Sterstructuur en sterevolutie Conny Aerts Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Wetenschappen Eerste Licentie
1
2
Inhoudsopgave Ten geleide 1
2
9
Observationele omkadering van sterevolutie
11
1.1
Magnituden en kleurindices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2
Het Hertzsprung-Russell diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3
Inhoud van de cursus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling 2.1
2.2
21
Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1
Thermodynamisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2
De eerste wet van de thermodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3
De entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4
De soortelijke warmten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Het ideaal gas met straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1
Het klassiek ideaal gas in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2
Het gemiddeld moleculair gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3
De inwendige energie van een ideaal gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3
2.2.4 3
De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven 3.1
5
35
Co¨ordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1
Euleriaanse beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2
Lagrangiaanse beschrijving
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2
De vergelijking van Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3
Behoud van hoeveelheid van beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4
4
De bijdrage van het fotonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1
Hydrostatisch evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2
Eenvoudige oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3
De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie
3.3.4
Veralgemening naar een niet-sferische configuratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . 41
Behoud van energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.4.1
Het viriaaltheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2
Energiebehoud in sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3
De verschillende tijdschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Additionele relevante toestandsfuncties
51
4.1
Polytropen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2
Het ontaard elektronengas
4.3
De limietmassa van Chandrasekhar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Energietransport 5.1
63
Transport door straling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4
7
Gemiddelde vrije weglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.2
De temperatuursgradi¨ent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3
De diffusiebenadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.4
Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2
Transport door conductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3
Stabiliteitsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 6
5.1.1
5.3.1
Dynamische instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2
Vibrationele instabiliteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Transport door convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
De chemische samenstelling van de materie
83
6.1
De relatieve massa abondanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2
Variaties van de chemische samenstelling in de tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2.1
Variatie door kernreacties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2.2
Variatie ten gevolge van convectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3
Werkzame doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.4
Verbrandingsmechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4.1
Basisbegrippen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4.2
Waterstofverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.3
Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.4
Verbranding van de zwaardere elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Bepaling van de sterstructuur
99
5
7.1
Het volledige stel basisvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.2
Tijdschalen en vereenvoudigingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.3
Randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.4 8
9
7.3.1
Centrale randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.3.2
Randvoorwaarden voor het oppervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Een numerieke oplossingsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Stervorming
115
8.1
Het interstellair medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2
Het Jeanscriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.3
Fragmentatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4
De vorming van een protoster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.5
Het Hayashispoor in het HR diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.6
Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
De hoofdreeks
131
9.1
De nulhoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2
De massa-lichtkracht relatie
9.3
Chemische evolutie op de hoofdreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10 Evolutie van een massieve ster
143
10.1 De “Hertzsprung gap” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 10.2 Heliumverbranding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.3 Latere evolutiefasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6
10.4 Verbrandingscycli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.6 Neutronensterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.6.1 Supernova explosie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.6.2 De neutrinoflux en het r-proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.6.3 Pulsars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 10.7 Zwarte gaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11 Evolutie van een ster met lage massa
159
11.1 Post-hoofdreeks evolutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.2 De heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.3 Evolutie na de heliumflits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 11.4 AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.5 Thermische pulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.6 Het s-proces in AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.7 Post-AGB sterren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.8 Witte dwergen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 A Waarden van fysische en astronomische constanten
173
B Aanbevolen literatuur
175
7
8
Ten geleide De studie van de sterstructuur en van sterevolutie speelt een sleutelrol in de moderne astrofysica. Zo steunen de bepalingen van afstanden en leeftijden van sterren, welke nodig zijn om de structuur en evolutie van de melkweg te begrijpen, op berekeningen van sterevolutiemodellen. Nog een ander voorbeeld is het ontrafelen van de chemische geschiedenis van het Heelal en van onszelf: de synthese van zo goed als alle chemische elementen gebeurt binnenin de sterren en vereist dat we de inwendige processen goed begrijpen. De berekeningen van sterevolutiemodellen steunen op kennis van de fysische eigenschappen van de materie in sterren. Door de berekende modellen te confronteren met de waarnemingen zijn we in staat om de gebruikte fysica te toetsen. Dit is vaak de enige toetsing die mogelijk is, omdat de toestand in sterinwendigen zodanig extreme vormen aanneemt wat dichtheid en druk betreft, dat het onmogelijk is om laboratoriumtesten uit te voeren onder deze omstandigheden. De structuur en evolutie van sterren worden vooral bepaald door de microscopische eigenschappen van het stermateriaal, meer bepaald de toestandsvergelijking van de materie, het energietransport en de kernreacties. De toestandsvergelijking bepaalt relaties tussen de verschillende thermodynamische eigenschappen zoals de temperatuur, de dichtheid en de druk van het gas waaruit de ster bestaat. Deze toestandsvergelijking is voor het sterinwendige uiterst eenvoudig vermits de hoge temperaturen welke daar heersen impliceren dat de materie er veelal volledig ge¨ıoniseerd is. Er treden echter complicaties op, bijvoorbeeld omdat het stergas nog slechts partieel ge¨ıoniseerd is in de lagen nabij het steroppervlak. Hierdoor dienen we rekening te houden met de ionisatiegraad in deze regionen. Deze ionisatiegraad hangt af van de interactie tussen de verschillende gascomponenten. In de steratmosferen van koele sterren treden moleculen op, welke de toestandsvergelijking be¨ınvloeden. Anderzijds loopt de temperatuur in de kern van ge¨evolueerde massieve sterren zodanig hoog op dat energieverlies door de productie van neutrino’s in rekening dient gebracht te worden. Eveneens kan de dichtheid zodanig oplopen dat de eigenschappen van het gas gedomineerd zullen worden door ontaarde elektronen. Een zeer gedetailleerde beschrijving van de fysische toestand van sterinwendigen geeft nog steeds aanleiding tot een aantal uiterst moeilijke onopgeloste problemen. Gelukkig is het mogelijk om een goede basis van de theorie van sterstructuur en sterevolutie onder de knie te krijgen zonder op zulke details te moeten ingaan. De hier behandelde theorie is elegant, heeft een indrukwekkende sterkte en combineert vele takken van de wis-, natuur- en scheikunde. Bovendien is deze theorie in staat om te voorspellen hoe de complexe interne sterstructuur verandert tijdens het leven van de ster en wat het ultieme levenseinde van de ster zal zijn: een witte dwerg, een neutronenster of een zwart gat.
9
10
Hoofdstuk 1
Observationele omkadering van sterevolutie Alvorens het diagram te schetsen aan de hand waarvan de levensloop van de sterren bestudeerd wordt, herhalen we eerst enkele begrippen die verband houden met de hoeveelheid energie die de sterren uitstralen en die reeds uitvoerig aan bod kwamen in de inleidende cursus Sterrenkunde gegeven in de 2de kandidatuur Wis- en Natuurkunde. Voor de meeste studenten bevat dit hoofdstuk dus enkel een herhaling van reeds verworven kennis, en kan meteen overgegaan worden tot Sectie 1.3. Studenten met minder voorkennis worden aangeraden de nota’s van de cursus “Kosmografie” gedoceerd in de opleidingsrichting Geografie, door te nemen aangezien de volgende twee secties slechts een heel summiere samenvatting vormen van het kader waarin sterevolutie geschetst wordt.
1.1 Magnituden en kleurindices Een systeem van magnituden is een logaritmische schaal verbonden met de hoeveelheid stralingsenergie die van een sterrenkundige bron ontvangen wordt. Wanneer we twee bronnen beschouwen dan wordt het verschil in magnitude van bron 2 t.o.v. die van bron 1 gegeven door m2 − m1 = −2.5 log
S2 , S1
(1.1)
waarbij S de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie per eenheid van tijd is. Uit deze betrekking leiden we af dat, indien we van bron 2 meer energie ontvangen dan van bron 1, de magnitude van bron 2 kleiner is dan de magnitude van bron 1. Het invoeren van de magnitude stamt af van de griekse sterrenkundige Hipparchos. In de 2de eeuw voor Christus heeft Hipparchos alle sterren die voor hem zichtbaar waren met het blote oog ingedeeld in zes klassen, waarbij hij de helderste sterren klasse 1 toekende en de zwakste sterren klasse 6. Pas vorige eeuw heeft men dan de meer wiskundige definitie (1.1) ingevoerd en ervoor gezorgd dat deze zo goed als mogelijk aansloot bij de classificatie van Hipparchos. Hiervoor diende men het nulpunt van de magnitudeschaal op 11
een welbepaalde manier vast te leggen. Herschrijven we (1.1) als m = (m1 + 2.5 log S1 ) − 2.5 log S = C − 2.5 log S,
(1.2)
dan komt het vastleggen van de constante C neer op het bepalen van het nulpunt van de magnitudeschaal. Een ander aspect dat van belang is, is het golflengtegebied waarop het magnitudesysteem betrekking heeft. Een eerste extreme mogelijkheid is de bolometrische magnitude, welke betrekking heeft op alle golflengten van het elektromagnetisch spectrum. Anderzijds is er de andere extreme mogelijkheid van monochromatische magnitude waarbij men de magnitude bij slechts e´ e´ n bepaalde golflengte beschouwt. In de praktijk gebruiken we noch bolometrische noch monochromatische magnituden, maar magnituden die betrekking hebben op een beperkt gebied van golflengten. Dit gebied moet dan worden gespecifieerd. De hoeveelheid ontvangen stralingsenergie S die optreedt in definitie (1.2) kan als volgt omschreven worden. Definieer Sλ als de hoeveelheid stralingsenergie die een waarnemer ontvangt bij golflengte λ in het continu¨um. Een fractie ηλ van de straling wordt opgeslorpt door de absorptielijnen. Stel de gevoeligheid en de effici¨entie van het meettoestel om de stralingsenergie te meten voor door de functie ϕ(λ). De functies ηλ en ϕ(λ) nemen waarden aan van 0 tot 1. We kunnen dan de hoeveelheid ontvangen stralingsenergie voorstellen als Z ∞ Sλ (1 − ηλ )ϕ(λ)dλ. (1.3) S= 0
Als standaardsysteem voor het bepalen van magnituden gebruikt men het door Johnson en Morgan ontwikkelde U BV systeem. Het verloop van de functies ϕ U (λ), ϕB (λ), ϕV (λ) wordt bepaald door de gebruikte golflengtefilters. De functies hebben een maximum bij respectievelijk de golflengten 365, 440 en 548 nm. De definitie voor de visuele magnitude kan nu als volgt voluit geschreven worden: mV = CV − 2.5 log
Z
∞ 0
Sλ (1 − ηλ )ϕV (λ)dλ,
(1.4)
waarbij de constante CV zo bepaald wordt dat de visuele magnitude zo goed mogelijk aansluit met de magnitudeklassen ingevoerd door Hipparchos. Analoog aan (1.4) kan men de U − en B−magnituden defini¨eren. Wanneer de magnituden gecorrigeerd zijn voor interstellaire absorptie en extinctie ten gevolge van de dampkring van de aarde, dan wordt de magnitude bepaald door de hoeveelheid stralingsenergie die een bron per tijdseenheid uitzendt en de afstand van de bron tot de waarnemer. Om de invloed van de verschillen in afstand uit te schakelen plaats men de bronnen fictief op een gelijke afstand van de zon. Wanneer de bronnen zich op gelijke afstand bevinden zijn de verschillen in magnitude namelijk enkel bepaald door verschillen in de hoeveelheid stralingsenergie. Deze redenering ligt aan de basis van het invoeren van een absolute magnitudeschaal. Voor een bolvormige ster kan het product S λ (1 − ηλ ) in (1.2) als volgt verbinden met de buitenwaartse stralingsflux Fλ+ : 4πR2 Fλ+ = 4πd2 Sλ (1 − ηλ ), (1.5) waarbij d de afstand van de waarnemer voorstelt en R de sterstraal. Aldus hebben we Sλ (1 − ηλ ) = 12
R d
2
Fλ+ .
(1.6)
De uitdrukking voor wat we vanaf nu de schijnbare magnitude noemen wordt dan m = C − 2.5 log
"
R d
2 Z
∞ 0
Fλ+ ϕ(λ)dλ
#
.
(1.7)
De schijnbare magnitude wordt dus niet alleen bepaald door de hoeveelheid uitgestraalde energie maar evenzeer door de afstand van de ster tot de waarnemer. We voeren nu de absolute magnitude M van een ster in. Dit is de schijnbare magnitude die de ster zou hebben indien ze zich op een afstand van 10 parsec van de zon zou bevinden. Het verschil tussen de absolute en schijnbare magnitude is dan 10pc 2 M − m = 2.5 log . (1.8) d Dit kunnen we ook schrijven als
M = m + 5 − 5 log dpc ,
(1.9)
waarbij dpc de afstand in parsec voorstelt. Het verschil m − M noemt men de afstandsmodulus. Tenslotte voeren we het begrip kleurindex in. Kleurindices van sterren zijn verschillen tussen magnituden van dezelfde ster. Met de drie magnituden U, B, V worden twee veel gebruikte kleurindices geconstrueerd: U − B en B − V . Door betrekking (1.9) toe te passen op twee verschillende magnituden van eenzelfde ster en lid aan lid af te trekken bekomen we M2 − M 1 = m 2 − m 1 .
(1.10)
Het verschil in schijnbare magnitude is een grootheid die gemakkelijk kan gemeten worden. De kleurindices zijn zodoende een maat voor een intrinsieke eigenschap van de ster. De index B − V is een goede maat voor de oppervlaktetemperatuur van de ster.
1.2 Het Hertzsprung-Russell diagram Het Hertzsprung-Russell diagram (HR diagram, genoemd naar de Amerikaanse astronoom Henry Russel en de Deense astronoom Enjar Hertzsprung) geeft een belangrijke statistische relatie voor sterren in de vorm van een diagram. Het diagram wordt aanzien als de weergave van de evolutie van de sterren. Het diagram is daarom het basiskader voor de bespreking van sterevolutie. Een schematische voorstelling van het HR diagram wordt gegeven in figuur 1.1. Russell bestudeerde voor het eerst de relatie tussen het spectraal type en de absolute magnitude M V van de sterren. Hij deed dit door een figuur te construeren waarin hij de absolute magnitude uitzette t.o.v. het spectraal type. Anderzijds merkte Hertzsprung een onderscheid op tussen dwergsterren en reuzensterren voor late spectrale types. Het spectraal type van een ster is nauw verbonden met de temperatuur van de ster en werd ingevoerd aan de hand van de kenmerken die men waarnam in de spectra van de sterren. Men heeft een indeling gemaakt in ruwweg 7 klassen: O-B-A-F-G-K-M, waarbij O sterren een temperatuur hebben 13
Figuur 1.1: Schematische voorstelling van het HR diagram, waarin de absolute visuele magnitude M V wordt uitgezet t.o.v. de kleurindex B − V . De posities van de hoofdreeks, de rode reuzen, de superreuzen en de witte dwergen zijn aangeduid. De Zon is een hoofdreeksster van spectraal type G 2.
14
boven 25 000 K en M sterren een temperatuur beneden 3 500 K. Voor een meer gedetailleerde beschrijving van de spectrale classificatie verwijzen we naar de cursus Sterrenkunde gedoceerd in de tweede kandidatuur. Vaak wordt de kleurindex B − V in abscis uitgezet in plaats van het spectraal type. Men spreekt daarom soms ook van het kleur-helderheidsdiagram (zie figuur 1.1). Het gebruik van de kleurindex heeft het voordeel dat deze observabele op een continue manier varieert in tegenstelling tot het spectraal type. Bovendien kan men op die manier veel zwakkere sterren in het diagram plaatsen, vermits men fotometrisch veel zwakkere sterren kan waarnemen dan spectroscopisch. Beschouwen we nu het schematische HR diagram getoond in figuur 1.1. We bemerken dat de sterren niet willekeurig verspreid zijn in het diagram. Bepaalde combinaties van kleurindex en absolute visuele magnitude komen veel frequenter voor dan andere. De grote meerderheid van de sterren behoort tot e´ e´ n van de volgende drie groepen: de hoofdreeks, de groep van rode reuzen en superreuzen, de groep van witte dwergen. De meeste sterren behoren tot de hoofdreeks, die zich uitstrekt van sterren met negatieve absolute visuele magnitude en lage kleurindex (blauwe superreuzen) tot sterren met grote absolute visuele magnitude en hoge kleurindex (rode dwergen). Zoals aangeduid op de figuur merken we dat de zon een hoofdreeksster is. Zij heeft spectraal type G 2 en een absolute visuele magnitude MV = 4.79. Vermits de absolute magnitude van een ster slechts gekend is als de visuele magnitude e´ n de afstand ervan gekend zijn, is het bepalen van nauwkeurige afstanden belangrijk om de posities van de sterren in het HR diagram te kunnen afleiden. De satellietmissie HIPPARCOS van de Europese ruimte-organisatie ESA heeft tussen 1989 en 1992 voor zo’n 120 000 sterren in de omgeving van de zon nauwkeurige parallaxen (en dus afstanden) bepaald. Hierdoor hebben de leden van het HIPPARCOS consortium een bijzonder nauwkeurig observationeel HR diagram kunnen opstellen voor de omgeving van de zon. Wanneer we alle sterren gemeten door HIPPARCOS met een relatieve precisie op de parallax beneden 10% beschouwen, bekomen we het HR diagram getoond in het linkerpaneel van figuur 1.2, wat 8784 sterren bevat. Voor sterren waarvan de parallax een relatieve precisie tussen 10 en 20% heeft verkrijgen we het rechtse paneel, waarin zich 11125 sterren bevinden. In figuur 1.2 valt onmiddellijk een welbepaalde verdeling van de sterren op. De hoofdreeks en de groep van rode reuzen springt in het oog. HIPPARCOS was niet in staat om de parallaxen van groot aantal witte dwergen nauwkeurig te meten. Vandaar dat deze derde groep sterren niet opvalt in het observationeel HIPPARCOS HR diagram. Een derde vorm van het HR diagram wordt vooral voor theoretische overwegingen gebruikt. Men zet dan de logaritme van de lichtkracht uit t.o.v. de effectieve temperatuur van de ster. In abscis doet men dan de temperatuur toenemen van rechts naar links, terwijl de logaritme van de lichtkracht toeneemt van onder naar boven. De effectieve temperatuur van een bolsymmetrische ster wordt gedefinieerd door een ster met straal R en lichtkracht L te vergelijken met een bolvormige zwarte straler die een straal heeft gelijk aan R. De normale stralingsflux van een zwarte straler naar buiten toe wordt gegeven door de wet van StefanBoltzmann: FR+ = σT 4 met σ een constante gedefinieerd als 2π 5 k 4 /15c2 h3 . De effectieve temperatuur Teff 4 . van de ster is dan de temperatuur van de zwarte straler waarvoor L = 4πR 2 σTeff
15
Figuur 1.2: Observationele HR diagrammen geconstrueerd aan de hand van metingen uitgevoerd door de satelliet HIPPARCOS. In de linkse paneel zijn alle sterren weergegeven, waarvan de parallax met een relatieve nauwkeurigheid kleiner dan 10% kon bepaald worden. Het rechtse paneel bevat de sterren waarvan de parallax met een relatieve nauwkeurigheid tussen 10 en 20% gemeten werd.
16
Figuur 1.3: Het theoretisch HR diagram voor sterren met een initi¨ele massa tot 15 M . De levensloop van de sterren is aangeduid door de evolutiesporen. Het doel van de cursus is om dit diagram te begrijpen.
17
1.3 Inhoud van de cursus Het theoretisch HR diagram wordt getoond in figuur 1.3. In abscis staat zowel de effectieve temperatuur als het spectraal type uitgezet en in ordinaat vinden we de logaritme van de lichtkracht en de overeenkomstige bolometrische magnitude. De evolutiesporen voor sterren van verschillende massa zijn aangeduid. Het doel van deze cursus is om de positie van de sterren en de evolutiesporen ervan, zoals aangeduid in figuur 1.3, te begrijpen. Hiertoe dienen we eerst wat dieper in te gaan op de inwendige structuur van sterren, wat het onderwerp is van deel I van deze cursus. Eens we de basisbegrippen die de sterstructuur beschrijven, behandeld hebben, zijn we in staat om de levensloop van een ster, weergegeven door de evolutiesporen in figuur 1.3, te bestuderen zoals gebeurt in deel II.
Op het world wide web zijn vele illustraties, foto’s en verklarende teksten te vinden van sterren in verschillende evolutiestadia. Deze illustraties verliezen veel van hun kwaliteit indien ze gecopieerd worden. Ik verwijs de lezer daarom naar het internet om deze illustraties op te zoeken en hun pracht te bewonderen. Enkele aanraders kan men vinden op : • http://hubblesite.org/gallery/showcase/text.shtml • http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ • http://imagelib.ncsa.uiuc.edu/ • http://www.vilspa.esa.es/astroweb/yp − pictures.html
18
DEEL I : STERSTRUCTUUR
19
Hoofdstuk 2
Een eenvoudige toestandsfunctie: het ideaal gas met straling De beschrijving van de sterstructuur vereist de kennis over de eigenschappen van het stermateriaal. Dit hoofdstuk handelt over de thermodynamische eigenschappen van het stergas. De centrale onderstelling die we maken is dat in elk punt in de ster het gas zich in een toestand van thermodynamisch evenwicht bevindt. Het gevolg hiervan is dat we geen rekening hoeven te houden met de gedetailleerde reacties tussen de deeltjes, zoals de atomen, elektronen, ionen, fotonen, . . . welke de bouwstenen zijn van het gas. De gemiddelde eigenschappen van het gas kunnen hierdoor beschreven worden in termen van lokale toestandsvariabelen en de relaties tussen hen. Hierdoor zal het, bij gegeven temperatuur, dichtheid en chemische samenstelling, mogelijk zijn om alle andere toestandsvariabelen, zoals de druk en de inwendige energie, te bepalen. Het specifi¨eren van deze relaties omschrijft men als het bepalen van de toestandsfunctie van het gas. In dit hoofdstuk bespreken we e´ e´ n voorbeeld van een toestandsfunctie die bijzonder relevant is voor sterren. Andere realistische toestandsfuncties komen aan bod in Hoofdstuk 4. We halen nu eerst enkele basisbegrippen en basisrelaties van thermodynamica aan.
2.1 Inleiding tot de thermodynamica, toegepast op sterren De verandering van de toestand van het gas waaruit de ster is opgebouwd speelt een belangrijke rol tijdens de evolutie van de ster. De basisvergelijking die de verandering van de eigenschappen van het gas omschrijft is de eerste wet van de thermodynamica. We vatten nu de begrippen van de thermodynamica, die van belang zijn bij de bepaling van de inwendige structuur van sterren, samen.
21
2.1.1 Thermodynamisch evenwicht De klassieke thermodynamica heeft betrekking op systemen die een e´ e´ nvormige temperatuur en scheikundige samenstelling hebben en die in mechanisch en thermodynamisch evenwich zijn. Deze voorwaarden zijn over het algemeen niet voldaan in sterren. Onder mechanisch evenwicht verstaan we een toestand waarbij in elk punt de drukkracht gecompenseerd wordt door de som van alle agerende krachten. In de sterrenkunde spreken we in dit geval van hydrostatisch evenwicht. We beschouwen nu een volume bestaande uit straling en materie dat adiabatisch ingesloten is. Dit betekent dat er geen uitwisseling van energie mogelijk is met de omgeving. Wanneer naast mechanisch evenwicht een e´ e´ nvormige temperatuur in het volume heerst, spreken we van mechanisch en thermisch evenwicht. In het algemeen bestaat het systeem uit reagerende elementen waarvan de concentratie kan veranderen in de loop van de tijd door het optreden van scheikundige reacties. Wanneer de dichtheid en de temperatuur constant blijven, streven de relatieve concentraties van de deeltjes naar een evenwichtswaarde. Men spreekt in dat geval van scheikundig evenwicht. Wanneer zowel scheikundig als thermisch evenwicht bereikt is, ondergaat het systeem geen veranderingen meer. Men spreekt dan van thermodynamisch evenwicht. Alhoewel de klassieke thermodynamica niet strikt geldig is in sterren, kan ze toch gebruikt worden voor de beschrijving van de sterstructuur. De reden is dat de ster kan opgedeeld worden in een groot aantal lagen, die elk dun genoeg genomen worden opdat voldaan is aan de eigenschappen van evenwicht in de zin van de klassieke thermodynamica. Men spreekt in de sterrenkunde in dit geval van een toestand van lokaal thermodynamisch evenwicht, of LTE. Indien LTE een goede benadering is, dan zijn de basiswetten van de klassieke thermodynamica van toepassing in elke sterlaag, ondanks het feit dat de ster in haar geheel niet in thermodynamisch evenwicht is.
2.1.2 De eerste wet van de thermodynamica We beschouwen de arbeid die verbonden is met een volumeverandering van een systeem. Stel P gelijk aan de druk aan het oppervlak van het systeem. Het systeem ondergaat nu een oppervlaktevariatie. De arbeid verricht door de druk op een eenheidsoppervlak bedraagt dW = P dV . In de sterrenkunde gebruikt men de arbeid per eenheid van massa w, door invoering van het soortelijk volume v = 1/ρ. v is met andere woorden het volume ingenomen door e´ e´ n eenheidsmassa. We bekomen dan dw = P dv. We beschouwen nu een infinitesimale thermodynamische transformatie van het systeem. Hiermee bedoelen we een infinitesimale variatie van de druk, de dichtheid en de temperatuur. Definieer dq als de hoeveelheid warmte die per eenheidsmassa opgeslorpt wordt door het systeem en dw de arbeid verricht per eenheidsmassa door het systeem. De eerste wet van de thermodynamica stelt dat de differentiaal du ≡ dq − dw een totale differentiaal is. De eerste wet laat bijgevolg toe een functie u te defini¨eren, die we de 22
inwendige energie per eenheidsmassa van het systeem noemen. De inwendige energie van het systeem kan bijgevolg gewijzigd worden door arbeid te verrichten of door warmtetoevoer of -afvoer. Anders geformuleerd geeft de eerste wet van de thermodynamica het verband tussen de toegevoegde warmte dq, de inwendige energie u en het specifiek volume v = 1/ρ (elk gedefinieerd per eenheidsmassa): dq = du + P dv.
(2.1)
Een adiabatisch proces is een proces dat zodanig plaatsgrijpt dat er geen warmte het systeem binnendringt of verlaat: dq = 0. Voor een adiabatisch proces is de verandering van de inwendige energie dus tegengesteld aan de arbeid verricht door het systeem. Wanneer dw negatief is, zoals bij een samendrukking, dan neemt de inwendige energie toe, wat meestal gepaard gaat met een temperatuurstoename. Anderzijds impliceert dw > 0 een afname van de inwendige energie, gepaard gaand met een temperatuursdaling. Wanneer een proces zoals samendrukking of uitzetting vlug verloopt zal het ongeveer adiabatisch zijn omdat de warmtetoevoer of -afname zeer traag verloopt. Wanneer bij een adiabatisch proces tevens geen arbeid geleverd wordt, dan verandert de inwendige energie van het systeem niet. Het is echter best mogelijk dat er zich wel wijzigingen in P, ρ, T voordoen.
2.1.3 De entropie Onderstel dat een systeem een opeenvolging van toestanden van thermodynamisch evenwicht doorloopt. Mens spreekt dan van een quasi-statische transformatie. Zulk een quasi-statische transformatie noemt men een reversibele transformatie wanneer er gedurende de transformatie geen energie verloren gaat door effecten zoals wrijving. Een reversibele transformatie kan bijgevolg doorlopen worden in twee tegengestelde richtingen. We laten nu het systeem een reversibele cyclus doorlopen, eerst in de ene richting, dan in de tegengestelde richting. We kennen dan een toestandsfunctie s toe aan het systeem, gegeven door ds ≡ dq/T . s noemt men de entropie van het systeem, en is tevens gedefinieerd per eenheidsmassa. Uit de eerst wet volgt dat ds ook een totale differentiaal is, gegeven door du/T + P/T dv. De entropie van een systeem is slechts gedefinieerd voor toestanden van thermodynamisch evenwicht. We kunnen bovendien uit de eerste wet slechts de variatie van de entropie bepalen. We benadrukken dat de betrekking du = T ds − P dv geen variatie in scheikundige samenstelling onderstelt.
2.1.4 De soortelijke warmten Vanuit wiskundig standpunt is het invoeren van algemene soortelijke warmten cα ≡
∂q ∂T
23
(2.2) α
zinvol. De betekenis van cα is de volgende: cα is de hoeveelheid warmte die een systeem moet opslorpen om de temperatuur e´ e´ n eenheid te doen stijgen. Vanuit fysisch standpunt werkt men slechts met twee soortelijke warmten: dq ∂u ∂v c ≡ = + P , P dT P ∂T P ∂T P (2.3) ∂u dq = . cv ≡ dT v ∂T v We zoeken nu een verband tussen cP en cv . Hiertoe beschouwen we algemene toestandsfuncties ρ = ρ(P, T ) en u = u(ρ, T ). In het algemeen hangen ρ en u ook af van de chemische samenstelling, maar die veronderstellen we hier constant. We defini¨eren vervolgens de afgeleiden: ∂ ln ρ P ∂v =− , α≡
∂ ln P
v ∂P T T ∂v = . v ∂T P
T
∂ ln ρ δ≡−
∂ ln T
P
(2.4)
De toestandsvergelijking kan dan geschreven worden als dP dT dρ =α −δ . ρ P T We gebruiken nu (2.1) en
∂u ∂v
∂u ∂v
du =
dv + T
∂u ∂T
(2.5)
(2.6)
dT v
om de verandering ds = dq/T van de specifieke entropie te bepalen: 1 dq = ds = T T
T
1 + P dv + T
∂u ∂T
dT.
(2.7)
v
Vermits ds een totale differentiaal is, geldt ∂ 2 s/∂T ∂v = ∂ 2 s/∂v∂T . We passen dit toe op de vorige vergelijking en bekomen zo ∂ 1 ∂u P 1 ∂2u + . (2.8) = ∂T T ∂v T T T ∂T ∂v
Na het uitvoeren van de differentiatie in het linkerlid bekomen we
∂u ∂v
=T T
∂P ∂T
v
− P.
(2.9)
Deze relatie wordt de reciprociteitsrelatie genoemd. Om cP − cv te bekomen leiden we vervolgens eerst een uitdrukking af voor (∂u/∂T ) P waarbij we P en T als onafhankelijk veranderlijken nemen. Uit (2.6) volgt dat du = dT
∂u ∂T
+ v
24
∂u ∂v
T
dv , dT
(2.10)
en zodoende
∂u ∂T
= P
∂u ∂T
+ v
∂u ∂v
T
∂v ∂T
= P
∂u ∂T
+ v
∂v ∂T
T
P
∂P ∂T
v
−P ,
(2.11)
waarbij we gebruik gemaakt hebben van (2.9). Dit laatste resultaat levert, samen met de definitie van de soortelijke warmten, volgend resultaat: cP − c v = T
∂v ∂T
P
∂P ∂T
(2.12)
. v
Anderzijds kunnen we uit de definitie van α en δ volgend resultaat afleiden:
∂P ∂T
v
= −
∂v ∂T ∂v ∂P
P =
Pδ . Tα
(2.13)
T
Gebruik makend van T (∂v/∂T )P = vδ = δ/ρ bekomen we tenslotte de basisrelatie cP − c v =
P δ2 . T ρα
(2.14)
We stellen vast dat het verschil van de soortelijke warmten volledig te bepalen is uit afgeleiden van de toestandsfunctie. We wensen nu de eerste wet van de thermodynamica om te vormen in termen van de variatie van de druk en temperatuur. We schrijven daartoe eerst dq = du + P dv =
∂u ∂T
dT + v
∂u ∂v
+ P dv. T
(2.15)
Gebruik makend van achtereenvolgens (2.9), de definitie van v en (2.13) vinden we dan dq =
∂u ∂T
dT + T v
∂P ∂T
v
dv = cv dT − T
∂P ∂T
v
P δ dρ 1 dρ = cv dT − , 2 ρ ρα ρ
(2.16)
wat op zijn beurt kan herschreven worden als
Pδ dP dT dq = cv dT − α −δ ρα P T We bekomen dan tenslotte, via (2.14)
P δ2 cv + T ρα
=
δ dq = cP dT − dP. ρ
!
δ dT − dP. ρ
(2.17)
(2.18)
Voor adiabatische transformaties blijft de entropie constant ds = dq/T = 0. We defini¨eren nu de adiabatische temperatuursgradi¨ent ∇ad als volgt : ∇ad ≡
∂ ln T ∂ ln P
25
, s
(2.19)
waarbij de benedenindex s aanduidt dat de definitie geldt voor constante entropie. Uit (2.18) leiden we af dat (dT /dP )s = δ/ρcP . Hieruit volgt een uitdrukking voor ∇ ad : ∇ad =
P dT T dP
= s
Pδ . T ρcP
(2.20)
∇ad omschrijft de temperatuursvariatie die de deeltjes in een massa-element van een systeem ondervinden wanneer dit element een drukvariatie ondergaat ten gevolge van adiabatische expansie, welke een expansie is waarbij geen warmte-uitwisseling met de omgeving optreedt. Wat er gebeurt is het volgende: massaelementen die diep in de ster verhit worden stijgen op omdat ze, door hun lagere dichtheid, lichter zijn dan diegenen in hun omgeving. Door dit opstijgen komen de massa-elementen in hogere lagen waar de dichtheid kleiner is en daardoor zetten ze uit. Door het uitzetten van de massa-elementen daalt de temperatuur van het gas. ∇ad geeft weer wat de waarde is van deze temperatuursvariatie. Zowel de druk als de temperatuur nemen af naar buiten toe. De waarde van de afname van de druk volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht (zie verder) en eens we die bepaald hebben kunnen we ∇ ad bepalen.
2.2 Het ideaal gas met straling 2.2.1 Het klassiek ideaal gas in sterren De onderstelling van thermodynamisch evenwicht onderstelt impliciet dat de condities in het gas niet merkelijk veranderen over een gemiddelde vrije weglengte en gedurende de gemiddelde tijd tussen twee botsingen van de gasdeeltjes. Hierbij bedoelen we met een gasdeeltje niet enkel de materiaaldeeltjes zoals de atomen of elektronen, maar evenzeer de fotonen. De voorwaarde van thermodynamisch evenwicht is zeer goed voldaan in sterinwendigen, waar de dichtheid groot is. Ze is niet meer geldig in the steratmosfeer. Een aanzienlijke vereenvoudiging ontstaat wanneer we de hoge temperaturen in de sterinwendigen in rekening brengen. Immers, in de meeste sterren kan het gas beschouwd worden als volledig ge¨ıoniseerd, m.a.w. enkel bestaande uit kernen en vrije elektronen zonder interne vrijheidsgraden welke niet met elkaar reageren. Zulk een gas noemt men een ideaal gas. De welgekende vorm van de ideale gaswet voor de gasdeeltjes van e´ e´ n bepaald type in een tank luidt : P V = N kT,
(2.21)
met P de druk in de tank, V het volume van de tank, N het aantal gasdeeltjes in de tank, T de temperatuur in de tank en k de constante van Boltzmann (zie Bijlage A), gegeven door R/N A met R de gasconstante en NA = 1/mu het getal van Avogadro. Omdat we in stermiddens moeilijk de hoeveelheid deeltjes in de tank kunnen specifi¨eren, verkiezen we om te werken met dichtheden. Wanneer we het aantal deeltjes per eenheid van volume voorstellen door n = N/V , dan kunnen we de ideale gaswet ook schrijven als P =n
R T = nmu RT. NA 26
(2.22)
We defini¨eren nu het moleculair gewicht µ als zijnde de deeltjesmassa uitgedrukt in m u (dimensieloze grootheid). De dichtheid van het stermateriaal is niets anders dan het product van het aantal deeltjes per eenheid van volume, met de massa van de deeltjes. We vinden zo de betrekking nm u = ρ/µ. Uiteindelijk bekomen we dan voor de ideale gaswet: R P = ρT, (2.23) µ welke de gebruikelijke vorm van de toestandsfunctie van een ideaal gas, bestaande uit e´ e´ n type deeltjes, is in de sterrenkunde.
2.2.2 Het gemiddeld moleculair gewicht In het sterinwendige nabij de sterkern is alle materie ge¨ıoniseerd. Dit wil zeggen dat er per waterstofatoom e´ e´ n vrij elektron is en voor elk helium atoom twee vrije elektronen. We hebben dus in werkelijkheid een gasmengsel bestaande uit twee type deeltjes, de ionen (die op hun beurt bestaan uit verschillende componenten - protonen en neutronen) en de vrije elektronen. Dit mengsel is opnieuw een ideaal gas indien elk van de twee componenten voldoet aan de ideale gaswet. De samenstelling van sterren is uiterst eenvoudig in vergelijking met diegene van materialen op aarde. Vanwege de hoge druk en temperatuur bestaat het sterinwendige bijna volledig uit ge¨ıoniseerde materie. In zulk een midden volstaat het om de verschillende typen kernen, die we voortaan deeltjes noemen, te beschrijven. Aan elk type deeltje kennen we een index i toe. Met X i duiden we de relatieve massa-abondantie van deeltjes van type i aan, d.w.z. de fractie van e´ e´ n eenheid van massa die bestaat uit deeltjes van type i. Hieruit volgt dat X Xi = 1. (2.24) i
De chemische toestand van het gasmengsel bestaande uit volledig ge¨ıoniseerde kernen en vrije elektronen wordt beschreven door alle Xi te specifi¨eren, welke een moleculair gewicht µ i en een lading Zi hebben. Voor ni deeltjes per volume met deeltjesdichtheid ρ i hebben we Xi = ρi /ρ en ni =
ρ Xi ρi = . µi mu m u µi
(2.25)
We verwaarlozen de massa van de elektronen t.o.v. de massa van de ionen (consulteer Bijlage A voor de massa van beiden). De totale druk P van het gasmengsel is de som van de parti¨ele drukken: P = Pe +
X
Pi = ne +
i
X i
!
ni kT,
(2.26)
waarbij Pe de druk is van de vrije elektronen, P i de parti¨ele druk is tengevolge van de deeltjes van type i en waarbij we gebruikten dat elk van de componenten een ideaal gas is. De bijdrage van e´ e´ n volledig
27
ge¨ıoniseerd atoom van type i tot het totaal aantal deeltjes (kern en Z i vrije elektronen) bedraagt 1 + Zi waaruit X X n = ne + ni = (1 + Zi )ni . (2.27) i
i
Deze uitdrukking geeft samen met (2.25) en (2.26) volgende nieuwe uitdrukking voor de totale druk P =R
X Xi (1 + Zi )
(2.28)
ρT.
µi
i
Dit resultaat kan in de eenvoudige vorm (2.23) gebracht worden wanneer we het gemiddeld moleculair gewicht ! X Xi (1 + Zi ) −1 µ≡ (2.29) µi i
invoeren. Hierdoor kunnen we een gasmengsel bestaande uit componenten die zelf een ideaal gas zijn, behandelen als een uniform ideaal gas. We dienen hiervoor enkel het moleculair gewicht µ in (2.23) te vervangen door het gemiddeld moleculair gewicht µ.
De definitie van het gemiddeld moleculair gewicht kan gemakkelijk aangepast worden voor een neutraal gas waarbij alle elektronen zich nog in de atomen bevinden. In dit geval vervangen we de factor 1 + Z i simpelweg door 1. We kunnen met onze beschrijving dus alle situaties met volledig ge¨ıoniseerde materie of met niet-ge¨ıoniseerde materie behandelen. Het gemiddeld moleculair gewicht is afhankelijk van de chemische samenstelling. Beschouwen we een chemische samenstelling bestaande uit een fractie X aan waterstof, Y aan helium en Z aan zware elementen zodat X +Y +Z = 1. De fractie aan zware elementen is algemeen afkomstig van j verschillende elementen: P Z = j Zj , welke massagetal Aj hebben. Het gemiddeld aantal vrije elektronen dat vrijkomt wanneer deze zware elementen met fractie Zj volledig ge¨ıoniseerd zijn bedraagt A j /2. Wanneer alle atomen ge¨ıoniseerd zijn bekomen we voor het gemiddeld moleculair gewicht volgende uitdrukking:
X(1 + 1) Y (1 + 2) X µ= + + 1 4 j
!−1
Zj (1 + Aj /2) Aj
(2.30)
.
In de praktijk laat men alle termen Z j /Aj wegvallen, omdat hun bijdrage verwaarloosbaar klein is (bedenk dat Z ≈ 2 − 3%). We bekomen dan
µ = 2X +
3Y 1 + (1 − X − Y ) 4 2
−1
=
Y 1 3X + + 2 4 2
−1
.
(2.31)
In de centrale lagen van de zon (X = 0.70, Y = 0.27, Z = 0.03) vinden we dan µ = 0.62. In het geval van zuiver, volledig ge¨ıoniseerd waterstof vinden we µ = 1/2. Voor een volledig ge¨ıoniseerd heliumgas vinden we daarentegen µ = 4/3. Wanneer we te maken hebben met een neutraal gas, verkrijgen we
−1
X Zj Y X µ= + + 1 4 A j j
28
,
(2.32)
wat zich herleidt tot
Y µ= X+ 4
−1
(2.33)
wanneer opnieuw alle bijdragen Zj /Aj verwaarloosd worden. Voor de buitenste sterlagen van de zon vinden we zo µ = 1.30. In de praktijk zal de buitenkant van de ster geen ge¨ıoniseerd gas bevatten. Anderzijds zullen alle atomen in de binnenlagen volledig ge¨ıoniseerd zijn. Er bestaat ergens in de ster een kritische laag waar zowel ge¨ıoniseerd als niet-ge¨ıoniseerd materiaal van een scheikundig element optreedt. Men spreekt van een parti¨ele ionisatielaag. Zo vereist de ionisatie van waterstof 13.6 eV. De eerste ionisatie van helium vereist 24.6 eV. Hieruit leiden we af dat de eerste parti¨ele ionisatielaag van helium dieper in de ster ligt dan de parti¨ele ionisatielaag van waterstof. Analoog ligt de tweede parti¨ele ionisatielaag van helium dieper in de ster dan de eerste parti¨ele ionisatielaag. Wanneer de temperatuur hoger is dan ruwweg 200 000 K is alle waterstof en helium volledig ge¨ıoniseerd. In het geval dat het stermateriaal partieel ge¨ıoniseerd is moeten we rekening houden met de verschillende ionisatiegraden bij de bepaling van µ. In het algemeen wordt de verhouding van het aantal deeltjes in de (r + 1)-de ionisatietoestand tot het aantal deeltjes in de r-de ionisatietoestand beschreven door de ionisatiewet van Saha. We verwijzen voor de beschrijving van deze wet en toepassingen ervan naar het vak G094: Practicum Sterrenkunde in de eerste licentie. We merken nog op dat het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie van de ster, vermits de onderlinge fracties X, Y, Z veranderen ten gevolge van de kernreacties. Het gemiddeld moleculair gewicht verandert tijdens de evolutie laag per laag, omdat de snelheid van de kernreacties enorm temperatuursgevoelig is. Hierdoor bouwt de ster tijdens haar leven in haar diepste lagen een gradi e¨ nt van µ op. We wensen tenslotte voor een latere toepassing het gemiddeld moleculair gewicht per vrij elektron µ e te bepalen. Voor een volledig ge¨ıoniseerd gas draagt elke kern i, Z i vrije elektronen bij en krijgen we µe =
X
Xi Zi /µi
i
!−1
(2.34)
.
Vermits voor alle elementen zwaarder dan helium de benadering µ i /Zi ≈ 2 goed is vinden we
1 1 µe = X + Y + (1 − X − Y ) 2 2
−1
=
2 . 1+X
(2.35)
2.2.3 De inwendige energie van een ideaal gas Uitdrukking (2.14) reduceert zich voor een ideaal gas (α = δ = 1) tot het welgekende resultaat c P − cv = R/µ, waaruit we afleiden dat cP > cv . Merk op dat men in de klassiek thermodynamica voor een ideaal gas cP − cV = R vindt. Dat wij hier een factor 1/µ vinden is een gevolg van het feit dat we in de sterrenkunde werken per eenheid van massa. 29
Uit de reciprociteitsrelatie vinden we dat
∂u ∂v
(2.36)
= 0. T
Hieruit leiden we af dat de inwendige energie van een ideaal gas alleen een functie van de temperatuur is. De verdeling van de snelheid v in een ideaal gas bestaande uit klassieke deeltjes (we verwaarlozen nu dus relativistische effecten) wordt gegeven door de Maxwell verdelingsfunctie : f (v) = 4πv 2
m 2πkT
3/2
mv 2 exp − 2kT
!
(2.37)
,
met m de massa van het deeltje. Deze verdelingsfunctie is zodanig gedefinieerd dat f (v)dv de kans voorstelt dat het deeltje een snelheid heeft gelegen tussen v en v + dv. De functie f is genormeerd zodat Z
∞
(2.38)
f (v)dv = 1.
0
Het maximum van de verdeling, m.a.w. de meest waarschijnlijke snelheid, wordt gegeven door Daarentegen is de gemiddelde snelheid gelijk aan < v >=
Z
∞
vf (v)dv =
0
8kT πm
1/2
p
2kT /m.
(2.39)
en de gemiddelde kwadratische snelheid wordt gegeven door < v 2 >=
Z
∞
v 2 f (v)dv =
0
3kT . m
(2.40)
Uit deze vergelijking leiden we af dat de gemiddelde kinetische energie per deeltje gelijk is aan 3kT /2. De gemiddelde kinetische energiedichtheid, welke de gemiddelde hoeveelheid kinetische energie per eenheid van massa is, wordt zodoende gevonden door 3kT /2 te delen door de gemiddelde massa van een deeltje. Deze gemiddelde massa is niets anders dan µm u , zodat we een gemiddelde kinetische energiedichtheid gelijk aan 3kT /2µmu bekomen. Vermits k/mu = R vinden we uiteindelijk 3RT /2µ voor de gemiddelde kinetische energiedichtheid per eenheidsmassa. De inwendige energie van het ideaal gas wordt algemeen gegeven door de som van de kinetische energie van thermische beweging en de ionisatie-energie. Voor een volledig ge¨ıoniseerd gas of voor een neutraal gas is de ionisatie-energie nul en bekomen we uiteindelijk dat de inwendige energie van het gas gegeven wordt door 3RT u= . (2.41) 2µ De gemiddelde inwendige energie per eenheidsmassa is dan gelijk aan 3P/2ρ in de limiet van een klassiek ideaal gas bestaande uit e´ e´ nzelfde type deeltjes. Uit de uitdrukking voor u vinden we meteen cv =
∂u ∂T
30
= v
3R . 2µ
(2.42)
Vervolgens levert cP − cv = R/µ dan
5R , 2µ
(2.43)
5 cP = . cv 3
(2.44)
cP =
waaruit we afleiden dat γ≡
We vinden dan ∇ad = 2/5 voor een ideaal gas dat volledig bestaat uit hetzij volledig ge¨ıoniseerde materie hetzij neutrale atomen. Dit betekent dat de temperatuursvariatie van een ideaal gas dat adiabatische compressie ondergaat verloopt volgens T ∼ P 2/5 . Voor een ideaal gas kunnen we de druk-, volume- en dichtheidsvariaties als volgt met elkaar verbinden: cP dv dv dρ dP =− = −γ =γ , P cv v v ρ
(2.45)
wat ook als volgt kan geschreven worden
∂ ln P ∂ ln ρ
=γ; s
∂ ln P ∂ ln T
s
∂ ln T γ ; = γ − 1 ∂ ln ρ
s
= γ − 1.
(2.46)
Deze uitdrukkingen zijn enkel geldig wanneer de beweging van de gasdeeltjes de enige bijdrage tot de interne energie leveren, zoals het geval is voor een volledig ge¨ıoniseerd of volledig neutraal ideaal gas. De uitdrukkingen zijn niet geldig onder meer algemene omstandigheden. Toch blijft het voor zulke meer algemene condities nuttig om de adiabatische variaties door gelijkaardige vergelijkingen te defini¨eren. Men voert daarom de volgende algemene adiabatische exponenten in : Γ1 ≡
welke voldoen aan de relatie
d ln P d ln ρ
Γ2 , ≡ s Γ2 − 1
d ln P d ln T
s
, Γ3 ≡
d ln T d ln ρ
+ 1,
(2.47)
s
Γ1 Γ2 = . Γ3 − 1 Γ2 − 1
(2.48)
Deze definities steunen op geen enkele onderstelling wat de toestandsfunctie betreft. Voor een volledig ge¨ıoniseerd ideaal gas geldt uiteraard Γ 1 = Γ2 = Γ3 = 5/3. We defini¨eren tenslotte de isotherme geluidssnelheid a door a2 ≡
R T. µ
(2.49)
In het geval van een isotherm ideaal gas kunnen we de ideale gaswet dus tevens als volgt formuleren: P = a2 ρ,
(2.50)
waarbij a constant is. We zullen van deze formulering gebruik maken bij de beschrijving van het stervormingsproces (zie Deel II van de cursus).
31
2.2.4 De bijdrage van het fotonengas Tengevolge van de hoge temperaturen in sterinwendigen dragen de fotonen aanzienlijk bij tot de druk en de inwendige energie van het gas. De druk in een ster bestaat daarom niet enkel uit de gasdruk maar heeft ook een component te wijten aan de druk van het fotonengas. Deze stralingsdruk bedraagt in de sterkern van alle sterren, en ook in de fotosfeer van hete massieve sterren, zelfs een aanzienlijke fractie van de totale druk. De straling kan zeer goed benaderd worden door diegene geldig voor een zwarte straler. De intensiteit van een zwarte straler wordt beschreven door de stralingswet van Planck: Bν (T ) =
2hν 3 (exp(hν/kT ) − 1)−1 . c2
(2.51)
Voor de afleiding van de voornaamste eigenschappen van een zwarte straler, zoals de totale stralingsintensiteit ge¨ıntegreerd over alle golflengten, het maximum van de stralingsintensiteit in functie van de golflengte (wet van Wien), de normale buitenwaartse stralingsflux (wet van Stefan-Boltzmann) en de stralingsdruk verwijzen we naar de cursussen van de kandidaturen. Vermits de fotonen een hoeveelheid van beweging met zich meedragen, heerst er een druk die verbonden is met de straling. Deze stralingsdruk wordt gegeven door P rad = aT 4 /3 met a de stralingsconstante (zie Bijlage A). De energiedichtheid per eenheid van massa die overeenstemt met deze stralingsdruk bedraagt u = aT 4 /ρ = 3Prad /ρ. We stellen dus vast dat de energiedichtheid per eenheidsmassa 3P/2ρ bedraagt voor een niet-relativistisch ideaal gas en 3P/ρ voor een relativistisch fotonengas. Volgens de wet (2.1) volgt dat voor een adiabatische variatie van een fotonengas 0 = dq = du + P dv = du + P d
1 ρ
= 3d
P ρ
+ Pd
=−
1 ρ
= 4P d
1 ρ
3 3 4P + dP = − 2 dρ + dP. ρ ρ ρ (2.52)
Hieruit volgt Γ1 = 4/3. Anderzijds vinden we 0 = dq = d
aT 4 ρ
!
1 1 + aT 4 d 3 ρ
4aT 3 4aT 4 dρ + dT, 3ρ2 ρ
(2.53)
waaruit we afleiden dat Γ3 = 4/3. Uit (2.48) vinden we dan tevens Γ 2 = 4/3. Wanneer het systeem bestaat uit een mengsel van deeltjes die zich gedragen als een ideaal gas en als straling, dan wordt de totale druk gegeven door P = Pgas + Prad =
R a ρT + T 4 . µ 3
(2.54)
Vaak definieert men een maat voor de bijdrage van de stralingsdruk door β ≡ P gas /P in te voeren, wat equivalent is met 1 − β = Prad /P . Voor β = 0 is de gasdruk nul en voor β = 1 is de stralingsdruk nul. Het vastleggen van een waarde voor β komt dan overeen met het vastleggen van een onderling verband tussen de gas- en stralingsdruk. β verandert wanneer we van het sterinwendige naar het steroppervlak gaan. 32
Voor sterren met M ≥ 10M is β 6= 0 in de gehele ster, zelfs nabij het steroppervlak. Voor heel massieve sterren is Pgas zelfs te verwaarlozen ten opzichte van P rad . Anderzijds is Prad te verwaarlozen nabij het steroppervlak voor sterren zoals de zon of koeler.
33
34
Hoofdstuk 3
De mechanische basisvergelijkingen die de sterstructuur beschrijven In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijkingen die relevant zijn voor de kennis van de sterstructuur. Bij het afleiden en oplossen van deze vergelijkingen zullen we gebruik maken van enkele van de thermodynamische relaties besproken in het vorig hoofdstuk.
3.1 Co¨ordinaten 3.1.1 Euleriaanse beschrijving Beschouw een gasvormige enkelvoudige ster die traag roteert en geen magneetveld heeft. De krachten die heersen op een massa-element zijn dan enkel afkomstig van de druk en van de gravitatie. Alle functies zijn in dit geval constant in concentrische sferen en e´ e´ n ruimtelijke variabele volstaat om deze functies te beschrijven. De afstand r, gemeten vanaf het stercentrum, is een natuurlijke keuze voor deze ruimtelijke co¨ordinaat. Deze afstand r kan vari¨eren van r = 0 tot r = R, waarbij R de totale straal van de ster is. Om de evolutie van de functies in de tijd te beschrijven roepen we de tijdco¨ordinaat t in. Maken we gebruik van de twee onafhankelijk veranderlijken r en t, dan gebruiken we de Euleriaanse beschrijvingswijze. Alle andere veranderlijken worden vervolgens bepaald in functie van r en t. Een voorbeeld is de dichtheid ρ = ρ(r, t). We wensen nu het effect van de massaverdeling in de ster op het gravitatieveld te beschrijven. Hiertoe defini¨eren we de functie m(r, t) als zijnde de massa bevat in een sfeer met straal r op tijdstip t. m varieert als volgt volgens r en t: dm = 4πr 2 ρdr − 4πr 2 ρvdt. (3.1) 35
Figuur 3.1: We gebruiken de massa binnen de sfeer met straal r als onafhankelijk veranderlijke bij de beschrijving van de vergelijkingen die de sterstructuur bepalen. De eerste term in het rechterlid van vergelijking (3.1) is de massa bevat in een sferische schil met dikte dr (zie figuur 3.1). Deze term drukt de variatie van m(r, t) uit ten gevolge van een variatie van r bij constante t: ∂m = 4πr 2 ρ. (3.2) ∂r Vergelijking (3.2) is de eerste van de basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen in de Euleriaanse beschrijving. De tweede term in het rechterlid van vergelijking (3.1) geeft de sferisch symmetrische massastroom doorheen de sfeer met constante straal r weer, ten gevolge van een buitenwaarts gerichte radiale snelheid v in het tijdsinterval dt: ∂m = −4πr 2 ρv. (3.3) ∂t Leiden we nu uitdrukking (3.2) af naar t en uitdrukking (3.3) naar r, en stellen we beide uitdrukkingen gelijk aan elkaar, dan bekomen we de welbekende continu¨ıteitsvergelijking voor sferische symmetrie: 1 ∂(ρr 2 v) ∂ρ =− 2 . ∂t r ∂r
(3.4)
3.1.2 Lagrangiaanse beschrijving Zoals later zal blijken is het voor een sferisch symmetrische ster vaak handiger om met een Lagrangiaanse co¨ordinaat te werken in plaats van de Euleriaanse co¨ordinaat r. Deze ruimtelijke co¨ordinaat is er dan e´ e´ n die verbonden is met een massa-element en die niet verandert in de loop van de tijd. We karakteriseren in deze beschrijving een massa-element door m, welke de massa is bevat in een concentrische sfeer op een gegeven ogenblik t0 . 36
De nieuwe onafhankelijk veranderlijken zijn dan m en t en alle andere grootheden worden in termen van deze veranderlijken geschreven. Een voorbeeld is weerom de dichtheid ρ = ρ(m, t), en nu ook de afstand r van het massa-element tot het stercentrum: r = r(m, t). In het stercentrum hebben we m = 0 en aan het oppervlak m = M , de totale massa van de ster. Dit voorbeeld toont reeds een enorm voordeel van de Lagrangiaanse beschrijving: in tegenstelling tot de erg veranderende waarde van de straal R in de tijd tijdens het leven van de ster varieert de onafhankelijk veranderlijke m in goede benadering steeds over het constante interval [0, M ]. Er bestaat een e´ e´ nduidig verband tussen de co¨ordinaten r en m. Voor de parti¨ele afgeleiden naar beide veranderlijken bestaan de volgende formules:
∂ ∂r ∂ = . , ∂m ∂m ∂r ∂r ∂ ∂ ∂ = . . + ∂t m ∂t m ∂r ∂t r
(3.5)
Passen we nu de eerste van deze afgeleiden toe op m, dan bekomen we 1=
∂m ∂r . , ∂r ∂m
wat door invullen van betrekking (3.2) de volgende vergelijking oplevert: 1 ∂r = . ∂m 4πr 2 ρ
(3.6)
Deze differentiaalvergelijking beschrijft het ruimtelijk gedrag van de functie r(m, t). Ze vervangt vergelijking (3.2) en is de eerste basisvergelijking in de Lagrangiaanse beschrijving. Tevens vinden we door substitutie van deze vergelijking in de bovenste betrekking van (3.5) het verband tussen de twee operatoren: ∂ 1 ∂ = . ∂m 4πr 2 ρ ∂r
(3.7)
De tweede vergelijking van (3.5) is de hoofdreden om een Lagrangiaanse beschrijving te gebruiken. De tijdsafgeleide in het linkerlid ervan beschrijft de verandering van een functie in de tijd tijdens het volgen van een bepaald massa-element. De behoudswetten voor tijdsafhankelijke sferische sterren zijn enkel en alleen eenvoudige uitdrukkingen voor deze tijdsafgeleide. Indien we zouden werken in termen van de lokale tijdsafgeleide (∂/∂t)r , dan zouden telkens termen met de snelheid (∂r/∂t) m expliciet optreden, wat niet het geval is in het Lagrangiaans formalisme.
3.2 De vergelijking van Poisson In een sferisch symmetrisch lichaam hangt de modulus van de gravitatieversnelling ~g op een afstand r van het centrum niet af van de massa-elementen die zich op een afstand groter dan r van het centrum bevinden. 37
g = |~g | is enkel afhankelijk van r en van de massa bevat in de concentrische sfeer met straal r, welke we m gedefinieerd hebben en wel op de volgende wijze: g=
Gm , r2
(3.8)
met G = 6.673 × 10−11 m3 /kg.s2 de gravitatie constante1 . In het algemeen kan het gravitatieveld in een ster beschreven worden aan de hand van een gravitatiepotentiaal Φ, welke een oplossing is van de vergelijking van Poisson: ~ 2 Φ = 4πGρ, ∇
(3.9)
~ 2 de Laplace operator voorstelt. Voor sferisch symmetrische configuraties vereenvoudigt de verwaarbij ∇ gelijking van Poisson tot 1 ∂ 2 ∂Φ r = 4πGρ. (3.10) r 2 ∂r ∂r De gravitationele versnellingsvector ~g is naar het stercentrum toe gericht en wordt in sferische co¨ordinaten geschreven als ~g = (−g, 0, 0) met g = |~g | > 0. De vector ~g = −g~e r wordt afgeleid van de potentiaal Φ ~ volgens de betrekking ~g = −∇Φ. Voor een sferisch symmetrische ster is alleen de parti¨ele afgeleide naar r verschillend van nul en krijgen we ∂Φ g= . (3.11) ∂r Gebruik makend van uitdrukkingen (3.11) en (3.8) bekomen we Gm ∂Φ = 2 . ∂r r
(3.12)
Gm dr + constante. r2
(3.13)
Integratie van uitdrukking (3.12) levert Φ=
Z
r 0
De integratieconstante wordt zodanig gekozen dat Φ verdwijnt voor r → ∞. Verder is Φ minimaal in het stercentrum. Een schematische voorstelling van Φ wordt gegeven in figuur 3.2.
3.3 Behoud van hoeveelheid van beweging 3.3.1 Hydrostatisch evenwicht We stellen vast dat we voor de meeste sterren geen evolutionaire veranderingen kunnen waarnemen. Dit impliceert dat het stermateriaal niet merkelijk versneld wordt, wat dan weer betekent dat alle krachten die 1 In de sterrenkunde worden alle grootheden veelal nog uitgedrukt in het cgs stelsel. We verwijzen naar Bijlage A voor de waarden van fysische en astronomische constanten, zowel in dit stelsel als in het SI stelsel
38
Figuur 3.2: Het verloop van de gravitatiepotentiaal Φ vanaf het stercentrum. inwerken op een massa-element elkaar moeten compenseren. Dit mechanisch evenwicht noemt men hydrostatisch evenwicht. In de onderstelling dat we te maken hebben met een gasvormige ster die niet roteert en geen magneetveld of een nauwe begeleider heeft, zijn de agerende krachten die optreden de gravitatiekracht en de drukkracht. Beschouw op een gegeven tijdstip t een dunne sferische massaschil met een infinitesimale dikte dr op een afstand r van het stercentrum. De massa per eenheidsoppervlak bedraagt ρdr en het gewicht van de schil is −gρdr, welke de gravitatiekracht voorstelt die gericht is naar het stercentrum. Opdat de massa-elementen van de schil niet versneld zouden worden in de richting van het centrum moeten zij een netto kracht ten gevolge van de druk ondervinden die precies even groot is als de gravitatiekracht, maar buitenwaarts gericht. Dit impliceert dat de schil onderhevig is aan een grotere druk aan de binnenkant (P i ) dan aan haar buitenkant (Pe ). We verwijzen naar figuur 3.3. De totale kracht per eenheid van oppervlak die de schil ondervindt ten gevolge van deze verschillende drukkracht bedraagt: Pi − P e = −
∂P dr. ∂r
(3.14)
De som van de krachten ten gevolge van gravitatie en druk moet nul zijn, m.a.w. ∂P + ρg = 0. ∂r
(3.15)
Deze vergelijking vormen we met behulp van uitdrukking (3.8) om tot de vergelijking van het hydrostatisch 39
Figuur 3.3: Voorstelling van een toestand van hydrostatisch evenwicht: de buitenwaarts gerichte drukkracht moet precies de binnenwaarts gerichte gravitatiekracht compenseren. Dit kan alleen voldaan zijn wanneer de druk aan de binnenkant van de schil groter is dan aan de buitenkant ervan. evenwicht:
∂P Gm = − 2 ρ. ∂r r Het is de tweede basisvergelijking die de sterstructuur beschrijft in Euleriaanse vorm.
(3.16)
Kiezen we echter m als onafhankelijk veranderlijke, dan bekomen we de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht door vergelijking (3.16) te vermenigvuldigen met ∂r/∂m = (4πr 2 ρ)−1 volgens vergelijking (3.6) en gebruik te maken van de eerste betrekking van (3.5): ∂P Gm =− . ∂m 4πr 4
(3.17)
3.3.2 Eenvoudige oplossingen Tot nu toe hebben we ons enkel geconcentreerd op het mechanisch probleem verbonden met het gravitatieveld en de drukstratificatie in de ster en leidden we twee basisvergelijkingen af, welke in het Lagrangiaans formalisme de volgende vorm aannemen: ∂r 1 = , ∂m 4πr 2 ρ
∂P Gm . =− ∂m 4πr 4
(3.18)
We gaan nu na of we voorlopige oplossingen kunnen vinden voor dit systeem van differentiaalvergelijkingen. We zoeken een oplossing voor de drie onbekende functies r, P, ρ en dienen dus een verband tussen minstens twee van deze drie grootheden voorop te stellen. In sommige bijzondere situaties kunnen we de dichtheid ρ schrijven als een functie van r en P of van m en P . In dat geval hebben we te maken met gewone 40
differentiaalvergelijkingen omdat de tijd niet expliciet optreedt. Een voorbeeld hiervan is een homogene sfeer waarvoor ρ = constante. Een fysisch realistischer voorbeeld wordt gegeven door de zogenaamde barotropische oplossingen waarvoor ρ = ρ(P ), bijvoorbeeld een ideaal gas bij constante temperatuur. Een klasse van eenvoudige barytropische oplossingen die belangrijk is voor de studie van de sterstructuur zijn de polytropen. We komen later uitvoerig terug op deze bijzondere klasse van toestandsfuncties. In het algemeen, echter, is de dichtheid niet enkel een functie van de druk, maar hangt ze ook af van de temperatuur: ρ = ρ(P, T ). Een welbekend voorbeeld is dat van een ideaal gas. Indien we te maken hebben met een toestandsvergelijking waarin de temperatuur optreedt wordt het veel moeilijker om de inwendige structuur van een zelfgraviterende gasbol te bepalen. De mechanische structuur is dan namelijk afhankelijk van de temperatuursstratificatie, welke op haar beurt gekoppeld is aan de productie en het transport van energie in de ster. Om deze situatie te beschrijven hebben we nood aan bijkomende vergelijkingen.
3.3.3 De bewegingsvergelijking in het geval van sferische symmetrie De vergelijking van hydrostatisch evenwicht (3.16) is een bijzonder geval van behoud van hoeveelheid van beweging. Wanneer versnelde bewegingen optreden in de sferisch symmetrische ster moeten we de inertia van de massa elementen in rekening brengen. We beperken ons hier tot een Lagrangiaanse beschrijving. Beschouwen we opnieuw een dunne schil met massa dm op een afstand r van het stercentrum. Deze schil ondervindt een kracht per eenheidsoppervlak f P ten gevolge van de drukgradi¨ent welke gegeven wordt door (3.14). Deze vergelijking kunnen we ook schrijven als fP = −
∂P .dm ∂m
(3.19)
De gravitatiekracht per eenheid van oppervlak die inwerkt op de schil wordt gegeven door fg = −
Gm dm g dm =− 2 , 2 4πr r 4πr 2
(3.20)
waarbij we gebruik gemaakt hebben van (3.8). Als de som van de drukkracht en de gravitatiekracht niet nul is, dan zal de schil versneld worden volgens dm ∂ 2 r = fP + fg . 4πr 2 ∂t2
(3.21)
Hieruit bekomen we met behulp van (3.19) en (3.20) de bewegingsvergelijking: 1 ∂2r ∂P Gm =− . − 2 2 4πr ∂t ∂m 4πr 4
(3.22)
Indien de drukgradi¨ent alleen actief zou zijn zou dit resulteren in een buitenwaartse versnelling (∂P/∂m), de gravitatie alleen zou daarentegen een binnenwaartse versnelling veroorzaken. De bewegingsvergelijking zou herleid worden tot de vergelijking van hydrostatisch evenwicht wanneer alle massa-elementen in rust zijn of radiaal bewegen met constante snelheid. Wanneer de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking elkaar compenseren is de voorwaarde van hydrostatisch evenwicht een goede benadering en zal de ster opeenvolgende quasi-evenwichtstoestanden doorlopen. 41
Veronderstel nu dat er een afwijking van hydrostatisch evenwicht optreedt ten gevolge van het plotseling “wegvallen” van de drukterm. De inertiaalterm in het linkerlid van de bewegingsvergelijking dient dan de gravitatieterm in het rechterlid te compenseren. We defini¨eren nu een karakteristieke tijdschaal τ ff verbonden met het ineenstorten van de ster ten gevolge van het plots wegvallen van de druk: ∂2r R 2 ≡ 2, ∂t τff
(3.23)
waarbij R de straal van de ster voorstelt. Gebruik makend van de bewegingsvergelijking (3.22) kunnen we τff ook als volgt schrijven: 1/2 R . (3.24) τff ≈ g
τff is als het ware een gemiddelde waarde van de tijdschaal van vrije val over een afstand van de orde van de sterstraal ten gevolge van het plots wegvallen van de druk.
Analoog kunnen we een karakteristieke tijdschaal τ expl defini¨eren die de explosie van de ster beschrijft ten gevolge van het wegvallen van de gravitatie: ∂2r ∂P ∂P 1 P R = ≈ , 2 = 2 = 4πr 2 ∂t ∂m ∂r ρ ρR τexpl
(3.25)
waarbij we ∂P/∂r vervangen hebben door P/R. We bekomen dan τexpl p
ρ ≈R P
1/2
.
(3.26)
Vermits P/ρ een maat is voor de gemiddelde geluidssnelheid in het sterinwendige kunnen we τ expl beschouwen als de gemiddelde tijd die een geluidsgolf nodig heeft om van het stercentrum naar het steroppervlak te reizen. Wanneer de ster zich in een toestand nabij hydrostatisch evenwicht bevindt zijn de twee termen in het rechterlid van de bewegingsvergelijking zo goed als gelijk aan elkaar en hebben we τ ff ≈ τexpl . We spreken dan van de hydrostatische tijdschaal τ hydro welke de typische tijd is die de ster nodig heeft om na een kleine storing opnieuw het hydrostatisch evenwicht te herstellen. Gebruiken we g ≈ GM/R 2 dan bekomen we uit (3.24) !1/2 1 R3 (3.27) ≈ (Gρ)−1/2 . τhydro ≈ GM 2
3.3.4 Veralgemening naar een niet-sferische configuratie Tot nu toe hebben we steeds een sferisch symmetrische configuratie ondersteld. We kunnen echter de afgeleide vergelijkingen gemakkelijk veralgemenen. Indien we de bewegingsvergelijking (3.22) herschrijven
42
in termen van de onafhankelijk veranderlijke r, merken we dat deze vorm een bijzonder geval is van de Euleriaanse vorm van de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica: ρ
d~v ~ − ρ∇Φ, ~ = −∇P dt
(3.28)
met ~v de snelheidsvector en d/dt de totale tijdsafgeleide gegeven door d ∂ ~ = + ~v .∇. dt ∂t
(3.29)
De algemene vorm van (3.4) levert de continu¨ıteitsvergelijking van de hydrodynamica: ∂ρ ~ v ). = −∇.(ρ~ ∂t
(3.30)
Tenslotte herhalen we dat de gravitatiepotentiaal Φ verbonden is met de dichtheidsverdeling door de vergelijking van Poisson: ~ 2 Φ = 4πGρ. ∇ (3.31) De aangehaalde vergelijkingen die de sterstructuur beschrijven zijn tot nu toe slechts bijzondere gevallen van de vergelijkingen gekend uit de hydrodynamica.
3.4 Behoud van energie 3.4.1 Het viriaaltheorema Het viriaaltheorema speelt voor de behandeling van de meeste fysische problemen geen belangrijke rol. Nochtans is het voor de studie van de sterstructuur van groot belang, vermits het twee belangrijke energiereservoirs met mekaar verbindt en het toelaat voorspellingen en interpretaties af te leiden voor bepaalde evolutionaire fasen in het leven van de ster. Vermenigvuldigen we het linkerlid van de Lagrangiaanse vorm van het hydrostatisch evenwicht (3.17) met 4πr 3 en integreren we over de massa in het interval [0, M ] van het centrum tot het steroppervlak, dan bekomen we Z M h iM Z M ∂r 3 3 ∂P − dm = 4πr P 12πr 2 P dm. (3.32) 4πr 0 ∂m ∂m 0 0 De term tussen vierkante haken verdwijnt vermits r = 0 in het stercentrum en P = 0 aan het steroppervlak. Anderzijds kunnen we de integrand van de tweede term in het rechterlid met behulp van (3.6) reduceren tot 3P/ρ. Tenslotte bekomen we dan Z M Z M P Gm dm = 3 dm, (3.33) r ρ 0 0
43
waar we het linkerlid van (3.33) bekomen hebben door het linkerlid van (3.17) te vervangen door het rechterlid ervan. Beide leden in vergelijking (3.33) hebben de dimensie van een energie. We defini¨eren de gravitationele energie Eg door Z M Gm Eg ≡ − dm. (3.34) r 0 Beschouw nu een eenheidsmassa op een positie r. De potenti¨ele energie van deze eenheidsmassa ten gevolge van het gravitatieveld van de massa m die zich binnen een straal r bevindt, bedraagt −Gm/r. We zien dus dat Eg de potenti¨ele energie is van alle massa-elementen dm van de ster, welke genormeerd is als zijnde nul op oneindig. Een energie −E g (> 0) is nodig om alle massa-elementen te expanderen tot het oneindige, terwijl dit bedrag aan energie vrijkomt wanneer er een samentrekking van een oneindige wolk tot een ster gebeurt. Wanneer alle massa-elementen binnenin de ster gezamelijk expanderen of contraheren, zal E g toenemen respectievelijk dalen. Ditzelfde moet dan gelden voor de integraal in het rechterlid van (3.33). We benadrukken dat de samentrekking of expansie op een tijdschaal dient te gebeuren die veel langer is dan τhydr vermits vergelijking (3.33) anders niet opgaat. Om de betekenis van de term in het rechterlid van vergelijking (3.33) te achterhalen beschouwen we een ideaal gas: R P = T = (cP − cv )T = (γ − 1)cv T. (3.35) ρ µ Voor een mono-atomisch gas is γ = 5/3 en krijgen we P/ρ = 2/3 u met u = c v T de inwendige energie van het ideaal gas per eenheidsmassa. Defini¨eren we nu Ei ≡
Z
M
u dm 0
(3.36)
als zijnde de totale inwendige energie van de ster, dan bekomen we voor vergelijking (3.33) in het geval van een ideaal gas Eg = −2Ei . (3.37)
Dit resultaat is het viriaaltheorema voor een mono-atomisch ideaal gas.
Voor een algemene toestandsvergelijking defini¨eren we de grootheid ζ door middel van ζu ≡ 3
P . ρ
(3.38)
Voor een ideaal gas hebben we dus ζ = 3(γ − 1), welke in het mono-atomisch geval (γ = 5/3) ζ = 2 oplevert. Voor een gas enkel bestaande uit fotonen hebben we daarentegen γ = 4/3, P = aT 4 /3 en uρ = aT 4 met a de stralingsdichtheidsconstante, wat leidt tot ζ = 1. Wanneer ζ constant is in de ster leidt (3.33) tot het algemenere resultaat dat ζEi + Eg = 0. (3.39) We defini¨eren nu de totale energie W van de ster als zijnde W ≡ E i + Eg , waarvoor geldt dat W < 0 voor een gravitationeel gebonden systeem. Op basis van (3.39) krijgen we dan W = (1 − ζ)Ei = 44
ζ −1 Eg . ζ
(3.40)
Hieruit leiden we af dat de totale energie nul is voor het fotonengas. Als de ster expandeert of inkrimpt op zodanige wijze dat het hydrostatisch evenwicht bewaard blijft, dan zullen Eg en Ei vari¨eren en zal de totale energie veranderen. Het gas zal dan energie uitstralen. Defini¨eren we het totale energieverlies door straling per tijdseenheid als de lichtkracht L van de ster, dan volgt uit het behoud van energie dat (dW/dt) + L = 0, wat via (3.40) impliceert dat L = (ζ − 1)
dEi ζ − 1 dEg =− . dt ζ dt
(3.41)
Wanneer alle massaschillen simultaan contraheren, dan zal dE g /dt < 0 en krijgen we voor een monoatomisch ideaal gas L = dEi /dt = −0.5dEg /dt > 0. Dit betekent dat de helft van de energie die vrijkomt ten gevolge van de contractie uitgestraald wordt en de andere helft wordt gebruikt voor de opwarming van de ster. Vergelijking (3.41) toont dat L van de orde van |dE g /dt| is. Zodoende kunnen we een karakteristieke tijdschaal |Eg | Ei τHK ≡ ≈ (3.42) L L defini¨eren, welke de Helmholtz-Kelvin tijdschaal genoemd wordt (naar de twee fysici die deze afleidden als zijnde de evolutionaire tijdschaal voor een contraherende of afkoelende ster). Een ruwe afschatting van |E g | is GM 2 Gm2 ≈ , (3.43) |Eg | ≈ r 2R waarbij m en r de gemiddelde waarden voor m en r over de ster voorstellen (welke we vervangen hebben door M/2 en R/2). We bekomen zo GM 2 τHK ≈ . (3.44) 2RL Gedurende bepaalde fasen in het leven van de ster is E g de voornaamste energiebron en evolueert de ster op een tijdschaal τHK . Voor een gedetailleerde beschrijving van sterevolutie verwijzen we naar Deel II van de cursus, maar we halen nu toch reeds aan waarom het viriaaltheorema, samen met de energietransportvergelijking (zie Hoofdstuk 5), zo belangrijk is voor het leven van de ster. De ster heeft een temperatuursverloop waarbij de temperatuur van binnen naar buiten afneemt. Daardoor wordt er energie naar buiten getransporteerd en aan de rand van de ster uitgestraald. Dit betekent dat er aan het sterinwendige energie wordt onttrokken. Als er geen nucleaire bron meer is, bijvoorbeeld wanneer alle H in de sterkern is omgezet in He, dan kan de ster de energie alleen opleveren door te contraheren. De contractie verloopt traag, zodat de ster op elk ogenblik in hydrostatisch evenwicht blijft. De ster trekt immers samen om, door krimpen, het energieverlies te dekken op een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Daarentegen is de tijdschaal die nodig is om een drukverstoring te herstellen veel korter, nl. τ hydro . Dit betekent dus dat tijdens het langzaam inkrimpen van de ster quasi-instantaan een nieuw drukevenwicht kan ingesteld worden: tijdens het krimpen blijft aan het viriaaltheorema voldaan. Als de ster krimpt wordt zodoende de helft van de gewonnen potenti¨ele energie uitgestraald, de andere helft wordt gebruikt voor verhitting. Door de temperatuursverhoging wordt de temperatuursgradi¨ent groter, waardoor er nog meer energie uitgestraald wordt en de ster nog meer moet krimpen. Door deze vicieuze cirkel blijft de kern van de ster krimpen en steeds heter worden totdat de temperatuur hoog genoeg geworden is voor een volgend fusieproces (bijvoorbeeld 45
Figuur 3.4: Voorstelling van de grootheid l, welke de hoeveelheid energie die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt, voorstelt. bij T=108 K kan heliumverbranding starten). Dan kan de ster weer een lange tijd zonder krimpen blijven stralen.
3.4.2 Energiebehoud in sterren We defini¨eren l(r) als zijnde de netto hoeveelheid energie, ge¨ıntegreerd over alle frequenties, die per seconde doorheen een sfeer met straal r straalt. We onderstellen dat er zich geen oneindig grote energiebron in het centrum van de ster bevindt. Zodoende is de functie l nul in het stercentrum. Ze is bovendien gelijk aan de totale lichtkracht L van de ster aan het steroppervlak. Tussen r = 0 en r = R is l een gecompliceerde functie die afhangt van de verdeling van alle energiebronnen die in de sterlagen optreden. Zo omvat l de energie getransporteerd door zowel straling, conductie en convectie. In het volgende hoofdstuk gaan we uitvoerig in op deze wijzen van energietransport, welke allemaal een temperatuursgradi¨ent vereisen. We houden in de functie l geen rekening met een eventuele energieflux ten gevolge van neutrino’s. Deze hebben immers een verwaarloosbare interactie met het stermateriaal en we zullen de neutrinoflux, die geen temperatuursgradi¨ent vereist, steeds afzonderlijk behandelen.
Lokaal energiebehoud Beschouw een sferisch symmetrische massaschil met straal r, dikte dr en massa dm. Stel de energie die per seconde de binnenkant van de schil binnentreedt voor door l en diegene die per seconde langs de buitenkant de schil verlaat door l + dl (zie figuur 3.4). Het surplus dl kan voorzien worden door kernreacties, door koeling, of door samendrukking of uitzetting van de schil. In een stationaire situatie is dl enkel het gevolg van het vrijgeven van energie ten gevolge van kernreacties. Stel de nucleaire energie vrijgegeven per
46
eenheidsmassa en per eenheidstijd voor door ε, dan krijgen we dl = 4πr 2 ρεdr = ε dm
(3.45)
of
∂l = ε. (3.46) ∂m De grootheid ε hangt in het algemeen af van de temperatuur, de dichtheid en de abondanties van de verschillende reagerende nucleaire deeltjes.
Voor een niet-stationaire schil kan dl van nul verschillen, zelfs als er geen kernreacties plaatsgrijpen. Zulk een schil kan haar interne energie veranderen en ze kan bovendien mechanische arbeid uitwisselen met naburige schillen. In dit geval schrijven we in plaats van (3.46)
dq = ε −
∂l dt, ∂m
(3.47)
waarbij dq de warmte voorstelt die per eenheidsmassa wordt toegevoegd aan de schil. Vervangen we nu dq aan de hand van de eerste wet van de thermodynamica, dan verkrijgen we ∂l ∂u ∂v ∂u P ∂ρ =ε− −P =ε− + 2 . ∂m ∂t ∂t ∂t ρ ∂t
(3.48)
Met behulp van de thermodynamische relatie (2.18) kunnen we deze uitdrukking schrijven in termen van de druk en de temperatuur: ∂T δ ∂P ∂l = ε − cP + . (3.49) ∂m ∂t ρ ∂t Deze vergelijking is de derde vergelijking die de sterstructuur beschrijft. Vaak worden de termen die een tijdsafgeleide bevatten in vergelijking (3.49) samen genomen in een zogenaamde bronfunctie εg : ∂T ∂s δ ∂P εg ≡ −T = −cP + = −cP T ∂t ∂t ρ ∂t
1 ∂T ∇ad ∂P − T ∂t P ∂t
,
(3.50)
waar we gebruik gemaakt hebben van ds = dq/T en van uitdrukking (2.20) voor ∇ ad . Beschouwen we nu de energieverandering ten gevolge van neutrino’s. Neutrino’s kunnen in grote aantallen voorkomen als bijproduct van kernreacties (zie verder, beschrijving van de verschillende verbrandingscycli). Anderzijds bedraagt de gemiddelde vrije weglengte van een neutrino in een typisch stermidden zo’n 100 parsec ! In de sterkern van een hoofdreeksster hebben ze zelfs nog een gemiddelde vrije weglengte van om en bij de 3000 R . Het stermateriaal is dus duidelijk transparant voor neutrino’s en daardoor kunnen zij de energie die ze meedragen gemakkelijk tot aan het oppervlak transporteren (dit is niet meer waar in de laatste eindfasen van het leven van een ster !). Dit is de reden waarom we de invloed van neutrino’s apart behandelen en niet samen met de energiefluxen die een temperatuursgradi¨ent nodig hebben. De enige massa-elementen die be¨ınvloed worden door de neutrino’s zijn diegene waar de neutrino’s gevormd worden. De neutrino’s kunnen hier immers zorgen voor een daling van de energie. We defini¨eren ε ν (> 0) als zijnde 47
de energie die per eenheid van massa en per tijdseenheid afgenomen wordt van het stermateriaal in de vorm van neutrino’s. De totale vergelijking voor lokaal energiebehoud wordt dan ∂l = ε − ε ν + εg . ∂m
(3.51)
De energie die per seconde weggevoerd wordt door neutrino’s wordt de neutrino lichtkracht genoemd en is gegeven door Lν ≡
Z
M
0
εν dm.
(3.52)
Zoals reeds vermeld is l = 0 in de kern en l = L aan het steroppervlak. Voor een tussenwaarde van r is l niet noodzakelijk monotoon stijgend en kan zelfs groter worden dan L of negatief. Een voorbeeld hiervan is een uitdijende ster waarvoor L kleiner is dan de energie geproduceerd door de kernreacties in de centrale delen ten gevolge van het uitdijen (ε g < 0). Een sterk neutrinoverlies kan l < 0 induceren in sommige sterlagen. Vermits neutrino’s na hun creatie bij talrijke kernreacties ongehinderd de ster kunnen verlaten, leveren ze rechtstreeks informatie over deze reacties. Omwille van hun zeer grote vrije weglengte is het helaas zeer moeilijk om neutrino’s te detecteren. Het is wel mogelijk om neutrino’s geproduceerd door de waterstofverbranding in de zon op te vangen. In e´ e´ n van de succesvolle detecties worden de neutrino’s ingevangen door de reactie νe + 37 Cl → e− + 37 Ar. (3.53) De detector bestaat in dit geval uit een tank met 380 000 liter C 2 Cl4 (een standaard detergent). Ondanks deze gigantisch grote tank wordt slechts e´ e´ n neutrino om de twee dagen gedetecteerd. Dit is veel lager dan het aantal neutrino’s dat volgens de zonnemodellen voorspeld wordt. Dit probleem was dertig jaar lang en tot voor kort gekend als het zonne-neutrino-probleem.
Bij een tweede experiment werd de verstrooiing van neutrino’s aan elektronen in een tank van 680 ton water beschouwd. In tegenstelling tot het Cl experiment wordt hier de richting van de neutrino’s gemeten, waaruit meteen kan afgeleid worden dat ze effectief afkomstig zijn van de zon. Ook hier waren de detecties veel te laag in vergelijking met de theoretische voorspellingen. Een oplossing voor het probleem kwam er na het besef dat de detectoren ongevoelig waren voor de zeldzamere types van neutrino’s. De Cl en elektronenexperimenten zijn inderdaad slechts gevoelig voor een kleine fractie van de totale neutrino produktie in de zon, nl. enkel de hoog-energetische of ook elektronneutrino’s genoemd. Er bestaan echter ook nog mu- en tau-neutrino’s waar de bovenstaande experimenten niet gevoelig voor zijn. Twee additionele recentere experimenten zijn wel gevoelig voor een grotere meerderheid van de geproduceerde neutrino’s. Zij steunen op een reactie van het neutrino met 71 Ga. Deze gallium experimenten leverden resultaten die nauwer aansluiten bij de theoretische verwachtingen, maar er bleven toch nog aanzienlijke verschillen tot 2001. De oplossing kwam er dankzij honderden onderzoekers van het Sudbury Neutrino Observatory in Canada, die de nieuwste generatie neutrino detectoren ontwikkelden. Zij konden bevestigen dat een deel van de zonneneutrino’s tegen de tijd dat ze op aarde aankomen veranderd zijn van elektron-neutrino’s in mu- of tau-neutrino’s. Schattingen van de drie types neutrino’s samen komen vrij nauwkeurig overeen met de huidige stermodellen van de zon. 48
Gezien de moeilijkheid om neutrino’s afkomstig van de zon op te vangen, is het quasi-onmogelijk om neutrino’s van andere sterren te detecteren. Een uitzondering hierop vormen de neutrino’s geproduceerd tijdens supernova explosies. Van SN 1987 A werden inderdaad 20 neutrino’s gedetecteerd (zie verder).
Globaal energiebehoud Bij de beschrijving van het viriaaltheorema hebben we ons beperkt tot het in rekening brengen van de interne energie Ei en de gravitationele energie Eg . We negeerden zowel de nucleaire energie als de energie van de neutrino’s en de kinetische energie van de (radiale) beweging. Herdefini¨eren we nu de totale energie van de ster als zijnde W = Ekin + Eg + Ei + En met En de nucleaire energie-inhoud van de gehele ster, dan wordt de vergelijking die het globaal energiebehoud beschrijft gegeven door: d (Ekin + Eg + Ei + En ) + L + Lν = 0. dt
(3.54)
3.4.3 De verschillende tijdschalen Onderstel dat de lichtkracht van de ster enkel veroorzaakt wordt door het vrijkomen van nucleaire energie. Indien L constant is, kan dit energieverlies plaatsgrijpen gedurende de nucleaire tijdschaal gedefini¨eerd door τn ≡
En . L
(3.55)
Hierbij stelt En het energiereservoir voor waaruit energie kan geput worden voor de gegeven omstandigheden, waarmee we bedoelen dat de kernreacties die de energie vrijgeven mogelijk moeten zijn. De belangrijkste reactie is de fusie van vier 1 H kernen in e´ e´ n 4 He kern. Deze waterstofverbranding geeft een energie van 6.3 × 1018 erg g−1 vrij. De nucleaire tijdschaal geeft weer hoelang de totale levensduur van een ster kan bedragen. We zullen later tonen dat de lichtkracht van een ster een sterk stijgende functie van de stermassa is. Hierdoor daalt de nucleaire tijdschaal zeer snel met stijgende massa. Een ster met initi¨ele massa van 30 M , bijvoorbeeld, kan slechts 5 miljoen jaar leven terwijl een ster met een halve zonsmassa nog nauwelijks tijd genoeg gekregen heeft om te evolueren in het huidige Heelal. De relatie tussen de verschillende tijdschalen luidt voor de zon (zie oefeningen) : τn >> τHK >> τhydr .
(3.56)
Deze relatie is geldig voor alle sterren waarvoor waterstof- of heliumverbranding de belangrijkste energiebron is. Het verband tussen deze tijdschalen laat toe om de vergelijking die het energiebehoud uitdrukt te vereenvoudigen. Beschouw hiertoe de vier termen die optreden in (3.49) voor een ster waarvan de eigenschappen aanzienlijk veranderen op een tijdschaal τ , welke klein of groot kan zijn t.o.v. τ HK . Een oorzaak van die verandering is bijvoorbeeld de uitputting van een bepaalde nucleaire brandstof. Voor een ideaal gas
49
kunnen we de termen in (3.49) gemakkelijk benaderen:
∂l L Ei ∂m ≈ M ≈ τ M , HK
L En Ei = ≈ , M M τn τHK M ∂T cP T cP ∂t ≈ τ , δ ∂P RT cP T Ei ρ ∂t ≈ µ τ ≈ τ ≈ τ M . ε≈
(3.57)
In het geval τ >> τHK zijn de waarden van de laatste twee uitdrukkingen gegeven in (3.57) veel kleiner dan de waarden van de twee eerste uitdrukkingen en kunnen we de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking verwaarlozen (|ε g | << ε). De energievergelijking reduceert zich dan tot ∂l/∂m = ε zoals in (3.46). Deze benadering is goed wanneer de verbranding van waterstof of helium de sterevolutie stuurt (τ = τn ) en impliceert een enorme vereenvoudiging bij het berekenen van stermodellen. Men spreekt van modellen in volledig mechanisch en thermisch evenwicht. Is daarentegen τ << τHK , dan zijn de waarden van de rechterleden van de twee laatste vergelijkingen gegeven in (3.57) groot t.o.v. die van de eerste twee vergelijkingen. Dit betekent dat de tijdsafhankelijke termen in de energievergelijking elkaar in zeer goede benadering opheffen, wat impliceert dat dq/dt ≈ 0. In dit geval hebben we te maken met een quasi-adiabatische verandering. Een voorbeeld hiervan is een ster die pulseert op een tijdschaal τ << τ HK . De variabele lichtkracht van een pulserende ster is het gevolg van variaties in εg en niet in ε. Voor een uitvoerige observationele studie van pulserende sterren verwijzen we naar de gelijknamige cursus welke gedoceerd wordt gedurende het eerste semester in de tweede licentie, terwijl de theoretische studie van stertrillingen aan bod komt tijdens het tweede semester van de tweede licentie. Zoals wellicht reeds duidelijk geworden is steunt de bepaling van de tijdschalen op enige willekeur. Immers, we konden bijvoorbeeld evengoed als gemiddelde afstand R of R/10 genomen hebben in plaats van R/2 en dezelfde opmerking geldt voor de gemiddelde massa. Het is echter niet de bedoeling om precieze waarden voor de tijdschalen te bekomen maar eerder een gevoel te krijgen voor de orden-van-grootte ervan. Bij het afleiden van de relatie tussen de verschillende tijdschalen hebben we bovendien steeds ondersteld dat de ster uniform verandert. Wanneer echter enkel sommige delen van de ster moeten beschouwd worden omwille van niet-uniforme variaties zijn bovenstaande redeneringen niet meer nauwkeurig omdat met lokale tijdschalen moet gewerkt worden.
50
Hoofdstuk 4
Additionele relevante toestandsfuncties De temperatuur treedt niet op in vergelijkingen (3.18). Dit laat voor bepaalde toestandsfuncties toe om deze twee vergelijkingen af te scheiden van de thermo-energetische vergelijkingen die tevens nodig zijn om de sterstructuur te bepalen. We bespreken nu nog twee van zulke toestandsfuncties die belangrijk zijn in het leven van een ster.
4.1 Polytropen We beschouwen een ster in hydrostatisch evenwicht en gebruiken de Euleriaanse beschrijvingswijze. Voor een tijdsonafhankelijk stermodel dient de gravitatiepotentiaal te voldoen aan de volgende twee vergelijkingen: dΦ dP = −ρ ,
dr
dr
1 d dΦ r2 = 4πGρ. 2
(4.1)
r dr dr Wanneer ρ niet afhangt van T : ρ = ρ(P ), dan kan deze relatie ingevuld worden in (4.1), welke dan een systeem van twee vergelijkingen voor de twee onbekenden P en Φ vormt. Deze vergelijkingen kunnen opgelost worden zonder beroep te moeten doen op de vergelijking die het energietransport beschrijft (zie volgend hoofdstuk). We veronderstellen nu dat we een eenvoudige relatie hebben tussen de druk en de dichtheid die van volgende vorm is: 1 P = Kργ = Kρ1+ n , (4.2) waarbij K, γ en n constanten zijn. Een toestandsfunctie van de vorm (4.2) noemt men een polytroop. K is de polytropische constante en γ de polytropische exponent. In de plaats van γ gebruikt men ook vaak de polytropische index n, welke gedefinieerd is als n ≡ 1/(γ − 1). 51
In het algemeen is K constant voor e´ e´ n welbepaalde ster, maar ze neemt wel verschillende waarden voor verschillende sterren aan. Voor een isotherm ideaal gas kan de toestandsfunctie geschreven worden als P = (RT0 /µ)ρ zodat we in dit geval te maken hebben met een polytroop waarvoor K = RT 0 /µ, γ = 1, n = ∞. Voor een ideaal mono-atomisch gas waarvoor de stralingsdruk kan verwaarloosd worden is ∇ad = 2/5, wat betekent dat T ∼ P 2/5 . Bovendien is in dit geval µ =constant, waardoor T ∼ P/ρ en bekomen we uiteindelijk P ∼ ρ5/3 . Dit is opnieuw een polytroop, dit keer met γ = 5/3, n = 3/2. Een homogene gasvormige sfeer kan eveneens aanzien worden als een speciaal geval van (4.2) voor γ = ∞, n = 0. We zien dus dat polytropen inderdaad kunnen optreden, zowel bij eenvoudige toestandsfuncties die reeds van de vorm (4.2) zijn als voor een ideaal gas wanneer er een extra relatie tussen de temperatuur en de druk kan afgeleid worden. De eerste vergelijking van het stelsel (4.1) kan voor een polytropische relatie (4.2) omgevormd worden tot
dρ dΦ = −γKργ−2 . dr dr Voor γ = 6 1 kan deze vergelijking ge¨ıntegreerd worden tot ρ=
−Φ (n + 1)K
n
(4.3)
(4.4)
,
waarbij we de definitie van n gebruikt hebben en de integratieconstante zodanig gekozen werd dat Φ = 0 aan het steroppervlak. Wanneer we (4.4) invullen in de tweede vergelijking van (4.1), dan bekomen we een gewone differentiaalvergelijking voor Φ:
d2 Φ 2 dΦ −Φ + = 4πG dr 2 r dr (n + 1)K
n
.
(4.5)
We defini¨eren nu de dimensieloze veranderlijken z en w door 2 z = Ar met A =
n−1 4πG 4πG n−1 n (−Φ ) = ρ , c c (n + 1)n K n (n + 1)K
1/n ρ Φ = , w=
Φc
(4.6)
ρc
waar de benedenindex c het stercentrum aanduidt. In het centrum hebben we r = z = 0, Φ = Φ c , ρ = ρc en dus w = 1. Met de ingevoerde veranderlijken wordt (4.5) d2 w 2 dw + + wn = 0, dz 2 z dz
(4.7)
wat vervolgens kan omgevormd worden tot 1 d z 2 dz
z
2 dw
dz
+ wn = 0.
(4.8)
Vergelijking (4.8) is de Lane-Emden vergelijking. We wensen oplossingen van deze vergelijking te zoeken die eindig blijven in het stercentrum. Dit is voldaan wanneer dw/dz(0) = 0. In het algemeen moeten we 52
Figuur 4.1: De oplossingen van de Lane-Emden vergelijking (4.8) voor n = 3/2 en n = 3. oplossingen van de Lane-Emden vergelijking numeriek bepalen, vermits er enkel voor n = 0, 1, 5 analytische oplossingen bestaan. De functie w wordt in figuur 4.1 voorgesteld voor de twee gevallen n = 3 en n = 3/2. Stel dat we een oplossing w(z) gevonden hebben van de Lane-Emden vergelijking waarvoor w(0) = 1 en dw/dz(0) = 0. Volgens (4.6) wordt de radiale afhankelijkheid van de dichtheid dan gegeven door ρ(r) =
−Φc (n + 1)K
n
wn (Ar).
(4.9)
Voor de druk vinden we dan, volgens (4.2) en de definitie van γ, P (r) = P c wn+1 (Ar) met Pc = Kργc . Tenslotte leiden we een uitdrukking af voor de massa binnen de sfeer met straal r: m(r) =
Z
r 0
2
4πρr dr = 4πρc
Z
r 0
r3 w r dr = 4πρc 3 z n 2
Z
z 0
wn z 2 dz,
(4.10)
waar we gebruikt gemaakt hebben van (4.6). Volgens de Lane-Emden vergelijking is de integrand w n z 2 een afgeleide en deze kan bijgevolg onmiddellijk ge¨ıntegreerd worden met als resultaat −z 2 dw/dz. We bekomen dan voor de massa 1 dw 3 m(r) = 4πρc r − . (4.11) z dz Voor een evaluatie van de nauwkeurigheid van polytropische stermodellen verwijzen we naar de oefeningen.
4.2 Het ontaard elektronengas Als een gas een zeer hoge dichtheid bereikt, kan het niet meer met de ideale gaswet beschreven worden. Bij hoge dichtheden doen quantummechanische effecten zich gelden en we noemen een gas waarin dit merkbaar 53
Figuur 4.2: Een schematische voorstelling van het verschil tussen gewone (a) en ontaarde (b) materie voor een neutraal gas. Bij gewone materie zijn de binnenste elektronenschillen nog intact. In ontaarde materie zitten de atoomkernen dichter bij elkaar dan de helft van de diameter van de kleinst mogelijke stabiele elektronenschil. De elektronen kunnen daarom geen schillen meer vormen maar bewegen zich vrij tussen de kernen door en vormen zo een “gas”. Dit elektronengas oefent een grote druk uit. is een ontaard gas. Een schematische vergelijking tussen “gewone” en ontaarde materie in een neutraal gas wordt gegeven in figuur 4.2. In geval a bewegen de elektronen op normale wijze in hun schillen rondom de atoomkernen, in geval b is de onderlinge afstand tussen de atoomkernen zodanig klein dat de elektronen niet meer op hun schillen kunnen bewegen en een “gas” vormen dat tussen de atoomkernen beweegt. De quantummechanica gebiedt dan geen twee identieke deeltjes dezelfde plaats e´ n snelheid kunnen hebben, binnen de nauwkeurigheid waarmee deze volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg gemeten kunnen worden. Deze wet noemt men het uitsluitingsprincipe van Pauli. Met andere woorden: als twee elektronen zich heel dicht bij elkaar bevinden, kunnen ze niet precies dezelfde snelheid hebben. In een ijl gas wordt de gemiddelde snelheid van de deeltjes bepaald door de temperatuur. Als de temperatuur hoog is, is de gemiddelde snelheid van de deeltjes groot. De gasdruk hangt vervolgens van de snelheid van de deeltjes af. Omdat de afstand tussen de deeltjes groot is, is de beperking die het uitsluitingsprincipe oplegt aan de snelheden van de deeltjes niet merkbaar. Een gas waarvoor dit geldt noemt men dan een ideaal gas (zie Hoofdstuk 2). De situatie is anders voor een gas dat is samengeperst tot hoge dichtheid: dan zijn alle mogelijke lage snelheden bezet, zodat vele deeltjes gedwongen worden om hoge snelheden aan te nemen. Deze snelheden zijn veel hoger dan diegene die de deeltjes zouden hebben wanneer ze zich in een ijl gas met dezelfde temperatuur zouden bevinden. Als de dichtheid van een ontaard gas extreem hoog wordt, komen de snelheden waartoe de deeltjes gedwongen worden in de buurt van de lichtsnelheid. Zo’n gas noemen we een relativistisch ontaard gas. Doordat de onzekerheidsrelatie het product van de massa en 54
de snelheid bevat, raken de lichtste deeltjes het eerst ontaard. In een normaal gas zijn dat de elektronen. We beschouwen een gas met een voldoende hoge dichtheid zodat druk-ionisatie optreedt. Dit effect doet zich voor wanneer er geen gebonden atomen voorkomen doordat de orbitale straal a van de elektronen vergelijkbaar of groter wordt dan de helft van de afstand d tussen twee atomen. In het geval van neutraal waterstof worden a en d gegeven door a = a0 ν 2 , d ≈
3 4πnH
1/3
,
(4.12)
met a0 = 5.3 × 10−9 cm de Bohrstraal, ν het hoofdkwantumgetal en n H het aantal waterstofdeeltjes per volume-eenheid. Een gas zal geen druk-ionisatie ondergaan zolang a < d/2, wat volgende voorwaarde voor het hoofdquantumgetal impliceert: 1/3 1 3 2 . (4.13) ν < 4πnH 2a0 In het centrum van de zon hebben we ρc ≈ 170 g/cm3 , nH ≈ 1026 cm−3 en dus wordt de voorwaarde opdat druk-ionisatie niet zou optreden gegeven door ν 2 < 0.13. Dit betekent dat de grondtoestand van het waterstofatoom niet kan optreden en dat alle waterstofatomen in het centrum van de zon ge¨ıoniseerd moeten zijn. In stercentra hebben we steeds te maken met druk-ge¨ıoniseerde gassen. Hiervan raken de elektronen eerst ontaard en pas daarna de neutronen. We bestuderen nu vrije elektronen die zich in een druk-ge¨ıoniseerd gas bevinden. In de lokale ruimte van hoeveelheid van beweging px , py , pz wordt elk elektron voorgesteld als een sferisch symmetrische “wolk” rond de oorsprong. Wanneer we de absolute waarde van de hoeveelheid van beweging voorstellen door p (met p2 = p2x +p2y +p2z ), dan wordt in termen van de klassieke mechanica de verdelingsfunctie van de impuls van de elektronen beschreven door de Maxwell-verdelingsfunctie (2.37), welke we nu beschouwen in termen van de impuls: ! p2 4πp2 exp − . (4.14) f (p) = 2me kT (2πme kT )3/2 Het maximum van deze verdelingsfunctie treedt op bij p max = (2me kT )1/2 . Wanneer er een daling van de temperatuur T optreedt, dan verschuift het maximum naar kleinere p-waarde en de waarde van het maximum van f (p) wordt groter (zie figuur 4.3). Het aantal vrije elektronen met deeltjesdichtheid n e die zich in een volume dV van het druk-ge¨ıoniseerd gas bevinden en die een impuls hebben in het interval [p, p + dp], wordt bekomen door de waarschijnlijkheidsverdeling te vermenigvuldigen met n e dV en wordt dus gegeven door de zogenaamde Boltzmann verdelingsfunctie: ! p2 4πp2 ne f (p)dpdV = ne exp − dpdV. (4.15) 2me kT (2πme kT )3/2 Stappen we nu even af van de klassieke mechanica en beschouwen we de volgende quantummechanische overwegingen. Vermits de elektronen moeten voldoen aan het Pauli principe is er een beperking op het aantal elektronen die in een bepaalde toestand kunnen voorkomen. Elke quantumcel van de zes dimensionale faseruimte (x, y, z, px , py , pz ) kan slechts twee elektronen bevatten. Het volume van zulk een quantum cel 55
Figuur 4.3: Maxwell-verdelingsfuncties f (p) worden getoond in functie van de hoeveelheid van beweging p (dunne lijnen) voor een elektronengas met dichtheid n e = 1028 cm−3 (wat overeenkomt met een dichtheid ρ = 1.66 × 104 g cm−3 voor µe = 1) voor verschillende temperaturen. De dikke lijn duidt de bovenlimiet aan, opgelegd door het Pauli principe.
56
bedraagt dpx dpy dpz dV = h3 , met h de constante van Planck. In de schil [p, p + dp] van de ruimte van hoeveelheid van beweging zijn er 4πp2 dpdV /h3 quantumcellen, die slechts 8πp2 dpdV /h3 elektronen kunnen bevatten. Deze quantummechanische overwegingen geven dus een bovenlimiet op het aantal elektronen: f (p)dpdV ≤ 8πp2 dpdV /h3 .
(4.16)
Deze bovenlimiet is aangeduid als de parabool in figuur 4.3 en levert een bovengrens voor f (p). We stellen vast dat de Boltzmann verdeling voor n e =constant in tegenspraak is met de quantummechanische bovenlimiet voor voldoende lage temperaturen. Hetzelfde resultaat geldt voor T =constant en voldoende hoge dichtheden vermits de Boltzmann verdeling evenredig is met n e . We moeten daarom afstappen van het klassieke beeld en quantummechanische effecten in rekening brengen wanneer de temperatuur van het gas te laag is of de elektronendichtheid te hoog. In dat geval overschrijdt de distributiefunctie namelijk haar bovenlimiet opgelegd door het Pauli principe. Beschouwen we nu een elektronengas waarvoor de elektronen de laagst mogelijke energie hebben (T = 0 K). De toestand waarin al deze elektronen een zo laag mogelijke energie hebben en nog voldoen aan het Pauli principe is diegene waarin alle fasecellen tot een zekere hoeveelheid van beweging p F bevolkt zijn met twee elektronen, terwijl alle andere cellen leeg zijn: 8πp2 h3 f (p) = 0 f (p) =
voor p ≤ pF ,
(4.17)
voor p > pF .
Deze verdelingsfunctie wordt getoond in figuur 4.4. Het totaal aantal elektronen in het volume dV wordt dan gegeven door Z pF 8πp2 8π ne dV = dV dp = 3 p3F dV. (4.18) 3 h 3h 0 Voor gegeven elektronendichtheid vinden we zo de Fermi hoeveelheid van beweging of Fermi-impuls p F ∼ 2/3 1/3 ne . Voor niet-relativistische elektronen is de Fermi-energie E F = p2F /2me ∼ ne . We zien dat, hoewel de temperatuur van het elektronengas nul is, de elektronen een energie verschillend van nul hebben die kan oplopen tot EF . Wanneer de elektronendichtheid zeer hoog is, kunnen de snelheden van de snelste elektronen een aanzienlijke fractie van de lichtsnelheid bedragen. We dienen daarom de uitdrukkingen voor de totale energie en de hoeveelheid van beweging afgeleid volgens de speciale relativiteitstheorie te gebruiken: p= p
me v , 1 − v 2 /c2
Etot = p
s
c2
(4.19) p2
me = m e c2 1 + 2 2 , 2 2 me c 1 − v /c
met me de rustmassa van het elektron. De kinetische energie van het elektron is verbonden met de totale energie door E = Etot − me c2 . Om een toestandsfunctie voor het ontaard elektronengas af te leiden moeten we een uitdrukking zoeken voor de druk, welke per definitie de flux van hoeveelheid van beweging doorheen een eenheidsoppervlak per eenheid van tijd is. Beschouw hiertoe een eenheid van oppervlak dσ met normaalvector ~n (zie figuur 4.5). 57
Figuur 4.4: De verdelingsfunctie f (p) in functie van de hoeveelheid van beweging p voor een volledig ontaard elektronengas met temperatuur het absolute nulpunt en dichtheid n e = 1028 cm−3 . Een willekeurige vector ~s definieert dan de hoek θ ingesloten door ~n en ~s. We bepalen nu het aantal elektronen die per seconde doorheen dσ bewegen binnen de ruimtehoek dΩ s omheen de richting ~s. We beperken ons tot elektronen met een impuls in het interval [p, p + dp]. Op de positie van het oppervlakte element zijn er f (p)dpdΩs /(4π) elektronen per eenheidsvolume en per eenheid van ruimtehoek die de gepaste hoeveelheid van beweging hebben. Er zullen dus f (p)dpdΩ s v(p) cos θdσ/(4π) elektronen per seconde doorheen het oppervlak dσ binnen de ruimtehoek dΩ s bewegen. Hierbij is v(p) de snelheid gedefinieerd door (4.19). Elk elektron draagt een hoeveelheid van beweging met absolute waarde p en met richting ~s. De component hiervan in de richting van ~n bedraagt p cos θ. We bekomen dan de totale flux van hoeveelheid van beweging in de richting ~n door te integreren over alle richtingen ~s van een sfeer en over alle absolute waarden p. We vinden zo een elektronendruk Pe Pe =
Z Z
∞
Ω 0
8π f (p)v(p)p cos θdpdΩs /(4π) = 3 3h 2
Z
pF
p3 v(p)dp,
(4.20)
0
waarbij we f (p) vervangen hebben door (4.17). Aan de hand van de uitdrukking voor p gegeven in (4.19) vinden we dan 8πc Pe = 3 3h
Z
pF 0
8πc5 m4e p/me c dp = p 3h3 [1 + p2 /(m2e c2 )]1/2 3
Z
x 0
ξ 4 dξ , (1 + ξ 2 )1/2
(4.21)
waarbij we de nieuwe veranderlijken ξ ≡ p/(m e c), x ≡ pF /(me c) ingevoerd hebben. Men kan tonen dat de integraal in het rechterlid van deze uitdrukking gegeven wordt door
1/2 1/2 1/2 3 1 1 2 x 2 ≡ g(x) x 2x − 3 1 + x2 + 3 sinh−1 x = 2x − 3 x2 + 1 + ln x + 1 + x2 8 8 8 8
zodat
Pe =
πm4e c5 g(x). 3h3 58
(4.22)
Figuur 4.5: Een oppervlakte element dσ met normaalvector ~n en een willekeurige eenheidsvector ~s, welke de as is van de ruimtehoek dΩs . Tenslotte schrijven we met behulp van de definitie van x het aantal elektronen als ne =
8πm3e c3 3 ρ = x . µe mu 3h3
(4.23)
Deze laatste twee vergelijkingen defini¨eren de functie P e (ne ). Om een uitdrukking voor de toestandsfunctie P e (ρ) te vinden, leiden we eerst het asymptotisch gedrag van de functie g(x) af. Hiertoe schrijven we x als x=
vF /c x2 vF2 pF = = , of me c c2 1 + x2 (1 − vF2 /c2 )1/2
(4.24)
waarbij vF de snelheid van de elektronen met een hoeveelheid van beweging p = p F voorstelt. Wanneer x 1, dan is vF /c 1 en bewegen de elektronen merkelijk trager dan de lichtsnelheid (niet-relativistische limiet). Anderzijds impliceert x 1 dat v F /c → 1. Hoe groter x hoe meer elektronen relativistisch bewegen en voor heel grote x bewegen nagenoeg alle elektronen relativistisch. De functie g(x) heeft volgend asymptotisch gedrag: 8 x → 0 : g(x) → x5 , x → ∞ : g(x) → 2x4 . (4.25) 5 Wanneer x 1 kunnen relativistische effecten verwaarloosd worden. (4.22) levert in deze limiet Pe =
8πm4e c5 5 x . 15h3
(4.26)
Substitueren we hierin de uitdrukking voor x gegeven in (4.23), dan bekomen we Pe =
1 20
2/3
3 π
h2 5/3 1 n = me e 20
2/3
3 π
h2 me
ρ µe mu
5/3
,
(4.27)
waar we in de laatste stap gebruikt hebben dat ρ = n e µe mu . We merken op dat deze toestandsfunctie de vorm van een polytroop heeft met γ = 5/3, n = 3/2. 59
Voor x 1 bevinden we ons in de extreem relativistische limiet en vinden we voor de elektronendruk
2πm4e c5 4 x . 3h3 Opnieuw x substitueren op basis van (4.23) levert in dit geval
(4.28)
Pe =
Pe =
1/3
3 π
hc 4/3 n = 8 e
1/3
3 π
hc 8
ρ µe mu
4/3
.
(4.29)
We vinden dus opnieuw een polytroop, ditmaal met γ = 4/3, n = 3. Voor beide extremen van het volledig ontaard elektronengas vinden we een polytropische toestandsfunctie (waarvan het verloop van de functie w geschetst werd in figuur 4.1) waarbij de constante K enkel bepaald wordt door natuurconstanten. Dit is in tegenstelling met de voorbeelden in vorige sectie waar K een vrije constante was die voor elke ster kan verschillen. Wanneer de temperatuur niet nul is zullen niet alle elektronen dicht op mekaar gestapeld zijn in cellen met een zo laag mogelijke hoeveelheid van beweging. Voor voldoende hoge temperaturen zullen de elektronen wel voldoen aan de Boltzmann statistiek. Er bestaat een continue overgang van een toestand van volledige ontaarding naar een toestand van een niet-ontaard gas. Men spreekt dan van parti e¨ le ontaarding. De verdeling van de fasecellen volgt dan een zogenaamde Fermi-Dirac statistiek, die een ontaardingsparameter ψ ∈ [−∞, ∞] bevat. Deze parameter geeft aan welke fractie van de cellen opgevuld is en is afhankelijk van ne en T . In dit geval kan de toestandsfunctie niet meer als een eenvoudige analytische relatie tussen de elektronendruk en de dichtheid geschreven worden. Voor ψ → −∞ vinden we in het geval van het nietrelativistische partieel ontaard elektronengas een elektronendruk die dezelfde is als diegene voor het ideaal gas: Pe = ne kT . Voor een niet-relativistisch partieel ontaard gas met ψ 1 (grote graad van ontaarding) vinden we de toestandsfunctie (4.27) terug. Voor de relativistische limiet van sterke ontaarding (ψ → +∞) vinden we de toestandsfunctie (4.29) terug. Een belangrijke grafiek is diegene waar men de temperatuur uitzet t.o.v. de dichtheid en vervolgens de gebieden waarin verschillende benaderingen voor de toestandsvergelijking geldig zijn aanduidt. Voor het opstellen van zulk een grafiek verwijs ik naar de oefeningen.
4.3 De limietmassa van Chandrasekhar We beschouwen nu een polytropisch model waarin de druk verbonden is met een niet-relativistisch ontaard elektronengas. De centrale dichtheid en gemiddelde dichtheid stijgt in zulk een medium met stijgende stermassa. Echter, wanneer de dichtheid stijgt wordt het elektronengas meer en meer relativistisch. We kunnen ons dan voorstellen dat we evolueren naar een ster met een relativistische kern waarin de druk beschreven wordt door een polytroop met n = 3 (zie 4.27) en een niet-relativistische enveloppe met een druk gegeven door een polytroop met n = 3/2 (zie 4.29). Er moet dan een overgangsgebied zijn waarin de druk continue varieert en een waarde aanneemt tussen beide uitdrukkingen (4.27) en (4.29). Het was de fysicus Chandrasekhar die voor het eerst zulke modellen beschouwde om de zogenaamde witte dwergen (zie laatste hoofdstuk) te begrijpen. 60
De vraag rijst dan hoe zulk een model varieert met stijgende massa. Bij kleine M blijft het hele model niet-relativistisch en geeft een polytroop met n = 3/2 een goede beschrijving. Wanneer de centrale dichtheid hoog genoeg is zal een steeds groter gedeelte van de sterkern relativistisch worden. We verwachten dat de ster uiteindelijk evolueert naar een toestand waarbij alle deeltjes relativistisch bewegen en de druk wordt beschreven door een polytroop met polytropische index n = 3. Deze zienswijze stuit echter op het volgend probleem. Uit de definitie van de veranderlijke z vinden we 1−n
R ∼ ρc2n , waardoor uit M ∼ ρc R3 volgt dat
3−n
M ∼ ρc 2n .
(4.30)
(4.31)
We stellen dus vast dat de massa van een polytroop met n = 3 niet afhangt van de centrale dichtheid: M =constante. Er is dus maar e´ e´ n toegestane massa voor een volledig ontaard relativistisch elektronengas dat voldoet aan een polytroop met n = 3. Deze massa wordt volledig bepaald door natuurconstanten en de waarde van de functies z en w 0 in het nulpunt van de polytroop met n = 3. De numerieke limietwaarde van de enige toegelaten massa bedraagt 5.836 M . (4.32) MCh = µ2e Oefening : Ga dit na door de centrale druk af te schatten. Men noemt (4.32) de limietmassa van Chandrasekhar. Ze duidt het eindpunt aan van het convergentieproces van modellen met stijgende centrale dichtheid. De limietmassa (4.32) is zeer laag als men bedenkt dat er zoveel sterren zijn die duidelijk veel massiever zijn. Echter, alle sterren die nog niet aan de ultieme eindfase van hun leven begonnen zijn, hebben een toestandsfunctie die ver afwijkt van een ontaard elektronengas en de beperking op de massa is voor hen dus absoluut niet van toepassing. Voor witte dwergen, echter, treedt effectief een ontaard elektronengas op zoals we zullen bespreken in het laatste hoofdstuk. Voor deze sterren is µ e = 2 een goede benadering en vinden we de voorwaarde M < MCh = 1.46 M . (4.33) Ondanks het feit dat we de limietmassa bepaald hebben aan de hand van een polytropisch model blijft het resultaat ook nagenoeg geldig voor een meer realistische toestandsfunctie, precies omdat voor extreem hoge dichtheden de druk van het elektronengas convergeert naar de polytropische druk met γ = 4/3, n = 3. Wanneer we werken met een meer realistisch, niet-polytropisch model vinden we M Ch = 1.44 M . Er is tot nu toe inderdaad nog geen enkele witte dwerg gevonden met een massa die M Ch overschrijdt (zie cursus Gevorderde Astrofysica, 2de licentie). Voor zijn studie van witte dwergen heeft Chandrasekhar de Nobelprijs voor Natuurkunde gekregen.
61
62
Hoofdstuk 5
Energietransport De energie die een ster straalt doorheen haar oppervlak is afkomstig van de hete centrale delen. Dit betekent dat er transport van energie plaatsgrijpt doorheen het stermateriaal. Dit energietransport is mogelijk dank zij het bestaan van een temperatuursgradi¨ent. Afhankelijk van de omstandigheden gebeurt het transport door straling, conductie of convectie. De deeltjes (fotonen, atomen, elektronen) worden continu uitgewisseld tussen warmere en koelere regionen. Hun reisweg en het temperatuursverschil met de omgeving bepalen hoe het energietransport gebeurt. In dit hoofdstuk bespreken we de vergelijking die het energietransport beschrijft. Deze vergelijking vormt de volgende basisvergelijking voor de sterstructuur.
5.1 Transport door straling We starten met enkele ruwe afschattingen van cruciale grootheden die het radiatief transport kenmerken. Deze zullen ons toelaten het formalisme enorm te vereenvoudigen.
5.1.1 Gemiddelde vrije weglengte Een eerste afschatting betreft de gemiddelde vrije weglengte ` f van een foton dat zich in een punt in een ster bevindt waar een dichtheid ρ heerst: 1 , (5.1) `f = κρ met κ de “gemiddelde” absorptieco¨effici¨ent of opaciteit, waarmee we de microscopische radiatieve werkzame doorsnede per eenheidsmassa, gemiddeld over alle frequenties, bedoelen. We lichten eerst de betekenis van een werkzame doorsnede en de gemiddelde vrije weglengte toe, welke begrippen zijn die ingevoerd worden in de algemene context van botsingswaarschijnlijkheden.
63
De vraag die we ons stellen is onder welke voorwaarde twee deeltjes een botsing zullen ondergaan. Wanneer we twee sferisch symmetrische deeltjes A en B beschouwen, met respectievelijke stralen r a en rb , dan botsen ze met elkaar als de onderlinge afstand d tussen hun centra kleiner of gelijk wordt aan de som van de stralen: d ≤ ra + rb . Deze voorwaarde kan eveneens uitgedrukt worden door te zeggen dat het centrum van het deeltje B (het projectiel) moet vallen binnen of op de cirkel met middelpunt A en straal r = ra + rb . Men kan bijgevolg de botsing opvatten als een botsing van een stationair deeltje met straal ra +rb en een puntvormig invallend deeltje. Het sferisch stationair deeltje kan verder nog vervangen worden door een cirkelvormige schietschijf loodrecht op de invalsrichting. De oppervlakte van deze schijf wordt de microscopische werkzame doorsnede κ genoemd en is gelijk aan κ = π(r a + rb )2 . We beschouwen nu een kubusvormige planparallelle sterlaag met afmetingen l × l × dx, waarbij de dikte van de laag dx zodanig klein is dat in de richting evenwijdig met dx de schietschijven elkaar niet bedekken en waarbij de invalsrichting van de projectielen evenwijdig is met dx. We veronderstellen dat in de planparallelle laag een dichtheid ρ heerst. In totaal bevat de laag dan ρl 2 dx schietschijfjes per eenheidsmassa. Deze hebben een totale werkzame doorsnede gegeven door κρl 2 dx per eenheidsmassa. De waarschijnlijkheid dat een invallend deeltje een botsing zal ondergaan wordt gedefinieerd door de verhouding van de oppervlakte ingenomen door een eenheidsmassa van schietschijfjes tot de totale oppervlakte van de laag en is bijgevolg gelijk aan κρl 2 dx/l2 = ρκdx. Het product κρ noemt men de macroscopische werkzame doorsnede per eenheidsmassa. Deze heeft de dimensie van een reciproke lengte. Indien de waarschijnlijkheid voor een botsing p is voor e´ e´ n invallend deeltje, dan betekent dit dat men gemiddeld 1/p deeltjes zal moeten afsturen op de planparallelle laag om e´ e´ n botsing te laten plaatsgrijpen. In het beschouwde geval moet men dus gemiddeld 1/ρκdx deeltjes in een eenheidsmassa van de planparallelle laag zenden om een botsing teweeg te brengen over de afstand dx. De gemiddelde afstand die het deeltje zal afleggen vooraleer een botsing te ondergaan is dan 1/ρκdx/dx = 1/ρκ per eenheidsmassa. Deze gemiddelde afstand noemt men de gemiddelde vrije weglengte. In het geval de projectielen fotonen zijn, noteren we de gemiddelde vrije weglengte als ` f . De opaciteit hangt af van de interactie van straling en materie, met name van de gedetailleerde verdeling van de atomen in het gas, van de bezetting van de energieniveaus, van de ionisatiegraden en van de toestandsfunctie van het gas. Het weze duidelijk dat de berekening van κ een gigantisch werk is, waar wetenschappers van verschillende grote internationale teams aan werken. Het resultaat van zulke activiteit is het opstellen van zogenaamde opaciteitstabellen, waarin de waarden van κ beschreven staan in functie van de dichtheid, de temperatuur en de chemische samenstelling. Er bestaan enkele eenvoudige benaderingen voor de opaciteit, die een idee geven van de afhankelijkheid ervan van de thermodynamische toestand van het gas beschreven door ρ en T . De benadering van Kramers is de best gekende: κ = κ0 ρ T −3.5 , (5.2) waarbij κ0 een constante is die afhangt van de chemische samenstelling. Deze dichtheids- en temperatuursafhankelijkheid van de opaciteit is nauwkeurig in het sterinwendige van laagmassieve sterren, waar de temperatuur vrij laag blijft. In de stercentra van massieve sterren domineert de verstrooiing aan vrije elektronen (Thomson verstrooiing) de opaciteit, welke hierdoor onafhankelijk van de dichtheid en de temperatuur wordt. Dit laatste geldt eveneens algemeen wanneer een gas volledig ge¨ıoniseerd is. In dat geval 64
vormt κe = 0.2(1 + X) ≈ 0.4 cm2 /g een goede benadering voor de opaciteit. Dit is meteen een benedenlimiet voor κ, vermits gebonden-gebonden overgangen in partieel ge¨ıoniseerde atomen veel bijdragen tot de opaciteit. Bij temperaturen beneden 6 – 10 000 K domineert de absorptie van fotonen door het negatief waterstofion (het waterstof atoom met een extra elektron) H − de opaciteit. Deze situatie treedt op in de atmosfeer van sterren met massa beneden e´ e´ n zonsmassa. De extra elektronen worden hier geleverd door de ionisatie van metalen. De opaciteit is in dit geval evenredig met de deeltjesdichtheid van H − en dus met de dichtheid van de elektronen. Anders gezegd: de opaciteit wordt volledig bepaald door de graad van ionisatie en zij stijgt met stijgende temperatuur, in tegenstelling tot in uitdrukking (5.2) welke geldig is in sterinwendigen. Als typische waarden voor κ in een ster kunnen we het geval van ge¨ıoniseerd waterstof in de sterkern beschouwen: κ ≈ 1 cm2 /g. 3 = 1.4 g/cm3 , bekomen we aan de Voor de gemiddelde dichtheid van de zon, ρ = 3M /4πR hand van κe een bovenlimiet voor de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen gegeven door ` f ≈ 2 cm ! Fotonen ondergaan vele botsingen vooraleer ze van hun plaats van creatie (het stercentrum) het steroppervlak bereiken. Dit betekent dat stermateriaal in het algemeen zeer opaak is. Dit is niet meer geldig in de fotosfeer van een ster of in rode reuzen, waar de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel groter is.
5.1.2 De temperatuursgradi¨ent Een typische waarde voor de temperatuursgradi¨ent in een ster zoals de zon kan bekomen worden door gemiddelden voor de temperatuur en de afstand tussen het stercentrum (T C ≈ 107 K) en het steroppervlak (TO ≈ 104 K) te nemen: TC − T O 4T ≈ 1.4 × 10−4 Kcm−1 , (5.3) ≈ 4r R
m.a.w. 14 K per kilometer.
Het stralingsveld in een gegeven punt wordt bepaald door een klein, zo goed als isotherm gebied, dat het punt omgeeft. Immers, het verschil in temperatuur in dit gebied bedraagt ongeveer 4T = ` f (dT /dr) ≈ 3 × 10−4 K. De relatieve anisotropie van de straling in een punt met temperatuur T = 10 7 K wordt veroorzaakt door 4T /T ∼ 3×10−11 . Deze getalwaarde toont dat de toestand in het sterinwendige van de zon inderdaad zeer dicht bij thermisch evenwicht moet zijn en dat straling zeer goed kan benaderd worden door die van een zwarte straler, waarvoor de energiedichtheid ∼ T 4 en dus de relatieve anisotropie van de straling ∼ 10−10 bedraagt. Ondanks het feit dat de anisotropie zeer klein is, is ze toch verantwoordelijk voor de enorme lichtkracht van de ster. Een fractie van 10 −10 van de flux uitgestraald door 1 cm2 van een zwarte straler met een temperatuur van 107 K is nog steeds 1000 keer groter dan de flux die we ontvangen van het zonsoppervlak !
5.1.3 De diffusiebenadering Het radiatief energietransport in een ster treedt op omwille van een surplus aan buitenwaartse straling (gestraald vanuit heter materiaal dichter bij de kern) t.o.v. de binnenwaarts gerichte straling (gestraald vanuit 65
koelere buitenlagen). De afschattingen hierboven beschreven tonen dat de gemiddelde vrije weglengte van de “transporterende deeltjes” (fotonen) bijzonder klein is t.o.v. de karakteristieke lengte waarover het transport gebeurt (de sterstraal): `f /R ≈ 3 × 10−11 . In dit geval mogen we het energietransport behandelen als een diffusieproces, wat een enorme vereenvoudiging van het formalisme met zich meebrengt. We herhalen dat deze benadering niet goed is in de fotosfeer van de ster.
Algemene beschrijving We herhalen eerst de diffusievergelijking in algemene natuurkundige termen. In het algemeen wordt de diffusieve flux f~ van deeltjes per eenheid van oppervlak, per eenheid van tijd, gemiddeld over alle frequenties, tussen gebieden van verschillende deeltjesdichtheid n (uitgedrukt per eenheid van volume) gegeven door ~ f~ = −D ∇n.
(5.4)
Hierbij wordt de diffusieco¨effici¨ent D bepaald door enerzijds de snelheid v van de deeltjes en anderzijds hun gemiddelde vrije weglengte `d : 1 (5.5) D = v`d . 3 Deze vorm van de diffusievergelijking is algemeen. We geven even een korte toelichting hoe ze tot stand komt. Onderstel dat in een gaslaag de beweging van deeltjes in e´ e´ n richting gebeurt, nl. lang de x-as. Stel dat we de stroom van deeltjes doorheen een fictief oppervlak loodrecht op de x-as wensen te bepalen. Het aantal deeltjes per eenheid van volume links van het vlak noteren we als n − , die rechts van het vlak als n+ . Om in een tijdsinterval 4 t doorheen het vlak te kunnen bewegen, mogen de deeltjes zich maximaal op een afstand vx 4 t bevinden, waarbij vx hun snelheid in de x-richting is. De helft van de deeltjes op afstand vx 4 t zal zich in de richting van het vlak verplaatsen, de andere helft beweegt weg van het vlak. De netto stroom van deeltjes doorheen het vlak per eenheid van tijd bedraagt dan: fx =
n− vx 4 t n+ vx 4 t (n− − n+ ) vx − = . 24 t 24 t 2
(5.6)
Voor de betekenis van n− en n+ redeneren we als volgt: elk van de deeltjes kan zich maximaal over een afstand `x bewegen alvorens te interageren met een ander deeltje. We kunnen zodoende het verschil in deeltjesdichtheid links en rechts van het vlak verbinden met de gemiddelde vrije weglengte op volgende wijze: dn dn n+ − n − = 4x = 2`x . (5.7) dx dx De flux in de x-richting wordt dan: dn fx = −`x vx . (5.8) dx We nemen aan dat er geen voorkeursrichting bestaat. Gemiddeld kunnen we dan de snelheid van de deeltjes in de 3 ruimtelijke richtingen even groot nemen. In dat geval schrijven we de snelheid in de x-richting als
66
√ √ vx ' v/ 3. Een analoge redenering geldt voor de gemiddelde vrije weglengte: ` x = `/ 3. We vinden zo uiteindelijk 1 dn fx = − `v , (5.9) 3 dx waarvan de veralgemening naar drie dimensies de vergelijkingen gegeven in (5.4) en (5.5) oplevert.
Toepassing op het stergas Om de overeenkomstige radiatieve energieflux in een ster, gemiddeld over alle frequenties, f~ te bekomen, vervangen we achtereenvolgens n door de energiedichtheid (dit maal per eenheid van volume om de klassieke vorm van de diffusievergelijking handig te kunnen overnemen) van een zwarte straler u = aT 4 , v door de lichtsnelheid c en `d door `f gegeven in (5.1). Door de sferische symmetrie van de configuratie heeft f~ ~ zich tot de afgeleide in de radiale richting: slechts een radiale component fr = |f~| = f en reduceert ∇u ∂T ∂u = 4aT 3 . ∂r ∂r
(5.10)
Tot nu toe werkten we bij de afleiding van de sterstructuurvergelijkingen echter steeds per eenheid van massa en in dat geval krijgen we dus uiteindelijk: f =−
4ac T 3 ∂T . 3 κρ ∂r
(5.11)
We kunnen deze vergelijking formeel beschouwen als een vergelijking voor warmteconductie door ze te schrijven als ~ f~ = −krad ∇T, (5.12) met
4ac T 3 (5.13) 3 κρ de conductieco¨effici¨ent voor het radiatief transport. Wanneer we vergelijking (5.11) oplossen naar de temperatuursgradi¨ent en f vervangen door de locale lichtkracht l = 4πr 2 f bekomen we krad ≡
3 κρl ∂T . =− ∂r 16πac r 2 T 3
(5.14)
Tenslotte bekomen we, na transformatie naar de onafhankelijk veranderlijke m, de basisvergelijking voor het radiatief energietransport: ∂T 3 κl . (5.15) =− 2 4 ∂m 64π ac r T 3 Deze vergelijking wordt de Eddington vergelijking voor het energietransport door straling genoemd. We benadrukken dat deze eenvoudige vergelijking niet geldig is dicht bij het steroppervlak omdat de gemiddelde vrije weglengte daar, ten gevolge van de kleine dichtheid, vergelijkbaar wordt met de nog resterende afstand tot het steroppervlak. Hierdoor geldt de diffusiebenadering niet meer in de steratmosfeer en 67
dient daar een veel gecompliceerdere differentiaalvergelijking opgelost te worden om het energietransport te beschrijven. We beperken ons in deze cursus tot het gebied in de ster waar de diffusiebenadering gerechtvaardigd is. Voor een beschrijving van het energietransport in de steratmosfeer verwijzen we naar de cursus Steratmosferen welke gedoceerd wordt in het eerste semester van de tweede licentie.
5.1.4 Het Rosseland gemiddelde van de opaciteit De bovenstaande vergelijkingen zijn onafhankelijk van de frequentie ν vermits f, l en κ gedefinieerd werden als zijnde “gemiddelden” over alle frequenties. We bespreken nu een handige en nauwkeurige methode om dit gemiddelde voor de opaciteit κ te bepalen. We noteren het feit dat κ afhangt van de frequentie ν door een benedenindex ν toe te voegen. We doen dit voor alle relevante grootheden die frequentie-afhankelijk zijn: κν , `ν , Dν , uν en zo verder. Voor de diffusieve stralingsflux f~ν in het frequentie interval [ν, ν + dν] schrijven we nu ~ ν met Dν = 1 c`ν = c . f~ν = −Dν ∇u (5.16) 3 3κν ρ De energiedichtheid in het frequentie interval [ν, ν + dν] wordt gegeven door uν =
8πh ν3 4π B(ν, T ) = 3 , c c exp (hν/kT ) − 1
(5.17)
waarbij B(ν, T ) de Planck functie voor de intensiteit van een zwarte straler voorstelt. We verkrijgen zo ~ ν = 4π ∂B ∇T. ~ ∇u c ∂T
(5.18)
Deze laatste uitdrukking levert, samen met (5.16), volgende uitdrukking voor de totale, over alle frequenties ~ ge¨ıntegreerde flux f: Z Z ∞ 4π ∞ 1 ∂B ~ ~ ~ fν dν = − f= dν ∇T. (5.19) 3ρ 0 κν ∂T 0 We bekomen zo terug een vergelijking van de vorm (5.12), maar nu met krad
4π = 3ρ
Z
∞ 0
1 ∂B dν. κν ∂T
(5.20)
Als we deze uitdrukking voor krad vergelijken met deze gegeven in (5.13), dan bekomen we een goede methode voor het uitmiddelen van de absorptieco¨effici¨ent: π 1 ≡ κ acT 3
Z
∞ 0
1 ∂B dν. κν ∂T
(5.21)
Dit is het zogenaamde Rosseland gemiddelde van de opaciteit. Vermits Z
∞ 0
∂B acT 3 dν = ∂T π
(5.22)
is het Rosseland gemiddelde een harmonisch gemiddelde met gewichtsfunctie ∂B/∂T . Het is eenvoudig te bepalen eens de functie κν gekend is in de vorm van de opaciteitstabellen hierboven besproken. 68
Om de fysische interpretatie van het Rosseland gemiddelde te achterhalen herschrijven we f~ν = ~ ν met behulp van uitdrukkingen (5.16), (5.17) en (5.18): −Dν ∇u f~ν = −
1 ∂B κν ∂T
4π ~ ∇T. 3ρ
(5.23)
~ ), de integrand in uitdrukking Dit resultaat toont dat, voor een gegeven punt in de ster (gegeven ρ en ∇T (5.21) voor alle frequenties evenredig is met de netto energieflux f~ν . Het Rosseland gemiddelde is dus zodanig geconstrueerd dat het grootste belang wordt gegeven aan de frequenties met maximale energieflux. In die zin kan men stellen dat een gemiddelde transparantie, eerder dan opaciteit, wordt berekend. Een nadeel van het ingevoerde Rosseland gemiddelde is dat de opaciteit κ van een mengsel van twee verschillende gassen met opaciteiten κ 1 en κ2 , niet gelijk is aan de som van de opaciteiten: κ 6= κ 1 + κ2 . Daarom is het niet voldoende om het Rosseland gemiddelde van twee verschillende gassen, die samen in een gasmengsel optreden, te kennen voor de bepaling van het Rosseland gemiddelde van het gasmensel. Indien het gas bijvoorbeeld bestaat uit een fractie X aan waterstof en een fractie Y aan helium, dan moet het Rosseland gemiddelde berekend worden voor κ ν = Xκν(H) + Y κν(He) . Telkens de abondantie X/Y verandert, zal eerst κν opnieuw moeten bepaald worden vooraleer het Rosseland gemiddelde met behulp van uitdrukking (5.21) kan berekend worden. Tot nu toe hebben we ondersteld dat de energieflux enkel een gevolg is van een diffusieproces waaraan de fotonen deelnemen. In de volgende secties zullen we echter nog twee andere wijzen van energietransport bespreken. Daarom duiden we van nu af aan alle grootheden die verband houden met het radiatief energietransport aan met subindex “rad”, bijvoorbeeld κ rad , f~rad , enz.
5.2 Transport door conductie Energietransport door warmte conductie treedt op door botsingen ten gevolge van de thermische beweging van deeltjes zoals elektronen en kernen in ge¨ıoniseerde materie en atomen en moleculen in niet-ge¨ıoniseerde materie. In het “doorsnee” stermateriaal is warmte conductie geen belangrijke vorm van energietransport. De werkzame doorsnede voor botsingen van de deeltjes is wel vrij laag in het sterinwendige (ongeveer 10−20 cm2 per deeltje), maar de grote dichtheid zorgt ervoor dat de gemiddelde vrije weglengte verschillende orden van grootte kleiner is dan diegene voor de fotonen. Bovendien bedragen de snelheden van de deeltjes slechts een kleine fractie van de lichtsnelheid c. Hierdoor is de diffusieco¨effici¨ent D veel kleiner dan diegene voor radiatief transport door fotonen. Deze situatie verandert echter wanneer we te maken krijgen met de sterkernen van ge¨evolueerde sterren waarin het elektronengas ontaard is. De dichtheid in een ontaard elektronengas is enorm groot: 10 6 g cm−3 , maar anderzijds bereiken de elektronen snelheden die een grote fractie van c bedragen. De ontaarding doet bovendien de gemiddelde vrije weglengte aanzienlijk stijgen. Hierdoor wordt de diffusieco¨effici¨ent groot, wat resulteert in een belangrijk energietransport door warmteconductie. Deze vorm van energietransport overheerst dan het radiatief transport.
69
~ . De energieflux ten gevolge van warmteconductie f~cd kunnen we eveneens schrijven als f~cd = −kcd ∇T De som van de radiatieve en conductieve flux schrijven we dan als ~ f~ = f~rad + f~cd = − (krad + kcd ) ∇T.
(5.24)
Analoog als in (5.13) kunnen we de conductieco¨effici¨ent k cd formeel schrijven als kcd =
4ac T 3 , 3 κcd ρ
(5.25)
waarbij we de conductieve opaciteit κ cd ingevoerd hebben. De totale energieflux wordt dan 3
4ac T f~ = − 3 ρ
1 κrad
1 + κcd
~ ∇T.
(5.26)
Deze vergelijking toont dat we formeel dezelfde vergelijking bekomen als in de zuivere radiatieve situatie (5.11), indien we 1/κ daar vervangen door 1/κ rad + 1/κcd . Het transportmechanisme dat domineert (dat de grootste “transparantie” heeft) zal op deze wijze de som domineren. Vergelijking (5.15) met aangepaste κ geldt zowel voor radiatief als conductief transport. We zullen deze vergelijking nu herschrijven in een vorm die later handig zal blijken. In de onderstelling van hydrostatisch evenwicht delen we (5.15) door (3.17) en bekomen zo (∂T /∂m) 3 κl = . (∂P/∂m) 16πacG mT 3
(5.27)
We defini¨eren dan de verhouding van de parti¨ele afgeleiden in het linkerlid als (dT /dP ) rad : de variatie van T met de diepte waarbij de diepte wordt uitgedrukt in termen van de druk, welke monotoon stijgt naar de sterkern toe. Voor een ster in hydrostatisch evenwicht die energie transporteert via straling en conductie heeft (dT /dP )rad de betekenis van een gradi¨ent die de temperatuursvariatie met de diepte beschrijft. Voeren we de gebruikelijke afkorting d ln T ∇rad ≡ (5.28) d ln P rad
in, dan bekomen we voor (5.27)
3 κlP , (5.29) 16πacG mT 4 waarbij κ steeds duidt op de gecombineerde opaciteit ten gevolge van zowel conductief als radiatief transport. ∇rad noemt men de radiatieve temperatuursgradi¨ent. Het is een lokale logaritmische afgeleide van de temperatuur naar de druk die nodig zou zijn indien de lichtkracht volledig zou moeten worden getransporteerd door straling. ∇rad =
We merken op dat ∇rad en ∇ad verschillend gedefinieerd zijn en naast een verschillende numerieke waarde ook een andere fysische betekenis hebben. ∇ rad duidt op een lokale afgeleide die P en T verbindt in twee naburige massa-elementen terwijl ∇ ad een thermodynamische afgeleide is, die de thermische variatie van e´ e´ n bepaald massa-element beschrijft gedurende zijn adiabatische compressie. Opnieuw kunnen we een karakteristieke tijdschaal defini¨eren aan de hand van vergelijking (5.29), namelijk de thermische tijdschaal of ook de tijdschaal van thermische aanpassing τ th . Men kan tonen dat 70
τth ≈ τHK . Dit betekent dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal kan beschouwd worden als de tijd die een thermische fluctuatie nodig heeft om van de sterkern naar het steroppervlak te reizen. Ondanks de equivalentie tussen de twee tijdschalen is het best om ze apart te gebruiken. Het is immers zo dat de Helmholtz-Kelvin tijdschaal meestal gebruikt wordt voor de gehele ster terwijl de tijdschaal van thermische aanpassing vaak gebruikt wordt voor bepaalde delen in de ster.
5.3 Stabiliteitsanalyse Tot nu toe hebben we onze behandeling gebaseerd op de onderstelling van strikte sferische symmetrie. We onderstellen dus dat alle functies constant zijn over concentrische sferen. In de praktijk treden er kleine fluctuaties op, bijvoorbeeld de thermische beweging van de gasdeeltjes. Zulke lokale storingen kunnen verwaarloosd worden, op voorwaarde dat ze nooit uitgroeien tot macroscopische niet-sferische lokale bewegingen. Dit betekent dat we de onderstelling van sferische symmetrie in de basisvergelijkingen mogen bewaren indien we de veranderlijken beschouwen als nauwkeurige gemiddelde waarden over de concentrische sferen. De microscopische bewegingen kunnen echter een grote invloed op de sterstructuur hebben. Zo kunnen ze het stermateriaal vermengen (“mixing”) en bovendien energie transporteren. Dit laatste omdat hete gasbellen zullen stijgen terwijl koelere gasbellen dieper zinken. We spreken dan van energietransport ten gevolge van convectie. Het feit of convectie al dan niet optreedt in bepaalde sterlagen hangt af van het antwoord op de vraag of kleine optredende fluctuaties klein blijven dan wel kunnen uitgroeien. We hebben hier dus te maken met een vraag van stabiliteit. Daarom zullen we eerst criteria afleiden voor de stabiliteit t.o.v. lokale niet-sferisch symmetrische storingen alvorens convectief energietransport te behandelen.
5.3.1 Dynamische instabiliteit Het behandelen van dynamische instabiliteit steunt op de onderstelling dat de bewegende massa-elementen niet voldoende tijd hebben om een aanzienlijke fractie van hun warmte uit te wisselen met hun omgeving. Ze beweging m.a.w. a-diabatisch. Beschouw de situatie waarbij de fysische grootheden zoals temperatuur, dichtheid enz., de mogelijkheid hebben om niet exact constant te zijn aan de rand van een concentrische sfeer maar dat ze kleine fluctuaties kunnen ondergaan. Bij de behandeling van het globale probleem van de sterstructuur nemen we dan aan dat de functies die in vorige delen bepaald werden goede gemiddelden over de concentrische sferen zijn. Voor de lokale beschrijving zullen we een fluctuatie voorstellen door een massa-element (met benedenindex “e”) te beschouwen waarin de functies een lichtjes andere waarde aannemen dan diegenen in de naburige omgeving, aangeduid met benedenindex “o” (omgeving). Voor een grootheid A defini¨eren we het verschil DA tussen het element en de omgeving als DA ≡ A e − Ao . Onderstel nu een kleine temperatuursfluctuatie, bijvoorbeeld het voorkomen van een iets heter element met DT > 0. We zouden dan in eerste instantie een exces aan druk DP kunnen verwachten. Wat er 71
Figuur 5.1: Het element “e” met oorspronkelijke positie r wordt door een fluctuatie opgetild naar positie r + 4r. echter zal gebeuren is dat het element zal uitzetten tot het drukevenwicht met de omgeving hersteld is. Deze expansie zal optreden met de geluidssnelheid en is bijgevolg veel sneller dan eender welke beweging die het element kan ondergaan. Daarom kunnen we onderstellen dat het element altijd in evenwicht blijft met zijn omgeving wat de druk betreft: DP = 0. Voor een ideaal gas met ρ ∼ P/T heeft het exces aan temperatuur DT dus tot gevolg dat Dρ < 0, m.a.w. het element wordt lichter dan diegenen in zijn omgeving en daardoor zal de stuwkracht van Archimedes, gegeven door −g4ρ, ervoor zorgen dat het element opgetild wordt. Temperatuursfluctuaties gaan dus gepaard met bewegingen van elementen in de radiale richting. Voor het testen van de stabiliteit van de laag kunnen we dus evenzeer een radiale verplaatsing 4r > 0 van de elementen als initi¨ele perturbatie nemen. Beschouw dus een element dat volledig in evenwicht was met zijn omgeving op zijn originele positie r maar dat door een fluctuatie wordt opgetild naar de positie r + 4r (zie figuur 5.1). Het dichtheidsverschil tussen het element en zijn omgeving op positie r + 4r bedraagt Dρ =
dρ dr
e
−
dρ dr
o
4r,
(5.30)
waarbij (dρ/dr)e staat voor de verandering van de dichtheid van het element ten gevolge van het stijgen en de andere afgeleide een analoge betekenis heeft voor de dichtheid van de omgeving. Dρ geeft aanleiding tot ~ per eenheidsmassa. Men noemt deze de stuwkracht een radiale component Kr = −gDρ/ρ van een kracht K ~ is van Archimedes. Wanneer Dρ < 0 is het element lichter dan die in de omgeving en is K r > 0, m.a.w. K opwaarts gericht. Deze toestand is onstabiel vermits het element nog verder zal opgetild worden. Anderzijds ~ dus neerwaarts gericht. Het element is dan zwaarder dan die in is Kr < 0 bij Dρ > 0. In dit geval is K de nieuwe omgeving waar het zich bevindt en als gevolg wordt het element terug naar beneden getrokken, wordt het evenwicht hersteld en blijft de laag stabiel. Als voorwaarde voor stabiliteit bekomen we dus
dρ dr
e
−
dρ dr
72
> 0. 0
(5.31)
Dit criterium is jammer genoeg niet practisch toe te passen omdat het steunt op de kennis van de dichtheidsgradi¨ent, een grootheid die niet optreedt in de basisvergelijkingen van de sterstructuur. Het zou veel handiger zijn indien we een criterium konden afleiden dat gebaseerd is op de temperatuursgradi¨ent, vermits deze optreedt in de vergelijking die het (radiatief en conductief) energietransport beschrijft. Om (dρ/dr)e correct uit te rekenen moeten we in principe de energie uitwisseling tussen het element en zijn omgeving bepalen. We maken hier de benadering dat er geen energie uitwisseling is, m.a.w. dat het element zich adiabatisch verplaatst. Voor gebieden niet te ver van het sterinwendige is dit een goede benadering. Om nu de afgeleide van de dichtheid om te zetten naar een afgeleide van de temperatuur beschouwen we de toestandsfunctie ρ = ρ(P, T, µ) in de volgende differentiaalvorm: dP dT dµ dρ =α −δ +ϕ . ρ P T µ
(5.32)
Definities van α en δ werden reeds ingevoerd. In betrekking (5.32) hebben we tevens een verandering in chemische samenstelling, welke gekenmerkt wordt door het moleculair gewicht µ, toegelaten. We onderstellen hierbij dat dµ = 0 voor het element dat zijn chemische samenstelling met zich meedraagt, maar dµ 6= 0 voor de omgeving indien het element terechtkomt in een laag met andere chemische samenstelling. Hiertoe voeren we naar analogie met α en δ, welke nu moeten ge¨evalueerd worden voor constante T, µ respectievelijk P, µ, de volgende afgeleide in:
ϕ≡
∂ ln ρ ∂ ln µ
(5.33)
. P,T
Voor een ideaal mono-atomische gas hebben we ρ ∼ P µ/T en dus α = δ = ϕ = 1. Het stabiliteitscriterium (5.31) kan nu met behulp van (5.32) geschreven worden in de vorm
α dP P dr
e
−
δ dT T dr
e
−
α dP P dr
+ o
δ dT T dr
o
−
ϕ dµ µ dr
> 0.
(5.34)
o
De som van de twee termen die de drukgradi¨ent bevatten zijn nul omwille van de onderstelling DP = 0. We voeren nu een schaalhoogte van druk H P in: HP ≡ −
dr dr = −P . d ln P dP
(5.35)
Vermits P daalt met stijgende r is HP > 0. Geschreven in termen van HP is de voorwaarde voor hydrostatisch evenwicht: HP = P/ρg. HP heeft de dimensie van een lengte. Het is nl. de lengte die de radiale variatie van P karakteriseert. Typische waarden zijn H P = 1.4 × 107 cm in de fotosfeer van de zon en ongeveer 5.2 × 109 cm op een diepte gelijk aan R /2. Dicht bij het stercentrum wordt H P oneindig lang. Wanneer we nu alle termen van (5.34) vermenigvuldigen met H P > 0 en rekening houden met δ > 0 wordt de voorwaarde voor stabiliteit omgevormd tot
d ln T d ln P
< o
d ln T d ln P
73
+ e
ϕ δ
d ln µ d ln P
. o
(5.36)
Analoog aan de grootheden ∇rad en ∇ad defini¨eren we nu drie nieuwe afgeleiden: ∇≡
d ln T d ln P
o
, ∇e ≡
d ln T d ln P
e
, ∇µ ≡
d ln µ d ln P
.
(5.37)
o
∇ en ∇µ zijn ruimtelijke afgeleiden, die ge¨evalueerd dienen te worden in de nieuwe omgeving van het massa-element. In de gedefinieerde afgeleiden wordt de variatie van T en µ met de diepte beschouwd, waarbij P als een maat voor de diepte optreedt. ∇ e beschrijft de variatie van T in het element tijdens zijn beweging, waarbij de positie van het element eveneens uitgedrukt wordt in termen van de druk P . ∇ e en ∇ad zijn gelijkaardig gedefinieerd, vermits beiden de temperatuursvariatie van het gas in een massa-element, dat een drukverandering ondergaat, beschrijven. Daarentegen beschrijven ∇ rad en ∇µ de ruimtelijke variatie van T en µ in de omgeving. Wanneer ∇ = ∇ rad gebeurt al het energietransport door straling. Is daarentegen ∇ < ∇rad dan gebeurt een gedeelte van het energietransport door convectie. De voorwaarde voor stabiliteit wordt nu: ∇ < ∇e +
ϕ ∇µ . δ
(5.38)
In een laag waarin het energietransport enkel gebeurt door straling hebben we ∇ = ∇ rad . We onderzoeken nu de stabiliteit van zulk een laag in de onderstelling dat de elementen adiabatisch bewegen (∇ e = ∇ad ). De voorwaarde voor stabiliteit luidt nu ϕ ∇rad < ∇ad + ∇µ . (5.39) δ Deze stabiliteitsvoorwaarde staat bekend als het criterium van Ledoux voor dynamische stabiliteit. In een gebied met een homogene samenstelling bekomen we het Schwarzschild criterium voor dynamische stabiliteit: ∇rad < ∇ad . (5.40)
Wanneer in de twee criteria het linkerlid groter is dan het rechterlid, is de laag dynamisch instabiel. Dit betekent dat het energietransport door straling een te grote temperatuursgradi¨ent zou opleggen, waardoor moet overgegaan worden tot convectie om de energie af te voeren. Wanneer beide leden gelijk zijn spreken we van marginale stabiliteit. Het verschil tussen de twee criteria is alleen van belang voor lagen waarin de chemische samenstelling verandert in de radiale richting. Dit treedt op in lagen dicht bij de kern van ge¨evolueerde sterren, waar de zwaardere elementen dieper in de ster geproduceerd worden dan de lichtere elementen zodat µ fel verandert naar binnen toe. De laatste term in het rechterlid van het Ledoux criterium heeft dan een stabiliserende werking vermits een element dan zwaarder materiaal zal doen optillen naar een omgeving met lichter materiaal. De stuwkracht van Archimedes zal het zwaardere element dan terug naar beneden brengen totdat het zijn oorspronkelijke plaats terug inneemt. Wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild voldaan zijn, dan gebeurt het energietransport uitsluitend radiatief en hebben we ∇ = ∇ rad . Er treden enkel convectieve bewegingen op in een ster wanneer de criteria van Ledoux of Schwarzschild niet voldaan zijn. Dit gebeurt wanneer : • l(r)/m(r) groot is, m.a.w. wanneer de energieproductie binnen een straal r bijzonder groot is. Dit treedt op in massieve sterren, waardoor deze een convectieve kern zullen hebben. 74
• de opaciteit κ groot is. Dit treedt op in (de buitenste lagen van) sterren met lage (oppervlakte)temperaturen. • ∇ad klein is. Dit treedt vooral op in de parti¨ele ionisatiezones van waterstof, in de buitenlagen van koele sterren omdat cP daar bijzonder groot wordt (de warmte die wordt opgeslorpt wordt vooral gebruikt om de materie verder te ioniseren, niet om ze op te warmen). In dat geval zullen kleine storingen uitgroeien tot een grote amplitude totdat het hele gebied “kookt” van convectieve bellen die een deel van de energieflux vervoeren. Het energietransport moet dan behandeld worden zoals beschreven in de volgende sectie. Hieruit voorspellen we dus dat convectie optreedt in de binnenste regionen van massieve sterren en verder in de buitenlagen van koele sterren. De verschillende ingevoerde temperatuursgradi¨enten voor de huidige zon worden voorgesteld in figuur 5.2. Zoals reeds aangehaald wordt ∇ rad bijzonder groot in de buitenlagen van de zon ten gevolge van de felle toename in de opaciteit. Verder daalt ∇ fel beneden 2/5 in de ionisatiezones van waterstof en helium. In het gebied dat convectief stabiel is geldt ∇ = ∇ rad en wordt de energie uitsluitend door straling afgevoerd. In bijna de gehele convectieve zone is ∇ slechts een weinig groter dan ∇ ad , behalve in een zeer dunne laag aan het bovenste gedeelte van de convectiezone. We merken nog op dat de criteria voor stabiliteit lokale criteria zijn. Hierdoor kunnen ze gemakkelijk ge¨evalueerd worden voor een bepaalde laag wanneer daar de lokale grootheden P, T en ρ gekend zijn, zonder dat we informatie over de andere delen van de ster nodig hebben. Anderzijds is het duidelijk dat de convectieve bewegingen niet enkel kunnen afhangen van lokale krachten (zoals ondersteld bij de afleiding van de criteria). Convectieve bewegingen kunnen een invloed hebben op de gehele sterstructuur, vermits ze in realiteit gekoppeld zijn aan alle naburige lagen via de basisvergelijkingen. Voor sommige doeleinden moet de reactie van de gehele ster t.o.v. convectie beschouwd worden. Een voorbeeld hiervan is de preciese bepaling van de grenzen van een convectieve zone, waar massa-elementen die elders versneld werden “overschieten” tot hun beweging gestopt wordt. Het is nog steeds niet duidelijk hoe belangrijk het overschieten is, terwijl dit effect van groot belang is bij het bepalen van evolutiemodellen. We komen hier verder op terug, maar dienen voor een gedetailleerde discussie eerst een bespreking te maken van convectief energietransport.
5.3.2 Vibrationele instabiliteit In een dynamisch stabiele laag wordt een verplaatst massa-element teruggehaald ten gevolge van de stuwkracht van Archimedes. Hierdoor heeft het echter hoeveelheid van beweging gewonnen, zal het overschieten en zodoende beginnen oscilleren. Indien in zulk een laag ook nog bepaalde niet-adiabatische effecten optreden, waarbij het element warmte afgeeft aan zijn omgeving door straling, en bovendien de laag niet homogeen is in chemische samenstelling, kan nog een andere soort instabiliteit optreden. Dit gebeurt in een laag met een temperatuursgradi¨ent ∇ waarin enkel het criterium van Ledoux voldaan is, maar niet dat van Schwarzschild: ϕ (5.41) ∇ad < ∇rad < ∇ad + ∇µ . δ 75
Figuur 5.2: De verschillende temperatuursgradi¨enten in de huidige zon. De volle lijn toont de effectieve temperatuursgradi¨ent ∇. De puntjeslijn stelt de adiabatische temperatuursgradi¨ent ∇ ad voor. De streepjeslijn, tenslotte, stelt de radiatieve temperatuursgradi¨ent ∇ rad voor. Het bovenste paneel toont het gehele model en het onderste paneel slechts een zeer klein gebied nabij het zonsoppervlak. In het radiatieve gebied, wat zich ongeveer uitstrekt tot r ≤ 0.72R , geldt ∇ = ∇rad en vallen de volle en streepjeslijn samen. In de convectiezone is ∇ zo goed als gelijk aan ∇ ad en vallen de volle en puntjeslijn samen, behalve uiterst dicht bij het oppervlak, waar de straling geen moeite meer heeft om snel te ontsnappen.
76
In dit geval is de laag dynamisch stabiel maar kan er een vibrationele instabiliteit optreden. Zulke vibrationele instabiliteit is verantwoordelijk voor de pulsaties die in sterren optreden. We verwijzen naar de cursus “Theorie van stertrillingen” welke gedoceerd wordt in het tweede semester van de tweede licentie, voor een nauwkeurige omschrijving van de voorwaarden en gevolgen van het optreden en aangroeien van vibrationele instabiliteit.
5.4 Transport door convectie Wanneer de opaciteit of de hoeveelheid te transporteren energie te groot wordt, kan stralingstransport niet langer op een stabiele wijze instaan voor het effici¨ent afvoeren van de energie. Convectie neemt dan de taak van energie-afvoerder over. Onder convectief energietransport verstaan we een uitwisseling van energie tussen hetere en koelere lagen in een dynamisch instabiele laag door middel van het uitwisselen van macroscopische massa-elementen. Hierbij bewegen de hetere convectieve cellen naar boven terwijl de koelere dieper zinken. De bewegende cellen zullen oplossen in hun nieuwe omgeving en op die manier hun teveel of tekort aan warmte afstaan. Vermits de dichtheid nabij de sterkern zeer hoog is, kan convectie een enorm effici¨ente wijze zijn om energie te transporteren. Een gedetailleerde theoretische behandeling van convectieve bewegingen in sterren is uiterst moeilijk en daardoor nog niet voorhanden. Dit is niet verwonderlijk, want zelfs convectieve bewegingen in een ketel met kokend water geven aanleiding tot zulk een complexe hydrodynamische bewegingen dat zelfs deze laatsten niet begrepen zijn. Het oplossen van de hydrodynamische vergelijkingen voor sterren waarbij convectie in rekening gebracht wordt, is tot nu toe enkel gebeurd voor vereenvoudigde situaties die uitgetest konden worden in laboratoria. Convectie in sterren gebeurt echter in extreme omstandigheden waarbij turbulente bewegingen enorm grote hoeveelheden energie transporteren in een zeer samendrukbaar gas, welk op zijn beurt een druk, dichtheid, temperatuur en graviteit heeft die vele orden van grootten van elkaar verschillen in verschillende lagen. Er zijn vele pogingen ondernomen om convectie zo nauwkeurig mogelijk in rekening te brengen. We beperken ons hier tot de beschrijving van de reeds lang ontwikkelde en meest eenvoudige methode: de “mixing length” theorie. Deze theorie staat toe om convectie lokaal te behandelen op een relatief eenvoudige wijze. Bovendien is deze benadering de beste die tot nu toe voorhanden is voor gebieden nabij het sterinwendige. We zullen bovendien alleen sterren in hydrostatisch evenwicht beschouwen en we onderstellen ook dat de convectie tijdsonafhankelijk is. Een theorie die tijdsafhankelijke convectie behandelt werd tot nu toe nog niet ontwikkeld. De mixing length theorie onderstelt dat convectie kan vergeleken worden met warmtetransport door moleculen. De transporterende deeltjes zijn dan echter macroscopische “bellen” in plaats van moleculen en hun gemiddelde vrije weglengte (“mixing length”) is de afstand waarover de bellen bewegen alvorens ze “oplossen” in hun nieuwe omgeving. De totale energieflux l/4πr 2 in een gegeven punt bestaat nu uit de som van de radiatieve flux frad (waarin we de eventuele bijdrage van conductie opnemen) en de convectieve flux fcon .
77
We hebben in (5.29) de gradi¨ent ∇rad gedefinieerd als zijnde de gradi¨ent die nodig zou zijn om de totale energieflux te transporteren met behulp van straling. Een gedeelte van de flux wordt nu echter getransporteerd door convectie, waardoor de onbekende eigenlijke radiatieve gradi¨ent ∇ van de laag kleiner zal zijn: 4acG T 4 m ∇rad (5.42) frad + fcon = 3 κP r 2 en 4acG T 4 m frad = ∇. (5.43) 3 κP r 2 Hierbij is ∇ een nieuwe onbekende welke we dienen te bepalen. We zullen hiervoor een uitdrukking voor fcon zoeken. We veronderstellen dat het convectief element zich radiaal beweegt over een afstand ` m met een snelheid v en vervolgens terechtkomt in een omgeving waartegenover het een temperatuursexces DT heeft. Het lost daar op en geeft zijn surplus aan inwendige energie af. Vermits we onderstellen dat het element in drukevenwicht blijft: DP = 0, bedraagt de afgegeven warmte c P DT . De lokale convectieve energieflux corresponderend met deze warmte-afgave bedraagt f con = ρvcP DT . Voor alle elementen veronderstellen we dat hun beweging begonnen is als slechts een zeer kleine storing. Dan kunnen we de initi¨ele waarden DT 0 en v0 gelijk aan nul nemen. Omwille van verschillen in de temperatuursgradi¨ent en in de stuwkracht van Archimedes zullen DT en v veranderen als het element stijgt of zinkt. Dit zal gebeuren totdat het element, na het afleggen van een afstand ` m (de “mixing length”), oplost in zijn nieuwe omgeving en daarbij zijn identiteit verliest. De elementen die op een gegeven ogenblik binnentreden in een concentrische sfeer met straal r hebben een verschillende v en DT , vermits ze hun beweging vanop een andere afstand, gelegen tussen 0 en ` m , gestart zijn. We onderstellen daarom dat het “gemiddelde” element een afstand ` m /2 afgelegd heeft wanneer het de concentrische sfeer binnendringt. We hebben dan 1 ∂(DT ) `m `m 1 DT . (5.44) = = (∇ − ∇e ) T T ∂r 2 2 HP Het dichtheidsverschil is omwille van de onderstelling DP = 0 en Dµ = 0 eenvoudigweg Dρ/ρ = −δDT /T en de stuwkracht van Archimedes bedraagt k r = −g(Dρ/ρ). We veronderstellen dat de helft van deze waarde ingewerkt heeft op het element wanneer dit zijn voorgaande beweging over een afstand ` m /2 uitvoerde. De geleverde arbeid bedraagt dan: 1 `m `2 kr = gδ(∇ − ∇e ) m . 2 2 8HP
(5.45)
We veronderstellen vervolgens dat de helft van deze arbeid omgezet wordt naar kinetische energie van het element (v 2 /2 per eenheidsmassa) en dat de andere helft getransfereerd wordt naar de elementen in de omgeving die “opzij geduwd werden”. We bekomen zo de gemiddelde snelheid v van de elementen die doorheen de sfeer passeren: `2 (5.46) v 2 = gδ(∇ − ∇e ) m . 8HP Wanneer we dit resultaat en (5.44) invullen in de uitdrukking voor de gemiddelde convectieve flux bekomen we p `2m −3/2 H (∇ − ∇e )3/2 ρ. (5.47) fcon = cP T gδ √ 4 2 P 78
We dienen nu nog een uitdrukking te bepalen voor ∇ − ∇ e . We beschouwen de temperatuursvariatie T e binnenin het element met diameter d, oppervlak S en volume V wanneer het met snelheid v beweegt. Deze temperatuursvariatie heeft twee mogelijke oorzaken: adiabatische compressie of expansie enerzijds en uitwisseling van warmte door straling met de omgeving anderzijds. Eerst leiden we het totale energieverlies λ per tijdseenheid van een bel af. We beschouwen een massaelement met een exces aan temperatuur DT > 0, waardoor het element straalt in zijn nieuwe omgeving. Naast de radiale energieflux f~, welke energie vervoert van het stercentrum naar het steroppervlak, zal er een lokale niet-radiale flux f~ optreden die het teveel aan energie van het element aan zijn omgeving afgeeft. Volgens (5.12) en (5.13) is 4acT 3 ∂T ~ , (5.48) f = |f | = 3κρ ∂n waarbij ∂/∂n de betekenis heeft van een differentiatie loodrecht op de wand van de bel. Veronderstel nu dat het element een sferische bel is met diameter d. We stellen dan ∂T 2DT ≈ . (5.49) ∂n d Het radiatief fluxverlies λ per tijdseenheid en per eenheid van massa doorheen het oppervlak S van de bel is dan S 8acT 3 DT . (5.50) λ = Sf = 3κρ d De grootheid λ is een soort “lichtkracht” van de bel die de verandering van de thermische energie ervan weergeeft. Het energieverlies λ per tijdseenheid resulteert in een temperatuursdaling omdat warmte wordt doorgegeven aan de omgeving door straling. Deze temperatuursdaling wordt bij drukevenwicht gegeven door λ/ρV cP v. De totale temperatuursvariatie per eenheidslengte ten gevolge van de twee effecten, nl. adiabatische compressie of expansie en uitwisseling van warmte door straling met de omgeving, is dan
dT dr
= e
dT dr
ad
−
λ . ρV cP v
(5.51)
Wanneer we dit vermenigvuldigen met H P /T bekomen we ∇e − ∇ad =
λHP , ρV cP vT
(5.52)
waarin we λ nu kunnen vervangen door (5.50) met een gemiddelde voor DT gegeven in (5.44). De resulterende vergelijking heeft dan een voorfactor ` m S/V d, welke we gelijk nemen aan 6/`m (de waarde voor een sfeer met diameter `m ). We bekomen zo tenslotte volgend resultaat 8acT 3 1 ∇e − ∇ad = . ≡ Γ ∇ − ∇e `m vκρ2 cP
(5.53)
We vatten nu even de resultaten die we bekomen hebben samen en benadrukken wat nog ontbreekt. Wat dit laatste betreft, en dit is het zwakke punt van de theorie hierboven geschetst: we hebben geen fysische 79
grondslag om een waarde te berekenen voor ` m . Daarom wordt de mixing length steeds als een vrije parameter genomen en uitgedrukt in schaalhoogte van druk: ` m = αHP . Om een plausibele waarde te kiezen onderstelt men dat het belangrijkste gedeelte van het convectief energietransport gebeurt door de grootste bellen en dat deze geen merkelijk langere weg kunnen afleggen dan hun eigen diameter vooraleer ze hun identiteit verliezen. Voor de zon neemt men veelal α ≈ 1.8 omdat dit stermodellen oplevert die het best in overeenstemming zijn met waarnemingen. Bovendien is het zeer moeilijk om de precieze locatie te bepalen van de overgangslaag tussen een radiatieve en een convectieve zone. Dit komt omdat deze locatie afhangt van het zogenaamde fenomeen van “convectief overschieten”. Deze term wordt gebruikt om aan te duiden dat de convectieve bellen niet abrupt stoppen wanneer ze de radiatieve zone binnentreden. Hun beweging gaat nog “even” verder. In technische termen drukt men dit uit door nog een vrije parameter in te voeren, die men de overschiet-parameter αov noemt. Deze is evenzeer gedefinieerd als een dimensieloze parameter uitgedrukt in schaalhoogte van druk. De bellen bewegen dus nog verder over een afstand α ov HP wanneer ze een radiatieve zone binnendringen. Een waarden voor α ov is nog veel minder bekend dan deze voor α zelf. Men beschouwt meestal αov ∈ [0.0, 0.3] in moderne sterstructuurmodellen. E´en van de grote doelstellingen in het onderzoek naar sterstructuur is een observationele bepaling realiseren van α ov voor massieve sterren, waarvoor de uitgebreidheid van de convectieve zone, en dus de hoeveelheid stermateriaal dat deelneemt aan de kernfusie, rechtstreeks afhangt van de waarde van α ov . Een methode om αov observationeel te bepalen wordt uitvoerig behandeld in de cursus Pulserende Sterren gedoceerd in het 1ste semester van de 2de licentie. Afgezien van een correcte waarde van ` m hebben we vijf vergelijkingen bekomen, nl. (5.42), (5.43), (5.46), (5.47) en (5.53), voor vijf onbekenden f rad , fcon , v, ∇e en ∇, waarbij de lokale grootheden P , T , ρ, l, m, cP , ∇ad , ∇rad en g gekend zijn. Men kan tonen dat deze vijf vergelijkingen kunnen omgevormd worden tot e´ e´ n derdegraadsvergelijking met als onbekende een ingewikkelde combinatie van alle onbekenden. Het valt buiten het tijdsbestek van deze cursus om de volledige oplossingsruimte van het probleem te beschouwen. Eerder hebben we willen tonen hoe moeilijk het is om convectief transport nauwkeurig in rekening te brengen en dat de huidige theorie gebaseerd is op vele onderstellingen, waarvan de ene al aannemelijker is dan de andere. We beperken ons hier tot het bespreken van enkele belangrijke relevante limietgevallen: • Γ → ∞: men kan tonen dat dit geval impliceert dat ∇ e → ∇ad en ∇ → ∇ad . Een verwaarloosbaar exces van ∇ t.o.v. de adiabatische waarde is blijkbaar voldoende om de totale lichtkracht te transporteren. Dit limietgeval treedt op in de gebieden nabij de sterkern van massieve sterren waar de dichtheid zeer groot is en in de lagen van de fotosfeer van lichte sterren waarin de opaciteit zeer groot is. In dit geval hoeven we dus de vergelijking van de mixing length theorie niet op te lossen vermits ∇ ≈ ∇ad een goede benadering is (zie figuur 5.2 voor de zon). Zodoende zijn we voor dit gebied ook niet het slachtoffer van de onzekerheden en beperkingen van deze theorie. • Γ → 0: dit limietgeval komt overeen met de eis dat ∇ → ∇ rad . Dit betekent dat convectief transport ineffici¨ent is en absoluut geen aanzienlijke fractie van de lichtkracht kan vervoeren. We vinden in dit geval F → Frad en opnieuw is ∇ gekend zonder te moeten beroep doen op de mixing length theorie. Dit limietgeval treedt op in de fotosfeer van massieve sterren en in de sterkern van lichte sterren (zie figuur 5.2). 80
De situatie is veel gecompliceerder wanneer we ons tussen deze twee limietgevallen bevinden. De vergelijkingen van de mixing length theorie moeten dan effectief opgelost worden en zullen een ∇ opleveren met een waarde ∇ad < ∇ < ∇rad . Men zegt dat de convectie dan superadiabatisch is. Naast het min of meer begrepen convectief energietransport dat we in deze sectie besproken hebben heeft convectie nog een belangrijk effect voor het leven van de ster. Convectie is namelijk verantwoordelijk voor het vermengen van het stermateriaal en het doet dit op een tijdschaal die veel korter is dan de andere relevante tijdschalen die we tot nu toe behandelden. Op die manier levert de convectie dus een belangrijke bijdrage tot de chemische geschiedenis van de ster. We komen hierop terug in het volgende hoofdstuk.
81
82
Hoofdstuk 6
De chemische samenstelling van de materie 6.1 De relatieve massa abondanties De chemische samenstelling van het stermateriaal is uitermate belangrijk omdat het de basiseigenschappen zoals straling en energieproductie door kernreacties bepaalt. Deze reacties veranderen op hun beurt de chemische samenstelling. Het zijn de kernreacties die het leven van de ster vastleggen. De chemische samenstelling van de ster op het tijdstip t wordt beschreven door de functies X i = Xi (m, t) met m ∈ [0, M ]. Om de chemische samenstelling te beschrijven is het voordelig om m als onafhankelijk veranderlijke te nemen. Immers, zouden we een beschrijving in termen van r voorstellen, dan zouden alle functies Xi (r, t), en tevens alle functies die afhangen van de chemische samenstelling, veranderen bij een kleine expansie of contractie met massabehoud. Vaak gebruikt men ook het deeltjesaantal per volume n i voor deeltjes met massa mi : Xi = mi ni /ρ. Meestal hoeft men niet veel verschillende X i ’s te defini¨eren omdat de meeste deeltjes ofwel te zeldzaam zijn, ofwel een verwaarloosbare rol spelen, ofwel een constante abondantie in de loop van de tijd hebben. Voor de meeste doeleinden volstaat het om enkel de massafracties van waterstof, helium en “alle andere” elementen (ook de “zware” elementen genoemd) samen te specifi¨eren. We gebruiken hierdoor de notatie X ≡ XH , Y ≡ XHe , Z ≡ 1 − X − Y.
(6.1)
Voor een “gemiddelde” ster ligt X in het interval [0.70,0.73]. Anderzijds varieert de massa-abondantie van de zware elementen sterk, van Z = 10 −6 tot ongeveer Z = 0.04. Dit heeft belangrijke gevolgen voor onze kennis over de chemische evolutie van het Heelal. Er wordt aangenomen dat enkel waterstof en helium, en zo goed als geen andere elementen, gevormd werden tijdens de Big Bang. Dit verklaart de relatief constante abondanties X, Y . Alle zwaardere elementen worden gevormd door de nucleosynthese in de sterren. Tijdens de late evolutiefasen van sterren verliezen deze een grote fractie van hun massa aan het interstellair medium, hetzij door een sterke sterrenwind op de asymptotische reuzentak, hetzij tijdens 83
een supernova explosie. Zodoende wordt het interstellair medium verrijkt met zware elementen, welke dan vervolgens opgenomen worden in de nieuwe sterren die uit dit medium geboren worden. Hieruit volgt dat het brede gamma aan Z-waarden ge¨ınterpreteerd moet worden als een brede waaier aan leeftijden van sterren. De sterren met lage Z zijn eerste-generatie sterren welke gevormd zijn nog v´oo´ r er een significante chemische verrijking van het interstellair midden heeft plaatsgehad. De sterren worden dan ook opgedeeld in twee verschillende populaties, enerzijds volgens hun massaabondantie van zware elementen en anderzijds volgens hun plaats en beweging in de melkweg. Populatie I sterren hebben een relatief hoge Z en zijn geconcentreerd rond het galactisch vlak. Zij volgen de rotatiebeweging van de melkweg. Populatie II sterren, daarentegen, hebben bijzonder lage Z-waarden. Zij bevinden zich op grote afstand van het galactisch vlak en bewegen lukraak in de ruimte. De interpretatie van deze opdeling in populaties is dat populatie II sterren gevormd werden vooraleer het materiaal in de galaxie ingestort is tot een schijf en dat populatie I sterren nadien geboren werden in de schijf. Een gedetailleerd beeld van de vorming van de melkweg is echter nog controversieel. De kernreacties zullen uiteraard de oorspronkelijke samenstelling X, Y, Z veranderen en dit eenvoudige beeld ingewikkelder maken. Voor sommige doeleinden, bijvoorbeeld als men verhoudingen van isotopen (zie verder) wil bestuderen, zal de beschrijving in termen van slechts drie typen X i niet volstaan. Op de relatieve verdeling van de deeltjes binnen de Z groep, in het bijzonder de verdeling van C,N,O welke van belang zijn voor de waterstofverbranding, komen we later terug.
6.2 Variaties van de chemische samenstelling in de tijd 6.2.1 Variatie door kernreacties Veronderstel dat de Xi enkel kunnen veranderen door het optreden van kernreacties, welke kernen van type i veranderen binnen een massa-element. De frequentie van een bepaalde reactie wordt gegeven door de reactiesnelheid rlm , welke gelijk is aan het aantal reacties per eenheidsmassa en per eenheid van tijd die deeltjes van type l omzet in deeltjes van type m. In het algemeen kan een deeltje van type i door verschillende reacties be¨ınvloed worden, waarvan sommigen het deeltje zullen vernietigen (r ik ) en anderen het deeltje zullen cre¨eren (rji ). De reacties geven de verandering van n i per seconde. Vermits Xi = mi ni /ρ hebben we: X X ∂Xi rik , i = 1, . . . , I (6.2) = mi rji − ∂t j k voor alle elementen van type 1, . . . , I die betrokken zijn in de reacties. Wanneer meer dan e´ e´ n kerndeeltje van type i gevormd of vernietigd wordt per reactie, dan kan dit in rekening gebracht worden door de corresponderende term in de som te vermenigvuldigen met een factor die gelijk is aan het aantal deeltjes i die betrokken zijn bij de reactie.
De reactie p → q die een deeltje van type p transformeert is verbonden met een winst of verlies aan energie epq . In de vergelijking die het behoud van energie uitdrukt, hebben we de energieproductie ε 84
per eenheidsmassa en per eenheid van tijd ingevoerd. ε bevat bijdragen van verschillende reacties en kan geschreven worden in termen van de reactiesnelheden: ε=
X
εpq =
p,q
X
(6.3)
rpq epq .
p,q
We voeren nu de energie in die gegenereerd wordt wanneer een eenheidsmassa van louter deeltjes van type p worden omgezet naar deeltjes van type q: q pq = epq /mp . Voor eenvoudige gevallen is het handig om (6.2) te herschrijven in termen van ε vermits deze grootheid reeds optreedt in de vergelijking van energiebehoud. Wanneer alle reacties een positieve bijdrage leveren tot ε kunnen we (6.2) omvormen tot
∂Xi = ∂t
X mi εji j
mj qji
−
X εik k
qik
.
(6.4)
Wanneer I verschillende type deeltjes gelijktijdig deelnemen aan de kernreacties vormen (6.2) of (6.4) een stel van I differentiaalvergelijkingen . Vermits e´ e´ n daarvan kan vervangen worden met behulp van de normeringsvoorwaarde (2.24) hebben we nog I − 1 reactievergelijkingen nodig om het stel basisvergelijkingen die de sterstructuur bepalen te vervolledigen. In eenvoudige situaties kan het volstaan om slechts e´ e´ n reactievergelijking toe te voegen. Dit is het geval als waterstofverbranding de enige oorzaak van kernreacties is die relevant is voor de energieproductie. Stellen we de energieproductie van alle typen waterstofverbranding voor door ε H , dan is de enige vergelijking die moet beschouwd worden εH ∂X (6.5) =− , ∂t qH met ∂Y /∂t = −∂X/∂t waarbij qH de energiewinst per eenheidsmassa is wanneer waterstof wordt omgezet in helium. We voerden eerder reeds een algemene nucleaire tijdschaal τ n in gedefinieerd door τn = En /L. Voor elk type van verbranding kan men een nucleaire tijdschaal τ n,i defini¨eren, welke de tijdsspanne is waarop uitputting van een bepaald type deeltje i ten gevolge van verbranding optreedt.
6.2.2 Variatie ten gevolge van convectie Het proces van vermenging van stermateriaal ten gevolge van turbulente convectieve bewegingen is een proces dat op zeer korte tijd actief is in vergelijking met de zeer trage variatie in chemische samenstelling veroorzaakt door kernreacties. Het is daarom een goede benadering om de chemische samenstelling van een convectieve laag als zijnde constant te beschouwen: ∂X i /∂m = 0, m.a.w. de laag homogeen te onderstellen. Onderstel dat er zich een convectieve zone uitstrekt van massaschil m 1 tot massaschil m2 (zie figuur 6.1). Binnen dat massa-interval zijn alle X i = Xi constant. Aan de randen van de convectielaag kan in het algemeen een discontinu¨ıteit optreden: de “buitengrenzen” X i1 en Xi2 zijn dan verschillend van de “binnenwaarde” Xi . Nu is het zo dat, naast de abondanties van de deeltjes van type i ook m 1 en m2 kunnen 85
Figuur 6.1: De chemische samenstelling in de convectieve zone, welke zich uitstrekt van massaschil m 1 tot massaschil m2 , is constant. Aan de randen van de convectielaag treedt een discontinu¨ıteit in de X i op. veranderen in de loop van de tijd. De abondanties in een convectieve zone veranderen daarom volgens ∂Xi 1 = ∂t m2 − m 1
Z
m2 m1
(bewijs wordt achterwege gelaten).
∂m ∂m2 ∂Xi 1 dm + Xi2 − Xi − Xi1 − Xi ∂t ∂t ∂t
(6.6)
Uitdrukking (6.6) toont dat de chemische samenstelling in een convectiezone gemakkelijk kan veranderen, zelfs indien er geen kernreacties plaatsvinden (∂X i /∂t = 0) in deze zone. Dit gebeurt namelijk wanneer de grens van de convectieve zone binnendringt in een gebied met een andere, niet-homogene chemische samenstelling. Op deze manier kunnen de sporen van vroegere kernreacties naar het steroppervlak getransporteerd worden, kan verse brandstof binnengebracht worden in een zone waarin verbranding optreedt of kunnen discontinu¨ıteiten optreden die de sterevolutie drastisch veranderen.
6.3 Werkzame doorsneden De reactie tussen deeltjes wordt grotendeels veroorzaakt door de sterke wisselwerking, welke optreedt tussen de nucleonen (protonen en neutronen). Het bereik van de sterke wisselwerking wordt bepaald door de uitgebreidheid van het desbetreffende deeltje. De Coulomb potentiaal van het deeltje bepaalt of de nucleaire aantrekkingskracht of de Coulomb afstoting domineert. De overgang tussen beiden gebeurt nagenoeg op een afstand r0 gelijk aan de straal van het deeltje, welke typisch van de orde van 10 −13 cm is (zie figuur 6.2). Opdat een reactie zou plaatsgrijpen moeten de verschillende deeltjes zodanig dicht bij elkaar gebracht worden dat de Coulomb afstoting overwonnen wordt. In de praktijk betekent dit dat de deeltjes elkaar nagenoeg moeten raken. Men kan gemakkelijk aantonen dat de diepte van de Coulomb-potentiaalput vooral bepaald wordt door de lading van de deeltjes en dat de waarde ervan van de orde van MeV is. Dit toont meteen aan hoe moeilijk 86
Figuur 6.2: Schematische voorstelling van de Coulomb potentiaal van een deeltje. Voor r < r 0 domineert de nucleaire aantrekkingskracht; voor r > r 0 overheerst de Coulomb afstoting. het is om een reactie te laten plaatsgrijpen, vermits de gemiddelde kinetische energie van de deeltjes gegeven wordt door 3kT /2, wat typisch van de orde van 10 3 eV is. De gemiddelde kinetische energie is dus drie orden van grootte te klein om de Coulomb potentiaal te overbruggen en zodoende reacties te doen plaatsgrijpen. In termen van de klassieke mechanica vinden we dus dat kernreacties niet optreden. Waarom zijn kernreacties dan toch mogelijk ? Dit heeft alles te maken met quantummechanische effecten. Uit de quantummechanica weten we dat er een kans verschillend van nul is dat deeltjes de Coulomb potentiaal kunnen overwinnen en zodoende kunnen reageren. Omwille van de uitgebreidheid van de Coulomb potentiaal (zie figuur 6.2) is deze kans klein en daarom is het optreden van kernreacties in sterinwendigen een traag proces. De zeer lage energie¨en zorgen ervoor dat het uiterst moeilijk is om de werkzame doorsnede van een reactie, welke de kans is dat de reactie zal plaatsgrijpen, te bepalen in relevante condities die optreden in sterinwendigen. De werkzame doorsnede hangt af van de snelheid waarmee de deeltjes elkaar naderen. Deze snelheid wordt op haar beurt bepaald door de temperatuur en de relatieve energie van de kernen. Tevens is zij afhankelijk van de aanwezigheid van de andere deeltjes in het gas, welke gedeeltijk de lading van de kernen kunnen afschermen en dus de reactiesnelheden kunnen be¨ınvloeden, afhankelijk van de thermodynamische toestand van het gas. In principe kunnen deze werkzame doorsneden experimenteel bepaald worden. Echter, de laboratoriumexperimenten gebeuren in omstandigheden die te verschillend zijn van sterinwendigen om de resultaten te extrapoleren. Gamow heeft uitdrukkingen afgeleid om de werkzame doorsneden voor sterinwendigen af te leiden. We gaan hier niet in detail op in, maar vermelden dat de werkzame doorsnede sterk afhankelijk is van de ladingen van de deeltjes die in de reactie betrokken zijn, omdat het deze 87
ladingen zijn die de vorm van de Coulomb potentiaal bepalen. Anderzijds is er ook een sterke temperatuursafhankelijkheid, omdat deze vooral de kinetische energie van de deeltjes bepaalt. We leiden hieruit af dat reacties tussen deeltjes met kleinere ladingen sneller gebeuren en ook nog kunnen plaatsgrijpen bij lagere temperaturen. Het bepalen van werkzame doorsneden is een actief domein binnen de nucleaire astrofysica. Stilaan slaagt men erin om experimenten uit te voeren voor temperaturen die in de buurt komen van diegenen die heersen in sterinwendigen.
6.4 Verbrandingsmechanismen Het leven van de sterren wordt gedirigeerd door thermonucleaire fusie, welke dus ge¨ınduceerd wordt door thermische beweging en quantummechanische reacties. Hierbij fuseren verschillende lichtere kerndeeltjes tot een zwaarder element. Bij de bespreking van de energieproductie in sterren ten gevolge van kernreacties beperken we ons tot een ruwe samenvatting van de belangrijkste reacties. In plaats van thermonucleaire fusie van een bepaald element spreekt men van de verbranding van dat element. De verschillende typen verbranding treden op bij aanzienlijk verschillende temperaturen. Wanneer de ster evolueert op een tijdschaal die vergelijkbaar is met de reactiesnelheden, dan moeten we een netwerk van kernreacties in rekening brengen om een nauwkeurige benadering van de energieproductie te kunnen afleiden. De totale ε is dan de som over alle mogelijke reacties en de “boekhouding” van alle veranderende abondanties moet strikt bijgehouden worden. Zeer vaak, echter, volstaat het om een veel eenvoudigere procedure te volgen om ε te bepalen. We bespreken in de volgende delen de voornaamste verbrandingsmechanismen die optreden in sterren, maar gaan eerst wat dieper in op enkele basisbegrippen.
6.4.1 Basisbegrippen In figuur 6.3 tonen we verschillende vormen van de eenvoudigste elementen in de natuur, namelijk waterstof en helium. De bovenste rij geeft de verschillende ionisatietoestanden van de waterstof- en heliumatomen weer, terwijl de onderste rij de verschillende isotopen weergeeft. Dikke cirkels stellen protonen voor en dunne cirkels neutronen. Deze laatsten bestaan uit een proton en een elektron (zie figuur 6.4). Elke kern bestaat uit een aantal protonen, aangeduid door het atoomgetal Z, en een aantal neutronen N . Het massagetal A wordt gegeven door de som van beiden: A = N + Z. Niet alle (N, Z) combinaties zijn toegelaten in een kern. De stabiele (N, Z) combinaties beslaan een nauwe strook in een (N, Z) diagram, de stabiliteitsvallei genoemd. Dit drukt uit dat zowel neutronrijke als protonrijke kernen instabiel zijn. De reden hiervoor is dat neutronrijke kernen onderhevig zijn aan het β − verval, terwijl protonrijke kernen β + verval ondergaan. Het β + en β − verval zijn beiden manifestaties van de zwakke wisselwerking. Bij het β + verval verandert een proton in een neutron door het uitzenden van een neutrino en een positron (het positief geladen antideeltje van een elektron). Anderzijds geeft het β − verval aanleiding tot het omvormen van een neutron in een proton door het uitzenden van een antineutrino en een elektron. 88
Figuur 6.3: De opbouw van de atomen, ge¨ıllustreerd aan de hand van waterstof en helium. De cirkels met dikke randen stellen protonen voor en de dunne cirkels neutronen. De elektronen worden schematisch voorgesteld in hun baan en aangeduid met “e”. Waterstof heeft e´ e´ n mogelijk positief ion, H + , wat ontstaat wanneer het elektron wordt weggehaald van het H atoom. Helium heeft twee mogelijke ionen. De onderste rij toont verschillende isotopen welke telkens een verschillend aantal neutronen hebben.
Figuur 6.4: Schematische opbouw van het waterstof- en het heliumatoom. 89
Een gegeven aantal protonen Z kan slechts combineren met een beperkt aantal verschillende neutronenaantallen N . Zo kunnen 12 protonen bijvoorbeeld enkel een stabiele kern vormen met 12, 13 of 14 neutronen. De kernen met eenzelfde aantal protonen, doch een verschillend aantal neutronen, noemt men de isotopen van een element. Een isotoop noteert men met A X, waarbij X het element is en A het massagetal. Kerndeeltjes kunnen, net zoals elektronen, slechts welbepaalde energieniveaus bezetten en vertonen een schilstructuur. Een kern is bijzonder stabiel wanneer er een protonen- of neutronenschil volledig bezet is (naar analogie van de edelgassen waarvoor de buitenste elektronenschillen volledig bezet is). Dit fenomeen doet zich voor bij de zogenaamde magische getallen van N of Z: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126. Deze aantallen zullen later van belang zijn bij de bespreking van het s-proces (zie laatste Hoofdstuk). Bovendien zijn kernen met een even aantal protonen stabieler dan kernen met een oneven aantal. Hetzelfde geldt voor de neutronen. Dit komt omdat paren neutronen of protonen met tegengestelde spin stabieler zijn dan ongepaarde neutronen of protonen. We zullen de kernreacties als volgt voorstellen. Stel dat α een projectiel voorstelt (bijvoorbeeld een proton) en X het doel en dat deze beiden reageren om de uiteindelijke eindproducten β en Y op te leveren. We noteren deze reactie dan als volgt: α + X → Y + β, (6.7) of korter X(α, β)Y . De meeste kernreacties die in sterren optreden zijn exotherm. Dit wil zeggen dat ze energie vrijgeven. Voor de reactie beschreven in (6.7) hebben we een energiebalans mα c2 + mX c2 = mβ c2 + mY c2 + Q,
(6.8)
waarbij Q de geproduceerde energie voorstelt die per reactie toegevoegd wordt aan het systeem. Q is van de orde MeV. Voor het fusieproces hebben de betrokken deeltjes j een totale massa My van het product dat zal gevormd worden. Het massa defect bedraagt 4M =
X j
Mj − M y
P
Mj , die verschilt van de massa (6.9)
en correspondeert met een energie gegeven door E = 4M c 2 . Deze energie wordt dus beschikbaar gesteld om de energiebalans van de ster te onderhouden. Een voorbeeld is de waterstofverbranding (zie verder) waarbij vier 1 H kernen met een totale massa van 4 × 1.0081m u worden omgezet in e´ e´ n 4 He kern met massa 4.0039 mu . E´en mu (“atomic mass unit”) is gelijk aan 1/12 van de massa van een 12 C isotoop. Voor de waarde ervan verwijzen we naar Bijlage A. Bij de verbranding van waterstof is dus per gevormde 4 He kern een massa van 2.85 × 10−2 mu “verdwenen”, wat overeenkomt met 0.7% van de oorspronkelijke massa. De energie die hiermee overeenstemt bedraagt zo’n 26.5 MeV (waarbij 1 eV = 1.6022 × 10 −12 erg). De huidige lichtkracht van de zon komt overeen met een massaverlies van L /c2 = 4.25 × 1012 g s−1 . Wanneer we onderstellen dat er in totaal 1 M waterstof zal omgezet worden in helium, dan wordt er 0.7% van M omgezet in energie. Met haar huidige waargenomen lichtkracht kan de zon op die manier 3 × 10 18 s, of ≈ 1011 jaar “leven”. In de praktijk, echter, komt slechts 10% van de totale massa van de zon in aanmerking voor kernfusie, dus duurt het leven van de zon slechts ≈ 10 10 jaar. Momenteel heeft de zon zowat de helft van dit energiereservoir opgebruikt. 90
Figuur 6.5: Het verloop van de fractionele bindingsenergie f = E B /A wordt getoond ten opzichte van het massagetal A. De kromme werd glad gemaakt doorheen de schommelingen die optreden ten gevolge van de schilstructuren van de kernen. Het massadefect is verbonden met het feit dat de betrokken kernen een verschillende bindingsenergie EB hebben. Deze bindingsenergie is de energie die nodig is om de kern op te delen in zijn protonen en neutronen. Anders uitgedrukt: EB is de energie die gewonnen wordt wanneer een bepaald aantal vrije protonen en neutronen vanop oneindig samengebracht worden om een kerndeeltje uit te maken. Beschouw een kern met massa Mk en massagetal A die bestaat uit Z protonen met massa m p en uit A − Z neutronen met massa mn . De bindingsenergie EB wordt dan gegeven door EB = [(A − Z) mn + Zmp − Mk ] c2 .
(6.10)
Wanneer we verschillende kernen met elkaar willen vergelijken is het beter om te werken met de gemiddelde bindingsenergie per kerndeeltje: f = E B /A, welke ook de bindingsfractie genoemd wordt. Met uitzondering van waterstof blijken alle elementen een bindingsfractie van ongeveer 8 MeV te hebben. Dit toont aan dat de nucleaire aantrekkingskrachten enkel de kernen in de onmiddellijke omgeving treft. Een ruwe schets van f in functie van A wordt getoond in figuur 6.5. We merken dat f scherp stijgt met stijgende A vanaf waterstof totdat er een maximum bereikt wordt van 8.5 MeV bij A = 56 ( 56 Fe). Daarna daalt f terug. 56 Fe is dus de sterkst gebonden, of meest stabiele, kern. Figuur 6.5 toont dat de kernfusie die lichtere elementen omzet in stabielere zwaardere elementen energie oplevert. Echter, elke kernreactie die 56 Fe zal omzetten in een zwaarder element is verlieslatend in energie. Op die manier is de creatie van 56 Fe een natuurlijk eindpunt van de kernfusie in sterren. In wat volgt zullen de grootheden ε en ρ uitgedrukt worden in respectievelijk de eenheden erg g −1 s−1 en g cm−3 en de temperatuur T zal in dimensieloze vorm T n = T /10n K gegeven worden.
91
6.4.2 Waterstofverbranding Het resultaat van waterstofverbranding is de fusie van vier 1 H kernen in e´ e´ n 4 He kern. Het verschil in bindingsenergie bedraagt 26.731 MeV, wat overeenkomt met een relatief massadefect van 0.71%. De energie die op die manier vrijkomt is ruwweg een factor 10 groter dan bij elk ander fusieproces dat in de ster kan optreden. Er bestaan verschillende fusieketens, die in het algemeen tegelijk optreden in de ster. Voor de waterstofverbranding spreken we van de proton-proton keten (of pp keten) en de koolstof-stikstof-zuurstof cyclus of CNO cyclus . We gaan nu op elk ervan wat dieper in.
De proton-proton keten De pp keten dankt haar naam aan de eerste reactie in de keten waarbij twee protonen omgezet worden in een deuteriumkern 2 H (wat ook vaak als 2 D genoteerd wordt), welke op zijn beurt met een volgend proton reageert om 3 He te vormen: 1
H +1 H →2 H + e + + νe ,
2
H +1 H →3 He + γ.
(6.11)
Hierbij stelt e+ een positron voor en νe een neutrino. De eerste van deze reacties (de pp reactie) is ongewoon in vergelijking met andere fusieprocessen omdat de protonen een β + verval moeten ondergaan bij hun dichtste nadering opdat een proton zou worden omgezet in een neutron. Het β + verval is een proces dat veroorzaakt wordt door de zwakke wisselwerking en is daarom weinig waarschijnlijk (het heeft m.a.w. een kleine werkzame doorsnede). Het is onmogelijk om deze reactie na te bootsen in een laboratorium. Het vervolledigen van de pp keten tot de vorming van een α deeltje of 4 He kern kan gebeuren d.m.v. drie takken pp1, pp2, pp3, welke allen starten met 3 He en als eindproduct 4 He hebben op basis van 4 protonen: 1 H +1 H → 2 H + e + + ν e 2 1 3 pp1 : (6.12) H + H → He + γ 3 He +3 He → 4 He +1 H +1 H, 3 4 7 He + He → Be + γ
pp2 :
pp3 :
+ e− → 7 Li +1 H →
7 Be
7 1 Be + H →
7 Li
+ νe (+γ) +4 He,
8B
+γ → + e + + νe 8 Be → 4 He +4 He. 8B
(6.13)
4 He
8 Be
(6.14)
Hierbij staat γ voor een foton en e− voor een elektron. De rangnummers 1,2 en 3 duiden het belang van de deelketen aan naarmate de temperatuur stijgt. 69% van de pp keten in de zon gebeurt via pp1, 31% via pp2 en 0.3% via pp3. De verschillende reacties in de pp keten gebeuren met een zeer verschillend tempo. De pp reactie zelf is veruit de traagste (ongeveer een factor 10 18 trager dan de anderen). Opdat pp1 tot een goed einde zou komen moeten de twee eerste reacties beschreven in (6.11) minstens twee keer plaatsgevonden 92
hebben. De reactie 2 H(p, γ)3 He in de pp1 keten is zo snel dat de abondantie van deuterium zeer laag gehouden wordt. De laatste reactie van pp1 is weerom trager dan de tweede, maar nog steeds veel sneller dan de pp reactie zelf. Wanneer de temperatuur stijgt, dan daalt de abondantie van 3 He waardoor de eerste reactie van pp2 aan belang wint (vanaf T7 ≈ 1 − 2). De pp2 keten vervolgt met een elektronenvangst door 7 Be, welke in vergelijking met de protonenvangst in pp3 zo goed als onafhankelijk is van de temperatuur. De alternatieve reactie in pp3 is protonenvangst door 7 Be. 7 Be(p, γ)8 B krijgt de bovenhand over 7 Be(e− , ν)7 Li bij T6 ≈ 24. De 8 B kern geproduceerd door de protoninvanging is instabiel t.o.v. positronverval met een halfwaardetijd van 0.8 s. Zowel het overeenkomende neutrino als datgene wat vrijkomt bij de elektronenvangst door 7 Be worden gedetecteerd in zonne-neutrino experimenten. De laatste reactie in de pp3 keten is het verval van 8 Be in twee α deeltjes. Deze reactie is niet enkel van belang omdat ze de pp3 keten tot een goed einde brengt, maar ook omdat haar omgekeerde reactie overbepalend is voor He verbranding (zie verder). Omwille van de verschillende hoeveelheid energie weggevoerd in de vorm van neutrino’s is de vrijgegeven energie verschillend voor de drie deelketens. Hij bedraagt Q = 26.2, 25.7, 19.2 MeV per geproduceerd α deeltje voor respectievelijk pp1, pp2, pp3. We kunnen hieruit een “effectieve” Q eff bepalen die een goed gemiddelde voor de drie pp ketens voorstelt. Hieruit kan men dan ten slotte de vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de pp ketens schatten: εpp =
2.4 × 104 ρX 2 rpp Qeff 1/3 exp −3.380/T . ≈ 9 2/3 ρ T9
(6.15)
De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de pp keten daalt van ∼ T 6 voor T6 = 5 tot ∼ T 3.5 voor T6 ≈ 20. De koolstof-stikstof-zuurstof cyclus De CNO cyclus omschrijft de tweede reeks reacties die kunnen optreden bij waterstofverbranding. Opdat deze cyclus kan werken is het nodig dat bepaalde isotopen van koolstof, stikstof en zuurstof aanwezig zijn. De reacties die optreden bij temperaturen typisch voor sterinwendigen zijn: 12
C +1 H 13
13 14
C+ H 1
N+ H 15
15
15 16
N
1
O
N +1 H 1
N+ H 1
O+ H 17
17
F
O +1 H
→
13
→
13
C + e + νe
→
14
N+γ
→
15
O+γ
→
15
N + e + + νe
→
12
C +4 He
→
16
O+γ
→
17
F+γ
→
17
O + e + + νe
→
14
N +4 He
− of −
93
N+γ
(6.16)
+
(6.17)
De algemene structuur van de CNO cyclus bestaat uit een reeks protonenvangsten door isotopen van C, N of O, afgewisseld met β + verval welke ongeveer allemaal een vervaltijd hebben van 100 – 1000 s. De cyclus eindigt steeds met een protonvangst die aanleiding geeft tot de vorming van een α deeltje. Het eerste stel reacties gegeven in (6.16) noemt men de CN cyclus omdat enkel de isotopen van C en N optreden als catalysatoren. De volledige CNO cyclus treedt op wanneer 16 O reeds abondant aanwezig is of wanneer er al voldoende gereageerd is zodat de reactie 15 N(p, γ)16 O al de nodige zuurstofisotoop gecre¨eerd heeft. Het optreden van de volledige CNO cyclus is 1000 keer minder waarschijnlijk dan het voorkomen van de CN cyclus. Het eindproduct van de volledige CNO cyclus is niet alleen een α deeltje, maar ook een 14 N isotoop die de CN cyclus opnieuw kan voeden. Een nauwkeurige beschrijving van de verbranding door de CNO cyclus is uiterst moeilijk omdat er heel wat isotopen op cyclische wijze bij betrokken zijn. Zowel de energieproductie als de gedetailleerde abondanties van alle isotopen hangen af van de beginconcentraties van de catalysatoren, van de reactietijden, van de temperatuur en van de leeftijd van de ster. We zullen hier niet ingaan op een gedetailleerde beschrijving van alle reacties in de cycli. Eerder bespreken we de gevolgen van de belangrijkste schakel in de CNO cyclus. De sleutelreactie van de CNO cyclus is 14 N(p,γ)15 O. Deze reactie is namelijk relatief traag en steunt op de 14 N isotoop van stikstof die in beide cycli voorkomt. Zoals bij de pp keten is het de traagste reactie die de belangrijkste is. Wanneer de temperatuur hoog genoeg is om waterstofverbranding gedurende een aanzienlijke tijd via de CNO cyclus te activeren, m.a.w. wanneer de cyclus in evenwicht gebeurt, dan is e´ e´ n van de belangrijkste gevolgen hiervan dat zo goed als alle beschikbare C, N en O zal omgezet worden in de 14 N isotoop, welke veruit de meest abondante kern zal worden. De energieproductie wordt eveneens bepaald door de traagste reactie 14 N(p, γ)15 O. εCNO wordt vooral bepaald door de energieproductie van deze reactie. Een goede schatting hiervan is 24.97 MeV. De vrijgegeven nucleaire energie ten gevolge van de gemiddelde Q eff , bepaald voor alle reacties die optreden in de CNO cyclus, kan als volgt berekend worden: εCNO ≈
4.4 × 1025 ρXZ 2/3
T9
1/3
exp −15.228/T9
.
(6.18)
De temperatuursafhankelijkheid van de reactiesnelheid van de CNO cyclus is veel groter dan diegene voor de pp keten en bedraagt ongeveer ∼ T 18 voor T6 ≈ 20. In figuur 6.6 tonen we de bijdrage van de CNO cyclus tot de totale energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding voor sterren met een massa tussen 1 en 3 M als functie van de positie in de ster (weergegeven als l/L). Het is duidelijk dat de CNO cyclus de dominante energiebron is voor sterren zwaarder dan 2 M .
94
Figuur 6.6: De fractie van de totale energie geproduceerd door de CNO cyclus doorheen de ster voor sterren met massa tussen 1 en 3 M .
6.4.3 Heliumverbranding De kernreacties waarbij helium verbrand wordt bestaat uit de graduele fusie van verscheidene α deeltjes met als resultaat de isotopen 12 C, 16 O,. . . . Deze reacties treden slechts op bij temperaturen die veel hoger zijn dan de temperaturen voor waterstofverbranding. Een typische voorwaarde is T 8 > 1. De eerste en belangrijkste reactie is diegene waarbij 12 C gevormd wordt uit drie α deeltjes: de trippel alfa reactie. Deze reactie gebeurt in twee stappen, vermits een dichte nadering van drie deeltjes te onwaarschijnlijk is: 4
He +4 He * ) 8 4 Be + He →
8
Be
12
(6.19)
C + γ.
In de eerste stap wordt 8 Be tijdelijk gevormd ten koste van twee α deeltjes. De grondtoestand van dit isotoop heeft een energie die zowat 100 keV hoger is dan die van de twee α deeltjes en daarom vervalt de isotoop in de korte tijdsspanne van 10−16 s terug tot twee α deeltjes. Dit lijkt een zeer korte vervaltijd, maar de hoge dichtheid in het sterinwendige verzekert toch de mogelijkheid van een verdere α invanging om 12 C te vormen. De energieproductie per eenheidsmassa van de reacties gegeven in (6.19) is een factor 10 lager dan in het geval van de CNO cyclus. De reactie is tevens enorm temperatuursgevoelig: voor T 8 = 1 bedraagt de exponent van de temperatuursfactor in de reactiesnelheid 40 ! Eens er voldoende 12 C gevormd zijn door de trippel α reactie kunnen verdere invangingen van α deeltjes gebeuren zodat kernen van 16 O, 20 Ne, enz. geproduceerd worden: 12 16
C +4 He → 4
O + He →
16
O+γ
20
Ne + γ
(6.20)
...
De energie die vrijkomt bij de reactie
12 C(α, γ)16 O
bedraagt 7.16 MeV en die bij 16 O(α, γ)20 Ne 4.73 MeV. 95
Tijdens heliumverbranding treden de reacties beschreven in (6.19) en (6.20) simultaan op en de totale energieproductie εHe bestaat essentieel uit drie bijdragen.
6.4.4 Verbranding van de zwaardere elementen Koolstofverbranding Na helium verbranding bestaat de centrale kern voornamelijk uit een mengsel van 12 C en 16 O. Indien de temperatuur op dat ogenblik hoog genoeg is, zeg van de orde T 8 ≈ 5 − 10, dan start het proces van koolstofverbranding. Voor dit type van verbranding, net zoals alle volgende typen, is de situatie zo complex dat berekeningen steunen op zeer ruwe benaderingen. Een eerste moeilijkheid is dat de eerste reactie in de koolstofverbranding, 12 C+12 C, resulteert in een 24 Mg isotoop, welke op zeer veel verschillende wijzen terug vervalt: 12 C +12 C → 24 Mg + γ 13.93 23 Mg + n −2.61 23 Na + p (6.21) 2.24 20 Ne 16 O
+α + 2α
4.62 −0.11
waarbij we telkens Q in MeV gegeven hebben in de laatste kolom. Merk op dat de tweede en laatste reacties endotherm zijn. De relatieve frequentie van de verschillende vervalwijzen hangt af van de temperatuur en is zeer verschillend. De meest waarschijnlijke wijzen zijn diegenen die resulteren in 23 Na+p en 20 Ne+α. Deze treden ongeveer even frequent op voor niet te hoge temperaturen (T 9 < 3). Een volgende moeilijkheid is dat de geproduceerde protonen en α deeltjes zulk een hoge temperaturen ondervinden dat waterstof- en heliumverbranding niet mogelijk zijn en daardoor ontstaan er heel ingewikkelde reactieketens. Een voorbeeld hiervan is 12 C(p, γ)13 N(e+ ν)13 C(α, n)16 O, welke o.a. een neutron oplevert. Alle details van zulke ketens moeten effectief in rekening gebracht worden indien het doel is een gemiddelde energieproductie te bepalen. Als ruwe schatting neemt men meestal een gemiddelde Q van ≈ 13 MeV per 12 C+12 C reactie met alle daaropvolgende ketens. De eindproducten van koolstofverbranding zijn vooral 16 O, 20 Ne, 24 Mg en 28 Si.
Zuurstofverbranding enz. Opdat de reactie 16 O+16 O zou kunnen plaatsgrijpen is reeds een temperatuur van T 9 > 1 vereist. Omwille van de hoge temperaturen reageren de protonen en de α deeltjes met andere kernen in het gas. Tevens reageren de neutronen met andere deeltjes, vermits ze niet onderhevig zijn aan de Coulomb potentiaal. Net
96
zoals bij koolstofverbranding kunnen de reacties verdergezet worden via verschillende kanalen : 16 O
+16 O →
32 S
+γ +p 31 S + n 28 Si + α 24 Mg + 2α.
31 P
(6.22)
Er volgt tevens weer een heel gamma van kettingreacties die naast Al, Mg en Ne grote hoeveelheden vrije neutronen, protonen en α deeltjes opleveren. Deze zullen op hun beurt reageren met de 28 Si isotopen om geleidelijk aan zwaardere elementen te vormen. Wanneer zuurstof opgebrand is, start een nieuwe fase van contractie en verhitting. Men zou kunnen verwachten dat een volgende verbrandingscyclus, nl. de verbranding van magnesium, zal starten. Echter, vooraleer de temperatuur hoog genoeg is voor deze verbranding ontstaat een ander type reactie. Immers, met de stijgende temperatuur is de thermische energie van de fotonen ondertussen sterk toegenomen. Bij een temperatuur van ongeveer 109 K heeft een aanzienlijke fractie van de fotonen een energie van de grootteorde MeV. Zulke energetische fotonen kunnen foto-dissociatie veroorzaken in de kernen van het gas. Fotodissociatie is het proces waarbij straling wordt omgezet in massa (in tegenstelling tot de verbrandingscycli die we tot nu toe tegenkwamen en die allemaal massa wisten om te zetten in straling). Het proces ontstaat wanneer een hoog-energetisch foton omgezet wordt in een elektron-positron paar wanneer het een energie hν heeft die de energie van de rustmassa van een elektron-positron paar overschreidt: hν > 2m e c2 . Een voorbeeld van het optreden van foto-dissociatie is 32
S+ γ * )
28
Si + 4 He.
(6.23)
Het optreden van de dubbele pijl ontstaat omdat, na de vorming van het α deeltje, dit opnieuw kan reageren met andere kernen, zoals 28 Si, waardoor tevens de inverse reactie kan plaatsgrijpen. Er zijn nog vele analoge reacties door foto-dissociatie die plaatsgrijpen en die opeenvolgende kernen betreffen, zoals 32 S, 36 Ar, 40 Ca, 52 Fe en 56 Ni. Aan al deze reacties dient men nog de absorptie van protonen en neutronen toe te voegen, en ook verval van onstabiele kernen. Op die manier ontstaan werkelijk zeer complexe reactieketens, welke uiteindelijk leiden tot de vorming van zwaardere kernen. Dit hele gebeuren duidt men een beetje misleidend aan met siliciumverbranding. Dit proces wordt verder gezet en wanneer er voldoende tijd voorhanden is zal de vorming van 56 Fe voltooid worden. Vermits de 56 Fe isotoop zo sterk gebonden is (zie figuur 6.5) is het de enige overlevende in de “kookpot”. Wanneer er echter niet voldoende tijd is om 56 Fe te vormen zal 56 Ni het meest abondante element zijn als resultaat van de siliciumverbranding. Deze situatie treedt op bij supernova-explosies (zie Deel II van de cursus).
97
98
Hoofdstuk 7
Bepaling van de sterstructuur We geven in dit hoofdstuk een samenvatting van het volledig stel basisvergelijkingen die we in de vorige hoofdstukken hebben afgeleid. Vervolgens bespreken we de randvoorwaarden waaraan een goed stermodel moet voldoen en geven we aan hoe de modellen kunnen opgebouwd worden. Op die manier kan de volledige sterstructuur bepaald worden.
7.1 Het volledige stel basisvergelijkingen Wanneer we alle relevante afgeleide vergelijkingen voor een sferisch symmetrische ster samenvoegen, verkrijgen we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen :
1 ∂r = , ∂m 4πr 2 ρ ∂P 1 ∂2r Gm − , =− ∂m 4πr 4 4πr 2 ∂t2 ∂T δ ∂P ∂l = εn − εν − cP + , ∂m ∂t ρ ∂t ∂T GmT =− ∇, ∂m 4πr 4 P
(7.1)
X X ∂Xi = mi rji − rik , i = 1, . . . , I. ∂t j k
De laatste vergelijking is in feite een stelsel van I vergelijkingen waarvan er een kan vervangen worden P door de normeringsvoorwaarde i Xi = 1. Deze vergelijkingen beschrijven de variatie van de massa fracties Xi van de relevante deeltjes i = 1, . . . , I met massa m i . De extra vergelijking (6.6) beschrijft 99
de vermenging van de chemische samenstelling ten gevolge van convectieve bewegingen. In het algemeen staat ∇ voor d ln T /d ln P , maar wanneer het energietransport enkel gebeurt door straling (en conductie) wordt ∇ vervangen door ∇rad , welke gedefinieerd werd in (5.29). Wanneer convectief energietransport belangrijk is moet ∇ in de vierde vergelijking vervangen worden door een waarde afgeleid van een goede (nog niet beschikbare) theorie van convectie. In het sterinwendige kunnen we hiervoor ∇ ad nemen. De vierde vergelijking onderstelt dat de ster in hydrostatisch evenwicht is. In het stelsel (7.1) van differentiaalvergelijkingen kunnen we deelstelsels opmerken. Zo beschrijven de eerste twee vergelijkingen het mechanisch gedeelte, welk enkel via de dichtheid, die op haar beurt afhangt van de temperatuur, gekoppeld is aan het thermonucleaire gedeelte. Wanneer de dichtheid niet gekoppeld is aan de temperatuur, dan kunnen we de eerste twee vergelijkingen oplossen zonder rekening te houden met de andere drie. We bekomen dan de mechanische structuur uitgedrukt als r(m) en P (m). Een voorbeeld hiervan zijn de polytropische oplossingen. Het laatste stel vergelijkingen in (7.1) beschrijft het chemisch aspect van het probleem. Zij kunnen ontkoppeld worden van de andere vier vergelijkingen die de structuur van de ster geven voor een gegeven tijdstip en een gegeven chemische samenstelling X i (m). Deze opsplitsing is enkel toegestaan wanneer de chemische samenstelling verandert op een tijdschaal die veel langer is dan diegene die de variatie van de druk en temperatuur beschrijft. De vergelijkingen in het stelsel (7.1) bevatten functies die de eigenschappen van het stermateriaal beschrijven, zoals ρ, εn , εν , κ, cP , ∇ad , δ en de reactiesnelheden rij . We gaan ervan uit dat deze “materiaalfuncties” gekend zijn in functie van P, T en de chemische samenstelling beschreven door de functies Xi (m, t). We onderstellen m.a.w. dat we de toestandsfunctie kennen, net zoals het Rosseland gemiddelde van de opaciteit, de vergelijkingen voor de andere thermodynamische eigenschappen van het stermateriaal, de nucleaire reactiesnelheden, de energieproductie en het energieverlies door neutrino’s : ρ = ρ(P, T, Xi )
κ = κ(P, T, Xi )
cP = cP (P, T, Xi )
δ = δ(P, T, Xi )
(7.2) ∇ad = ∇ad (P, T, Xi )
rjk = rjk (P, T, Xi ) εn = εn (P, T, Xi ) εν = εν (P, T, Xi )
Definities voor cP , δ en ∇ad werden gegeven in Hoofdstuk 2. Om deze effectief uit te rekenen hebben we meer informatie nodig, nl. de gebruikte toestandsfunctie. Hiervan hebben we drie voorbeelden besproken. Zoals reeds vermeld is het Rosseland gemiddelde κ een goede benadering voor de opaciteit, behalve voor de buitenste sterlagen. Dat de atmosfeer een bijzondere aanpak van het energietransport vraagt, komt omdat de gemiddelde vrije weglengte van de fotonen niet meer voldoet aan de voorwaarde die wij hier gesteld hebben, nl. dat deze weglengte aanzienlijk korter is dan de af te leggen weg. We herhalen dat de diffusiebenadering dan niet geldig is. Hierdoor moet men in de steratmosfeer een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking oplossen. Hierop ingaan in deze cursus zou ons te ver leiden. We verwijzen naar de cursus Steratmosferen, gedoceerd in het eerste semester van de tweede licentie. We maken nu een balans op van het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden, rekening houdend met (7.2). Alle “materiaalfuncties” beschreven in (7.2) kunnen dus vervangen worden door functies van P, T en Xi . Voor I verschillende type deeltjes vormen (7.1) dan een stel van I + 4 differentiaalvergelijkingen 100
voor de I + 4 onbekenden r, P, T, l, X1 , . . . , XI . De onafhankelijk veranderlijken zijn m en t. Indien we onderstellen dat de totale massa van de ster niet verandert in de tijd (dus we veronderstellen dat er geen massaverlies optreedt), en als we het begintijdstip van het leven van de ster aanduiden met t 0 , dan zoeken we oplossingen in de intervallen 0 ≤ m ≤ M, t ≥ t 0 . We dienen nu een stelsel van niet-lineaire parti¨ele differentiaalvergelijkingen op te lossen. We zullen enkel fysisch relevante oplossingen bekomen indien we de nodige randvoorwaarden opleggen voor m = 0 en m = M en indien we beginwaarden voor de ongekende functies kennen. Om in te zien voor welke functies we beginwaarden moeten kennen vervangen we in de derde vergelijking van (7.1) de tijdsafgeleiden van P en T door de tijdsafgeleide van de entropie s, −T ∂s/∂t, steunende op vergelijking (3.50). We stellen dan vast dat we het volledig stelsel (7.1) kunnen oplossen indien we beginwaarden hebben voor de functies r(m, t0 ), r(m, ˙ t0 ), s(m, t0 ) en Xi (m, t0 ). Nadat geschikte beginwaarden gevonden zijn en fysisch verantwoorde randvoorwaarden geformuleerd werden komt het erop aan het stelsel (7.1), voor gegeven materiaalfuncties, op te lossen. Een oplossing r(m), P (m), T (m), l(m), Xi (m) voor een gegeven tijdstip t noemt men een stermodel.
7.2 Tijdschalen en vereenvoudigingen Er treden drie typen tijdsafgeleiden op in het stelsel (7.1). Elk van hen is verbonden met een karakteristieke tijdschaal. De term met ∂ 2 r/∂t2 werd gebruikt om de hydrostatische tijdschaal τ hydr in te voeren, de tijdsafgeleiden in de derde vergelijking gaven aanleiding tot de definitie van de Helmholtz-Kelvin tijdschaal τHK en de tijdsafgeleiden in de laatste vergelijking leidden tot de nucleaire tijdschaal τ n . We hebben reeds vroeger getoond dat de inertieterm in de tweede vergelijking van (7.1) kan verwaarloosd worden als de ster traag evolueert t.o.v. de hydrostatische tijdschaal. We kunnen daarom, wanneer de evolutie van de ster geregeerd wordt door thermische aanpassing van kernreacties, deze tweede vergelijking vervangen door de vergelijking van hydrostatisch evenwicht vermits zowel de Helmholtz-Kelvin tijdschaal als de nucleaire tijdschaal veel langer zijn dan de hydrostatische tijdschaal. We dienen in dit geval enkel initi¨ele waarden voor de functies s(m, t 0 ) en Xi (m, t0 ) te kennen om het probleem op te lossen. Wanneer de ster bovendien evolueert op een nucleaire tijdschaal die veel langer is dan de HelmholtzKelvin tijdschaal is de ster in volledig mechanisch en thermisch evenwicht (zie sectie 3.4.3). In volledig evenwicht splits het stelsel (7.1) zich in twee delen. De eerste vier vergelijkingen zijn de “structuurvergelijkingen” die enkel ruimtelijke afgeleiden bevatten in hun vereenvoudigde vorm. De laatste vergelijking staat voor het stel “chemische vergelijkingen”, welke nu enkel nog tijdsafhankelijk zijn en waarvoor dus nog initi¨ele waarden nodig zijn: Xi (m, t0 ). De structuurvergelijkingen vormen nu een stelsel van vier gewone differentiaalvergelijkingen. Volledig evenwicht is een goede onderstelling voor hoofdreekssterren (voor een beschrijving van de hoofdreeks, zie deel II).
101
7.3 Randvoorwaarden De randvoorwaarden opstellen voor het stelsel vergelijkingen (7.1) vormt een belangrijk onderdeel van het totale probleem. Dit is te meer zo omdat de invloed van de gekozen randvoorwaarden op de oplossingen moeilijk te achterhalen is. De reden hiervoor is dat de randvoorwaarden voor de sterstructuur niet beperkt kunnen worden tot e´ e´ n uiteinde van het massa interval [0, M ], maar moeten opgesplitst worden in voorwaarden voor het stercentrum en voor het steroppervlak. De randvoorwaarden in het stercentrum zijn vrij eenvoudig in tegenstelling tot diegenen voor het steroppervlak. Deze laatsten moeten immers gerelateerd zijn met observationele grootheden en steunen op een veel ingewikkeldere energietransfertvergelijking. We beperken ons hier tot een ster in volledig evenwicht.
7.3.1 Centrale randvoorwaarden We gaan op zoek naar centrale waarden voor de onbekenden r, l, P, T . We kunnen onmiddellijk twee randvoorwaarden voor het stercentrum (m = 0) opstellen. Vermits de dichtheid eindig moet blijven moet r = 0 en vermits de energiebronnen ook eindig blijven moet tevens l = 0. Er zijn echter geen voorwaarden die we kunnen opleggen om waarden voor de centrale druk P C en de centrale temperatuur TC te achterhalen. We hebben dus maar twee randvoorwaarden en moeten telkens met een twee-parameter oplossing voor een gegeven TC en PC werken. Het is daarom nuttig om het gedrag van de vier functies nabij het stercentrum m → 0 te kennen op een bepaald tijdstip t = t 0 . De eerste vergelijking van het stelstel (7.1) kunnen we schrijven als 3 dm. (7.3) d r3 = 4πρ
Voor een constante dichtheid ρ = ρc (dus voor kleine waarden van m) kunnen we deze vergelijking integreren. Dit resulteert in 1/3 3 r= m1/3 , (7.4) 4πρC waarbij de integratieconstante nul genomen werd om te voldoen aan de eis r(m = 0) = 0. We kunnen dit resultaat beschouwen als de eerste term van een reeksontwikkeling voor r rond m = 0. Een gelijkaardige integratie van de energievergelijking met als voorwaarde l(m = 0) = 0 levert (7.5)
l = (εn − εν + εg )C m.
Wanneer we nu (7.4) substitueren in de vergelijking van het hydrostatisch evenwicht bekomen we voor kleine waarden van m: G 4πρC 4/3 −1/3 dP =− m , (7.6) dm 4π 3
wat opnieuw kan ge¨ıntegreerd worden tot
3G P − PC = − 8π
4πρC 3
102
4/3
m2/3 .
(7.7)
Verder moet de drukgradi¨ent verdwijnen in het stercentrum zoals volgt uit de vergelijking van hydrostatisch evenwicht dP/dr ∼ m/r 2 ∼ r 3 /r 2 → 0. Voor de variatie van de temperatuur dicht bij het centrum beperken we ons tot het radiatieve geval, waarvoor κl dT 3 =− . (7.8) 2 4 dm 64π ac r T 3 Voor P → PC en T → TC zal de opaciteit convergeren naar een welbepaalde waarde κ C . Wanneer we dan l vervangen door (7.5) en r door (7.4) dan kunnen we (7.8) voor kleine m-waarden integreren. We bekomen zo 2/3 3 1 4/3 κC (εn − εν + εg )C ρC m2/3 (7.9) T 4 − TC4 = − 2ac 4π wanneer het energietransport in de kern radiatief gebeurt.
7.3.2 Randvoorwaarden voor het oppervlak Nauwkeurige randvoorwaarden voor het oppervlak afleiden is uiterst gecompliceerd. Als zeer ruwe benadering zouden we dus in eerste instantie de na¨ıeve voorwaarden P → 0 en T → 0 voor m → M kunnen nemen. Deze drukken inderdaad uit dat P en T aan het steroppervlak zeer kleine waarden aannemen t.o.v. de waarden in het sterinwendige, maar uiteindelijk zijn de temperatuur en de druk op het steroppervlak niet nul. De volgende stap is overgaan naar de sfeer die we het oppervlak van de ster kunnen noemen en die de sterstraal r = R definieert. In de studie van de steratmosfeer (zie de gelijknamige cursus in de tweede licentie) maakt men gebruik van de fotosfeer, welke men definieert als die sfeer waar de optische diepte, gedefinieerd als Z Z τ≡
∞
R
κρdr = κfot
∞
ρdr,
R
(7.10)
gelijk is aan 2/3. Hierbij stelt κfot een gemiddelde opaciteit voor de fotosfeer voor. In hydrostatisch evenwicht wordt de druk in die fotosfeer bepaald door het gewicht van de materie erboven. De graviteit kunnen we in dit gebied constant g = GM/R 2 nemen, omdat de fotosfeer een dunne schil is die weinig materie bevat. We bekomen dan met behulp van (3.15) en (7.10) voor τ = 2/3 Pr=R =
Z
∞ R
GM gρdr = 2 R
Z
∞ R
ρdr =
GM 2 1 . R2 3 κfot
(7.11)
De temperatuur in de fotosfeer wordt in goede benadering gegeven door de effectieve temperatuur van de ster: Teff = Tr=R = T (τ = 2/3) (zie Steratmosferen). De preciese definitie van de effectieve 4 , waarbij σ = ac/4 de Stefan-Boltzmann stralingsconstante genoemd wordt temperatuur is L ≡ 4πR2 σTeff (zie Bijlage A). Teff is m.a.w. de temperatuur van een zwarte straler die dezelfde oppervlakte-energieflux en straal heeft als de ster. De fotosferische randvoorwaarden afgeleid voor T r=R en Pr=R geven twee verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de functies P, T, l, r die zeker een verbetering zijn t.o.v. de na¨ıve randvoorwaarden 103
P → 0 en T → 0. Het zwakste punt bij hun gebruik is dat de ster op basis van de randvoorwaarden reikt tot een gebied waar de basisonderstelling voor het energietransport, nl. dat de gemiddelde vrije weglengte van een foton veel kleiner is dan de af te leggen weg, niet meer opgaat. In feite moet men in de fotosfeer een veel gecompliceerdere energietransportvergelijking gebruiken. We verwijzen hiervoor opniew naar de cursus Steratmosferen. In de praktijk zal de overgang van de oplossingen die gelden aan de “binnenkant” van de atmosfeer naar diegenen die gelden aan de “buitenkant” ervan gebeuren door een fitpunt m f te kiezen waarin beide oplossingen aan mekaar zullen gekoppeld worden. m f dient ver genoeg in het sterinwendige te liggen opdat de afgeleide vergelijkingen er nog zouden gelden. We bekomen dan oplossingen van deze vergelijkingen in het fitpunt: rfin , Pfin , Tfin , lfin . Anderzijds moet mf ook dicht genoeg bij M liggen zodat we de vereenvoudiging van een buitenlaag in thermisch evenwicht waarin l = L kan genomen worden mogen gebruiken. Hoe kleiner M − mf , hoe minder energie er in de buitenlaag kan opgestapeld of vrijgegeven worden. In de studie van steratmosferen berekent men oplossingen voor de vier onbekende functies r fuit , Pfuit , Tfuit , lfuit . Men kan tonen dat deze oplossingen functies zijn van de parameters R en L. Als randvoorwaarden eisen we dan dat de vier oplossingen die geconstrueerd worden voor de binnenkant moeten gelijk zijn aan diegenen die berekend worden voor de atmosfeer: rfin = rfuit , Pfin = Pfuit , Tfin = Tfuit , lfin = lfuit .
(7.12)
Deze vier voorwaarden kunnen in principe vervuld worden omdat we genoeg vrijheidsgraden hebben: T C en PC voor de inwendige oplossingen en R en L voor de uitwendige oplossingen. Voor numerieke toepassingen (zie volgende sectie) gebruikt men de volgende werkwijze. In het punt mf bekomen we oplossingen voor de buitenkant van de atmosfeer: r fuit (R, L), Pfuit (R, L), Tfuit (R, L), lfuit (R, L) door numerieke integratie van de vergelijkingen die relevant zijn in de atmosfeer. De laatste functie is zeer eenvoudig: lfuit = L. De eerste kan zonder problemen ge¨ınverteerd worden wat leidt tot R = R(rfuit , L). Deze uitdrukking wordt nu gebruikt om de R-afhankelijkheid van de andere twee functies uit te drukken: Pfuit (R(rfuit , L), L) ≡ π(rfuit , L) en Tfuit (R(rfuit , L), L) ≡ θ(rfuit , L), waarbij π en θ nu gekende functies zijn van rfuit en lfuit = L. We vervangen nu de variabelen voor de buitenkant door hun equivalenten aan de binnenkant, rekening houdend met de fitvoorwaarden (7.12): Pfin = π(rfin , L), Tfin = θ(rfin , L).
(7.13)
Dit zijn nu de twee randvoorwaarden voor de inwendige oplossingen. Ze werden zodanig geconstrueerd dat, wanneer er een goede inwendige oplossing gevonden wordt, deze steeds op een continue wijze kan gekoppeld worden aan een uitwendige oplossing.
7.4 Een numerieke oplossingsmethode Voor realistische materiaalfuncties is een analytische oplossing van het stelsel (7.1) niet mogelijk. We zijn dus aangewezen op het zoeken van numerieke oplossingen voor het probleem. Omwille van de computationele eisen is het berekenen van oplossingen voor het volledig stelsel slechts kunnen op gang komen in de laatste 30 jaar. Voorheen diende men gebruik te maken van eenvoudige stermodellen, zoals polytropen. E´en 104
van de numerieke methode die gebruikt wordt om het stelsel (7.1) op te lossen is de Henyey methode, welke we nu zullen bespreken. De Henyey methode is een zeer practische methode om randvoorwaardenproblemen met randvoorwaarden aan beide uiteinden van het oplossingsinterval op te lossen. Een eerste ruwe startoplossing wordt voorgesteld en ge¨evalueerd. Bij wijze van een iteratieproces wordt de startoplossing gradueel verbeterd tot een geschikte oplossing bereikt wordt die voldoet aan een vooraf bepaalde nauwkeurigheid. Bij elke iteratiestap worden correcties aangebracht aan alle variabelen en in alle gridpunten zodat het effect van deze variaties op de gehele oplossing, inclusief op de randvoorwaarden, in rekening gebracht wordt. Voor sferische sterren in hydrostatisch evenwicht moeten we het stelsel (7.1) oplossen, waarbij de tweede vergelijking vervangen wordt door ∂P/∂m = −Gm/4πr 4 , met de bijbehorende randvoorwaarden besproken in de vorige sectie. De algemene structuur van de vergelijkingen is zodanig dat we twee gescheiden deelsystemen kunnen oplossen. Eerst lossen we het “ruimtelijk” systeem op voor gegeven X i (m) en vervolgens passen we het laatste stel vergelijkingen van (7.1) toe voor een kleine tijdstap 4t. Hierna lossen we weer het eerste deelstelsel op voor de nieuwe X i (m), enzoverder. We beschrijven nu in detail het oplossen van het ruimtelijk systeem. We beperken ons tot het oplossen van modellen in volledig evenwicht: r¨ = P˙ = T˙ = 0. We dienen dan enkel initi¨ele waarden te geven voor X i (m), welke we als gekende parameters kunnen beschouwen voor elk punt. De materiaalfuncties gegeven in (7.2) kunnen in het op te lossen stelsel vervangen worden door hun afhankelijkheden van P en T . We dienen dan vier gewone differentiaalvergelijkingen op te lossen voor de vier onbekende functies r, P, T, l in het interval [0, M ] waarbij M verondersteld wordt gegeven te zijn. We schrijven deze vier vergelijkingen symbolisch als dyi = fi (y1 , . . . , y4 ), i = 1, . . . , 4, dm
(7.14)
waarbij we de afkortingen y1 = r, y2 = P, y3 = T, y4 = l ingevoerd hebben. De volgende stap is discretisatie van de vergelijkingen (7.14), door deze te vervangen door differentievergelijkingen voor een eindig massa-interval [m j , mj+1 ]. We duiden de waarden van de variabelen aan elk uiteinde van het massa-interval [m j , mj+1 ] aan met bovenindices: y1j , y1j+1 , . . . , y4j , y4j+1 . De functies fi in het rechterlid van (7.14) moeten nu ge¨evalueerd worden in een gemiddeld argument, wat we aanduij+1/2 . Een logische keuze voor deze argumenten is bijvoorbeeld het rekenkundig of geometrisch den met yi gemiddelde van yij en yij+1 . Defini¨eren we nu de vier functies Aji ≡
yij − yij+1 j+1/2 j+1/2 − f y , . . . , y , i = 1, . . . , 4, i 1 4 mj − mj+1
(7.15)
dan vervangen de differentievergelijkingen
Aji = 0, i = 1, . . . , 4
(7.16)
de differentiaalvergelijkingen (7.14) die we dienen op te lossen. De twee randvoorwaarden aan de buitenkant van de atmosfeer afgeleid in vorige sectie worden opgelegd in een fitpunt mf . We kiezen dit punt als datgene met bovenindex j = 1. Deze twee randvoorwaarden 105
geven een verband tussen de vier veranderlijken y 11 , . . . , y41 in het punt m1 = mf . Met de definities B1 ≡ y21 − π(y11 , y41 ), B2 ≡ y31 − θ(y11 , y41 )
(7.17)
Bi = 0, i = 1, 2.
(7.18)
worden de randvoorwaarden (7.13) gegeven door
We beschouwen nu het gehele interval in m, gaande van m K = 0 tot aan het fitpunt m1 = mf . We verdelen dit gebied in K − 1 deelintervallen door K gridpunten te kiezen, welke niet equidistant hoeven te zijn. In het binnenste interval voor m, tussen het centrale punt m K = 0 en mK−1 gebruiken we de reeksontwikkelingen (7.4), (7.5), (7.7) en (7.9) voor de vier veranderlijken. Deze vier vergelijkingen zijn van de vorm Ci y1K−1 , . . . , y4K−1 , y2K , y3K = 0, i = 1, . . . , 4, (7.19) waarin de eis y1K = y4K = 0 (r = l = 0 in het centrum) reeds verwerkt is.
In de K gridpunten hebben we 4K − 2 onbekende veranderlijken, vermits y 1K = y4K = 0. Deze onbekenden moeten voldoen aan (7.18) voor het eerste punt, aan (7.16) voor alle intervallen behalve het laatste (j = 1, . . . , K − 2) en aan (7.19) voor het laatste interval. In totaal hebben we dus 2 + 4(K − 2) + 4 vergelijkingen, die we schematisch kunnen schrijven als Bi = 0, j
Ai = 0, C = 0, i
i = 1, 2 i = 1, . . . , 4, j = 1, . . . , K − 2
(7.20)
i = 1, . . . , 4.
We zoeken een oplossing voor gegeven M en X i (m), welke als parameters optreden in de vergelijkin gen. Wat we eveneens nodig hebben is een eerste ruwe gok voor de waarde van de onbekenden: yij voor
i = 1, . . . , 4; j = 1, . . . , K. Vermits de yij
1
1
slechts benaderingen zijn, zullen ze niet voldoen aan (7.20):
Bi (1) 6= 0, Aji (1) 6= 0, Ci (1) 6= 0,
(7.21)
waar we met (1) de eerste benadering als argumenten bedoelen.
We gaan nu op zoek δy ij voor alle veranderlijken in alle gridpunten zodanig dat de naar correcties tweede benadering yij = yij + δyij van de argumenten de functies Bi , Aji en Ci weldegelijk doet 2
1
verdwijnen. De correcties δyij van de argumenten veroorzaken correcties δB i , δAji , δCi van de functies. We eisen dus dat (7.22) Bi (1) + δBi = 0, Aji (1) + δAji = 0, Ci (1) + δCi = 0. Voor correcties die klein genoeg zijn mogen we δB i , δAji , δCi in reeks ontwikkelen voor toenemende machten van δyij en enkel de lineaire termen van deze reeks behouden. Voor B 1 wordt dit bijvoorbeeld δB1 ≈
∂B1 1 ∂B1 1 ∂B1 1 ∂B1 1 δy + δy + δy + δy . ∂y11 1 ∂y21 2 ∂y31 3 ∂y41 4 106
(7.23)
Dank zij deze linearisatieprocedure worden de voorwaarden gegeven in (7.22) nu : ∂Bi 1 ∂Bi 1 δy1 + . . . + 1 1 δy4 = −Bi , ∂y ∂y 1 4 j j j
∂A
j
∂A
∂A
j
∂Aj
j+1
j+1
j
i i i i + . . . + j+1 δy4 = −Ai , j δy1 + . . . + j δy4 + j+1 δy1 ∂y ∂y ∂y ∂y 1 4 1 4 ∂Ci ∂Ci ∂Ci ∂Ci δy1K−1 + . . . + K−1 δy4K−1 + K δy2K + K δy3K = −Ci , K−1
∂y1
∂y2
∂y4
(7.24)
∂y3
waarbij de indices i en j dezelfde waarden kunnen aannemen als in (7.20). We beschikken dus opnieuw over 4K − 2 (lineaire inhomogene) vergelijkingen voor evenveel onbekende correcties δy ij (vermits δy1K = δy4K = 0 omwille van de randvoorwaarden). Bij het berekenen van (7.22) moeten allefuncties B i , Aji , Ci en al hun afgeleiden berekend worden met als argumenten de eerste benaderingen yij . Het op te lossen 1 schema (7.24) kan veel korter in matrixvorm genoteerd worden:
H
δy11 . . . δy3K
B1 . = − . .
C4
.
(7.25)
Hierbij staat H voor de Henyey matrix, wiens elementen de afgeleiden in het linkerlid van (7.24) zijn. Wanneer H een determinant verschillend van nul heeft kunnen we het stelsel lineaire vergelijkingen oplossen en de correctiesδyijberekenen. Deze geven op hun beurt aanleiding tot een betere, tweede benadering van de onbekenden yij . Wanneer we deze als argumenten voor de op te lossen vergelijkingen (7.20) 2 doorgeven zullen we nog steeds vinden dat Bi (2) 6= 0, Aji (2) 6= 0, Ci (2) 6= 0,
(7.26)
vermits we enkel in de lineaire benadering gewerkt hebben en er bovendien numerieke onnauwkeurigheden in het spel zijn. Daarom voeren we een tweede iteratiestap door waarin we op dezelfde wijze nieuwe j correcties bepalen waarmee we een derde benadering bepalen: yi = yij + δyij . We zetten deze 3 2 iteratieprocedure verder totdat de benaderende oplossing voldoende dicht bij de gezochte oplossing ligt volgens een vooraf bepaald nauwkeurigheidscriterium. Op deze wijze hebben we de gehele sterstructuur, gegeven de massa en de chemische samenstelling in de verschillende lagen, bepaald voor een ster in volledig evenwicht. In de figuren 7.1 – 7.5 tonen we het verloop van de functies m(r), P (r), ρ(r), T (r) en l(r) (logaritmische schaal), bekomen op basis van de Henyey methode hierboven beschreven, voor een ster met een initi¨ele massa 1 M (linkse panelen) en met 15 M (rechtse panelen) die zopas op de hoofdreeks is aangekomen. 107
Figuur 7.1: Het verloop van de massa m(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts) De chemische samenstelling die ondersteld werd in de gehele ster bedraagt X = 0.74, Y = 0.24, Z = 0.02. Verder onderstelden we een ideaal gas met straling waarin ionisatie-effecten verrekend werden. Voor de energieproductie werden de pp keten en de CNO cyclus gebruikt. Convectief energietransport werd eveneens in rekening gebracht d.m.v. de mixing-length theorie zoals beschreven in de tekst. Uit figuur 7.1 leiden we af dat de massa sterk geconcentreerd is nabij het stercentrum: ongeveer 80% van de massa van de zon bevindt zich binnen een bol met r = 0.4 R , dus binnen een fractie 0.064 van het totale volume van de zon ! Voor een ster met 15 M bevindt 80% van de massa zich in een straal van 0.5 de sterstraal, wat overeenkomt met een fractie van 0.125 van het totale volume. We stellen dus vast dat de massa meer naar het sterinwendige geconcentreerd is naarmate de ster lichter is. De buitenste lagen van de ster hebben bijna geen invloed op de totale stermassa. De lichtkracht is nog meer geconcentreerd dan de massa (zie figuur 7.5): 90% van de lichtkracht wordt opgewekt binnen r = 0.2 R, dus binnen een fractie 0.008 van het volume van de ster. Het is in die centrale kern dat de kernfusie optreedt. In alle lagen daaromheen wordt de energie alleen maar naar buiten getransporteerd; daar is l(r) = L =constant. Voor de zon is de dichtheid zeer sterk gepiekt in het centrum en ze is op r = 0.5 R al een factor 100 gedaald. Het verloop van de druk volgt het verloop van de dichtheid. Voor een massieve ster is de afname van de dichtheid en druk veel geleidelijker. De temperatuur in de zon verloopt vrij geleidelijk en is op r = 0.5 R met “slechts” een factor 3 gedaald. De temperatuur valt plotseling zeer sterk af aan de rand van de ster, omdat de straling daar vlot kan ontsnappen. De modellen voor de huidige zon (leeftijd ongeveer 5 × 10 9 jaar) worden gekenmerkt door een chemische samenstelling X = 0.49, Y = 0.49, Z = 0.02 in de sterkern, terwijl de oorspronkelijke chemische 108
Figuur 7.2: Het verloop van de druk P (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts)
Figuur 7.3: Het verloop van de dichtheid ρ(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts)
109
Figuur 7.4: Het verloop van de temperatuur T (r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts)
Figuur 7.5: Het verloop van de lichtkracht l(r) als functie van de positie in de ster voor een ster met 1 M (links) en met 15 M (rechts)
110
samenstelling nog steeds geldt voor de gebieden met r > 0.2 R . Het verloop van de massa, dichtheid, druk, temperatuur en lichtkracht zijn nauwelijks veranderd.
111
112
DEEL II: STEREVOLUTIE
113
Hoofdstuk 8
Stervorming 8.1 Het interstellair medium Het bestaan van interstellaire materie werd zowat een eeuw geleden voor het eerst aangetoond aan de hand van de dubbelster δ Orionis. Ten gevolge van de beweging van twee componenten in een dubbelstersysteem zien we de spectraallijnen van elk van de sterren heen en weer bewegen in golflengte volgens de baanbeweging. Metingen van de spectraallijnen van δ Orionis vertoonden een absorptielijn van Calcium die niet met de andere lijnen meebeweegt. Hieruit concludeerde Hartman in 1904 terecht dat deze absorptielijn veroorzaakt moet worden door materie dat zich tussen δ Orionis en de aarde bevindt. Een andere aanwijzing voor het bestaan van materie tussen de sterren leveren de donkere gebieden in de Melkweg. Aanvankelijk dacht men dat deze gebieden, waar we veel minder sterrren zien, ster-arme omgevingen waren. Maar in werkelijkheid gaat het om gebieden waar concentraties van stof het sterlicht tegenhouden. In de richting van zulke donkere wolken kunnen we alleen de sterren zien die v´oo´ r de wolk staan, waardoor we er in die richting minder in aantal zien. Naast interstellair stof treedt overal in de ruimte ook interstellair gas op. Het wordt waargenomen in de vorm van zeer smalle absorptielijnen in de spectra van sterren. Het gas heeft dezelfde samenstelling als deze van jonge sterren. De gemiddelde dichtheid van het gas is uiterst gering, ongeveer 1 atoom per cm 3 en de temperatuur bedraagt ongeveer 1000 K. Het bestaat dan ook voornamelijk uit neutrale atomen, overwegend H. In de buurt van hete sterren is het gas door de UV straling ge¨ıoniseerd en verhit tot ongeveer 10 000 K. Dit gebeurt als volgt: een neutraal H atoom absorbeert een UV foton met een energie E > 13.6 eV. Het energieverschil E − 13.6 eV wordt meegegeven als kinetische energie met het elektron dat vrijkomt. Door de botsingen met andere elektronen en protonen wordt deze kinetische energie verdeeld over het gas. De interstellaire materie is niet homogeen verdeeld in de ruimte, maar is geconcentreerd in het melkwegvlak, meer bepaald in de spiraalarmen. Bovendien komen lokale concentraties voor: interstellaire wolken. Deze hebben een diameter van ongeveer 10 parsec en een dichtheid van ruwweg 10 atomen per kubieke 115
cm. De interstellaire wolken zijn kouder dan het ijle gas omdat de straling die voor verhitting zorgt er niet in kan doordringen. In dichte interstellaire wolken kunnen eveneens moleculen voorkomen, vooral H 2 en in veel mindere mate ook complexere moleculen zoals CH 3 OH en H2 CO. Men spreekt dan van moleculaire wolken. Uit gedetailleerde studies van de absorptie-eigenschappen van het interstellair stof blijkt dat dit bestaat uit minuscule koolstofkorreltjes (roet) of silicaatkorrels (zand) met een diameter van ongeveer 1 µm en omgeven door een dun laagje ijs (H2 O). De massa van de interstellaire wolken ligt tussen 100 en 10 5 M , maar de stofdeeltjes maken daar slechts een kleine fractie van uit (slechts 1%). De andere 99% bestaat uit neutraal H of H2 moleculen en He atomen. Sterren worden gevormd op basis van materiaal in moleculaire wolken. Dit gebeurt wanneer zulk een wolk gravitationeel instabiel wordt en ineenstort. Deze wolken zijn ondoorzichtig voor visuele straling. Daarom is het precieze verloop van de vorming van jonge sterren slecht gekend. In de nabije toekomst zullen steeds betere infrarood- en mm-detectoren in gebruik genomen worden. Wellicht zal hierdoor onze kennis over stervorming snel toenemen. We leiden nu eerst een criterium af waaraan moet voldaan zijn opdat zulk een ineenstorting kan plaatsgrijpen. Vervolgens bespreken we de verschillende stadia tussen de ineenstorting en de geboorte van een nieuwe ster.
8.2 Het Jeanscriterium Beschouwen we in eerste instantie een oneindig uitgestrekt homogeen gas in rust. De dichtheid, temperatuur en gravitatiepotentiaal zijn dan overal constant. Dit is echter geen stabiele evenwichtstoestand omdat de ~ 2 Φ = 4πGρ dan oplegt dat ρ = 0. Toch beschouwen we voorlopig deze evenvergelijking van Poisson, ∇ wichtstoestand met een dichtheid die verschilt van nul. Zelfs voor een realistischere evenwichtsconfiguratie wijkt het resultaat niet af van hetgeen we hier bekomen. Passen we nu een storing toe op het medium in rust. Deze storing kan bijvoorbeeld veroorzaakt worden door een supernova explosie in de buurt of door de passage van een dichtheidsgolf, welke de spiraalarmen in de melkweg veroorzaken. Het gas moet dan voldoen aan de bewegingsvergelijking van de hydrodynamica ∂~v d~v ~ v = − 1 ∇P ~ − ∇Φ ~ = + (~v .∇)~ dt ∂t ρ
(8.1)
en aan de continu¨ıteitsvergelijking
∂ρ ~ + ρ∇.~ ~ v = 0. + ~v .∇ρ (8.2) ∂t Bovendien moet voldaan zijn aan de vergelijking van Poisson en onderstellen we dat de toestandsvergelijking voor een ideaal isotherm gas geldig is : P = a2 ρ,
(8.3)
met a de isotherme geluidssnelheid, zie uitdrukkingen (2.49) en (2.50). In evenwicht hebben we ρ = ~ 2 Φ0 = 4πGρ0 . ρ0 =constant, T = T0 =constant en ~v0 = ~0. Φ0 wordt bepaald uit de voorwaarde ∇ 116
We verstoren nu het evenwicht en bepalen het effect van deze storing op de grootheden. Hierbij beschouwen we enkel een kleine storing zodat we niet-lineaire effecten van de storing mogen verwaarlozen. De grootheden worden nu geschreven als ρ = ρ0 + ρ1 , P = P0 + P1 , Φ = Φ0 + Φ1 , ~v = ~v1 ,
(8.4)
waarbij de functies met benedenindex 1 nu een ruimtelijke en tijdsafhankelijkheid hebben. Vervangen we nu (8.4) in de vergelijkingen waaraan moet voldaan blijven, dan vinden we het volgend stelsel differentiaalvergelijkingen: ∂~v1 2 ρ1 ~ = − ∇ Φ + a , 1 ∂t ρ0 ∂ρ1 (8.5) ~ v1 = 0, + ρ0 ∇.~ ∂t ~ 2 Φ1 = 4πGρ1 . ∇
Hierbij hebben we ondersteld dat de verstoring isotherm gebeurt. Deze benadering is goed zolang de wolk in staat is om de vrijgekomen gravitationele energie effici¨ent uit te stralen. Het stelsel (8.5) is een stelsel van lineaire homogene parti¨ele differentiaalvergelijkingen met constante co¨effici¨enten. We kunnen daarom oplossingen vinden die evenredig zijn met exp[i(kx + ωt)] zodat ∂ ∂ ∂ ∂ = ik, = = 0, = iω. ∂x ∂y ∂z ∂t
(8.6)
Met v1x = v1 , v1y = v1z = 0 vinden we op basis van het stelsel (8.5) de volgende vergelijkingen: ka2 ωv + ρ1 + kΦ1 = 0, 1 ρ0
kρ0 v1 + ωρ1 = 0, 2
(8.7)
4πGρ1 + k Φ1 = 0.
Dit homogeen lineair stelsel van drie vergelijkingen voor de drie onbekenden v 1 , ρ1 , Φ1 heeft enkel oplossingen verschillend van nul indien de determinant ω kρ 0 0
ka2 ρ0 ω 4πG
nul is. Voor k 6= 0 impliceert dit de voorwaarde
k 0 k2
ω 2 = k 2 a2 − 4πGρ0 .
(8.8)
Voor voldoende grote golfgetallen k is het rechterlid van deze vergelijking positief zodat we storingen hebben die periodisch vari¨eren in de tijd (re¨ele eigenwaarde ω). Vermits de amplitude niet toeneemt is de evenwichtstoestand stabiel t.o.v. deze storingen. In de limiet voor oneindig grote k is de tweede term in het rechterlid van (8.8) te verwaarlozen, zodat ω 2 = k 2 a2 , welke de dispersievergelijking voor isotherme 117
geluidsgolven is. Het is inderdaad zo dat voor zeer korte golven de invloed van de gravitatie kan verwaarloosd worden. Elke vorm van samendrukking zal in dit geval hersteld worden door een verhoogde druk en de storingen reizen met de geluidssnelheid door het medium. Wanneer k 2 < 4πGρ0 /a2 is de waarde ω van de vorm ±iξ met ξ een re¨eel getal. Er treden dan storingen op ∼ exp(±ξt) die exponentieel groeien of uitdoven in de tijd zodat het evenwicht verbroken wordt. We defini¨eren nu een karakteristiek golfgetal k J en een karakteristieke golflengte λ J : kJ2 ≡
4πGρ0 2π , λJ ≡ . 2 a kJ
(8.9)
De storingen met golfgetal k < kJ (of golflengte λ > λJ ) veroorzaken een instabiliteit. Er treedt dus een instabiliteit op wanneer π 1/2 a. (8.10) λ > λJ met λJ = Gρ0 Voorwaarde (8.10) noemt men het Jeans criterium, genoemd naar J. Jeans die dit criterium afleidde in 1902. Fysisch gebeurt het volgende: na een kleine samendrukking van een stel plan-parallelle lagen overwint de gravitatie de invloed van de druk en worden de lagen samengedrukt tot zeer dunne zones. Het tempo waarmee deze samendrukking gebeurt kunnen we schatten door in (8.8) enkel√ rekening te houden met de op dat ogenblik overheersende √ invloed van de gravitatie. We hebben dan iω ≈ Gρ0 en de overeenkomende tijdschaal bedraagt τ ≈ 1/ Gρ0 . Deze komt overeen met de vroeger gedefinieerde tijdschaal voor vrije val (3.24). Daarentegen is de tijdschaal voor thermische aanpassing veel korter. Deze bedraagt enkele honderden jaren voor interstellaire wolken bestaande uit neutraal waterstof. Dit betekent dat bij goede benadering de ineenstorting isotherm gebeurt. Men kan tonen dat het Jeans criterium nog steeds geldt voor realistischere configuraties, zoals een sferisch symmetrische gaswolk. Afhankelijk van de veronderstelde geometrie zullen de factoren in de uitdrukking (8.9) van λJ dan een weinig veranderen. Voor een gegeven evenwichtstoestand bestaat er een kritische massa, de Jeans massa. Gaswolken met massa groter dan de Jeans massa zijn gravitationeel instabiel en zullen bij een kleine samendrukking instorten. We kunnen de Jeans massa als volgt afschatten: MJ =
4π ρ0 λ3J 3
=
4π ρ0 3
=
4π 3
π Gρ0
Rπ Gµ 5
3/2
3/2
≈ 5 × 10 M
RT µ
3/2
(8.11)
−1/2
T 3/2 ρ0 T 100K
3/2
ρ0 −24 10 gcm−3
−1/2
µ−3/2 ,
waarbij we gebruikt hebben dat a2 = RT /µ. Typische waarden voor interstellaire wolken bestaande uit neutraal waterstof zijn: ρ0 = 10−24 g cm−3 , T = 100 K, en µ = 1. Hiermee bekomen we voor de Jeans 118
massa MJ ≈ 5 × 105 M . Dit betekent dat enkel massa’s die aanzienlijk groter zijn dan stellaire massa’s kunnen ineenstorten ten gevolge van het Jeans criterium.
8.3 Fragmentatie Hoe worden nu sterren gevormd uit een gaswolk die gravitationeel ineenstort ? Men neemt aan dat een wolk met massa groter dan de Jeans massa die ineenstort onderhevig is aan een proces van fragmentatie. Hiermee bedoelen we dat er tijdens de ineenstorting fragmenten ontstaan die zelf instabiel worden en die aan een hoger tempo dan de wolk zelf in mekaar storten. Indien dit proces inderdaad optreedt, impliceert dit dat kleinere deelmassa’s uit de wolk kunnen condenseren. Zoals reeds eerder opgemerkt gebeurt de ineenstorting isotherm. Hieruit volgt dat de Jeans massa daalt als tijdens de samentrekking, m.a.w. de Jeans massa wordt kleiner dan de oorspronkelijke massa van de gaswolk. Wanneer de Jeans massa dan kleiner geworden is dan de helft van de oorspronkelijke massa, kan de wolk zich fragmenteren in twee deelwolken die elk ineenstorten. Zulke fragmentatie kan zich verder zetten zolang de ineenstorting isotherm blijft verlopen. We merken wel op dat het Jeans criterium afgeleid werd voor een medium in evenwicht en de theorie dus niet strikt toepasbaar is voor een wolk die reeds aan het samentrekken is. ρ−1/2
Vraag is nu wat de eindprodukten zijn van het fragmentatieproces ? Een oplossing zoeken op basis van de vergelijkingen van de hydrodynamica en thermodynamica voor zulk een samentrekkende wolk zou ons veel te ver leiden. We beperken onze redenering daarom tot het uitzoeken op welk ogenblik de tijdschaal van thermische aanpassing vergelijkbaar wordt met de tijdschaal van vrije val. Op dat ogenblik zal de ineenstorting niet meer isotherm, maar wel adiabatisch gebeuren. Voor een mono-atomisch ideaal gas hebben we dat ∇ad = 2/5, zodat T ∼ P 2/5 en vermits P ∼ ρT verandert de temperatuur dan als T ∼ ρ 2/3 . De Jeans massa is dan evenredig met T 3/2 ρ−1/2 ∼ ρ1/2 . We vinden dus dat de Jeans massa toeneemt tijdens een adiabatische ineenstorting. Hierdoor zullen de reeds ontstane deelwolken niet verder opsplitsen en zal de fragmentatie stoppen. De karakteristieke tijdschaal voor vrije val van een fragment bedraagt (Gρ) −1/2 . Anderzijds is de totale energie die dient uitgestraald te worden om een constante temperatuur te kunnen bewaren van de orde van de gravitationele potenti¨ele energie E g ≈ GM 2 /R, waarbij M en R de massa en de “straal” van het fragment zijn. Er dient dus een energie A van de orde GM 2 (Gρ)1/2 = A≡ R
3 4π
1/2
G3/2 M 5/2 R5/2
(8.12)
per tijdseenheid uitgestraald te worden opdat de fragmentatie isotherm zou verlopen. Onderstellen we nu thermisch evenwicht, wat een goede benadering is aan het eind van het fragmentatieproces omdat de materie dan opaak begint te worden. Dan echter, kan het fragment niet meer energie uitstralen dan een zwarte straler met dezelfde temperatuur. Het fragment straalt dus een energie uit gegeven door B = 4πf σT 4 R2 , met σ de constante van Stefan-Boltzmann (zie Bijlage A) en f een getal tussen 0 en 1 waarmee we in rekening brengen dat er minder energie wordt uitgestraald dan voor een zwarte straler. De voorwaarde voor isotherme 119
ineenstorting is A B en de overgang naar adiabatische samentrekking zal gebeuren bij A ≈ B. Deze laatste voorwaarde is voldaan bij 64π 3 σ 2 f 2 T 8 R9 . (8.13) M5 = 3 G3 We kunnen dus aannemen dan de fragmentatie stopt wanneer de Jeans massa gelijk is aan de massa gegeven in (8.13). We vervangen daarom M in (8.13) door M J , R door (3MJ /4πρ)1/3 en elimineren ρ met behulp van uitdrukking (8.11). We bekomen zo de Jeans massa op het eind van de fragmentatie: MJ,einde =
46 π 15 38
!1/4
1 (σG3 )1/2
R µ
9/4
f −1/2 T 1/4 = 0.17 M
T 1/4 , f 1/2
(8.14)
waarbij we µ = 1 genomen hebben. Nemen we nu een typische temperatuur van 1 000 K voor de temperatuur van de kleinste fragmenten. Veronderstellen we vervolgens dat afwijkingen van een isotherme toestand optreden voor f = 0.1, dus wanneer het energieverlies 10% bedraagt van het maximaal mogelijke energieverlies. We bekomen dan een Jeans massa aan het eind van het fragmentatieproces die gelijk is aan 3 M . Dit resultaat verandert niet veel wanneer we de temperatuur en f -waarde laten vari¨eren binnen de toegelaten grenzen. We besluiten dus dat fragmentatie ophoudt op het ogenblik dat de fragmenten een massa hebben van de orde van e´ e´ n zonsmassa, niet van de orde van een planeet en ook niet van de orde van een stercluster.
8.4 De vorming van een protoster Het Jeans criterium dat we hebben afgeleid is gebaseerd op een eerste-orde storingsmethode en geeft de voorwaarden waaronder een storing van een evenwichtstoestand exponentieel groeit. Deze theorie geeft echter geen informatie over het eindproduct van de ineenstorting. We overlopen nu de verschillende stadia vanaf de ineenstorting tot de geboorte van de ster. Wanneer het fragmentatieproces be¨eindigd wordt blijven de verschillende fragmenten, welke worden voorgesteld in figuur 8.1a, verder gravitationeel ineenstorten. De gravitatie heeft nog steeds de bovenhand en de drukgradi¨ent kan in eerste instantie verwaarloosd worden. We kunnen deze ineenstorting dan benaderen als een vrije val van een homogene sfeer. De tijdschaal waarop de vrije val plaatsvindt is zeer vergelijkbaar met de tijdschaal die men vindt wanneer we het plots wegvallen van de drukkracht beschouwen in de bewegingsvergelijking en bedraagt ongeveer 10 7 jaar. Deze tijdschaal is niet meer nauwkeurig nabij het centrum van het fragment, vermits de druk daar belangrijk wordt, waardoor de ineenstorting stopt. Volgen we nu het proces van ineenstorting voor een homogene wolk met een massa van 1 M nadat het fragmentatieproces be¨eindigd werd. In goede benadering houdt de instabiliteit de buitenlagen van de sfeer op een quasi-constante straal terwijl de binnenste materie een vrije val kan ondergaan. Hierdoor stijgt de dichtheid in de centrale gedeelten enorm snel, terwijl de dichtheid nauwelijks varieert in de buitenste regionen van het fragment. Eens een kleine centrale concentratie ontstaan is zal ze onherroepelijk aangroeien en is een irreversibel proces gestart. De vrije-val tijd voor de sfeer binnen straal r is van de orde [Gρ(r)] −1/2 waarbij ρ staat voor de gemiddelde dichtheid binnen de sfeer met straal r. Wanneer ρ toeneemt naar het centrum toe daalt de vrije-val tijd in die richting. Daarom zullen de binnenste sferen veel sneller invallen 120
Figuur 8.1: De verschillende fasen van het stervormingsproces. Voor details: zie tekst.
121
dan de buitenste lagen en wordt het dichtheidsverschil nog meer uitgesproken. Uiteindelijk zal het fragment evolueren van een dichtheidsverdeling ρ =constant naar ρ ∼ r −2 . De ineenstorting van het centrale deel gebeurt in vrije val zolang het materiaal de gravitationele energie kan kwijtspelen. Een deel van deze energie wordt uitgestraald in het infrarood. Een ander gedeelte wordt opgeslagen onder de vorm van differenti¨ele rotatie. Materiaal met een klein impulsmoment zal een dynamische ineenstorting blijven ondergaan op de tijdschaal van vrije val. Daarentegen zal de materie aan de buitenkant van het fragment een veel groter impulsmoment hebben. Het kan hierdoor niet invallen en begeeft zich in een schijf omheen de ster in wording (zie figuur 8.1b). Een verdere toename van de dichtheid zal een adiabatische stijging van de temperatuur veroorzaken. Hierdoor zal de druk stijgen totdat de vrije val gestopt wordt. Hierdoor ontstaat een centrale kern in hydrostatisch evenwicht omgeven door een nog steeds ineenstortende enveloppe. Op dit moment bedraagt de massa van de kern ongeveer 1/200 M , de straal is ongeveer 1000 R . Typische waarden voor de centrale dichtheid en temperatuur zijn ρc = 2×10−10 g cm−3 , Tc = 170 K. De snelheid van vrije val aan de rand van de kern bedraagt zo’n 75 km/s. Wanneer de massa van de kern blijft stijgen en de straal ervan dalen, dan zal deze snelheid de geluidssnelheid in de kern overstijgen. Er zal zodoende een schokgolf gevormd worden die het hydrostatisch “inwendige” scheidt van de supersonische “regen” op de kern. In dit schokfront komt het invallend materiaal tot stilstand en geeft het zijn kinetische energie af aan de kern. Op die manier verwarmt de accreterende kern. In de kern bestaat het gas hoofdzakelijk uit waterstof in moleculaire vorm. Wanneer, echter, de temperatuur stijgt tot zo’n 2 000 K, zullen de H 2 moleculen dissoci¨eren. We krijgen dan een mengsel van atomair en moleculair waterstof. Bij de aanvang van dit dissociatieproces zal het grootste gedeelte van de energie die via de schokgolf ge¨ınjecteerd wordt in de kern gebruikt worden om alle waterstof verder te dissoci¨eren. De schokgolf sterft hierdoor snel uit, vooraleer de buitenste lagen van het fragment te bereiken. Op het ogenblik van sterke dissociatie wordt vervolgens het hydrostatisch evenwicht in de kern verbroken, waardoor deze laatste opnieuw begint te contraheren. Dit gebeurt op het ogenblik dat de massa van de kern ongeveer verdubbeld is en de straal ervan gehalveerd. Deze tweede ineenstorting duurt verder zolang het gas partieel gedissocieerd is. Wanneer alle waterstof omgevormd is tot atomaire vorm heeft er zich een dynamisch stabiele deelkern in de ster-in-wording gevormd. Deze deelkern heeft een massa van ongeveer 1.5 × 10−3 M en een straal van 1.3 R . De centrale dichtheid is nu gestegen tot ongeveer 2 × 10 −2 g cm−3 en de centrale temperatuur bedraagt zo’n 2 × 10 4 K. Opnieuw vormt zich aan de rand van de deelkern een schokfront. Dit front is veel energetischer dan het eerste en reikt nu wel tot het oppervlak van het fragment: de vroege protoster vertoont nu een lichtkracht. Een schematische voorstelling van het ontstaan van de twee schokfronten is gegeven in figuur 8.2. De evolutie van de kern van een fragment met massa 1 M , startende van de originele Jeans instabiliteit, wordt schematisch weergegeven in figuur 8.3. De evolutie start links met een isotherme ineenstorting. Nadat het materiaal opaak wordt, stijgt de temperatuur adiabatisch. De temperatuursstijging wordt afgevlakt door de dissociatie van H2 . De centrale compressie verloopt adiabatisch zolang de accretietijdschaal van de kern (of van de deelkern indien die reeds bestaat) kort blijft in vergelijking met de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin. Hoe meer uitputting van moleculair waterstof er optreedt in de enveloppe, hoe langer de accretietijdschaal wordt. Op een gegeven moment zal deze de Helmholtz-Kelvin tijdschaal overschrijden, zal de kern in thermisch evenwicht komen en zal de adiabatische evolutie ophouden: een protoster is 122
Figuur 8.2: De ineenstorting van een gaswolk met massa 1 M . (a) Na zo’n 1.3 × 1013 seconden heeft de wolk een dichte opake kern gevormd. De ineenstorting stopt aan de rand van die kern en er ontwikkelt zich een schokfront tussen de kern, welke in hydrostatisch evenwicht is, en de enveloppe die nog steeds vrije val ondergaat. (b) Wanneer de kern dynamisch instabiel wordt door H 2 dissociatie ontstaat een tweede ineenstorting van de kern, waardoor ook een tweede schokfront zich ontwikkelt, maar nu bij veel kleinere r. (c) Het verloop van de snelheidsmodulus |v| (in cm s −1 ) en de dichtheid ρ (in g cm−3 ) t.o.v. r (in cm). De gebieden van de schokgolven worden gekarakteriseerd door grote variaties in het verloop van de snelheidskromme.
123
Figuur 8.3: De centrale evolutie van een wolk met massa 1 M vanaf de isotherme ineenstorting tot de ontbranding van waterstof. De centrale temperatuur T c (in Kelvin) wordt getoond als functie van de centrale dichtheid ρc (in g cm−3 ). De puntjeslijn is een extrapolatie welke aanduidt dat de fase van thermische aanpassing, die volgt na de adiabatische samendrukking, uitmondt in de ontbranding van waterstof in de kern. geboren en heeft nu een zo goed als constante massa. Zolang de protoster nog een centrale temperatuur heeft beneden diegene nodig voor het initi¨eren van waterstofverbranding moet de ster haar energieverlies overeenkomend met de uitgestraalde lichtkracht uit de contractie halen. Een gedeelte van de gravitationele energie wordt omgezet naar inwendige energie en een ander gedeelte is verantwoordelijk voor de lichtkracht van de ster. Vraag is nu wanneer de nieuwe ster effectief “geboren” wordt uit de protoster. Anders geformuleerd: wanneer bereikt de protoster de nulhoofdreeks ? De nulhoofdreeks wordt gedefinieerd als zijnde de locatie in het HR diagram waar de ster het proces van waterstofverbranding start. Dit is een belangrijk moment in het leven van de ster, aangezien de inwendige structuur van het object op dat moment een reorganisatie vereist. Dit is het gevolg van het feit dat er nu twee energiebronnen voorhanden zijn, gravitationele en nucleaire energie, welke elk een totaal verschillende impact op de sterstructuur hebben. Zo is de gravitationele energieproductie εg ∼ T terwijl de processen van waterstofverbranding veel meer geconcentreerd zijn naar het stercentrum toe met temperatuursafhankelijkheden gegeven door ε pp ∼ T 5 en εCNO ∼ T 18 . De nucleaire energie neemt al gauw de bovenhand en de evolutie van de ster wordt vanaf dat moment helemaal geregeerd door de waterstofverbranding. Op dat ogenblik doet de “thermische geschiedenis” van de ster er niet meer toe. De sterstructuur zal zich aanpassen en thermisch evenwicht bereiken na een Helmholtz-Kelvin tijd. Vermits de tijdsduur die de ster zal doorbrengen op de hoofdreeks vele orden van grootte langer is vestigt de ster zich onafhankelijk van haar verleden op de nulhoofdreeks. We maken eerst even een zijsprong om te kunnen antwoorden op de vraag wat er met een protoster precies gebeurt alvorens ze de nulhoofdreeks bereikt. 124
8.5 Het Hayashispoor in het HR diagram We beschouwen nu even het limietgeval van volledig convectieve sterren. Dit zijn sterren waarvoor de convectieve zone zich uitstrekt van de sterkern tot aan de fotosfeer terwijl enkel de steratmosfeer radiatief blijft. Het Hayashi spoor is die plaats in het HR diagram waar volledig convectieve sterren voor een gegeven massa en chemische samenstelling voorkomen. Er bestaat een apart Hayashi spoor voor elke massa en chemische samenstelling. De Hayashisporen zijn rechts in het HR diagram gesitueerd, bij effectieve temperaturen tussen 3 000 en 5 000 K. Een goede benadering voor de Hayashi sporen in het HR diagram is log Teff = 0.05 log L + 0.2 log M + constante.
(8.15)
De helling van een Hayashi spoor is ∂ log L/∂ log T eff = 20. Dit toont dat alle Hayashi sporen een zeer steile helling hebben. De waarde van ∂ log T eff /∂ log M = 0.2 impliceert dat een Hayashi spoor voor bepaalde massa naar links in het HR diagram verschuift wanneer de massa stijgt. De exacte bepaling van de Hayashi sporen hangt niet alleen af van de massa en chemische samenstelling van de ster, maar evenzeer van de details van de gebruikte convectietheorie. We tonen in figuur 8.4 Hayashi sporen voor stermassa’s gaande van 0.5 tot 10M . We stellen vast dat de sporen inderdaad een steile helling hebben. Hun preciese lokatie hangt af van de lichtkracht van de ster. De Hayashi sporen zijn zeer ver van de hoofdreeks gelegen voor hoge stellaire massa’s en naderen de hoofdreeks bij lage massa’s. Voor massa’s beneden 0.25 M treden volledig convectieve hoofdreekssterren op. Voor deze lage massa’s snijdt het Hayashispoor inderdaad de hoofdreeks. Het Hayashi spoor duidt een grens aan tussen een toegelaten en verboden gebied in het HR diagram. Posities rechts van het Hayashi spoor kunnen niet voorkomen voor een ster in hydrostatisch evenwicht die tevens in convectief evenwicht is. Met dit laatste bedoelen we dat de variaties van grootheden verbonden met convectieve cellen zo traag verlopen dat de convectie voldoende tijd heeft gehad om zich aan te passen aan de nieuwe situatie. Vermits hydrostatisch en convectief evenwicht zich zeer snel herstelt, kunnen sterren zich slechts gedurende zeer korte tijd rechts van het Hayashi spoor bevinden. Tijdens sommige fasen van de sterevolutie kunnen de sterren zeer dicht naderen tot, of zelfs samenvallen met het Hayashi spoor. De ligging van de Hayashisporen be¨ınvloedt dan ook de sterevolutie.
8.6 Evolutie van de protoster naar de nulhoofdreeks Na de dynamische fase beschreven in sectie 8.4 bereikt de protoster een quasi-hydrostatisch evenwicht. Ze contraheert nu traag op de tijdschaal van Helmholtz-Kelvin terwijl ze nog de laatste resten materie blijft accreteren. De verdere evolutie van de ster is afhankelijk van de massa van de protoster. Immers de HelmholtzKelvin tijdschaal wordt nu vooral bepaald door de stermassa: τ HK ≈ M −2.5 is een goede benadering voor een protoster. Dit betekent dat massieve protosterren veel sneller op de nulhoofdreeks zullen aankomen in vergelijking met hun minder zware collega’s. Het is inderdaad zo dat het HR diagram van jonge clusters van sterren (bijvoorbeeld de Pleiaden) toont dat de massieve sterren reeds op de nulhoofdreeks beland zijn 125
Figuur 8.4: De positie van de Hayashisporen voor sterren met massa tussen 0.5 en 10 M , voor een chemische samenstelling X = 0.739, Y = 0.24, Z = 0.021. De hoofdreeks is eveneens aangeduid ter vergelijking.
126
terwijl de minder massieve sterren zich nog in hun contractiefase bevinden vermits ze duidelijk rechts van de hoofdreeks gelegen zijn. Vele van deze sterren blijken T Tauri sterren te zijn (zie verder). Voor massieve sterren met een massa groter dan 9M is de Helmholtz-Kelvin tijdschaal korter dan de tijdschaal van de invallende materie. De ster bereikt reeds de hoofdreeks, d.w.z. dat de centrale temperatuur hoog genoeg is voor het eerste kernfusieproces van vier waterstofkernen tot e´ e´ n heliumkern, terwijl er nog materie-inval plaatsvindt. Door de kernreacties komt er stralingsenergie vrij die zorgt voor een grote druk op de invallende materie. Hierdoor stopt de accretie volledig. Massieve sterren worden zodoende pas optisch zichtbaar wanneer ze reeds op de hoofdreeks zijn aanbeland. Ze hebben geen pre-hoofdreeksfase, geen optisch zichtbare fase v´oo´ r de hoofdreeks. Hierdoor geven ze niet veel informatie prijs over hun vormingsproces. Protosterren met een lagere stellaire massa hebben een veel langere Helmholtz-Kelvin tijdschaal. Dit impliceert dat deze protosterren hun accretiefase be¨eindigen vooraleer ze de hoofdreeks bereiken. Beschouwen we eerst protosterren met een massa beneden 2 M . Wanneer deze protoster verder samentrekt en massa accreteert neemt de centrale temperatuur T c toe. Op het ogenblik dat Tc ∼ 106 K zal een deel van het verbrandingsproces van waterstof in gang gezet worden. Er wordt deuterium verbrand tot 3 He volgens de pp reactie. De volgende reactie van de pp keten, nl. 3 He verbranding, vereist een temperatuur van 10 7 K, dus deze reactie vindt nog niet plaats. Als reactie op de verhitting door deuteriumverbranding begint de ster convectief te worden. Eerst wordt ze convectief in de kern, maar later breidt de convectieve zone zich uit tot de hele ster. Er zijn nu twee ingredi¨enten die zorgen voor de afvoer van de beschikbare energie: differenti¨ele rotatie en convectie. De combinatie van beiden wekt een chaotisch magneetveld op aan het proto-steroppervlak, wat zorgt voor een protosterrenwind. De wind ontsnapt langs de poolas omwille van de gevormde schijf in het equatorvlak. Zo ontstaat een bipolaire uitstroom (figuur 8.1c), welke het accretieproces doet stoppen. De ster is een pre-hoofdreeksster geworden. Ze ontdoet zich vervolgens van haar cocon (figuur 8.1d) en verschijnt in dit stadium als optisch zichtbare bron. De ster verschijnt in het HR diagram op het Hayashi spoor. Zulke optisch heldere pre-hoofdreekssterren worden T Tauri sterren genoemd. Er blijft nu nog de evolutie van protosterren met een massa tussen 2 en 9 M . De waterstofverbranding in zulke sterren verloopt niet via de pp keten maar wel via de CNO cyclus. Hierdoor wordt er geen deuterium verbrand en vormt er zich geen convectieve zone. Zij begeven zich via een radiatieve fase van contractie naar de hoofdreeks. Ondanks het feit dat er geen convectie optreedt neemt men toch actieve fenomenen en sterrenwinden waar in deze zogenaamde Herbig Be/Ae sterren. De preciese oorzaak hiervan is nog niet gekend. In figuur 8.5 tonen we de evolutiesterren van protosterren tot aan de hoofdreeks voor verschillende massa’s. Tabel 8.1 geeft de overeenkomstige evolutionaire leeftijden van de modellen, volgens de labels aangeduid in figuur 8.5. Het starttijdstip van de berekening komt overeen met het instellen van hydrostatisch evenwicht in de protoster. In latere fasen verdwijnt de stofschijf omheen de pre-hoofdreeksster. Het is vooralsnog niet helemaal duidelijk op welke manier dit gebeurt. De vorming van een planetenstelsel is e´ e´ n van de mogelijke scenario’s. Het is voorlopig nog niet geweten of de vorming van een planetensysteem in dergelijke schijven een 127
Figuur 8.5: Evolutiesporen van pre-hoofdreekssterren in het HR diagram voor stermodellen met massa tussen 0.5 en 15 M . De onderstelde chemische samenstelling bedraagt X = 0.708, Z = 0.02. De tijdsduur om de aangeduide punten te bereiken wordt voor sommige modellen gegeven in Tabel 8.1.
128
punt
15
9
5
3
1
1
6.74 × 102
1.44 × 103
2.94 × 104
3.42 × 104
1.19 × 105
9.35 × 103
3.65 × 104
2.00 × 105
7.63 × 105
8.91 × 106
2 3 4 5 6 7 8
3.77 × 103
2.20 × 104
2.66 × 104
3.98 × 104
4.59 × 104
6.17 × 104
1.47 × 104
6.99 × 104
7.92 × 104
1.02 × 105
1.20 × 105
1.51 × 105
1.07 × 105
2.86 × 105
3.14 × 105
3.88 × 105
4.56 × 105
5.76 × 105
2.08 × 105
1.14 × 106
1.25 × 106
1.47 × 106
1.74 × 106
2.51 × 106
1.06 × 106
1.82 × 107
2.53 × 107
3.42 × 107
5.02 × 107 –
Tabel 8.1: Evolutionaire leeftijden (in jaren uitgedrukt) voor sommige van de modellen met aangegeven massa’s getoond in figuur 8.5. De tabel geeft de tijdsduur die nodig is om de aangeduide punten te bereiken, vanaf het ogenblik dat hydrostatisch evenwicht zich instelt in de protoster tot aan de aankomst op de hoofdreeks. normaal dan wel een uitzonderlijk fenomeen is. Voor meer details omtrent planeetvorming verwijs ik naar de cursus Het zonnestelsel gedoceerd in het tweede semester van de eerste licentie. We merken tenslotte nog op dat een contraherende sfeer met een massa beneden een bepaalde limietmassa nooit een centrale temperatuur van waterstofverbranding zal bereiken. Protosterren met een massa beneden 0.08 M ontsteken nooit waterstof en geraken dus nooit op de hoofdreeks. De reden hiervoor is dat deze sterren volledig convectief worden tijdens de contractiefase. Immers, de contractie moet zorgen voor de te produceren lichtkracht zolang er geen kernreacties plaatsgrijpen. Er ontstaat zo een alsmaar stijgende dichtheid, die bij een ster met initi¨ele massa beneden 0.08 M leidt tot ontaarding alvorens waterstof ontsteekt. Deze ontaarding belet een verdere toename van de temperatuur, zodat deze laatste nooit hoog genoeg kan worden opdat waterstofverbranding plaats kan grijpen. Zulke objecten noemt men bruine dwergen. Een ster in wording is dus gedoemd om een bruine dwerg te worden wanneer haar massa niet hoog genoeg is om waterstofverbranding te ontsteken vooraleer ontaarding optreedt. Bruine dwergen worden soms verantwoordelijk geacht voor de zogenaamde “ontbrekende massa” in het heelal. Omwille van hun lage lichtkracht is het zeer moeilijk om zulke objecten waar te nemen. Zodoende zou een aanzienlijke fractie van de massa in het heelal aan de waarnemingen kunnen ontsnappen. Een nauwkeurige schatting van de massa die aanwezig is in het heelal is van groot belang voor het opstellen van cosmologische modellen. In die zin is de zoektocht naar bruine dwergen zeer actueel.
129
130
Hoofdstuk 9
De hoofdreeks 9.1 De nulhoofdreeks We beschouwen nu een reeks van stermodellen in mechanisch en thermisch evenwicht met dezelfde chemische samenstelling maar met verschillende massa. De sterren zijn aangekomen op de nulhoofdreeks zoals geschetst in vorig hoofdstuk en ondergaan waterstofverbranding in hun kern. Deze waterstofverbranding is hun energiebron gedurende zeer lange tijd en de sterren veranderen bijgevolg slechts op de tijdschaal τ n . In de veel kortere tijdspanne τHK “vergeet” de ster haar vormingsgeschiedenis. De consumptie van waterstof in de kern gebeurt zodanig traag dat de ster bijna haar gehele levensloop doorbrengt op de hoofdreeks. Daarom dat we de meeste sterren vinden tijdens hun hoofdreeksfase. De leeftijd van de ster wordt steeds weergegeven t.o.v. de nulhoofdreeks (ZAMS: “zero-age-main-sequence”). Evenwichtsmodellen van hoofdreekssterren in de fase van centrale waterstofverbranding kunnen bepaald worden aan de hand van het schema besproken in Hoofdstuk 7. In figuur 9.1 tonen we de positie van de sterren in het HR diagram voor een reeks in massa gaande van 0.1M tot 22M voor een chemische samenstelling X = 0.685, Y = 0.294. De lichtkracht en effectieve temperatuur stijgt met stijgende massa. We verkrijgen zo de gehele ZAMS. Zoals reeds blijkt uit figuur 9.1 bestaan er welbepaalde verbanden tussen de oppervlaktewaarden voor de massa, de straal, de effectieve temperatuur en de lichtkracht voor de berekende modellen. We gaan hier nu wat dieper op in.
9.2 De massa-lichtkracht relatie De massa-lichtkracht relatie voor de nulhoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1 wordt weergegeven als een volle lijn in figuur 9.2. We stellen vast dat de lichtkracht fel toeneemt voor stijgende massa’s. Met het oog op een interpolatie over een beperkt massa-interval kunnen we de massa-lichtkracht relatie schrijven in 131
Figuur 9.1: De nulhoofdreeks (ZAMS) in het Hertzsprung-Russell diagram voor stermodellen met X = 0.685 en Y = 0.294. De posities van de modellen voor verschillende massa’s tussen 0.1 en 22 M worden aangeduid onderaan de ZAMS.
132
Figuur 9.2: De volle lijn duidt de massa-lichtkracht relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauwkeurig bepaald werden (zie Popper, D.M., Annual Review of Astronomy & Astrophysics, Volume 18, p. 115, 1980). Driehoekjes: visuele dubbelsterren, puntjes: gescheiden dubbelsterren. de vorm L ∼ Mη.
(9.1)
De waarde van η hangt af van het beschouwde massa-interval. Wanneer we het gehele massa-interval beschouwen vinden we als beste benadering η ≈ 3.2. De helling van de volle lijn in figuur 9.2 verandert echter in functie van de massa. Zo vinden we bijvoorbeeld als beste waarde voor het massa-interval M ∈ [1, 10]M η ≈ 3.35. Vraag is nu hoe de theoretisch bepaalde massa-lichtkracht relatie aansluit bij de observationele versie van deze relatie. Om deze vraag te kunnen beantwoorden moeten we beschikken over een reeks sterren waarvan de massa en de lichtkracht (en dus de straal en de effectieve temperatuur) goed gekend zijn. De meest nauwkeurige massa- en straalbepaling die voorhanden is, gebeurt aan de hand van dubbelsterren. Onder een dubbelster verstaan we een systeem van twee sterren die fysisch met elkaar verbonden zijn. Beide componenten bevinden zich dus op dezelfde afstand van ons. Verscheidene studies tonen aan dat minstens de helft van alle sterren behoren tot een meervoudig systeem. De binariteit heeft voor nauwe dubbelsterren belangrijke gevolgen voor de evolutie van de componenten. De invloed van deze binariteit op de evolutie en het bepalen van massa’s wordt bestudeerd in de cursus Gevorderde Astrofysica, gedoceerd tijdens de 2de licentie. We bespreken nu de confrontatie van de theoretisch voorspelde en de waargenomen massa-lichtkracht relatie voor hoofdreekssterren. D. Popper (Annual Review of Astronomy & Astrophysics, Vol. 18, p. 115, 1980) geeft een overzicht van de dubbelsterren op de hoofdreeks waarvan de massa’s het nauwkeurigst afgeleid konden worden. Deze lijst werd gebruikt om de theoretisch geconstrueerde massa-lichtkracht relatie te toetsen. De observationeel vastgestelde massa-lichtkracht relatie wordt eveneens weergegeven in figuur 9.2. De driehoekjes verwijzen naar visuele (lage-massa) dubbelsterren terwijl de bolletjes de massievere dubbelsterren met duidelijk gescheiden componenten (“detached binaries”) aanduiden. We zien een zeer goede 133
Figuur 9.3: De volle lijn duidt de massa-straal relatie aan voor de hoofdreeksmodellen getoond in figuur 9.1. Een vergelijking wordt gemaakt met componenten van dubbelsterren waarvan de massa’s nauwkeurig bepaald werden. De symbolen hebben dezelfde betekenis als in figuur 9.2. overeenkomst tussen de waargenomen dubbelsterren en de theoretisch gevonden relatie. Vermits we hier een vergelijking maken tussen ZAMS modellen en echte sterren die reeds lang op de hoofdreeks kunnen verblijven is de overeenkomst bijzonder goed, zeker als men de bedenking maakt dat we te maken hebben met een bijzonder grote interval waarbinnen de massa en lichtkracht kunnen vari¨eren: een factor van om en bij de 200 in massa en zowat 108 in lichtkracht ! Een ander verband dat we kunnen beschouwen is de massa-straal relatie voor nulhoofdreekssterren. We kunnen daarom een soortgelijk verband R ∼ Mξ (9.2)
beschouwen. Voor de sterren met massa’s lager dan die van de zon vinden we ruwweg ξ ≈ 0.8 terwijl voor de massievere sterren ξ ≈ 0.57. De massa-straal relatie wordt voor de theoretisch berekende modellen opnieuw voorgesteld als een volle lijn in figuur 9.3. De confrontatie met de straal bepaald voor de dubbelsterren geselekteerd door Popper toont weerom een goede overeenkomst. De waarnemingen zijn opnieuw weergegeven door middel van dezelfde symbolen als in figuur 9.2. Er is een duidelijke “knik” in de massastraal relatie rond M = 1 M . De reden is dat sterren met een effectieve temperatuur lager dan die van de zon plots een veel uitgebreidere convectiezone hebben nabij het steroppervlak, welke ondermeer voor een stijging van de straal zorgt, waardoor de massa-straal relatie plots steiler wordt.
134
9.3 Chemische evolutie op de hoofdreeks Tijdens de hoofdreeksfase wordt het energieverlies aan het steroppervlak gecompenseerd door de energieproductie ten gevolge van waterstofverbranding. Deze chemische evolutie van de ster heeft vooral betrekking op het gebied in de onmiddellijke omgeving van de sterkern vermits de energieproductie sterk afhankelijk is van de temperatuur. Het centrale deel van de ster waarin de waterstoffusie plaatsvindt beslaat 20 tot 30% van de stermassa. Wanneer convectie optreedt, echter, zorgen de turbulente bewegingen voor een effici¨ente vermenging van het stermateriaal en wordt een groter volume be¨ınvloed. In figuur 9.4 tonen we de situering van de convectiezones in functie van de stermassa. We zien dat er geen convectieve gebieden optreden rond de sterkern voor massa’s beneden een zonsmassa en dat de uitgebreidheid van de centrale convectieve kern toeneemt met stijgende massa. Een andere, ruwere verdeling van de situering van de convectiezones volgens de stermassa wordt gegeven in figuur 9.5, waarbij de linkse schets geldt voor sterren met M ≥ 2 M , de middelste voor 1 M < M < 2 M en de rechtse voor M < 1 M . Voor sterren met massa tussen 0.1 en 1 M met een radiatieve kern is de verandering van de waterstofinhoud ten gevolge van de waterstofverbranding vrij gemakkelijk te bepalen. De variatie van X H voor een bepaald massa element is evenredig met de lokale waarde van ε H wanneer er geen vermenging optreedt. Dit betekent dat de verandering van de waterstofconcentratie na een tijdsinterval 4t gegeven wordt door 4X ∼ εH 4t. Op die manier is de chemische evolutie eenvoudig te volgen gedurende de waterstofverbranding. Aan het eind van van de hoofdreeksfase gaat X → 0 in het stercentrum. Voor massievere sterren is de heliumproductie nog meer geconcentreerd naar het centrum toe vermits er een veel grotere temperatuursafhankelijkheid optreedt. Echter, de convectie in de centrale delen is daar zo effici¨ent en snel dat de kern op elk tijdstip als homogeen kan beschouwd worden. Binnenin de kern krijgen we dus 4X ∼ εH 4t, waarbij εH een gemiddelde waarde voor de energieproductiesnelheid over de gehele sterkern voorstelt. De grootste moeilijkheid voor de bepaling van de verandering van de waterstofconcentratie is in dit geval de variatie van de positie van de convectieve laag tijdens het tijdsinterval 4t. Numerieke berekeningen waarbij men dit effect zo goed mogelijk in rekening brengt tonen dat de convectieve kern inkrimpt naarmate de waterstofverbranding verder vordert. Verder stijgt de massa van de geproduceerde heliumkern met stijgende stermassa. De positie van de ster in het HR diagram verandert niet veel tijdens het proces van waterstofverbranding zolang de waterstofvoorraad in de kern nog niet uitgeput is. De tijd die een ster doorbrengt op de hoofdreeks hangt af van haar massa vermits de lichtkracht enorm afhankelijk van de massa is. Stellen we de energievoorraad die beschikbaar is door waterstofverbranding voor door E H , dan kan de ster gedurende τH ≡ EH /L op de hoofdreeks blijven. Als ruwe benadering kunnen we aannemen dat e´ e´ n vaste fractie van de voorhanden massa van waterstof M H beschikbaar is voor de waterstofverbranding. In deze onderstelling is EH ∼ MH ∼ M . De lichtkracht L verandert nauwelijks tijdens de hoofdreeksfase en we kunnen dus de massa-lichtkracht relatie voor ZAMS modellen gebruiken om τ H af te schatten. We vinden zo de volgende afhankelijkheid van de hoofdreekstijdsduur als functie van de stermassa: τH (M ) ∼
M ∼ M 1−η . L
(9.3)
Voor de gemiddelde exponent η = 3.5 van de massa-lichtkracht relatie vinden we dan dat τ H (M ) ∼ M −2.5 : 135
Figuur 9.4: De waarden van de massaverdeling m/M van het centrum tot het oppervlak wordt getekend t.o.v. de totale stermassa voor de ZAMS modellen getoond in figuur 9.1. Gebieden aangeduid door “wolkjes” zijn de zones in de ster waarin het energietransport door convectie gebeurt. De twee volle lijnen geven de m-waarden aan waarvoor r gelijk is aan 1/4 en 1/2 van de totale straal R. De streepjeslijnen duiden de massaschillen aan waarbinnen 50% en 90% van de totale lichtkracht L wordt geproduceerd.
136
Figuur 9.5: Ruwe indeling van de ZAMS sterren naargelang hun convectieve zones. Links: sterren met massa groter dan 2 M , midden: sterren met massa tussen 1 en 2 M , rechts: sterren met massa kleiner dan 1 M . de hoofdreeksleeftijd neemt snel af met toenemende massa. Een typische waarde is 5 × 10 7 jaar voor een ster met massa 5 M en 1011 jaar voor de zon. De snellere hoofdreeksevolutie voor massievere sterren wordt mooi bevestigd door de observationele studie van het HR diagram van sterclusters, welke concentraties van sterren aan de hemel zijn die zich zo dicht bij elkaar bevinden dat ze fysisch verbonden moeten zijn. Er zijn twee types sterclusters. Galactische of open clusters bestaan uit sterren van populatie I en zijn geconcentreerd in de schijf van de melkweg. Zij bevatten typisch enkele honderden sterren. Daarentegen bestaan bolvormige sterrenhopen (“globular clusters”) uit miljoenen sterren van populatie II. Zij worden op grote afstand van het galactisch vlak gevonden. Alle sterren van een cluster bevinden zich ongeveer op dezelfde afstand, waardoor het verschil tussen de absolute en schijnbare magnitude steeds dezelfde is voor alle leden – zie vergelijking (1.9). Hierdoor vertoont een grafiek van de schijnbare magnitude t.o.v. de kleur dezelfde vorm als een grafiek van de absolute magnitude t.o.v. de kleur. Alle sterren die zich in een cluster bevinden zijn min of meer tegelijk “geboren” en hebben dus dezelfde leeftijd τcluster . Hierdoor zullen alle sterren met massa groter dan een bepaalde limietmassa M limiet de hoofdreeks reeds verlaten hebben, terwijl sterren met een kleinere massa M < M limiet zich nog steeds in de fase van waterstofverbranding in de kern bevinden. Waarnemingen van sterren in clusters bevestigen dit scenario. In figuur 9.6 tonen we het contrast in HR diagram van een jonge cluster en een oude cluster. In het onderste paneel tonen we het HR diagram van de jonge dubbelcluster h en χ Persei, waarvan de minder massieve sterren nog naar de ZAMS toe aan het bewegen zijn terwijl de massievere sterren al op de ZAMS verblijven. Bovenaan zien we het HR diagram van de oude stercluster M 5 waarin de massiefste sterren al duidelijk van de hoofdreeks zijn wegge¨evolueerd, terwijl de sterren met lage massa nog op de hoofdreeks leven. De horizontale tak (zie verder) is zeer goed zichtbaar voor de oude cluster.
137
Figuur 9.6: Het kleur-magnitude diagram voor (a) een typische bolvormige sterrenhoop (M 5) bestaande uit populatie II (oude) sterren, en (b) een jonge galactische dubbele sterrencluster h&χ Persei welke bestaat uit populatie I sterren.
138
In figuur 9.7 is de evolutie van galactische clusters weergegeven als zwarte stroken. Het verschil in hoofdreeksleeftijd in functie van de oorspronkelijke massa heeft volgende belangrijke toepassing voor sterclusters. De limietmassa die aangeeft of een ster uit een cluster zich al dan niet nog op de hoofdreeks bevindt wordt gegeven door de voorwaarde τ cluster = τH (Mlimiet ). Deze voorwaarde vormt de basis van de leeftijdsbepaling van sterclusters. Het keerpunt (“turn-off point”) bepaalt de leeftijd van de cluster, welke rechts op de figuur aangegeven wordt. Hoe ouder de cluster, hoe lager het snijpunt tussen de hoofdreeks en de reuzentak van de cluster (zie figuur 9.7). Het voorbeeld van h en χ Persei (zie figuur 9.6) toont dat de lage-massa sterren in extreem jonge clusters de hoofdreeks nog niet bereikt hebben. De studie van zulke sterren is op haar beurt enorm belangrijk om de details van de evolutie van protosterren naar de hoofdreeks toe beter te begrijpen. We merken hier terloops ook het belang op van de scheikundige samenstelling wat de sterevolutie betreft. In figuur 9.7 zien we dat het snijpunt van de hoofdreeks en de reuzentak voor de bolvormige sterrenhoop M 3 (weergegeven als stippellijn) hoger ligt dan voor de galactische cluster M 67 die veel jonger is. Dit is schijnbaar in tegenspraak met de zopas afgeleide conclusie over de ligging van het keerpunt. De reden hiervoor is dat bolvormige sterrenhopen enkel sterren van populatie II bevatten, welke veel metaalarmer zijn en dus een lagere opaciteit hebben dan de populatie I sterren in het galactisch vlak. Hierdoor zijn de sterren in een bolvormige sterrenhoop heter en helderder. De scheikundige samenstelling heeft dus weldegelijk een invloed op de positie van een ster in het HR diagram. De leeftijdsbepaling van bolvormige sterrenhopen wordt gebruikt als leeftijdslimiet van het heelal en is daarom van groot cosmologisch belang. De positievariatie van een hoofdreeksster in het HR diagram wordt voor een ster met massa 7 M weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8. Vanuit het punt A op de hoofdreeks beweegt de ster zich naar rechts en naar boven, op weg naar het punt B. De stijging van de lichtkracht is toe te schrijven aan de toename van het gemiddeld moleculair gewicht door de omzetting van waterstof naar helium – zie uitdrukking (2.31). Immers, P ∼ T /µ en L ∼ T 4 . Wanneer alle waterstof bijna opgebruikt is (X = 5%) wordt een minimale effectieve temperatuur vastgesteld (punt B). De ster wordt zich bewust dat ze weldra zal terechtkomen in een energiecrisis en wil hier iets aan doen. Vermits de centale temperatuur veel te laag is om heliumverbranding op gang te brengen, tracht ze een oplossing te zoeken door te contraheren: ze evolueert naar links in het HR diagram. De evolutie komt dan in een stroomversnelling vermits het laatste deeltje waterstof aan een zeer snel tempo geconsumeerd wordt. Aan het eind van de waterstofverbranding (punt C) heeft de ster een kern bestaande uit helium overgehouden. Deze kern is niet in staat om de nodige energie te produceren, vermits de temperatuur nog steeds te laag is om heliumverbranding te starten. De heliumkern is echter omgeven door een waterstofrijke enveloppe. Door de temperatuursstijging die opgetreden is tussen de punten B en C is de temperatuur aan de bodem van de enveloppe hoog genoeg om de waterstofverbranding daar op gang te brengen en zodoende de nodige energie te produceren. Op die manier vangt een fase van waterstofschilverbranding aan. Het evolutiespoor weergegeven in het linkse paneel van figuur 9.8 is tevens representatief voor alle sterren met een aanzienlijke convectieve kern. Dit wordt ge¨ıllustreerd in het middelste paneel van figuur 9.8. De toename van de lichtkracht tussen de punten A en B stijgt voor sterren met stijgende massa, terwijl de variatie in effectieve temperatuur nagenoeg hetzelfde blijft. Voor sterren met een lagere massa, die geen convectieve kern hebben, verlopen de evolutiesporen anders. Dit wordt weergegeven in het rechtse paneel van figuur 9.8. Deze sterren hebben immers geen convectieve kern. Hierdoor treedt er geen vermenging op in de sterkern en krijgen we een veel continuere overgang van centrale naar waterstofschilverbranding waarbij 139
Figuur 9.7: Een schematische voorstelling van de kleur-magnitude diagrammen van verschillende galactische sterrenclusters (volle lijnen). De leeftijdsschaal aan de rechterzijde is gebaseerd op evolutieberekeningen. Het keerpunt van elke cluster duidt de leeftijd ervan aan. De streepjeslijn duidt de oude bolvormige sterrenhoop M 3 aan.
140
Figuur 9.8: Hertzsprung-Russell diagrammen met evolutiesporen voor populatie I sterren gedurende centrale waterstofverbranding. De ZAMS is aangeduid als streepjeslijn. (a) Voor een stermassa gelijk aan 7 M . De punten A,B,C komen overeen met het tijdstip van respectievelijk geboorte, minimale T eff en uitputting van centrale waterstof. De puntjeslijn duidt het vervolg van de sterevolutie aan na de centrale waterstofverbranding. (b) Voor sterren met massa tussen 4 en 8 M . (c) Voor sterren met massa tussen 1 en 3 M .
141
Figuur 9.9: Schematisch temperatuursprofiel in een evenwichtsmodel met een isotherme heliumkern van massa q0 M . Er treedt waterstofschilverbranding op in het gearceerde gebied, wat gesitueerd is aan de bodem van de sterenveloppe. de massa van de heliumkern werkelijk begint in het stercentrum en geleidelijk aan wordt opgebouwd. De aanvang van waterstofverbranding in een schil heeft een belangrijk gevolg voor de inwendige sterstructuur. Vermits de nucleaire tijdschaal voor kernwaterstofverbranding zoveel langer is dan de HelmholtzKelvin tijdschaal kunnen sterren op de hoofdreeks als zijnde in volledig evenwicht beschouwd worden. Dit is niet meer geldig voor de evolutiefasen na de hoofdreeks. De structuur en verandering van de heliumkern laat dit immers niet toe: een kern in thermisch evenwicht zonder energiebron draagt niet aanzienlijk bij tot de lichtkracht en moet daarom isotherm zijn (vermits l ∼ dT /dr). We moeten daarom vanaf nu de structuur van de ster opsplitsen in een isotherme heliumkern met kernmassa M k = q0 M welke omgeven is door een waterstofrijke enveloppe met massa (1 − q 0 )M . In de praktijk onderstelt men dat de chemische samenstelling discontinu varieert op de grens tussen de twee gebieden. Dit wordt weergegeven in figuur 9.9. De lichtkracht wordt gevoed door waterstofschilverbranding in de bodem van de enveloppe. De functies die de sterstructuur beschrijven moeten nu apart bepaald worden voor de heliumkern en de enveloppe en moeten in het grensgebied aan elkaar gekoppeld worden.
142
Hoofdstuk 10
Evolutie van een massieve ster 10.1 De “Hertzsprung gap” We beschouwen nu de verdere evolutie van een massieve ster die bestaat uit een isotherme helium kern die omgeven is door een waterstofenveloppe met waterstofverbranding in een schil. In figuur 10.1 tonen we de evolutie van de inwendige structuur en het evolutiespoor in het HR diagram van een ster met 5 M . In de abscis van de bovenste figuur wordt de tijd na het ontsteken van waterstof gegeven in eenheden van 10 7 jaar. De verschillende lagen in de ster worden gekenmerkt door hun m/M waarde. Gebieden aangeduid met “wolkjes” zijn convectieve zones. De gearceerde delen geven de hoofdenergiebron aan die verantwoordelijk is voor de lichtkracht. De gebieden met puntjes aangeduid zijn zones waarin de chemische samenstelling fel verandert. De overgang van centrale naar schilwaterstofverbranding gebeurt in het punt C. Op dat ogenblik treedt er uitputting van 1 H op in de kern waardoor de verbranding en de convectie daar plots ophouden. De waterstofschilverbranding treedt vervolgens in werking in een vrij brede schil rond de kern. Deze schil wordt dunner naarmate de evolutie vordert. Na punt C is de evolutie zo snel dat de abscis uitgerokken werd om de figuur duidelijk te houden. Na het punt C is de ster niet meer in thermisch evenwicht, wat betekent dat de tijdsafgeleide in de energievergelijking beschreven in Hoofdstuk 7 niet meer te verwaarlozen is. Er treedt een expansie op van de lagen boven de schil met verbranding en tegelijkertijd krimpt de kern in. De materiedichtheid blijft echter relatief laag zodat er geen ontaarding optreedt. De contractie leidt enkel tot een temperatuursverhoging. Wanneer een temperatuur van 108 K bereikt wordt, start centrale heliumverbranding (punt D). Hiermee heeft de ster een nieuwe energiebron weten te vinden in de kern waardoor de contractie daar ophoudt. Er treedt opnieuw een toestand van thermisch en hydrostatisch evenwicht op in de kern. De contractie van de kern tussen de punten C en D neemt ongeveer een tijdschaal van Helmholtz-Kelvin in beslag (3 × 10 6 jaar voor een ster met 5 M ). Gedurende dit tijdsinterval zijn de buitenste lagen uitgezet en is de sterstraal aanzienlijk toegenomen met ongeveer een factor 25 ! De ster is een rode reus geworden in punt D van het 143
Figuur 10.1: (a) De evolutie van de inwendige structuur van een populatie I ster van 5 M . De abscis geeft de leeftijd in eenheden van 107 jaar. De verschillende lagen worden aangeduid door hun m/M -waarde. Gebieden aangeduid met wolkjes zijn convectieve lagen. De gearceerde domeinen zijn de gebieden waarin energie geproduceerd wordt door verbranding van een bepaald element. De gebieden aangeduid met puntjes zijn regionen waarin de chemische samenstelling snel wijzigt. De letters A,. . . ,K bovenaan de abscis duiden de overeenkomende punten aan in paneel (b). 144
Figuur 10.2: Het Hertzsprung-Russell diagram met evolutiesporen vanaf de ZAMS tot aan het startpunt van centrale heliumverbranding voor sterren met massa van 4 tot 8 M . De initi¨ele samenstelling is X = 0.602, Y = 0.352. HR diagram. De expansie naar een rode reus gebeurt zodanig snel dat de kans klein is dat we sterren kunnen waarnemen tijdens hun overgang van C naar D. Men spreekt van de Hertzsprung gap in het HR diagram: het is het gebied tussen de hoofdreeks en de rode reuzen met een grote deffici¨entie aan waargenomen sterren. De evolutie van een ster die hierboven geschetst werd en getoond werd in figuur 10.1 blijft kwalitatief hetzelfde voor alle massieve sterren waarin heliumverbranding in de kern start alvorens ontaarding optreedt (M > 2.3 M ). Deze sterren begeven zich allemaal in zeer korte tijd naar het gebied dicht tegen hun Hayashispoor in het HR diagram. Een stel evolutiesporen voor massieve sterren met verschillende massa wordt getoond in figuur 10.2. Een gedetailleerde elegante fysische verklaring voor het uitzetten van de lagen die zich boven een schilenergiebron bevinden is niet voorhanden. De sterevolutiemodellen bekomen door numerieke integratie van het stelsel differentiaalvergelijkingen besproken in Hoofdstuk 7 leiden allen tot dit resultaat. Intu¨ıtief kunnen we wel begrijpen dat de ster moet opzwellen, omdat de buitenste sterlagen convectief geworden zijn. Dit komt omdat, naast de waterstofschilverbranding, ook de contractie energie levert, waarvan de helft extra dient uitgestraald te worden (viriaaltheorema). Nu is de temperatuursgradi¨ent bij convectief energietransport kleiner dan bij radiatief transport, waardoor de temperatuur trager daalt naar buiten toe in convectieve zones in vergelijking met radiatieve zones. Om genoeg te kunnen afkoelen tot aan het steroppervlak, moet de ster dus uitzetten. Een preciesere verklaring vinden voor het ontstaan van een reuzenster eens schilverbranding ge¨ınitieerd is, blijft e´ e´ n van de grote uitdagingen in het domein van de sterstructuur.
145
10.2 Heliumverbranding Vermits de ster zich bij de aanvang van centrale heliumverbranding nabij haar Hayashispoor bevindt, heeft ze een uitgebreide uitwendige convectieve zone die tot een diepte m/M ≈ 0.46 reikt voor het voorbeeld van de ster met 5 M (zie figuur 10.1). Hoe groter de massa, hoe dieper de convectiezone reikt. Vanaf 7 M reikt ze reeds dieper dan m/M = 0.3, waardoor ze de lagen met veranderde chemische samenstelling door de verbranding aantast. Hierdoor kunnen de convectieve bewegingen de producten van de kernreacties tot aan het oppervlak brengen en in de enveloppe verspreiden. Men spreekt van eerste “dredge-up”. De dominante reactie bij de centrale heliumverbranding is 3α → 12 C. Met toenemende 12 C abondantie zal de reactie 12 C + α →16 O de vaandel geleidelijk overnemen. In het stadium dat 4 He al uitgeput geraakt zal de uitputting van 12 C ten voordele van 16 O groter zijn dan de productie van 12 C door de 3α reactie. Zodoende zal de abondantie van 12 C terug beginnen dalen na een maximum bereikt te hebben. De fase van centrale heliumverbranding duurt ongeveer 10 7 jaar, wat zo’n 20% is van de duur van de hoofdreeksfase. Deze fase lijkt verrassend lang als men bedenkt dat de lichtkracht groter is, dat de centrale kern waarin verbranding optreedt veel kleiner is dan bij waterstofverbranding en dat de energiewinst beneden 10% van die bij de waterstofverbranding ligt. De reden voor deze lange duur is dat het grootste gedeelte van de energie uitvoer tijdens deze fase niet geleverd wordt door de heliumverbranding, maar wel door de waterstofschilverbranding. In het punt E draagt de heliumverbranding slechts 6% bij tot de totale energieproductie. Blijkbaar is deze kleine energieproductie in de kern voldoende om contractie tegen te gaan en om de gehele ster in thermisch evenwicht te houden. Na het punt E beweegt de ster even naar beneden langs haar Hayashispoor om zich vervolgens naar links te begeven in het HR diagram. Het blauwste punt F komt overeen met het tijdstip dat 75% van de centrale heliumverbrandingsfase voorbij is. Op dat ogenblik bedraagt de heliumconcentratie zo’n Y ≈ 0.25. De ster keert dan terug naar haar Hayashispoor (punt G).
10.3 Latere evolutiefasen In de centrale kern stopt de heliumverbranding wanneer alle voorraad 4 He uitgeput is en omgezet werd naar 12 C, 16 O en 20 Ne. De preciese verhoudingen van de abondanties van deze geproduceerde elementen hangt af van de temperatuur, de massa en de oorspronkelijke chemische samenstelling. De verbranding wordt nu verder gezet in een concentrische schil die de CO kern omringt. Terwijl de heliumschil verder uitbrandt, verzwaart de CO kern en contraheert hij. De toestand is nu zeer gelijkaardig aan diegene vlak v´oo´ r de centrale heliumverbranding gestart werd. In deze fase van haar leven heeft de ster twee types van schilverbranding die de nodige energie produceren: waterstofschilverbranding in een schil die zich aan de onderkant van de enveloppe bevindt en heliumschilverbranding in de schil vlak boven de CO kern. De CO kern contraheert, het heliumgebied tussen de twee schillen zet uit en de enveloppe contraheert. In het HR diagram beweegt de ster van punt G naar 146
links op weg naar het punt H. De temperatuur in de waterstofschil daalt steeds en wordt op een gegeven moment lager dan diegene nodig om waterstofverbranding op gang te houden (punt H). Op dat ogenblik behouden we dus enkel een contraherende CO kern omgeven door een gebied boven de heliumschil waarin alle lagen uitzetten. De ster beweegt nu in het HR diagram van het punt H naar het punt K. Daarna stijgt de lichtkracht zeer fel ten gevolge van de snel stijgende massa van de CO kern. Het al dan niet optreden van een tweede lus G → H → K hangt af van de massa, de verbrandingstempo’s, de opaciteiten, etc. In figuur 10.1 merken we dat de buitenste convectiezone steeds dieper reikt naarmate de evolutie vordert. Deze zone bevat op een gegeven moment zowat 80% van de massa en haar benedengrens interfereert duidelijk met het gebied waar de waterstofschilverbranding in de 10 7 jaar ervoor heeft plaatsgevonden. In dit gebied is alle 1 H omgezet in 4 He en bijna alle 12 C in 16 O en 14 N. Deze kernen worden dan ook naar het oppervlak gebracht door de convectieve cellen. Men spreekt van de fase van de tweede dredge-up. Sterren met 2.3 < M/M < 7 ondergaan dus enkel de tweede dredge-up, en niet de eerste.
10.4 Verbrandingscycli Het evolutiescenario hierboven beschreven is vrij ingewikkeld, vooral wat de positie in het HR diagram betreft. Het evolutieproces is echter veel eenvoudiger wanneer we enkel de evolutie van de sterkern beschrijven. Wanneer we de fasen van centrale waterstof- en heliumverbranding extrapoleren, dan ondergaat de centrale kern verschillende cycli van energieproducties die we door het volgende schema kunnen voorstellen: verbranding verhitting kern
%
& uitputting brandstof . contractie kern
De verbranding op een bepaald ogenblik zal geleidelijk aan alle brandstof die voorhanden is in de convectieve kern opgebruiken. De uitgeputte kern trekt vervolgens samen zodat de centrale temperatuur stijgt totdat hij hoog genoeg is opdat de volgende verbrandingscyclus kan aangevat worden. Zolang dit schema gevolgd wordt, krijgen we de productie van steeds zwaardere kernen in het stercentrum. Deze nieuwe zwaardere elementen worden door de convectie homogeen verspreid in de convectieve kern, welke bij de aanvang van elke nieuwe cyclus kleiner wordt: na centrale waterstofverbranding krijgen we een uitgebreide heliumkern, waarbinnen zich een kleinere CO kern vormt door heliumverbranding en zo verder. Telkens als de centrale verbranding uitgeput is zal de volgende cyclus in de kern niet onmiddellijk starten maar zal er een overgangsperiode van schilverbranding aanvangen. Deze schilverbranding treedt op in de heetste laag waar er op dat ogenblik nog brandstof voorhanden is. Schilverbranding kan verschillende opeenvolgende centrale verbrandingscycli, welke op hun beurt een nieuwe schil cre¨eren, overleven. Er kunnen 147
Figuur 10.3: Schematische illustratie (niet op schaal !) van de “uienstructuur” in het inwendige van een verge¨evolueerde massieve ster. Enkele typische waarden van de massa, de temperatuur en de dichtheid zijn aangegeven in cgs-eenheden. dus verscheidene schilverbrandingen tegelijk actief zijn. Ze worden telkens gescheiden door massaschillen met een verschillende chemische samenstelling, waarbij de elementen die voorkomen gradueel zwaarder zijn naarmate de schil dieper in de ster gesitueerd is. Men spreekt van het uienmodel, zoals voorgesteld in figuur 10.3. Afhankelijk van de temperatuursverandering in de kern die optreedt bij elke nieuwe cyclus kan een bepaalde schilverbranding terug geactiveerd worden in een schil die reeds voordien uitgeblust was. De verbrandingscycli na de waterstof- en heliumverbranding in de kern hebben allen zulk een korte tijdsduur dat de kans om een ster in deze fase van haar leven waar te nemen bijzonder gering is.
10.5 Explosieve versus niet-explosieve evolutie Het schema hierboven geschetst kan tijdelijk of voorgoed onderbroken worden. Enerzijds kan een tijdelijke onderbreking optreden wanneer de dichtheid in de centrale kern zo groot wordt dat ontaarding haar intrede doet. Wanneer de ontaardingsparameter ψ begint te stijgen zal een contractie niet langer een centrale temperatuursstijgging tot gevolg hebben en wordt de cyclus van verbrandingen onderbroken tot de ontaar148
ding wordt opgeheven. In de praktijk zal de centrale kern van een ster met initi¨ele massa kleiner dan 5 M nooit koolstofverbranding kunnen starten. Bij de bespreking van de verbrandingsmechanismen hebben we anderzijds opgemerkt dat 56 Fe de meest stabiele kern is. Daarom wordt het voorgestelde schema noodzakerlijkerwijze definitief gestopt wanneer de binnenste kern volledig bestaat uit 56 Fe kernen en exotherme fusie niet meer mogelijk is. Het is duidelijk dat we nu een onderscheid dienen te maken voor de verdere evolutie van de ster. Dit onderscheid gebeurt volledig op basis van de initi¨ele stermassa. Wanneer we het massaverlies dat de ster ondergaat tijdens haar evolutie verwaarlozen, leren de evolutieberekeningen ons het volgende: • Na centrale waterstofverbranding hebben sterren met M < 2.3 M een ontaarde He kern. Zij starten de heliumverbranding op explosieve wijze (“heliumflits” – zie verder). Zij eindigen als witte dwerg. • Na centrale heliumverbranding hebben sterren met intermediaire massa 2.3 M < M ≤ 9 M een ontaarde CO kern. De centrale temperatuur van de sterren met 2.3 M < M < 6 M reikt nooit tot 8 × 108 K en deze sterren kunnen daardoor geen koolstofverbranding starten. Ze eindigen als koolstofrijke witte dwerg. De sterren met 6 M < M < 9 M starten wel koolstofverbranding. Dit gebeurt zodanig explosief dat de ster ontploft als een supernova en er wellicht geen restant overblijft. Men spreekt van koolstofdetonatie (zie ook het gedeelte over de “heliumflits” besproken in Hoofdstuk 11 voor een verklaring van dit fenomeen). • In sterren met massa M > 9 M blijft de kern steeds bestaan uit niet-ontaarde materie. Zij doorlopen alle opeenvolgende verbrandingscycli en eindigen als supernova met een neutronenster of een zwart gat als restant. Of de massa van een ster al dan niet in de buurt komt van de grensmassa’s (2.3, 6 en 9 M ) hangt sterk af van het massaverlies dat ze tijdens haar evolutie ondergaat. Tot nu toe hebben we geen rekening gehouden met de effecten van massaverlies, maar er treedt weldegelijk een groot massaverlies in de vorm van een sterke sterrenwind op aan het eind van de sterevolutie. De invloed van massaverlies op de sterevolutie is een gecompliceerd probleem wat theoretisch nog niet volledig onderbouwd is. Men neemt aan dat het massaverlies in een ster met initi¨ele massa boven 9 M zodanig is dat een uiteindelijke kernmassa boven de Chandrasekhar limiet van 1.46 M overgehouden wordt. In ieder geval is het duidelijk dat we nu een onderscheid moeten maken tussen sterren die massiever zijn dan 9 M en sterren met lagere massa, wat de verdere evolutie betreft. In dit hoofdstuk bespreken we de verdere evolutie van een ster met initi¨ele massa hoger dan 9 M die een kernmassa hoger dan 1.46 M overhoudt aan het eind van de verschillende verbrandingscycli. Voor de eindfasen in het leven van een ster met lagere initi¨ele massa en/of een uiteindelijke kernmassa lager dan 1.46 M verwijzen we naar het volgende hoofdstuk.
149
10.6 Neutronensterren 10.6.1 Supernova explosie Voor sterren met M > 9 M is de CO kern na heliumverbranding niet ontaard. Tijdens de contractie na de centrale heliumverbranding stijgt de centrale temperatuur genoeg om achtereenvolgens koolstof-, zuurstofen siliciumverbranding op gang te brengen. Deze uiteindelijke cycli verlopen zeer snel. Voor een ster met 15 M produceert koolstofverbranding genoeg energie gedurende zowat 5 000 jaar, zuurstofverbranding tijdens zo’n 1.7 jaar en siliciumverbranding duurt nog slechts enkele dagen ! Het eind van de siliciumverbrandingsfase, welke vooral 56 Ni produceert, betekent voor de ster een ernstig probleem: ze is niet meer in staat om uit kernreacties energie te genereren in de kern en de gravitatiekracht te balanceren. De massieve sterren vervolledigen dus de hele verbrandingscyclus totdat ze een Fe kern opgebouwd hebben. Zoals reeds vermeld komt er nu noodzakelijkerwijze een eind aan de stabiele toestand: gravitatie is de grote winnaar en de kern stort zeer snel in elkaar. Bij de instorting van de kern bereikt het materiaal een valsnelheid die de helft van de lichtsnelheid bedraagt. Dit is het gevolg van de enorm sterke gravitatiekracht waarmee de deeltjes van de instortende kern elkaar aantrekken. Deze deeltjes komen plots tot stilstand als ze op de zeer compacte sterkern botsen: hun kinetische energie wordt omgezet in warmte, waardoor er felle verhitting ontstaat (viriaaltheorema). De temperatuur van de sterkern loopt op tot T > 10 10 K. De toegenomen energie leidt deze keer echter niet tot het starten van een nieuwe verbrandingscyclus. Integendeel, de stijging van de temperatuur impliceert dat de fotonen hogere energie krijgen en daardoor overheerst fotodissociatie van de kernen. Hierdoor worden de zware kernen die tijdens de afgelopen verbrandingscycli gevormd zijn afgebroken. Eerst worden de elementen van de ijzergroep opgebroken in α deeltjes : 56 Ni
+ γ → 14 4 He, 54 Fe + γ → 13 4 He + 2n, 56 Fe + γ → 13 4 He + 4n, . . .
(10.1)
Vermits energie gegenereerd werd bij de opbouw van deze zware isotopen, vereist het proces van afbouw nu energie. Deze nodige energie wordt geleverd door de contractie van de kern, die daardoor nog versneld wordt. De resulterende hoge temperatuur resulteert vervolgens ook in de foto-dissociatie van elk α deeltje: 4
He + γ → 2 1 H + 2n,
(10.2)
wat opnieuw energie vergt en dus weerom de contractie versnelt. Op dit ogenblik is de gehele sequens van nucleosynthese ongedaan gemaakt in minder dan een seconde ! De foto-dissociatie resulteert in een mengsel van protonen, elektronen en neutronen. Dit levert een drastische stijging van de dichtheid op, waardoor de elektronen en protonen gedwongen worden om te recombineren tot neutronen. De dichtheid wordt zodanig hoog dat de neutronen vervolgens met elkaar in aanraking komen. Deze drastische toename van de druk geeft aanleiding tot een schokgolf die zich voortplant doorheen de buitenlagen van de ster, welke de neutronenkern omgeven. Een gedeelte van de energie van de schokgolf wordt gedumpt in het overblijfsel van de sterkern, een ander gedeelte wordt afgevoerd in de vorm van neutrino’s. Omwille van de hoge dichtheden worden toch grote hoeveelheden neutrino’s ingevangen door de buitenste sterlagen. Het resultaat van het dumpen van deze neutrino-energie is dat de lagen 150
Figuur 10.4: Scenario dat de vorming van een supernova type II weergeeft. rondom de neutronenkern worden uitgestoten: de ster ontploft als een type-II supernova en wordt tijdelijk even helder als een melkwegstelstel ! In figuur 10.4 wordt de evolutie van een massieve ster weergegeven van bij de geboorte tot en met de SN II explosie. De productie van de voornaamste chemische elementen wordt voor elk evolutiestadium aangegeven, evenals de tijdsduur van een bepaald stadium.
10.6.2 De neutrinoflux en het r-proces Bij de zeer hoge dichtheden die bereikt worden tijdens de instorting van de sterkern bereiken de elektronen zulke hoge energie dat ze op een zeer effici¨ente wijze dicht genoeg bij de kernen komen, waar ze protonen kunnen omvormen tot neutronen. Daar waar neutronen onstabiele elementen zijn en al na 7 minuten vervallen in gewone materie, vervallen ze niet meer in ontaarde materie: de sterkern wordt hierdoor een neutronenster. In figuur 6.4 toonden we reeds schematisch hoe neutronen ontstaan uit protonen. De druk wordt nu zo hoog dat het neutronengas in een toestand van ontaarding komt. Dit ontaard neutronengas zal verdere gravitationele instorting kunnen voorkomen. De preciese toestandsfunctie voor een ontaard neutronengas is nog niet gekend. Hierdoor is men ook niet in staat om een bovenlimiet voor de massa van een neutronenster af te leiden. Huidige schattingen voor de bovenlimiet liggen rond de 2–4 M . Dit is dus slechts een weinig groter dan de limietmassa voor een ontaard elektronengas. Een observationele nauwkeurige massabepaling van een neutronenster is niet gemakkelijk en gebeurt opnieuw op basis van dubbelsterren waarvan e´ e´ n van de componenten een neutronenster is. Tot nu toe vindt men zo steeds massa’s die, rekening houdend met de foutenmarges, compatibel zijn met een bovenlimiet van 2–4 M .
151
Figuur 10.5: Lichtkromme van de supernova die in 1987 ontplofte in de Grote Magelhaanse Wolk. Deze supernova was in het Zuidelijk Halfrond gemakkelijk met het oog zichtbaar. Opvallend is de lange, bijna lineaire afname van de helderheid tijdens de maanden na de explosie. Dit komt overeen met de energieproductie geleverd door het verval van 56 Co. Een gedetailleerder beeld van de preciese vorming van een neutronenster is niet voorhanden. De modellen voor de toestandsfunctie bevatten zeer veel fysische parameters waarvan de waarden niet goed gekend zijn. Wat de huidige modellen voorspellen, is dat de inwendige temperatuur na de vorming daalt tot 10 8 K in een tijdsspanne van zowat 100 jaar. Deze koeling treedt op ten gevolge van een sterke neutrinoflux. Deze wordt onder andere geproduceerd door elektronenvangst. Immers, de 56 Ni isotopen die gevormd werden tijdens de siliciumverbranding zijn instabiel ten opzichte van elektronenvangst. Hierdoor vervalt deze isotoop tot de 56 Fe isotoop op volgende wijze : 56 Ni 56 Co
+ e− →
+ e− →
56 Co
+ νe ,
56 Fe
+ νe .
(10.3)
De eerste reactie heeft een halfwaardetijd van 6.1 dagen en de tweede 77 dagen. Dit radioactief verval verzorgt een groot deel van de energie die de maanden na de explosie wordt waargenomen. Alle (beperkte) theoretische modellen van neutronenstervorming voorspellen dat hoge neutrinofluxen de ster reeds verlaten vooraleer de explosie optisch zichtbaar wordt. Bij de supernova 1987A (voor de lichtkromme van SN 1987 A, zie figuur 10.5) in de Grote Magelhaanse Wolk werd inderdaad, zowat 6 uren v´oo´ r de ontdekking van de optische flits, een verhoogde neutrinoflux bij de juiste energie gemeten. Dit leverde een zeer belangrijke en geslaagde test op voor de tot dan toe onzekere berekeningen van de kernreacties hierboven beschreven tijdens de ultieme eindfase van een massieve ster. Zoals reeds eerder vermeld werden van SN 1987 A 20 neutrino’s opgevangen in de neutrino-experimenten op aarde. Dit aantal is compatibel met de voorspelde neutrino-productie op basis van de hierboven geschetste kernreacties. 152
De thermonucleaire reacties die vlak voor en tijdens de supernova-explosie plaatsgrijpen produceren elementen zwaarder dan ijzer. Dit gebeurt tijdens het zogenaamde r-proces (“rapid neutron capture”), waarbij neutronen worden ingevangen door kerndeeltjes. De productie van neutronenbronnen is effici¨ent genoeg om op een stabiele wijze elementen na de ijzerpiek te vormen. 56 Fe is, zoals reeds aangehaald, de meest stabiele isotoop in de natuur. Toch bestaan er processen die instaan voor de productie van elementen zwaarder dan deze isotoop, met name het s- en r-proces. Beide processen zijn gebaseerd op neutronenvangst. Ze treden dan ook enkel op wanneer er productie van neutronen is. Een vrij neutron is immers niet stabiel en vervalt met een halfwaardetijd van slechts 7 minuten. Omdat het neutron geen elektrische lading heeft kan het gemakkelijk tot bij een kern komen (geen Coulombafstoting). De waarschijnlijkheid dat een kern een neutron invangt hangt af van de neutronendichtheid, de onderlinge snelheid van de kern en het neutron en het massagetal. Wat dit laatste betreft zal een kern met een magisch neutronenaantal, dit wil zeggen een isotoop met een gesloten neutronenschil, veel minder geneigd zijn om een extra neutron op te nemen. Het sproces treedt vooral op in AGB sterren (zie volgend hoofdstuk), terwijl het r-proces voorkomt na supernova explosies. Neutronenvangst kunnen we als volgt voorstellen : (Z, A) + n → (Z, A + 1) + γ, (Z, A + 1) + n → (Z, A + 2) + γ,
(10.4)
... Indien de opeenvolgende kernen onstabiel zijn vervallen ze zeer snel door een β − verval: (Z, A) → (Z + 1, A) + e− + νe ,
(10.5)
waarbij νe een antineutrino voorstelt. Zulk een verval treedt echter niet op wanneer er ondertussen reeds een nieuw neutron werd ingevangen. Op die manier kunnen zeer zware kernen ontstaan vooraleer deze de tijd krijgen om te vervallen. Bij het r-proces (“r” van “rapid”: de neutronenvangst verloopt zeer snel ten opzichte van het β − −verval) moet de neutronendichtheid van de orde van 10 22 cm−3 zijn. Het pad van de r-proces elementen in het (N, Z) diagram (zie figuur 10.6) ligt dan ook diep in het neutronrijke gebied, ver van de stabiliteitsvallei. Zulke grote dichtheden worden enkel tijdens een supernova-explosie gerealiseerd. De materie in de sterkern bestaat vlak voor en na de supernova-explosie inderdaad uit een aanzienlijk aantal neutronen, waardoor het r-proces kan plaatsvinden tijdens de afkoelingsfase na de explosie. Het netto effect van deze productie van zware elementen is de hoofdbron van de zware elementen die vandaag de dag in de natuur optreden. Ook wij zijn zo ontstaan uit supernovaresten.
10.6.3 Pulsars Neutronensterren moeten erg snel om hun as draaien. Dit is een gevolg van het behoud van impulsmoment. Bij de instorting ondergaat de ster een enorme verkleining van haar afmetingen: de straal krimpt van enkele miljoenen kilometer tot een twintigtal kilometer (zie figuur 10.7). Hierdoor zal de rotatiesnelheid een factor 1010 toenemen. De bijhorende rotatiefrequentie bedraagt enkele tientallen keren per seconde. Door de sterke 153
Figuur 10.6: Schematische voorstelling van het r- en s-proces in een (N, Z) diagram. Aangegeven zijn reactieketens die neutronenvangst voorstellen, gevolgd door β − −verval, waardoor zware stabiele isotopen ontstaan. De kernen aangeduid met s, r, of s, r ontstaan door respectievelijk het s-proces, het r-proces en beide processen.
154
toename van de rotatiesnelheid neemt de sterkte van het magneetveld van de ster eveneens met nagenoeg dezelfde factor toe. Sterren met een oorspronkelijk zwak magneetveld van enkele Gauss krijgen nu plots een magneetveld van zowat 1010 − 1012 Gauss. Reeds in 1934, 2 jaar na de ontdekking van het neutron, hadden de astronomen W. Baade en F. Zwicky het bestaan van neutronensterren als uitgebrande kern van een supernova-explosie voorspeld. Het heeft echter tot in 1967 geduurd vooraleer de eerste neutronenster ontdekt werd. Het was de studente Jocelyn Bell uit Cambridge (Engeland) die in dat jaar voor het eerst aan de hemel een bron van radiostraling vond, die met zeer regelmatige korte tussenpozen van om en bij een seconde sterke pulsen radiogolven uitzond. Zulk een object noemt men een pulsar. De enige sterren die men in 1967 kende en die in staat waren om in een seconde om hun as te draaien waren witte dwergen (zie volgend hoofdstuk) en dat was dan ook de verklaring die men aan de pulsar gaf. Echter, in november 1968 werd in de Krabnevel in het sterrenbeeld de Stier een pulsar ontdekt die dertig pulsen per seconde uitzendt (de Krabpulsar). Men wist toen dat de Krabnevel het snel uitdijende restant van een supernova-explosie was, want op die plaats was op 4 juli 1054 een verblindend heldere ster tevoorschijn gekomen die zelfs gedurende enkele weken lang overdag zichtbaar was. In Japanse, Chinese en Koreaanse kronieken is het verschijnen van deze “superheldere nieuwe” (super-nova) ster uitvoerig opgetekend en is het verloop van de helderheid getabelleerd. De zeer korte pulsperiode van de Krabnevel maakt het onmogelijk dat dit object een witte dwerg is, want de rotatiesnelheid aan het oppervlak van de ster zou dan zo’n grote centrifugaalkracht veroorzaken dat deze de gravitatiekracht zou overheersen. Het werd snel duidelijk dat het hier om een snel om haar as draaiende neutronenster moest gaan. De radiogolven worden opgewekt boven de sterke magnetische polen van de ster in de vorm van zoeklichtachtige bundels (zie figuur 10.8). Door het rondwentelen van de neutronenster om een as die ge¨ınclineerd is ten opzichte van de magnetische as strijken de bundels met regelmatige tussenpozen over de aarde. Net als bij de ronddraaiende lichtbundel van een vuurtoren nemen we de radiostraling waar als regelmatige pulsen. De ontdekking van de Krabpulsar was enorm belangrijk: men had gevonden dat pulsars neutronensterren zijn en bovendien dat neutronensterren het eindproduct zijn van type-II supernovae. Ondertussen zijn er nog veel meer pulsars gevonden. In figuur 10.9 tonen we de pulsprofielen van een vijftigtal pulsars. We merken verschillende vormen op, gaande van smal en symmetrisch tot breed en asymmetrisch. De vorm van het pulsprofiel hangt onder andere af van de preciese geometrie van het magnetisch veld en de inclinatie van de rotatie as t.o.v. de waarnemer.
10.7 Zwarte gaten De (nog zeer onzekere) huidige theoretische toestandsfuncties voor neutronensterren leggen een bovenlimiet van om en bij de 2–4 M op voor de massa. Voor compacte objecten die zwaarder zijn kent men momenteel geen enkel mechanisme dat in staat is om de gravitatiekracht tegen te gaan. Men verwacht dus dat dergelijke objecten ineenstorten tot, wat men noemt, zwarte gaten (zie figuur 10.7). Daar waar neutronensterren reeds extreem waren wat hun dichtheid, rotatie en magneetveld betreft, zijn zwarte gaten d´e ultieme vorm van compactheid waarnaar een massieve ster kan evolueren. Per definitie zal de ineenstortende ster niet meer rechtstreeks waar te nemen zijn. Er blijft enkel een sterk gravitatieveld over. Het is dan ook zeer moeilijk om zwarte gaten te observeren. Een mogelijke manier om dit te doen is 155
Figuur 10.7: Bovenaan: de diameter van witte dwergen met oplopende massa. Hoe groter de massa van de witte dwerg, hoe sterker hij door de zwaartekracht wordt samengeperst, dus hoe kleiner de diameter. Boven een massa gelijk aan de Chandrasekhar limiet wint de zwaartekracht het van de tegendruk die het ontaard elektronengas kan leveren en de witte dwerg stort ineen. Onderaan: Diameters van neutronensterren met stijgende massa. Neutronensterren zijn als het ware reusachtige atoomkernen die worden bijeengehouden door de zwaartekracht. Bij een massa groter dan ongeveer 2–4 M storten ze onherroepelijk in elkaar tot een zwart gat.
156
Figuur 10.8: Een neutronenstermodel van een pulsar. De radiogolven van een pulsar worden uitgezonden in twee bundels, die uitgaan van de twee magnetische polen van de neutronenster. De ster roteert om een as, die een hoek maakt met de magnetische as. De bundels radiostraling draaien in het rond, zoals de lichtbundels van een vuurtoren. Als de bundel over de aarde zwaait, nemen we een puls van radiostraling waar. door de X-stralen die invallende materie op het zwart gat uitzendt, te detecteren. Een andere, gemakkelijkere methode is door de beweging van een visuele component in een dubbelster, waarvan de andere component een zwart gat is, waar te nemen. Op deze manier kan men het bewijs leveren van het werkelijke bestaan van zwarte gaten. Momenteel zijn er reeds verscheidene zwarte gaten in dubbelsterren gekend. Hiervan is Cygnus X-1 het bekendste en eerst-gevonden voorbeeld. Dit object was de eerste r¨ontgenbron waarvan men het binair karakter kon aantonen. De begeleider is een massieve 0-type superreus en voor de huidige schatting van de massa van deze component en de inclinatie van het baanvlak schat men de massa van de onzichtbare compacte ster op 6 M . Ondertussen zijn er nog vele andere, duidelijkere voorbeelden gevonden van binaire systemen waarvan de onzichtbare begeleider een massa moet hebben groter dan de bovenlimiet van een neutronenster. Zwarte gaten in binaire systemen worden uitvoeriger besproken in de cursus Gevorderde Astrofysica.
157
Figuur 10.9: Pulsprofielen van 45 pulsars. Elk pulsprofiel geeft weer hoe de intensiteit van de radiostraling, die we van de pulsar ontvangen, varieert gedurende e´ e´ n pulsperiode. Sommige pulsars hebben een puls bestaande uit slechts e´ e´ n piek, anderen hebben twee of soms zelfs drie pieken. De perioden vari¨eren tussen 0.1 en enkele seconden.
158
Hoofdstuk 11
Evolutie van een ster met lage massa 11.1 Post-hoofdreeks evolutie In tegenstelling tot de sterren met M > 2.3 M evolueren sterren met een lagere massa op een kwalitatief andere wijze na de uitputting van waterstof in de centrale delen. Er zijn hiervoor verschillende redenen. Ten eerste hebben deze lage-massa sterren geen of zeer kleine convectieve kernen. Voor een ster met massa kleiner dan de zon is er geen convectieve kern en daardoor produceren deze objecten een heliumkern met zeer lage massa waarin geen vermenging plaatsvindt. Hierdoor zal er een zeer geleidelijke overgang van centrale naar schilwaterstofverbranding gebeuren, veel minder drastisch dan wanneer convectie zorgt voor een vermenging van een zware heliumkern. Ten tweede is ontaarding belangrijk op of onmiddellijk na de hoofdreeks. Wanneer de waterstofschilverbranding uiteindelijk zorgt voor een massievere heliumkern is de kern al ontaard. De sterren kunnen daarom gemakkelijk in thermisch evenwicht blijven door de ontaarde isotherme heliumkern. Zij hebben dus geen behoefte aan een snelle contractie voor het starten van de heliumverbranding en er is geen analogon van de Hertzsprung gap voor lage-massa sterren, ook al omdat de sterren voor hun verdere evolutie veel dichter bij hun Hayashi spoor vertrekken. Een ander gevolg van de ontaarding is dat de contractie van de kern niet gepaard gaat met verhitting, in tegenstelling tot de kerncontractie die zorgt voor het starten van de heliumverbranding in massievere sterren. Tijdens de eerste fase na waterstofverbranding in de kern start waterstofschilverbranding en groeit de massa van de kern aan een zeer traag tempo. De temperatuur van de kern blijft ver van diegene nodig voor heliumverbranding. Voor deze sterren is de schilverbranding tussen de fasen van centrale waterstofen heliumverbranding een fase op nucleaire tijdschaal. Door deze trage fase verwachten we dan ook vele lage-massa sterren in een fase van waterstofschilverbranding waar te nemen. De langzame contractie van de kern gaat, net zoals bij de massievere sterren, gepaard met een (nog niet goed begrepen) expansie van de waterstofrijke enveloppe die zich boven de schilbron bevindt. In eerste 159
Figuur 11.1: Het evolutiespoor van een ster met initi¨ele massa 1.3 M en chemische samenstelling X = 0.9, Y = 0.099, Z = 0.001. De letters A,. . . ,D corresponderen met de overeenkomende posities in figuur 11.2. De pijlen duiden de richting van de evolutie in de loop van de tijd aan. Deze richting wordt omgekeerd gedurende een korte periode, aangeduid door de horizontale puntjeslijnen. instantie verandert de lichtkracht slechts weinig terwijl de ster naar rechts beweegt in het HR diagram. Deze beweging kan echter niet lang aanhouden omdat de ster zich al relatief dicht tegen haar Hayashi spoor bevindt. De ster wil echter een verdere expansie van de enveloppe bewerkstelligen, wat noodzakelijk gepaard moet gaan met een relatief sterke toename van de lichtkracht. Het is inderdaad zo dat de lichtkracht in deze fase een factor 100 zal toenemen terwijl M k groeit. De ster beweegt zich op de stijgende reuzentak (zie figuren 11.1 en 11.2). We bespreken nu in detail de evolutie van een ster met initi¨ele massa 1.3 M . Het evolutiespoor en de inwendige structuur worden voorgesteld in figuren 11.1 en 11.2. Gedurende de centrale waterstofverbranding beweegt de ster naar boven om nadien naar rechts in het HR diagram te evolueren. In het punt D stopt de centrale waterstofverbranding en start de schilverbranding. Haar spoor bevindt zich nu zeer dicht tegen het Hayashi spoor, wat er zoals reeds vermeld voor zorgt dat de ster zich noodzakelijkerwijze langs de stijgende 160
Figuur 11.2: De evolutie van de inwendige structuur van een ster van 1.3 M in de loop van de tijd. Voor een verklaring van de symboliek verwijzen we naar figuur 10.1. reuzentak moet begeven. Haar lichtkracht en straal nemen hierbij fel toe. Het feit dat de ster dicht tegen het Hayashi spoor beweegt kan ook gezien worden aan de inwendige structuur, waaruit duidelijk wordt dat de buitenste convectieve zone zowat 70% van de totale massa bevat. De convectiezone bereikt lagen waarin de producten van de kernreacties al aanwezig zijn en de turbulente convectieve bewegingen zorgen ervoor dat dit geproduceerde materiaal naar het steroppervlak getransporteerd wordt. De ster ondergaat een eerste dredge-up. Het monotoon stijgend karakter van de lichtkracht wordt onderbroken wanneer de buitenste convectiezone binnendringt in de schil waarin waterstof verbrand wordt. Het proces van vermenging door de buitenste convectiezone heeft er immers voor gezorgd dat deze laatste enerzijds, en het gebied van waterstofschilverbranding anderzijds, een verschillend moleculair gewicht hebben. De homogene waterstofrijke buitenlaag wordt geconfronteerd met de heliumrijke lagen omheen de sterkern en wanneer de verbrandingsschil onderworpen wordt aan deze discontinu¨ıteit in het moleculair gewicht, zal haar eigen moleculair gewicht beginnen dalen. Deze daling veroorzaakt een afname van de lichtkracht bij L ≈ 100 L . Deze afname wordt in figuur 11.1 aangegeven door de horizontale stippellijnen. De evolutieberekeningen voor sterren met een andere massa leiden naar gelijkaardige resultaten. Nabij de hoofdreeks schuiven de evolutiesporen gewoon op naargelang de startmassa op de hoofdreeks. Nabij hun (lichtjes verschillende) Hayashisporen komen de evolutiesporen tesamen. Op dat ogenblik zijn de centrale delen van de sterren dicht genoeg geworden zodat deze delen nagenoeg niet meer afhankelijk zijn van de sterenveloppe (en dus van de totale massa). Sterren met verschillende massa maar dezelfde kernmassa M k zullen dezelfde lichtkracht vertonen en dezelfde positie innemen in het HR diagram.
161
Figuur 11.3: Schema dat de verandering van de temperatuur en dichtheid aangeeft gedurende de heliumflits. Nadat de ontbrandingstemperatuur van helium is bereikt in het ontaard kerncentrum verhoogt de temperatuur zonder dat de dichtheid varieert, totdat de ontaarding is opgeheven (nabij de streepjeslijn). Dan volgt een fase van isotherme expansie en vervolgens een fase van stabiele centrale heliumverbranding in een nietontaard regime. Numerieke berekeningen tonen dat de temperatuur in de kern stijgt met stijgende kernmassa M k . Zo wordt uiteindelijk de temperatuur van 10 8 K bereikt, waardoor heliumverbranding gestart wordt. Dit gebeurt wanneer Mk ≈ 0.45 M , onafhankelijk van de waarde van M . Maar het stermateriaal in de kern bevindt zich al in zeer ver gevorderde toestand van ontaarding en de heliumverbranding is niet stabiel in zulk een midden. Immers, de energieproductie gaat niet gepaard met een toenemende buitenwaartse druk, waardoor de contractie verder gezet wordt. De thermische ontsporing die hierdoor plaatsgrijpt, be¨eindigt meteen de rustige evolutie van de ster op de stijgende reuzentak.
11.2 De heliumflits De thermische ontsporing die ontstaat door de ontsteking van heliumverbranding in de ontaarde kern heeft een tijdsspanne van de orde van de thermische tijdschaal van het gebied van heliumverbranding. De centrale temperatuur stijgt, terwijl de materie niet expandeert noch contraheert (de druk is niet gerelateerd met de temperatuur). Er wordt dus geen arbeid geleverd en daardoor is er een enorme overproductie aan nucleaire energie. De lokale lichtkracht l bereikt gedurende enkele seconden een maximum van zowat 10 11 L (de lichtkracht van een heel sterrenstelsel): de ster ondergaat een heliumflits. In figuur 11.3 tonen we het verloop van de temperatuur als functie van de dichtheid tijdens de flits. De stijging van de temperatuur bij constante dichtheid zorgt er eerst voor dat de ontaarding opgeheven wordt en nadien dat de kern begint te expanderen. Door het opheffen van de ontaarding wordt de heliumverbranding stabiel, te meer daar de expansie ervoor zorgt dat de temperatuur niet meer stijgt. Stabiliteit wordt eerst bereikt voor heliumverbranding in een schil, later voor centrale heliumverbranding. Immers, de overproductie aan energie in de centrale delen wordt nu geleidelijk aan weggevoerd door koeling totdat de temperatuur opnieuw de waarde bereikt voor stabiele heliumverbranding. 162
De weg die de ster in het HR diagram aflegt ten gevolge van de heliumflits is de volgende. Juist v´oo´ r de flits werd de lichtkracht uitsluitend veroorzaakt door de schilverbranding van waterstof. Tijdens de heliumflits wordt het gebied van waterstofschilverbranding zo smal dat de schil verdwijnt op een tijdschaal van ≈ 10−3 jaar. De geproduceerde energie onmiddellijk na de heliumflits door de heliumverbranding (eerst in een schil en later centraal) is veel lager dan die door waterstofschil verbranding v´oo´ r de flits. Hierdoor zal de lichtkracht aanzienlijk gedaald zijn na de heliumflits, zoals duidelijk wordt aangegeven met de neerwaarts gerichte beweging in figuur 11.1.
11.3 Evolutie na de heliumflits Na de gewelddadige fase van de heliumflits volgt er een rustige fase van heliumverbranding in een nietontaard midden. De ster heeft nu opnieuw een lichtkracht van om en bij de 100 L en bevindt zich weerom dicht bij haar Hayashi spoor. De ster is nu aangekomen op de horizontale tak (zie figuur 11.4). De aankomstpositie van de ster op de horizontale tak hangt af van haar massa en haar chemische samenstelling op dat ogenblik. Verschillen in waargenomen posities reflecteren m.a.w. een verschil in massaverlies dat moet zijn opgetreden v´oo´ r de heliumflits en/of een verschil in opaciteit. Naar analogie met de nulhoofdreeks (ZAMS) spreken we van de ZAHB: “zero-age horizontal branch”. Op de ZAHB krijgen we dus, zelfs voor eenzelfde chemische samenstelling, sterren met ongeveer dezelfde kernmassa maar een duidelijk verschillende enveloppe massa. De sterren die het grootste massaverlies hebben geleden bevinden zich aan de linkse kant van de ZAHB, terwijl diegenen met een kleiner massaverlies rechts de ZAHB bezetten. In de praktijk is dit onderscheid niet zo gemakkelijk te maken, want de verschillende waargenomen posities van de sterren op de horizontale tak reflecteren eveneens de evolutie van de ster tijdens haar verblijf op de horizontale tak. De ster maakt lusbewegingen van links naar rechts en terug doordat de kernmassa groeit ten gevolge van de waterstofschilverbranding terwijl helium opgebrand wordt. Een verschillende positie op de horizontale tak reflecteert zowel een evolutie in de chemische samenstelling enerzijds bij aankomst op de ZAHB en anderzijds verkregen sinds de aankomst op de ZAHB alsmede een verschil in enveloppemassa. Deze situaties worden apart schematisch voorgesteld in figuur 11.4. Bij haar aankomst op de ZAHB heeft de ster een homogene niet-ontaarde heliumkern met massa Mk ≈ 0.45 M . Deze kern wordt omgeven door een waterstofrijke enveloppe met massa M −M k . De totale lichtkracht bestaat uit een bijdrage van trage centrale heliumverbranding en van waterstofschilverbranding, die na de flits terug op gang gekomen is. Hierdoor stijgt de massa van de heliumkern, terwijl de heliumverbranding een centrale convectieve CO-kern vormt binnenin de heliumkern. Vanaf dat ogenblik treedt er schilverbranding op in twee schillen en de massa’s van deze schillen zullen groeien tijdens de volgende fase. De lichtkracht neemt zodoende traag toe tijdens de evolutie op de horizontale tak waardoor deze een niet te verwaarlozen dikte krijgt met de ZAHB als benedengrens. Clustersterren, welke samen geboren werden en dezelfde chemische samenstelling hebben, gaan samenklonteren op de horizontale tak. Wanneer het metaalrijke sterren (jonge clusters) betreft zullen zij zich aan de rode (koele) kant van de horizontale tak bevinden en bij lagere lichtkracht, omwille van hun grotere 163
Figuur 11.4: De positie van stermodellen met eenzelfde heliumkern maar voor verschillende waarden van de totale massa en van de abondantie X CNO . Alle modellen hebben XH = 0.65 in de enveloppe en de abondantie van de elementen zwaarder dan helium werd gelijk genomen aan 2X CNO . De volle lijn geeft een reeks van modellen voor constante X CNO = 0.01 maar voor verschillende massa, gaande van 0.6 tot 1.25 M . De puntjeslijn duidt een reeks van modellen aan met constante massa 1.25 M maar met vari¨erende chemische samenstelling X CNO gaande van 10−5 tot 0.01. De streepjeslijn links is de hoofdreeks en die rechts is de Hayashilijn voor 1.25 M .
164
Figuur 11.5: De ZAHB in het Hertzsprung-Russell diagram en de evolutiesporen daarna. De dikke volle lijn is de ZAHB voor modellen met een heliumkern van massa 0.475 M en een waterstofrijke enveloppe met X = 0.699, Y = 0.3 van verschillende massa M − M kern . De totale stermassa wordt aangegeven voor enkele modellen (dikke stippen). De verdere evolutie wordt voor drie modellen voorgesteld door de dunne volle lijn (trage evolutie) en door de streepjeslijn (snelle evolutie). De trage evolutiefasen zijn diegene van centrale heliumverbranding in combinatie met waterstofschilverbranding (10 7 jaar) en waterstof- en heliumschilverbranding. Daartussen treedt een snelle fase op waarbij de centrale heliumverbranding overgaat naar heliumschilverbranding. opaciteit (in vergelijking met metaalarme sterren). Men spreekt van de “red clump”. Dit fenomeen is ook zichtbaar voor de sterren in de omgeving van de zon (zie het rechtste paneel in Figuur 1.2). De horizontale tak van de bolhoop M5 getoond in Figuur 9.6 ziet er daarentegen geheel anders uit dan de red clump voor sterren uit onze omgeving. Deze tak bevindt zich bij hogere temperatuur en lichtkracht en is uitgestrekt over een veel groter temperatuursinterval. Dit is enerzijds een gevolg van de lagere metalliciteit van de sterren in M5 in vergelijking met deze in onze nabijheid en komt anderzijds door de ouderdom van de cluster, waardoor de horizontale-tak evolutie al langer duurde. In het algemeen vinden we dat hoe metaalarmer de cluster is, hoe heter en lichtkrachtiger zijn horizontale-tak-sterren zijn. Theoretisch bepaalde evolutiesporen voor de horizontale tak zijn om aangehaalde redenen bijzonder moeilijk in detail te vergelijken met waarnemingen. Enkele zulke theoretische evolutiesporen worden weergegeven in figuur 11.5. In ieder geval starten de sporen steeds op de ZAHB en arriveert de ster na enige lusbewegingen vlak bij haar Hayashi spoor, op het moment dat de centrale helium uitgeput is. Men zegt dat de ster is aangekomen op de asymptotische reuzentak (AGB, zie figuur 11.6). De post-horizontale-tak evolutiesporen bevinden zich allemaal boven de horizontale-tak sporen (zie figuur 11.5). Tijdens de evolutie op de horizontale tak kruisen de sterren, zoals aangegeven in figuur 11.6, de instabiliteitsstrook, waarin zich de Cephe¨ıden (aangeduide door “W”) en de RR Lyrae (RR) sterren bevinden. 165
Figuur 11.6: Schets van de evolutie van een ster van lage massa in het HR diagram. De evolutiesporen voor drie verschillende massa’s komen samen op de stijgende reuzentak. Na de heliumflits belanden de sterren op de horizontale tak. Vervolgens evolueren ze naar rechts boven en vervoegen zich op de asymptotische reuzentak. De streepjeslijn duidt de klassieke instabiliteitsstrook aan, waarin zich de RR Lyrae (RR) sterren en Cephe¨ıden (W) bevinden. Deze sterren ondergaan radiale stertrillingen gedreven door vibrationele instabiliteit. Hierdoor krimpen ze en zetten ze uit op ritmische wijze terwijl de sferische symmetrie bewaard blijft. Voor een gedetailleerde beschrijving van de observationele kenmerken van deze sterren verwijzen we naar de cursus Pulserende Sterren gedoceerd tijdens het eerste semester van de tweede licentie, terwijl de theoretische beschrijvingen van de stertrillingen aan bod komen tijdens de cursus Theorie van stertrillingen, gegeven tijdens het tweede semester van de tweede licentie.
11.4 AGB sterren Tot nu toe behandelden we in dit hoofdstuk de evolutie van een ster met massa beneden 2.3 M . We nemen nu voor het beschrijven van de verdere evolutie weer de draad op bij het uienmodel beschreven in vorig hoofdstuk en beschouwen nu de latere evolutiefasen voor alle sterren met een massa beneden 6 M . Deze sterren zijn na de heliumverbranding namelijk allemaal aangekomen op de asymptotische reuzentak, 166
waar ze de tweede dredge-up ondergaan tijdens de He-schil- en H-schilverbrandingfase. Ze volgen nu een gemeenschappelijke evolutie. Tijdens deze fase van haar leven is de ster onderhevig aan fel massaverlies. Hoewel het nog niet geweten is wanneer het massaverlies precies start, is het wel duidelijk dat het mede veroorzaakt wordt door de radiale pulsaties met grote amplitude die de ster ondergaat op de AGB. Preciese details van het mechanisme dat dit massaverlies veroorzaakt zijn ook nog niet gekend. Uiteindelijk blijft er een waterstofrijke enveloppe over die een uitgebreide straal maar een zeer beperkte massa heeft. Deze enveloppe doet de ster er als een rode superreus uitzien. Sterren op de asymptotische reuzentak hebben stralen tussen 200 en 600 R en een effectieve temperatuur tussen 2 200 en 3 500 K. AGB sterren bestaan dus uit een kleine hete kern die sterk gravitationeel gebonden is en een enorm grote koele mantel waarvan de buitenste lagen slechts zeer zwak gravitationeel gebonden zijn. Alleen al hierdoor kunnen AGB sterren gemakkelijk substantieel massaverlies ondergaan. Door de pulsaties vormen zich uitgebreide circumstellaire enveloppes van gas en stof. Deze enveloppe kan aanzien worden als het derde gedeelte van de ster. De temperatuur van de ster daalt typisch van 3 500 K in de mantel tot slechts 10 K aan de buitenkant van de circumstellaire enveloppe. Bij zulke lage temperaturen kunnen (complexe) moleculen (waaronder de OH en de CO molecule) en stofkorrels vormen. Deze laatsten bepalen niet alleen de spectrale kenmerken van de AGB ster in het infrarood, maar tevens de verdere evolutie van de ster. Immers, het stof in de enveloppe zorgt daar voor een grote opaciteit omdat het effici¨ent de sterstraling kan absorberen en veroorzaakt zo nog veel feller massaverlies onder de vorm van een voortdurende trage sterrenwind met een uitstroomsnelheid die typisch ∼ 15 km/s bedraagt. De evolutie van de ster wordt nu bepaald door een complexe interactie tussen de drie gebieden. De kernmassa verandert nagenoeg niet tijdens de AGB fase omdat deze bijzonder kort is.
11.5 Thermische pulsen Nadat de schil waarin waterstofverbranding plaatsgrijpt teveel afgekoeld is, stopt deze schilverbranding. Dit betekent dat de overgangslaag tussen de waterstofrijke enveloppe en de schil met heliumverbranding nu bij constante m gepositioneerd blijft. Tegelijkertijd beweegt de schil met heliumverbranding langzaam maar zeker naar steeds grotere m-waarden totdat ze de onderkant van de waterstofenveloppe reikt. Vermits de temperatuur nodig voor heliumverbranding zowat 10 8 K bedraagt, tien keer hoger dan de temperatuur vereist voor waterstofverbranding, wordt de onderkant van de waterstofenveloppe genoeg verhit en waterstofverbranding wordt opnieuw ontstoken. Er zijn nu plots opnieuw twee schilbronnen en er ontstaat een onevenwicht in de energiebalans. Deze plotse wijziging in het schilverbrandingsproces zorgt opnieuw voor een thermische ontsporing, welke de temperatuur doet stijgen. Aangezien de heliumverbranding erg temperatuursgevoelig is brengt de temperatuursstijging een enorme stijging in de energieproductie met zich mee. Het merendeel van deze extra energie wordt gebruikt om de lagen boven de laag met heliumschilverbranding te expanderen. Deze expansie reduceert vervolgens het effect van de schil met waterstofverbranding. Op die manier ontstaat er een cyclus van thermische pulsen, welke zowat om de 10 3 − 105 jaar optreden naargelang de massa van de ster. Men zegt dat de ster is aangekomen op de TP-AGB: “thermally pulsing AGB”. Naarmate de sterevolutie vordert nemen de thermische pulsen in sterkte toe, terwijl de tijdspanne ertussen 167
Figuur 11.7: Het evolutiespoor na centrale heliumverbranding van een ster van 0.6 M met chemische samenstelling X = 0.749, Y = 0.25. Het spoor stijgt langs de AGB totdat thermische pulsen (aangeduid door dikke stippen) optreden. De verandering van de positie in het HR diagram tijdens een puls wordt voor de duidelijkheid enkel getoond voor pulsen 9 en 10. V´oo´ r de laatste puls heeft het spoor het domein van de witte dwergen bereikt. De hoofdreeks, de horizontale tak en de lijn van constante straal voor witte dwergen zijn eveneens voorgesteld. afneemt. Het aantal thermische pulsen dat optreedt hangt af van de initi¨ele massa, van de metalliciteit en vooral van het massaverlies dat de ster ondergaat in deze fase. De lichtkracht en oppervlaktetemperatuur kan aanzienlijk veranderen bij elke puls. Dit is des te meer een uitgesproken verschil naarmate er zich minder massa boven de verbrandingsschillen bevindt. Door de grote wijzigingen in de lichtkracht en temperatuur maakt de ster felle bewegingen in het HR diagram. In figuur 11.7 tonen we het evolutiespoor van een ster met 0.6 M die 11 pulsen ondergaat. Tijdens het maximum van de heliumenergieproductie heeft een ster met een relatief hoge massa, zeg tussen 4 en 6 M , een kleine convectieve laag moeten cre¨eren om het energietransport effici¨ent genoeg te kunnen laten gebeuren. Deze convectielaag slaagt er tijdens de pulsen in om tot bij de discontinu¨ıteit van de H-He laag te komen. Gedurende korte tijd wordt hierdoor al het materiaal tussen de twee schillen vermengd en treden er lange reactieketens op in de verbrandingslaag. Men spreekt van HBB: hot-bottomburning. Anderzijds wordt het materiaal dat geproduceerd wordt in de heliumverbrandingsschil naar het steroppervlak gebracht door deze buitenste convectielaag. De ster ondergaat een derde dredge-up. Deze door thermische pulsen ge¨ınduceerde dredge-up treedt enkel op voor sterren waarvan de massa minstens 4 M bedraagt.
168
11.6 Het s-proces in AGB sterren De heliumverbranding transformeert 4 He in 12 C en 16 O, terwijl de waterstofschilverbranding ervoor zorgt dat deze 16 O en 12 C wordt omgevormd tot 14 N. De HBB belet op die manier dat de sterren koolstofsterren kunnen worden. Tussen twee pulsen blijft 14 N achter en de convectieve laag transporteert deze 14 N isotopen naar de heliumverbrandingsschil tijdens de volgende puls. Daar grijpt dan vervolgens de volgende reactieketen plaats: 14 N(α, γ)18 F(β + ν)18 O(α, γ)22 Ne. Voor een puls in een vrij massieve ster bereikt de temperatuur een waarde die hoog genoeg is om ook de 22 Ne isotopen te verbranden in de reactie 22 Ne(α, n)25 Mg. Deze reactie bewerkstelligt de productie van een neutron. Een andere, veel effici¨entere neutronenbron werd reeds aangehaald bij de bespreking van koolstofverbranding, maar opdat deze werkzaam zou kunnen zijn moet er een voldoende aantal 13 C isotopen in de heliumverbrandingsschil kunnen gebracht worden. Het betreft 12 C(p, γ)13 N(e+ ν)13 C(α, n)16 O. Deze laatste reactie is veel sneller dan 22 Ne(α, n)25 Mg maar ze vereist wel een welbepaalde protonconcentratie van om en bij 10 −4 . Dit kan voldaan zijn wanneer waterstofrijk materiaal diffundeert naar 12 C-rijke gebieden tijdens de pulsen, waardoor 13 C dan kan gevormd worden. De aangehaalde neutronenbronnen kunnen sterk genoeg zijn om op een stabiele wijze elementen na de ijzerpiek te vormen door het s-proces. Neutronenvangst werd reeds beschreven bij de behandeling van het r-proces. In het s-proces gaat de neutronenvangst door tot er teveel neutronen zijn opgenomen en het element buiten de stabiliteitsvallei in het (N, Z) domein valt. De kern is dan onderhevig aan een β − verval: (Z, A) → (Z + 1, A) + e− + νe ,
(11.1)
Het pad van het s-proces bevindt zich zodoende langs de neutronrijke grens van de stabiliteitsvallei in het (N, Z) diagram, maar minder diep dan bij het r-proces (zie figuur 10.6). De naam “s-proces” slaat hier op het feit dat invanging van neutronen traag verloopt ten opzichte van het β − verval, in tegenstelling tot bij het r-proces. Het s-proces grijpt plaats bij neutronendichtheden van de orde 10 8 − 1012 cm−3 en is sterk afhankelijk van de metalliciteit van de ster. Door de twee neutronenbronnen hierboven besproken grijpt het s-proces plaats in AGB sterren die thermische pulsen ondergaan. Typische s-proces elementen zijn enerzijds diegenen van de lichte s-proces elementen groep, namelijk deze van de strontiumpiek. Dit zijn de elementen met magisch neutronenaantal N = 50: Strontium (Sr, Z = 38), Ytrium (Y, Z = 39), Zirkonium (Zr, Z = 40). Anderzijds zijn er de talrijke zware s-proces elementen van de bariumpiek met magisch neutronenaantal N = 82, waarvan Barium (Ba, Z = 56) het voornaamste voorbeeld is. Preciese details van de aanmaak van s-proces elementen en hun transport door dredge-up naar het oppervlak van AGB sterren zijn niet gekend. Een effici¨ente derde dredge-up kan hoe dan ook enkel optreden voor de massievere sterren en hangt sterk af van de preciese uitgebreidheid en locatie van de buitenste convectieve laag.
169
11.7 Post-AGB sterren Zoals reeds vermeld is het aantal thermische pulsen die een AGB ster ondergaat tijdens de TP-AGB fase afhankelijk van het massaverlies van de ster. Wanneer de massa van de enveloppe gereduceerd is tot ±0.05 M vallen de pulsaties stil en vermindert het massaverlies snel. De effectieve temperatuur van de ster begint te stijgen. Ze verlaat de asymptotische reuzentak en beweegt zich in een tijdsspanne van zowat 10 000 jaar naar links in het HR diagram. De ster start haar post-AGB fase. Tijdens deze fase blijft de temperatuur stijgen, terwijl de lichtkracht nagenoeg constant blijft. Als de effectieve temperatuur een waarde van om en bij de 30 000 K bereikt heeft, wordt het circumstellaire materiaal ge¨ıoniseerd. De ster is nu een planetaire nevel geworden. Wellicht wordt niet elke post-AGB ster een planetaire nevel omdat de circumstellaire stofschil in sommige gevallen al te ver van de ster zal verwijderd zijn vooraleer de temperatuursgrens van 30 000 K overschreden wordt en/of te weinig massa bevat. De thermische pulsen die de ster ondergaan heeft zijn een enveloppe fenomeen en hebben de CO-kern niet aangetast. Deze laatste krijgt meer en meer de kenmerken van een witte dwerg. Uit het feit dat er veel meer witte dwergen zijn dan planetaire nevels leiden we af dat het planetaire-nevel stadium veel korter moet zijn, zelfs als we ermee rekening houden dat niet elke post-AGB ster een planetaire nevel oplicht. De planetaire nevelfase duurt ongeveer 10 5 jaar.
11.8 Witte dwergen Zoals reeds aangehaald in het vorig hoofdstuk ontwikkelen sterren met intermediaire massa van 2.3 M < M ≤ 5`a6 M uiteindelijk na de fase van heliumverbranding een ontaarde CO kern. De preciese massa van deze kern hangt af van het (tot nu toe niet volledig begrepen mechanisme van) massaverlies op de asymptotische reuzentak. Zoals reeds eerder vermeld ondergaan sterren met initi¨ele massa 6 M < M ≤ 9 M een koolstofdetonatie geheel analoog aan de heliumflits maar dan veel agressiever; zij eindigen als supernova zonder restant. Wanneer de kernmassa van de post-AGB ster met initi¨ele massa M ≤ 6 M beneden de limietmassa van Chandrasekhar ligt, blijft een volledig ontaarde ster over aan het eind van de evolutie: een witte dwerg is ontstaan. De studie van sterrenhopen bevestigen dat sterren met initi¨ele massa ∼ 6 M kunnen eindigen als witte dwerg. Er zijn namelijk al een klein aantal witte dwergen gevonden in sterrenhopen waarvan het keerpunt van de hoofdreeks net onder sterren met 6 M ligt. In die sterrenhopen bevinden sterren met M < 6 M zich nog op de hoofdreeks, dus moeten die enkele witte dwergen eindproducten zijn van sterren met initi¨ele massa M ' 6 M . Deze sterren hebben dus duidelijk veel massa verloren als AGB ster. Witte dwergen hebben afmetingen die vergelijkbaar zijn met die van de aarde (zie figuur 10.7), maar hun massa is wel zo’n 3 × 105 keer groter dan die van de aarde. De witte dwergen zijn een homogene klasse van sterren. Ze vormen een welgedefinieerde reeks in het B − V , M V diagram. De koelst gedetecteerde objecten hebben een lichtkracht van om en bij 3 × 10 −5 L . De strakke correlatie tussen de lichtkracht (of MV ) en de effectieve temperatuur (of B − V ) toont dat de stralen van de witte dwergen nagenoeg dezelfde 170
moeten zijn, nl. R ≈ 0.01 R . Uit bepalingen van de graviteit kan men afleiden dat ook de massa’s van enkelvoudige witte dwergen nagenoeg dezelfde zijn, met een sterke piek rond M ≈ 0.6 M . Voor witte dwergen die zich in een binair systeem bevinden heeft men een veel groter bereik in massa vastgesteld. De witte dwergen bestaan vooral uit C en He. De verhoudingen zijn afhankelijk van de effici¨entie van de heliumverbranding. Algemeen zijn de massievere witte dwergen koolstofrijker. Uit spectroscopische waarnemingen leidt men af dat de samenstelling van de steratmosfeer vrij verschillend kan zijn. Het meest voorkomend zijn witte dwergen waarvan de atmosfeer hoofdzakelijk bestaat uit waterstof. Men spreekt van DA witte dwergen. 80% van de gekende witte dwergen zijn van het type DA. Er bestaat tevens een groep van witte dwergen wiens atmosfeer vooral bestaat uit helium. Men noemt ze DB witte dwergen. Hun percentage bedraagt zo’n 20%. Een zeer klein aantal witte dwergen heeft een atmosfeer met een speciale chemische samenstelling en hoort niet tot de twee hoofdklassen. Men deelt deze dan nog in in andere klassen naargelang de waargenomen spectrale lijnen van bepaalde chemische elementen. De effectieve temperatuur van witte dwergen doorloopt een groot interval: gaande van 50 000 K tot 4 000 K. De meerderheid van deze sterren hebben dus een temperatuur hoger dan die van de zon, en daarom is de term “witte” dwerg ingevoerd. Het ontaard elektronengas is in een ster met massa kleiner dan 1.46 M in staat om de enorme gravitationele aantrekkingskracht tegen te gaan. Hoe minder massief de witte dwerg, hoe meer niet-ontaarde materie blijft bestaan in de buitenste lagen. Zoals karakteristiek is voor configuraties bestaande uit ontaarde materie zijn de mechanische en thermische eigenschappen ontkoppeld van mekaar. De mechanische structuur wordt enerzijds goed beschreven door een elektronendruk die hoort bij een gas bestaande uit ontaarde elektronen. Hiervoor werden uitdrukkingen afgeleid in Hoofdstuk 4. De nietontaarde ionen, daarentegen, zijn verantwoordelijk voor de massa van de witte dwerg. Het is gemakkelijk aan te tonen dat witte dwergen voldoen aan een massa-straal relatie, i.e. de straal van een witte dwerg hangt enkel af van de massa en niet van de temperatuur. Bovendien leidt men uit de massa-straal relatie af dat hoe groter de massa, hoe kleiner de straal, m.a.w. de massa is omgekeerd evenredig met het volume. Deze “klassieke witte-dwerg structuur” wordt getoond in figuur 11.8. Aan beide uiteinden van het massa interval zijn correcties nodig omdat deze klassieke theorie afgeleid door Chandrasekhar er niet meer opgaat. In die zin bedraagt de nauwkeuriger bepaalde limietmassa slechts 1.44 M . De thermische eigenschappen zijn verantwoordelijk voor de straling en de verdere evolutie van de witte dwerg. In het diepe inwendige van de witte dwerg is de materie ontaard en gebeurt het energietransport zeer effici¨ent door conductie, waarbij het de kernen zelf zijn die de energie transporteren, en niet de fotonen. In de buitenste lagen gebeurt het energietransport anders. Daar bevinden zich gebieden die steeds minder ontaarde materie bevatten en het energietransport gebeurt er door straling of convectie, welke veel minder effici¨ent zijn. De buitenste laag bestaat uit normaal gas dat dienst doet als een bijzonder effici¨ente isolatielaag, waardoor de witte dwerg slechts zeer langzaam afkoelt. We hebben dus een niet-ontaarde buitenlaag waarin de temperatuur aanzienlijk lager is en die de ontaarde isotherme kern isoleert. Hierdoor is de witte dwerg optisch zwak. Vermits er geen kernreacties meer plaatsvinden moet de straling die de witte dwerg uitzendt energie putten uit een ander energiereservoir. Bij een witte dwerg wordt de nodige energie om de lichtkracht te ver171
Figuur 11.8: Schematische voorstelling van de massa-straal relatie horende bij een “klassieke” witte-dwerg structuur volgens de theorie van Chandrasekhar, waarbij ondersteld wordt dat de druk enkel geleverd wordt door een ontaard elektronengas. Correcties op deze klassieke structuur zijn nodig aan beide uiteinden van het massa interval. klaren geleverd door koeling van de ionen: L ∼ T˙ . Er treedt een uiterst kleine gravitationele samentrekking op door de afkoeling vermits enkel de ionendruk daalt en niet de elektronendruk die veruit de belangrijkste is van beiden. De helft van de gravitationele energie die door contractie vrijkomt levert de lichtkracht, de andere helft wordt gebruikt om de Fermi-energie van de elektronen te doen stijgen. Uiteindelijk heeft dit koelingsmechanisme voor gevolg dat de witte dwerg evolueert naar het vormen van een “zwarte dwerg”: de contractie stopt volledig en alle energie bevindt zich op dat ogenblik in de vorm van Fermi-energie. De typische koelingstijd voor een witte dwerg van 1 M en L/L = 10−3 bedraagt 109 jaar. De oudste waargenomen witte dwergen hebben een leeftijd die vergelijkbaar is met de leeftijd van onze Melkweg zelf.
172
Bijlage A
Waarden van fysische en astronomische constanten In de sterrenkunde worden alle grootheden meestal nog steeds uitgedrukt in cgs eenheden. Echter, studenten zijn (terecht !) meer vertrouwd met het SI stelsel. Ik laat aan eenieder de keuze in het gebruik van de eenheden en heb ze zelf gemengd gebruikt in dit vak. Hieronder volgen enkele waarden van fysische en astronomische constanten en andere veel gebruikte grootheden in zowel het cgs als het SI stelsel. We geven tevens nog enkele omzettingsformules naar andere eenheden.
Fysische constanten : Constante
Symbool cgs eenheden
Lichtsnelheid c= Gravitatie G= Atomic Mass Unit mu = Massa elektron me = Massa proton mp = Massa neutron mn = Lading elektron e= Planck h = 2πh = Boltzmann k= Gas R= Straling a= Stefan-Boltzmann σ=
SI eenheden s−1
2.99792458 × cm −8 3 6.67259 × 10 cm g−1 s−2 1.6605402 ×10−24 g 9.1093897 ×10−28 g 1.6726231 ×10−24 g 1.6749286 × 10−24 g 1.60217733 ×10−20 c esu 6.6260755 ×10−27 erg s 1.380658 ×10−16 erg K−1 8.314510 ×107 erg K−1 g−1 7.5646 ×10−15 erg cm−3 K−4 5.67051 ×10−5 erg cm−2 s−1 K−4 1010
173
2.99792458 × 108 m s−1 6.67259 × 10−11 m3 kg−1 s−2 1.6605402 ×10−27 kg 9.1093897 ×10−31 kg 1.6726231 ×10−27 kg 1.6749286 × 10−27 kg 1.60217733 ×10−19 Coulomb 6.6260755 ×10−34 J s 1.380658 ×10−23 J K−1 8.314510 ×103 J K−1 kg−1 7.5646 ×10−16 J m−3 K−4 5.67051 ×10−8 J m−2 s−1 K−4
Astronomische constanten : Constante Straal zon Massa zon Lichtkracht zon Astronomische eenheid Parsec Lichtjaar
Symbool cgs eenheden R = M = L = AE = pc = lj =
6.9598 cm 33 1.9891 ×10 g 3.8515 ×1033 erg s−1 1.49598 × 10 13 cm 3.08568 × 1018 cm 9.463 × 1017 cm ×1010
SI eenheden 6.9598 ×108 m 1.9891 ×1030 kg 3.8515 ×1026 J s−1 1.49598 × 1011 m 3.08568 × 1016 m 9.463 × 1015 m
Omzettingen : ˚ ˚ = Van Angstr¨ om naar cm : 1A Van Newton naar dyne : 1N= Van Joule naar erg : 1J= Van elektronvolt naar erg : 1 eV = −2 Van atmosfeer naar dyne cm : 1 atm =
10−8 cm 105 dyne 107 erg 1.60217733 × 10 −12 erg 1.01325 × 106 dyne cm−2
174
Bijlage B
Aanbevolen literatuur De volgende werken worden aanzien als standaardwerken over sterstructuur en -evolutie : Cox, J.P., Guili, R.T., 1968, “Principles of Stellar Structure”, Volume I & II, Gordon & Breech, New York Hansen, C.J., Kawaler, S.D., Trimble, V., 2004, “Stellar Interiors: Physical Principles, Structure, and Evolution”, Second Edition, Springer-Verlag Iben, I. Jr., 1967, “Stellar Evolution Within and off the Main Sequence”, Annual Review of Astronomy & Astrophyscis, Volume 5, p.571 Kippenhahn, R., Weigert, A., 1994, “Stellar Structure and Evolution”, Springer-Verlag Prialnik, D., 2000, “An Introduction to the Theory of Stellar Structure and Evolution”, Cambridge University Press Tassoul, J.-L., Tassoul, M., 2004, “A concise history of solar and stellar physics”, Princeton University Press Weiss, A., Hillebrandt, W., Thomas, H.-C., Ritter, H., 2004, “Cox & Giuli’s principles of stellar structure: Extended Second Edition”, Cambridge Scientific Publishers
175
