Studentsk´y matematicko-fyzik´aln´ı ˇcasopis Roˇ cn´ık XX
ˇ ıslo C´ 7-8
ˇ sen´ı u ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh 5. s´ erie – str. 2 • Reˇ ´ loh 6. s´ erie – str. 7 Shrnut´ı v´ ysledk˚ u t´ emat – str. 12 ˇ ’astn´ Doc.MM Aneta St a: Pevnost latexov´ e trubice – str. 31 Dr.MM Dominik Krasula: Stern-Brocot˚ uv strom – str. 34
ˇ Casopis M&M a stejnojmenn´y korespondenˇcn´ı semin´ aˇr je urˇcen pro studenty stˇredn´ıch ˇskol, kteˇr´ı se zaj´ımaj´ı o matematiku, fyziku ˇci informatiku. Bˇehem ˇskoln´ıho roku dost´ avaj´ı ˇreˇsitel´e zdarma ˇc´ısla se zad´ an´ım u ´loh a t´emat k pˇrem´yˇslen´ı. Sv´ a ˇreˇsen´ı odes´ılaj´ı k n´ am do redakce. My jejich pˇr´ıspˇevky oprav´ıme, obodujeme a poˇsleme zpˇet. Nejzaj´ımavˇejˇs´ı ˇreˇsen´ı otiskujeme.
2 Mil´ e ˇreˇsitelky, mil´ı ˇreˇsitel´ e, douf´ ame, ˇze si uˇz´ıv´ ate letn´ı pohodu, n´ aladu a poˇcas´ı. Organiz´atoˇri si letn´ı volno uˇz´ıvaj´ı na maximum, ˇcas na vyd´ an´ı dalˇs´ıho ˇc´ısla jsme si ale samozˇrejmˇe naˇsli. T´ımto ˇc´ıslem konˇc´ı jubilejn´ı dvac´ at´ y roˇcn´ık naˇseho semin´aˇre. Bˇehem nˇej jste doˇsiroka i dohluboka rozebrali pˇet t´emat a vyˇreˇsili dvacet pˇet u ´loh. V´ıtˇezem tohoto roˇcn´ıku se zaslouˇzenˇe stala Dr.MM Aneta Lesn´a. Anetˇe srdeˇcnˇe gratulujeme. V tomto z´ avˇereˇcn´em ˇc´ısle ˇcasopisu na v´ as ˇcekaj´ı ˇreˇsen´ı u ´loh z minul´ ych ˇc´ısel a tak´e z´ avˇereˇcn´ a shrnut´ı k t´em´ atk˚ um. Pˇrejeme pˇr´ıjemn´e poˇcten´ı, pˇrejeme v´ am vˇsem kr´asn´ y a na z´aˇzitky bohat´ y srpen a tˇeˇs´ıme se na v´ as v pˇr´ıˇst´ım ˇskoln´ım roce. Vaˇsi organiz´ atoˇri M&M
ˇ sen´ı u Reˇ ´loh 5. s´ erie ´ Uloha 5.1 – Pˇrevoz ryb
(4b)
Zad´ an´ı: Chceme z pˇr´ıstavu X do pˇr´ıstavu Y pˇrev´ezt co nejv´ıce ryb. Vzd´ alenost mezi X a Y je 100 kilometr˚ u, m´ ame 300 kg ryb a lod’ku, kter´ a m˚ uˇze v´ezt maxim´ alnˇe 100 kg n´ akladu. N´ amoˇrn´ıci ale nav´ıc kaˇzd´y kilometr sn´ı kilo ryb, jinak odm´ıtaj´ı veslovat. Pokus se naj´ıt zp˚ usob, jak pˇrev´ezt co nejv´ıce ryb. Celou cestu plujeme pod´el pobˇreˇz´ı, pˇriˇcemˇz ryby si m˚ uˇzeme kdekoliv na pobˇreˇz´ı odloˇzit a pot´e opˇet vyzvednout, nikdo n´ am je nesn´ı. ˇ sen´ı: Reˇ Na zaˇc´ atku m´ ame 300 kg ryb, proto z pˇr´ıstavu X m˚ uˇze vyplout tˇrikr´at plnˇe naloˇzen´ a lod’ka. Vˇsimneme si, ˇze si mus´ı dvakr´ at odloˇzit zbytek ryb na pobˇreˇz´ı a nechat si jen z´ asobu, kter´ a vystaˇc´ı pr´ avˇe zpˇet do pˇr´ıstavu. Pˇrevoz ryb takov´ ymto zp˚ usobem m´ a spotˇrebu 5 kg/km. Jakmile m´ ame jen 200 kg ryb, tak nemus´ıme plout tˇrikr´at, proto pˇri spotˇrebˇe 5 kg/km uplujeme 20 km. Od 20. kilometru se spotˇrebuj´ı jen 3 kg/km, protoˇze n´am staˇc´ı plout dvakr´at smˇerem vpˇred a jednou se vracet. Takto na 100 kg ryb uplujeme (33 + 13 ) km a jsme na (53 + 31 ) km a m´ ame 100 kg ryb. Nakonec uˇz plujeme jen do pˇr´ıstavu Y se spotˇrebou 1 kg/km. Zb´ yv´a n´am (46 + 23 ) km a proto do pˇr´ıstavu dovezeme (53 + 13 ) ryb. Nˇekteˇr´ı z v´ as poˇc´ıtali jenom s celoˇc´ıseln´ ymi rybami, coˇz d´av´a smysl, protoˇze tˇretina ryby, kter´ a n´ amoˇrn´ık˚ um zbyla, se uˇz norm´ aln´ım z´akazn´ık˚ um ned´a prodat. xlfd
XX/7-8
3
´ Uloha 5.2 – Hlasov´ an´ı
(4b)
Zad´ an´ı: Pˇred tebou leˇz´ı klobouk s N pap´ırky. Na kaˇzd´em l´ıstku je ˇc´ıslo od 1 do K, tedy hlas pro jednoho z K vybran´ych n´ amoˇrn´ık˚ u. Hlasov´ an´ı vyhraje jedinec, kter´y z´ısk´ a nadpoloviˇcn´ı vˇetˇsinu hlas˚ u. Vymysli co nejefektivnˇejˇs´ı algoritmus, kter´y na vstupu dostane N ˇc´ısel z mnoˇziny {1, . . . , K} (N i K mohou b´yt velk´ a ˇc´ısla) a na v´ystupu ozn´ am´ı ˇc´ıslo v´ıtˇeze nebo odpov´ı, ˇze nikdo zvolen nebyl. Jelikoˇz si toho ovˇsem n´ amoˇrn´ıci nedok´ aˇz´ı moc zapamatovat, m˚ uˇze si algoritmus uloˇzit do pamˇeti pouze konstantnˇe mnoho ˇc´ısel velikosti ˇra ´dovˇe N 1 . ˇ sen´ı: Reˇ Kl´ıˇcov´ ym pozorov´ an´ım bylo vˇsimnout si, ˇze pokud nˇekdo vyhraje, mus´ı m´ıt nadpoloviˇcn´ı poˇcet hlas˚ u, tedy v´ıc neˇz vˇsichni ostatn´ı dohromady. Pokud kaˇzd´ y hlas v´ıtˇeze sp´ arujeme s hlasem jin´eho kandid´ ata, mus´ı zbyl´e hlasy patˇrit v´ıtˇezi (pokud existuje). Nav´ıc pokud bychom sp´ arovali dva hlasy kandid´at˚ u, z nichˇz ani jeden nevyhr´ al, znamen´ a to, ˇze zbude o 2 v´ıce hlas˚ u v´ıtˇeze, tedy opˇet vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı patˇr´ı v´ıtˇezi. M˚ uˇzeme tedy vˇzdy sp´ arovat libovolnou dvojici r˚ uzn´ ych hlas˚ u. Konkr´etn´ı algoritmus vypad´ a n´ asledovnˇe. Vezmeme prvn´ı hlas a odpov´ıdaj´ıc´ıho kandid´ ata prozat´ım prohl´ as´ıme za v´ıtˇeze, jelikoˇz pr´avˇe zb´ yvaj´ı pouze jeho hlasy. Z´ aroveˇ n si budeme pamatovat, kolik hlas˚ u m´ a n´aˇs kandid´at nav´ıc, nyn´ı tedy jeden. Pod´ıv´ ame se postupnˇe na kaˇzd´ y dalˇs´ı hlas. Pokud je to hlas pro naˇseho kandid´ ata, zv´ yˇs´ıme poˇcet pˇreb´ yvaj´ıc´ıch hlas˚ u o 1. Pokud ne, sn´ıˇz´ıme jej o 1, coˇz odpov´ıd´ a sp´ arov´ an´ı dvou r˚ uzn´ ych hlas˚ u. Kdykoli poˇcet pˇreb´ yvaj´ıc´ıch hlas˚ u klesne na 0, prohl´ as´ıme za v´ıtˇeze kandid´ ata z n´ asleduj´ıc´ıho hlasu obdobnˇe, jako jsme to udˇelali na zaˇc´ atku algoritmu. Takto zpracujeme vˇsechny hlasy. Pokud v´ıtˇez existuje, pak pˇr´ıpadn´e zb´ yvaj´ıc´ı hlasy patˇr´ı jemu. Jeˇstˇe jednou tedy projdeme vˇsechny hlasy a spoˇc´ıt´ ame, zda m´ a dotyˇcn´ y kandid´at nadpoloviˇcn´ı poˇcet hlas˚ u. Pokud ano, m´ ame v´ıtˇeze, pokud ne, v´ıtˇez neexistuje. Rozbor sloˇzitosti: Jelikoˇz pouze dvakr´ at pˇreˇcteme vstup a pro kaˇzd´ y hlas provedeme konstantnˇe mnoho operac´ı, sebˇehne algoritmus v ˇcase O(N ). Pr˚ ubˇeˇznˇe si pamatujeme pouze ˇc´ıslo kandid´ ata a poˇcet pˇreb´ yvaj´ıc´ıch hlas˚ u, kter´ ych je nejv´ yˇse N , tedy pamˇet’ov´ a sloˇzitost je konstantn´ı, pˇresnˇe jak bylo v zad´an´ı poˇzadov´ano. Honza Mikel
´ Uloha 5.3 – P´ alen´ı listu
(5b)
Zad´ an´ı: Jakou lupu bychom mˇeli pouˇz´ıt k zap´ alen´ı obyˇcejn´eho b´ıl´eho pap´ıru za jarn´ıho sluneˇcn´eho dne? D˚ uleˇzit´y je sbˇern´y pr˚ uˇrez, ze kter´eho je sluneˇcn´ı svˇetlo zaostˇreno 1 Tato konstanta vˇ sak nesm´ı b´ yt z´ avisl´ a na N ani K. Nen´ı tedy moˇ zn´ e napˇr´ıklad spoˇ c´ıtat, kolik mˇ el kaˇ zd´ y hlas˚ u, a vybrat maximum, jelikoˇ z by to vyˇ zadovalo O(K) pamˇ eti.
4 do jednoho bodu na pap´ıˇre. V´ysledek se pokuste co nejkvalifikovanˇeji odhadnout2 . M˚ uˇzete pouˇz´ıt jak´ekoli prostˇredky (v´ypoˇcet, vyhled´ av´ an´ı na internetu nebo v literatuˇre, experiment), pravdˇepodobnˇe je budete potˇrebovat zkombinovat. Svoje z´ avˇery podloˇzte a na zdroje se odkazujte. ˇ sen´ı: Reˇ Neˇz se pust´ıme do ˇreˇsen´ı, je radno poznamenat, ˇze toto je u ´loha odhadovac´ı. S takov´ ymi u ´lohami se v re´ aln´em ˇzivotˇe potk´ ame ˇcasto – potˇrebujeme pˇribliˇznˇe vˇedˇet, za jak dlouho se na kole dostaneme do Horn´ı Doln´ı, kolik vody budeme pot´e potˇrebovat k umyt´ı toho kola, nebo pr´ avˇe jakou si vz´ıt lupu k rozdˇel´an´ı ohn´ıˇcku. Nepotˇrebujeme tedy vˇedˇet pˇresn´e ˇc´ıslo, ale m´ıt jakousi pˇredstavu. Pojedu tam hodinu, nebo cel´ y den? Bude mi staˇcit k´ ybl, nebo si m´am vz´ıt rovnou hadici? Staˇc´ı mi moje (babiˇcˇciny) br´ yle, nebo si na to mus´ım koupit nˇeco speˇsl? Fyzik´ aln´ı odhad ale neznamen´ a odhad od boku. Je to v podstatˇe jen velmi nepˇresn´ y v´ ypoˇcet, kde si ale st´ ale mus´ıme drˇzet pˇredstavu o t´e nepˇresnosti. Jsou pak moˇzn´e dva pˇr´ıstupy: M˚ uˇzeme se snaˇzit odhadovat co nejbl´ıˇz re´aln´e hodnotˇe – stˇred, a pak je tˇreba o to peˇclivˇeji urˇcit nepˇresnost odhadu. Nebo m˚ uˇzeme d´ avat vˇsude nˇejakou rozumnou rezervu, a odhadnout co uˇz mus´ı staˇcit“ (do p˚ ul ” dne tam urˇcitˇe budu, mˇely by staˇcit tˇri k´ yble, . . . ), tedy jde o odhad maxim´aln´ı nebo minim´ aln´ı. My se zde budeme snaˇzit o odhad stˇredn´ı. Abychom zap´alili pap´ır, mus´ıme jej ohˇr´ at na teplotu vzn´ıcen´ı Tv = 505 K 3 . Pap´ır zap´al´ıme tak, ˇze zaostˇr´ıme sluneˇcn´ı svˇetlo pomoc´ı lupy o obsahu (sbˇern´em pr˚ uˇrezu) Sl na malou ploˇsku velikosti Sp . V tomto pˇr´ıpadˇe bude pap´ır pˇrij´ımat v´ ykon Pin = ISl (1 − α) , kde I = 100 Wm−2 4 je tok z´ aˇren´ı ze Slunce v Wm−2 a α = 0,65 5 je albedo (odrazivost), tj. pod´ıl odraˇzen´e a dopadl´e energie. Pap´ır bude z´ aroveˇ n vyzaˇrovat energii jako ˇsed´e tˇeleso podle vzorce Pout−z = 2Sp σT 4 , kde = 0,95 6 je emisivita, σ = 5,67 · 10−8 Wm−2 K−4 je Stefan-Boltzmannova konstanta a T je termodynamick´ a teplota. Sp je dvojn´asobn´a kv˚ uli tomu, ˇze pap´ır vyzaˇruje z obou stran. D´ ale je pap´ır ochlazov´ an veden´ım tepla z oz´aˇren´e ploˇsky do okoln´ıch oblast´ı pap´ıru a okoln´ım vzduchem. Pro veden´ı tepla v ust´alen´em stavu plat´ı Tv − T Pout−v = Sλ , d 2 Ve fyzice pojmem odhadnout nemysl´ ıme stˇr´ılen´ı od boku, ale zjednoduˇsen´ y v´ ypoˇ cet na z´ akladˇ e modelu, o kter´ em sice v´ıte, ˇ ze u ´plnˇ e pˇresnˇ e nepopisuje realitu, ale vˇ eˇr´ıte, ˇ ze je dostateˇ cnˇ e bl´ızko, a je dostateˇ cnˇ e jednoduch´ y na to, abyste s n´ım byli schopni pracovat. 3 http://www.tcforensic.com.au/docs/article10.html 4 http://www.stavebnictvi3000.cz/clanky/zarovka-usporna-zarovka-mnozstvi-svetla/ 5 http://vixra.org/pdf/1110.0035v1.pdf 6 http://www.engineeringtoolbox.com/emissivity-coefficients-d 447.html
XX/7-8
5
kde S je plocha, pˇres kterou je teplo vedeno, λ = 0,05 Wm−1 K−1 koeficient tepeln´e vodivosti, T = 300 K okoln´ı teplota a d vzd´ alenost od ohˇr´ıvan´eho m´ısta, kde uˇz se pap´ır neohˇr´ıv´ a. R˚ uzn´e druhy pap´ıru se zapaluj´ı r˚ uznˇe obt´ıˇznˇe. My tady uvaˇzujeme obyˇcejn´ y b´ıl´ y kancel´ aˇrsk´ y pap´ır, ale je n´ am asi jasn´e, ˇze tmav´ y pap´ır bude m´ıt jin´e vlastnosti neˇz svˇetl´ y a tenk´ y jin´e neˇz tlust´ y. Tmav´ y pap´ır bude m´ıt mnohem menˇs´ı odrazivost, a t´ım p´ adem bude mnohem efektivnˇeji absorbovat z´aˇren´ı, bude m´ıt ale i vˇetˇs´ı ztr´ aty z´ aˇren´ım. Tenk´ y pap´ır bude m´ıt menˇs´ı ztr´aty veden´ım uvnitˇr pap´ıru oproti pˇrenosu tepla do vzduchu neˇz tlust´ y pap´ır. To je ale podstatn´ y poznatek. . . Vzhledem k tomu, ˇze tenk´ y pap´ır se obecnˇe (tj. i sirkami) zapaluje sn´ az, neˇz tlust´ y, lze vyvodit, ˇze veden´ı tepla v pap´ıru je vˇetˇs´ı ztr´ata neˇz pˇrenos do (klidn´eho) vzduchu. Proto pˇrenos tepla do vzduchu uvaˇzovat nebudeme. Tepeln´e ztr´ aty pak jsou Pout = Pout−z + Pout−v . Aby se pap´ır zahˇra´l z poˇc´ ateˇcn´ı teploty na teplotu vzn´ıcen´ı, mus´ı b´ yt po celou dobu dopadaj´ıc´ı v´ ykon Pin vˇetˇs´ı neˇz vyzaˇrovan´ y Pout . Protoˇze se teplota zvyˇsuje a pˇri Tv je nejvˇetˇs´ı, mus´ı platit ISl (1 − α) > 2Sp σTv4 + Sλ
Tv − T . d
Zb´ yv´ a n´ am ale jeˇstˇe spousta parametr˚ u, jejichˇz hodnoty mus´ıme odhadnout. . . Zaˇcneme ploˇskou, na kterou lze sluneˇcn´ı svˇetlo zaostˇrit. Zkouˇsela jsem tˇri ˇcoˇcky o r˚ uzn´ ych ohniskov´ ych d´elk´ ach (1,5 aˇz 6 cm), a vˇsemi se mi podaˇrilo zaostˇrit svˇetlo do plochy cca 1 mm2 , mus´ım ale uznat, ˇze jsem pouˇzila dosti kvalitn´ı optick´e vybaven´ı, takˇze pro sichr poˇc´ıtejme Sp = 10 mm2 . Plocha S, skrz kterou je vedeno teplo pap´ırem, je pl´aˇst’ v´alce o pr˚ umˇeru 3 mm (pˇribliˇznˇe z plochy osvˇetlen´e oblasti) a v´ yˇsce rovn´e tlouˇst’ce pap´ıru (cca 0,11 mm), tedy S = 0,5 mm2 . Vzd´ alenost od osvˇetlen´eho m´ısta d, ve kter´e se uˇz pap´ır nezahˇr´ıv´a, budeme muset prostˇe odhadnout hodnˇe od oka. Mˇeˇrit teplotu v urˇcit´em bodˇe pap´ıru je prakticky nemoˇzn´e. Nepozorovala jsem ˇz´ adn´e zmˇeny teploty pap´ıru 0,5 cm od osvˇetlen´eho bodu, a bl´ıˇz jsem se nedostala, stanovme tedy hranici s rezervou na 1 mm. Po dosazen´ı zjist´ıme, ˇze ztr´ aty veden´ım jsou oproti ztr´at´am z´aˇren´ım zanedbateln´e Pout−z = 0,07 W , Pout−v = 0,005 W , takˇze si nemus´ıme ani dˇelat tˇeˇzkou hlavu se ztr´ atami pˇrenosem tepla do vzduchu (nefouk´ a-li v´ıtr). Vych´ az´ı S1 = 20 cm2 , a potˇrebujeme tedy ˇcoˇcku o pr˚ umˇeru pˇribliˇznˇe 5 cm. Jak jiˇz bylo naznaˇceno na zaˇc´ atku, tohle je odhad, prov´adˇen´ y sp´ıˇse ˇr´adovˇe. Nav´ıc jsme st´ ale nˇekter´e parametry neuv´ aˇzili. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım z nich je dle m´eho ˇ cka m˚ n´ azoru absorpce svˇetla ˇcoˇckou. Coˇ uˇze b´ yt r˚ uznˇe tlust´a a z r˚ uzn´ ych materi´ al˚ u (sklo, plast), a i kdyˇz se n´ am zd´ a pr˚ uhledn´a, absorbuje v infraˇcerven´e a ultrafialov´e oblasti, t´ım n´ am vznikaj´ı dalˇs´ı ztr´ aty, kter´e bohuˇzel na naˇs´ı u ´rovni
6 nejsme schopni kvantifikovat (pouze v´ am prozrad´ım, ˇze polymethylmetakryl´at, tedy plexisklo, propouˇst´ı mnohem l´epe v infraˇcerven´e oblasti neˇz norm´aln´ı sklo). Nav´ıc vˇsechny materi´ alov´e konstanty zde pouˇzit´e jsou nˇejak´e stˇredn´ı hodnoty pro viditeln´e svˇetlo. Viktor & Zuzka
´ Uloha 5.4 – K´ od
(4b)
Zad´ an´ı: Kolik existuje 1000-cifern´ych ˇc´ısel, kter´e obsahuj´ı pouze lich´e cifry a kaˇzd´e dvˇe sousedn´ı cifry se liˇs´ı nejv´yˇse o 2? ˇ sen´ı: Reˇ Do zad´ an´ı se vloudila chyba, coˇz zp˚ usobilo, ˇze ˇreˇsen´ı nen´ı v˚ ubec tak elegantn´ı, jak bylo zam´ yˇsleno. P˚ uvodnˇe jsme se chtˇeli pt´ at na poˇcet ˇc´ısel, jejichˇz sousedn´ı cifry se liˇs´ı pr´ avˇe o 2. Ale uk´ azalo se, ˇze mezi ˇreˇsiteli m´ame dva dobr´e matematiky, kteˇr´ı si poradili i se zt´ıˇzenou verz´ı. Oznaˇcme si a(n) poˇcet ˇc´ısel dlouh´ ych n cifer, kter´e konˇc´ı na 1, b(n) poˇcet ˇc´ısel d´elky n konˇc´ıc´ıch na 3 a c(n) poˇcet ˇc´ısel d´elky n konˇc´ıc´ıch na 5. Ze symetrie bude a(n) tak´e poˇcet ˇc´ısel d´elky n konˇc´ıc´ıch 9 a b(n) poˇcet cifer d´elky n konˇc´ıc´ıch na 7. Dle zad´ an´ı plat´ı rekurentn´ı vztahy: a(n) = a(n − 1) + b(n − 1) , b(n) = a(n − 1) + b(n − 1) + c(n − 1) , c(n) = 2b(n − 1) + c(n − 1) . Celkov´ y poˇcet slov d´elky n splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky zad´an´ı pak bude s(n) = 2a(n) + 2b(n) + c(n) . To m˚ uˇzeme upravit: s(n) = 2a(n) + 2b(n) + c(n) = 4a(n − 1) + 6b(n − 1) + 3c(n − 1) = = 2s(n − 1) + 2b(n − 1) + c(n − 1) = 2s(n − 1) + c(n) .
Zde vid´ıme n´ aznak rekurentn´ıho vztahu pro s(n). Vad´ı n´am jenom c(n), ale toho se naˇstˇest´ı um´ıme zbavit: c(n) = s(n − 1) − 2a(n − 1) = s(n − 1) − (2a(n − 2) + 2b(n − 2)) = = s(n − 1) − (4a(n − 3) + 4b(n − 3) + 2c(n − 3)) = = s(n − 1) − 2s(n − 3) .
XX/7-8
7
Dohromady tedy dost´ av´ ame line´ arn´ı rekurentn´ı vztah s(n) = 3s(n − 1) − 2s(n − 3) . ˇ K nalezen´ı 1000. ˇclenu t´eto rekurence m˚ uˇzeme pˇristoupit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. Slo by napˇr´ıklad vyuˇz´ıt libovoln´ y tabulkov´ y kalkul´ ator (MS Excel, . . . ). My zvol´ıme matematicky ˇcist´e ˇreˇsen´ı pomoc´ı tzv. charakteristick´e rovnice. Budeme hledat ˇreˇsen´ı ve tvaru s(n) = xn . Lze uk´azat, ˇze jako line´arn´ı kombinaci takov´ ychto ˇreˇsen´ı lze zapsat libovoln´e ˇreˇsen´ı naˇseho rekurentn´ıho vztahu. Chceme, aby platilo xn√= 3xn−1 − 2xn−3 , neboli x3 = 32 − 2. Tato rovnice m´a √ ˇ sen´ı rekurence budeme tedy hledat ve tvaru koˇreny 1, 1 − 3 a 1 + 3. Reˇ n √ √ n s(n) = k + 1 − 3 l + 3 + 1 m. Ruˇcnˇe dopoˇc´ıt´ ame, ˇze s(1) = 5, s(2) = 13 a s(3) = 35. To dosad´ıme do rovnice v´ yˇse a dost´ av´ ame tak tˇri line´ arn´ı rovnice o tˇrech nezn´am´ ych, jejichˇz ˇreˇsen´ı je √ 1+ 3 √ , k=√ 3 3+ 3 √ √ 1+ 3 3 3−5 √ √ l=− , 2 3 3+ 3 √ −33 − 19 3 √ √ . m=− 3 1+ 3 3+ 3
Tyto hodnoty dosad´ıme do odvozen´e rovnice a m˚ uˇzeme dopoˇc´ıtat, ˇze . s(1000) = 5,2 · 10436 . Kuba
ˇ sen´ı u Reˇ ´loh 6. s´ erie ´ Uloha 6.1 – Obd´ eln´ık a ˇ ctverec
(4b)
Zad´ an´ı: Obd´eln´ık KLM N a ˇctverec KOP N maj´ı takovou vz´ ajemnou polohu, ˇze bod O leˇz´ı na kruˇznici vepsan´e troj´ uheln´ıku KLM . Vypoˇctˇete pomˇer d´elky a ˇs´ıˇrky obd´eln´ıku KLM N . ˇ sen´ı: Reˇ Oznaˇcme si S stˇred kruˇznice vepsan´e troj´ uheln´ıku KLM a Q, R popoˇradˇe body dotyku kruˇznice se stranami LM a M K. Troj´ uheln´ık KOS je shodn´ y s KRS,
8 P
N
M
b b
R
Q
S
a K
O
a
L
LQS je shodn´ y s LOS a M QS s M RS, vˇse podle vˇety SSu. Oznaˇcme a = |LO| = |LQ| a b = |M Q| = |M R|. D´ ale |KO| = |LM | = a + b, protoˇze to jsou strany ˇctverce. Z Pythagorovy vˇety: |M K|2 = |KL|2 + |LM |2 (a + 2b)2 = (2a + b)2 + (a + b)2 a2 + 4ab + 4b2 = 4a2 + 4ab + b2 + a2 + 2ab + b2 0 = 2a2 + ab − b2 0 = (a + b)(2a − b) D´elky u ´seˇcek mus´ı b´ yt kladn´e, tedy b = 2a a pomˇer d´elky a ˇs´ıˇrky obd´eln´ıku KLM N je |KL|/|LM | = 4b/3b = 4/3. Matˇej
´ ˇ Uloha 6.2 – Spagetov´ a
(4b + bonus)
Zad´ an´ı: D˚ usledkem nehomogenity gravitaˇcn´ı s´ıly velmi hmotn´ych objekt˚ u (ˇcern´e d´ıry) doch´ az´ı k tzv. ˇspagetizaci – roztahov´ an´ı objekt˚ u“. Uvaˇzujte ˇcernou d´ıru o hmotnosti ” m. a) Urˇcete polomˇer ˇcern´e d´ıry (tak, aby ˇc´ astice s podsvˇetelnou rychlost´ı v t´eto vzd´ alenosti nemohla uniknout do nekoneˇcna) b) Urˇcete velikost s´ıly roztahuj´ıc´ı molekulu ve vzd´ alenosti R o vazebn´e d´elce l c) Pˇredpokl´ adejte, ˇze molekula H2 se roztrhne, kdyˇz ji roztahuje s´ıla Fk = 3 · 10−8 N. Stanovte podm´ınku pro m, aby roztrˇzen´ı molekuly mohli pozorovat vzd´ alen´ı pozorovatel´e. Bonus: jak se podm´ınka zmˇen´ı, kdyˇz m´ısto pˇredpokladu o Fk budeme pˇredpokl´ adat chov´ an´ı vod´ıkov´e vazby podle Lennard-Jonesova potenci´ alu? Uvaˇzujte molekulu padaj´ıc´ı z nekoneˇcna.
XX/7-8
9
ˇ sen´ı: Reˇ Na zaˇc´ atek je nutn´e podotknout, ˇze pro v´ ypoˇcet ˇcehokoli t´ ykaj´ıc´ıho se ˇcern´ ych dˇer je na m´ıstˇe pouˇz´ıt obecnou teorii relativity. To ale po v´as cht´ıt nem˚ uˇzeme, a tak v´ ysledek poˇc´ıt´ ame ˇspatnˇe – newtonovsky. ˇ Cern´ a d´ıra je objekt natolik hmotn´ y, ˇze z gravitaˇcn´ıho pole v jej´ım bl´ızkosti neunikne ani svˇetlo, tedy informace. Proto je jako jej´ı polomˇer (Schwarzschild˚ uv polomˇer) definov´ ana vzd´ alenost od stˇredu, ve kter´e je u ´nikov´a rychlost (rychlost pr´ avˇe potˇrebn´ a k opuˇstˇen´ı gravitaˇcn´ıho pole) rovna rychlosti svˇetla. Co je pod Schwarzschildov´ ym polomˇerem nen´ı moˇzn´e zjistit. V prvn´ım bodˇe se po n´as chce odvodit z´ avislost Schwarzschildova polomˇeru r na hmotnosti ˇcern´e d´ıry m. Vyjdeme ze z´ akona zachov´ an´ı energie. Kinetick´a energie tˇelesa se spotˇrebuje na vyrovn´ an´ı potenci´ alov´e energie v gravitaˇcn´ım potenci´alu ˇcern´e d´ıry, tedy 1 2 κmµ µv = , 2 r kde µ je hmotnost tˇelesa, κ = 6,7 · 10−11 m3 /kg · s2 gravitaˇcn´ı konstanta a v rychlost tˇelesa, v naˇsem pˇr´ıpadˇe v = c = 3 · 108 m/s. Z toho plyne r=
2κm . c2
M´ ame-li dvouatomovou molekulu o d´elce l ve vzd´alenosti R od stˇredu ˇcern´e d´ıry (orientovanou radi´ alnˇe), liˇs´ı se velikost gravitaˇcn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na jednotliv´e atomy a tento rozd´ıl natahuje vazbu mezi nimi. Pˇredpokl´ad´ame molekulu vod´ıku jako v n´ asleduj´ıc´ı ot´ azce, tedy oba atomy jsou stejn´e a maj´ı hmotnost µ F = Fg (R) − Fg (R + l) =
κmµ l(2R − l) κmµ − = −κmµ 2 . 2 2 R (R + l) R (R − l)2
V´ yraz m˚ uˇzeme jeˇstˇe zjednoduˇsit, nebot’ l R, a proto lze l oproti R v souˇctech zanedbat 2l F = −κmµ 3 R Pˇredpokl´ ad´ ame tedy molekulu vod´ıku, kde hmotnost atomu vod´ıku je µ = 1,7 · 10−27 kg a s´ıla potˇrebn´ a k pˇretrˇzen´ı vazby je Fv = 3 · 10−8 N. Chceme nyn´ı naj´ıt hraniˇcn´ı ˇcernou d´ıru, u kter´e m˚ uˇzeme roztrˇzen´ı takov´e molekuly pozorovat, tj. stane se na Schwarzschildovˇe polomˇeru. Dosad´ıme R = r. F = −2κmµl
c6 µc6 l =− 2 2 3 3 8κ m 4κ m
Odtud hmotnost ˇcern´e d´ıry c3 m= 2κ
r
µl = 4 · 1020 kg . 4F
10 Polomˇer takov´e ˇcern´e d´ıry by byl r = 6 · 10−7 m. Nejmenˇs´ı (nepˇr´ımo) pozorovan´e ˇcern´e d´ıry maj´ı hmotnost 1031 kg, takov´ ahle ˇcern´ a d´ıra je tedy troˇsku mimo. . . V bonusov´e ot´ azce se organiz´ atoˇri ptaj´ı, jak by to vyˇslo s uv´aˇzen´ım LennardJonesova potenci´ alu (potenci´ al bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ y pro popis chemick´e vazby). Chtˇej´ı t´ım naznaˇcit, ˇze vazebnou s´ılu v pˇredchoz´ım odstavci odvodili trochu pochybn´ ym zp˚ usobem, aby u ´lohu na u ´kor korektnosti zjednoduˇsili (a zde se k tomu veˇrejnˇe pˇrizn´ avaj´ı). Lennard-Jones˚ uv potenci´ al je pops´ an vztahem 6 12 l0 l0 − 2ε , VLJ = ε l l kde ε = 7,3 · 10−19 J je vazebn´ a energie chemick´e vazby v molekule vod´ıku, l0 = 7,4 · 10−11 m je d´elka vazby ve stavu minim´aln´ı energie molekuly a l je aktu´ aln´ı d´elka vazby. Budeme pˇredpokl´ adat rovnov´ aˇzn´ y stav, tedy ˇze s´ıla Lennard-Jonesova potenci´ alu, kter´ a drˇz´ı molekulu pohromadˇe, se vyrovn´a se slapovou silou ˇcern´e d´ıry z minul´eho odstavce FLJ = FG . V takov´em pˇr´ıpadˇe bude molekula nataˇzenˇejˇs´ı neˇz l0 . l12 l6 mc6 l ε 011 − 2ε 05 = − 2 2 l l 4κ m
Abychom mohli urˇcit podm´ınku pro hraniˇcn´ı hmotnost ˇcern´e d´ıry, mus´ıme jeˇstˇe nˇejak definovat, kdy se tedy molekula roztrhne. Pˇri pohledu na pr˚ ubˇeh Lennard-Jonesova potenci´ alu vid´ıme, ˇze s rostouc´ım l potenci´al velmi rychle konverguje k nule (pˇresnˇe nula je v nekoneˇcnu) a celkem rozumnˇe se j´ı bl´ıˇz´ı uˇz pˇri l = 2l0 , vezmˇeme tedy tohle jako podm´ınku roztrˇzen´ı vazby. Po dosazen´ı do vztahu v´ yˇse uˇz m˚ uˇzeme odvodit v´ yraz pro hmotnost ˇcern´e d´ıry. r 4c3 µ m= = 7,7 · 1039 kg κ ε
XX/7-8
11
Je tedy vidˇet, ˇze s odhadem s´ıly vazby se organiz´ atoˇri fakt sekli. Ted’ uˇz n´am vyˇsla celkem rozumn´ a supervelk´ a ˇcern´ a d´ıra, takov´e m´ ame jako poz˚ ustatky prvn´ıch hvˇezd v historii vesm´ıru. D´ ale je tˇreba si rozmyslet, jestli dan´ a hranice je minimum nebo maximum. Plat´ı, ˇze se vzd´ alenost´ı od ˇcern´e d´ıry potenci´ al kles´a pomaleji neˇz s´ıla (r-kr´at), proto na Schwarzschildovˇe polomˇeru (definovan´em pˇres potenci´al) je u tˇeˇzˇs´ı d´ıry gradient s´ıly menˇs´ı neˇz u lehˇc´ı d´ıry. Nalezen´ a mezn´ı hmotnost je tedy maximem. Zuzka
´ Uloha 6.3 – Barevn´ e m´ıˇ cky
(2b)
Zad´ an´ı: Na podlaze m´ ame v ˇradˇe N barevn´ych m´ıˇck˚ u. Kaˇzd´y z nich je bud’ ˇcerven´y, zelen´y nebo modr´y. Chtˇeli bychom je pˇreuspoˇra ´dat tak, aby byly vlevo vˇsechny ˇcerven´e, uprostˇred zelen´e a vpravo modr´e. V kaˇzd´em kroku m˚ uˇzeme vz´ıt dva m´ıˇcky a vymˇenit jejich pozice. Kolik takov´ych prohozen´ı bude urˇcitˇe staˇcit na seˇrazen´ı m´ıˇck˚ u? ˇ sen´ı: Reˇ Nejdˇr´ıve bychom si chtˇeli nasypat popel na hlavu, nebot’ jsme v zad´an´ı zapomnˇeli zm´ınit, ˇze n´ as zaj´ım´ a nejmenˇs´ı poˇcet prohozen´ı, kter´ y urˇcitˇe bude staˇcit. Vˇetˇsina z v´ as nicm´enˇe zad´ an´ı pochopila takto, takˇze (snad) k ˇz´adn´e vˇetˇs´ı u ´jmˇe nedoˇslo. Necht’ ˇcerven´ ych m´ıˇck˚ u je C, zelen´ ych Z a modr´ ych M . Budeme pˇredpokl´adat, ˇze plat´ı C ≥ Z ≥ M , v ostatn´ıch pˇr´ıpadech to bude fungovat podobnˇe. Nejdˇr´ıve vezmeme vˇsechny modr´e m´ıˇcky a pˇresuneme je na spr´avn´a m´ısta – na to je tˇreba maxim´ alnˇe M prohozen´ı. Pot´e vezmeme vˇsechny zelen´e m´ıˇcky a pˇresuneme je na spr´ avn´ a m´ısta – to opˇet spotˇrebuje nejv´ yˇse Z prohozen´ı. Jelikoˇz jak modr´e, tak zelen´e m´ıˇcky jsou na spr´ avn´ ych m´ıstech (druh´ ym pˇrehazov´an´ım jsme modr´e m´ıˇcky nemohli rozh´ azet), pak i ˇcerven´e mus´ı b´ yt na spr´ avn´ ych m´ıstech. Potˇrebujeme N , jelikoˇ z C ≥ (jinak by nebylo nejvˇetˇs´ı). tedy Z + M , coˇz je nejv´ yˇse 2N 3 3 Proˇc to nejde l´epe? Uvaˇzme pˇr´ıpad, kdy je vˇsech m´ıˇck˚ u stejnˇe a jsou uspoˇr´adan´e tak, ˇze nejdˇr´ıve jsou vˇsechny zelen´e, pak modr´e a pak ˇcerven´e. Je zˇrejm´e, ˇze nem´ a smysl prohazovat dva m´ıˇcky stejn´e barvy, stejnˇe tak nem´a smysl cokoliv prov´ adˇet s m´ıˇckem, kter´ y je ve spr´ avn´e pozici. Pokud prohod´ıme dva m´ıˇcky, na kter´e jsme pˇredt´ım jeˇstˇe nes´ ahli, pak se vˇzdycky pr´ avˇe jeden dostane na spr´avnou pozici. Pokud prohod´ıme dva m´ıˇcky, ale jeden z nich se uˇz pˇredt´ım u ´ˇcastnil jednoho prohozen´ı (ale skonˇcil na ˇspatn´em m´ıstˇe), pak po prohozen´ı budou oba dva na spr´ avn´em m´ıstˇe. Na kaˇzd´e tˇri r˚ uznobarevn´e m´ıˇcky tedy spotˇrebujeme nejm´enˇe dvˇe prohozen´ı, celkem na N m´ıˇck˚ u tedy mus´ıme pouˇz´ıt alespoˇ n 2N ı. 3 prohozen´ O(N)dra
12
´ Uloha 6.4 – Kruhy v obd´ eln´ıku
(2b)
Zad´ an´ı: M´ ame obd´eln´ık, kter´y lze pokr´yt 25 kruhy o pr˚ umˇeru 2. D´ a se potom tak´e pokr´yt 100 kruhy o pr˚ umˇeru 1? ˇ sen´ı: Reˇ Vezmeme si libovoln´ y obd´eln´ık, kter´ y se d´ a pokr´ yt 25 kruhy o pr˚ umˇeru 2. Jeho poloviˇcn´ı“ obd´eln´ık, tj. podobn´ y obd´eln´ık s poloviˇcn´ımi d´elkami stran, se d´a ” jistˇe pokr´ yt 25 kruhy o pr˚ umˇeru 1, staˇc´ı p˚ uvodn´ı obd´eln´ık i s jeho kruhy dvakr´at zmenˇsit7 . N´ aˇs p˚ uvodn´ı obd´eln´ık nyn´ı pˇrekryjeme ˇctyˇrmi poloviˇcn´ımi obd´eln´ıky a kaˇzd´ y z poloviˇcn´ıch obd´eln´ık˚ u pokryjeme 25 kruhy o polomˇeru jedna. T´ım pokryjeme cel´ y obd´eln´ık celkem 4 · 25 = 100 kruhy, jak jsme chtˇeli. Pepa
ˇ sen´ı t´ Reˇ emat T´ ema 1 – Zobrazov´ an´ı poˇ cas´ı Bˇehem roku jsme obdrˇzeli k tomu t´ematu nˇekolik pˇr´ıspˇevk˚ u. Postupnˇe se rozv´ıjel jejich pˇr´ınos od prvotn´ıch opakov´ an´ı zjevn´ ych fakt naznaˇcen´ ych uˇz v zad´an´ı po ucelen´e reˇserˇse t´ ykaj´ıc´ı se urˇcit´ ych aspekt˚ u tohoto t´ematu, kter´e byly tak´e patˇriˇcnˇe bodovˇe ohodnoceny. Bohuˇzel nikdo neprovedl ˇz´adn´ y experiment. Tˇreba pˇr´ıˇst´ı roˇcn´ık bude experiment´ alnˇe bohatˇs´ı. Na z´ avˇer otiskujeme posledn´ı doˇsl´e pˇr´ıspˇevky. Zuzka
Poˇcas´ı a lidov´a moudrost Dr.
MM
(13 b)
Aneta Lesn´a
Nejsme zdaleka prvn´ı, koho napadlo pokusit se pˇredpovˇedˇet poˇcas´ı pozorov´an´ım pˇr´ırody. Relativnˇe dlouho ani jin´ a moˇznost nebyla. Z generace na generaci si lid´e pˇred´ avali snadno zapamatovateln´e pr˚ upov´ıdky, kter´e jim orientaci v rozmarech poˇcas´ı mˇely usnadnit. Pokud je modern´ı ˇclovˇek“ vezme na milost, mohou mu ” b´ yt uˇziteˇcn´e nejen jako z´ ales´ ack´ a pom˚ ucka. When Clouds Look Like Black Smoke A Wise Man Will Put On His Cloak Mraky pˇripom´ınaj´ıc´ı kouˇr jsou zde mraky typu cumulus congestus. Pokud na nˇe sv´ıt´ı slunce, jsou vˇetˇsinou z´ aˇrivˇe b´ıl´e. Ve st´ınu (ostatn´ıch mrak˚ u, . . . ) se mohou jevit jako velmi tmav´e. Tyto mraky tvarem ˇcasto pˇripom´ınaj´ı karfiol. D´ıky mnoˇzstv´ı vodn´ı p´ ary maj´ı schopnost ztemnit oblohu. V ran´ ych f´az´ıch bouˇre se zaˇc´ınaj´ı objevovat mraky typu cumulus. Kr´ atce pot´e dos´ahne bouˇre vrcholu a zaˇcne prˇset. Pouˇzitelnost rˇcen´ı je nejvyˇsˇs´ı v pˇr´ımoˇrsk´ ych oblastech. 7 matematicky
vyj´ adˇreno – pouˇ z´ıt stejnolehlost
XX/7-8
13
Red sky at night, sailor’s delight. Red sky in the morning, sailors take warning. Red sky at night, shepherd’s delight. Red sky in the morning, shepherd’s warning. Morgenrøde gir dage bløde. Kveldsrøde gir dage søde. Rosso di sera, bel tempo si spera, rosso di mattina mal tempo si avvicina. Jen rozˇs´ıˇrenost tohoto rˇcen´ı ukazuje na jeho generacemi otestovanou pravdivost. (V´ım pˇribliˇznˇe o patn´ acti, v Bibli (Matouˇs 16:2b-3) je tento jev interpretov´an jako znamen´ı nebes, zmiˇ nuje se o nˇem i W. Shakespeare ve sv´e hˇre Venus and ” Adonis“.) D˚ uvod zm´ınˇen´eho v´ yznamu rann´ıch a veˇcern´ıch ˇcerv´ank˚ u je celkem jasn´ y. (Hlavn´ım d˚ uvodem obou je rozpt´ ylen´ı kr´ atkovlnn´ ych sloˇzek spektra. Jeden rozd´ıl je v tom, ˇze potˇrebn´ a vlhkost v rann´ım pˇr´ıpadˇe pˇrich´az´ı, veˇcer je jiˇz na odchodu.) When the wind is blowing in the North No fisherman should set forth, When the wind is blowing in the East, ’Tis not fit for man nor beast, When the wind is blowing in the South It brings the food over the fish’s mouth, When the wind is blowing in the West, That is when the fishing’s best! Velmi pˇresn´e v z´ apadoevropsk´ ych oblastech. Pˇri pˇribl´ıˇzen´ı oblasti n´ızk´eho tlaku vzduchu se obvykle zvednou v´ ychodn´ı vˇetry. B´ yvaj´ı nepˇr´ıjemnˇe tepl´e, such´e a praˇsn´e v l´etˇe a mrazivˇe studen´e v zimˇe. Oblast ˇcasto n´asleduj´ıc´ı severn´ı vˇetry b´ yvaj´ı studen´e a bouˇrliv´e. Plavba v podm´ınk´ ach tˇechto vˇetr˚ u vyˇzaduje mnoho zkuˇsenost´ı a lod’ schopnou pˇrekonat n´ apor siln´ ych vln. Jiˇzn´ı vˇetry vˇetˇsinou pˇrin´aˇsej´ı teplejˇs´ı poˇcas´ı, takˇze pokud rybolov nen´ı u ´spˇeˇsn´ y, je alespoˇ n pˇr´ıjemn´ y. Kdyˇz vanou z´ apadn´ı vˇetry, mˇelo by dlouho panovat pˇr´ıhodn´e jasn´e poˇcas´ı a relativnˇe st´ al´e povˇetrnostn´ı podm´ınky. Dle m´eho n´ azoru tyto verˇse mohou b´ yt uˇziteˇcn´e kaˇzd´emu, kdo se nach´ az´ı v relevantn´ı oblasti s omezen´ ymi moˇznostmi pˇredpovˇedi poˇcas´ı. No weather is ill, if the wind be still. Klidn´e podm´ınky vˇetˇsinou indikuj´ı dominanci oblasti vysok´eho tlaku vzduchu. Protoˇze jde o rozs´ ahl´e oblasti klesaj´ıc´ıho vzduchu, ˇcasto nedoch´az´ı k jev˚ um jako je oblaˇcnost, vˇetrno ˇci d´eˇst’. Zcela jin´ ym pˇr´ıpadem je takzvan´e ticho pˇred bouˇr´ı“, ” kdy bouˇrn´ a buˇ nka na severu prov´ ad´ı tah vzh˚ uru. Toto b´ yv´a jasnˇe identifikovateln´e pohledem na z´ apad, kde by bl´ıˇz´ıc´ı se bouˇre mˇela b´ yt jasnˇe rozpoznateln´a. V zimˇe
14 ale nav´ıc klidn´ y v´ıtr a jasn´ a obloha mohou indikovat pˇr´ıtomnost pol´arn´ıho vy” sok´eho tlaku“, kter´ y je ˇcasto doprov´ azen velmi studen´ ym vˇetrem. Teploty okolo ◦ (−35 C) vˇetˇsinou neb´ yvaj´ı vn´ım´ any jako pˇr´ızniv´e. Tohle rˇcen´ı lze pouˇz´ıvat pouze s rozmyslem. When halo rings the moon or sun, rain’s approaching on the run. Circle around the moon, rain or snow soon. Jev zvan´ y halo je zp˚ usoben refrakc´ı svˇetla ledov´ ymi krystaly ve vysok´ ych nadmoˇrsk´ ych v´ yˇsk´ ach. Vlhkost v tˇechto oblastech pˇredch´az´ı sestupu vlhkosti n´ıˇze a je dobr´ ym indik´ atorem pˇr´ıchodu aktivn´ıho syst´emu. Halo se ˇcasto vyvine do takzvan´eho ml´eˇcn´eho nebe“, kdy se nebe jev´ı jako jasn´e, ale typick´a modˇr je ” u ´plnˇe potlaˇcen´ a nebo tˇeˇzko zaznamenateln´ a. Tento rozs´ahl´ y, hust´ y mrak typu cirrostratus je jasn´ ym indik´ atorem pˇr´ıchodu oblasti niˇzˇs´ıho tlaku vzduchu. Bˇehem nejchladnˇejˇs´ıch zimn´ıch dn˚ u halo okolo slunce obvykle ukazuje na pˇr´ıtomnost velmi studen´eho a obvykle ˇcist´eho vzduchu nad povrchem. – Pozor na kruhy. When windows won’t open, and the salt clogs the shaker, The weather will favour the umbrella maker! Dˇrevo i s˚ ul jsou dobr´ ymi absorbenty vlhkosti. Na tom je ostatnˇe zaloˇzena vˇetˇsina zn´ am´ ych metod pˇredpovˇedi poˇcas´ı pomoc´ı ˇsiˇsky. S˚ ul se hod´ı vˇzdycky. A cow with its tail to the West makes the weather best, A cow with its tail to the East makes the weather least. Kr´ avy nemaj´ı r´ ady, kdyˇz jim do oˇc´ı fouk´ a v´ıtr, stoj´ı tedy z´ady k vˇetru. Toto je tedy jen dalˇs´ı zm´ınka o slibnosti z´ apadn´ıch vˇetr˚ u a proklet´ ych v´ ychodn´ıch vˇetrech. A summer fog for fair, A winter fog for rain. A fact most everywhere, In valley or on plain. Mlha se tvoˇr´ı, kdyˇz se vzduch ochlad´ı tak, ˇze doch´az´ı ke kondenzaci vody. Aby byl vzduch letn´ı noci chladn´ y, nebe mus´ı b´ yt jasn´e, aby pˇrebyteˇcn´e teplo mohlo b´ yt vyz´ aˇreno do vesm´ıru. Se zimn´ı mlhou je to nˇeco u ´plnˇe jin´eho. Nad rozs´ahl´ ymi vodn´ımi plochami b´ yv´ a vzduch vlhˇc´ı neˇz nad zem´ı. Kdyˇz se vlhk´ y vzduch posune nad zem, ˇcasto dojde k tvorbˇe mlhy a sr´ aˇzek. When sounds travel far and wide, A stormy day will betide.
XX/7-8
15
Tato pouˇcka m˚ uˇze b´ yt uˇziteˇcn´ a v l´etˇe, ale nemus´ı platit v zimˇe. Vlhk´ y vzduch je lepˇs´ım tepeln´ ym vodiˇcem neˇz such´ y vzduch, takˇze vlhk´ y vzduch pˇred bouˇr´ı nese zvuk d´ ale. V zimˇe je dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym faktorem teplota vzduchu. Pokud je vzduch tepl´ y a vlhk´ y, pravidlo st´ ale plat´ı. Pokud je vzduch velmi studen´ y, je tak´e velmi hust´ y a dobˇre vede zvuk. Pokud se zvuky dobˇre rozl´ehaj´ı, m˚ uˇze to znamenat, ˇze pˇretrv´ a chladn´e, jasn´e poˇcas´ı. If clouds move against the wind, rain will follow. Tato z´ asada plat´ı pouze za urˇcit´ ych podm´ınek, na z´akladˇe takzvan´eho pra” vidla kˇr´ıˇz´ıc´ıch se vˇetr˚ u“. Spol´ehat se na ni pravdˇepodobnˇe ned´a. A coming storm your shooting corns presage, And aches will throb, your hollow tooth will rage. ˇ asteˇcnˇe potvrzen´ C´ y fenom´en indikaˇcn´ıch kloub˚ u, kter´ y byl jiˇz dˇr´ıve pˇredmˇetem m´eho zkoum´ an´ı, si naˇsel cestu i do lidov´e slovesnosti. Skeptici zde ale upozorˇ nuj´ı na moˇznost ovlivnˇen´ı selektivn´ı pamˇet´ı a jin´ ymi temn´ ymi silami. Metoda pro z´ ales´ aky l´ın´ e, tepl´ ych n´ apoj˚ u chtiv´ e Jak vˇsichni v´ıme, na povrchu n´ apoje v hrnku se obˇcas utvoˇr´ı bublinky. Vˇetˇsina z n´ as si jich ani nevˇsimne, ale nˇekter´e lid´ı zaujalo to, ˇze ve dnech, kter´e se pozdˇeji jev´ı jako deˇstiv´e, maj´ı tendenci z˚ ust´ avat v okol´ı stˇredu hladiny, sluneˇcn´e dny naopak nˇejak´ ym zp˚ usobem stimuluj´ı migraci bublinek k okraj˚ um. Vysvˇetlen´ım je (samozˇrejmˇe) opˇet atmosferick´ y tlak. Pokud je vysok´ y, m˚ uˇze zp˚ usobit pˇresun bublinek k okraj˚ um. Co znamen´ a pˇr´ıtomnost vyˇsˇs´ıho ˇci naopak niˇzˇs´ıho tlaku vzduchu ve vztahu k budouc´ımu poˇcas´ı asi vˇsichni v´ıme. Kdyˇz nem´am ˇsiˇsku, uvaˇr´ım si kafe.
Posledn´ı pozn´amky ˇs´ılen´eho meteorologa
(10 b)
Dr.MM Aneta Lesn´a Ve sv´em posledn´ım pˇr´ıspˇevku k nepochybnˇe velmi plodn´emu t´ematu zobrazovan´ı poˇcas´ı se nejprve pokus´ım zamˇeˇrit na zodpovˇezen´ı ot´azek a reakce na podnˇety naznaˇcen´e v r´ amci pˇredchoz´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u. N´ aslednˇe se s v´ami podˇel´ım o (opravdu posledn´ı) z´ ales´ acko-meteorologick´e postˇrehy.
ˇ anky a duha Cerv´ Jako ˇcerv´ anky se navzdory zav´ adˇej´ıc´ımu n´ azvu oznaˇcuje zbarven´ı oblohy do ˇcerven´e, r˚ uˇzov´e, oranˇzov´e nebo i ˇzlut´e barvy. Jednou z podm´ınek pro jejich vznik je vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı zv´ıˇren´eho prachu v atmosf´eˇre. Vlivem poklesu teploty mohou vodn´ı p´ ary kondenzovat na ˇc´ asteˇck´ ach prachu v podobˇe ledov´ ych krystalk˚ u. Kdyˇz tyto krystalky ozaˇruj´ı sluneˇcn´ı paprsky, doch´ az´ı v nich k lomu a rozptylu svˇetla a obloha se n´ am jev´ı barevnˇe.
16 Podm´ınka zv´ıˇren´eho prachu je ˇcasto splnˇena v l´etˇe za z´apadu slunce, ˇcasto po vˇetrn´em dni. Rann´ı ˇcerv´ anky nejsou ˇcast´ ym jevem. Letn´ı noci b´ yvaj´ı vlivem tlakov´e v´ yˇse m´ırn´e a bezvˇetrn´e, takˇze r´ ano vzduch neobsahuje ˇc´astice, od nichˇz by se svˇetlo mohlo odr´ aˇzet. Pokud se ˇcerv´ anky r´ ano vytvoˇr´ı, znamen´a to, ˇze noc byla vˇetrn´ a a pˇrib´ yvalo oblaˇcnosti. Lze tedy oˇcek´ avat pˇr´ıchod studen´e fronty a ˇspatn´eho poˇcas´ı. D˚ uleˇzitost prachov´ ych ˇc´ asteˇcek se v´ ymluvnˇe uk´azala po v´ ybuchu sopky Krakatoa roku 1883, kdy vˇsude na svˇetˇe pˇri z´ apadu Slunce vznikaly pozoruhodn´e ˇcerv´ anky. Podle nˇekter´ ych teori´ı takov´ y pohled inspiroval i Edvarda Muncha a jeho obraz V´ ykˇrik. Optick´ yu ´kaz zvan´ y duha se projevuje jako skupina soustˇredn´ ych barevn´ ych oblouk˚ u, kter´e vznikaj´ı lomem a vnitˇrn´ım odrazem sluneˇcn´ıho nebo mˇes´ıˇcn´ıho svˇetla na vodn´ıch kapk´ ach v atmosf´eˇre. Pokud podobn´ y u ´kaz vznikne d´ıky ledov´ ym krystalk˚ um v atmosf´eˇre, naz´ yv´ a se halo. Ve vlhk´em vzduchu proch´ az´ı svˇetlo kaˇzdou jednotlivou kapkou. Voda m´a vetˇs´ı index lomu neˇz vzduch, svˇetlo se tedy l´ ame. Index lomu je r˚ uzn´ y pro r˚ uzn´e vlnov´e d´elky svˇetla a kapka m´ a tvar koule. Svˇetlo se tedy na rozhran´ı optick´ ych prostˇred´ı rozkl´ ad´ a na jednotliv´e barevn´e sloˇzky, kter´e se odr´ aˇzej´ı na vnitˇrn´ı stˇenˇe kapky a opouˇstˇej´ı ji pod r˚ uzn´ ymi u ´hly. Kapky ve stejn´e u ´hlov´e vzd´alenosti od zdroje svˇetla (Slunce ˇci Mˇes´ıce) se pak jev´ı, jako by mˇely stejnou barvu. Duhy proto m´ıvaj´ı tvar kruhu, pˇr´ıpadnˇe jeho ˇc´ asti. Bouˇrkov´e syst´emy na severn´ı polokouli se vetˇsinou pohybuj´ı od z´apadu k v´ ychodu. Pokud se duha objevuje ˇc´ asteˇcnˇe v d˚ usledku vlhkosti, je nasnadˇe, ˇze duha na z´ apadˇe m˚ uˇze b´ yt pˇredzvˇest´ı deˇstˇe, zat´ımco duha na v´ ychode okolo z´apadu slunce indikuje, ˇze d´eˇst’ odch´ az´ı“. ”
Zv´ıˇr´atka Pod´ıvejme se nejprve opˇet na problematiku mravenc˚ u a mraveniˇst’. Ta jsou pro z´ ales´ aky obecnˇe velmi cenn´ a. Je zn´ amo, ˇze severn´ı strana mraveniˇst’ b´ yv´a nejstrmˇejˇs´ı. Ale proˇc? Ukazuje se, ˇze d˚ uvodem je pravdˇepodobnˇe teplota. Severn´ı strana je redukov´ ana na minimum“, zat´ımco ostatn´ı stˇeny zachyt´avaj´ı co moˇzn´a ” nejv´ıce svˇeteln´e energie. Jinou kapitolou je chovan´ı mal´ ych stavitel˚ u v z´avislosti na poˇcas´ı. Pˇred bouˇr´ı se mravenci zdrˇzuj´ı v okol´ı vchodu do mraveniˇstˇe, obˇcas vchod i zataras´ı. Tak´e maj´ı tendenci stavˇet mraveniˇstˇe se strm´ ymi svahy. D˚ uvodem vˇsech tˇechto zmˇen v chov´ an´ı je atmosferick´ y tlak, pˇresnˇeji jeho pokles. Proˇc strm´e svahy? Podle m´eho n´ azoru jde opˇet o pokus mraveniˇstˇe redukovat“, aby povrch zmokl´ y ” bˇehem bouˇre byl co moˇzn´ a nejmenˇs´ı. Roli hraje samozˇrejmˇe i zmˇena u ´hlu dopadu deˇst’ov´ ych kapek, kter´e pak mohou m´ıt m´enˇe devastuj´ıc´ı u ´ˇcinky. Bl´ıˇz´ı-li se d´eˇst’, zaˇcnou se nˇekteˇr´ı reprezentanti hmyz´ı ˇr´ıˇse chovat velmi nepˇr´ atelsky. Vosy maj´ı zv´ yˇsenou tendenci bodat a blechy kouˇsou jako div´e. (Ano, dobˇre v´ım, ˇze blechy nejsou hmyz.) Hmyz ale signalizuje poˇcas´ı i m´enˇe agresivn´ımi zp˚ usoby. Pokud mot´ yli a vˇcely poletuj´ı na louk´ ach a beruˇsky se vesele roj´ı, lze oˇcek´ avat pˇr´ızniv´e poˇcas´ı. Pokud tito insekti zalezou, vˇetˇsinou to neb´ yv´a dobr´a
XX/7-8
17
zpr´ ava. Cvrˇcci jsou zn´ am´ı jako teplomˇer chud´ ych. Poˇcet cvrknut´ı jednoho cvrˇcka bˇehem ˇctrn´ acti sekund by po seˇcten´ı s ˇc´ıslem 40 mˇel d´at teplotu ve stupn´ıch Fahrenheita. Pˇrevod mezi stupni Celsia a Fahrenheita asi vˇsichni zn´ame. Pavuˇciny upavouˇcen´e pˇred bouˇr´ı b´ yvaj´ı silnˇejˇs´ı a m´ıvaj´ı v´ıce podp˚ urn´ ych vl´aken. Kromˇe toho, ˇze se kr´ avy ot´ aˇc´ı z´ ady k vˇetru (jak bylo podrobnˇeji zm´ınˇeno a teoreticky vyuˇzito v jednom z dˇr´ıvˇejˇs´ıch pˇr´ıspˇevk˚ u), mohou b´ yt uˇziteˇcn´e i jinak. Pokud je dobytek na pastvˇe roztrouˇsen bez viditeln´ ych shluk˚ u, b´ yv´a to pˇredzvˇest ˇ ım tˇesnˇejˇs´ı uskupen´ı, t´ım horˇs´ı pˇredpovˇed’. Pˇred deˇstˇem pˇr´ızniv´eho poˇcas´ı. C´ m´ıvaj´ı kr´ avy tendenci poleh´ avat, ned´ avat ml´eko, pˇr´ıpadnˇe vyv´adˇet v pˇr´ıstˇreˇsc´ıch. Vin´ıkem je pravdˇepodobnˇe opˇet atmosferick´ y tlak. D˚ uvodem, proˇc pt´ aci pˇred bouˇr´ı l´etaj´ı n´ızko, je fakt, ˇze niˇzˇs´ı tlak asociovan´ y s pˇrich´ azej´ıc´ı bouˇr´ı nedˇel´ a dobˇre jejich uˇs´ım. Vlastnˇe jim zp˚ usobuje bolest a drˇz´ı je pˇri zemi. Pokud pt´ aci posed´ avaj´ı na dr´ atech elektrick´eho veden´ı, je to dalˇs´ı d˚ uvod k obav´ am. Stejnˇe jako n´ ahl´e utichnut´ı ptaˇc´ıho zpˇevu a kˇriku. Ponˇekud kontroverzn´ı je metoda zaloˇzen´ a na tom, ˇze racci pr´ y pˇred bouˇr´ı nel´etaj´ı a z˚ ust´avaj´ı na pl´ aˇzi. Pravdou pravdˇepodobnˇe je, ˇze racci, kteˇr´ı neradi post´avaj´ı ˇci chod´ı a kdykoli mohou, z˚ ust´ avaj´ı nad moˇrem, kde na hladinˇe i sp´ı, pouze za velmi ˇspatn´eho a v´ aˇznˇe nebezpeˇcn´eho poˇcas´ı, kdy nemaj´ı jinou moˇznost, pˇristanou na bˇrehu. Jejich pˇr´ıtomnost na pl´ aˇzi tedy nen´ı ani tak pˇredzvˇest´ı ˇspatn´eho poˇcas´ı, jako sp´ıˇse sign´ alem, ˇze poˇcas´ı uˇz ˇspatn´e je. ˇ aby pˇred deˇstˇem ˇcasto hlasitˇeji kv´ Z´ akaj´ı. Takov´ a rosniˇcka nav´ıc, jak je asi vˇsem zn´ amo, signalizuje“ nadch´ azej´ıc´ı poˇcas´ı sv´ ymi pohyby napˇr´ıklad na ˇzebˇr´ıˇcku. ” Nepˇresnost m˚ uˇze samozˇrejmˇe b´ yt znaˇcn´ a. D˚ uvody chov´ an´ı zv´ıˇrat jsou samozˇrejmˇe ˇc´ asteˇcnˇe z´ahadou, ˇcasto tˇeˇzko jednoduˇse popsateln´e, ale existuj´ı jist´e spoleˇcn´e znaky a vod´ıtka. Vin´ıkem ˇc´ıslo jedna je t´emˇeˇr vˇzdy atmosferick´ y tlak. D´ ale jsou zde faktory jako teplota, vlhkost, v´ıtr ˇci zkuˇsenost, kter´e ale ˇcasto vyuˇz´ıvaj´ı i lid´e. Koˇcky si pˇred deˇstˇem ˇcasto myj´ı prostor za uˇsima. Vˇetˇsina zv´ıˇrat c´ıt´ı zmˇeny tlaku a m´ a jak´ ysi ˇsest´ y smysl, kter´ y m˚ uˇze b´ yt vyuˇzit i ˇclovˇekem. Pokud se jako z´ ales´ ak vyd´ av´ ate do opravdu nepˇr´ızniv´ ych konˇcin, odoln´e zv´ıˇr´atko nemus´ı b´ yt ˇspatn´ ym spoleˇcn´ıkem. Vzpomeˇ nme si na zv´ıˇrec´ı celebrity jako je napˇr´ıklad sviˇst’ Phil z Punxsutawney. Kdyˇz nic jin´eho, budete m´ıt s ˇc´ım si pov´ıdat, aˇz v´am z neust´ al´eho pozorov´ an´ı mrak˚ u, mravenc˚ u, liˇsek, ˇsiˇsek, cvrˇck˚ u, koˇcek lehounce pˇreskoˇc´ı.
Mrakolog amat´er Velmi d˚ uleˇzit´ ym ukazatelem poˇcas´ı jsou tak´e mraky. Jejich typologie je ale natolik sloˇzit´ a a m´ısty matouc´ı, ˇze jak´ ykoli zjednoduˇsen´ y v´ yklad z m´e strany by pravdˇepodobnˇe pˇrinesl v´ıce ˇskody neˇz uˇzitku. Z´ ajemce o detailnˇejˇs´ı studium typ˚ u mrak˚ u odkazuji napˇr´ıklad na anglickou Wikipedii8 . V r´amci z´akladn´ıch informac´ı lze pouze ˇr´ıci, ˇze existuj´ı mraky vysok´e, n´ızk´e i prostˇredn´ı, mraky zlovˇestn´e, dobrozvˇestn´e i neutr´ aln´ı, mraky r˚ uzn´ ych typ˚ u a subtyp˚ u ˇci samozˇrejmˇe r˚ uzn´ ych barev. 8 https://en.wikipedia.org/wiki/List
of cloud types
18 Maj´ı tak´e sv´e odborn´e n´ azvy a pokud typologii v obrysech zvl´adnete, m˚ uˇze v´am uˇsetˇrit nejeden zkaˇzen´ y v´ ylet.
Z´ales´ack´a kadeˇrnice Objevil se podnˇet k prozkoum´ an´ı jevu, kdy se vlasy nˇekter´ ych lid´ı za zv´ yˇsen´e vlhkosti zaˇc´ınaj´ı vlnit ˇci tˇrepit. Z v´ yzkumu vypl´ yv´ a, ˇze d˚ uvodem m˚ uˇze paradoxnˇe b´ yt pˇr´ıliˇsn´ a suchost vlas˚ u. Vlasy se skl´ adaj´ı prim´ arnˇe z lipid˚ u, vody a proteinu jm´enem keratin, kter´ y je d˚ uleˇzit´ ym faktorem v r´ amci s´ıly a struktury vlasu. Zmˇeny v pˇr´ıpadˇe tˇechto sloˇzek mohou ovlivnit kvalitu vlasu. Pr´avˇe lid´e se such´ ymi vlasy nejˇcastˇeji trp´ı krepatˇen´ım vlas˚ u ve vlhk´em poˇcas´ı. Kdyˇz je venku vlhko, such´e ˇci por´ezn´ı vlasy absorbuj´ı pˇrebyteˇcnou vodu, coˇz m´ a vliv na interakce mezi keratinov´ ymi proteiny. D˚ usledkem je otok“ vlasu a poruchy v jeho svrchn´ı vrstvˇe, ” zvan´e kutikula, coˇz m˚ uˇze vytvoˇrit dojem krepatˇen´ı. Pokud jsou vlasy dobˇre hydratov´ any, zmˇeny prostˇred´ı, napˇr´ıklad vlhkosti, na nˇe m´ıvaj´ı menˇs´ı vliv. Nˇekter´e vlasy jsou ke krepatˇen´ı n´achylnˇejˇs´ı, napˇr´ıklad vlasy poniˇcen´e pˇrehˇr´ıv´ an´ım, chemick´ ymi barvami ˇci bezohledn´ ym ˇces´an´ım. Naduˇz´ıv´an´ı ˇsamponu, gelu s alkoholovou b´ az´ı a nˇekter´ ych jin´ ych pˇr´ıpravk˚ u tak´e m˚ uˇze podporovat vysouˇsen´ı. Pokud jste jedn´ım z lid´ı s pˇr´ıleˇzitostnˇe beznadˇejnˇe krepat´ ymi vlasy, pomoci v´ am mohou napˇr´ıklad hydratuj´ıc´ı kondicion´ery ˇci jin´e pˇr´ıpravky nebo obecnˇe ˇsetrnˇejˇs´ı zach´ azen´ı.
T´abor´ak Jak nˇekteˇr´ı pˇredpokl´ adali, stoup´ an´ı ˇci naopak rozptylov´an´ı a kles´an´ı d´ ymu (moˇzn´ y ukazatel bl´ızkosti bouˇre) nen´ı d˚ usledkem rozd´ılu tlak˚ u vzduchu a kouˇre. D˚ uvod je jin´ y. Atmosf´erick´e fronty, kter´e vˇetˇsinou prov´ az´ı deˇstiv´e poˇcas´ı, jsou charakterizov´ any vrstvou tepl´eho vzduchu nad vrstvou chladn´eho vzduchu. Pokud se nade mnou nach´ az´ı rozhran´ı teplotn´ıch vrstev a j´a rozdˇel´am t´abor´ak, d´ ym se v chladnˇejˇs´ı vrstvˇe ochlad´ı, a po stˇretu se vzduchem teplejˇs´ım, neˇz je s´am, logicky nebude ve stoup´ an´ı pokraˇcovat. V pˇr´ıpadˇe pˇr´ıtomnosti takov´eho teplotn´ıho rozhran´ı se rovnˇeˇz d´ a oˇcek´ avat pˇr´ıchod deˇstˇe.
C´ıt´ım bouˇrku V minul´em pˇr´ıspˇevku jsme se lehce dotkli okolnost´ı a pˇr´ıˇcin pachu bouˇre“. ” Pˇredevˇs´ım d´ıky pozn´ amk´ am organiz´ atoru m´ am pocit, ˇze si toto t´ema zaslouˇz´ı hlubˇs´ı zamyˇslen´ı a v´ yzkum. Pokus´ım se zde shrnout nˇekter´e ze sv´ ych poznatk˚ u ohlednˇe tohoto jevu, d´ıky jehoˇz projev˚ um m˚ uˇze zkuˇsen´ y z´ales´ak poznat (napˇr´ıklad), zda se bl´ıˇz´ı bouˇrka ˇci zda bouˇrka ned´ avno probˇehla. Jednou z prvn´ıch pˇredzvˇest´ı bl´ıˇz´ıc´ı se bouˇrky m˚ uˇze b´ yt pronikav´ y, nasl´adl´ y z´ apach pˇripom´ınaj´ıc´ı nˇekter´ ym lidem pach chl´ oru. Vin´ıkem je ozon. K jeho vzniku doch´ az´ı v atmosf´eˇre, kde p˚ usoben´ım elektrick´eho v´ yboje (zde napˇr´ıklad blesku) mohou z podvojn´ ych molekul vzniknout voln´e atomy kysl´ıku a dus´ıku. Nˇekter´e z nich rekombinuj´ı na oxid dusn´ y, z nˇehoˇz reakc´ı s jin´ ymi atmosferick´ ymi chemik´ aliemi m˚ uˇze vzniknout molekula ozonu. D´ıky vertik´aln´ım pohyb˚ um vˇetru
XX/7-8
19
obecnˇe spojen´ ym s bouˇrkami ˇcasto doch´ az´ı k pˇresunu ˇc´asti ozonu z vyˇsˇs´ıch vrstev na u ´roveˇ n nosu. Zanedlouho ˇcasto pˇrijde ona bouˇrka a s n´ı d´eˇst’. S deˇstˇem pˇrich´ az´ı i jin´e pachy. Padaj´ıc´ı deˇst’ov´e kapky pˇren´aˇsej´ı pachov´e molekuly z r˚ uzn´ ych (hlavnˇe such´ ych) povrch˚ u do vzduchu. Takto se v pˇr´ırodˇe m˚ uˇze do vzduchu dostat ˇc´ ast pachu r˚ uzn´ ych rostlin. Ve mˇestech tyto pachy ˇcasto poch´az´ı z betonov´ ych a asfaltov´ ych povrch˚ u. Samozˇrejmˇe ne vˇsechny tyto pachy jsou pˇr´ıjemn´e. Z podobn´ ych d˚ uvod˚ u se pach deˇstˇe“ m˚ uˇze v´ yraznˇe mˇenit v z´avislosti ” napˇr´ıklad na roˇcn´ım obdob´ı. Na jaˇre a v l´etˇe, kdy vˇse roste a kvete, m´a ˇcasto d´eˇst’ aˇz opojnou v˚ uni. Deˇstˇe nedlouho pˇred zimou naopak v nˇekter´ ych oblastech z pochopiteln´ ych d˚ uvod˚ u pˇrin´ aˇs´ı do vzduchu pach organick´eho odpadu a hnij´ıc´ıch mrˇsin. Dalo by se velmi zjednoduˇsenˇe ˇr´ıci, ˇze d´eˇst’ ˇcasto jen zd˚ urazn´ı v˚ unˇe a pachy konkretn´ıho prostˇred´ı. T´eto skupinˇe deˇstn´ ych pach˚ u n´ aleˇz´ı n´ azev petrichor. Prvn´ı definici provedli v roce 1964 mineralogov´e Isabel Joy Bear a R. G. Thomas v r´amci Australia’s Commonwealth Scientific and Industrial Research Organization. Petrichor definovali jako pach, kter´ y vznik´ a, kdyˇz se vzduˇsn´e molekuly z tˇel rostlin ˇci ˇzivoˇcich˚ u usazuj´ı na miner´ aln´ıch ˇci p˚ udn´ıch povrˇs´ıch. (P˚ uvod molekul je r˚ uzn´ y. Nˇekter´e studie napˇr´ıklad naznaˇcuj´ı, ˇze rostliny v such´ ych podm´ınk´ach produkuj´ı jistou kombinaci olej˚ u, jej´ımˇz u ´ˇcelem je hlavnˇe inhibice r˚ ustu a minimalizace konkurence z hlediska zdroj˚ u vody. Tyto molekuly se pak hromad´ı na kamenech a v p˚ udˇe.) Bˇehem sucha molekuly chemicky rekombinuj´ı s jin´ ymi pˇr´ıtomn´ ymi prvky. Kdyˇz pak pˇrijdou deˇstˇe, dojde k uvolnˇen´ı aromatick´e kombinace mastn´ ych kyselin, alkohol˚ u a uhlovod´ık˚ u. Pach vlhk´e zemˇe a zatuchliny, kter´ y je charakteristick´ y pro krajinu po bouˇri, je z vˇetˇs´ı ˇc´ asti zp˚ usoben aromatem geosminu, mimo jin´e produktu metabolismu bakteri´ı actinomycetes a nˇekter´ ych ˇras. Ten tak´e m˚ uˇze kontaminovat vodu ˇci v´ıno a zanech´ avat vlhk´ y z´ apach. Geosmin jsou lid´e schopni detekovat jiˇz v koncentraci pˇeti ˇc´ astic na trilion, coˇz zhruba odpov´ıd´ a k´avov´e lˇziˇcce ve dvou stech olympijsk´ ych baz´enech. Mnoh´e z popsan´ ych deˇstn´ ych pach˚ u obecnˇe v pˇr´ırodˇe slouˇz´ı jako cenn´e ukazatele. Nˇekteˇr´ı biologov´e se napˇr´ıklad domn´ıvaj´ı, ˇze petrichor po vniku do vody slouˇz´ı ryb´ am jako sign´ al zaˇc´ atku tˇrec´ı sez´ ony. Aroma geosminu m˚ uˇze napˇr´ıklad podle nˇekter´ ych uzn´ avan´ ych mikrobiolog˚ u fungovat jako jak´ ysi maj´ak pro velbloudy, kteˇr´ı s jeho pomoc´ı sn´ aze naleznou cestu k o´aze. Bakterie produkuj´ıc´ı geosmin je za to pouˇz´ıvaj´ı k pˇrenosu spor. Existuj´ı i jin´e, ˇcasto siln´e instinktivn´ı metody pˇredpovˇedi pˇr´ıchodu bouˇrky. Kromˇe toho, ˇze to nˇekteˇr´ı prostˇe c´ıt´ı, je sign´ alem ˇcasto napˇr´ıklad charakteristick´e chov´ an´ı vˇetru. Tyto metody jsou silnˇe subjektivn´ı a snaˇzit se podat o nich v´ yklad by nebylo nepodobn´e snaze napsat knihu obsahuj´ıc´ı univerz´aln´ı d˚ uvod atraktivity vonn´ ych kvˇetin.
20 Kdo se boj´ı, nen´ı z´ales´ak T´emˇeˇr ˇz´ adn´ a pˇredpovˇed’ poˇcas´ı nefunguje stoprocentnˇe, v´ yjimkou nejsou ani m´e (mnohdy poloˇs´ılen´e) n´ avrhy. M´ ate-li pocit, ˇze ted’ o poˇcas´ı v´ıte dost, sbalte ˇsiˇsku, zverimex, mraveniˇstˇe a p´ ar ˇc´ısel M&M a hur´ a do lesa!
T´ ema 2 – Kozy Po delˇs´ı odmlce pˇriˇsly ke konci ˇskoln´ıho roku dva pˇr´ıspˇevky od Dr.MM Anety Lesn´e a Dr.MM Dominika Krasuly. Oba volnˇe navazuj´ı na pˇredeˇsl´e n´apady a zab´ yvaj´ı se i zobecnˇen´ım vyp´ as´ an´ı do prostoru. Dr.MM Aneta Lesn´ a se zab´ yvala i myˇslenkou, jestli je lepˇs´ı u ´vaz nebo veden´ı. Pro rovinn´e vyp´ as´ an´ı se domn´ıv´ a, ˇze veden´ı m´ a horˇs´ı geometrii. Detailn´ı fyzik´aln´ı rozbor bohuˇzel neuv´ ad´ı, jen tvrd´ı, ˇze pˇri pouˇzit´ı veden´ı bude muset pˇrekon´avat vˇetˇs´ı odpor. Bude se v˚ ubec koza moci pohybovat? D´ ale oba autoˇri zavedli trojrozmˇern´ y pˇr´ıpad, kde k˚ ul m˚ uˇzeme pevnˇe pˇripevnit k libovoln´emu bodu prostoru. Oba shodnˇe tvrd´ı, ˇze pokud kozu uv´aˇzeme shodnˇe jako pˇri dvojrozmˇern´em modelu, tak se n´ am vypasen´e objekty zmˇen´ı n´asledovnˇe: • kruˇznice pˇrejde na sf´eru, • kruh pˇrejde na kouli, • mezikruˇz´ı pˇrejde na sf´erickou vrstvu, nˇekdy tak´e naz´ yvanou mezikoul´ı“. ” Aneta uv´ ad´ı, ˇze obdobnˇe m˚ uˇzeme vytvoˇrit n-stˇeny, ale jiˇz nezmiˇ nuje, jak pˇresnˇe. Dominik tvrd´ı, ˇze uv´ az´ an´ım, kter´e v rovinˇe vytvoˇr´ı troj´ uheln´ık, vytvoˇr´ı v prostoru trojbok´ y jehlan (uvaˇzuje pouze jeden poloprostor, jinak by podle jeho u ´vah koza vyp´ asala ˇsestistˇen). Opravdu tomu tak je? Co koza vypase ve skuteˇcnosti? Oba autoˇri se pokouˇseli vyrobit tˇeleso, kter´e vznikne posunut´ım ploˇsn´eho u ´tvaru. M´ ame dva shodn´e ploˇsn´e u ´tvary, po kter´ ych se m˚ uˇze koza pohybovat. Um´ıst´ıme je do vzd´ alenosti v a na oba m´ısto kozy uv´aˇzeme pohybliv´ y krouˇzek, ke kter´ ym pˇriv´ aˇzeme lano o d´elce v. Koza se m˚ uˇze volnˇe pohybovat po oˇcku um´ıstˇen´em na tomto lanˇe. Toto uv´ az´ an´ı Dominik nazval jako v´ ytah. Aby opravdu vzniklo poˇzadovan´e tˇeleso, mus´ı b´ yt ploˇsn´e u ´tvary (podstavy) u ´tvary rovinn´e. To znamen´ a, ˇze pokud tento u ´tvar vytvoˇr´ıme v prostoru, tak koza vyˇzere pouze ploˇsn´ yu ´tvar. Jak toho doc´ıl´ıme? Nakonec jeˇstˇe uv´ ad´ıme p˚ uvodn´ı text, jak vytvoˇrit rozptylku v prostoru.
XX/7-8
21
Rozptylka
(6b)
Dr.MM Dominik Krasula Vezmeme dva k˚ uly k1 [x; y − d − l] a k2 [x; y + d + l], ke kaˇzd´emu z k˚ ul˚ u k1 a k2 pˇriv´ aˇzeme k˚ ul se dvˇema oky, tedy K1 (k1 , [y; x − l]; d) a obdobnˇe pro K2 . Mezi k˚ uly se dvˇema oky nat´ ahneme lano L1 ([y, x − l]; [y; x + l], 2m). Kozu uv´aˇzeme u ´vazem d´elky 0 k tomuto lanu, tedy se m˚ uˇze volnˇe pohybovat pod´el lana L1 , ale nesm´ı se od nˇej vzd´ alit. Nutno dodat, ˇze vzd´ alenost 2m nesm´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 2d+2l. Nech´ ame-li kozu l´etat, z´ısk´ ame p˚ ulku trojrozmˇern´e rozptylky, pouze okraje budou trochu nepravideln´e. Dominik uvaˇzuje pro vˇsechny popsan´e body souˇradnici z = 0 a nepˇredpokl´ad´a vyp´ as´ an´ı oblasti z < 0. Co za u ´tvar takto uv´ azan´ a koza ve skuteˇcnosti v prostoru vypase? Posledn´ı pˇr´ıspˇevky k tomuto t´ematu pˇrinesly v´ıce ot´azek neˇz odpovˇed´ı, proto v´ am st´ ale nech´ av´ ame prostor je v pˇr´ıˇst´ım roˇcn´ıku analyzovat v r´amci u ´ˇcastnick´eho pˇr´ıspˇevku. xlfd
T´ ema 3 – Flatfox Bˇehem roˇcn´ıku jsme byli svˇedky toho, jak se moˇznosti Flatfoxu rozˇsiˇrovaly s kaˇzd´ ym pˇr´ıspˇevkem – implementace aritmetick´ ych operac´ı, blokov´a struktura programu a knihoven, simulace dalˇs´ıch registr˚ u, ale i rozˇs´ıˇren´ı na verzi FlatFox++, kter´ a spoustu z uˇz bˇeˇzn´ ych modul˚ u zahrnula jako instrukce, a nakonec i praktick´ y d˚ ukaz Turingovsk´e u ´plnosti jazyka a jin´e zaj´ımav´e u ´vahy o jeho moˇznostech. Tak´e jste ˇreˇsili jednoduch´e u ´lohy a hlavolamy. D´ıky vˇsem, kter´e t´ema zaujalo a kteˇr´ı se z´ uˇcastnili (alespoˇ n ve vlastn´ıch u ´vah´ ach). Jako posledn´ı pˇr´ıspˇevek, kter´ y ukazuje moˇznosti FF++, otiskujeme ˇcl´anek y v FF++ naimplementoval jednoduch´ y 8bitov´ y Doc.MM Mateje Lieskovsk´eho, kter´ procesor Vixen Mk.I. Na webu t´em´ atka t´eˇz najdete ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych u ´loh od Dr.MM Pavla Souˇcka. Tom
Vixen Mk.I.
(14b)
Doc.MM Matej Lieskovsk´y Jiˇz dˇr´ıve jsem pˇredvedl metodu pro naprogramov´ an´ı libovoln´eho Turingova stroje ve FlatFoxu, kter´ y je tedy nutnˇe Turing-kompletn´ı. Vzhled FlatFox´ıch program˚ u mˇe ale pˇrimˇel zamyslet se nad ponˇekud alternativn´ım vyuˇzit´ım. Dovolte abych v´ am pˇredstavil Vixen Mk.I.: 8-bitov´ y mikroprocesor sestrojen´ y kompletnˇe ve FlatFox++. Vixen Mk.I. m´ a 256 byt˚ u RAM, kter´ a je adresovateln´a po jednotliv´ ych bytech, a ROM pro nahr´ an´ı programu o d´elce aˇz 256 instrukc´ı (oboj´ı indexov´ano od nuly). Vixen Mk.I. pouˇz´ıv´ a jednoduch´ y programovac´ı jazyk se ˇctyˇrmi instrukcemi, kde
22 kaˇzd´ a bere jakoˇzto parametr pr´ avˇe jeden byte, kter´ y je interpretov´an bud’ jako adresa v RAM nebo ROM.
0
Instrukce SKPZ
Adresa RAM
1 2 3
GOTO INCx DECx
ROM RAM RAM
Popis Pokud na zadan´e adrese je nula, pˇreskoˇc´ı n´ asleduj´ıc´ı instrukci. Pˇrejde na instrukci na zadan´e adrese. Nav´ yˇs´ı hodnotu na zadan´e adrese o 1. Sn´ıˇz´ı hodnotu na zadan´e adrese o 1.
Program m˚ uˇze skonˇcit jedn´ım ze tˇr´ı zp˚ usob˚ u: • Konec zdrojov´eho k´ odu – Pokud by mˇela b´ yt vykon´ana instrukce na adrese 256, program se ukonˇc´ı. • Pˇreteˇcen´ı pamˇeti – Pokud by mˇelo doj´ıt k pˇreteˇcen´ı libovoln´e buˇ nky RAM, program se ukonˇc´ı. • Podteˇcen´ı pamˇeti – Pokud by mˇelo doj´ıt k podteˇcen´ı libovoln´e buˇ nky RAM, program se ukonˇc´ı. Vˇzdy je obnoven stav RAM pˇred instrukc´ı, kter´a zp˚ usobila pˇreteˇcen´ı nebo podteˇcen´ı.
Jak je Vixen Mk.I. implementov´an • R je pracovn´ım registrem pro intern´ı v´ ypoˇcty procesoru. • G obsahuje zdrojov´ y k´ od a pointer na aktu´ aln´ı instrukci. Pro detailn´ı popis z´ apisu viz n´ıˇze. • B je pamˇet’ RAM. Na zaˇc´ atku programu by mˇela obsahovat vstupn´ı data programu. • C vˇetˇsinou obsahuje aktu´ alnˇe pouˇz´ıvanou konstantu (velikost pamˇet’ov´e jednotky): 256 pro pr´ aci s RAM, 1024 pro pr´ aci s ROM. • M a Y jsou registry pro doˇcasn´e uloˇzen´ı v´ ysledk˚ u a poˇcetn´ı operace. Pros´ım pod´ıvejte se na pˇriloˇzen´ y model Vixen Mk.I., v n´asleduj´ıc´ı sekci bude vysvˇetlen u ´ˇcel jednotliv´ ych ˇc´ ast´ı. Pozn. red.: Model i dalˇs´ı dokumentaci najdete na str´ ance t´ematu. Program zaˇc´ın´ a v lev´em horn´ım rohu. Nejdˇr´ıve dojde k nastaven´ı C=256 a pot´e vstoup´ı do hlavn´ı smyˇcky. Hlavn´ı sloupec k´ odu je ten druh´ y (a nejdelˇs´ı) sloupec zleva. Obsahuje k´od, kter´ y se spouˇst´ı s kaˇzdou instrukc´ı. Prvn´ım krokem je z´ısk´an´ı aktu´aln´ı instrukce z ROM (GET OP). Je poˇr´ızena kopie ROM, od t´e je oddˇelen pointer, d´ıky kter´emu je n´ aslednˇe zahozena pamˇet’ pˇred“ hledanou instrukc´ı. Pot´e je z´ısk´ana samotn´a ” instrukce a ta je rozdˇelena na k´ od instrukce a parametr. N´asleduje volba instrukce podle jej´ıho k´ odu.
XX/7-8
23
Instrukce GOTO (vlevo od hlavn´ıho sloupce) funguje nejjednoduˇseji, nemus´ı se totiˇz zab´ yvat RAM. Jednoduˇse nastav´ı pointer u zdrojov´eho k´odu na hodnotu sv´eho parametru a spust´ı GET OP. Ostatn´ı instrukce naopak neaktualizuj´ı pointer u zdrojov´eho k´odu – tuto ˇcinnost deleguj´ı specializovan´emu bloku NEXT, kter´ y nav´ yˇs´ı hodnotu pointeru a pˇred´ a bˇeh programu opˇet GET OP. Blok NEXT nav´ıc um´ı detekovat konec zdrojov´eho k´ odu (pˇreteˇcen´ı pointeru) a podporuje signalizaci v registru Y, kterou m˚ uˇze instrukce SKPZ zaˇz´ adat o dvoj´ı nav´ yˇsen´ı pointeru. Vˇsechny tˇri zb´ yvaj´ıc´ı instrukce – SKPZ, INCx, DECx (v tomto poˇrad´ı se nach´ azej´ı i v procesoru, vˇsechny doprava od hlavn´ıho sloupce) – funguj´ı podobnˇe. Stejn´ ym zp˚ usobem jako GET OP z´ısk´ aval instrukci z ROM, tyto instrukce z´ıskaj´ı obsah poˇzadovan´e buˇ nky RAM. Funkce SKPZ se pod´ıv´ a do RAM a pak podle v´ ysledku nastav´ı signalizaci Y pro NEXT a spust´ı blok NEXT. Funkce INCx nav´ yˇs´ı poˇzadovanou buˇ nku RAM a pot´e nahl´ednut´ım do RAM zkontroluje, zda nedoˇslo k pˇreteˇcen´ı, kter´e pˇr´ıpadnˇe oprav´ı a nahl´ as´ı. Jinak vol´ a NEXT. Funkce DECx mus´ı kv˚ uli destruktivnosti podteˇcen´ı (mohlo by doj´ıt k vymaz´ an´ı cel´e pamˇeti!) nejdˇr´ıve nahl´ednout do RAM a zkontrolovat, ˇze k tomu nedojde, a teprve pot´e sn´ıˇz´ı hodnotu v poˇzadovan´e buˇ nce. Moˇzn´e podteˇcen´ı hl´ as´ı, jinak vol´ a NEXT.
Z´apis vstupu C obsahuje 256 pamˇet’ov´ ych bunˇek RAM s ˇc´ısly 0 aˇz 255 a stejn´ ym rozsahem hodnot. Buˇ nka RAM ˇc´ıslo j nastaven´ a na hodnotu a je zaps´ana ˇc´ıslem a · 256j , stav cel´e pamˇeti RAM je pak souˇcet z´ apis˚ u vˇsech bunˇek RAM. G obsahuje 256 pamˇet’ov´ ych bunˇek ROM a pointer. Pointer je ˇc´ıslo od 0 do 255. Pamˇet’ov´e buˇ nky ROM jsou oˇc´ıslov´ any od 0 do 255. Kaˇzd´a buˇ nka ROM obsahuje 2 bity ud´ avaj´ıc´ı instrukci a 8 bit˚ u ud´ avaj´ıc´ıch adresu (RAM nebo ROM, z´aleˇz´ı na instrukci). Buˇ nka ROM ˇc´ıslo j nastaven´ a na instrukci i s parametrem a je zaps´ana ˇc´ıslem 256(i+4a)·1024j . Stav cel´e pamˇeti ROM je pak souˇctem z´apis˚ u vˇsech bunˇek ROM a pointeru. T´ım je mimo jin´e doc´ıleno snadn´e modifikovatelnosti pointeru.
Pozn´amky od v´yvoj´aˇre Omezen´ y poˇcet registr˚ u vyˇzadoval urˇcit´e ˇzonglov´ an´ı s ˇc´ısly a bylo potˇreba si uvˇedomit, kter´e hodnoty jiˇz nebudou potˇreba. Napˇr´ıklad p˚ uvodn´ı varianta DECx poˇc´ıtala s rozebr´ an´ım“ pamˇeti na poˇzadovanou buˇ nku a ˇc´asti pˇred a po n´ı, kter´e ” by n´ aslednˇe byly opˇet sloˇzeny dohromady. Tento pl´ an byl zavrˇzen, chybˇel k tomu jeden registr. Urˇcit´ ym nedostatkem je chybˇej´ıc´ı dereference adres – vzhledem k omezen´e d´elce zdrojov´eho k´ odu nen´ı moˇzn´e vyuˇz´ıt vˇsechny buˇ nky pamˇeti v jednom programu. Omezen´ y v´ ybˇer instrukc´ı, chybˇej´ıc´ı dereference adres i nedostatek pamˇeti jsou probl´emy, kter´e by mˇely b´ yt ˇreˇseny 16-bitov´ ym Vixen Mk.II. Na procesoru je vidˇet nˇekolik nedokonalost´ı, napˇr´ıklad oddˇelen´ı k´odu instrukce od parametru bylo upravov´ ano, coˇz je patrn´e z ponˇekud neelegantn´ı kliˇcky v dr´aze programu.
24 Cel´ y procesor rozhodnˇe nen´ı optim´ aln´ı, nˇekter´e cykly trvaj´ı i v´ yraznˇe pˇres tis´ıc krok˚ u (napˇr´ıklad B=261632 C=0), coˇz je zapˇr´ıˇcinˇeno pomal´ ym pˇr´ıstupem k buˇ nk´ am s vyˇsˇs´ımi ˇc´ısly. U tohoto modelu to jeˇstˇe nen´ı kritick´e, ale Vixen Mk.II. by uˇz rozhodnˇe vyˇzadoval efektivnˇejˇs´ı algoritmus pro pˇr´ıstup k buˇ nk´am. Problematick´ ym je spoˇc´ıt´ an´ı xy , kter´e aktu´ alnˇe bˇeˇz´ı v O(N ) kroc´ıch. Pokroˇcilejˇs´ı algoritmy ale budou z´ apasit s mal´ ym poˇctem dostupn´ ych registr˚ u. Pohledy profesor˚ u a spoluˇz´ ak˚ u, kdyˇz jsem debugoval vytisknut´ y procesor na pap´ıˇre, byly k nezaplacen´ı.
T´ ema 4 – Do hlubin ´ Na z´ avˇer roˇcn´ıku pˇrin´ aˇs´ıme posledn´ı pˇr´ıspˇevek k t´ematu: Uvahu nad vyuˇzit´ım ˇ osvˇedˇcen´ ych metod od Anety Lesn´e. Cl´ anek Anety Lesn´e je pˇeknˇe napsan´ y a u ´vahy nad pl´ any mise logicky uzav´ır´ a. D´ ale n´ am dorazil pˇr´ıspˇevek Jakuba Kol´aˇre, kter´ y ale nepˇrin´ aˇs´ı nic nov´eho – naopak prezentuje n´azory na nˇekter´e aspekty mise bez bliˇzˇs´ıho vysvˇetlen´ı. M˚ uˇzete si jej pˇreˇc´ıst na webov´e str´ance t´ematu. Zuzka
Na z´avˇer. . .
(8 b)
Dr.MM Aneta Lesn´a (Shrnut´ı poznatk˚ u a postˇreh˚ u. Moˇzn´e aplikace pro naˇsi situaci.)
Trocha historie Touha pozn´ avat moˇrsk´e hlubiny je snad star´ a jako lidstvo samo. Udˇelejme si tedy nejprve malou proch´ azku dˇejinami hlubokomoˇrsk´eho pr˚ uzkumu a podrobnˇeji zmiˇ nme nˇekter´e dosud opom´ıjen´e ud´ alosti a historick´a fakta, kter´a n´am mohou pomoci vyˇreˇsit n´ aˇs probl´em. . . Uˇz Vikingov´e pouˇz´ıvali na lanech pˇriv´ azan´ a z´ avaˇz´ı s dut´ ym dnem k z´ısk´an´ı informac´ı o hloubce dan´e ˇc´ asti moˇre a vlastnostech moˇrsk´eho dna (pomoc´ı vzorku sebran´ ych zv´ aˇz´ım na dnˇe, . . . ). Mˇeˇrilo se samozˇrejmˇe vˇetˇsinou v s´az´ıch. V roce 1521 se Fern˜ ao de Magalh˜ aes snaˇzil zmˇeˇrit hloubku Atlantiku pomoc´ı zat´ıˇzen´eho lana o d´elce m´enˇe neˇz osm set metr˚ u. Dno ale pˇrekvapivˇe nenaˇsel. Za konstrukt´era prvn´ı ponorky se obecnˇe povaˇzuje nizozemsk´ y architekt Cornelius Drebble. Jeho ponorn´ a lod’ se skl´ adala z dˇrevˇen´eho r´amu potaˇzen´eho zv´ıˇrec´ı k˚ uˇz´ı. Pohon zajiˇst’ovala vesla, pˇriˇcemˇz otvory, kter´ ymi vych´azela z trupu, byly (t´emˇeˇr) vodotˇesnˇe utˇesnˇen´e. Lod’ mohla takto klesnout aˇz do hloubky pˇribliˇznˇe patn´ acti stop. Drebble svou lod’ testoval v Temˇzi nˇekdy mezi lety 1620 a 1624. Je moˇzn´e, ˇze se v tomto vozidle kr´ atce svezl i kr´ al Jakub I. Stuart. Britsk´ y vˇedec John Ross roku 1818 jako prvn´ı uk´azal, ˇze i ve velk´ ych hloubk´ach se nach´ az´ı ˇzivot, kdyˇz s pomoc´ı speci´ aln´ıho zaˇr´ızen´ı lovil med´ uzy a ˇcervy v hloubce pˇribliˇznˇe dva tis´ıce metr˚ u. Pˇr´ırodovˇedec Edward Forbes ale pˇresto kolem roku 1843 tvrdil, ˇze ve velk´ ych hloubk´ ach je biodiversita mal´a a s rostouc´ı hloubkou se sniˇzuje. V takzvan´e teorii Abyssus prohlaˇsoval, ˇze v hloubk´ach vˇetˇs´ıch neˇz
XX/7-8
25
pˇribliˇznˇe 550 m nem˚ uˇze b´ yt ˇz´ adn´ y ˇzivot. Posledn´ı hˇreb´ık do rakve t´eto teorie poskytl Michael Sars, kdyˇz roku 1850 ve hloubce pˇribliˇznˇe 800 m nalezl bohatou moˇrskou faunu. Prvn´ı systematick´ y pr˚ uzkum hlubin oce´ anu byl proveden expedic´ı Challenger na palubˇe lodi HMS Challenger pod veden´ım Charlese W. Thomsona v letech 1872–1876. Expedice zjistila, ˇze oce´ an i ve velmi velk´ ych hloubk´ach host´ı rozmanit´e a bohat´e ekosyst´emy. Roku 1930 se William Beebe a Otis Barton stali prvn´ımi lidmi, kteˇr´ı kdy dos´ ahli spodn´ıch vrstev oce´anu, kdyˇz se potopili do hloubky pˇribliˇznˇe 435 m, kde pozorovali med´ uzy a krevety. V roce 1934 batysf´era pˇrekonala hloubku 923 m. Roku 1948 Otis Barton vytvoˇril nov´ y rekord, kdyˇz se potopil do hloubky 1370 m. Komunikace s hladinou prob´ıhala pomoc´ı telefonu Roku 1960 Jacques Piccard a Donald Walsh poprv´e dos´ahli dna Mari´ansk´eho pˇr´ıkopu, tedy hloubky asi 10 740 m, v batyskafu Trieste. Pozorovali ryby a jin´e tvory moˇrsk´ ych hlubin. Roku 2012 se James Cameron stal tˇret´ım ˇclovˇekem na dnˇe Mari´ ansk´eho pˇr´ıkopu a prvn´ım muˇzem, kter´ y se tam ponoˇril s´am. Spoleˇcn´ıkem mu bylo jeho plavidlo Deepsea Challenger.
V´ybava pro hloubkov´e mise Jedn´ım z prvn´ıch n´ astroj˚ u pro pr˚ uzkum oce´ ansk´eho dna bylo ono dut´e z´avaˇz´ı pouˇz´ıvan´e v jist´e formˇe uˇz Vikingy, kter´e James Clark Ross pouˇzil roku 1840 v hloubce asi 3700 m. Princip je jasn´ y: d´ıky vzduchov´e bublinˇe z´avaˇz´ı po dosaˇzen´ı dna vcucne“ ˇc´ ast jeho povrchu, kterou je pak moˇzn´e dopravit na bˇreh. Z´avaˇz´ı ” na lanech se samozˇrejmˇe pouˇz´ıvala i k jednoduˇsˇs´ım u ´kol˚ um, napˇr´ıklad ke zjiˇstˇen´ı hloubky dna v urˇcit´e oblasti. Podobn´ a z´ avaˇz´ı na palubˇe HMS Challenger byla uˇz ponˇekud vyspˇelejˇs´ı, oficialn´ı n´ ´ azev takov´eho zaˇr´ızen´ı byl Baillie sounding machine“. S jejich pomoc´ı se ” britsk´ ym v´ yzkumn´ık˚ um podaˇrilo nasb´ırat stovky vzork˚ u ze vˇsech oce´an˚ u svˇeta kromˇe Severn´ıho ledov´eho oce´ anu. V r´ amci mise byly pouˇzity i plovouc´ı bagry“ ” a nabˇeraˇcky“ zavˇeˇsen´e na lanech, s jejichˇz pomoc´ı bylo moˇzn´e z´ıskat vzorky ” sediment˚ u a biologick´eho materi´ alu ze dna. Ponˇekud pokroˇcilejˇs´ım zaˇr´ızen´ım je takzvan´ y gravity corer“. Skl´ad´a se z otev” ˇren´e trubice s olovˇen´ ym z´ avaˇz´ım a spouˇstˇec´ım mechanismem, kter´ y corer“ uvoln´ı ” ze z´ avˇesu, kdyˇz dojde ke kontaktu s moˇrsk´ ym dnem a mal´e z´avaˇz´ı zavad´ı o pev” nou zem“. Corer“ spadne na dno a pronikne do hloubky aˇz deseti metr˚ u. Zdvih” nut´ım je moˇzn´e z´ıskat dlouh´ y v´ alcovit´ y vzorek dna, ve kter´em z˚ ust´avaj´ı zachov´ any vrstvy sediment˚ u na dnˇe. Takto maj´ı vˇedci napˇr´ıklad moˇznost zjistit pˇr´ıtomnost ˇci absenci nˇekter´ ych fosili´ı v bahnˇe, kter´e mohou indikovat podnebn´e podm´ınky v minulosti, napˇr´ıklad bˇehem dob ledov´ ych. Vzorky hlubˇs´ıch vrstev mohou b´ yt z´ısk´ any kombinac´ı s vrt´ akem. Vrtac´ı plavidlo JOIDES Resolution je schopno z´ısk´ avat vzorky z hloubek aˇz 1500 m pod u ´rovn´ı oce´ansk´eho dna. Fungovalo napˇr´ıklad v r´ amci mezin´ arodn´ıho projektu Ocean Drilling Program. Od druh´e svˇetov´e v´ alky se k pr˚ uzkumu nejen hloubky dna pouˇz´ıvaly n´astroje zaloˇzen´e na odrazu vlnˇen´ı – radary a sonary. Princip je jasn´ y. Zvuk vyslan´ y z lodi
26 je odraˇzen ode dna zpˇet k lodi, ˇcas potˇrebn´ y k n´ avratu sign´alu je u ´mˇern´ y hloubce vody. Sledov´ an´ım prodlev mezi vys´ıl´ an´ım a n´ avraty a z´aznamem na p´asku lze z´ıskat kontinu´ aln´ı obraz moˇrsk´eho dna. Vˇetˇsina oce´ansk´eho dna byla mapov´ana t´ımto zp˚ usobem. Mimo to se o pozn´ an´ı moˇrsk´ ych hlubin samozˇrejmˇe zaslouˇzily televizn´ı kamery, teplomˇery, tlakomˇery ˇci seismografy. Tyto n´ astroje jsou bud’ spuˇstˇeny na dno pomoc´ı lan nebo pˇripevnˇeny k ponorn´ ym b´ oj´ım. Velmi pokroˇcil´ y je dnes napˇr´ıklad d´ıky r˚ uzn´ ym lehk´ ym plavidl˚ um i v´ yzkum oce´ ansk´ ych proud˚ u.
S pos´adkou ˇci bez? V souˇcasnosti glob´ alnˇe stoup´ a poˇcet pilotovan´ ych ponorn´ ych plavidel.9 Americk´ y DSV Alvin ˇr´ızen´ y Woods Hole Oceanographic Institution, je ponorka pro tˇri pasaˇz´ery, kter´ a se m˚ uˇze ponoˇrit do hloubky asi 3600 m a je vybavena mechanick´ ym manipul´ atorem pro sbˇer vzork˚ u ze dna. Poprv´e se Alvin ponoˇril roku 1964 a m´ a za sebou v´ıce neˇz tˇri tis´ıce ponor˚ u s pr˚ umˇernou hloubkou asi 1829 m. Z jeho v´ yzkumn´ ych z´ asluh jmenujme napˇr´ıklad pod´ıl na objevu obˇr´ıch trubicovit´ ych ˇcerv˚ u (Riftia pachyptila) na dnˇe Pacifiku v bl´ızkosti ostrovu Gal´apagos (Galap´ agy). Jedno z prvn´ıch bezobsluˇzn´ ych hlubokomoˇrsk´ ych plavidel bylo vyvinuto University of California s grantem od Nadace Allana Hancocka na poˇc´atku pades´at´ ych let dvac´ at´eho stolet´ı ve snaze vyvinout ekonomiˇctˇejˇs´ı metodu poˇrizov´an´ı fotografi´ı m´ıle pod moˇrskou hladinou pomoc´ı bezobsluˇzn´e tˇr´ısetlibrov´e ocelov´e sf´ery zvan´e bentograf, kter´ a obsahovala fotoapar´ at a stroboskop. Origin´aln´ı bentograf u ´spˇeˇsnˇe poˇr´ıdil s´erii sn´ımk˚ u, ale zasekl se mezi jak´ ymisi kameny a n´avrat se nezdaˇril. Takzvan´e Remote Operated Vehicles (ROV) se st´ale v´ıce pouˇz´ıvaj´ı k podmoˇrsk´emu pr˚ uzkumu. B´ yvaj´ı ˇr´ızeny skrz kabel pˇripojen´ y k lodi na hladinˇe. Mohou dos´ ahnout hloubek aˇz 6000 m. Nov´e objevy v robotice tak´e vedly ke zrodu Autonomous Underwater Vehicles (AUV). Tyto robotick´e ponorky jsou pˇredem naprogramov´ any a z povrchu nedost´ avaj´ı ˇz´ adn´e instrukce. Plavidla HROV kombinuj´ı znaky ROV a AUV, jsou schopna pracovat samostatnˇe ˇci s kabelem. ROV Argo byl pouˇzit k lokaci vraku RMS Titanic. Ponˇekud menˇs´ı ROV Jason tento vrak ˇc´ asteˇcnˇe prozkoumal. Pokud jde o Mari´ ansk´ y pˇr´ıkop, dva ze ˇctyˇr dosud ˇ o japonsk´ uskuteˇcnˇen´ ych sestup˚ u byly mise ROV. Slo y Kaiko (1996) a americk´ y Nereus (2009).
Souˇcasnost. . . Lindenbaum N´ ahled do historie n´ am odhalil jist´e pˇrekvapiv´e skuteˇcnosti a uk´azal n´am, jak slep´ı jsme v nˇekter´ ych ohledech byli. Nˇekter´e vˇeci jsou ted’ jasnˇejˇs´ı neˇz kdy dˇr´ıve. Plavidlo m˚ uˇze m´ıt pos´ adku, ale potˇreba nen´ı. V obou pˇr´ıpadech zkuˇsenost ukazuje, ˇze u ´spˇeˇsnost mise je v´ıce neˇz pravdˇepodobn´ a. Vyuˇzit´ı pos´adky lze doporuˇcit 9 Pozn´ amka redakce: Je ot´ azkou, zda i u tˇ echto mis´ı byla pos´ adka nutn´ a, nebo si jen oce´ anografov´ e vymohli, aby mohli b´ yt u toho a vidˇ et to na vlastn´ı oˇ ci. Kdyˇ z jsou k tomu prostˇredky, tak proˇ c ne, ˇ ze. . .
XX/7-8
27
napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe, ˇze v r´ amci sestupu chceme v tomto ohledu vytvoˇrit nˇejak´ y nov´ y rekord – poslat tam prvn´ıho ˇcernocha, prvn´ı ˇzenu, prvn´ıho psa, nebo nˇeco podobn´eho. Ke sbˇeru vzork˚ u m˚ uˇzeme pouˇz´ıt osvˇedˇcen´ ych postup˚ u, napˇr´ıklad na b´ azi vrt´ aku a coreru“. Pohybliv´ı roboti tak´e nemus´ı b´ yt na ˇskodu, ale je ot´azka, ” zda jejich vyuˇzit´ı nˇeˇcemu prospˇeje, ˇci zda zde jde hlavnˇe o zvuk, kter´ y tento n´apad m´ a, a zaj´ımavost pˇredstavy robota proj´ıˇzdˇej´ıc´ıho Challenger Deep sem a tam. Za pokus by st´ alo kromˇe sbˇeru na dnˇe pˇr´ıkopu tak´e nˇeco zanechat. Tˇreba ˇceskou vlajku. (Ne, nev´ım, jak tam bude vl´ at a kdo ji uvid´ı.)10 Probl´emy navigace a komunikace byly dosud rovnˇeˇz ponˇekud pˇreceˇ nov´any. V pˇr´ıpadˇe bezobsluˇzn´eho plavidla v podstatˇe odpadaj´ı. Pˇred v´ıce neˇz p˚ ul stolet´ım probˇehla bez probl´emu pos´ adkov´ a“ mise batyskafu Trieste, relativnˇe ned´avno ” ponor Jamese Camerona. V r´ amci nˇej byly pouˇzity napˇr´ıklad spolehliv´e komunikaˇcn´ı kabely umoˇzn ˇuj´ıc´ı pˇrenosy skrz trup ponorn´eho plavidla. Spolehliv´ ych komunikaˇcn´ıch metod je tedy v´ıce neˇz dost. M´ am pocit, ˇze letoˇsn´ı pr´ ace mnoha ˇreˇsitel˚ u semin´aˇre v r´amci tohoto t´ematu pˇrinesla ovoce a spoleˇcnˇe s mnoˇzstv´ım historick´ ych zkuˇsenost´ı m˚ uˇze snad v budoucnu pomoci ˇreˇsit skuteˇcn´e probl´emy hlubokomoˇrsk´ ych mis´ı. Je vskutku ˇskoda, ˇze roˇcn´ık uˇz konˇc´ı.
T´ ema 5 – Sd´ılen´ı tajemstv´ı Na z´ avˇer ˇskoln´ıho roku pˇriˇsly hned ˇctyˇri pˇr´ıspˇevky (od tˇr´ı autor˚ u) se spoustou doplnˇen´ı a n´ apad˚ u. Dr.MM Dominik Krasula a Doc.MM Mark´eta Cal´abkov´a pˇrispˇeli dalˇs´ım n´ avrhem pro realizaci hry k´ amen, n˚ uˇzky, pap´ır. Prvn´ı jmenovan´ y pak nab´ız´ı i ˇradu vylepˇsen´ı k jiˇz publikovan´ ym n´ avrh˚ um. Dr.MM Aneta K. Lesn´a se pokusila o celkov´e shrnut´ı. Otiskujeme nejzaj´ımavˇejˇs´ı pas´ aˇze zaslan´ ych ˇcl´ ank˚ u. Na z´avˇer pˇripojujeme t´eˇz autorsk´e ˇreˇsen´ı ot´ azek, kter´e bohuˇzel nebyly zcela doˇreˇseny.
K´amen, n˚ uˇzky, pap´ır pomoc´ı ˇsifrov´an´ı Dr.
MM
(4b)
Dominik Krasula
ˇ Hr´ aˇci se domluv´ı na nˇejak´e metodˇe, jakou budou ˇsifrovat. Sifra vˇzdy z´avis´ı na nˇejak´em heslu. Pokud nˇekdo z´ısk´ a heslo, tak ˇsifru vyˇreˇs´ı. My budeme pro jednoduchost pouˇz´ıvat jednoduchou ˇsifru a to sˇc´ıt´ an´ı. Pˇr´ıklad: slovo je k´ amen“, heslo je aaaaa“, potom zaˇsifrovan´e slovo je lbnfo“ ” ” ” (k+a=l, a+a=b, . . . ) Oba hr´ aˇci vyberou, co chtˇej´ı poslat za znak, a nˇejak´ ym heslem jej zaˇsifruj´ı. Pro hr´ aˇce A pouˇzijme metodu z pˇr´ıkladu, hr´ aˇc B bude ˇsifrovat pap´ır“ heslem ” dzzzz“, ˇc´ımˇz z´ısk´ a tap´ır.“ ” ” Nyn´ı si je poˇslou a zahesluj´ı soupeˇrovu ˇsifru stejn´ ym heslem, jak´e pouˇzili na sv˚ uj znak. 10 Pozn´ amka redakce: Vlajka bude na dnˇ e Mari´ ansk´ eho pˇr´ıkopu asi stejnˇ e platn´ a, jako na Mˇ es´ıci. . . Vl´ at nebude, a vidˇ et bude jen na videu, kter´ e sami natoˇ c´ıte.
28 Takˇze z tap´ır“ se stane ubqjs“ a z lbnfo“ se stane pbnfo“. ” ” ” ” Nyn´ı si sv´ a hesla ˇreknou a odˇsifruj´ı odpovˇed’. Smyslem dvojit´eho zaheslov´ an´ı je to, ˇze m´ ame-li libovolnou kombinaci pˇeti ˇc´ısel, um´ıme naj´ıt heslo pro vytvoˇren´ı jak´ehokoliv ze znak˚ u. Jenˇze t´ım, ˇze t´ım heslem zaˇsifruje i soupeˇr˚ uv znak, se to zabezpeˇc´ı. Nebot’ kdyby si heslo zmˇenil, aby mˇel lepˇs´ı znak, tak soupeˇri vyjde po rozˇsifrov´ an´ı nesmysl, nebot’ stejn´e heslo pouˇzije tak´e a t´ım podvod prozrad´ı. Nutno jeˇstˇe dodat, ˇze v popisu si pos´ılaj´ı informace oba z´aroveˇ n, pro vˇetˇs´ı jednoduchost textu, nicm´enˇe tato metoda jde pouˇz´ıt i pˇri postupn´em pos´ıl´an´ı. Pozn´ amka redakce: Algoritmus, jak je popsan´y, vyˇzaduje, aby si oba hr´ aˇci vymˇenili dvakr´ at zaˇsifrovan´e zpr´ avy ve stejn´em okamˇziku. Pokud ji napˇr´ıklad hr´ aˇc A poˇsle prvn´ı, hr´ aˇc B z pˇrijat´e zpr´ avy dok´ aˇze urˇcit jeho kl´ıˇc. Staˇc´ı od v´ysledku odeˇc´ıst zpr´ avu, kterou pˇred t´ım poslal. Pokud zn´ a kl´ıˇc, zn´ a i volbu hr´ aˇce A a m´ a jeˇstˇe prostor podvodnˇe zmˇenit svou volbu. Jak autor spr´ avnˇe podot´yk´ a, po odesl´ an´ı prvn´ı zpr´ avy lze naj´ıt kl´ıˇc, aby pomoc´ı nˇej mohla b´yt na odeslanou zpr´ avu zaˇsifrov´ ana libovoln´ a volba. Poˇzadavek, aby v´ymˇena dvou ˇsifrovan´ych text˚ u probˇehla souˇcasnˇe, je stejnˇe siln´y, jako aby si oba hr´ aˇci vymˇenili souˇcasnˇe svou zvolenou hodnotu. Algoritmus n´ am tedy v niˇcem nepom˚ uˇze. Naˇstˇest´ı existuje ˇreˇsen´ı. Staˇc´ı zvolit trochu komplikovanˇejˇs´ı ˇsifru, u kter´e z p˚ uvodn´ıho a zaˇsifrovan´eho textu nebude moˇzn´e urˇcit kl´ıˇc, pomoc´ı kter´eho bylo ˇsifrov´ ano. Popis takov´e ˇsifry by vydal na samostatn´y ˇcl´ anek, vˇetˇsina bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ych ˇsifer ale tuto podm´ınku splˇ nuje. Kupˇr´ıkladu lze vyuˇz´ıt libovolnou proudovou ˇsifru, z blokov´ych pak mimo jin´e DES, AES, . . .
Hr´atky po SMS
(6b)
Doc.MM Mark´eta Cal´abkov´a Co se k´ amen-n˚ uˇzky-pap´ır t´ yk´ a, mˇela bych jeden n´avrh, i kdyˇz to urˇcitˇe nebude p˚ uvodn´ı ˇreˇsen´ı. Kdyˇz to tedy budu pos´ılat esemeskou, tak to zkus´ım textovˇe. L´ıb´ı se mi, ˇze slova k´ amen“, n˚ uˇzky“ i pap´ır“ maj´ı pˇet p´ısmen. Tak budu pouˇz´ıvat ” ” ” KAMEN, NUZKY a PAPIR. Tak chci zaˇc´ıt n˚ uˇzkami. Mohla bych tˇreba vz´ıt slovo KAMEN a jeho p´ısmena nˇejak popˇreh´ azet, tˇreba na ANKEM. Potom p´ısmena tohoto slova posunu podle hesla. . . tˇreba RPAIP, coˇz je pˇresmyˇcka z PAPIR. A kv˚ uli vˇetˇs´ı bezpeˇcnosti to jeˇstˇe m˚ uˇzu cel´e posunout o urˇcit´ y poˇcet m´ıst v abecedˇe, takˇze o nˇejak´e p´ısmeno, tˇreba B. Toto slovo poˇslu, obdrˇz´ım kamar´adovu volbu a zpˇet poˇslu heslo a p´ısmeno, v naˇsem pˇr´ıpadˇe bude zpr´ ava ve tvaru RPAIP B. To si uˇz rozluˇst´ı a zjist´ı, ˇze jsem pouˇzila KAMEN a PAPIR, takˇze jsem proti nˇemu hr´ala chybˇej´ıc´ı slovo, tedy NUZKY. Pˇredpokl´ ad´ am, ˇze na druh´e stranˇe je ˇclovˇek :) . Pouˇz´ıv´am hesla psan´a p´ısmeny anglick´e abecedy, kter´ a m´ a 26 p´ısmen. Kdyˇz na to poˇstvu nˇejak´ y algoritmus, nepozn´ a na prvn´ı pohled, co je to za slovo. Mus´ı kaˇzd´e p´ısmeno zp´atky posunout podle nˇejak´eho hesla, ovˇsem staˇc´ı mu bohuˇzel zkusit jedno. To je ale pˇresmyˇcka, takˇze 5! = 120 moˇznost´ı. V kaˇzd´e z tˇechto moˇznost´ı posune kaˇzd´e
XX/7-8
29
p´ısmeno slova o p´ ar pozic zpˇet, takˇze kr´ at 26, a pokaˇzd´e mus´ı vyzkouˇset vˇsechny moˇzn´e pˇresmyˇcky, jestli to n´ ahodou nen´ı jedno ze slov, kter´e hled´a, takˇze zase 5! moˇznost´ı. A kdyˇz mu ˇz´ adn´ a sedˇet nebude, v´ı jistˇe, ˇze to slovo, kter´e zkouˇsel jako kl´ıˇc, je ˇreˇsen´ım. Mus´ı tedy prozkouˇset 1202 · 26 = 374 400 moˇznost´ı. To je dost m´ alo, to m´ a za chvilku. Ale faktori´ al roste pomˇernˇe rychle, takˇze uˇz pˇresmyˇcka z PAPIRPAPIRPAPIR a KAMENKAMENKAMEN poˇzaduje k prozkouˇsen´ı 26m´ıstn´ y poˇcet moˇznost´ı. Samozˇrejmˇe si m´ısto KAMEN, NUZKY, PAPIR mohu zvolit nˇejak´ a sv´ a hesla, kter´ a mohou b´ yt dosti dlouh´a (vˇsechna tˇri stejnˇe), ale kter´ a pˇredem kamar´ adovi sdˇel´ım, aby mˇel jistotu, ˇze nepodv´ad´ım. A nebo m˚ uˇzu uvaˇzovat v jak´ekoliv jin´e abecedˇe o vˇetˇs´ım poˇctu znak˚ u. Prostˇe to m˚ uˇzu zes´ılit. Ale pozor na mnohoznaˇcnost. V pˇr´ıpadˇe pouh´eho KAMEN, NUZKY, PAPIR se nemohu spl´est, tedy nevyjde mi nˇekde mnohoznaˇcn´ y z´avazek, pro kter´ y by existovalo v´ıce povolen´ ych kl´ıˇc˚ u. Ale pro jin´ a hesla bych s tˇemi pˇresmyˇckami a vˇs´ım t´ım kombinov´ an´ım mohla pˇrehl´ednout moˇznost, ˇze mi vyjde z´avazek, pro ˇ ım v´ıce znak˚ kter´ y by fungovalo v´ıc kl´ıˇc˚ u. C´ u abeceda m´a, t´ım je toto bezpeˇcnˇejˇs´ı. Tomuto probl´emu se mohu vyhnout, kdyˇz si vyberu nˇejakou sekvenci znak˚ u jako hesla pro jedno slovo a na nˇem pak prov´ ad´ım nepatrn´e u ´pravy – ˇc´ım m´enˇe se budou jednotliv´ a slova liˇsit, t´ım l´epe pro n´ as. Tˇreba v jednom slovˇe od sebe budou p´ısmena vzd´ alen´ a nejm´enˇe 2 pozice v abecedˇe, ve druh´em vytvoˇr´ım p´ar vzd´ alen´ y o jednu pozici a ve tˇret´ım bude dvojice stejn´ ych p´ısmen. Nebo tak nˇejak. Pozn´ amka redakce: I pˇres poˇc´ ateˇcn´ı ned˚ uvˇeru se uk´ azalo, ˇze algoritmus v´ıcem´enˇe funguje. A to mimo jin´e d´ıky posunu v´ysledku v abecedˇe. Kdyby k nˇemu nedoˇslo a ve v´ysledn´em slovˇe se vyskytlo napˇr´ıklad P, mohlo by vzniknout pouze jako Z+P a uˇz bychom vˇedˇeli, ˇze tˇret´ım, tedy zvolen´ym, symbolem je k´ amen. Takto jednoduch´e u ´vahy posun v abecedˇe znemoˇzn´ı. Na druhou stranu frekvence pravdˇepodobnosti v´yskytu jednotliv´ych znak˚ u v souˇctu dvou permutovan´ych kl´ıˇcov´ych slov bude znaˇcnˇe nerovnomˇern´ a. Pokud budeme studovat rozd´ıly pravdˇepodobnosti v´yskytu p´ısmene oproti pravdˇepodobnosti v´yskytu pˇredchoz´ıho p´ısmene, pˇr´ıliˇs n´ am frekvenˇcn´ı anal´yzu neznepˇr´ıjemn´ı ani posun vˇsech p´ısmen v abecedˇe. Pro skuteˇcnˇe funguj´ıc´ı syst´em bychom tedy jeˇstˇe potˇrebovali zvolit ˇsikovn´ a k´ odov´ a slova, aby z hlediska frekvenˇcn´ı anal´yzy vych´ azely pravdˇepodobnosti podobnˇe aˇz na posun v abecedˇe. To by ale mˇelo b´yt moˇzn´e.
Hra k´amen, n˚ uˇzky, pap´ır vyˇreˇsena Celkem do redakce pˇriˇsla tˇri aˇz na drobnosti funguj´ıc´ı ˇreˇsen´ı. Dvˇe jsou otiˇstˇena v´ yˇse. Tˇret´ı od Doc.MM Mark´ety Cal´ abkov´e, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı obt´ıˇznost rozkladu velk´ ych ˇc´ısel na prvoˇc´ısla, bylo otiˇstˇeno v minul´em ˇc´ısle. Nev´ yhodou tohoto ˇreˇsen´ı byla nutnost pos´ılat velmi vysok´ a ˇc´ısla. Dr.MM Dominik Krasula zaslal n´asleduj´ıc´ı n´apad, jak velikost pˇren´ aˇsen´ ych ˇc´ısel zmenˇsit: Probl´emem sch´ematu popisovan´eho Doc.MM Mark´etou Cal´abkovou je velk´ y objem pˇren´ aˇsen´ ych dat. Coˇz by zvl´ aˇstˇe pˇri ˇcastˇejˇs´ım uˇz´ıv´an´ı bylo velmi nepraktick´e. Vhodn´ ym ˇreˇsen´ım je pˇrepos´ılat ˇc´ısla v nˇejak´em menˇs´ım tvaru“. Uk´aˇzeme si to ”
30 na menˇs´ım pˇr´ıkladu: Hr´ aˇc chce poslat ˇc´ıslo 5764352. M˚ uˇze m´ısto nˇej ale poslat ˇc´ıslo 74 + 449. Hr´ aˇci si tedy na zaˇc´ atku udˇelaj´ı seznam vysok´ ych mocnin. Napˇr´ıklad pro kaˇzd´e tˇri ˇr´ ady jednu. Pot´e vˇzdy vygeneruj´ı ˇc´ıslo, jenˇz chtˇej´ı poslat a najdou jemu nejbliˇzˇs´ı mocninu. A ˇc´ıslo nap´ıˇse jako souˇcet t´eto mocniny a nˇejak´eho dalˇs´ıho cel´eho (i z´ aporn´eho) ˇc´ısla. Pokud toto ˇc´ıslo bude pˇr´ıliˇs vysok´e, tak i jej m˚ uˇze zapsat jako souˇcet mocnin a dalˇs´ıho menˇs´ıho ˇc´ısla. Pouˇzitelnost tohoto n´ avrhu je velmi z´ avisl´ a na tom, jak u ´spornˇe bychom dok´ azali ˇc´ısla skuteˇcnˇe reprezentovat. Za autorsk´e ˇreˇsen´ı probl´emu lze povaˇzovat ˇreˇsen´ı Dr.MM Dominika Krasuly uveden´e v´ yˇse. Dalˇs´ı alternativou by bylo vyuˇz´ıt nˇejakou tzv. heˇsovac´ı funkci. To jsou funkce, k jejichˇz v´ ysledku (tomu se obvykle ˇr´ık´ a heˇs) je velmi obt´ıˇzn´e (s naˇs´ım v´ ypoˇcetn´ım v´ ykonem nemoˇzn´e) naj´ıt vstup, kter´ y se pˇrevede na dan´ y v´ ysledek. Kaˇzd´ y z hr´ aˇc˚ u by mohl zaheˇsovat sv˚ uj zvolen´ y symbol doplnˇen´ y o nˇejak´ y n´ahodn´ y ˇretˇezec. Pak by si hr´ aˇci navz´ ajem vymˇenili heˇse a n´ aslednˇe i ˇretˇezce, kter´e heˇsovali. Heˇs by fungoval jako z´ avazek, heˇsovan´ y ˇretˇezec pak na ovˇeˇren´ı.
Dalˇs´ı pozn´amky a nevyˇreˇsen´e ot´azky Dr.MM Dominik Krasula ukazuje, ˇze jeho metoda sd´ılen´ı tajemstv´ı uveˇrejnˇen´a ve ˇctvrt´em ˇc´ısle m˚ uˇze slouˇzit jako prostˇredek pro technickou realizaci kl´ıˇc˚ u vyhovuj´ıc´ım abstraktn´ı definici podle Doc.MM Mark´ety Cal´abkov´e. Z´ aroveˇ n ale upozorˇ nuje, ˇze zat´ım nikdo nepˇriˇsel s anal´ yzou bezpeˇcnosti jeho metody, ke kter´e jsme vyb´ızeli. V tomto m´ a bohuˇzel pravdu. Z´akladn´ım nedostatkem metody bylo, ˇze pˇredpokl´ adala, ˇze osoby sd´ılej´ıc´ı tajemstv´ı budou m´ıt kl´ıˇce tvoˇreny souˇcinem prvoˇc´ısel a tato prvoˇc´ısla budou tak velk´a, ˇze nebude moˇzn´e kl´ıˇce faktorizovat. Nˇekter´ a prvoˇc´ısla by se ale mˇela vyskytovat ve v´ıce kl´ıˇc´ıch. Dva kl´ıˇce obsahuj´ıc´ı stejn´e prvoˇc´ıslo ale dok´ aˇzeme ˇc´asteˇcnˇe faktorizovat pomoc´ı Eukleidova algoritmu na hled´ an´ı nejvˇetˇs´ıho spoleˇcn´eho dˇelitele. Na z´ avˇer pˇripojme nˇekolik sp´ıˇse filosofick´ ych poznatk˚ u Dr.MM Anety K. Lesn´e. Ve sv´em pˇr´ıspˇevku se nejdˇr´ıve snaˇz´ı obs´ ahle argumentovat proti st´ıˇznosti Doc.MM Mateje Lieskovsk´eho na podm´ınku zad´ an´ı, ˇze pokud je pro znalost kl´ıˇce potˇreba k osob, k − 1 nesm´ı o kl´ıˇci vˇedˇet v˚ ubec nic. Na z´ avˇer pak pˇripojuje n´asleduj´ıc´ı text:
Alternativn´ı metody sd´ılen´ı tajemstv´ı Dr.
MM
(4b)
Aneta K. Lesn´a
Zamysleme se opˇet napˇr´ıklad nad moˇznost´ı sd´ılen´ı tajemstv´ı v r´amci vˇetˇs´ı skupiny lid´ı. Ponˇekud zanedbanou moˇznost´ı je situace, kdy jeden ˇclovˇek v´ı nˇeco a vˇsichni ostatn´ı v´ı zbytek. Mohlo by tedy napˇr´ıklad fungovat sch´ema, kdy se (napˇr´ıklad) kaˇzd´ y zamˇestnanec m˚ uˇze dostat do sv´e schr´anky pouze v doprovodu jin´eho zamˇestnance. Hlavn´ı kl´ıˇc ke schr´ ance zamˇestnance X drˇz´ı s´am zamˇestnanec X. Vedlejˇs´ı kl´ıˇc drˇz´ı vˇsichni ostatn´ı zamˇestnanci. Toto m˚ uˇze b´ yt vyuˇziteln´e napˇr´ıklad k ochranˇe zamˇestnanc˚ u pˇred n´ atlakem ze strany krimin´aln´ıch ˇzivl˚ u.
XX/7-8
31
Dalˇs´ı moˇznost´ı zamot´ an´ı pˇr´ıstupu je napˇr´ıklad situace, kdy roli hraje schopnost vyuˇz´ıt informaci pˇridˇelenou konkretn´ı osobˇe. Subjekty v r´amci spoleˇcenstv´ı si napˇr´ıklad mohou vymyslet vlastn´ı jazyk (podobn´ y napˇr´ıklad takzvan´e praseˇc´ı ” latinˇe“ ˇci jazyku Gibberish, ale v z´ avislosti na u ´ˇcelu asi o pozn´an´ı sloˇzitˇejˇs´ı), pomoc´ı nˇehoˇz si budou pˇred´ avat d˚ uleˇzit´e informace vˇcetnˇe tˇreba hesel a kl´ıˇc˚ u. ˇ by o takov´ Z´ısk´ av´ ame tak dalˇs´ı vrstvu“ ochrany. Slo y soukrom´ y k´od Navajo“. ” ” Jazykov´e ˇsifrovac´ı syst´emy mohou m´ıt i r˚ uzn´e podskupiny. Je tˇreba moˇzn´e, ˇze jeden ze zamˇestnanc˚ u zn´ a informace pˇredan´e ostatn´ım zamˇestnanc˚ um jako jejich hesla, ale nev´ı, jak´e jin´ı zamˇestnanci pouˇz´ıvaj´ı ˇsifrovac´ı syst´emy. Nemus´ıme se tedy b´ at jedin´emu zamˇestnanci svˇeˇrit hesla ostatn´ıch, aby jim je pˇripom´ınal a v pˇr´ıpadˇe zmˇeny oznamoval. Zamˇestnanec A tedy rozdˇeluje hesla“ pro dalˇs´ı ” mˇes´ıc, zamˇestnanec B sv´e heslo“ pˇrijme a pomoc´ı algoritmu B z nˇej vytvoˇr´ı ” pouˇziteln´e heslo, pˇr´ıpadnˇe kl´ıˇc. Moˇznost´ı sd´ılen´ı tajemstv´ı je cel´ a ˇrada a z historie v´ıme, ˇze rafinovan´e syst´emy pˇrenosu a utajen´ı informac´ı mohou b´ yt velmi cenn´e. Proto podle m´eho n´azoru rozhodnˇe m´ a smysl pokraˇcovat ve studiu a v´ yzkumu kl´ıˇc˚ u, metod pˇrenosu informac´ı a jejich utajen´ı, a to jak teoreticky, tak pˇr´ıleˇzitostnˇe i v praxi. Kuba
Konference ze soustˇredˇ en´ı Pevnost latexov´e trubice
(8b)
ˇ ’astn´a Doc.MM Aneta St ´ Uvod V tomto ˇcl´ anku v´ am pˇredstav´ım obsah sv´eho konferenˇcn´ıho pˇr´ıspˇevku, na kter´em jsem pracovala spolu se Zdeˇ nkem Garˇcicem a Tom´aˇsem Gavenˇciakem na jarn´ım soustˇredˇen´ı M&M v Chaloupk´ ach. Dozv´ıte se v nˇem o tom, jakou aparaturu jsme k mˇeˇren´ı zvolili, jak vyjdou pˇri porovn´ av´ an´ı trubice jednotliv´ ych znaˇcek, jak´ y je vliv r˚ uzn´ ych pˇr´ıdomk˚ u (Sensitive, Extra Safe, Featherlite Ultima, Joy, . . . ) na pevnost trubice a jak dramaticky dok´ aˇze olej zmˇenit vlastnosti latexu.
Zp˚ usob zavˇeˇsen´ı Pˇri pr´ aci s latexov´ ymi trubicemi bylo tˇreba nejvyˇsˇs´ı opatrnosti, jelikoˇz sebemenˇs´ı kontakt s ostr´ ymi pˇredmˇety zp˚ usobuje miniaturn´ı trhliny v materi´alu. Tyto trhliny se pˇri zat´ıˇzen´ı materi´ alem ˇs´ıˇr´ı a znaˇcnˇe zmenˇsuj´ı jeho v´ yslednou pevnost. Naˇs´ım c´ılem bylo vymyslet z´ avˇesn´e zaˇr´ızen´ı, jehoˇz souˇc´ast´ı a z´aroveˇ n nejslabˇs´ım ˇcl´ ankem by byla latexov´ a trubice. Celkov´ a nosnost takov´eho zaˇr´ızen´ı pak urˇcuje pevnost latexov´e trubice v tahu. K jeho sestaven´ı jsme nakonec pouˇzili mal´ y kovov´ y krouˇzek, karabinu, k´ ybl, bramboru a h´aˇcek ve stropˇe 11 . 11 Zaˇ r´ızen´ı bylo kv˚ uli velk´ emu prodlouˇ zen´ı zatˇ eˇ zovan´ e trubice potˇreba um´ıstit do v´ yˇsky zhruba 2 metry nad zem´ı.
32 Nejdˇr´ıve jsme do zaslepen´eho konce trubice nasunuli hladk´ y kulovit´ y pˇredmˇet bez ostr´ ych v´ ystupk˚ u, jehoˇz polomˇer byl vˇetˇs´ı neˇz polomˇer krouˇzku. Pro naˇse u ´ˇcely dan´e parametry dostateˇcnˇe splˇ novala brambora, kterou jsme si s laskav´ ym svolen´ım kuchaˇrky vyp˚ ujˇcili z kuchynˇe. N´ aslednˇe jsme prot´ahli nezaslepen´ y konec trubice krouˇzkem a jeho konec jsme uv´ azali na madlo k´ yblu. Pˇrestoˇze pˇr´ım´e uv´ az´ an´ı konce trubice ke k´ yblu m˚ uˇze p˚ usobit pochybnˇe, v praxi se tato moˇznost uchycen´ı uk´ azala jako nejˇsetrnˇejˇs´ı. Opatˇren´ı s bramborou bylo potˇrebn´e kv˚ uli tomu, ˇze obyˇcejn´ y uzel se posouval ke konci kondomu a n´aslednˇe se rozv´azal. Uzel na otevˇren´em konci trubice (na rozd´ıl od druh´eho konce kondomu) se nerozvazoval d´ıky pevn´e hranˇe na konci kondomu, kter´ a byla dostateˇcnˇe ˇsirok´a na to, aby neproˇsla uzlem. Posledn´ım krokem konstrukce z´ avˇesn´eho zaˇr´ızen´ı bylo pˇripojen´ı krouˇzku k h´aˇcku ve stropˇe pomoc´ı karabiny. Krouˇzek tak drˇzel na h´aˇcku pomoc´ı karabiny, kondom neproˇsel krouˇzkem d´ıky navl´eknut´e bramboˇre a na kondomu byl zavˇeˇsen´ y k´ ybl, do kter´eho jsme mohli zaˇc´ıt pomalu pˇrid´ avat z´atˇeˇz. Vzhledem k tomu, ˇze jsme nemˇeli k dispozici silomˇer ani norm´aln´ı z´avaˇz´ı, pouˇzili jsme m´ısto nich r˚ uzn´e druhy pˇredmˇet˚ u. Kaˇzd´ y druh musel splˇ novat to, ˇze od nˇej m´ ame k dispozici v´ıce kus˚ u, ˇze kaˇzd´ y kus m´a normovanou hmotnost a ˇze souˇcet hmotnost´ı v´ıce kus˚ u pˇredmˇet˚ u jednoho druhu d´av´a dohromady hmotnost jednoho kusu jin´eho druhu. Mezi pouˇz´ıvan´ a z´ avaˇz´ı patˇril ruˇcn´ı gran´at (350 gram˚ u), krabice ml´eka (1064 gram˚ u) a nenaˇcat´ a dvoulitrov´a pet-lahev s kofolou (2098 gram˚ u). Pro naˇse potˇreby (a s naˇs´ı pˇresnost´ı) byly tyto pˇredmˇety postaˇcuj´ıc´ı.
Mˇeˇren´ı Zatˇeˇzov´ an´ı latexov´e trubice muselo prob´ıhat postupnˇe a pomalu. Chtˇeli jsme totiˇz mˇeˇrit statickou pevnost trubice, ne dynamickou, kter´a je menˇs´ı a byla by obt´ıˇznˇe mˇeˇriteln´ a. Pˇri mˇeˇren´ı dynamick´e pevnosti kondomu bychom museli zohlednit nejen hmotnost pˇredmˇetu, ale i rychlost, kterou do k´ yble spadl nebo byl vrˇzen. Zpoˇc´ atku pˇri mˇeˇren´ı nast´ avaly probl´emy s perforac´ı trubice pˇri uchycov´an´ı. Kondomy praskaly jiˇz pˇri mal´em zat´ıˇzen´ı a pˇr´ımo v m´ıstˇe uchycen´ı. Tento probl´em jsme vyˇreˇsili zmˇenou aparatury tak, aby neobsahovala ˇz´adn´e ostr´e souˇc´asti. Pˇresto jsme nad´ ale sledovali, v jak´em m´ıstˇe trubice praskaj´ı a zda nenastala pˇri manipulaci nˇejak´ a lok´ aln´ı porucha materi´ alu. Nejˇcastˇejˇs´ımi m´ısty prasknut´ı byla ˇspiˇcka, lem a prostˇredek kondomu. Mnohokr´ at se stalo, ˇze kondom praskl ve v´ıce r˚ uzn´ ych m´ıstech souˇcasnˇe, coˇz potvrzuje, ˇze materi´ al byl opravdu na hranˇe sv´ ych moˇznost´ı a pˇretrˇzen´ı nastalo kv˚ uli zat´ıˇzen´ı. Pˇri mˇeˇren´ı jsme nejdˇr´ıve zkoumali, zda kondom unese samotn´ y k´ ybl o hmotnosti 570 gram˚ u. To byla naˇse minim´ aln´ı mˇeˇriteln´ a nosnost. D´ale jsme postupnˇe pˇrid´ avali ruˇcn´ı gran´ aty. Tˇri gran´ aty jsme vymˇenili za jednu krabici ml´eka. K t´e jsme postupnˇe pˇrihazovali gran´ aty a pokud kondom vydrˇzel, tak jsme je nahradili
XX/7-8
33
druhou krabic´ı ml´eka. Dvˇe krabice ml´eka jsme mohli nahradit jednou kofolou, a tak d´ ale. Mezi mˇeˇren´e znaˇcky kondom˚ u patˇrily Mondos, Primeros, You&me a Durex. Mˇeˇren´ı jednotliv´ ych typ˚ u kondom˚ u jsme prov´ adˇeli vˇzdy tˇrikr´at. Nˇekter´a mˇeˇren´ı byla evidentnˇe ovlivnˇen´ a chybou v sestavov´ an´ı aparatury (neˇcistota na bramboˇre, odˇren´ı kondomu pˇri sestavov´ an´ı apod.) a jejich v´ ysledky proto vych´azely ˇr´adovˇe mimo oˇcek´ avanou nebo jiˇz ovˇeˇrenou nosnost kondomu. Takov´a mˇeˇren´ı jsme pak nezaˇrazovali do v´ ysledk˚ u. V tabulce je vˇzdy uveden´ y pr˚ umˇer hmotnost´ı z´avaˇz´ı pˇrepoˇc´ıtan´ y na gravitaˇcn´ı s´ılu, kterou byl kondom zat´ıˇzen pˇri pˇretrˇzen´ı. N´ azev You&Me Mondos Joy Mondos Classic Durex Extra Safe Primeros Mondos Sensitive Norma ISO 4074 Durex Featherlite Ultima
Pr˚ um. s´ıla [N] 79,29 71,03 63,55 63,40 50,37 47,74 39 26,80
1. kondom 68,80 61,80 63,55 73,89 47,82 35,43 – 25,09
2. kondom 89,78 73,89 68,80 52,91 52,91 60,05 – 28,51
3. kondom – 77,39 58,30 – – – – –
Latex v oleji Pˇri pouˇz´ıv´ an´ı kondom˚ u se doporuˇcuje pouˇz´ıv´ an´ı lubrikant˚ u pouze na b´azi vody, nikoli oleje. Rozhodli jsme se tedy zjistit, jak´ y vliv m´a olej na pevnost a vlastnosti latexu. Vyzkouˇseli jsme namoˇcit kondom do oleje na pouh´ ych pˇet minut a n´aslednˇe mˇeˇrit jeho pevnost. Jiˇz po pˇeti minut´ ach kondom viditelnˇe nabobtnal a pˇri mˇeˇren´ı neunesl ani n´ ami mˇeˇriteln´e minimum (570 gram˚ u), tedy v´ıce neˇz desetkr´at m´enˇe neˇz jeho olejem nepol´ıben´ y kolega. Kondom, kter´ y byl v olejov´e l´azni celou noc, se pak pˇr´ımo rozpadal pod rukama. Podobn´e v´ ysledky mˇela studie vˇedc˚ u z Los Angeles publikovan´a v ˇcasopise Contraception jiˇz v roce 1989. Kondomy lubrikovan´e l´atkami na b´azi oleje mˇely o 90 % sn´ıˇzenou pevnost pˇri nafukov´ an´ı.
Norma Kaˇzd´ y kondom mus´ı splˇ novat normu ISO 4074. Mimo jin´e m´a m´ıt minim´aln´ı d´elku 18 cm, m´ a se umˇet nat´ ahnout na 700 % sv´e p˚ uvodn´ı d´elky, sn´est vnitˇrn´ı tlak 1 kPa, pojmout 18 litr˚ u vzduchu a v tahu m´ a prasknout aˇz po z´atˇeˇzi vˇetˇs´ı neˇz 39 N. Aˇz na Durex Featherlite Ultima tuto normu vˇsechny testovan´e typy kondom˚ u splnily. V praxi se vˇsechny kondomy v tov´ arnˇe testuj´ı na pˇr´ıtomnost dˇer pomoc´ı tˇren´ı. Kondom se navl´ekne na vodivou trubici a tˇren´ım se na nˇem vytv´aˇr´ı elektrostatick´e napˇet´ı. Pokud dojde k v´ yboji, kondom obsahuje d´ıru a je zaˇrazen´ y do zmetk˚ u.
34 Z´avˇer Testov´ an´ı pevnosti latexov´ ych trubic v tahu byla velmi zaj´ımav´a a z´abavn´a konfera. Povedlo se n´ am mimo jin´e uk´ azat, ˇze kondomy toho vydrˇz´ı opravdu hodnˇe a ˇze jsou velmi citliv´e na poˇskozen´ı ostr´ ymi pˇredmˇety. Tak´e jsme doloˇzili, ˇze nen´ı vhodn´e pouˇz´ıvat lubrikanty na b´ azi oleje. Chtˇela bych podˇekovat Tom´ aˇsi Gavenˇciakovi za pˇr´ıpravu a veden´ı t´eto zajist´e velmi inspirativn´ı konfery.
Zdroje • BERSTEIN, Gerald S., COULSON, Anne H., NAKAMURA, Robert M., VOELLER, Bruce. Mineral Oil Lubricants Cause Rapid Deterioration of Latex. Vancover, 1996. http://www.walnet.org/csis/med research/oilstudy.html • Testy kondom˚ u. http://www.kondom.cz/cz/testy-kondomu ´ Jana Bridget. Jak se co dˇel´ • HADRBOLCOVA, a: Kondomy. Praha, 2007. http://old.stream.cz/video/6487-jak-se-co-dela-kondomy ˇ • CSN EN ISO 4074: Kondomy z pˇr´ırodn´ıho latexu – Poˇzadavky a zkuˇsebn´ı ˇ y normalizaˇcn´ı institut, 2003. www.csni.cz metody. Cesk´
Stern-Brocot˚ uv strom
(8b)
Dr.MM Dominik Krasula Abstrakt Mnoz´ı uˇz se setkali s t´ım, ˇze nˇekdo pˇri sˇc´ıt´ an´ı zlomk˚ u prostˇe seˇcetl jmenovatele a ˇcitatele. Tento na prvn´ı pohled iracion´ aln´ı zp˚ usob souˇctu, pouˇzit´ y v m´alo zn´am´e matematick´e struktuˇre zvan´e Stern-Brocot˚ uv strom, m´a neˇcekan´e d˚ usledky vedouc´ı mj. aˇz k aproximac´ım iracion´ aln´ıch ˇc´ısel.
´ Uvod V ˇcl´ anku popisuji v´ ysledky konfery Fareyovy zlomky“, jeˇz obohacuji o n´astin ” historick´eho pozad´ı zkoum´ an´ı probl´emu Stern-Brocotova stromu a Fareyov´ ych posloupnost´ı. Nejprve bude vysvˇetleno, jak vypad´ a Stern-Brocot˚ uv strom, a uvedeno nˇekolik nejz´ akladnˇejˇs´ıch vlastnost´ı. V druh´e ˇc´ asti pr´ ace vysvˇetluji souvislost Stern-Brocotova stromu s Fareyov´ ymi zlomky. V tˇret´ı ˇc´ asti jsou pak prob´ır´any d˚ usledky tohoto propojen´ı. Na z´ avˇer jsou uvedena dvˇe m´enˇe d˚ uleˇzit´a tvrzen´ı dok´azan´a v r´ amci konfery. V dodatc´ıch je potom zn´ azornˇen´ı Stern-Brocotova stromu zd˚ urazˇ nuj´ıc´ı jeho souvislost s Fareyov´ ymi posloupnostmi a pot´e d˚ ukaz Fareyovy domnˇenky.
XX/7-8
35
Historicko-teoretick´y u´vod do problematiky Matematickou strukturu zvanou Stern-Brocot˚ uv strom objevil nˇemeck´ y matematik Moritz Stern (1858) a nez´ avisle na nˇem francouzsk´ y hodin´aˇr Achilles Brocot (1851). Strom byl uˇz´ıv´ an pro aproximaci re´ aln´ ych ˇc´ısel ˇc´ısly racion´aln´ımi. Brocot jej pouˇz´ıval k vytvoˇren´ı spr´ avn´ ych pomˇer˚ u mezi koleˇcky hodinek. Abychom s n´ım mohli dobˇre pracovat bez zbyteˇcn´ ych zmatk˚ u, definujme si pro zaˇc´ atek nˇekter´e pojmy: a b
• Hodnota zlomku
a b
• Velikost zlomku
je c takov´e, ˇze bc = a. se znaˇc´ı | ab |, plat´ı vztah | ab | = a + b.
• Pojmem ˇc´ıslo je v tomto textu vˇzdy myˇsleno cel´e ˇc´ıslo, ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u jmenovatel nebo ˇcitatel zlomku. • Jednotliv´e zlomky budou znaˇceny ve tvaru in , kde i je poˇrad´ı v ˇr´adku, br´ ano zleva doprava. 2k bude celkov´ y poˇcet zlomk˚ u v hladinˇe. Indexem n bude znaˇcena hladina, pˇriˇcemˇz jako prvn´ı je znaˇcena ˇrada obsahuj´ıc´ı zlomek 1 1. • Souˇcet zlomk˚ u
a b
+
c d
je
a+c b+d .
Nyn´ı se jiˇz m˚ uˇzeme pod´ıvat na to, jak Stern-Brocot˚ uv strom vypad´a: 0 1
1 1
0 1
1 2
0 1
0 1
1 3
1 4
1 3
1 1
1 2
2 5
1 2
1 0
2 3
3 5
2 3
2 1
1 1
3 4
1 1
3 2
4 3
3 2
1 0
2 1
5 3
2 1
3 1
5 2
3 1
1 0
4 1
1 0
Na zaˇc´ atku, v nult´e ˇradˇe, jsou dva zlomky 01 a 01 . Vˇzdy pak sˇc´ıt´ame dva sousedn´ı zlomky. Nen´ı potˇreba se b´ at dˇesivˇe vyhl´ıˇzej´ıc´ıho zlomku 10 , nem˚ uˇzeme sice vyj´ adˇrit jeho hodnotu, nebot’ nen´ı definovan´ a, ale zapsat takov´ y zlomek m˚ uˇzeme a dokonce jej m˚ uˇzeme pˇriˇc´ıtat. Pouˇzijeme totiˇz onen speci´aln´ı zp˚ usob sˇc´ıt´an´ı.
36 Abychom mu l´epe porozumˇeli, je tˇreba se pod´ıvat na pr´aci Johna Fareye starˇs´ıho.12 Britsk´ y geolog a spisovatel John Farey starˇs´ı (1766–1826) si vˇsiml, ˇze pokud seˇrad´ıme vˇsechny zlomky se jmenovatelem menˇs´ım neˇz nˇejak´e n a ˇcitatelem menˇs´ım neˇz jmenovatel, tak kdykoli vezmeme libovolnou trojici po sobˇe jdouc´ıch zlomk˚ u a seˇcteme jmenovatele okrajov´ ych zlomk˚ u a ˇcitatele okrajov´ ych zlomk˚ u, z´ısk´ ame zlomek mezi nimi, byt’ ne v z´ akladn´ım tvaru.13 Co to znamen´ a? Vezmˇeme napˇr´ıklad n = 3. Pak m´ame ˇradu 13 , 12 , 23 , 11 . Vyberme si zlomky 13 a 23 a seˇctˇeme jejich jmenovatele a ˇcitatele, z´ısk´ame 63 , coˇz je pouze rozˇs´ıˇren´ y zlomek 12 . Stejnˇe tak 12 + 11 = 32 . Zde jsme dokonce z´ıskali z´ akladn´ı tvar. Fareyova hypot´eza ˇr´ık´ a, ˇze to bude fungovat pro kter´ekoliv n. Coˇz se uk´ azalo jako pravda a m´ a to mnoho zaj´ımav´ ych a d˚ uleˇzit´ ych d˚ usledk˚ u. Pˇresto vˇsak b´ yval Farey˚ uv pˇr´ınos v t´eto oblasti ˇcasto podceˇ nov´an, nebot’ nepodal ˇz´adn´ y d˚ ukaz platnosti sv´e hypot´ezy. Prvn´ı d˚ ukaz14 poprv´e podal francouzsk´ y matematik Augustin Louis Cauchy (1789–1857)15 . V souˇcasnosti pˇrevl´ad´a n´azor, ˇze se Farey o d˚ ukaz v˚ ubec nepokouˇsel, ˇze pˇr´ıspˇevek zveˇrejnil pr´avˇe proto, ˇze se ptal matematick´e veˇrejnosti, zda plat´ı. Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme pˇrej´ıt k Stern-Brocotovˇe stromu a jeho souvislosti s Fareyov´ ymi zlomky. V lev´e ˇc´ asti Stern-Brocotova stromu jsou Fareyovy posloupnosti. Prvn´ı hladina obsahuje Fareyovu posloupnost pro n = 1, druh´a obsahuje vˇsechny ˇcleny Fareyovy posloupnosti kromˇe tˇech, co jiˇz byly v pˇredeˇsl´e hladinˇe. Obdobnˇe to plat´ı pro dalˇs´ı hladiny. Obˇcas se t´eto struktuˇre ˇr´ık´a Farey˚ uv strom16 . Stern-Brocot˚ uv strom je jeˇstˇe rozˇs´ıˇren o pravou stranu, kde jsou zlomky inverzn´ı k Fareyov´ ym zlomk˚ um.17 Pˇrejdˇeme k nˇekter´ ym z´akladn´ım, jiˇz zm´ınˇen´ ym, avˇsak nedok´ azan´ ym vlastnostem: i.) Zlomek obsahuje vˇsechna nez´ aporn´ a cel´ a ˇc´ısla. Neobsahuje ˇz´adn´a z´aporn´a. Je to trivi´ aln´ı tvrzen´ı vypl´ yvaj´ıc´ı pˇr´ımo z chov´an´ı stromu, nicm´enˇe je to d˚ uleˇzit´ y prvn´ı krok, stejnˇe jako druh´e tvrzen´ı18 . ii.) Inversnost: Je-li ˇclen in ve tvaru
a b
pak (2k − i + 1)n je ve tvaru
b a.
Toto tvrzen´ı lze jednoduˇse dok´ azat indukc´ı. Pro prvn´ıch nˇekolik ˇrad to plat´ı trivi´ alnˇe. Mˇejme dvojici sousedn´ıch zlomk˚ u ab a dc . Jejich seˇcten´ım vznikne a+c cn´ıho pˇredpokladu mus´ı existovat ve stejn´e ˇradˇe stejnˇe daleko b+d . Z indukˇ 12 Znalost Fareyova d´ ıla nen´ı pro ch´ ap´ an´ı Stern-Brocotova stromu nezbytn´ a, nicm´ enˇ e zjednoduˇsuje pochopen´ı nˇ ekter´ ych jeho vlastnost´ı. Hlavn´ım d˚ uvodem pro zahrnut´ı vˇsak bylo objasnˇ en´ı, proˇ c se p˚ uvodn´ı pr´ ace jmenovala Fareyovy zlomky. 13 Pˇ rejato z [1] strany 3, 4. 14 D˚ ukaz (nikoliv pˇr´ımo Cauchyho) lze nal´ ezt v dodatc´ıch. 15 Zn´ am´ y mj. d´ıky Cauchy-Schwartzovˇ e nerovnosti, kterou dok´ azal (nikoliv vˇsak v pln´ em rozsahu). 16 Ve Fareyovˇ e stromˇ e je vˇsak obvyklejˇs´ı ps´ at i zlomky pˇredeˇsl´ ych hladin do hladiny nov´ e. Nen´ı to vˇsak nic pevnˇ e dan´ eho, r˚ uzn´ı se to. 17 Jedn´ a se mj. o uk´ azku toho, ˇ ze racion´ aln´ıch ˇ c´ısel v intervalu (0; 1) je stejnˇ e mnoho jako v intervalu (1; ∞). 18 Kter´ e je tedy sp´ıˇse d˚ uleˇ zit´ y druh´ y“ krok. ”
XX/7-8 od okraje (ale od druh´eho okraje!) dvojice sousedn´ıch zlomk˚ u b+d seˇcten´ım z´ısk´ ame a+c .
37 d c
a ab . Jejich
Proto plat´ı-li inversnost pro prvn´ıch nˇekolik ˇr´ adk˚ u (coˇz plat´ı trivi´alnˇe), mus´ı platit pro vˇsechny.
Souvislost s Fareyov´ymi posloupnostmi Koneˇcnˇe se m˚ uˇzeme pod´ıvat na zaj´ımavˇejˇs´ı vlastnosti. Zaˇcnˇeme tvrzen´ım, uˇz´ıvaj´ıc´ım n´ ami zadefinovan´ y pojem19 velikost zlomku“: Necht’ je Hn velikost´ı p˚ ul” hladiny, tedy souˇctem hodnot vˇsech zlomk˚ u v jedn´e polovinˇe n-t´e ˇrady. Pak Hn = 3n−1 . V prvn´ı ˇradˇe je souˇcet hodnot 1 = 3(1−1=0) ,20 d´ale v´ıme, ˇze H2 = 3. Takˇze nyn´ı chceme pouze dok´ azat, ˇze Hn = 3Hn−1 . Tvoˇr´ıme-li nˇejakou ˇradu, tak kaˇzd´ y zlomek pˇredeˇsl´e ˇrady pouˇzijeme pr´avˇe dvakr´ at (plyne to trivi´ alnˇe z definice stromu). Takˇze zat´ım v´ıme, ˇze Hn = 2Hn−1 + K a chceme nˇejak vyj´ adˇrit K. Lemma: Kaˇzd´ y zlomek z pˇredeˇsl´ ych ˇrad pouˇzijeme pr´avˇe tolikr´at, jako pˇri tvoˇren´ı (n − 1)-n´ı ˇrady. D˚ ukaz: Kaˇzd´ y zlomek kromˇe 01 a 11 ,21 kter´e budou pouˇzity jednou, bude pouˇzit dvakr´ at. Plyne to z chov´ an´ı stromu. Toto plat´ı pro tvoˇren´ı kaˇzd´e ˇrady, tedy i pro tvoˇren´ı (n − 1)-n´ı ˇrady i pro tvoˇren´ı n-t´e ˇrady, takˇze K = Hn − 1. Pˇekn´ ym rozˇs´ıˇren´ım tohoto tvrzen´ı je: Seˇcteme-li vˇsechny zlomky v hladinˇe, bude hodnota v´ ysledn´eho zlomku vˇzdy 1. D˚ ukaz vyuˇz´ıv´a inversnosti. Seˇcteme-li dva zlomky k sobˇe inverzn´ı, z´ısk´ ame aa . Pokud sˇc´ıt´ ame tyto dvojice, tak z´ısk´ame a1 +a2 +a3 +···+ak , jehoˇ z hodnota je jedna. a1 +a2 +a3 +···+ak Vrat’me se vˇsak zp´ atky k tvrzen´ım o velikosti zlomk˚ u: |(2i + 1)n + (2i + 2)n | = 3|(i + 1)n−1 |. D˚ ukaz bude velmi podobn´ y jako pˇri pˇredch´ azej´ıc´ım tvrzen´ı. Trivi´alnˇe plyne, ˇze dceˇrin´e ˇcleny (2i + 1)n + (2i + 2)n obsahuj´ı dvojn´asobek parent´aln´ıho ˇclenu (i + 1)n−1 , nebot’ byl pˇri tvorbˇe dceˇrin´ ych ˇclen˚ u pouˇzit dvakr´at. Ze struktury stromu plyne, ˇze parent´ aln´ı a dceˇrin´ y ˇclen jsou vedle sebe“. Proto pˇri tvoˇren´ı ” ˇclen˚ u (2i + 1)n + (2i + 2)n budou pouˇzity oba ˇcleny pouˇzit´e pˇri tvorbˇe jejich parent´ aln´ıho ˇclenu, jejichˇz souˇcet je (i + 1)n−1 . A proto rovnost plat´ı. Dokonce z tohoto tvrzen´ı m˚ uˇzeme vynechat pojem velikost. Nebot’ seˇcteme-li ˇcleny (2i + 1)n + (2i + 2)n , z´ısk´ ame jmenovatele i ˇcitatele tˇrikr´at vyˇsˇs´ı, neˇz je jmenovatel a ˇcitatel v parent´ aln´ım zlomku. 19 Zat´ ım jsem se v literatuˇre nesetkal s tvrzen´ımi o Stern-Brocotovˇ e stromˇ e zab´ yvaj´ıc´ımi se souˇ ctem ˇ citatele a jmenovatele. Pokud nˇ ekter´ yˇ cten´ aˇr nˇ ejak´ e takov´ e tvrzen´ı zn´ a (najde), velmi ocen´ım, pokud mi jej zaˇsle a pom˚ uˇ ze t´ım rozˇs´ıˇrit tuto pr´ aci. 20 Toto je maliˇ cko sporn´ e tvrzen´ı. V prvn´ı hladinˇ e je jen zlomek 11 , kter´ y m´ a hodnotu 2, nicm´ enˇ e je v obou polovin´ ach, takˇ ze pˇri zobecnˇ en´ e formulaci souˇ cet hodnot v n-t´ e hladinˇ e je ” (2 · 3n−1 )“ by ji pak tento fakt nijak neomezoval. 21 Nebude-li pˇ redem ˇreˇ ceno jinak, bude v ˇ c´ astech prob´ıraj´ıc´ı chov´ an´ı poloviny stromu popisov´ ana lev´ a polovina.
38 Zde pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze parent´ aln´ı zlomek je v hladinˇe nad hladinou, kde jsou dceˇrin´e zlomky. Co kdyˇz je vˇsak ve vyˇsˇs´ı hladinˇe? Hodnota bude opˇet stejnˇe velk´ a, akor´ at velikost se bude n´ asobit jin´ ym ˇc´ıslem: |(2i + 1)n + (2i + 2)n | = (2c + 1) · |(i + 1)n−c |. D˚ ukaz je velmi podobn´ y jako v jednoduch´em pˇr´ıpadˇe, jen je potˇreba se hloubˇeji ponoˇrit do struktury stromu: Mˇejme parent´ aln´ı zlomek, jeho velikost oznaˇcme K. Pˇriˇcteme jej pˇri tvorbˇe dceˇrin´ ych zlomk˚ u dvakr´ at (2K). Pomoc´ı nˇej rovnˇeˇz tvoˇr´ıme dalˇs´ı ˇradu, t´ım ˇze jej seˇcteme s jeho parent´ aln´ımi zlomky ((2 + 1)K) tyto nov´e dva zlomky s n´ım seˇcteme (+2K). Nov´e dva zlomky s n´ım opˇet seˇcteme. . . Takto tvoˇr´ıme nov´e a nov´e dvojice aˇz dojdeme k naˇs´ı poˇzadovan´e dvojici. I zde m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze hodnota je stejn´ a, nebot’ jmenovatel i ˇcitatel se n´asob´ı stejnˇekr´at. Uk´ azali jsme tedy, ˇze hodnota souˇctu dceˇrin´ ych zlomk˚ u je stejn´a jako hodnota jejich spoleˇcn´eho parent´ aln´ıho zlomku. Vypad´ a to jako ned˚ uleˇzit´e tvrzen´ı, kter´e je pouhou hˇr´ıˇckou n´ahodnˇe objevenou ve struktuˇre. Kdyˇz se vˇsak nad tvrzen´ım hloubˇeji zamysl´ıme, zjist´ıme, ˇze to je d˚ ukaz toho, ˇze ve Stern-Brocotovˇe stromu se nach´ azej´ı Fareyovy ˇrady. Nebot’ to, ˇze souˇctem dvou hodnot je tˇret´ı, kter´ a, zap´ıˇseme-li vˇsechny zlomky do jedn´e ˇrady, je mezi nimi, je vlastnˇe stejn´ y princip, jak´ ym jsou definov´any Fareyovy ˇrady.
D˚ usledek souvislosti s Fareyov´ymi posloupnostmi Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzeme Stern-Brocotovu stromu pˇrisuzovat vlastnosti, jenˇz jsou dok´az´ any pro Fareyovy posloupnosti. Jedn´ım z nich je siln´e tvrzen´ı kaˇzd´e kladn´e ” racion´ aln´ı ˇc´ıslo je ve Stern-Brocotovˇe stromˇe obsaˇzen´e pr´avˇe jednou“. V r´amci konfery bylo dok´ az´ ano m´enˇe siln´e tvrzen´ı kaˇzd´e kladn´e racion´aln´ı ˇc´ıslo je ve ” Stern-Brocotovˇe stromˇe obsaˇzen´e maxim´ alnˇe jednou“. a a+c c Nejprve dokaˇzme, ˇze b < b+d < d . D˚ ukaz: Nejprve dok´ aˇzeme, ˇze ab < a+c ıu ´pravy. V´ yraz b+d . Provedeme ekvivalentn´ vyn´ asob´ıme hodnotou b(b+d) a z´ısk´ ame ab+ad < ba+bc. Po odeˇcten´ı ab z´ısk´ame ad < bc coˇz je obecnˇe zn´ am´ a nerovnost plynouc´ı z tvrzen´ı ab < dc . c ale na da < bc. Obdobnˇe upravme nerovnost a+c b+d < d na da + dc < bc + dc a d´ Z´ıskali jsme stejnou ostrou nerovnost. Bohuˇzel prvenstv´ı v objeven´ı t´eto vlastnosti si pˇripsat nem˚ uˇzeme. Bylo dok´az´ ano dokonce mnohem dˇr´ıve, neˇz Farey poˇz´ adal matematickou veˇrejnost o d˚ ukaz sv´eho pozorov´ an´ı. Pravdˇepodobnˇe prvn´ı, kdo tuto nerovnost dok´azal, byl Nicholas Chuquet (asi 1445–1488), kter´ y nerovnost pouˇz´ıval pˇri hled´an´ı aproximac´ı iracion´ aln´ıch odmocnin. D˚ ukaz t´eto nerovnosti povaˇzoval za jeden ze sv´ ych nejvˇetˇs´ıch u ´spˇech˚ u. Protoˇze Stern-Brocot˚ uv strom obsahuje Fareyovy posloupnosti, v´ıme, ˇze d´ıky nˇemu m˚ uˇzeme aproximovat vˇsechna kladn´ a iracion´aln´ı ˇc´ısla. Mnohdy je postup pracn´ y, ale aproximace nˇekter´ ych iracion´ aln´ıch ˇc´ısel se daj´ı naj´ıt i pˇrekvapivˇe jednoduchou metodou. Kr´ asn´ ym pˇr´ıkladem je zlat´ y ˇrez22 : Vezmˇeme zlomek 21 a √
a spoustu zaj´ımav´ ych a d˚ uleˇ zit´ ych vlastnost´ı, kter´ e vˇsak ˇrez lze vyj´ adˇrit jako 1+2 5 . M´ jiˇ z jsou nad rozsah tohoto ˇ cl´ anku, dobr´ ym zdrojem informac´ı m˚ uˇ ze b´ yt napˇr´ıklad [4]. 22 Zlat´ y
XX/7-8
39
pokraˇcujeme cik-cak23 . Tak z´ısk´ ame ˇradu konverguj´ıc´ı ke zlat´emu ˇrezu. D˚ ukaz: Vezmˇeme nˇekolik ˇclen˚ u t´eto cik-cak ˇrady. Jsou to 11 , 21 , 23 , 53 . Vid´ıme, ˇze jmenovatel´e tvoˇr´ı Fibonacciho posloupnost24 . I ˇcitatel´e tvoˇr´ı Fibonacciho posloupnost, ale jsou o jeden ˇclen popˇredu“. Pomˇery po sobˇe jdouc´ıch Fibonacciho ˇc´ısel ” konverguj´ı ke zlat´emu ˇrezu a proto tato cik-cak posloupnost k nˇemu konverguje t´eˇz. Nyn´ı staˇc´ı dok´ azat tvrzen´ı o Fibonacciho ˇc´ıslech. Z vlastnosti stromu plat´ı, ˇze souˇcet dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u ˇrady vytvoˇr´ı tˇret´ı ˇclen. Coˇz je stejn´ y rekurzivn´ı vztah jako pro Fibonacciho posloupnost. Trivi´ alnˇe je jasn´e, ˇze i prvn´ı ˇcleny jsou stejn´e a proto se jedn´ a o Fibonacciho posloupnost. O Fibonacciho posloupnosti plat´ı dalˇs´ı zaj´ımav´e tvrzen´ı: Nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo n-t´e ˇrady je vˇzdy (n + 1)-t´e Fibonacciho ˇc´ıslo. To, ˇze tam dan´e Fibonacciho ˇc´ıslo bude, vych´ az´ı pˇr´ımo z pˇredeˇsl´eho tvrzen´ı. To, ˇze je nejvˇetˇs´ı dok´aˇzeme indukc´ı. Pro prvn´ıch nˇekolik hladin tvrzen´ı plat´ı a ˇc´ısla jsou vedle sebe“, takˇze je urˇcitˇe ” seˇcteme. A nem˚ uˇze existovat vˇetˇs´ı ˇc´ıslo neˇz souˇcet maxim dvou pˇredeˇsl´ ych hladin, nebot’ vˇzdy sˇc´ıt´ ame ˇc´ısla z r˚ uzn´ ych ˇrad.
Dalˇs´ı vlastnosti Stern-Brocotova stromu Dalˇs´ı vlastnost´ı, vych´ azej´ıc´ı ze znalosti Fareyov´ ych posloupnost´ı je nesoudˇelnost ˇc´ısel zlomku. Kaˇzd´ y zlomek je tedy v z´ akladn´ım tvaru. D˚ ukaz t´eto vlastnosti byl jedn´ım z hlavn´ıch pˇredmˇet˚ u studia t´eto struktury v r´amci konfery. Pˇri hled´an´ı d˚ ukazu byla objevena dalˇs´ı zaj´ımav´ a vlastnost: Sˇc´ıt´ame-li dvˇe ˇc´ısla, jsou vˇzdy nesoudˇeln´ a. D˚ ukaz: Nejprve je d˚ uleˇzit´e si uvˇedomit, ˇze sˇc´ıt´ ame-li dvˇe ˇc´ısla, tak vˇzdy plat´ı, ˇze jedno z nich vzniklo souˇctem druh´eho z nich a nˇejak´eho tˇret´ıho ˇc´ısla. Nyn´ı pˇrejdˇeme k samotn´emu d˚ ukazu. Pro prvn´ıch nˇekolik ˇrad to plat´ı. Nyn´ı sˇc´ıt´ ame a + (a + b) a z´ısk´ame 2a + b. Chceme dok´ azat, ˇze NSD(a + b, 2a + b) = 1. V´ıme, ˇze NSD25 nezmˇen´ıme, kdyˇz menˇs´ı ˇc´ıslo odeˇcteme od vˇetˇs´ıho, proto m˚ uˇzeme napsat NSD(a+b, 2a+b) = NSD(a+b, 2a+b−(a+b)) = NSD(a+b, a) = NSD(a+b−a, a) = NSD(b, a). Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu v´ıme, ˇze NSD(b, a) = 1, a proto i NSD(a + b, 2a + b) = 1. Posledn´ı vlastnost, jiˇz si uk´ aˇzeme, je sp´ıˇse jen hˇr´ıˇckou, nicm´enˇe pr´avˇe proto jsem ji nechal nakonec, nebot’ ukazuje, jak ˇsirok´ y je okruh zaj´ımav´ ych vlastnost´ı Stern-Brocotova stromu: Necht’ in = ab . D´ ale at’ (k − i + 1)n = dc . Pak plat´ı a + c = b = d. D˚ ukaz: Pouˇzijeme indukci, pro prvn´ıch nˇekolik ˇr´ adk˚ u snadno ovˇeˇr´ıme platnost tvrzen´ı. Nyn´ı se to pokusme dok´ azat pro jakoukoliv vhodnou dvojici zlomk˚ u. 23 Pojem
je pˇrejat z [1]. posloupnost je definov´ ana rekurentn´ım vztahem, kde F1 = F2 = 1 a Fn = Fn−1 + Fn−2 . 25 NSD = nejvˇ etˇs´ı spoleˇ cn´ y dˇ elitel. V souˇ casnosti se ˇ casto nahrazuje znaˇ cen´ım gcd, pˇrejat´ ym z angliˇ ctiny. 24 Fibonacciho
40 Rozepiˇsme si ab jako ab11 + ab22 . Obdobnˇe dc11 + dc22 . Pot´e v´ıme, ˇze a+c = a1 +a2 +c1 +c2 . Sˇc´ıt´ an´ı je komutativn´ı operace a proto m˚ uˇzeme napsat a+c = (a1 +c2 )+(a2 +c1 ). Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu v´ıme, ˇze a1 + c2 = b1 = d1 a a2 + c1 = b2 = d2 . Proto a + c = b1 + b2 = d1 + d2 = b = d.
Z´avˇer ˇ anek zdaleka nen´ı vyˇcerp´ Cl´ avaj´ıc´ı popis vˇsech zn´ am´ ych vlastnost´ı Stern-Brocotova stromu a Fareyov´ ych posloupnost´ı. Uv´ ad´ı pouze ty vlastnosti, jeˇz souvisely s v´ ysledky konfery Fareyovy zlomky“. ” Proto m˚ uˇze ˇcten´ aˇr tohoto ˇcl´ anku zn´ at, ˇci pozdˇeji objevit, nˇejak´e dalˇs´ı zaj´ımav´e vlastnosti t´eto struktury. V takov´em pˇr´ıpadˇe urˇcitˇe ocen´ım, budu-li na nˇe upozornˇen, d´ıky ˇcemuˇz m˚ uˇze b´ yt tato pr´ ace rozˇs´ıˇrena a st´at se t´ımto vyˇcerp´avaj´ıc´ım popisem.
Podˇekov´an´ı Chtˇel bych podˇekovat vˇsem, kdo mˇe inspirovali k seps´an´ı tohoto ˇcl´anku. Pˇrednˇe Janu Miklovi, jenˇz vedl konferu Fareyovy zlomky, z jej´ıchˇz v´ ysledk˚ u pr´ace ˇcerp´a. D´ ale bych chtˇel podˇekovat vˇsem tˇem, kter´ ym jsem zaslal nedokonˇcenou verzi tohoto ˇcl´ anku a pomohli mi sv´ ymi pˇripom´ınkami zv´ yˇsit jeho u ´roveˇ n.
Reference Praktick´ a ˇc´ ast (tvrzen´ı a jejich d˚ ukazy), nen´ı-li pˇredem ˇreˇceno jinak, byla odvozena na jarn´ım soustˇredˇen´ı M&M v dubnu 2014 v r´amci konfery s n´azvem Fareyovy zlomky, pod veden´ım Jan Mikla. Teoretick´a ˇc´ast ˇcerp´a z [1] http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/141945/ PokrokyMFA 55-2010-2 2.pdf doplnˇena je o informace z [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot tree [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Farey sequence [4] http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/ chmelikovabp/Zlaty rez.pdf Obr´ azek Stern-Brocotova stromu byl pˇrevzat z http://en.wikipedia.org/ wiki/File:SternBrocotTree.svg. Datum citac´ı z internetov´ ych zdroj˚ u: 13. 4. 2014.
XX/7-8
41
V´ysledkov´a listina 5. ˇc´ısla Poˇ r. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.–12.
13. 14. 15. 16. 17.–19.
20. 21.–22. 23. 24.–25. 26. 27.–28. 29.–32.
33.–38.
39.–40. 41.–44.
45.–46. 47.–50.
Jm´ eno Dr.MM D. Krasula Dr.MM A. K. Lesna Doc.MM M. Cal´ abkov´ a Doc.MM M. Lieskovsk´ y Dr.MM P. Souˇ cek ˇ ’astn´ Doc.MM A. St a Mgr.MM L. Studen´ a Dr.MM J. Kuˇ sn´ır Dr.MM P. N´ acovsk´ y Mgr.MM O. Hollmann Dr.MM A. Hruˇ skov´ a Mgr.MM V. Rozhoˇ n Bc.MM D. Tanglov´ a Dr.MM P. Vincena Bc.MM J. V´ aclavek Mgr.MM A. Teichmann Bc.MM V. Bartovic Mgr.MM L. Langerov´ a Bc.MM T. Paliesek Bc.MM V. Konˇ cick´ y Bc.MM J. Havelka Mgr.MM K. Ilievov´ a Mgr.MM J. Dittrich Dr.MM F. Homza J. Liˇ ska Bc.MM K. Kol´ aˇ r Mgr.MM L. Anh Dung Z. Svobodov´ a T. Fiala J. Noskov´ a ˇ A. Sedov´ a Bc.MM V. V´ aclav´ık R. Hlavinka E. Klimentov´ a J. Pokorn´ y Mgr.MM M. Poljak Mgr.MM V. Skoup´ y J. Stanovsk´ y D. Dimitrov ˇ ara J. Skv´ Bc.MM Z. Garˇ cic V. Hruˇ ska Doc.MM J. Kadlec ˇ Bc.MM M. Safek Bc.MM J. Kol´ aˇ r F. Zaj´ıc Mgr.MM J. Cerman M. Kubeˇ sa Bc.MM D. Mach´ aˇ cov´ a M. M¨ uller
R. 1. 1. 3. 4. 2. 4. 4. 3. 3. 4. 4. 3. 1. 3. 2. 4. 2. 3. 2. 3. 1. 3. 2. 4. 2. 2. 4. 2. 3. 4. 2. 4. 2. 4. 2. 2. 4. 2. 3. 3. 3. 2. 3. 3. 3. 1. 2. 2. 4. 4.
P
−1
75 58 140 123 65 141 34 71 63 21 77 21 19 74 15 23 13 49 13 12 11 22 22 95 8 10 27 6 5 5 5 13 4 4 4 38 46 4 3 6 12 2 100 14 11 1 33 0 16 0
´ Ulohy r1 r2 r3 r4 t1 t2 t3 t5 t9 6 4 8 1 10 2 3 4 14 4 3 2 3 8
1
4 2
2 0
2
1
1
2
4
4
4
P
0
18 13 7 14 4 16 0 6 1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
P
1
75 58 57 56 54 52 34 30 26 21 21 21 19 16 15 14 13 13 13 12 11 11 10 8 8 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0
42
V´ysledkov´a listina 6. ˇc´ısla Poˇ r. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.–11. 12.–14.
15. 16. 17. 18.–20.
21.–22. 23.–24. 25.–26. 27.–28. 29. 30.–34.
35.–40.
41.–42. 43.–45.
46. 47.–50.
Jm´ eno Dr.MM A. K. Lesna Dr.MM D. Krasula Doc.MM M. Cal´ abkov´ a ˇ ’astn´ Doc.MM A. St a Doc.MM M. Lieskovsk´ y Dr.MM P. Souˇ cek Mgr.MM L. Studen´ a Dr.MM J. Kuˇ sn´ır Dr.MM P. N´ acovsk´ y Mgr.MM V. Konˇ cick´ y Dr.MM P. Vincena Mgr.MM O. Hollmann Dr.MM A. Hruˇ skov´ a Mgr.MM V. Rozhoˇ n Bc.MM D. Tanglov´ a Bc.MM J. V´ aclavek Mgr.MM A. Teichmann Bc.MM V. Bartovic Mgr.MM L. Langerov´ a Bc.MM T. Paliesek Bc.MM J. Havelka Mgr.MM K. Ilievov´ a Mgr.MM J. Dittrich Bc.MM Z. Svobodov´ a Dr.MM F. Homza J. Liˇ ska Bc.MM K. Kol´ aˇ r ˇ ara Bc.MM J. Skv´ Mgr.MM L. Anh Dung T. Fiala J. Noskov´ a J. Pokorn´ y ˇ A. Sedov´ a Bc.MM V. V´ aclav´ık R. Hlavinka E. Klimentov´ a Bc.MM J. Kol´ aˇ r Mgr.MM M. Poljak Mgr.MM V. Skoup´ y J. Stanovsk´ y D. Dimitrov ˇ Bc.MM M. Safek Bc.MM Z. Garˇ cic V. Hruˇ ska Doc.MM J. Kadlec F. Zaj´ıc Mgr.MM J. Cerman M. Kubeˇ sa Bc.MM D. Mach´ aˇ cov´ a M. M¨ uller
R. 1. 1. 3. 4. 4. 2. 4. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 3. 1. 2. 4. 2. 3. 2. 1. 3. 2. 2. 4. 2. 2. 3. 4. 3. 4. 2. 2. 4. 2. 4. 3. 2. 4. 2. 3. 3. 3. 2. 3. 1. 2. 2. 4. 4.
P
−1
96 80 151 154 123 65 34 73 63 23 81 21 77 21 19 15 23 13 49 13 11 22 22 10 95 8 10 10 27 5 5 5 5 13 4 4 14 38 46 4 3 15 12 2 100 1 33 0 16 0
´ Ulohy r1 r2 r3 r4 t1 t2 t4 t5 t9 4 2 0 1 13 6 8 4 5 4 1 6 2 1 10
1
4
1
2
1 1
10
0 4
3
1
1
0
1
0
3
P
0
38 5 11 13 0 0 0 2 0 11 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
P
1
96 80 68 65 56 54 34 32 26 23 23 21 21 21 19 15 14 13 13 13 11 11 10 10 8 8 7 7 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 3 3 2 2 2 1 0 0 0 0
XX/7-8
43
V´ysledkov´a listina XX. roˇcn´ıku Poˇ r. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.–11. 12.–14.
15. 16. 17. 18.–20.
21.–22. 23.–24. 25.–26. 27.–28. 29. 30.–34.
35.–40.
Jm´ eno
R.
Dr.MM A. K. Lesna Dr.MM D. Krasula Doc.MM M. Cal´ abkov´ a ˇ ’astn´ Doc.MM A. St a Doc.MM M. Lieskovsk´ y MM Dr. P. Souˇcek Mgr.MM L. Studen´ a Dr.MM J. Kuˇsn´ır Dr.MM P. N´ acovsk´ y MM Mgr. V. Konˇcick´ y Dr.MM P. Vincena Mgr.MM O. Hollmann Dr.MM A. Hruˇskov´ a Mgr.MM V. Rozhoˇ n Bc.MM D. Tanglov´ a Bc.MM J. V´ aclavek Mgr.MM A. Teichmann Bc.MM V. Bartovic Mgr.MM L. Langerov´ a MM Bc. T. Paliesek Bc.MM J. Havelka Mgr.MM K. Ilievov´ a Mgr.MM J. Dittrich Bc.MM Z. Svobodov´ a Dr.MM F. Homza J. Liˇska Bc.MM K. Kol´ aˇr ˇ ara Bc.MM J. Skv´ Mgr.MM L. Anh Dung T. Fiala J. Noskov´ a J. Pokorn´ y ˇ A. Sedov´ a MM Bc. V. V´ aclav´ık R. Hlavinka E. Klimentov´ a
1. 1. 3. 4. 4. 2. 4. 3. 3. 3. 3. 4. 4. 3. 1. 2. 4. 2. 3. 2. 1. 3. 2. 2. 4. 2. 2. 3. 4. 3. 4. 2. 2. 4. 2. 4.
P
−1
96 80 151 154 123 65 34 73 63 23 81 21 77 21 19 15 23 13 49 13 11 22 22 10 95 8 10 10 27 5 5 5 5 13 4 4
ˇ ıslo C´ 1 2 3 4 5 6 8 27 20 14 16 18 16 8 13 0 3 17 3 21 6 6 9 11 6 7 6 1 2 0 3 5 3 3 0 0 5 0 5 1 4 0
9 17 16 8 10 7 8 4 7 9 2 4 5 0 3 4 0 1 0 2 5 0 0 4 5 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4
9 10 3 9 0 16 5 8 3 1 0 0 6 0 3 0 2 1 3 4 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 3 11 5 16 9 5 4 2 2 5 0 7 0 1 5 3 0 4 0 0 10 2 1 0 0 2 0 6 5 0 0 0 0 0 0
13 18 7 16 14 4 0 6 1 0 6 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0
38 5 11 13 0 0 0 2 0 11 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 1 0 0 0 0
P
1
96 80 68 65 56 54 34 32 26 23 23 21 21 21 19 15 14 13 13 13 11 11 10 10 8 8 7 7 6 5 5 5 5 5 4 4
44 Poˇ r.
Jm´ eno MM
41.–42. 43.–45.
46. 47.–50.
Bc. J. Kol´ aˇr Mgr.MM M. Poljak Mgr.MM V. Skoup´ y J. Stanovsk´ y D. Dimitrov ˇ Bc.MM M. Safek MM Bc. Z. Garˇcic V. Hruˇska Doc.MM J. Kadlec F. Zaj´ıc Mgr.MM J. Cerman M. Kubeˇsa Bc.MM D. Mach´ aˇcov´ a M. M¨ uller
R. 3. 2. 4. 2. 3. 3. 3. 2. 3. 1. 2. 2. 4. 4.
P
−1
14 38 46 4 3 15 12 2 100 1 33 0 16 0
ˇ ıslo C´ 1 2 3 4 5 6 0 4 2 4 3 2 0 0 2 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P
3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
P
1
4 4 4 4 3 3 2 2 2 1 0 0 0 0
P Sloupeˇcek −1 jePsouˇcet vˇsech bod˚ u z´ıskan´ ych v naˇsem semin´ aˇri, 0 je souˇcet bod˚ u u v tomto roˇcn´ıku. Tituly uveden´e v pˇredchoz´ım v aktu´ aln´ı s´erii a 1 souˇcet vˇsech bod˚ textu slouˇz´ı pouze pro u ´ˇcely M&M
S obsahem ˇcasopisu M&M je moˇzn´e nakl´ adat dle licence Creative Commons Attribution 3.0. D´ılo sm´ıte ˇs´ıˇrit a upravovat. M´ ate povinnost uv´est autora. Autory text˚ u jsou, pokud nen´ı uvedeno jinak, organiz´ atoˇri M&M.
Adresa redakce: M&M, OVVP, UK MFF Ke Karlovu 3 121 16 Praha 2 E-mail:
[email protected] WWW: http://mam.mff.cuni.cz ˇ Casopis M&M je zastˇreˇsen Oddˇelen´ım pro vnˇejˇs´ı vztahy a propagaci Univerzity Karlovy, Matematicko-fyzik´ aln´ı fakulty a vyd´ av´ an za podpory stˇredoˇcesk´e poboˇcky Jednoty ˇcesk´ ych matematik˚ u a fyzik˚ u.
