Szabályozástechnika I

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 „A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK KÉPZÉSEINEK

DUÁLIS

ÉS

KIALAKÍTÁSA

MODULÁRIS A

TUDOMÁNYEGYETEMEN „

Jancskárné Anweiler Ildikó

Szabályozástechnika I.

Pécs 2015

A tananyag a TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonosító számú, „A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen” című projekt keretében valósul meg.

PÉCSI

TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 „A GÉPÉSZETI ÉS INFORMATIKAI ÁGAZATOK KÉPZÉSEINEK

DUÁLIS

TUDOMÁNYEGYETEMEN „

Szerző: Jancskárné dr. Anweiler Ildikó Szakmai lektor: dr. Gerzson Miklós Nyelvi lektor: Veres Mária

Kiadó neve Kiadó címe

Felelős kiadó:

ISBN szám

Pécsi Tudományegyetem Műszaki és Informatikai Kar Pécs, 2015 © Jancskárné dr. Anweiler Ildikó

ÉS

KIALAKÍTÁSA

MODULÁRIS A

PÉCSI

TARTALOMJEGYZÉK

1.

Bevezetés ........................................................................................................... 3

2.

Jelölésjegyzék ..................................................................................................... 5

3.

Alapfogalmak, terminológia ............................................................................... 9 3.1.

Az irányítási rendszerek felosztása ............................................................ 10

3.2.

Az irányítási rendszerek ábrázolásmódjai ................................................. 11

3.3.

A szabályozási körben lévő jelformáló tagok ............................................ 14

3.4.

A szabályozási kör jelei, jellemzői.............................................................. 15

3.5.

A szabályozások csoportosítása ................................................................ 17

3.6.

A vezérlés és a szabályozás összehasonlítása............................................ 19

3.7.

További alapfogalmak ............................................................................... 20

3.8.

A szabályozási kör hatásvázlatai ................................................................ 21

4.

Alapvető jelátviteli tagok ................................................................................. 25 4.1.

Gyakorló program, gyakorló feladat ......................................................... 27

4.2.

Átmeneti függvény alapú modellegyszerűsítések ..................................... 31

4.2.1.

Közelítés egytárolós holtidős taggal...................................................... 31

4.2.2.

A modellegyszerűsítés szimulációs programmal szemléltetve ............. 34

5.

A szabályozással szemben támasztott követelmények .................................... 37 5.1.

Visszacsatolt rendszerek stabilitása .......................................................... 37

5.2.

Az alapjelkövetés és/vagy a zavarkompenzálás statikus pontossága ....... 38

5.3.

Az előírt dinamikus viselkedés teljesítménymérői .................................... 39

5.4.

Érzéketlenség a rendszerparaméterek változására (robusztusság) .......... 40

5.4.1.

A visszacsatolás hatása, az eredő átviteli függvény .............................. 40

5.4.2.

A negatív visszacsatolás hatása a rendszer erősítésére ........................ 41

6.

A szabályozások eredő átviteli függvényei ...................................................... 43

7.

A zárt kör stabilitása......................................................................................... 47 7.1. 7.1.1.

Egyszerűsített Nyquist-kritérium ............................................................... 47 Balkéz-szabály ....................................................................................... 48 1

7.2.

Fázistartalék és erősítési tartalék .............................................................. 48

7.2.1.

Erősítési tartalék (Gain margin)............................................................. 49

7.2.2.

Fázistartalék, fázistöbblet (Phase margin) ............................................ 49

7.2.3.

Az erősítési és a fázistartalék meghatározása a Bode-diagramban ...... 50

8.

Állásos szabályozások ...................................................................................... 53 8.1.

Egytárolós, holtidős rendszer szabályozása kétállású szabályozóval ........ 54

8.1.1.

Feladat ................................................................................................... 55

8.1.2.

Feladat ................................................................................................... 55

8.2.

A folytonos és a kétállású szabályozás összehasonlítása .......................... 56

Irodalomjegyzék .......................................................................................................... 59

2

1. BEVEZETÉS A szabályozástechnika jegyzet műszaki informatikus hallgatóknak készült. A jegyzet célja kettős: egyrészt biztosítani kívánjuk a hallgatóknak az előadásokon bemutatott prezentációk képanyagát, levezetéseit és szimulációs programjait, másrészt támogatni szeretnénk az önálló felkészülést kérdéssorokkal, gyakorló feladatokkal. Hangsúlyozni szeretnénk, hogy a jegyzet nem tartalmazza a klasszikus szabályozástechnika átfogó, teljes körű ismeretanyagát. A jegyzet kimérete megfelel az egyszemeszternyi „Szabályozástechnika” című tantárgy ismeretanyagának. Feltételezzük, hogy a hallgatók már teljesítették a „Jelek és rendszerek” és a „Méréstechnika” című tárgyakat. Ismertnek tételezzük fel az alapvető jelátviteli tagokat és azok idő- és frekvenciatartománybeli leírási módszereit; a tipikus vizsgáló jeleket és az azokra adott válaszidő függvényeket; a frekvenciafüggvények ábrázolási módjait; a stabilitásvizsgálati módszereket. A jegyzet fejezeteinek sorrendje, felépítése szorosan követi a szabályozástechnika előadások tematikáját. Didaktikai szempontból egyes általánosító, illetve speciális problémákat bemutató témakörök tárgyalása néhány bevezető jellegű fejezet áttekintése után kerül sorra, mivel így a hallgatóknak már van némi rálátásuk a probléma jellegére. A szabályozástechnika tananyaghoz készült szimulációs programokkal az angol nyelvű oktatást is támogatni szeretnénk, ezért ezek frontpanel felülete angol nyelvű. Az idegen nyelvű szakirodalom tanulmányozásához elengedhetetlen, hogy a magyar anyanyelvű hallgatók is ismerjék az angol szakmai kifejezéseket. A jelölésjegyzékben megadtuk a jelölések angol nyelvű megfelelőjét is. A jegyzet alapozó jellegű és szűk kiméretű. Az érdeklődő hallgatók az egyes témakörök részletesebb kifejtését megtalálhatják a kötelező, illetve ajánlott irodalomban. Különösen az alábbi könyveket ajánlunk a hallgatók figyelmébe: [1] Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász: Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, 2006. [2] Nise: Control system engineering, Wiley, 2011. [3] Dorf, Bishop: Modern Control Systems, Prentice Hall, 2010. A jegyzet jelöléseit igyekeztünk ehhez a három, számos esettanulmányt is bemutató könyvhöz igazítani. Reméljük, hogy az egységesített jelölésrendszer segíti az érdeklődő hallgatókat az ajánlott szakirodalom tanulmányozásával az ismeretek elmélyítésében, az esettanulmányok keresésében és feldolgozásában. 3

2. JELÖLÉSJEGYZÉK Jel

Rövidítve

𝛿(𝑡)

Dirac-impulzus (Dirac-pulse signal)

∆ 𝜀(t)

Dinamikus pontosság/hibasáv (error band to settling time) (𝑟𝑒𝑛𝑑𝑠𝑧𝑒𝑟𝑖𝑛𝑡 ± 5% 𝑣𝑎𝑔𝑦 ± 2%) 1(t)

Egységugrás jel (Unit step signal) Csillapítási tényező (Damping ratio)





Megnevezés (angolul)

%OS

 ()

Túllendülés, %-os túllövés (Overshoot, Percent overshoot) Holtidő (Time delay, dead time, transport lag, time lag) Fáziskésés (Phase frequency response)



Frekvencia, körfrekvencia [rad/s]

𝜔0

Sajátfrekvencia (Natural frequency) [rad/s]

𝜔𝑐

Vágási körfrekvencia (Cut-off frequency) [rad/s]

𝜔𝑑

Csillapított sajátfrekvencia (Damped frequency of oscillation) [rad/s] Vágási, indexben (crossover or cut-off)

c

Kritikus, indexben (critical)

crit d(t)

d

D(s)

Zavarójel (Disturbance signal) Zavarójel Laplace-transzformáltja

e(t)

e

Hibajel (Error signal)

E(s)

E

Hibajel Laplace-transzformáltja Egytárolós, azaz elsőrendű időkésleltetéses, holtidős rendszer rövidítése (First-Order Plus Time Delay) Súlyfüggvény (Pulse response)

FOPTD g(t) G(s)

G

Átviteli függvény (Transfer function)

G0(s)

G0

Hurokátviteli függvény (open-loop transfer function)

GC(s)

Gc, C

GD(s)

GD, D

GN(s)

GN

Szabályozó átviteli függvénye (Transfer function of the controller) Zavarátviteli függvény (Transfer function for disturbance) Zajátviteli függvény (Transfer function for noise)

GP(s)

G P, P

A szabályozott szakasz átviteli függvénye (Transfer function of the plant) 5

Jel

Rövidítve

Megnevezés (angolul)

GR(s)

GR

GTr(s)

GTr

k0

Alapjel-átviteli függvény (Transfer function for reference) Jelátalakító/Távadó átviteli függvénye (Transfer function of a signal transducer) Erősítési tényező, erősítés (dimenzió mentes esetben) (Gain of plant) Hurokerősítés

K

A szabályozó erősítési tényezője (Controller gain)

Ki

A szabályozó integrálási átviteli tényezője (Integral gain) (A megkülönböztethetőség miatt kisbetű az indexben.) A szabályozó differenciálási átviteli tényezője (Derivative gain) A szabályozó arányossági átviteli tényezője (Proportional gain) Amplitúdóviszony (Magnitude frequency response)

k

KD KP 𝑀(𝜔) N(s) r(t)

Zaj Laplace-transzformáltja r

R(s)

Alapjel (Reference signal, set point: SP) Alapjel Laplace-transzformáltja

s

ss

Laplace-transzformáció komplex változója, komplex frekvencia Érzékenységi függvény (Sensitivity of F to a fractional change in P) Indexben: időben állandósult, steady-state

t

Idő (time)

tr

Indexben: időben változó, transient

T Ti

Időállandó (Time constant); digitális jelek: mintavételezési ciklusidő Integrálási időállandó (Integral time constant)

TD

Differenciálási időállandó (Derivative time constant)

Tp

Maximum-idő (Peak time)

Tr

Felfutási idő (Raising time)

Ts

Szabályozási idő (Settling time)

SF,P(s)

S(s)

T(s) u(t)

u

um(t)

um

v(t)

Kiegészítő érzékenységi függvény (Complementary sensitivity function) Szabályozó kimenő jele, végrehajtó jel (Controller output) Módosított jellemző (Manipulated variable) Átmeneti függvény (Step response)

6

Jel

Rövidítve

y(t)

y

Y(s)

Megnevezés (angolul) Kimenő jel (Output signal, controlled variable: CV) Kimenő jel Laplace-transzformáltja

yn(t)

yn

Zaj, mérési (Noise signal)

yss(t)

yss

ytr(t)

ytr

Kimenő jel állandósult komponense (Steady-state component of the output signal) Kimenő jel tranziens komponense (Transient component of the output signal)

7

3. ALAPFOGALMAK, TERMINOLÓGIA I RÁNYÍTÁSTECHNIKA A műszaki tudományok azon ága, amely az önműködő irányításnak az általános, elméleti kérdéseivel – valamint tervezésének és gyakorlati megvalósításának lehetőségeivel foglalkozik.

I RÁNYÍTÁS Az irányítás olyan művelet, mely valamely folyamatot elindít, fenntart, megváltoztat és megállít. Az irányítási művelet során általában kisebb energiájú hatásokkal befolyásolunk nagyobb energiájú folyamatokat.

A Z IRÁNYÍTÁSI RENDSZER RÉSZEI Az irányítási rendszer két fő része az irányított rendszer és az irányító rendszer. Az irányított rendszer az irányítási feladattól függetlenül létező technológiai rendszer, amely az irányítás tárgya. A technológiai rendszer olyan gépek, berendezések, műszaki létesítmények összessége, amely alapanyagok, segédanyagok és energia felhasználásával termékek és melléktermékek előállítását teszi lehetővé. A technológiai rendszerben lezajló átalakító, feldolgozó, továbbító műveletek térbeli vagy időbeni sorrendjét a technológiai folyamat írja le, lásd 1. ábra.

1. ábra A technológiai folyamat és a technológiai rendszer

Az irányító rendszer mindazon szervek, készülékek, berendezések összessége, amelyek segítségével az irányított rendszer irányítása megvalósul. Részei: mérőérzékelők és távadók; irányító berendezés; végrehajtó–beavatkozó szervek, lásd 2. ábra.

9

Az irányító rendszerben lezajló irányítási folyamat jelhordozókra ültetett információkon, jeleken végrehajtott manipulációk sorozata: információszerzés, döntéshozatal és beavatkozás. Zavaró jellemző

Alapérték

IRÁNYÍTÓ RENDSZER

Módosított jellemző

Irányított jellemző

IRÁNYÍTOTT RENDSZER

Zavaró jellemző

Rendelkező jel Alapérték+

-

Végrehajtó Módosított jel Végrehajttó/ jellemző Irányított Irányított jellemző Irányító beavatkozó berendezés berendezés

Ellenőrző jel

Mérő-érzékelőt távadó

2. ábra Az irányítási rendszer részei

H ATÁS – JEL Az irányítástechnikai elemek egymásra hatást gyakorolnak. Az irányítási hatásokat közvetítő szerkezeti egységek láncolata a hatáslánc. A hatásokat absztrakcióval jeleknek nevezzük. A jelek legfontosabb tulajdonsága, hogy információtartalommal rendelkeznek. Az információ, azaz a jel hordozására alkalmas mérhető fizikai (kémiai) állapothatározót jelhordozónak nevezzük.

J EL – JELLEMZŐ A jel az állapothatározó jelhordozó minden olyan értéke vagy értékváltozása, amely egyértelműen hozzárendelhető információ szerzésére, továbbítására vagy tárolására alkalmas. Az irányítástechnikai gyakorlatban jellemzőnek nevezzük az irányított rendszerhez tartozó jeleket.

3.1. 

AZ IRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK FELOSZTÁSA Ember részvétele szerint o Kézi: Az irányítás részműveletei közül egy vagy több emberi közreműködéssel történik.

10

o





3.2.

Önműködő: Az irányítás emberi beavatkozás nélkül is teljesíti feladatát. Segédenergia használata szerint o Segédenergia nélküli: Az irányító berendezés részegységei az irányításhoz szükséges energiát magából az irányítandó folyamatból veszik. o Segédenergiával működő: Külön energiaforrás biztosítja az irányító berendezés ellátását. Leggyakoribb segédenergia-fajták: villamos, pneumatikus, hidraulikus. Visszahatás szerint o Vezérlés: Nyílt hatásláncú irányítás, ahol az irányított jellemző nincs (közvetlen) hatással az irányítási folyamatra. o Szabályozás: Zárt hatásláncú irányítás, ahol az irányított jellemző célkitűzéstől való eltérését használjuk fel magának az eltérésnek a csökkentésére, megszüntetésére.

AZ IRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK ÁBRÁZOLÁSMÓDJAI

Az irányítási rendszer elvi működésének megértéséhez, szemléltetéséhez a villamos műszaki rajzok közül műszerezési folyamatábrát és a tömbvázlatot fogjuk alkalmazni a jegyzetben. Műszerezési folyamatábra (P&ID: Piping and Instrumentation Diagram) A műszerezési folyamatábra az elvi technológiai folyamatábrára épül, azt kiegészíti az irányító rendszer komponenseivel. Feltünteti a mérések és beavatkozások helyét, a jeltovábbítást, jelformálást és az irányító berendezést. A P&ID séma egységes és nemzetközi jelölésrendszert alkalmaz, melyeket több szabvány (DIN EN ISO 10628; DIN 2429; EN 62424; ISO 3511) is rögzít.

3. ábra Műszerezési folyamatábra példa [12]

11

Tömbvázlat, blokkvázlat, hatásvázlat: a szerkezettől teljesen elvonatkoztat, csak az irányítási részműveleteket végző tagokat és a közöttük lévő kapcsolatot jelöli tömbvázlat és hatásvonal formájában. Hatásláncnak is szokás nevezni. Az elemi egység (tag) szimbólumába beírt függvény az egység dinamikus viselkedését jellemzi. Nagyon különböző műszerezési folyamatábrák irányítási köreit azonos hatásvázlattal ábrázolhatjuk.

A Z IRÁNYÍTÁSTECHNIKAI TAG A szabályozási körök viselkedése, jellemzése, „jósága” – a tényleges szabályozási feladattól és a fizikai felépítéstől függetlenül – vizsgálható és leírható. A működés általános vizsgálatához eltekintünk a tényleges fizikai felépítéstől. Ezen elvonatkoztatás tudományos eszköze: az irányítástechnikai tag. A valóságos szabályozási körök szerveit – vagy a szervek részeit – ilyen irányítástechnikai tagokkal helyettesítjük. A tagnak egy bemenő és egy kimenő jele van. Ezek a jelek a valóságban sokféle fizikai mennyiségnek felelhetnek meg, különböző mértékegységekkel. A kimenő jel és a bemenő jel között valamilyen összefüggés van – mely összefüggést matematikai képlettel, grafikus ábrázolással vagy esetleg egyszerű, szöveges leírással adunk meg. A tagok jelölése többnyire a dobozba írt rövidítéssel vagy egyszerű ábrával történik. Minden irányítástechnikai tag esetében feltételezzük, hogy a hatások kizárólag csak a bemenet felől a kimenet felé terjedhetnek, visszafelé nem.

N YÍLT HURKÚ IRÁNYÍTÁSI RENDSZER : VEZÉRLÉS A nyitott hatásláncú irányítást nevezzük vezérlésnek. A vezérlés részletes hatásláncát mutatja a 4. ábra. Az ábrán a jelátviteli tagok és a jelek megnevezését is feltüntettük.

vezető

érzékelő

zavaró jellemző

jel ellenőrző jel vezető jel

vezérlő szerv

rendelkező jel

végrehajtó jel jelformáló

végrehajtó

erősítő

módosított jellemző

beavatkozó jel beavatkozó

vezérelt jellemző

Vezérelt berend.

4. ábra A vezérlés hatáslánca a jelformáló tagok és a jelek, jellemzők feltüntetésével

A vezető jel határozza meg a vezérelt jellemző kívánt értékét. A vezető jel lehet érzékelt állapotváltozó, jellemző, illetve előállíthatja valamilyen jelgenerátor (pl.: kezelői vezérlőpanel stb.). Az érzékelt vezető jel származhat az irányított folyamatból vagy annak környezetéből, de sosem egyezik meg a vezérelt jellemzővel. A nyílt 12

hurkú irányítási rendszerekben a kimenő jelet nem szükséges sem megmérni, sem visszavezetni a bemenő jellel történő összehasonlítás céljából. A vezérlő szerv a vezető jel hatására olyan rendelkező jelet, azaz parancsot hoz létre, amely megfelelő jelformálás után a végrehajtó és beavatkozó szerv segítségével úgy alakítja a módosított jellemzőt, hogy a vezérelt jellemző az előírások szerint alakuljon. Egy egyszerű gyakorlati példa a közönséges mosógép működése: az áztatás, mosás, öblítés idővezérlés alapján követi egymást, a gép nem méri a kimenetét, azaz a ruhák tisztaságát. (Ezzel szemben az „okos” mosógépekben már vannak szenzorok a ruha szennyezettségének és mennyiségének meghatározására, de amennyiben ezek az információk csak a vezérlő program kiválasztását és az időzítések beállítását szolgálják, a mosási folyamat továbbra is vezérlés jellegű.) A nyílt hurkú irányítási rendszerekben a rendszer pontossága kalibráció függvénye. Váratlan zavarás hatására a vezérlés nem tudja végrehajtani a feladatát. Vezérlés akkor használható, ha a bemenet–kimenet közötti kapcsolat pontosan ismert, és sem belső, sem külső zavarások nem léphetnek fel. A vezérlési rendszerek a vezető jel és a vezérelt jellemző közötti kapcsolat származtatásától függően két csoportba sorolhatók: a követő vezérlések, illetve a sorrendi vezérlések csoportjába. Követő vezérlés esetén a vezérelt jellemző változása követi a vezető jelet. A vezető jel valamilyen érzékelt állapotváltozó vagy kezelőpanelről érkező parancsjel, melynek alakulása előre nem tervezhető. Követő vezérlés például egy behatolást jelző biztonsági rendszer; berendezéscsoportok meghibásodását jelző felügyeleti rendszer; korlátozott befogadóképességű parkolóba történő behajtás/kihajtás engedélyezésének vezérlése stb. Sorrendi vezérlés esetén a vezető jel előállítása, alakulása meghatározott menetrend vagy receptúra szerint történik. Ha a vezető jel időzített ütemjel, a vezérlést idő–terv vezérlésnek vagy ütemvezérelt lefutó vezérlésnek hívjuk (pl.: közlekedési lámpa vezérlése). Ha vezető jel az irányított folyamatból, illetve a külső környezetből érkező jel, amelynek hatására az irányított folyamat egymás utáni lépesek sorozatán keresztül jut egy kezdeti állapotból egy végállapotba, folyamatvezérelt lefutó vezérlésről beszélünk. A lefutó vezérlésekben az egyik lépésről a másikra történő átváltás feltételekhez kötött. Lefutó vezérlés például egy gyártósor berendezéseinek vezérlése vagy egy szakaszos üzemű berendezésben történő gyártási folyamat végig vitele.

V ISSZACSATOLT IRÁNYÍTÁSI RENDSZEREK : SZABÁLYOZÁSOK A visszacsatolt irányítási rendszert (feedback control) gyakran zárt hurkú (closedloop control) irányításnak is nevezik az angol terminológiában, magyarul pedig külön 13

szavunk van rá, ezt hívjuk szabályozásnak. A szabályozási körben található szabályozó célja a szabályozott jellemző kívánt értéke és a tényleges értéke közötti különbség, azaz a hibajel megszüntetése. Szabályozás tehát az az irányítási rendszer, amely az input, mint alapérték, és a rendszer kimenő jele, mint szabályozott jellemző közötti előírt kapcsolatot úgy valósítja meg, hogy az inputot és az outputot összehasonlítja, és a kettő közötti eltéréstől függ az irányított folyamatba történő beavatkozás mértéke. Pl.: helyiség hőmérséklet-szabályozása: megmérve az aktuális hőmérsékletet és összehasonlítva azt a kívánt hőmérséklettel (alapérték) a termosztát ki-bekapcsolgatja a fűtő/hűtő berendezést oly módon, hogy a helyiség hőmérséklete a kívánt komfortértéken maradjon, függetlenül a külső hőmérsékleti és egyéb időjárási viszonyoktól. A szabályozás legalább egy helyen biztosan tartalmaz érzékelést, ez az irányított (szabályozott) jellemző pillanatnyi értékének folyamatos figyeléséhez mindenképpen szükséges. A 5. ábrán látható általános blokkdiagram megmutatja, hogyan kapcsolódnak egymáshoz a szabályozási kör egyes elemei, zárt szabályozási hurkot alkotva: a szabályozott jellemző mérésével és a negatív visszacsatolásával a kör zárul, a beavatkozás visszahat a mért jellemzőre. Az 5. ábra részletesen bemutatja a zárt hurok egyes elemeit és jeleit. zavaró jellemző

beállítóvagy alapérték

alapjel alapjel képző

módosított szabályorendelkező végrehajtó beavatkozó jellemző zott jel jel jel jellemző különbség végrebeavatSzabályoszabályozó képző hajtó kozó zott rendsz. érzékelő ellenőrző jel

5. ábra A szabályozási kör jelei, jellemzői: a jelformáló tagok közötti kapcsolat

3.3.

A SZABÁLYOZÁSI KÖRBEN LÉVŐ JELFORMÁLÓ TAGOK

Alapjelképző: az alapjel előállítására. Különbségképző: az ellenőrző jel előállítására. Szabályozó, illetve szabályozó berendezés, amely a jelformáló tulajdonságának megfelelően reagál a rendelkező jelre, kimenete a végrehajtó jel. A szabályozó berendezés szerkezeti kialakítására nem térünk ki. Az egyik fő célkitűzésünk, hogy megismertessük az informatikus hallgatókkal azokat a klasszikus szabályozási

14

algoritmusokat, amelyeknek digitális verzióit a későbbi tanulmányaik során kódolni fogják. Végrehajtó: a végrehajtó jelből a beavatkozó szerv működtetéséhez szükséges beavatkozó jelet állítja elő. Beavatkozó: az a szerv, amelyik közvetlenül befolyásolja a szakaszban lezajló folyamatot, azaz közvetlenül befolyásolja a módosított jellemzőt. Szabályozott rendszer, szabályozott szakasz: az a műszaki berendezés, amelyet szabályozunk. A szabályozott szakasz a műszaki berendezésnek vagy folyamatnak az a része, amely a szabályozási körben a beavatkozás és az érzékelés helye közé esik. Érzékelő: mérőérzékelő, jelátalakító, távadó funkciójú tag, kimenete az ellenőrző jel.

3.4.

A SZABÁLYOZÁSI KÖR JELEI, JELLEMZŐI

Szabályozott jellemző A szabályozott jellemző annak az állapotjellemzőnek (fizikai/kémiai mennyiségnek) a pillanatnyi értéke, amit szeretnénk az előírt értéken tartani. Például hőmérsékletszabályozás esetén a hőmérséklet a szabályozott jellemző, fordulatszám-szabályozás esetén a fordulatszám, szintszabályozás esetén a tartályban lévő folyadék magassága, feszültség-szabályozás esetén a feszültség, pozíciószabályozásnál a pozíció stb. Ellenőrző jel Az ellenőrző jel az érzékelő szerv kimenő jele. Egységes jeltartományú, továbbfeldolgozásra alkalmas jel. Általában nem ugyanaz a fizikai mennyiség, mint a szabályozott jellemző. A legtöbb érzékelő valamilyen elektromos kimenő jelet szolgáltat – ennek megfelelően az ellenőrző jelet leggyakrabban áram, feszültség vagy frekvencia közvetíti. Alapérték A szabályozott jellemző kívánt, előírt értéke. Az alapértékkel fogalmazzuk meg a szabályozásnak – mint irányításnak – a célkitűzését. A szabályozott jellemzővel megegyező fizikai jellemző. Alapjel A szabályozott jellemző kívánt értékét, azaz az alapértéket az alapjellel állítjuk be. Az alapjelet az alapjelképző állítja elő. Szintén egységes jeltartományú, tovább15

feldolgozásra alkalmas jel. Az alapjel fizikailag az ellenőrző jelhez hasonló jel, hiszen csak így tudja a kivonó szerv kivonni őket egymásból. A szabályozási kör vizsgálatánál gyakran élünk a következő egyszerűsített szóhasználattal: 



Alapjelet mondunk, de a szabályozott jellemző, azaz az alapérték mértékegységében adjuk meg. E mögött az a feltételezés rejlik, hogy az alapjelképző jelátviteli karakterisztikája arányos, időkésés nélküli és így a modellezés szempontjából elhanyagolható. Szabályozott jellemzőt mondunk a neki megfelelő mértékegységgel, bár azt nem tudjuk közvetlenül realizálni, csak a mért értékét, azaz az ellenőrző jelet. Ez mögött az a feltételezés rejlik, hogy a mérő-érzékelő jelátviteli karakterisztikája be van ágyazva a szabályozott rendszerbe, a mért jel és a neki megfelelő fizikai jellemző közötti kapcsolat arányos.

Rendelkező jel, hibajel Az alapjel és az ellenőrző jel különbsége. Hibajelnek is hívjuk. Egységes jeltartományú, továbbfeldolgozásra alkalmas jel. Végrehajtó jel A szabályozó kimenő jele. A végrehajtó szerv bemenő jele. Egységes jeltartományú, továbbfeldolgozásra alkalmas jel. Beavatkozó jel A szabályozandó folyamatba beavatkozó szervet működtető jel. Ha a beavatkozó szerv egy csővezetéken lévő szelep, akkor a beavatkozó jel lehet pl. elfordulás. Ha a beavatkozó szerv egy elektromos fűtőszál, akkor a beavatkozó jel a rajta átfolyó tápáram. Módosított jellemző Az a fizikai mennyiség, amellyel hatni lehet a szabályozott jellemzőre, amely leginkább alkalmas a szabályozott jellemző befolyásolására. Például, ha a beavatkozó szerv egy csővezetéken lévő szelep, akkor a módosított jellemző az átáramlási keresztmetszet, vagyis az átáramlott folyadék mennyisége. Ha a beavatkozó szerv egy elektromos fűtőszál, akkor a módosított jellemző a fűtésteljesítmény. Például, ha a szabályozott jellemzőnk egy alaplapon lévő processzor hőmérséklete és a végrehajtó/beavatkozó szerv a processzoron lévő hűtőventilátor (végrehajtó szerv: motor, beavatkozó szerv: ventilátor), a szabályozó végrehajtó jele a motorra kapcsolt

16

feszültséget adja meg, a beavatkozó jel a ventilátor fordulatszáma, a módosított jellemző a hűtő levegő térfogatárama. Zavaró jellemző(k) Azok a hatások, melyek befolyásolhatják a szabályozott jellemzőt, de nincsenek az irányító berendezés felügyelete alatt. Amennyiben a zavarás a rendszeren belül keletkezik, belső zavarásról beszélünk, míg a rendszert kívülről érő zavaró hatásokat bemenő jelként vehetjük figyelembe.

3.5.

A SZABÁLYOZÁSOK CSOPORTOSÍTÁSA

A HASZNÁLT SEGÉDENERGIA SZERINT Pneumatikus szabályozás

Sűrített levegővel üzemel. Por- és nedvességmentes levegő. Könnyű, hajlékony, egyszerű vezetékezés. Tűz- és robbanásveszélyes helyen is alkalmazható. Nem szennyezi a környezetet, a hordozó közeg (levegő) a szabadba ereszthető.

Hidraulikus szabályozás

Nagynyomású folyadékkal (többnyire olaj), zárt rendszerben üzemel. Különleges vezetékezést és tömítéseket igényel. Nagy erők kifejtésére alkalmas. Tűz- és robbanásveszélyes helyen is alkalmazható. A hidraulikus rendszer sérülés esetén környezetszennyező.

Villamos szabályozás

Villamos energiával üzemel. Könnyen illeszthető villamos jelekhez. Tűz- és robbanásveszélyes helyen nem vagy csak külön intézkedések mellett használható. Nem szennyezi a környezetét.

Vegyes szabályozás

A szabályozások számottevő része ide tartozik. Pl. villamos-pneumatikus, villamos-hidraulikus stb.

17

S ZERKEZET SZERINT Egyhurkos

Csak egyetlen visszacsatoló hurkot tartalmaz.

Összetett

Több visszacsatoló hurok vagy kiegészítő vezérlési vonal.

A VÉGREHAJTÓ JEL FOLYTONOSSÁGA SZERINT Folytonos

A végrehajtó jel egy bizonyos értéktartományon belül bármilyen tetszőleges értéket felvehet. (Gyakorlatilag akkor is folytonosnak nevezhetjük a végrehajtó jelet, ha nem végtelen sok, de sok egyedi értéket felvehet egy bizonyos tartományon belül, pl.: egy 12-bites D/A esetén: 4096 egyedi érték.)

Állásos

Állásos a szabályozás, ha a végrehajtó jel csak néhány (2 vagy 3) előre meghatározott értéket (0/+/-) vehet fel. Egyszerűbb feladatok esetén gyakran alkalmaznak állásos szabályozást, mert általában egyszerűbb, költségtakarékosabb megoldás, és gyakran a berendezés hatásfokát is növeli. Az állásos szabályozások hátránya, hogy a szabályozott jellemző értéke soha nem állandósul, kis ingadozásokkal követi az alapértéket.

A MŰKÖDÉS FOLYAMATOSSÁGA SZERINT Folyamatos

Folyamatos a szabályozási kör működése, ha az ellenőrző jel mérése és a végrehajtó jel képzése minden időpillanatban (folyamatosan) megtörténik.

Szakaszos (mintavételezett)

Szakaszos a szabályozási kör, ha a végrehajtó jelet (és ezzel együtt gyakran az ellenőrző jelet is) csak bizonyos időpillanatonként képezzük, frissítjük. Jellemzően szakaszos működésűek a digitális, mikroprocesszoros felépítésű szabályozókkal felépített szabályozások. Természetesen szakaszos működés esetén igyekszünk a mintavétel periódusidejét olyan kicsire választani, hogy ezen kis időtartam alatt a szabályozott folyamatban ne következhessenek be jelentős mértékű változások.

18

3.6.

A VEZÉRLÉS ÉS A SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA

A szabályozás lényegesen alkalmazkodóbb irányítási forma a vezérléshez viszonyítva. A szabályozás egyik előnye, mint később látni fogjuk, hogy a visszacsatolás viszonylag érzéketlenebbé teszi a rendszert mind a külső behatásokkal, mind a belső paraméterváltozásokkal szemben. Stabilitás szempontjából viszont a vezérlés kialakítása lényegesen könnyebb, mivel a stabilitás megtartása nem jelent különösebb problémát. A szabályozások ezzel szemben labilissá válhatnak a hibajelre történő nem megfelelő reakció következtében, amely a szabályozott jellemző lengő viselkedését eredményezheti. Az alábbiakban táblázatosan is összefoglaljuk a vezérlés és a szabályozás jellemzőit. A hátrányos tulajdonságok sötétebb háttérrel láthatók.

Szabályozás, zárt hatáslánc

Vezérlés, nyitott hatáslánc

Felépítés

Több tagból álló konstrukció.

Zavarérzékenység

Kevésbé érzékeny a külső zavarásokra.

Folyamatmodellek és paraméterek

Kevésbé érzékeny a modellparaméterek ingadozására.

Költségek

Általában magasabb költségek és teljesítményigény. A stabilitás a zárt körök egyik fő problémája, mivel könnyen felléphet túlszabályozás miatti hiba. Ez a szabályozott jellemző lengő viselkedését okozhatja. Egy labilis rendszer visszacsatolással stabilizálható. A kimenet (szabályozott jellemző) mérése elengedhetetlen. Viszonylag hosszú időközönként kell csak újra kalibrálni a rendszert.

Egyszerű konstrukció, könnyebb megvalósítás. Zavarások és az eredeti kalibrációs értékek eltolódása hibát okoz, a kimenet eltérhet a kívánt értéktől. Pontosan ismerni kell a bemenet–kimenet közötti kapcsolatot. Olcsóbb.

Stabilitás

Kimenet mérése

Kalibrációs igény

19

Nincs stabilitási probléma.

Kényelmes, ha a kimenet nehezen mérhető vagy mérése nem gazdaságos. A megfelelő minőségű kimenet biztosítására gyakrabban, időről időre újra kell kalibrálni a rendszert.

3.7.

TOVÁBBI ALAPFOGALMAK

A SZABÁLYOZÁS CÉLJA  

Értéktartó szabályozás: a szabályozott jellemző értéken tartása a zavaró hatások ellenében. Zavarkompenzációnak is hívjuk. Követő szabályozás: a szabályozott jellemzőnek követnie kell az időben változó alapjelet. Vezetett alapjelű szabályozás.

Á TVITELI KARAKTERISZTIKA , STATIKUS KARAKTERISZTIKA A statikus karakterisztika a kimenet–bemenet közötti kapcsolatot bemutató diagram.

Á TVITELI FÜGGVÉNY Lineáris rendszerek jellemzésére szolgáló függvény. Definíció szerint a ki- és bemenő jelek Laplace-transzformáltjának hányadosa.

T IPIKUS VIZSGÁLÓ JELEK Leggyakrabban használt vizsgáló jelek: egységugrás függvény, sebességugrás függvény, gyorsulásugrás függvény, impulzus jel, szinuszos vizsgáló jel.

Á TMENETI FÜGGVÉNY A rendszer egységugrás bemenő jelre adott válasza.

T ELÍTÉS ( SATURATION ) A szabályozási körökben minden fizikai érzékelő vagy beavatkozó szerv ún. telítésbe megy, ha eléri saját minimumát vagy maximumát. A beavatkozó szerv telítése, felütközése elkerülhetetlen. Amennyiben a szabályozó tervezésekor ezt figyelmen kívül hagyjuk, a szabályozás minősége romlik, akár labilis viselkedést is okozhat. A klasszikus analóg szabályozásokban ennek elkerülésére egy „anti-windup” kompenzátort iktatnak a szabályozási körbe. A telítés nemlinearitás. A klasszikus szabályozáselmélet megállapításai addig érvényesek, amíg a lineáris feltételezés elfogadható.

20

T RANZIENS ÉS ÁLLANDÓSULT RENDSZERVÁLASZ Az irányítási rendszereknek a bemenő jel változására adott válasza két komponensből tevődik össze: a tranziens (időben változó és lecsengő, eltűnő), és az állandósult, megmaradó komponensből. A tranziens a válaszfüggvény azon komponense, amely a kezdeti állapotból a végállapotba vezet és nullához tart az idő növekedésével. Az állandósult komponens a rendszer 𝑡 → ∞ -hez tartozó jellemzője, miután a tranziens komponens eltűnt. Az 𝑦(𝑡) válaszfüggvény tehát az alábbi képlettel írható fel: 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑡𝑟 (𝑡) + 𝑦𝑠𝑠 (𝑡) ,

(1.)

ahol az egyenlet jobb oldalának első tagja a tranziens komponenst, a második tagja az állandósult (steady-state) komponenst jelenti. A szabályozott jellemző csak akkor követi állandósult, vagyis maradó hiba nélkül az alapjel változását, ha az állandósult komponens megegyezik az alapjellel: 𝑦𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑟(𝑡). A tranziens komponens határozza meg a szabályozott jellemző csillapodó válaszának tendenciáját és a sebességét, azaz, milyen gyorsan kerül és marad az új állandósult állapot meghatározott környezetében. (Hibasáv vagy toleranciasáv: az ún. dinamikus pontosság sávja.)

3.8.

A SZABÁLYOZÁSI KÖR HATÁSVÁZLATAI

Az alábbi ábrákon a szabályozási kör hatásvázlatának különböző jelölésű és bonyolultságú, a szabályozások vizsgálatában használatos verzióit mutatjuk be. A szabályozási kör általános hatásvázlatát a 6. ábrán láthatjuk. A jelátviteli tagokat jelképező blokkokban a tagok nevét és az átviteli függvényeket tüntettük fel. A jeleket szimbolizáló irányított vonalak fölött a jel időfüggvényét látjuk. A hatásvázlatban feltüntettük az összes jelformáló tagot és külön figyelembe vettük a (rendszerint kisfrekvenciás) technológiai zavarásokat és a mérést terhelő (nagyfrekvenciás) zajokat is.

21

Zavaró jellemző

Alapjel Alapérték r(t) Alapjel+ képző G_refTr(s)

_

Hibajel e(t)

Szabályozó GC(s)

Módosított Végrehajtó jellemző jel u (t) u(t) Végrehajtő m /bevatkozó G_vbTr(s)

Ellenőrzőjel

+ +

Zavarátviteli fgv. GD(s)

Zavaró jel d(t)

+

Szakasz GP(s)

+

Szabályozott jellemző y(t)

Mérő-érzékelő, távadó G_mTr(s)

Zaj

6. ábra Zárt szabályozási kör, a mérési zaj figyelembevételével. A zavarások hatása a szabályozott szakasz kimenetére szuperponálódik

A szabályozási kör tervezésénél gyakran élünk egyszerűsítő feltevésekkel, hogy első körben elkerüljük a túl bonyolult modellekkel történő számításokat. Általánosságban is elmondható, hogy mindig törekszünk a legegyszerűbb, a vizsgálatoknak még éppen megfelelő modellekkel dolgozni a szabályozó tervezése során. A visszacsatolt rendszerek ugyanis gyakran viszonylag egyszerű közelítő modellekkel analizálhatók és tervezhetők. Ennek oka a visszacsatolt rendszerek robusztusságában rejlik. Amennyiben nem sikerül megfelelő eredményt elérni, azaz a szabályozó a valóságban nem teljesíti a szabályozással szemben támasztott követelményeket, akkor a modellt finomítjuk, és ismét kísérletet teszünk a szabályozó és paramétereinek meghatározására. A szabályozótervezés tehát iteratív folyamat. A végrehajtó–beavatkozó és a mérőberendezés jelformáló hatását belefoglalhatjuk a szabályozott szakasz jelformálásába. Ezáltal a szabályozási rendszer modellezésének egyik igen gyakran alkalmazott hatásvázlatát kapjuk, lásd 7. ábra. Ebben a hatásvázlatban a szaggatott vonallal körülhatárolt szabályozási rendszernek két bemenő jele van: az alapjel és a zavarójel, és egy kimenő jele: a szabályozott jellemző. A zavarás a szabályozott folyamat kimenő jelére szuperponálódik. A zavarátviteli függvénytől eltekinthetünk, ha a zavarójelként már olyan transzformált jelet feltételezünk, amely közvetlenül hozzáadható a szabályozott jellemzőhöz (8. ábra). Látni fogjuk, hogy gyakorlatilag csak tipikus bemenőjel-változásokra – rendszerint ugrásjelre – vizsgáljuk a szabályozási rendszer válaszát, ez a feltételezés tehát nem jelent különösebb korlátozást.

22

Zavaró jel d(t)

Szabályozási rendszer Alapjel r(t)

Hibajel e(t) +

Szabályozó C(s)

_

Végrehajtó jel u(t) Beavatkozó

+

Szakasz P*(s)

Mérőérz. Távad.

+

Szabályozott jellemző y(t)

7. ábra Szabályozás egyszerűsített hatásvázlata

Zavaró jel d(t)

Szabályozási rendszer Alapjel r(t)

Hibajel e(t) + _

Szabályozó C(s)

Végrehajtó jel u(t)

+

Szakasz P(s)

+

Szabályozott jellemző y(t)

8. ábra Egyszerűsített hatásvázlat, két bemenő jel és egy kimenő jel. A zavarás a szabályozott folyamat kimenő jelére szuperponálódik

Bizonyos vizsgálatokban előfordulhat, hogy a zavarás hatását célszerűbb a szabályozott szakasz bemeneténél figyelembe venni. Ekkor a 9. ábrán látható elrendezés szerint modellezzük a szabályozási kört.

23

Zavaró jel d(t)

Szabályozási rendszer Alapjel r(t)

Hibajel e(t) + _

Szabályozó C(s)

Végrehajtó jel + u(t) +

Szakasz P(s)

Szabályozott jellemző y(t)

9. ábra Zavarás bevezetése a szabályozó és a folyamat között

A továbbiakban a 8. ábra elrendezése szerinti hatásvázlatot részesítjük előnyben.

H UROKÁTVITELI FÜGGVÉNY , HUROKERŐSÍTÉS A hurokátviteli függvény a felnyitott kör átviteli függvénye, különösen a frekvenciaátviteli karakterisztika vizsgálatában van jelentősége, ezért külön jelölést kap (0 az indexben): 𝐺0 (𝑠) = 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) . A hurokerősítés: k0.

24

4. ALAPVETŐ JELÁTVITELI TAGOK Vizsgálatainkat a dinamikus, lineáris, egyváltozós, konstans paraméterű, folytonos idejű rendszerekre korlátozzuk. Ezen rendszerek leírására az alábbi négy módszer terjedt el:    

konstans együtthatójú, n-edrendű differenciálegyenlet, átviteli függvény, frekvenciaátviteli függvény, tipikus vizsgáló jelekre adott válaszidő függvények, állapotteres leírás.

A klasszikus szabályozástechnikai ismeretanyag az első három leírási mód segítségével teljes mértékben elsajátítható. Ezeket a hagyományos leírási módokat alkalmazzuk jegyzetünkben. Célunk a szabályozástechnika alapvetéseinek elsajátíttatása tanulást segítő ábrákkal, szimulációs programokkal, gyakorló feladatokkal. Ebben a fejezetben emlékeztetőül összefoglaljuk a legfontosabb jelátviteli tagok jellemzőit. Mind a szabályozott szakasz, mind a szabályozó modellje ezen alaptagok kombinációjával: soros, illetve párhuzamos kapcsolásával előállítható. A fejezetben található modelleket a továbbiakban ismertnek tételezzük fel.

Arányos, P Differenciálegyenlet Paraméter Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense

y(t) =k u(t) k: erősítési tényező vagy erősítés (dimenziómentes esetben) v(t) = k 𝑣𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑘(𝑡) 𝑔(𝑡) = 𝑘(𝑡)

Súlyfüggvény

𝐺(𝑠) = 𝑘

Átviteli függvény

25

Egytárolós tag: arányos, elsőrendű időkésleltetéses, PT1 Differenciálegyenlet

𝑇1 𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡) 𝑦(0) = 0

Paraméter

T1: időállandó, k: erősítés 𝑣(𝑡) = 𝑘(1 − 𝑒

Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense

−

𝑡 𝑇1 )

𝑣𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑘𝜀(𝑡) 𝑣𝑡𝑟 (𝑡) = −𝑘𝑒

𝑡 − 𝑇1

Súlyfüggvény

𝑔(𝑡) =

𝑘 −𝑡 𝑒 𝑇1 𝑇1

Átviteli függvény

𝐺(𝑠) =

𝑘 𝑇1 𝑠 + 1

Kéttárolós tag: arányos, másodrendű időkésleltetéses, PT2 két db sorbakapcsolt (T1, ill. T2 időállandójú) egytárolós tagra szétválasztható verzió 𝑇2 𝑇1 𝑦̈ (𝑡) + (𝑇2 + 𝑇1 )𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡) Differenciálegyenlet 𝑦(0) = 0 Paraméter Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense Súlyfüggvény Átviteli függvény

T1, T2 időállandók, k : erősítés 𝑡 𝑡 𝑇1 𝑇2 − − 𝑣(𝑡) = 𝑘(1 − 𝑒 𝑇1 + 𝑒 𝑇2 ) 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2 𝑣𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑘𝜀(𝑡) 𝑡 𝑡 𝑇1 𝑇2 − − 𝑣𝑡𝑟 (𝑡) = −𝑘( 𝑒 𝑇1 − 𝑒 𝑇2 ) 𝑇1 − 𝑇2 𝑇1 − 𝑇2

𝑔(𝑡) =

𝑡 𝑡 𝑘 − − (𝑒 𝑇1 − 𝑒 𝑇2 ) 𝑇1 − 𝑇2

𝐺(𝑠) =

26

𝑘 (𝑇2 𝑠 + 1)(𝑇1 𝑠 + 1)

Kéttárolós tag: arányos, másodrendű időkésleltetéses, PT2  csillapítási tényezős formulával történő leírás Differenciálegyen let

𝑇2 2 𝑦̈ (𝑡) + 2𝜉𝑇2 𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑘𝑢(𝑡), 𝑦(0) = 0 𝑇2 = 1/0 ; 0; ; k

Paraméter 𝑣(𝑡)

Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense Súlyfüggvény

Átviteli függvény

4.1.

= 𝑘 (1 −

1 √1 −

𝜉

𝜉2

𝑒 −𝑇𝑡 (√1 − 𝜉 2 cos

√1 − 𝜉 2 √1 − 𝜉 2 𝑡 +𝜉𝑠𝑖𝑛 𝑡)) 𝑇 𝑇

𝑣𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑘𝜀(𝑡)

𝑣𝑡𝑟 (𝑡) = 𝑘(

1 √1 − 𝜉 2

𝜉

𝑒 −𝑇𝑡 (√1 − 𝜉 2 cos

𝑔(𝑡) =

𝑘 𝑇√1 − 𝜉 2

𝐺(𝑠) =

√1 − 𝜉 2 √1 − 𝜉 2 𝑡 +𝜉𝑠𝑖𝑛 𝑡)) 𝑇 𝑇 𝜉

𝑒 −𝑇𝑡 𝑠𝑖𝑛

√1 − 𝜉 2 𝑡 𝑇

𝑘𝑠 𝑇 2 𝑠 2 + 2𝜉𝑇 𝑠 + 1

GYAKORLÓ PROGRAM , GYAKORLÓ FELADAT

A 10. ábra a LabVIEW example könyvtárban található program frontpanel képe. A program kiszámítja a változtatható paraméterű, sorosan kapcsolt első- és másodrendű időkésleltetéses tagok eredő átviteli függvényét, folyamatosan követi a zérusok és pólusok helyét, illetve az átmeneti függvények alakulását. Indítsuk el a programot, változtassuk az egytárolós rendszer időállandóját, a másodrendű rendszer csillapítási tényezőjét és sajátfrekvenciáját ( 0 = 1/𝑇2 ) a csúszkák segítségével és figyeljük a diagramokat! (Az erősítési tényező k=1.) Mind az alapkomponensek: az első-, illetve másodrendű rendszer viselkedése, mind az eredő, harmadrendű rendszer viselkedése is tanulságos. Feladat: Magyarázza meg a 10. ábrán látható átmeneti függvényeket: miért kisebb a harmadrendű rendszerben a lengés amplitúdója (amely tartalmazza a másodrendű rendszert is), mint a másodrendű rendszer kimenetén?

27

10. ábra Példa program A LabVIEW example könyvtárból: sorba kapcsolt első- és másodrendű időkésleltetéses jelátviteli tagok Átviteli és átmeneti függvényei

Integráló tag, I 𝑇𝑖 𝑦̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡), 𝑦(0) = 0 Differenciálegyenlet Paraméter

𝑦̇ (𝑡) = 𝐾𝑖 𝑢(𝑡) Ti : integrálási időállandó; Ki =1/Ti 𝐾𝑖 : integrálási átviteli tényező 𝑣(𝑡) =

Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense

1 𝑇𝑖

𝑡, 𝑡 ≥ 0, 𝑦(0) = 0

Nincs új egyensúlyi állapot. 𝑣𝑡𝑟 (𝑡) = 𝑣(𝑡) 𝑔(𝑡) = 𝜀(𝑡)

Súlyfüggvény

𝐺(𝑠) =

Átviteli függvény

28

1 𝐾𝑖 , 𝑜𝑟 𝐺(𝑠) = 𝑇𝑖 𝑠 𝑠

Differenciáló tag, D 𝑦(𝑡) = 𝑇𝐷 𝑢̇ (𝑡) , 𝑦(0) = 0

Differenciálegyenlet

TD : differenciálási időállandó 𝑣(𝑡) = 𝑇𝐷 𝛿(𝑡)

Paraméter Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Súlyfüggvény Átviteli függvény

A valóságban csak olyan differenciáló jellegű rendszerek léteznek, amelyek kizárják az ugrás vagy impulzus vizsgáló jelek alkalmazhatóságát. Konstans bemenő jelre zérus kimenő jel. 𝐺(𝑠) = 𝑇𝐷 𝑠

Holtidős tag, 𝝉 𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 𝜏), 𝑦(0) = 0

Differenciálegyenlet Paraméter

𝜏 : holtidő (time delay or dead time) 𝑣(𝑡) = 𝜀(𝑡 − 𝜏)

Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense Súlyfüggvény

𝑣𝑠𝑠 (𝑡) = 𝑣(𝑡) Nincs tranziens, torzításmentes jelátvitel, de holtidővel késleltetve. 𝑔(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 𝜏) 𝐺(𝑠) = 𝑒 −𝜏𝑠

Átviteli függvény

Egytárolós integráló: elsőrendű időkésleltetéses integráló, IT1 𝑇𝑖 𝑇1 𝑦̈ (𝑡) + 𝑇𝑖 𝑦̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡), 𝑦(0) = 0 Differenciálegyenlet

𝑦(0) = 0; 𝑦̇ (0) = 0 𝑇𝑖 , 𝑇1

Paraméter Átmeneti függvény

𝑣(𝑡) =

Átmeneti függvény állandósult komponense

𝑣𝑠𝑠 (𝑡) =

Átmeneti függvény tranziens komponense

𝑡 1 𝑇1 − 𝑡 − (1 − 𝑒 𝑇1 ) 𝑇𝑖 𝑇𝑖

1 𝑇1 1 𝑡 − = (𝑡 − 𝑇1 ) 𝑇𝑖 𝑇𝑖 𝑇𝑖

𝑣𝑡𝑟 (𝑡) =

29

𝑇1 − 𝑡 𝑒 𝑇1 𝑇𝑖

Súlyfüggvény

𝑔(𝑡) =

1 1 −𝑡 − 𝑒 𝑇1 𝑇𝑖 𝑇1

Átviteli függvény

𝐺(𝑠) =

1 𝑇𝑖 𝑠(𝑇1 𝑠 + 1)

Egytárolós differenciáló tag: elsőrendű időkésleltetéses differenciáló, DT1 Differenciálegyenlet

𝑇1 𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑇𝐷 𝑢̇ (𝑡) , 𝑦(0) = 0 𝑇𝐷 , 𝑇1

Paraméter

𝑣(𝑡) =

Átmeneti függvény Átmeneti függvény állandósult komponense Átmeneti függvény tranziens komponense

𝑇𝐷 − 𝑡 𝑒 𝑇1 𝑇1

𝑣𝑠𝑠 = 0 𝑣𝑡𝑟 (𝑡) = 𝑣(𝑡) 𝐺(𝑠) =

Átviteli függvény

30

𝑇𝐷 𝑠 (𝑇1 𝑠 + 1)

4.2.

ÁTMENETI FÜGGVÉNY ALAPÚ MODELLEGYSZERŰSÍTÉSEK

Kimérjük a rendszer (szakasz) ugrásjelre adott válaszfüggvényét, azaz felvesszük az átmeneti függvényét. Keressük azt az egyszerűbb jelátviteli tagot, amelynek az átmeneti függvénye közelíti a méréssel felvett átmeneti függvényt. A közelítést gyakran grafikus úton végezzük. (Az angol terminológia a méréssel felvett ugrásválaszt „process reaction curve”-nek nevezi.) Amennyiben egytárolós holtidős taggal közelítjük a vizsgált rendszert, az átviteli függvény paramétereit az átmeneti függvényből grafikus úton meghatározhatjuk az alábbi módon. A módszer önbeálló rendszerekre, túllendülés nélküli (aperiodikus) átmeneti függvények esetében alkalmazható.

4.2.1.

KÖZELÍTÉS EGYTÁROLÓS HOLTIDŐS TAGGAL

Az egytárolós holtidős jelátviteli tag átviteli függvénye: 𝑃(𝑠) =

𝑘 𝑒 −𝜏𝑠 . 𝑇1 𝑠 + 1

(2.)

A meghatározandó modellparaméterek tehát a k erősítési tényező, a T1 időállandó és a 𝜏 holtidő. Az egytárolós holtidős jelátviteli tag modellparaméterei az ugrásszerű gerjesztésre adott válaszfüggvényen is megjelennek, lásd 11. ábra.

Érintők metszéspontja

11. ábra Példa egytárolós holtidős rendszer átmeneti függvényére: az ábrán 𝒌 = 𝟎, 𝟗; 𝝉 = 𝟓𝒔; 𝑻𝟏 = 𝟏𝟎𝒔

31

A modellegyszerűsítés során, a vizsgált rendszer magasabb rendű időkésleltetését egy látszólagos holtidővel és egyetlen, domináns időállandóval közelítjük. A közelítő egytárolós holtidős jelátviteli tag modellparamétereinek a méréssel felvett ugrásválaszból grafikus úton történő meghatározására kétféle eljárás terjedt el a gyakorlatban: 1.

módszer: az érintők metszéspontjai  Először érintőt húzunk a felfutó görbe inflexiós pontján keresztül a kiindulási és az új egyensúlyi helyzethez.  Ezután a metszéspontokból a 12. ábrán látható módon 𝑇1 közelítő időállandó és 𝜏 látszólagos holtidő leolvasható. (Feltételezzük, hogy a görbe normalizált, azaz a kimeneti értékeket átszámítottuk egységugrásgerjesztésre. Ekkor k megfelel az új állandósult állapotnak.)

Hasonló eredményre jutunk, ha 𝑇1 – időállandót a 63,2%-os szabállyal határozzuk meg a 𝜏 holtidő után. Érintő az új egyensúlyi helyzetben Tangent at inflexion point Érintő azline inflexiós pontban

Eredeti egyensúlyi helyzet

Méréssel felvett ugrásválasz

12. ábra Az Átviteli függvény paramétereinek grafikus meghatározása: érintő módszer

2.

Módszer: kétpontos közelítés

Gyakran nehéz pontosan meghatározni az inflexiós pontot és érintőt rajzolni, illetve egy pont leolvasásával becslést végezni. A kétpontos módszer esetében két időpillanatot (t1 és t2 ) olvasunk le a méréssel felvett és normalizált átmeneti függvényből.

32

v(t) Méréssel felvett ugrásválasz

k v(t2) Egytárolós, holtidős közelítés

v(t1)



t2

t1

t

13. ábra Egytárolós, holtidős közelítés, kétpontos módszer szemléltetése

Az átviteli függvény paramétereit az alábbi megfontolással származtathatjuk: 𝑣(𝑡1 ) = 𝑘 (1 − 𝑒

𝑡 −𝜏 − 1 𝑇1 )

(3.)

𝑣(𝑡2 ) = 𝑘 (1 − 𝑒

𝑡 −𝜏 − 2 𝑇1 )

(4.)

𝜏 = 𝑇1 𝑙𝑛 (1 −

𝑣(𝑡1 ) ) + 𝑡1 𝑘

(5.)

𝜏 = 𝑇1 𝑙𝑛 (1 −

𝑣(𝑡2 ) ) + 𝑡2 𝑘

(6.)

𝑇1 =

𝑡2 − 𝑡1 . 𝑘 − 𝑣 (𝑡1 ) 𝑙𝑛 𝑘 − 𝑣(𝑡2 )

(7.)

Ezután T1 értékét ismerve a holtidő a (5.) vagy (6.) egyenletben szereplő képlettel kiszámítható. Az erősítés (k) ennél a módszernél is közvetlenül leolvasható az átmeneti függvényről.

Megjegyzések 

A fenti grafikus módszerekkel nem azt a modell keressük, amelynek átmeneti függvénye legjobban illeszkedik a méréssel felvett átmeneti 33



függvény pontjaira. Erre a korszerű modellező rendszerekben számos kiváló görbeillesztő algoritmust találunk. Célunk a szabályozóillesztés. Ehhez a legtöbb esetben elegendő a szabályozandó rendszer (munkapont környéki) jelátviteli tulajdonságának a lehető legegyszerűbb modellel való közelítése. A módszer nemlineáris rendszerek esetében munkapontfüggő paramétereket szolgáltat.

4.2.2.

A MODELLEGYSZERŰSÍTÉS SZIMULÁCIÓS PROGRAMMAL SZEMLÉLTETVE

Legyen a közelítendő rendszer két, sorba kapcsolt egytárolós tagból származtatható másodrendű tag. Az egytárolós tagok paraméterei az alábbi táblázat szerintiek:

k T1

Tank 1 0.9 2

Tank 2 0.9 4

A 14. ábrán látható szimulációs programba írja be az adatokat, futtassa le a programot és grafikus kiértékeléssel, mindkét módszerrel határozza meg az egytárolós, holtidős közelítő modell paramétereit (𝑃(𝑠) = 1. módszer: az érintők metszéspontjai

𝑘 𝑇1 𝑠+1

𝑒 −𝜏𝑠 )!

2. módszer: kétpontos közelítés

k T1 

Az eredmények megjeleníthetők a szimulációs programban. A frontpanel alsó részén állíthatjuk be a közelítő modell adatait.

34

14. ábra A kétféle modellegyszerűsítés eredményének grafikus megjelenítése. Fent: az érintők metszéspontjai, lent: a kétpontos közelítés számítási eredményei

Kérdés Milyen különbség látható a kétféle közelítés között? Fejtse ki az esetleges eltérések okait!

35

5. A SZABÁLYOZÁSSAL SZEMBEN TÁMASZTOTT KÖVETELMÉNYEK Számos statikus és dinamikus tulajdonság írható elő a szabályozás jóságának minősítésére, de nincs olyan általános előírás, szabály, amely minden szabályozási probléma esetén alkalmazható. A gyorsaság mértéke, a túllendüléssel vagy túllendülés nélküli alapjelkövetés előírása egyrészt feladatfüggő, másrészt egymásnak ellentmondó követelmények. A követelményeket négy fő kategóriába sorolhatjuk:    

5.1.

Stabilitás. Megfelelő statikus pontosság a zavarelnyomásban és/vagy az alapjelkövetésben. Előírt dinamikus viselkedés. Érzéketlenség a rendszerparaméterek megváltozására.

VISSZACSATOLT RENDSZEREK STABILITÁSA

A lineáris rendszerek esetében a stabilitás rendszertulajdonság, nem függ a gerjesztés mértékétől. A stabilitás egy egyszerű gerjesztésre adott válaszból megállapítható. A stabil rendszer korlátos kimenettel válaszol a korlátos bemenőjelre (BIBO – bounded-input-bounded-output – stabilitás). A visszacsatolt rendszerek stabilitása a szabályozótervezés központi problémája. A negatív visszacsatolás potenciális veszélyt jelent a rendszer stabilitására. Időkésleltetések, holtidők, nagymértékű erősítési tényezők lehetnek a zárt köri instabilitás előidézői. A szabályozási körrel szemben elvárás, hogy legyen aszimptotikusan stabil. Az aszimptotikus stabilitás: lim𝑡→∞ 𝑦0 (𝑡) = 0, ahol 𝑦0 (𝑡) a magára hagyott rendszer válasza (zero-input response). A visszacsatolt rendszer aszimptotikus stabilitása az (1.) egyenletben szereplő 𝑦(𝑡) kimenő jellel megfogalmazva: lim𝑡→∞ 𝑦𝑡𝑟 (𝑡) = 0, mivel a tranziens komponens képviseli a magára hagyott rendszer válaszát. Ebből következik, hogy a gerjesztés után elegendő idő elteltével a rendszer kimenete csak az állandósult komponenstől függ: lim𝑡→∞ 𝑦(𝑡) = 𝑦𝑠𝑠 (𝑡). A zárt kör stabilitásvizsgálatával a 7. fejezetben részletesebben foglalkozunk. 37

5.2.

AZ ALAPJELKÖVETÉS ÉS /VAGY A ZAVARKOMPENZÁLÁS STATIKUS PONTOSSÁGA

A szabályozási rendszerrel szemben támasztott elvárás, hogy a szabályozott jellemző aszimptotikusan kövesse az alapjel változását, vagyis a hibajel tartson nullához: 𝑙𝑖𝑚 𝑒(𝑡) = 𝑙𝑖𝑚 (𝑟(𝑡) − 𝑦(𝑡)) = 𝑟(∞) − 𝑦𝑠𝑠 = 0 ,

(8.)

𝑦𝑠𝑠 ≅ 𝑟(∞) .

(9.)

𝑡→∞

𝑡→∞

átrendezve:

Tehát a szabályozási rendszer állandósult állapota előírt: az állandósult állapotnak meg kell egyeznie az alapjellel. Amennyiben nem egyezik meg, ún. maradó hiba, maradó szabályozási eltérés (statikus hiba) lép fel. A statikus hiba nélküli alapjelkövetést a szabályozásnak nem kell tetszőleges alapjelváltozásra teljesítenie. A szabályozó tervezésekor meg kell határozni, hogy milyen típusú alapjelváltozásra elvárt a maradó hiba nélküli jelkövetés. Leggyakrabban az ugrásszerű alapjelváltozásra fogalmaznak meg előírásokat, lásd 15. ábra. Látható, hogy a szabályozott jellemző túllendüléssel vagy túllendülés nélkül, aperiodikusan követheti az ugrásszerű alapjelváltozást. 𝑒(∞) = 𝑒𝑠𝑠 = 𝑟 − 𝑦𝑠𝑠 = 0 .

(10.)

Alapjel

y(t)

Túllendüléses ugrásválasz

Túllendülés nélküli ugrásválasz

t 15. ábra A szabályozott jellemző maradó hiba nélkül követi az ugrásszerű alapjelváltozást

Az ugrásválaszból meghatározható, a szabályozást jellemző paramétereket, a következő fejezet részletesen bemutatja. 38

5.3.

AZ ELŐÍRT DINAMIKUS VISELKEDÉS TELJESÍTMÉNYMÉRŐI

A teljesítménymértékeket általában az egységugrásra adott válaszfüggvény jellemző paramétereivel határozzuk meg. A válasz tranziensének két fő tulajdonsága a gyorsaság és a közelség, vagyis milyen gyorsan kerül a szabályozott jellemző az új állandósult állapot meghatározott környezetébe, mennyire lendül túl azon és mennyi ideig tart, hogy az új állandósult állapot megfelelően szűk sávján belül maradjon. Lásd 16. ábra. A gyorsaság mértékei: a felfutási idő: Tr (rise time) és a maximumidő: Tp (peak time). A közelség mértékei: a  maximális túllendülés vagy túllövés és a Ts szabályozási idő (settling time). Alapjel

Tr Tr Maximum idő, Tp Szabályozási idő, Ts

16. ábra Az egységugrásra adott válasz dinamikus jellemzői

A felfutási idő, Tr: a 0 (vagy 0,1) értéktől az 1 (vagy 0,9) értékig történő felfutáshoz szükséges idő. (Általában túllendülés esetén a 0–100% felfutási időt mérik; túllendülés nélküli válasznál a 10%-ról 90%-ra felfutás idejét mérik. Néha az egyszerűség kedvéért a 0–90% eléréséhez szükséges időket hasonlítják össze: T90%.) Maximumidő, csúcsidő, Tp : Az első, maximális csúcs eléréséhez szükséges idő. Százalékos

túllendülés: 𝑂𝑆% =

𝑦𝑚𝑎𝑥 −𝑦(∞) 𝑦(∞)

100% =

𝜎 𝑦(∞)

100% .

( 𝑦(0) = 0. )

Megadja, hogy az új egyensúlyi helyzethez képest mekkora a legnagyobb túllendülés, a teljes jelváltozás százalékában. Szabályozási idő, Ts : A szabályozott jellemzőnek az új állandósult érték ±∆% -os (±5% vagy ±2%) sávjába történő bekerüléséhez és bennmaradásához szükséges idő. 39

Hibasáv, dinamikus pontosság: ∆. A szabályozási idő meghatározásához szükséges a megadása: 𝑦(∞)(1 − ∆) < 𝑦(𝑡 ≥ 𝑇𝑠 ) < 𝑦(∞)(1 + ∆) .

5.4.

ÉRZÉKETLENSÉG A RENDSZERPARAMÉTEREK VÁLTOZÁSÁRA (ROBUSZTUSSÁG)

A modell bizonytalanságai ellenére a szabályozásnak meg kell felelnie az eddig felsorolt kívánalmaknak. A negatív visszacsatolás bizonyos mértékű érzéketlenséget biztosít, ahogy ezt például az eredő erősítési tényezőnél láthatjuk az 5.4.2 fejezetben. A robusztusság jellemezhető:  

5.4.1.

minőségileg: pl. a 60° fázistartalékú rendszer robusztusabb, mint a 30° fázistartalékú rendszer (tartalékokat lásd később, a 7.fejezetben). mennyiségileg: a modellparaméter-változásokra végzett érzékenységvizsgálatokkal.

A VISSZACSATOLÁS HATÁSA, AZ EREDŐ ÁTVITELI FÜGGVÉNY

Visszacsatolásról akkor beszélünk, ha a rendszer kimenő jele hurkot képezve vissza van csatolva inputként. A szabályozáselméletben a visszacsatolás legtöbbször negatív visszacsatolást jelent, ahogy azt például a 17. ábra is mutatja.

R(s)

E(s)

+

Y(s)

G1(s) _

G2(s) 17. ábra Negatív visszacsatolás

A zárt kör átviteli függvénye: 𝐺(𝑠) =

𝐺1 (𝑠) 1+𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)

.

A bemenet–kimenet Laplace-transzformáltja közötti kapcsolat: 𝑌(𝑠) =

𝐺1 (𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠)

40

(11.)

5.4.2.

A NEGATÍV VISSZACSATOLÁS HATÁSA A RENDSZER ERŐSÍTÉSÉRE

Vizsgálatunkhoz egyszerűsítsük a visszacsatolt rendszert: egy tiszta arányos tag k erősítési tényezővel az előremenő ágban, a rendszer bemenete a kívánt érték és a kimenet különbsége: 𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝑌(𝑠). Legyen tehát 𝐺1 (𝑠) = 𝑘 és 𝐺2 (𝑠) = 1, lásd 18. ábra.

R(s)

E(s)

+

Y(s)

k _

18. ábra Arányos tag kimenetének negatív visszacsatolása

Ekkor az eredő átviteli függvény a következő összefüggéssel írható le: 𝐺(𝑠) =

𝐺1 (𝑠) 𝑘 = = 𝑘∗ . 1 + 𝐺1 (𝑠) 1 + 𝑘

(12.)

Az eredő rendszer is tiszta arányos jelátvitelű. A rendszer k erősítési tényezője és a zárt kör 𝑘 ∗ eredő erősítése közötti kapcsolatot ábrázoltuk a 19. ábrán. Látható, hogy k értékének növelésével az eredő erősítés 1-hez közelít. Nagyobb nyitott köri erősítési tényezőknél a zárt köri erősítési tényező „beáll” 1 közelébe, k változására nem reagál. Más szavakkal: az eredő erősítés érzékenysége a nyitott kör erősítési tényezőjének változására k növelésével egyre kisebb, már nem is túl nagy k értéknél nullához közelít, ahogy az a 20. ábrán látható.

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

0.2 0.1 0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

19. ábra A zárt és nyitott kör erősítése közötti kapcsolat

41

0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

20. ábra A zárt kör erősítési tényezőjének érzékenysége a hurokerősítés értékére

A fenti példa rövid betekintést nyújt arra, hogy a negatív visszacsatolás bizonyos mértékű érzéketlenséget, robusztusságot ad a modellparaméterek változásával szemben a zárt körnek.

42

6. A SZABÁLYOZÁSOK EREDŐ ÁTVITELI FÜGGVÉNYEI A szabályozások eredő jelátviteli tulajdonságainak meghatározására induljunk ki a 21. ábrán látható elrendezésből. Feltételezzük, hogy a technológiai zavarás és a mérést terhelő zaj más-más frekvenciatartományú jelkomponensekből áll, ezért a frekvenciaátvitel meghatározásához különválasztottuk őket és két külön bemenő jelként csatoltuk a szabályozott jellemzőre. Zavaró jel D(s)

Szabályozási rendszer Alapjel R(s)

Hibajel E(s) + _

Szabályozó C(s)

Végrehajtó jel U(s)

Szabályozott jellemző Y(s)

+

Szakasz P(s)

+

+

Zaj + N(s)

21. ábra Szabályozási kör hatásvázlat. A szaggatott vonallal jelzett szabályozási rendszernek három bemenő jele és egy kimenő jele van

Az ábrán szaggatott vonallal körülhatárolt szabályozási körnek, mint egyetlen komplex jelátviteli rendszernek a jelátviteli tulajdonságát a három bemenő jelnek megfelelően specifikáljuk: alapjelkövetés, zavarkompenzálás és zajátvitel. Az átviteli függvények meghatározásakor ismertnek tételezzük fel az ábrán látható szabályozó: C(s) és szabályozott szakasz, folyamat: P(s) átviteli függvényeit. A független változók a bemenő jelek, a függő változó a szabályozott jellemző. A belső jelek alakulását nem ismerjük. Az eredő átviteli függvényeket tehát C(s) és P(s) felhasználásával kell kifejezni. A szabályozott jellemző Laplace-transzformáltja az alábbi összefüggéssel határozható meg: (13.) 𝑌(𝑠) = 𝑃(𝑠)𝑈(𝑠) + 𝐷(𝑠). Mivel a szabályozó kimenő jelének Laplace-transzformáltja, U(s) ismeretlen, írjuk fel azt a szabályozó átviteli függvényének és bemenő jeleinek segítségével: 𝑈(𝑠) = 𝐶(𝑠) (𝑅(𝑠) − (𝑌(𝑠) + 𝑁(𝑠))).

43

(14.)

Behelyettesítve: 𝑌(𝑠) = 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠) (𝑅(𝑠) − (𝑌(𝑠) + 𝑁(𝑠))) + 𝐷(𝑠) 𝑌(𝑠) = 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝑅(𝑠) − 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝑌(𝑠) − 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝑁(𝑠) + 𝐷(𝑠) 𝑌(𝑠)(1 + 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)) = 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝑅(𝑠) − 𝑃(𝑠)𝐶(𝑠)𝑁(𝑠) + 𝐷(𝑠) Átrendezve megkapjuk a kimenő jel és a bemenő jelek Laplace-transzformáltja közötti eredő összefüggést: 𝑌(𝑠) =

𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 𝑅(𝑠) − 𝑁(𝑠) + 𝐷(𝑠). 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠)

(15.)

A fenti egyenletből származtathatjuk a szabályozás jellemző átviteli függvényeit az alábbi módokon: Legyen 𝑁(𝑠) = 0 és 𝐷(𝑠) = 0 , ekkor az alapjelátviteli függvényt kapjuk (𝑅(𝑠) és 𝑌(𝑠) közötti átviteli függvény): 𝐺𝑅 (𝑠) =

𝑌(𝑠) 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 𝐺0 (𝑠) = = . 𝑅(𝑠) 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(16.)

Legyen 𝑅(𝑠) = 0 és 𝑁(𝑠) = 0, ekkor a zavarátviteli függvényhez jutunk (𝐷(𝑠) és 𝑌(𝑠) közötti átviteli függvény): 𝐺𝐷 (𝑠) =

𝑌(𝑠) 1 1 = = . 𝐷(𝑠) 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(17.)

Legyen 𝑅(𝑠) = 0 és 𝐷(𝑠) = 0 , ekkor a zajátviteli függvény adódik (𝑁(𝑠) és 𝑌(𝑠) közötti átviteli függvény): 𝐺𝑁 (𝑠) =

𝑌(𝑠) 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 𝐺0 (𝑠) =− =− 𝑁(𝑠) 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) 1 + 𝐺0 (𝑠)

(18.)

Ahhoz, hogy a szabályozási rendszer stabil legyen, mindhárom átviteli függvénynek stabilnak kell lennie. Vegyük észre, hogy a nevező polinom azonos mindhárom átviteli függvényben! Mivel a rendszer stabilitását a nevező polinom határozza meg, elegendő egyetlen inputra, például az alapjelkövetésre vizsgálni a szabályozási kör stabilitását.

44

A szabályozási kör kimenet–bemenet közötti jelátvitele a fenti átviteli függvényeknek a (15.) egyenletbe történő behelyettesítésével: 𝑌(𝑠) = 𝐺𝑅 𝑅(𝑠) + 𝐺𝑁 𝑁(𝑠) + 𝐺𝐷 𝐷(𝑠)

(19.)

A hurokátviteli függvény: 𝐺0 (𝑠) = 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠).

(20.)

A felnyitott kör erősítése, 𝑘0 a Laplace-transzformáció kezdeti- és végérték-tételét felhasználva: 𝑘0 = 𝐺0 (0) = 𝐶(0)𝑃(0)

45

(21.)

7. A ZÁRT KÖR STABILITÁSA A szakirodalom számos olyan módszert ismertet, amely választ adhat arra a kérdésre, hogy a vizsgált rendszer stabil-e? Szabályozástechnikai szempontból az egyik legsokoldalúbb módszer a Nyquist-kritérium. A Nyquist-kritérium ugyanis nemcsak arra ad választ, hogy a rendszer stabil-e vagy sem, hanem arról is információt szolgáltat, hogy mennyire van távol a rendszer a stabilitás határától: a Nyquist-kritérium mértéket ad arra, hogy a szabályozási kör mennyire stabil. A zárt kör eredő átviteli függvényeinek nevező polinomja (15.): 1 + 𝐶(𝑠)𝑃(𝑠) vagy 1 + 𝐶(𝑗𝜔)𝑃(𝑗𝜔). Előző tanulmányaikból tudható, hogy a rendszer stabil, ha a nevező polinom összes gyöke (azaz az átviteli függvény pólusai) negatív szám vagy negatív valósrészű konjugált komplex szám. Más szavakkal: ne legyen olyan valóságos (azaz pozitív) frekvencia, amelyre a nevező értéke nulla. Tehát pozitív frekvenciára a 1 + 𝐶(𝑗𝜔)𝑃(𝑗𝜔) ≠ 0 , vagy átrendezve: 𝐶(𝑗𝜔)𝑃(𝑗𝜔) ≠ −1 . Az utóbbi összefüggés a hurokátviteli függvényre ad korlátozást: 𝐺0 (𝑗𝜔) ≠ −1. Tehát a zárt kör stabilitására a felnyitott kör átviteli függvényéből következtethetünk. A Nyquist-kritérium a fenti stabilitási kritériumot fejezi ki grafikusan. Itt csak a stabilitási kritérium lényegét tekintjük át, majd definiáljuk az erősítési és a fázistartalékot.

7.1.

EGYSZERŰSÍTETT NYQUIST-KRITÉRIUM

Amennyiben a felnyitott kör aszimptotikusan stabil, a zárt kör csak akkor lesz aszimptotikusan stabil, ha a felnyitott kör frekvenciaátviteli függvénye nem öleli körbe és nem halad át a komplex sík (–1, j0) pontján, lásd 22. ábra. Ha a felnyitott kör Nyquist-diagramja átmegy a (–1, j0) ponton, a zárt rendszer a stabilitás határán van. Az esetek többségében ez az egyszerűsített megfogalmazás elegendő a stabilitás vizsgálatához. (Komplikált esetekben az eredeti Nyquist-kritériumot kell alkalmazni, melyet a szakirodalomban megtalálhatunk.)

47

Labilis

Stabil

Határeset

22. ábra Nyquist-féle stabilitás. A folytonos vonal az átviteli függvény pozitív (valós) frekvenciákhoz tartozó része, a szaggatott vonal pedig a negatív frekvenciákhoz tartozik

7.1.1.

BALKÉZ-SZABÁLY

Az egyszerűsített Nyquist-kritériumot megfogalmazhatjuk az ún. balkéz-szabállyal, ha a felnyitott kör összes pólusa a komplex sík negatív, azaz bal oldalára esik, kivéve az egyszeres vagy dupla pólusokat az 𝑠 = 0 helyen (P, I, I2 tulajdonság). Ezekben az esetekben a zárt kör akkor stabil, ha a (–1, j0) kritikus pont a 𝐺0 (𝑗𝜔) frekvenciafüggvénytől balra esik a frekvencia növekedésével (vagyis jobbról halad el a kritikus pont mellett). Ilyenkor elegendő pozitív frekvenciákat figyelembe venni. Gyakran elegendő ez a fajta stabilitásvizsgálat.

7.2.

FÁZISTARTALÉK ÉS ERŐSÍTÉSI TARTALÉK

A Nyquist-diagramból a rendszer stabilitására vonatkozóan két mennyiségi jellemzőt is meghatározhatunk: az erősítési és a fázistartalékot, lásd 23. ábra. A nagyobb tartalékokkal rendelkező rendszer jobb eséllyel marad stabil a paraméterek megváltozása esetén is. Az erősítési és a fázistartalék a stabilitás relatív mértékei, arról adnak információt, hogy milyen távol van a vizsgált rendszer a stabilitás határától, az instabil régiótól. A formális összefüggések megadásához definiáljuk a következő két vágási körfrekvenciát: 

𝜔𝑝𝑐 : fázisvágási körfrekvencia (phase crossover frequency): az a körfrekvencia, ahol a fáziskésés egyenlő −180° -al: ∠𝐺0 (𝑗𝜔𝑝𝑐 ) = −180° .

48



𝜔𝑔𝑐 : (amplitúdó) vágási körfrekvencia (gain crossover frequency): az a körfrekvencia, ahol az amplitúdóviszony egyenlő 1-gyel: |𝐺0 (𝑗𝜔𝑔𝑐 )| = 1.

7.2.1.

ERŐSÍTÉSI TARTALÉK (GAIN MARGIN)

Stabil rendszernél az 𝜔𝑝𝑐 fázisvágási körfrekvencián a 𝐺(𝜔𝑝𝑐 ) = 𝜅 < 1 feltételnek teljesülnie kell. 𝜅 = |𝐺0 (𝑗𝜔𝑝𝑐 )| . A 𝜅 értékéből származtatható az erősítési tartalék: 𝐺𝑀 , amely megmutatja, hogy hányszorosára kellene megnövelni a felnyitott kör erősítését ahhoz, hogy a zárt kör a stabilitás határára kerüljön. A stabilitás határán 𝜅 = 1. Az erősítési tartalék számítási képlete tehát: 𝐺𝑀 =

1 . 𝜅

(22.)

Az erősítési tartalék kifejezhető dB-ben is, ezt olvashatjuk le majd a Bode-diagramból (24. ábra): 𝐺𝑀 [𝑑𝐵] = 0 − 20𝑙𝑔𝜅 .

7.2.2.

(23.)

FÁZISTARTALÉK, FÁZISTÖBBLET (PHASE MARGIN)

A fázistartalék vagy fázistöbblet: Φ𝑀 , azt fejezi ki, hogy mennyivel kellene megnövelni a felnyitott kör fáziskésését az egységnyi amplitúdóviszonyhoz tartozó körfrekvencián (vágási körfrekvencia) ahhoz, hogy a zárt kör a stabilitás határára kerüljön. Képlete: Φ𝑀 = 180° − |𝜑(𝜔𝑔𝑐 )| .

A zárt szabályozási kör stabil, ha mind az erősítési, mind a fázistartalék pozitív. Egy jól csillapított rendszer tartalékai az alábbi tartományokba esnek: GM

={

−12𝑑𝐵 … − 20𝑑𝐵, −3,5𝑑𝐵 … − 9,5𝑑𝐵,

𝑎𝑙𝑎𝑝𝑗𝑒𝑙𝑘ö𝑣𝑒𝑡é𝑠𝑟𝑒, 𝑧𝑎𝑣𝑎𝑟𝑘𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑧á𝑙á𝑠𝑟𝑎.

Φ𝑀

={

40° … 60°, 𝑎𝑙𝑎𝑝𝑗𝑒𝑙𝑘ö𝑣𝑒𝑡é𝑠𝑟𝑒, 20° … 50° , 𝑧𝑎𝑣𝑎𝑟𝑘𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑧á𝑙á𝑠𝑟𝑎.

49

(24.)

Im

Unit circle

-1

Re

23. ábra A fázis- és erősítési tartalék meghatározása a Nyquist-diagramban

7.2.3.

AZ ERŐSÍTÉSI ÉS A FÁZISTARTALÉK MEGHATÁROZÁSA A BODE-

DIAGRAMBAN

Az 1-es értékű amplitúdóviszonynak a Bode-diagramban a 0dB felel meg, így a stabilitás feltétele, hogy az amplitúdóviszony-görbe a 0dB alatt legyen azon a körfrekvencián, ahol a fáziskésés –180° ( 𝜔𝑝𝑐 ). Az erősítési tartalék az amplitúdóviszony-görbén az 𝜔𝑝𝑐 körfrekvencián dB-ben leolvasható érték: amennyivel az amplitúdóviszony alatta van a 0dB-es tengelynek, lásd 24. ábra. Ha az amplitúdóviszony görbe a 0dB-es tengely felett fut 𝜔𝑝𝑐 körfrekvenciánál, a rendszer labilis. A fázistartalékot úgy tudjuk meghatározni, hogy megkeressük azt a körfrekvenciát, ahol az amplitúdóviszony görbe metszi a 0dB-es tengelyt ( 𝜔𝑔𝑐 ), ennél a körfrekvenciánál megnézzük, hogy a fázisgörbe felette fut-e a –180-os értéknek. Ha igen, amennyivel felette van, az a fázistartalék, lásd 24. ábra. Ha a fázisgörbe alatta van a –180°-os értéknek, a rendszer labilis. A stabilitás határán van a rendszer, ha 𝜔𝑝𝑐 és 𝜔𝑔𝑐 frekvenciák megegyeznek, azaz ha a 0dB-es amplitúdóviszonyhoz –180°-os fáziskésés tartozik.

50

[dB]

24. ábra Az erősítési és a fázistartalék meghatározása a Bode-diagramban

51

8. ÁLLÁSOS SZABÁLYOZÁSOK A kétállású vagy kétpontos szabályozás a legegyszerűbb szabályozási forma. A beavatkozó szervnek csak két állapota van, legtöbb esetben ezek a bekapcsolt, illetve a kikapcsolt állapotok. A ki/bekapcsolgatásos szabályozást viszonylag egyszerű megvalósítani, és igen elterjedt mind az ipari, mind a háztartási berendezések szabályozásában. A szabályozó kimenő jele: 𝑢 , 𝑢(𝑡) = { 𝑚𝑖𝑛 𝑢𝑚𝑎𝑥 ,

𝑒 < 0, 𝑒 ≥ 0.

(25.)

Mivel a szabályozó beavatkozó jele diszkrét és a szabályozott rendszer gyakran holtidős, a szabályozott jellemző az alapjel körül állandósult lengéseket végez. (A szabályozó miatt nemlineáris a rendszer, így ez az állandó amplitúdójú lengés, az ún. kvázi-stacioner állapot, amely stabil állapotot jelent.) Például a termosztát bimetall kapcsolója bekapcsolja a fűtést, de eltelik némi idő, mire a fűtés hatására emelkedni kezd a hőmérséklet. Amikor a fűtést kikapcsolja a termosztát, nem kezd el azonnal hűlni a helyiség, a rendszer tehetetlensége miatt egy ideig még emelkedik a hőmérséklet, majd erről a magasabb értékről kezd visszahűlni a légtér. Amennyiben a rendszer kevésbé tehetetlen, a kétállású szabályozásban túl gyakoriak a ki/bekapcsolgatások, ami pl. a relék gyors elhasználódásához vezet. Így gyakran hiszterézissel valósítják meg a szabályozást, azaz pl. a termosztát nem ugyanannál a hőmérsékletnél kapcsolja ki a fűtést, mint ahol bekapcsolta.

H OLTZÓNÁS SZABÁLYOZÁS Amennyiben a két állapot, amely között kapcsolgatunk nem ki/bekapcsolgatást jelent, hanem például egy hűtés–fűtés közötti átváltást (vagy egy motor jobbra vagy balra forgatása közötti átváltást), akkor a két állapot közé holtzónát is beiktathatunk: fűtés – nem csinálunk semmit – hűtés, illetve jobbra forog – kikapcsolt – balra forog. Az állásos szabályozókat a statikus karakterisztikájukkal jellemezhetjük, lásd 25. ábra. Ideális kétállású szabályozás: 25. ábra (a), holtzónás szabályozás: 25. ábra (b) és hiszterézises kétállású szabályozás: 25. ábra (c).

53

(a) On-off control

u

(b) Dead zone

(c) Hysteresis

u

e

u e

-h

+h

e

25. ábra Kétállású szabályozó statikus karakterisztikái

8.1.

EGYTÁROLÓS, HOLTIDŐS RENDSZER SZABÁLYOZÁSA KÉTÁLLÁSÚ SZABÁLYOZÓVAL

Legyen a szabályozandó berendezés egy vízmelegítő berendezés (26. ábra). A szabályozás célja a kilépő víz hőmérsékletének előírt értéken tartása az elektromos fűtés ki-bekapcsolgatásával. A berendezésnek a fűtés–vízhőmérséklet közötti jelátvitelét a megszokott egytárolós, holtidős modellel közelítjük. A modellparamétereket a frontpanel jobb oldalán állíthatjuk be. A szabályozó hiszterézisének az értékét és a kívánt kilépő hőmérsékletet (az alapjelet) a diagram tetején módosíthatjuk. A felső diagram mutatja a szabályozott jellemző alakulását, a diagramba berajzoltuk az alapjelet és hiszterézis sávot is. Az alsó diagram mutatja a fűtés ki-bekapcsolgatását.

26. ábra Vízmelegítő berendezés, kilépő víz hőmérséklet-szabályozása kétállású szabályozóval

54

8.1.1.

FELADAT

Állítsuk be a paramétereket az alábbi táblázat egyes sorainak megfelelően, futtassuk a programot és határozzuk meg a szabályozás jellemző paramétereit! (Az időegységet nem definiáljuk, mivel a szimuláció a valóságosnál lényegesen gyorsabban fut.)

Alapjel [°C]

h [°C]

Holtidő [ut]

T1 [ut]

50 50 50 50 60 30 50 50

5 0 0 0 0 0 5 0

5T 5T 5T 2T 5T 5T 0 0

2 2 10 2 2 2 2 2

Szabályozott jellemző ON túllendülés [°C]

Szabályozott jellemző OFF túllendülés [°C]

Szabályozott jellemző ingadozási sáv [°C]

ON time, TON [ut]

Ciklusidő Tcycle [ut]

5.5

7

16.5

18

40

Fejtse ki a tapasztalatait és válaszoljon az alábbi kérdésekre: 1.

2.

3.

A szabályozott jellemző bekapcsolás utáni túllendülése hogyan függ  az alapjeltől;  a rendszer időállandójától;  a rendszer holtidejétől? A szabályozott jellemző ingadozási sávja hogyan függ  az alapjeltől;  a rendszer időállandójától;  a rendszer holtidejétől? A bekapcsolási idő, TON és a ciklusidő, Tcycle hogy függ  az alapjeltől;  a rendszer időállandójától;  a rendszer holtidejétől?

A második példánk egy helyiség hőmérsékletének a szabályozása a fűtés kibekapcsolgatásával.

8.1.2.

FELADAT

Állítsuk be a paramétereket és határozzuk meg az adott alapjelhez tartozó átlagos teljesítményfelvételt! (Idővel súlyozott átlag: 𝑢̅ = 55

𝑢∗𝑇𝑂𝑁 𝑇𝑐𝑦𝑐𝑙𝑒

.)

(A 27. ábra adataival pl.: az alapjel: 22 °C, a fűtés átlagos teljesítményfelvétele: 55%. )

27. ábra Helyiség állásos hőmérséklet-szabályozásának modellje

8.2.

A FOLYTONOS ÉS A KÉTÁLLÁSÚ SZABÁLYOZÁS ÖSSZEHASONLÍTÁSA

Az alábbi szimulációs program azonos szabályozási probléma, de folytonos (PID) szabályozóval történő szabályozását mutatja be (28. ábra). Ez azt jelenti, hogy olyan fűtőberendezésünk van, amelyet nemcsak ki- vagy bekapcsolni lehet, hanem 0–100% között a fűtést tetszőleges értékre állíthatjuk (pl. egy elektromos radiátor). Láthatjuk, hogy pl. 22 °C alapjel esetén a fűtés teljesítményfelvétele kb. ebben az esetben is 55%. Fejtse ki, milyen különbségeket lát a kétfajta szabályozás között?

28. ábra Helyiség hőmérséklet-szabályozása

56

A fenti szimulációs programokat azért nevezzük helyiség hőmérsékletszabályozásának, mert a jobb felső sarokban egy szoba képét látjuk, és a jelátviteli paraméterekről feltételezzük, hogy egy épület modelljéből származtattuk. Ugyanezekkel a programokkal, megfelelő paraméterezéssel, tetszőleges állásos szabályozást vizsgálhatunk, feltéve, hogy a szabályozott berendezés, folyamat modelljeként elfogadható az egytárolós, holtidős közelítés.

57

IRODALOMJEGYZÉK [1] Åström K. J., & Murray R.M., Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, Princeton University Press, 2008. [2] Åström, K.J., Hägglund, T., PID Controllers: Theory, Design and Tuning. Instrument Society of America, 2 edition, 1995. [3] Chau, P. C., Process Control, A First Course with MATLAB, Cambridge University Press, 2002 [4] Dorf R. C., Bishop, D. R. H., Modern Control Systems, Prentice Hall, 2010. [5] Haugen, F., Comparing PI Tuning Methods in a Real Benchmark Temperature Control System, Modeling, Identification and Control, Vol. 31, No. 3, 2010, pp. 79–91. [6] Jancskárné A. I. Számítógépvezérelt Irányítások, elektronikus jegyzet, 2004. [7] Keviczky, Bars, Hetthéssy, Barta, Bányász, Szabályozástechnika, Műegyetemi Kiadó, 2006. [8] Liptak, B.G. (ed.). Instrument Engineers' Handbook, 4st ed., Vol.2: Process Control and Optimization, 2014. [9] Lunze, J. Regelungstechnik 1, Springer, 2010. [10] Nise, N. S., CONTROL SYSTEMS ENGINEERING, WILEY, 2011. [11] Petz E., Bevezető irányítástechnikai alapismeretek, Kézirat, 1996. [12] Process Control Fundamentals, http://www.pacontrol.com/process-controlfundamentals.html, 2006. [13] Rivera D. E., Internal Model Control: A Comprehensive View, 1999. [14] Rivera, D. E., Morari, M., Skogestad S., Internal Model Control 4. PID Controller Design, Ind. Eng. Chem. Process Des. Dev. 25, 252, 1986. [15] Szakonyi L., Jancskárné A.I., Szabályozások. PTE PMMFK MIT, Pécs, 2002. [16] Szilágyi B., Juhász F, Szabályozástechnika, Magyar elektronika cikksorozat, 2009. [17] Verhaegen, S., When to use cascade control, Intech, 38–40. (Oct. 1991).

59