Studentsk´y matematicko-fyzik´aln´ı ˇcasopis Roˇ cn´ık XX
ˇ ıslo C´ 2
Zad´ an´ı u ´ loh druh´ e s´ erie – str. 2 • T´ ema 4: Do hlubin – str. 4 T´ ema 5: Sd´ılen´ı tajemstv´ı – str. 4 • T´ ema 1: Mˇ eˇ ren´ı poˇ cas´ı – str. 6 Dominika Tanglov´ a: Prvn´ı n´ avrhy – str. 6 Dominik Krasula: V´ yzkum veˇ rejn´ eho m´ınˇ en´ı – str. 7 T´ ema 2: Kozy – str. 9
ˇ Casopis M&M a stejnojmenn´y korespondenˇcn´ı semin´ aˇr je urˇcen pro studenty stˇredn´ıch ˇskol, kteˇr´ı se zaj´ımaj´ı o matematiku, fyziku ˇci informatiku. Bˇehem ˇskoln´ıho roku dost´ avaj´ı ˇreˇsitel´e zdarma ˇc´ısla se zad´ an´ım u ´loh a t´emat k pˇrem´yˇslen´ı. Sv´ a ˇreˇsen´ı odes´ılaj´ı k n´ am do redakce. My jejich pˇr´ıspˇevky oprav´ıme, obodujeme a poˇsleme zpˇet. Nejzaj´ımavˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı otiskujeme.
2
Zad´ an´ı u ´loh Term´ın odesl´ an´ı druh´ e s´ erie: 25. 11. 2013 Obˇema rukama pevnˇe sv´ıral skaln´ı v´yˇcnˇelek. Des´ıtky shyb˚ u nebyly probl´em, ale visel zde dlouho. Moc dlouho. D˚ usledky znal, nechtˇel se louˇcit se svˇetem. Vˇsechny moˇznosti z´ achrany sv´epomoc´ı uˇz vˇsak vyˇcerpal, nezb´yvalo neˇz ˇcekat. Prsty pomalu klouzaly. Smiˇroval se se sv´ym osudem. V duchu se louˇcil se sv´ymi bl´ızk´ymi. Nemˇel sem jezdit. Proˇc j´ a? Prsty povolily. . . Zaklapl knihu a na zadn´ı stranu dopadla slza. Nemˇel na to. D´ıval se do neurˇcita a snaˇzil se zahnat myˇslenky, kter´e mu v´ıˇrily hlavou. Dlan´ı otˇrel vlhk´y povlak na knize. Jeho pozornost upoutal velk´y ˇcerven´y kˇr´ıˇz.
´ Uloha 2.1 – Kˇr´ıˇ z
(3b)
Pap´ır ve tvaru ˇctverce tuˇzkou rozdˇel´ıme na 9 menˇs´ıch stejnˇe velk´ ych ˇctverc˚ u. Po odstˇrihnut´ı 4 rohov´ ych ˇctverc˚ u dostaneme kˇr´ıˇz. Jak ho lze rozdˇelit dvˇema ˇrezy tak, aby ze vznikl´ ych ˇc´ ast´ı bylo moˇzn´e opˇet poskl´ adat ˇctverec? Opatrnˇe vzal knihu do ruky a nesl ji do knihovny. Pˇred uloˇzen´ım do nejsvrchnˇejˇs´ı police vyndal zprostˇredka z´ aloˇzku. Uˇz se k n´ı nikdy nevr´ at´ı. Slezl ze ˇzidle a prohl´ıˇzel si pˇrebaly ostatn´ıch knih.
´ Uloha 2.2 – Knihovna
(2b)
Reg´ al obsahuje N knih seˇrazen´ ych podle sv´eho n´ azvu, pˇriˇcemˇz ˇz´adn´e dvˇe knihy se nejmenuj´ı stejnˇe. Chtˇeli bychom je pˇreuspoˇr´ adat tak, aby kaˇzd´a byla na pozici pr´ avˇe o K vˇetˇs´ı nebo menˇs´ı. Pro jak´ a K v z´ avislosti na N to m˚ uˇzeme prov´est?
XX/2
3
Pod´ıval se z okna. Venku prˇselo. Nedalek´e stromy byly schov´ any za hustou b´ıloˇsedou zd´ı a v poryvech vˇetru se kym´ acely ze strany na stranu. Dostal chut’ na ˇcaj. Zam´ıˇril do kuchynˇe. S´ ahl po sv´em nejobl´ıbenˇejˇs´ım a s l´ askou se pustil do jeho pˇr´ıpravy. Vzpomnˇel si, ˇze pˇred nˇekolika dny se odhodlal k boji se ˇspinav´ym pr´ adlem. Praˇcka byla pr´ azdn´ a, a tak zam´ıˇril do suˇs´ arny.
´ Uloha 2.3 – Suˇs´ arna
(4b)
Venku je 0 ◦ C a prˇs´ı. V mal´e nevˇetran´e suˇs´ arnˇe vytopen´e na 25 ◦ C se snaˇz´ıme usuˇsit velk´e mnoˇzstv´ı mokr´eho pr´ adla. Po nˇekolika dnech je pr´adlo st´ale mokr´e. Pom˚ uˇze suˇsen´ı rychl´e vyvˇetr´ an´ı? Kolik vody zkondenzuje v m´ıstnosti nebo kolik vody se odpaˇr´ı z pr´ adla po jednom rychl´em vyvˇetr´ an´ı? Vzpom´ınky na ned´ avn´e dobrodruˇzstv´ı se noˇrily z hlubin. Snaˇzil se je zahnat do nejtemnˇejˇs´ıch a nejzapadlejˇs´ıch kout˚ u mysli. Ne´ uspˇeˇsnˇe. Proˇc? Proˇc j´ a? Usedl ke stolu. Jiˇz dlouho byly jeho jedin´ymi obyvateli modr´ a ˇsestihrann´ a tuˇzka a snˇehovˇe b´ıl´y arch pap´ır˚ u. Chv´ıli si pohr´ aval s ostr´ym psac´ım n´ astrojem, kdyˇz si vˇsiml duhov´ych prouˇzk˚ u, kter´e se neˇcekanˇe objevily na b´ıl´e podloˇzce. Rozhl´edl se. Kˇriˇst’´ alovˇe pr˚ uzraˇcn´y dokonale pravideln´y ˇctyˇrstˇen. Bez jedin´eho ˇskr´ abance, bez jedin´e bublinky uvnitˇr. V´ alel se na dˇrevˇen´e podloˇzce, jako kdyby tam patˇril jiˇz od nepamˇeti.
´ ˇ rstˇ Uloha 2.4 – Ctyˇ en
(2b)
Souˇcet u ´hl˚ u kolem kaˇzd´eho vrcholu ˇctyˇrstˇenu je roven 180 ◦ . Ukaˇzte, ˇze vˇsechny stˇeny ˇctyˇrstˇenu si jsou podobn´e.
4
Zad´ an´ı t´ emat T´ ema 4 – Do hlubin Evropsk´ a unie se rozhodla pˇridˇelit grant na geologick´ y v´ yzkum Mari´ansk´eho pˇr´ıkopu. C´ılem je vypravit ponorku na dno pˇr´ıkopu a nasb´ırat co nejvˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı vzork˚ u. ´ Ukolem je promyslet, propoˇc´ıtat, pˇripravit. . . vˇsechno! Napˇr.: Jak m´a vypadat ponorka (tvar, velikost, materi´ al, tˇesnˇen´ı, vstupy/v´ ystupy, . . .)? Robotick´a nebo s nˇejakou minim´ aln´ı pos´ adkou? Pˇr´ıpadnˇe co ta pos´adka bude potˇrebovat? Jak bude realizov´ ana komunikace s ponorkou? Jak budeme sb´ırat vzorky? Jak bude ponorka poh´ anˇena? Kolik paliva bude potˇreba? A kolik je vhodn´e vz´ıt do rezervy? Jak dlouho je rozumn´e, aby mise trvala? Jak bude prob´ıhat? Zuzka
T´ ema 5 – Sd´ılen´ı tajemstv´ı Pˇredstavte si, ˇze potˇrebujete zabezpeˇcit atomovou bombu. K jej´ımu ovl´ad´an´ı m´a pˇr´ıstup jen nˇekolik vysoce postaven´ ych st´ atn´ıch pˇredstavitel˚ u. Odp´alen´ı bomby by mˇelo dalekos´ ahl´e d˚ usledky, a proto nechcete, aby to mohl udˇelat jen jeden ˇclovˇek s´ am. Na druhou stranu v okamˇziku v´ alky je obˇcas potˇreba jednat rychle a nen´ı moˇzn´e ˇcekat, aˇz se sjedou vˇsichni gener´ alov´e. Pokud bude na m´ıstˇe dostatek dostateˇcnˇe kvalifikovan´ ych osob, mˇely by m´ıt moˇznost s bombou libovolnˇe zach´ azet. Podobn´ a situace se nemus´ı t´ ykat jen odpalov´ an´ı bomb. Napˇr´ıklad na dveˇr´ıch do Korunn´ı komory, kde jsou uschov´ any ˇcesk´e korunovaˇcn´ı klenoty, je sedm z´amk˚ u. Kl´ıˇc od kaˇzd´eho z nich m´ a jedna v´ yznamn´ a osoba. Aby mohly b´ yt klenoty vyzvednuty, mus´ı se vˇsichni sej´ıt. Nev´ yhodou zde je, ˇze staˇc´ı, aby byl jeden kl´ıˇc ztracen, a ke klenot˚ um se uˇz nikdy nikdo nedostane. Naˇs´ım c´ılem bude vymyslet nˇejak´e d˚ umyslnˇejˇs´ı syst´emy. Ty maj´ı v souˇcasnosti pˇrekvapivˇe velk´e uplatnˇen´ı napˇr´ıklad pˇri zabezpeˇcov´ an´ı dat. Matematicky si celou situaci m˚ uˇzeme pˇredstavit tak, ˇze pro odp´alen´ı bomby je potˇreba nˇejak´ y tajn´ y kl´ıˇc – hodnˇe velk´e ˇc´ıslo. Chtˇeli bychom, aby tento kl´ıˇc nikdo neznal s´ am, ale kdyˇz se sejde dostatek kvalifikovan´ ych osob (ty nazveme autorizovanou skupinou), tak aby ho dok´ azaly spoˇc´ıtat. Pˇekn´e by nav´ıc bylo, aby skupina osob, kter´ a nen´ı autorizovan´ a, nemohla o kl´ıˇci zjistit v principu v˚ ubec nic. Tedy aby z toho, co dohromady znaj´ı, nemohli ani odhadnout, jak´ y z kl´ıˇc˚ u bude spr´ avn´ y s vˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı. To by jim jinak mohlo pomoct pˇri pˇr´ıpadn´em zkouˇsen´ı moˇznost´ı. V praxi je potˇreba, aby sd´ılen´e tajemstv´ı bylo opravdu velk´e ˇc´ıslo, aby pravdˇepodobnost, ˇze na nˇej nˇekdo pˇrijde pouh´ ym zkouˇsen´ım, byla t´emˇeˇr nulov´a. T´ım se ale my tr´ apit nemus´ıme. Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u p˚ ujde umˇele tajemstv´ı libovolnˇe zv´ yˇsit, pˇr´ıpadnˇe bude urˇcitˇe moˇzn´e pouˇz´ıt sch´ema v´ıcekr´at a sestavit v´ ysledn´ y kl´ıˇc z nˇekolika menˇs´ıch.
XX/2
5
Zkusme se nejdˇr´ıve zamyslet nad vylepˇsen´ ym pˇr´ıkladem pro korunovaˇcn´ı klenoty. M˚ uˇze se st´ at, ˇze nˇekdo z vrcholn´ ych st´ atn´ıch pˇredstavitel˚ u onemocn´ı a nebude se moct otev´ır´ an´ı Korunn´ı komory z´ uˇcastnit. Proto bychom chtˇeli, aby komoru mohlo otevˇr´ıt libovoln´ ych ˇsest osob ze sedmi, kter´e nˇejakou ˇc´ast tajemstv´ı vlastn´ı. Co s t´ım? A co kdybychom mˇeli obecnˇe n osob a chtˇeli bychom, aby ˇ ast tajemstv´ı je tajemstv´ı umˇelo z´ıskat libovoln´ ych n − 1 z nich, ale ne m´enˇe? C´ pro n´ as opˇet nˇejak´e ˇc´ıslo ˇci skupina ˇc´ısel. Pˇredpokl´ ad´ame, ˇze algoritmus, jak ˇc´asti tajemstv´ı zkombinovat do v´ ysledn´eho tajemstv´ı, znaj´ı vˇsichni. Dalˇs´ı aplikac´ı by mohlo b´ yt napˇr´ıklad sch´ema umoˇzn ˇuj´ıc´ı zamˇestnanc˚ um banky otev´ırat a kontrolovat bankomaty. Aby nikdo ze zamˇestnanc˚ u nemohl pˇri kontrole bankomatu nˇejak´e pen´ıze ukr´ ast, je bˇeˇzn´e, ˇze bankomat mus´ı otev´ırat alespoˇ n dva zamˇestnanci souˇcasnˇe. Dejme tomu, ˇze banka m´ a 30 zamˇestnanc˚ u. Chtˇeli bychom mezi nˇe rozdˇelit tajemstv´ı tak, aby ho spoleˇcnˇe umˇeli zjistit libovoln´ı dva z nich, ale ne jen jeden s´ am. Jak bude potˇreba sch´ema upravit, pokud nˇejak´ y zamˇestnanec pˇribude, nebo ubude? Jak by vypadal algoritmus pro n zamˇestnanc˚ u? Vˇsechny pˇredchoz´ı ot´ azky lze spojit do jednoho obecn´eho sch´ematu. Pˇredstavme si, ˇze m´ ame n osob a chtˇeli bychom, aby tajemstv´ı dok´azalo zjistit libovoln´ ych k z nich (1 ≤ k ≤ n), ale aby k − 1 o tajemstv´ı nevˇedˇelo nic. Dok´azali byste si poradit i s takto zobecnˇen´ ym probl´emem? Ani takto obecn´e sch´ema ale nemus´ı staˇcit pokaˇzd´e. Mˇejme kr´ale a tˇri vojev˚ udce. L´ıbilo by se n´ am, aby tajemstv´ı znali vˇsichni tˇri vojev˚ udci nebo kr´al s jedn´ım vojev˚ udcem. Je moˇzn´e vytvoˇrit i takov´e sch´ema? Zkuste vymyslet nˇejak´e praktick´e aplikace, kde se sd´ılen´ı tajemstv´ı hod´ı. A navrhnout, co by sch´ema v dan´em konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe mˇelo splˇ novat, pˇr´ıpadnˇe i popsat vhodn´e sch´ema. Kuba
6
ˇ sen´ı t´ Reˇ emat T´ ema 1 – Mˇ eˇren´ı poˇ cas´ı K t´ematu zobrazov´ an´ı poˇcas´ı jsme obdrˇzeli dva pˇr´ıspˇevky, oba sp´ıˇse kvalitativn´ı neˇz kvantitativn´ı. Nejprve otiskujeme pˇr´ıspˇevek Dominiky Tanglov´e, kde autorka ˇ adn´ navrhla nˇekolik moˇzn´ ych experiment˚ u. Z´ y ale neprovedla, a dala tak prostor dalˇs´ım ˇreˇsitel˚ um.
Prvn´ı n´avrhy
(5b)
Dominika Tanglov´a ˇ sku lze nakalibrovat nejsp´ıˇse v´ıce zp˚ Siˇ usoby, ale tento mi pˇripadal nejjednoduˇsˇs´ı a nejpˇresnˇejˇs´ı. Pro co nejpˇresnˇejˇs´ı mˇeˇren´ı je potˇreba m´ıt osobn´ı meteostanici s mˇeˇriˇcem rychlosti vˇetru. Nejprve zjist´ıme vlhkost vzduchu a roztaˇzen´ı ˇsiˇsky, kterou obkresl´ıme na pap´ır. Pot´e ponoˇr´ıme ˇsiˇsku do n´adoby s vodou tak, aby byla cel´ a ponoˇren´ a. Ponoˇrenou ji nech´ ame 15 minut, a pot´e vynd´ame a opˇet ˇ sku nech´ obkresl´ıme. Siˇ ame vysuˇsit, na dosuˇsen´ı s co nejmenˇs´ı moˇznou vlhkost´ı pouˇzijeme troubu na n´ızkou teplotu, aby se nesp´ alila. Po vytaˇzen´ı ˇsiˇsky z trouby ji opˇet obkresl´ıme. Podle tˇechto zjiˇstˇen´ı m˚ uˇzeme sestrojit pˇribliˇznou stupnici.
XX/2
7
Pro zjiˇstˇen´ı rychlosti vˇetru povˇes´ıme ˇsiˇsku do voln´eho prostoru kolmo k zemi. Pro vych´ ylen´ı ˇsiˇsky m˚ uˇzeme pouˇz´ıt vˇetr´ ak, u kter´eho zmˇeˇr´ıme rychlost proudˇen´ı vzduchu. Zaznamen´ ame vych´ ylen´ı. Podle tˇechto hodnot sestroj´ıme stupnici. Pro spr´ avn´e mˇeˇren´ı mus´ı b´ yt rychlost proudˇen´ı vzduchu konstantn´ı, protoˇze ˇsiˇska by se rozhoupala kv˚ uli n´ araz˚ um vˇetru. Stupnici pˇridˇel´ ame na horn´ı polovinu prov´azku, aby nevadila pohybu, ale byla co nejbl´ıˇze prov´ azku. Pro pˇresn´e mˇeˇren´ı je d˚ uleˇzit´e um´ıstit mˇeˇriˇc na otevˇren´e prostranstv´ı. Dalˇs´ı mˇeˇriˇc vlhkosti vzduchu jde vyrobit z pramene vlas˚ u. Na kart´on pˇripevn´ıme pomoc´ı ˇspendl´ıku brˇcko tak, aby se volnˇe pohybovalo. K druh´emu konci pˇripevn´ıme pramen vlas˚ u, druh´ y konec pˇripevn´ıme k horn´ımu okraji ˇctvrtky. Podle aktu´aln´ı vlhkosti vzduchu udˇel´ ame znaˇcku na ˇctvrtce. Pot´e namoˇc´ıme vlasy a opˇet udˇel´ame znaˇcku na ˇctvrtce. Podle namˇeˇren´ ych u ´daj˚ u udˇel´ ame stupnici. Vˇsechny tyto metody nikdy nebudou u ´plnˇe pˇresn´e, protoˇze jsou ovlivnˇeny dalˇs´ımi vˇecmi, kter´e znehodnocuj´ı mˇeˇren´ı. Pozn´ amka redakce: Samozˇrejmˇe ˇze ˇz´ adn´ a re´ aln´ a metoda nen´ı nikdy u ´plnˇe ˇadn´e mˇeˇren´ı z principu nem˚ pˇresn´ a. Z´ uˇze b´yt u ´plnˇe pˇresn´e. Ale pˇresto se mˇeˇr´ı a v´ysledky se publikuj´ı. Jinak bychom se nikam nedostali, ˇze ano. Takˇze jde o to alespoˇ n odhadnout (i kdyby to bylo jen od oka“), jak velk´ a (tj. ˇc´ıselnˇe) ta nepˇresnost ” bude. Druh´ y pˇr´ıspˇevek n´ am zaslal Dominik Krasula, kter´ y se zab´ yval sociologick´ ym pr˚ uzkumem na t´ema Znalost lid´ı o z´ ales´ ack´ ych metod´ach zobrazov´an´ı poˇcas´ı. Uv´ ad´ıme jeho m´ırnˇe zkr´ acenou verzi.
V´yzkum veˇrejn´eho m´ınˇen´ı
(4b)
Dominik Krasula Toto t´ema jsem se rozhodl zpracovat formou pr˚ uzkumu veˇrejn´eho m´ınˇen´ı. Osloˇ student˚ vil jsem pˇres tˇricet lid´ı (pˇrev´ aˇznˇe SS u). Jelikoˇz jsem se v podstatˇe ptal lid´ı na ˇreˇsen´ı1 , neuv´ ad´ım zde sv˚ uj n´ azor na danou problematiku. Odpovˇedi se snaˇz´ım rozdˇelit do skupin dle dotazovan´ ych. Velmi zaj´ımav´e bylo sledovat odpovˇedi podle hudebn´ıho zamˇeˇren´ı, nejkvalitnˇejˇs´ı odpovˇedi poskytovali metalisti a metalistky. Folkaˇri u ´lohu zaˇcali rozeb´ırat velmi v´aˇznˇe, ale vˇetˇsinou nedoˇsli k nˇejak´emu komplexnˇejˇs´ımu v´ ysledku. Milovn´ıci klasiky bohuˇzel vˇetˇsinou odm´ıtli odpov´ıdat, nebo nemˇeli racion´ aln´ı odpovˇed’. Herci odpov´ıdali bud’ velmi rozumnˇe, pˇriˇcemˇz nˇekdy rozvinuli i myˇslenky, kter´e mne ani nenapadly, nebo naopak odm´ıtali odpov´ıdat. Vˇsichni ˇclenov´e studentsk´e rady odm´ıtli odpov´ıdat. Dotazovan´ı hraj´ıc´ı na hudebn´ı n´ astroje obvykle odpov´ıdali uv´aˇzlivˇe, nicm´enˇe celkov´ a odpovˇed’ nebyla pˇr´ıliˇs pˇr´ınosn´ a. Vˇetˇsina dotazovan´ ych odpov´ıdala celkem rozumnˇe nebo odpov´ıdat odm´ıtla. Vyj´ımkou jsou ovˇsem yaoistky (obˇe souhlasily 1 Zde nem˚ uˇ zeme dost dobˇre mluvit o ˇreˇsen´ı probl´ emu. Zad´ an´ı t´ ematu je velmi ˇsirok´ e a nejde v nˇ em o vyˇreˇsen´ı vˇsech d´ılˇ c´ıch probl´ em˚ u uveden´ ych na zaˇ c´ atku, ale o diskusi o t´ ematu formou odborn´ ych ˇ cl´ ank˚ u.
8 se zveˇrejnˇen´ım sv´ ych odpovˇed´ı). Prvn´ı situaci zhodnotila J´a bych si vycviˇcila ve” verku, a ta by ji snˇedla“, pˇriˇcemˇz se nadˇsenˇe usm´ıvala. Druh´a pronesla n´asleduj´ıc´ı ˇ n´ avrhy: K´ yve se – fouk´ a v´ıtr“, Je mokr´ a – prˇs´ı“, Siˇska nejde vidˇet – je tma“, ” ” ” M´ a r˚ uˇzov´e triˇcko – bude teplo“. Vˇetˇsinou dotazovan´ı s odm´ıtav´ ym pˇr´ıstupem ” mˇeli nejlepˇs´ı odpovˇedi.
Nejˇcastˇejˇs´ı odpovˇed´ı bylo pozorov´ an´ı vˇetru pomoc´ı v´ ykyv˚ u ˇsiˇsky v˚ uˇci p˚ uvodn´ı ˇ ri lid´e vzali v u poloze (19 lid´ı). Ctyˇ ´vahu st´ın, vrˇzen´ y ˇsiˇskou. Velk´a ˇc´ast (12) kritizovala mˇeˇren´ı poˇcas´ı pomoc´ı ˇsiˇsky, nebot’ vˇetˇsinou mˇeˇr´ı nˇeco, co vypozorujeme ˇ bez n´ı. Casto kritizovan´e bylo i to, ˇze vˇetˇsinou mˇeˇr´ıme aktu´aln´ı poˇcas´ı. Dva rovnˇeˇz zm´ınili dvojznaˇcnost z´ıskan´ ych hodnot: Kdyˇz ˇsiˇska ukazuje vlhkost vzduchu, tak to nemus´ı b´ yt pˇredzvˇest deˇstˇe, naopak m˚ uˇze b´ yt po deˇsti. Nˇekteˇr´ı zaj´ımavˇe rozvinuli ot´ azku ˇspatn´e viditelnosti, pˇekn´e bylo Kdyˇz nevid´ıme prov´azek, je ” mlha“. Jeden se zamyslel nad zv´ yˇsen´ım objemu ˇsiˇsku v d˚ usledku naplnˇen´ı vlhkost´ı. Pˇet lid´ı se zaj´ımalo o parametry ˇsiˇsky, jako tvar ˇspiˇcky ˇci druh stromu, tˇri o d´elkou prov´ azku. Nˇekteˇr´ı se nesm´ıˇrili s myˇslenkou, ˇze by museli pˇredpov´ıdat poˇcas´ı podle ˇsiˇsky. Jeden se zam´ yˇslel nad mˇeˇren´ım teploty v z´avislosti na d´elce prov´ azku. Samozˇrejmˇe jako pˇri kaˇzd´e anketˇe se vyskytlo nˇekolik vtipn´ ych odpovˇed´ı, napˇr´ıklad Kdyˇz chytne, je hodnˇe velk´e vedro.“, Kdyˇz hoˇr´ı, drˇz´ıˇs ji ” ” moc bl´ızko nad t´ abor´ akem.“, Ji vystrˇc´ım z okna, ne?“, Kdyˇz ji roztoˇc´ım, tak ” ” zmrzne!“ nebo Ulet´ı ti? Je vichˇrice!“ ” ˇ ska n´am zde slouˇz´ı Asi nejzaj´ımavˇejˇs´ı byla myˇslenka mˇeˇren´ı pohybu mrak˚ u. Siˇ jako z´ avaˇz´ı. Prov´ azek vizu´ alnˇe rozˇr´ızne oblohu. Ide´ aln´ı je jej um´ıstit tak, abychom jej vizu´ alnˇe mˇeli na hranici mrak˚ u. Pohybuj´ı-li se mraky, tak po nˇejak´em ˇcasov´e u ´seku jiˇz nebude prov´ azek na hranici mraku. Toto mˇeˇren´ı m´a r˚ uzn´e zp˚ usoby
XX/2
9
pouˇzit´ı, slouˇz´ı zvl´ aˇstˇe pˇri mˇeˇren´ı povˇetrnostn´ıch podm´ınek ve vyˇsˇs´ıch atmosf´erick´ ych vrstv´ ach, z ˇcehoˇz se jiˇz d´ a poˇcas´ı, m´ ame-li dostateˇcn´e znalosti, pˇredpov´ıdat celkem dobˇre. Pozn´ amka redakce: V prvn´ı ˇradˇe bych r´ ada ocenila ohleduplnost autora ˇcl´ anku, protoˇze nezveˇrejˇ nuje v´yroky ostatn´ıch bez jejich souhlasu. D´ ale bych chtˇela upozornit, ˇze z odpovˇed´ı dotazovan´ych opˇet z´ısk´ av´ ame dalˇs´ı n´ avrhy experiment˚ u k proveden´ı. Nav´ıc m˚ uˇzeme, jak bylo ˇreˇceno jiˇz v zad´ an´ı t´ematu, urˇcovat poˇcas´ı kvantitativnˇe. Ovˇsem test mˇeˇren´ı v´yˇsky nad t´ abor´ akem bych radˇeji neodoporuˇcovala :). A jak z aktu´ aln´ıho stavu poˇcas´ı nˇeco pˇredpovˇedˇet, je ot´ azka dalˇs´ı, a v´yraznˇe obt´ıˇznˇejˇs´ı, nicm´enˇe jak´ekoli n´ avrhy jsou tak´e v´ıt´ any. Zuzka
T´ ema 2 – Kozy K t´ematu pˇriˇslo v dˇr´ıvˇejˇs´ım term´ınu odesl´ an´ı urˇcen´em pro z´ajemce o soustˇredˇen´ı ˇsest pˇr´ıspˇevk˚ u. Vˇetˇsina ˇreˇsitel˚ u nejprve nakreslila p´ar navrhovan´ ych obrazc˚ u, a pot´e vymyslela nˇejak´e vlastn´ı. ˇ Casto jste pouˇz´ıvali slovn´ı popis, kter´ y nebyl doprov´azen obr´azkem nebo konkr´etn´ımi hodnotami, takˇze se ˇspatnˇe pˇredstavuje, co t´ım autor myslel. Proto se nebojte ke vˇsemu kreslit obr´ azky a popsat u nich rozmˇery. V obr´ azc´ıch zde publikovan´ ych budeme dodrˇzovat konvenci, ˇze svisl´e k˚ uly budou zobrazeny pln´ ym koleˇckem, k˚ uly vodorovn´e tlustou ˇcarou, provazy tenkou ˇcarou a pohybliv´ a oˇcka krouˇzkem. Obr´ azky budou situaci zachycovat v p˚ udorysu.
Kruˇ znice (1 bod) Lucie Studen´ a si vymyslela vlastn´ı u ´tvar, a to kruˇznici (Obr. 1 vlevo), kterou popsala takto: Jednoduˇse pomoc´ı kozy vytvoˇr´ıme v tr´avn´ıku mimo v zad´an´ı ” popsan´ ych pˇr´ıklad˚ u napˇr´ıklad kruˇznici tak, ˇze nav´aˇzeme na stˇredov´ y k˚ ul jeˇstˇe jeden, a ten pˇres oˇcko pˇrichyt´ıme ke koze.“
K
K
K
Obr´ azek 1: Vlevo: kruˇznice – Lucie Studen´ a; uprostˇred: mezikruˇz´ı – Mgr.MM Linda Langerov´ a, Lucie Studen´ a, Otto Hollmann, Dominik Krasula, Mgr.MM Marian Poljak, Bc.MM Pavel Souˇcek; vpravo: ˇcoˇcka – Lucie Studen´ a
10 Mezikruˇ z´ı (1 bod) Na to, jak udˇelat mezikruˇz´ı, pˇriˇsli vˇsichni autoˇri pˇr´ıspˇevk˚ u. ´ Utvar vytvoˇr´ıme rotov´ an´ım kruhu po kruˇznici. Obˇe dvˇe d´ılˇc´ı ˇc´asti uˇz um´ıme sestavit, tak je jenom spoj´ıme dohromady. Obr´ azek 1 uprostˇred je v´ıce neˇz v´ ystiˇzn´ y.
ˇ cka (1 bod) Coˇ Vˇetˇsinou jste si vˇsimli, ˇze pokud kozu uv´ aˇzeme nˇejak´ ym zp˚ usobem, tak vypase nˇejak´ yu ´tvar. Kdyˇz kozu uv´ aˇzeme jin´ ym zp˚ usobem, tak vypase jin´ yu ´tvar. N´ aslednˇe kdyˇz kozu uv´ aˇzeme obˇema zp˚ usoby nar´az, tak vypase pr˚ unik tˇechto u ´var˚ u. Tohoto principu jste vyuˇz´ıvali u vˇsech sloˇzitˇejˇs´ıch u ´tvar˚ u. Typick´ ym pˇr´ıkladem byla napˇr. ˇcoˇcka (Obr. 1 vpravo), kterou navrhla Lucie Studen´ a: Jeˇstˇe je moˇzn´e udˇelat napˇr´ıklad tvar ˇcoˇcky. D´am dva k˚ uly na urˇcitou ” vzd´ alenost od sebe a nav´ aˇzu na nˇe stejnˇe dlouh´e prov´azky, dlouh´e jako vzd´alenost mezi k˚ uly. Oba pˇriv´ aˇzu na kozu. Pak bude koza v podstatˇe chodit po (a v) kruˇznici, dokud nedos´ ahne ˇspiˇcat´eho bodu, kde budou oba prov´azky napnut´e. M˚ uˇze jeˇstˇe pˇrej´ıt na druhou kruˇznici a vyp´ ast druhou polovinu.“
n-´ uheln´ık D´ ale jste se zab´ yvali u ´tvary, kter´e maj´ı rovn´e hrany. Pro vytvoˇren´ı rovn´e hrany jste vymysleli zp˚ usob, jak kozu uv´azat. Spr´avn´ ym sloˇzen´ım tohoto uv´ az´ an´ı jste dost´ avali obd´eln´ık (Obr. 2 vpravo), ˇctverec, troj´ uheln´ık (Obr. 3 vlevo) a obecn´ y n-´ uheln´ık. ´ Uvaz (1 bod) ´ Uvaz pojmenoval a navrhl Bc.MM Pavel Souˇcek, pouˇz´ıv´a ho i Mgr.MM Marian Poljak a Lucie Studen´ a (Obr. 2 vlevo). Jde o pevnˇe nataˇzen´e lano mezi dvˇema k˚ uly, na kter´em je provleˇceno oˇcko s provazem. Toto oˇcko se m˚ uˇze volnˇe pohybovat po prvn´ım napnut´em provazu. Pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze provaz je dokonale pevn´ ya K K
K
Obr´ azek 2: Vlevo: u ´vaz – Bc.MM Pavel Souˇcek, Mgr.MM Marian Poljak, Lucie Studen´ a; uprostˇred: obd´eln´ık pomoc´ı veden´ı – Otto Hollmann, Mgr.MM Marian Poljak; vpravo: obd´eln´ık pomoc´ı u ´vazu – Lucie Studen´ a, Bc.MM Pavel Souˇcek
XX/2
11
nelze jej nijak nat´ ahnout. Teoreticky bychom mohli pouˇz´ıt m´ısto prvn´ıho provazu i k˚ ul, protoˇze provaz je statick´ y.
Veden´ı (1 bod) Otto Hollmann popsal jinou strukturu, jak vytvoˇrit rovnou hranu, kterou jsme nazvali veden´ı. Pouˇz´ıv´ a ji i Mgr.MM Marian Poljak. Jde o dvˇe dvojice k˚ ul˚ u, mezi kter´ ymi je pevnˇe napnuto lano. Na tˇechto napnut´ ych lanech je pˇripevnˇeno tˇret´ı lano pomoc´ı dvou krouˇzk˚ u. Koza je pak uv´az´ana na krouˇzku, kter´ y se m˚ uˇze volnˇe pohybovat po pohybliv´em lanˇe. Ve veden´ı jsou vˇsechna lana st´ ale napnut´ a. Pokud pouˇzijeme jedno veden´ı, dostaneme okamˇzitˇe ˇctverec nebo obd´eln´ık. Za n´ avrh obd´eln´ıka byl udˇelov´ an 1 bod. Sestrojen´ı troj´ uheln´ıka pomoc´ı veden´ı je zn´ azornˇeno na obr´ azku 3 vpravo.
K K
Obr´ azek 3: Vlevo: troj´ uheln´ık pomoc´ı u ´vazu (udˇelov´ an 1 bod) – Mgr.MM Marian Poljak; vpravo: troj´ uheln´ık pomoc´ı veden´ı (udˇelov´ an 1 bod) – Otto Hollmann;
N´ avrhy na dalˇ s´ı zkoum´ an´ı Pod´ıvejte se na troj´ uheln´ık vytvoˇren´ı pomoc´ı u ´vaz˚ u a veden´ı. V ˇcem je ten hlavn´ı ˇ rozd´ıl? Zkuste se zamyslet, jak´e se zde vyskytuj´ı s´ıly. Reknˇ eme, ˇze koza vyv´ıj´ı s´ılu Fkoza smˇerem, kter´ ym se pohybuje. Pokud m´ ame nˇejak´ y krouˇzek navleˇcen´ y na jin´em lanˇe tak, aby se tento krouˇzek mohl pohybovat, je potˇreba aby na nˇej p˚ usobila nˇejak´ a nenulov´ a s´ıla. Vypase koza opravdu troj´ uheln´ık, nebo se do nˇekter´ ych m´ıst nedostane? Pohne se v˚ ubec? Samozˇrejmˇe si m˚ uˇzete vymyslet vlastn´ı probl´em, kter´ ym se budete zab´ yvat. Mgr.MM Marian Poljak napˇr. navrhuje, ˇze by bylo zaj´ımav´e, kdyby se u ´loha ˇreˇsila v prostoru. Nev´ ahejte a zjistˇete i jestli kozy um´ı l´etat. xlfd
12
S obsahem ˇcasopisu M&M je moˇzn´e nakl´ adat dle licence Creative Commons Attribution 3.0. D´ılo sm´ıte ˇs´ıˇrit a upravovat. M´ ate povinnost uv´est autora. Autory text˚ u jsou organiz´ atoˇri M&M.
Adresa redakce: M&M, OVVP, UK MFF Ke Karlovu 3 121 16 Praha 2 E-mail:
[email protected] WWW: http://mam.mff.cuni.cz ˇ Casopis M&M je zastˇreˇsen Oddˇelen´ım pro vnˇejˇs´ı vztahy a propagaci Univerzity Karlovy, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulty a vyd´av´an za podpory stˇredoˇcesk´e poboˇcky Jednoty ˇcesk´ ych matematik˚ u a fyzik˚ u.
