A sztochasztikus folyamatok elméletének alapjai

Géptervezés I.

Márialigeti J. Terhelésanalízis (1994)

1/48

Tartalomjegyzék. 1./Bevezetés.........................................................................................3 2./Az üzemi terhelések általános jellemzése ....................................3 2.1./Az üzemi terhelések és az ébredô feszültségek kapcsolata .........3 2.2./Üzemi terhelések mérése ................................................................4 2.3./A terhelésanalízis célja ...................................................................7

3./A sztochasztikus folyamatok elméletének alapjai ......................7 3.1./A sztochasztikus folyamatok közvetlen leírása............................9 3.2./A sztochasztikus folyamatok jellemzô függvényei.....................11 3.3./Speciális sztochasztikus folyamatok ...........................................12 3.3.1./Gauss folyamat............................................................................... 12 3.3.2.Stacionárius folyamatok................................................................. 13 3.3.3./Ergodicitás...................................................................................... 14

3.4./Sztochasztikus folyamatok frekvencia szerinti analízise ..........15

4./Rendszertelen terhelési folyamatok statisztikai feldolgozása az amplitúdó tartományban .................................17 4.1./Bevezetés........................................................................................17 4.2./Feldolgozási technikák .................................................................20 4.2.1./Osztálybasorolás ............................................................................ 20 4.2.2./Az elsôrendu perem-eloszlás függvény meghatározása azonos idôintervallumonkénti mintavételezéssel ......................... 21 4.2.3./Egyparaméteres eljárások............................................................. 23 4.2.3.1./Szintmeghaladás számlálás............................................... 23 4.2.3.2./Reguláris csúcsok számlálása ........................................... 26 4.2.4./Kétparaméteres eljárások .............................................................30 4.2.4.1./A rain-flow eljárás............................................................. 31 4.2.4.2./A rain-flow eljárás kivitelezése ........................................ 31 4.2.4.3./A korrelációs mátrix ......................................................... 34 4.2.4.4./Terhelésegyüttes elôállítása rain-flow feldolgozás alapján.............................................................. 36

5./Terhelésegyüttes megadása gyakorlati számításokhoz............37 5.1./A terhelésegyüttes fô jellemzôi ....................................................37 5.2./A terhelésegyüttes megadása .......................................................38 5.3./Néhány nevezetes terhelésegyüttes típus ....................................39

2/48


Géptervezés I.

6./Példa terhelésegyüttes meghatározására ..................................43 6.1./A feldolgozás paramétereinek rögzítése .....................................43 6.2./A korrelációs mátrix elôállítása ..................................................44 6.3./A folyamatot alkotó feszültség-lengések meghatározása..........44 6.4./A terhelésegyüttes elôállítása.......................................................46

Géptervezés I.


3/48

TERHELÉSANALÍZIS.

1.Bevezetés. Ismeretes, hogy a szerkezeti anyagaink illetve az alkatrészek terhelhetôségét az igénybevételi módon felül (húzás, hajlítás stb.) döntôen befolyásolja a terhelés idôbeli viselkedése is. Idôben változó terhelésnél az u.n. kifáradási folyamat indul meg, ami az alkatrész terhelhetôségének folyamatos csökkenését eredményezheti. Az idôben állandó terhelésnél, fémek és nem magas hômérséklet esetén elfogadható méretezési modell, miszerint a határállapoti jellemzôk nem idôfüggôk, ebben az esetben már nem tartható, így az L élettartam a méretezés paramétereként megjelenik. A kifáradási folyamat alakulására döntô befolyással van a terhelés idôbeli viselkedése, ezért fontos kérdés a tényleges F(t) terhelés-idô függvények vizsgálata. Terhelésfüggvényen most teljesen általános terhelésfolyamatot értünk; erô, nyomaték, feszültség stb. lehet. A terhelés-idô függvény nagymértékben függ az adott gép jellegétôl, üzemi körülményeitôl, véletlen hatásoktól stb. Igy e kérdéskör tárgyalása a matematikai statisztika és a valószínuségszámítás eszközeinek alkalmazását teszi szükségessé.

2.Az üzemi terhelések általános jellemzése. 2.1.Az üzemi terhelések és az ébredô feszültségek kapcsolata. Tekintettel arra, hogy a méretezés alapja általában az üzemi terhelések hatására, a vizsgált alkatrészben illetve annak egy kritikus keresztmetszetében ébredô feszültség, a továbbiakban üzemi feszültségekrôl illetve azok idôfüggvényeirôl fogunk beszélni. A ténylegesen ébredô üzemi feszültségeket közvetlenül mérés útján tudjuk meghatározni. Ha ismert a szerkezet átviteli függvénye, (1. ábra) a mért (t) függvénybôl F(t) meghatározható, illetve megfordítva, F(t)-bôl (t) számítható. Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban elsôsorban a második út járatos. Az E átviteli függvény általában két, egymástól eltérô típusú adathalmazon értelmezendô. -A terhelés- és a feszültségfüggvény pillanatnyi értékei közötti kapcsolat meghatározása, "statikus"-nak feltételezett állapotban. Ezt a szilárdságtan, statika eszközeivel végezzük és nem vesszük figyelembe a

4/48


Géptervezés I.

terhelésfüggvény frekvenciaviszonyait, illetve az alkatrész vagy szerkezet lengéstani paramétereit.

1. ábra. Az átviteli függvény értelmezése. -Tekintettel arra, hogy minden tényleges szerkezetünk tömeggel rendelkezô rugalmas elemekbôl áll, ezért lengô rendszerként viselkedik. Így a rendszer "válasza" a külsô gerjesztésre lényegesen befolyásolhatja a szerkezet egy-egy pontjában ébredô tényleges feszültségeket. E tekintetben a terhelés függvény frekvenciaösszetétele a fontos, különösen akkor, ha terhelés függvénynek a rendszer valamelyik sajátfrekvenviája közelébe esô frekvencia-összetevôje is van. Ilyen esetekben a "kvázistatikus" analízis eredményeitôl lényegesen eltérô feszültségfüggvényeket is kaphatunk. Utalunk itt a lengéstanban tanultakra. Következmények: 1./Az idôben változó terhelések vizsgálata mind a nagyság mind a frekvencia-összetétel szempontjából lényeges. Ezt az amplitúdó és a frekvencia tartományban való vizsgálatnak szokás nevezni. 2./A továbbiakban terhelésen valóságos feszültségeket értünk és feltesszük, hogy az E átviteli függvény ismert, azaz ismert terhelésfüggvénybôl feszültségfüggvényt illetve fordítva, tudunk számolni.

2.2.Üzemi terhelések mérése. Ha az üzemi terhelések mérésérôl beszélünk, ez csak ritka esetben jelenti azt, hogy szerkezetet érô tényleges külsô terhelést, erôt vagy nyomatékot stb.-t, mérünk. Gondoljunk például egy üzemelô jármure. Ennek "külsô terhelése" -az önsúlyt és hasznos terhelést leszámítva- az útegyenetlenségekbôl adódó, a kerekekre ható x(t) elmozdulás kényszerekbôl adódik. (l.2.ábra) Az ezek hatására, pl. a kerék érintkezési pontjában ébredô erôk mérése egyrészt technikailag is kivitelezhetetlen, másrészt gyakorlati szempontból érdekesebb lehet valamely alkatrészben ténylegesen ébredô feszültség. Ez a feszültségfüggvény ekkor már tartalmazza az útgerjesztésbôl adódó,

Géptervezés I.


5/48

frekvenciafüggô hatásokat is. Ha viszont pl. egy álló jármu "hasznos terhelésérôl" beszélünk, az közvetlenül is mérhetô mint erô. Az üzemi terhelések mérésén így általában az üzemelô szerkezet valamely alkatrészének egy-egy keresztmetszetében illetve annak egy vagy több pontjában

2. ábra. Az útgerjesztés jármuvek esetén. ébredô feszültségek mérését értjük. Mivel a feszültség közvetlenül nem mérhetô, valójában deformációt illetve deformáció váltakozást mérünk, pl. nyúlásmérô bélyegek segítségével. (3. ábra)

3.ábra. Üzemi terhelésmérések sematikus elrendezése. A 3. ábra egy üzemi feszültségmérés sematikus elrendezését mutatja. Az 1 jelátalakító a mechanikus jelet (nyúlásváltakozás) elektromosan mérhetô jellé

6/48


Géptervezés I.

(nyúlásmérô bélyeg esetén ellenállás-váltakozássá) alakítja át, amely jelet a 2 mérôjel-átalakító elektromos feszültségingadozássá alakít át. Az így kapott feszültségingadozást erôsítés és szurés útján az erôsítô egység teszi további feldolgozásra alkalmassá. Ezzel tulajdonképpen már elôállt az alkatrészben ébredô mechanikai feszültség-idô függvénnyel arányos elektromos feszültség-idô függvény. A 3. megjelenítôn (oszcilloszkóp, képernyô) ez a függvény közvetlenül megfigyelhetô, a 4 adattárolón pedig analóg, vagy A/D konverteren átvezetve, digitális formában tárolható.Az így tárolt függvények képezik a további feldolgozás alapját. Ez lehet a kirajzolást követô kézi feldolgozás, ami "rövid" tranziens folyamatok feldolgozása, vagy elméleti vizsgálatok esetén szokásos. "Hosszú" folyamatok analizálásánál a számítógépes feldolgozás a járható út. A 4. ábrán néhány jellegzetes jelalakot mutatunk be.

4. ábra. Néhány jellegzetes sztochasztikus terhelésfolyamat jelalak. Ezek valójában elektromos feszültség-idô függvények, ahol az elektromos feszültség jel arányos a valójában mért mechanikai jellemzôvel, pl. mechanikai feszültséggel, nyomással, gyorsulással stb.

Géptervezés I.


7/48

2.3.A terhelésanalízis célja. A 4. ábrán bemutatott idôfüggvények ábrázolt hossza esetenként néhány másodperces vagy néhány tized másodperces üzemidô tartománynak felel meg, azaz a tényleges terhelési folyamatnak csak rendkívül kis részét mutatják,"mintavételezésnek" tekinthetôk. Tényleges, elegendôen hosszú folyamat vizuális megtekintése nyilvánvalóan technikai nehézségekbe ütközik. Reprezentatív jel feldolgozása ebbôl adódóan csak gépi eszközökkel képzelhetô el. Egy-egy rövid ideig tartó tranziens folyamatra persze ez nem feltétlenül igaz. Pl. ha egy adott sebességgel haladó autó kerékfelfüggesztésében, definiált útegyenetlenségen való áthaladáskor fellépô tranziens folyamatot elemezzük, az már kézi elemzésre és megtekintésre is alkalmas hosszúságú lehet. E függvények zárt, analitikus formában nem írhatók általában le, így a szokásos matematikai eszközök ezek megadására és elemzésére nem alkalmazhatók. További figyelembe veendô szempont az, hogy ha pl. ugyan azon az útvonalon, ugyan azzal a jármuvel, ugyan olyan körülmények között végighaladunk, a mért idôfüggvények nem lesznek azonosak: egy-egy mért függvény egy "véletlen függvény"-nek, a stochasztikus folyamat egy realizációjának tekinthetô. A gyakorlatban elôforduló terhelési folyamatok ilyen véletlen, sztochasztikus folyamatok. E sztochasztikus folyamatok elméleti alapjaival a valószínuségelmélet egy speciális ága, a sztochasztikus folyamatok elmélete foglalkozik. E matematikai alapokra épülnek azok a gyakorlati eljárások, amelyek a terhelésanalízis tárgykörét jelentik. A terhelésanalízis célja az ilyen jellegu, "hosszú" véletlen függvények, sztochasztikus folyamatok információtartalmának olyan feldolgozása, amely eredményeképpen a gyakorlati méretezés számára is használható, a terhelési folyamat lényeges elemeit tartalmazó adatokat kapunk. A továbbiakban a sztochasztikus folyamatok elméletének néhány olyan elemét tekintjük át, amelyek ismerete nélkül a terhelésanalízis eljárásai nem érthetôek. Nem törekszünk itt a teljes matematikai egzaktságra; inkább a fogalmak szemléletes bemutatása a cél.

3.A sztochasztikus folyamatok elméletének alapjai. A sztochasztikus folyamatok elmélete az idôben lejátszódó véletlen folyamatokkal foglalkozik.Egy idôben lejátszódó véletlen folyamat egy realizációjának a lefutása azt jelenti, hogy minden idôpillanatban valamilyen, a folyamattal kapcsolatos, általunk megfigyelt esemény következik be. Legyen a folyamat lefutásának idôtartama a [0;T] idôintervallum és legyen t T tetszôleges idôpillanat. A t idôpontban bekövetkezô eseményhez rendelünk egy számértéket, a t valószínuségi változót. (Ez a definíció teljesen azonos a valószínuségszámításban bevezetett valószínuségi változó definícióval.) E t valószínuségi változó egyrészt az adott folyamat egy konkrét realizációjához, másrészt a t idôpillanathoz tartozik. t tehát egy idôfüggvény.

8/48


Géptervezés I.

Legyen t* T egy adott idôpillanat és legyen a folyamat egy realizációjának lefutásakor a t* idôpontba bekövetkezô eseményhez rendelt valószínuségi változó értéke t*. Tekintsük e folyamat egy újbóli lefutását és legyen ekkor a t* idôpillanatban bekövetkezô eseményhez tartozó valószínuségi változó értéke 't* Sztochasztikus folyamatok esetén t* 't* , pontosabban ez 1 valószínuséggel igaz. t* = 't* esetén determinisztikus folyamatról beszélünk. A fentiek jobb megértésére tekintsük az alábbi példát. Legyen az általunk vizsgált, idôben lejátszódó véletlen folyamat egy új IKARUS autóbusz szerelô szalagról történô levétele és a roncstelepre való lerakása által határolt [0;T] idôin-tervallumon (~15 év) az autóbusz igénybevétele. Most még nem definiáltuk, hogy mit értünk konkrétan igénybevételen. Az autóbusz igénybevételét minden t T idôpillanatban az autóbusz pillanatnyi üzemi körülményei határozzák meg, pl. utasok száma,(hasznos terhelés) sebesség, útminôség, pillanatnyi üzemállapot, (fékezés, kanyar stb.) stb. Az igénybevételt meghatározó üzemi körülmények véletlenszeruen változnak, a t pillanatban kialakult üzemi körülmények együttese egy, az üzemi körülményekkel kapcsolatos esemény megvalósulását jelenti. Rendeljük ezen eseményhez a hátsó híd egy pontjában kialakult feszültség számértékét, a t értéket. Ezzel definiáltuk a véletlen eseménnyel kapcsolatos valószínuségi változót, amely egy [0;T]-n értelmezett idôfüggvény. A t idôfüggvény a sztochasztikus folyamat egy realizációja. Látható, hogy a sztochasztikus folyamattal , vagyis az igénybevételi folyamattal kapcsolatosan más valószínuségi változót is megfogalmazhatnánk, pl. az igénybevételt a karosszéria egy pontjában, a lengésgyorsulást az utastér egy rögzített pontjában, stb. Azt a tényt, hogy egy autóbusz típus egy konkrét példányának az életpályáját vizsgáljuk, a t -hez rendelt változóval jelöljük, igy a továbbiakban egy realizációt t( ) szimbólummal jelölünk. Az változót elemi eseménynek nevezzük, ez utal a realizációval kapcsolatos minden kezdeti paraméterre és késôbbi eseményre. Ha kiemelünk egy másik autóbuszt és annak az életpályáján is felvesszük ugyan azon pontban a t( ') idôfüggvényt, a sztochasztikus folyamat egy újabb, ' elemi eseményhez tartozó realizációjához jutunk, ahol ' e realizációt meghatározó külsô körülmények együtteséhez rendelt elemi esemény. Nyilvánvaló, hogy P

, t

t

0

(1)

A sztochasztikus folyamat egzakt definíciója tehát a következô: Legyen { ,A,P} valószínuségi mezô, ahol az elemi események tere, A az elemeibôl alkotott algebra, P pedig a valószínuségi mérték, T [- ; ] végtelen paraméterhalmaz. Az { ,A,P}-n értelmezett { t( ), t T } valószínuségi változók összességét sztochasztikus folyamatnak nevezzük.

Géptervezés I.


9/48

5. ábra. A sztochasztikus folyamat ábrázolása. Az 5.ábrán a { ;t; (t, )} térben a sztochasztikus folyamat egy felülettel ábrázolható, ezért alkalmazható a (t, )= t( ) jelölés. Rögzített t0 esetén t0( ) egy valószínuségi változó, ezt a t0 ponthoz rendelt peremvalószínuségi változónak nevezzük. Ha 0 rögzített, akkor (t, 0) egy T-n t( 0)= értelmezett függvény, ezt realizációs függvénynek vagy realizációnak nevezzük. Az elôzô példánkban a realizáció egy konkrét busz teljes élettartamán felvett idôfüggvény, míg a peremvalószínuségi változó sok buszon végzett mérés során, az azonos t0 üzemi idôpontban mért feszültség értéke. Megjegyzések: 1./A mindennapi szóhasználatban a sztochasztikus folyamatnak nevezni.

(t, )= t( ) realizációt is szokás

2./A gyakorlatban egy jármu teljes élettartamára kiterjedô méréseket nem lehet realizálni, ezt a példát csak a jobb megértés kedvéért vettük. Általában rövidebb, még reprezentatívnak tekinthetô üzemidô tartamokon végzünk méréseket, különbözô üzemállapotokban. Van példa azonban esetleg több éves folyamatos adatfelvételre is,(Mercedes gyár kamion híd feszültségmérés, NATO vadász-gép mérés stb.) de ezek inkább különleges esetek.

3.1.A sztochasztikus folyamatok közvetlen leírása. Nem törekedve a teljes matematikai egzaktságra, a sztochasztikus folyamatok közvetlen leírása az alábbi módon történhet.

10/48


Géptervezés I.

Legyen t1 ,t2,....tn a T paramétertér pontja és t1( ), t2( ),...... tn( ) a szóban forgó idôpontokhoz tartozó peremvalószínuségi változók. Legyen x1, x2,....xn egy szám n-es. Ekkor a peremvalószínuségi változók együttes eloszlásfüggvénye : P

x1 ,

t1

Ft

, 1

t2

,...

tn

x2 ,... x1 , x2 ,...xn

t2

tn

xn ,

(2)

leírja a folyamat valószínuségi viselkedését. Definiáljuk a továbbiakban az X1, X2,.....Xm intervallumokat és tekintsük azt a H eseményt, hogy H t1, ,t 2 , ,...t n ; X 1, X 2 , ...X n

t

1

t1

X1 , x1 ,

t2

t

2

X 2 ,... x 2 ,... t n

tn

Xn

xn

(3)

ahol ti( )= ( ti ) változójú függvény, az elemi eseményekhez tartozó realizációk ti idôpontban felvett értékeinek összessége. A H esemény tehát azt jelenti, hogy t1 ,t2,....tn idôpontokban a sztochasztikus folyamat értékei éppen az adott X1, X2,.....Xm intervallumokban vannak.

6.ábra. A sztochasztikus folyamat közvetlen leírása. a./A peremvalószínuségi változók és az X halmazok elhelyezkedése. b./Realizációk vetülete a t; t( ) síkon.

Géptervezés I.


11/48

A keresett kifejezés az együttes surüségfüggvény integrálásával adódik:

P H t1 ,t 2 ,...t n ; X 1 , X 2 ,...X n dF n i 1

t1 ,

t 2 ,...

x1 , x 2 ,...x n

tn

(4)

Xi

Ha a (3) eseményhez tartozó (4) szerinti valószínuségeloszlás függvényeket tetszôleges n számra meg tudjuk adni, a folyamat viselkedését tetszés szerinti pontossággal jellemezni tudjuk. Ezt a megadást nevezzük közvetlen valószínuségi leírásnak.

3.2.Sztochasztikus folyamatok jellemzô függvényei. A sztochazstikus folyamatok jellemzésére felhasználjuk a perem-valószínuségi változók jellemzô paramétereit is. Legyen mt

M

t

t T

(5)

a t idôpontokhoz tartozó perem-valószínuségi változók várható értékeibôl alkotott idôfüggvény. Ezt a { t( )} folyamat várható érték függvényének nevezzük. A folyamat t( ) realizációs függvényei ezen m(t) függvény, mint középérték körül ingadoznak. Igy itt is értelmezhetô a szórásnégyzet függvény mint idôfüggvény:

d2 t

M

mt

t

2

D2

t

(6)

illetve a d(t) szórásfüggvény. Hasonlóan értelmezhetôk a magasabbrendu momen-tumoknak megfelelô idôfüggvények is. A sztochasztikus folyamatok vizsgálatában jelentôs szerepet játszanak a több valószínuségi változó kölcsönös függésének vagy függetlenségének jellemzésére bevezetett korrelációs együtthatóval illetve kovarianciával analóg mennyiségek is. Legyen s,t T, s< t két idôpont, ekkor a : B s ,t

M

s

.

t

(7)

kétváltozós függvényt a { t( )} folyamat autókorrelációs függvényének, míg a

12/48


C s ,t

M

ms .

s

t

Géptervezés I.

mt

(8)

kétváltozós függvényt a { t( )} folyamat autókovariancia függvényének nevezzük. A (6) és (8)-ból következik, hogy C(t,t)=d2(t). Mivel a C(s,t) függvény tetszésszerinti értéket felvehet, célszeru azt "normálni" a d(s).d(t) értékkel: C s ,t d s .d t

R s ,t

(9)

ez a normált autókorrelációs függvény, R(t,t)=1. A korrelációs együtthatóval való analógiából adódik, hogy ha R(s,t) értéke kicsi, akkor s( ) és t( ) között lévô lineáris kapcsolat gyenge.

3.3.Speciális sztochasztikus folyamatok. 3.3.1.Gauss folyamatok. Legyen a { t( )}, t T sztochasztikus folyamat esetén, minden t1 ,t2,....tn T, n tet-szôleges természetes számra, a t1( ), t2( ),...... tn( ) peremvalószínuségi változók együttes surüségfüggvénye n dimenziós normális eloszlású, azaz: f

1,

2...

1 2

n 2

n

x1 , x 2 ...x n

exp C

1 2C

n n

Ci ,k xi

i 1k 1

m t i . xk

m tk

(10)

alakú, ahol Ci,k =C(ti;tk) (8) kovarianciafüggvény, m(ti) az (5) várható érték függvény helyettesítési értéke, C pedig a {Ci,k}i,k=1..n mátrix determinánsa. Az ilyen sztochasztikus folyamatot Gauss folyamatnak nevezzük. A (10) összefüggésbôl látható, hogy az m(t) várható érték függvény és a C(s,t) kovariancia függvény már meghatározza a véges dimenziós perem-eloszlás függvényeket, így azok viszonylag egyszeruen leírhatók. E tulajdonságuk indokolja a Gauss folyamatok nagy gyakorlati jelentôségét.

Géptervezés I.

13/48


3.3.2.Stacionárius folyamatok. A muszaki gyakorlatban gyakran lépnek fel olyan sztochasztikus folyamatok, amelyek valószínuségi viselkedése állandósult jellegu. E tulajdonsággal kapcsolatos a szigorúan stacionárius, az n-ed rendben szigorúan stacionárius és a gyengén stacionárius folyamat fogalma. A { t( )}, t T folyamat szigorúan stacionárius, ha minden n természetes számra és tetszôleges t1 ,t2,....tn T paraméter n-esre igaz, hogy: P P

t1 t1

x1 , t2 x1 ,

ahol tetszôleges valós szám és ti+

x2 ... t2

xn

tn

x2 ...

tn

xn

(11)

T.

A (11) azt jelenti, hogy a véges-dimenziós peremeloszlások eltolásinvariánsak, azaz rögzített távolságra elhelyezkedô n-ed rendu peremeloszlásfüggvények azonosak. Ha a (11) feltételt csak egy véges m értékig követeljük meg, m-ed rendben szigorúan stacionárius folyamatról beszélünk. Pl. ha n=1, a (11) feltétel azt jelenti, hogy a t( ) egy dimenziós F t1 (x1) eloszlásfüggvénye minden t T értékre azonos. (7.ábra)

7.ábra. Elsô rendben szigorúan stacionárius folyamat. Ez persze nem azt jelenti, hogy minden -hoz tartozó realizáció azonos, hanem hogy minden realizációs függvény azonos m érték körül ingadozva, minden t-re azonos eloszlás (ill. suruség) függvénnyel rendelkezik.

14/48


Géptervezés I.

Másodrendben szigorúan stacionárius folyamatoknál a (11)-bôl következôen az F t1, t2 ( x1,x2) kétdimenziós peremeloszlásfüggvény csak a t2-t1= t idôköztôl függ, így a (7) autókorrelációs függvény szintén csak a t függvénye: B t1 ,t 2

M

t1

.

t2

x1 x 2 dF

t 1,

t2

x1 , x 2

B t2

t1

(12)

B t

Ez a tulajdonság vezet el a gyengén stacionárius folyamatok definíciójához. Ha egy folyamatra teljesül, hogy

mt

M

ll .;d 2 t

t

M

t

t1

B t

mt

2

ll .

(13)

és B t1 ,t 2

B t2

(13*)

vagyis az autókorrelációs függvénye csak a t2-t1= t-tôl függ, gyengén stacionárius folyamatról beszélünk. (Itt tehát az eloszlásfüggvények eltolás invarianciáját nem követeljük meg.) A Gauss folyamatok fontos tulajdonsága, hogy azoknál a gyenge stacionaritásból következik a szigorú stacionaritás is, míg más folyamatoknál ez nem feltétlenül igaz. 3.3.3.Ergodicitás. Gyakorlati szempontból igen jelentôs az a kérdés, hogy vajon milyen körülmények között lehet a sztochasztikus folyamat egy t( 0 ) 0 rögzített, realizációból a folyamat valószínuségi struktúrájára nézve következtetéseket levonni. Az autóbusz példánál maradva: sok busz által megtestesített realizációs függvények információtartalmát lehet-e egyetlen busz megfelelô idôtartamú vizsgálatával helyettesíteni? Teljesen általános t( ) folyamat esetén ez nem lehetséges, bizonyos megszorításokat téve azonban a folyamatra, igen. Kimutatható, hogy gyengén stacionárius sztochasztikus folyamatokra, bizonyos itt nem részletezett- feltételek teljesülése esetén a sztochasztikus folyamat valószínuségi jellemzôit -elsô rendu perem-eloszlás, autokorrelációs függvény stb.- egyetlen realizációból is megállapíthatjuk.

Géptervezés I.


15/48

Így a várható értékre igaz, hogy: mt

M

t

1 2T

lim T

(14)

T t

dt

0

const .

T

azaz a folyamat várható értéke mint egyetlen realizáció idôátlaga is meghatározható, l. 8. ábra.

8.ábra. Ergodikus sztochasztikus folyamat. Hasonlóan igaz ez az autokorrelációs függvényre is. Legyen =t-s, ekkor

B

B s ,t lim T

1 2T

T t

0

.

t

0

dt

(15)

T

Az ilyen folyamatokat ergodikus folyamatoknak nevezzük. A továbbiakban ilyen ergodikus folyamatokkal fogunk foglalkozni. Ezeknél tehát elegendô egy, elegendôen hosszú, azaz reprezentatív realizáció vizsgálata.

3.4.Sztochasztikus folyamatok frekvencia szerinti analízise. Az 1. és 2. fejezetekben láttuk, hogy az idôben változó terhelések esetén - a szerkezetek rugalmas viselkedése következtében- nem csak a terhelés nagysága,

16/48


Géptervezés I.

(amplitúdók, azok váltakozása stb.) hanem a folyamat frekveciaösszetétele is fontos lehet. A 3.1., 3.2., 3.3. fejezetekben megadott valószínuségi leírás azt elemezte, hogy a folyamat amplitúdó tartományban való viselkedése hogyan fogható meg a valószínüségszámítás eszközeivel. Nem ad viszont útmutatást a frekvenciatartalom tekintetében, azaz a frekvenciatartományban való elemzéshez. E kérdésekkel a sztochasztikus folyamatok elméletének spektrál-analízis része foglalkozik. (l.9.ábra)

9.ábra. Az amplitúdó és a frekvenciatartomány értelmezése. Leglényegesebb jellemzô a spektrális surüségfüggvény vagy közismertebb nevén a teljesítmény-suruség spektrum, amelyet ergodikus folyamat esetén a következô közelítô összefüggéssel számíthatunk:

S f

1 lim 2T T

2

T t

0

e

j

f

t

dt

(16)

T

Ez az összefüggés formailag megegyezik a Fourier transzformáció összefüggésével. Az integrandus a t( 0 ) egyetlen realizáció Fourier transzformáltja, f a frekvencia, T pedig egy T idô félintervallumot jelöl. A (16) szerinti megfogalmazás csak ergodikus folyamatok esetén érvényes. A transzformáció részletei tekintetében utalunk a matematikai szakirodalomra. A 10.ábrán egy személyautó hátsó hídján mért feszültségfüggvény teljesítmény suruség spektruma látható. Az ábrában a 14 Hz-es csúcs a hátsó híd lengéseibôl adódó rész, az 1,4 Hz-es a felépítmény lengéseit jelenti, amelyet az útegyenetlenségek okoznak. A 0,5 Hz-

Géptervezés I.


17/48

nél kisebb értékek a menettel kapcsolatos manôverekbôl adódnak.(fékezés, kanyar stb.)

10. ábra. Személyautó felfüggesztés egy pontjának teljesítmény suruség spektruma. A 11.ábrán egy IK 556-os autóbusz üzemi feszültségeinek teljesítmény-suruség spektruma látható, a mérôhely a fenékváz egy pontja. A 2-2,5Hz körüli lengések a felépítmény lengéseibôl, míg a 9-12Hz-es tartomány csúcsai a futómu lengésekbôl adódnak. (23-25 km/h, rossz aszfalt út.)

11. ábra. Autóbusz üzemi feszültségeinek teljesítmény-suruség spektruma.

4.Rendszertelen terhelési folyamatok statisztikai feldolgozása az amplitúdótartományban. 4.1.Bevezetés.

18/48


Géptervezés I.

A sztochasztikus terhelési folyamatok elméletében láttuk, hogy ergodikus folyamatok esetén nem szükséges feltétlenül a folyamat több realizációjának elemzése a folyamat valószínuségi struktúrájának a feltárásához, hanem megelégedhetünk egyetlen realizáció vizsgálatával. Elméletileg a vizsgált realizációra a T feltételnek kell teljesülni, amit nyilvánvalóan csak közelíteni tudunk. A realizáció "hosszát" a szóban forgó berendezéstôl függôen, megtett úthosszban, (km) idôben, (üzemóra) körülfordulások számában stb.-ben mérhetjük. Az idô dimenzióra való átszámítás minden esetben lehetséges. Minél "rövidebb", a vizsgált realizáció, annál bizonytalanabb lesz a folyamat valószínuségi struktúrájára vonatkozó becslésünk (kis minta) és megfordítva. A vizsgált realizációra azt a követelményt állíthatjuk fel, hogy az "elegendôen hosszú" legyen. Elegendôen hosszúnak tekinthetô egy realizáció, ha az reprezentatív, vagyis a vizsgált jellemzôvel kapcsolatos, minden lényeges információt tartalmaz. Kézenfekvô, hogy ha például definiált, jó útminôségu autópályán, rögzített sebességviszonyok között kívánunk egy közúti jármu igénybevételérôl tájékozódni, relatíve rövid útszakaszon is kielégítô információkhoz juthatunk. Ha viszont pl. a teljes magyar épített úthálózat tekintetében kívánunk információkhoz jutni, a reprezentatív hossz lényegesen nagyobb lesz. A reprezentatív hossz tekintetében általános szabályt nem lehet felállítani; függ a vizsgálat céljától, a vizsgálat körülményeitôl stb. Mivel ezek az -általában nagyon hosszú- függvények analitikusan nem állíthatók elô,numerikus megadás formájában adottak.

12.ábra. A rendszertelen terhelésfolyamat struktúrája. A terhelésfüggvény feldolgozásának célja az, hogy a 3. fejezetben bemutatott valószínuségi jellemzôket, a peremeloszlásokat, szórást stb. maghatározzunk, és ezzel a terhelések nagyságára vonatkozó statisztikai információkat nyerjünk. Ennek alapján tudunk olyan kérdésekre választ adni, hogy milyen maximális feszültségekre lehet -egy bizonyos valószínuséggel- számítani, vagy bizonyos feszültségek milyen valószínuséggel fordulnak elô stb. E feldolgozás folytán a sorrendiségre vonatkozó információk elvesznek. Ez a fajta valószínuségi leírás mindig függvény értéket kezel, t( ), a méretezéshez viszont nekünk a lengés váltakozásra jellemzô információk is szükségesek, pl. amplitúdó-középfeszültség pár formájában, mivel a kifáradási élettartamot ezek határozzák meg döntôen.

Géptervezés I.


19/48

Tekintsük a 12. ábra egy kinagyított részletét. Ha megvizsgálunk egy ilyen realizáció részletet, egyértelmuen fél-lengéseket tudunk azonosítani, és féllengésenként tudunk középfeszültségeket és feszültségamplitúdókat definiálni. Pl. az 1 2 lengés esetén m1 középfeszültség és a1 feszültségamplitúdó, míg 2 3 esetén m2 , a2 stb. adható meg. Ha eltekintünk a jelalaktól és a frekvenciától, a pontos megadás pl. a féllengések{ ai, mi} értékpárjainak, ezek sorrendiségének megadását követelné meg. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen hatalmas adathalmazzal ebben a formában nem nagyon lehet mit kezdeni. Felmerül tehát a kérdés, hogy milyen módon lehetne akár információvesztés árán is- egyszerusítéseket alkalmazni. Az egyszerusítés szempontja az lehet, hogy az alkatrész kifáradás szempontjából mely adatok fontosak és mely adatok kevésbé. Tekintettel kell továbbá lenni arra, hogy a vizsgált realizáció csak egy statisztikai minta a sztochasztikus folyamatra. Ebbôl következôen, a szokásos statisztikai eszközöket esetenként némileg módosított formában is fogjuk alkalmazni. A továbbiakban ergodikus folyamatot tételezünk fel, tehát egy realizációt mint idôfüggvényt vizsgálunk. A realizáció szükségszeruen véges hosszúságú, így ez a folyamatra vett statisztikai mintának tekinthetô. Célunk a minta alapján statisztikai becslést adni a sztochasztikus folyamatokra, azt valószínuségi leírás formájában megadva. A feldolgozás módja függ attól, hogy az eredményeket számításra, kísérleti élettartamvizsgálatra, stb.-re akarjuk-e felhasználni. A feldolgozás számos módszere alakult ki. A továbbiakban ezek közül a méretezés szempontjából legfontosabbakat tekintjük át. Megjegyzések: 1./Az élettartamra való méretezés egyik legnehezebb problémája a terheléslengések sorrendiségének a figyelembevétele. Élettartam vizsgálati adatokból ismeretes, hogy ennek lényeges befolyása van az alkatrészek élettartamára. A szerkezeti anyagainkban lejátszódó kifáradási folyamatról rendelkezésre álló mai ismereteink azonban nem teszik még lehetôvé azt, hogy ezt az élettartam számítással történô elôrebecslésénél figyelembe tudjuk venni.Méretezési szempontból tehát a sorrendiségi információ elvesztése nem jelent hátrányt, mivel nem tudnánk egyébként sem felhasználni. 2./Kísérleti élettartam vizsgálatoknál azonban a tényleges sorrendiség figyelembe vétele már elengedhetetlen. Így a terhelési folyamatok ilyen célú feldolgozásánál a sorrendiségi információt is meg kell tartani. E kérdéskörrel itt nem foglalkozunk. Utalunk azonban arra, hogy az amplitúdó-tartománybeli stochasztikus jelleg a sorrendiségre is igaz, tehát a sorrendiségi információ is statisztikai jellegu. E kérdéskör tárgyalása további matematikai statisztikai eszközöket igényel, amelyekkel itt nem foglalkozunk.

20/48


Géptervezés I.

4.2.Feldolgozási technikák. 4.2.1.Osztályba sorolás. A 3.1. (2) egyenletével definiált peremvalószínuségi változó eloszlásfüggvények -mint láttuk- a sztochasztikus folyamat közvetlen valószínuségi leírásának egy elemét adják. A 3.3.3. fejezetben tárgyalt ergodicitási tulajdonság alapján a (2) egyenlet szerinti perem-valószínuségi változó eloszlások egyetlen t( ) realizációból is elôállíthatók. További tárgyalásainkban a t( ) dimenziójától eltekintünk, az akár mi lehet, paraméterként (független változó) is megtartjuk t idôt. A továbbiakban, mivel csak egy realizációval foglalkozunk, a t( )= (t) jelölést használjuk, utalva arra, hogy formailag ez egy közönséges idôfüggvény. Az elsôrendu peremeloszlás függvény azt az F(x) valószínüségeloszlást jelenti, amely megadja a P

t x

F x

(17)

valószínuségeket, azaz annak a valószínuségét hogy a függvény aktuális értéke kisebb mint egy megadott x érték, 13. ábra.

13.ábra. Az elsôrendu peremeloszlás függvény származtatása. Egy realizáció feldolgozásakor a matematikai statisztika eszközeivel határozzuk meg az F(x) becslését, ahol a statisztikai minta maga a realizáció. Mivel a realizáció véges hosszúságú, a minta is véges, így a statisztikai feldolgozással a keresett eloszlásfüggvény egy minta-beli becslését kapjuk. A statisztikai feldolgozáshoz a matematikai statisztika ismert eszközeit használjuk fel, a gyakorlati követelményekhez igazított formában.

Géptervezés I.


21/48

Legyen (t)max=max{ (t)} és (t)min=min{ (t)} t T, a vizsgálandó realizáció várható legnagyobb és legkisebb értéke a vizsgált tartományon. Az így adódó { (t)min< (t)< (t)max} intervallumot általában 12..32 db. azonos részintervallumra bontjuk és növekvô sorszámmal látjuk el (14.ábra), a függvényértékek növekedésének irányába. Modern elektronikus eszközök alkalmazása esetén az osztályok száma lényegesen nagyobb is lehet. Célszeru esetenként még egy R,+R peremintervallumot is felvenni, amelybe már nem juthat a függvény, ha a max és min értékek helyesen lettek kijelölve. (Ennek akkor van jelentôsége, ha az osztálybasorolást on-line csináljuk. A mérés megindítása elôtt nem mindig tudunk elegendôen közeli alsó és felsô becslést adni.) A fenti eljárást nevezzük osztályozásnak, vagy osztályba sorolásnak. Megjegyzés. 1./Az osztályba sorolás, a feldolgozás módjától függöen, esetenként szürést is jelent. Ez azt jelenti, hogy az egy sávban maradó , öszetartozó max. és min. csúcs közötti lengés a feldolgozásból kimarad.Az osztály sávszélességének megfelelô megválasztásával ez a szurés elôirt értéken tartható. Általában a sávszélesség a teljes feszültségtartományhoz képest kicsi, így nem jelent ez lényeges információvesztést. 4.2.2.Az elsôrendu peremeloszlás függvény meghatározása, azonos idôintervallumonkénti mintavételezéssel. Az elsôrendu F(x) peremeloszlás függvényt megkaphatjuk pl. úgy, hogy a t tengelyen t=áll. beosztást felvéve, mintavételezzük a függvényt.Igy megkapjuk az egyes osztályok gi osztálygyakoriságát, amibôl mind az abszolút, mind a relatív tapasztalati gyakorisági függvény, mint a suruségfüggvény becslése elôállítható. Hasonlóan meghatározhatók az abszolút és relatív tapasztalati halmozott(összeg-) gyakorisági függvények, mint az eloszlásfüggvény becslése. (l.Matematikai statisztikai eszközök. 3.2. fejezet) A 14. ábrán gi annak az abszolút gyakorisága, hogy a függvény érték éppen az iedik osztályba esik, i=1,2...n, vagyis az i-edik osztályba tartozó mintaelemek abszolút száma, fi=gi/n az i-edik osztály elôfordulásának relatív gyakorisága, n=23 a minta elemszáma, Gi az i-edik osztályhatár meghaladásának összeggyakorisága, Fi az i-edik osztályhatár meghaladásának a valószinusége. Ezen adatok alapján a vonatkozó tapasztalati eloszlás és surüségfüggvény megrajzolható, illetve analitikus eszközökkel a megfelelô eloszlásfüggvény paramétereinek becslése numerikus vagy analitikus úton elôállítható. Megjegyzés: 1./Az ilyen módon elôállított peremeloszlás-függvény, bár a folyamatot jellemzi, méretezési vagy élettartam vizsgálati célra még nem elegendô.A továbbiakban olyan feldolgozási eljárásokkal foglalkozunk, amelyek a terhelési folyamatról további információkat szolgáltatnak. 2./Bevezetünk néhány olyan jellemzôt, amelyek a terhelési folyamatok feldolgozásában lényeges szerepet játszanak.

22/48


Géptervezés I.

14.ábra Az elsôrendu peremeloszlás származtatása azonos idôlépésenkénti mintavételezéssel.

Rendszertelenségi együttható. Legyen n a sztochasztikus folyamat vizsgált T intervallumán a lengések maximális csúcsértékeinek a száma és legyen n0 a m középszint felfelé haladó egyirányú átmetszéseinek a száma. Az I=n0/n hányadost rendszertelenségi együtthatónak nevezzük, 0
c

max 1 2T

t

m

T

t T

2 m

dt

Géptervezés I.


23/48

ahol a nevezô a feszültség-lengés négyzetátlagának a gyöke, az R.M.S. érték.(Root Mean Square). A m a folyamat középértéke (Idôátlaga.), c>1

15.ábra. Különbözô rendszerteleségi együtthatókhoz tartozó sztochasztikus folyamatok

4.2.3.Egyparaméteres eljárások. 4.2.3.1.Szintmeghaladás számlálás. Tekintsük a 16.ábra szerinti folyamatot és rendeljük minden osztóvonalhoz a felette lévô osztály sorszámát. A mintavételezés tárgyát képezô esemény a terhelési függvény, (t) lefelé haladó ágának egy osztályhatárral való metszôdése. A gi abszolút és fi relatív gyakoriságok a szint átmetszések számát illetve azok relatív gyakoriságát adják; az átmetszések összes száma, vagyis a mintaelem szám n=35. Az így adódó f függvény a peremeloszlás surüségfüggvényének közelítése.

24/48


16.ábra. a./Szintmeghaladás számlálás. b./Terhelésegyüttes.

Géptervezés I.

Géptervezés I.


25/48

Képezzük most a i

Gi

i

gj

; Fi

j 1

f

i 1... n

j

j 1

abszolút és relatív összeggyakoriság függvényeket. Fi így azon esemény bekövetkezési valószínuségének a becslése, hogy a (t) realizáció értéke az adott i szintnél kisebb: Fi

P

t xi

F xi

(18)

A Gi ugyan ezt fejezi ki abszolút összeggyakoriság formájában. Képezzük most azon komplementer esemény valószínuségét, hogy (t)>xi, azaz az

Fi

P

t xi

F xi

(19)

Nyilvánvaló, hogy F xi

A két függvény az 50%-os

m

1 F xi

(19*)

medián értéknél metszi egymást.

Tekintsük most az F tengely egy F tartományát, a 00,5 tartományt tehát egyesítve az F<0,5 tartománnyal, az F tengelyt átskálázhatjuk és így elég az F és F görbék metszéspontig terjedô részének a vizsgálata. A két görbe metszéspontjánál adódó m értéket tekintjük a továbbiakban a folyamat középértékének.(Feszültségfüggvény esetén ez a folyamat középfeszültsége.) Az F és F határvonalak alapján amplitúdó-középérték párokat, az azonos valószínuséggel bekövetkezô max. és min. csúcsok kiválasztásával definiálunk. Az azonos valószínuségi értékekhez tartozó pontok között így -az azonos valószínuséggel való bekövetkezés alapján - önkényesen egy 2 a1 kétamplitudójú teljes lengést definiálunk, amelyhez a m1 középértéket rendeljük hozzá. Ezzel a valóságos terhelési folyamatból egy olyan amplitúdó valószínuségeloslás-függvényt állítottunk elô, amely megadja pl. bármely értéktartományhoz annak a valószínuségét, hogy a folyamat csúcsértéke éppen

26/48


Géptervezés I.

ebben a tartományban van. Ez egyben azt is jelenti, hogy a folyamat pillanatnyi középértéke ekkor m,i, amplitúdója pedig a,i. A kapott diagramot terhelésegyüttesnek nevezzük. A folyamat ilyen megadását pedig terhelés együttes formában való megadásnak mondjuk. Megjegyzések. 1./ Ha a folyamatot a tényleges függvényértékek szerint, vagyis a mért folyamat tényleges értékeinek megfelelôen skálázzuk, konkrét számértékeket kapunk. Ha a mért folyamat éppen feszültség folyamat, a m= m és a= a helyettesítéssel a folyamatot feszültségamplitúdóközépfeszültség párokra bontottuk fel, megadva egyben az egyes értékpárok elôfordulási valószínuségét. Ez az elôállítás méretezési célokra már közvetlenül alkalmazható. 2./Vegyük észre, hogy ennél az eljárásnál az azonos gyakorisággal (valószínuséggel) elôforduló max. és min. feszültségtartományok között definiáltunk önkényesen feszültséglengéseket, nem véve figyelembe a tényleges terhelési képet, csak annak egy szintmeghaladás szerinti statisztikáját. Ugyan ilyen terhelésegyüttesre juthatunk minden olyan folyamat esetén, amelyeknek a szintmeghaladási statisztikája ugyan olyan, de a tényleges féllengés sorozat lehet eltérô a két esetben.(l.12. ábra) A sorrendiség információk teljesen elvesztek. 3./A tapasztalatok szerint e módszer használható ha 1>I>0,8 teljesül és erôteljes amplitúdóingadozás mutatkozik. 4./Ma már az újabb eljárások mellett kissé háttérbe szorult az alkalmazása. Ugyanakkor számos, ilyen feldolgozással nyert terhelés-együttes ma is használatban van. (Méretezési szabványokban is.). 5./A tapasztalatok szerint számos gyakorlati esetben a tapasztalati eloszlásfüggvény jól közelíthetô normális , lognormális, vagy Weibull eloszlással. Ilyen esetekben is igen elônyösen alkalmazhatók a valószínuségi koordinátarendszerek, mind az illeszkedésvizsgálatra, mind az eloszlások paramétereinek kiértékelésére. 4.2.3.2.Reguláris csúcsok számlálása. Reguláris csúcson értjük a közép érték feletti maximális és a középérték alatti minimális csúcsokat. Ezek számlálása alapján adható meg a reguláris csúcsok eloszlásfüggvénye, amelybôl a 4.2.2.1. fejezet eljárásával analóg módon terhelés-együttes konstruálható. Legyen

cs,max

egy maximális,

cs,min

egy minimális csúcsérték és legyen

reg cs,max

ill. csreg ,min egy maximális illetve minimális reguláris csúcsérték. Tekintsük a 17.ábra szerinti terhelésfüggvényt..

Géptervezés I.


27/48

17.ábra. Reguláris csúcsok számlálása. Elsô lépésben a folyamat középértékét kell meghatározni, amelyet a maximális és minimális csúcsok eloszlásfüggvényeinek kiértékelése alapján határozunk meg. E nélkül ugyanis nem tudunk még reguláris csúcsokat definiálni, mivel nincs középérték. A számlálás eredményeit a 17.ábra táblázatában a gjmax és gjmin ab-szolút gyakoriság oszlopok tartalmazzák. Az abszolút összeggyakoriságokból meghatározhatók a Gjmax és Gjmin halmozott vagy összeggyakoriságok, valamint a minta elemszámmal normálva az Fjmax és Fjmin relatív gyakoriságok. A maximális és minimális csúcsok eloszlásfüggvényeit normál valószínuségi papíron ábrázolva (18.ábra) megállapítható, hogy a mintaelemek jól illeszkednek egy-egy egyeneshez, így a csúcsok eloszlására a normális eloszlást elfogadjuk. Behúzva a jól kiegyenlítô egyeneseket, a keresett eloszlásfüggvények becsléseit kapjuk. Az 50%-os valószínuséghez tartozó medián értékek -normális eloszlás esetén- egyben a várható értéket is adják. Igy -az ábra alapján- cs,max 8,5 (a 8as és 9-es osztályhatár) míg

cs,min

5,5. A teljes folyamat középértékét e két

adat számtani közepeként definiáljuk, így közepén vesszük fel.

7. Így a középértéket a 7. osztály

A vonatkoztatási szintnek tekintett 7. osztály kijelölése után a reguláris csúcsok eloszlásfüggvényei már meghatározhatók. Ezt megint az egyes osztályokba esô most már csak- reguláris csúcsok számlálásával, azaz az abszolút gyakoriságok meghatározásával kezdjük. Felmerül azonban a kérdés, hogy hogyan értelmezzük a 7. osztályba esô csúcsok számát, mivel az egyes csúcsok osztályon belüli elhelyezkedését már nem értékeljük ki, így az sem tudható hogy egy ide esô csúcs reguláris e vagy nem. Megegyezés szerint a 7. osztály osztálygyakoriságát az ide esô max. és min. csúcsok számának számtani átlagaként értelmezzük. Esetünkben ez 1,5, amit 1 értékre lefelé kerekítünk.Így a reguláris csúcsok Fjreg relatív összeggyakoriság értékei meghatározhatók. Ezen értékeket megint normális valószínuségi koordinátarendszerben ábrázolva a

28/48


Géptervezés I.

normalitás hipotézisét elfogadjuk. A kiegyenlítô egyenes behúzásával megkapjuk a reguláris csúcsok eloszlásfüggvényének becslését.(l. 18.ábra.) Az Fjmax, Fjmin, Fjreg relatív összeg- gyakoriságok számításánál a korrigált, mintaelem szám+1 értékkel osztottunk.

18.ábra A maximális és minimális csúcsokból képezett statisztikai minta kiértékelése normál valószínuségi koordinátarendszerben. Ha az élettartam számításokhoz vagy vizsgálatokhoz további információkra van szükségünk középérték-amplitúdó párok formájában, akkor itt is a 4.2.2.1. fejezetben alkalmazott eljárást követhetjük, aminek eredményeként a folyamat jellemzôket terhelésegyüttes formában írjuk le. Tekintettel arra, hogy a reguláris csúcsok eloszlásfüggvénye a max. és min. csúcsok elôfordulási valószínuségeit adja meg, teljes lengéseket az azonos valószínuséggel (~gyakorisággal) elôforduló maximális és minimális csúcsok között definiálunk. A következôképpen járunk el. Legyen Gjreg a reguláris csúcsok abszolút összeggyakorisága, míg Fjreg a relatív összeggyakoriság. Igy annak a valószínusé-ge, hogy egy cs csúcsérték kisebb mint egy tetszés szerinti x szám, ( azaz annak a valószínusége hogy egy cs érték egy x sorszámnál kisebb sorszámú osztályba esik):

P míg a komplementer esemény

cs

x

F j ,reg

Freg

(20)

Géptervezés I.


P

cs

x

1 Freg

29/48 (20*)

F reg

A két eloszlásfüggvényt egy diagramba rajzolva, az 50%-os valószínuség értéknél lévô metszéspontig vizsgálva, bármely vízszintes metszékre azonos valószínuséggel teljesül az, hogy az aktuális minimális csúcs kisebb, a maximális csúcs pedig nagyobb mint a görbe által adott két érték. Legyen ugyanis p [0;0,5] az Freg tengelyen és legyen 1, 1* és 2, 2* az Freg illetve a F reg görbékkel adódó metszéspontokhoz tartozó függvényérték. A (20) definíció alapján az alábbiak írhatók: (19.ábra)

Freg

P

1

cs ,min

P

2

cs ,max

1* 2*

p F reg

E két értékhatár között definiálva egy teljes lengést, a

m, a

értékpár adódik.

19.ábra. A terhelés-együttes meghatározása reguláris csúcsok szerinti feldolgozás esetén.

30/48


Géptervezés I.

Megjegyzések: 1./A reguláris csúcsok alapján ismét terhelésegyüttest generáltunk, amely, sztochasztikus feszültségfolyamat esetén a folyamatot alkotó { m, a}értékpárok elôfordulási valószínuségeit adja. Az így, bizonyos fokig önkényesen, definiált lengések nem azonosak természetesen szigorúan a tényleges folyamatban fellépô lengésekkel. Teljesül viszont az a feltétel hogy minkét esetben a max. és min. csúcsok elôfordulási valószínusége (gyakorisága) azonos, így statisztikailag a két elôállítás azonosnak tekinthetô. Ez a célkituzésünk szempontjából megfelelô. A sorrendiségre vonatkozó információk természetesen a feldolgozás során elvesznek. A terhelésegyüttes persze már definíciójából adódóan sem tartalmaz sorrendiségi információt, megadja ugyanakkor a folyamatban elôforduló lengések elôfordulási valószínuségeit. Így, a sorrendiségre vonatkozó, egyéb módon meghatározott információ alapján, sztochasztikus szimulációval elôírt sorrenddel, a terhelésegyüttesbôl tetszés szerinti folyamat generálható.A sorrendiségi információ persze csak statisztikus jellegu lehet, hiszen egy sztochasztikus folyamat esetén nem beszélhetünk determinisztikus sorrendrôl. Élettartamvizsgálatok vagy esetenként élettartam számítások céljaira ilyen elven lehet tényleges realizációt elôállítani. E realizáció az adott sztochasztikus folyamat egy realizációja lesz, mivel a statisztikus jellemzôi az adott folyamat jellemzôivel azonosak. 2./A reguláris csúcsok szerinti feldolgozás a tapasztalatok szerint 0,5
Géptervezés I.


31/48

4.2.4.1.A rain-flow eljárás. Mivel a valóságos szerkezeti anyagainknál a Hooke törvény már kis feszültségeknél is csak közelítôen teljesül, a váltakozó feszültség által végzett deformációs munkaveszteség, a hiszterézis veszteség már kis feszültségek esetén is fellép. Kézenfekvô tehát a gondolat, hogy a terhelési folyamat okozta "károsodás" kapcsolatba hozható a hiszterézis veszteséggel. E feltételezés egyébként kísérletileg is igazolható. Ennek megfelelôen a terhelési folyamatból olyan lengéseket válogatunk ki, amelyek zárt hiszterézis hurkot eredményezve, identifikálható teljes lengést eredményeznek.Ezzel megkapjuk a folyamatban elôforduló m, a értékpárok eloszlásfüggvényeit. A 20. ábrán lévô folyamat speciálisan feszültség folyamat, amely kiváltja, a fentiek szerint a kérdéses alkatrész nyúlásfolyamatát.Az ábrán látható a folyamat által kiváltott feszültség-nyúlás lefutás is, hiszterézis hurkok soroztának formájában ábrázolva. A feszültség-nyúlás folyamat transzformáció részleteire itt nem térümk ki. A ~ diagramból egyértelmuen identifikálhatók a zárt hiszterézis hurkok, amelyekhez így egyértelmuen rendelhetôk a { m, a} értékpárok.

20.ábra. A rendszertelen folyamat által létrehozott

~ folyamat.

4.2.4.2.A rain-flow eljárás kivitelezése. Tekintsük a 21.ábra szerinti folyamatot. A számlálás az alábbi szabályok szerint történik:

32/48


Géptervezés I.

1./A számlálás mindig egy csúcs belsô oldalán indul és követjük a függvényt. 2./A következô csúcs elérése után vízszintesen haladunk tovább, addig;amíg vagy egy újabb lengésbe ütközünk (azon csúcs értékénél nagyobb (vagy kisebb) csúcsértéku lengésbe ütközünk, ahonnan vízszintes irányba indultunk; ez utóbbival azonos nagyságú csúcs alatt/felett tovább haladunk ), ekkor követjük a függvényt, majd a rákövetkezô csúcsnál újra vízszintesbe fordulunk. Az elindított számlálási folyamatot leállítjuk, ha a következô, 3./ pont szerinti ese-mény valamelyike bekövetkezik. Ekkor új számlálási folyamatot indítunk az elôzô indítást követô csúcsból. 3./A számlálási folyamatot leállítjuk, ha a vízszintesbe fordulást követôen: -vagy elhaladunk egy, a kiinduló csúcsnál kisebb vagy egyenl minimális csúcs felett, ha minimum csúcsból indultunk, vagy a kiindulónál nagyobb vagy egyenl maximum alatt, ha maximumból indultunk, -vagy egy -már egy korábbi csúcsból indított számlálás vízszintesen haladó részébe ütközünk. 4./Zárt hiszterézis hurkot tudunk azonosítani akkor, ha a fenti 3./ pont szerinti második megállást kiváltó ok következik be, vagyis ha már egy korábbi számlálási folyamat vízszintesébe ütközünk. Ekkor a terhelési folyamat e részét, mint zárt hiszterézis hurkot kiemeljük a folyamatból. Ezzel a módszerrel végighaladunk a folyamaton. A folyamaton végig haladva általában nem tudunk egy lépésben minden hiszterézis hurkot beazonosítani, vagyis a kiemelések után is a folyamat egy része még megmarad. Az eljárás ekkor a következô képpen folytatódik: 5./Átrendezzük a folyamatot úgy, hogy az vagy a legnagyobb maximális csúccsal, vagy a legkisebb minimális csúccsal kezdôdjön. 6./Újra indítjuk a számlálást, az 1./ 2./ 3./ 4./ pontok szerint. 7./A számlálást addig folytatjuk amíg a teljes terhelési folyamatot feldolgozzuk, azaz a hiszterézis hurkok azonosítása és kiemelése következtében a folyamat teljesen feldolgozásra kerül. Tekintsük a 21. ábrán lévô folyamatot és indítsuk az elsô számlálást az 1. csúcsból. A számlálás szerinti elôrehaladást vékony vonallal rajzoltuk be. Az ábra alapján nyomon követhetô a számlálás lefolyása. Az elsô végighaladást követôen a 3-4-3*, 5-6-5*, 8-9-8*, 11-12-11*, 15-16-15*, 17-18-17*, 13-14-13* hiszterézis hurkokat tudjuk beazonosítani és kiemelni. A maradék folyamatot most átrendezzük úgy, hogy azt a 10 pontnál elvágva, a 10 pontot megelôzô részt áthelyezzük az 1* pontba. A keletkezô folyamat csúcsai, megtartva az eredeti számozást: 10-19-20-1-2-7-10*. Az újabb számlálás eredménye képpen a 20-1-20*, 2-7-2*, 10-19-10* hiszterézis hurkok azonosíthatók.Ezzel a folyamatot teljes mértékben feldolgoztuk.

Géptervezés I.


33/48

21.ábra. A rain-flow eljárás Megjegyzés: Ha az idô tengelyt függôlegesen képzeljük el, a számlálási metodika ahhoz hasonlít, mintha esô folyna lefelé az amplitúdók képezte tetôsorozaton. Innen kapta a nevét ez az eljárás.

34/48


Géptervezés I.

4.2.4.3.A korrelációs mátrix. A sztochasztikus folyamatok kétparaméteres feldolgozásánál nagyon hasznos esz-köz a korrelációs mátrix, amelyet a feldolgozással egyidejuleg tudunk létrehozni. Tekintsük a folyamat maximális csúcsból induló és a rá következô minimális csúcsban végzôdô féllengéseit. Legyen k a feldolgozásnál használt osztályozás osztályszáma, és legyen j=1...k azon osztálysorszám, amelybôl a vizsgált féllengés indul, (maximális csúcs) valamint i=1...k azon osztálysorszám amelybe a féllengés érkezik (minimális csúcs). Képezzük a jxi mátrixot és legyen a mátrix Mj,i elme azon féllengések száma, amelyek a j-edik osztályból indulnak és az iedik osztályba érkeznek. (22.ábra.)

22.ábra. A korrelációs mátrix. Az így létrehozott mátrixot korrelációs mátrixnak nevezzük. Megjegyzések: 1./A mi esetünkben, mivel csak egyirányú lengésekre szorítkozunk, a mátrixnak csak a fele lesz kitöltve. A 22.ábrán alkalmazott sorszámozásnál -j sorindex felülrôl lefelé növekvô sorrendben, i oszlopin-dex balról jobbra növekvôen- a mátrix bal alsó fele lesz kitöltve.e. 2./Szokás mindkét irányú féllengéseket is felvenni a korrelációs mátrixba; ekkor a teljes mátrix kitöltésre kerül. A korrelációs mátrixból a folyamatot jellemzô számos adat közvetlenül kiolvasható (23.ábra.):

Géptervezés I.


35/48

-A sorok mentén való összegzés az adott osztályba esô maximális csúcsok összes számát. azaz a gj,max abszolút osztálygyakoriságot adja. -Az oszlopok szerinti összegzés az adott osztályba esô minimális csúcsok összes számát, azaz a gj,min abszolút osztálygyakoriságot adja.

23.ábra. A korrelációs mátrix -ból származtatható jellemzôk. (Rain-flow feldolgozás) -A kitöltött elemeket határoló átlóra merôleges átlóval párhuzamosan,(balról jobbra felfelé) a mátrix háló metszéspontjain át húzott egyenesek mentén haladva az egyes féllengésekhez tartozó középfeszültségek gj,m osztálygyakoriságát kapjuk. A (j+i)/2 érték azon osztály sorszámát adja meg, amelyben az adott középérték elhelyezkedik. A nem egész szám a középérték osztály határon való elhelyezkedésére utal. -A kitöltött elemeket határoló átlóval párhuzamosan, (balról jobbra lefelé) a mátrix háló csúcspontjain át húzott egyenesek mentén haladva az

36/48


Géptervezés I.

egyes amplitúdók kétszeresének abszolút gyakoriságait, a gj,a értékeket kap-juk.A j-i érték a kétszeres amplitúdó által befutott osztályok számát adja meg. Nem összetévesztendô az osztálysorszámmal. Ez itt "fesztávot" jelent! -Válasszuk le a mátrixról azon bal alsó részmátrixot, amelyet a középfeszültséget tartalmazó sor és oszlop határol, de nem tartalmazza a középfeszültség osztályait. Az így kapott részmátrix elemeinek összes száma az egyértelmu egyirányú szintkeresztezések számát adja. A kijelölt, középértékhez tartozó osztályokban szereplô elemekrôl nem tudjuk, hogy azok átmetszik e a középértéket, mivel a csúcsok osztályon belüli elhelyezkedését nem vizsgáljuk. Ezért az itt lévô elemek számának statisztikusan a felérôl tételezhetjük fel az átmetszést. Esetünkben ez 1,5-re adódik, amit 1-re lekerekítünk. Ezzel megkaphatjuk a rendszertelenségi együttható -szigorúan véve- közelítô értékét. (l.23.ábra.) A 22. és 23.ábrán lévô korrelációs mátrixot az elôzô, rain-flow feldolgozás adataival töltöttük ki. Megjegyzések: 1./Mivel a rain-flow feldolgozással teljes hiszterézis hurkokat azonosítottunk, a mátrix jobb felsô fele a bal alsó fél tükörképe lenne, így az semmi új információt már nem adna. 2./A vizsgált folyamat középértékét már a 4.2.2.2. fejezetben meghatároztuk, az a 7. osztálynak adódott. Így a rendszertelenségi együttható közvetlenül meghatározható. 3./A folyamat középértékét a határoló átlón adódó középérték osztálygyakoriságok alapján is meghatározhatjuk, pl. a középértékek eloszlásfüggvényének medián értékeként. Ez utóbbi a más módon definiált középértéktôl eltérô értéket is adhat. 4.2.4.4.Terhelésegyüttes elôállítása rain-flow feldolgozás alapján. A rain-flow feldolgozás eredményeként a folyamatból kiválasztott középértékamplitúdó párok állnak rendelkezésre, feszültség folyamat esetén a { m, a}értékpárok. A terhelésegyüttest több féle képpen is képezhetjük ezen adatok alapján. A legegyszerubb módszer a következô. Meghatározzuk a teljes folyamat középfeszültségét, legyen ez m , legyen továbbá m,i= m - m,i.Vezessük be minden a,i amplitúdó helyett azt a a,i,e redukált amplitúdót, amely a folyamat m középfeszültségén ugyan olyan "károsodást okoz, mint az eredeti amplitúdó az eredeti a,i m,i középfeszültségén. Más szóval a { m,i, a,i}lengés és a { m , a,i,e} lengés azonos "károsodást okoz. A redukált amplitúdót az alábbi módon számítjuk:

a ,i ,e

a ,i

m

(21)

Géptervezés I.


37/48

A fenti egyenletben a középfeszültség-érzékenységi tényezô, kísérleti úton határozható meg.Értéke acél anyagok esetén 0,3. E tényezô bôvebb magyarázatára itt nem térünk ki. Ezzel a redukciós eljárással a feszültségamplitúdók már egy közös, a teljes folyamat középfeszültségéhez tartoznak. Igy az amplitúdok értékeit, mint statisztikai mintát az ismert módszerekkel feldolgozva, meg tudjuk határozni az amplitúdó eloszlás függvényt, ami maga a terhelésegyüttes. Ezzel a feldolgozás az amplitúdó tartományban befejezettnek tekinthetô.

5.Terhelésegyüttesek megadása gyakorlati számításokhoz. 5.1.A terhelésegyüttes fô jellemzôi. A 3. fejezetben definiáltuk a terhelésegyüttest és bemutattuk azokat a módszereket amelyekkel ezek a valóságos terhelési folyamatból megállapíthatók. A terhelésegyüttes fô jellemzôit az alábbiakban foglalhatjuk össze: 1./A terhelésegyüttes a véletlen folyamat amplitúdó-tartománybeli statisztikai jellemzôit tartalmazza, középértékkel és amplitúdóval jellemzett elemi lengések valószínuségeloszlásának formájában. 2./A véletlen (sztochasztikus) folyamat elemi lengésekre bontása többféle módon történhet; ennek megfelelôen egy azon folyamatból többféle terhelésegyüttes származtatható. Az elemi lengések definiálásában a tisztán matematikai és eljárástechnikai szempontokon felül döntô szerepet játszik a feldolgozás célja, esetünkben az élettartam meghatározással kapcsolatos fémfizikai meggondolások, valamint az élettartam számítási és kísérleti megfontolások. 3./A terhelésegyüttes és a valóságos véletlen folyamat azonossága, rögzített számlálási módszer esetén is csak az adott módszer értelmében áll fenn, és akkor is valószínuségi értelemben. Ezért inkább a véletlen folyamat és a terhelésegyüttes egyenértékuségérôl beszélhetünk, az adott számlálási módszer értelmében. Ezt úgy is fogalmazhatjuk, hogy minden számlálási módszer a véletlen folyamatokat ekvivalencia osztályokba sorolja, ahol az ekvivalencia az adott számlálási módszer értelmében áll fenn. A számlálási módszer akkor jó, ha az azzal végrehajtott feldolgozás kielégíti az alapfeladat követelményeit. Élettartammal kapcsolatos problémák esetén ez a feltétel akkor teljesül, ha a feldolgozási móddal ekvivalencia osztályokba sorolt véletlen folyamatok egy adott alkatrész esetén ténylegesen ugyan azt az élettartamot eredményezik. A terhelésegyüttes tehát olyan elemi lengéssorozatot definiál, amely az adott számlálási módszer értelmében ekvivalens a tényleges véletlen folyamattal.

38/48


Géptervezés I.

4./A terhelésegyüttes semmi információt nem tartalmaz a folyamatban elôforduló lengések sorrendiségére vonatkozóan. A sorrendiségre vonatkozó információkat -szükség esetén- egyéb módon kell rögzíteni.A sorrendiségre vonatkozó információk is csak valószínuségi értelemben rögzíthetôk.

5.2.A terhelésegyüttes megadása. A valóságos terhelési folyamatok mélyebb megismerésére irányuló vizsgálatok és elemzések a II. világháború idején kezdôdtek elsôsorban a német, angol és amerikai repülôgép iparban, majd ezt követôen terjedtek fôleg a jármuiparban, de az egyéb iparágakban is. Nyilvánvaló, hogy az ilyen típusú elemzések elsôsorban azon területeken fontosak, ahol egyrészt a tényleges terhelések igen tág határok között, véletlenszeruen, általunk kevéssé befolyásolható módon ingadoznak, másrészt a kis súlyra való törekvés és a biztonság elsôrendu követelmény. Ezért e tudományterületek fô alkalmazói és elôrevivôi ma is elsôsorban a repülô-, jármu- és építôipari gépekkel foglalkozó gyárak és intézmé-nyek. Az elmúlt években így kialakultak már bizonyos típus terhelésegyüttesek is, amelyek kisebb-nagyobb elhanyagolásokkal a gépek bizonyos csoportjai esetén alkalmazhatók. Ennek megfelelôen a megadási módjuk is többé kevésbé egységessé vált. Mivel a terhelésegyüttes, illetve annak határoló görbéi általában analitikusan nem, vagy csak nagyon nehézkesen írhatók le, általánosan elterjedt a grafikus megadás. E mellett természetesen a pontonkénti megadás is használatos; számítási célokra ez egyébként is szükséges. A megadási mód fô jellemzôi az alábbiak: 1./A terhelésegyüttest olyan koordinátarendszerben adjuk meg, amelynek a vízszintes tengelyén a ciklusszámok (elemi lengések) abszolút száma, vagy relatív gyakorisága, függôleges tengelyén pedig az elemi lengések maximális és esetenként minimális csúcsértékei szerepelnek, általában a legnagyobb értékre normált formában. 2./A terhelésegyüttest általában állandó középfeszültségre redukált formában adottak; ebben az esetben elegendô a felsô félrész megadása. Persze ez alól gyakoriak a kivételek. Az utóbbi esetekben mind a max. mind a min. értékek határoló görbéjét meg kell adni. 3./A terhelésegyüttesek terjedelme (összes lengések száma) általában 106 ciklus, ritkábban 107 vagy 108. Erre való tekintettel a vízszintes tengelyen logaritmikus skálát alkalmazunk. A megadott ciklusszám elfogadása azt jelenti, hogy ezt a hosszt reprezentatívnak tekintjük. Relatív gyakoriság-gal skálázott vízszintes tengely értelemszeruen a terhelésegyüttes repre-zentativitását jelenti. 4./A közös középfeszültséggel megadott terhelésegyüttes csak az amplitúdókra vonatkozó információt tartalmaz, vagyis szimmetrikus terhelési folyamatra utal. Adott alkalmazás esetén ez tetszésszerinti középfeszültségre ültethetô.

Géptervezés I.


39/48

A fenti formában, feszültséglengésekre megadott terhelésegyüttes értelmezése a 24.ábra alapján tehát az alábbi.

24.ábra. A terhelésegyüttes értelmezése. Egy 106 db. teljes lengést tartalmazó rendszertelen terhelési folyamatban, a amplitúdójú lengések a,i/ a,max< a/ a,max< a,i+1/ a,max feltételnek eleget tévô összes száma Nö= Ni-Ni+1. Amennyiben a terhelésegyüttes a teljes terhelési folyamatra reprezentatív, a fenti állítást átfogalmazva: annak a p valószínusége, hogy a terhelési folyamat tetszés-szerinti a/ a,max amplitúdójára a,i/ a,max< a/ a,max< a,i+1/ a,max, p= pipi+1= =Nö/106. Képletben kifejezve:

P

a ,i

a

a ,i 1

a ,max

a ,max

a ,max

p

5.3.Néhány nevezetes terhelésegyüttes típus. Néhány alapvetô, a jármuvek, repülôgépek és építôipari gépek területén gyakran elôforduló terhelésegyüttes fajtát a 25.ábrán mutatunk be. A függôleges tengelyen a legnagyobb amplitúdóra normált skála található.. Az a görbe az állandó amplitúdójú terhelésnek felel meg, a c görbe pedig Gauss folyamatnak, vagyis ha a folyamat peremeloszlásai, beleértve az amplitúdóeloszlást is Gauss eloszlású. A b görbe olyan terhelési folyamatra utal, amelyben egy Gauss folyamatú amplitúdóeloszlásban az amplitúdók alulról korlátosak és az

40/48


Géptervezés I.

25.ábra. Néhány nevezetes terhelésegyüttes alaptípus. alsó korlát nagyobb mint 0. A d görbe az u.n. egyenesvonalú eloszlás, amely igen gyakran lép fel közúti jármuvek jó úton való haladásakor. Az e görbe lognormális amplitúdóeloszlásnak felel meg. A görbék "szokatlan" alakja a logaritmikus "valószínuségi" skála következménye. A 26.ábrán a szabványosított Gauss folyamatok különféle változatai láthatók.A k tényezô a terhelési folyamatban elôforduló legkisebb és legnagyobb feszültségamplitúdó hányadosa. A határoló görbe minden esetben Gauss folyamatnak felel meg.

26.ábra. Szabványos, Gauss típusú terhelésegyüttesek. A 25. és 26.ábrán lévô terhelésegyüttesek esetén jelentôs eltéréseket látunk a terhelésegyüttesek "telítettsége" tekintetében. A lehetô legszigorúbb folyamat az állandó amplitúdós, amelynek a határvonalával és a tengelyekkel egy téglalap képezhetô. A téglalap területének minél nagyobb részét tölti ki egy terhelés-

Géptervezés I.


41/48

együttes, annál telítettebb, vagyis annál "szigorúbb". Minél telítettebb egy terhelésegyüttes, annál rövidebb lesz az általa terhelt alkatrész élettartama. A jellegében is eltérô üzemállapotok között dolgozó berendezések esetén gyakori, hogy a különbözô üzemállapotokhoz tartozó terhelésegyüttesek jellegükben is eltérôek. Például közúti jármuveknél a jó útviszonyok közötti, állandósult üzem egyenesvonalú terhelésegyüttessel jól jellemezhetô. Ugyanakkor a jelentôsebb forgalmi manôverek -pl. erôs fékezés, indítás, kanyarvétel, járdára való felhajtás, nagy útegyenetlenségen való áthaladás stb.okozta igénybevételek Gauss eloszlá-sú terhelésegyüttessel írhatók le. Ezért gyakran különbözô típusú terhelésegyüttesek kompozíciójaként adódik a reprezentatív terhelésegyüttes. A 27.ábra erre mutat példát, közúti jármuvek esetére.

27.ábra. Közúti jármu terhelésegyüttese. A 27.ábrán a repülôgépiparban használatos egyik , az u.n. TWIST (Transport Wing Standard) terhelésegyüttest mutatjuk be. Ez szállítógépek szárny bekötés (kritikus igénybevételi hely) alsó részén mért feszültségfolyamatokból képezett terhelésegyüttes, 40 000 ezer repülés alapján. Ebbôl is látható, hogy az adatgyujtés esetenként igen költséges és idôigényes dolog, sok esetben nemzetközi együttmuködést is igényel.. Hasonló jellegu az u.n FALSTAF (Fighter Aircraft Load Standard for Fatigue evaluation) terhelésegyüttes, amely vadászgépeken, NATO együttmuködésben realizált méréssorozatok eredményeit rögzíti. A mérés tárgya a pilótafülke egy pontjában fellépô maximális gyorsulások értéke, különbözô repülési manôverek esetén. További terhelésegyüttesek találhatók az egyes szabványokban, a szakirodalomban stb., amelyek egy-egy szukebb szakterületen, megfelelô kritikával, elônyösen alkalmazhatók.

42/48


28.ábra. A TWIST terhelésegyüttes.

29.ábra. A FALSTAF terhelésegyüttes.

Géptervezés I.

Géptervezés I.


43/48

6./Példa terhelésegyüttes meghatározására. Tekintsük a 21. ábrá lévô véletlen terhelési folyamatot. Határozzuk meg a folyamatból levezethetô terhelésegyüttest rain flow eljárás felhasználásával. A folyamat tényleges feszültségekre skálázott értékekkel a 3ö.ábrán látható.

6.1.A feldolgozás paramétereinek rögzítése. A feldolgozás elsô lépése, mint láttuk, a várható (vagy mint esetünkben az ismert) feszültség-tartomány rögzítése és az osztályszám, azaz az osztály sávszélesség meghatározása. Esetünkben megtartjuk a 12 osztályt és az osztály sávszélességet S =12,5MPa értékben rögzítjük. (30.ábra.)

30.ábra. A rain-flow feldolgozás numerikus kiértékelése. Második lépés az egyes osztályokhoz tartozó feszültség értékek meghatározása és az osztályhatároknak a feszültség tengelyen való elhelyezése. Erre merev szabályok nincsenek. Mi a 30.ábra szerinti hozzárendelést válazstjuk, az alábbi jellemzôkkel: 1./Az 1. osztály alsó határávonalához rendeljük a feszültség 0 értékét. 2./Az egyes osztályokhoz az osztály középhez tartozó feszültség értéket rendeljük. Ennek alapján meg tudjuk már adni az egyes osztályokhoz tartozó feszültség értékeket. A j-edik osztályhoz tartozó feszültség értéke, j :

44/48


j

S 2

( j 1). S

Géptervezés I.

(22)

Tekintettel arra, hogy a csúcsértékek elhelyezkedését az egyes osztályokban nem vizsgáljuk, a csúcsértékeket az osztályhoz tartozó feszültség értékkel vesszük figyelembe. Ezek rögzítése után, a eldolgozás folyamán már az osztály-sorszámokkal dolgozunk és csak a feldolgozás végén térünk vissza megint a feszültség dimenzióra. Megjegyzések: 1./Az adott esetben a felvett osztály sávszélesség elég nagy, ennél finomabb beosztás is felvehetô lenne. 2./Az osztályhatárok és a feszültség-tengely illesztése másképp is történhet. Ekkor természetesen a (33) összefüggés is megváltozik. 3./Abban az esetben, ha a feldolgozás célja nem a konkrét dimenziójú értékek (feszültség, gyorsulás, erô stb) adott értékeihez kötött, hanem például a véletlen folyamat törvényszeruségeinek a meghatározása, a konkrét dimenziójú számértékekre nem is kell visszatérni. Elegendô ekkor az osztályozással adódó relatív értékek feldolgozása. A terhelésegyüttes -mint láttuk- általában eleve normált formában adott. Ezt elgendô lehet skálázni egy konkrét alkalmazás kapcsán.

6.2.A korrelációs mátrix elôállítása. A 6.1. pontban leírtakat befejezve térhetünk rá a tényleges feldolgozásra, az osztályok alapján. Ezt itt most nem ismételjük meg. A rain-flow feldolgozás menetét éppen e konkrét folyamaton bemutatva a 4.2.3.2. fejezetben részletesen tárgyaltuk. A feldolgozás eredményeit a 23.ábra szerinti korrelációs mátrixban foglaltuk össze. A terhelésegyüttes létrehozása ezen adatok alapján történhet. A feldolgozás további menetét ezen adatokból kiindulva mutatjuk be.

6.3.A folyamatot alkotó feszültséglengések meghatározása. A korrelációs mátrix peremeloszlásai tartalmazzák a rain-flow eljárással identifikált teljes lengéseket egyértelmuen meghatározó { a,i, m,i}adtpárokat osztály-szám formában megadva, valamint az egyes lengések abszolút gyakoriságait.Mivel mi most konkrét fesültség értékekkel dolgozunk, ebben a stádiumban célszeru az osztály beosztásból a feszültség dimenzióra visszatérni. A 6.1. fejezetben rögzített feszültség-érték~osztály egymáshoz rendelés alapján meghatározhatók az egyes osztályszámokhoz tartozó feszültségek számítási összefüggései. A korrelációs mátrix megfelelô perem-eloszlásainak táblázataiban (23.ábra) az amplitúdónál a teljes lengés által befutott osztályok száma, míg a

Géptervezés I.

45/48


középfeszültség táblázatában a középfeszültség elhelyezkedésénak osztályszáma szerepel. Legyen k a korrelációs mátrix táblázataiban szereplô osztályszám. Ekkor az -amplitúdókra : 1 .k. S 2

a ,i

-a középfeszültségekre:

(23)

m,i

S 2

( k 1). S

A korrelációs mátrixon végig menve, a (23) összefüggésekkel meghatározhatók a tényleges feszültséglengések paraméterei. A számítások eredményeit táblázatos formában foglaltuk össze, l. 1.táblázat

1.táblázat. Sorsz

Lengés

gi

a,i

(1)

(2)

(3)

(4)

k

j i

m,i

m,i

(5)

MPa

k

a,i,e

(6)

(7)

MPa

MPa

MPa

1

12 2

1

10

62,5

7

81,25

0

62,5

2

10 3

1

7

43,75

6,5

75

6,25

45,625

3

8 5

1

3

18,75

6,5

75

6,25

20,625

4

6 5

1

1

6,25

5,5

62,5

18,75

11,875

5

9 6

1

3

18,75

7,5

87,5

6,25

20,625

6

8 6

1

2

25

7

81,25

0

12,5

7

7 6

2

1

12,5

6,5

75

6,25

8

9 7

1

2

25

8

93,75

9

9 8

1

1

12,5

8,5

100

8,125

12,5

16,25

18,75

11,875

A táblázat (2) oszlopában, összhangban a 23.ábra jelöléseivel, j a lengés max., i a min. csúcshoz tartozó osztályt jelenti, míg a (3) oszlopban gi az adott lengés abszolút gyakoriságát. A (4) oszlopban k a lengés kétszeres amplitúdója által befutott osztályszám, az (5) oszlopban k a középfeszültség helyének az osztályszáma. A teljes terhelési folyamat m középfeszültségeként a 4.2.2.2. fejezetben meghatározott 7. osztályt fogadjuk el. Az ehhez tartozó feszültség érték a (22) egyenlet alapján:

46/48


m

Géptervezés I.

S ( k 1). S 2 12 , 5 6 .12 , 5 81, 25 MPa 2

A terhelésegyüttes elôállításához az amplitúdó értékeket a (21) egyenlet felhasználásával a közös m középfeszültségre számítjuk át, =0,3 értékkel. A számítás eredményeit az 1.táblázat (6) és (7) oszlopai tartalmazzák. Ezzel elôállt a közös

m

középfeszültségre redukált amplitúdó értékek sorozata.

Megjegyzések: 1./A fentiek is kiemelik a korrelációs mátrix fontosságát. Az ugyanis, mint láttuk, az összes, a folyamattal kapcsolatos, a további feldolgozáshoz szükséges információt tartalmazza. 2./A közös középfeszültségre való redukálás nem feltétlenül szükséges. Terhelés együttes méretezési célra való felhazsnálása esetén azonban feltétlenül célszeru.

6.4.A terhelésegyüttes elôállítása. A terhelésegyüttes most már az amplitúdó értékek statisztikai feldolgozása alapján határozható meg. A nagyság szerint sorba rendezett *a ,i ,e feszültség amplitúdó értékeket, a hozzájuk tartozó gi abszolút osztálygyakoriság és Gi abszolút összeggyakoriság értékeket, valamint az Fi és F i relatív összeggyakoriságokat a 2.táblázatban foglaltuk össze, az i=1...7 értékekre. A minta elemszáma n=10, a relatív összeggyakoriságok számításához az Fi( F i )=i/(n+1) korrigált értéket használtuk.

Géptervezés I.

47/48


A statisztikai feldolgozást normál valószínuségi rendszerben, az 2.táblázat (1) és (4) oszlopának adataival a 31.ábrán mutatjuk be.

31.ábra. Amplitúdó eloszlás függvény. Az eredmények arra utalnak, hogy a normalitás a teljes "sokaság" vonatkozásában nem fogadható el. A pontok elhelyezkedése inkább két, egymástól jelentôsen eltérô paraméteru normális eloszlás keverék eloszlására utal. A terhelésegyüttest a gyakorlatban szokásos logaritmikus összeggyakoriság (azaz valószínuség) tengelyu koordinátarendszerben ábrázolva, a 32.ábra szerinti eredményt kapjuk.Itt a vízszintes tengelyen az F i értékek szerepelnek, (5 oszlop, 2.táblázat) a feszültség értékek lineáris léptékben vannak.

32.ábra. Terhelésegyüttes a rain-flow feldolgozás alapján. A terhelésegyüttes alakja terhelésegyüttes alakjához.

hasonló

a

27.ábrán

bemutatott,

összetett

48/48


Géptervezés I.

Megjegyzések. 1./Mivel a vizsgált terhelési folyamat igen rövid, a statisztikai feldolgozáshoz rendelkezésre álló minta terjedelme is kicsi. Ebbôl adódóan a stisztikai feldolgozás eredménye bizonytalan. Az illeszkedés vizsgálat eredménye (normális eloszlások keveréke) is ennek megfelelôen értékelendô. Nagyobb minta esetén természetesen megbízhatóbb eredményekre juthatunk. Az eljárás ugyan ez. 2./A statisztikai feldolgozást elhagyva, a terhelésegyüttes lépcsôs függvény formájában adódik. Adott esetben ez is elegendô lehet. 3./A terhelésegyüttes ábrázolásánál kiadódótt a Gauss eloszláshoz tartozó terhelésegyüttes jellegzetes alakja, l pl. a 25.és 26.ábrák terhelésegyütteseit.Ez az alak a logaritmikus ábrázolás következménye. Lineáris skálát alkalmazva a 19.ábra szerinti terhelésegyüttes alak adódik.

A sztochasztikus folyamatok elméletének alapjai

Recommend Documents