Materi Kuliah: Statistik Inferensial

Materi Kuliah: Statistik Inferensial

TEORI PENDUGAAN STATISTIK

Prof. Dr. Almasdi Syahza, Syahza, SE., MP Email: [email protected]

1

OUTLINE Bagian I Statistik Induktif Metode dan Distribusi Sampling

Teori Pendugaan Statistik Pengujian Hipotesa Sampel Besar

Pengujian Hipotesa Sampel Kecil

Pengertian Teori dan Kegunaan Pendugaan Pendugaan Titik Parameter Pendugaan Interval Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel Menyusun Interval Keyakinan

Analisis Regresi dan Korelasi Linier Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi Analisis Regresi dan Korelasi Berganda

Konsep Dasar Persamaan Simultan

Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan Proporsi Memilih Ukuran Sampel 2

OUTLINE Bagian I Statistik Induktif Metode dan Distribusi Sampling Teori Pendugaan Statistik Pengujian Hipotesa Sampel Besar



Analisis Regresi dan Korelasi Linier Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi Analisis Regresi dan Korelasi Berganda Konsep Dasar Persamaan Simultan


1


PENDUGA TUNGGAL SEBAGAI FUNGSI UNSUR POPULASI 2

n ∑ X i − (∑ X i ) 2

S2 = atau S = f( X1, X2, …, X n) di mana:

X

n( n − 1)

Standar deviasi s2 = 1 ∑ (Xi - X) 2 n-1 s2 = 1 {(X1 - X ) 2 + (X2 - Xx) 2 + … + (Xn - X ) 2}

= 1 ∑Xi n X = 1 (X1 + X2 + … + X n) n

X

n-1

f( X2) f( X3)

f(X1)

X

4

SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Tidak Bias Penduga titik dikatakan tidak bias (unbiased estimator) jika di dalam sampel random yang berasal dari populasi, rata-rata atau nilai harapan (expexted Xvalue, ) dari statistik sampel sama dengan parameter populasi (µ µ) atau dapat X dilambangkan dengan E( ) = µ.

X E( ) =µ µ

X E( ) ≠ µ

Gambar A Penduga Bersifat Tidak Bias

Gambar B Penduga Bersifat Bias

5

SIFAT-SIFAT PENDUGA Penduga Efisien Penduga yang efisien (efficient estimator) adalah penduga yang tidak bias dan mempunyai varians terkecil (sx2) dari penduga-penduga lainnya.

sx12 sx12 < sx22 sx22

6

2


DEFINISI Penduga Konsisten Penduga yang konsisten (consistent estimator) adalah nilai dugaan X ( ) yang semakin mendekati nilai yang sebenarnya µ dengan semakin bertambahnya jumlah sampel (n). n tak terhingga n sangat besar

n besar n kecil

7


Teori Pendugaan Statistik Pengujian Hipotesa Sampel Besar






DEFINISI

Pendugaan interval: Pendugaan interval adalah menyatakan jarak di dalam mana suatu parameter populasi mungkin berada.

9

3


RUMUS INTERVAL PENDUGAAN

(s – Zsx < P < s + Zsx ) = C Di mana: S P sx Z

C s – Zsx s + Zsx

: Statistik yang merupakan penduga parameter populasi (P) : Parameter populasi yang tidak diketahui : Standar deviasi distribusi sampel statistik : Suatu nilai yang ditentukan oleh probabilitas yang berhubungan dengan pendugaan interval, nilai Z diperoleh dari tabel luas di bawah kurva normal : Probabilitas atau tingkat keyakinan yang dalam praktek sudah ditentukan dahulu. : Nilai batas bawah keyakinan : Nilai batas atas keyakinan

10

CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM

0,50

0,50

X X

X

X X Z =-2,58

Z=-1,96

X

X X

95%

X X

X X X X

99%

X X

X

X X X X

0=µ

Z=1,96

Z =2,58

Pada gambar terlihat untuk interval keyakinan 95% terhubungkan dengan nilai Z antara –1,96 sampai 1,96. Ini dapat diartikan juga bahwa 95% dari rata-rata hitung sampel akan terletak di dalam ± 1,96 kali standar deviasinya. Sedangkan X untuk keyakinan 99%, maka rata-rata hitungnya juga akan terletak di dalam ± 2,58 kali standar deviasinya. Interval keyakinan juga dapat dituliskan untuk C= 0,95 adalah µ ± 1,96σ σx dan untuk C=0,99 adalah µ ± 2,58sx. 11

CONTOH MENENTUKAN JUMLAH SAMPEL SETIAP STRATUM

0,50

0,025 (0,50/2 ) Z= -1,96

0,50

0,4750 (0,95/2 )

0,4750 (0,95/2 )

0,025 (0,50/2 ) Z= 1,96

Luas kurva adalah 1, dan simetris yaitu sisi kanan dan kiri luasnya sama yaitu 0,5. Nilai C= 0,95 apabila dibagi menjadi dua bagian simetris maka menjadi 0,4750 yang diperoleh dari 0,95/2. Apabila digunakan tabel luas di bawah kurva normal untuk probabilitas 0,4750 maka akan diperoleh nilai Z sebesar 1,96. Begitu juga untuk C= 0,99, maka probabilitasnya adalah 0,99/2 = 0,4950, nilai probabilitas ini terhubung dengan nilai Z= 2,58. Setelah menemukan nilai Z dan standar deviasinya, maka dapat dibuat interval keyakinan dengan mudah misalnya untuk C= 0,95 adalah P( – 1,96sx < m < + 1,96sx) = 0,95 sedang untuk C= 0,99 adalah P( X – 2,58sx < µ < X + 2,58sx) = 0,99.

12

4


5


OUTLINE Bagian I Statistik Induktif Pengertian Teori dan Kegunaan Pendugaan

Metode dan Distribusi Sampling Teori Pendugaan Statistik

Pendugaan Titik Parameter Pendugaan Interval

Pengujian Hipotesa Sampel Besar

Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel


Menyusun Interval Keyakinan Analisis Regresi dan Korelasi Linier Interval Keyakinan Rata-rata dan Proporsi Analisis Regresi dan Korelasi Berganda

Interval Keyakinan Selisih Rata-rata dan Proporsi


Memilih Ukuran Sampel 16

CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan untuk rata-rata hitung dirumuskan X±

Z α/2s/√ √n

Untuk populasi yang terbatas, faktor koreksi menjadi √ (N-n)/N-1. Nilai

X

merupakan rata-rata dari sampel, sedangkan nilai Z untuk beberapa nilai C Tingkat Keyakinan 0,99 0,98 0,95 0,9 0,85 0,8

C/2 Nilai Terdekat Nilai Z 0,495 0,4951 2,58 0,49 0,4901 2,33 0,475 0,475 1,96 0,45 0,4505 1,65 0,425 0,4251 1,44 0,4 0,3997 1,28

17

CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Berdasarkan pada nilai Z dan diasumsikan bahwa n>30 maka dapat disusun interval beberapa keyakinan sebagai berikut:

1. Interval keyakinan 99%: X 2. Interval keyakinan 98%: X 3. Interval keyakinan 95%: X 4. Interval keyakinan 90%: X 5. Interval keyakinan 85%: X 6. Interval keyakinan 95%: X

± ± ± ± ± ±

2,58 s/√n 2,33 s/√n 1,96 s/√n 1,65 s/√n 1,44 s/√n 1,28 s/√n

18

6


CONTOH INTERVAL KEYAKINAN RATA-RATA HITUNG Interval keyakinan tersebut dapat juga digambarkan sebagai berikut:

Batas bawah

Batas atas 1-α

α /2

α /2

-Zα α /2

µ

Zα α /2

Nilai parameter yang sebenarnya diharapkan adan terdapat pada interval 1 - α dengan batas bawah -Zα /2 dan batas atas Zα /2.

19


Teori Pendugaan Statistik

Pengertian Teori dan Kegunaan Pendugaan Pendugaan Titik Parameter Pendugaan Interval

Pengujian Hipotesa Sampel Besar


Kesalahan Standar dari Rata-rata Hitung Sampel Menyusun Interval Keyakinan




SKEMA PROSES INTERVAL KEYAKINAN

Populasi Tidak Terbatas X

Mulai Identifikasi masalah

Menentukan sampel (n) dan nilai rata-rata X

± Zα/2 s/√n

Menentukan Keyakinan(C atau α= (1 – C) dan Nilai Z

Populasi Terbatas Zα/2 s/√(N - n)/N-1

X±

21

7


DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI DIKETAHUI Probabilitas ( X – Zα/2 σx < µ < ( X ± Zα/2 s/√ √(N – n)/N – 1n sx ) = C atau Probabilitas ( X ± Zα/2 sx ) = C

Di mana: : Rata-rata dari sampel Zα/2 : Nilai Z dari tingkat kepercayaan α µ : Rata-rata populasi yang diduga σx : Standar error / kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel C : Tingkat keyakinan α = (1 – C)

X

22

DISTRIBUSI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI

Standar error untuk populasi tidak terbatas S S = n Standar error untuk populasi yang terbatas dan n/N > 0,05: x

S = x

S n

N −n N −1 Distribusi normal standar Distribusi t dengan n=25 Distribusi t dengan n=15 Distribusi t dengan n=5

23

DISTRIBUSI SAMPLING MENDEKATI NORMAL DAN STANDAR DEVIASI POPULASI TIDAK DIKETAHUI ( X– tα/2 sx< µ < ( X + tα/2 sx ) Di mana: X

: Rata-rata dari sampel Nilai t dari tingkat kepercayaan α : Rata-rata populasi yang diduga : Standar error/kesalahan standar dari rata-rata hitung sampel : Tingkat keyakinan :1–C

tα/2:

µ sx C α

24

8







CONTOH MENGHITUNG RETURN ON ASSET Untuk populasi yang tidak terbatas Sp

p(1 − p ) n − 1

=

N − n N − 1

Untuk populasi yang terbatas

Sp =

p( 1 − p ) n−1

Bentuk pendugaan proporsi populasi dirumuskan sebagai berikut: Probabilitas (p - Zα/2.Sp





9


INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH RATARATA-RATA Probabilitas (( X1- X2) - Zα/2. σx1-x2) <( X1- X)2 < ( X1-

X2

) + Zα/2. σx1-x2)

Di mana standar error dari nilai selisih rata-rata adalah:

σ x1 2

σ x 1 − x 2= =

n1

+

σ x2 2 n2

Apabila standar deviasi dari populasi tidak ada, maka dapat diduga dengan standar deviasi sampel yaitu: Di mana:

sx 1 2

s x 1 − x 2= =

n1

+

sx 2 2 n2

σx1-x2 : Standar deviasi selisih rata-rata populasi sx1-x2 : Standar error selisih rata-rata sx1, sx1: Standar deviasi sampel dari dua populasi n1, n2: Jumlah sampel setiap populasi 28

INTERVAL KEYAKINAN UNTUK SELISIH PROPORSI Probabilitas Probabilitas ((p1-p2) - Zα/2. sp1-p2) <(P1-P2) < (p1-p2) + Zα/2. sp1-p2) Di mana standar error dari nilai selisih proporsi adalah:

s p1 − p 2 = =

p 1 ( 1 − p1 ) p2 ( 1 − p2 ) + n1 − 1 n2 − 1

p1, p2 : Proporsi sampel dari dua populasi Sp1, sp1: Standar error selisih proporsi dari dua populasi n1, n2 : Jumlah sampel setiap populasi

29






10


FAKTOR UKURAN SAMPEL

Faktor yang mempengaruhi jumlah sampel 1. Tingkat keyakinan yang dipilih. 2. Kesalahan maksimum yang diperbolehkan. 3. Variasi dari populasi.

31

RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA POPULASI Rumus jumlah sampel dalam populasi dirumuskan sebagai berikut:

n = [(Zα/2.σ)/ε]2 Rumus tersebut diturunkan dari interval keyakinan sebagaimana diuraikan sebagai berikut: P (–Zα/2 < Z < Zα/2 ) = C = 1 – α (–Zα/2 < (X – µ)/(σ σ/√ √n) < Zα/2) (–Zα/2 (σ σ/√ √n) < ( X – µ) < Zα/2(σ σ/√ √n)) (x – µ) < Zα/2(σ σ/√ √n); ingat bahwa error ε = X – µ ε < Zα/2(σ σ/√ √n); ε2 = (Zα/2)2(σ σ2/n); n = [(Zα/2.σ σ)/εε]2 32

RUMUS JUMLAH SAMPEL UNTUK MENDUGA RATA-RATA PROPORSI POPULASI Untuk mendapatkan rumus jumlah sampel dalam pendugaan proporsi populasi dapat diturunkan sebagai berikut: P (–Zα/2 < Z < Zα/2 ) = C = 1 – α (–Zα/2 < (p1 – p2)/(σ σ/√ √n)
ε2 (Zα/2.)2 p(1 – p) + 1 ε2 33

11


TERIMA KASIH

34

12

Materi Kuliah: Statistik Inferensial

Recommend Documents