Sztochasztikus modellek feladatok 1. Valószínűségi változók és vektorváltozók; feltételes eloszlás és feltételes várható érték Diszkrét és folytonos valószínűségi változók, feltételes eloszlás 1. Feldobunk hat szabályos dobókockát, egy piros színűt és öt feketét. Határozzuk meg a kapott értékek maximumának eloszlását, várható értékét és szórását. Mi a legnagyobb dobás várható értéke és szórása, ha tudjuk, hogy a maximum nagyobb, mint kettő? Mennyi a várható érték akkor, ha azt tudjuk, hogy a piros kockával hármast kaptunk? 2. Három hörcsög él egy terráriumban, és egymástól függetlenül az időnek rendre felében, harmadában, illetve negyedében alszanak. Legyen X az ébren lévő hörcsögök száma egy véletlen időpontban. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását. Mi X eloszlása, várható értéke és szórása, ha tudjuk, hogy az adott időpontban nem mindegyik hörcsög alszik? Mennyi a várható érték akkor, ha azt tudjuk, hogy a legtöbbet alvó hörcsög ébren van? 3. Anna és Béla ugyanott dolgozik, és egymástól függetlenül 4 és fél 5 között véletlen időpontokban végeznek a munkájukkal. Megbeszélik, hogy munka után megvárják egymást. a. Mi a valószínűsége, hogy Anna végez korábban? Várhatóan mennyit kell várakoznia a korábban végzőnek? Mennyi annak az esélye, hogy a várakozási idő legalább 10 perc, de kevesebb, mint 20 perc? b. Válaszoljunk az előző pont kérdéseire azzal a módosítással, hogy tudjuk, Anna negyed 5-ig befejezte a munkát. 4. Véletlenszerűen választunk egy pontot egy 10 egység sugarú kör belsejében. Legyen X a pontnak a körvonaltól vett távolsága. a. Adjuk meg X eloszlásfüggényét és várható értékét. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pont és a körvonal távolsága nagyobb, mint 8 egység? b. Tegyük fel, hogy a kiválasztott pont a középpontól legfeljebb 5 egységnyire esik. Oldjuk meg az előző feladatrészt ezzel a módosítással. Nevezetes eloszlások 5. a. Öt focista tizenegyest rúg. Feltehető, hogy a játékosok egymástól függetlenül rendre 0,8 valószínűséggel értékesítik a büntetőt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nem mindenki rúgja be? Várhatóan hány gól születik? Mennyi a gólok számának várható értéke akkor, ha tudjuk, hogy volt gól, de nem mindenki rúgta be. b. Módosítsuk úgy a feladatot, hogy az öt focista rendre 0,5, 0,6, 0,7, 0,8 és 0,9 valószínűséggel talál be. A rúgások továbbra is függetlenek. Mi a gólok számának várható értéke és szórása ebbben az esetben?
1
6. Reggelente villamossal járok a munkahelyemre, és egy-egy utazás során 5 százalék valószínűséggel jelennek meg ellenőrök. a. Várhatóan hanyadik utazás alkalmával futok össze először az ellenőrökkel? Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első 10 utazás során nem találkozok velük? Ha az első 10 utazás során nem találkoztam velük, akkor várhatóan hanyadik utazás során jelennek meg először? b. Egy vonaljegy 270 forintba kerül, a helyszíni bírság 6000 forint. Átlagosan minden hagyadik utazás alkalmával futok össze ellenőrökkel? Megéri-e folyamatosan potyázni? Előfordulhat-e, hogy csak véges sokszor találkozok az ellenőrökkel, tehát egy idő után soha többé nem futok velük össze? 7. A kupongyűjtő problémája. Egy tejipari vállalat a gyümölcsjoghurtok fedőfóliájának belső oldalára négy mesehős, Micimackó, Malacka, Füles és Tigris figuráját nyomtatja. Kisgyerekes szülőként addig vagy kénytelen újabb és újabb joghurtot vásárolni, míg csemetéd össze nem gyűjti a teljes kollekciót. Mennyi a szükséges joghurtok számának várható értéke és szórása? 8. Egy műszaki berendezés 1000 alkatrészből áll, melyek egymástól függetlenül mennek tönkre. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy év alatt minden egyes komponens azonos eséllyel, mondjuk 1 százalék valószószínűséggel romlik el. Várhatóan mennyi alkatrész megy tönkre egy év alatt? Közelítőleg mennyi annak az esélye, hogy pontosan 5 komponens romlik el? 9. Egy 10 km hosszú elektromos vezeték elszakad egy véletlenszerű helyen. A szerelőbrigád az egyik végponttól indulva 5 km/h sebességgel elkezdi keresni a szakadási pontot. a. Mi a valószínűsége, hogy 20 percen belül megtalálják a szakadás helyét? Várhatóan mennyi idő alatt találják meg a hibát? b. Tegyük fel, hogy egy óra keresés után még mindig nincs meg a hiba helye. Várhatóan mennyi időre van még szükség? Mennyi annak az esélye, hogy ezután már 20 percen belül megtalálják a szakadási pontot? 10. A rádióaktív anyagok atomjainak élettartama pontosan exponenciális eloszlást követ. Az 57-es és a 60-as tömegszámú kobalt izotóp felezési ideje rendre 272 nap és 5,27 év. a. Mi a Co-60 atom élettartamának várható értéke? Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy adott atom nem bomlik le 5 év alatt? Feltéve, hogy nem bomlott le 5 év alatt, mennyi annak az esélye, hogy 10 év alatt sem bomlik le? b. Tegyük fel, hogy adott két Co-57 és három Co-60 atom. Mennyi annak az esélye, hogy legalább 1 évet kell várni az első bomlásig? Várhatóan mennyi idő múlva bomlik le az első atom? Mekkora valószínűséggel fog először egy Co-60 atom lebomlani? c. Legyen X egy Co-60 atom megkezdett „életéveinek” száma, tehát a teljes élettartam felfelé kerekítve. Adjuk meg X eloszlását. Valószínűségi vektorváltozók, korreláció
2
11. Adott egy urna, benne két cetli. Az egyik cetlin 0, a másikon 1 szerepel. Kétszer húzunk visszatevéssel, és legyen X a kapott értékek összege, Y pedig a kapott értékek szorzata. a. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását és peremeloszlását. Független egymástól a két változó? Mennyi a változók várható értéke, szórása, valamint a korrelációs együttható értéke? Határozzuk meg az X + Y összeg várható értékét és szórását. b. Módosítsuk úgy az együttes eloszlást, hogy a peremeloszlások változatlanok maradjanak, de X és Y független legyen. Definiáljunk egy olyan kísérletet, melyben X és Y együttes eloszlása éppen ilyen lenne. c. Adjuk meg az X változó Y -ra vett feltételes eloszlását és feltételes várható értékét. d. Tegyük fel, hogy elsőre 1-et húztunk. Adjuk meg X és Y várható értékét és korrelációját ezen háttérinformáció mellett. 12. Feldobok két szabályos dobókockát. Legyen X a kapott értékek minimuma, Y pedig a kapott értékek maximuma. Válaszoljunk az előző feladat kérdéseire ilyen felállásban. Átlagossan mennyivel nagyobb a nagyobb dobott érték a kisebbnél? 13. Adott két vállalati részvény a tőzsdén. Az I. értékpapírpapír jelenlegi árfolyama 10 ezer forint, a II. részvény darabját 20 ezer forintért lehet megvásárolni. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy egy év múlva az I. részvény lehetséges árfolyamai 8, 12 illetve 16 ezer forint, melyek valószínűsége rendre 0,3, 0,4 és 0,3. A II. értékpapírt egy év múlva 18, 22 vagy 26 ezer forintért lehet eladni, mely árak esélye 0,25, 0,5 illetve 0,25. a. Az értékpapírmatematikában a részvények hozamát az egységnyi összegű befektetésre eső várható nyereségével, míg az árfolyamkockázatot az egységnyi befektetésre jutó szórással értékelik. Legyen 10 ezer forint a pénzegységünk. Határozzuk meg ezeket a mutatószámokat a két részvény esetében. Melyikkel lehet többet kaszálni? Melyik a biztonságosabb? b. Tegyük fel, hogy a rendelkezésedre áll egymillió forint, és egy portfóliót állítasz össze a két értékpapírból. Mennyi lesz a portfólió várható hozama és kockázata, ha 50 darab I. részvényt vásárolsz? Mennyit veszel az egyes részvényekből akkor, ha maximalizálni akarod a várható nyereséget? Ekkor mennyi a portfólió kockázata? c. Válaszoljunk az előző pont kérdéseire azzal a változtatással, hogy a két értékpapír árfolyamának alakulása nem független egymástól, hanem az árfolyamok közötti korreláció 0,5. Mi a helyzet abban az esetben, ha a korrelációs együttható -0,5? Az eredményeket értelmezve milyen gyakorlati jelentéssel bírhat a részvények közötti korreláció? 14. A Tisza átlagos vízhozama Csongrádnál a Körös torkolat alatt 660 m3 /s, a vízhozam szórása 200 m3 /s. A Maros átlagos vízhozama Makónál 160 m3 /s, a szórás 50 m3 /s. Feltéve, hogy a két folyó vízhozama független, adjuk meg a Tisza vízhozamának várható értékét és szórását Szegeden a Belvárosi hídnál. Mennyi a várható érték és a szórás akkor, ha a két vízhozam közötti korreláció értéke 0,6? És akkor, ha a korrelációs együttható -0,4? Vajon a három lehetőség közül melyik áll legközelebb a valósághoz? Miért? A teljes várható érték tétele és a Wald azonosság 3
15. Adott 10 urna, melyek 1-től 10-ig vannak megszámozva, de kívülről egyformák. Az n. urnában n darab golyó található, melyeken 1-től n-ig szerepelnek az egész értékek. Véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát, majd abból kihúzunk egy golyót. Legyen X az urna sorszáma, Y pedig a golyón szereplő érték. a. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, valamint a két változó várható értékét és korrelációs együtthatóját. b. Adjuk meg az Y változónak az X = 4 eseményre vett feltételes várható értékét. Melyik golyónak a legnagyobb az esélye, ha a negyedik urnából húztam. c. Várhatóan melyik urnát választottam, ha tudom, hogy a 6 számú golyót húztam ki. Melyik urnának a legnagyobb az esélye az Y = 6 feltétel mellett? 16. Pelikán József a Duna három gátszakaszát őrzi. Reggelente véletlenszerűen választ egy szakaszt, és azt járja be. Az első a kedvence, ezt az esetek felében választja, míg a másik kettőt azonos mértékben kedveli. Útjainak 10 százalékában szokott ürgét találni az első gátszakaszon, 28 illetve 18 százalékában a második, illetve a harmadik szakaszon. Feltehető, hogy az ürgék száma mindhárom gátszakaszon Poison eloszlást követ. Mennyi az esély annak, hogy egy adott napon nem talál ürgét? Legyen X egy véletlenszerűen választott napon talált ürgék száma. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét. 17. Az egyik szegedi kiskocsma akkor zár, amikor elfogynak a vendégek. Ez az időpont hétfőn és vasárnap egyenletes eloszlású hajnali 1 és 2 óra között; kedden, szerdán és csütörtökön egyenletes eloszlású 1 és 3 óra között; végül pénteken és szombaton egyenletes eloszlású 2 és 4 óra között. a. Ha egy véletlenszerűen választott napon lemegyünk a kocsmába, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy fél 2 és fél 3 között zár be? Várhatóan hánykor fognak zárni? Adjuk meg a zárás időpontjának eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét. b. Válaszoljunk az a. pont kérdéseire azzal a módosítással, hogy tudjuk, az adott nap nem hétvégére esik. 18. A rádióaktív atomok élettartama exponenciális eloszlást követ. Egy bizonyos ásványfajtában kétféle kobalt izotóp található, az 5,27 év felezési idejű Co-60 és a 272 nap felezési idejű Co-57. Azt is tudjuk, hogy a 60-as tömegszámú változat négyszer gyakoribb, mint az 58-as tömegszámú. Véletlenszerűen kiemelünk egy kobalt atomot az ásványból. Adjuk meg a kiválasztott atom élettartamának eloszlásfüggvényét és várható értékét. Mi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott atom nem bomlik le 1 év alatt? Mennyi a kobalt atomoknak, (tehát a Co-60 és Co-57 keveréknek) a felezési ideje az ásványban? 19. a. Egy bizonyos típusú lakástűz után a keletkezett kár nagysága egyenletes eloszlást követ 0 és 10 millió forint között. Határozzuk meg a keletkezett kár eloszlásfüggvényét és várható értékét. Mennyi a kár várható értéke, ha tudjuk, hogy a kár nagysága legalább 500 ezer forint? b. Egy biztosítótársaság olyan biztosítási konstrukciót hírdet, hogy amennyiben a kár nagysága 500 ezer forint alatt marad, akkor is kifizetnek 500 forintot a károsultnak. Az
4
ennél nagyobb mértékű károkat a tényleges kárnagyság szerint térítik. Adjuk meg az egy tűzetesre jutó kifizetés eloszlásfüggvényét és várható értékét. c. A kárbejelentések 20 százalékáról a tűzoltóság jelentése alapján kiderül, hogy a tűz a biztosított felelőtlensége miatt keletkezett. Ezekben az esetekben a társaság nem téríti meg a kárt. Ezzel a módosítással átlagosan mekkora összeget fizet ki a biztosító egyegy tűzeset után? Mennyi annak a valószínűsége, hogy a biztosító fizet, de egymillió forintnál kevesebbet? d. A biztosítótársasághoz egy hónap alatt beérkező bejelentések száma Poison eloszlást követ 20 várható értékkel. Várhatóan mekkora összegű kártérítést kell ezekre összesen kifizetni? 20. a. Egy repülőgépeken használt mérőberendezés élettartama exponenciális eloszlást követ 2 év várható értékkel. Meghibásodás esetén a műszert kicserélik. A szabályzat szerint a berendezést 3 év után akkor is le kell cserélni, ha addig hiba nélkül működött. A műszerek mekkora hányada bírja ki 3 évig? Adjuk meg a teljes élettartam és a szolgálatban töltött idő eloszlásfüggvényét és várható értékét. b. Egy légitársaság évente több ilyen berendezést is vásárol, de a műszerek 10 százaléka selejtes, nem működik. Ezekre a darabokra tekinthetünk úgy, hogy 0 az élettartamuk. Adjuk meg a teljes élettartam és a szolgálatban töltött idő eloszlásfüggvényét és várható értékét ezzel a módosítással. A megvásárolt berendezések hány százaléka működőképes, de megy tönkre 1 éven belül? 21. A kertünkben van egy körtefa, az évente termő gyümölcsök száma Poison eloszlást követ 30 várható értékkel. Egy-egy körte tömege normális eloszlású 200 grammos átlaggal és 20 grammos szórással. Átlagosan egy év alatt hány kiló körte terem a fán? 22. Egy adott napon 0,2 valószínűséggel nézek tévét, függetlenül attól, hogy milyen nap is van. Ha leülök a képernyő elé, akkor a tévézéssel töltött idő egyenletes eloszlást követ 1 óra és 3 óra között. Átlagosan hetente mennyi időt töltök a doboz bámulásával?
5
2. Diszkrét idejű Markov láncok Átmenetvalószínűségek, állapotok típusai és osztályai 1. Mennyi a kérdőjellel jelölt valószínűségek értéke az alábbi sztochasztikus mátrixban. Adjuk meg a kapcsolatos Markov lánc átmenetgráfját és a kommunikációs osztályokat. Határozzuk meg a lánc állapotainak típusát és periódusát. A folyamatnak van elnyelő állapota? 0, 2 ? 0 0 0 0 0 ? 0 0, 6 0, 5 0, 5 ? 0, 1 0 0 0 0 0, 9 ? 0 0 ? 0, 4 ? 0 0 0 a. P = b. P = 0 , 0 . 0 0 0, 7 0 ? 0 0 0, 7 ? 0, 3 ? 0 0 0 1 ? 1 0 0 0 2. Egyetlen 0/1 bitet továbbítunk átjászóadók sorozatán keresztül. A közvetítő csatorna természetesen zajos, így a jel minden egyes átjátszás alkalmával (kicsike valószínűséggel ugyan, de) megváltozik. A hiba valószínűsége függ attól, hogy milyen értéket küldtünk át a csatolnán, de attól nem, hogy a bit a korábbi továbbítások során megváltozott vagy nem. Annak valószínűsége, hogy egy 0 bit 1-esre vált p, míg annak az esélye, hogy egy 1-es bit „romlik el” q. (0 < p, q < 1) Legyen Xn az n. állomáson fogott jel. a. Mutassuk meg, hogy Xn Markov lánc, és adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. b. Tegyük fel, hogy eredetileg egy 0 bitet küldtünk el, tehát X0 = 0. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második, az ötödik és a hetedik állomáson is az eredeti jelet fogják. c. Ha eredetileg 0-t küldtünk el, akkor az ezredik állomáson közelítőleg mekkora eséllyel fognak 0-t illetve 1-est? Függ ez a valószínűség attól, hogy mi volt az eredeti jel? 3. Párunk (barátnőnk vagy barátunk) minden egyes napon lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú, és egy adott napon a hangulatát csak az előző napi hangulata befolyásolja. Ha ma vidám, akkor holnap rendre 0,4, 0,5 és 0,1 valószínűséggel lehet vidám, átlagos hangulatú vagy szomorú. Ha átlagos hangulata van, akkor a megfelelő valószínűségek 0,3, 0,4 és 0,3; ha pedig szomorú, akkor 0,1, 0,3 és 0,6. Tegyük fel továbbá, hogy ma hétfő van. a. Párunknak ma vidám a hangulata. Adjuk meg az alábbi események valószínűségét. • Holnapután átlagos lesz a hangulata. • Holnapután vidám vagy átlagos lesz a hangulata. • Holnapután vidám lesz, pénteken szomorú, jövő hétfőn pedig átlagos hangulatú. • Holnapután nem lesz vidám, pénteken nem lesz szomorú, jövő hét hétfőn pedig nem lesz átlagos hangulatú.
6
b. Hogyan módosulnak a fenti valószínűségek, ha tudjuk, hogy ma vidám a hangulata, és emellett azt is tudjuk, hogy szombaton pocsék napja volt. c. Tegyük fel, hogy nem tudjuk, barátnőnknek (barátunknak) milyen a mai hangulata, viszont arra emlékszünk, hogy tegnapelőtt pocsék napja volt. Mennyi a fenti események valószínűsége ezen feltételek mellett? d. Adjuk meg a fenti valószínűségeket akkor, ha semmilyen információnk sincs párunk mai vagy közelmúltbeli hangulatáról, de azt tudjuk, hogy átlagosan a napoknak harmadában szokott vidám, szomorú, illetve átlagos hangulatú lenni. 4. a. Tegyük fel, hogy a holnapi időjárás csak a mai időjárástól függ. Ha ma esik az eső, akkor holnap 0,4 valószínűséggel fog ismét esni, míg ha ma nem esik, akkor holnap 0,2 valószínűséggel kapunk esőt. Modelezzük az időjárást Markov lánc segítségével, és írjuk fel az átmenetvalószínűségeket. Hosszú távon a napok mekkora hányadában fog esni? Átlagosan hány esős nap van egy évben. b. Tegyük fel, hogy egy nap időjárása nem csupán az előző nap, hanem az előző két nap időjárásától függ. Annak valószínűsége, hogy holnap esni fog 0,7, ha ma és tegnap is esett; 0,5, ha ma esett, de tegnap nem; 0,4, ha tegnap esett, de ma nem; végül 0,2, ha sem ma, sem tegnap nem esett. Modellezzük az időjárás alakulását Markov lánccal. Milyen gyakran fordul elő, hogy két esős nap követi egymást? Átlagosan hány esős nap van egy évben? 5. Egy dobókockát az előző mozgásoktól függetlenül diszktér időegységenként átfordítunk egy szomszédos lapjára. Írjuk le a folyamatot Markov lánc segítségével, adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. Mennyi az állapotok periódusa? 6. Kedvenc focicsapatunk a korábbi fordulók eredményétől függetlenül egy-egy meccsen 0,2 valószínűséggel nem szerez gólt; 0,3 valószínűséggel 1 gólt; 0,2 valószínűségel 2 gólt; 0,2 valószínűséggel 3 gólt; végül 0,1 valószínűséggel 4 gólt szerez. (Arra még a legöregebb szurkolók sem emlékeznek, hogy a fiúk valaha is 4-nél többet vágtak volna, szóval ettől az esettől eltekinthetünk.) Legyen Xn a rugott gólok számának maximuma n forduló után. Az Xn sorozat Markov láncot alkot? Ha igen, akkor adjuk meg az átmenetvalószínűségeket, a kommunikációs osztályokat és az állapotok típusát. 7. Kovácsék naponta olvassák az újságot, majd a szoba egyik sarkában lévő kupac tetejére teszik a kiolvasott példányt. Esténként 1/3 valószínűséggel valamelyik családtag fogja az egész kupacot, és kidobja a szemétbe. Valahányszor 5 újság gyűlik fel a kupacban, Kovács úr azonnal kidobja az egész rakást. Tekintsük a reggelente a kupacban található újságok számát. a. Modellezhetjük Markov lánccal a folyamatot? Ha igen, akkor írjuk fel az átmenetvalószínűségeket és az átmenetgráfot. b. A napok mekkora hányadában fordul elő, hogy reggel nincs újság a sarokban? Hosszútávon átlagosan hány újság van a kupacban? c. Tegyük fel, hogy kezdetben nem volt újság a sarokban. Várhatóan mennyi idő múlva jön létre ismét ez az állapot? 7
8. Egy pók egy 20 × 30 centiméteres terráriumban él, és ideje nagy részében a sarkokban ücsörög. Ezt a monotóniát csak akkor töri meg, amikor átfut egy másik sarokba, hogy ott is eltöltsön egy kis időt. Mindig valamelyik szomszédos sarokba fut, és annak valószínűsége, hogy melyiket választja, fordítottan arányos az elérési út hosszával. Jelölje Xn a pók helyét az n. helyváltoztatás után. a. Bizonyítsuk be, hogy Xn Markov-lánc, melynek négy állapota a terrárium négy sarka, írjuk fel az átmenetvalószínűségeket és ábrázoljuk az átmenetgráfot. b. A folyamat reducibilis? Periodikus? Ha igen, akkor adjuk meg a periódusát. Ha nem, akkor írjuk fel a limeszvalószínűségeket. c. Várhatóan hány futás után tér vissza abba a sarokba, ahonnan elindult? 9. A Bernoulli–Laplace féle diffúziós modell. N piros és N fehér golyó van elhelyezve két urnában úgy, hogy mindkét urnába N golyó esik. Egy lépés abból áll, hogy az előző mozgatásoktól függetlenül kiveszünk egy-egy golyót a két urnából, és kicseréljük őket. Modellezük a kísérletet Markov lánccal. 10. Az Ehrenfest féle diffúziós modell. Adott N golyó, melyek két urnában vannak elhelyezve. Minden lépésben véletlenszerűen kiválasztunk egy golyót, és áttesszük a másik urnába. Írjuk le a kísérletet Markov lánccal. 11. A véletlen bolyongás. Az egész számokon lépegetünk a következő szabályok szerint. A 0 pontból indulunk, és minden egyes alkalommal a korábbi lépésektől függetlenül p valószínűséggel egyet jobbra, 1 − p valószínűséggel egyet balra lépünk. Legyen Xn a pozíciónk az n. lépés után. a. Mutassuk meg, hogy Xn Markov lánc, és ábrázoljuk az átmenetgráfot. b. Adjuk meg a folyamat kommunikációs osztályait. Milyen az állapotok típusa, mennyi a periódus? 12. Bolyongás a körön. Egy körön megjelöltünk 5 pontot, melyeket pozitív körüljárási irány szerint az 1, 2, 3, 4 és 5 számokkal jelöltünk. Egy katicabogár ezen öt pont között vándorol úgy, hogy mindig egy szomszédos pontra lép. p valószínűséggel pozitív, 1 − p valószínűséggel negatív irányba mozdul el, függetlenül attól, hogy korábban már milyen pontokat látogatott meg. Jelölje Xn a katica helyét az n. lépés után. Mutassuk meg, hogy Xn Markov lánc, és adjuk meg az átmenetvalószínűségeket. Hosszútávon a katica az időnek mekkora hányadát tölti az egyes állapotokban? 13. A játékos csődje probléma. Péter és Pál egy szabálytalan pénzérmét dobál. Ha egy dobás során fejet kapnak, akkor Péter egy petákot fizet Pálnak, míg ha írást, akkor Pál fizet ugyanennyit Péternek. A játékot addig folytatják, míg valamelyiküknek el nem fogy a pénze. A játék elején Pálnak a, Péternek b petákja van, és a fej dobásának valószínűsége p. a. Legyen Xn Pál pénze az n. érmedobás után. Mutassuk meg, hogy Xn Markov lánc, ábrázoljuk az átmenetgráfot, határozzuk meg a kommunikációs osztályokat, adjuk meg az állapotok típusát. 8
b. Mekkora valószínűséggel nyeri el Péter ellenfele minden pénzét? Mekkora eséllyel fog csődbe jutni? Várhatóan mennyi ideig tart a játék? c. Oldjuk meg az a. és a b. pontot azzal a módosítással, hogy most Péternek végtelen sok pénze van. 14. Tegyük fel, hogy üzemünk naponta 2 darabot tud legyártani egy adott termékből, melyek egymástól függetlenül p < 1/2 valószínűséggel felelnek meg a szabványnak. Napi 1 terméket vásárolnak meg tőlünk, ezt este szállítjuk el. Ha többet termelünk, a felesleget el lehet raktározni. Amennyiben mindkét munkadarab selejtes, a raktárból is szállíthatunk, ha van tartalék termékünk. Jelölje Xn az elraktározott mennyiséget az n. nap végén. a. Mik a folyamat lehetséges állapotai? Mutassuk meg, hogy Xn Markov-lánc, írjuk fel az átmenetvalószínűségeket, és rajzoljuk fel az átmenetgráfot. b. Írjuk fel a Markov láncok stacionárius eloszlására vonatlozó egyenletrendszert, és behelyettesítéssel ellenőrizzük, hogy πj = (1 − r)rj , r = p2 /(1 − p)2 valószínűségeket. Érdemes észrevenni, hogy a határeloszlás geometriai. c. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy napon nem tudunk szállítani? d. Tegyük fel, hogy egy termék napi raktározási költsége a forint, és b forint kártérítést kell fizetnünk, ha egy napon tudunk szállítani. Mi a hosszútávú átlagos költség? P∞ nemn−1 = 1/(1 − x)2 , ha |x| < 1. Felhasználhatjuk, hogy n=0 nx Differenciaegyenletek, a játékos csődje, elérési idők, elnyelési valószínűségek 15. A rendelkezésedre áll egy A0 összeg, melyet havi kamatozású bankbetétben helyezel el. Emellett minden hónapban sikerül C összeget félretenned a fizetésedből, melyet szintén befizetsz erre a bankszámlára. Mennyi pénzed lesz 2 év múlva? 16. Egy állatpopulációban minden egyes évben elpusztul az egyedek p hányada, de az ivarérett egyedek q hányada életet ad egy-egy újszülöttnek. Az egyedek egy év alatt válnak ivaréretté, és a populációban kezdetben csak ivarérett állatok élnek, szám szerint A0 darab. a. Írjunk fel egy differenciaegyenletet a felnőtt egyedek számának időbeli alakulására, és oldjuk is meg az egyenletet. b. Miben változna a megoldás, ha a fentieken túl minden évben d egyed csatlakozna kívülről a populációhoz? 17. a. A játékos csődje problémában legyen P (a, b), Q(a, b), valamint R(a, b) rendre annak a valószínűsége, hogy a játékos csődbe jut; a játékos elnyeri a bank minden pénzét; illetve a játék nem ér véget véges időben. Mutassuk meg, hogy ( ( 1−(q/p)a 1−(p/q)b 1 , p = 6 , p 6= 21 , N N , 1−(q/p) 2 1−(p/q) Q(a, b) = R(a, b) = 0 . P (a, b) = a b , p = 12 , , p = 21 , N N b. Lássuk be, hogy ha a banknak végtelen sok pénze van, akkor a fenti formulák q a q a 1 , p > , 1 − , p > 21 , p 2 p P (a, ∞) = 0 , Q(a, ∞) = R(a, ∞) = 1, p ≤ 21 , 0, p ≤ 12 . 9
c. Határozzuk meg, hogy várhatóan hány parti után ér véget a játék. 18. Tegyük fel, hogy összekuporgatunk 100 dollárt, és elmegyünk egy kaszinóba, melynek 100 dollár az alaptőkéje. A ruletten játszunk, és az a taktikánk, hogy mindig egy zsetont teszünk a pirosra színre, és ezáltal forgatásonként 18/37 és 19/37 valószínűséggel nyerünk illetve vesztünk egy zsetont. a. Mekkora valószínűséggel nyerjül el a kaszinó teljes tőkéjét, ha 10 dolláros zsetonokkal játszunk? Milyen valószínűséggel megyünk csődbe? Mi annak az esélye, hogy a játék sosem ér véget? b. Mi a helyzet akkor, ha nem 10, hanem 1 vagy 100 dolláros zsetonokkal játszunk? c. Térjünk vissza a 10 dolláros zsetonokhoz. Mekkora tőkét szedjünk össze, ha legalább 0,5 valószínűséggel meg akarjuk koppasztani a bankot? A kaszinó tőkéje továbbra is 100 dollár, tehát 10 zseton. d. Legalább hány zsetonnal kell elkezdenünk a játékot, ha az a célunk, hogy legalább 0,9 valószínűséggel bankot robbantsunk? A tőkénket növelve mekkora a maximálisan elérhető valószínűség? e. Mi a helyzet akkor, ha nekünk csak 10 zsetonunk van, a kaszinónak pedig korlátlan a költségvetése? 19. Tekintsük ismét a pókos feladatot. a. Egy adott sarokból indulva mennyi annak a valószínűsége, hogy a pók valaha eljut a szemközti sarokba? Ez várhatóan hány lépésben fog megtörténni? b. Tegyük fel, hogy ragasztót cseppentünk az egyik kiindulásival szomszédos sarokba, melybe a pók menthetetlenül beleragad. Válaszoljuk az előző kérdésekre ilyen feltételek mellett. 20. Tegyük fel, hogy az alábbi gráfon bolyongunk olyan módon, hogy minden egyes lépésben valamelyik szomszédos csúcsba ugrunk, és a lehetséges csúcsok közül egyforma valószínűséggel választunk. A@
B
@ @ @ @
C
D
E
a. Lássuk be, hogy a gráfon történő bolyongás Markov lánc. Írjuk fel az átmenetmátrixot, és adjuk meg az invariáns eloszlást, ha létezik. b. Hosszútávon az időnek mekkora hányadát töltjük az A csúcsban? Ha az A-ból indultunk, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy valaha visszatérünk? Várhatóan hány lépés után térünk vissza először? 10
c. Ha az A-ból indulunk, akkor mennyi annak a valószínűsége, hogy valaha eljutunk B-be? Várhatóan hanyadik lépésben fog ez először megtörténni? d. Ha az A csúcsból indulunk, akkor mennyi annak az esélye, hogy hamarabb jutunk el B-be, mint C-be? Mennyi annak a valószínűsége, hogy hamarabb jutunk el C-be, mint visszajutnánk A-ba? e. Ha az A csúcsból indulunk, akkor várhatóan hányszor térünk vissza, mielött elérnénk a C-t? Várhatóan hányszor látogatjuk meg B-t, mielőtt eljutnánk C-be? f. Ha az A csúcsból indulunk, akkor várhatóan hányszor látogatjuk meg B-t, mielőtt visszajutnánk A-ba? Generátorfüggvények, elágazó folyamatok, a kihalási tétel 21. Írjuk fel a binomiális, a Poisson és a geometriai eloszlás generátorfüggvényét. Határozzuk meg az eloszlások várható értékét és szórását a generátorfüggvény segítségével. 22. A mocsári nyehőce életében legfeljebb 2 utódnak ad életet, és azonosan 0,4 annak a valószínűsége, hogy pontosan 1 illetve pontosan 2 utód születik. Tegyük fel, hogy betelepítünk egy példányt az újszegedi ligetbe. a. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a betelepített egyednek nem lesz utóda? Adjuk meg a szaporodás generátorfüggvényét és várható értékét. b. Mekkora valószínűséggel fog kipusztulni a populáció? Várhatóan hány egyed lesz az n. generációban? Mekkora az n. generáció méretének szórása? Mi az első és második generáció létszámának eloszlása? c. Hány egyedet kell betelepíteni, ha azt szeretnénk, hogy legfeljebb 0,5 eséllyel pusztuljon ki a faj? És ha 0,2 alá akarjuk leszorítani ezt a valószínűséget? Adjuk meg az n. generáció méretének várható értékét. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a telepített egyedek közül pontosan 2 utódai halnak ki, a többi ág pedig sosem pusztul ki? d. Elérhetjük azt, hogy a populáció 1 valószínűséggel fennmaradjon? 23. a. Válaszoljunk a előző feladat kérdéseire olyan feltételekkel, hogy az 1 illetve 2 utód valószínűsége azonosan 0,3. Várhatóan hány egyed fog megszületni a populáció teljes kipusztulásáig? b. Válaszoljunk az előző feladat kérdéseire olyan feltételekkel, hogy az 1 illetve 2 utód valószínűsége 0,5 és 0,5. 24. Mindenki ismeri a „küldd tovább ezt az e-mailt tíz barátodnak, különben . . . ” típusú leveleket. Az felhasználók körülbelül 15 százaléka továbbítja az ilyen leveleket. a. Mekkora valószínűséggel fog véges időben véget érni a lánc, ha elküldünk egy ilyen e-mailt egy általunk ismeretlen címre? Várhatóan hány levelet küldenek tovább a lánc n. generációjában? (Legyen az Xn változó az n. generáció mérete, és használjuk fel, hogy 0.910 ≈ 0.35.) b. Hogyan változik a megoldás, ha eredetileg 3 címre küldjük el a levelünket? c. Hogyan változik a megoldás, ha a szöveget úgy módosítjuk, hogy 5 címre kell továbbküldeni az e-maileket? Várhatóan mennyi lesz az összesen elküldött levelek száma? 11
25. Egy számítógépes vírus elektronikus levelek segítségével terjed. Amennyiben megfertőz egy számítógépet, ellenőrzi a felhasználó levelezési listáját, és a következő egész órában továbbküldi magát a talált címekre Ezután a vírus javíthatatlanul tönkreteszi a gép hardverét. (Igen, ilyen egyszerűen, mint az amerikai filmekben. Ugye mindenki emlékszik a Függetlenség napja című mozira?) A modellünkben a számítógépeken található e-mail címek száma Poisson eloszlást követ, melynek 2 az átlaga. (Tegyük fel, hogy a földön végtelen sok megfertőzhető gép van.) a. Mekkora valószínűséggel fog a vírus világméretű járványt okozni, ha a vírus írója éjfélkor egyetlen gépet fertőz meg? (Használjuk fel, hogy e−1,6 ≈ 0.2.) Várhatóan hány gép fertőződik meg az n. órában? Hány gép kapja meg a vírust az n. órával bezárólag? Hány óra alatt éri el a megfertőzött gépek számának várható értéke az egymilliárdot? b. Hány gépről kell elindítani a járványt, ha a vírus írója 24 óra alatt akar egymilliárd gépet megfertőzni? Ebben az esetben mekkora valószínűséggel fog a vírus magától eltűnni? c. Elkerülendő a modern társadalom összeomlását a nagy szoftvercégek és a CIA legjobb szakemberei kifejlesztenek egy programot, mely megakadályozza a fertőzést. A világ számítógépeinek hány százalékára kell ezt feltelepíteni, ha azt szeretnénk, hogy a járvány véges sok generáció után véget érjen? Mennyi ekkor a fertőzött számítógépek várható száma? A gépek hány százalékára kell feltelepíteni a védő programot, ha azt szeretnénk, hogy várhatóan 1000 gépnél kevesebb betegedjen meg?
12
3. Felújítási folyamatok, sorbanállási modellek, folytonos idejű Markov láncok 4. Megbízhatóságelmélet
13
