UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Systémy finančních toků a jejich využití v praxi
Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Eva Bohanesová, Ph.D. Rok odevzdání: 2014
Vypracovala: Jana Zavadilová ME, III. ročník
Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci zpracovala samostatně pod vedením Mgr. Evy Bohanesové, Ph.D. s použitím uvedené literatury.
V Bařicích dne 11. dubna 2014
Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat své vedoucí bakalářské práce Mgr. Evě Bohanesové, Ph.D. za trpělivost, obětavou spolupráci i za čas, který mi věnovala při konzultacích. Také bych ráda poděkovala své rodině a příteli, kteří mě podporovali během mého studia.
Obsah Úvod 1 Úvěry 1.1 Krátkodobé úvěry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Střednědobé a dlouhodobé úvěry . . . . . . . . . . . 1.3 Anuitní metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Splatitelnost úvěru . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Výpočet výše splátky úvěru a umořovací plán 1.3.3 Zjištění zůstatků úvěru během splácení . . . . 1.4 RPSN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Hypoteční úvěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Základní charakteristika . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Výpočet splátky . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
5 5 9 11 12 14 18 19 21 21 22
2 Spoření 2.1 Krátkodobé spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Krátkodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Krátkodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dlouhodobé spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Dlouhodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Dlouhodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Spojení krátkodobého a dlouhodobého spoření . . . . . . . . . . . 2.3.1 Spojení krátkodobého a dlouhodobého předlhůtního spoření 2.3.2 Spojení krátkodobého a dlouhodobého polhůtního spoření 2.4 Spořicí účty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Základní charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Rozdělení spořicích účtů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Termínované vklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Základní charakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rozdíl mezi spořicím účtem a termínovaným vkladem . . . 2.6 Stavební spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Fáze spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Fáze úvěru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Překlenovací úvěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Penzijní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Možnosti výplat dávek z penzijního spoření . . . . . . . . .
25 26 26 27 27 28 28 29 29 30 30 30 31 32 32 34 34 35 36 36 40 41
Závěr
42
Seznam příloh
45
Úvod V současné době se setkáváme se spořicími a úvěrovými produkty, u nichž hrají významnou roli finanční toky. Jimi rozumíme částky, které jsou splatné ke konkrétním datům. Tato data bývají ve většině případů předem stanovená. U spořicích produktů jde o úložky a naspořenou částku, v případě úvěrových produktů o pravidelné splátky a počáteční výši úvěru. V rámci uvedených systémů finančních toků se mohou vyskytovat různé druhy nákladů. U úvěru se jedná například o poplatky za vedení účtu a pojištění proti neschopnosti splácet. V případě spořicích produktů připadá v úvahu stavební spoření s poplatky za uzavření smlouvy a za vedení účtu. Vezmeme-li všechny platby v rámci jednoho produktu, získáme systém finančních toků, viz. [1]. Jde tedy o skupinu částek splatných v různých časech, které mezi sebou časově i věcně souvisí. Peníze nemají v čase stále stejnou hodnotu, postupem času se zhodnocují a tím dochází k navýšení o úrok. Pro výpočty je nutné mít všechny toky převedené k tzv. referenčnímu datu. Toto datum představuje jediný časový okamžik, který volíme podle situace. Převádíme-li finanční toky z budoucnosti do přítomnosti k danému refenčnímu datu, budeme je diskontovat. Naopak, převádíme-li z přítomnosti do budoucnosti finanční toky úročíme. Částky vztahující se k budoucnosti mají v sobě zahrnutou dnešní hodnotu a příslušný úrok. Naopak částky týkající se minulosti úrok neobsahují. Například v případě úvěru se za referenční datum považuje datum jeho přiznání, v případě spořicích produktů konec doby spoření. Cílem mé práce bude ukázat použití různých systémů finančních toků v praktických aplikacích, s nimiž se lze každodenně setkat. Konkrétně se bude jednat o úvěry a spořicí produkty. U každé aplikace budou uvedeny, resp. odvozeny potřebné matematické vzorce a jejich využití bude demonstrováno na konkrétních příkladech.
4
1
Úvěry První kapitola je věnována základním pojmům, se kterými se můžeme setkat
v rámci úvěrů. Dále je uvedeno jejich členění a způsob splácení. Na konci kapitoly je popsáno, co všechno zahrnuje RPSN (roční procentní sazbu nákladů) a popis hypotečního úvěru. Při psaní této kapitoly jsem vycházela z literatury [1], [3], [8] a [9]. Úvěr znamená poskytnutí peněžní částky na určitou dobu za odměnu. Tato odměna se nazývá úrok. Při poskytnutí úvěru vznikají úvěrové vztahy. Na jedné straně je věřitel, například banka, a na straně druhé je dlužník, například klient banky. Podle doby splatnosti rozdělujeme úvěry na: • krátkodobé, u kterých doba splatnosti nepřesahuje jeden rok, • střednědobé, u kterých se doba splatnosti pohybuje od jednoho roku do čtyř let, • dlouhodobé, u kterých je doba splatnosti delší než čtyři roky.
Úvěry lze členit podle více hledisek [3], pro naše výpočetní i praktické účely postačí uvedená klasifikace.
1.1
Krátkodobé úvěry
Mezi krátkodobé úvěry patří kontokorentní úvěry, úvěry z kreditních karet a překlenovací úvěry. Jestliže je v rámci běžného účtu povolen přechod do záporných neboli debetních zůstatků, může klient čerpat kontokorentní úvěr. Tento běžný účet se pak nazývá kontokorentní. Při poskytnutí kontokorentního úvěru se sjednává úvěrový rámec, který udává maximální výši úvěru. Pokud klient překročí stanovený 5
úvěrový rámec, banka si navíc účtuje sankční úroky. Z kladných zůstatků se vypočítávají úroky kreditní, které jsou zdaňovány 15% srážkovou daní. U záporných zůstatků jsou to potom úroky debetní. Příklad 1: Student vysoké školy má u banky sjednaný účet s povoleným přečerpáním s úvěrovým rámcem ve výši 10 000,- Kč. K 1.9. aktuálního roku má na svém účtu zůstatek 1 600,- Kč. Uskutečněné pohyby peněz na účtu jsou uvedeny v následující tabulce 1. Zajímá nás, jaký bude konečný zůstatek na účtu k poslednímu dni v měsíci září. Pro kladné zůstatky uvažujeme úrokovou sazbu ve výši 0, 05 % p.a., pro debetní zůstatky je sazba 12 % p.a. a při překročení úvěrového rámce je hodnota sankčního úroku 24, 85 % p.a. Při výpočtu úroků použijeme standard ACT/360. Banka si účtuje měsíční poplatek za vedení účtu ve výši 60,- Kč.
Tabulka 1: Pohyby peněžních prostředků na účtu v Kč Datum Příjmy Výdaje 1.9. 1000,00 3.9. 2230,00 6.9. 7500,00 9.9. 2100,00 11.9. 9900,00 13.9. 18350,00 14.9. 15620,00 20.9. 3468,00 25.9. 5560,00 -
Řešení: Při výpočtu úroků použijeme tyto vztahy: uc = Pc ic
kc 360
ud = Pd id
kd 360
us = Ps is 6
ks , 360
kde u vyjadřuje úrok, P je zůstatek na účtu, i je úroková sazba a k vyjadřuje počet dní, po které byly peníze na účtu evidovány. U kreditního úroku se používá index c, u úroku debetního jde o index d a sankční úrok má index s. Hodnoty vypočtených úroků jsou uvedené v následující tabulce 2. Tabulka 2: Výpočet úroků na kontokorentním účtu Zůstatek (Kč) Doba trvání Úrok kreditní Úrok debetní Úrok sankční 2600,00 1.9.-2.9. 0,01 4830,00 3.9.-5.9. 0,02 -2670,00 6.9.-8.9. 2,67 -4770,00 9.9.-10.9. 3,18 5130,00 11.9.-12.9. 0,01 -13220,00 13.9. 3,33 2,22 2400,00 14.9.-19.9. 0,02 -1068 20.9.-24.9. 1,78 4492,00 25.9.-30.9. 0,04 SOUČET 0,1 10,96 2,22
Obrázek 1: Znázornění jednotlivých úroků Z kreditního úroku musíme vypočítat srážkovou daň: 0, 099 03 · 0, 15 = 0, 01 Kč. Konečný zůstatek KZ ve výši 4 418, 91 Kč (viz. tabulka 2) vypočítáme tak, že k poslednímu zůstatku připočteme úrok kreditní snížený o srážkovou daň, 7
odečteme úrok debetní a úrok sankční a nakonec odečteme poplatek za vedení účtu. V našem případě konečný zůstatek činí KZ = 4 492 + 0, 1 − 0, 01 − 10, 96 − 2, 22 − 60 = 4 418, 91 Kč.
Pomocí kreditní karty můžeme čerpat úvěr z kreditní karty. Kartu lze používat při bezhotovostních platbách za zboží a služby nebo k výběru hotovosti z bankomatu. Při poskytnutí peněžních prostředků v rámci úvěru z kreditní karty klient využívá svůj úvěrový účet, nikoli běžný, který je spojen s debetní kartou. Jelikož je tento krátkodobý úvěr s každou změnou stavu peněžních prostředků neustále obnovovaný, jedná se o úvěr revolvingový. Klient si může zvolit počáteční datum zúčtovacího období, které obvykle bývá v délce jednoho měsíce. Na konci tohoto období se zjistí, jaké částky bude dosahovat úrok za půjčení peněžních prostředků a stanoví se minimální výše splátky úvěru. Splátka z dlužné částky se pohybuje kolem pěti procent. Pokud není splátka zaplacena nejpozději v den její splatnosti, pak je tato částka odečtena z jiného účtu klienta, obvykle se využívá běžný účet. Poté jsou úroky z tohoto úvěru zúčtovány na úvěrový účet příslušné kreditní karty. Banka může klientovi nabídnout bezúročné období, ale pouze za podmínky, že klient vypůjčenou částku vrátí do jejího data splatnosti. Navíc musí tuto podmínku splnit také v předešlém období. Překlenovací úvěr je typický pro úvěr ze stavebního spoření a předhypoteční úvěr. Překlenovací úvěr u stavebního spoření je poskytnut tehdy, nemá-li klient splněny podmínky pro získání řádného úvěru. Nárok na získání úvěru vzniká splněním určitých podmínek, např. klient musí mít naspořené určité procento z cílové částky stavebního spoření. Pokud nejsou tyto podmínky splněny a klient zažádal o úvěr, pak se tato situace řeší pomocí překlenovacího úvěru. Spořitelna půjčí klientovi peněžní prostředky ve výši cílové částky a navíc strhne poplatek. Výše poplatku činí jedno procento z cílové částky. Než klient 8
splní podmínky pro přidělení úvěru, splácí pouze jednoduchý úrok. Úrok se vypočítává ze zůstatku překlenovacího úvěru. Po splnění daných podmínek se překlenovací úvěr změní na úvěr řádný. V tomto okamžiku klient přestane platit úrok a začne splácet přímo úvěr. Na podobném principu je založený také předhypoteční úvěr. Banka ho poskytne v případě, že pořizovaná nemovitost, která má být předmětem ručení, ještě nebyla převedena do osobního vlastnictví.
1.2
Střednědobé a dlouhodobé úvěry
Úvěry matematicky spadají pod důchody. Za důchod je považován systém periodicky placených plateb, většinou stejné výše. Tyto platby nazýváme anuity. Výplatními obdobími se rozumí časové intervaly stejné délky, které jsou mezi jednotlivými platbami. Důchody členíme na předlhůtní a polhůtní v závislosti na době, kdy je anuita placena. U předlhůtního důchodu jsou anuity placeny vždy na počátku výplatního období. Anuita u polhůtního důchodu je naopak placena na konci každého výplatního období. Věčný důchod je vyplácen neomezeně dlouho. Je-li důchod vyplácen pouze po stanovenou dobu, jedná se o důchod dočasný. Dále se důchody člení podle toho, kdy se začne s jeho výplatou. Bude-li důchod vyplácen okamžitě, jde o důchod bezprostřední. První výplatu důchodu lze však odložit o určitou dobu a takovému důchodu říkáme důchod odložený. Podle toho, jak je dlouhé výplatní období rozlišujeme důchod roční, s výplatním obdobím v délce jednoho roku a důchod področní, u kterého je toto období kratší než jeden rok. Pokud výplaty důchodů podléhají nějakým podmínkám, jedná se o důchod podmíněný a v opačném případě jde o důchod jistý. Jelikož jsou u úvěru pravidelné platby hrazeny ve stejných časových intervalech, lze je považovat spolu s počáteční výší úvěru za systém finančních toků, za určitý druh důchodu. Počáteční výše úvěru představuje současnou hodnotu důchodu, kterou získáme sečtením současných hodnot veškerých splátek. 9
V souvislosti s úvěry nás bude zajímat současná hodnota neboli počáteční hodnota důchodu, které se označuje PV (present value). Současnou hodnotu dostaneme sečtením všech současných hodnot uskutečněných jednotlivých plateb důchodu. Matematicky lze současnou hodnotu důchodu vyjádřit následujícím způsobem: K X
PV =
P Vj ,
(1)
j=1
kde K vyjadřuje počet plateb. Aplikací vzorce (1) na úvěry bude platit P V = D0 , kde D0 označuje počáteční výši dluhu. P Vj označuje hodnoty jednotlivých splátek, které jsou diskontovány ke dni přiznání úvěru. Jejich tvar závisí na frekvenci splácení. Pokud splácíme úvěr ročně po dobu n let, má současná hodnota j -té splátky tvar: P Vj =
aj , j = 1, . . . , n, (1 + i)j
kde aj vyjadřuje j -tou splátku a i je úroková míra. Jsou-li splátky stejné výše, nazýváme je anuitami. Dále v textu budeme předpokládat, že úvěr D0 bude splácen splátkami stejné výše a. Pro počáteční hodnotu dluhu D0 bude podle (1) platit
D0 =
K X
P Vj =
j=1
n X j=1
a , (1 + i)j
odkud je zřejmé, že počet splátek je n (K = n). Rozepsáním vztahu dostaneme
D0 =
n X j=1
a a a a a = + + + ··· + . j 2 3 (1 + i) 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)n
Sečtením členů ve výše uvedeném vztahu, které tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem
a 1+i
a kvocientem
1 , 1+i
10
vyjádříme počáteční výši úvěru jako
1− D0 = a
1 (1+i)n
i
.
(2)
Vztah (2) též vyjadřuje počáteční hodnotu PV dočasného bezprostředního polhůtního ročního důchodu. Pokud splácíme úvěr področně po dobu mn področních výplatních období, má současná hodnota j -té splátky tvar:
P Vj =
aj (m) 1+
i(m) m
j j = 1, . . . , mn,
kde a(m) vyjadřuje področní splátku a i(m) je roční nominální úroková míra. Pro počáteční hodnotu dluhu D0 bude podle (1) platit
D0 =
K X
P Vj =
mn X
j=1
j=1
a(m)
1+
i(m) m
j ,
odkud je zřejmé, že počet splátek je mn (K = mn). Rozepsáním vztahu dostaneme
D0 =
mn X j=1
a(m)
1+
i(m) m
j =
a(m) 1+
i(m) m
+
a(m) 1+
i(m) m
2 +
a(m) 1+
i(m) m
3 +· · ·+
a(m) 1+
i(m) m
mn .
Sečtením členů ve výše uvedeném vztahu, které opět tvoří geometrickou posloupnost s prvním členem
a(m) (m)
1+ i m
a kvocientem
1 (m)
1+ i m
, vyjádříme počáteční výši
úvěru jako
1−
D0 = a(m)
1 (m) 1+ i m i(m)
m
11
mn .
(3)
1.3
Anuitní metoda
Dlouhodobé úvěry se splácí tzv. anuitní metodou nebo rovnoměrnou metodou. Anuitní metoda je založena na splácení dluhu stejně vysokými splátkami. Splátky zahrnují část dluhu neboli úmor a úrok za poskytnutí úvěru. Prostřednictvím úmoru se snižuje zůstatek úvěru, zatímco úrok banka považuje za svůj zisk. Rozlišujeme anuitní metodu pro roční a področní splácení úvěrů. Při ročním splácení bude úvěr v počáteční hodnotě D0 splácen pravidelnými splátkami ve výši a na konci každého roku po dobu n let. Budeme tedy předpokládat, že výplatní období je v délce jednoho roku a roční úroková míra i je vždy ve stejné výši. Upravením rovnice (2) můžeme vyjádřit hodnotu anuitní splátky jako:
a=
D0 i . 1 1 − (1+i) n
(4)
Při področním splácení bude úvěr v počáteční hodnotě D0 splácen pravidelnými splátkami ve výši a(m) na konci každého výplatního období po dobu n let. Budeme předpokládat, že je celkem mn výplatních období a roční úroková míra i je vždy ve stejné výši. Při področním úročení budeme uvažovat nominální úrokovou míru, tzn. i =i(m) . Hodnota m nám udává, jak často se bude splácet a úročit. Nejčastěji se u področních úvěrů využívá měsíční splácení i úročení, tj. m=12. Tyto předpoklady platí pro dočasný bezprostřední polhůtní področní důchod s področním úročením v počáteční výši ve tvaru (3). Upravením této rovnice můžeme vyjádřit hodnotu anuitní splátky jako: (m)
a
1.3.1
(m)
=
D0 i m 1−
1 (m) 1+ i m
.
(5)
mn
Splatitelnost úvěru
U úvěrů se nejprve musí zjistit, jestli je vůbec možné úvěr splatit za dobu konečné délky. Pro roční splácení využijeme vztah (2), ze kterého osamostatníme 12
proměnnou n:
ln 1 − n=−
D0 i a
. ln(1 + i) Aby existovala hodnota logaritmu ln 1 − Da0 i , musí být argument logaritmu větší než nula, tj.
1−
D0 i >0 a
Upravením nerovnice dostaneme podmínku splatitelnosti úvěru ve tvaru:
a > D0 i, kde D0 označuje počáteční výši úvěru, i je roční úroková míra a a je roční anuita. Je-li a ≤ D0 i, je doba splácení nekonečná, tzn. dluh nikdy nesplatíme. Příklad 2: Máme splácet úvěr v hodnotě 11 000,- Kč s anuitou ve výši 700,Kč. Anuita je placena vždy na konci každého roku při úrokové míře 6% p.a. Zajímá nás, jak dlouhou dobu budeme tento úvěr splácet. Bude doba splácení úvěru ve výši 13 000,- Kč konečné délky, jsou-li podmínky stejné jako u prvního úvěru? Řešení: Nejprve ověříme podmínku splatitelnosti úvěru a > D0 · i, která po dosazení hodnot má tvar 700 > 660. Protože nerovnost platí, budeme úvěr splácet celkem po dobu
ln 1 − n=−
11 000·0,06 700
ln(1 + 0, 06)
= 49 let.
Stejný postup provedeme i u druhého úvěru. V tomto případě podmínka a > D0 · i není splněna, protože 700 < 780. Proto doba splácení bude nekonečně dlouhá, tj. 13
ln 1 − n=−
13 000·0,06 700
ln(1 + 0, 06)
= +∞.
Při anuitě 700,- Kč budeme první úvěr splácet celkem 49 let a úvěr druhý nesplatíme nikdy. Pro področní splácení použijeme vztah (3). Z tohoto vztahu vyjádříme proměnné mn a n, které označují počet področních, resp. ročních výplatních období v rámci úvěru: h (m) i P V (m) i ln 1 − a(m) m , mn = − (m) ln 1 + i m h (m) i P V (m) i m ln 1 − 1 a(m) . n=− m ln 1 + i(m) m
Podmínka pro existenci tohoto logaritmu je (m)
P V (m) i m 1− > 0. a(m) U področního splácení má podmínka splatitelnosti úvěru tvar:
a
(m)
i(m) > D0 , m
kde D0 označuje počáteční výši úvěru, i(m) je nominální úroková míra s področ(m)
ním úročením a a(m) je področní anuita. V případě nerovnosti a(m) ≤ D0 i m dluh nebude možné splatit nikdy. 1.3.2
Výpočet výše splátky úvěru a umořovací plán
Splátka a, kterou vypočítáme podle vzorce (4), nevyjde jako celé číslo. Proto ji zaokrouhlujeme směrem dolů na celé Kč. Na konci n-tého výplatního období nám 14
však obvykle zůstane zbytek úvěru, který je nižší než hodnota splátky. To vede k prodloužení délky doby splatnosti o jedno výplatní období. Úhrada nesplacené části úvěru se uskuteční v následujícím období n + 1. Tento systém finančních toků lze popsat hodnotovou rovnicí
D0 =
a a a b + + ··· + + 2 n 1 + i (1 + i) (1 + i) (1 + i)n+1
kde a vyjadřuje anuitní splátku a b je poslední splátka. Pokud chceme zamezit prodloužení doby splatnosti o jedno období, použijeme model ve tvaru:
D0 =
n−1 X j=1
a b a a b + = + ··· + + . j n n−1 (1 + i) (1 + i) 1+i (1 + i) (1 + i)n
(6)
Splátku a určíme pro n-1 výplatních období a zaokrouhlíme ji dolů. Vyjádření splátky je ve tvaru:
a=
D0 i 1−
1 (1+i)n−1
.
(7)
Splátku b získáme upravením vztahu (6) b=
1 n−1 1 − ( 1+i ) D0 − a (1 + i)n . i
(8)
Umořovací plán neboli splátkový kalendář nás informuje o průběhu splácení úvěru. Plán má obvykle formu tabulky s pěti sloupci v následujícím pořadí: výplatní období (přesné datum splátky), výše splátky, úroku, úmoru a zůstatek dluhu. Počet řádků v tabulce závisí na počtu výplatních období, obecně je n výplatních období. V tabulce (3) je uveden umořovací plán pro anuitní metodu. Symbol a vyjadřuje anuitní splátku, U je označení pro úrok, M je označení pro úmor a D označuje zůstatek dluhu. Použité indexy vyjadřují roky, ke kterým se 15
Rok 0 1 2 3 . n− 1 n Σ
Tabulka 3: Umořovací plán Splátka Úrok Úmor Zůstatek dluhu D a U1 M1 D1 a U2 M2 D2 a U3 M3 D3 . . . . a Un−1 Mn−1 Dn−1 a Un Mn Dn na na − D D -
dané označení vztahuje. Na konci každého výplatního období zjišťujeme zůstatek dluhu Dj pomocí vztahu Dj = Dj−1 − Mj , j = 1, . . . , n,
(9)
kde Dj vyjadřuje hodnotu dluhu v roce j, Mj je úmor v roce j a Dj−1 je hodnota dluhu v předchozím roce (j −1). Pro výpočet úroku Uj v j-tém období použijeme vztah
Uj = iDj−1 , j = 1, . . . , n,
(10)
kde i vyjadřuje roční úrokovou míru a Dj−1 je výše dluhu v předchozím období. Úmor Mj v j-tém období představuje rozdíl mezi splátkou a příslušným úrokem, tj. Mj = a − Uj , j = 1, . . . , n.
(11)
Splátka a(m) , vypočítaná podle vzorce (5), opět nevychází jako celé číslo, a proto ji také zaokrouhlujeme směrem dolů. Tím opět dochází k prodloužení doby splácení o jedno výplatní období. Budeme-li chtít zachovat délku splácení v rozsahu mn výplatních odbobí, budeme uvažovat model ve tvaru:
D0 =
a(m) 1+
i(m) m
+
a(m) 1+
+ ··· + i(m) 2 m
16
1+
a(m) + i(m) mn−1 m
b(m) 1+
, i(m) mn m
kde a(m) je anuitní področní splátka a b(m) je poslední splátka. Vzorce pro obě splátky jsou obdobné jako u ročního anuitního splácení: (m)
a
(m)
=
D0 i m 1−
b
(m)
1− (m) = D0 − a
,
1
(m) mn−1
1+ i m
1
mn−1
(m)
1+ i m
i(m) m
mn i(m) . 1+ m
Princip sestavení umořovacího plánu je analogický jako v případě ročního splácení. Pro jednotlivé výpočty zůstatku dluhu, úroku a úmoru použijeme vzorce (9), (10) a (11) převedené na področní splácení: Dj = Dj−1 − Mj , j = 1, . . . , mn,
Uj =
i(m) Dj−1 , j = 1, . . . , mn, m
Mj = a(m) − Uj , j = 1, . . . , mn. Příklad 3: Dlouhodobý úvěr v hodnotě 250 000,- Kč má být splácen ročními splátkami po dobu 5 let. Úroková sazba je ve výši 13,60 % p.a. a budeme předpokládat, že její hodnota se nebude měnit. Máme určit hodnotu splátky, hodnotu poslední splátky a sestavit umořovací plán. Řešení: Hodnotu roční splátky vypočítáme podle vztahu (4) a zaokrouhlíme ji na celého koruny směrem dolů:
a=
250 000 · 0, 136 . = 72 122, 08 = 72 122 Kč. 1 1 − (1+0,136) 5
Umořovací plán je uveden v tabulce 4 a k jeho sestavení jsme využili vztahů (9), (10) a (11). Úrok zaplacený v prvním roce splácení U1 vypočítáme jako: 17
U1 = 0, 136 · 250 000 = 34 000 Kč. Výpočet úmoru M1 je M1 = 72 122 − 34 000 = 38 122 Kč. Pro zůstatek dluhu na konci prvního roku bude platit D1 = 25 000 − 38 122 = 211 878 Kč. Hodnotu úroků, úmorů a zůstatků dluhu v ostatních letech získáme obdobným způsobem. Z umořovacího plánu jde vidět, že v pátém roce splácení je zbytek dluhu nižší než splátka. Tím dojde k prodloužení doby splácení o jeden rok. V šestém roce splácení vyplníme umořovací plán následujícím způsobem: M6 = D5 , U6 = iD5 , A6 = M6 + U6 . Tabulka 4: Umořovací plán k příkladu 3 s délkou splácení 6 let Rok Splátka Úrok Úmor Zůstatek dluhu 0 250 000,00 1 72 122,00 34 000,00 38 122,00 211 878,00 2 72 122,00 28 815,41 43 306,59 168 571,41 3 72 122,00 22 925,71 49 196,29 119 375,12 4 72 122,00 16 235,02 55 886,98 63 488,14 5 72 122,00 8 634,39 63 487,61 0,53 6 0,60 0,07 0,53 0,00 Σ 360 610,60 110 610,60 250 000,00 -
Pokud chceme zabránit prodloužení doby splácení, vypočítáme roční splátku a podle vztahu (7) a zaokrouhlíme ji na celého koruny směrem dolů. Dále budeme také potřebovat výši poslední splátky b a pro její výpočet použijeme vztah (8): 18
a=
250 000 · 0, 136 . = 85 098, 626 = 85 098 Kč, 1 1 − (1+0,136)4
1 1 − ( 1+0,136 )4 . b = 250 000 − 85 098 (1 + 0, 136)5 = 3, 479 3 = 3, 48 Kč. 0, 136 Umořovací plán, který je uveden v tabulce 5, jsme vyplnili analogicky jako v předchozím případě a k jeho sestavení jsme opět využili vztahů (9), (10) a (11). Tabulka 5: Umořovací plán k příkladu 3 s délkou splácení 5 let Rok Splátka Úrok Úmor Zůstatek dluhu 0 250 000,00 1 85 098,00 34 000,00 51 098,00 198 902,00 2 85 098,00 27 050,67 58 047,33 140 854,67 3 85 098,00 19 156,24 65 941,76 74 912,91 4 85 098,00 10 188,16 74 909,84 3,06 5 3,48 0,42 3,06 Σ 340 395,48 903 95,48 250 000,00 -
1.3.3
Zjištění zůstatků úvěru během splácení
Při zjišťování zůstatku úvěru můžeme využít hodnoty ve splátkovém kalendáři a požadovaný zůstatek vyhledat. V případě, že hodnoty splátkového kalendáře neznáme, využijeme následující algoritmus. Vezmeme počáteční hodnotu úvěru, která je zúročená ke konci požadovaného j-tého období, j = 1, . . . , n. Od této hodnoty odečteme součet prvních j − 1 splátek, které jsou také zúročené ke konci daného období a j-tou splátku. Tu již nebudeme úročit, protože má vztah ke konci požadovaného j-tého období. Při ročním splácení úvěru zjistíme zůstatek na konci j-tého období pomocí následujícího vztahu:
j
Dj = D0 (1 + i) − a
j X
(1 + i)j−k , j = 1, . . . , n.
k=1
Pro področní splácení úvěru obdobně dostaneme vztah 19
(12)
j j−k j X i(m) i(m) (m) 1+ Dj = D0 1 + −a , j = 1, . . . , mn. m m k=1 Příklad 4: Máme dlouhodobý úvěr v hodnotě 250 000,- Kč, který je splácen ročními splátkami 85 098,- Kč po dobu 5 let. Úroková sazba je ve výši 13,60 % p.a. Chceme zjistit jeho stav na konci třetího roku bez využití splátkového kalendáře. Řešení: Pro výpočet použijeme vzorec (12):
D3 = 250 000(1 + 0, 136)3 − 85 098
3 X (1 + 0, 136)3−k = 74 912, 91 Kč. k=1
Zůstatek úvěru na konci třetího roku je ve výši 74 912,91 Kč.
1.4
RPSN
Zkratka RPSN znamená roční procentní sazbu nákladů. Určuje, jak vysoké jsou náklady spojené s úvěrem, nejen ty úrokové. Náklady jsou však vyjádřeny v procentech za rok. Mezi další náklady patří například poplatky za vedení úvěrového účtu nebo pojištění proti neschopnosti splácet z důvodu ztráty zaměstnání. RPSN se vyjadřuje v procentech za rok a odhaduje se z rovnice:
D0 + JP =
n X j=1
a+p+P (1 + r)
Datj −Dat0 K
,
kde: D0 vyjadřuje celkovou hodnotu úvěru, JP je jednorázový náklad, a je anuita, p pravidelný náklad (např. poplatek za vedení úvěrového účtu), P pojištění, r roční procentní sazbu nákladů, Dat0 datum přiznání úvěru, Datj datum uskutečnění j -té splátky a K označuje počet dní v roce podle zvoleného standardu (360, 365, 365,25, příp. 366).
20
Při výpočtu RPSN se využívá např. software Microsoft Excel, který obsahuje funkci XIRR(Hodnoty, Data). Do této funkce se zadává konkrétní datum, ke kterému se poskytuje daný úvěr, dále data jednotlivých splátek uvedené pomocí funkce DATUM(Rok, Měsíc, Den), částky splátek s kladným znaménkem a hodnota úvěru se záporným znaménkem. Příklad 5: Banka poskytne 20. října 2013 klientovi dlouhodobý úvěr v hodnotě 520 000 Kč. Délka splácení úvěru je 6 let. Měsíční splátky jsou vždy realizované k 20. dni v měsíci. Úroková sazba je ve výši 9,24 % p.a. a jednorázový poplatek za zpracování žádosti činí 2 900 Kč. Tento poplatek bude rozpuštěn do splátek. Klient každý měsíc platí pojištění ve výši 520 Kč a poplatek za vedení úvěrového účtu 68 Kč. Máme vytvořit umořovací plán a zjistit hodnotu RPSN. Při výpočtech vycházíme ze standardu 30E/360. Řešení: Umořovací plán je vypočítán v souboru RPSN pomocí MS Excel a najdeme ho v Příloze A na přiloženém CD. Jsou tam uvedené tři varianty. V první variantě se za splátku bere pouze anuita, v druhé variantě je k anuitě připočten měsíční poplatek za vedení úvěrového účtu a ve třetí variantě je navíc připočteno pojištění úvěru. Při výpočtu RPSN v případě, že uvažujeme jen úroky, vycházíme z rovnice
D0 + JP =
71 X
a
j=1
Datj −Dat0 360
(1 + r)
b
+ (1 + r)
Dat72 −Dat0 360
,
kde Dat0 je den 20. 10. 2013, Dat1 den 20. 11. 2013, . . . , Dat72 je den 20. 10. 2019 a r představuje hodnotu RPSN. Při výpočtu jednotlivých variant jsou v rovnici, která je uvedená výše, k anuitě a připočten postupně poplatek za vedení účtu p a pojištění P . Varianta zahrnující pouze anuitu má rovnici ve tvaru
520 000 + 2 900 =
71 X j=1
9 588 (1 + r)
Datj −Dat0 360
+
9, 97 (1 + r)
Dat72 −Dat0 360
.
V případě, že uvažujeme poplatek za vedení účtu, je rovnice ve tvaru 21
520 000 + 2 900 =
71 X j=1
9 588 + 68 (1 + r)
Datj −Dat0 360
+
9, 97 + 68 (1 + r)
Dat72 −Dat0 360
.
Pokud uvažujeme poplatek za vedení účtu i pojištění má rovnice tvar
520 000 + 2 900 =
71 X 9 588 + 68 + 520 j=1
(1 + r)
Datj −Dat0 360
+
9, 97 + 68 + 520 (1 + r)
Dat72 −Dat0 360
.
Hodnota RPSN při použití funkce XIRR činí v prvním případě 9, 636 4 % p.a., ve druhém 9, 923 5 % p.a. a ve třetím 12, 101 5 % p.a.
1.5
Hypoteční úvěr
Jedná se o účelový úvěr, který slouží k investicím do nemovitostí. Typický znak pro hypoteční úvěry je jejich zajištění formou nemovitosti.
1.5.1
Základní charakteristika
Úvěr lze využít při koupi nemovitosti v osobním vlastnictví nebo při pořízení družstevního bytu. Zde však musí existovat jiná nemovitost k zástavě. Dále na rekonstrukci, modernizaci či opravu nemovitosti. Účely při poskytnutí hypotečního úvěru lze také kombinovat, např. koupení nemovitosti a její následná rekonstrukce. Úroková sazba pro tyto úvěry je buď pevně daná po celou dobu jejich splatnosti nebo je pohyblivá. Pohyblivá sazba podléhá vývoji tržních úrokových sazeb. Platnost úrokové sazby, neboli fixace sazby, se pohybuje od jednoho roku až do patnácti let. Lze se setkat i s kombinací obou sazeb. To znamená, že pro několik prvních let se používá pevná sazba a do uplynutí doby splatnosti úvěru se vychází z pohyblivé sazby. Maximální výše hypotečního úvěru je omezena těmito okolnostmi: 22
• cenou zástavy - úvěr je poskytován maximálně do výše 70 % z ceny zastavené nemovitosti. V určitých případech, např. je-li klient vysoce bonitní a má dobrou bankovní historii, lze půjčit až 100 % ceny zastavené nemovitosti, • cenou pořizované nemovitosti - výše úvěru nesmí přesáhnout cenu dané nemovitosti, • bonitou klienta - klient musí být schopen řádně splácet hypoteční úvěr.
1.5.2
Výpočet splátky
Pro zjištění výše splátky poskytnutého úvěru vycházíme z celkové hodnoty hypotečního úvěru, úrokové sazby a doby splatnosti. Po úpravě vztahu (4) dostaneme vzorec pro výpočet pravidelné roční anuity
a=
HU · i(1 + i)n , (1 + i)n − 1
kde HU je hodnota poskytnutého úvěru, i vyjadřuje roční úrokovou sazbu a n je doba splácení vyjádřená v letech. Pro področní anuitu analogicky dostaneme vztah
a(m) =
i(m) m
HU · 1+
i
(m) 1 + im mn (m)
mn ,
(13)
−1
m
kde HU je opět hodnota poskytnutého úvěru, i(m) vyjadřuje nominální úrokovou sazbu, m je frekvence úročení, obvykle 12 měsíců a mn je doba splácení vyjádřená v měsících. Vzorec (13) lze také přepsat do následujícího tvaru
a
(m)
HU · = 1−
i(m) m 1
(m)
1+ i m
23
. mn
(14)
Výši poslední splátky b(m) zjistíme podle vzorce b
(m)
1− (m) = HU − a
mn−1
1 (m)
1+ i m
i(m) m
mn i(m) . 1+ m
(15)
Příklad 6: Banka poskytne klientovi hypoteční úvěr ve výši 2 000 000 Kč s dobou splatnosti 20 let. Úvěr bude přiznán ke dni 20. října 2013 a bude splácen měsíčními splátkami. Vstupní poplatek ve výši 2 900 Kč bude přičten k tíži úvěru. Měsíční poplatek za vedení úvěrového účtu je ve výši 150 Kč a měsíční pojistné činí 500 Kč. Fixace úrokové sazby je 5 let. Úroková sazby pro první fixační období je 5, 74 % p.a., pro druhé období je 3, 59 % p.a., pro třetí období je 3, 21 % p.a. a pro poslední čtvrté fixační období je 3, 06 % p.a. Máme vytvořit umořovací plán a vypočítat jednotlivé splátky pro každé fixační období. Řešení: Pro každé fixační období vypočítáme výši anuity podle vzorce (14) a zaokrouhlíme ji na celé koruny směrem dolů. Výše anuity pro první fixační období je ve tvaru
a(12) =
(2 000 000 + 2 900) · 0,057 12 1 12·20 1− 1+ 0,057 12
4
. = 14 050, 59 = 14 050 Kč.
4
Pro další fixační období anuitu vypočítáme tak, že místo počáteční hodnoty hypotečního úvěru dosazujeme zůstatek dluhu na konci předcházejícího období, úrokovou sazbu pro dané fixační období a z celkové doby splatnosti odečteme počet měsíců, za které je již dluh umořen. Anuita pro druhé fixační období je ve tvaru
a(12) =
9 1 693 140, 29 · 0,035 . 12 = 12 178, 93 = 12 178 Kč, 1 1− 12·(20−5) 1+ 0,035 12
9
24
kde 1 693 140,29 je zůstatek dluhu na konci 60. měsíce. Pro třetí fixační období platí
a(12) =
1 1 226 441, 03 · 0,032 . 12 = 11 961, 86 = 11 961 Kč, 1 1− 12·(20−10) 1+ 0,032 12
1
kde 1 226 441,03 Kč je zůstatek dluhu na konci 120. měsíce. Pro čtvrté fixační období vypočítáme anuitu podle vzorce (14) s tím, že vezmeme dobu splatnosti s délkou pouze 59 měsíců a poslední splátku b podle vzorce (15):
a
(12)
6 662 316, 89 · 0,030 . 12 = = 12 105, 61 = 12 105 Kč, 1 12·5−1 1− 1+ 0,030 12
6
b
(12)
1− = 662 316, 89 − 12 105
1 1+ 0,030 12
12·5−1 6
0,030 6 12
0, 030 6 12·5 . = 38, 92Kč. 1+ 12
Za hypoteční úvěr zaplatíme celkově včetně jednorázového poplatku 3 163 785 Kč. Úvěr bude přeplacen o 1 163 785 Kč, to představuje 58, 19 %, tj. o více než polovinu. Umořovací plán je podrobně vypracován v souboru Hypoteční úvěr pomocí MS Excel a najdeme ho v Příloze A na přiloženém CD.
25
2
Spoření Druhá kapitola popisuje princip spoření a jeho členění. V druhé části této
kapitoly jsou popsány finanční produkty, které se týkají spoření. Jedná se o spořicí účty, termínované vklady, stavební spoření a penzijní spoření. Při psaní této kapitoly jsem použila literaturu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18] a [19]. Spořením rozumíme ukládání pevně zvolené částky v pravidelných intervalech. Délku časového intervalu mezi dvěma úložkami budeme nazývat ukládacím obdobím. Z vložených úspor plynou úroky a nás bude zajímat, kolik si naspoříme za danou dobu. Rozlišujeme částku uloženou a naspořenou. Uložená částka je součet všech úložek a naspořenou částkou se rozumí součet všech úložek a úroků z nich. Úložky a naspořená částka dohromady tvoří určitý systém finančních toků a z matematického hlediska se opět jedná o důchod, který je vždy dočasný. U tohoto systému má význam určovat jeho budoucí hodnotu, která je rovna přímo naspořené částce. Budoucí hodnotu vypočteme sečtením všech budoucích hodnot jednotlivých úložek, tj.
FV =
n X
F Vj ,
(16)
j=1
kde n vyjadřuje počet úložek. Spoření dělíme na krátkodobé a dlouhodobé. U krátkodobého spoření doba spoření nepřesáhne jedno úrokové období, zpravidla jeden rok. Pokud je doba spoření delší než jedno úrokové období, jedná se o dlouhodobé spoření. Finanční prostředky můžeme vložit na spořicí účty, termínované vklady, stavební spoření či penzijní pojištění.
26
2.1
Krátkodobé spoření
Při krátkodobém spoření uvažujeme úrokové období v délce jednoho roku. Úložky ve výši
1 m
Kč budou ukládány pravidelně každou m-tinu roku a budou
úročeny jednoduše. K připisování úroků dochází na konci roku. Krátkodobé spoření dělíme na předlhůtní a polhůtní.
2.1.1
Krátkodobé předlhůtní spoření
V rámci krátkodobého předlhůtního spoření předpokládáme, že k ukládání částek dochází počátkem každé m-tiny roku. Celkový úrok získáme součtem úroků jednotlivých částek
u=
1 ·i· m
!
m (m − 1) 1 + + ··· + . m m m
Po úpravách dostaneme vztah: i m(m + 1) m+1 · = i, 2 m 2 2m
u=
kde u vyjadřuje celkový úrok, m označuje počet úložek za jeden rok a i vyjadřuje roční úrokovou sazbu. Naspořená částka je pak rovna součtu všech úložek a úroku u, tj. 0
S1 = 1 + u = 1 +
m+1 i. 2m
Při úložce x Kč ukládané předlhůtně dostaneme pro celkovou naspořenou částku na konci roku vzorec: m+1 0 Sx = m · x · 1 + i , 2m
27
(17)
0
kde Sx vyjadřuje celkovou naspořenou částku, x označuje výši úložky, m je opět počet úložek a i je roční úroková sazba.
2.1.2
Krátkodobé polhůtní spoření
Pro krátkodobé polhůtní spoření platí, že k ukládání částek dochází na konci každé m-tiny roku. Z toho plyne, že k uložení poslední částky dojde na konci roku a to znamená, že z ní nebude počítán žádný úrok. Celkový úrok získáme obdobně jako u předlhůtního spoření a po úpravách dostaneme vztah:
u=
i m(m − 1) m−1 · = i. m2 2 2m
Naspořená částka je opět rovna součtu všech úložek a úroku u:
S1 = 1 + u = 1 +
m−1 i. 2m
Při úložce x Kč ukládané polhůtně dostaneme pro celkovou naspořenou částku na konci roku vzorec: m−1 Sx = m · x · 1 + i . 2m
2.2
Dlouhodobé spoření
U dlouhodobého spoření předpokládáme, že délka spoření přesahuje jedno úrokové období (jeden rok). Pravidelné platby budou ukládány jednou za úrokové období a budou úročeny složeným úročením. Úroky budou připisovány vždy na konci roku nebo na konci každého ukládacího období. Dlouhodobé spoření také dělíme na předlhůtní a polhůtní.
28
2.2.1
Dlouhodobé předlhůtní spoření
Pokud budeme na začátku každého roku ukládat částku a, jedná se o dlouhodobé předlhůtní spoření. Celkovou naspořenou částku na konci daného n-tého úrokového období nazýváme budoucí hodnotou částky a vypočteme ji na základě vztahu (16): 0
S = a(1 + i)[(1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1]. Sečtením členů ve výše uvedeném vztahu, které tvoří konečnou geometrickou posloupnost s prvním členem a · (1 + i) a kvocientem (1 + i), vyjádříme budoucí hodnotu částky jako:
0
S = a(1 + i)
(1 + i)n − 1 , i
0
kde S vyjadřuje celkovou naspořenou částku na konci n-tého období, a označuje úložku, i je roční úroková sazba a n je délka spoření, neboli počet úrokových i ukládacích období. Vztah pro budoucí hodnotu částky u področního dlouhodobého předlhůtního spoření je odvozen v [1] a má následující tvar: S
2.2.2
0 (m)
=a
0 (m)
1+ i(m) 1+ m
i(m) m
mn −1
i(m) m
.
Dlouhodobé polhůtní spoření
K dlouhodobému polhůtnímu spoření dochází při ukládání částky a na konci každého roku. Pro zjištění naspořené částky můžeme opět použít vztah (16): S = a[(1 + i)n−1 + (1 + i)n−2 + · · · + 1].
29
Sečtením členů, které opět tvoří konečnou geometrickou posloupnost s prvním členem a a kvocientem 1 + i, vyjádříme konečnou hodnotu naspořené částky jako:
S=a
(1 + i)n − 1 , i
kde S vyjadřuje celkovou hodnotu naspořené částky na konci n-tého období, a označuje úložku, i je roční úroková sazba a n je délka spoření, neboli počet úrokových období. Vztah pro budoucí hodnotu částky u področního dlouhodobého polhůtního spoření je odvozen v [1] a má následující tvar: 1+ S
2.3
(m)
=a
(m)
i(m) m
mn
i(m) m
−1 .
Spojení krátkodobého a dlouhodobého spoření
Spojení krátkodobého a dlouhodobého spoření spočívá v tom, že úložku ukládáme každou m-tinu úrokového období a celkem máme n úrokových období. Budeme předpokládat, že úrokové období je v délce jednoho roku. Při měsíčním ukládání dané částky chceme tedy zjistit, kolik naspoříme ke konci n-tého roku, přičemž uvažujeme roční úročení úložek. I zde rozlišujeme kombinaci krátkodobého a dlouhodobého předlhůtního nebo polhůtního spoření podle toho, jestli částku ukládáme na začátku nebo na konci každé m-tiny roku.
2.3.1
Spojení krátkodobého a dlouhodobého předlhůtního spoření
Abychom mohli zjistit, jakou hodnotu bude mít naspořená částka na konci n-tého roku, musíme, vzhledem k ročnímu úročení, nejprve vypočítat hodnotu naspořené částky ke konci každého roku. K tomu využijeme krátkodobé předlhůtní 30
spoření a k výpočtu naspořené částky včetně úroků použijeme příslušný vzorec 0
(17). Tímto postupem získáme částku Sx , na kterou pohlížíme jako na polhůtní roční úložku ukládanou po dobu n let. Pro výpočet hodnoty celkové naspořené částky na konci n-tého roku získáme vztah: m + 1 (1 + i)n − 1 i · . S =m·x 1+ 2m i 0
2.3.2
Spojení krátkodobého a dlouhodobého polhůtního spoření
Obdobný postup je u polhůtní kombinace krátkodobého a dlouhodobého spoření. Zde ukládáme částku x Kč koncem každé m-tiny roku po dobu n let s tím, že na konci každého roku je určena krátkodobě naspořená částka Sx a na ni je opět pohlíženo jako na dlouhodobou polhůtní úložku. Proto je vztah pro výpočet naspořené částky na konci n-tého roku ve tvaru: m − 1 (1 + i)n − 1 S =m·x 1+ i · . 2m i
2.4
Spořicí účty
Spořicí účty se od běžných účtů liší tím, že vložené finanční prostředky jsou úročené vyšší úrokovou sazbou. V rámci spořicího účtu musí být obvykle založený i běžný účet. U některých bank však vedení běžného účtu není podmínkou.
2.4.1
Základní charakteristika
Spořicí účty jsou ze zákona pojištěné do výše 100 % vkladu, maximální hranice je 100.000 EUR. Úroková sazba se u jednotlivých bank liší a závisí na hodnotě vložených finančních prostředků a na době trvání výpovědní lhůty. Rozpětí úrokových sazeb spořicích účtů je v současnosti od 0,1 % p.a. až do 2,4 % p.a. 31
Většinou dochází k lepšímu zhodnocení v případě, že je delší doba výpovědní lhůty a hodnota vkladu je vyšší. Připsané úroky jsou zdaňovány 15% srážkovou daní. Srážková daň se zaokrouhluje na celé koruny dolů.
2.4.2
Rozdělení spořicích účtů
Spořicí účty rozdělujeme do dvou skupin: • s výpovědní lhůtou - doba trvání výpovědní lhůty může být několik dní, týdnů, ale maximální doba je omezena na jeden rok. Pokud bude chtít klient disponovat s vloženými prostředky ještě před skončením výpovědní lhůty, budou mu naúčtovány sankční poplatky. Příkladem spořicího účtu s výpovědní lhůtou je eKonto Flexi od Raiffeisen Bank, viz. [5]; • bez výpovědní lhůty - zde může klient nakládat s finančními prostředky kdykoliv bez sankčních poplatků. Příkladem spořicího účtu bez výpovědní lhůty je spořicí účet eMax od mBank, viz. [14].
Příklad 7: Klient si založí spořicí účet s pravidelnou měsíční úložkou ve výši 2 000 Kč, která bude ukládána počátkem každého měsíce po dobu šesti let. Roční úroková míra je 1,30 % p.a. Připsané úroky jsou zdaňované srážkovou daní ve výši 15 %. Chceme zjistit, jaký zůstatek bude na konci šestého roku. Řešení: Roční úrokovou míru považujeme za efektivní úrokovou míru. [1] Ta nám udává stejnou výnosnost jako v případě nominální úrokové míry s področním úročením. Vztah mezi nominální úrokovou mírou a efektivní úrokovou mírou je: i(m) 1+ m
!m = 1 + ie .
Po vyjádření nominální úrokové míry s področním úročením dostaneme vztah: 1 i(m) = (1 + ie ) m − 1. m
32
(18)
V našem případě po dosazení do (18) dostaneme požadovanou úrokovou míru: 1
i = [(1 + 0, 013) 12 − 1] · 100 = 0, 11 % p.m. Touto nominální mírou úročíme každý měsíc danou úložku. Pro první měsíc platí:
a(1 + i) = 2 000(1 + 0, 001 1) = 2 002, 15 Kč. Od této částky odečteme celkovou hodnotu úložek, které byly do této doby uloženy a získáme úrok. Z tohoto úroku vypočteme srážkovou daň a zaokrouhlíme ji na celé koruny směrem dolů. V případě prvního měsíce vychází úrok 2 002, 15 − 2 000 = 2, 15 Kč, daň před zaokrouhlením je 0, 15 · 2, 15 = 0, 323 Kč a po zaokrouhlení je výše daně 0 Kč. Výsledná částka po zdanění v prvním měsíci je 2 002,15 Kč. Obdobným způsobem pokračujeme každý měsíc po dobu šest let. Podrobný výpočet naspořené částky u spořicího účtu je v souboru Příklady spoření na listu Spořicí účet, který je vytvořen pomocí MS Excel a najdeme ho v Příloze A na přiloženém CD. Klient celkem vloží na účet 144 000 Kč, hodnota připsaného úroku je celkem 32 711,49 Kč a celková daň po zaokrouhlení je 4 872 Kč. Výsledná částka na spořicím účtu na konci šestého roku je 144 817,45 Kč.
2.5
Termínované vklady
Termínované vklady jsou omezené na dobu určitou. Čím delší je doba uložení finančních prostředků, tím vyšší je úroková sazba, která je předem stanovená. Termínované vklady poskytují banky i družstevní záložny, které většinou nabízejí vyšší úročení než banky.
33
2.5.1
Základní charakteristika
Hodnotu minimálního vkladu má každá banka či záložna stanovenu jinak. Pohybuje se od pěti tisíc až do sto tisíc korun. Horní hranice pro vklad není stanovena. Nejkratší doba termínovaného vkladu je obvykle sedm dní a nejdelší doba je pět let. Při předčasné výpovědi termínovaného vkladu si banka účtuje sankční poplatek. Termínovaný vklad je ze zákona pojištěn do výše 100 % vkladu s limitem 100.000 EUR na jednu osobu u jedné banky. Termínovaný vklad bývá úročen fixní úrokovou sazbou. Princip fixní úrokové sazby je v tom, že její hodnota je stále stejná během celé doby uložení a úročení vkladu. Příklad 8: Klient si sjedná termínovaný vklad ve výši 24 000 Kč a úrokovou sazbou ve výši 1,20 % p.a. Úroky jsou zdaňované srážkovou daní ve výši 15 %. Doba splatnosti je jeden rok s tím, že následně bude vklad pětkrát obnoven a při každém obnovení bude vloženo dalších 24 000 Kč. Termínovaný vklad je založen ke dni 1. 2. 2013 a bude ukončen k 1. 2. 2019. Při výpočtu je použit standard ACT/ACT. Řešení: Nejprve vypočítáme splatnou částku ke dni 31. 1. 2014: k a 1+i T
!
365 = 24 000 1 + 0, 012 365
! = 24 288 Kč,
kde a vyjadřuje vloženou částku, i je roční úroková sazba ve formě desetinného čísla, k je počet dní úročení a T je celkový počet dní v daném roce. Z této splatné částky zjistíme úrok odečtením vkladu: 24 288 − 24 000 = 288 Kč. Srážková daň . z úroku je 288 · 0, 15 = 43, 20 = 43 Kč. Splatná částka po zdanění je ve výši 24 245 Kč. Druhý rok klient vloží na termínovaný vklad další částku ve stejné výši, tj. 24 000 Kč a tento vklad musíme zohlednit při výpočtu splatné částky ke dni
34
31. 1. 2015. Vezmeme splatnou částku po zdanění z předešlého roku, zúročíme ji, a poté přičteme další vloženou částku zúročenou ke stejnému dni:
365 24 245 1 + 0, 012 365
!
365 + 24 000 1 + 0, 012 365
! = 48 823, 94 Kč.
Po odečtení vložené částky zjistíme výši úroku: 48 823, 94 − (24 000 · 2) = . 823, 94 Kč. Srážková daň činí 0, 15·823, 94 = 123, 59 = 123 Kč. Splatná částka po zdanění je ve výši 48 700,94 Kč. Obdobným způsobem vypočítáme splatné částky po zdanění pro každý rok. Výše celkových úroků je 13 608,30 Kč a celková daň je 2 039 Kč. Po šesti letech bude na termínovaném vkladu celkem 148 098,65 Kč. Podrobný výpočet termínovaného vkladu je v souboru Příklady spoření na listu Termínovaný vklad, který je vytvořen pomocí MS Excel a najdeme ho v Příloze A na přiloženém CD.
2.5.2
Rozdíl mezi spořicím účtem a termínovaným vkladem
Termínovaný vklad na rozdíl od spořicího účtu je sjednáván na dobu určitou. Termínovaný vklad je tedy méně likvidnější než spořicí účet. Druhým rozdílem je hodnota minimálního vkladu. U termínovaného vkladu se vyžaduje vyšší minimální vklad než u spořicího účtu. U některých spořicích účtů není stanovená hranice pro minimální vklad. Další rozdíl spočívá ve způsobu vkládání prostředků. Při zakládání termínovaného vkladu se sjedná částka, která je vložena jednorázově k předem dohodnutému datu. U spořicího účtu je možné vkládat finanční prostředky kdykoliv během doby spoření.
2.6
Stavební spoření
Stavební spoření mohou poskytovat pouze stavební spořitelny. Jsou to banky mající zvláštní licenci, která je opravňuje k poskytování tohoto produktu. Tuto licenci mohou získat na základě zákona č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření. 35
V rámci stavebního spoření můžeme po splnění určitých podmínek podat žádost o úvěr ze stavebního spoření nebo uplatnit státní podporu. Stavební spoření představuje bezpečné uložení peněžních prostředků a jejich spoření. Mezi další výhody patří státní podpora poskytovaná z naspořené částky, tedy z vložených finančních prostředků, relativně nízké úroky při čerpání úvěru na bytové potřeby, i když hypoteční úvěry jsou dnes spojeny s ještě nižšími sazbami. Hlavní nevýhodou je, že nemáme během spoření k dispozici finanční prostředky. Během stavebního spoření lze rozlišit dvě fáze - fázi spoření a fázi úvěru.
2.6.1
Fáze spoření
Při založení stavebního spoření se uzavírá smlouva o stavebním spoření. Sjednává se tzv. cílová částka, která se skládá z vkladů, úroků, státní podpory a výši poskytnutého úvěru, je-li čerpán. Úroky se počítají z vkladů i z přiznané státní podpory. Při sjednání stavebního spoření se platí poplatek za uzavření smlouvy. Jeho hodnota závisí na výši cílové částky, obvykle jde o 1 % z cílové částky. Poplatek za vedení účtu se pohybuje v průměru okolo 310 Kč za rok, viz. [19]. Má-li klient k dispozici vyšší obnos peněz, může celou částku vložit na stavební spoření ihned při sjednání smlouvy nebo lze vkládat stejnou částku v pravidelných intervalech, např. měsícně, čtvrtletně nebo ročně. Za účastníka stavebního spoření se považuje: • fyzická osoba, která má trvalý pobyt na území České republiky a rodné číslo, které přiděluje příslušný orgán České republiky. Jedná-li se o občana Evropské unie, musí mu být vydáno povolení k pobytu na území České republiky. Účastníkem může být i nezletilá osoba, a to za podmínky, že smlouvu o stavebním spoření podepíše zákonný zástupce; • právnická osoba, která má sídlo na území České republiky a identifikační číslo přidělené orgánem České republiky.
36
Nárok na státní podporu vzniká pouze fyzickým osobám, které mají uzavřené stavební spoření po dobu nejméně šesti let nebo budou čerpat úvěr z daného spoření nejdříve po dvou letech. Právnickým osobám nárok na podporu poskytovanou státem nevzniká. Výnosy plynoucí ze stavebního spoření jsou zdaňovány srážkovou daní, která činí 15 %. Státní podpora je poskytovaná ve výši 10 % z uložené částky po odečtu poplatků v daném kalendářním roce. Její maximální výše je 2 000 Kč za rok. Z toho plyne, že nejmenší čistá uložená částka, při které klient může získat maximální výši podpory, je 20 000 Kč za rok. Vloží-li na účet částku vyšší, převede se přebytek do následujícího roku a podpora bude připsána následující rok.
2.6.2
Fáze úvěru
Pro získání úvěru musí klient splnit následující podmínky: doba spoření musí být minimálně dva roky, v některých případech i déle, hodnota úspor musí dosáhnout určitého procenta z cílové částky, je též nutné dosáhnout určitého bodového hodnocení (hodnotícího čísla) vyjadřujícího výkonnost spoření a klient musí doložit svou dostatečnou bonitu, případně poskytnout zajištění úvěru. [7] Úvěr lze čerpat pouze na financování bytových potřeb a následně se musí toto využití řádně doložit. V zákonu č. 96/1993 Sb., o stavebním spoření, jsou bytové potřeby přesně specifikovány. Ke splácení úvěru dochází ihned po jeho čerpání prostřednictvím pravidelných měsíčních splátek. Při splácení úvěru lze využít mimořádné splátky, kdy klient může bez sankčních poplatků splatit část úvěru, případně úvěr celý. Doba splácení úvěru je přibližně deset let.
2.6.3
Překlenovací úvěr
Pokud klient některou podmínku pro poskytnutí řádného úvěru ze stavebního spoření nesplní, může zažádat o překlenovací úvěr. O poskytnutí překlenovacího 37
úvěru rozhoduje spořitelna stanovením podmínek pro jeho získání. Klient musí vložit na účet stavebního spoření určité procento z cílové částky. Toto procento bývá nižší než u čerpání řádného úvěru. Dále musí doložit výši svých příjmů, aby spořitelna mohla posoudit, zda bude klient schopen úvěr splácet v dohodnutých splátkách. Také u překlenovacího úvěru musí klient poskytnout zajištění úvěru. Poskytnutím překlenovacího úvěru dojde v rámci stavebního spoření k rozdělení na dvě části probíhající zároveň. Jde o část spoření, kdy klient musí stále spořit a vkládat na spořící účet dohodnuté částky. Druhou část představuje překlenovací úvěr. Z něj dlužník platí pouze úrok, vypočtený z cílové částky, a to tak dlouho, dokud nesplní podmínky pro přidělení řádného úvěru. Jistina úvěru se nesnižuje. Je tedy zřejmé, že financování bydlení prostřednictvím překlenovacího úvěru se prodraží. Ke splacení překlenovacího úvěru dojde až přiznáním řádného úvěru ze stavebního spoření. Až v rámci tohoto úvěru dochází ke splácení jistiny a snižování úroků. Daňový základ lze snížit o hodnotu zaplacených úroků z překlenovacího úvěru nebo z řádného úvěru. Příklad 9: Klient si sjedná se stavební spořitelnou stavební spoření s úrokovou sazbou 1 % p.a. Cílová částka je stanovena ve výši 160 000 Kč a pravidelná měsíční úložka činí 2 000 Kč. Výše první úložky je 3 910 Kč. Spořitelna si účtuje roční poplatek za vedení účtu ve výši 310 Kč a jednorázový poplatek za uzavření smlouvy ve výši 1 % z cílové částky. Připsané úroky jsou zdaňované srážkovou daní ve výši 15 %. Smlouva o stavebním spoření je uzavřena ke dni 1. 2. 2013 a k ukončení smlouvy dojde dne 31. 1. 2019 a to znamená, že doba spoření je v délce šesti let. Chceme zjistit, jaký zůstatek bude ke dni 30. 4. 2019. Doby splatnosti jednotlivých částek jsou počítány pomocí standardu ACT/ACT. Řešení: Nejprve musíme určit výši poplatku za uzavření smlouvy, který je ve výši 1 % z cílové částky, tj. 0, 01 · 160 000 = 1 600 Kč. První rok klient zaplatí za poplatky 1 910 Kč, další roky už platí pouze 310 Kč. Každý zůstatek je zúročený ke dni 31. 12. příslušného roku pomocí vzorce (16). Pro zúročený zůstatek v prvním roce platí následující vztah: 38
h k2 k3 k11 i k1 +a 1+i + 1+i + ··· + 1 + i , (a1 − JP − p) 1 + i T T T T kde a1 je první úložka, a je pravidelná úložka, JP je jednorázový poplatek za uzavření smlouvy, p je roční poplatek za vedení účtu. Za i dosadíme úrokovou sazbu ve tvaru desetinného čísla, k označuje počet dní od data úložky do konce roku. Pro k1 bereme dny od 1. 2. 2013 do 31. 12. 2013, pro k2 to jsou dny mezi 1. 3. 2013 a 31. 12. 2013, . . . , pro k11 bereme dny od 1. 12. 2013 do 31. 12. 2013 a T je počet dní v roce. Po dosazení,
!
(3 910−1 600−310) 1+0, 01
334 +2 000 365
"
!
1+0, 01
306 31 +· · ·+ 1+0, 01 365 365
!# ,
dostaneme částku 22 110,52 Kč. Z této částky je vypočítán úrok. Získáme ho tím způsobem, že od zúročené částky odečteme úhrn úložek za dané období. Pro první rok platí: 22 110, 52 − (11 · 2 000) = 110, 52 Kč. Následně vypočítáme srážkovou daň z připsaných úroků: 0, 15·110, 52 = 16, 58 Kč. Tu odečteme od zúročeného zůstatku: 22 110, 52−16, 58 = 22 093, 94 Kč. Konečný zůstatek v prvním roce je tedy ve výši 22 093,94 Kč. Pro zúročený zůstatek v druhém roce musíme zúročit konečný zůstatek z předešlého roku a odečíst poplatek za vedení účtu, který je odečten k 1. 1. 2014:
22 093, 94 ·
365 1 + 0, 01 365
!
" − 310 ·
365 1 + 0, 01 365
!# = 22 001, 78 Kč.
Poté přičteme jednotlivé úložky zúročené k 31. 1. 2014:
" 2 000
363 1 + 0, 01 365
! + ... +
31 1 + 0, 01 365 39
!# = 24 130, 41 Kč.
Klient má dále nárok na státní podporu ve výši 2 000 Kč, která mu bude připsána dne 30. 4. 2014. Po zúročení na konec roku je hodnota podpory rovna 246 2 000 1 + 0, 01 365
! = 2 013, 48 Kč.
Celkový zúročený zůstatek na konci roku 2014 získáme sečtením třech výše uvedených částek a dostaneme částku ve výši 48 145,67 Kč. Z této částky vypočítáme úrok (2 145,67 Kč) a srážkovou daň (321,85 Kč). Odečtením daně od zúročeného zůstatku získáme konečný zůstatek v roce 2014 ve výši 47 823,82 Kč. Obdobně vypočítáme konečné zůstatky v letech 2015 až 2018. V roce 2019 bude provedena ještě jedna úložka ve výši 2 000 Kč, a to k datu 1. 1. 2019. Nejprve musíme konečný zůstatek z předešlého roku zúročit, pak od něj odečteme zúročený poplatek za vedení účtu a přičteme zúročenou úložku vloženou v roce 2019:
" 150 389, 11 − 310 1 + 0, 01
31 365
!#
" + 2 000 1 + 0, 01
31 365
!# = 152 080, 55 Kč. (19)
Klient má dále nárok na státní podporu, která bude vyplacena až na konci dubna roku 2019. Z důvodu lepšího porovnání naspořených částek u tří spořicích produktů jsem tuto podporu diskontovala k datu ukončení smlouvy (k 31. 1. 2019). Jelikož klient na účet stavebního spoření každý rok vložil částku vyšší než 20 000 Kč (po odečtení poplatků), převádí se tento přebytek do dalšího roku s tím, že i z tohoto přebytku má klient nárok na státní podporu. Součet všech přebytků na konci roku 2019 činí 20 230 Kč, a proto jsem ve výpočtu státní podporu, která má být vyplacena dne 30. 4. 2020, také diskontovala ke dni ukončení smlouvy. Státní podpora bude přiznána v maximální výši, tj. 2 000 Kč. Diskontovanou státní podporu získáme následujícím součtem: 40
2 000 2 000 1 = 3 970, 36 Kč. 90 + 121 · 1 + 0, 01 365 1 + 0, 01 366 1 + 0, 01 335 365 Pro celkový zúročený zůstatek ke dni 31. 1. 2019 musíme ke vztahu (19) přičíst výše uvedenou státní podporu. Hodnota tohoto zůstatku je 156 050,91 Kč. Z této částky vypočítáme odečtením všech úložek úrok, který zdaníme srážkovou daní. Konečný zůstatek pak získáme odečtením daně a přičtením obou diskontovaných podpor (3 970,36 Kč). Celkový konečný zůstatek na stavebním spoření ke dni 31. 1. 2019 je ve výši 154 243,27 Kč. Celková výše připsaných úroků je 42 377,29 Kč a celková daň činí 6 356,59 Kč. Celkové náklady na poplatky za celou dobu stavebního spoření jsou ve výši 3 770 Kč. Podrobný výpočet naspořené částky u stavebního spoření je v souboru Příklady spoření na listu Stavební spoření, který je vytvořen pomocí MS Excel a najdeme ho v Příloze A na přiloženém CD. Nyní provedeme srovnání spořicích produktů uvedených v příkladech 7, 8 a 9. Jedná se o spořicí účet s měsíční úložkou 2 000 Kč, termínovaný vklad s celkovou vloženou částkou 144 000 Kč a stavební spoření se stejnou úložkou jako u spořicího účtu. Délka spoření u všech uvedených spořicích produktů je šest let. Porovnámeli tyto produkty podle konečného zůstatku dojdeme k závěru, že nejvýhodnější je stavební spoření se státní podporou s konečným zůstatkem 154 243,27 Kč. Druhý nejvýhodnější spořicí produkt je termínovaný vklad se zůstatkem 148 098,65 Kč a na spořicím účtu je nejnižší zůstatek ve výši 144 817,45 Kč.
2.7
Penzijní spoření
Penzijní spoření je způsob, jak si naspořit finanční prostředky na důchod. Jedná se o dobrovolný způsob spoření. Založit dobrovolné penzijní spoření může 41
každá osoba, která má trvalé bydliště na území České republiky a je starší osmnácti let. V rámci tohoto spoření stát nabízí státní příspěvky. Výše příspěvku je v rozmezí od 90 Kč do 230 Kč a jeho hodnota závisí na hodnotě měsíčního příspěvku. Účastník, jehož měsíční splátka přesáhne tisíc korun, může opět využít daňových úlev poskytovaných státem. Zhodnocení vložených finančních prostředků je v současnosti značně nízké a v mnoha případech nepokrývá ani inflaci. Během spoření nelze disponovat s finančními prostředky vložené na spoření. Pokud by účastník chtěl s vloženými prostředky nakládat, musí počítat se sankcemi a také přijde o poskytnuté státní příspěvky. Vklady na penzijní spoření nejsou ze zákona pojištěny. Jelikož je obtížné odhadovat míru zhodnocení vkladů účastníka, uvedu v následující podkapitole jen možnosti výplat penzí z naspořených prostředků.
2.7.1
Možnosti výplat dávek z penzijního spoření
Při dosažení stanovených podmínek bude účastníkovi z naspořených prostředků vyplácena penze. Ta může být dočasná, trvající minimálně 3 roky, nebo doživotní. V druhém případě je však nutno převést naspořené prostředky do životní pojišťovny. Naspořené prostředky lze získat též formou jednorázového vyrovnání nebo odbytného. [2] V rámci jednorázového vyrovnání účastník získá všechny státní příspěvky, bonusy i případné příspěvky od zaměstnavatele. Příspěvky od zaměstnavatele i připsané výnosy jsou zdaňovány srážkovou daní, která činí 15 % z úhrnu těchto částek. Aby účastník mohl získat naspořené prostředky formou odbytného, musí dobrovolné penzijní spoření zrušit na základě výpovědi nebo dohody a délka spoření musí být minimálně 24 kalendářních měsíců. Při výplatě odbytného účastník nemá nárok na státní příspěvky.
42
Závěr V této práci jsme se zabývali systémy finančních toků, s nimiž se v životě setká snad každý občan. Konkrétně je zde řešena problematika úvěrů a spoření. Problematika úvěrů je demonstrována na vzorových příkladech. Pomocí uvedených vzorců lze vypočítat hodnotu splátky úvěru, zda je možné úvěr splatit nebo zjistit zůstatek úvěru během doby splácení. Je zde také popsán způsob, jak sestavit umořovací plán neboli splátkový kalendář. Dále jsme se v rámci úvěrů zabývali, jakým způsobem vypočítat hodnotu RPSN a jak se změní její výše, když uvažujeme různé druhy nákladů spojené s úvěrem. Zajímalo nás, o kolik přeplatíme nemovitost, budeme-li ji financovat formou hypotečního úvěru. Zjistili jsme, že hypoteční úvěr je možné přeplatit o polovinu ceny nemovitosti. Druhá část práce je věnována spoření. V rámci spoření lze volné finanční prostředky uložit na spořicí účty, termínované vklady, stavební spoření nebo penzijní spoření. V práci je provedeno srovnání třech spořicích produktů: spořicí účet, termínovaný vklad a stavební spoření. Při délce spoření šesti let nám vyšlo, že nejvýhodnější je uložit volné finanční prostředky na stavební spoření, přestože tento produkt doznal během několika předchozích let znatelných změn a pro účastníka ne příliš pozitivních. Oproti termínovanému vkladu nebo spořicímu účtu má výhodu v tom, že je podporováno státem v podobě státní podpory. Vypracování práce na toto téma bylo pro mě velice přínosné. Dozvěděla jsem se mnoho užitečných informací, které se týkají úvěrů a spoření. Jsou to dva pohledy na finanční prostředky. Na jedné straně si lidé sjednávají úvěry z důvodu nedostatku finančních prostředků a na straně druhé jsou lidé, kteří mají volné finanční prostředky a chtějí je zhodnotit. Já osobně mám založené stavební spoření, ale v budoucnosti při stavbě domu se zřejmě neobejdu bez hypotečního úvěru. Bohužel, v současnosti narůstá počet osob zadlužených z důvodu pořizování spotřebního zboží na úvěr. 43
Literatura [1] Bohanesová, E.: Finanční matematika. 1.vyd. Olomouc: VUP, 2013. 196 s. ISBN 978-80-244-3400-1 [2] Cipra, T.: Penze - kvantitativní přístup. 1. vyd. Praha: Ekopress, 2012. ix, 409 s. ISBN 978-80-86929-87-3 [3] Radová, J., Dvořák, P., Málek, J.: Finanční matematika pro každého. 5.vyd. Praha: GRADA, 2005. 288 s. ISBN 80-247-1230-x [4] Co je to spořicí účet a jak funguje? [online], dostupné http://www.finance.cz/ucty-a-sporeni/sporici-ucty-a-vklady/abecedasporicich-uctu/co-je-to-sporici-ucet/, [citováno 7. 3. 2014]
z:
[5] eKonto Flexi [online], dostupné z: http://www.rb.cz/osobnifinance/zhodnocovani-uspor/sporici-ucty/ekonto-flexi/, [citováno 1. 4. 2014] [6] Fáze spoření [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/bydleni/stavebnisporeni/pruvodce/faze-sporeni/, [citováno 26. 2. 2014] [7] Fáze úvěru [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/bydleni/stavebnisporeni/pruvodce/faze-uveru/, [citováno 28. 2. 2014] [8] Hypoindex vývoj [online], dostupné z: http://www.hypoindex.cz/hypoindexvyvoj/, [citováno 10. 2. 2014] [9] Hypoteční úvěr [online], dostupné z: http://www.kb.cz/cs/lide/obcane/hypotecniuver.shtml, [citováno 10. 2. 2014] [10] Jednorázové vyrovnání a odbytné u doplňkového penzijního spoření [online], dostupné z: http://www.finance.cz/duchody-a-davky/penzijnipripojisteni/abeceda-penzijniho-pripojisteni/jednorazove-vyrovnani-aodbytne-doplnkove-penzijni-sporeni/, [citováno 11. 3. 2014] [11] Penzijní spoření [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/pojisteni/penzijnisporeni/pruvodce/, [citováno 11. 3. 2014] [12] Pojištění vkladu [online], dostupné z: http://www.finance.cz/ucty-asporeni/terminovane-vklady/abeceda-terminovanych-vkladu/pojistenivkladu/, [citováno 1. 4. 2014] [13] Překlenovací úvěry [online], dostupné http://www.mesec.cz/bydleni/stavebni-sporeni/pruvodce/preklenovaciuvery/, [citováno 6. 3. 2014] 44
z:
[14] Spořicí účet eMax [online], dostupné http://www.mbank.cz/osobni/sporeni/emax/, [citováno 1. 4. 2014]
z:
[15] Spořící účty [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/sporeni/sporiciucty/pruvodce/, [citováno 8. 3. 2014] [16] Stavební spoření [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/bydleni/stavebnisporeni/pruvodce/, [citováno 26. 2. 2014] [17] Státní podpora [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/bydleni/stavebnisporeni/pruvodce/statni-podpora/, [citováno 26. 2. 2014] [18] Termínované vklady [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/sporeni/terminovane-vklady/pruvodce/, [citováno 8. 3. 2014] [19] Které stavební spoření je nejlepší? [online], dostupné z: http://www.mesec.cz/clanky/ktere-stavebni-sporeni-je-nejlepsi/, [citováno 1. 4. 2014]
45
Seznam příloh A. Přiložené CD - výpočty
46
