Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Protokol – „SADA DUM“ Číslo sady DUM:

VY_42_INOVACE_MA_2

Název sady DUM:

Funkce a rovnice I.

Název a adresa školy:

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registrační číslo projektu:

CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony:

IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ

Obor vzdělávání:

26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP:

Počítačové řídicí systémy – Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Výrobní a informační systémy - Lineární funkce, rovnice a nerovnice, Kvadratická funkce, rovnice a nerovnice, Goniometrie a trigonometrie, Funkce, Přehled elementárních funkcí, limita funkce Matematika, 1.-4. ročník Mgr. Lucie Pošvářová, Mgr. Vladimír Klikar

Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Datum vytvoření:

Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-001-2, Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7, RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4 Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4

leden – říjen 2013

Anotace

Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a hru– funkční rozcvička.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech.

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1

5.2.2014

VY_42_INOVACE_MA_2_01

VY_42_INOVACE_MA_2_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Vlastnosti funkcí

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Leden 2013

Klesající funkce

Rostoucí funkce

Je dána funkce f a interval J ⊆ D( f ). Funkce f se nazývá

Je dána funkce f a interval J ⊆ D( f ). Funkce f se nazývá

klesající v intervalu J , právě když pro všechna x1 , x2 ∈ J platí :

rostoucí v intervalu J , právě když pro všechna x1 , x 2 ∈ J platí :

S rostoucím x, klesá f ( x ).

S rostoucím x, roste f ( x ).

je - li x1 < x 2 , pak f (x1 ) > f ( x 2 ).

je - li x1 < x 2 , pak f ( x1 ) < f ( x 2 ).

1

5.2.2014

Prostá funkce Funkce f se nazývá prostá, právě když pro všechna x1 , x 2 ∈ D ( f )platí : je - li x1 ≠ x2 , pak f (x1 ) ≠ f ( x 2 ).

Sudá funkce Funkce f se nazývá sudá, právě když platí zároveň : 1. Pro každé x ∈ D( f ) je také − x ∈ D( f ) 2. Pro každé x ∈ D( f ) je f (− x ) = f ( x ).

! ANO

NE

Lichá funkce Funkce f se nazývá lichá, právě když platí zároveň : 1. Pro každé x ∈ D( f ) je také − x ∈ D( f ) 2. Pro každé x ∈ D( f ) je f (− x ) = − f ( x ).

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

2


Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vlastnosti funkcí - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Určete, které z níže uvedených grafů funkcí představují funkci prostou na celém definičním oboru. a) b)

c)

d)

2

VY_42_INOVACE_MA_2_02 2. Určete, která z níže uvedených funkcí je klesající na intervalu (− ∞;2) a která je rostoucí na intervalu (2; ∞ ) . a) b)

c)

d)

3. Dokončete graf funkce tak, aby funkce byla: a. sudá b. lichá

3

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Vlastnosti funkcí -

Pracovní list – řešení

1. a) prostá b) není prostá c) prostá d) prostá 2. a) klesající na intervalu (− ∞;2) d) rostoucí na intervalu (2; ∞ ) 3. sudá

lichá

4

VY_42_INOVACE_MA_2_02 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


5





1

VY_42_INOVACE_MA_2_03 Vlastnosti funkcí – test Skupina A Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro x ∈ 0;5 , pak jej doplňte pro x ∈ − 5; 0) tak, aby se jednalo o funkci sudou.

2

VY_42_INOVACE_MA_2_03 Vlastnosti funkcí – test Skupina B Určete intervaly monotónnosti, zda je funkce prostá. Ponechte jen část grafu pro x ∈ − 5;0 ,

pak jej doplňte pro x ∈ (0; 5 tak, aby se jednalo o funkci lichou.

3



4

8.2.2014



Lineární funkce


Leden 2013

b=0

Lineární funkce je funkce daná předpisem:

y = ax + b .

y = ax

- průsečík s osou y

a, b ∈ ℜ

Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

a≠0

f1 : y = x f2 : y = 2x

-grafem lineární funkce je přímka, která je různoběžná s osou y - pro načrtnutí grafu nám tedy stačí určit dva body - průsečíky s osami soustavy souřadnic:

Px [x;0]

přímá úměra

Py [0; y ] ?

Py [0; b ]

f3 : y = 5x f4 : y =

1 x 2

Čím vetší je číslo

a,

tím strmější je přímka.

1

8.2.2014

b=0

b≠0

y = ax

přímá úměra

Graf vždy prochází počátkem soustavy souřadnic.

y = ax + b

Graf je rovnoběžný s grafem funkce

f1 : y = − x

y = ax

a prochází na ose

y

bodem

b.

f

f1 : y = 2 x + 8

f 2 : y = −2 x

f2 : y = 2x + 6

f 3 : y = −5 x

f3 : y = 2 x − 1

1 f4 : y = − x 2

f4 : y = 2x − 4

f : y = 2x

a=0

Konstantní funkce

y=b

Lineární funkce - shrnutí

y = ax + b .

Grafem je přímka rovnoběžná s osou

x

a procházející na ose

y

bodem

a, b ∈ ℜ

b.

- průsečík s osou y

a≠0

f1 : y = 5 f 2 : y = −7 f3 : y = 0 osa x

a>0

a<0

- rostoucí

- klesající

2

8.2.2014



3





1

VY_42_INOVACE_MA_2_05 Lineární funkce – graf lineární funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Do téže soustavy souřadnic načrtněte grafy funkcí daných předpisem: a. f 1 : y = x f 2 : y = 3x 1 f3 : y = − x 2

b. g1 : y = 2 x + 1 g2 : y = 2x − 3

2

VY_42_INOVACE_MA_2_05 2. Načrtněte graf funkce a určete obor hodnot: a. f : y = −3x − 2 ∧ x ∈ (− 3;1

− 3, x ∈ (− ∞; 0  b. g : y =  1  x − 3, x ∈ (0; ∞ ) 2

3


–

Lineární funkce – graf lineární funkce Pracovní list – řešení

1.a

1.b

2.a

2.b

H ( f ) = − 5; 7 )

H ( g ) = − 3; ∞ )

4



5





1

VY_42_INOVACE_MA_2_06 Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina A 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f1 : y = 3x + 5 f 2 : y = −3 x − 5

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y = x − 2 , x ∈ ℜ .

2

VY_42_INOVACE_MA_2_06 Lineární funkce – graf lineární funkce – Test Skupina B 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: f1 : y = 3x − 5 f 2 : y = −3 x + 5

2. Načrtněte do výše znázorněné soustavy souřadnic graf funkce f : y = − x + 2 , x ∈ ℜ .

3



4





1

VY_42_INOVACE_MA_2_07 Lineární funkce a rovnice – grafické řešení lineárních rovnic Lineární rovnice o jedné neznámé x ∈ ℜ je rovnice ve tvaru: ax + b = 0 , kde a, b ∈ ℜ .

Taková rovnice může mít:

b pro a ≠ 0 . a Jednotlivé strany rovnice můžeme chápat jako dvě funkce. Levou stranu jako lineární funkci y = ax + b . Protože a ≠ 0 , jedná se o přímku různoběžnou s osou x . Pravá strana představuje konstantní funkci y = 0 , jejímž grafem je osa x . Řešení rovnice je vlastně hledání společného bodu těchto dvou přímek, tedy průsečíku přímky y = ax + b a osy x . Ukážeme si to na příkladu. Př. Řešte graficky rovnici pro x ∈ ℜ : 2x + 4 = 0 1. Načrtneme si tyto funkce: f 1 : y = 2 x + 4 a f 2 : y = 0 2. Určíme jejich průsečík. 3. Množinu řešení zapíšeme jako K = {− 2}

1. Jedno řešení ve tvaru x = −

2. Nekonečně mnoho řešení, je-li a = 0 ∧ b = 0 . Rovnice má tvar 0 = 0 , obě strany představují tutéž přímku, osu x . Mají tak přímku společných bodů, osu x . Množinu řešení zapíšeme jako K = (− ∞; ∞ ) .

2

VY_42_INOVACE_MA_2_07 3. Prázdnou množinu řešení. (Rovnice nemá řešení.) Tento případ nastane, pokud je a = 0 ∧ b ≠ 0 . Dostaneme tak například rovnici − 6 = 0 . První funkce má předpis y = −6 . Je to přímka rovnoběžná s osou x . Nemají tedy žádný společný bod. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø.

3

VY_42_INOVACE_MA_2_07 Pozn. Rovnice nemusí být v základním tvaru. Může být například zadaná takto: 4 x − 1 = 3x − 2 Potom načrtneme dvě přímky: f 1 : y = 4 x − 1 a f 2 : y = 3x − 2 . Řešením je opět jejich průsečík, K = {− 1}.

4



5





1

VY_42_INOVACE_MA_2_08 Lineární funkce a rovnice – grafické řešení soustav lineárních rovnic Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých Pokud řešíme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých, nejprve si z každé rovnice vyjádříme y v závislosti na x . Potom můžeme každou rovnici chápat jako lineární funkci, jejímž grafem je přímka. Hledání řešení soustavy je tak vlastně určení průsečíku těchto přímek. Mohou nastat tři případy, které si popíšeme na příkladech: 1. Přímky budou různoběžné a soustava bude mít jedno řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro x, y ∈ ℜ 2 : 4x + 2 y + 6 = 0 x− y =0 Nejprve z každé rovnice vyjádříme y : y = −2 x − 3 y=x Načrtneme grafy příslušných funkcí a určíme souřadnice průsečíku. Výsledek zapíšeme jako K = {[− 1;−1]} .

2

VY_42_INOVACE_MA_2_08 2. Pokud budou přímky rovnoběžné různé, nebudou mít žádný společný bod a soustava nebude mít řešení. Výsledek zapíšeme jako K = { } nebo jako K=Ø. Tento případ můžeme demonstrovat na následujícím příkladu: Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro x, y ∈ ℜ 2 : 4x + 2 y + 6 = 0 2x + y = 0 Pokud vyjádříme y , dostaneme funkce: y = −2 x − 3 y = −2 x

3. Pokud budou přímky rovnoběžné totožné, bude mít soustava jednoparametrické řešení. Př. Řešte graficky soustavu rovnic pro x, y ∈ ℜ 2 : 4x + 2 y + 6 = 0 2x + y + 3 = 0 Vyjádříme-li y , dostaneme funkce: y = −2 x − 3 y = −2 x − 3 Je tedy patrné, že obě rovnice představují tutéž přímku. Můžeme si ji načrtnout.

3


Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení, protože tyto dvě přímky mají nekonečně mnoho společných bodů. Ale ne ledajakých bodů. Tyto body leží na přímce dané předpisem y = −2 x − 3 . Souřadnice těchto bodů jsou tak na sobě závislé. Tuto závislost vyjádříme pomocí parametru a tím dostaneme již zmíněné jednoparametrické řešení. Za x zvolíme parametr, například t . Druhou souřadnici všech bodů, které jsou řešením soustavy vypočítáme jako − 2t − 3 . Řešení zapíšeme jako K = {[t ;−2t − 3]}, t ∈ℜ .

4



5

5.2.2014



Kvadratická funkce Posuny na grafech


Leden 2013

y = 3x 2 •každou funkční hodnotu funkce y=x2 vynásobíme 3

y = x2 − 5 •každou funkční hodnotu funkce y=x2 posuneme o 5 dolu ve směru osy y

0⋅3 = 0 co bylo v nule, zůstane v nule

1⋅ 3 = 3 co bylo v 1, přejde do 3

3⋅3 = 9 co bylo ve 3, přejde do 9

1

5.2.2014

y = ( x − 5)

2

Prameny a literatura

•dané funkční hodnoty funkce y=x2 budeme dostávat pro x o 5 větší než původní •graf y=x2 se nám tak posune o 5 doprava po ose x („proti znaménku“) Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


2





1

VY_42_INOVACE_MA_2_10 Kvadratická funkce – posuny na grafech - Pracovní list, záznamový arch Vycházíme ze základního grafu kvadratické funkce f : y = x 2 . Načrtněte následující funkce: 1 y = 2x 2 ; y = 4x 2 ; y = x 2 y = −x2 4

y = x2 +1

y = x2 − 3

2

VY_42_INOVACE_MA_2_10 y = (x + 2)

2

y = (x − 4)

2

y = ( x + 3) − 2 2

3

VY_42_INOVACE_MA_2_10 y=−

1 (x − 1)2 + 3 5

4


Kvadratická funkce – posuny na grafech - Výsledky

5


6



7



Funkce absolutní hodnota


Leden 2013

Nejprve si připomeneme definici absolutní hodnoty. Absolutní hodnota reálného čísla a je číslo, pro které platí:

je - li a ≥ 0, pak a = a je - li a < 0, pak a = −a

Funkce absolutní hodnota - je dána předpisem

y= x 1

Graf se bude skládat ze dvou částí: pro x ∈ 0; ∞ ) to bude funkce y = x

Graf funkce absolutní hodnota

pro x ∈ (− ∞; 0) to bude funkce y = − x

y=x

y=-x



2





1

VY_42_INOVACE_MA_2_12 Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: f1 : y = 2 x

f 2 : y = 2x + 2 f3 : y = 2x − 4

2

VY_42_INOVACE_MA_2_12 2. Do téže soustavy souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí: g1 : y = x

g2 : y = − x g3 : y = x − 2

3


3. Řešte graficky rovnici pro x ∈ ℜ : − x + 2 = x + 3 − 3

4


Funkce s absolutními hodnotami - Pracovní list – řešení 1.

2.

3. Každá strana rovnice nám představuje jednu funkci: f : y =−x +2

g : y = x+3 −3 f =g

K = {− 4;1}

5



6





1

VY_42_INOVACE_MA_2_13 Funkce s absolutními hodnotami – Test Skupina A 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): f1 : y = x − 5

f2 : y = x − 7 f3 : y = x + 5 − 8 2. Dokreslete do grafu k dané funkci f ( x ) (Obr.2) funkci f ( x ) : Obr.1

Obr.2

3. Řešením rovnice x + 4 = − x + 6 je: a. K = {1;5} b. K = {− 5;1} c. K = {− 5;1;5} d. K = − 5;1

2

VY_42_INOVACE_MA_2_13 Skupina B 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy (Obr.1): f1 : y = x + 5

f2 : y = x + 2 f3 : y = x − 5 − 8 2. Dokreslete do grafu k dané funkci f ( x ) (Obr.2) funkci f ( x ) : Obr.1

Obr.2

3. Řešením rovnice x − 4 = − x + 6 je: a. K = − 6;6

b. K = {1;5} c. K = {− 1;5} d. K = {− 1;1;5}

3



4

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_2_14 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Funkční rozcvička


Než začneme cvičit… • • • • •

Naznačte pažemi rostoucí funkci.

postavte se, prosím udělejte si kolem sebe místo na rozpažení vaše tělo představuje osu y vaše paže jsou grafem funkce panáček k vám stojí zády

1

5.2.2014

Naznačte pažemi klesající funkci.

Naznačte pažemi konstantní funkci.

Naznačte pažemi tyto funkce:


y=x

y = 2⋅ x

2

5.2.2014


y = −x


y = −2


y=2


y= x

3

5.2.2014


y =−x


y = x−2


y = x −2


y = x2

4

5.2.2014



y = −x2

y = x2 +1


y = ( x + 1)

Dodělejte funkci, aby byla sudá:

2

5

5.2.2014

Dodělejte funkci, aby byla lichá:

Naznačte pažemi ve trojicích tyto funkce:

y = tgx

x ∈ 0; 2π )

Naznačte pažemi ve dvojicích tyto funkce:

y = cot gx x ∈ (0;2π )


y = sin x x ∈ − π ;π

6

5.2.2014



y = x3


y = −x3



y = ex 7



Mocninné funkce


Únor 2013

Mocninné funkce s přirozeným exponentem n

y=x

n∈ N

• n liché

Mocninné funkce s přirozeným exponentem n

y=x

n∈ N

• n sudé

f :y=x

f : y = x2

g : y = x3

g : y = x4

h : y = x5

h : y = x6

1

Mocninné funkce s celým exponentem n

y=x

n=0

Mocninné funkce s celým exponentem

y = xn

n∈Z−

• specifický případ • nemůžeme na nultou umocnit nulu • definiční obor jsou všechna reálná čísla, kromě nuly

• -n liché • můžeme také psát jako:

f : y = x0

D( f ) = (− ∞;0) ∪ (0; ∞ )

y=

D ( f ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

f : y = x −1

1 x −n

g : y = x −3

Mocninné funkce s celým exponentem

y=x

h : y = x −5

Přehled y = xn

n

n∈Z−

• -n sudé • můžeme také psát jako:

y=

1 x −n

D( f ) = (− ∞;0) ∪ (0; ∞ ) f :y=x

−2

g:y=x

−4

y = x −2

y = x4

h: y = x

−6

y = x3

y = x −3

2

f :y= Mocninné funkce

1 −4 x 2

f :y=

můžeme také psát:

D( f ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

1 2x 4

každou funkční hodnotu vynásobíme 0,5

Změny na grafech

f : y = x −7 + 1

můžeme také psát:

D( f ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ ) posune se o 1 nahoru

1 f : y = 7 +1 x

f : y = ( x + 1)

−2 můžeme také psát:

f :y=

D( f ) = (− ∞;−1) ∪ (− 1; ∞ )

1 (x + 1)2

posune se o 1 doleva

3

f : y = x5

D( f ) = (− ∞; ∞ )

záporné funkční hodnoty se stanou kladnými

Pro zajímavost

f : y = −3( x − 2) 6 + 4 D( f ) = (− ∞; ∞ )



4



VY_42_INOVACE_MA_2_16 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_2_16 Mocninné funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Načrtněte grafy daných funkcí: y = − x −2

y = 2 x −2 ; y = 4 x −2 ; y =

y = x −2 + 1

y = x −2 − 3

1 −2 x 4

2

VY_42_INOVACE_MA_2_16 y = (x + 2)

−2

y = (x − 4)

−2

y = ( x + 3) − 2 −2

3

VY_42_INOVACE_MA_2_16 2. Pomocí grafu vhodné mocninné funkce porovnejte následující čísla: a.

A = (− 2 )

−3

B = 2 −3

b. A = (− 0,9 )

7

B = (0,8)

7

4


Mocninné funkce – Pracovní list – řešení

5


6



7



Kvadratické nerovnice


Únor 2014

Řešení kvadratické nerovnice Kvadratickou nerovnicí o jedné neznámé je každá nerovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na jeden z tvarů:

x 2 − 5x + 6 ≤ 0 nejprve vyřešíme příslušnou kvadratickou rovnici

ax2 + bx + c ≤ 0 ax2 + bx + c < 0 ax2 + bx + c ≥ 0 ax2 + bx + c > 0

x 2 − 5x + 6 = 0

(x − 2)(x − 3) = 0 x1 = 2 x2 = 3

+

-

kořeny této rovnice jsou průsečíky příslušné funkce s osou x kvadratická funkce y=x2-5x+6 je konvexní, protože koeficient u kvadratického členu je kladný zjistíme, kdy jsou funkční hodnoty záporné nebo rovny nule - když parabola protíná osu x nebo je pod osou x

x ∈ 2;3

- to je pro

1

x 2 + 7 x + 10 > 0

Další příklady na procvičení

x 2 + 7 x + 10 > 0 − x + 10 x − 25 < 0 2

x 2 + 7 x + 10 = 0

(x + 2)(x + 5) = 0 x1 = −2 x 2 = −5

x 2 + 4x + 5 ≥ 0 − x2 − 4 ≥ 0

x ∈ (− ∞;−5) ∪ (− 2; ∞ )

− x 2 + 10 x − 25 < 0 − x 2 + 10 x − 25 = 0 x 2 − 10 x + 25 = 0

(x − 5)2

Další možnosti

− x 2 + 10 x − 25 ≤ 0

=0

x1 = x 2 = 5

x ∈ (− ∞;5) ∪ (5; ∞ )

x∈ℜ 2

Další možnosti

− x 2 + 10 x − 25 > 0

Další možnosti NIC

− x 2 + 10 x − 25 ≥ 0

x ∈ {5}

x ∈Ø x 2 + 4x + 5 ≥ 0 x 2 + 4x + 5 = 0

Další možnosti

D = b 2 − 4a c

x 2 + 4x + 5 > 0

D = 16 − 4 ⋅ 5 = 16 − 20 = − 4 kvadratická rovnice nemá řešení -příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou x - protože koeficient u kvadratického členu je kladný, kvadratická funkce y=x2+4x+5 je konvexní - parabola bude celá nad osou x

x∈ℜ

x∈ℜ

3

Další možnosti

Další možnosti

x 2 + 4x + 5 < 0

x 2 + 4x + 5 ≤ 0

NIC

NIC

x∈Ø

− x2 − 4 ≥ 0 − x2 − 4 = 0

x∈Ø

NIC


/⋅ (− 1)

x2 + 4 = 0

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7

x 2 = −4 kvadratická rovnice nemá řešení

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

- příslušná kvadratická funkce nemá průsečíky s osou x - protože koeficient u kvadratického členu je záporný, kvadratická funkce y= - x2 - 4 je konkávní - parabola bude celá pod osou x

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

x ∈Ø

4



VY_42_INOVACE_MA_2_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_2_18 Inverzní funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch U následujících grafů funkcí určete definiční obor D( f ) , obor hodnot H ( f ) , načrtněte k funkci f inverzní fukci f −1 (pokud existuje) a napište její definiční obor D f −1 , obor hodnot H f −1 .

( )

( )

a)

b)

2

VY_42_INOVACE_MA_2_18 c)

d)

3

VY_42_INOVACE_MA_2_18 e)

f)

4

VY_42_INOVACE_MA_2_18 Inverzní funkce – Pracovní list – řešení a)

b)

funkce není prostá, neexistuje k ní inverzní funkce

D( f ) = (− ∞; ∞ ) H ( f ) = (− ∞; ∞ )

D( f ) = (− ∞; ∞ )

( ) = (− ∞; ∞) H ( f ) = (− ∞; ∞ ) D f

H ( f ) = 0; ∞ )

−1

−1

c)

d)

D( f ) = 0; ∞ )

D( f ) = (− ∞; ∞ ) H ( f ) = (− 4; ∞ )

H ( f ) = 0; ∞ )

( )= H(f )= D f

−1

0; ∞ )

−1

0; ∞ )

D( f

) = (− 4; ∞) H ( f ) = (− ∞; ∞ ) −1

−1

5

VY_42_INOVACE_MA_2_18 e)

f)

D( f ) = (− ∞; ∞ ) H ( f ) = (0; ∞ )

D( f ) = (− ∞; 3

D( f

) = (0; ∞ ) H ( f ) = (− ∞; ∞ ) −1

−1

H ( f ) = − 4; ∞ )

( ) = − 4; ∞ ) H ( f ) = (− ∞; 3 D f

−1

−1

6



7

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_2_19 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Logaritmy Intelektuální čísla


Březen 2013

Od námořní dopravy k logaritmům

Logaritmické pravítko

Tycho de Brahe (1546 – 1601) dánský astronom kreslil nejpřesnější mapy v 16. stol.

1

5.2.2014

Logaritmické tabulky Stránka s logaritmickými tabulkami pocházející z díla „Mirifici logarithmorum canonis constructio“ Johna Napiera Napierovy tabulky byly prvními logaritmickými tabulkami s nadšením přijaty námořníky a astronomy

Ještě že máme...

Logaritmické tabulky

nutnost v mnoha vědních oborech nejlepší tabulky sestavil anglický matematik Michael Taylor (1756 – 1789) obsahují logaritmy 101000 přirozených čísel

Johannes Kepler

svým dílem přispěl k rozšíření pojmu logaritmus v Německu

2

5.2.2014

Logaritmická spirála

Vzniká pohybem daného bodu konstantní úhlovou rychlostí kolem jiného bodu a zároveň se exponenciálně zvětšuje poloměr otáčení

Určování síly zemětřesení

Intenzita zvuku

3

5.2.2014

Definice logaritmu

log z n = l z>0 z ≠1

zl = n

Hodnoty logaritmu

log z z =

a

log z 1 =

logaritmus n o základu z

0

log z z a =

n>0

1 nápověda:

Dekadický logaritmus

zl = n

Přirozený logaritmus ln n = log e n = l

log n = log10 n = l

10 = n

n>0

l

n>0

log z n = l

e = 2,718 28…

el = n Eulerovo číslo

4

5.2.2014

10

log n

e

=n

ln n

=n

Vlastnosti logaritmů

log z (a ⋅ b ) = log z a + log z b Tento obrázek ny ní nelze zobrazit.

log z

a = log z a − log z b b

log z a n = n ⋅ log z a

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7 Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0821-2 (č.9) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

5



Exponenciální funkce Graf a vlastnosti


Březen 2013

Exponenciální funkce o základu

f :y=a

a

x

D( f ) = (− ∞; ∞ )

a ≠1 a>0


y = ax

a

a ∈ (0;1)

8 f :y=  9 4 g:y=  5

x

1 h: y =  3

x

x

1


y = ax

a

a ∈ (1; ∞ )

f : y = (3) 3 g:y=  2

Exponenciální funkce o základu 10

y = 10 x

x

x

 11  h: y =    10 

x

Exponenciální funkce o základu e

y = ex

a ∈ (0;1) Je klesající na celém definičním oboru.

y = ax D( f ) = (− ∞; ∞ )

H ( f ) = (0; ∞ ) f (0) = 1

Je prostá.

a ∈ (1; ∞ ) Je rostoucí na celém definičním oboru.

e = 2,718 28… Eulerovo číslo

2



3



Logaritmická funkce Graf a vlastnosti


Březen 2013

Logaritmická funkce o základu

a


y = log a x

je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu

f :y=a

x

f

−1

: y = log a x

( ) = H ( f ) = (− ∞; ∞ )

D f

−1

a ∈ (0;1) 4 f :y=  5

f

a ≠1

a

−1

x

: y = log 4 x 5

a>0 1


a

y = log a x a ∈ (1; ∞ )

Logaritmická funkce o základu 10 y = log10 x

f : y = 2x

f

−1

: y = log 2 x

y = log x Dekadický logaritmus

Logaritmická funkce o základu e

y = log e x

y = log a x

a ∈ (0;1) Je klesající na celém definičním oboru.

D( f ) = (0; ∞ )

H ( f ) = (− ∞; ∞ ) f (1) = 0

Je prostá.

a ∈ (1; ∞ ) Je rostoucí na celém definičním oboru.

e = 2,718 28… Eulerovo číslo

y = ln x Přirozený logaritmus

2



3





1

VY_42_INOVACE_MA_2_22 Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

 3  a.    2 

0,6

 3  b.   2  

0,6

<1 >1

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a.

A = 0,30, 6 B = 0,30,8

3, 6

13 8 b. 3,8 13 B= 8 A=

2


3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

m

n

m

n

5 5 a.   >   8 8

8 8 b.   <   5 5

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce y = a x , pokud platí: a. a −5 < a −3 5

4

b. a 4 > a 3

3


Exponenciální funkce – využití grafu v úlohách - Řešení 1. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, která z rovností platí:

 3    2   

0,6

<1

2. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a.

A = 0,30, 6 B = 0,30,8

3, 6

13 A= 8 b. 3,8 13 B= 8

4

VY_42_INOVACE_MA_2_22 3. Užitím grafu vhodné exponenciální funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší:

m

n

m

n

5 5 a.   >   8 8

8 8 b.   <   5 5

4. Rozhodněte, jaký je základ a exponenciální funkce y = a x , pokud platí: a. a −5 < a −3 S rostoucím x …… − 5 < −3 , roste y ……( a −5 < a −3 ). Funkce y = a x je rostoucí, a > 1 . 5 4

b. a > a

4 3

S rostoucím x …… 5 4

5 4 < , 4 3 4 3

klesá y ……( a > a ).

Funkce y = a x je klesající, a ∈ (0;1) .

5



6





1

VY_42_INOVACE_MA_2_23 Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: a. log 0,3 2 < 0 b. log 0,3 2 > 0

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a.

A = log 4 5 B = log 4 6

A = log 4 5 b.

5

B = log 4 6 5

2

VY_42_INOVACE_MA_2_23 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8

8

b. log 8 m > log 8 n 5

5

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log a x , pokud platí: a. log a 3 < log a 5 b. log a

5 4 > log a 4 3

3


Logaritmická funkce – využití grafu v úlohách - Řešení 1. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, která z rovností platí: log 0,3 2 < 0

2. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel A , B je větší:

a.

A = log 4 5 B = log 4 6

A = log 4 5 b.

5

B = log 4 6 5

4

VY_42_INOVACE_MA_2_23 3. Užitím grafu vhodné logaritmické funkce rozhodněte, které z čísel m , n je větší: a. log 5 m > log 5 n 8

8

b. log 8 m > log 8 n 5

5

4. Rozhodněte, jaký je základ a logaritmické funkce y = log a x , pokud platí: a. log a 3 < log a 5 S rostoucím x …… 3 < 5 , roste y ……( log a 3 < log a 5 ). Funkce y = log a x je rostoucí, a > 1 . 5 4 b. log a > log a 4 3 5 4 S rostoucím x …… < , 4 3 5 4 klesá y ……( log a > log a ). 4 3 Funkce y = log a x je klesající, a ∈ (0;1) .

5



6

5.2.2014



Exponenciální rovnice


Březen 2013

Řešte v R exponenciální rovnici:

Graficky:


3 =9 x

Graficky:

Početně:

3 =3 x

2

x=2

K = {2} Protože exponenciální funkce je prostá!

1 = 16 2 3 x +5 Početně:

(2 )

3 x + 5 −1

= 24

2 −3 x −5 = 2 4 − 3x − 5 = 4 − 3x = 9 x = −3

K = {− 3}

1

5.2.2014

Řešte v R exponenciální rovnici: x

x

1 1   +  −6 =0 4 2 x

 1 2   1 x    +   − 6 = 0  2    2   

 1     2  

x

2

 1  +  −6 =0  2 

Substituce:

0,25 x + 0,5 x − 6 = 0 y2 + y − 6 = 0 ( y + 3) ⋅ ( y − 2) = 0 y1 = −3 NEVYHOVUJE

x

x

1   =y  2

ax > 0


0,25 x + 0,5 x − 6 = 0

Graficky:

y2 = 2 x

1   =2  2 x −1 1 1   =   2  2

K = {− 1}

K = {− 1}

x = −1



2

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_2_25 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013

Logaritmické a exponenciální rovnice

V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Březen 2013

Řešte v R logaritmickou rovnici:

(

Protože logaritmická funkce je prostá:

x 2 − 14 = −5 x

x 2 + 5 x − 14 = 0 (x + 7) ⋅ (x − 2) = 0

x1 = −7 x 2 = 2 NEVYHOVUJE

K = {− 7}

)

log 3 x 2 − 14 = log 3 (− 5 x )


Podmínky:

(x +

Podmínky:

x 2 − 14 > 0 ∧

− 5x > 0

14 ⋅ x − 14 > 0 ∧

x<0

)(

)

x ∈ (− ∞;0 )

) (

x ∈ − ∞;− 14 ∪ 14 ; ∞

(

x ∈ − ∞;− 14

Substituce:

)

log x = y

x>0

y2 + y − 6 = 0

( y + 3) ⋅ ( y − 2) = 0 y1 = −3

průnik

(

log 2 x + log x − 6 = 0

y2 = 2

NEVYHOVUJE

K = {2}

)

1

5.2.2014

1


(2 )

3 x + 5 −1

2 3 x +5

= 17

•číslo 17 nelze napsat jako mocninu dvou •celou rovnici zlogaritmujeme

log 2 −3 x −5 = log 17

(− 3x − 5)log 2 = log17 − 3x + 5 =

log17 log 2

25 log 17 x= log 2 3

25 17 x= log 8 log

− 3x =

log 17 −5 log 2

= 17


− 3x =

log17 − 5 log 2 log 2

x=

log 2 5 − log17 3 ⋅ log 2

25    log 17  K =   log 8   

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


2


VY_42_INOVACE_MA_2_26 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Jednotková kružnice


Červen 2013

Jednotková kružnice je kružnice o poloměru jedna.

k (S ; r = 1)

délka jednotkové kružnice je:

o = 2 ⋅π ⋅ r o = 2 ⋅π

( délka kružnicového oblouku AB je:

π 2 ⋅π = 360 180

1

stupňová míra – velikost úhlu – ve stupních - stupně – minuty – vteřiny

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

1 = 60′ = 3600′′

2π

π

π

3 π 2

oblouková míra – velikost úhlu – v radiánech

1 rad Radián je středový úhel, který na jednotkové kružnici přísluší oblouku o délce 1.

2 nemusí se psát

Příklad: Doplňte tabulku.

Orientovaný úhel - uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem

α x

0 30 45 60 90 180 270 360

0

π

π

π

π

6

4

3

2

π

3 π 2

- víme, které rameno je počáteční a které koncové

2π

2

Základní velikost orientovaného úhlu je velikost toho z úhlů, který opíše polopřímka VA při otočení kolem vrcholu V z počátečního ramene VA do koncového ramene VB v kladném smyslu

Velikost orientovaného úhlu je každé číslo α + k ⋅ 2π , k ∈ Z , kde

α + k ⋅ 360

α

je základní velikost.

- pro základní velikost orientovaného úhlu platí:

0 ≤ α < 2π

0 ≤ α < 360

Nulový orientovaný úhel má základní velikost

0 = 0 rad

.

Příklad: Vyznačte na jednotkové kružnici úhly o dané velikosti.

4π

Prameny a literatura − 3π

7 π 2

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4


3

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_2_27 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 2013

Funkce sinus a kosinus na jednotkové kružnici



Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice k (S ; r = 1), S [0; 0] - pravoúhlý trojúhelník ABC: A[0; 0], B ∈ k , C ∈ x

B[b; a ]

π - rozšíříme definici funkcí sinus a kosinus pro α ∈  0;  na α ∈ R  2

L[x L ; y L ]

a c sin α = a

sin α =

L[cos x; sin x]

b c cos α = b

cos α =

B[cos α ; sin α ]

1

5.2.2014

α

0;

π

π

2

2

;π

3 2

π; π

3 π;2π 2

α

sin α

roste klesá klesá roste

sin α

cos α

klesá klesá roste roste

cos α

Roste nebo klesá?

α sin α

Periodické

sin ( x + k ⋅ 2π ) = sin x cos ( x + k ⋅ 2π ) = cos x

0

π 2

π

3 π 2

Doplň hodnoty!

0

 π   π  π; 3 π   3π;2π     0;   ; π     2   2   2  2

+

+

-

-

cos α +

-

-

+

0

1

−1

0 −1

0 1

Kladné nebo záporné? Perioda je

2π

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4


Sudá nebo lichá?

sin (− x ) = − sin x lichá cos (− x ) = cos x

sudá

2

5.2.2014



Graf funkce sinus


Červen 2013

Načrtněte graf funkce

y = 5 sin x y = a sin x D( f ) = R

mění obor hodnot

H ( f ) = − 1;1

H ( f ) = − a; a

H ( f ) = − 5; 5

SINUSOIDA

y = sin x

amplituda

1

5.2.2014



y = sin x

1 y = sin x 2

H ( f ) = 0;1

1 1 H(f ) = − ; 2 2

dvoucestně usměrněný signál



y = sin 2 x

y = sin

y = sin bx mění periodu

1 x 2

2π b

do původního grafu se vejde b změněných

2

5.2.2014



π  y = sin  x −  4 

y = sin x + 3 y = sin x + d

y = sin (x + c ) posouvá graf po ose y „po“ znaménku posouvá graf ve směru osy x „proti“ znaménku

fázový posun

stejnosměrná složka


y = sin x − 1



stejnosměrná složka

3

5.2.2014



Graf funkce kosinus


Červen 2013

y = cos x

y = sin x

D( f ) = R

H ( f ) = − 1;1

KOSINUSOIDA

y = cos x

y = cos x

- posuny na grafu jsou stejné jako u funkce sinus

y = sin x

cos x = sin ( x +

π 2

)

1

5.2.2014



2

5.2.2014



Funkce tangens a kotangens na jednotkové kružnici


Červen 2013

- soustava souřadnic, jednotková kružnice k (S ; r = 1), S [0; 0]

y = tg x

1

5.2.2014

- soustava souřadnic, jednotková kružnice k (S ; r = 1), S [0; 0]

α tgα

0;

π

π

2

2

;π

3 2

π; π

y = cotg x

3 π;2π 2

roste roste roste roste

cotgα klesá klesá klesá klesá

Periodické

cotg ( x + k ⋅ π ) = cotgx Perioda je

 π   π  π; 3 π   3π;2π     0;   ; π     2   2   2  2

tgα

+

-

+

-

cotgα

+

-

+

-

Kladné nebo záporné?

tg ( x + k ⋅ π ) = tgx

π

0

π 2

π

3 π 2

tgα

Roste nebo klesá?

α

α

cotgα

Doplň hodnoty!

0

0

*

0 *

*

0

*

2

5.2.2014



Sudá nebo lichá?

tg (− x ) = −tgx

lichá

cotg (− x ) = −cotgx lichá

3

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_2_31 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 2013

Graf funkce tangens a kotangens



Červen 2013

tgx =

sin x cos x

cos x ≠ 0

cotg x = x ≠ (2k + 1)

π 2

liché násobky

cos x sin x

sin x ≠ 0

π 2

x ≠ k ⋅π k∈Z

celé násobky

π

k∈Z

1

5.2.2014

tgx =

sin x cos x

cotg x =

cos x sin x

y = tg x x ≠ (2k + 1)

1 tgx = cotg x

cotg x =

1 tg x

liché násobky

π 2

π 2

tg x ⋅ cotg x = 1

y = cotg x

x ≠ k ⋅π

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich.

Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997, ISBN 80-7196-000-4 celé násobky

π Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

2


VY_42_INOVACE_MA_2_32 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Goniometrické rovnice


Červen 2013

Řešte v R goniometrickou rovnici:

sin x = −0,5

sin x = −0,5

Početně: Graficky:

v I. kv.

sin x = 0,5 π

+ 2kπ 6 x1 = π + x0 x0 =

ve III. kv.

x1 = π +

π

6

+ 2kπ

7 x1 = π + 2kπ 6 ve IV. kv.

x 2 = 2π − x0 x 2 = 2π − x2 =

π

6

+ 2kπ

11 π + 2kπ 6

K=

7

11



∪  6 π + 2kπ ; 6 π + 2kπ 

k∈Z

1

Řešte v R goniometrickou rovnici: substituce: 3x + π = y

2 sin (3 x + π ) = −1

2 sin y = −1 sin y = −

podle předchozího příkladu:

7 y1 = π + 2kπ 6 7 3x1 + π = π + 2kπ 6 7 3x1 = π − π + 2kπ 6 3x1 = x1 =

π 6

π 18

+ 2kπ +

2 kπ 3

y

K=

π

2

5

2



∪ 18 + 3 kπ ; 18 π + 3 kπ 

k∈Z

1 2

11 π + 2kπ 6 11 3x 2 + π = π + 2kπ 6 11 3x 2 = π − π + 2kπ 6 y2 =

5 3x 2 = π + 2kπ 6 x2 =

5 2 π + kπ 18 3

Řešte v R goniometrickou rovnici: 2 cos 2 x − 7 cos x + 3 = 0 u u substituce: cos x = u

2u 2 − 7u + 3 = 0 D = 49 − 24 = 25

u1 =

3

7+5 7−5 1 =3 u2 = = 4 nevyhovuje 4 2 Proč?

cos x =

1 2

Zpět

Řešení

2

cos x = 0,5

cos x = 0,5

Graficky:

Početně:

π

+ 2kπ

v I. kv.

x1 =

ve IV. kv.

x 2 = 2π − x1

3

x 2 = 2π −

π 3

+ 2kπ

5 x 2 = π + 2kπ 3

K=

π

5



∪  3 + 2kπ ; 3 π + 2kπ 

k∈Z



3

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Recommend Documents