockázatos halmazok O σ-algebrája szerint mérhet˝o és az el˝orejelezhet˝o halmazok szerint σ-véges, akkor ezt a µ ∈ A+ loc módon fogjuk jelölni. Az (E, E) térnek például tetsz˝oleges E halmaz és az E $ {E, ∅} triviális σ-algebra vehet˝o. Ilyenkor az E szerint a folyamat minden (t, ω) párra állandó5 , vagyis a µ nem függ az E-t˝ol. Ilyenkor a µ véletlen mérték monoton növeked˝o folyamattal reprezentálható, vagyis a véletlen mértékek a monoton folyamatok általánosításai6 . A véletlen mértékek mérhet˝oségére megadott definíció meglehet˝osen formális. A következ˝o példa konkretizálja a definíciót: 2 Vegyük észre, hogy miként már többször jeleztük, a t = 0 id˝ opont semmilyen szerepet az integrálelméletben nem játszik. Ez a megkötés a (C.1) esetén teljesül ugyanis az X jobbról reguláris, így a t = 0 nem lehet az X ugráspontja. 3 Vegyük észre, hogy az f a korábbi definíciók értelmében triviálisan el˝ orejelezhet˝o. 4 Meyer–tétel és a monoton konvergencia tétel miatt a mérhet˝ oséget elegend˝o a korlátos mérhet˝o függvényeket generáló valamilyen π-családra megkövetelni. 5 Korábban megjegyeztük, hogy az E teljes szeparábilis metrikus tér, E az E Borel–halmazai. Ha ehhez ragaszkodni akarunk, akkor E lehet tetsz˝oleges egy pontból álló halmaz. 6 Az egyedül nem teljesen evidens jelölés a µ ∈ A+ . Emlékeztetünk, hogy az A ∈ V + folyamat loc pontosan akkor eleme az A+ loc térnek, ha van olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, amelyre χ ([0, τ n ]) • A ∈ A+ . A [0, τ n ] halmazok el˝orejelezhet˝oek, tehát az A által generált mérték a P σ-algebra szerint σ-véges.


407

C.6 Példa. X e Ha X jobbról reguláris folyamat, akkor µX ∈ A+ kockázatos és a P loc , vagyis a µ σ-algebra szerint σ-véges. A két tulajdonság az X jobbról való regularitásának egyszer˝u következménye. Tetsz˝oleges m-re az 1/m-nél nagyobb nagyságú ugrások nem torlódhatnak, n ígyovehetjük az (m)

egymást követ˝o 1/m-nél nagyobb nagyságú ugrások helyéb˝ol álló τ n megállási n h i (m) e akkor id˝o sorozatot. Ha Pnm $ 0, τ n × {kxk ≥ 1/m} ∈ P × E $ P, M χPnm • µX (∞) ≤ n < ∞,

következésképpen a µX σ-véges. Térjünk rá a mérhet˝oség igazolására. Az [τ , ∞) alakú intervallumok generálják a kockázatos folyamatok családját, így a Meyer–tétel X miatt elegend˝ o megmutatni, hogy ha H $ χ ([τ , ∞)) χB , akkor a H • µ kockázatos. X H • µ (t, ω) éppen az ω által meghatározott és a [τ (ω) , t] szakaszon bekövetkez˝o B-be es˝o ugrások száma. A monoton konvergencia tétel miatt feltehetjük, hogy az ugrások az Rn \ {0} egy zárt halmazába esnek, így az X regularitása miatt az ugrások nem torlódhatnak. Mivel az ugrások nem torlódhatnak, ezért a [τ , t] véletlen szakaszon bekövetkez˝o ugrások számát megadó folyamat jobbról reguláris, tehát kockázatos7 . 2 C.7 Példa. El˝orejelezhet˝o magfüggvény által generált el˝orejelezhet˝o véletlen mértékek. Legyen K (s, ω, B) az E σ-algebrán értelmezett mértékek olyan családja, amely minden B ∈ E esetén az (s, ω) paraméter szerint P-mérhet˝o. Legyen A ∈ A+ el˝orejelezhet˝o, és definiáljuk az Z Z α (ω, B) $ χB (s, e) K (s, ω, de) A (ds, ω) E

R+

véletlen mértéket. Megmutatjuk, hogy az α el˝orejelezhet˝o. Ha B ∈ E és a H Pmérhet˝o, akkor Z ((χB H) • α) (t, ω) $ χB Hω (s, e) dαω (s, e) = (0,t]×E Z = χ (0, t] χB Hω (s, e) dαω (s, e) = (0,∞]×E ∞ Z

Z =

0

Z =

χ (0, t] χB Hω (s, e) K (s, ω, de) dAω (s) =

E t

Z H

χB K (s, ω, de) dAω (s) = Z t Z t = HK (s, ω, B) dAω (s) $ g (s, ω) dAω (s) , 0

0

E

0

7 Az, hogy véges szakaszon az ugrások száma véges a bizonyítás szempontjából fontos, ugyanis ellenkez˝ o

esetben el˝ofordulhatna, hogy a (t, t + ε) szakaszon végtelen sok ugrás van, miközben a [0, t] szakaszon csak véges. Ilyenkor az ugrások számát megadó folyamat nem jobbról folytonos.


408

ahol a g P-mérhet˝o. Ha g helyébe a χ ((u, v] × F ) alakú el˝orejelezhet˝o téglákat tesszük, akkor az integrál az A el˝orejelezhet˝osége miatt el˝orejelezhet˝o, ami a szokásos megfontolásokkal átvihet˝o tetsz˝oleges g el˝orejelezhet˝o folyamatra, amib˝ol viszont ismételten a szokásos megfontolások miatt a H • α minden H P × E mérhet˝o folyamatra el˝orejelezhet˝o, vagyis az α definíció szerint el˝orejelezhet˝o. 2 C.8 Definíció. A bevezetett definíciókat másképpen is fogalmazhatjuk. e téren értelmezett f függvényt µ-integrálhatónak mondjuk, ha |f | • µ ∈ A+ . 1. Az Ω 2. Ennek megfelel˝oen a µ véges, ha az f = 1 függvény a µ szerint integrálható. 3. A µ σ-véges, ha van f > 0, amely a µ szerint integrálható. 4. Ha |f | • µ ∈ A+ loc , akkor az f függvényt a µ szerint lokálisan integrálhatónak mondjuk. e téren értelmezett Z-mérhet˝o µ-integrálható függvé5. Az L1 (Z,µ) jelölésen az Ω nyeket értjük. Hasonlóan, L1loc (Z,µ) a Z-mérhet˝o, a µ szerint lokálisan integrálható függvények halmaza. Legyen X P jobbról reguláris folyamat, f nem negatív determinisztikus függvény. Az f • µX = f (∆X) monoton növeked˝o folyamat jobbról reguláris és általában nem el˝orejelezhet˝o. Ha f • µX ∈ Aloc , akkor a folyamatnak létezik kompenzátora. Mit lehet akkor mondani, ha f • µX ∈ / Aloc ? Milyen értelemben kompenzálhatjuk ilyenkor az X ugrásaiból származó kockázatot? A bemutatott definíciók alapján nem meglep˝o a következ˝o állítás: C.9 Tétel. (Véletlen mértékek el˝orejelezhet˝o kompenzátora) + p Ha µ ∈ A+ orejelezhet˝o mérték8 , amely a megloc , akkor létezik olyan µ ∈ Aloc el˝ 9 különböztethetetlenség erejéig egyértelm˝uen jellemezhet˝o a következ˝o két tulajdonság bármelyikével: 1. Tetsz˝oleges H ∈ L1loc (P, µ) esetén H ∈ L1loc (P, µp ) és H • µ − H • µp ∈ L. e téren értelmezett H nem negatív, P-mérhet˝ e 2. Minden az Ω o függvényre M ((H • µ) (∞)) = M ((H • µp ) (∞)) .

(C.2)

A µp mértéket a µ el˝orejelezhet˝o kompenzátorának mondjuk. a µp a P szerint mérhet˝o és a P szerint σ-véges. 9 Vagyis ha µp és µp a tétel állítását kielégít˝ o véletlen mértékek, 1 2 a µp2 megegyezik. 8 Vagyis

és

akkor P-nulla halmaztól eltekintve a µp1


409

Bizonyítás: A megadott definíciókkal összhangban a µ tehát O-mérhet˝o és a P σalgebra szerint σ-véges. Az állítás szerint tetsz˝oleges H el˝orejelezhet˝o függvényre, ha a H • µ folyamatnak van kompenzátora, vagyis ha H • µ ∈ Aloc , akkor a H • µ kompenzátora éppen H • µp . Ha a H • µ-nek nincsen kompenzátora, akkor a H • µ és az el˝orejelezhet˝o H • µp várható értéke megegyezik, beleértve, hogy a két várható érték esetleg egyszere nem létezik vagy végtelen. A bizonyítást több lépésre bontjuk. e téren 1. El˝oször a σ-végesség kérdését vizsgáljuk meg. Legyen V > 0 olyan az Ω értelmezett függvény, amelyre V • µ ∈ A+ . Azonnal látható, hogy a második feltétel teljesülése esetén V • µp ∈ A+ . Ha az els˝o feltétel teljesül, akkor V • µ − V • µp ∈ L, τ így alkalmas (τ n )n lokalizációs sorozatra a (V • µ − V • µp ) n martingál, következésképpen τ M ((V • µ − V • µp ) n ) = 0. Mivel a

τn

(V • µ)

≤ (V • µ)

τ n+1

≤ (V • µ) (∞)

integrálható, ezért a várható érték szétszedhet˝o, így τ

τ

M ((V • µ) n ) = M ((V • µp ) n ) . Ha n % ∞, akkor a monoton konvergencia tétel miatt M (V • µ) = M (V • µp ) , következésképpen V • µp ∈ A+ . 2. Megmutatjuk, hogy az els˝o állításból következik a második.Tegyük fel, hogy H ∈ L1loc (P,µ) . A µp el˝orejelezhet˝o, ami definíció szerint azt jelenti, hogy a H • µp integrálfolyamat el˝orejelezhet˝o. Ezt felhasználva, az els˝o állítás szerint a monoton függvép nyek el˝orejelezhet˝o kompenzátorának definíciója alapján (H • µ) = H • µp . Az integrálható folyamatok el˝orejelezhet˝o kompenzátorának létezésér˝ol szóló tétel szerint10 p

M ((H • µ) (∞)) = M ((H • µ) (∞)) = M ((H • µp ) (∞)) , ami lokálisan integrálható H-ra éppen a második feltétel. Legyen H ≥ 0 el˝orejelezhet˝o. A µ σ-végessége miatt van integrálható V > 0 függvény. A H (n) $ Hχ (H ≤ nV ) szintén el˝orejelezhet˝o, és ugyanakkor integrálható. A H (n) -re teljesül a második egyenl˝oség, ami a monoton konvergencia tétellel kiterjeszthet˝o a H-ra is. 3. Megfordítva, megmutatjuk, hogy második feltételb˝ol következik az els˝o. Legyen H ∈ L1loc (P, µ) , vagyis definíció szerint |H| • µ ∈ A+ loc . Legyen (τ n ) az integrál lokalizációs sorozata. Az integrál definíció szerint trajektóriánként képz˝odik, így triviálisan érvényes a τ |H| χ ([0, τ n ]) • µ = (|H| • µ) n ∈ A+ , megállítási formula. A második feltétel miatt τn

(|H| • µp ) 10 V.ö.:


= |H| χ ([0, τ n ]) • µp ∈ A+ ,


410

vagyis H ∈ L1loc (P, µp ) . Legyen τ tetsz˝oleges megállási id˝o. A M H ± χ ([0, τ n ∧ τ ]) • µ (∞) = M H ± χ ([0, τ n ∧ τ ]) • µp (∞) egyenl˝oség miatt a várható érték megmaradásáról szóló tétel alapján a Hχ ([0, τ n ]) • µ − Hχ ([0, τ n ]) • µp martingál, amib˝ol a már használt megállítási formula miatt a H • µ − H • µp lokális martingál, vagyis a második feltételb˝ol is következik az els˝o. 4. Megmutatjuk, hogy a µp egyértelm˝u. Tegyük fel, hogy a µp mellett a µ e is teljesíti az els˝o feltételt. Az E σ-algebra rendelkezik (An )n megszámlálható bázissal. V χAn ∈ L1loc (P, µ) = L1loc (P, µp ) = L1loc (P, µ e) , e ∈ L ∩ V folyamat el˝orejelezhet˝o, következésképpen Fiskígy a V χAn • µp − V χAn • µ tétele miatt11 majdnem minden kimenetelre nulla. Jelölje N a kivételezett halmazok egyesítését. Az E szeparabilitása miatt az N szintén nullmérték˝u és V χ ([0, t] × An ) • µpω = V χ ([0, t] × An ) • µ eω ,

ω∈ / N.

Meyer–tétele miatt tetsz˝oleges korlátos, tehát minden nem negatív, B (R+ )×E mérhet˝o H függvény esetén V H • µpω = V H • µ eω , ω ∈ / N, eω (A) , ami éppen a amib˝ol minden A ∈ B (R+ ) × E halmazra, ha ω ∈ / N µpω (A) = µ p µ egyértelm˝usége. 5. Be kell még látni a µp létezését. Nyilvánvalóan ez a tétel érdemi része. A bizonyítás alapgondolata egyszer˝u. A µp definíciója szerint tetsz˝oleges H el˝orejelezhet˝o függvényre meg kívánjuk követelni a p

(H • µ) = H • µp p

egyenl˝oség teljesülést. Ehhez kézenfekv˝o, ha a µpω (A) értéket a (χA • µ) képlettel definiáljuk. Az így kapott leképezés majdnem véletlen mérték. Az egyetlen probléma, hogy mivel az el˝orejelezhet˝o vetület csak a megkülönböztethetetlenség erejéig értelmes, ezért a mértékre jellemz˝o összefüggések, például a σ-additivitás, csak majdnem minden ω kimenetelre teljesülnek. A helyzet analóg a feltétles valószín˝uség definiálásakor látottal. A bizonyításban a f˝o kérdés, hogy van-e reguláris verzió? Itt kell felhasználni az E térre tett topológiai megkötéseket. Nem túl meglep˝o tehát, hogy a bizonyítás a feltételes valószín˝uség reguláris verziójának létezésére épül. A kompenzátor általában a lehetséges kimeneti értékek átlaga. Ebb˝ol következ˝oen nem meglep˝o e szorzat H e el˝orejelezhet˝o halmazaiból álló P e σ-algebrán a következ˝o definíció: Az Ω vezessük be az ! Z e e e m e H $ M HV • µ (∞) $ M HV dµ R+ ×E

11 V.ö.:



411

véges mértéket. Az m e végessége miatt feltehetjük, hogy az m e valószín˝uségi mérték. e rész σ-algebrájának. A P σ-algebra a P × E, P ∈ P azonosítással tekinthet˝o a P f az m Jelölje M e mértékhez tartozó feltételes várható érték operátort. Tekintsük a f (ξ ∈ B | P) feltételes eloszlást. Az E ξ (t, ω, e) $ e leképezést, és vegyük az M teljes szeparábilis metrikus tér, így a feltételes eloszlás rendelkezik reguláris verzióval, amit γ (t, ω, e, B) $ γ (t, ω, B) módon fogunk jelölni. Vegyük észre, hogy az e komponenst azért hagyhattuk el mert a γ P-mérhet˝o, így a γ értéke független az e-t˝ol. Majdnem minden (t, ω) esetén f (χ (ξ ∈ E) | P) (t, ω) = M f Ω e | P (t, ω) = 1. γ (t, ω, E) $ M e A feltételes várható érték paraméteres integrálként állítható el˝o, így tetsz˝oleges Pmérhet˝o függvényre Z e (t, ω, e) γ (t, ω, de) = f e H M H | P (t, ω) = e Ω Z e (t, ω, e) γ (t, ω, de) . = H E

Vezessük be a

Z

1 γ (t, ω, de) B V (t, ω, e) átmenetfüggvényt. A V el˝orejelezhet˝o, a γ (t, ω, B) minden B-re P-mérhet˝o, így a K (t, ω, B) a (t, ω) párban P-mérhet˝o. Jelölje K (t, ω, B) $

m (H) $ m e (H × E) az (R+ × Ω, P) mérhet˝o tér H halmazain értelmezett peremeloszlást. A teljes valószín˝uség tétele szerint e = e • µ (∞) (C.3) $ m e H M HV Z e | P (t, ω) m (dt, dω) = f H = M Ω×R+ Z Z e (t, ω, de) m (dt, dω) = Hγ = Ω×R+ E Z Z e K (t, ω, de) m (dt, dω) . = HV Ω×R+

E p

A µ feltételezett σ-végessége miatt (V • µ) ∈ A+ , így értelmes az A $ (V • µ) ∈ A+ el˝orejelezhet˝o integrálható folyamat. Trajektóriánkénti integrálás miatt triviálisan teljesül az (U V ) • µ = U • (V • µ) asszociativitási szabály. Ha H ∈ P, akkor az el˝orejelezhet˝o kompenzátor integrálási szabálya szerint m (H) $ m e (H × E) $ M ((χH V • µ) (∞)) = M ((χH • (V • µ)) (∞)) = p

= M ((χH • (V • µ) ) (∞)) $ M ((χH • A) (∞)) .


412

Formálisan m (dt, dω) = Aω (dt) dP (ω) . Ezt a (C.3) sorba beírva M

e • µ (∞) HV

∞

Z Z

Z

=

e K (t, ω, de) dAω (t) dP (ω) = HV e • µp , $ M HV Ω

ahol µpω (C) $

0

E

Z Kω (t, de) dAω (t) C

formálisan µpω (dt, de) $ Kω (t, de) dAω (t) . p

Az A $ (V • µ) el˝orejelezhet˝o, tehát a tétel el˝ott tárgyalt példa miatt a µp el˝orejelezhet˝o, így a µp a µ keresett el˝orejelezhet˝o kompenzátora. 2 C.10 Következmény. Érvényes a µpω (C) =

Z

∞

Z χC (s, e) K (s, ω, de) A (ds, ω)

0

E

felbonthatás, ahol az A (s, ω) ∈ A+ folyamat, illetve minden B ∈ E-re a K (t, ω, B) folyamat el˝orejelezhet˝o. Az összefüggést formálisan a µp (dt, ω, de) = K (t, ω, de) A (dt, ω) módon fogjuk jelölni. C.11 Következmény. Ha X tetsz˝oleges az Rn téren értelmezett jobbról reguláris mérték, akkor az X ugrásaihoz tartozó X µX δ (s, ∆X (s, ω)) ω (D) $ (s,∆X(s,ω))∈D

számlálómértéknek van el˝orejelezhet˝o kompenzátora. C.12 Definíció. p Az X jobbról reguláris folyamat ugrásaira támaszkodó µX számlálómérték ν $ µX el˝orejelezhet˝o kompenzátorát az X spektrálmértékének fogjuk mondani. C.13 Példa. Az X összetett Poisson–folyamat spektrálmértéke ν ((0, t] , ω, B) = λtF (B) ahol λ az ugrások intenzitása, F az ugrások nagyságának eloszlása.


413

A megadott ν determinisztikus, tehát el˝orejelezhet˝o, így Meyer–tétele és a monoton konvergencia tétel miatt elegend˝o belátni, hogy minden B ∈ B (Rn ) , A ∈ Fs estén M χ ((s, t]) χA χB • µX = P (A) λ (t − s) F (B) = M (χ ((s, t]) χA χB • ν) . A bal oldali várható értéken belüli kifejezés χA η módon írható, ahol η éppen az ((s, t]) id˝oszak alatt a B halmazba es˝o ugrások száma. A független növekmény feltétele miatt, felhasználva az összetett Poisson–eloszlás várható értékének formuláját ez P (A) M (χ ((s, t]) χB • µ) = P (A) λ (t − s) F (B) , amib˝ol az egyenl˝oség már evidens. 2 C.14 Példa. Ha X tetsz˝oleges jobbról reguláris folyamat és ν az X spektrálmértéke, akkor tetsz˝oleges t id˝opontra12 és A ∈ B (Rn ) halmazra ν ({t} × A) = P (∆X (t) ∈ A \ {0} | Ft− ) . Ha X független növekmény˝u13 , akkor ν ({t} × A) = P (∆X (t) ∈ A \ {0}) . Legyen H $ χ ({t} × A) . A H determinisztikus, így triviálisan el˝orejelezhet˝o. Trivip álisan H•µX ∈ Aloc . Az el˝orejelezhet˝o kompenzátor ugrásaira vonatkozó (∆A) = p (∆A) 14 szabály alapján p ν ({t} × A) = (∆ (H • ν)) (t) = ∆ H • µX (t) = = p ∆ H • µX (t) = X = M ∆ H • µ (t) | Ft− = = P (∆X (t) ∈ A \ {0} | Ft− ) . Vegyük észre, hogy ha az X független növekmény˝u, akkor a ∆X független az Ft−1/n σ-algebrák mindegyikét˝ol, így független az általuk generált σ-algebrától, vagyis független az Ft− σ-algebrától, tehát ilyenkor ν ({t} × A) = P (∆X (t) ∈ A \ {0}) . A példa érdekessége, hogy független növekmény˝u folyamatok esetén a folyamatnak a t id˝opontban pontosan akkor van pozitív valószín˝uséggel ugrása, ha ν ({t} × Rn ) > 0. Az ilyen id˝opontok halmazát J-vel fogjuk jelölni. 2 12 Vagy

tetsz˝oleges τ el˝orejelezhet˝o megállási id˝ore. független növekmény˝u folyamat definícióját kés˝obb adjuk meg. Megjegyezzük, hogy minden független növekmény˝u folyamat definíció szerint jobbról reguláris. V.ö.: C.27. definíció, 424. oldal. 14 V.ö.: 93. oldal. 13 A


414

C.2. Szemimartingálok karakterisztikái A szemimartingálok karakterisztikája a Lévy–folyamatok felbontásának általánosítása. Legyen a továbbiakban X n-dimenziós szemimartingál. Rögzítsük a h : Rn → Rn úgynevezett csonkoló függvényt. h csonkoló függvénynek tetsz˝oleges olyan kompakt tartójú, korlátos függvényt választhatunk, amely az origó valamely környezetében h (x) = x alakú. Csonkoló függvényre a leggyakrabban használt példa a h (x) $ xχ (kxk ≤ 1) . Az egyszer˝uség kedvéért a továbbiakban csonkoló függvénynek mindig a h (x) $ xχ (kxk ≤ 1) függvényt fogjuk választani, de ennek a tárgyalás szempontjából nincs jelent˝osége, csak a jelölést teszi egyszer˝ubbé. Ha a ∆X ugrás elég kicsi, vagyis ha a ∆X beleesik a h csonkoló függvényhez tartozó alkalmasan kicsi környezetbe, akkor ∆X − h (∆X) = ∆X − ∆X = 0. Vezessük be az b (h) (t) $ X

X

(∆X (s) − h (∆X (s)))

s≤t

b (h) X (h) $ X − X b (h)-ban az X „kis ugrásai” nem szerepelnek, így az X b (h) tekintfolyamatokat. Az X het˝o az X „nagy ugrásaiból” álló folyamatnak, az X (h) pedig az a folyamat, amelyb˝ol az X „nagy ugrásait” töröltük. Mivel a „nagy ugrások” nem torlódhatnak, ezért b (h) korlátos változású. Ugyanakkor ∆X (h) = h (∆X) , és mivel a h komaz X pakt tartójú, ezért az X (h) olyan szemimartingál, amely ugrásai korlátosak, vagyis az X (h) speciális szemimartingál15 . A speciális szemimartingál tulajdonság miatt az X (h) egyértelm˝uen felbontható X (h) = X (0) + B (h) + L (h)

(C.4)

módon, ahol az L (h) lokális martingál, B (h) el˝orejelezhet˝o, korlátos változású folyamat. C.15 Definíció. Az X szemimartingál h csonkoló függvény melletti karakterisztikáján a következ˝o (B, C, ν) hármast értjük: 1. B $ B (h) a (C.4) sorban szerepl˝o el˝orejelezhet˝o, korlátos változású folyamat,

2. C = (Cij )i,j , ahol Cij $ Xic , Xjc , ahol Xic az Xi szemimartingál folytonos része16 , 3. ν az X spektrálmértéke, vagyis ν a µX el˝orejelezhet˝o kompenzátora. 15 V.ö.: 16 V.ö.:

1.178. következmény, 127. oldal. 1.172. tétel, 124. oldal.

C.2. SZEMIMARTINGÁLOK KARAKTERISZTIKÁI

415

A definíció alapján els˝o ránézésre úgy t˝unhet, hogy a karakterisztika igen absztrakt, „elképzelhetetlen” fogalom. Bár a fogalom valóban absztrakt, a helyzet azonban mégis pont fordított. Általában éppen a folyamat karakterisztikái a folyamat által modellezett szituáció megfigyelhet˝o adatai: B a folyamat trendje, driftje, C a volatilitása, diffúziója, ν pedig az ugrások átlagos nagysága, intenzitása. Fontos hangsúlyozni, hogy mivel a (B, C, ν) hármas a megfigyelhet˝o „adatokat” tartalmazza, a releváns és érdekes kérdés nem az, hogy miként kell adott X-hez meghatározni a karakterisztikákat, hanem fordítva: adottak a karakterisztikák, hogyan lehet ezek alapján reprodukálni a folyamatot, illetve a folyamat eloszlásait17 . C.16 Példa. Drifttel és Poisson–ugrásokkal kib˝ovített Wiener–folyamat karakterisztikái. Vegyük az X (t) $ bt + σw (t) + π (t) folyamatot, ahol w Wiener–folyamat és π PN (t) k=1 ξ k alakú összetett Poisson–folyamat. A ξ k ugrások eloszlásfüggvénye legyen F. Az ugrásokra támaszkodó µ mérték definíciója alapján Z tZ X (t) $ bt + σw (t) + xdµ (x) = 0 R Z tZ Z tZ = bt + h (x) dν (x) + σw (t) + h (x) d (µ − ν) + 0 R 0 E Z t Z + x − h (x) dµ . 0

E

Az utolsó tag a nagy ugrásokból álló rész. Az összetett Poisson–folyamat spektrálmértékének formulája szerint ν (dt, ω, da) = λdtF (da) , amely egyúttal a teljes folyamat spektrálmértéke. A spektrálmérték képlete alapján az els˝o zárójelben lev˝o kifejezés Z B $ t b + λ h (x) dF (x) , R

amely triviálisan el˝orejelezhet˝o és korlátos változású. A középs˝o zárójelben lev˝o kifejezés a kompenzátor definíciója miatt lokális martingál, így Z tZ C $ σw (t) + h (x) d (µ − ν) = hσw (t)i = σ 2 t, 0

ugyanis az

RtR 0

E

E

h (x) d (µ − ν) korlátos változású. 2

C.17 Állítás. Ha az X szemimartingál h csonkoló függvény melletti karakterisztikája (B, C, ν) , akkor 2 1. kxk ∧ 1 • ν ∈ A+ loc , 17 Független növekmény˝ u folyamatok esetén a Lévy—Hincsin–formula megadja az eloszlások karakterisztikus függvényét.


416

2. az X pontosan akkor speciális szemimartingál, ha 2 kxk ∧ kxk • ν ∈ A+ loc . Ilyenkor az X = X (0) + A + L kanonikus felbontásra A = B + (x − h (x)) • ν. Bizonyítás: Az állítás bizonyítását több részre bontjuk. P 2 1. A kvadratikus variáció végessége miatt minden szemimartingálra18 k∆Xk = P 2 2 kxk •µX ∈ V + . Az k∆Xk ∧1 korlátos ugrásokkal rendelkez˝o monoton növeked˝o folyamat, tehát lokálisan korlátos, így X 2 2 kxk ∧ 1 • µX = k∆Xk ∧ 1 ∈ A+ loc . 2 Az kxk ∧ 1 függvény determinisztikus, tehát el˝orejelezhet˝o, következésképpen a (C.2) miatt 2 kxk ∧ 1 • ν ∈ A+ loc , vagyis az els˝o pont teljesül. b (h) mindig speciális szemimartingál, így az X pontosan akkor 2. Az X (h) $ X − X b (h) speciális szemimartingál. Ugyanakkor speciális szemimartingál, ha az X X b (h) $ X (∆X − h (∆X)) = (x − h (x)) • µX ∈ V, b (h) pontosan akkor speciális szemimartingál, ha következésképpen19 az X b (h) = (x − h (x)) • µX ∈ Aloc . X Az (x − h (x)) determinisztikus, tehát el˝orejelezhet˝o, így a (C.2) tulajdonságot a koordináták pozitív és a negatív részére alkalmazva belátható, hogy az X pontosan akkor speciális szemimartingál, ha kx − h (x)k • ν ∈ A+ loc .

(C.5)

2 Ugyanakkor az állítás els˝o fele szerint minden szemimartingálra kxk ∧ 1 • ν ∈

2 2 A+ . Ha kxk ≥ 1, akkor x2 ∧kxk = kxk , illetve ha kxk ≤ 1, akkor x2 ∧kxk = loc 2

kxk amib˝ol a második állítás els˝o fele a h (x) $ xχ (kxk ≤ 1) csonkoló függvény 18 V.ö.: (3.26) sor, 255. oldal. A lényeg, hogy ha az X szemimartingál, akkor a kvadratikus variációja véges, így a kvadratikus variáció ugrásaiból álló folyamat is minden id˝opontban véges. 19 V.ö.: 1.174. tétel, 125. oldal.


417

esetén evidens. Általános csonkoló függvény esetén a bizonyítás analóg módon végezhet˝o el. 3. Ha az X kanonikus felbontása X = X (0) + A + L és X (h) = X (0) + B + N, akkor b (h) = X − X (h) = A − B + L − N. X b (h) = (x − h (x))•µX ∈ Aloc L−N ∈ L, az A−B el˝orejelezhet˝o folyamat, így az X el˝orejelezhet˝o kompenzátora A − B, tehát p p A − B = (x − h (x)) • µX = (x − h (x)) • µX $ (x − h (x)) • ν, amib˝ol a második állítás második része is evidens. 2 C.18 Példa. Az X összetett Poisson–folyamat pontosan akkor speciális szemimartingál, ha az ugrások nagysága rendelkezik véges várható értékkel. 2

Az X pontosan akkor speciális szemimartingál, ha kxk ∧ kxk • ν ∈ A+ loc A ν képlete alapján20 Z 2 2 kxk ∧ kxk • ν (t, ω) = λt kxk ∧ kxk dF (x) , Rn

R 2 2 ahol F az ugrások eloszlásfüggvénye. Az kxk ∧ 1 • ν ∈ A+ loc miatt az Rn kxk ∧ R kxk dF (x) pontosan akkor véges, ha az Rn kxk dF (x) véges, vagyis az X pontosan akkor speciális szemimartingál, ha az ugrások nagyságának várható értéke véges. Megjegyezzük, hogy az X korlátos változású folyamat pontosan akkor speciális szemimartingál, ha a Var (X) lokálisan integrálható változású, így az X összetett folyamatra X ∈ Aloc pontosan akkor, ha az ugrások várható értéke véges. 2 C.19 Következmény. Legyen X n-dimenziós szemimartingál. Az X pontosan akkor lokális martingál, ha Z kxk dν $ kx − h (x)k • ν ∈ A+ loc {kxk>1}

és 0 = B + (x − xχ (kxk ≤ 1)) • ν $ B + (x − h (x)) • ν. Bizonyítás: Minden lokális martingál speciális szemimartingál. Az el˝oz˝o állítás bizonyításakor láttuk21 , hogy az X pontosan akkor speciális szemimartingál, ha kx − h (x)k • ν ∈ A+ loc . A második feltétel pontosan akkor teljesül, ha az X felbontásában a korlátos változású el˝orejelezhet˝o tag nulla. 2 20 V.ö.: 21 V.ö.:

C.13. példa, 412. oldal. (C.5) sor, 416. oldal.


418

C.20 Definíció. A Lévy—Hincsin–formulában szerepl˝o kumuláns mintájára vezessük be a 1 Ψ (u, t) $ iuB (t) − uC (t) u + 2 Z + [exp (iux) − 1 − iuh (x)] ν ((0, t] × dx) , Rn \{0}

folyamatot, ahol értelemszer˝uen a ν ((0, t] × dx) jelölés azt jelenti, hogy a ν mértéket le kell sz˝ukíteni a (0, t] × B, B ∈ E $ B (Rn \ {0}) halmazokra. A Ψ folyamatot a (B, C, ν) hármashoz tartozó el˝orejelezhet˝o kumulánsnak mondjuk. Vegyük észre, hogy az L (u, x) $ exp (iux) − 1 − iuh (x) Lévy–féle magfüggvény determinisztikus és 2 |L (u, x)| ≤ K (u) kxk ∧ 1

(C.6)

így a kifejezésben lev˝o integrál véges és a t id˝oparaméter szerint korlátos változású, pontosabban22 L • ν ∈ Aloc . 1 Ψ (u, t) $ iuB (t) − uC (t) u + (L (u, x) • ν (x)) (t) . 2 Vegyük ugyancsak észre, hogy mivel a B el˝orejelezhet˝o, a C folytonos és korlátos változású23 , az L pedig determinisztikus és a (C.6) értelmében korlátos, ezért az elnevezésnek megfelel˝oen a Ψ folyamat el˝orejelezhet˝o és korlátos változású. C.21 Tétel. Legyen (B, C, ν) valamilyen szemimartingál karakterisztikája. A következ˝o állítások ekvivalensek: 1. Az X szemimartingál és az X karakterisztikája (B, C, ν) . 2. Minden korlátos f ∈ C 2 (Rn ) függvény esetén az n X ∂f (X− )

n

n

1 X X ∂ 2 f (X− ) • Cjk − ∂xj 2 j=1 ∂xj ∂xk j=1 k=1   n X ∂f (X ) − − f (X− + x) − f (X− ) − hj (x) • ν (x) ∂x j j=1

f (X) − f (X (0)) −

• Bj −

lokális martingál. 22 V.ö.:

C.17. állítás, 415. oldal.

23 S˝ ot, miként könnyen belátható az uC

szemidefinit.

(t) u monoton n˝o, ugyanis ha t > s, akkor a C (t)−C (s) pozitív


419

3. Tetsz˝oleges u esetén az exp (iuX) − exp (iuX− ) • Ψ (u) komplex érték˝u lokális martingál. Bizonyítás: A bizonyítás a tételben szerepl˝o egyes állítások körkörös implikációjának igazolásából áll, és az Itô–formulára épül˝o egyszer˝u számolásokból áll. 1. Tegyük fel, hogy teljesül az els˝o állítás. A karakterisztika definíciója alapján az X három részre bontható: X X =B+L+ (∆X − h (∆X)) , ahol L az X (h) speciális szemimartingál lokális martingál része. Legyen f korlátos, kétszer deriválható függvény. Az Itô–formula alapján24 : f (X) − f (X (0))

=

n X ∂f (X− ) • Bj + ∂xj j=1

+

n X ∂f (X− ) • Lj + ∂x j j=1

+

n X X ∂f (X− ) • (∆Xj − hj (∆X)) + ∂x j j=1

n n

1 X X ∂2f (X− ) • Xjc , Xkc + 2 j=1 ∂xj ∂xk k=1   n X X ∂f f (X) − f (X− ) − + (X− ) ∆Xj  . ∂x j j=1

+

Ha bevezetjük a H (t, ω, x) $ f (X (t−) + x) − f (X (t−)) −

n X ∂f (X (t−)) hj (x) ∂xj j=1

el˝orejelezhet˝o folyamatot, akkor f (X) − f (X (0))

=

n X ∂f (X− ) • Bj + ∂xj j=1 n

n

1 X X ∂2f + (X− ) • Xjc , Xkc + 2 j=1 ∂xj ∂xk k=1

+H • µX + n X ∂f + (X− ) • Lj . ∂xj j=1 24 A

X

értelemszer˝uen az id˝otartományon való összegzés jele.


420

Az els˝o és a második kifejezés triviálisan el˝orejelezhet˝o és korlátos változású, a negyedik tag lokális martingál, a harmadik tag korlátos változású. Az bal oldal az f korlátossága miatt korlátos szemimartingál, így speciális szemimartingál. Ebb˝ol következ˝oen a jobb oldalon álló korlátos változású tagok összege eleme az Aloc térnek. Az el˝orejelezhet˝o korlátos változású folyamatok szintén speciális szemimartingálok, így szintén elemei az Aloc térnek, H • µX ∈ Aloc . A H el˝orejelez következésképpen 1 X X het˝o, tehát H ∈ Lloc P, µ , így H • µ − H • ν ∈ L, amib˝ol a második állítás teljesülése már evidens. 2. Tegyük fel, hogy teljesül a másik állítás. Tekintsük az f (x) $ exp (iux) függvényt. ∂f = iuj f, ∂xj

∂2f = −uj uk f, ∂xj ∂xk

így az els˝o állítás szerint az n X

n

n

1 XX iuj f (X− ) • Bj − f (X) − f (X (0)) − uj uk f (X− ) • Cjk + H • ν 2 j=1 j=1 k=1

lokális martingál. Ugyanakkor az utolsó három tag 1 f (X− ) • iuB − uCu + [exp (iux) − 1 − iuh (x)] • ν (x) $ f (X− ) • Ψ (u) 2 módon írható, vagyis az f (X) − f (X− ) • Ψ (u) lokális martingál. 3. Végezetül, tegyük fel, hogy teljesül a harmadik állítás. El˝oször belátjuk, hogy az X szemimartingál. Az exp (iuX− ) • Ψ (u) minden u-ra korlátos változású, ugyanis a Ψ (u) korlátos változású. A feltétel szerint az exp (iuX) − exp (iuX− ) • Ψ (u) lokális martingál, következésképpen az exp (iuX) szemimartingál. Mivel erre kés˝obb még szükségünk lesz, és önmagában is érdekes, a bizonyítás után külön be fogjuk látni, hogy ebb˝ol következik, hogy az X is szemimartingál. Meg kell mutatni, hogy az e C, e νe . A X karakterisztikája éppen (B, C, ν) . Legyen az X karakterisztikája B, e jelöli az X el˝orejelezhet˝o kumulánsát, akkor az tétel már belátott része miatt, ha Ψ e (u) lokális martingál. Az exp (iuX) korlátos, tehát speexp (iuX) − exp (iuX− ) • Ψ e (u) korlátos változású és el˝orejelezhet˝o, ezért ciális szemimartingál. A Ψ (u) és a Ψ e (u) korlátos változású és el˝orejelezhet˝o, az exp (iuX− ) • Ψ (u) és az exp (iuX− ) • Ψ tehát a speciális szemimartingálok egyértelm˝u felbontása miatt minden u-ra a megküe (u) . Az exp (iuX) lönböztethetetlenség erejéig exp (iuX− )•Ψ (u) = exp (iuX− )• Ψ 25 integrandus sohasem lehet nulla, következésképpen minden u-ra egy nulla valószíe (u) − Ψ (u) konstans, így Ψ e (u) = Ψ (u) . Természeten˝uség˝u halmaztól eltekintve Ψ sen a kivételezett kimenetelek halmaza függhet az u-tól, de mivel a kifejezések az uban folytonosak, a szokásos eljárással megmutatható, hogy a kivételezett kimenetelek 25 Az integrálfüggvény tetsz˝ oleges mérték esetén egyértelm˝uen meghatározza az integrandust. V.ö.: [20] 3.48. következmény, 138. oldal.


421

nullmérték˝u halmaza univerzálisan megválasztható. Ugyanakkor a Lévy—Hincsin– transzformáció egyértelm˝u26 , következésképpen a kivételezett nullmérték˝u halmaztól eltekintve a két karakterisztika megegyezik. 2 Térjünk rá a bizonyítás során használt lemmára. C.22 Lemma. Az exp (iuX) minden u-ra pontosan akkor szemimartingál, ha az X szemimartingál. Bizonyítás: Ha az X szemimartingál, akkor az Itô–formula miatt az exp (iuX) triviálisan szemimartingál. Megfordítva, tegyük fel, hogy az exp (iuX) minden u-ra szemimartingál. Ebb˝ol következ˝oen minden u-ra és az X minden Xj koordinátájára a sin (uXj ) szemimartingál. Legyen f ∈ C 2 (R) olyan, hogy az |x| ≤ 1 < π/2 halmazon f (sin x) = x. Vezessük be a 1 τ n $ inf {t : |Xj (t)| > n} = inf t : Xj (t) > 1 n 1 megállási id˝oket. A [0, τ n ) szakaszon n Xj (t) ≤ 1, így Xj Xj Xj = n = nf sin . n n A jobb oldal az Itô–formula miatt szemimartingál, így a következ˝o lemma miatt az Xj szemimartingál. 2 C.23 Lemma. Legyen (τ n )n megállási id˝ok sorozata és legyen (Yn )n szemimartingálok olyan sorozata, hogy minden n-re a [0, τ n ) véletlen szakaszon az X megegyezik az Yn -nel. Ekkor az X szintén szemimartingál. Bizonyítás: Az egyszer˝ubb jelölés céljából tegyük fel, hogy a τ 0 = 0 tagja a (τ n )n lokalizációs sorozatnak. A τ n % ∞ miatt az X adaptált és jobbról reguláris. Ha Zn $ Ynτ n + (X (τ n ) − Yn (τ n )) χ ([τ n , ∞)) , akkor a [0, τ n ] szakaszon az X és a Zn megegyezik. A Zn egy megállított szemimartingál és egy korlátos változású folyamat összege, tehát a Zn szemimartingál. Tekintsük a Zn = X (0) + Ln + Vn felbontását. Ekkor X = X (0) + L + V, ahol L $

P

n

Ln χ ((τ n−1 , τ n ]) és V $ X − X (0) − L. Lτ n =

n X

Lp χ ((τ p−1 , τ p ]) =

p=1

n X

Lτp p − Lτp p−1 ∈ M,

p=1

így L ∈ L. A V ∈ V indoklása azonos. 2 26 V.ö.:

[20] 14.40. állítás, 638. oldal.


422

C.24 Következmény. Ha a Φ (u, t, ω) az u változóban folytonos a (t, ω) változókban el˝orejelezhet˝o, korlátos változású folyamatra az exp (iuX) − exp (iuX− ) • Φ (u) minden u-ra lokális martingál, akkor az X szemimartingál és Φ − Φ (0) az X el˝orejelezhet˝o kumulánsa. Bizonyítás: Elegend˝o a tétel bizonyításának utolsó pontjának els˝o felét értelemszer˝u módosítással megismételni. 2 C.25 Következmény. Ha Ψ jelöli az X szemimartingál el˝orejelezhet˝o kumulánsát, akkor tetsz˝oleges megállási id˝o esetén az X τ megállított folyamat el˝orejelezhet˝o kumulánsa Ψτ . Bizonyítás: Az τ τ τ (exp (iuX) − exp (iuX− ) • Ψ (u)) = exp (iuX τ ) − exp iuX− • Ψ (u) minden u-ra lokális martingál. 2 C.26 Tétel. (Unicitási tétel) Legyen X n-dimenziós szemimartingál és jelölje Ψ (u) az X-hez tartozó el˝orejelezhet˝o kumulánst. Legyen ϕ (u, t) olyan el˝orejelezhet˝o, jobbról reguláris, komplex érték˝u, véges szakaszokon korlátos változású folyamat, amelyre ϕ (0) = 1. Legyen σ (u) $ inf {t : ϕ (u, t) = 0} . Ha a Z (u, t) $

exp (iuX (t)) , ϕ (u, t)

t ∈ [0, σ (u))

lokális martingál, akkor a [0, σ (u)) szakaszon a megkülönböztethetetlenség erejéig ϕ (u, t) = E (Ψ (u, t)) . Bizonyítás: A szokásos feltételek teljesülése miatt a 1 σ m (u) $ inf t : |ϕ (t, u)| ≤ m változók megállási id˝ok. Vezessük be az Am $

1 • ϕσm ϕσ−m


423

sztochasztikus integrálokat. Az 1/ϕσ−m korlátos, így az Am definíciója korrekt és az Am el˝orejelezhet˝o27 . ϕ (0) = 1, így ϕσm

= =

ϕσ m 1 + 1 • ϕσm = 1 + σ−m • ϕσn = ϕ− 1 1 + ϕσ−m • • ϕ $ 1 + ϕσ−m • Am . ϕσ−m

A Doléans–egyenlet egyértelm˝u megoldhatósága miatt ϕσm = E (Am ) .

(C.7)

Vezessük be az Y (t) $ exp (iuX (t)) ,

Z (t) $

Y (t) χ ([0, σ (u))) ϕ (u, t)

jelöléseket. A parciális integrálás formulája szerint, felhasználva, hogy a ϕσm korlátos változású és el˝orejelezhet˝o28 σm • ϕσm + ϕσm • Z σm . Y σm $ Z σm ϕσm = Z (0) ϕσm (0) + Z−

A feltétel szerint a Z σm lokális martingál, a ϕσm lokálisan korlátos29 , így a ϕσm •Z σm lokális martingál, tehát az Z (0) ϕσm (0) + ϕσm • Z σm Y σm

= $ = $

σm • ϕσm $ Y σ m − Z− Y σn Y σm − −σn • ϕσm = ϕ− 1 σm σm σm $ •ϕ Y − Y− • ϕσ−m Y σm − Y−σm • Am

lokális martingál. Az el˝oz˝o tétel harmadik pontja alapján az σm

(Y − Y− • Ψ)

= Y σm − Y−σm • Ψσm σ

szintén lokális martingál. Az X szemimartingál, tehát az Y σm $ (exp (iuX)) m is szemimartingál és mivel korlátos, ezért speciális szemimartingál. Az Am és a Ψ el˝orejelezhet˝o, így az el˝orejelezhet˝o Y−σm -mel vett trajektóriánkénti integráljuk is el˝orejelezhet˝o30 . A speciális szemimartingálok egyértelm˝u felbontása miatt exp (iuX− ) • Ψσm = exp (iuX− ) • Am . 27 V.ö.: el˝ orejelezhet˝o kompenzátor tulajdonságai. (1.48) sor, 93. oldal. El˝orejelezhet˝o folyamatok el˝orejelezhet˝o korlátos változású folyamat szerinti integrálja el˝orejelezhet˝o. 28 V.ö.: 3.30. állítás, 245. oldal. 29 V.ö.: 1.99. állítás, 69. oldal. 30 V.ö.: (1.48) sor, 93. oldal.


424

Az integrandus soha sem nulla, így az integrátorok megegyeznek31 , tehát Am = Ψσm . A két oldal exponenciális martingálját véve a (C.7) felhasználásával σm

ϕσm = E (Am ) = E (Ψσm ) = E (Ψ)

,

tehát ϕ = E (Ψ) . 2

C.3. Független növekményu˝ folyamatok A Lévy–folyamatok közvetlen általánosításai a független növekmény˝u folyamatok. A két folyamatosztály közötti különbség a növekmények stacionaritásának elejtésében van. C.27 Definíció. Az X folyamatot az F filtrációra nézve független növekmény˝unek mondjuk, ha 1. X (0) = 0, 2. az X jobbról reguláris, 3. minden t > s esetén az X (t) − X (s) növekmény független az Fs σ-algebrától.

C.3.1. Független növekményu˝ szemimartingálok A Lévy–folyamatok tárgyalásakor a stacionaritás több szempontból is fontos szerepet játszott. Egyrészt a stacionaritás biztosította, hogy a Lévy–folyamatok növekményeinek eloszlása korlátlanul osztható legyen. Az X karakterisztikus függvényeib˝ol álló folyamatot jelölje ϕ, vagyis ϕ (u, t) $ M (exp (iuX (t))) . Ha az X (t) eloszlása korlátlanul osztható, akkor a ϕ egyetlen (u, t) párra sem lesz nulla32 . Ugyancsak a Lévy–tulajdonság következménye, hogy a folyamat sztochasztikusan folytonos, amely tulajdonságból viszont már következik, hogy a Lévy–folyamatok trajektóriái minden t id˝opontban csak nulla valószín˝uséggel rendelkeznek szakadási ponttal. Megjegyezzük, hogy az említett két tulajdonság közül a sztochasztikus folytonosság a fontosabb, ugyanis miként a határeloszlás-tételek tárgyalásakor láttuk33 , minden sztochasztikusan folytonos, független növekmény˝u folyamat eloszlása korlátlanul osztható. A Lévy–folyamatok másik fontos tulajdonsága, hogy minden Lévy–folyamat automatikusan szemimartingál34 . Független növekmény˝u folyamatokra ez általában 31 V.ö.:

[20], 3.48. következmény, 138. oldal. [20], 14.21. állítás, 623. oldal. 33 V.ö.: [20] 34 V.ö.: C.29. következmény, 427. oldal. 32 V.ö.:

C.3. FÜGGETLEN NÖVEKMÉNY FOLYAMATOK

425

nem teljesül, ugyanis miként alább látni fogjuk, egy determinisztikus folyamat35 pontosan akkor szemimartingál, ha minden véges szakaszon korlátos változású36 . A következ˝o alpontban azonban meg fogjuk mutatni, hogy minden független növekmény˝u folyamat felírható egy determinisztikus és egy független növekmény˝u szemimartingál összegeként. C.28 Tétel. (Független növekményu˝ szemimartingálok karakterizálása) Az X n-dimenziós független növekmény˝u folyamat pontosan akkor szemimartingál, ha minden u-ra a ϕ (u, t) karakterisztikus függvény a t változó szerint minden véges szakaszon korlátos változású. Bizonyítás: A tétel bizonyítását több lépésre bontjuk. 1. Tegyük fel, hogy az X független növekmény˝u. Emlékeztetünk, hogy a Lévy— Hincsin–formula tárgyalása az X Lévy–folyamathoz rendelt ζ (u, t) $

exp (iuX (t)) ϕ (u, t)

(C.8)

exponenciális martingál vizsgálatán alapult. Lévy–folyamatok esetén a formula értelmes, ugyanis az X (t) eloszlása minden t-re korlátlanul osztható, így a ϕ (u, t) karakterisztikus függvény egyetlen u-ra sem lesz nulla. Ez azonban a pusztán független növekmény˝u folyamatokra nem érvényes. El˝oször az ebb˝ol származó problémát rendezzük. Rögzítsük a ϕ karakterisztikus függvény u paraméterét és vezessük be a σ (u) $ inf {t : ϕ (u, t) = 0} függvényt. Megmutatjuk, hogy a t 7→ |ϕ (u, t)| az R+ félegyenesen monoton csökken, a [0, σ (u)) szakaszon nem nulla, a [σ (u) , ∞) szakaszon pedig nulla. Vezessük be a h (u, s, t) $ M (exp (iu (X (t) − X (s)))) karakterisztikus függvényeket. Az X független növekmény˝u, tehát ha s < t, akkor ϕ (u, t) = ϕ (u, s) h (u, s, t) .

(C.9)

Triviálisan |h (u, t, s)| ≤ 1, következésképpen a |ϕ| , miként állítottuk, monoton csökken. Az X definíció szerint jobbról folytonos, tehát a majorált konvergencia tétel miatt a ϕ a t változó szerint szintén jobbról folytonos, így ϕ (u, σ (u)) = 0, következésképpen a |ϕ| monoton csökken˝o volta miatt a ϕ nulla a [σ (u) , ∞) szakaszon. Ha σ (u) < ∞, akkor ϕ (u, σ (u) −) 6= 0, ugyanis ha ϕ (u, σ (u) −) = 0 lenne, akkor a (C.9) miatt minden s < σ (u) esetén h (u, s, σ (u) −) = M (exp (iu [X (σ (u) −) − X (s)])) = 0 lenne, ami ellenmond az X balról való folytonossága miatt teljesül˝o lim M (exp (iu (X (t−) − X (s)))) = 1

s%t 35 Minden 36 V.ö.:

determinisztikus folyamat triviálisan független növekmény˝u. C.28. tétel, 425. oldal bizonyítása.


426

relációnak37 . A (C.8) exponenciális martingálok helyett vezessük be a exp (iuX (t)) /ϕ (u, t) ha t < σ (u) Z (u, t) $ exp (iuX (σ (u) −)) /ϕ (u, σ (u) −) ha t ≥ σ (u) folyamatot. Az X független növekmény˝u38 , így azonnal látható, hogy a Z (u) martingál. 2. Tegyük fel, hogy az X független növekmény˝u szemimartingál. A Z (u) konstrukciója miatt 1 ≥1 |Z| = |ϕ| Legyen f ∈ C 2 olyan, amelyre ha |y + iz| ≥ 1, akkor f (x, y, z) $

exp (−iux) . y + iz

f (X, Z) =

exp (−iuX) Z (u)

Az Itô–formula szerint az

szemimartingál. Így a ϕ (u, t) =

exp (−iuX) χ (t < σ (u)) = f (X, Z) χ (t < σ (u)) Z (u, t)

szemimartingál. Összefoglalva a ϕ (u, t) determinisztikus szemimartingál, így a következ˝o pontban belátott, önmagában is érdekes észrevétel miatt a ϕ (u, t) korlátos változású. 3. Megmutatjuk, hogy valamely X jobbról reguláris, determinisztikus folyamat pontosan akkor szemimartingál, ha minden véges [0, t] szakaszon korlátos változású. Az egyik irány triviális39 . Tegyük fel, hogy az X determinisztikus szemimartingál. Az X jobbról reguláris és mivel determinisztikus, ezért lokálisan korlátos, így speciális szemimartingál40 . Legyen X = X (0) + L + A az X kanonikus felbontása és (τ n )n az X olyan lokalizációs sorozata, amelyre Lτ n ∈ M, Aτ n ∈ A. fn (t) $

M (X (τ n ∧ t)) =

=

X (0) + M (Lτ n (t)) + M (Aτ n (t)) =

=

X (0) + M (Aτ n (t)) ,

37 Vegyük észre, hogy a gondolatmenetb˝ ol az is következik, hogy ha az X sztochasztikusan folytonos, akkor a karakterisztikus függvénye nem lehet nulla, ugyanis a karakterisztikus függvény a nulla értéket mindig ugrással éri el. Természetesen több is igaz. Ha az X független növekmény˝u és sztochasztikusan folytonos, akkor az X eloszlása minden id˝opontban korlátlanul osztható, így a karakterisztikus függvénye persze nem lehet nulla. 38 Ha t < σ (u) , akkor minden t < s < σ (u) esetén az X (s) − X (t) független az F σ-algebrától, t így az X (σ (u) −) − X (t) is független az Ft -t˝ol. 39 Nevezetesen, hogy minden determinisztikus, jobbról reguláris, korlátos változású folyamat szemimartingál. 40 V.ö.: 1.174. tétel, 125. oldal.


427

következésképpen az fn a t korlátos változású függvénye, hiszen az Aτ n ∈ A miatt (Var (fn )) (t) ≤ M (Var (Aτ n )) (∞) < ∞. Ha Fn jelöli a τ n eloszlását, akkor az fn -re Z fn (t) = X (s) dFn (s) + Fn ((t, ∞)) X (t) . [0,t]

τ n % ∞, ezért tetsz˝oleges t-hez van olyan n, hogy Fn ((t, ∞)) $ P (τ n > t) > 0, tehát ! Z 1 fn (t) − X (t) = X (s) dFn (s) . Fn ((t, ∞)) [0,t] Az X reguláris, így a [0, t] szakaszon korlátos, az 1/Fn ((u, ∞)) monoton n˝o, tehát a [0, t] szakaszon korlátos, következésképpen az X tetsz˝oleges véges szakaszon korlátos változású ugyanis egy korlátos és egy korlátos változású függvény szorzata mindig korlátos változású. 4. A fordított irány bizonyítására rátérve tegyük fel, hogy a ϕ (u, s) minden véges [0, t] szakaszon korlátos változású. Meg kell mutatni, hogy az X független növekmény˝u szemimartingál. Rögzítsük a t id˝opontot. Ha u → 0, akkor ϕ (u, t) → 1, így van olyan b > 0, hogy ha |u| ≤ b, akkor |ϕ (u, t)| > 0. A bizonyítás els˝o pontja szerint a |ϕ| monoton csökken, így minden s ≤ t és |u| ≤ b esetén exp (iuX (s)) = Z (u, s) ϕ (u, s) . Az els˝o pontban elmondottak szerint a Z (u, s) martingál, a feltétel szerint a ϕ (u, s) korlátos változású, így az Itô–formula miatt a t id˝opontban megállított exp (iuX t ) folyamat szemimartingál. Ha |u| > b, akkor elég nagy m-re |u/m| ≤ b. u m , exp (iuX) = exp i X m így ismételten az Itô–formula miatt az exp (iuX t ) megállított folyamat szemimartingál. Ez természetesen minden t-re igaz, így a szemimartingálok korábban belátott triviális lokalizációs tulajdonsága41 miatt az exp (iuX) minden u-ra szemimartingál, következésképpen az X szemimartingál42 . 2 C.29 Következmény. Minden Lévy–folyamat szemimartingál. Bizonyítás: Tetsz˝oleges u-ra a Lévy–folyamatok ϕ karakterisztikus függvényére ϕ (u, t + s) = ϕ (u, t) ϕ (u, s) , 41 V.ö.: 42 V.ö.:

C.23. lemma, 421. oldal. C.22. lemma, 421. oldal.


428

így a Cauchy–egyenlet miatt a karakterisztikus függvény ϕ (u, t) = exp (tψ (u)) alakú, következésképpen a ϕ (u, t) a t id˝oparaméter szerint korlátos változású, tehát a folyamat szemimartingál. 2 C.30 Tétel. (Lévy—Hincsin–formula) A t = 0 pontban nulla értéket felvev˝o X szemimartingál pontosan akkor független növekmény˝u, ha az X (B, C, ν) karakterisztikájának van determinisztikus verziója. Ilyenkor, ha t > s, akkor h (u, s, t) $ M (exp (iu [X (t) − X (s)])) = E (Ψ (t) − Ψ (s)) , ahol a Ψ az X szemimartingál (B, C, ν) karakterisztikájához tartozó el˝orejelezhet˝o kumuláns. Bizonyítás: A tétel bizonyítását több lépésre bontjuk. 1. Legyen (B, C, ν) az X karakterisztikája és tekintsük a (B, C, ν) hármashoz tartozó Ψ el˝orejelezhet˝o kumulánsfolyamatot43 . Az ϕ karakterisztikus függvény korlátos változású és nyilvánvalóan el˝orejelezhet˝o ugyanis determinisztikus. Az el˝oz˝o bizonyítás els˝o pontja szerint a exp (iuX (t)) /ϕ (u, t) lokális martingál a [0, σ (u)) szakaszon, tehát az unicitási tétel szerint44 ϕ (u, t) = E (Ψ (u, t)) ,

t ∈ [0, σ (u)) .

Az E (Ψ (u)) az u-ban folytonos, az s és t változókban jobbról folytonos, így egy nullmérték˝u halmazon a karakterisztikát megváltoztatva feltehet˝o, hogy az egyenl˝oség minden kimenetelre teljesül. Tegyük fel, hogy a komplex érték˝u, korlátos változású függvényre a (0) = 0. Legyen továbbá b = E (a) és tegyük fel, hogy minden s-re b (s) 6= 0. Az E (a) definíciója szerint b = 1 + b− • a. Elemi megfontolásokkal a = =

1•a=

1 b− •a= • (b− • a) = b− b−

(C.10)

1 • (1 + b− • a) = b−1 − • b. b−

A b $ ϕ (u) determinisztikus, így a (C.10) miatt az a $ Ψ (u) is determinisztikus. A klasszikus Lévy—Hincsin–formula egyértelm˝usége45 miatt a (B, C, ν) hármas szintén determinisztikus. 43 V.ö.:

C.20. definíció, 418. oldal. C.26. tétel, 422. oldal. 45 V.ö.: [20] 14.30. következmény, 629. oldal. 44 V.ö.:


429

2. Tegyük fel, hogy az X szemimartingál (B, C, ν) karakterisztikája determinisztikus és X (0) = 0. Ilyenkor természetesen a Ψ el˝orejelezhet˝o kumuláns szintén determinisztikus. Az L (u) $ exp (iuX) − exp (iuX− ) • Ψ lokális martingál. De |L (u)| ≤ 1 + Var (Ψ) < ∞, amely a karakterisztika determinisztikus volta miatt triviálisan P-integrálható, így L (u) ∈ D, tehát az L (u) martingál. Ha s ∈ R+ , F ∈ Fs , akkor az L (u) képletét közvetlenül behelyettesítve χF exp (iu (X (t) − X (s)))

=

χF + χF exp (−iuX (s)) [L (u, t) − L (u, s)] + Z t + χF exp (iu [X (r−) − X (s)]) dΨ (r) . s

Az L martingál, így a teljes várható érték tétellel a szokásos módon azonnal igazolható, hogy a második tag várható értéke nulla. Tegyük fel, hogy P (F ) > 0. Ha t ≥ s, akkor f (t) $

M (χF exp (iu [X (t) − X (s)])) . P (F )

A t < s szakaszon f (t) $ 1. Mind a két oldalon várható értéket véve és a Fubini–tétel szerint az integrálokat felcserélve46 Z f (t)

=

t

1+

s

f (r−) dΨ (r) = 1 + s

Z =

Z

1+

Z 1d0 +

0

t

f (r−) dΨ (r) = s

t

f (r−) d (Ψ (r) − Ψs (r)) .

0

A Doléans–egyenlet47 egyértelm˝u megoldhatósága miatt f (t) = E (Ψ (t) − Ψs (t)) , tehát M (χF exp (iu [X (t) − X (s)])) = P (F ) E (Ψ (t) − Ψs (t)) , ami éppen azt jelenti, hogy az [X (t) − X (s)] egyrészt független az Fs -t˝ol, másrészt M (exp (iu [X (t) − X (s)])) = E (Ψ (t) − Ψ (s)) . 2 C.31 Következmény. Ha X független növekmény˝u szemimartingál, akkor M (exp (iu [X (t) − X (s)])) = exp (U ) V, 46 Vegyük 47 V.ö:

észre, hogy kihasználtuk, hogy a Ψ determinisztikus. (3.31) sor, 261. oldal.


430

ahol U

1 $ iu [B (t) − B (s)] − u [C (t) − C (s)] u + 2 Z tZ + [exp (iux) − 1 − iuh (x) χJ c (r)] ν (dr, dx) s

Rn \{0}

és !! Q

V =

R

exp (−iu∆B (r)) 1 +

s
[exp (iux) − 1] ν ({r} × dx)

,

R+ ×(Rn \{0})

ahol J $ {r : ν ({r} × (Rn \ {0}))} = {r : ν ({r} × Rn )} > 0. Bizonyítás: A képlet a Doléans–egyenlet megoldását megadó explicit képletb˝ol következik48 . A Z (t) $ Ψ (t) − Ψ (s) korlátos változású, így Y E (Z) = exp (Z) (1 + ∆Z) exp (−∆Z) . A ∆Z ugrás vagy a B ugrásából, vagy a Ψ-ben szerepl˝o integrál ugrásából származik. Vegyük észre, hogy X X ∆B = M ∆B = M h (x) • µX = M (h (x) • ν) = h (x) • ν, vagyis a ∆B éppen a h (x) • ν ugrásai, vagyis Z ∆B (r) = h (x) dν ({r} × dx)

(C.11)

R+ ×(Rn \{0})

így Z (exp (iux) − 1) dν ({r} × dx) .

∆Z (r) = R+ ×(Rn \{0})

A Ψ-ben szerepl˝o integrál ugrásai pontosan a J id˝opontokban történnek, és így pontosan az integrál ugrásaiból kapott szorzat kerül az U -ban szerepl˝o integrálból levonásra. 2 C.32 Következmény. Ha az X független növekmény˝u szemimartingál, akkor a ∆X (t) karakterisztikus függvénye Z M (exp (iu∆X (t))) = 1 + (exp (iux) − 1) dν ({t} × dx) , R+ ×(Rn \{0})

így a ∆X (t) pontosan akkor pozitív valószín˝uséggel nem nulla, ha ν ({t} × Rn ) > 0, vagyis ha t ∈ J. 48 V.ö.:



431

Bizonyítás: Valóban, ha az el˝oz˝o következményben s % t, akkor az összes többi tag kiesik. 2 C.33 Következmény. Ha az X sztochasztikusan folytonos, független növekmény˝u szemimartingál, akkor a folyamat tetsz˝oleges t id˝opontban való ugrásainak valószín˝usége nulla. Ilyenkor az X karakterisztikus függvényére ϕ (t, u) = exp (Ψ (t, u)) . Bizonyítás: Valóban, ha az X sztochasztikusan folytonos, akkor M (exp (iu∆X (t))) ≡ 1, m.m.

így minden t-re ∆X (t) = 0. Az el˝oz˝o következmény miatt J = ∅. A (C.11) miatt ilyenkor ∆B = 0 2

C.3.2. Általános független növekményu˝ folyamatok Miként említettük, nem minden független növekmény˝u folyamat szemimartingál. A triviális ellenpéldát a jobbról reguláris nem korlátos változású determinisztikus folyamatok szolgáltatják. Lényegében azonban ez az egyetlen ellenpélda, ugyanis érvényes a következ˝o gyönyör˝u észrevétel: C.34 Tétel. (Független növekményu˝ folyamatok struktúratétele) Tetsz˝oleges X független növekmény˝u folyamat felbontható X = F + S módon, ahol az F jobbról reguláris és determinisztikus, az S független növekmény˝u szemimartingál. Bizonyítás: A tétel indoklása némiképpen technikás, alapgondolata azonban viszonylag egyszer˝u, lényegét tekintve a Lévy–folyamatok valószín˝uségszámítás tárgyalása során bemutatott felbontását ismétli meg. A bizonyítás során az X folyamatról egymás után leválasztjuk a különböz˝o típusú ugrásokat, és megmutatjuk, hogy az ugrásokból álló részek mindegyike szemimartingál. A két bizonyítás között az egyedüli különbség, hogy a Lévy–folyamatokkal szemben a független növekmény˝u folyamatok rendelkezhetnek olyan ugrásokkal is, amelyek egy adott id˝opontban pozitív valószín˝uséggel következnek be. Jelölje W a megtisztított folyamatot. A bizonyítás során látni fogjuk, hogy az X − W folyamat szemimartingál. Az X ugrásai esetleg pozitív valószín˝uség˝uek, ezért a W végül nem lesz feltétlenül folytonos, de a W ugrásai fix id˝opontokban következnek be és determinisztikusak. Ha W 0 W -vel azonos eloszlású, f $ W − W 0 folytonos49 és független növekde W -t˝ol független folyamat, akkor a W f karakterisztikus mény˝u. Ha a W karakterisztikus függvénye ϕW (u, t) , akkor a W 2 2 függvénye |ϕW (u, t)| . A |ϕW (u, t)| monoton csökken, így korlátos változású, köf szemimartingál. A folytonosság miatt a W f spektrálmértéke nulla, vetkezésképpen a W 49 Az

ugrások determinisztikusak, így kiesnek.


432

és a független növekmény˝u szemimartingálok karakterisztikus függvényének reprezenf Gauss–folyamat. Ebb˝ol Cramér–tétele51 miatt tációjából azonnal látható50 , hogy a W a W is normális eloszlású, tehát minden t-re a W (t)-nek van véges várható értéke52 . Ha F (t) $ M (W (t)) , akkor a W (t) − F (t) független növekmény˝u és nulla várható érték˝u, vagyis martingál. 1. Tekintsük az X ν spektrálmértékét. Megmutatjuk, hogy a ν determinisztikus. Legyen g olyan korlátos, nem negatív, Borel–mérhet˝o függvény, amely az origó valamely környezetében nulla. Tetsz˝oleges s-re ha t > s, akkor a X g • µX (t) − g • µX (s) = g (∆Xr ) , s
triviálisan független az Fs σ-algebrától, így a g • µX , monoton növeked˝o, lokálisan korlátos, független növekmény˝u folyamat. A g • µX tekinthet˝o véletlen mértéknek53 . A g • µX kompenzátora g • ν, ugyanis tetsz˝oleges H ≥ 0, el˝orejelezhet˝o folyamatra M H • g • µX = M Hg • µX = M (Hg • ν) = M (H • (g • ν)) és a g • ν el˝orejelezhet˝o. A g • µX független növekmény˝u és mivel korlátos változású, ezért szemimartingál, így a g • ν spektrálmérték determinisztikus. Tetsz˝oleges t-re µX ((0, t] × {0}) = 0, amib˝ol ν ((0, t] × {0}) = 0, így az origó környezetében nulla g függvények egyértelm˝uen meghatározzák a ν spektrálmértéket, következésképpen a ν determinisztikus. 2. A folyamat ugrásait két szempontból is csoportosíthatjuk. Egyrészt vehetjük az ugrásokat aszerint, hogy az ugrás az adott t id˝opontban pozitív valószín˝uséggel következik be vagy sem, másrészt megkülönböztethetünk nagy és kis ugrásokat. Nagy ugráson az X b (h) (t) $ X (∆X (s) − h (∆X (s))) s≤t

folyamatot értjük, ahol h el˝ore rögzített csonkoló függvény. Ha az egyszer˝uség kedvéért h (x) $ xχ (kxk ≤ 1) , akkor az X nagy ugrásai az X olyan ∆X ugrásai, amelyekre k∆Xk > 1. Az X definíció szerint jobbról reguláris, így a nagy ugrások nem torb $X b (h) korlátos változású. Ha t ≥ s, akkor az X b (t) − X b (s) az lódhatnak, így az X X (s, t] id˝ointervallumba es˝o nagy ugrásaiból áll és így független az Fs σ-algebráktól, b független növekmény˝u. Els˝o lépésben tehát az X-b˝ol távolítkövetkezésképpen az X b korlátos változású folyamatot. A megmaradt részt az suk el a nagy ugrásokból álló X egyszer˝uség kedvéért ismételten jelölje X. 3. Az X mellett tekintsünk egy olyan X 0 folyamatot, amely eloszlásban megegyezik az X folyamattal, és amelyik független az X-t˝ol. Az X 0 konstruálásához az (Ω, A,P,F) tér helyett vegyük a tér önmagával vett szorzatát és a szorzat egyes komponensein 50 V.ö.:

C.31. következmény, 429. oldal. [20] 10.49. állítás, 460. oldal. 52 Tulajdonképpen ez a bizonyítás er˝ os lépése. 53 A g • µX lehet végtelen, de a mérték az el˝ orejelezhet˝o halmazok szerint σ-véges. 51 V.ö.:


433

külön–külön definiáljuk az X folyamatot. Azonnal látható, hogy az X és az X 0 az e $ X − X0 Fe $ F × F filtráció esetén független növekmény˝u folyamatok, tehát az X a kiterjesztett téren független növekmény˝u. Ha ϕX jelöli az X karakterisztikus függe karakterisztikus függvénye |ϕX |2 . A |ϕX |2 monoton csökken54 , vényét, akkor az X e szemimartingál. Az X e független növekmény˝u szeígy korlátos változású, tehát az X mimartingál, így ha νe jelöli a spektrálmértékét, akkor a νe determinisztikus. Az X és e ugrásainak nagysága legfeljebb az X 0 ugrásainak nagysága legfeljebb egy, így az X 55 kett˝o. A szemimartingál tulajdonság miatt e e 2 2 2 2 kxk • νe = M kxk • νe = M kxk • µX = M kxk ∧ 2 • µX (=C.12) 1 e e 2 2 X kxk ∧ 1 • µ = 2M ≤ 2M kxk ∧ 1 • µX = 2 2 = 2 kxk ∧ 1 • νe < ∞. 4. Megjegyezzük, hogy az X ugrásai két csoportba oszthatók. A J $ {t : ν ({t} × Rn ) > 0} halmazba es˝o id˝opontokban az X pozitív valószín˝uséggel ugrik. A J halmazon kívüli id˝opontokban az X ugrásának valószín˝usége nulla56 . Legyen (τ n )n az X ugrásait lefed˝o megállási id˝ok sorozata. Ha Gn a τ n eloszlása, akkor a teljes várható érték tétel miatt P (∆X 0 (τ n ) 6= 0, τ n ∈ / J) = = =

M (χ (∆X 0 (τ n ) 6= 0) χ (τ n ∈ / J)) = Z M (χ (∆X 0 (τ n ) 6= 0) χ (τ n ∈ / J) | τ n = y) dGn (y) . R+

A ∆X 0 és a τ n függetlenek, ugyanis a τ n az X által generált σ-algebrára nézve mérhet˝o, az X 0 pedig független az X-t˝ol. Ebb˝ol következ˝oen a feltétel beírható a feltételes várható értékbe, így M (χ (∆X 0 (τ n ) 6= 0) χ (τ n ∈ / J) | τ n = y) = M (χ (y ∈ / J) χ (∆X 0 (y) 6= 0)) = 0, ugyanis az X és az X 0 eloszlása megegyezik, így a pozitív valószín˝uség˝u ugrások id˝opontjai is egybeesnek, ha tehát y ∈ J c , akkor M (χ (∆X 0 (y) 6= 0)) = P (∆X 0 (y) 6= 0) = 0. Ebb˝ol következ˝oen nulla valószín˝uség˝u halmaztól eltekintve az X és az X 0 a J id˝opontokon kívül nem rendelkezik közös ugrással, tehát az X és az X 0 J-én kívüli ugrásai „nem interferálnak”. Ez alapján 2

m.m.

2

kxk χJ c • µX ≤ kxk • µX . 54 V.ö.:

(C.9) sor, 425. oldal. C.17. állítás, 415. oldal. 56 V.ö.: C.14. példa, 413. oldal. 55 V.ö.:

e


434

amib˝ol, ismételten felhasználva, hogy a νe és a ν determinisztikus a (C.12) felhasználásával 2

kxk χJ c • ν

2 = M kxk χJ c • µX ≤ e 2 ≤ M kxk χJ c • µX ≤ e 2 2 ≤ M kxk • µX = kxk • νe < ∞.

(C.13)

5. Következ˝o lépésként az X J halmazon kívüli, kis ugrásait távolítjuk el. Vezessük be az 1 • µX $ g • µX Yq $ xχJ c χ 1 ≥ kxk > q folyamatot. Az X bizonyos ugrásaiból álló Yq független növekmény˝u és mivel az 1/q-nál nagyobb ugrások nem torlódhatnak, ezért az Yq a véges szakaszokon korlátos változású. Az 1/q-nál nagyobb ugrások nem torlódhatnak, a pozitív várakozási id˝o után bekövetkez˝o ugrások nagysága korlátos, így Yq ∈ Aloc . Tekintsük az Yq Yqp

1 = g • ν $ xχJ c χ 1 ≥ kxk > •ν q

kompenzátorát. Az χJ c tag szerepeltetése miatt az Yqp folytonos57 . Vezessük be az Yq kompenzált ugrásaiból álló Mq $ Yq − Yqp lokális martingált. Az Yqp folytonossága miatt 1 ∆Mq $ ∆Yq = χJ c χ 1 ≥ k∆Xk > . q Az Mq folyamatok korlátos változásúak, így tiszta kvadratikus ugrófolyamatok58 , így a kvadratikus variáció képlete alapján 2

[Mqi − Mmi ] = |xi | χJ c χ

1 1 < kxk ≤ q m

• µX (x) .

Vegyük észre, hogy a (C.13) miatt tetsz˝oleges véges szakaszon [Mqi − Mmi ] ∈ A. Megjegyezzük, hogy a kvadratikus variáció integrálhatóságából következ˝oen az Mq és az Mq −Mm nem csak lokális martingál, hanem minden véges szakaszon H2 -martingál 57 A

C.14. példa, 413. oldal, miatt a ν a J c folytonos. 3.41. példa, 250. oldal.

58 V.ö.:


435

is59 . A Doob–egyenl˝otlenség szerint 2 M sup kMq − Mm k ≤ s≤t

≤

4

n X

2 M (Mqi (t) − Mmi (t)) ≤

i=1

≤ = =

4

n X

M ([Mqi − Mmi ] (t)) =

i=1 n X

1 1 2 < kxk ≤ • µX = M |xi | χJ c χ q m i=1 n X 1 1 2 < kxk ≤ • ν. 4 |xi | χJ c χ q m i=1 4

Ha m, q −→ ∞, akkor χ (1/q < kxk ≤ 1/m) → 0. A (C.13) felhasználásával a majorált konvergencia tétel alapján 2 M sup kMq − Mm k → 0. s≤t

Az (Mq )q sorozat minden tagja martingál, így az M határérték is martingál. A trajektóriánkénti egyenletes konvergencia miatt ∆M = lim ∆Mq = ∆Xχ (k∆Xk ≤ 1) χJ c . q→∞

Az X − Yq és így az X − Mq folyamatok független növekmény˝uek60 , így az X − M határérték is független növekmény˝u. 6. Harmadik lépésként tekintsük a Z $ X−M folyamatot. ∆Z = ∆Xχ (k∆Xk ≤ 1) χJ . A már bemutatott módon vegyük a Z-t˝ol független, vele azonos eloszlású Z 0 folyamatot. A Ze $ Z − Z 0 ismételten független növekmény˝u szemimartingál. Ha ismételten νe e spektrálmértékét, akkor a (C.12) sorban már belátott módon kxk2 • νe < ∞. jelöli az Z A ∆Ze eloszlása61 P ∆Ze (t) ∈ B = νe ({t} × B) , B ∈ B (Rn \ {0}) , következésképpen X

2

M ∆Ze (s)

=

s≤t,s∈J

s≤t,s∈J

≤ 59 V.ö.:

X Z 2

2

kzk νe ({s} , dz) ≤

kzk χJ • νe < ∞.

2.49. állítás, 166. oldal, illetve 3.35. állítás, 247. oldal. Ynp determinisztikus. 61 V.ö.: C.14. példa, 413. oldal. 60 Az

Rn


436

Vezessük be az U $ ∆Z − M (∆Z) folyamatot. A Ze konstrukciója szerint 2 2M kU (s)k =

2

n X

D2 (∆Zi (s)) =

i=1

=

n X

n X

D2 (∆Zi (s)) + D2 (−∆Zi0 (s)) =

i=1 2

D (∆Zi (s) −

∆Zi0

e 2 (s)) = M ∆Z (s) ,

i=1

következésképpen X

2 M kU (s)k < ∞.

(C.14)

s≤t

Legyen (Jq )q olyan véges elemszámú halmazok sorozata, amelyre ∪q Jq = J. Nq (t) $

X

U (s) .

s≤t,s∈Jq

A U értékei függetlenek, várható értékük nulla, így az Nq martingál. Ha p > q, akkor X 2 [Npi − Nqi ] = (Ui (s)) . s≤t,s∈Jp \Jq

A Doob–egyenl˝otlenség alapján az el˝oz˝o részben bemutatott módon eljárva n X 2 M sup kNp (s) − Nq (s)k ≤ 4 M ([Npi − Nqi ] (t)) = s≤t

i=1

=

4

X

2 M kU (s)k ,

s≤t,s∈Jp \Jq

amely a (C.14) miatt p, q → ∞ esetén nullához tart. Ismételten minden véges szakaszon L2 -ben egyenletesen Nq → N, ahol az N martingál és ∆N = lim ∆Nq = U, q→∞

valamint a Z − N független növekmény˝u. Ha az X-b˝ol az N -et is eltávolítjuk, akkor a megmaradt W folyamat független növekmény˝u és62 ∆W = χJ M (∆Z) .

(C.15)

7. Utolsó lépésként ismételten a W mellett tekintsük a t˝ole független, vele azonos f $ W − W 0 ismételten független növekmény˝u szeeloszlású W 0 folyamatot. A W mimartingál. A W ugrásaira vonatkozó (C.15) képlet miatt az ugrások helye fix, így f folytonos. A folytonosság miatt a W f spektrálf = ∆W − ∆W 0 = 0, így a W ∆W mértéke nulla, így a független növekmény˝u szemimartingálok karakterisztikus függvéf (t) minden t id˝opontban normális eloszlású. Cramér–tétele nyének képlete miatt a W 62 Az

∆Z ugrásokat eltüntettük, de behoztuk a ∆Z várható értékeit.


437

alapján a W (t) is normális eloszlású, következésképpen a W (t) várható értéke is véges. Ha F (t) $ M (W (t)) , akkor mivel a W független növekmény˝u, ezért a W − F triviálisan logikai martingál. Minden logikai martingálnak van jobbról reguláris verziója és mivel a W jobbról reguláris, ezért az F is jobbról reguláris. Evvel az állítás bizonyítását befejeztük. 2 Az els˝o pontban belátott észrevételt érdemes önállóan is kimondani: C.35 Állítás. Ha az X független növekmény˝u folyamat, akkor az X ν spektrálmértéke determinisztikus.

C.3.3. Független növekményu˝ lokális martingálok Miként az els˝o fejezetben említettük minden független növekmény˝u lokális martingál martingál. C.36 Tétel. (Lokális martingálok karakterizálása) Ha az X független növekmény˝u folyamat lokális martingál, akkor az X martingál. Bizonyítás: Az el˝oz˝o tétel bizonyítását megismételve az X folyamatot bontsuk fel b +Z +N +W X=X b az X nagy ugrásaiból álló rész, Z a J c -be es˝o kis ugrások, N a J c -be módon, ahol X es˝o ugrások és W a megmaradt rész. A bizonyításból látható, hogy a M $ Z + N martingál. 1. Az X lokális martingál, így63 Z tZ 0

{kxk>1}

kxk dν (dt, ω, dx) ∈ A+ loc .

(C.16)

vagyis alkalmas (τ n )n lokalizációs sorozatra Z Z τn Z kxk ν (t, ω, dx) dP (ω) < ∞. Ω

0

kxk>1

Az X független növekmény˝u, így a ν spektrálmérték determinisztikus, tehát a (C.16) integrál determinisztikus, következésképpen majdnem minden kimenetelre tetsz˝oleges t-re ! Z Z t

kxk ν (dt, dx)

M 0

< ∞.

kxk>1

Ez másképpen írva azt jelenti, hogy tetsz˝oleges t-re M ((kxk χ (kxk > 1) • ν) (t)) < ∞. 63 V.ö.:

C.19. következmény, 417. oldal.


438

A spektrálmérték definíciója szerint M

kxk (χ (kxk > 1)) • µX (t) < ∞,

vagyis   X M k∆X (s)k χ (k∆X (s)k > 1) < ∞. s≤t

Triviálisan

b X k∆X (s)k χ (k∆X (s)k > 1) ,

X (t) ≤ s≤t

b (t) integrálható, így az m b (t) létezik. Az X b az következésképpen az X b (t) $ M X b független növekmény˝u, és az X b (t)−m X nagy ugrásaiból álló folyamat, tehát az X b (t) b −m független és nulla várható érték˝u növekményekkel rendelkez˝o folyamat, tehát az X b szintén martingál. 2. Az X lokális martingál, tehát van olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, amelyre az X τ n martingál. Legyen s tetsz˝oleges id˝opont. Ha az n elég nagy, akkor P (τ n ≥ s) > 0. Az X τ m ∆X τ n (s) $ X τ n (s) − X τ n (s−) = X τ n (s) − M (X τ n (s) | Fs− ) ugrásainak M (∆X τ n ) várható értéke nulla. Ugyanakkor ∆X τ n (s) = ∆X (s) χ (τ n ≥ s) . {τ n ≥ s} ∈ Fs− , a ∆X (s) független az Fs−1/k σ-algebrák mindegyikét˝ol, így független az általuk generált Fs− -t˝ol is, így a ∆X (s) független a χ (τ n ≥ s) változótól. A χ (τ n ≥ s) várható értéke pozitív, így az M (∆X (s)) várható érték véges és az értéke nulla, ugyanis 0

= M (∆X (s) χ (τ n ≥ s)) $ + − $ M (∆X (s)) χ (τ n ≥ s) − M (∆X (s)) χ (τ n ≥ s) = + − = M (∆X (s)) P (τ n ≥ s) − M (∆X (s)) P (τ n ≥ s) , ±

és így a (∆X (s)) változók várható értéke véges, így 0 = M (∆X (s) χ (τ n ≥ s)) = M (∆X (s)) M (χ (τ n ≥ s)) , amib˝ol az M (∆X (s)) = 0 már triviális. 3. Az X minden ∆X ugrására M (∆X) = 0, ezért ez teljesül a W ugrásaira is, következésképpen a W , a bemutatott konstrukció miatt, folytonos. Összefoglalva X = M + W + m, b ahol az M martingál, a W független növekmény˝u, folytonos lokális martingál. A W természetesen továbbra is Gauss–folyamat, így értelmes az m (t) $ M (W (t))


439

függvény. A W (t) − m (t) ismételten független növekmény˝u és nulla várható érték˝u folyamat, tehát a W (t) − m (t) szintén martingál, következésképpen az m + m b lokális martingál. Az m + m b determinisztikus, tehát csak úgy lehet lokális martingál, ha m+m b ≡ c konstans, így az X martingál. 2

D. függelék

Nem lokálisan korlátos folyamatok integrálása Emlékeztetünk, hogy nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálok esetén az integrál definícióját visszavezettük a lokális martingálok f˝otételére, amely szerint tet2 sz˝oleges L lokális martingál felírható L (0)+V +H módon, ahol V ∈ V és H ∈ Hloc . Az X • L sztochasztikus integrált az X • H és X • V integrálok összegével definiáltuk. A felbontás nem egyértelm˝u, így az X • L csak akkor értelmes, ha értéke független a felbontástól, amit csak akkor tudunk garantálni, ha az X integrandus el˝orejelezhet˝o. A definíció kétségtelen el˝onye, hogy a folytonos lokális martingálok szerinti integrálás bemutatását követ˝oen lényegében semmilyen további er˝ofeszítésre nincs szükség. 2 Elegend˝o annyit megjegyezni, hogy ha H ∈ Hloc , akkor az X • H integrál felépítése során a [H] helyébe mindenhol hHi írandó. A folytonos és a nem folytonos integrátorokkal kapcsolatos állítások egyetlen ponton térnek el: nem folytonos esetben megjelenik az integrál ugrásaira vonatkozó ∆ (X • L) = X∆L szabály. A konstrukció hátránya, hogy lényegében csak lokálisan korlátos integrandusok esetén m˝uködik, ugyanis a konstrukcióból nem világos, hogy mely X folyamatok integrálhatóak az L szerint. Csak annyit tudunk mondani, hogy ha az X integrandus lokálisan korlátos, akkor integrálható. A lokálisan korlátos integrandusok szerinti integrálás a sztochasztikus analízis legtöbb tételének tárgyalásakor elegend˝o, de esetenként a lokális korlátosság megkötése túlzottan er˝os. Ebben a függelékben egy másik felépítést mutatunk be. A tárgyalás el˝onye, hogy explicite meg fogjuk tudni adni az integrálható folyamatok körét. A felépítés kulcsa a lokális martingálok folytonos és tisztán nem folytonos részre való egyértelm˝u felbontása1 . Az integrál konstruálásakor szeretnénk, ha néhány korábban már hasznosnak bizonyult tulajdonság érvényben maradna: 1. Ha az L tisztán nem folytonos és az X • L lokális martingál, akkor szeretnénk ha az X • L szintén tisztán nem folytonos lokális martingál lenne. 2. A tisztán nem folytonos lokális martingálokat egyértelm˝uen karakterizálják az ug1 V.ö.:


440

441

rásaik2 , így elegend˝o el˝oírni az X • L ugrásait. A ∆ (X • L) = X∆L választás igen kézenfekv˝o és természetes, így szeretnénk ha érvényben maradna. Ha az N $ X • L lokális martingál, akkor az N ∆N ugrásainak p (∆N ) el˝orejelezhet˝o vetülete nulla. Az integrál ugrásaira vonatkozó feltétel szerint p (∆N ) = p (X∆L) = 0. Ha X el˝orejelezhet˝o, akkor p (X∆L) = X (p (∆L)) = X0 = 0, ami arra utal, hogy várhatóan csak el˝orejelezhet˝o integrandus esetén lehet garantálni az X • L ∈ L tartalmazást. 3. Ha az X • L lokális martingál, akkor a kvadratikus variációja véges, így ha az q p P 2 (X∆L) kifejezés lokálisan X integrálható az L szerint, akkor az [X • L] = integrálható kell hogy legyen. Ez, illetve az el˝orejelezhet˝oség egyértelm˝uen kijelöli az L szerint integrálható X folyamatok körét. A konstrukció során szükségünk lesz néhány állításra. D.1 Tétel. (Lokális martingálok folytonos és tisztán nem folytonos része) Tetsz˝oleges lokális martingál megkülönböztethetetlenség erejéig egyértelm˝uen felbontható L = L (0) + Lc + Ld , Lc , Ld ∈ L módon, ahol az Lc folytonos, az Ld pedig tisztán nem folytonos. D.2 Következmény. Ha M és N olyan tisztán nem folytonos, lokális martingálok amelyekre ∆M = ∆N, akkor M = N. Bizonyítás: A tisztán nem folytonos lokális martingál definíciója alapján M (0) = N (0) = 0. Az L $ M − N lokális martingál folytonos és tisztán nem folytonos, következésképpen az L = Lc + Ld felbontásban Lc = 0 és Ld = 0 megengedett, így az egyértelm˝uség miatt egyidej˝uleg Lc = Ld = 0. 2 A tárgyalás során kulcs szerepet fog játszani a következ˝o egyenl˝otlenség: D.3 Tétel. (Davis–egyenl˝otlenség) Léteznek olyan c és C konstansok, hogy tetsz˝oleges L lokális martingál és τ megállási id˝o esetén p p [L] (τ ) ≤ M sup |L (t)| ≤ CM [L] (τ ) . cM t≤τ

Az egyenl˝otlenség igazolását a függelék végén, a „függelék függelékében” közöljük. Emlékeztetünk3 , hogy tetsz˝oleges X és Y szemimartingálokra X [X, Y ] = [X c , Y c ] + ∆X∆Y. Ha X és Y lokális martingálok, akkor [X, Y ] = [X c , Y c ] + X c , Y d + X d , Y c + X d , Y d . 2 V.ö.: 3 V.ö.:

D.2. következmény, 441. oldal. (3.26) sor, 255. oldal.

(D.1)

D. NEM LOKÁLISAN KORLÁTOS FOLYAMATOK INTEGRÁLÁSA

442

2 Az X d = U + V , V ∈ V, U ∈ Hloc felbontás miatt d c X , Y = [U + V, Y c ] = [U, Y c ] + [V, Y c ] = [U, Y c ] . 2 U, Y c ∈ Hloc , ezért a tisztán nem folytonosság definíciója alapján hU, Y c i = 0. p

[U, Y c ] = [U, Y c ] − hU, Y c i = [U, Y c ] − [U, Y c ] ∈ L ∩ V. Az [U, Y c ] kifejezés folytonos, ugyanis4 ∆ [U, Y c ] = ∆U ∆Y c = 0, így Fisk–tétele szerint [U, Y c ] = 0. Összefoglalva [X, Y ] = [X c , Y c ] + X d , Y d , következésképpen d d X X ,Y = ∆X∆Y.

(D.2)

D.1. Tisztán nem folytonos lokális martingálok szerinti integrálás Legyen L lokális martingál. Az L egyértelm˝uen felbontható L = L (0) + Lc + Ld módon5 , ahol az Lc folytonos az Ld tisztán nem folytonos. A H • Lc sztochasztikus integrál konstrukcióját már bemutattuk. A pont célja a H • Ld integrál definiálása.

D.1.1. Ritka halmazok A tisztán nem folytonos lokális martingálokat egyértelm˝uen meghatározzák az ugrásaik. El˝oször az ugrások helyét megadó halmazok alaptulajdonságait tárgyaljuk. D.4 Definíció. Az R+ × Ω térben lev˝o R halmazt ritkának mondjuk, ha megadható (τ n )n megállási id˝okb˝ol álló sorozat, hogy az R el˝oáll a τ n megállási id˝ok [τ n ] grafikonjainak diszjunkt egyesítéseként. D.5 Példa. Ha X jobbról reguláris folyamat, akkor az R $ {∆X 6= 0} halmaz ritka. A következ˝o állítást csak a teljesség kedvéért idézzük, a kés˝obbiekben nem lesz rá szükségünk.6 D.6 Állítás. Az R ⊆ R+ × Ω halmaz pontosan akkor ritka, ha kockázatos és minden ω esetén az R ω irányú metszete legfeljebb megszámlálható. 4 V.ö.:

(3.20) sor, 243. oldal. 1.171. tétel, 123. oldal. 6 V.ö.: [7], VI. fejezet, T33. tétel, 172. oldal. 5 V.ö.:

D.1. TISZTÁN NEM FOLYTONOS LOKÁLIS MARTINGÁLOK SZERINTI INTEGRÁLÁS 443

D.7 Lemma. Ritka halmaz progresszíven mérhet˝o részhalmaza is ritka7 . Bizonyítás: Legyen (σ n )n megállási id˝ok sorozata, A ⊆ ∪n [σ n ] . A n−1 τ n $ inf t : A \ ∪k=1 [σ k ] ∩ [σ n ] n−1 függvény megállási id˝o8 . Az A \ ∪k=1 [σ k ] ∩ [σ n ] halmaz tetsz˝oleges ω-ban vett metszete vagy üres, vagy egyetlen id˝opontból áll, így triviálisan [τ n ] = A \ ∪n−1 k=1 [σ k ] ∩ [σ n ] , következésképpen az A a (τ n )n megállási id˝ok grafikonjának diszjunkt egyesítése. 2 D.8 Lemma. e $ {p χH > 0} halmaz is ritka. Általánosabban, Ha a H halmaz ritka, akkor a H ha a H olyan kockázatos folyamat, hogy a {H 6= 0} halmaz ritka, akkor a {p H 6= 0} halmaz is ritka. Bizonyítás: A lemma indoklása több korábbi, távolról sem evidens állításra épül. 1. Legyen (τ n )n a H halmazt el˝oállító megállási k halmaza. Jelölje b τ n a τ n el˝ore id˝o (n)

jelezhet˝o megállási id˝okkel lefedhet˝o részét és σ m

m

legyen a b τ n lefedése9 .

n o (n) e σ (n) Bm $ H > 0 . m (n) e el˝orejelezhet˝o, így a H e σ (n) Fσ(n) − -mérhet˝o10 , következésképpen Bm ∈ AH m m

(n)

(n)

Fσ(n) − . Ez utóbbi miatt a σ m Bm halmazra való m

( σ e(n) m

(ω) $

(n)

(n)

σ m (ω) ha ω ∈ Bm (n) ∞ ha ω ∈ / Bm

h i (n) b $ ∪n,m σ b halmaz ritka. lesz˝ukítése el˝orejelezhet˝o megállási id˝o11 . H em .AH b és a H e megkülönböztethetetlen. Mivel az el˝orejelezhet˝o vetüMegmutatjuk, hogy a H e = H. b let csak megkülönböztethetetlenség erejéig értelmezett, ezért feltehet˝o, hogy H b e e b Triviálisan H ⊆ H. A H halmaz el˝orejelezhet˝o, a H megszámlálható el˝orejelezhet˝o e \H b halmaz el˝orejelezhet˝o. halmaz12 egyesítése, tehát szintén el˝orejelezhet˝o, így a H e b Ha a H \ H és az üres halmaz megkülönböztethet˝o, akkor az el˝orejelezhet˝o szelekciós 7 Vegyük

észre, hogy egyúttal azt is igazoltuk, hogy a ritka halmaz definíciójában elegend˝o lenne azt feltenni, hogy a halmaz lefedhet˝o megszámlálható megállási id˝o grafikonjának egyesítésével. 8 V.ö.: 1.21. tétel, 15. oldal. 9 V.ö.: B.15. állítás, 384. oldal. 10 V.ö.: 1.50. következmény, 36. oldal. 11 V.ö.: B.13. állítás, 383. oldal. 12 V.ö.: 1.52. következmény, 37. oldal.


444

e \H b és a σ egy tétel13 miatt van olyan σ el˝orejelezhet˝o megállási id˝o, amelyre [σ] ⊆ H pozitív mérték˝u halmazon véges. Ugyanakkor P (σ < ∞)

= P (p χH (σ) > 0, σ < ∞) $ = P (M (χH (σ) | Fσ− ) > 0, σ < ∞) = = P (χH (σ) > 0, σ < ∞) ≤ X X ≤ P (σ = τ n < ∞) = P (σ = b τ n < ∞) ≤ n

≤

X

n

P σ = σ (n) m < ∞ = 0,

n,m

ami lehetetlen. 2. Az általános eset egyszer˝uen következik az elmondottakból. Nyilván elég nem negatív folyamatokkal foglalkozni, ugyanis tetsz˝oleges X-re {X 6= 0} = {X + > 0}∪ {X − > 0} . Ha Hn % H a H lépcs˝os folyamatokkal való közelítése, akkor p Hn % p H, tehát {p H 6= 0} = ∪n {p Hn 6= 0} . Az összes {p Hn 6= 0} triviálisan ritka, így a {p H 6= 0} is ritka. 2

D.1.2. Tisztán nem folytonos lokális martingálok ugrásai A H • Ld integrál konstrukciója a következ˝o állításra épül: D.9 Állítás. Legyen H olyan kockázatos folyamat, amelyre a {H 6= 0} halmaz ritka. Pontosan akkor létezik L ∈ L, amelyre ∆L = H, ha qX p H 2 ∈ A+ H = 0 és loc . Az L választható tisztán nem folytonosnak. A tisztán nem folytonos lokális martingálok körében az L egyértelm˝u. Bizonyítás: A ritka halmaz definíciója Pszerint minden P ω kimenetelre a H csak megszámlálható pontban nem nulla, így a H 2 (t) $ s≤t H 2 (s) értelmezhet˝o. 1. Az egyértelm˝uségre tett megjegyzés egyszer˝u következménye a már említett felbontási tételnek. Ha van olyan L ∈ L, amelyre ∆L = H, akkor az L = Lc + Ld felbontásban ∆Lc = 0, tehát ∆Ld = H. A tisztán nem folytonos lokális martingálokat egyértelm˝uen meghatározzák az ugrásaik14 , így az Ld az egyetlen olyan L tisztán nem folytonos lokális martingál, amelyre ∆L = H. 2. Ha létezik L ∈ L, amelyre ∆L = H, akkor p H = p (∆L) = 0.Ugyanakkor X X X 2 2 H2 = (∆L) ≤ (∆L) + [Lc ] = = [Lc ] + Ld = [L] , 13 V.ö.: 14 V.ö.:

B.18. tétel, 385. oldal. D.2. következmény, 441. oldal.


H 2 ∈ A+ loc , tehát a feltétel szükséges. P 2 P 2 H < ∞. Egy korábbi gondo3. Tegyük fel, hogy H ∈ A, vagyis hogy M latmenetet16 lényegében megismételve megmutatjuk, hogy ilyenkor az állítás teljesül. A {H 6= 0} halmazt diszjunkt módon fedjük le a [σ n ] és [τ m ] halmazok egyesítésével, ahol minden n-re a σ n teljesen el˝orejelezhetetlen, a τ m pedig minden m-re el˝orejelezhet˝o megállási id˝o. A τ m el˝orejelezhet˝o, ezért az

vagyis15

pP

Nm $ H (τ m ) χ ([τ m , ∞)) folyamat martingál. Az analóg módon képzett Cn $ H (σ Pn ) χ2 ([σ n , ∞)) nem feltétlenül martingál. A Cn trajektóriái korlátos változásúak, H ∈ A, ezért Cn ∈ A. Jelölje Cnp a Cn el˝orejelezhet˝o kompenzátorát. A kompenzált ugrásból álló Un $ Cn − Cnp folyamatP martingál, és az ugrásai megegyeznek a Cn ugrásaival. Ha Bn $ ∪nk=1 ([σ k ] ∪ [τ k ]) n és Yn $ k=1 (Uk + Nk ), akkor Yn ∈ V ∩ H2 és ∆Yn = HχBn .Triviálisan [Yn − Ym ] (t) =

X

H 2 (s) χBn \Bm .

s≤t

Ezt felhasználva, valamint felhasználva, hogy ha X ∈ H2 , akkor X 2 − [X] ∈ M kYn − Ym kH2

$ kYn (∞) − Ym (∞)k2 = M ([Yn − Ym ] (∞)) = ! X = M H 2 (s) χBn \Bm . s

A

P

H 2 integrálható, következésképpen ha az n, m → ∞, akkor kYn − Ym kH2 → 0. H2

A H2 teljessége alapján van olyan Y ∈ H2 , amelyre Yn → Y. A H2 térben való konvergencia a trajektóriákra nézve egy részsorozatra egyenletes konvergencia, vagyis alkalmas részsorozatra ∆Ynk → ∆Y. A konstrukció alapján H = ∆Y. P 4. Lokalizációval azonnal látható, hogy az állítás akkor is teljesül, ha H 2 ∈ A+ loc . P P 5. Tegyük fel, hogy az A (t) $ s≤t H (s) folyamatra A ∈ Aloc , vagyis |H| ∈ p p A+ . Ilyenkor létezik az A A kompenzátora. Ha L $ A − A , akkor L ∈ L és a loc p H = 0 feltétel miatt17 ∆L = ∆A − ∆ (Ap ) = ∆A − 15 V.ö.:

p

(∆A) = H − p H = H.

3.35. állítás, 247. oldal. 251. oldal. Mivel a két gondolatmenet szinte szó szerint azonos, mindenhol elegend˝o a ∆M helyébe H-t írni, ezért csak a bizonyítás vázlatát közöljük és az egyes lépések részletes indoklását elhagyjuk. 17 V.ö.: (1.47) sor, 93. oldal. 16 V.ö.:


446

√ P 6. Tegyük fel, hogy az A (t) $ s≤t H 2 (s) folyamatra A ∈ A+ loc . Vezessük P be a K $ Hχ (|H|√> 1) , H 0 $ K − p K, H 00 $ H − H 0 folyamatokat. Ha B $ |K| , akkor ∆B ≤ ∆A, tehát X X√ ∆A. B= ∆B ≤ A

√

A ∈ Aloc miatt van olyan (τ n )n lokalizációs sorozat, amelyre M

√

Aτ n (∞) <

∞. Ebb˝ol következ˝oen majdnem minden kimenetelre a [0, τ n ] szakaszon a B folyamatban lev˝o, egynél nagyobb abszolút érték˝u ugrások száma csak véges lehet. Legyen (n) ρm az Aτ n m-edik, egynél nagyobb ugrásának helyét megadó megállási id˝o. m (n) Majdnem minden kimenetelre az egynél nagyobb ugrások száma véges, így a ρm m √ az Aτ n lokalizációs sorozata. X p √ s X ρ(n) (B τ n ) m ≤ ∆Aτ n (s) ≤ m ∆Aτ n (s) = (n)

(n)

s≤ρm

s≤ρm

√

=

m

√

Aτ n

(n) ρm

∈ A.

Ebb˝ol következ˝oen B ∈ (Aloc )loc = Aloc . Az el˝orejelezhet˝o vetület monoton operáció, tehát X X X X p p |p K| ≤ |K| = (∆B) = ∆ (B p ) ≤ B p ∈ Aloc . P 0 Következésképpen |H | ∈ A+ o p (H 0 ) = 0 miatt van loc , így a triviálisan teljesül˝ 0 0 0 olyan L ∈ L, amelyre ∆L = H . 2

2

2

7. (H 00 ) $ (H − H 0 ) ≤ 2H 2 + 2 (H 0 ) , tehát X X 2 2 C (t) $ (H 00 ) (s) ≤ 2A (t) + 2 (H 0 ) (s) < ∞. s≤t

s≤t

A feltétel szerint 0

=

p

H = p Hχ (|H| ≤ 1) + p Hχ (|H| > 1) $

$

p

Hχ (|H| ≤ 1) + p K,

vagyis p K = − p Hχ (|H| ≤ 1) , vagyis |p K| ≤ 1, így a konstrukció miatt |H 00 | ≤ 2.Ebb˝ol következ˝oen ∆C ≤ 4, tehát C ∈ A+ u, így loc . Az A folyamat véges érték˝ minden ω kimenetelre a H (ω) trajektória csak véges sokszor lehet nagyobb mint egy, így a {|H| > 1} halmazba es˝o pontok megadhatók megszámlálható megállási id˝ovel, így a {K 6= 0} halmaz ritka18 . Ugyancsak ritka a {p K 6= 0} halmaz19 . {H 00 6= 0} = {H 6= H 0 } = {H 6= K − K p } , 18 V.ö.: 19 V.ö.:

D.7. lemma, 443. oldal. D.8. lemma, 443. oldal.


így a {H 00 6= 0} halmaz ritka20 . A harmadik pontban elmondottak miatt van olyan L00 ∈ L, amelyre ∆L00 = H 00 . 8. Ha L $ L0 + L00 , akkor ∆L = ∆L0 + ∆L00 = H 0 + H 00 = H.

2

D.1.3. Az integrál konstrukciója Ha L lokális martingál, akkor p (∆L) = 0. Ha H el˝orejelezhet˝o, véges érték˝u folyamat, akkor a kiemelési szabály szerint21 p (H∆L) = H (p (∆L)) = 0, így ha q P 2 2 H (∆L) ∈ A+ loc , akkor létezik mégpedig egyetlen olyan H • L módon jelölt tisztán nem folytonos lokális martingál, amelyre ∆ (H • L) = H∆L. Ha meg akarjuk követelni az ugrásokra vonatkozó H∆L = ∆ (H • L) formulát valamint a d (H • L) = H • Ld tulajdonságot, akkor a H • L a bemutatott definíciója az egyedül lehetséges. D.10 Definíció. p Ha L = Lc + Ld és H olyan el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre H 2 • [L] ∈ A+ loc , c d akkor H • L $ H • L + H • L .

D.1.4. Az integrál tulajdonságai Vizsgáljuk meg az integrál tulajdonságait. p 1. Ha H 2 • [L] ∈ Aloc , akkor a definíció értelmes és H • L ∈ L. A (D.1) miatt aqH 2 • [Lc ] integrál véges, így a H • Lc létezik22 . A (D.2) szerint q p P P 2 2 H 2 • [Ld ] = H 2 • (∆L) = (H∆L) ∈ Aloc , tehát létezik a H • Ld is. Mind a két tag lokális martingál, így az H • L összegük is lokális martingál. 2. H∆L = ∆ (H • L) . c

d

3. (H • L) = H • Lc és (H • L) = H • Ld . 4. [H • L] = H 2 • [L] . p Megjegyezzük, hogy tetsz˝oleges Y lokális martingálra [Y ] ∈ Aloc , így az állítás alapján a H • L konstrukciója a lehetséges H-k szempontjából a lehet˝o legb˝ovebb, vagyis további H folyamatokra a H • L csak akkor terjeszthet˝o ki, ha nem követeljük meg, hogy az integrál lokális martingál legyen23 . P c 2 [H • L] = [(H • L) ] + (∆ (H • L)) = P 2 = H 2 • [Lc ] + (H∆L) = H 2 • [Lc ] + H 2 • Ld = = H 2 • [L] . 20 V.ö.:

D.7. lemma, 443. oldal. 1.115. állítás, 77. oldal. 22 V.ö.: 2.68. következmény, 180. oldal. 23 V.ö.: 2.94. példa, 202. oldal. Vegyük észre, hogy a példában a megadott kritérium nem teljesül. 21 V.ö.:

448


5. A H • L az egyetlen olyan eleme az L-nek, amelyre tetsz˝oleges N ∈ L esetén [H • L, N ] = H • [L, N ] . Tekintsük a H • L integrált. A Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség miatt a H • [L, N ] integrál értelmes. Ebb˝ol következ˝oen i h c d [H • L, N ] = [(H • L) , N c ] + (H • L) , N d = X = [H • Lc , N c ] + H∆L∆N c c = H • [L , N ] + H • Ld , N d = = H • [Lc , N c ] + Ld , N d = = H • [L, N ] . Ha valamely Y lokális martingálra H • [L, N ] = [Y, N ] , akkor [Y − H • L, N ] = 0, amib˝ol ha N $ Y − H • L, akkor [Y − H • L] = 0, amib˝ol Y − H • L = 0. 6. Az integrál az integrandusban lineáris. Elemi megfontolásokkal q q q 2 (H1 + H2 ) • [L] ≤ H12 • [L] + H22 • [L], így ha a H1 • L és a H2 • L létezik, akkor a (H1 + H2 ) • L is létezik. Folytonos integrátorok esetén a sztochasztikus integrál lineáris, a tisztán nem folytonos rész esetén az additivitás a (H1 + H2 ) ∆L = H1 ∆L + H2 ∆L egyenl˝oség következménye. A skalár kiemelhet˝oségének igazolása analóg. 7. Az integrál az integrátorban lineáris. Ez utóbbi tulajdonság azt jelenti, hogy amennyiben a H • L1 és a H • L2 integrálok léteznek, akkor a H • (L1 + L2 ) is létezik és az értéke éppen H • L1 + H • L2 . A Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség miatt [L1 + L2 ] ≤ [L1 ] + [L2 ] , így a H • L1 és a H • L2 integrálok létezéséb˝ol következik a H • (L1 + L2 ) létezése. A felbontás c d egyértelm˝usége miatt (L1 + L2 ) = Lc1 + Lc2 , illetve (L1 + L2 ) = Ld1 + Ld2 . A folytonos részre az additivitást már korábban igazoltuk, a tisztán nem folytonos rész additivitása a ∆ (L1 + L2 ) = ∆L1 + ∆L2 egyenl˝oség miatt evidens. P 8. Ha H $ i ξ i χ ((ti−1 , ti ]) elemi folyamat, akkor X (H • L) (t) = ξ i [L (ti ∧ t) − L (ti−1 ∧ t)] . i

A linearitás miatt elegend˝o egyetlen ugrás esetén kiszámolni az integrált. A folytonos rész esetén a formulát már igazoltuk, a nem folytonos részre elegend˝o megjegyezni, hogy ha ξ i Fti−1 mérhet˝o és az L tisztán nem folytonos lokális martingál, akkor a ξ i [L (ti ∧ t) − L (ti−1 ∧ t)] olyan tisztán nem folytonos lokális martingál24 , amely ugrásai éppen ξ i χ ((ti−1 , ti ]) ∆L. 24 A

tisztán nem folytonos lokális martingálok lineáris tere zárt a megállításra nézve.


9. Ha a H • L integrál létezik, akkor a K • (H • L) pontosan akkor létezik, ha létezik a KH • L. Ilyenkor (KH) • L = K • (H • L) . A K • (H • L) pontosan akkor létezik, ha 2 K 2 • [H • L] = K 2 • H 2 • [L] = (KH) • [L] ∈ A+ loc , amib˝ol az állítás els˝o fele evidens. Ha N tetsz˝oleges lokális martingál, akkor [K • (H • L) , N ]

= K • [H • L, N ] = KH • [L, N ] = =

[KH • L, N ] ,

amib˝ol az állítás második fele is evidens. 10. Ha τ megállási id˝o, akkor τ

H • Lτ = (χ ([0, τ ]) H) • L = (H • L) . Ha N tetsz˝oleges lokális martingál, akkor [H • Lτ , N ]

τ

= H • [Lτ , N ] = H • [L, N ] = = Hχ ([0, τ ]) • [L, N ] = =

[Hχ ([0, τ ]) • L, N ] =

=

(H • [L, N ]) ,

τ

amib˝ol a tulajdonság evidens. 11. Érvényes a majorált konvergencia tétele, vagyis ha el˝orejelezhet˝o folyamatok (Hn )n sorozatára pontonként Hn → H∞ és létezik H el˝orejelezhet˝o folyamat, amelyre a H • L integrál létezik és |Hn | ≤ H, akkor a Hn • L integrálok is léteznek és Hn • L → H∞ • L, ahol a konvergencia sztochasztikusan a kompakt szakaszokon egyenletes. A Hn2 • [L] ≤ H 2 • [L] miatt a Hn • L minden n ≤ ∞-re létezik. A Davis– egyenl˝otlenség szerint tetsz˝oleges τ megállási id˝ore q 2 τ τ (Hn − H∞ ) • [L] . M sup |(Hn − H∞ ) • L | ≤ CM t

p τ Van olyan (τ m )m lokalizációs sorozat, hogy M H 2 • [L] m < ∞, így a közönséges majorált konvergencia tétele miatt q 2 τ M (Hn − H∞ ) • [L] m → 0 következésképpen L

sup |(Hn − H∞ ) • Lτ m | →1 0, t

450


amib˝ol a már korábban többször bemutatott25 módon belátható, hogy az említett konvergencia teljesül. 12. Az integrál definíciója egyértelm˝u, vagyis ha L ∈ V ∩ L, akkor a két lehetséges integrálfogalom megegyezik. Csak a tisztánRnem folytonos esettel kell foglalkozni. Legyen Ld ∈ V ∩ L ⊆ Aloc . t Tekintsük az 0 HdLd ∈ V trajektóriánként vett integrált. Ha a H korlátos, akkor Rt Rt Rt HdLd ∈ Aloc . Ebb˝ol következ˝oen26 0 HdLd ∈ L. Az 0 HdLd ugrásai éppen 0 Rt H∆Ld , így a H • Ld egyértelm˝usége miatt az 0 HdLd trajektóriánként vett integrál éppen a keresett integrál, így az új definíció azonos a régivel. Ha H nem korlátos, akkor Hn $ Hχ (|H| ≤ n) . A feltétel szerint mind a H • Ld sztochasztikus integrál, Rt mind az 0 HdLd trajektóriánkénti integrál létezik, tehát Hn → H konvergenciára alkalmazható a majorált konvergencia tétele, így a két integrál egybeesik. 2

D.2. Szemimartingálok szerinti integrálás A szemimartingálok szerinti integrálás definíciója a következ˝o: D.11 Definíció. Ha az X szemimartingalnak létezik olyan X = X (0) + L + V, V ∈ V, L ∈ L felbontása amelyre a H • L, illetve a H • V integrálok léteznek, akkor H • X $ H • L + H • V. D.12 Állítás. Az el˝orejelezhet˝o integrandusok körében az integrál definíciója egyértelm˝u, vagyis nem függ a felbontástól, illetve attól, hogy korlátos változású lokális martingálok esetén melyik definíciót használjuk. Bizonyítás: Az elemi folyamatok integrálja tetsz˝oleges felbontás esetén azonos. Meyer tétele miatt az egyenl˝oség tetsz˝oleges el˝orejelezhet˝o, korlátos integrandusra átvihet˝o. A majorált konvergencia tétele alapján az állítás kiterjeszthet˝o minden integrálható folyamatra. 2 Az integrál definíciója szerint az H • X létezése csak azt jelenti, hogy alkalmas X = X (0) + L + V felbontás esetén az integrál definiálható és nem azt, hogy minden felbontásra értelmes a definícióban szerepl˝o két integrál. Érdemes hangsúlyozni, hogy a így a definícióval a lokális martingálok szerint integrálható folyamatok körét is kiterjesztettük. El˝ofordulhat, hogy a H • L integrál lokális martingálként nem létezik, de az L felbontható L = M + V, M ∈ L. V ∈ V módon, hogy a H az M és a V szerint integrálható. Ebb˝ol következ˝oen az általános esetben semmi sem biztosítja a H • L ∈ L tartalmazást27 . 25 V.ö.:

2.75. állítás, 184. oldal. el˝orejelezhet˝o kompenzátor 9. tulajdonsága, 1.5.2. oldal. 27 V.ö.: 2.94. példa, 202. oldal.

26 V.ö.:

D.2. SZEMIMARTINGÁLOK SZERINTI INTEGRÁLÁS

451

D.13 Állítás. Ha X, Y tetsz˝oleges szemimartingálok és léteznek az U • X és a V • Y integrálok, akkor [U • X, V • Y ] = U V • [X, Y ] . Bizonyítás: Valóban, ha XL +XV , illetve YL +YV az X és az Y megfelel˝o felbontása, akkor [U • X, V • Y ]

=

[U • XL , V • YL ] + [U • XL , V • YV ] + + [U • XV , V • YL ] + [U • XV , V • YV ] .

A lokális martingálok szerinti integrálra [U • XL , V • YL ] = U V • [XL , YL ] . A másik három tagban az egyik tényez˝o korlátos változású, így a kvadratikus variáció az ugrások összege28 . Például [U • XL , V • YV ] =

X

∆ (U • XL ) ∆ (V • YV ) =

P

(U ∆XL ) (V ∆YV ) .

Ugyanakkor hasonló okból U V • [XL , YV ] = U V •

X

∆XL ∆YV

=

X

U V ∆XL ∆YV ,

tehát [U • XL , V • YV ] = U V • [XL , YV ] . A többi taggal hasonlóan számolva éppen a kívánt egyenl˝oséget kapjuk. 2 Az integrál definíciója alapján evidens, hogy ha a H folyamat integrálható az X1 és az X2 szemimartingálok szerint, akkor tetsz˝oleges α1 és α2 konstansok esetén a H integrálható az α1 X1 + α2 X2 szerint is és H • (α1 X1 + α2 X2 ) = α1 (H • X1 ) + α2 (H • X2 ) . Vegyük észre, hogy a bemutatott definíció alapján az integrál additivitása, vagyis a (H1 + H2 ) • X = H1 • X + H2 • X egyenl˝oség teljesülése távolról sem nyilvánvaló. Az alább következ˝o gondolatmenet egyik célja éppen az integrál additivitásának indoklása.

D.2.1. Speciális szemimartingálok szerinti integrálás A szemimartingálok között kitüntetett szerepet játszanak a speciális szemimartingálok. Kézenfekv˝oen merül fel a kérdés: milyen feltételek mellett lesz az X • Y integrál speciális szemimartingál. 28 V.ö.:

(3.22) sor, 244. oldal.


452

D.14 Tétel. (Speciális szemimartingálok szerinti integrálás) Legyen X speciális szemimartingál. Tegyük fel, hogy a H el˝orejelezhet˝o folyamat esetén létezik a H •X integrál. Jelölje X $ X (0)+A+L az X kanonikus felbontását. A H •X pontosan akkor speciális szemimartingál ha léteznek a H •A, H •L integrálok és a H • L lokális martingál. Ilyenkor a H • X kanonikus felbontása éppen H • A + H • L. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a Z $ H • X létezik és speciális szemimartingál. Tekintsük a Z $ B + N kanonikus felbontást. A χ (|H| ≤ n) korlátos, el˝orejelezhet˝o folyamat, így létezik a χ (|H| ≤ n) • Z $ χ (|H| ≤ n) • B + χ (|H| ≤ n) • N integrál. A megadott felbontásban a B ∈ Aloc el˝orejelezhet˝o, a χ (|H| ≤ n) el˝orejelezhet˝o és korlátos, így a χ (|H| ≤ n) • B ∈ Aloc , tehát el˝orejelezhet˝o29 . Vegyük a Hn $ Hχ (|H| ≤ n) folyamatokat. A Hn el˝orejelezhet˝o és korlátos, így az Hn • X = Hn • A + Hn • L integrál létezik és ismételten speciális szemimartingál. A lokális martingálok és a korlátos változású folyamatok szerinti integrálokra vonatkozó asszociativitási szabály alapján χ (|H| ≤ n) • Z

$ χ (|H| ≤ n) • (H • X) $ $ χ (|H| ≤ n) • (H • V + H • M ) = = χ (|H| ≤ n) • (H • V ) + χ (|H| ≤ n) • (H • M ) = =

(χ (|H| ≤ n) H) • V + (χ (|H| ≤ n) H) • M =

=

(χ (|H| ≤ n) H) • X $

$ Hn • X = Hn • A + Hn • L. A kanonikus felbontás egyértelm˝usége miatt χ (|H| ≤ n) • B = Hn • A,

χ (|H| ≤ n) • N = Hn • L.

Miként láttuk χ (|H| ≤ n) H 2 • [L] $ Hn2 • [L] = [Hn • L] = [χ (|H| ≤ n) • N ] = = χ (|H| ≤ n) • [N ] ≤ [N ] . p [N ] ∈ A+ H 2 • [L] ∈ A+ loc , így a monoton konvergencia tétel miatt loc , vagyis a H •L ∈ L integrál létezik és a majorált konvergencia tétel miatt N = H •L. Hasonlóan a H • A létezik, el˝orejelezhet˝o és H • A = B.A fordított irány evidens. 2 p

29 V.ö.:

(1.48) sor, 93. oldal.


453

D.2.2. Az integrál additivitása A monoton konvergencia tétel mellett az integrál legfontosabb tulajdonsága az integrál linearitása. D.15 Tétel. (Az integrál additivitása) Legyen X tetsz˝oleges szemimartingál. Ha a H1 és H2 el˝orejelezhet˝o folyamatokra léteznek a H1 • X és H2 • X integrálok, akkor tetsz˝oleges α1 és α2 valós számok esetén létezik az (α1 H1 + α2 H2 ) • X integrál és (α1 H1 + α2 H2 ) • X = α1 (H1 • X) + α2 (H2 • X) .

(D.3)

Bizonyítás: Vezessük be az X és a Hk •X folyamatok nagy ugrásaiból álló D halmazt, vagyis D $ {|∆X| > 1, |∆ (H1 • X)| > 1, |∆ (H2 • X)| > 1} . Világos, hogy tetsz˝oleges ω-ra a D halmaz az id˝otengely mentén nem rendelkeznek torlódási ponttal. Válasszuk külön a folyamat nagy és kis ugrásait. e$ X

X

χD ∆X,

e X $ X − X.

e integrálok valójában egyszer˝u Vegyük észre, hogy a D struktúrája miatt a Hk • X trajektóriánként vett összegek. Az integrál integrátorban való linearitás miatt léteznek a e = Hk • X − Hk • X e Hk • X $ Hk • X − X integrálok. A kis ugrásokból álló folyamat speciális szemimartingál30 . Tekintsük az X = X (0) + A + L kanonikus felbontását. Vegyük észre, hogy a Hk • X folyamatok szintén speciális szemimartingálok, így az el˝oz˝o alpont szerint léteznek a Hk • A és a Hk • L integrálok. A lokális martingál, illetve a korlátos változású folyamatok szerint az integrálás additív, így (H1 + H2 ) • A =

H1 • A + H2 • A,

(H1 + H2 ) • L =

H1 • L + H2 • L,

ahol az egyenl˝oségek teljesülésébe természetesen beleértjük a bal oldalon szerepl˝o ine integrálok közönséges összegek, így tegrálok létezését is. A Hk • X e = H1 • X e + H2 • X. e (H1 + H2 ) • X A három sort összeadva és kihasználva az integrátor szerinti additivitást éppen a (D.3) sort kapjuk. Az integrál homogenitása az integrál definíciója miatt evidens. 2 30 V.ö.:



454

D.2.3. Asszociativitási szabály Az integrál additivitásához hasonlóan a szemimartingál szerinti integrál definíciójából az asszociativitási szabály közvetlenül nem evidens. D.16 Tétel. (Asszociativitási szabály) Legyen X tetsz˝oleges szemimartingál és tegyük fel, hogy létezik a H •X integrál. A K • (H • X) integrál létezésének szükséges és elegend˝o feltétele, hogy a KH integrálható legyen az X szerint. Ilyenkor K • (H • X) = (KH) • X. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a K integrálható az Y $ H • X szemimartingál szerint. Jelölje D az X nagy ugrásaiból álló halmazt, vagyis D $ {|∆X| > 1} . Miként korábban a D minden ω-ra az id˝otengely mentén diszkrét halmaz. Tekintsük a kis és nagy ugrásokból álló X e e $ X χD ∆X, X $ X − X. X Ye $ χD ∆Y, Y $ Y − Ye . folyamatokat. Az integrál ugrásaira vonatkozó képlet alapján ∆Y = H∆X, így Ye = e vagyis az integrátor szerinti additivitás miatt H • X, e = H • X. Y =H •X −H •X Jelölje X = X (0) + A + L az X speciális szemimartingál kanonikus felbontását. Az Y is speciális szemimartingál és az Y kanonikus felbontása Y = H • A + H • L. A K • Ye integrál minden véges szakaszon egyszer˝u összeg, így a K • Y létezéséb˝ol ismét következik a K • Y létezése. Az Y speciális szemimartingál, így a K • Y szintén speciális szemimartingál és léteznek a K • (H • A) és K • (H • L) integrálok, ahol az els˝o trajektóriánként a második lokális martingálként vett integrálként értend˝o. Az asszociativitási szabály már belátott verziói szerint K • (H • A)

=

(KH) • A

K • (H • L)

=

(KH) • L.

A megfelel˝o sorokat összadva K •Y

= K • Y + K • Ye = e = = K • (H • A + H • L) + K • H • X = =

e= (KH) • A + (HL) • L + (KH) • X e = (KH) • X. (KH) • X + (KH) • X


455

A fordított irány indoklása analóg: Tegyük fel, hogy a H •X mellett létezik a (KH)•X integrál. Ilyenkor a H •X

= H •A+H •L

(KH) • X

=

(KH) • A + (KH) • L =

= K • (H • A) + K • (H • L) , e integrál ismét egyszer˝u összeg, ahol természetesen az integrálok léteznek. A (KH)• X így (KH) • X

=

e= (KH) • X + (KH) • X

=

e = K • (H • A) + K • (H • L) + K • H • X e = K • H •A+H •L+H •X e K • H • A+L+X = K • (H • X) .

= =

2

D.2.4. Mértékcsere Tegyük fel, hogy V ∈ V és a P mérték alatt létezik a H • V integrál. Az integrál definíciója miatt ez azt jelenti, hogy a trajektóriánkénti integrál P-majdnem minden loc

kimenetelre létezik, így ha Q P, akkor a H • V integrál létezik a Q mérték alatt is, és a két integrál értéke megegyezik. Elméleti szempontb˝ol igen fontos észrevétel, hogy ez tetsz˝oleges szemimartingálra is érvényes. D.17 Állítás. Legyen X szemimartingál és tegyük fel, hogy a P mérték mellett létezik a H • X loc

integrál. Ha Q P, akkor a H • X integrál létezik a Q mérték esetén is és a Q mérték alatt a két integrál a megkülönböztethetetlenség erejéig megegyezik. Bizonyítás: Az állítást megel˝oz˝o paragrafusban elmondottak miatt elegend˝o az állítás az X ∈ L esetben belátni. Elég megmutatni, hogy tetsz˝oleges T < ∞ id˝opontban a két integrál létezik és megegyezik. 1. Jelölje X = X c + X d az X folytonos és tisztán nem folytonos részre való felbontását. Jelölje továbbá dQ (t) Λ (t) $ dP (t) a Radon—Nikodym–folyamatot. Mivel véges id˝ohorizonttal foglalkozunk, ezért a Λ egyenletesen integrálható martingál. Emlékeztetünk, hogy tetsz˝oleges L P-lokális martingál esetén az b $ L − Λ−1 • [L, Λ] L (D.4)


456

Q-lokális martingál. $ X − Λ−1 • [X, Λ] = X c + X d − Λ−1 • X c + X d , Λ = = X c − Λ−1 • [X c , Λ] + X d − Λ−1 • X d , Λ .

e X

c −1 c ec e d $ X d − Λ−1 • az X A (D.4) miatt mind az X $ X c− Λ • [X , Λ] mind d c X , Λ Q-lokális martingál. Az X folytonos, így az [X , Λ] is folytonos31 , tehát az e c folytonos. Az X e d a P mérték alatt tiszta kvadratikus ugrófolyamat, ugyanis X

h

ed X

i

d X − Λ−1 • X d , Λ = = X d − 2 X d , Λ−1 • X d , Λ + Λ−1 • X d , Λ =

32 és h a ikorlátos változású folyamatok kvadratikus variációját megadó képlet miatt az e d az X e d ugrásainak négyzetösszege33 , így az X e d tiszta kvadratikus ugrófolyamat X ed a P alatt. A mértékcsere folyamán a kvadratikus variáció nem változik, tehát az X tiszta kvadratikus ugrófolyamat a Q alatt, vagyis tisztán nem folytonos a Q alatt.

e Ehhez be kell látni, hogy a H • X e c és 2. Megmutatjuk, hogy a Q alatt létezik H • X. d c e e a H • X integrálok A folytonosság miatt a H • Xh integrál pontosan akkor i i h léteznek. c c 2 e e létezik, ha H • X < ∞ Q-m.m., ami teljesül ugyanis X = [X c ] és a H • X létezése miatt H 2 • [X c ] < ∞ P-m.m. e d tisztán nem folytonos, így a H • X e d pontosan akkor létezik, ha a Q mérték 3. AzrX h i h i P 2 e d ∈ Aloc . Az X e d tisztán nem folytonos, így X ed = ed . ∆X alatt H 2 • X Ugyanakkor ed ∆X

=

∆X d − Λ−1 ∆ X d , Λ =

∆X d − Λ−1 ∆X d ∆Λ = ∆Λ Λ − Λ− d d = ∆X 1 − = ∆X 1 − = Λ Λ Λ− = ∆X d . Λ =

Ezt felhasználva, ha r Z$ 31 V.ö.:

h i ed , H2 • X

(3.20) sor, 243. oldal. (3.22) sor, 244. oldal. 33 A Λ−1 a P alatt esetleg nem definiált, ugyanis bizonyos (t, ω) pontokban Λ (t, ω) = 0 lehetséges. Ha Λ (t, ω) = 0, akkor Λ−1 (t, ω) $ 0, mellett a gondolatmenet érvényben marad. Ugyancsak el˝ofordulhat, hogy a P alatt a trajektóriánként vett integrál nem definiált. Ennek elkerülése céljából a Q mérték alatt az integrál olyan verzióját vegyük, amely nem csak Q-majdnem mindenhol létezik, hanem mindenhol. 32 V.ö.:


457

akkor tetsz˝oleges t ≤ T id˝opontra r MQ (Z (t)) $

MQ

h

i

!

e d (t) H2 • X

=

! h i dQ e d (t) = H2 • X M dP v  2 uX u HΛ− 2 dQ  M t (∆X d ) . Λ dP r

=

=

s≤t

Legyen (ρn )n a

p H 2 • [X d ] P-lokalizációs sorozata. Ha τ n $ inf {t : Λ (t) ∈ / (1/n, n)} ∧ ρn ,

akkor a bizonyítást követ˝o lemma szerint dQ MQ (Z (τ n −)) = M Z (τ n −) = dP dQ = M M Z (τ n −) | Fτ n = dP dQ = M Z (τ n −) M | Fτ n = dP = M (Z (τ n −) Λ (τ n )) ≤ nM (Z (τ n −)) ≤   sX 2 H 2 (∆X d )  < ∞. ≤ n3 M  s≤τ n

Ugyanakkor ha34 r ∆Z (τ n ) $

h i ed ∆H 2 • X

akkor MQ (∆Z (τ n ))

34 A

Λ− (τ n ) dQ = M H (τ n ) ∆X d (τ n ) = Λ (τ n ) dP Λ− (τ n ) dQ = M M H (τ n ) ∆X d (τ n ) | Fτ n = Λ (τ n ) dP Λ− (τ n ) dQ = M H (τ n ) ∆X d (τ n ) M | Fτ n = Λ (τ n ) dP Λ− (τ n ) = M H (τ n ) ∆X d (τ n ) Λ (τ n ) = Λ (τ n ) d = M H (τ n ) ∆X (τ n ) Λ (τ n −) ≤ nM (H (τ n )) < ∞,

jelölés némiképpen pontatalan ugynis

√

√ ∆x 6= ∆ x


458

vagyis35 MQ (Z (τ n )) ≤ MQ (Z (τ n −)) + MQ (∆Z (τ n )) < ∞ következésképpen a Q mérték mellett Z ∈ Aloc e + Λ−1 • [X, Λ] $ X e + V felbontást és tegyük fel, hogy a 4. Tekintsük az X = X e integrál H • X integrál a P mérték mellett létezik. Az elmondottak miatt a H • X létezik a Q mérték mellett. Meg kell mutatni, hogy a H • V $ H • Λ−1 • [X, Λ] Lebesgue—Stieltjes–integrál létezik. A Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség alapján s s Z T Z T Z T Z T 2 −1 −1 |H| Λ d [X] Λ−1 d [Λ] = |H| dVar (V ) = |H| Λ dVar ([X, Λ]) ≤ 0

0

0

s

Z

=

T

2

Λ−1 d |H| • [X]

s Z

0

0

T

Λ−1 d [Λ].

0

A Λ−1 lokális martingál q a Q alatt, így a trajektóriái minden véges szakaszon korRT látosak, így a Q alatt az Λ−1 d [Λ] véges. Hasonlóan a H • X létezése miatt 0 2

Z $ |H| • [X] ∈ V, ezért a Q alatt a Λ−1 • Z is véges, vagyis minden trajektóriára RT |H| dVar (V ) < ∞, vagyis a H • V létezik a Q alatt. 0 5. Ha Hn $ Hχ (|H| ≤ n) , akkor a Hn korlátos, így a P alatt képzett (P) Hn • X integrál értéke Q majdnem mindenhol megegyezik a Q alatt képzett (Q) Hn •X integrállal36 . Mivel a H • X a P és a Q alatt létezik a majorált konvergencia tétele alapján a sztochasztikusan a kompakt szakaszokon egyenletesen (P) Hn • X → (P) H • X, illetve (Q) Hn • X → (Q) H • X. A P alatti sztochasztikus konvergenciából következik a Q alatti sztochasztikus konvergencia37 , így Q majdnem mindenhol (P) H • X = (Q) H • X. 2 A bizonyítás során felhasználtuk a következ˝o becslést: D.18 Lemma. Legyen Z ∈ V + , Λ nem negatív, egyenletesen integrálható martingál, τ tetsz˝oleges megállási id˝o. Ha Z (0) = 0, Z (τ ) = Z (τ −) és a [0, τ ) szakaszon Λ ≤ K, akkor M (Z (τ ) Λ (τ )) = M (Z (τ −) Λ (τ )) ≤ K · M (Z (τ )) . Bizonyítás: A parciális integrálás formulája szerint ZΛ

= Z− • Λ + Λ− • Z + [Z, Λ] = X = Z− • Λ + Λ − • Z + ∆Z∆Λ = = Z− • Λ + Λ • Z,

√

√

√ x + y ≤ x + y. 4.9. állítás, 311. oldal. 37 Egy sorozat pontosan akkor sztochasztikusan konvergens, ha minden részsorozatának van olyan további részsorozata, amely majdnem mindenhol konvergens. 35 Ugyanis

36 V.ö.:

D.3. DAVISEGYENLTLENSÉG

459

ahol a második integrál természetesen trajektóriánként értend˝o. A Z által generált véletlen mérték a Z (τ ) = Z (τ −) feltétel miatt a [0, τ ) halmazra támaszkodik, így Z τ (Λ • Z) (τ ) $ ΛdZ ≤ K · Z (τ ) . 0

Jelölje (ρn )n a Z− • Λ lokális martingál lokalizációs sorozatát. M ((ZΛ) (ρn ∧ τ ))

= M ((Z− • Λ) (ρn ∧ τ )) + M ((Λ • Z) (ρn ∧ τ )) = =

0 + M ((Λ • Z) (ρn ∧ τ )) ≤ K · M (Z (τ )) .

Ha n % ∞, akkor a Fatou–lemma segítségével kapjuk a kívánt becslést. 2 Most térjünk rá az állítás néhány következményére. A sztochasztikus integrál konstrukciója során hangsúlyoztuk, hogy bár az integrált nem lehet trajektóriánként definiálni, azért az integrál a trajektóriáktól függ: D.19 Következmény. Legyenek X és X szemimartingálok. Tegyük fel, hogy a H és H el˝orejelezhet˝o folyamatokra léteznek a H • X és a H • X integrálok. Ha A $ ω : H (ω) = H (ω) ∩ ω : X (ω) = X (ω) , akkor a megkülönböztethetetlenség erejéig az A halmazon H • X = H • X. Bizonyítás: Feltehetjük, hogy P (A) > 0.Tekintsük a Q (B) $ P (A ∩ B) /P (A) mértéket. Q P. A H, H, illetve az X, X folyamatok a Q alatt megkülönböztethetetlenek, így a Q alatt H • X = H • X, de a H • X és a H • X P alatti értéke az A halmazon Q majdnem mindenhol megegyezik a Q alatti értékükkel. 2 Hasonlóan igazolható a következ˝o: D.20 Következmény. Legyen X szemimartingál és tegyük fel, hogy létezik a H•X integrál. Ha a B halmazon az X trajektóriái korlátos változásúak, akkor a H • X B halmazon vett trajektóriái megegyeznek a trajektóriánként vett integrállal.

D.3. Davis–egyenl˝otlenség Tetsz˝oleges σ megállási id˝o esetén a Davis–egyenl˝otlenségben az L helyébe Lσ írható. Megfordítva, ha az egyenl˝oség tetsz˝oleges Lσ esetén érvényes, akkor a monoton konvergencia tétel miatt az L-re is érvényes, így elegend˝o az egyenl˝otlenséget véges [0, T ] id˝ohorizonton és L ∈ H1 martingálokra igazolni38 . Az L− balról reguláris, tehát lokálisan korlátos, így az egyenl˝otlenség lokalizálhatósága miatt ugyancsak feltehetjük, 38 Tetsz˝ oleges

lokális martingál rendelkezik H1 lokalizációval. V.ö.: 1.156. következmény, 114. oldal.


460

hogy az L− folyamat korlátos. hogy elegend˝o az állítást diszkrét id˝o Megmutatjuk, (n) horizontra bizonyítani. Ha tk a [0, T ] végtelenül finomodó, egymásba ágyazott k felosztássorozata, akkor triviálisan   (n)   M sup L tk % M sup |L (t)| . t≤T

(n)

tk ≤T

Emlékeztetünk, hogy az [L] kvadratikus variáció éppen az [L]

(n)

(t) $

i2 X h (n) (n) L tk+1 ∧ t − L tk ∧ t = k 2

= L (t) − L2 (0) − h i X (n) (n) (n) −2 L tk ∧ t L tk+1 ∧ t − L tk ∧ t k

sztochasztikus határértéke. Ha i X (n) (n) (n) Yn (t) $ L tk ∧ t χ tk ∧ t, tk+1 ∧ t , k

akkor a kifejezésben szerepl˝o összeg (Yn • L) (t) .Az Yn balról folytonos és |Yn (t)| ≤ sups≤t |L− (s)| $ K. A lokális martingálok f˝otétele miatt az L felírható L = L (0) + H + A módon, ahol H ∈ H2 és A ∈ A. Az Yn • L = Yn • H + Yn • A felbontásban mind a két tagra alkalmazható a majorált konvergencia tétele. Az Yn • H → L− • H konvergencia H2 -ben teljesül, |(Yn • A) (T ) − (L− • A) (T )| ≤ 2KVar (A) (T ) , L1

így a majorált konvergencia tétel miatt (Yn • L) (T ) → (L− • L) (T ), tehát q q p p (n) (n) M [L] (T ) − M [L] (T ) ≤ M [L] (T ) − [L] (T ) ≤ ! r (n) ≤ M [L] (T ) − [L] (T ) ≤ r ≤

(n) M [L] (T ) − [L] (T ) → 0,

vagyis ha az állítás diszkrét id˝oparaméterre érvényes, akkor az egyenl˝otlenség folytonos id˝oparaméter esetén is teljesül. D.21 Definíció. pPn Pn ∗ 2 Ha u = (un )n = ( k=1 vk )n , akkor Sn (u) $ k=1 vk és un $ supk≤n |uk | . Ha n a paraméterhalmazban lev˝o maximális elem, vagy n = ∞, akkor az alsó indexet az egyszer˝ubb jelölés kedvéért elhagyjuk.


461

Diszkrét id˝oparaméter esetén a Davis–egyenl˝otlenség a következ˝o alakot ölti: D.22 Tétel. (Diszkrét Davis–egyenl˝otlenség) Léteznek olyan c és C konstansok, hogy tetsz˝oleges M $ (Mn , F n )n martingál esetén cM (S (M )) ≤ M (M ∗ ) ≤ CM (S (M )) . Az egyenl˝otlenséget hosszadalmas, de elemi számolással fogjuk igazolni. Szükségünk lesz két lemmára. D.23 Lemma. Pn Legyen M $ (Mn , Fn )n $ ( k=1 dk , Fn )n martingál és V $ (Vn , Fn−1 )n olyan el˝orejelezhet˝o sztochasztikus sorozat, amelyre |Mn − Mn−1 | = |dn | ≤ Vn . Ha λ > 0 és 0 < δ < β − 1, akkor P (M ∗ > βλ, S (M ) ∨ V ∗ ≤ δλ) ≤ P (S (M ) > βλ, M ∗ ∨ V ∗ ≤ δλ) ≤

2δ 2 (β − δ − 1)

2 P (M

∗

> λ) ,

25δ 2 P (S (M ) > λ) . β 2 − δ2 − 1

Bizonyítás: Miként a lemma kimondásában jelölje dn az Mn − Mn−1 martingáldifferenciát. Vezessük be a µ $ inf {n ≥ 1 : |Mn | > λ} , σ

ν $ inf {n ≥ 1 : |Mn | > βλ}

$ inf {n ≥ 0 : Sn (M ) ∨ Vn+1 > δλ}

megállási id˝oket. Minden j-re {µ < j ≤ ν ∧ σ} ∈ Fj−1 , így ha Hn $

n X

dj χ (µ < j ≤ ν ∧ σ) ,

j=1

akkor a (Hn )n martingáltranszformált39 martingál. A feltétel szerint |dj | ≤ Vj , tehát 2 S 2 (H) ≤ Sσ2 (M ) = Sσ−1 (M ) + d2σ χ (σ < ∞) + Sσ2 (M ) χ (σ = ∞) ≤ 2 ≤ Sσ2 (M ) = Sσ−1 (M ) + Vσ2 χ (σ < ∞) + Sσ2 (M ) χ (σ = ∞) ≤ ≤ 2δ 2 λ2 . A {M ∗ ≤ λ} = {µ = ∞} halmazon S (H) = 0. Ebb˝ol következ˝oen M S 2 (H) = M S 2 (H) χ (M ∗ > λ) + S 2 (H) χ (M ∗ ≤ λ) = = M S 2 (H) χ (M ∗ > λ) ≤ 2δ 2 λ2 P (M ∗ > λ) . Vegyük észre, hogy a {ν < ∞, σ = ∞} halmazon Hn = Mν∧n − Mµ∧n . 39 Diszkrét

sztochasztikus integrál.


462

A Doob–egyenl˝otlenség40 felhasználásával P1

$

P (M ∗ > βλ, S (M ) ∨ V ∗ ≤ δλ) =

=

P (ν < ∞, σ = ∞) ≤

≤ ≤ ≤

2 M H∞

∗

P (H > βλ − (1 + δ) λ) ≤ M S 2 (H) 2

λ2 (β − 1 − δ)

2

λ2 (β − 1 − δ)

≤

≤

2δ 2 λ2 P (M ∗ > λ) (βλ − (1 + δ) λ)

2

=

2δ 2

2 P (M

∗

(β − 1 − δ)

> λ) .

Analóg módon okoskodva vezessük be a µ0

$ inf {n ≥ 1 : Sn (M ) > λ} ,

ν 0 $ inf {n ≥ 1 : Sn (M ) > βλ}

σ0

$ inf {n ≥ 0 : Mn∗ ∨ Vn+1 > δλ}

megállási id˝oket. Minden j-re {µ0 < j ≤ ν 0 ∧ σ 0 } ∈ Fj−1 , így ha

Gn $

n X

dj χ (µ0 < j ≤ ν 0 ∧ σ 0 ) ,

j=1

akkor a (Gn )n martingál. A {S (M ) ≤ λ} = {µ0 = ∞} ⊆ {σ 0 ≤ µ0 } halmazon g ∗ = 0. G∗

≤ ≤ =

Mµ∗0 + Mσ∗0 χ (µ0 < σ 0 < ∞) + 2M ∗ χ (µ0 < σ 0 = ∞) = Mµ∗0 + Mσ∗0 −1 + Vσ χ (µ0 < σ 0 < ∞) + 2δλ ≤ (δλ + δλ + δλ) + 2δλ = 5δλ.

Ebb˝ol következ˝oen 2 M (G∗ )

2 2 = M (G∗ ) χ (S (M ) > λ) + (G∗ ) χ (S (M ) ≤ λ) = 2 = M (G∗ ) χ (S (M ) > λ) ≤ 25δ 2 λ2 P (S (M ) > λ) .

Vegyük észre, hogy a {ν 0 < ∞, σ 0 = ∞} halmazon Sn2 (G) = S 2 (M )ν 0 ∧n − S 2 (M )µ0 ∧n . 40 V.ö.:

(1.15) sor, 48. oldal.


463

A Markov–egyenl˝otlenség és az energiaazonosság41 felhasználásával P2

$

P (S (M ) > βλ, M ∗ ∨ V ∗ ≤ δλ) =

=

P (ν 0 < ∞, σ 0 = ∞) ≤ 2 P S 2 (G) > (βλ) − 1 + δ 2 λ2 ≤

≤

= ≤

M G2

2 M (G∗ )

M S 2 (G)

= 2 (βλ) − 1 + δ 2 λ2

≤ ≤ 2 2 (βλ) − 1 + δ 2 λ2 (βλ) − 1 + δ 2 λ2 25δ 2

2 P (S

β 2 − (1 + δ)

(M ) > λ) . 2

D.24 Lemma. Pn Legyen M $ (Mn , Fn )n $ ( k=1 dk , Fn )n martingál és Gn Hn

$ $

n X j=1 n X

aj ,

aj $ dj χ |dj | ≤ 2d∗j−1 − M dj χ |dj | ≤ 2d∗j−1 | Fj−1

bj ,

bj $ dj χ |dj | > 2d∗j−1 − M dj χ |dj | > 2d∗j−1 | Fj−1 .

j=1

A (Gn , Fn )n (Hn , Fn )n sorozatok martingálok, Mn = Gn + Hn , továbbá |an | ∞ X

dj χ |dj | > 2d∗j−1

≤ 4d∗n−1 ,

(D.5)

≤ 2d∗ ,

(D.6)

j=1 ∞ X

M (|bj |) ≤ 2M (d∗ ) .

(D.7)

j=1

Bizonyítás: Csak a három egyenl˝ otlenséget kell igazolni, ugyanis a többi állítás evidens42 . A (D.5) evidens. A |dj | > 2d∗j−1 halmazon |dj | + 2d∗j−1 ≤ 2 |dj | , következésképpen ∞ ∞ X X dj χ |dj | > 2d∗j−1 ≤ 2 d∗j − d∗j−1 = 2d∗ , j=1

j=1

ami éppen a (D.6). ∞ X j=1

M (|bj |) ≤

∞ X

M |dj | χ |dj | > 2d∗j−1

j=1 ∞ X

+

+

M M dj χ |dj | > 2d∗j−1 | Fj−1 .

j=1 41 A

martingáldifferenciák mer˝olegesek egymásra. (ξ n )n sorozat pontosan akkor martingáldifferencia sorozat, ha M (ξ n | Fn−1 ) = 0.

42 Valamely


464

Ha a második összegben az abszolút értéket bevisszük a feltételes várható értékbe, akkor   ∞ ∞ X X M (|bj |) ≤ 2M  |dj | χ |dj | > 2d∗j−1  . j=1

j=1

A (D.6) miatt a várható értéken belüli kifejezés nem nagyobb mint 2d∗ , amib˝ol a (D.7) is evidens. 2 A Davis–egyenl˝otlenség bizonyítása: Vegyük az M martingál el˝oz˝o lemmában szerepl˝o felbontását. X M (M ∗ ) ≤ M (G∗ + H ∗ ) ≤ M (G∗ ) + M (|bj |) ≤ M (G∗ ) + 4M (d∗ ) ,

(D.8)

j

M (S (M ))

≤ M (S (G) + S (H)) ≤ M (S (G)) +

X

∗ M (|bj |) ≤ M (S (G)) + 4M (d (D.9) ).

j

Pn

A Gn $ j=1 aj martingál, |aj | ≤ 0 < δ < β − 1, akkor

4d∗j−1 ,

így az els˝o lemma szerint, ha λ > 0 és

P (G∗ > βλ, S (G) ∨ 4d∗ ≤ δλ) ≤ P (S (G) > βλ, G∗ ∨ 4d∗ ≤ δλ) ≤

2δ 2 (β − δ − 1)

∗ 2 P (G

> λ) ,

25δ 2 P (S (G) > λ) , β 2 − δ2 − 1

amib˝ol P (G∗ > βλ) ≤

P (S (G) > δλ) + P (4d∗ > δλ) + +

2δ 2 (β − δ − 1)

∗ 2 P (G

> λ) ,

illetve P (S (G) > βλ) ≤ P (G∗ > δλ) + P (4d∗ > δλ) + 25δ 2 P (S (G) > λ) . β 2 − δ2 − 1 R∞ Ezt felhasználva, az a ξ ≥ 0 változókra teljesül˝o M (ξ) = 0 xdF (x) képlet alapján +

M (G∗ ) β

≤

M (S (G)) 4M (d∗ ) + + δ δ 2δ 2 ∗ + 2 M (G ) , (β − δ − 1)

illetve M (S (G)) β

≤

M (G∗ ) 4M (d∗ ) + + δ δ 25δ 2 + 2 M (S (G)) . β − δ2 − 1


465

Ismételten a második lemma alapján M (G∗ ) ≤ M (M ∗ + H ∗ ) ≤ M (M ∗ ) +

X

M (|bj |) ≤

j

≤ M (M ∗ ) + 4M (d∗ ) , illetve M (S (G)) ≤

M (S (M ) + S (H)) ≤ M (S (M )) +

X

M (|bj |) ≤

j

≤

M (S (M )) + 4M (d∗ ) .

Ezt felhasználva M (S (M )) 8M (d∗ ) 2δ 2 M (G∗ ) ∗ ≤ + + 2 M (G ) , β δ δ (β − δ − 1) illetve M (S (G)) M (M ∗ ) 8M (d∗ ) 25δ 2 ≤ + + 2 M (S (G)) . β δ δ β − δ2 − 1 A Gn megállított martingálokra az egyenl˝otlenségben szerepl˝o várható értékek végesek, így az egyenl˝otlenségek átrendezhet˝oek ! 1 2δ 2 M (Sn (M )) 8M (d∗n ) − + ≤ M (G∗n ) ≤ 2 β β δ (β − δ − 1) ≤

9M (S (M )) , δ

illetve

1 25δ 2 − 2 β β − δ2 − 1

M (Sn (G))

< ≤

M (Mn∗ ) 8M (d∗n ) + ≤ β δ 17M (M ∗ ) . δ

Elég kicsi δ-ra a bal oldalon álló konstansok pozitívak, így át lehet velük osztani. Ha n % ∞, akkor a (D.8), (D.9) sorok alapján alkalmas konstansokra M (M ∗ ) ≤ M (G∗ ) + 4M (d∗ ) ≤ bM (S (M )) + 4M (d∗ ) ≤ BM (S (M )) , illetve M (S (M )) ≤ M (S (G)) + 4M (d∗ ) ≤ aM (M ∗ ) + 4M (d∗ ) ≤ AM (M ∗ ) . Ebb˝ol a Davis–egyenl˝otlenség már evidens. 2


466

D.25 Példa. Az egyenl˝otlenségben az M ∗ helyébe nem írható |M | . Ha w Wiener–folyamat és τ $ inf {t : w (t) = 1} , akkor az M = wτ folyamat martingál. Tetsz˝oleges t-re M (M (t)) = 0, ezért kM (t)k1 = M (|Mn |) = 2M M + (t) ≤ 2. Ugyanakkor

p

√ √

τ ∧t →M τ .

[M ] (t) = M 1

A τ s˝ur˝uségfüggvénye 1 exp − , f (x) = √ 2x 2x3 π 1

A

√

x > 0.

τ várható értéke √ M τ

∞

√

1 exp − = x√ dx = 2x 2x3 π 0 Z ∞ 1 1 1 √ = exp − dx = x 2x 2π 0 Z ∞ u 1 1 exp − du = ∞. = √ 2 2π 0 u Z

1

2 1

A Davis–egyenl˝otlenség általánosítható abban az értelemben, hogy nem csak L -ben, hanem tetsz˝oleges p ≥ 1 esetén Lp normában is teljesül. D.26 Tétel. (Burkholder–egyenl˝otlenség) Tetsz˝oleges p > 1 esetén léteznek olyan cp és Cp konstansok, hogy tetsz˝oleges L lokális martingál és τ megállási id˝o esetén

p

p

≤ Cp cp [L] (τ ) ≤ sup |L (t)| [L] (τ )

.

p

t≤τ

p

p

Az egyenl˝otlenség most is tetsz˝olegesen lokalizálható, így elegend˝o alkalmasan lokalizált esetben belátni. Elegend˝o az egyenl˝otlenséget tetsz˝oleges [0, T ] véges intervallumon igazolni. A bizonyítás ismételten két lépésb˝ol áll. El˝oször be kell látni az egyenl˝otlenséget diszkrét id˝oparaméterre, majd a felosztást bes˝urítve át kell térni folytonos id˝otartományra. Ha az n-edik lépésben a [0, T ] szakaszt 2n részre osztjuk, akkor az n növelésével a monoton konvergencia tétel miatt a középs˝o tag konvergens. A kvadratikus variációt közelít˝o sorozat általában csak sztochasztikusan konvergál, így a határátmenet, a Fatou–lemma p miatt, csak a bal oldalon érvényes. Ebb˝ol következ˝oen p [L] (τ ) = ∞, akkor az egyenl˝otlenség teljesül. azonban ha M σ n $ inf {t : |Lτ (t)| ≥ n} .


Ha M

467

p p p p [L] (τ ∧ σ n ) = ∞, akkor az [L] monotonitása miatt M [L] (τ ) =

∞, így az egyenl˝otlenség teljesül. Ha a várható érték véges, akkor43 ∆L (σ n ) ∈ Lp (Ω) , tehát az ugrásokra tett feltétel miatt p

(|L| (t))

σn

p

≤ (n + |∆L (σ n )|) ∈ L1 (Ω) ,

p így M sups≤τ |Lσn (s)| < ∞. Ha az egyenl˝otlenség az Lσn folyamatokra teljesül, akkor az L-re is teljesül. Így feltehetjük, hogy L ∈ Hp , vagyis hogy a középs˝o várható érték, így a Fatou–lemma miatt egyenl˝otlenségben szerepl˝o összes várható érték is, véges. Tegyük fel, hogy az egyenl˝otlenséget diszkrét id˝oparaméterekre igazol(n) p tuk. Ha [L] az [L]-et közelít˝o sorozat, akkor a M supt≤τ |L (t)| < ∞ miatt az p r 1 L (n) (n) r M [L] korlátos, így minden r < p esetén [L] → ([L]) . Ebb˝ol következ˝oen az egyenl˝otlenség r < p kitev˝okre teljesül. A diszkrét eset bizonyítása során a cp és Cp konstansokat explicite meg fogjuk adni:

cp =

18p3/2 p−1

−1 ,

18p3/2 Cp = √ , p−1

(D.10)

így cr → cp , Cr → Cp . Tetsz˝oleges f ∈ Lp (Ω) esetén, a majorált és a monoton konvergencia tétel alapján r

r

r

M (|f | ) = M (|f | χ (|f | ≤ 1)) + M (|f | χ (|f | > 1)) → M (f p ) , így az egyenl˝otlenség a p > 1 kitev˝o esetén is teljesül. Hátra van az egyenl˝otlenség diszkrét id˝otartományra való igazolása, amit ismételten hosszadalmas számolással fogunk végrehajtani. D.27 Lemma. Ha M L1 -korlátos martingál, vagy nem negatív L1 -korlátos szubmartingál, λ > 0, τ $ inf {n : |Mn | > λ} akkor M Sτ2−1 + M Mτ2−1 ≤ 2Mτ Mτ −1 ≤ λ kM k $ lim kMn k1 . n

Bizonyítás: |Mτ −1 | ≤ λ és az M∞ $ limn Mn majdnem minden kimenetelre létezik, ezért a Fatou–lemma miatt M (|Mτ Mτ −1 |) ≤ λM (|Mτ |) ≤ λ lim M (|Mn |) $ λ kM k , n→∞

43 V.ö.:



468

vagyis elegend˝o az els˝o egyenl˝otlenséget igazolni. τ n $ τ ∧ n. Jelölje (dk )k az M -hez tartozó martingáldifferencia sorozatot. 2 2 Sn−1 + Mn−1

=

X

2

dj dk = 2

2 2Mn−1 −2

n−1 X

dj (Mn−1 − Mj−1 ) =

j=1

1≤j≤k≤n−1

=

n−1 X

dj Mj−1 =

j=1

 =

2 Mn Mn−1 −

n X

 Mj−1 dj  .

j=1

Pn Azonnal látható, hogy a j=1 Mj−1 dj martingál, így a megállási opciókról szóló tétel miatt M Sτ2n −1 + Mτ2n −1 ≤ 2M Mτ n Mτ n−1 . Ugyanakkor Mτ Mτ ≤ λ |Mτ | ≤ λ (λ + |Mτ |) n n−1 n

(D.11)

A megállási opciókról szóló tétel miatt M (|Mτ n |) ≤ M (|Mn |) . A Fatou–lemma miatt M (|Mτ |) ≤ lim M (|Mn |) . n→∞

A korlátosságra tett feltétel miatt |Mτ | ∈ L1 , tehát a (D.11) sorban használható a majoráns konvergencia tétele, vagyis M Sτ2−1 + Mτ2−1 ≤ 2M Mτ Mτ −1 , ami éppen a bizonyítani kívánt egyenl˝otlenség. 2 D.28 Lemma. Ha M martingál, vagy nem negatív szubmartingál, akkor minden λ > 0 esetén λP (S (M ) > λ, M ∗ ≤ λ) ≤ λP (S (M ) > λ) ≤

2 kM k 3 kM k ,

ahol kM k $ supn kMn k . Bizonyítás: A Doob–egyenl˝otlenség miatt λP (S (M ) > λ) ≤ kM k , tehát a második egyenl˝otlenség következik az els˝ob˝ol. Feltehetjük, hogy kM k < ∞, vagyis feltehet˝o, hogy az M L1 -korlátos. Ha τ $ inf {n : |Mn | > λ} ,


469

akkor a {τ = ∞} = {M ∗ ≤ λ} halmazon S (M ) $ S∞ (M ) = Sτ −1 (M ) . Az el˝oz˝o lemma alapján λP (S (M ) > λ, M ∗ ≤ λ) ≤ λP (Sτ −1 (M ) > λ) ≤

1 M Sτ2−1 ≤ 2 kM k . λ 2

D.29 Lemma. Ha M nem negatív szubmartingál és p > 1, akkor 9p3/2 kMn kp . p−1

kSn (M )kp ≤

(D.12)

1/2 Bizonyítás: Legyen M nem negatív szubmartingál, 0 < θ < ∞, β $ 1 + 2θ2 , Yn $ Sn (θM ) ∨ Mn∗ . Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges λ > 0 esetén Z λP (Yn > βλ) ≤ 3 Mn P. (D.13) {Yn >λ}

Vezessük be az Ij $ χ (Sj (θM ) > λ) és Gj $ Ij Mj jelöléseket. Ij+1 ≥ Ij , tehát a Gj nem negatív szubmartingál. τ $ inf {n : Sn (θM ) > λ} . A β > 1, így az {Sn (θM ) > βλ, Mn∗ ≤ λ} halmazon τ ≤ n, G∗n ≤ λ és |dτ | $ |Mτ − Mτ −1 | ≤ Mτ ∨ Mτ −1 ≤ Mn∗ ≤ λ, így a β definíciója szerint X d2j ≤ 1 + 2θ2 λ2 < Sn2 (θM ) = Sτ2−1 (θM ) + θ2 d2T + θ2 τ <j≤n

≤

2

2 2

λ +θ λ +θ

2

X

2

(Gj − Gj−1 ) ≤

τ <j≤n

≤

1 + θ2 λ2 + θ2 Sn2 (G) ,

vagyis az említett halmazon Sn2 (G) > λ.Az el˝oz˝o lemma alapján λP (Sn (θM ) > βλ, Mn∗ ≤ λ) ≤ λP (Sn (G) > λ, G∗n ≤ λ) ≤ ≤ 2 kGn k = 2 kIn Mn k ≤ Z ≤ 2 Mn P. {Yn >λ}

A Doob–egyenl˝otlenség44 szerint λP (Mn∗ 44 V.ö.:

Z > λ) ≤

Z Mn dP ≤

∗ >λ} {Mn

[20], 9.58. állítás bizonyítása, 337. oldal.

Mn P. {Yn >λ}


470

Az egyenl˝otlenségeket kombinálva, az Yn definíciója alapján λP (Yn > βλ) ≤ λP (Mn∗ > λ) + λP (Sn (θM ) > βλ, Mn∗ ≤ λ) ≤ Z ≤ 3λ Mn P, {Yn >λ}

így a (D.13) teljesül. M (Ynp ) βp

∞

Z

λp−1 P (Yn > βλ) dλ ≤ Z Z0 ∞ ≤ 3p λp−2 Mn Pdλ =

= p

{Yn >λ}

0

Z =

Yn

! p−2

λ

3pM Mn

dλ

=

0

= ≤ =

3p M Mn Ynp−1 ≤ p−1

3p kMn kp Ynp−1 q = p−1 3p p−1 kMn kp kYn kp . p−1 p−1

Ha kYn kp = 0, akkor nincs mit bizonyítani. Az kYn kp

θ kSn (M )kp = kSn (θM )kp ≤ kYn kp ≤ p/2

Ha θ $ p−1/2 , akkor β p = (1 + 2/p)

kifejezéssel átosztva 3pβ p kMn kp p−1

< 3, tehát a (D.12) teljesül. 2

A Burkholder–egyenl˝otlenség igazolása: Meg kell mutatni, hogy a (D.10) konstansokkal véges id˝oparaméter˝u martingálokra cp kSn kp ≤ kMn kp ≤ Cp kSn kp ,

(D.14)

ugyanis ilyenkor a Doob–egyenl˝otlenség miatt a Burkholder–egyenl˝otlenség már teljesül. Gj $ M (Mn+ | Fj ) , Hj $ M (Mn− | Fj ) . Gn = Mn+ , Hn = Mn− . Mj = Gj − Hj . Ebb˝ol következ˝oen Sn (M ) ≤ Sn (H) + Sn (G) , Minkowski–egyenl˝otlenség és az el˝oz˝o lemma szerint kSn (M )kp

≤ ≤ ≤

kSn (H)kp + kSn (G)kp ≤ 9p3/2 9p3/2 kHn kp + kGn kp ≤ p−1 p−1 18p3/2 kMn kp , p−1


ami a cp $

18p3/2 p−1

−1

471

választással éppen a bal oldali egyenl˝otlenség. A jobb oldali

egyenl˝otlenséget elegend˝o az kMn kp > 0, kSn kp < ∞ esetben igazolni. Ilyenkor Mj ∈ Lp (Ω) . Az Nn $

sgnMn |Mn |

p−1

p−1

kMn kp

,

Nj $ M (Nn | Fj )

Lq -martingál. kNn kq = 1, M (Mn Nn ) = kMn kp , következésképpen, ha (ej )j az (Nj ) differenciasorozata akkor kMn kp

= M (Mn Nn ) = M ((Mn−1 + dn ) (Nn−1 + en )) =   n X dj ej  ≤ = M (Mn−1 Nn−1 + dn en ) = M  j=1

≤ M (Sn (M ) Sn (N )) ≤ kSn (M )kp kSn (N )kq ≤ 18q 3/2 1 kSn (M )kp = kNn kq = cq q−1

≤

kSn (M )kp

=

18p3/2 √ kSn (M )kp , p−1

ami éppen a (D.14) jobb oldala. 2

Tárgymutató n-edik, 16 Elhanyagolható halmaz, 394 El˝orejelezhet˝o folyamatok, 29 El˝orejelezhet˝o kompenzátor, 65, 92 Poisson-folyamat, 107 Bessel-folyamat, 221, 232, 309, 348 pontfolyamat, 102 Burkholder–egyenl˝otlenség, 249, 286, 466 determinisztikus, 108 determinisztikus és folytonos, 111 Clark–formula, 334 véletlen mérték, 408 Csonkoló függvény, 414 El˝orejelezhet˝o kumuláns, 418 El˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció, 158, D-osztály, 62, 85, 390 192, 199, 246 Davis–egyenl˝otlenség, 249, 441, 461 összetett Poisson-folyamat, 254 Dellacherie–formula, 181, 237, 398 Poisson-folyamat, 194 ∆X, az X folyamat ugrásai, 4 pontfolyamat, 193 Dinkin–rendszer, 379 El˝orejelezhet˝o mérhet˝o téglák, 31 Dinkin-formula, 222 El˝orejelezhet˝o vetület, 77, 82, 114, 396 Dirichlet-osztály, 62 Energiaazonosság, 46 Doléans-egyenlet, 110, 111, 261 Doléans-mérték, 147, 168, 170, 195, 215, Eszközárazás alapképlete, 342 Exponenciális szemimartingál, 424 248 Abszolút folytonos mérték, 395 Adaptált folyamat, 10 Arbitrázs, 347 Asszociativitási szabály, 136, 176, 197

folytonos martingál, 168 mértékcsere, 311 nem folytonos martingál, 195 Doob—Meyer-dekompozíció, 85, 390 Duális el˝orejelezhet˝o vetület, 92 Egyenl˝otlenség Burkholder, 249, 286, 466 Davis, 242, 249, 441, 461 Doob, 45, 48 Kunita—Watanabe, 169 Ekvivalens lokális martingálmérték, 334 martingálmérték, 334 Ekvivalens módosítás, 6 Elérési id˝o, 15

Felcserélési szabály, 171, 178, 180, 184, 199, 256, 340 Filtráció, 8 balról folytonos, 8 jobbról folytonos, 8 kib˝ovített, 10 szokásos feltételek, 45 Folyamat adaptált, 10 determinisztikus, 11, 30 egyszer˝u el˝orejelezhet˝o, 32, 185 kockázatos, 32 egyszer˝u pont, 95 elemi, 174, 200, 204 472

TÁRGYMUTATÓ

H2 -integrálja, 174 el˝orejelezhet˝o, 29 független növekmény˝u, 424 Itô, 343 kockázatos, 29 lépcs˝os, 130 Lévy, 66 progresszíven mérhet˝o, 11 sztochasztikus, 3 Wiener, 353 Fubini–rendszer, 379 Független növekmény˝u folyamat, 424 Girszanov-transzformáció, 309, 345 Wiener–folyamat, 316 Haar–függvények, 361 Hp -martingálok, 51 Itô–folyamat, 343 Itô-formula általános szemimartingálok, 239 folytonos szemimartingálok, 217 id˝ot˝ol függ˝o, 220 korlátos változású folyamatokra, 259 Wiener-folyamat, 148 Itô-integrál, 133, 140 Itô–izometria, 174, 236 Itô—Stieltjes–integrál, 140, 143 Jöv˝ot˝ol való függetlenség, 10 Kanonikus modell, 4, 98 megállításra teljes, 26, 98, 99 megállított σ-algebra, 26 Karakterisztika, 414 Kazamaki–feltétel, 322 Keresztvariáció, 161, 242 Kezd˝o id˝o, 15, 387 ≺, 19 Kiterjesztett feltételes várható érték, 74 Klasszikus szemimartingál, 204 Kockázat piaci ára, 345 Kockázatos folyamatok, 29, 39 nem el˝orejelezhet˝o, 41 Kolmogorov–féle mértéktér, 59, 318 Kompenzátor, 65, 90, 92

473

Korlátos változás, 83, 129 folyamat, 43 Kunita—Watanabe–egyenl˝otlenség, 169 Kvadratikus variáció, 247 el˝orejelezhet˝o, 158, 192 folytonos lokális martingál, 159 folytonos martingál, 144, 156 polarizációs formula, 256 szemimartingál, 255 Wiener-folyamat, 139, 157 Kvázimartingál, 88, 207 λ-rendszer függvény, 379 Lévy–folyamat, 66 Logikai martingál, 44 Lokális korlátosság balról reguláris folyamatok, 68 jobbról reguláris folyamatok, 69 Lokális martingál, 57, 58 exponenciális transzformációja, 314 független növekmény˝u, 61 H2 -martingál, 166, 247, 435 kvadratikus variáció, 247 logaritmusa, 313 lokálisan négyzetesen integrálható, 58 martingál, 61, 63 mérték, 334 nem martingál, 61, 317 nem negatív, 62 szerinti integrál, 178 tisztán nem folytonos, 250 Lokális martingálok f˝otétele, 112, 142, 247 Lokálisan abszolút folytonos mértékek, 306 Lokálisan ekvivalens mértékek, 306 Lokalizáció, 56 Lp -martingálok, 46 Martingál, 44 egyenletesen integrálható, 57, 63 Hp , 51 L1 , 53 logikai, 44 Lp , 46 nem lokálisan négyzetesen integrálható, 58

474

trajektória, 45 Másodfajú szakadás, 29 Megállási id˝o, 13 el˝orejelezhet˝o, 13, 19, 37, 251, 445 gyenge, 13 jóslása, 19 lesz˝ukítése, 383 teljesen el˝orejelezhetetlen, 19, 251, 445 Poisson-folyamat, 19 Megállási szabály, 13 Megállítási szabály, 177, 197 kvadratikus variáció, 159, 162 Megállításra való stabilitás, 70, 120 Megállított folyamat, 20 el˝orejelezhet˝o, 30 kockázatos, 30 progresszív mérhet˝oség, 23 Megállított σ-algebra, 20 konvergenciája, 25 Megállított változó, 20 mérhet˝osége, 23 Megkülönböztethetetlenség, 6 Mer˝olegesség H2 -martingálok, 121 lokális martingálok, 116 Meyer, 383 Meyer—Tanaka–formula, 284 Meyer—Itô–formula, 281, 398 Minimális reprezentáció, 28, 96

TÁRGYMUTATÓ

struktúraegyenlet, 253 tisztán nem folytonos, 115 Polarizációs egyenl˝oség, 242 Pontfolyamat, 96 egyetlen ugrásból álló, 100 el˝orejelezhet˝o kompentátor, 102 el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció, 193 filtráció, 98 kanonikus modell, 98 megállási id˝o, 99 minimális reprezentáció, 96 Potenciál, 390 Progresszíven mérhet˝o folyamat, 11 nem er˝osen mérhet˝o, 389 Radon—Nikodym–tétel, 395 Realizáció, 3 Replikáló portfolió, 341 Részvény árak diffúziós modellje, 344 Ritka halmaz, 442

Speciális szemimartingál, 65, 125 Spektrálmérték, 412 Stricker–tétel, 208 Szemimartingál, 65, 124, 200, 205 lényegében folytonos, 183 sign függvény, 272 Szintátlépési id˝o, 15 Szokásos feltételek, 8, 355 Sztochasztikus alaptér, 8 b˝ovítése, 230 Négyzetesen integrálható martingálok, 46, Sztochasztikus differenciál, 344 Sztochasztikus folyamat, 3 140 azonossága, 5 Novikov–feltétel, 320 balról reguláris, 4 el˝orejelezhet˝o, 29 Önfinanszírozás, 339, 341, 347 jobbról reguláris, 4 Ornstein—Uhlenbeck–folyamat, 135 kockázatos, 29 Parciális integrálás formulája, 144, 217, korlátos változású, 43 241, 242, 244 Sztochasztikus integrál π-rendszer folytonos lokális martingál szerint, 178 függvény, 380 lényegében folytonos szemimartingál Poisson-folyamat, 107 szerint, 183 általánosított, 108, 267 Fubini-tétel el˝orejelezhet˝o kvadratikus variáció, 194 korlátlan integrandus, 214 kiterjesztett, 111 korlátos integrandus, 212, 282

TÁRGYMUTATÓ

Girszanov–transzformáció, 311 folytonos H2 -martingálok szerint, 171 2 Hloc lokális martingálok szerint, 196 mértékcsere, 311 nem folytonos szemimartingálok szerint, 202 Sztochasztikus konvergencia kompakt szakaszokon egyenletes, 57, 184 Szubmartingál, 44 integrálható, 44 logikai, 44 Szupermartingál, 44 integrálható, 44 logikai, 44

475

szemimartingálok invarianciája, 206, 307 vetítési, 385 Tisztán nem folytonos lokális martingál, 116, 117, 122, 123, 255, 441, 442 Trajektória, 3 Véletlen intervallum, 31 Vektor háló, 379 Stone, 379 Véletlen mérték, 404 el˝orejelezhet˝o kompenzátor, 408 integrál, 406 mérhet˝osége, 405 σ-véges, 406 véges, 406 Vetítési tétel, 385

Találati id˝o, 15 Tanaka–formula, 272, 293, 297 Természetes folyamat, 85, 398 Wiener–mérték, 364 Tétel Wiener-folyamat, 353, 355 általánosított Fisk–féle unicitási, 117 Ciesielski–konstrukció, 360 Austin, 53 drifttel rendelkez˝o, 327 Bichteler—Dellacherie, 205 frakcionális, 154 Doléans, 85, 400 Fubini–tétel, 216 Girszanov–féle, 315 Doob—Meyer, 85, 390 kanonikus reprezentáció, 365 Fisk-féle unicitási, 83, 91, 192, 250, konstrukciója, 360 255, 390 független növekmény˝u folyamatok struk- maximuma, 294, 297, 366 Tanaka-formula, 293 túrája, 431 trajektóriái nem deriválhatóak, 356 H2 -martingálok jellemzése, 166 trajektóriái nem korlátosak , 348, 359 Hahn—Banach, 207 tükrözött, 227, 365 integrálreprezentációs, 238, 316, 345 zérushelyei, 295 Lévy—Hincsin–formula, 428 Lévy–féle karakterizációs, 226, 246 Wiener–integrál, 133 lokális martingálok folytonos része, Yor–formula, 262 123, 441, 442 lokális martingálok f˝otétele, 112, 142 lokális martingálok karakterizálása, 437 Meyer, 383 Speciális szemimartingálok egyértelm˝u felbontása, 84 speciális szemimartingálok jellemzése, 125 Stricker, 208 szemimartingálok folytonos része, 124

Jelölések Leggyakrabban használt folyamatosztályok: M egyenletesen integrálható martingálok Mloc lokális martingálok L nullából induló lokális martingálok H2 négyzetesen integrálható martingálok 2 Hloc négyzetesen integrálható lokális martingálok 2 H , Hc2 négyzetesen integrálható, folytonos martingálok Hd2 négyzetesen integrálható, tisztán nem folytonos martingálok H20 négyzetesen integrálható, folytonos nullából induló martingálok H2loc négyzetesen integrálható, folytonos lokális martingálok V korlátos változású, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló folyamatok V + növeked˝o, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló folyamatok A integrálható variációjú, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló folyamatok A+ integrálható, növeked˝o, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló folyamatok Aloc lokálisan integrálható variációjú, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló folyamatok A+ o, jobbról reguláris, adaptált, nullából induló foloc lokálisan integrálható, növeked˝ lyamatok D Dirichlet–osztály S szemimartingálok Sp speciális szemimartingálok

Mérhet˝o halmazok osztályai: P el˝orejelezhet˝o O kockázatos R progresszíven mérhet˝o B Borel-mérhet˝o

Függvényterek: C[0, ∞) a [0, ∞) félegyenesen folytonos függvények Cb (E) az E topologikus téren korlátos folytonos függvények C0 (E) az E topologikus téren lecseng˝o folytonos függvények Cbk (E) az E vektortéren k korlátos deriválttal rendelkez˝o függvények D[0, ∞) a [0, ∞) félegyenesen jobbról reguláris függvények Bb (E) az (E, B) mérhet˝o téren korlátos mérhet˝o függvények

476

Irodalomjegyzék [1] ARNOLD, L. : ”Sztochasztikus differenciálegyenletek”, M˝uszaki Könyvkiadó, Budapest,1984 [2] BERTOIN, J. : ”Lévy Processes”, Cambridge University Press, 1998 [3] BILLINGSLEY, P. : ”Probability and Mesaure”, John Willey & Sons, New York, 1979 [4] BILLINGSLEY, P. : ”Convergence of Probability Measures”, John Willey & Sons, New York, 1968 [5] CHOW, Y. S., TEICHER, H. : ”Probability Theory, Independence, Interchangeability, Martingales” Springer-Verlang, New York, 1988 [6] DELLACHERIE, C., MEYER, P. : ”Probabilities and Potential”, North-Holland, Amsterdam, 1978 [7] DELLACHERIE, C. : ”Emkosti i sluqanye processy”, Mir, Moszkva, 1975 [8] DE LA VEGA, W.F. : ”On Almost Sure Convergence of Quadratic Brownian Variation”, Ann. Probability 2, 551-552, 1974 [9] DUDLEY, R.M. : ”Sample functions of the Gaussian process”, Ann. Probability 1, 66-103, 1973 [10] GIHMAN, I. I., SKOROHOD, A. V. : ”The Theory of Stochastic Processes I”, Springer-Verlang, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 210, Berlin, 1974 [11] GIHMAN, I. I., SKOROHOD, A. V. : ”The Theory of Stochastic Processes II”, Springer-Verlang, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 218, Berlin, 1975 [12] HIRIART-URRUTY, J-B., LEMARÉCHAL,C. :, ”Fundamentals of Convex Analysis”, Springer, Berlin, 2001 [13] JACOBS, K. : ”Measure and Integral”, Academic Press, New York, 1978 477

478

IRODALOMJEGYZÉK

[14] JACOD, J. : ”Calcul Stochastique at Problèmes Martingales”, Springer-Verlang, Lecture Notes in Mathematics, Berlin, 1979 [15] JACOD, J. SHIRYAEV, A.N. : ”Limit Theorems for Stochastic Processes”, Springer-Verlag, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 288, Berlin, 1987 [16] KARATZAS, I., SHREVE, S. : ”Brownian Motion and Stochastic Calculus”, Springer-Verlag, New-York, 1991 [17] KARATZAS, I., SHREVE, S. : ”Methods of Mathematical Finance”, SpringerVerlag, New-York, 1998 [18] LIPSTER, R.S, SHIRYAEV, A.N : ”Statistic of Random Processes”, SpringerVerlag, New-York, 1974 [19] MALLIAVIN, P. : ”Integration and Probability”, Springer-Verlang, Graduate Texts in Mathematics 157, New York, 1993 [20] MEDVEGYEV, P. : ”Valószín˝uségszámítás", Aula, Budapest, 2002 [21] OKSENDAL, B. : ”Stochastic Differential Equations", Springer- Verlag, NewYork, 1998 [22] PROTTER, Ph. : ”Stochastic Integration and Differential Equations”, SpringerVerlag, New-York, 1990 [23] PROTTER, Ph. : ”A Partial Introduction to Financial Asset Pricing Theory”, kézirat, 2000 [24] RAO, M.M. : ”Foundation of Stochastic Analysis”, Academic Press, 1981 [25] REVUZ, D., YOR, M. : ”Continuous Martingales and Brownian Motion”, 3. ed. Springer-Verlang, New York, 1999 [26] ROGERS, L.C.G., WILLIAMS, D : ”Diffusions, Markov Processes and Martingales”, Second Edition, Cambridge University Press, 2000. [27] SHIRYAEV, A.N. : ”Probability” 2. ed. Springer-Verlang, New York, 1996 [28] SHIRYAEV, A.N. : ”Essentials of Stochastic Finance”, World Scientific, Singapore, 1999 [29] SHIRYAEV, A.N. (szerk): ”Stohastiqeska finansova matematika”, Nauka, Moszkva, 2002 [30] SZÁSZ, P. : ”A differenciál és integrálszámítás elemei”, Typotex Kiadó, Budapest, 2000 [31] VÉBER, M. : ”Opcióárazás lineáris sztochasztikus differenciálegyenletek által leírt árfolyammodellekben”, Diplomamunka, BKÁE, 2003 [32] WILLIAMS, D. (szerk): ”Stochastic Integrals”, Lecture Notes in Mathematics 851, Springer-Verlag, New York, 1981

Sztochasztikus analízis

Recommend Documents