Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar e-mail: [email protected]

PPKE-ITK, 2013. április 18.

Szederkényi G. (PPKE)

Computer Controlled Systems

PPKE-ITK

1 / 39

Tartalom

1

Problémafelvetés, teljes állapotvisszacsatolás

2

Pólusáthelyezéses szabályozó (pole-placement controller) tervezése

3

Szabályozótervezési példák

4

Duális probléma: állapotmegfigyelő (state observer) tervezése

5

Állapotmegfigyelési példa

6

Állapotmegfigyelő és állapotvisszacsatolás kombinációja



PPKE-ITK

2 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

3 / 39

Általános problémafelvetés

Adott egy SISO LTI rendszer (A, B, C ) mátrixokkal (a pólusok A-tól (a(s)-től) függnek) előírt (kívánt) pólusok, melyeket az α(s) polinom határoz meg úgy, hogy deg a(s) = deg α(s) = n Kiszámítandó egy teljes állapotvisszacsatolás úgy, hogy a zárt rendszer pólusai éppen α(s) gyökei. Részprobléma: olyan visszacsatolás, amely stabilizálja a(z eredetileg instabil) rendszert.



PPKE-ITK

4 / 39

Zárt LTI rendszerek – 1 Statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás:

u = −kx + v , ahol k ∈ Rr ×n , ha x ∈ Rn és u ∈ Rr Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

5 / 39

Zárt LTI rendszerek – 2 A SISO LTI rendszer mátrixai: (A, B, C ) x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y (t) = Cx(t) y (t) , u(t) ∈ R , x(t) ∈ Rn A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×1 , C ∈ R1×n statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás: v = u + kx (u = v − kx) k = k1 k2 . . . kn k ∈ R1×n (sorvektor )



PPKE-ITK

6 / 39

Zárt LTI rendszerek – 3 Zárt rendszer

x(t) ˙ = (A − Bk)x(t) + Bv (t) y (t) = Cx(t)

Azaz: A′ = A − B · k, B ′ = B, C ′ = C Karakterisztikus polinomok Visszacsatolás nélküli (szabályozatlan) rendszer: a(s) = det(sI − A) Visszacsatolt (szabályozott) rendszer: ac (s) = det (sI − A + Bk)



PPKE-ITK

7 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

8 / 39

Bass-Gura formula Számítsuk ki a következő determinánst M1 M2 det M3 M4 két ekvivalens módon det(M1 )det(M4 − M3 M1−1 M2 ) = det(M4 )det(M1 − M2 M4−1 M3 ) Alkalmazzuk: det

sI − A B −k 1

a következőt kapjuk: det(sI − A)det(1 + k(sI − A)−1 B) = 1 · det((sI − A) + B · 1−1 · k)



PPKE-ITK

9 / 39

Rezolvens formula a(s) = s n + a1 s n−1 + · · · + an 1 (s n−1 I + s n−2 (A + a1 I ) + s n−3 (A2 + a1 A + a2 I ) + . . . (sI − A)−1 = a(s) Bizonyítás: (sI − A)(sI − A)−1 = 1 (sI − A) (s n−1 I + s n−2 (A + a1 I ) + s n−3 (A2 + a1 A + a2 I ) + . . . ) = a(s)   1  n = s I |−s n−1 A{z+ s n−1 A} +a1 s n−1 I − s n−2 A2 − s n−2 a1 A + . . .  = a(s) 0

a(s) I =I a(s)



PPKE-ITK

10 / 39

Pólusáthelyezés – 1

det(sI − A) · det(1 + k(sI − A)−1 B) = 1 · det((sI − A) + B · 1−1 · k) a(s)(1 + k(sI − A)−1 B) = det(sI − A + Bk) α(s) = a(s)(1 + k(sI − A)−1 B) ⇒ α(s) − a(s) = a(s)k(sI − A)−1 B A rezolvens formulával (sI − A)−1 =

1 (s n−1 I + s n−2 (A + a1 I ) + s n−3 (A2 + a1 A + a2 I ) + ... a(s)

kapjuk, hogy (α1 − a1 )s n−1 + (α2 − a2 )s n−2 + ...(αn − an ) = = kBs n−1 + k(A + a1 I )Bs n−2 + ... Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

11 / 39

Pólusáthelyezés – 2 (α1 −a1 )s n−1 +(α2 −a2 )s n−2 +...(αn −an ) = kBs n−1 +k(A+a1 I )Bs n−2 +... polinom-egyenlet α1 − a1 = kB α2 − a2 = kAB + a1 kB = a1 kB + kAB α3 − a3 = kA2 B + a1 kAB + a2 kB = a2 kB + a1 kAB + kA2 B . .

α−a = k [ B

AB


2

A B

... A

n−1



  B ]  

1 a1 a2 0 1 a1 0 0 1 . . . . . .


. . . . .

. . . . .

. an−1 . an−2 . an−3 . . . .

PPKE-ITK

      12 / 39

Pólusáthelyezéses szabályozó

α−a = k [ B

AB

2

A B

... A

n−1



  B ]  

1 a1 a2 0 1 a1 0 0 1 . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. an−1 . an−2 . an−3 . . . .

     

α − a = kCTℓT Ha S irányítható akkor k = (α − a)Tℓ−T C −1



PPKE-ITK

13 / 39

Controller form realizáció x(t) ˙ = Ac x(t) + Bc u(t) y (t) = Cc x(t) ahol



   Ac =    

−a1 −a2 1 0 . . . . . . 0 0 Cc =

. . . . . . b1

   . . −an 1  0  . . 0       . . .   , Bc =  .    .  . . .     .  . . .  0 . 1 0 b2 . . . bn

Az átviteli függvényt alkotó polinomok a(s) = s n + a1 s n−1 + ... + an−1 s + an és b(s) = b1 s n−1 + ... + bn−1 s + bn H(s) = b(s) a(s) Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

14 / 39

Pólusáthelyezéses szabályozó controller form esetén 

   Ac − Bc kc =    

−(a1 + kc1 ) −(a2 + kc2 ) 1 0 . . . . . . 0 0

. . . . . .

. . −(an + kcn ) . . 0 . . . . . . . . . . 1 0

       

a zárt rendszer karakterisztikus polinomja, α(s): α(s) = det(sI − (Ac − Bc kc )) = s n + (a1 + kc1 )s n−1 + ... + (an + kcn ) az állapotvisszacsatolás kc együtthatói: kc = α − a Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

15 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

16 / 39

Példa – 1 Rendszer: RLC kör. A nyitott kör (u = 0V ) válasza x(0) = [1 1]T kezdeti érték esetén. (Pólusok: −5 ± 8.6603i) 1.5 i [A] u [V] C

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

17 / 39

Példa – 2 A zárt kör előírt pólusai: −10, −12. Visszacsatolási erősítés: k = [1.2 0.2]. Rendszerválasz: 1.2 i [A] u [V] C

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

18 / 39

Példa – 3 A szabályozáshoz szükséges bemenet(i feszültség): 0.6 u

be

0.4

0.2

feszültség [V]

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

−1.2

−1.4

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

19 / 39

Példa – 4 A zárt kör előírt pólusai: −1 + 3i, −1 − 3i. Visszacsatolási erősítés: k = [−0.8 − 0.9]. Rendszerválasz: 3 i [A] uC [V] 2.5

2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5


1

1.5

2

2.5 idö [s]

3


3.5

4

4.5

5

PPKE-ITK

20 / 39

Példa – 5 A szabályozáshoz szükséges bemenet: 2.5 ube 2

feszültség [V]

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0


0.5

1

1.5

2

2.5 idö [s]

3


3.5

4

4.5

5

PPKE-ITK

21 / 39

Példa – 6 Rendszer: inverz inga



PPKE-ITK

22 / 39

Példa – 7 Állapotvektor:



  y x1  x2   θ   x =  x3  =  y˙ x4 θ˙

Egyensúlyi pont: x ∗ = [0 0 0 0]T A linearizált állapottér-modell mátrixai:    0 0 1 0  0  0 0 1  , B =  A=  0   − mg 0 0 M 0

(M+m)g ML

0 0

   

(1)

0 0 1 M 1 − ML



  , C = I 4×4 

Paraméterek: m = 0.5 kg, M = 0.1 kg, L = 1 m, g = 10 Szederkényi G. (PPKE)


m s2

PPKE-ITK

23 / 39

Példa – 8

A szabályozatlan rendszer pólusai: λ1 =0, λ2 =0, λ3 = 7.746, λ4 = −7.746 Cél: stabilizáló szabályozás A zárt rendszer számára előírt pólusok: κ1 = κ2 = κ3 = κ4 = −1 A kiszámított visszacsatolási erősítés: k = [−0.01 − 6.61 − 0.04 − 0.44]



PPKE-ITK

24 / 39

Példa – 9

A szabályozott rendszer működése (szimuláció: Faludi Gábor) ipend_pp-1.avi



PPKE-ITK

25 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

26 / 39

Állapotmegfigyelő: problémafelvetés

Ismétlés: Ha egy (A, B, C ) állapottér-modell megfigyelhető, akkor a bemenet (u) és kimenet (y ) ismeretében kiszámítható a rendszer kezdeti (és így minden további) állapota. Problémák: A bemenet és kimenet mérése általában nem pontos, és a számításhoz kellenek a kimenet 1., 2., . . . , (n − 1). deriváltjai A rendszermodell általában nem tökéletes Cél: olyan eszköz (állapotmegfigyelő) tervezése, amelyhez nincs szükség a kimenet 0.-nál magasabb fokú deriváltjaira, és amelynek becslése aszimptotikusan tart a tényleges állapotvektor értékéhez.



PPKE-ITK

27 / 39

Az állapotmegfigyelő algebrai alakja állapottér-modell: x˙ = Ax + Bu y = Cx xˆ˙ = Aˆ x + Bu + L(y − C xˆ) u xˆ˙ = (A − LC )ˆ x + [B L] y becslési hiba: e = x − xˆ és e˙ = (A − LC )e



PPKE-ITK

28 / 39

Az állapotmegfigyelő struktúrája

Az állapotmegfigyelő megvalósítása (az algebrai egyenletekből látható):



PPKE-ITK

29 / 39

Az állapotmegfigyelő kiszámítása

Emlékeztető: pólusáthelyezésnél a zárt rendszer rendszermátrixa Ac = A − Bk. (adott: A,B, kiszámítandó: k, feltétel: (A,B) irányítható ) Állapotmegfigyelő rendszermátrixa: Ao = A − LC . (adott: A, C , kiszámítandó: L, feltétel: ?) Megoldás: T T T T T AT o = A − (LC ) = A − C L Tehát L a pólusáthelyezéses szabályozás számítási algoritmusával kiszámítható úgy, hogy a becslő pólusai (Ao sajátértékei) tetszőlegesek legyenek (azaz az állapotbecslő stabil legyen). Feltétel: [C T AT C T . . . (An−1 )T C T ] = OnT teljes rangú, azaz a rendszer megfigyelhető.



PPKE-ITK

30 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

31 / 39

Példa – 1

RLC kör, mért kimenet: uC , azaz C = [0 1] Az állapotbecslő előírt sajátértékei: −10, −12 Az állapotbecslő kiszámított L mátrixa: L = [−10 12]T



PPKE-ITK

32 / 39

Példa – 2 A rendszerre adott bemenet: u

be

1

feszültség [V]

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

33 / 39

Példa – 3 Az állapotbecslő működése: 2 i u

C

i becsült u becsült C

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

34 / 39

Példa – 4 Becslési hiba: 1 e1 e 2

0.9

0.8

0.7

becslési hiba

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

35 / 39

1


2


3


4


5


6




PPKE-ITK

36 / 39

Szeparációs elv Probléma: mi történik, ha az állapotbecslőt és a szabályozót összekapcsoljuk (dinamikus kimenet-visszacsatoláskor)?

Szeparációs elv: stabilizáló állapotvisszacsatolásból és stabil állapotbecslőből álló zárt rendszer aszimptotikusan stabil, ugyanis a zárt rendszer dinamikája a következő: x˙ A − BK BK x = · e˙ 0 A − LC e Azaz a stabilizáló állapotvisszacsatolás (K ) és a stabil állapotbecslő (L) egymástól függetlenül külön-külön megtervezhető. Szederkényi G. (PPKE)


PPKE-ITK

37 / 39

Szeparációs elv Számítás: x˙ = Ax + Bu, u = −K xˆ, és: e = x − xˆ Ebből: u = −K (x − e) = −Kx + Ke, és x˙ = Ax + B(−Kx + Ke) = (A − BK )x + BKe

(2)

e˙ = (A − LC )e

(3)

Sajátértékekre vonatkozó összefüggés: A − BK BK λi = λj (A − BK ) ∪ λk (A − LC ) , 0 A − LC és tudjuk, hogy A − BK ill. A − LC stabilitási mátrixok.



PPKE-ITK

38 / 39

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8

Recommend Documents