Sztochasztikus rákos folyamatok A rákos sejtek szaporodásáról egyre többet tudunk, de nem eleget. A kóros betegségben szenvedők sejtjei szüntelenül „harcban” állnak egymással, mint azok az azonos fajhoz tartozó állatok, akik a – „stratégiai játékok” szerint – megküzdenek egymással az élelemért (egzisztenciáért). Ezáltal előbb-utóbb „héják” vagy „galambok” lesznek. A galambok meghátrálnak a kihívás elől, nem harcolnak, feladják a küzdelmet, a héják viszont kíméletlen módon a befejezésig harcolnak, s ha vesztenek, súlyos sérülésekkel távoznak. Erről csupán azért tettünk itt említést, mert a stratégiai játékok is jó modelljei lehetnek a rákos folyamatok jellemzésének. (Lásd még [1].) Ebben a dolgozatban – a matematika eszközeinek felhasználásával – a rákos sejtek szaporodásának, a szaporodás visszaszorításának, meggátolásának egy-egy lehetséges matematikai modelljét mutatjuk be. Tesszük ezt azért is, hogy jobban megértsük azt az organizmust, amely az emberi élet velejárója. Lényegét tekintve azt tesszük, mint amit eddig is tettünk, csak más megvilágításban és más eszközökkel. Mivel a probléma tárgyalása és leírása sokkal mélyebb matematikai ismereteket igényel, ezért nem térünk ki egzakt bizonyításokra – e helyen csupán a végeredményeket közöljük hasznos tudnivalókként. Különben is az eljárás, melyet itt bemutatunk, más interpretációban ugyan, de megtalálható a szerző [2] alatti dolgozatában. – A matematika különböző területeken történő alkalmazásakor igen gyakori a hasonlóságon alapuló egyezés (analógia); tulajdonképpen mi is ezt használjuk itt ki. Modellezünk analógia alapján, mely lényeges szerepet játszik a problémamegoldásban. (A [2] alapulvételéből láthatóan plagizálás ténye nem áll fenn; miután ez is a szerző önálló munkája, a benne közölt eredményként kapott összefüggésekkel együtt!) Az itt közöltek nemcsak prosztatarák, hanem mindenféle rákos folyamat leírására, jellemzésére és követésére alkalmazhatók. Ehhez azonban további speciális matematikai szakismeretekre van szükség, mivel a gyakorlat számára igen bonyolult formulákhoz jutunk.
1
Rákos sejtek szaporodási folyamata Jelölje ξt a t időpillanatban a rákos sejtek számát. (Nyilvánvaló, hogy ξt valószínűségi változó, ami azt jelenti, hogy véletlentől függő számértékeket vesz fel.) 1. Modell Tegyük fel, hogy: 1o Ha a t időpontban a rákos sejtek száma ξt=k, akkor annak a valószínűsége, hogy a t+∆t időpontban a rákos sejtek száma ξt+∆t=k+1 lesz, ηtα-1∆t + o(∆t) -vel egyenlő, vagyis P{ξt+∆t=k+1 | ξt=k}= ηtα-1∆t + o(∆t)
(k=0,1,2…),
ahol o(∆t) („kis ordó ∆t”) ∆t olyan függvénye, melyre o(∆t)/∆t →0, midőn ∆t →0. 2o Ha a t időpontban a rákos sejtek száma ξt=k, akkor annak a valószínűsége, hogy a t+∆t időpontban a rákos sejtek száma ξt+∆t=k-1 lesz, kγtα-1∆t + o(∆t), vagyis P{ξt+∆t=k-1 | ξt=k}= kγtα-1∆t + o(∆t)
(k=1,2…),
ahol α, η és γ pozitív konstans. Legyen P{ξt=k}=Pk(t), vagyis jelölje Pk(t) annak a valószínűségét, hogy a t időpontban a rákos sejtek száma pontosan k. Tegyük fel, hogy 1, ha k 0, ha k
3o P 0
0 0.
Ezen feltételek alapján valószínűségszámítási meggondolásokkal (részletesebben lásd [2]) egy differenciálegyenlet-rendszerhez jutunk, melynek megoldásaként kapjuk, hogy Pk(t) Poissoneloszlást követ, vagyis P t
(1)
!
e
(k=0,1,2…),
ahol λ t
(2) s itt 1
e
1
e
!,
! tulajdonképpen nem más, mint egy Weibull-eloszlásfüggvény (lásd [3]).
Ha M(t) jelöli a ξt várható értékét, akkor a várható érték definíciója szerint: 2
M t
(3)
M#ξ %
∑∞'( kP t
1
e
!
λ t .
Ha t→∞, akkor
(4)
lim ,∞ P t
(5)
lim ,∞ M t
.
- / !
e
.
.
(Vegyük észre, hogy (4) és (5) α-tól független; ilyenkor a szerep η-ra és γ-ra hárul!) A (3) alatti összefüggés diszkutálásából adódik, hogy rögzített t mellett, ha γ→0, akkor M t , t 0 . Ha η→∞, akkor M(t) →∞. Ha η→0 (vagy γ→∞), akkor M(t) →0. 0
Rákos betegek esetében általában η értéke nagy, γ értéke kicsiny! A 2o is kifejezi és mutatja: a legsúlyosabb helyzet akkor áll elő, ha γ→0. Kedvezőbb a helyzet, ha α →0, η/γ pedig relatíve nem nagy. (Ez jóindulatú daganatra utal!) A modell rávilágít arra is, hogy rákos sejtek az élő szervezetben olyan mértékben is jelen lehetnek, hogy számuk kicsinysége folytán nem tudjuk őket észlelni. Ezek a szervezetet nem képesek jelentősen megkárosítani, velük élünk anélkül, hogy tudnánk róla. Különösen a kezdeti stádiumban a paraméterek számszerű értéke akár jelentősen is ingadozhat, s nem könnyű az ingadozás mértékéről információt szerezni. Mindez egyben arra is utal, hogy a modell a valóságot jól jellemzi és hűen követi. A rákkutatás során a három paraméter kedvezőbb irányú változtatásának hatásos módszerét kell keresni és megtalálni.
Rákos sejtek csökkenési folyamata Tételezzük föl, hogy sikerült olyan gyógymódot találni, amely a rákos sejtek csökkenési folyamatát indítja el. Ez bekövetkezhet akkor is, ha az 1. Modellben szereplő η, γ és α paraméterek kedvező irányban megváltoznak, illetve megváltoztathatók. Az alábbiakban olyan modellt konstruálunk (alkotunk és hozunk létre), amely a rákos folyamat csökkenő tendenciáját más feltételek mellett mutatja be. (Lásd idevágóan is a [2] alatti hivatkozást, alkalmazásként még [4]-t!)
3
2. Modell Jelölje most χt a t időpontban a rákos sejtek számát. Tegyük fel, hogy: 4o P#χ 23
k 4 1|χ
k%
kβΔt 4 o(∆t)
5o P#χ 23
k
k%
kµtΔt 4 o(∆t)
1|χ
Legyen P{χt=k}=Vk(t), 1, ha k 0, ha k
6o V 0
1 1.
Vk(t)-ről belátható, hogy Pk(t)-hez hasonló differenciálegyenlet-rendszerrel jellemezhető. Ennek megoldásaként kapjuk, hogy
(6)
(7) ahol A t
V( t
1
V t
:
β D( e
;<
=
2>
µ ;< ?;@A @< A < µ
=
µE?; < <µ
: <µ
2>
<
=
dx ; B t
=
2>
e
!
µ@?; < <µ
B
(k=1,2,…)
, vagyis A t
β D( B x dx.
Most (8)
M#χ %
H t
∑∞'( kV t
e
µ < 2J <
és így H(0)=1. H(t) a maximumát a t (
(9)
H#t ( %
J µ
helyen veszi fel, és ekkor
;< <µ
e .
H(t) a 0
4
A kapott eredmények gyakorlati felhasználása kezdetben számos nehézséggel jár. De már ebben a formában is segítik és hozzájárulnak a rákkutatás szabatosabb és precízebb matematikai eljárásainak kialakításához, a tennivalók fölismeréséhez és cselekvéssé formálásához.
Budapest, 2012. május 24.
Dobó Andor
Hivatkozás [1]
Dobó Andor: Ésszerű-e mindig az ésszerű önérdek?, Magyar Tudomány, 1990/11.
[2]
Dobó Andor: Matematikai vizsgálatok a számítógépek várható számának alakulásával kapcsolatban, Szigma, 1973. 4. szám.
[3]
Gnyegyenko, B. V. – Beljajev, J. K. – Szolovjev, A. D.: A megbízhatóságelmélet matematikai módszerei, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1970.
[4]
Dobó Andor: Egy járvány lefolyása matematikai módszerek és számítógépek igénybevételének lehetősége mellett, Egészségügyi gazdasági szemle, 1978. 3. szám.
5
