3. Előadás: Készletezési modellek, III. 3.
Sztochasztikus készletgazdálkodási modellek
Az 1950-es, 60-as évek magyarországi tapasztalatai azt mutatták, hogy az árúcikkek, anyagok jelentős részénél a megrendelés teljesítésére az úgynvezett előszállításos rendszer a jellemző, azaz a megrendelt R mennyiség egy T időintervallum alatt kizárólag a megrendelést teljesítő féltől függően, előre meg nem határozható időpontokban és részletekben érkezik be, azonabn úgy, hogy a T időpontig az egész megrendelt R mennyiség beérkezik. Az ilyen utánpótlási rendszer leírására Prékopa András (1962) és Prékopa András és Ziermann Margit (1963) sztochasztikus modellt alkottak meg, amelyet később László Zoltán (1972) kicsit általánosabb formába öntött. Ezeket a modelleket véletlen ütemezésű modelleknek nevezték el, amelyeket a szakirodalom mára a magyar készletgazdálkodási modellek néven ismer. Tekintsük először azt az egyszerűbb esetet, amikor az egyes rész-szállítások teljesen véletlenszerű időpontokban történnek ugyan, de az egyes rész-szállítmányok legalább fixek és egyenlő nagyságúak.
3.1.
A véletlen szállítási ütemezésű modell egyenlő nagyságú rész-szállítások esetén
Tekintsünk egy [0, T ] időintervallumot, amelyre teljesen véletlenszerűen rádobunk n számú pontot. Jelöljük ezeket ξ1 , ξ2, . . . , ξn -nel. Ezek a mennyiségek tehát úgy tekinthetők, mint egymástól független, a [0, T ] időintervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók, melyeket számozzunk meg monoton növekvő sorrendben, azaz legyen
0 ≤ ξ1∗ < ξ2∗ < . . . ξn∗ ≤ T. Tegyük most fel, hogy a ξi∗ , i = 1, 2, . . . , n időpontok mindegyikében egyenlő R/n árúmennyiség érkezik be. Ekkor, ha az ηt időtől függő véletlen függvény jelenti a t időpontig 1
összesen beérkezett árúmennyiséget, akkor az ηt értéke ezekben a véletlen időpontokban mindig pontosan ennyivel nő. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy valamely vizsgált időtartam kezdőpontjában a szóbanforgó árúféleségből mekkora az a legkisebb raktárkészlet, az úgynevezett kezdőkészlet, amely a fent leírt utánpótlási rend esetében az egész időtartam minden időegységében 1 − ǫ valószínűséggel (megbízhatósággal) biztosítja r egységnyi raktárkészlet felhasználhatóságát? Tekintsük az alábbi szemléltető ábrát ehhez a feladathoz: y(t) ,t y(t) =rt t
R
...
,
M ξ1∗
ξ 2∗
ξ 3∗
T
t
1. ábra. A raktárba beérkezett ηt véletlen árúmennyiség és a felhasznált y(t) determinisztikus árúmennyiség grafikonja Itt tehát [0, T ] a vizsgált időintervallum, r az időegységenként felhasználni kívánt árúmennyiség, R = rT az összesen szükséges árúmennyiség, ηt a t időpontig a raktárba összesen beérkezett árúmennyiség, y(t) a t időpontig összesen felhasznált árúmennyiség (nyilván: y(t) = rt) és jelölje M = M(n, ǫ) azt az n-től és ǫ-tól függő kezdőkészletet, mint döntési változót, amely az egész időtartam minden egyes egységében 1−ǫ valószínűséggel (megbízhatósággal) biztosítja r egységnyi raktárkészlet felhasználhatóságát. Az 1. ábráról leolvasható, hogy ahhoz, hogy az időegységenkénti r felhasználás mindig teljesíthető legyen, szükséges, hogy
M + ηt ≥ rt 2
(3.1)
legyen 1 − ǫ valószínűséggel a [0, T ] időintervallum minden pontjában, azaz P inf (M + ηt − rt) ≥ 0 = 1 − ǫ.
(3.2)
0≤t≤T
Az egyenlő nagyságú rész-szállítmányok melletti véletlen szállítási ütemezésű modell feltételezései összefoglalva: • A [0, T ] időszakon belül n pontban összesen R mennyiségű árú érkezik be; • A szóbanforgó árú iránti igény minden időegységben r =
R ; T
• A beérkezési időpontok a véletlentől függnek, s feltesszük, hogy a [0, T ] időszakaszon bármely lehetséges elhelyezkedésük egyenlően valószínű; • Az egyes rész-szállítmányok egyenlőek, tehát minden egyes alkalommal
R menyn
nyiség érkezik a raktárba. Mivel a (3.1) alapegyenlőtlenség úgy írható, hogy rt − ηt ≤ M, azért, ha ennek mindkét oldalát osztjuk R = rT -vel, akkor azt kapjuk, hogy t ηt M − ≤ . T R rT Itt
ηt =
0, .. .
ηt = R
0, .. .
ha 0 ≤ t ≤
ha 0 ≤ t ≤ ξ1∗
R ∗ k , ha ξk∗ ≤ t ≤ ξk+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1 n .. .
R,
és így
ξ1∗
ha ξn∗ ≤ t ≤ T
k ∗ = , ha ξk∗ ≤ t ≤ ξk+1 n .. . ∗ 1, ha ξ ≤ t ≤ T n
(3.3)
t 0, ha 0 ≤ ≤ T .. . k 1 t , ha ξk∗ ≤ n T T .. . 1 t 1, ha ξn∗ ≤ T T 3
1 ∗ ξ T 1 ≤
1 ∗ ξ , k = 1, 2, . . . , n − 1 . T k+1
≤1
t jelölést, akkor a (3.3) egyenlőtlenség baloldala úgy T tekinthető, mint a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás F (x) = x elméleti eloszlászlásEzért, ha bevezetjük az x =
függvényének és
Fn (x) =
ηt = R
1 0, ha 0 ≤ x ≤ ξ1∗ T .. . k 1 1 ∗ , ha ξk∗ ≤ x ≤ ξk+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1 n T T .. . 1 1, ha ξn∗ ≤ x ≤ 1 T
tapasztalati eloszlásfüggvényének a különbsége: F (x) − Fn (x) ≤
M . rT
Ugyanezt az átalakítást a (3.2) megbízhatósági egyenletbe úgy vezethetjük át, hogy az egyenlőtlenség irányának a megfordítása miatt inf helyett sup-ot írunk: M P sup (F (x) − Fn (x)) ≤ = 1 − ǫ. rT 0≤x≤1
(3.4)
Tekintsük most Szmirnov (1939) klasszikus matematikai statisztikai tételét, mely szerint az elméleti és a neki megfelelő tapasztalati eloszlásfüggvény eltérésére fennáll, hogy 2 1 − e−2y , ha y > 0 √ n sup(F (x) − Fn (x)) ≤ y = (3.5) lim P n→∞ 0, x egyébként
Alkalmazva ezt a tételt a (3.4) egyenlet bal oldalán álló valószínűségre, azt kapjuk, hogy elég nagy n esetén (n > 20):
P
√
√ M n sup (F (x) − Fn (x)) ≤ n rt 0≤x≤1
2M 2 n ≈ 1 − e r2T 2 . −
(3.6)
Ha tehát azt akarjuk, hogy az M kezdőkészlet az n számú, véletlen időpontokban történő, R nagyságú előszállításokat is figyelembe véve adott 1 − ǫ valószínűséggel fedezze a [0, T ] n időszak alatti folyamatos r intenzitású felhasználást, akkor a (3.6) jobb oldalát (1−ǫ)-nal
4
egyenlővé téve, az így kapott egyenletet kell megoldani M-re: 2M 2 n 1 − e r 2 T 2 = 1 − ǫ, 2M 2 n ln ǫ = − 2 2 , r T −
M2 =
r 2 T 2 (− ln ǫ) , 2n
amiből a kérdésünkre a válasz: v u 1 u ln t ǫ. M(n, ǫ) = rT 2n
(3.7)
A (3.7) képlet alkalmazásakor adott n mellett nyilván csak úgy van értelme az 1 − ǫ megbízhatósági szint választásának, hogy ǫ-ra teljesüljön az ǫ ≥ e−2n összefüggés, hiszen ennél kisebb ǫ esetén a képlet azt adná, hogy az M(n, ǫ) kezdő készletszintnek meg kellene haladnia a [0, T ] időszak összes árúigényét, azaz R = rT -t. 1. Példa. Tegyük fel, hogy évi 6 000 000 egység fogyasztást kell egyenletes felhasználásra biztosítanunk. A szállításról csak annyit tudunk, hogy az év folyamán 10 egyenlő részletben, de teljesen véletlenszerű időpontokban fog megtörténni. Mekkora induló raktárkészletet kell ahhoz biztosítani, hogy 95%-os megbízhatósággal ne akadjon el az év folyamán a fogyasztás raktárkészlet hiány miatt? Megoldás: T = 12 hónap, R = 6 000 000 egység, ǫ = 0, 05, ezért R 6 000 000 = = 500 000, T 12 v v u u 1 u ln 1 u ln t 0, 05 t ǫ = 500 000 · 12 M(n, ǫ) ≈ rT = 6 000 000 · 0, 387023 = 2 322 137. 2n 20 r=
5
3.2.
A véletlen szállítási ütemezésű modell véletlen nagyságú rész-szállítmányok esetén
Az előszállításos utánpótlási rendszerekben az esetek többségében a beérkező részszállítmányoknak nemcsak az időpontjait, de a nagyságait sem tudjuk előre megadni. Az általános esetben tehát mind a beérkezési időpontok, mind a beérkezett mennyiségek nagysága a véletlentől függ. Ezt az utánpótlási rendszert a következő matematikai modell írja le. Jelölje [0, T ] ismét azt az időszakot, amelyben valamely árúcikkből, anyagból minden időegységben r mennyiségre van szükségünk. Ugyanezen időszak alatt n alkalommal, véletlen nagyságú részletekben, de összesen R mennyiség áramlik be (a következő időszak R = rT igényének fedezésére megrendelt árúmennyiség előszállításai). Az n beérkezési időpontnak a [0, T ] időszakon belüli véletlen elhelyezkedését ugyanúgy modellezzük, mint a 3.1. szakasz modelljében. Azt tesszük tehát fel, hogy a beérkezési időpontok bármely elhelyezkedése a [0, T ] időintervallumon egyenlően valószínű. Jelölje ismét ξi∗ , i = 1, 2, . . . , n, 0 ≤ ξ1∗ < ξ2∗ < . . . ξn∗ ≤ T ezeknek az időpontoknak egy lehetséges realizációját a [0, T ] időszakaszon és ηt a t időpontig (0 < t ≤ T ) összesen beérkezett árúmennyiséget. Az ηt véletlen függvény értéke a ξi∗, i = 1, 2, . . . , n időpontok mindegyikében megnő, de most nem állandó és egymással egyenlő mértékben, hanem véletlen értékekkel, de mégis úgy, hogy ezen véletlen értékek összege kiadja a [0, T ] időszakasz összes árúszükségletét, azaz az R értéket. Tegyük fel emellett azt is, hogy az előszállítások mindegyike valamely α ≥ 0 mennyiségnél biztosan nagyobb, mikoris α értékére nyilván teljesülnie kell, hogy 0 ≤ nα ≤ rT.
(3.8)
Ezért az egyes rész-szállítások között véletlenszerűen szétosztani csak a megmaradó rT − nα = R − nα árúmennyiséget kell. Ennek a véletlen szétosztása azonban éppen úgy történhet, mint a szállítási időpontok véletlen kijelölése, azaz feltesszük, hogy az R − nα árúmennyiség bármely lehetséges n részre felosztása egyenlően valószínű. Azt is 6
feltesszük ugyanakkor, hogy a beérkezési időpontok lehetséges elrendeződései a [0, T ] időszakaszon függetlenek az R − nα mennyiség lehetséges felosztásaitól. A véletlen nagyságú rész-szállítmányok melletti véletlen szállítási ütemezésű modell feltételezései összefoglalva: 1. A [0, T ] időszakaszon belül n időpontban összesen R mennyiségű árú érkezik be; 2. A szóbanforgó árú iránti igény a [0, T ] időszakasz minden időegységében r =
R ; T
3. A beérkezési időpontok a véletlentől függnek, s feltesszük, hogy a [0, T ] időszakaszon bármely lehetséges elhelyezkedésük egyenlően valószínű; R mennyiség áramlik a raktárba biztosan, n amelyhez az R − nα fennamradó rész n részre történő bármelyik lehetséges felosz-
4. Minden beérkezési időpontban 0 ≤ α ≤
tásának a mennyiségei adódnak rendre, miközben azt is feltesszük, hogy az R − nα mennyiség minden lehetséges n részre osztása egyenlően valószínű; 5. A beérkezési időpontok bármelyik lehetséges elhelyezkedése a [0, T ] időszakaszon független az R − nα árúmennyiség bármelyik lehetséges felosztásától. A modell elemzéséhez vezessük be először is a λ=
nα rT
jelölést. A (3.8) egyenlőtlenségek miatt nyilvánvalóan 0 ≤ λ ≤ 1 és λ szemléletesen azt adja meg, hogy a [0, T ] időszakasz alatt szükséges R = rT összárúmennyiség mekkora hányadát teszi ki az n-szeri, azonos α mennyiségben történő biztos szállítás és ennek megfelelően (1 − λ) pedig szemléletesen azt adja meg, hogy az R = rT összárúmennyiség mekkora hányadát kell az n darab véletlen szállítási időpont között véletlenszerűen szállítandó rész-szállítási mennyiségekként szétosztani, hiszen λrT =
nα rT = nα rT
és nα (1 − λ)rT = 1 − rT = rT − nα = R − nα. rT 7
Ezért megtehetjük, hogy az R = rT összárúmennyiséget bontjuk n darab teljesen véletlen részre, majd az így kapott véletlen részmennyiségek mindegyikének az (1 − λ)-szorosát szállítjuk a véletlenszerű szállítási időpontokban véletlenszerű rész-szállításokként. Tekintsük tehát most a [0, rT ] intervallumra teljesen véletlenszerűen rádobott (n − 1) számú pontot, melyek az rT mennyiséget teljesen véletlenszerűen bontják fel n részre. Jelöljük ezeket τ1 , τ2 , . . . , τn−1 -gyel. Ezek a mennyiségek tehát úgy tekinthetők, mint egymástól független, a [0, rT ] intervallumon egyenletes eloszlású valószínűségi változók, melyeket számozzunk meg monoton növekvő sorrendben, azaz legyen ∗ 0 ≤ τ1∗ < τ2∗ < · · · < τn−1 ≤ rT.
Ekkor az eddig elmondottak értelmében a ξi∗ véletlen időpontban szállítandó árúmennyiség a fix és a véletlenszerűen szállított mennyiségek összegeként a következőképpen írható fel: λ
rT ∗ + (1 − λ)(τi∗ − τi−1 ), i = 1, 2, . . . , n; τ0∗ ≡ 0, τn∗ ≡ rT. n
Ezért az első k szállítás összege: kλ
rT + (1 − λ)τk∗ , k = 1, 2, . . . , n. n
Vezessük be a következő jelölést: 0, ha 0 ≤ t ≤ ξ1∗ .. . k ∗ Fn (t; λ, r, T ) = λrT + (1 − λ)τk∗ , ha ξk∗ < t ≤ ξk+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1 n .. . 1, ha ξn∗ < t ≤ T
A feladat most is annak a t = 0 időpontban rendelkezésre álló Mλ (n, ǫ) kezdőkészlet-
nek a meghatározása, amelyre teljesül a következő megbízhatósági egyenlet: P inf [Mλ (n, ǫ) + Fn (t; λ, r, T ) − rt] ≥ 0 = 1 − ǫ, 0≤t≤T
azaz P
sup 0≤t≤T
t 1 − Fn (t; λ, r, T ) T rT 8
Mλ (n, ǫ) < rT
= 1 − ǫ,
vagy bevezetve az x=
t T
és
1 Fn (t; λ, r, T ) = rT
Fn (x; λ) =
jelöléseket:
P
ξ∗ 0, ha 0 ≤ x ≤ 1 T .. . ξ∗ k τ∗ ξ∗ + (1 − λ) k , ha k < x ≤ k+1 , k = 1, 2, . . . , n − 1 n rT T T .. . ξ∗ 1, ha n < x ≤ 1 T
Mλ (n, ǫ) sup (x − Fn (x; λ)) < rT 0≤x≤1
= 1 − ǫ.
(3.9)
ξk∗ τ∗ , k = 1, 2, . . . , n és k , k = 1, 2, . . . , n−1 egymástól független, a [0, 1] intervalT rT lumon egyenletes eloszlású valószínűségi változóknak tekinthetők, azért a (3.9) megbízMivel
hatósági egyenlet megoldása visszavezethető a Prékopa andrás által 1973-ban bizonyított alábbi határeloszlástételre: lim P
n→∞
r
n sup (x − Fn (x; λ)) ≤ y 1 + (1 − λ)2 0≤x≤1
Alkalmazzuk ezt a határeloszlástételt az Mλ (n, ǫ) y= rT
r
1 − e−2y2 , ha y > 0 = 0, egyébként
(3.10)
n 1 + (1 − λ)2
helyettesítéssel, akkor azt kapjuk, hogy elég nagy n érték esetén
lim P
n→∞
sup (x − Fn (x; λ)) ≤
0≤x≤1
Mλ (n, ǫ) rT
2
Mλ (n, ǫ) n −2 rT 1 + (1 − λ)2 ≈1−e
(3.11)
Ha tehát azt akarjuk, hogy az Mλ (n, ǫ) kezdőkészlet adott 1 − ǫ valószínűséggel fedezze a [0, T ] időszakasz alatti folyamatos r intenzitású felhasználást, az n számú véletlen időpontokban történő véletlen nagyságú szállításokat is figyelembe véve, akkor a (3.10)
9
jobb oldalát (1 − ǫ)-nal egyenlővé téve, az így kapott egyenletet kell megoldani Mλ (n, ǫ)ra:
2
Mλ (n, ǫ) n rT 1 + (1 − λ)2 = 1 − ǫ, 1−e 2 Mλ (n, ǫ) n 1 2 = − ln ǫ = ln , 2 rT 1 + (1 − λ) ǫ v u 1 u t ln ǫ 2 1/2 Mλ (n, ǫ) ≈ rT 1 + (1 − λ) . 2n
−2
(3.12)
Egybevetve a (3.7) és a (3.12) aszimptotikus képleteket, azt tapasztaljuk, hogy azok a rT λ = 1, azaz az α = esetben megegyeznek. Ezért a 3.1. szakasz modellje speciális n esete a 3.2. szakasz modelljének. 2. Példa. Tekintsük ismét a 3.1. szakasz 1. Példáját, azaz tegyük fel, hogy évi 6 000 000 egység fogyasztást kell egyenletes felhasználásra biztosítanunk. A szállításról most csak annyit tudunk, hogy az év folyamán 10 részletben, de teljesen véletlenszerű időpontokban fog megtörténni és az egyes rész-szállítások mindig legalább 200 000 egységet fognak tartalmazni, mely felett további, teljesen véletlenszerű mennyiségek érkeznek be. Mekkora induló rektárkészletet kell ahhoz biztosítani, hogy 95%-os megbízhatósággal ne akadjon el az év folyamán a fogyasztás raktárkészlet hiány miatt? Megoldás: T = 12 hónap, R = 6 000 000 egység, n = 10, α = 200 000, ǫ = 0, 05, ezért 6 000 000 R = = 500 000 T 12 nα 10 · 200 000 1 λ= = = rT 500 000 · 12 3 v v u u 1 1 " # u ln 2 1/2 u ln t t 0, 05 1/2 ǫ = 500 000 · 12 1 + 1 − 1 Mλ (n, ǫ) ≈ rT [1 + (1 − λ)2 ] = 2n 3 20 r=
= 6 000 000 · 1, 201850 · 0, 387023 = 2 790 863. 10
Látható, hogy ha a rendszertelen szállítások mellett a szállított mennyiségek kétharmada ugyancsak rendszertelenné válik, akkor a szükséges induló készletszintet több mint 20%kal meg kell növelni az ugyanolyan 95%-os megbízhatóságú elakadásmentes fogyasztás fenntartásához.
11
