Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai és Bionikai Kar e-mail: [email protected]

PPKE-ITK, 2016. február 8.

Szederkényi G. (PPKE-ITK)

Computer Controlled Systems

PPKE-ITK

1 / 79

Tartalom

1

Bevezetés

2

Rövid történeti áttekintés

3

Szabályozott rendszerek a mindennapokban és a természetben

4

További példák

5

Jelek és rendszerek alapjai



PPKE-ITK

2 / 79

1

Bevezetés

2


3


4

További példák

5




PPKE-ITK

3 / 79

Bevezető példa – 1. Egyszerű DNS-javító mechanizmus kvantitatív modellje (Karschau et al., Biophysical Journal, 2011)



PPKE-ITK

4 / 79

Bevezető példa – 2. Reakciógráf: Kinetikus egyenletek: x˙1 (t) = k3 x3 (t) − k1 x1 (t) x˙2 (t) = k1 x1 (t) − k2 x2 x4 (t) x˙3 (t) = k2 x2 (t)x4 (t) − k3 x3 (t) x˙4 (t) = k3 x3 (t) − k2 x2 (t)x4 (t),

változók: x1 - ép guanin bázisok száma, x2 - sérült guanin bázisok száma, x3 - javítás alatt álló guanin bázisok száma, x4 - szabad javítóenzim mol. száma Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

5 / 79

Egyszerű biokémiai rendszer – 3. Beavatkozás (a működés megváltoztatása): javítóenzim hozzáadása



PPKE-ITK

6 / 79

Dinamikus modellek/rendszerek fogalma és alkalmazása Dinamikus (dinamikai) modell: térben és/vagy időben változó [fizikai] mennyiségek leírására alkalmazzák természetes vagy technológiai folyamatok működését (tér-időbeli fejlődését) írja le modell-analízisre és szimulációra, predikcióra is alkalmas lehet leggyakrabban matematikai modelleket (pl. közönséges vagy parciális diff. egyenleteket) alkalmaznak dinamikus modellként numerikusan (számítógéppel) többnyire hatékonyan megoldható célzott beavatkozás (szabályozás) hatása vizsgálható



PPKE-ITK

7 / 79

Egyszerű RLC áramkör

uR

uL

R

L

u be

C

uC

i



PPKE-ITK

8 / 79

Egyszerű RLC áramkör Huroktörvény: −ube + uR + uL + uC = 0 Ohm-törvény: UR = R · i Lineáris kondenzátor és tekercs működése: uL = L ·

dUC di , i =C· dt dt

ún. "állapotegyenletes" leírás di dt duC dt


= − =

R 1 1 · i − uC + ube L L L

1 ·i C


PPKE-ITK

9 / 79

Egyszerű RLC áramkör Paraméterek: R = 1 Ω, L = 10−1 H, C = 10−1 F . uC (0) = 1 V, i (0) = 1 A, ube (t) = 0 V 1.5 i [A] u [V] c

1

0.5

0

−0.5

−1

0

0.5

1

1.5

idö [t]



PPKE-ITK

10 / 79

Egyszerű RLC áramkör uC (0) = 1 V, i (0) = 1 A,ube (t) = 5 V 6

5

4

i [A] uc [V]

3

2

1

0

−1

0

0.5

1

1.5

idö [s]



PPKE-ITK

11 / 79

Egyszerű RLC áramkör Periodikus bemenet: 1

0.8

0.6

0.4

0

u

be

[V]

0.2

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0

0.5


1

1.5

2

2.5 idö [s]

3


3.5

4

4.5

5

PPKE-ITK

12 / 79

Egyszerű RLC áramkör uC (0) = 1 V, i (0) = 1 1.5 i [A] u [V] c

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

0

0.5


1

1.5

2

2.5 idö [s]

3


3.5

4

4.5

5

PPKE-ITK

13 / 79

Mit jelent a szabályozás/irányítás? - Példa

Gépjárművek sebességszabályozása (pl. tempomat)

Beavatkozás gázpedál

Érzékelés sebesség

Számítás szabályozási hatás



PPKE-ITK

14 / 79

Mit jelent a szabályozás/irányítás? Egy objektum irányítása: viselkedésének befolyásolása egy kívánt cél elérése érdekében. A befolyásolás történhet: a viselkedés megfigyelésével (modellezés), és a beavatkozási lehetőségek elvárt viselkedés alapján történő megválasztásával megfigyelt mennyiségek (mérések) manipulálható bemenetre történő visszacsatolásával (ez is lehet modell-alapú) Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

15 / 79

Mit jelent a szabályozás/irányítás? - Hozzávalók Rendszer: Mit szeretnénk működtetni (hol vannak a határok, mik a be- ill. kimenetek)? Irányítási cél: Milyen viselkedést kívánunk megvalósítani? Rendszeranalízis: Megoldható-e a feladat, mit várhatunk? Szenzorok: Rendszer viselkedésének érzékelése/nyomonkövetése Aktuátorok: Tényleges fizikai beavatkozás (végrehajtás) Modellek: Rendszer (időbeli) működésének matematikai leírása Szabályozási módszer: Megközelítési mód a probléma megoldásához (többféle lehet) Hardware/software: Szabályozó tervezése, szabályozási algoritmus végrehajtása



PPKE-ITK

16 / 79

A rendszer- és irányításelmélet jelentősége

Dinamika : térben és/vagy időben változó mennyiségek leírása Dinamikus rendszerek és irányítórendszerek mindenütt jelen vannak az életünkben: háztartási gépek, járművek, ipari berendezések, kommunikációs rendszerek, természetes rendszerek (fizikai, kémiai, biológiai) A szabályozás kulcsfontosságú (-vá válik): ha nem működik, az egész rendszer használhatatlan lehet A rendszerelmélet elemeit az alaptudományok is (egyre inkább) hasznosítják A szabályozás alapelveit már látszólag távoli területeken (közgazdaságtan, biológia, gyógyszerkutatás stb.) is alkalmazzák



PPKE-ITK

17 / 79

A rendszer- és irányításelmélet jelentősége

A rendszer- és irányításelmélet természeténél fogva interdiszciplináris (matematikai modellek megépítése és analízise; fizikai komponensek: irányított rendszer, szenzorok, aktuátorok, kommunikációs csatornák, számítógépek, szoftver) A rendszerelmélet jó környezetet biztosít a technológiatranszfer számára: az egyik területen kidolgozott eljárások rendszerint máshol is meghonosíthatók Az irányításelméleti képzettség jó hátteret nyújt a komplex (technológiai) rendszerek tervezéséhez és vizsgálatához



PPKE-ITK

18 / 79

Dinamikus modellek (rendszerek) és biológia a dinamika alapvető fontosságú lehet biokémiai/biológiai folyamatok működésének megértésében (okok, okozatok, kereszthatások) a biológia egyre inkább "hozzáférhető" a hagyományosan mérnöki megközelítések számára (molekuláris, sejt- ill. szervi szinten is): kvantitatív modellezés, rendszerelmélet, számítási eljárások, absztrakt szintézis módszerek megfordítva: biológiai felfedezések is szolgálhatnak új tervezési módszerek alapjául néhány terület, ahol a dinamikának és szabályozásnak fontos szerepe van: génreguláció; jelátvitel; hormonális, immunrendszeri és kardiovaszkuláris visszacsatolások; izom- és mozgásszabályozás; aktív érzékelés; látás; figyelem; populáció- és járványdinamika



PPKE-ITK

19 / 79

1

Bevezetés

2


3


4

További példák

5




PPKE-ITK

20 / 79

Egyszerű vízóra Kr.e. 1000 előtt



PPKE-ITK

21 / 79

Vízóra szabályozott áramlási sebességgel Kr.e. 3. század



PPKE-ITK

22 / 79

Repülősúlyos fordulatszám-szabályozó James Watt, 1788



PPKE-ITK

23 / 79

A rendszer- és irányításelmélet mint önálló tudományág születése (kb. 1940-1957) 1940-45: intenzív katonai célú kutatás (sajnos); közös alapelvek és reprezentációs lehetőségek felismerése (radarrendszerek, optimális lőtáblázatok, légvédelmi lövegek pozícionálása, autopilot rendszerek, elektronikus erősítők, urán ipari termelése stb.) Rendszerkomponensek blokkdiagramos ábrázolása Lineáris differenciálegyenletek analízise és megoldása Laplace-transzformációval, komplex függvénytan, frekvenciatartománybeli vizsgálatok A katonai célú kutatások eredményeit gyorsan elkezdték felhasználni más iparágakban is Megindult az irányításelmélet önálló kutatása és oktatása 1957: Megalakul az International Federation of Automatic Control (IFAC) Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

24 / 79

A fejlődés következő szakasza (1957-kb. 1980)

Húzóerők: ipari és katonai alkalmazási igények, a matematika és számítástudomány fejlődése Űrkutatási verseny (Szputnyik űrhajó, 1957) Az első számítógépes vezérlésű olajfinomító: 1959 A digitális számítógépek előretörtek a szimuláció és szabályozó-implementáció területén A matematikai precizitás megkövetelése egyre fontosabbá válik Állapottér-modelleken alapuló módszerek megjelenése



PPKE-ITK

25 / 79

Modern és posztmodern irányításelmélet (kb. 1980-) Differenciálalgebrai alapú nemlineáris rendszer- és irányításelmélet Numerikus optimalizálási módszerek robbanásszerű fejlődése + egyre olcsóbb számítási kapacitás Modellbizonytalanságok kezelése (robusztus irányítások) Modell-prediktív irányítások „Soft computing” technikák: fuzzy logika, neurális hálók stb. Energia-alapú lineáris és nemlineáris szabályozások (elektromos, mechanikai, termodinamikai alapok) Hibrid rendszerek irányítása Pozitív rendszerek elmélete Hálózatba kapcsolt rendszerek („kiber-fizikai” rendszerek) irányításának elmélete és gyakorlata Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

26 / 79

1

Bevezetés

2


3


4

További példák

5




PPKE-ITK

27 / 79

Irányított technológiai rendszerek termosztát + fűtés: hőmérséklet dinamikus sebességkorlátok az autópályákon: időegység alatt átáramló autók száma, szennyezőanyag-kibocsátás erőművek (hő)teljesítménye: kívánt elektromos teljesítmény robotkarok és mobilrobotok mozgása: előírt pályák követése repülőgépek le-/felszállása: magasság, sebesség légiirányító rendszerek: le-/felszállások időpontja, sorrendje menetrendek újratervezése: összes késés minimalizálása szennyvíztelepek oxigénellátása: bioreakciók sebessége mosógép: súlyautomatika, vízmennyiség-szabályozás ABS-, ESP-rendszerek gépkocsikban: nyomaték, fékerő CPU órajel, ventillátor fordulatszám: hőmérséklet Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

28 / 79

Irányítás a társadalomban és a gazdaságban

törvények (végrehajtással együtt): közösségi élet bankrendszer : forgalomban lévő pénzmennyiség média: vélemények, közízlés, elfogadott normák, túlhangsúlyozott és elhallgatott információk reklámok: fogyasztási szokások



PPKE-ITK

29 / 79

Szabályozás a természetben

génexpresszió szabályozása (transzkripció, transzláció) melegvérű állatok testhőmérséklet-szabályozása vércukorszint szabályozása hormonális és idegi szabályozás élőlényekben rajban mozgó állatok (madarak, rovarok, halak): sebesség világító rovarok szinkronizált villogása mozgás, emberi járás



PPKE-ITK

30 / 79

1

Bevezetés

2


3


4

További példák

5




PPKE-ITK

31 / 79

Bioreaktor–modell



PPKE-ITK

32 / 79

Bioreaktor–modell

dX dt dS dt

=

ahol pl. µ(S) X S F V SF

biomassza koncentráció szubsztrát koncentráció bemenő folyadékáram térfogat bemenő szubsztrát konc.


XF V µ(S)X (SF −S)F − Y + V S = µmax K2 S 2 +S+K 1

= µ(S)X −

4 10

[ gl ] [ gl ] [ hl ] [l ] [ gl ]

Y µmax K1 K2


kin. par. kin.par. kin.par. kin.par

0.5 1 0.03 0.5

PPKE-ITK

[ h1 ] [ gl ] [ gl ]

33 / 79

Bioreaktor–modell F = 0 hl 10 biomassza konc. szubsztrát konc. 9

8

koncentráció [g/l]

7

6

5

4

3

2

1

0

0

1


2

3

4

5 idö [h]

6


7

8

9

10

PPKE-ITK

34 / 79

Bioreaktor–modell F = 0.8 hl 10 biomassza konc. szubsztrát konc. 9

8

koncentráció [g/l]

7

6

5

4

3

2

1

0

0

2


4

6

8

10 idö [h]

12


14

16

18

20

PPKE-ITK

35 / 79

Egyszerű ökológiai rendszer dx = k ·x −a·x ·y dt dy = −l · y + b · x · y dt x – zsákmányállatok száma a zárt területen y – ragadozók száma a zárt területen k – a zsákmányállatok természetes növekedési rátája ragadozók hiányában a – a ragadozók és zsákmányállatok "találkozási" rátája l – a ragadozók természetes halálozási rátája zsákmány hiányában b – a ragadozók reprodukciós rátája megevett zsákmányállatonként Paraméterek: 1 k = 2 hónap 1 a = 0.1 db·hónap 1 l = 1 hónap 1 b = 0.01 db·hónap Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

36 / 79

Egyszerű ökológiai rendszer x(0) = 200, y (0) = 20 200

180

160

140 zsákmányállatok száma ragadozók száma

[db]

120

100

80

60

40

20

0

0

1


2

3

4

5 idö [hónap]

6


7

8

9

10

PPKE-ITK

37 / 79

Egyszerű ökológiai rendszer x(0) = 200, y (0) = 80 700

600 zsákmányállatok száma ragadozók száma

500

[db]

400

300

200

100

0

0

1


2

3

4

5 idö [hónap]

6


7

8

9

10

PPKE-ITK

38 / 79

SIR járványterjedési modell

Gyógyulási/terjedési mechanizmus:

S: fertőzésre fogékonyak (susceptible) I : fertőzöttek (infected) R: fertőzésen átesettek (recovered) N: populáció létszáma s = S/N, i = I /N, r = R/N matematikai modell: ds = −b · s(t) · i (t) dt dr = k · i (t) dt di = b · s(t) · i (t) − k · i (t) dt b, k: konstans paraméterek



PPKE-ITK

39 / 79

SIR járványterjedési modell N = 107 , S(0) = 9999990, I (0) = 10, R(0) = 0, k = 1/3, b = 1/2 1 s (susceptible) r (recovered) i (infected)

0.9

0.8

0.7

s/i/r

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

20

40


60 t [days]

80

100


120

PPKE-ITK

40 / 79

6 szabadsági fokú robotkar (Lombai Ferenc doktoranduszi munkája)



PPKE-ITK

41 / 79

6 szabadsági fokú robotkar

Eldobó mozdulat tervezése és végrehajtása

(videos/6dof_dob_1.avi) (videos/6dof_dob_2.avi) (videos/6dof_dob_3.avi)



PPKE-ITK

42 / 79

Rugalmas robot-ízület

Szabályozott flexor-extenzor mechanizmus kialakítása 2 léptetőmotorral (Veres József doktoranduszi munkája)

http://www.youtube.com/watch?v=qBMs_36gZMg



PPKE-ITK

43 / 79

Simultaneous Localization & Mapping (SLAM)

Feladat: Mobilrobot aktív lokalizációja (párhuzamos mozgás és térképezés) Rudan János és Tuza Zoltán TDK-munkája

(videos/SLAM_TDK.mpeg)



PPKE-ITK

44 / 79

Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell – 1



PPKE-ITK

45 / 79

Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell – 2 Konfigurációs tér: R2 × S1 Konfiguráció: q = (x, y , θ) Paraméterek: s: hossztengely-irányú előjeles sebesség φ: kormányzási szög L: első és hátsó tengely távolsága ρ: fordulási sugár rögzített φ esetén A keresett dinamikus modell megadja, hogy hogyan változik x, y és θ az idő függvényében, azaz: x˙

= f1 (x, y , θ, s, φ)

y˙ = f2 (x, y , θ, s, φ) θ˙ = f3 (x, y , θ, s, φ)



PPKE-ITK

46 / 79

Autonóm és kooperatív járművek Kormányzott autómodell – 3 A legegyszerűbb irányítási modell: Manipulálható bemenetek (leegyszerűsítő feltételezés): sebesség (us ), kormányszög (uφ ), azaz u = (us , uφ ) Az egyenletek: x˙

= us cos θ

y˙ = us sin θ us tan uφ θ˙ = L Valósághűbb modell gyorsítási dinamikával: x˙

= s cos θ

y˙ = s sin θ us θ˙ = tan uφ L s˙ = ut Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

47 / 79

Autonóm és kooperatív járművek

Előírt pálya követése (videos/car_track.avi) Mozgó objektum "üldözése", szimuláció: Faludi Gábor (videos/ref_car.avi) Mozgás (repülés) formációban (videos/formation.avi) Formációváltás (videos/chg_form.avi) Akadályelkerülés (videos/obstacle.avi)



PPKE-ITK

48 / 79

Energetikai alkalmazás: primerköri nyomásszabályozás



PPKE-ITK

49 / 79

Primerköri nyomásszabályozás

Nyomottvizes reaktorblokk szerkezete



PPKE-ITK

50 / 79

Primerköri nyomásszabályozás é

mê ëê

kg ù ú s ûú

T I [˚ K ]

YP10 M = const. é

mê ëê

kg ù s úûú

T [˚ K ]

χ1 χ 2 χ3 χ 4 Szederkényi G. (PPKE-ITK)

térfogatkiegyenlítő tartály Computer Controlled Systems

PPKE-ITK

51 / 79

Primerköri nyomásszabályozás Modellezési feltételezések: két tökéletesen kevert mérlegelési térfogat: víz és tartályfal a mérlegelési térfogatokban a tömegek állandóak a fizikai-kémiai tulajdonságok állandóak gőz-folyadék egyensúly a tartályban

Egyenletek: víz dU = cp mTI − cp mT + KW (TW − T ) + WHE · χ dt tartályfal dUW = KW (T − TW ) − Wloss dt Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

52 / 79

Primerköri nyomásszabályozás Változók és paraméterek: T vízhőmérséklet TW tartályfal-hőmérséklet cp víz fajhője U víz belső energiája UW tartályfal belső energiája m víz beáramlási sebessége TI bejövő víz hőmérséklete M víztömeg CpW tartályfal hőkapacitása WHE fűtőtestek max. teljesítménye χ bekapcsolt fűtőtestek aránya KW tartályfal hőátbocsátási tényezője Wloss a rendszer hővesztesége Szederkényi G. (PPKE-ITK)

◦C ◦C J kg◦ C

J J kg s ◦C

kg J ◦C

W W

◦C

W


PPKE-ITK

53 / 79

Primerköri nyomásszabályozás Bejövő víz hőmérséklete 290

285

280

275

TI [K]

270

265

260

255

250

245

0

5

10

15

20

25

idö [h]



PPKE-ITK

54 / 79

Primerköri nyomásszabályozás A nyomás szabályozó nélkül 126

125.5

125

nyomás [bar]

124.5

124

123.5

123

122.5

122

121.5

0

5

10

15

20

25

idö [h]



PPKE-ITK

55 / 79

Primerköri nyomásszabályozás A nyomás szabályozóval 124.2

124

123.8

nyomás [bar]

123.6

123.4

123.2

123

122.8

122.6

122.4

0

5

10

15

20

25

idö [h]



PPKE-ITK

56 / 79

Primerköri nyomásszabályozás A szabályozó által bekapcsolt fűtőteljesítmény 1

0.9

bekapcsolt fütötestek aránya

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0

5

10

15

20

25

idö [h]



PPKE-ITK

57 / 79

Primerköri nyomásszabályozás Kisebb tranziens: szabályozórudak pozíciója 0.1

0.08

0.06

control rod position [m]

0.04

0.02

0

−0.02

−0.04

−0.06

−0.08

−0.1 55

60

65

70

time [h]



PPKE-ITK

58 / 79

Primerköri nyomásszabályozás A reaktor hőteljesítménye 1410

Reactor thermal power [MW]

1400

1390

1380

1370

1360

1350 55

60

65

70

time [h]



PPKE-ITK

59 / 79

Primerköri nyomásszabályozás Primerköri hőmérséklet

280.3

o

primary circuit temperature [ C]

280.2

280.1

280

279.9

279.8

279.7

279.6 55

60

65

70

time [h]



PPKE-ITK

60 / 79

Primerköri nyomásszabályozás TK nyomás a régi és az új szabályozóval 123.8 new controller old controller 123.6

primary circuit pressure [bar]

123.4

123.2

123

122.8

122.6

122.4

122.2 55

60

65

70

time [h]



PPKE-ITK

61 / 79

Miért tanuljuk a tantárgyat? elsődleges cél: rendszerszemlélet megalapozása a körülöttünk lévő világban található rendszerek észrevétele, megfigyelése, elkülönítése bemenetek, kimenetek, állapotok meghatározása

alapvető rendszertulajdonságok ismerete és vizsgálata (mit várhatunk?) milyen beavatkozási lehetőségeink vannak egy kívánt irányítási cél megvalósítására, és ez mennyibe kerül (idő, energia)? interdiszciplináris látásmód megalapozása (elektromos, mechanikai, kémiai, biológiai, termodinamikai, ökológiai, gazdasági rendszerek)



PPKE-ITK

62 / 79

Miről lesz szó?

Rendszerosztályok, alapvető rendszertulajdonságok Folytonos idejű lineáris, időinvariáns (F-LTI) rendszerek input/output és állapottér modelljei F-LTI rendszerek BIBO stabilitása, stabilitáskritériumok F-LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása, Ljapunov módszer F-LTI rendszerek megfigyelhetősége és irányíthatósága Együttes megfigyelhetőség és irányíthatóság, minimális realizációk, rendszerdekompozíció



PPKE-ITK

63 / 79

Miről lesz szó?

Szabályozótervezés: PI, PID és pólusáthelyezéses szabályozás Lineáris kvadratikus optimális szabályozás Állapotmegfigyelők tervezése Mintavételezés, diszkrét idejű lineáris időinvariáns (D-LTI) rendszermodellek D-LTI rendszerek megfigyelhetősége, irányíthatósága és stabilitása D-LTI sztochasztikus rendszerek Sztochasztikus állapotbecslés: Kálmán-szűrő



PPKE-ITK

64 / 79

Kapcsolódás más tantárgyakhoz Előzetes tanulmányok matematika (lin. algebra, analízis, val. szám., sztochasztikus folyamatok) fizika (fizikai modellek felírása) jelfeldolgozás (átviteli függvények, szűrők, stabilitás) elektromos hálózatok/áramkörök elmélete (lineáris áramkörök modelljei) További tantárgyak robotika (dinamikus modellezés, szabályozás, pályakövetés) nemlineáris dinamikus rendszerek (szimuláció, stabilitás) optimalizációs módszerek, funkcionálanalízis (optimális szabályozók tervezése, lineáris rendszeroperátorok) számításos rendszerbiológia (diff. egyenletes modellek, molekuláris szabályozókörök) dinamikus rendszerek paramétereinek becslése (dinamikus modellek konstruálása mérési adatok alapján) nemlineáris molekuláris folyamatok analízise és irányítása Szederkényi G. (PPKE-ITK)


PPKE-ITK

65 / 79

Szoftver-eszközök (teljesség igénye nélkül)

Kereskedelmi Matlab/Simulink: numerikus számítások, szimuláció http://www.mathworks.com Mathematica: szimbolikus, numerikus számítások http://www.wolfram.com/ Maple: szimbolikus, numerikus számítások, szimuláció http://www.maplesoft.com/

Ingyenes Scilab/Xcos: numerikus számítások, szimuláció http://www.scilab.org/ Sage: szimbolikus, numerikus számítások http://sagemath.org/



PPKE-ITK

66 / 79

Jelek – 1

Jel: időtől, tértől vagy más független változótól függő (fizikai) mennyiség Pl. (a bevezető példák mellett) x : R+ x(t) = e −t 0 7→ R, y : N+ y [n] = e −n 0 7→ R, 1 X : C 7→ C, X (s) = s+1



PPKE-ITK

67 / 79

Jelek – 2 a) 1 0.8

x(t)

0.6 0.4 0.2 0

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5 n

6

7

8

9

10

b) 1 0.8

y[n]

0.6 0.4 0.2 0

0



PPKE-ITK

68 / 79

Jelek – 3

szoba hőmérséklete: T (x, y , z, t) (x, y , z: helykoordináták, t: idő) színes TV képe: I : R3 7→ R3 

 Ir (x, y , t) I (x, y , t) =  Ig (x, y , t)  Ib (x, y , t),



PPKE-ITK

69 / 79

Jelek csoportosítási szempontjai

független változó dimenziója függő változó (jel) dimenziója valós v. komplex értékű folytonos v. diszkrét idejű korlátos v. nem korlátos periodikus v. aperiodikus páros v. páratlan



PPKE-ITK

70 / 79

Különleges jelentőségű jelek – 1

Dirac-δ vagy egységimpulzus függvény Z ∞ f (t)δ(t)dt = f (0) −∞

ahol f : R+ 0 7→ R tetszőleges sima (végtelenül sokszor folytonosan differenciálható) függvény. következmény: Z ∞ 1 · δ(t)dt = 1 −∞



PPKE-ITK

71 / 79


Egységimpulzus fizikai jelentése: áramimpulzus ⇒ töltés hőmérsékletimpulzus ⇒ energia erőimpulzus ⇒ momentum nyomásimpulzus ⇒ tömeg sűrűségimpulzus: tömegpont töltésimpulzus: ponttöltés



PPKE-ITK

72 / 79


Egységugrás (unit step) függvény Z η(t) =

t

δ(τ )d τ,

−∞

azaz η(t) =


0, ha t < 0 1, ha t ≥ 0


PPKE-ITK

73 / 79

Alapvető műveletek jelekkel – 1

 x1 (t) x(t) =  ...  , xn (t) 

 y1 (t) y (t) =  ...  yn (t) 

összeadás: (x + y )(t) = x(t) + y (t), ∀t ∈ R+ 0 skalárral való szorzás: (αx)(t) = αx(t) ∀t ∈ R+ 0, α ∈ R skaláris szorzat: hx, y iν (t) = hx(t), y (t)iν ∀t ∈ R+ 0



PPKE-ITK

74 / 79

Alapvető műveletek jelekkel – 2

eltolás: Ta x(t) = x(t − a) ∀t ∈ R+ 0 ,a ∈ R kauzális eltolás: Tca x(t) = η(t − a)x(t − a) ∀t ∈ R+ 0 ,a ∈ R



PPKE-ITK

75 / 79

Konvolúció – 1

x, y : R+ 0 7→ R (x ∗ y )(t) =

Z

t

x(τ )y (t − τ )d τ,

∀t ≥ 0

0



PPKE-ITK

76 / 79

Konvolúció – 2 2

x(t)

1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 t

3

3.5

4

4.5

5

y(t)

1

0.5

0

(x*y)(t)

1

0.5

0



PPKE-ITK

77 / 79

Laplace-transzformáció

Értelmezési tartomány: Λ = { f | f : R+ 0 7→ C, f integrálható [0, a]-n ∀a > 0 és ∃Af ≥ 0, af ∈ R, hogy |f (x)| ≤ Af e af x ∀x ≥ 0 } Definíció: L{f }(s) =

Z

∞

f (t)e −st dt, f ∈ Λ, s ∈ C

0



PPKE-ITK

78 / 79

Rendszerek

Rendszer: Olyan fizikai vagy logikai eszköz, amely jeleken végez valamilyen műveletet. (Bemenő jeleket dolgoz fel, és kimenő jeleket állít elő.)



PPKE-ITK

79 / 79

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 1

Recommend Documents