Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 9. el?adás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar e-mail:
[email protected]
PPKE-ITK, 2013. május 2.
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
1 / 17
Mintavételezés
u(t k )
D/A
u(t)
S
y(t)
continuous time
A/D
y(t k )
discrete time
Control Algorithm
Clock Computer
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
2 / 17
Mintavételezés nulladrendű tartóval A D/A átalakító működése ✻
u(k)
✲
t0
Szederkényi G. (PPKE)
t1
t2
t3
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
3 / 17
CT-LTI rendszerek mintavételezése
Adott:
x˙ = Ax + Bu y = Cx + Du
u mintavételezése nulladrendű tartóval u(τ ) = u(tk ) = u(k) , tk ≤ τ < tk+1 Ekvidisztáns (periodikus) mintavételezés: tk+1 − tk = h = const Kiszámítandó: a mintavételezett (diszkrét idejű) rendszer állapottér-modellje
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
4 / 17
Mintavételezett állapotegyenletek - 1 A folytonos idejű állapotegyenlet megoldása Z t A(t−t0 ) x(t) = e x(t0 ) + e A(t−τ ) Bu(τ )d τ t0
Helyettesítés: t = tk+1 és t0 = tk x(tk+1 ) = e
A(tk+1 −tk )
x(tk ) +
Z
tk+1
e A(tk+1 −τ ) Bu(τ )d τ
tk
periodikus mintavételezés és θ = τ − tk , tk+1 − τ = h − θ Rh x(k + 1) = e Ah x(k) + 0 e A(h−θ) Bu(k)d θ = Rh x(k + 1) = e Ah x(k) + e Ah 0 e −Aθ d θBu(k) Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
5 / 17
Mintavételezett állapotegyenletek - 2
x(k + 1) = e és Z
h
0
Ah
x(k) + e
Ah
Z
h
e −Aθ d θBu(k)
0
e −Aθ d θ = [−A−1 e −Aθ ]h0 = A−1 (I − e Ah )
Diszkrét idejű állapotegyenletek x(k + 1) = e Ah x(k) + A−1 (e Ah − I )Bu(k) DT-LTI állapotegyenletek mintavételezett rendszerekhez x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) Φ = e Ah = I + Ah + ... , Γ = A−1 (e Ah − I )B = (Ih +
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
Ah2 2!
+ ...)B
PPKE-ITK
6 / 17
DT-LTI állapottér modellek
x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) állapotegyenlet y (k) = Cx(k) + Du(k) kimeneti egyenlet adott x(0) kezdeti feltétellel és x(k) ∈ Rn , y (k) ∈ Rp , u(k) ∈ Rr véges dimenziós vektorok és Φ ∈ Rn×n , Γ ∈ Rn×r , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×r mátrixok
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
7 / 17
DT állapotegyenletek megoldása
x(1) = Φx(0) + Γu(0) x(2) = Φx(1) + Γu(1) = Φ2 x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1) x(3) = Φx(2) + Γu(2) = Φ3 x(0) + Φ2 Γu(0) + ΦΓu(1) + Γu(2) .. .. Pk−1 k−j−1 x(k) = Φx(k − 1) + Γu(k − 1) = Φk x(0) + j=0 Φ Γu(j )
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
8 / 17
DT-LTI I/O rendszermodellek – 1 Impulzusválasz-függvény: I/O modell SISO rendszerekhez U = [u(0) u(1)...u(N − 1)]T
,
Y = [y (0) y (1)...y (N − 1)]T
Általános lineáris modell Y = HU + Yp ahol H n × n-es mátrix, és Yp tartalmazza a kezdeti feltételeket. Kauzális rendszerek esetén H alsóháromszög y (k) =
k X
h(k, j )u(j ) + yp (k)
j=0
ahol h(k, j ) az impulzusválasz-függvény
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
9 / 17
DT-LTI I/O rendszermodellek – 2
LTI modellek impulzusválasz-függvénye: h(k, j ) = h(k − j ) Az állapotegyenlet megoldásából D = 0-ra: Pk−1 k−j−1 x(k) = Φx(k − 1) + Γu(k − 1) = Φk x(0) + j=0 Φ Γu(j ) Pk−1 k k−j−1 Γu(j ) y (k) = Cx(k) = C Φ x(0) + j=0 C Φ h(k) =
0
C Φk−1 Γ
k <1 k ≥1
A súlyfüggvény diszkrét idejű megfelelője. Diszkrét idejű Markov paraméterek: C Φk−1 Γ
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
10 / 17
Diszkrét idejű jelek
f = {f (k), k = 0, 1, ...} skalár értékű diszkrét idejű jelek jelnormái a végtelen norma ||f ||∞ = sup |f (k)| k
a 2-es norma ||f ||22 =
∞ X
f 2 (k)
k=−∞
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
11 / 17
Eltolási operátorok Definíció: előre való eltolási operátor: q amely a következő műveletet végzi egy diszkrét idejű jellel: qf (k) = f (k + 1)
(1)
Definíció: hátrafelé való eltolási operátor (késleltetés): q −1 amely a következő műveletet végzi: q −1 f (k) = f (k − 1)
(2)
q Operátor X vektortéren értelmezett ||.|| norma által indukált normája: ||q(x)|| ||x||=1 ||x||
||q|| = sup
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
12 / 17
DT-LTI I/O rendszermodellek – 3
Diszkrét differenciaegyenlet modellek: SISO rendszerekhez Előrefelé vett differenciákkal y (k + na ) + a1 y (k + na − 1) + ... + ana y (k) = b0 u(k + nb ) + ... + bnb u(k) ahol na ≥ nb (proper). Tömörebb forma A(q)y (k) = B(q)u(k) , A(q) = q na +a1 q na −1 +...+ana , B(q) = b0 q nb +b1 q nb −1 +...+bnb Hátrafelé vett differenciákkal y (k) + a1 y (k − 1) + ... + ana y (k − na ) = b0 u(k − d ) + ... + bnb u(k − d − nb ) ahol d = na − nb > 0 az időkésleltetés. Tömörebb forma A∗ (q −1 )y (k) = B ∗ (q −1 )u(k − d ) , A∗ (q −1 ) = q na A(q −1 )
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
13 / 17
DT-LTI I/O rendszermodellek – 4 Impulzusátviteli operátor A DT-LTI állapottér modellből számolva x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) , y (k) = Cx(k) + Du(k) x(k + 1) = qx(k) = Φx(k) + Γu(k) x(k) = (qI − Φ)−1 Γu(k) y (k) = Cx(k) + Du(k) = [C (qI − Φ)−1 Γ + D]u(k) (Φ, Γ, C , D) ÁTM-hez tartozó impulzusátviteli operátor H(s) : H(q) = C (qI − Φ)−1 Γ + D Az átviteli függvény diszkrét idejű megfelelője.
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
14 / 17
DT-LTI I/O rendszermodellek – 5
Impulzusátviteli operátor: a SISO eset H(q) = C (qI − Φ)−1 Γ + D =
B(q) , deg B(q) < deg A(q) = n A(q)
ahol A(q) a Φ mátrix karakterisztikus polinomja. Kapcsolat a diszkrét differenciaegyenlettel y (k) + a1 y (k − 1) + ... + an y (k − n) = b1 u(k − 1) + ... + bn u(k − n)
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
15 / 17
DT-LTI rendszerek pólusai – 1
folytonos idő
diszkrét idő
állapot egy.
x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t)
x(kh + h) = Φx(kh) + Γu(kh) Φ = e Ah
kimeneti egy.
y (t) = Cx(t)
y (kh) = Cx(kh)
pólusok
λi (A)
λi (Φ) λi (Φ) = e λi (A)h
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
16 / 17
DT-LTI rendszerek pólusai – 2
S-plane
✻
Z-plane
Im s
✻
3Π h Π h
Re s
✲
−Π h
− 3Π
Im z
1 ✤✜
✣✢
Re z
✲
h
Szederkényi G. (PPKE)
Computer Controlled Systems
PPKE-ITK
17 / 17
