B. Pembelajaran 2 1. Silabus
N o
STANDA R KOMPE TENSI Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah
KOMPE TENSI DASAR
INDIKATOR
MATERI
TUGAS
Mengidentif ikasi pengerti-an statistik, statistika, populasi dan sampel
Statistik dan statistika dibedakan sesuai dengan definisinya. Populasi dan sample dibedakan berdasarkan karakteristiknya.
Pengertian statistik dan statistika. Pengertian populasi dan sampel Macam-macam data
Penuga san Tes tertulis
Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram
Data disajikan dalam bentuk tabel Data disajikan dalam bentuk diagram
Tabel dan diagram Daftar distribusi frekuensi Histogram dan poligon frekuensi Model populasi
Penuga san Tes tertulis
Menentuka n ukuran pemusatan data
Mean, median dan modus dibedakan sesuai dengan pengertiannya Mean, median dan modus dihitung sesuai dengan data tunggal dan data kelompok
Mean Median Modus
Penuga san Tes tertulis
Jangkauan, simpangan ratarata, simpangan baku, jangkauan semi interkuartil, dan jangkauan persentil ditentukan dari suatu data. Nilai standar (Zscore) ditentukan dari suatu data Koefisien variasi ditentukan dari suatu data
Jangkauan Simpangan ratarata Simpangan baku Jangkauan semi interkuartil Jangkauan persentil Nilai standar (Zscore) Koefisien variasi
Menentuka n ukuran penyebara n data
BUKTI BELAJAR KON TEN
INDIKA TOR
WAK TU
SUM BER BELA JAR
2
4
4
Penuga san Tes tertulis
4
2. Tujuan
Setelah mempelajari materi pembelajaran 2 diharapkan Anda dapat: 1. Membedakan jenis diagram dan tabel 2. Menyajikan data dalam bentuk diagram dan tabel 3. Membuat daftar distribusi frekuensi 4. Membuat histogram dan poligon frekuensi 5. Membedakan model populasi
1
2. Uraian Materi
Penyajian Data dalam Bentuk Tabel/Daftar dan Grafik/Diagram Data yang dikumpulkan, baik berasal dari populasi ataupun dari sampel, untuk keperluan laporan dan atau analisis selanjutnya, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Secara garis besar data dapat disajikan dalam bentuk tabel atau daftar dan grafik atau diagram. Macam-macam daftar yang dikenal: a. daftar baris kolom b. daftar kontingensi c. daftar distribusi frekuensi Sedangkan diagram terdiri dari: a. diagram batang b. diagram garis c. diagram lambang atau diagram simbul d. diagram pastel dan diagram lingkaran e. diagram peta atau kartogram f. diagram pencar atau diagram titik Skema garis besar untuk sebuah tabel, dengan nama-nama bagiannya adalah seperti di bawah ini: Judul daftar Judul kolom
judul baris
sel sel Badan daftar
Catatan
Judul daftar, ditulis di tengah-tengah bagian teratas, dalam beberapa baris, semuanya dengan huruf besar. Secara singkat dan jelas dicantumkan meliputi: apa, macam atau klasifikasi, di mana, bila dan satuan atau unit data yang digunakan. Tiap baris hendaknya melukiskan sebuah pernyataan lengkap, dan sebaiknya jangan dilakukan pemisahan bagian kata dan / atau kalimat.
2
Judul kolom ditulis dengan singkat dan jelas, bila dalam beberapa baris. Usahakan jangan melakukan pemutusan kata. Demikian pula halnya dengan judul baris. Sel daftar adalah tempat nilai-nilai data dituliskan. Di kiri bawah daftar terdapat bagian untuk catatan-catatan yang perlu atau biasa diberikan. Dalam bagian ini juga terdapat kalimat: Sumber:................. yang menjelaskan dari mana data itu dikutip. Jika kalimat ini tidak terdapat biasanya dianggap bahwa pelapor sendiri telah mengumpulkan data itu. Daftar baris kolom merupakan daftar yang terdiri dari baris dan kolom. Sedangkan untuk data yang terdiri atas dua faktor atau dua variabel, faktor yang satu terdiri atas b kategori dan lainnya terdiri atas k kategori, dapat dibuat daftar kontingensi berukuran b x k dengan b menyatakan baris dan k menyatakan kolom. Bentuk yang sering dipakai dapat dilihat berikut ini: Tabel 1. Banyak Murid Sekolah Di Daerah A Menurut Tingkat Sekolah Dan Jenis Kelamin Tahun 1970 Tk. sekolah
SD
SLTP
SLTA
JUMLAH
Laki-laki
4758
2795
1459
9012
Perempuan
4032
2116
1256
7404
Jumlah
8790
4911
2715
16416
Jenis kelamin
Catatan : Data karangan Daftar kontingensi di atas adalah merupakan daftar kontingensi 2 x 3 karena terdiri atas 2 baris dan 3 kolom. Jika data kuantitatif dibuat menjadi beberapa kelompok, maka akan diperoleh daftar distribusi frekuensi. Sebuah contoh adalah seperti dalam Daftar dibawah ini: Tabel 2. Umur Mahasiswa Univ. X Dalam Tahun (Akhir Tahun 1970) BANYAK UMUR MAHASISWA 17-20 1.172 21-24 2.756 25-28 2976 29-32 997 33-36 205 Jumlah 8.108 Catatan : Data karangan
3
A. Diagram Batang Penyajian data dalam gambar akan lebih menjelaskan lagi persoalan
secara visual.
Untuk ini, pertama-tama akan diuraikan pokok dasar pembuatan diagram batang. Data yang variabelnya berbentuk kategori atau atribut sangat tepat disajikan dalam diagram batang. Data tahunan pun dapat pula disajikan dalam diagram ini asalkan tahunnya tidak terlalu banyak. Untuk menggambar diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama; demikian pula sumbu tegaknya. Skala pada sumbu tegak dengan skala pada sumbu datar tidak perlu sama. Kalau diagram dibuat tegak, maka sumbu datar dipakai untuk menyatakan atribut atau waktu. Nilai data digambar pada sumbu tegak Contoh bentuk diagram batang adalah sebagai berikut: Tabel 3. Banyak Murid Di Daerah A Menurut Tingkat Sekolah Dan Jenis Kelamin Tahun 2003 BANYAK MURID
TINGKAT
JUMLAH
SEKOLAH
LAKI-LAKI
PEREMPUAN
SD
875
687
1562
SMP
512
507
1019
STM
347
85
432
SMA
476
342
818
SMEA
316
427
743
JUMLAH
2526
2048
4574
Catatan: Data karangan
Kalau hanya diperhatikan jumlah murid, tanpa perincian jenis kelamin, diagramnya merupakan diagram batang tunggal, seperti dapat dilihat dalam Gambar 1.
BANYAK MURID LAKI-LAKI
DIAGRAM BATANGTUNGGAL 1000 800
SD
600
SMP STM
400
SMA
200
SMEA
0 SD
SMP
STM
SMA
SMEA
TINGKAT SEKOLAH
Gambar. 1
4
Mungkin juga diagram batang dibuat secara horizontal, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.
TINGKAT SEKOL AH
DIAGRAM BATANG SMEA SMA STM SMP SD 0
200
400
600
800
1000
BANYAK MURID LAKI-LAKI
Gambar 2
Jika jenis kelamin juga diperhatikan dan digambarkan diagramnya, maka didapat diagram batang dua komponen. Bentuk yang tegak adalah seperti berikut ini.
BANYAK MURID
DIAGRAM BATANG DUA KOMPONEN 1000 Laki-Laki 500
Perempuan
0 SD
SMP
STM
SMA
SMEA
TINGKAT SEKOLAH
Gambar 3
B. Diagram Garis Untuk menggambarkan keadaan yang serba terus atau berkesinambungan, misalnya produksi panen padi tiap tahun, jumlah penduduk tiap tahun, keadaan suhu tiap jam, dan lainnya disebut diagram garis. Seperti diagram batang, disini pun diperlukan sistem sumbu datar dan sumbu tegak yang saling tegak lurus. Sumbu datar menyatakan waktu sedangkan sumbu tegaknya melukiskan kuantum data tiap waktu. Contoh dibawah ini menyatakan hasil panen padi di kota X selama 1990-2002 yang diagramnya tertera pada gambar berikut ini:
5
Tabel 4. Produksi Padi Di Kota X (Dalam Ton)1990-2002 TAHUN JUMLAH PADI(TON) 1990 376 1991 524 1992 412 1993 310 1994 289 1995 445 1996 339 1997 501 1998 448 1999 463 2000 421 2001 398 2002 452
C. Diagram Lingkaran dan Diagram Pastel Untuk membuat diagram lingkaran, gambarkan sebuah lingkarkan, lalu dibagi-bagi menjadi beberapa sektor. Tiap sektor melukiskan kategori data yang terlebih dahulu diubah kedalam derajat. Dianjurkan titik pembagian mulai dari titik tertinggi lingkaran. Diagram lingkaran ini sering digunakan untuk melukiskan data atribut.. Contoh: Tabel 5. Kondisi Tanaman Dari 80 Sampel Tanaman KONDISI TANAMAN Sehat (A) Layu (B) Kering (C) Kena Hama/penyakit (D) Mati (E) Jumlah
JUMLAH 15 20 26 10 9 80
Terlebih dahulu tiap nilai data diubah kedalam derajat . Sehat menjadi 15/80 x 3600 = 67,5 0, layu = 20/80 x 360 0 = 900 , kering = 1170, kena penyakit/hama =45 0, mati = 40,5 0
6
DIAGRAM LINGKARAN
E 11%
A 19%
A
D 13%
B C B 25%
D E
C 32%
Gambar 4 Versi bentuk diagram lingkaran dapat pula dibuat dalam bentuk diagram pastel yaitu DIAGRAM PASTEL
E 11%
D 13%
A 19%
A B C B 25%
C 32%
D E
Gambar 5
D. Diagram Lambang Sering dipakai untuk mendapatkan gambaran kasar sesuatu hal dan sebagai alat visual bagi orang awam. Sangat menarik dilihat, lebih-lebih jika simbol yang digunakan cukup baik dan menarik. Setiap satuan jumlah tertentu dibuat sebuah simbol sesuai dengan macam datanya. Misalnya untuk data mengenai jiwa, penduduk dan pegawai dibuat gambar orang, satu gambar untuk tiap 5000 jiwa; untuk data bangunan, gedung sekolah dan lain-lain dibuat gambar gedung, satu gedung menyatakan 25 buah, dan masih banyak contoh lain lagi. Kesulitan yang dihadapi ialah ketika menggambarkan bagian simbol untuk satuan yang tidak penuh.
E. Diagram Peta Diagram ini dinamakan juga kartogram. Dalam pembuatannya digunakan peta geografis tempat data terjadi. Dengan demikian diagram ini melukiskan keadaan dihubungkan dengan tempat kejadiannya. Salah satu contoh yang sudah terkenal ialah jika kita
7
membuka buku peta bumi. Di situ antara lain terdapat peta daerah atau pulau dengan mencantumkan pula gambar-gambar pohon kelapa, jagung, kuda, sapi dan lain-lain.
F. Diagram Pencar Untuk kumpulan data yang terdiri atas dua variabel, dengan nilai kuantitatif, diagramnya dapat dibuat dalam sistem sumbu koordinat dan gambarnya akan merupakan kumpulan titik-titik yang terpencar. Karenanya, diagram demikian dinamakan diagram pencar.
DIAGRAM PENCAR
VARIABEL Y
100 80 60 40 20 0 0
10
20
30
40
50
VARIABEL X
Gambar 6
DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI DAN GRAFIKNYA Sebelum dipelajari bagaimana cara membuat daftar ini, akan dijelaskan dulu tentang istilah-istilah yang dipakai. Dalam daftar distribusi frekuensi, banyak objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk a - b , yang disebut kelas interval. Kedalam kelas interval a – b dimasukan semua data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Tabel 6. Nilai Ujian Statistika Untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 Jumlah
Banyak Mahasiswa (f) 2 3 5 14 24 20 12 80
Ukuran kelas interval disusun mulai data terkecil terus ke bawah sampai nilai data terbesar. Berturut-turut, mulai dari atas, diberi nama kelas interval pertama, kelas interval kedua, …, kelas interval terakhir. Ini semua ada dalam kolom kiri. Kolom kanan berisikan bilangan-bilangan yang menyatakan berapa buah data terdapat dalam tiap kelas
8
interval. Jadi kolom ini berisikan frekuensi, disingkat dengan f. Misalnya, f=2 untuk interval kelas pertama, atau ada 2 orang mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling rendah 31 dan paling tinggi 40. Bilangan-bilangan di sebelah kiri interval disebut ujung bawah dan bilangan-bilangan di sebelah kanannya disebut ujung atas. Ujung-ujung bawah kelas interval pertama, kedua, …, terakhir ialah 31, 41, …, 91 sedangkan ujung-ujung atasnya berturut-turut 40, 50, …, 100. Selisih positif antara tiap dua ujung bawah berurutan disebut panjang kelas interval. Dalam Daftar …, panjang kelasnya, disingkat dengan p, adalah 10, jadi p = 10 dan semuanya sama. Dikatakan bahwa daftar itu mempunyai panjang kelas yang sama. Selain dari ujung kelas interval ada lagi yang biasa disebut batas kelas interval. Ini tergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat hingga satuan, maka batas bawah kelas sama dengan ujung bawah dikurangi 0,5. Batas atasnya didapat dari ujung atas ditambah dengan 0,5. Untuk data dicatat hingga satu desimal, batas bawah sama dengan ujung bawah dikurangi 0,05 dan batas atas sama dengan ujung atas ditambah 0,05 dan begitu seterusnya. Untuk perhitungan nanti, dari tiap kelas interval biasa diambil sebuah nilai sebagai wakil kelas itu. Yang digunakan di sini ialah tanda kelas interval yang didapat dengan menggunakan aturan: tanda kelas = ½ (ujung bawah + ujung atas)
a. Membuat Daftar Distribusi Frekuensi Dari data tinggi tanaman berikut ini akan dibuat daftar distribusi frekuensi yaitu: 79
49
48
74
81
98
87
80
80
84
90
70
91
93
82
78
70
71
92
38
56
81
74
73
68
72
85
51
65
93
83
86
90
35
83
73
74
43
86
88
92
93
76
71
90
72
67
75
80
91
61
72
97
91
88
81
70
74
99
95
80
59
71
77
63
60
83
82
60
67
89
63
76
63
88
70
66
88
79
75
Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, dilakukan sebagai berikut:
9
a. Tentukan rentang ialah data terbesar dikurangi data terkecil. Dalam hal ini, karena data terbesar 99 dan data terkecil 35 maka rentang = 99 – 35 = 64. b. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Banyak kelas sering biasa diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas, dipilih menurut keperluan. Cara lain cukup bagus untuk n berukuran besar n 200 misalnya, dapat menggunakan aturan Sturges, yaitu: banyak kelas = 1 + (3,3) log n dengan n menyatakan banyak data dan hasil akhir dijadikan bilangan bulat. Untuk contoh dengan n = 80, maka dengan aturan Sturges diperoleh: banyak kelas = 1 + (3,3) log 80 = 1 + (3,3) (1,9031) = 7,2802] Sehingga daftar distribusi frekuensi dibuat dengan banyak kelas 7 atau 8. c. Tentukan panjang kelas interval p, dengan p = rentang Banyak kelas Harga p diambil sesuai dengan ketelitian satuan data yang digunakan. Jika data berbentuk satuan, ambil harga p teliti sampai satuan. Untuk data hingga satu desimal, p
ini juga diambil hingga satu desimal, dan begitu seterusnya.
Untuk contoh, jika banyak kelas 7 maka panjang kelas p = 64/7=9,14 sehingga p = 9 atau p = 10. d. Pilih ujung bawah kelas interval pertama. Untuk ini bisa diambil sama dengan data terkecil atau nilai data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan. e. Dengan p = 10 dan memulai dengan data yang lebih kecil dari data terkecil, diambil 31, maka kelas pertama berbentuk 31 – 40, kelas kedua 41 – 50, kelas ketiga 51 – 60 dan seterusnya. Sebelum daftar sebenarnya dituliskan, ada baiknya dibuat daftar penolong yang berisikan kolom tabulasi. Dengan mengambil banyak kelas 7, panjang kelas 10 dan dimulai dengan ujung bawah kelas pertama sama dengan 31 diperoleh daftar penolong seperti dibawah ini: Tinggi tanaman 31 - 40 41 - 50 51 - 60 61 – 70 71 - 80 81 – 90 91 – 100
Tabulasi // /// //// //// //// //// ////
//// //// //// //// //// //// //// //// //// //// //
Frekuensi 2 3 5 14 24 20 12
10
b. Distribusi Frekuensi Relatif Dan Kumulatif Dalam daftar di atas, frekuensi dinyatakan dengan banyak data yang terdapatdalam tiap kelas; jadi dalam bentuk absolut. Jika frekuensi dinyatakan dalam persen, maka diperoleh daftar distribusi frekuensi relatif. Frekuensi relatif, disingkat f rel atau f(%), untuk kelas pertama didapat dari 2/80 x 100% = 2,5% dan yang lainnya dihitung dengan cara yang sama. Tabel 7. Daftar Distribusi Frekuensi Relatif Tinggi tanaman 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 Jumlah
f(%) 2,50 3,75 6,25 17,50 30,00 25,00 15,00 100,00
Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat dibentuk dari daftar distribusi frekuensi biasa, dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Dikenal dua macam distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih. Tentu saja untuk kedua hal ini terdapat pula frekuensi-frekuensi absolut dan relatif. Untuk distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih masing-masing dapat dilihat dalam daftar di bawah ini. Tabel 8. Daftar Kumulatif Kurang Dari Tinggi Tanaman Kurang dari 31 Kurang dari 41 Kurang dari 51 Kurang dari 61 Kurang dari 71 Kurang dari 81 Kurang dari 91 Kurang dari 101
fkum 0 2 5 10 24 48 68 80
Tabel 9. Daftar Kumulatif Atau Lebih Tinggi Tanaman 31 atau lebih 41 atau lebih 51 atau lebih 61 atau lebih 71 atau lebih 81 atau lebih 91 atau lebih
fkum 80 78 75 70 56 32 12
11
101 atau lebih
0
c. Histogram Dan Poligon Frekuensi Untuk menyajikan data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi menjadi diagram, seperti biasa dipakai sumbu mendatar untuk menyatakan kelas interval, dan sumbu tegak untuk menyatakan frekuensi baik absolut maupun relatif. Pada sumbu datar dituliskan batas-batas kelas interval. Bentuk diagramnya seperti diagram batang hanya di sini sisi-sisi batang berdekatan harus berimpitan. Diagram di bawah ini disebut histogram. Jika tengah-tengah tiap sisi atas yang berdekatan dihubungkan dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk yang didapat dinamakan poligon frekuensi. f 25 20
poligon frekuensi
15 10 5 0
nilai
30,5
40,5
50,5
60,5
70,5
80,5
90,5
100,5
d. Model Populasi Poligon frekuensi yang merupakan garis patah-patah dapat didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok mungkin dengan bentuk poligon tersebut. Lengkungan yang didapat dinamakan kurva frekuensi. Jika semua data dalam populasi dapat dikumpulkan lalu dibuat daftar distribusi frekuensinya dan akhirnya digambarkan kurva frekuensinya, maka kurva ini dapat menjelaskan sifat-sifat karakteristik populasi. Kurva ini merupakan model populasi yang akan ikut menjelaskan ciri-ciri populasi. Dalam praktek, model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang diperoleh dari sampel reprenentatif yang diambil dari popolasi. Untuk keperluan teori dan metode yang lebih lanjut, metode populasi ini dituangkan dalam bentuk persamaan matematik. Beberapa diantaranya akan dibahas kemudian. Pada saat sekarang hanya akan diberikan bentuk kurva untuk model populasi yang sering dikenal. Diantaranya model normal, simetrik, positif atau miring ke kiri, negatif atau miring ke kanan, bentuk J dan U.
12
f
f
(A) Normal
(B) Simetrik
1. Model normal, yang sebenarnya akan lebih tepat digambarkan berdasarkan persamaan matematiknya. Bentuk model normal selalu simetrik dan mempunyai sebuah puncak. Kurva dengan sebuah puncak disebut unimodal 2. Model simetrik, di sini juga unimodal. Perhatikan bahwa model normal selalu simetrik tetapi tidak sebaliknya. f
f
(C) Positif
(D) Negatif
Model positif menggambarkan bahwa terdapat sedikit gejala yang bernilai makin besar. Sedangkan model negatif terjadi sebaliknya. Soal ujian yang terlalu mudah sehingga banyak peserta yang mendapat nilai baik menggambarkan model negatif. f
f
(E) Bentuk J
(F) Bentuk J terbalik
13
Kedua gambar di atas memperlihatkan fenomena yang modelnya berbentuk J. Ini terdapat dalam dunia ekonomi, industri dan fisika.
(G) Bentuk U Model bentuk U menggambarkan mula-mula terdapat gejala bernilai kecil, kemudian menurun sementara gejala bernilai besar dan akhirnya menaik lagi untuk nilai gejala yang makin besar. Model dengan lebih dari sebuah puncak disebut multimodal. Kalau hanya ada dua puncak disebut bimodal.
14
4. Tugas
1. Apakah kelemahan diagram dibandingkan dengan tabel atau daftarnya? Dan sebaliknya bagaimana? 2. Menurut Statistika PBB tahun 1968 sepuluh negara terbanyak penduduknya dalam juta adalah sebagai berikut: Nama Negara
Banyaknya Penduduk
Amerika Serikat
201,2
Brasil
88,2
RRC
730,0
India
523,5
Pakistan
109,5
Jepang
101,1
Indonesia
112,8
Jerman Barat
60,2
Nigeria
62,7
Rusia
237,8
a). Buatlah diagram batang dan diagram lambangnya b). Apakah kekurangbaikannya data di atas bila digambar diagram garis dan lingkarannya? 3. Diketahui sekumpulan bilangan yang merupakan nilai ujian Matematika 20 siswa sebagai berikut: 85, 75, 60, 80, 75, 75, 60, 70, 55, 60, 50, 60, 90, 60, 65, 70, 80, 80, 85, 75. i. Buatlah daftar distribusi frekuensinya! ii. Buatlah daftar distribusi relatif dan kumulatifnya iii. Buatlah histogram dan poligon frekuensi
15
1. Evidence of Learning dan Indikatornya
No Soal 1
Evidence of Learning Jawaban soal
2
Diagram dan tabel
3
Daftar distribusi frekuensi
Indikator - dapat menyebutkan minimal 2 kelemahan diagram dibandingkan tabel dan sebaliknya - diagram batang dan diagram lambang - minimal 3 macam daftar distribusi frekuensi dan histogram beserta poligon frekuensinya
16
