MATERI KULIAH STATISTIKA
III. TEORI PROBABILITAS 1.
Operasi himpunan a. Gabungan atau union b. Interseksi atau irisan
Contoh soal 1 : Dalam sebuah eksperimen pelemparan 1 buah dadu, terdapat kejadian : A : {Angka yang muncul genap} B : {Angka yang muncul kurang dari sama dengan 3} Deskripsikan : a. A ∪ B dari eksperimen tersebut ! b. A∩ B dari eksperimen tersebut ! c. HitunglahP [A ∪ B] dan P[ A∩ B] Jawab : S= {1,2,3,4,5,6} A={2,4,6} B={1,2,3} Maka : a. A ∪ B = {1,2,3,4,6} b. A∩ B = {2} c. P [A ∪ B]=5/6 = 0,83 P[ A∩ B] =1/6 = 0,17 2.
Komplemen : AC atau A’
Contoh soal 2: Pada suatu eksperimen pelemparan 2 buah koin yang seimbang terjadi peristiwa : A : {Permukaan gambar muncul minimal 1 kali} Hitunglah probablilitas P(A) dengan rumus komplemen P(A) + P (AC) = 1 Jawab : S={(G,A), (G,G), (A,G), (A,A)} A : {Permukaan gambar muncul minimal 1 kali}, jadi Ac = {Permukaan yang muncul angka semua) AC= {(A,A)} Maka : P(A) = 1- P(AC) = 1- ¼ = ¾=0,75. 3.
Probabilitas bersyarat
Contoh soal 3: Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk teh berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian : I : {Produk lolos inspeksi} B : {Produk sesuai dengan standar konsumen} Sehingga :
I ∩ B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan. I ∩ BC : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Jika diketahui berdasarkan pengalaman : I ∩ B = 0,80 I ∩ BC= 0,02 IC ∩ B= 0,15 IC ∩ BC= 0,03 Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen. Jawab : Ditanyakan :
P( B / I ) =
P( I ∩ B) P( I )
I : {Produk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu : I ∩ B = Produk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen I ∩ BC= Produk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen Jadi I = (I ∩ B) ∪ (I ∩ BC) P(I) = P (I ∩ B) ∪ P (I ∩ BC) = 0,80 + 0,02 = 0,82 Sehingga :
P( B / I ) = 4.
P( I ∩ B) 0,80 = = 0,976 P( I ) 0,82
Aturan Perkalian
Contoh soal 4 : Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah banyak hasil yang berbeda yang mungkin ? Jawab : Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu - bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2 , n1=2 - bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2 , n2=2 maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah n1 Xn2 = 2 X 2 = 4 5.
Aturan Permutasi Ciri kejadian permutasi adalah bahwa urutan atau susunan harus dipertimbangkan atau penting.
Contoh soal 5 a: Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket tersebut mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya terdiri dari 3 rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula didalam rak bertingkat sangat penting untuk diperhatikan ada berapakah cara untuk menata 3 jenis susu formula dari 5 jenis yang ada secara bergantian ?
Jawab : Urutan penting Kejadian permutasi Dicari dulu nilai (n-k+1)=(5-3+1)=3 5P3= 5 X 4 X3 = 60 cara. Contoh soal 5 b: Dalam sebuah pabrik terdapat 5 unit proses yang membtuhkan uap panas, jika akan dirancang jalur perpipaan yang melalui kelima unit proses tersebut ada berapa alternatif yang harus dievaluasi oleh teknisi untuk memperoleh jarak terpendek ? Jawab : Urutan penting Permutasi , Ada 5 unit proses dan semua harus terhubung Permutasi dari 5 diambil 5 5P5=
5! = 5X4X3X2X1= 120 alternatif
6. Aturan Kombinasi Ciri kejadian kombinasi : urutan tidak penting Contoh soal 6: Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan 3 orang teknisi untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi yang terpilih ? Jawab : Urutan tidak penting Kombinasi Kombinasi 3 dari 10 teknisi
10 10! 10 X 9 X 8 X 7! = = = 120 cara 3 3!(10 − 3)! 3 X 2 X 1X 7! 7.
Aturan Partisi
Contoh soal 7 : Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut akan membagi mejadi 3 kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I membutuhkan 3 orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang analis, dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam permasalahan ini ada berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk membagi tugas tersebut ? Jawab : Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n1=3, n2=4, dan n3=5 sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah :
N! 12! = = 27.720 alternatif n1! Xn2 ! Xn3 ! 3! X 4! X 5!
IV. Distribusi probabilitas diskrit 1.
Binomial
Contoh soal 1: Hasil pengujian proses pelabelan saus dalam suatu lini produksi menunjukkan bahwa 20% pelabelan gagal. Jika dalam suatu inspeksi diambil 4 buah sampel secara acak, berapakah probabilitas 3 sampe dari 4 sampel yang terambil gagal pelabelannya? Jawab : Kejadian bernoulli yang diulang, karena P(Sukses) sama yaitu 20%. Ada 2 alternatif hasil : sukses : Jika tidak berlabel, dan gagal : Jika berlabel Kejadian binomial Diketahui n=4 , X=3, p=0,20 Sehingga :
4 4! (0,2) 3 (0,8) = 0,025 P( X = 3) = (0,2) 3 (1 − 0,2) 4−3 = 3! X (4 − 3)! 3
Atau dengan tabel distribusi binomial (Tabel 1) pada p=0,2 Untuk n=4, x=3 maka (P(X≤3)= 0,998 dan untuk x=2 maka P(X≤2)= 0,973 Sehingga : P(x=3)= P(X≤3) – P(X≤2)= 0,998-0,973 = 0,025 2.
Hipergeometrik
Contoh soal 2: Sebuah kotak berisi 20 apel dan terdapat 4 buah apel yang sudah rusak. Jika seorang pembeli mengambil apel secara acak 5 buah, hitunglah probabilitas dari 5 buah apel yang terambil terdapat : a. 2 buah yang rusak b. Lebih dari 2 buah yang rusak Jawab : Ada N = 20 buah apel dan 5 buah didefinikan/diketahui sebagai rusak Hipergeometrik Diketahui : N= 20, a=4, n= 5 sehingga : a. P(X=2)
4 20 − 4 4! 16! 2 5 − 2 2!(4 − 2)1 3!(16 − 3)! P( x = 2) = = = 0,217 20! 20 5!(20 − 5)! 5 b. P(X>2) =P(x=3) + P(X=4) 3. Poisson Ciri distribusi poisson adalah ada satuan tertentu, waktu, volume, luas, konsentrasi dan lain-lain. Contoh soal 3 : Diketahui rata-rata cracker yang pecah adalah 2,5 buah per bungkus. Hitunglah :
a. Probabilitas dalam pengambilan sampel secara acak terdapat tepat 5 buah cracker yang pecah dalam satu bungkus? b. Probabilitas terdapat 2 atau lebih cracker yang pecah dalam suatu bungkus yang diambil secara acak ? Jawab : Ada satuan tertentu ada rata-rata Poisson Diketahui : µ=λ=2,5 maka : a.
P ( x = 5) =
(2,5) 5 e −2,5 (2,5) 5 (2,71825) −2,5 = = 0,067 5! 5X 4 X 3X 2 X1
b. P(x≥ 2)= P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4) + …. = 1 – [P(X=1) +P(X=0)]= 1-0,287 = 0,713 Atau pakai Tabel II. Distribusi Poiison. P(x≥ 2)= P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4) + …. = 1 – [P(X=1) +P(X=0)]=1-P(X≤1) =1 - 0,287 = 0,713 4. Pendekatan Poisson untuk binomial Untuk masalah kejadian binomial dengan p sangat kecil dan n besar maka dapat diselesaikan dengan pendekatan poisson. Contoh soal 4: Hasil pengamatan menunjukkan bahwa persentase kegagalan pelabelan adalah 0,05. Jika setiap shift kerja (8 jam) diambil sampel sebanyak 40 buah, berapakah : a. Probabilitas terdapat 1 buah sampel yang gagal pelabelannya ? b. Probabilitas terdapat 3 atau lebih sampel tanpa label ? Jawab : Sebenarnya adalah kejadian binomial yaitu kejadian bernoulli yang diulang 40 kali dengan p=0,05, namun karena n besar maka dikerjakan dengan poisson : Diketahui : µ=λ= nXp= 40X 0,05 = 2. Sehingga : a.
(2)1 e −2 P ( x = 1) = = 0,2787 1!
jika pakai Tabel II maka : P(X=1) = P(X≤1)- P(≤0) = 0,406 – 0,135 = 0,271 b. P(X≥3) = 1- P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0,3233 Jika dengan Tabel II : P(X≥3) = 1- P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 1- P(X≤2) = 1 – 0,677 = 0,323
