MATA KULIAH STATISTIKA TERAPAN BOBOT SEMESTER PREREQUISIT DOSEN
: 3 (3 – 0 ) sks : GANJIL ( III ) :MATEMATIKA : IR. TAMSIL BUSTAMAM, MSc.
Mata kuliah Statistika Terapan ini dirancang untuk mahasiswa Program S1, untuk memberikan pengertian dasar dari statistika deskriptif dan statistika infrensia. Kuliah dilaksanakan selama satu semester dengan 14 kali kegiatan tatap muka dan setiap tatap muka berdurasi 3 x 50 menit. Disamping tatap muka, mahasiswa juga diberi tugas berupa latihan pemecahan soal-soal dan pekerjaan rumah yang dinilai. TUJUAN :
1. Menguraikan hal-hal pokok tentang statistika deskriptif sehingga mahasiswa memahami dan mampu melakukan pengumpulan, pengolahan, penyajian data serta mengungkapkan karakteristik suatu set data.
2. Menguraikan prinsip-prinsip dasar dari statistika infrensia sehingga mahasiswa memahami dan mampu merancang dan menarik kesimpulan tentang suatu populasi berdasarkan nilai statistik sampel dengan menggunakan Uji z, t, Chi Kuadrat dan Uji F.
TOPIK- TOPIK PERKULIAHAN UNTUK 16 KALI TATAP MUKA MINGGU TOPIK KULIAH KE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Pengertian dasar tentang statistika deskriptif dan statistika infrensia. Teknik pengumpulan data Teknik penyederhanaan data Pengukuran tendensi sentral Pengukuran dispersi Skewness, Kurtosis, dan penyajian data. Distribusi Binomial Distribusi Normal dan distribusi normal standar Ujian Tengah Semester (UTS) Distribusi nilai tengah sampel Distribusi t Student dan Selang Kepercayaan. Pengujian Hipotesis Pembandingan dua nilai tengah populasi Distribusi Chi Kuadrat. Distribusi Gauss atau F Regresi dan korelasi Regresi dan korelasi (lanjutan) Ujian akhir Semester (UAS)
EVALUASI : Evaluasi berupa pelaksanaan UTS, UAS, Kuis dan Tugas. Komponen Nilai Akhir adalah 45 - 50 % nilai UAS, 25 - 30 % nilai UTS, dan 20 - 30 % nilai Kuis dan Tugas. Mahasiswa yang kehadiran tatap mukanya kurang dari 75 % tidak boleh mengikuti UAS dan yang bersangkutan dinyatakan GAGAL atau nilainya E.
REFERENSI : 1. Anto Dayan, 1996. Pengantar Metode Statistik Jilid I. LP3ES, Jakarta. 2. Anto Dayan, 1996. Pengantar Metode Statistik Jilid II. LP3ES, Jakarta. 3. Berenson, M.L., D.M. Levin, and D. Rindskopf. 1988. Applied Statistics. A first Course. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Yersey. 4. Hayslett, H.T. Jr. 1968. Statistics made simple. Made Simple Books. Doubleday & Company, Inc. New York. 5. Leabo, D.A. 1968. Basic Statistics.3rd Edition Richard D. Irvin, Inc. Homewood, Illinois. 6. Steel, R.G.D. and J.H. Torrie. 1976. Introduction to Satistics. McGraw Hill Book Company. New York. 7. Steel, R.G.D. and J.H. Torrie. 1981. Pronciples and Procedures of Statistics A Biometrical Approach. 2nd Edition.McGraw-Hill International Book Company 8. Sujana, 1984. Metoda Statistik. Tarsito, Bandung.
STATISTIKA TERAPAN ALAM
DAN KEHIDUPAN INI PENUH DENGAN DATA / INFORMASI YANG BERMANFAAT, TETAPI MASIH BERTEBARAN DIMANA-MANA.
NILAI MATA KULIAH STATISTIKA DARI 125 MAHASISWA
71 68 79 78 69 81 84 79 49 79 73 78
75 83 68 89 88 84 85 84 68 77 84 70
96 68 79 78 73 78 78 81 54 87 81 73
80 88 74 73 82 75 79 64 57 62 62 78
83 76 80 82 79 47 89 74 56 98 64
58 92 76 77 81 83 56 60 87 66 74
DATA / INFORMASI
82 74 72 82 90 86 86 55 63 89 69
88 85 87 55 84 91 72 77 77 65 74
93 77 86 90 79 79 62 85 79 68 78
79 82 86 83 78 42 64 94 69 85 75
80 80 93 73 74 72 78 75 91 71 69
YANG BANYAK TERSEBUT BERSIFAT TIDAK HOMOGEN, TETAPI BERSIFAT BERAGAM / BERVARIASI. KONDISI DATA YANG BERAGAM ITU MENYULITKAN DALAM MENARIK INFORMASI YANG BERGUNA DAN DALAM MEMBUAT KESIMPULAN TENTANG DATA ITU SENDIRI. TANPA PENGELOLAAN YANG BAIK, SEMUA DATA ITU AKAN MENJADI SIA-SIA, MENJADI TIDAK BERGUNA. METODE STATISTIKA MUNCUL UNTUK MENGELOLA SEMUA DATA / INFORMASI YANG BANYAK ITU SEHINGGA MENJADI SANGAT BERMANFAAT ATAU MENJADI TIDAK SIA-SIA BELAKA.
PERKEMBANGAN METODE STATISTIKA 1. KEBUTUHAN PEMERINTAHAN UNTUK : DASAR MENYUSUN PERENCANAAN ( APBN, PERPAJAKAN, PERTANAHAN, DSB ). DASAR MEMBUAT KEBIJAKSANAAN ATAU KEPUTUSAN. DASAR PEMBANGUNAN UNTUK MEMENUHI KEBUTUHAN AKAN POINTPOINT DI ATAS DILAKUKANLAH PENGUMPULAN DATA, PENGOLAHAN DATA, PENYAJIAN DATA, DAN MERANGKUM SIFAT ATAU KHARAKTERISTIK DARI DATA TERSEBUT. SEMUA KEGIATAN INI MELAHIRKAN STATISTIKA DESKRIPTIF. STATISTIKA DESKRIPTIF TIDAK BISA DIGUNAKAN UNTUK MEMPREDIKSI, MENDUGA DAN MENGUJI HIPOTESIS.
2. PERKEMBANGAN TEORI PELUANG DAN SAMPLING TEORI PELUANG ADALAH BERDASARKAN TEORI ILMIAH, BUKAN RAMALAN TEORI SAMPLING MENURUNKAN BIAYA, TENAG, WAKTU, DAN SELALU MUNGKIN DILAKSANAKAN. KEDUA TEORI INI SANGAT MEMBANTU DALAM MELAKUKAN PREDIKSI, PENDUGAAN, DAN PENGUJIAN HIPOTESIS YANG TIDAK BISA DILAKUKAN PADA STATISTIKA DESKRIPTIF. MELAHIRKAN STATISTIKA INFERENSIA.
STATISTIKA DESKRIPTIF ADALAH METODE YANG MENGURAIKAN TENTANG TEKNIK PENGUMPULAN, PENGOLAHAN, PENYAJIAN, DAN MERINGKAS SIFAT ATAU KHARAKTERISTIK DARI SEKELOMPOK DATA. DENGAN MELAKUKAN KEGIATAN DI ATAS : 1. DATA MENTAH MENJADI LEBIH TERKELOLA ( MORE MANAGEABLE). 2. DATA DAPAT DISAJIKAN DALAM BENTUK YANG LOGIK. 3. POLA DATA YANG SUDAH DIOLAH BISA DALAM BENTUK : A. B. C. D. E.
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI. HISTOGRAM, DIAGRAM DAN GRAFIK GARIS. UKURAN TENDENSI PEMUSATAN. UKURAN DISPERSI / VARIASI. BENTUK SEBARAN DATA.
BENTUK PRODUK STATISTIKA DESKRIPTIF : BUKU STATISTIK INDONESIA OLEH BPS BUKU SUMATERA BARAT DALAM ANGKA. JADI STATISTIKA DESKRIPTIF DIGUNAKAN UNTUK MENGURAIKAN / MENJELASKAN SIFAT ATAU KHARAKTERISTIK DARI SEKELOMPOK DATA. STATISTIKA DESKRIPTIF JUGA DISEBUT STATISTIKA DEDUKTIF. STATISTIKA DESKRIPTIF BELUM MENGGUNAKAN TEORI PELUANG DAN TEORI SAMPLING.
STATISTIKA INFERENSIA ADALAH TEKNIK YANG MENGURAIKAN MENGENAI PENDUGAAN, PENGAMBILAN KESIMPULAN TENTANG POPULASI ( KESELURUHAN ) BERDASARKAN DATA SAMPEL ( SEBAHAGIAN ). METODE INI SUDAH MENGGUNAKAN TEORI PELUANG DAN TEORI SAMPLING. ILUSTRASI : 1. MENENTUKAN CUKUP / BELUM CUKUPNYA BUMBU MASAK. 2. DAFTAR : HASIL PEMILIHAN PRESIDEN RI 8 JULI 2009 MENURUT QUICK COUNT DAN KPU*) NO.
LEMBAGA SURVEY
MEGA SBY JK PRABOWO BUDIONO WIRANTO (%)
(%)
(%)
1
LINGKARAN S.I
27,36
60,15
12,49
2
LEBAGA S.I
26,56
60,85
12,59
3
LP3ES
27,53
60,28
12,19
4
CIRUS
27,49
60,20
12,31
5
METRO TV
26,32
58,51
15,18
6
KPU
26,79
60,80
12,41
32.548.105
73.874.562
15.081.814
SUARA SYAH (org) TOTAL SUARA
121.504.481
Golput: 49.212.158
*) Sumber: Harian Padang Ekspres Jumat tanggal 24 Juli 2009.
JADI SAMPEL HARUS BERSIFAT REPRESENTATIF ATAU MEWAKILI POPULASI DARI MANA SAMPEL ITU BERASAL STATISTIKA INFERENSIA DISEBUT JUGA STATISTIKA INDUKTIF. ILMU PENGETAHUAN SANGAT BERKEMBANGAN PESAT DENGAN MUNCULNYA STATISTIKA INFERENSIA. PENELITIAN-PENELITIAN PADA UMUMNYA MENGGUNAKAN STATISTIKA INFERENSIA.
STATISTIKA
DESKRIPTIF
INFERENSIA
PENDUGAAN
POINT
PENGUJIAN HIPOTESIS
SELANG
STATISTIKA MATEMATIK : UNTUK PENGEMBANGAN TEORI-TEORI STATISTIKA BERDASARKAN TEORI MATEMATIKA.
STATISTIKA TERAPAN : ADALAH PEMAKAIAN ATAU PENERAPAN TEORI STATISTIKA YANG DIDAPATKAN STATISTIKA MATEMATIKA DALAM BERBAGAI BIDANG ILMU. DALAM DUNIA SEKARANG HAMPIR SEMUA CABANG ILMU SUDAH MEMAKAI STATISTIKA TERAPAN INI.
KOMPUTER STATISTIKA SANGAT BERHUBUNGAN ERAT DENGAN KOMPUTER TERUTAMA DALAM KONDISI : 1. VOLUME DATA YANG BESAR. 2. PENGOLAHAN DATA YANG BERULANG-ULANG. 3. MEMBUTUHKAN PENYELESAIAN YANG CEPAT. 4. MEMBUTUHKAN KETEPATAN DAN KETELITIAN YANG TINGGI. 5. PENGOLAHAN ATAU PERHITUNGAN YANG RUMIT.
ISTILAH-ISTILAH DALAM STATISTIKA VARIABEL ATAU PEUBAH : Adalah suatu sifat yang bisa diamati dan nilainya berbeda-beda atau bervariasi dari individu ke individu. Variabel dilambangkan dengan huruf kapital seperti X, Y, Z dstnya. ( tinggi badan, umur, agama yang dianut, pendidikan terakhir, dsb). DATA : Adalah nilai-nilai atau informasi hasil pengamatan terhadap suatu variabel. Datum adalah bentuk tunggal dari data. VARIABEL KUALITATIF : Adalah variabel yang hasil pengamatannya berbentuk kategori atau atribut, bukan dalambentuk angka. Jadi variabel kualitatif menghasilkan DATA KUALITATIF yaitu data dalam bentuk kategori atau atribut,bukan dalambentuk angka. ( agama : Islam, partai : Demokrat, Pangkat : kapten, dsb ).
VARIABEL KUANTITATIF Adalah variabel yang hasil pengamatannya berbentuk angka. Jadi variabel kuantitatif menghasilkan DATA KUANTITATIF yaitu data dalam bentuk angka atau bilangan. ( tinggi badan : 163 cm, jumlah polong / batang : 27 buah, dsb )
DATA KUANTITATIF DISKRIT : adalah data kuantitatif yang hanya dalam bentuk bilangan bulat saja atau bilangan pasti. Data ini diperoleh dari pengamatan variabel kuantitatif dengan cara menghitung atau menjumlahkan. ( jumlah kursi : 45 buah, jumlah ternak : 5 ekor, dsb ) DATA KUANTITATIF KONTINU : adalah data kuantitatif yang tidak selalu dalam bentuk bilangan bulat saja tetapi mempunyai decimal,sehingga dalam pencatatan perlu pembulatan. Data ini diperoleh dari pengamatan variabel kuantitatif dengan cara mengukur. (diameter batang : 15,7 cm, luas daun : 103,6 cm2, berat 100 biji : 14,8 gram , dsb )
POPULASI ATAU UNIVERSE : adalah kumpulan dari semua kemungkinan nilai atau data dari suatu variabel. Jumlah anggota populasi dilambangkan dengan huruf N. Individu anggota populasi dilambangkan dengan huruf kecil : xi : x1 x2 x3 x4 . . . . . xN . POPULASI TERBATAS ATAU DEFINITE POPULATION : Adalah populasi yang semua nilai anggotanya ( N ) diketahui.
POPULASI TIDAK TERBATAS ATAU INDEFINITE POPULATION : Adalah populasi yang tidak semua nilai anggotanya ( N ) diketahui.
PARAMETER : Adalah nilai yang menunjukkan sifat atau kharakteristik dari populasi. Nilai- nilai parameter diantaranya adalah :
1. Rata-rata populasi, yang dilambangkan dengan µ 2. Ragam populasi, yang dilambangkan dengan σ2 3. Simpang baku populasi, dilambangkan dengan σ NILAI-NILAI PARAMETER DALAM KENYATAAN NYA SULIT DIKETAHUI, TETAPI PASTI ADA DANHANYA SATU. SAMPEL : Adalah sebahagian dari anggota populasi yang nilainya menjadi dasar dalam menarik kesimpulan tentang populasi itu sendiri. Jumlah anggota sampel dilambangkan dengan huruf n, jadi anggota sampel dilambangkan dengan xi : x1 x2 x3 . . . xn STATISTIK : adalah nilai yang menunjukkan sifat atau ciri dari sampel. Nilainilai statistik diantaranya adalah : 1. Rata-rata sampel, yang dilambangkan dengan X 2. Ragam sampel, yang dilambangkan dengan s2 3. Simpang baku sampel, dilambangkan dengan s NILAI STATISTIK MUDAH DIKETAHUI ATAU DIDAPATKAN, TETAPI NILAINYA BERUBAH DARI SAMPEL KE SAMPEL. NILAI STATISTIK DIGUNAKAN UNTUK MENDUGA NILAI PARAMETER YANG SULIT DIKETAHUI. 1. Rata-rata sampel untuk menduga Rata-rata populasi 2. Ragam sampel untuk menduga Ragam popuasi 3. Simpang baku sampel untuk menduga Simpang baku populasi.
DATA MENTAH, DATA PRIMER, DATA SEKUNDER.
NOTASI MATEMATIK : n
1.
X
i
X
1
X
2 i
X
2 1
i 1
n
2.
i 1
n
3.
X i 1
Yi
i
n
4.
cX
i
i 1
X
3
..... X
n
2 2
X
2 3
..... X
2 n
X n
X
i 1
c X i 1
c
i
n
i 1
i
nc
i 1
n
6.
2
n
n
5.
X
X i 1
i
c
n
i 1
X
i
nc
Yi
PENGUMPULAN DATA CARA PENGUMPULAN DATA : 1. SENSUS : yaitu dengan cara mengamati seluruh anggota populasi, tidak ada satupun yang tertinggal. ( x1 x2 x3 ......... xN )
Membutuhkan biaya, tenaga dan biaya besar. Tidak selalu dapat dilakukan. Menghasilkan populasi terbatas Tidak dipakai pada statistika inferensia.
2. SAMPLING : yaitu hanya anggota sampel (sebahagian dari populasi ) yang diamati. ( x1 x2 x3 ......... xn ) Cepat serta efisien. Selalu mungkin dilaksanakan. Selalu dipakai dalam statistika inferensia.
TIPE SAMPEL
NON-PROBABILITY SAMPLE 1. Judgment sample 2. Quota sample 3. Chunk
PROBABILITY SAMPLE 1. Simple random sampling 2. Systematic random sampling 3. Stratified random sampling 4. Cluster random sampling
Pada non-probability sample tidak ada cara untuk mengetahui seberapa baiknya sampel mewakili populasi. ( mudah dan ekonomis ) Probability sample sangat erat sekali dengan statistika inferensia. Pemilihan sampel agar mewakili populasi, sangat tergantung pada pengetahuan dan skill pengambil sampel. Penarikan sampel acak dengantabel bilangan random.
TEKNIK PENGUMPULAN DATA DENGAN CARA SAMPLING DIGUNAKAN DALAM PENELITIAN
DAFTAR : HASIL PEMILIHAN PRESIDEN RI 8 JULI 2009 MENURUT QUICK COUNT DAN KPU*) NO.
LEMBAGA SURVEY
MEGA PRABOWO
SBY BUDIONO
JK WIRANTO
(%)
(%)
(%)
1
LINGKARAN S.I
27,36
60,15
12,49
2
LEBAGA S.I
26,56
60,85
12,59
3
LP3ES
27,53
60,28
12,19
4
CIRUS
27,49
60,20
12,31
5
METRO TV
26,32
58,51
15,18
6
KPU
26,79
60,80
12,41
32.548.105
73.874.562
15.081.814
SUARA SYAH (org) TOTAL SUARA
121.504.481
Golput: 49.212.158
*) Sumber: Harian Padang Ekspres Jumat tanggal 24 Juli 2009.
PENELITIAN : 1. SURVEY : mengamati sebahagian populasi ( sampel ) di lapangan menurut apa adanya, tidak ada sama sekali pengaturan/pengontrolan faktor menurut yang diinginkan sipeneliti. (kuesioner, wawancara dan langsung ).
KUESIONER ATAU DAFTAR PERTANYAAN dibawa langsung atau dikirim. ( pertanyaan terbuka atau tertutup, pertanyaan meragukan ). WAWANCARA secara langsung atau lewat telpon. (terstruktur/tidak terstruktur, tidak jelas bisadiulang atau diberi penjelasan, hati-hati hal yang sensitif ). PENGAMBILAN SAMPEL LAPANG LANGSUNG (sampelnya bukan manusia ). 2. PERCOBAAN ATAU EXPERIMENT : adalah penelitian terhadap sesuatu, baik di laboratorium ataupun di lapangan, dimana beberapa faktor diatur atau dibuat menurut keinginan sipeneliti. Di laboratorium : banyak faktor yang bisa diatur atau dikontrol menurut yang diinginkan,(To, RH, cahaya) Di lapangan : kondisi selain perlakuan diatur dan diusahakan seragam
3. PENGAMATAN TINGKAH LAKU ATAU BEHAVIOR: Pengamatan terhadap hewan atau binatang. Pengamatan arkeologi
DATA HARUS : VALID DAN TERPERCAYA Alat dan metode analisis yang canggih tidak akan berguna jika data tidak valid dan tidak terpercaya. Kevalidan dan keterpercayaan data tidak bisa diperiksa dengan metode statistika. Pemeriksaan diarahkan kepada pelaku pengukuran/pengamatan.
DALAM PENGUKURAN ATAU PENGAMATAN VARIABEL PERLU DIJELASKAN : 1. Kriteria atau konsep dari apa yang akan diukur atau yang diamati. 2. Harus jelas alat ukur yang dipakai, dan harus ada sangkut pautnya dengan yang diukur. 3. Pengukuran harus mempunyai akurasi dan presisi yang tinggi
akurasi, presisi JELEK
akurasi JELEK presisi BAGUS
akurasi, presisi BAGUS
EMPAT LEVEL SKALA PENGUKURAN 1. SKALA NOMINAL Ada pengolongan/pengelompokan saja Skala pengukuran paling lemah Berasal dari variabel kualitatif ( jenis kelamin, partai, kesehatan, warna )
2. SKALA ORDINAL Ada penggolongan dan urutan Berasal dari variabel kualitatif (level hotel, kepangkatan, tingkat pendidikan, rangking olah raga ) 3. SKALA INTERVAL Ada penggolongan, urutan dan jarak. Tidak ada 0 mutlak, tidak bisa diperbandingkan (ratio) Berasal dari variabel kuantitatif ( To, waktu suatu daerah, tanggal) 4. SKALA RATIO Ada pengolongan, urutan, jarak, dan ada 0 mutlak yaitu tidak nilai dibawah nol, bisa diperbandingkan Ber asal dari variabel kuantitatif (berat, panjang, luas, volume ) Skala pengukuran paling kuat.
RATIO 4 INTERVAL 3 ORDINAL 2 NOMINAL 1 Berasal dari variabel kualitatif, dan banyak dipakai dalam statistika non parametrik.
Berasal dari variabel kuantitatif, terpakai dalam statistika parametrik.
PENYEDERHANAAN DATA NILAI MATA KULIAH STATISTIKA DARI 125 MAHASISWA 71 68 79 78 69 81 84 79 49 79 73 78
75 83 68 89 88 84 85 84 68 77 84 70
96 68 79 78 73 78 78 81 54 87 81 73
80 88 74 73 82 75 79 64 57 62 62 78
83 76 80 82 79 47 89 74 56 98 64
58 92 76 77 81 83 56 60 87 66 74
82 74 72 82 90 86 86 55 63 89 69
88 85 87 55 84 91 72 77 77 65 74
93 77 86 90 79 79 62 85 79 68 78
79 82 86 83 78 42 64 94 69 85 75
80 80 93 73 74 72 78 75 91 71 69
DATA MENTAH INI TIDAK MEMBERIKAN INFORMASI SAMA SEKALI, SEHINGGA PERLU DIOLAH, DIORGANISIR, ATAU DI SEDERHANAKAN AGAR MENJADI LEBIH INFORMATIF. TUJUAN PENGOLAHAN / PENGORGANISIRAN DATA : 1. Data menjadi menjadi sederhana dan mudah dibaca. 2. Data menjadi lebih informatif. 3. Sifat-sifat atau kharakteristik dari sekelompok data diketahui.
TEKNIK PENGOLAHAN DATA : 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Mengurut data dari kescil ke besar atau sebaliknya. Membentuk Tabel Distribusi Frekuensi. Membuat Histogram, Poligon Frekuensi dan Ogive. Menghitung niai-nilai Tendensi Sentral. Menghitung nilai-niai dispersi atau penyimpangan. Menentukan bentuk sebaran atau distribusi data ( normal, skewness, kurtosis ).
1. MENGURUT DATA DENGAN TEKNIK “ BATANG DAN DAUN “ 1.1.
Satu digit terakhir dari data dijadikan sebagai DAUN, dan digit sisanya dijadikan BATANG.
1.2.
Seluruh kemungkinan DIGIT BATANG disusun dari kecil ke besar secara vertikal.
1.3.
Tuliskan setiap DIGIT DAUN dari data di depan atau sebelah kanan dari DIGIT BATANG.
1.4.
Seluruh DIGIT DAUN hasil point 1.3 untuk setiap DIGIT BATANG disusun dari kecil ke besar.
1.5.
Data menjadi tersusu dari kecil ke besar.
ILUSTRASI : THE STEM-AND-LEAF DISPLAY STEM LEAF 3 4 729 5 8565476 6 88892440839262582499 7 1596479946288373399848592928947579971344858038 8 0328038520076692298214143644596415773541 9 6323001418 10
DATA TERURUT STEM LEAF 3 4 279 5 4556678 6 0222344456888889999 7 01122233333444444555566777778888888889999999999 8 000011112222233334444455556666777888999 9 0011233468 10
2.
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI adalah penyusunan data dalam bentuk tabel, dimana data dibagi atas beberapa kelompok sebagai kepala baris, dan frekuensi dari masingmasing kelompok pada satu kolom. Tabel distribusi frekuensi data kualitatif. Tabel distribusi frekuensi data tidak dikelompokkan. Tabel distribusi frekuensi data dikelompokkan
ISTILAH PADA TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Kelas interval : adalah kelompok ke mana suatu nilai dimasukkan. Jumlah kelas interval dari suatu Tabel distribusi frekuensi dilambangkan dengan huruf k. ki adalah adalah kelas interval ke i. i = 1 2 .... k. k dianjurkan antara 5 - 20. 2. Batas kelas interval : adalah nilai pembatas yang menentukan bisa atau tidak bisa masuknya suatu nilai ke dalam kelas interval itu. Di kenal Batas bawah kelas ( Bb ) dan Batas atas kelas ( Ba ). Gap atau celah adalah nilai beda antara Ba dan Bb dari dua kelas interval yang berurutan. Kemungkinan nilai gap adalah 1 0,1 0,01 dst.
3. Tepi kelas interval : adalah nilai batas riil atau nyata antara dua kelas interval yang berurutan. Dikenal Tepi bawah kelas ( Tb ) dan Tepi atas kelas (Ta).
Tb Bb
1 gap 2
Ta Ba
1 gap 2
Ta dab Tb dari dua kelas interval berurutan nilainya adalah sama.
4. Panjang kelas interval atau Lebar kelas interval adalah jumlah unit yang terdapat dalam suatu kelas interval, dilambangkan dengan huruf p. p = Ta - Tb dari suatu kelas interval, atau p = Ba - Bb + nilai gap dari suatu kelas interval. Sebaiknya nilai p sama dalam satu tabel distribusi frekuensi dan nilainya dianjurkan nilai bulat ganjil.
5. Nilai tengah kelas atau Tanda kelas adalah nilai yang letak paling ditengah dari suatu kelas interval, dan nilainya bersifat mewakili nilai kelas tersebut, dilambangkan dengan xi Ntk
Tb Ta 2
atau
Ntk
Bb Ba 2
6. Frekuensi kelas adalah nilai yang menunjukkan jumlah anggota dari suatu kelas interval. fi adalah frekuensi kelas interval ke i. i= 1 2 .. k.
LANGKAH-LANGKAH PEMBUATAN TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI 1. Tentukan jumlah kelas interval atau k k = 5 - 20 Rumus H.A. Sturges tahun 1926 k= 1 + 3,322 log n 2. Tentukan panjang kelas interval atau p Sebaiknya : p sama untuk setiap kelas interval. p nilainya bulat dan bilangan ganjil. p
range k
3. Tentuk kelas-kelas interval Kelas interval pertama harus memuat nilai yang terendah, dan kelas interval terakhir harus memuat nilai yang tertinggi. Bb atau Ba kelas interval pertama paling tinggi sama dengan terendah. 4. Tentukan frekuensi masing kelas interval dengan cara diturus atau tally.
DAFTAR : Distribusi Frekwensi nilai mata kuliah Statistika dari 125 Mahasiswa Fakultas Pertanian Univ. Bonai tahun 2000. No Kelas . Inter val 1 41 - 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96-100
1
43
-7
.008
Kelas kurang dari <41
2 3 5 8 11 20 30 22 15 6 2 125
48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
.016 .024 .040 .064 .088 .160 .240 .176 .120 .048 .016 1.00
<46 <51 <56 <61 <66 <71 <76 <81 <86 <91 <96 <101
Fi
Xi
Ci
Frel
Fkum 1 3 6 11 19 30 50 80 102 117 123 125
0
Kelas lebih dari >40
Fkum
>45 >50 >55 >60 >65 >70 >75 >80 >85 >90 >95 >100
125 124 122 119 114 106 95 75 45 23 8 2 0
SELANJUTNYA BISA DIBUAT : 1. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif fi
f i rel .
k
fi
atau
f i rel .
fi n
i1
2. Tabel Distribusi Frekuensi Relatif Persentase fi(%)
fi k
f
i
i 1
x100%
atau
fi(%)
fi x100% n
3. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif kurang dari dan lebih dari. 4. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif. 5. Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Relatif Persentase.
HISTOGRAM DAN POLIGON
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI NILAI AKHIR STATISTIKA DARI 125 MAHASISWA NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
KELAS INTERVAL 41 - 45 46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75 76 - 80 81 - 85 86 - 90 91 - 95 96 - 100 JUMLAH
FREKUENSI ( fi ) 1 2 3 5 8 11 20 30 22 15 6 2 125
FREKUENSI RELATIF ( fi rel. ) 1/125 = 0.008 0.016 0.024 0.040 0.064 0.088 0.160 0.240 0.176 0.120 0.048 0.016 1.000
FREKUENSI Rel Persentase ( fi %) 0.8 1.6 2.4 4.0 6.4 8.8 16.0 24.0 17.6 12.0 4.8 1.6 100.0
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF KURANG DARI NILAI AKHIR STATISTIKA DARI 125 MAHASISWA NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
KELAS FREK.KUM. INTERVAL ( fi kum.) <41 <46 <51 <56 <61 <66 <71 <76 <81 <86 <91 <96 <101
0 1 3 6 11 19 30 50 80 102 117 123 125
FREK.KUM. RELATIF ( fi kum.rel. ) 0 0.008 0.024 0.048 0.088 0.152 0.240 0.400 0.640 0.816 0.936 0.984 1.000
FREK.KUM. Rel Persentase ( fi kum.%) 0 0.8 2.4 4.8 8.8 15.2 24.0 40.0 64.0 81.6 93.6 98.4 100.0
TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF LEBIH DARI NILAI AKHIR STATISTIKA DARI 125 MAHASISWA NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
KELAS FREK. KUM INTERVAL ( fi kum ) >40 >45 >50 >55 >60 >65 >70 >75 >80 >85 >90 >95 >100
125 124 122 119 114 106 95 75 45 23 8 2 0
FREK. KUM. RELATIF ( fi kum. rel. ) 1.000 0.992 0.976 0.952 0.912 0.848 0.760 0.600 0.360 0.184 0.064 0.016 0
FREK. KUM Rel Persentase ( fi kum.%) 100.0 99.2 97.6 95.2 91.2 84.8 76.0 60.0 36.0 18.4 6.4 1.6 0
OGIVE 140 120 100 80 60 40 20 0 <41
<46
<51
<56
<61
<66
<71
<76
<81
<86
<91
<96
<101
140
120
100
80
60
40
20
VARIASI BENTUK-BENTUK KURVA 0 >40
>45
>50
>55
>60
>65
>70
>75
>80
>85
>90
>95
>100
PENGUKURAN DESKRIPTIF TIGA BENTUK PENGUKURAN DESKRIPTIF YANG MENJELASKAN SIFAT ATAU CIRI SUATU KELOMPOK DATA : I. TENDENSI SENTRAL / UKURAN PEMUSATAN 1. Rata-Rata Hitung ( Arithmatic mean ). 2. Median ( kuartil, desil dan persentil ). 3. Modus. 4. Rata-rata Ukur ( Geometric mean ). 5. Rata-rata Harmonis ( Harmonic mean ).
II. UKURAN DISPERSI ATAU PENYIMPANGAN : 1. Rentang. 2. Dispersi Kuartil. 3. Rata-rata Simpang. 4. Ragam dan Simpang Baku.
III. BENTUK SEBARAN ATAU KURVA : 1. Kemiringan ( Skewness ). 2. Keruncingan ( Kurtosis ).
I. TENDENSI SENTRAL : Suatu kelompok data mempunyai tendensi untuk mengelompok atau memusat pada nilai tertentu. Sifat seperti ini yang disebut Tendensi Sentral atau Gejala Pemusatan. Nilai tertentu seperti telah diutarakan di atas, dan nilai itu bisa dipakai untuk mewakili atau menggambarkan sifat dari kelompok data itu. 1. RATA-RATA HITUNG adalah jumlah nilai semua data dibagi dengan banyak data tersebut. Rata-rata populasi diberi lambang dengan (mu), dan rata-rata sampel dilambangkan dengan x. a. RATA-RATA UNTUK DATA INDIVIDUAL N
Xi i 1
= N
X 1 X 2 X 3 ....... XN N
(parameter)
X 1 X 2 X 3 ....... Xn n
(statistik)
n
Xi i 1
x = n
Karakteristik Rata-rata hitung : Nilai rata-rata ada dan hanya satu. Nilai rata-rata paling demokratis. Nilai rata-rata membagi dua data sama berat. Nilai rata-rata dipengaruhi nilai ekstrim Bagus mewakili data yang variasinya kecil. Dipakai dalam statistika inferensia. Hanya berlaku untuk skala interval dan ratio.
b. RATA-RATA UNTUK DATA TERKELOMPOK. k
x
fiXi i 1 k
fi
f 1 X 1 f 2 X 2 f 3 X 3 ........ fkXk f 1 f 2 f 3 ...... fk
i 1
_
x = nilai rata-rata hitung fi = frekuensi kelas atau kelompok ke i Xi = nilai tengah kelas atau kelompok ke i k = jumlah kelas atau kelompok RATA-RATA DENGAN METODE CODING
X X
o
p
f i C i i1 k fi i1 k
_
x = nilai rata-rata hitung Xo fi Ci k Xi
= nilai tengah kelas dimana Ci =0 = frekuensi kelas ke i = nilai kode kelas ke i = jumlah kelas interval = nilai tengah kelas ke i
X i X ci Ci p
0
2. MEDIAN adalah nilai yang letaknya paling ditengah dari satu set data yang terurut dari kecil ke besar. Median membagi dua data sama banyak. Karakteristik Median : Nilai median ada dan hanya satu. Tidak dipengaruhi nilai ekstrim. Bisa ditentukan untuk data kualitatif ordinal, dan TDF terbuka atas/bawah. Bagus untuk mewakili populsi yang mempunyai nilai ektrim. MEDIAN untuk data yang belum dikelompokan Me = nilai ke
1 2
n
1
MEDIAN untuk data yang sudah dikelompokan
Me T b
n F 2 p fm
Tb = nilai tepi bawah dari kelas yang mengandung nilai median. p = panjang kelas interval. n = jumlah data F = jumlah frekuensi dari kelas-kelas sebelum kelas yang mengandung nilai median. fm = frekuensi dari kelas yang mengandung nilai median.
3. MODUS adalah nilai yang paling banyak muncul dala suatu set data. Karkateristik Modus : Nilainya tidak unik, bisa satu, dua, tidak ada. Nilainya tidak dipengaruhi nilai ekstrim. Nilai modus sangat tidak stabil, mudah sekali berubah dengan sedikit perubahan. Nilai modus bisa juga ditentukan untuk data kualitatif. Modus untuk data yang sudak dikelompokkan :
a1 Mo T b p a1 a 2 Mo = nilai modus Tb = tepi bawah kelas yang mengandung nilai Modus. P = panjang kelas interval. a1 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya. a2 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya.
Mo = M - 3 ( M - Me )
4. RATA-RATA UKUR Rata-rata ukur untuk data yang belum dikelompokan :
RU
n
log RU
log x1 log x2 log x3 ..... log xn n
x 1 . x 2 . x 3 ...... x n
atau
Rata-rata ukur untuk data yang sudah Dikelompokan :
log RU
f 1(log x1) f 2(log x2) f 3(log x3) ...... fk (log xk ) f 1 f 2 f 3 ....... fk
Pemakaian rata-rata ukur diutamakan untuk yang bersifat perbandingan, laju pertumbuhan atau data yang meningkat berupa kelipatan data sebelumnnya.
5. RATA-RATA HARMONIS a. Data yang belum dikelompokan RH
n 1 1 1 1 .... x1 x2 x3 xn
b. Data yang sudah dikelompokan : k
RH
fi
fi Xi
i 1 k
i 1
f1 f f1 f X1 X
2 2 2
f
..... f k f 3 fk .... X 3 Xk 3
Rata-rata harmonis dipakai untuk bilangan yang dinyatakan dalam nilai per satuan.
Ukuran lokasi : 1. Kuartil a. Data yang belum dikelompokkan : Ki nilaike
i n 1 4
b. Data yang sudah dikelompokkan :
in F Ki Tb p 4 f Ki
2. Desil a. Data yang belum dikelompokkan : Di nilaike
i n 1 10
b.Data yang sudah dikelompokkan : in F Di Tb p 10 f Di
3. Persentil a.Data yang belum dikelompokkan : Pi nilaike
i n 1 100
b. Data yang sudah dikelompokkan :
Pi
Tb
in F p 100 f Pi
_
x
1 II. PENGUKURAN DISPERSI UNTUK MENDESKRIPSIKAN SUATU KELOMPOK DATA ATAU SUATU POPULASI TIDAK CUKUP HANYA DENGAN NILAI TENDENSI SENTRAL SAJA. NILAI TENDENSI SENTRAL HANYA MENUNJUKKAN TEMPAT MENGUMPULNYA ANGGOTA POPULASI, TETAPI TIDAK BISA MENJELASKAN BAGAIMANA ANGGOTA POPULASI ITU BERVARIASI ATAU MENYEBAR. VARIASI ATAU DISPERSI INI PENTING SEKALI UNTUK MENILAI DISTRIBUSI POPULASI.
TABEL NILAI MATA KULIAH DARI 5 MAHASISWA MHS A B C D E
1 66 20 10 10 70
NILAI MATA KULIAH 2 3 4 5 6 67 69 70 71 73 73 74 74 74 75 40 40 100 100 100 76 76 76 76 76 70 70 70 70 70
7 74 100 100 100 70
Rata rata
Range
2
70 70 70 70 70
NILAI KARAKTER ATAU SIFAT DARI MASING-MASING MHS
UKURAN DISPERSI ABSOLUT : 1. 2. 3. 4.
RANGE DEVIASI KUARTIL DEVIASI RATA-RATA RAGAM DAN STANDAR DEVIASI
1. RANGE : adalah beda antara nilai tertinggi dengan nilai terendah. Semakin besar nilai range berarti variasi data besar pula, semakin kecil nilai range berarti variasi data kecil pula, dan bilai range sama dengan nol berarti data tidak bervariasi atau semua data mempunyai nilai yang sama. Kelemahan pengukuran range ini adalah dia hanya ditentukan oleh dua buah nilai saja, terbesar dan terkecil, sehingga variasi antara kedua nilai ini tidak bisa dijelaslaskannya, lihat nilai mahasiswa C dan D.
2. DEVIASI KUARTIL : Pada dasarnya pengukuran dispersi dengan Deviasi Kuartil sama dengan Range, sehingga sifatnya kurang lebih sama. Deviasi Kuartil ditentukan oleh nilai K3 dan K1, sehingga nilainya adalah : Deviasi Kuartil = K3 - K1 3. DEVIASI RATA-RATA : kelemahan Range dan Deviasi Kuartil diatasi oleh Deviasi Rata-rata, yaitu dengan melibatkan seluruh data dalam menentukan ukuran dispersinya. Deviasi ( jarak) masingmasing data dengan nilai rata-ratanya dipertimbangkan. Untuk mendapatkan Deviasi rata-rata, seluruh deviasi masing-masing data dijumlahkan dan dibagi dengan banyak data, atau dengan rumus :
N
Deviasirat arata
i 1
( populasi )
N
n
Deviasirat arata
Xi
Xi
i 1
_
x (sampel)
n
DEVIASI RATA-RATA UNTUK DATA YANG SUDAH DIKELOMPOKAN k
Deviasirat
arata
fi Xi X
i 1 k
fi
i 1
Kelemahan dari Deviasi rata-rata; 1. Nilai absolut sukar dimanipulasi lanjut secara matematis. 2. Nilai absolut tidak menunjukkan jarak yang sebenarnya.
4. RAGAM DAN STANDAR DEVIASI Kelemahan pada Dviasi rata-rata diatasi oleh Ragam yaitu dengan mengkuadratkan deviasi masing-masing data dengan rata-ratanya, kemudian dijumlahkan, lalu dibagi dengan banyak data. Ragam ada dua macam yaitu Ragam popuklasi dilambangkan dengan 2 dan Ragam sampel dilambangan dengan s2. Untuk Standar deviasi populasi dilambangkan dengan , dan Standar deviasi sampel dilambangkan denan s.
RAGAM UNTUK DATA YANG BELUM DIKELOMPOKAN
Xi N
2
2
i 1
Xi X
n
s
2
(ragam populasi)
N
2
i1
(ragam sampel)
n 1
atau
n
s
2
Xi i 1
n Xi 2 i 1 n n 1
2
Pembilang dari rumus di atas disebut Jumlah Kuadrat ( JK ) dan (n-1) disebut Derajat bebas atau disingkat dengan db.
Ragam atau Varian tidak mempunyai satuan, agar nilainya kembali ke satuan awalnya maka ragam diakarkan dan nilai yang diperoleh disebut dengan Standar deviasi atau Simpang baku.
RAGAM UNTUK DATA YANG TERKELOMPOK
2
N
2
fi i 1
N fiXi N 2 i 1 f i X i N i1 N
X
2
i
N
f
i
i 1
2
2
f X X s fi 1 n
i
2
i
i 1
n
i 1
n fiXi n 2 i 1 fi X i n i1 n 1
SIMPANG BAKU SAMPEL DENGAN METODE CODING
n
S p
i 1
fi c i n
2
n f ic i i 1 n n 1
2
DISPERSI RELATIF ATAU KOEFISIEN KERAGAMAN
CV KK
S
x 100 %
X Kegunaan : 1. menilai tingkat ketelitian 2. membandingkan variasi dari sampel atau populasi.
PENGARUH PENGUBAHAN DATA TERHADAP RATA-RATA DAN RAGAM POPULASI 1. Semua data ditambah / dikurangi dengan bilangan c POPULASI DATA POPULASI Awal X1 X2 X3 ......... XN x +c X1+c X2+c X3+c ...... XN+c -c X1-c X2-c X3-c ....... XN-c
Xi
N
x
X i
N
2
x
i 1
N
2 x
i 1
N
Jika setiap data ditambah c, maka N
N
Xi C X 1 NC
i 1
N dan ragamnya:
N
X c c N
Xi
2
i
x c
i 1
N
x
i 1
N
x2
2
x
i 1
N
x2 ,
Jika setiap data dikurangi c, maka N
N
Xi C X
i 1
N
1
x c
N
X c c N
2
i
NC
i 1
i 1
N
Xi N
x
x2
2
x
i 1
N
x2 ,
x2
x
2. Semua data dikali / dibagi dengan c POPULASI DATA POPULASI Awal X1 X2 X3 ......... XN xc cX1 cX2 cX3 ...... cXN x 1/c X1/c X2/c X3/c ....... XN/c
x
Jika setiap data dikali dengan c, maka : N
cX 1 cX 2 cX 3 ..... cX N N
c Xi i 1
N
c x
dan ragamnya adalah :
cXcx cXx N
N
2
i
2 i1`
N
i1
N
2
i
i
X x N
2
C2
i1
N
C2 x2
Jika setiap data dibagi dengan c, maka :
X 1 / C X 2 / C X 3 / C ..... XN / C N dan ragamnya adalah :
X x N
1 C2
2
i
i 1
N
1 N Xi 1 c i 1 x N c
1 C2
2 x
x2
x
BENTUK SEBARAN DARI DATA I.
SKEWNESS / KEMIRINGAN KURVA
SETIAP POPULASI MEMPUNYAI KURVA TAU DISTRIBUSI YANG BERBEDA SATU SAMA LAINNYA. PERBEDAAN ITU BISA DILIHAT DARI APAKAH KURVA TERSEBUT SIMETRIS ATAU ASIMETRIS / MIRING.
DENGAN MEMPERHATIKAN NILAI MEAN, MEDIAN, DAN MODUS DARI SUATU KURVA, SEBETULNYA SUDAH BISA DITENTUKAN KURVA ITU SIMETRIS ATAU TIDAK. JIKA :
1. M = Me = Mo :
KURVA ADALAH SIMETRIS
2. M > Me > Mo
:
KURVA MIRING KE KANAN
3. M < Me < Mo
:
KURVA MIRING KE KIRI
TETAPI SEBERAPA BESAR KURVA TERSEBUT MIRING BELUM BISA DIKETAHUI. BESAR KEMIRINGAN SUATU KURVA DITENTUKAN OLEH KOEFISIEN SKEWNESS ATAU KOEFISIEN KEMIRINGAN :
KOEFISIEN SKEWNESS :
Mo 1. KOEF. Skew. PEARSON 1 =
( POPULASI )
Atau
_
=
2. Koef. Skew. PEARSON 2 =
X Mo s
3 Me
( SAMPEL )
( POPULASI )
Atau
=
_ 3 X Me s
( SAMPEL )
3. KOEF. Skew. BOWLEY =
JIKA NILAINYA :
K 3 2 K 2 K1 K 3 K1
= 0 : KURVA SIMETRIS > 0 : KURVA MIRING KE KANAN < 0 : KURVA MIRING KE KIRI
4. KOEF. Skew. PERSENTIL =
JIKA NILAINYA :
= 0 : KURVA SIMETRIS > 0 : KURVA MIRING KE KANAN < 0 : KURVA MIRING KE KIRI
5. KOEF. Skew. RELATIF
3
1 N
f X i
3
P90 2 P50 P10 P90 P10
i
α3
3
II. KURTOSIS / KERUNCINGAN SUATU KURVA SIMETRIS BISA JUGA DIBEDAKAN BERDASARKAN BENTUK PUNCAKNYA, APAKAH TERGOLONG LEPTOKURTIK, MESOKURTIK, ATAU PLATIKURTIK. .
UNTUK MENETUKAN APAKAH TERGOLONG LEPTO, MESO ATAU PLATIKURTIK, DITENTUKAN DENGAN MENGHITUNG NILAI KOEFISIEN KURTOSIS ATAU KOEF. KERUNCINGAN SEBAGAI BERIKUT :
0 ,5 K 3 K 1 1. KOEF. KURTOSIS = P90 P10 JIKA NILAINYA
: = 0,263 : KURVA MESOKURTIK > 0,263 : KURVA LEPTOKURTIK < 0,263 : KURVA PLATIKURTIK
2. KOEF. KURTOSIS α4
4
1 N
k
f X i 1
i
4
i
4
JIKA NILAINYA : = 3 > 3 < 3
: KURVA MESOKURTIK : KURVA LEPTOKURTIK : KURVA PLATIKURTIK
PENYAJIAN DATA I.
TABEL
JUDUL TABEL ; KEPALA BARIS
KEPALA KOLUM
SEL
*) SUMBER DATA / KETERANGAN
II.
GAMBAR 1. 2. 3. 4. 5.
DIAGRAM BATANG HISTOGRAM DIAGRAM LINGKARAN PICTO GRAPH GRAFIK GARIS
CONTOH :
JUMLAH PELAJAR 300 250 200 LK
150
PR
100 50 0 TK
SD
SMP
SMA
JUMLAH PELAJAR 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
PR LK
TK
SD
SMP
SMA
JUMLAH PELAJAR 300 250 200 150
LK
100
PR
50 0 TK
SD
SMP
SMA
JUMLAH PELAJAR 500 400 300 PR
200
LK
100 0 TK
SD
SMP
SMA
SMA
SMP PR LK
SD
TK 0
50
100
150
200
250
300
SMA
SMP LK PR
SD
TK 0
100
200
300
400
500
JENIS PENGGUNAAN LAHAN
LAIN-LAIN 17% TNH KERING 13% SAWAH 11%
HUTAN 59%
JENIS PENGGUNAAN LAHAN LAIN-LAIN 17%
TNH KERING 13% HUTAN 59% SAWAH 11%
JENIS PENGGUNAAN LAHAN LAIN-LAIN 17% TNH KERING 13% SAWAH 11%
HUTAN 59%
JENIS PENGGUNAAN LAHAN LAIN-LAIN 17% TNH KERING 13% SAWAH 11%
HUTAN 59%
JENIS PENGGUNAAN LAHAN LAIN-LAIN 17%
TNH KERING 13%
HUTAN 59%
SAWAH 11%
JENIS PENGGUNAAN LAHAN LAIN-LAIN 17%
TNH KERING 13% SAWAH 11%
HUTAN 59%
120 100 80 60
Series1
40 20 0 I
II
III
IV
V
VI
VII
VII
IX
X
XI
120 100 80 60
Series1
40 20 0 I
II
III
IV
V
VI
VII
VII
IX
X
XI
TEORI PELUANG ( PROBABILITY THEORY)
1
1. Semua kesalahan-kesalahan yang mungkin terjadi pada Statistika Deskriptif pada umumnya berupa : a. b. c. d.
Kesalahan dalam perhitungan Kesalahan dalam memilih formula Kesalahan dalam membaca data Kesalahan lain karena kelalaian
Semua kesalahan ini bisa dihilangkan dengan meningkatkan prosedur dengan lebih hati-hati.
2. Pada Statistika Inferensia kita terlibat dengan kesalahan yang tidak bisa dihilangkan dengan meningkatkan prosedur dengan lebih hati-hati. Kesalahan pada Statistika Inferensia ini muncul pada ssetiap saat kita menggunakan informasi parsial seperti sampel yang selanjutnya digunakan untuk menarik kesimpulan untuk keseluruhan atau populasi.
3. dengan Statistika Inferensia ilmu pengetahuan berkembang begitu pesat seperti sekarang. Hal ini disebabkan ilmu pengetahun tersebut pengembangan nya didasarkan pada prosedur induktif melalui penelitian. 4. Untuk bisa memahami dan menggunakan Statistika Inferensia secara baik, mesti dipahami Probability Theory yang merupakan dasar dari Statistika Inferensia itu sendiri. Kita bisa menggunakan Teori Peluang dalam membuat kesimpulan tentang populasi hanya berdasarkan nilai statistic dari satu sampel. Dengan memahami Teori Peluang ini, akan bisa dibedakan antara ilmuwan dengan tukang ramal.
DISTRIBUSI PELUANG ( PROBABILITY DISTRIBUTUION)
2
Dengan pendekatan secara matematis bisa dicari atau ditentukan formula matematis yang mewakili suatu kurva. Dari sekian banyak bentuk kurva matematis, ada beberapa bentuk dasar yang berguna sekali dalam memahami kebera gaman yang ditemui dalam kehidupan nyata, diantaranya adalah : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Distribusi Binomial Distribusi Normal/Gauss Distribusi t Student Distribusi Chi Square Distribusi F Distribusi Poisson Distribusi Hypergeometric.
Semua distribusi ini adalah berdasarkan peluang
DISTRIBUSI BINOMIAL Distribusi Binomial sangat penting sekali karena dia memungkinkan kita untuk bisa menghitungpeluang dari suatu sampel. Distribusi Binomial merupakan distribusi peluang yang dihasilkan melalui eksperimen yang menghasilkan dua macam hasil saja, seperti hasilnya dalam bentuk sukses dan gagal, menang dan kalah, sisi muka dan sisi belakang, Kartu As dan bukan kartu As. Besar peluang untuk Sukses dilambangkan dengan p dan peluang untuk Gagal dilambangkan dengan q, dimana
p +q = 1 , atau p = 1 – q , atau q = 1 – p dan n adalah ukuran banyak sampel.
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI BINOMIAL 4 1. Setiap nilai n dan p yang ditetapkan akan membentuk satu distribusi binomial.
2. Bentuk dari Distribusi Binomial bisa miring dan bisa simetris. Bila nilai p = 0,5 maka Diastribusi Binomialnya akan simetris untuk setiap besaran n. Bila p ≠ 0,5 , distribusi akan miring, dan akan semakin menjadi simetris dengan semakin mendekatnya nilai p ke 0,5.
3. Nilai rata-rata atau Nilai tengah ( µ ) dari Distribusi Binomial adalah : n
a.
X i P X i i 1
Xi : P(Xi) :
b. µ = np.
0 1/16
1 4/16
jika n = 4 dan 0,5 maka 2 6/16
3 4/16
4 1/16
µ = 4 x 0,5 = 2
4. Standar deviasi atau Simpang baku dari Distribusi
Binomial adalah :
a.
n
2 Xi P Xi i 1
b.
npq
SOAL:
5
1. Peluang seorang pasien akan sembuh setelah operasi adalah 70%. Jika ada 10 orang yang dioperasi : a. Tulislah matematik model yang mewakili distribusi binomial untuk masalah di atas ! b. Berapa peluang akan sembuh sebanyak 7 orang dari 10 orang yang dioperasi ? c. Berapa rata-rata populasi dan simpang baku populasi dari distribusi binoal dari data di atas.
2. Dilaporkan bahwa sebuah mangga terserang larva lalat buah adalah 30%. Kalau saudara beli mangga tersebut sebanyak 20 buah, berapa peluang saudara : a. Terbeli mangga itu busuk sebanyak 13 buah ? b. Terbeli mangga itu busuk paling kurang 3 buah ?
3. Pada suatu pabrik ban mobil ternyata hanya 92% dari ban yang diproduksinya yang bagus. Kalau diambil 20 buah ban sebagai sampel, berapa kemungkinan dari sampel itu akan terambil 18 ban bagus dan 2 rusak.
DISTRIBUSI BINOMIAL JUMLAH
X = JUMLAH MUNCUL H
EVENT
0
1
n =1
T p
H q
TT
HT HT 2 HT 2 pq
HH
HTT THT TTH 3 HT2 3 pq2
HHT HTH THH 3 H2T 3 p2q
HHH
TTTT
HTTT THTT TTHT TTTH
HHHT HHTH HTHH THHH
HHHH
(p + q )4
T4 q4
4 HT3 4 pq3
HHTT HTHT HTTH TTHH THTH THHT 6 H2T2 6 p2q2
4 H3T 4 p3q
H4 p4
P( H ) = p
P( T ) = q
n = 2 (p + q)2
T2 q2 TTT
n = 3 (p + q)3
T3 q3
n = 4
2
3
4
H2 p2
H3 p3
q = (1 - p )
n! PX x n, p pxqnx x!n x!
DISTRIBUSI NORMAL / GAUSS Pada distribusi binomial kita terkait dengan variable random diskrit. Pada distribusi normal ini berkaitan dengan variable random kontinu.
Distribusi normal berhubungan erat dengan kurva yang simetris, bukan dengan kurva miring. Kurva simetris yang memenuhi persyaratan berikut dan dikemukakan oleh Gauss dinamakan KURVA NORMAL atau DISTRIBUSI NORMAL. SIFAT-SIFAT ATAU CIRI KURVA NORMAL : 1.
f x
1 x 2
e
1 X i x 2 x
2
f(x) : nilai fungsi kepekatan peluang normal Xi : nilai ke i dari variable random kontinu yang nilainya - ∞ < X > ∞ π : konstanta matematis yang nilainya 3, 14159 e : bilangan dasar logaritma Napier : 2,71828
µx : rata-rata populasi σx : standard deviasi populasi Garis kurva tidak pernah menyinggung sumbu X, sedangkan peluangnya ditunjukkan oleh daerah yang teletak anatara dua garia vertical, dan peluang pada satu titik atau satu nilai x adalah nol.
http://serc.carleton.edu/nnn/teachwdata/Statcentral.html 19 Oktober
2012
2. Kurva normal berbentuk lonceng dan simetris 3. Setiap kombinasi dari µx dan σx membentuk satu distribusi normal dimana µx menentukan letak kurva dan σx menentukan penyebaran atau tinggi kurva.
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution 21 Oktober
2012
4. Bila ditarik garis tegak lurus pada x = µ kurva kan terbagi dua sama besar yaitu masing-masing 0,5 bagian atau 50 %.Luas daerah antara : (µ - σ) ≤ x ≥ (µ + σ ) adalah 0,6826 ( 68,26 % ) (µ - 2σ) ≤ x ≥ (µ + 2σ ) adalah 0,9544 (95,44 %) (µ - 3σ) ≤ x ≥ (µ + 3σ ) adalah 0,9973 (99,73 %)
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution 21
Oktober
2012.
Eq. Satu populasi rata-ratanya 50 dan simpang bakunya 10 dengan jumlah anggota populasi 10.000. Berapa jumlah anggota populasi >50, berapa jumlah anggota populasi >53.
KURVA NORMAL BAKU / NORMAL STANDARD
µx
= 0
σx
X
Pop.
Xi : 2
4
=1
Z
Zi
Xi x x
6
10 12
8
14
µx = 8 σx=4
Pop. Zi :-1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5
f x f z
1 x 2 1 e 2
e
1 X i x 2 x
1 2 Z 2
µz = 0 σz=1
2
Berdasarkan model matematis dari distribusi normal standard yang mempunyai µ = 0 dan σ =1 disusun tabel yang memuat luas daerah dibawah kurva antara dua nilai z sebagai berikut :
Z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html 11/10/2012
The z-Distribution
Area from infinity to z. Negative values are found by symmetry. Second Decimal Place of Z Z
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2148 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170 1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183
2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 http://mips.stanford.edu/courses/stats_data_analsys/234_99.html
Eq. 1. P( 0 ≤ Z ≤ 1,00 )
4. P( Z ≤ 1,19 )
2. P( 0,57 ≤ Z ≤ 1,72 ) 5. P( Z ≥ 2,58 ) 3. P( -1,21 ≤ Z ≤ 2,34 ) 6. P( Z ≤ z ) = 0,0250 7. Populai nilai akhir Statistika dari mahasiswa menyebar secara normal dengan nilai rataratanya adalah 65 , simpang bakunya 5 dan jumlah seluruh mahasiswa 5000 orang . Hitunglah : 1. Berapa persen mahasiswa yang mempu nyai nilai antara 60 – 70. 2. Berapa orang mahasiswa yang mempu nyai ≥ 82. 3. Dari nilai berapa akan didapatkan 5% mahasiswa yang mempunyai tertinggi
PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL DENGAN DISTRIBUSI NORMAL BAKU Distribusi Binomial bisa didekati dengan distribusi normal baku jika distribusi binomial itu mempunyai np ≥ 5 atau n( 1 – p ≥ 5. Distribusi normal baku :
Xi x Zi x Distribusi Binomial : µx = np Distribusi Binomial
dan x npq
Distribusi normal baku
X i np Zi npq Contoh ; Satu sampel 1600 ban mobil diambil secara acak dari pabrik ban yang produksi berpeluang rusak sebesar 8 %. Berapa peluang dari sampel tersebut akan mengandung 150 ban rusak.
DISTRIBUSI RATA-RATA SAMPEL (SAMPLING DISTRIBUTION) Statistika Inferensia berkaitan dengan pengambilan kesimpulan tentang populasi ( parameter) berdasarkan data sampel (statistik) Mari kita lihat hubungan antara sampel dengan populasi Apakah memang data sampel (statistic) bagus untuk menduga tentang populasi (parameter) ? Pop. Xi
: X1
X2
X3
Sampel n
: S1
S2
S3
S4 ……
X3
X 4 … ..
Rata2 sampel
X :
X1
X2
X4 ….. XN
µx
;
σx
SNn X Nn
X X
Pertanyaan : 1. Jumlah anggota populasi
X
2. Hubungan bentuk distribusi
3. Hubungan antara
dan jumlah anggota populasi X
X
dengan bentuk distribusi X
X dengan µx
4. Hubungan antara X
dengan
σx
ILUSTRASI Populasi Xi : 2
4
6
N=3
µx = 4 ;
x2 = 8/3
Ambil sampel dengan pengembalian (replacement) n =2 : sampel X 2,2 2,4 2,6 4,2 4,4 4,6 6,2 6,4 6,6
TDF X 2 3 4 3 4 5 4 5 6
2 3 4 5 6
4
n=4 : N = N = 3 = 81
= 36/9 = 4
TDF X 2,0 2,67 3,33 …… 4,00 4,67 ….. 5,33 5,33 6,00
X
x2 = 12/9
fi 2,00 2,67 3,33 4,00 4,67 5,33 6,00
1 3 6 7 6 3 1
N = Nn = 33 = 27
X n
1 2 3 2 1
N = Nn = 32 = 9
X n =3 : sampel X 2,2,2 2,2,4 2,2,6 ........ 2,4,6 2,6,6 …… 4,6,6 6,6,4 6,6,6
fi
= 108/27 = 4 ,
= 324/81 = 4 ,
x2 = 24/27
x2 = 54/81
KESIMPULAN : 1. Jumlah anggota populasi dari distribusi rata-rata sampel dengan sampel pengembalian adalah Nn. 2. Distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal dengan semakin meningkatnya jumlah sampel n :
http://www.google.co.id/imgres?imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_0Lnn2o P30gU/TTyVkV3_mII/AAAAAA 16 Oktober 2012
a. Jika distribusi awal non normal, akan mendekati distribusi normal bila n ≥ 30. b. Jika distribusi awal simetris, akan mendekati distribusi normal bila n ≥ 15. c. Jika distribusi awal normal akan tetap normal, tidak tergantung pada besar sampel n. INI DALIL LIMIT SENTRAL (CENTRAL LIMIT THEOREM) 3. Rata-rata dari distribusi rata-rata sampel sama dengan ratarata distribusi X :
X = µx
4. Ragam dan simpang baku untuk distribusi tidak terbatas : 2 x2 x n
atau
x
x
atau rumus ini dipakai jika n/N ≤
n
(standard error)
5 %.
5. Simpang baku untuk distribusi terbatas :
x
x n
N n N 1
dipakai jika n/N ≥ 5 %.
6. Sejalan dengan bertambah jumlah sampel n, maka nilai
x
semakin kecil dari nilai x . Akibatnya nilai rata-rata sampel ( X ) akan semakin banyak menumpuk mendekati nilai
X . Hal ini menjadikan nilai
X
menjadi sebagi nilai penduga
yang bagus bagi rata-rata populasi µx.
7. Agar nilai Standard error x bertambah kecil, bisa diusahakan dengan : a. Ukuran sampel n diperbesar.
b. Nilai x diperkecil dengan control yang bagus. c. Kombinasi a dan b di atas.
DISTRIBUSI NILAI TENGAH SAMPEL DENGAN BERBAGAI n Besar sampel n= 1 n = 2 X Fi X Fi 2,0
1
2,0
3,0
4,0
1
4,0
5,0
6,0
1
X x x
3 4 8/3
6,0
1
2
3
2
1
X
n = 3
2,0
X
1
2,67
3
3,33
6
4,0
7
4,67
6
5,33
3
6,0
1
9 4 12/9
Fi
n = 4
Fi
X
2,0
1
2,5
4
3,0
10
3,5
16
4,0
19
4,5
16
5,0
10
5,5
4
6,0
1
2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,25 4,50 4,75 5,00 5,25 5,50 5,75 6,00
27 4 24/27
n = 8
81 4 54/81
Fi 1 8 36 112 266 504 784 1016 1107 1016 784 504 266 112 36 8 1 6561
4 2187/6561
http://www.google.co.id/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wiki pedia/en/1/1d/Marginoferror95.PNG&imgrefurl=http://terrytao.wordpress. com/2010/09/14/a-second-draft-of-a-non-technical-article-onuniversality/&usg=__IWo2zeikutDwJPG7G94SMZWL7xg=&h=973&w=1029&sz=49&hl =id&start=12&zoom=1&tbnid=Cf9yT_9bvbw4VM:&tbnh=142&tbnw=150&ei=qMuAUKH dO9GHrAeGq4CoBQ&um=1&itbs=1 16 Oktober 2012.
PENDEKATAN DISTRIBUSI RATA-RATA SAMPEL DENGAN DISTRIBUSI NORMAL STANDARD
Distribusi normal X bisa dikonversi menjadi distribusi normal standard.
X
Z
dengan rumus
Zi
Analog dengan yang di atas, Distribusi menjadi distribusi normal standard.
X
Z dengan rumus
X
Xi x x
tentu bisa pula dikonversi
Zi
X i x x n
CONTOH SOAL : 1. Lama hidup dari baterai merek A menyebar menurut distribusi normal dengan rata-ratanya 100 jam dan simpang bakunya 10 jam. a. Berapa persen dari baterai tersebut yang mempunyai masa hidup antara 100 – 105 jam. b. Jika diambil 16 baterai secara acak sebagai sampel : b.1. Berapa peluang nilai rata-rata sampel tersebut akan berada antara 100 – 105 jam? b.2. Berapa peluang nilai rata-rata sampel tersebut diatas 110 jam ?
RAGAM SAMPEL DAN DISTRIBUSI t STUDENT HUBUNGAN RAGAM POPULASI σ2 DENGAN RAGAM SAMPEL S2
Xi N
2
i 1
S2
;
N
Xi x n
2
2
i 1
n 1
Kenapa harus dibagi dengan ( n-1) atau derajad bebas ? Bukti : Pop Xi :
2
4
6
Tarik sampel n = 2 Sampel X 2,2 2,4 2,6 4,2 4,4 4,6 6,2 6,4 6,6 Rata-rata
2 3 4 3 4 5 4 5 6 36 / 9 = 4
µx = 4
n
i 1
Xi
x2
;
X n
0 1 4 1 0 1 4 1 0 12/ 9 = 4/3
2
n
i 1
8 3
Xi X
2
n 1
0 2 8 2 0 2 8 2 0 24/9 = 8/3
Xi X n
S2
n Xi n X i2 i 1 n S 2 i 1 n 1
2
i 1
n 1
2
JK dan FK, db Kesimpulan : Bila semua sampel yang besarnya n ditarik dari suatu populasi, maka nilai tengah ragam dari ragam semua sampel ( S2 ) adalah sama dengan ragam populasi x2 , artinya ragam sampel adalah penduga yang bagus untuk ragam populasi, atau S adalah yang bagus untuk
x.
DISTRIBUSI “t” STUDENT
Zi Terdahulu sudah didapatkan rumus
Xi x x n
Pemakaian rumus ini sangat terbatas karena mengandung nilai
parameter x yang nilainya sulit atau tidak mungkin diketahui. Untuk mengatasi permasalahan ini, maka W. S. Gosset dengan nama samaran Student mempelajari bagaimana kalau nilai diduga dengan nilai S, atau nilai maka rumus menjadi
x
x
disubstitusi dengan nilai S,
Zi
Xi x x n
ti
ILUSTRASI : Cari nilai ti untuk setiap nilai Pop
Xi
:
Pop ti :
X1
t1
Xi x S n
Xi
………….. X N
X2
X3
X4
t2
t3
t4 …………… tN
x ; x
t
;
t
Kumpulan dari semua nilai ti ini yang dikatakan distribusi t
Student yang mempunyai t =0 , t > 1, dan db= n -1 Distribusi t Student tidak satu, melainkan banyak karena setiap sampel n akan membentuk satu distribusi t Student. SIFAT-SIFAT PENTING DARI DISTRIBUSI t STUDENT : 1. Distribusi t Sudent adalah berbeda untuk sampel n berbeda. 2. Bentuk Distribusi t Student adalah berbentuk lonceng dan simetrris, sama seperti distrbusi normal baku, tetapi variasi nya lebih besar dari distribusi normal standard. 3. Distribusi t Student mempunyai
t =0 sama seperti z =0 .
distribusi normal standard yaitu 4. Standard deviasi atau simpang baku distribusi t Student
bervariasi bersama sampel n dan nilainya > 1 ( t > 1), tidak seperti distrbusi normal standard yang
z = 1.
5. Jika nilai sampel n bertambah besar, maka distribusi t Student akan mendekati distribusi normal standard, dan pada saat n =∞, distribusi t Student persis sama dengan distribusi normal standard, dengan kata lain ni t = Z untuk α ( luas kurva diatas nilai t atau Z) yang sama.
6. Setiap kombinasi nilai n – 1 dengan α bisa dicari nilai t nya, dan kumpulan nilai-nilai t ini membentuk Tabel t. TABEL DISTRIBUSI t STUDENT Degree of α = upper tail area freedom 0,25 0,10 …… 0,005 1 2 t α( n – 1 ) = ? 3 … ∞
PERCENTAGE POINTS OF THE T DISTRIBUTION Tail Probabilities One Tail 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005 Two Tails 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.002 0.001 -------+---------------------------------------------------------+---D 1 | 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 318.3 637 | 1 E 2 | 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.330 31.6 | 2 G 3 | 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.210 12.92 | 3 R 4 | 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 8.610 | 4 E 5 | 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893 6.869 | 5 E 6 | 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 5.959 | 6 S 7 | 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 5.408 | 7 8 | 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 5.041 | 8 O 9 | 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 4.781 | 9 F 10 | 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 4.587 | 10 11 | 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 4.437 | 11 F 12 | 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 4.318 | 12 R 13 | 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 4.221 | 13 E 14 | 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 4.140 | 14 E 15 | 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 4.073 | 15 D 16 | 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 4.015 | 16 O 17 | 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 3.965 | 17 M 18 | 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610 3.922 | 18 19 | 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 3.883 | 19 20 | 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 3.850 | 20 21 | 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 3.819 | 21 22 | 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 3.792 | 22 23 | 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 3.768 | 23 24 | 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 3.745 | 24 25 | 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 3.725 | 25 26 | 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 3.707 | 26 27 | 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 3.690 | 27 28 | 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 3.674 | 28 29 | 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 3.659 | 29 30 | 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 3.646 | 30 32 | 1.309 1.694 2.037 2.449 2.738 3.365 3.622 | 32 34 | 1.307 1.691 2.032 2.441 2.728 3.348 3.601 | 34 36 | 1.306 1.688 2.028 2.434 2.719 3.333 3.582 | 36 38 | 1.304 1.686 2.024 2.429 2.712 3.319 3.566 | 38 40 | 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 3.551 | 40 42 | 1.302 1.682 2.018 2.418 2.698 3.296 3.538 | 42 44 | 1.301 1.680 2.015 2.414 2.692 3.286 3.526 | 44 46 | 1.300 1.679 2.013 2.410 2.687 3.277 3.515 | 46 48 | 1.299 1.677 2.011 2.407 2.682 3.269 3.505 | 48 50 | 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.261 3.496 | 50 55 | 1.297 1.673 2.004 2.396 2.668 3.245 3.476 | 55 60 | 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 3.460 | 60 65 | 1.295 1.669 1.997 2.385 2.654 3.220 3.447 | 65 70 | 1.294 1.667 1.994 2.381 2.648 3.211 3.435 | 70 80 | 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 3.195 3.416 | 80 100 | 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 3.174 3.390 | 100 150 | 1.287 1.655 1.976 2.351 2.609 3.145 3.357 | 150 200 | 1.286 1.653 1.972 2.345 2.601 3.131 3.340 | 200 -------+---------------------------------------------------------+---Two Tails 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.002 0.001
One Tail
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.0005
Contoh : Tentukanlah 1. t0,25( 9 ) 2. t0,05( 20 ) 3. tα/2(n – 1)
α = 0,05
4. tα( 12 ) = 2,6810 5. tα( 12 ) = - 2,6810 6. tα(n – 1 ) = 1,9944
t0,025/2(21
)
α= ? α= ? n= ?
7. t0,05(∞) =
= Z0,05 = 1,6449
8. t0,025(∞) =
= Z0,025 = 1,96
. http://easycalculation.com/statistics/t-distribution-critical-value-table.php 11/10/2012 α (1 tail) 0.05
0.025
0.01
0.005
0.0025
0.001
0.0005
α (2 tail) 0.1
0.05
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
df 1
6.3138 12.7065 31.8193 63.6551 127.3447 318.4930 636.0450
2
2.9200 4.3026
6.9646
9.9247
14.0887
22.3276
31.5989
3
2.3534 3.1824
4.5407
5.8408
7.4534
10.2145
12.9242
4
2.1319 2.7764
3.7470
4.6041
5.5976
7.1732
8.6103
5
2.0150 2.5706
3.3650
4.0322
4.7734
5.8934
6.8688
6
1.9432 2.4469
3.1426
3.7074
4.3168
5.2076
5.9589
7
1.8946 2.3646
2.9980
3.4995
4.0294
4.7852
5.4079
8
1.8595 2.3060
2.8965
3.3554
3.8325
4.5008
5.0414
9
1.8331 2.2621
2.8214
3.2498
3.6896
4.2969
4.7809
10
1.8124 2.2282
2.7638
3.1693
3.5814
4.1437
4.5869
11
1.7959 2.2010
2.7181
3.1058
3.4966
4.0247
4.4369
12
1.7823 2.1788
2.6810
3.0545
3.4284
3.9296
4.3178
13
1.7709 2.1604
2.6503
3.0123
3.3725
3.8520
4.2208
14
1.7613 2.1448
2.6245
2.9768
3.3257
3.7874
4.1404
15
1.7530 2.1314
2.6025
2.9467
3.2860
3.7328
4.0728
16
1.7459 2.1199
2.5835
2.9208
3.2520
3.6861
4.0150
17
1.7396 2.1098
2.5669
2.8983
3.2224
3.6458
3.9651
18
1.7341 2.1009
2.5524
2.8784
3.1966
3.6105
3.9216
19
1.7291 2.0930
2.5395
2.8609
3.1737
3.5794
3.8834
20
1.7247 2.0860
2.5280
2.8454
3.1534
3.5518
3.8495
21
1.7207 2.0796
2.5176
2.8314
3.1352
3.5272
3.8193
22
1.7172 2.0739
2.5083
2.8188
3.1188
3.5050
3.7921
23
1.7139 2.0686
2.4998
2.8073
3.1040
3.4850
3.7676
24
1.7109 2.0639
2.4922
2.7970
3.0905
3.4668
3.7454
25
1.7081 2.0596
2.4851
2.7874
3.0782
3.4502
3.7251
26
1.7056 2.0555
2.4786
2.7787
3.0669
3.4350
3.7067
27
1.7033 2.0518
2.4727
2.7707
3.0565
3.4211
3.6896
28
1.7011 2.0484
2.4671
2.7633
3.0469
3.4082
3.6739
29
1.6991 2.0452
2.4620
2.7564
3.0380
3.3962
3.6594
30
1.6973 2.0423
2.4572
2.7500
3.0298
3.3852
3.6459
31
1.6955 2.0395
2.4528
2.7440
3.0221
3.3749
3.6334
32
1.6939 2.0369
2.4487
2.7385
3.0150
3.3653
3.6218
33
1.6924 2.0345
2.4448
2.7333
3.0082
3.3563
3.6109
34
1.6909 2.0322
2.4411
2.7284
3.0019
3.3479
3.6008
35
1.6896 2.0301
2.4377
2.7238
2.9961
3.3400
3.5912
36
1.6883 2.0281
2.4345
2.7195
2.9905
3.3326
3.5822
37
1.6871 2.0262
2.4315
2.7154
2.9853
3.3256
3.5737
38
1.6859 2.0244
2.4286
2.7115
2.9803
3.3190
3.5657
39
1.6849 2.0227
2.4258
2.7079
2.9756
3.3128
3.5581
40
1.6839 2.0211
2.4233
2.7045
2.9712
3.3069
3.5510
41
1.6829 2.0196
2.4208
2.7012
2.9670
3.3013
3.5442
42
1.6820 2.0181
2.4185
2.6981
2.9630
3.2959
3.5378
43
1.6811 2.0167
2.4162
2.6951
2.9591
3.2909
3.5316
44
1.6802 2.0154
2.4142
2.6923
2.9555
3.2861
3.5258
45
1.6794 2.0141
2.4121
2.6896
2.9521
3.2815
3.5202
46
1.6787 2.0129
2.4102
2.6870
2.9488
3.2771
3.5149
47
1.6779 2.0117
2.4083
2.6846
2.9456
3.2729
3.5099
48
1.6772 2.0106
2.4066
2.6822
2.9426
3.2689
3.5051
49
1.6766 2.0096
2.4049
2.6800
2.9397
3.2651
3.5004
50
1.6759 2.0086
2.4033
2.6778
2.9370
3.2614
3.4960
51
1.6753 2.0076
2.4017
2.6757
2.9343
3.2579
3.4917
52
1.6747 2.0066
2.4002
2.6737
2.9318
3.2545
3.4877
53
1.6741 2.0057
2.3988
2.6718
2.9293
3.2513
3.4838
54
1.6736 2.0049
2.3974
2.6700
2.9270
3.2482
3.4800
55
1.6730 2.0041
2.3961
2.6682
2.9247
3.2451
3.4764
56
1.6725 2.0032
2.3948
2.6665
2.9225
3.2423
3.4730
57
1.6720 2.0025
2.3936
2.6649
2.9204
3.2394
3.4696
58
1.6715 2.0017
2.3924
2.6633
2.9184
3.2368
3.4663
59
1.6711 2.0010
2.3912
2.6618
2.9164
3.2342
3.4632
60
1.6706 2.0003
2.3901
2.6603
2.9146
3.2317
3.4602
61
1.6702 1.9996
2.3890
2.6589
2.9127
3.2293
3.4573
62
1.6698 1.9990
2.3880
2.6575
2.9110
3.2269
3.4545
63
1.6694 1.9983
2.3870
2.6561
2.9092
3.2247
3.4518
64
1.6690 1.9977
2.3860
2.6549
2.9076
3.2225
3.4491
65
1.6686 1.9971
2.3851
2.6536
2.9060
3.2204
3.4466
66
1.6683 1.9966
2.3842
2.6524
2.9045
3.2184
3.4441
67
1.6679 1.9960
2.3833
2.6512
2.9030
3.2164
3.4417
68
1.6676 1.9955
2.3824
2.6501
2.9015
3.2144
3.4395
69
1.6673 1.9950
2.3816
2.6490
2.9001
3.2126
3.4372
70
1.6669 1.9944
2.3808
2.6479
2.8987
3.2108
3.4350
71
1.6666 1.9939
2.3800
2.6468
2.8974
3.2090
3.4329
72
1.6663 1.9935
2.3793
2.6459
2.8961
3.2073
3.4308
73
1.6660 1.9930
2.3785
2.6449
2.8948
3.2056
3.4288
74
1.6657 1.9925
2.3778
2.6439
2.8936
3.2040
3.4269
75
1.6654 1.9921
2.3771
2.6430
2.8925
3.2025
3.4250
76
1.6652 1.9917
2.3764
2.6421
2.8913
3.2010
3.4232
77
1.6649 1.9913
2.3758
2.6412
2.8902
3.1995
3.4214
78
1.6646 1.9909
2.3751
2.6404
2.8891
3.1980
3.4197
79
1.6644 1.9904
2.3745
2.6395
2.8880
3.1966
3.4180
80
1.6641 1.9901
2.3739
2.6387
2.8870
3.1953
3.4164
81
1.6639 1.9897
2.3733
2.6379
2.8859
3.1939
3.4147
82
1.6636 1.9893
2.3727
2.6371
2.8850
3.1926
3.4132
83
1.6634 1.9889
2.3721
2.6364
2.8840
3.1913
3.4117
84
1.6632 1.9886
2.3716
2.6356
2.8831
3.1901
3.4101
85
1.6630 1.9883
2.3710
2.6349
2.8821
3.1889
3.4087
86
1.6628 1.9879
2.3705
2.6342
2.8813
3.1877
3.4073
87
1.6626 1.9876
2.3700
2.6335
2.8804
3.1866
3.4059
88
1.6623 1.9873
2.3695
2.6328
2.8795
3.1854
3.4046
89
1.6622 1.9870
2.3690
2.6322
2.8787
3.1844
3.4032
90
1.6620 1.9867
2.3685
2.6316
2.8779
3.1833
3.4020
91
1.6618 1.9864
2.3680
2.6309
2.8771
3.1822
3.4006
92
1.6616 1.9861
2.3676
2.6303
2.8763
3.1812
3.3995
93
1.6614 1.9858
2.3671
2.6297
2.8755
3.1802
3.3982
94
1.6612 1.9855
2.3667
2.6292
2.8748
3.1792
3.3970
95
1.6610 1.9852
2.3662
2.6286
2.8741
3.1782
3.3959
96
1.6609 1.9850
2.3658
2.6280
2.8734
3.1773
3.3947
97
1.6607 1.9847
2.3654
2.6275
2.8727
3.1764
3.3936
98
1.6606 1.9845
2.3650
2.6269
2.8720
3.1755
3.3926
99
1.6604 1.9842
2.3646
2.6264
2.8713
3.1746
3.3915
100
1.6602 1.9840
2.3642
2.6259
2.8706
3.1738
3.3905
101
1.6601 1.9837
2.3638
2.6254
2.8700
3.1729
3.3894
102
1.6599 1.9835
2.3635
2.6249
2.8694
3.1720
3.3885
103
1.6598 1.9833
2.3631
2.6244
2.8687
3.1712
3.3875
104
1.6596 1.9830
2.3627
2.6240
2.8682
3.1704
3.3866
105
1.6595 1.9828
2.3624
2.6235
2.8675
3.1697
3.3856
106
1.6593 1.9826
2.3620
2.6230
2.8670
3.1689
3.3847
107
1.6592 1.9824
2.3617
2.6225
2.8664
3.1681
3.3838
108
1.6591 1.9822
2.3614
2.6221
2.8658
3.1674
3.3829
109
1.6589 1.9820
2.3611
2.6217
2.8653
3.1667
3.3820
110
1.6588 1.9818
2.3607
2.6212
2.8647
3.1660
3.3812
111
1.6587 1.9816
2.3604
2.6208
2.8642
3.1653
3.3803
112
1.6586 1.9814
2.3601
2.6204
2.8637
3.1646
3.3795
113
1.6585 1.9812
2.3598
2.6200
2.8632
3.1640
3.3787
114
1.6583 1.9810
2.3595
2.6196
2.8627
3.1633
3.3779
115
1.6582 1.9808
2.3592
2.6192
2.8622
3.1626
3.3771
116
1.6581 1.9806
2.3589
2.6189
2.8617
3.1620
3.3764
117
1.6580 1.9805
2.3586
2.6185
2.8612
3.1614
3.3756
118
1.6579 1.9803
2.3583
2.6181
2.8608
3.1607
3.3749
119
1.6578 1.9801
2.3581
2.6178
2.8603
3.1601
3.3741
120
1.6577 1.9799
2.3578
2.6174
2.8599
3.1595
3.3735
121
1.6575 1.9798
2.3576
2.6171
2.8594
3.1589
3.3727
122
1.6574 1.9796
2.3573
2.6168
2.8590
3.1584
3.3721
123
1.6573 1.9794
2.3571
2.6164
2.8585
3.1578
3.3714
124
1.6572 1.9793
2.3568
2.6161
2.8582
3.1573
3.3707
125
1.6571 1.9791
2.3565
2.6158
2.8577
3.1567
3.3700
126
1.6570 1.9790
2.3563
2.6154
2.8573
3.1562
3.3694
127
1.6570 1.9788
2.3561
2.6151
2.8569
3.1556
3.3688
128
1.6568 1.9787
2.3559
2.6148
2.8565
3.1551
3.3682
129
1.6568 1.9785
2.3556
2.6145
2.8561
3.1546
3.3676
130
1.6567 1.9784
2.3554
2.6142
2.8557
3.1541
3.3669
131
1.6566 1.9782
2.3552
2.6139
2.8554
3.1536
3.3663
132
1.6565 1.9781
2.3549
2.6136
2.8550
3.1531
3.3658
133
1.6564 1.9779
2.3547
2.6133
2.8546
3.1526
3.3652
134
1.6563 1.9778
2.3545
2.6130
2.8542
3.1522
3.3646
135
1.6562 1.9777
2.3543
2.6127
2.8539
3.1517
3.3641
136
1.6561 1.9776
2.3541
2.6125
2.8536
3.1512
3.3635
137
1.6561 1.9774
2.3539
2.6122
2.8532
3.1508
3.3630
138
1.6560 1.9773
2.3537
2.6119
2.8529
3.1503
3.3624
139
1.6559 1.9772
2.3535
2.6117
2.8525
3.1499
3.3619
140
1.6558 1.9771
2.3533
2.6114
2.8522
3.1495
3.3614
141
1.6557 1.9769
2.3531
2.6112
2.8519
3.1491
3.3609
142
1.6557 1.9768
2.3529
2.6109
2.8516
3.1486
3.3604
143
1.6556 1.9767
2.3527
2.6106
2.8512
3.1482
3.3599
144
1.6555 1.9766
2.3525
2.6104
2.8510
3.1478
3.3594
145
1.6554 1.9765
2.3523
2.6102
2.8506
3.1474
3.3589
146
1.6554 1.9764
2.3522
2.6099
2.8503
3.1470
3.3584
147
1.6553 1.9762
2.3520
2.6097
2.8500
3.1466
3.3579
148
1.6552 1.9761
2.3518
2.6094
2.8497
3.1462
3.3575
149
1.6551 1.9760
2.3516
2.6092
2.8494
3.1458
3.3570
150
1.6551 1.9759
2.3515
2.6090
2.8491
3.1455
3.3565
151
1.6550 1.9758
2.3513
2.6088
2.8489
3.1451
3.3561
152
1.6549 1.9757
2.3511
2.6085
2.8486
3.1447
3.3557
153
1.6549 1.9756
2.3510
2.6083
2.8483
3.1443
3.3552
154
1.6548 1.9755
2.3508
2.6081
2.8481
3.1440
3.3548
155
1.6547 1.9754
2.3507
2.6079
2.8478
3.1436
3.3544
156
1.6547 1.9753
2.3505
2.6077
2.8475
3.1433
3.3540
157
1.6546 1.9752
2.3503
2.6075
2.8472
3.1430
3.3536
158
1.6546 1.9751
2.3502
2.6073
2.8470
3.1426
3.3531
159
1.6545 1.9750
2.3500
2.6071
2.8467
3.1423
3.3528
160
1.6544 1.9749
2.3499
2.6069
2.8465
3.1419
3.3523
161
1.6544 1.9748
2.3497
2.6067
2.8463
3.1417
3.3520
162
1.6543 1.9747
2.3496
2.6065
2.8460
3.1413
3.3516
163
1.6543 1.9746
2.3495
2.6063
2.8458
3.1410
3.3512
164
1.6542 1.9745
2.3493
2.6062
2.8455
3.1407
3.3508
165
1.6542 1.9744
2.3492
2.6060
2.8452
3.1403
3.3505
166
1.6541 1.9744
2.3490
2.6058
2.8450
3.1400
3.3501
167
1.6540 1.9743
2.3489
2.6056
2.8448
3.1398
3.3497
168
1.6540 1.9742
2.3487
2.6054
2.8446
3.1394
3.3494
169
1.6539 1.9741
2.3486
2.6052
2.8443
3.1392
3.3490
170
1.6539 1.9740
2.3485
2.6051
2.8441
3.1388
3.3487
171
1.6538 1.9739
2.3484
2.6049
2.8439
3.1386
3.3483
172
1.6537 1.9739
2.3482
2.6047
2.8437
3.1383
3.3480
173
1.6537 1.9738
2.3481
2.6046
2.8435
3.1380
3.3477
174
1.6537 1.9737
2.3480
2.6044
2.8433
3.1377
3.3473
175
1.6536 1.9736
2.3478
2.6042
2.8430
3.1375
3.3470
176
1.6536 1.9735
2.3477
2.6041
2.8429
3.1372
3.3466
177
1.6535 1.9735
2.3476
2.6039
2.8427
3.1369
3.3464
178
1.6535 1.9734
2.3475
2.6037
2.8424
3.1366
3.3460
179
1.6534 1.9733
2.3474
2.6036
2.8423
3.1364
3.3457
180
1.6534 1.9732
2.3472
2.6034
2.8420
3.1361
3.3454
181
1.6533 1.9731
2.3471
2.6033
2.8419
3.1358
3.3451
182
1.6533 1.9731
2.3470
2.6031
2.8416
3.1356
3.3448
183
1.6532 1.9730
2.3469
2.6030
2.8415
3.1354
3.3445
184
1.6532 1.9729
2.3468
2.6028
2.8413
3.1351
3.3442
185
1.6531 1.9729
2.3467
2.6027
2.8411
3.1349
3.3439
186
1.6531 1.9728
2.3466
2.6025
2.8409
3.1346
3.3436
187
1.6531 1.9727
2.3465
2.6024
2.8407
3.1344
3.3433
188
1.6530 1.9727
2.3463
2.6022
2.8406
3.1341
3.3430
189
1.6529 1.9726
2.3463
2.6021
2.8403
3.1339
3.3428
190
1.6529 1.9725
2.3461
2.6019
2.8402
3.1337
3.3425
191
1.6529 1.9725
2.3460
2.6018
2.8400
3.1334
3.3422
192
1.6528 1.9724
2.3459
2.6017
2.8398
3.1332
3.3419
193
1.6528 1.9723
2.3458
2.6015
2.8397
3.1330
3.3417
194
1.6528 1.9723
2.3457
2.6014
2.8395
3.1328
3.3414
195
1.6527 1.9722
2.3456
2.6013
2.8393
3.1326
3.3411
196
1.6527 1.9721
2.3455
2.6012
2.8392
3.1323
3.3409
197
1.6526 1.9721
2.3454
2.6010
2.8390
3.1321
3.3406
198
1.6526 1.9720
2.3453
2.6009
2.8388
3.1319
3.3403
199
1.6525 1.9720
2.3452
2.6008
2.8387
3.1317
3.3401
200
1.6525 1.9719
2.3451
2.6007
2.8385
3.1315
3.3398
PENDUGAAN PARAMETER ( PARAMETER ESTIMATION ) Nilai parameter seperti µx, x2 , x adalah nilai-nilai yang diketahui karena N yang terlalu besar atau semua N tidak bisa diamati. Tetapi dalam kehidupan nilai-nilai parameter ini yang akan banyak manfaatnya kalau nilainya diketahui. Untuk mendapatkan nilai parameter tersebut, bisa dilakukan dengan pendugaan yaiatu nilai parameter itu diduga dengan statistik yang berasal dari sampel ( X , S2, dan S ), dan proses inilah yang dinamakan dengan STATISTIKA INFERENSIA.
Pop. Xi
: X1
X2
X3
X4 ….. XN
X2
X3
X 4 … ..
µx
;
σx
Sampel n Pop. X
:
X1
X Nn
X X
Pendugaan µx dengan menggunakan satu nilai X ini tidak akan persis tepat, adalah kesalahannya. Seberapa besar kesalan yang dibuat dalam pendugaan itu ditentukan dengan peluang atau probability.
Ada dua cara pendugaan suatu nilai parameter dengan nilai satistik yaitu cara : 1. Pendugaan dengan selang kepercayaan ( Confidence Interval Estimate ) 2. Pendugaan titik ( Point Estimate )
I.
PENDUGAAN DENGAN SELANG KEPERCAYAAN ( CONFIDENCE-INTERVAL ESTIMATE)
1. PENDUGAAN µ x DENGAN SELANG KEPERCAYAAN DIAMANA NILAI σx DIKETAHUI.
Zi
Z dengan rumus
X
X i x x n
Note : kurva P(X
1
≤
µx
≤ X
2
)=(1–α)
P (-Zα/2 ≤ Z ≤ Zα/2) = ( 1 – α )
P (-Zα/2 ≤ Z ≤ Zα/2) = ( 100 – α )
P ( -Zα/2 ≤
Z / 2
x n
X Z / 2
X i x x n
≤ Zα/2) = ( 1 – α )
X x Z / 2 x n
: dikali
x n
x
x X Z / 2
: ditamabah
n x n
X
P( X Z / 2 Kalau
x n
x X Z / 2
x n
) (100 )
α = 0,10
Z α/2 = Z0,05 = 1,645
α = 0,05
Z α/2 = Z0,025 = 1,96
α = 0,01
Z α/2 = Z0,005 = 2,576
Kembali ke : Pop Xi :
2
4
µx = 4
6
;
x = 1,633
Dari populasi ini ditarik sampel n = 8 maka N = 6561 Pilih satu nilainya
X
dan duga µx dengan selang kepercayan 95%
P( X 1 = ?) = 0,15 dikiri
X1
= 2,8682
Antara ( X 1 -
X2 X2
X1
dan
P( X 2 = ?) = 0,15 dikanan
X2
= 5,1317
) aka nada nilai
X
yang bagus untuk menduga
µx sebanyak 95 % X 6561 = 6233 Untuk nilai-nilai X < 2,8682 dan nilai-nilai X > 5,1317 yang jumlah 5 % dari 6561 tidak mengandung nilai µx bila digunakan untuk pendugaan nilai µx dimaksud.
Contoh : Diketahui produksi kentang per hektar mempunyai simpang baku 0,18 ton. Jika rata-rata hasil kentang dari 36 daerah sampel 18 ton per hektar, tentukanlah rata-rata produksi per hektar dengan selang kepercayaan 70, 80 dan 90 % berdasarkan data sampel tersebut.
1. PENDUGAAN µ x DENGAN SELANG KEPERCAYAAN DIAMANA NILAI σx TIDAK DIKETAHUI. Karena nilai σx tidak diketahui, maka nilai ini kita duga dengan nilai S, sehingga nilai Z berubah menjadi nilai t student.
P( X Z / 2
x n
x X Z / 2
x n
) (100 )
nilai σx diganti dengan nilai S, tentunya Z digantic dengan tα/2, maka :
P( X t / 2( n 1)
S S x X t / 2( n 1) ) (1 ) n n
Contohkan dengan tinggi mahasiswa. Berapa nilai µx, nilai σx tidak diketahui
tarik sampel n
PENGUJIAN HIPOTESIS Hubungan populasi dengan sampelnya sudah dibicarakan sampel sampel
Populasi
sampel
x = µx
X =
x n
Sekarang akan dipelajari hubungan sampel dengan populasinya
Populasi (µx, x2
σx )
Sampel sampel Sampel
, s2, s 2 X,s , s 2 X,s , s X
Dengan informasi dari satu sampel saja kita tarik kesimpulan tentang populasi (parameter) dari mana sampel tersebut berasal, yang didasarkan pada konsep distribusi rata-rata sampel. Inilah yang kita kenal dengan teori statistika inferensia.
Hipotesis : adalah suatu rekaan awal berdasarkan kepada peng amatan pendahuluan dari fakta yang ada. Rekaan awal ini bisa benar dan bisa salah, maka perlu pengujian yaitu Pengujian Hipotesis. Pengujian tersebut bertolak dari fakta yang lebih baru dan objektif. Jika fakta baru tersebut cocok/menyokong hipotesis maka hipotesis kita terima, tetapi jika fakta baru tersebut tidak menyokong hipotesis, maka hipotesis ditolak. Pengujian hipotesis harus bersifat objektif, terlepas dari kepentingan pribadi/kelompok.
Dalam pengujian hipotesis dikenal dua macam hipotesis yaitu Hipotesis Nol ( Ho ) dan Hipotesis Alternatif ( H1). Ho adalah pernyataan tentang parameter yang dinyatakan tidak terjadi perubahan atau tidah pengaruh. Dalam pengadilan Ho ini identik dengan Praduga tidak bersalah. Dalam pengujian Hipotesis Ho inilah yang di uji. Hipotesis Alternatif atau hipotesis tandingan adalah pernyataan yang berlawanan dengan Ho, dengan perkataan lain sudah terjadi perubahan: Ho : H1 :
µx µx
= 50 cm ≠ 50 cm
Dalam mengambilan keputusan yaitu apakah menerima atau menolak hipotesis nol diperlukan penetapan daerah kritis yaitu daerah penolakan Ho atau nilai kritis (C1 danC2 ) pada kurva teoritis ( kurva Z, t, 2, F). Daerah dibawah kurva yang berada diluar daerah kritis adalah daerah penerimaan dari Ho ( C1 - C2 )
daerah kritis
daerah kritis
(α/2)
(α/2)
daerah penerimaan
C1
C2
Luas daerah kritis merupakan peluang untuk menolak Ho yang benar. Peluang ini juga disebut taraf nyata ( level of significance ) yang dilambangkan dengan α
Ada tiga jenis pengujian hipotesis yaitu (1) pengujian dua arah, (2) pengujian satu arah ke kanan, dan (3) pengujian satu arah ke kiri. (1): Ho : H1 :
µx = µo µx ≠ µo
(2): Ho : H1 :
µx µx
≤ >
µo µo
(3): Ho : H1 :
µx ≥ µo µx < µo
Dalam pengujian Hipotesis berkemungkinan bisa terjadi kesalahan yaitu Kesalahan tipe I atau Kesalahan tipe II. Kesalahan tipe I terjadi jika Hipotesis nol yang benar ditolak, peluangnya dinyatakan dengan α, sedangkan
Kesalahan tipe II terjadi jika Hipotesis nol yang salah diterima, peluangnya dinyatakan dengan β. Tabel hasil pengujian hipotesis dan peluangnya Keputusan pengujian Kondisi aktual Diterima Ho Ditolak Ho Kesalahan tipe I Keputusan benar Ho benar Peluangnya = α Peluang = (1 - α ) Keputusan benar Kesalah tipe II Ho salah Peluang = ( 1 - β ) Peluang = β Bila peluang untuk membuat salah satu tipe kesalahan diperkecil, maka peluang untuk membuat kesalahan tipe lainnya akan bertambah besar Usaha untuk memperkecil peluang membuat kesalahan tipe I dan II adalah dengan : 1. Memperbesar jumalh sampel 2. Memperkecil ragam populasi 3. Kombinasi 1 dan 2 di atas.
http://www.socialresearchmethods.net/kb/stat_t.php 20 Oktober 2012.
Langkah-langkah Pengujian hipotesis : 1. Tentukan Ho dan H1 2. Kemukakan assumsi, dan tetapkan besar taraf nyata (α ). 3. Tentukan besar sampel atau n 4. Tentukan teknik pengujian statistik yang tepat 5. Tentukan daerah kritis 6. Kumpulkan data sampel dan hitung nilai test statistik yang cocok. 7. Tentukan apakah nilai test statitsik jatuh di dalam atau diluar daerah kritis dan buat keputusan statistik. 8. Kesimpulan pengujian.
1. PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI NILAI TENGAH POPULASI ( µx ) DIMANA σx DIKETAHUI Untuk pengujian ini diperlukan data baru, dalam hal ini data diperoleh dari satu sampel (n) yang ditarik secara acak dari populasi terkait, katakan x1 x2 x3 ……. xn dari sampel ini dihitung X . Dengan demikian kita terkait dengan distribusi asal, distribusi rata-rata sampel, dan distribusi normal standard, sehingga test statistiknya adalah :
Z
hit .
X
i
0
x
n Kemudian secara umum nilai Zhit dibandingkan dengan nilai Zα, dan jika ternyata nilai
Zhit
>
Zα
maka Ho ditolak dan H1 diterima.
CONTOH : Berdasarkan laporan Rektor tahun 2000 rata-rata IPK lulusan universitas yang dipimpinnya adalah 2,65 dengan simpang baku 0,42. Mulai dari tahun 2001 Rektor menerapkan sistim pengajaran dan pembimbingan yang dianggap lebih baik. Pada tahun 2006 Rektor ingin mengetahui apakah ada pengaruh dari sistim yang diterapkannya tersebut terhadap IPK lulusan. Untuk menjawab keingin tahuan Rektor itu ditarik 36 dari lulusan sebagai sampel secara acak, dan ternyata dari sampel itu
rata-rata IPK adalah 2,78. Apa kesimpulan Rektor pada taraf nyata 5 %. JAWABAN : 1. Ho : µx ≤ 2,65 2. H1 : µx > 2,65 3. Asumsi : 1. Sampel berasal dari distribusi normal 2. Sampel diambil secara acak 4. Taraf nyata : α = 0,05 5. Daerah Kritis : Z0,05 = 1,645 Jika
Zhit
> 1,645 maka Ho ditolak
σx = 0,42 µo = 2,65
6.Perhitungan :
Z
hit .
X
i
x
n 7.Keputusan
0
Zhit.
X
= 2,78
n = 36
2,78 2,65 1,86 0,42 36
Zhit=1,86 > 1,645 , maka Ho ditolak
8.Kesimpulan : Sistim baru yang diterapkan Rektor nyata meningkatkan IPK lulusan. 2. PENGUJIAN HIPOTESIS MENGENAI NILAI TENGAH POPULASI ( µx ) DIMANA σx TIDAK DIKETAHUI Untuk pengujian ini diperlukan data baru berupa penarikan satu sampel ( n ) secara acak dari populasi terkait dan dihitung nilai X , s2 dan s. Karena nilai σx tidak diketahui maka nilai σx tersebut diduga dengan nilai s. Dengan demikian kita terlibat dengan distribusi asal,
distribusi rata-rata sampel dan distribusi t student, sehingga test statistinya adalah :
t hit .
X
i
0 s n
Kemudian secara umu nilai thit dibandingkan dengan nilai tα(n – 1), dan jika ternilai
thit > tα(n – 1) , maka Ho ditolak dan H1 diterima. CONTOH : Berdasarkan laporan Rektor tahun 2000 rata-rata IPK lulusan universitas yang dipimpinnya adalah 2,65 . Mulai dari tahun 2001 Rektor menerapkan sistim pengajaran dan pembimbingan yang dianggap lebih baik. Pada tahun 2006 Rektor ingin mengetahui apakah ada pengaruh dari sistim yang diterapkannya tersebut terhadap IPK lulusan. Untuk menjawab keingin tahuan Rektor itu ditarik 36 dari lulusan sebagai sampel secara acak, dan ternyata dari sampel itu rata-rata IPK adalah 2,78 dan simpang bakunya 0,36. Apa kesimpulan Rektor pada taraf nyata 5 %. JAWABAN : 1. Ho : µx ≤ 2,65 2. H1 : µx > 2,65 3. Asumsi : 1. Sampel berasal dari distribusi normal 2. Sampel diambil secara acak 4. Taraf nyata : α = 0,05
5. Daerah Kritis : t0,05(35) = 1,6896 Jika
thit
6.Perhitungan :
t hit .
X
i
> 1,6896 maka Ho ditolak
µo = 2,65
0 s n
X
= 2,78
t hit
s = 0,36
n = 36
2,78 2,65 2,17 0,36 36
7.Keputusan : thit = 2,17 > 1,6896 maka Ho ditolak 8.Kesimpulan : Sistim baru yang diterapkan nyata mening katkan IPK lulusan.
MEMBANDINGKAN DUA RATA-RATA POPULASI Dalam kehidupan orang sering ingin membandingkan dua atau lebih objek atau variable seperti : Apakah varitas yang diintroduksi lebih baik dari varitas lokal. Apakah pemberian pupuk A lebih baik dari pupuk B. Apakah jenis pelumas A lebih efisien dari jenis pelumas B. Apakah resep baru lebih baik dari resep sebelumnya. Apakah metode baru lebih baik dari metode konvensional. Artinya pada contoh di atas kita membandingkan dua nilai tengah populasi yaitu
µ1
dan
µ2 .
Dalam membandingkan dua nilai tengah dikenal dua : 1. PEBANDINGAN DUA NILAI TENGAH POPULASI YANG BERSIFAT INDEPENDEN ATAU BEBAS 2. PEBANDINGAN DUA NILAI TENGAH POPULASI YANG BERSIFAT DEPENDEN ATAU BERPASANGAN POPULASI 1 : POPULASI 2
POPULASI 1 : POPULASI 2
X11
X21
X11
X21
X12
X21
X12
X21
…
…
…
…
X1N1
X2N2
X1N1
X2N2
2 populasi bebas (homogen)
2 populasi berpasangan
DISTRIBUSI SELISIH DUA RATA-RATA SAMPEL BEBAS POPULASI 1
POPULASI 2
µX1, σX1
X11 X12 … X1N1 : n1 X 11
µX2, σX2
X21 X22 …. X2N2 : n2
X 12
…
n
X 1N
:
X 1, X 1
X 21
X 22
…
X 2N
n
: X 2,
X 2
PEMBANDINGAN DALAM HAL INI DENGAN CARA MEM PERHATIKAN SELISIH : X 11
_
X 21
X 12
_
X 21
…...
X 1N1
_
X 21
X 11
_
X 22
X 12
_
X 22
……
X 1N1
_
X 22
……
……
……
X 1N1
_
X 2N2
….. X 11
….. _
n
X 2N
X 12
_
n
X 2N
Ternyata dari populasi selisih rata-rata sampel mempunyai :
µ σ
( X 1 _ X 2)
=
X 1 - X 2 = µX1 - µX2
x21 ( X 1 _ X 2)
=
n1
x22 n2
Konversi distribusi selisih rata-rata sampel ke Distribusi Z
µ
X Z
1
X Z
σ
=0
( X 1 _ X 2)
( X 1 _ X 2)
=1
X 2 1 2 X 1 X 2 1
X 2 1 2 x21 n1
x22 n2
Terdahulu sudah disampaikan bahwa nilai σ1 dan σ2 sulit diketahui atau didapatkan dan nilai ini bisa disubstitusi dengan S1 dan S2 yang nilai mudah didapatkan. Jika populasi 1 dan populasi 2 adalah normal dan σ1 = σ2 dan nilai-nilai ini disubstitusi dengan S1 dan S2, maka nilai Z pada rumus di atas akan menjadi t sebagai berikut :
X t
1
X 2 1 2 1 1 S n1 n 2 2 p
Dimana seluruh nilai yang didapatkan akan mengikuti distribusi t Student dengan derajat bebasnya ( n1 + n2 - 2 ) dan dengan ragam sampel gabungan
S p2
:
S
2 p
n1 1S12 n2 1S22 n1 n2 2
Tetapi jika populasi 1 dan populasi 2 tidak mempunyai ragam yang sama (σ1 ≠ σ2 ), maka rumus t diatas menjadi sbb :
X t
1
X 2 1 2 S12 S 22 n1 n 2
dan semua nilai t nya akan mendekati distribusi t Student dengan derajat bebas (db ) sebagai berikut :
db
S 12 S 22 n n 2 1 2
S 12 n 1 n 1 1
2
2
S 22 n 2 n 2 1
PENGUJIAN HIPOTESIS Ho TENTANG DUA RATARATA POPULASI INDEPENDEN A. Simpang baku populasi kedua populasi sama (σ1 = dan diketahui.
σ2 )
Karena nilai simpang baku populasi diketahui, maka ujinya adalah uji Z sebagai berikut :
Z hit .
X
1
X 2 1 2 x21 n1
Jka
Zhit.
>
x22 n2
Zα , maka Ho ditolak.
B. Simpang baku populasi kedua populasi sama (σ1 = dan tidak diketahui.
σ2 )
Karena kedua nilai simpang baku populasi sama dan tidak diketahui, maka ujinya adalah uji t sebagai berikiut :
t hit .
X
1
X 2 1 2 1 1 S n1 n 2 2 p
dengan db = ( n1 + n2 - 2 )
Jika nilai
thit
>
tα(db)
, maka
Ho ditolak.
C. Simpang baku populasi kedua populasi tidak sama (σ1 ≠
σ2 ) dan tidak diketahui.
Karena kedua nilai simpang baku populasi tidak sama dan tidak diketahui, maka ujinya adalah uji t sebagai berikiut :
t hit .
X
db
Jika nilai
1
X 2 1 2 S12 S 22 n1 n 2 S 12 S 22 n n 2 1 2
S 12 n 1 n 1 1
thit
>
dengan db :
2
2
S 22 n 2 n 2 1
tα(db)
, maka
Ho ditolak.
CONTOH : 1. Seorang manager quality control dari suatu pabrik bola lampu ingin menentukan apakah ada perbedaan umur pakai dari bola lampu yang dihasilkan oleh dua jenis mesin yaitu mesin A dan mesin B. Telah diketahui bahwa simpang
baku populasi umur pakai dari bola lampu yang dihasilkan mesin A adalah 60 jam dan bola lampu yang dihasilkan mesin B adalah 90 jam. Satu sampel acak berupa 30 buah bola lampu dari mesin A dan ternyata rata-rata umur pakainya 2165 jam, dan satu sampel acak 25 buah bola lampu dari mesin B dan didapatkan bahwa rata-rata umur pakai dari bola lampu sampel itu adalah 2205 jam. Ujilah pada taraf nyata 5 % apakah terdapat perbedaan yang nyata dari umur pakai dari bola lampu yang dihasilkan kedua mesin tersebut. 2. Untuk menguji apakah ada pengaruh pemberian pupuk Nitrogen terhadap tinggi tanaman kedele dilakukan percobaan sebagai berikut. Kedele varitas Wilis ditanam dalam 56 pot yang kondisinya cukup seragam dan pada masing-masing pot di pelihara satu batang kedele. Dari 56 pot tanaman ini diambil secara acak sebanyak 25 pot untuk diberi pupuk Nitrogen dengan dosis setara 50 kg N per hektar, sedangkan 31 pot lagi tidak diberi pupuk Nitrogen. Pada minggu ke 12 setelah tanam diukur tinggi tanaman, dan didapatkan dari tanaman yang dipupuk N rata-rata tingginya adalah 74,9 cm dan simpang bakunya 3,6 cm, dari tanaman yang tidak dipupuk N rata-rata tingginya adalah 63,4 cm dengan simpang bakunya 5,0 cm. Kalau ragam populasi mengenai tinggi tanaman yang dipupuk N dan yang tidak dipupuk N adalah sama, ujilah pada taraf nyata 0,05 apaka terdapat pengaruh yang nyata dari pemupukan N terhadap tinggi tanaman kedele
PENGAMATAN BERPASANGAN Hal ini bertolak dari dua populasi yang bersifat tidak bebas atau dependen, dengan perkataan lain anggota populasi 1 berpasangan dengan anggota populasi 2. Kondisi ini timbul karena kondisi yang tidak seragam atau tidak homogen. Kondisi homogen hanya ditemukan pada pasangan yang sama, sedangkan antar pasangan tidak seragam.
Puncak Kurang subur
Kaki
Subur Paling subur Populasi 1 Populasi 2
Jenis Sedan Toyota Sedan Suzuki Sedan Nissan Sedang Honda
Oli A
Oli B
Pop. 1
Pop. 2
POP. 1
POP. 2
Dj = ( X1j - X2j )
X11 X12 X13 …… …… X1N
X21 X22 X23 …… …… X2N
D1 D2 D3 …… …… DN
Jika Distribusi selisih Dj di atas tidak diketahui Ragamnya atau simpang baku populasinya, maka distribusi tersebut bisa didekati dengan distruibusi t Student sebagai berikut ;
ti
X i x S n
ti
n
n
D
D x SD n
D
j 1
j
SD
n
D j 1
2 j
n D j j 1 n
2
n 1
PENGUJIAN HIPOTESIS ( Ho )PADA PENGAMATAN BERPASANGAN. Karena kedua nilai simpang baku populasi tidak diketahui, maka ujinya adalah uji t sebagai berikiut :
t hit .
D 0 SD n
Jika nilai
thit
dengan db = n – 1
>
tα(db)
, maka
Ho ditolak.
CONTOH Ingin diketahui apakah terdapat perbedaan nyata antara berat biji kedele yang berasal dari polong dekat pangkal batang dengan berat biji kedele yang berasal dari polong di
ujung batang kedele tipe indeterminate. Untuk itu diambil 10 batang tanaman kedele secara acak sebagai sampel, dan didapatkan data sebagaiberikut : Tanaman ke 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Berat biji dari polong pangkal ( g/100biji) 12,45 12,67 12,91 12,73 11,98 13,09 12,52 12,38 12,76 12,89
Berat biji dari polong ujung( g/100biji) 11,41 11,23 10,78 10,89 11,86 11,48 10,63 10,97 12,75 11,27
DISTRIBUSI CHI KUADRAT ( χ2 ) Distribusi Chi Kuadrat adalah tergolong distribusi kontinu dan berkaitan erat dengan distribusi normal standar.
Pop. : X1 X2 X3 ….. XN
Xi
Z
Z
Xi x x
Jika Z dikuadratkan 2 X X x i 2 x Z 2 i x x 2
Dari populasi di atas ditarik sampel n : X1 X2 X3 …… Xn , Kemudian dicari nilai Z2 untuk setiap anggota sampel dan dijumlahkan :
X 1 x 2 X 2 x 2 ........... X n x 2 x2
x2
x2
Z12 Z 22 ........ Z n2 Z i2
χ2
2
Bila dicari nilai χ untuk setiap sampel n dari populasi di atas maka di peroleh :
12
22
32
……
N2 : distribusi
Chi Kuadrat dgn (n –
1), Artinya setiap sampel yang besarnya n akan membentuk satu distribusi Chi Kuadrat dengan dbnya ( n - 1 ).
Berbeda dari distribusi normal dan distribusi t Student, distribusi Chi Kuadrat mempunyai kurva yang miring ke kanan, dan kemiringannya akan berkurang mengarah simetris dengan semakin bertambah besarnya sampel atau derajat bebeas ( n – 1).
2 ( n1) http://www.jrigol.com/Statistics/AboutChiSquare.htm 20
Oktober
2012.
walaupun kurvanya berbeda-beda tetapi luas daerah dibawah tetap 100 % atau 1 unit. 2
Nilai χ pada sumbu datar ditentukan oleh luas daerah dibawah kurva ( α ) dan derajat bebas (n – 1), dan untuk memudahkan sudah diciptakan Tabel Chi Kuadrat. Pada tabel ini nilai (n-1) adalah menentukan baris , dan nilai α mentukan kolum yang akan dibaca, perpotongan antara baris dan kolum yang dibaca 2 merupakan nilai χ pada luas kurva α dan db (n-1). 1. p (10) = ? 2. 2
2 (30)
= 18,493 α = ?
3.
02, 25( n1) =20,489
Pada saat (n-1) > 60 akan terdapat hubungan antara Z dgn
1.
Z 22 2(n 1) 1
2 Z (1) 2. / 2
n= ?
χ2 :
UJI DENGAN CHI KUADRAT 1. UJI APAKAH RAGAM POPULASI SAMA DENGAN HARGA YANG DIDUGA. Populasi
Z2
Sampel
X i x
2
x2 2 Z
S2
X
i
Z2
X
X
i
X
x2
2
( n 1)
2 hit .
X
i
X x2
2
db=(n-1)
2
2 ( n1)
X
i
X
2
( n 1) S 2
(n 1) S 2 x2
Kaedah ini dipakai untuk menguji hipotesis Ho : σx = σo , jika 2 2 2 hit . ( n 1) 2 0 maka Ho ditolak dan H1 diterima.
( n 1) S
CONTOH: Suatu pabrik accu merek A menyatakan bahwa rgam umur pakai accu tersebut 0,81. Diambil sampel acak 10 buak accu dan didapatkan ragam umur pakai sampel 1,44. Ujilah pernyataan pabrik pada taraf nyata 5 %.
2. PENGUJIAN KOMPATIBILITAS ( TEST OF GOODNESS OF FIT ). Pada dasarnya pada pengujian ini kita membanding nilai frekuensi dari pengamatan sampel dengan nilai frekuensi yang diperkirakan berdasarkan kaedah yang berlaku dari yang dibahas, sehingga nilai Chi Kuadrat yang dihitung adalah : 2 hit .
O i
Ei Ei
2 2 hit . ( n 1)
2
jika nilai
maka Ho ditolak dan H1 diterima.
Contoh : 1. Dari hasil persilangan genetik Aa X Aa ada 180 buah turunan dengan rincian genetik AA = 35, Aa = 105 , dan aa = 40. Ujilah pada taraf nyata 5 % apakah persilangan tersebut mengikuti kaedah hukum Mendel. 2. Sebuah mata dadu bersisi enam dilempar sebanyak 60 kali, dan jumlah frekuensi untuk masing mata dadu yang muncul adalah : Mata dadu Frekuensi
1 8
2 11
3 9
4 13
5 14
6 5
3. PENGUJIAN INDEPENDEN ( R X C ) TABEL Banyak data yang diklasifikasi atas beberapa baris ( Row ) dan beberapa kolum ( Colum ), secara umum sebagai berikut : Klasifikasi baris 1 2 3 … i Jumlah
1 O11 O21 O31 … Oi1 O.1
Klasifikasi lajur 2 3 … O12 O13 … O22 O23 … O32 O33 … … … … Oi2 Oi3 … O.2 O.3 …
j O1j O2j O3j … Oij O.j
Jumlah O1. O2. O3. … O1. O..
Eij = (Oi. X O.j ) / O.. 2 hit
O
E ij
2
ij
E ij
2 hit 2(r 1)(c1)
dengan db = ( r - 1)( c - 1) , jika : , maka Ho ditolak dan H1 diterima.
CONTOH : Ujilah pada taraf nyata 5 % apakah ada kaitan antara tipe kom puter dengan penggunaanya oleh pemilik berdasarkan data berikut Jenis kegunaan Tipe Jumlah komputer Bisnis Pendidkan Kesenangan IBM 55 5 6 66 Apple 34 10 5 49 Atari 5 24 23 52 Lain-lain 26 5 5 36 Jumlah 120 44 39 203
DISTRIBUSI F Distrubusi matematis ini di dapatkan oleh R. F. Fisher
Pop. Xi
: X1
n1 :
S112
n2
S 212
X2
X3 S132
S122
S 232
S 222
Perbandingan ragam sampel Dan F1
S 12
F2
>
µx
X4 ….. XN S142
S152
S 242
;
σx
2
……….. S1N
S 252 ………..
S 12 F S 22
S 22N
nilainya mendekati 1
S 22
F3
F4
F5
. . ………. FN
Distribusi F
Distribusi F ini mempunyai dua derajad bebas yaitu v1 dan v2 V1 = derajad bebas pembilang = (n1 – 1)
1- ∞
V2 = derajad bebas penyebut = (n2-1 )
1- ∞
Distribusi F tidaklah satu kurva saja, tetapi terdiri dari banyak kurva, karena setiap kombinasi dari v1 dan v2 membentuk satu distribusi F, yang kurvanya miring ke kanan.
Distribusi F bisa juga dibentuk dari perbandingan-perbandingan ragam sampel yang berasal dari dua populasi normal yang berbeda tetapi mempunyai ragam populasi yang sama, dengan kata lain
µ1 ≠ µ2
2 2 tetapi 1 2
http://www.statistics4u.info/fundstat_eng/cc_distri_fisher_f.html 21 Oktober 2012.
Tabel distribusi F (1 – α )
α Fα(v1, v2)
V2 = db penyebut 1 2 3 4 5 .. ∞
1
2
3
V1 = db pembilang 4 5 .. ..
..
..
∞
Fα(v1, v2)
F 0,05(3, 4) = 6,59 artinya 5 % dari nilai F dg db(3 , 4) lebih dari 6,59. Fα(v1, v2) = 1 / F(1-α)(v2, v1) F0,95(4, 3) = 1/ F0,05(3,4) = 1 / 6,59 = 0,1517
t 2
( n 1)
F (1, v 2 )
ANALISIS REGRESI Pada alisis terdahulu baru melibatkan satu variabel saja. Kalau sudah melibatkan dua atau lebih variabel , maka didekati dengan ANALISIS REGESI. ANALISIS REGRESI : Adalah teknik analisis statistik yang menguraikan hubungan antara satu variabel kuantitatif dependen ( variable respon ) dengan satu atau lebih variabel kuantitatif independen ( variable predictor ). Variabel dependen biasa dilambang dengan Y, dan variable independen dilambangkan dengan X. Berdasarkan jumlah variabel independen yang terlibat dalam analisis regresi, maka analisis regresi dibagi dua yaitu : 1. REGRESI SEDERHANA : yaitu analisis regresi yang hanya melibatkan satu variabel independen saja. ( SIMPLE REGRESSION). Eq. Hubungan antara dosis pupuk fospor dengan hasil. 2. REGRESI BERGANDA : yaitu analisis regesi yang melibatkan dua tau lebih variabel independen. (MULTIPLE REGRESSION ). Eq. Hubungan antara dosis pupuk N dan jumlah mulsa dengan hasil. Hubungan antara kandungan N, K, dan Cl pada daun tembakau dengan daya bakar daun.
TUJUAN ANALISIS REGRESI : 1. Menentukan model statistik dari variabel dependen dengan variabel independen yang terlibat. Menentukan variabel – variabel independen mana saja yang betul-betl berhubungan dengan variabel dependen. Apa bentuk hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen, apakah bersifat linear atau bukan linear ( kuadratik, kubik, exponensial, logaritmik). 2. Untuk memprediksi atau peramalan yaitu berapa nilai Y pada nilai X tertentu. 3. Untuk menduga nilai parameter yang terdapat dala model statistik yang terkait seperti β0, β1, β2, dll. Diagram pencar :
Y
X
Y
X
REGRESI LINEAR SEDERHANA Pada analisis ini sebetulnya yang dibicarakan adalah regresi linear Y pada X. X adalah variabel independen yang harga sudah tertentu atau ditetapkan, makanya variabel X bukanlah variabel random, dan diasumsikan tidak mempunyai kesalahan atau error. Y adalah variabel dependen yang nilainya merupakan respon terhadap variabel X, atau nilai Y tergantung pada X. Untuk nilai X tertentu nilai Y tidak satu, tetapi bervariasi dan membentuk satu populasi, Justeru itu variabel Y merupakan variabel random dan diasumsikan mempunyai kesalahan atau error. Sifat random dari variabel Y ini sangat penting, karena dengan sifat ini teori peluang bisa digunakan. Untuk mengambarkan hubungan Y dan X bias gigunaka satu sumbu koordinal, dimana X pada sumbu datar dan Y pada vertical sebagai berikut :
Garis regresi
y / x 0 1 xi
yN (xi, yi) . . . . β1 .
.. .. y3 y2 y1
β0
x1
x2
x3
..
..
xN
Pada gambar ini terlihat bahwa pada X tertentu nilai Y tidak satu tetapi bervariasi membentuk satu populasi. µ y adalah rata-rata Y pada X tertentu, dan semua nilai µ y dari seluruh nilai X membentuk garis regresi yaitu :
y / x 0 1 xi µ y/x
= adalah nilai rata-rata dari Y pada X tertentu.
β0
= adalah nilai Y pada saat X= 0, atau nilai Y pada saat garis regresi memotong sumbu Y, justeru itu disebut juga intercept. = adalah nilai tingat perubahan nilai Y untuk setiap unit perubahan nilai X. Disebut juga Slope karena menun jukan kemiringan garis regresi. Disebut juga Koefsien regresi.
β1
Bagaimana kalau : β0 = 0,
β1= 0,
β 1= + ,
Kembali ke persamaan garis regresi :
β 1= -
y / x 0 1 xi
Persamaan untuk satu titik Yi saja ( xi, yi ) tentu : Yi = β0 + β1xi + Ẹi Ẹi adalah variable error yaitu nilai perbedaan nilai µ y/x pada xi dengan nilai yi pada xi. atau Ẹi adalah nilai penyimpangan Yi dari µ y/x. Ẹi ini variabel random dan nilai rata-ratanya adalah nol dengan ragamnya σ2. Berdasarkan persamaan diatas nilai Yi akan sulit ditentukan karena β0, β1, dan Ẹi adalah parameter yang nilai tidak dike tahui. Tetapi nilaiYi ini bisa diperkirakan yaitu dengan menduga nilai β0 dengan b0 dan β1 diduga dengan b1, dimana nila bo dan b1 berasal dari sampel, sehingga garis regresi perkiraan adalah Ŷi = bo + b1 dan dengan metode Least square nilai bo dan b1 dapat ditentuk dengan rumus berikut :
b0 Y b1 X
dan
b1
X iY
X i2
X Y i
n 2 Xi
i
JP JK x
n
dengan demikian garis regresi perkiraan bisa didapatkan.
CONTOH : Ingin dipelajari hubungan antara umur dan tinggi dari anak-anak yang dalam masa pertumbuhan. Sampel Umur (Xi) Tinggi (Yi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah Rata2
b1
5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 116 11,6 X iY
X
2 i
77 89 97 110 121 130 142 156 163 164 1249 124.9
X Y
i
n 2 Xi
XiYi
Xi2
Yi2
385 534 …. …. …. …. …. …. …. 3280 15.946
25 36 …. …. …. …. …. …. …. 400 1594
5929 7921 …. …. …. …. …. …. …. 26896 164865
i
JP JK x
n 116X1249 15.946 1457,6 10 b1 5,87 2 246,4 (116) 1594 10
b0 Y b1 X
b0 = 124,9 – 5,87x 11,6 = 56,81
Jadi garis regresi perkiraan adalah: Ŷi = bo + b1 Xi
Ŷi = 56,81 + 5,87 Xi
INTERPRETASI
SUMBER KERAGAMAN PADA REGRESI LINEAR SEDERHANA Ŷi = bo + b1Xi , dimana nilai Ŷi tidak akan persis sama dengan nilai Yi faktual seperti terlihat ilustrasi seberikut :
yi
Ŷ i = bo + b1Xi
( xi , y i ) (xi, Ŷi )
y
(xi,y)
x
xi
x
Perbedaan yang terlihat pada gambar bisa diungkapkan dalam persamaan sebagai berikut :
(Yi Y ) (Yi Y ) (Y Y ) Jika dijumlahkan untuk seluruh Yi dimana I = 1, 2, …., n, n
Maka :
n
(Y Y ) (Y i 1
i
i 1
n
i
Y ) (Yi Y i ) 0 i 1
Agar nilainya tidak nol diatasi dengan mengkuadratkan sbb : n n 2 (Yi Y ) (Y i Y ) (Yi Y i ) i 1 i 1 i 1 n
n
Maka :
(Y i 1
i
n
2
n
Y ) (Y i Y ) (Yi Y i ) 2
JKTotal
2
2
i 1
= JK Regresi
i 1
+
JK Sisa
2
JKTotal
n Yi n (Yi Y )2 Yi 2 i 1 JKY n i 1
2 JP JKRe gresi b12 ( X i X ) 2 b1 JP JKx i 1 n
n
JKSisa (Yi Y i ) 2 JKTotal JKRe gresi i 1
Tabel Sidik Ragam Regresi Linear Sederhana Sumber Keragaman
db
JK
KT
1
JKReg.
KT Reg.
Sisa
(n – 2 )
JKSisa
KTSisa
Total
(n–1)
JKTot.
Regresi
Fhit.
Fα(1,(n-2)
Kuadrat Tengah (KT) adalah JK dibagi dengan dbnya sendiri, sedangkan : Fhit. = KTReg. / KTSisa Sidik Ragam ini digunakan untuk menguji H0 : β1= 0 Jika
Fhit. > Fα(1, n-2) maka H0 ditolak.
CONTOH : DATA UMUR DAN TINGGI BADAN TERDAHULU. 1. H0 : β1 = 0 2. H1 : β1 ≠ 0 3. Asumsi : Sampel acak. 4. Taraf Nyata :α = 0,05 5. Daerah Kritis : Tolak H0 jika Fhit. > F0,05, (1, 8) = 5.32
6. Data Sampel Umur (Xi) Tinggi (Yi) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Jumlah Rata2
5 6 7 8 10 12 14 16 18 20 116 11,6
77 89 97 110 121 130 142 156 163 164 1249 124.9
XiYi
Xi2
Yi2
385 534 …. …. …. …. …. …. …. 3280 15.946
25 36 …. …. …. …. …. …. …. 400 1594
5929 7921 …. …. …. …. …. …. …. 26896 164865
7. Perhitungan :
2
JKTotal
n Yi n 12492 i 1 2 Yi 164865 8864,9 n 10 i 1 2
n Yi n 1162 i 1 2 JK X X i 1594 248,4 n 10 i 1
n n X i Yi n (116)(1249) JP X iYi i 1 i 1 15946 1457,6 n 10 i 1
JK Re gresi
JP 2 1457,6 2 8553,13 JK x 248,4
JKSisa JKTotal JKRe gresi 8864,9 8553,13 311,77
KTRe g .
KTSisa FHit .
JK Re g . dbRe g .
8553,13 8553,13 1
JK Sisa 311,77 38,97 dbSisa 8 KTRe g . KTSisa
8553,13 219,5 38,97
Tabel Sidik Ragam Regresi Linear Sederhana Sumber Keragaman
db
JK
1
8553,13
Sisa
10-2=8
311,77
Total
10-1=9
8864,90
Regresi
KT
Fhit.
8553,13 219,5*
Fα(1,(n-2) 5,32
38,97
Kesimpulan : Ho ditolak, Jadi β1 ≠ 0, dengan perkataan lain nilai Yi sangat tergantung pada nilai Xi.
ANALISIS KORELASI
Analisis Korelasi mengkaji tingkat keeratan asosiasi antara dua variabel X dan Y yang digambarkan oleh nilai yang disebut Koefisien Korelasi yang dilambangkan dengan ( dibaca rho ), dan nilainya berada antara -1 s/d 1.
Y
Y
Y
X
1
X
1
X
0
Nilai adalah nilai parameter yang nilainya sulit diketahui, maka nilai ini diduga dengan nilai koeefisien korelasi yang berasal dari sampel yang dilambangkan dengan r.
Nilai koefisien korelasi r ditentukan dengan rumus :
2 1. r koef. deter minasi r
r
2.
JP JK x JK y
X iYi
n
2 2 X Y 2 2 i i X i Yi n n
PENGUJIAN H0 : 0
Bisa diuji dengan uji statistic berikut :
t hit
X i Yi
r 1 r2 n2
Jika thit > tα/2(n-2) maka H0 ditolak.
