Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 7. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai és Bionikai Kar e-mail:
[email protected]
PPKE-ITK, 2015. március 23.
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
1 / 37
Tartalom
1
(SISO) rendszerek irányításának alapjai
2
PID-szabályozás
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
2 / 37
1
(SISO) rendszerek irányításának alapjai
2
PID-szabályozás
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
3 / 37
Az irányítási cél
Cél: a rendszer kimenete azonos legyen azzal, amit mi előírunk (referenciajel). ("Everything is under control") Kézenfekvő(nek tűnő) megoldás: Alakítsuk valahogyan a rendszer-operátort identikus operátorrá (a kimenet pontosan megegyezik a bemenettel)
r
&
6
r
I
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
4 / 37
Bal- és jobb inverz (MIMO eset) Bal inverz:
r
6O
6
r
I Jobb inverz:
U
6U
6
U
,
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
5 / 37
Invertálási problémák
A rendszer-operátor nem invertálható Az irányítandó rendszer instabil Az inverz instabil Az inverz nem kauzális (nem számítható) A rendszer-operátor nem pontos (bizonytalan) → az inverz még bizonytalanabb (lehet) A valóságban a rendszer nem elszigetelt (külső zavarok hatnak rá)
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
6 / 37
Állandósult állapotbeli erősítés beállítása
Feltételezés: adott egy stabil SISO átviteli függvény Cél : a "szabályozott" rendszer aszimptotikusan kövesse a konstans referenciajelet (0 frekvencián az erősítése 1 legyen)
U
+ V
.F
U
, |H(j · 0)| = k ⇒ Kc = 1/k
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
7 / 37
Példa – 1 H(s) =
20 , s 2 +4s+29
|H(0)| =
20 29
1 bemenet kimenet 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5 idö [s]
2
Computer Controlled Systems
2.5
3
PPKE-ITK
8 / 37
Példa – 2 Kc =
29 20 bemenet kimenet
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5 idö [s]
2
Computer Controlled Systems
2.5
3
PPKE-ITK
9 / 37
Visszacsatolás – 1 visszacsatolás = érzékelés + számítás + beavatkozás
Beavatkozás gázpedál
Érzékelés sebesség
Számítás szabályozási hatás
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
10 / 37
Visszacsatolás – 2
Miért alkalmazzuk? Gyakran az instabil rendszerek stabilizálásának egyetlen módja a visszacsatolás Egy jól megtervezett visszacsatolás bizonytalan rendszermodellel együtt is működőképes lehet Visszacsatolással csökkenthető a külső zavarok hatása is
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
11 / 37
Visszacsatolás – 3
A visszacsatolás típusai kimenet-visszacsatolás: a bemenet csak a rendszer kimeneteitől függ, azaz u = F[y ] (teljes) állapot-visszacsatolás: a bemenet a rendszer állapotváltozóitól függ, azaz u = F[x] statikus visszacsatolás: az F operátor statikus (u = F (y ), u = F (x)) dinamikus visszacsatolás: az F operátor dinamikus (lineáris esetben pl. állapottér-modellel vagy átviteli függvénnyel megadható) Lineáris visszacsatolás: az F operátor vagy az F függvény lineáris.
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
12 / 37
Az integrátor szerepe
v
+
u
1/s
H 1 (s)
-
y
G(s) kI ·b(s) H1 (s) = b(s) a(s) ⇒ G (s) = s·a(s)+kI ·b(s) |G (j · 0)| = 1 Integrátort tartalmazó szabályozási kör állandósult állapotbeli erősítése 1. (A szabályozott rendszer követi a konstans referenciajelet, ha aszimptotikusan stabil).
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
13 / 37
Példa – 1 0.5 Rendszermodell: H(s) = s 2 +5s+6 Egységugrás bemenetre adott válasz:
1
bemenet kimenet 0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
10
20
30 idö [s]
40
Computer Controlled Systems
50
60
PPKE-ITK
14 / 37
Példa – 2 Integrátort tartalmazó (kI = 1), visszacsatolt rendszer: G (s) = s 3 +5s 20.5 +6s+0.5 Egységugrás bemenetre adott válasz: bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
10
20
30 idö [s]
40
Computer Controlled Systems
50
60
PPKE-ITK
15 / 37
Példa – 3 Az integrátor kimenete ≡ az eredeti rendszer bemenete: 12
10
u
8
6
4
2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
10
20
30 idö [s]
40
Computer Controlled Systems
50
60
PPKE-ITK
16 / 37
1
(SISO) rendszerek irányításának alapjai
2
PID-szabályozás
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
17 / 37
A PID szabályozó struktúrája – 1
v
+ -
u
K P I D (s)
H (s)
y
G(s)
P=Proportional, I=Integral, D=Derivative Átviteli függvény: Kp (Ti · Td · s 2 + Ti · s + 1) 1 + Td · s = KPID (s) = Kp 1 + Ti · s Ti · s
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
18 / 37
A PID szabályozó struktúrája – 1
.S
7 V L
7 V G
.
3,'
V
Kp : arányos (proporcionális) erősítés Ti : integrálási időállandó Td : deriválási időállandó Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
19 / 37
PID tervezési példa – 1 Rendszermodell: H(s) = s 3 +6s 210 +11s+16 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
15 idö [s]
20
Computer Controlled Systems
25
30
PPKE-ITK
20 / 37
PID tervezési példa – 2 Arányos (P) visszacsatolás: Kp = 3, G (s) = Egységugrásra adott válasz
30 s 3 +6s 2 +11s+36
bemenet kimenet
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
15 idö [s]
20
Computer Controlled Systems
25
30
PPKE-ITK
21 / 37
PID tervezési példa – 3 Arányos + integráló (PI) visszacsatolás: Kp = 2.7, Ti = 1.5, G (s) = 1.5s 4 +9s 340.5s+27 +16.5s 2 +49.5s+27 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
15 idö [s]
20
Computer Controlled Systems
25
30
PPKE-ITK
22 / 37
PID tervezési példa – 4 Arányos + integráló + deriváló (PID) visszacsatolás: Kp = 2, Ti = 0.9, 10.8s 2 +18s+20 Td = 0.6, G (s) = 0.9s 4 +5.4s 3 +20.7s 2 +23.4s+20 Egységugrásra adott válasz bemenet kimenet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
15 idö [s]
20
Computer Controlled Systems
25
30
PPKE-ITK
23 / 37
PID szabályozók hangolása
Ziegler-Nichols módszer 1 2
3
Alkalmazzunk csak arányos (proporcionális) visszacsatolást Növeljük az arányos erősítést (Kp ) addig, amíg az egységugrásra adott válasz csillapítatlan (szinuszos) rezgés lesz (Kp∗ ). Mérjük meg a rezgés periódusidejét (Tc )
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
24 / 37
PID szabályozók hangolása
A szabályozó hangolása: P-szabályozó: Kp = 0.5Kp∗ PI-szabályozó: Kp = 0.45Kp∗ , Ti = 0.833Tc PID-szabályozó (gyors): Kp = 0.6Kp∗ , Ti = 0.5Tc , Td = 0.125Tc P-szabályozó (enyhe túllövés): Kp = 0.33Kp∗ , Ti = 0.5Tc , Td = 0.33Tc P-szabályozó (túllövés nélkül): Kp = 0.2Kp∗ , Ti = 0.3Tc , Td = 0.5Tc
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
25 / 37
Példa – 1 Rendszermodell: H(s) = 2s 3 +10s40 2 +82s+10 Egységugrásra adott válasz: 4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
15
20
25
Computer Controlled Systems
30
35
40
PPKE-ITK
26 / 37
Példa – 2 Arányos visszacsatolás, Kp = 7 Egységugrásra adott válasz: 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
5
10
Computer Controlled Systems
15
PPKE-ITK
27 / 37
Példa – 3 Arányos visszacsatolás, Kp∗ = 10, Tc = 1 Egységugrásra adott válasz: 1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Computer Controlled Systems
4
4.5
5
PPKE-ITK
28 / 37
Példa – 4
PID szabályozó paraméterei: Kp = 3.3, Ti = 0.5, Td = 0.33 A szabályozó átviteli függvénye: KPID (s) =
Kp (Ti · Td · s 2 + Ti · s + 1) Ti · s
A zárt rendszer átviteli függvénye: G (s) =
Szederkényi G. (PPKE)
21.78s 2 + 66s + 132 s4 + 5s 3 + 62.78s 2 + 71s + 132
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
29 / 37
Példa – 5 A szabályozott rendszer egységugrásra adott válasza 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
1
2
3
4
5
6
7
Computer Controlled Systems
8
9
10
PPKE-ITK
30 / 37
Példa: egyenáramú motor – 1
A rendszer egyenletei, változói és paraméterei: J tehetetlenségi nyomaték 0.01 kg m2 /s2 b csillapítási tényező 0.1 Nm s K elektromotoros erő tényező 0.01 Nm/A R ellenállás 1 ohm L induktivitás 0.5 H állapotváltozók, bemenet, kimenet: x1 = θ˙ szögsebesség [rad/s] x2 = i átfolyó áram [A] u bemenő feszültség [V] y = x1
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
31 / 37
Példa: egyenáramú motor – 2
Állapottér-modell: b K x1 0 x˙1 −J J + 1 u = x2 x˙2 −KL −RL L x1 y= 1 0 x2 Átviteli függvény: H(s) =
Szederkényi G. (PPKE)
Y (s) K = U(s) (Js + b)(Ls + R) + K 2
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
32 / 37
Példa: egyenáramú motor – 3 u = 1V bemenetre adott válasz: 0.1
0.09
0.08
szögsebesség [rad/s]
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5
2 idö [s]
2.5
Computer Controlled Systems
3
3.5
4
PPKE-ITK
33 / 37
Példa: egyenáramú motor – 4 PID-paraméterek: Kp = 100, Ti = 1/100, Kd = 1 A szabályozott rendszer működése: 3.5
3
elöírt szögsebesség tényleges szögsebesség
szögsebesség [rad/s]
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5
2 idö [s]
2.5
Computer Controlled Systems
3
3.5
4
PPKE-ITK
34 / 37
Példa: egyenáramú motor – 5 PID-paraméterek: Kp = 100, Ti = 1/100, Kd = 10 A szabályozott rendszer működése: 3.5
3
szögsebesség [rad/s]
2.5 elöírt szögsebesség tényleges szögsebesség 2
1.5
1
0.5
0
0
Szederkényi G. (PPKE)
0.5
1
1.5
2 idö [s]
2.5
Computer Controlled Systems
3
3.5
4
PPKE-ITK
35 / 37
SISO rendszerek szabályozásának minősítése – 1
Időtartomány, (egység)ugrás bemenetre adott válasz emax : maximális túllendülés (maximal overshoot) tmax : maximális túllendülés időpontja Ta (Ta,50 ): felfutási idő (rise time) Tu : késleltetési idő (delay) tǫ : beállási idő (settling time) tan : felépülési idő (build-up time)
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
36 / 37
SISO rendszerek szabályozásának minősítése – 2
Időtartomány, a referenciától való eltérés "mérése" R∞ I1 = 0 e(t)dt R∞ I2 = 0 |e(t)|dt R∞ I3 = 0 e 2 (t)dt R∞ I4 = 0 [e 2 (t) + αe˙2 (t)]dt R∞ I5 = 0 [e 2 (t) + βu 2 (t)]dt
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
37 / 37
