Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Protokol – „SADA DUM“ Číslo sady DUM:

VY_42_INOVACE_MA_3

Název sady DUM:

Funkce a rovnice II.

Název a adresa školy:

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registrační číslo projektu:

CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony:

IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ

Obor vzdělávání:

26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP:

Předmět a ročník:

Počítačové řídicí systémy –Funkce, Posloupnosti a řady, Přehled elementárních funkcí, limita funkce, Derivace funkce, Neurčitý a určitý integrál Výrobní a informační systémy - Funkce, Posloupnosti a řady, Přehled elementárních funkcí, limita funkce, Derivace funkce, Neurčitý a určitý integrál Matematika, 2.- 4. ročník

Autor:

Mgr. Lucie Pošvářová, Mgr. Vladimír Klikar

Použitá literatura:

Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; RNDr. BOČKOVÁ, Jana; RNDr. CHARVÁT, CSc., Jura. Matematika pro gymnázia Rovnice a nerovnice. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-001-2, Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7, RNDr. HRUBÝ, Dag; RNDr. KUBÁT, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4 Doc. RNDr. ODVÁRKO, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196195-7

Datum vytvoření:

leden – říjen 2013

Anotace

Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a hru– šibenice.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech.

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1

VY_42_INOVACE_MA_3_01

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_3_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1

VY_42_INOVACE_MA_3_01 Integrální počet – primitivní funkce Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu J , jestliže pro všechna x ∈ J platí: F ′( x ) = f ( x ) . Příklad 1 a. Zderivujte funkce F1 až F7 , x ∈ ℜ :

F1 : y = 2 x F2 : y = 2 x − 3 F3 : y = 2 x − 2 F4 : y = 2 x − 1 F5 : y = 2 x + 1 F6 : y = 2 x + 2 F7 : y = 2 x + 3

Řešení: F1′( x ) = F2′ ( x ) = F3′( x ) = F4′ ( x ) = F5′( x ) = F6′( x ) = F7′ ( x ) = 2 b. Najděte primitivní funkci k funkci f : y = 2 , x ∈ ℜ : Řěšení: Z předchozího příkladu plyne, že pokud budeme hledat primitivní funkci k funkci f : y = 2 , byly by výsledkem všechny výše uvedené funkce F1 až F7 , ale také jakákoliv další funkce daná předpisem F : y = 2 x + c , kde c ∈ ℜ .

2

VY_42_INOVACE_MA_3_01 Příklad 2 a. Zderivujte funkce G1 až G7 , x ∈ ℜ :

G1 : y = 2 x 2 − x G2 : y = 2 x 2 − x − 3 G3 : y = 2 x 2 − x − 2 G4 : y = 2 x 2 − x − 1 G5 : y = 2 x 2 − x + 1 G6 : y = 2 x 2 − x + 2 G7 : y = 2 x 2 − x + 3

Řešení: G1′ ( x ) = G 2′ ( x ) = G3′ ( x ) = G 4′ ( x ) = G5′ ( x ) = ′ G6′ ( x ) = G7′ ( x ) = 4 x − 1 b. Najděte primitivní funkci k funkci g : y = 4 x − 1 , x ∈ ℜ .

Řěšení: Z předchozího příkladu plyne, že pokud budeme hledat primitivní funkci k funkci g : y = 4 x − 1 , byly by výsledkem všechny výše uvedené funkce G1 až G7 , ale také jakákoliv další funkce daná předpisem G : y = 2 x 2 − x + c , kde c∈ℜ . Budeme tedy psát že, každá primitivní funkce k funkci f má tvar F ( x ) + c , kde c ∈ ℜ . Pokud určujeme k dané funkci f primitivní funkci, říkáme, že funkci f integrujeme. Psát to budeme takto: x∈J . ∫ f (x )dx = F (x ) + c , Symbol

∫ f (x )dx se nazývá neurčitý integrál.

3

VY_42_INOVACE_MA_3_01 Prameny a literatura RNDr. Hrubý, Dag, RNDr. Kubát, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4


VY_42_INOVACE_MA_3_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Nepřímá úměrnost


Únor 2013

Nejprve si zopakujeme, co je přímá úměrnost:

Nepřímá úměrnost

Grafem přímé úměrnosti je PŘÍMKA Funkce, která má předpis:

y = k⋅x kde k je nenulové reálné číslo

f :y = x g : y = 2⋅ x h : y = −5 ⋅ x

Grafem nepřímé úměrnosti je Funkce, která má předpis:

y=

ROVNOOSÁ HYPERBOLA

k x

kde k je nenulové reálné číslo Definiční obor nepřímé úměrnosti je

D( f ) = (− ∞;0) ∪ (0; ∞ )

f :y=

1 x 1

•x se nesmí rovnat nule, graf nikdy neprotne osu y •y nikdy nevyjde nula

y=

(dělíme různými x nenulové číslo k) graf nikdy neprotne osu x

x≠0

k x

Jak se změní graf pro záporná k? Každou funkční hodnotu vynásobíme -1. Co bylo kladné, bude záporné. Co bylo záporné, bude kladné.

k >0

Graf „překlopíme“ kolem osy x.

k <0

•přímky, ke kterým se graf blíží, ale neprotne je, se nazývají

Asymptoty

Nepřímá úměrnost - vlastnosti f: y=

k x

ROVNOOSÁ HYPERBOLA

k >0

Nepřímá úměrnost - vlastnosti f: y=

k x

ROVNOOSÁ HYPERBOLA

k<0

D( f ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

D( f ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

H ( f ) = (− ∞;0) ∪ (0; ∞ )

H ( f ) = (− ∞;0) ∪ (0; ∞ )

Klesající na celém definičním oboru

Rostoucí na celém definičním oboru

Lichá

Lichá

Nemá maximum ani minimum

Nemá maximum ani minimum

Není omezená ani zdola ani shora

Není omezená ani zdola ani shora

Asymptoty: souřadnicové osy

Asymptoty: souřadnicové osy

2

Jak se změní graf s měnícím se k?

f :y =

1 x

g:y =

3 x

Každou funkční hodnotu vynásobíme 3.

f (x ) g (x ) = 3 ⋅ f (x )

f :y =−

1 x

1 g:y =− 5 x

h:y =−

6 x

1 3

1 2

1 2

1

3 2

3 6

f :y=

1 x

1 10 g:y = x

h:y =

10 x

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


3



VY_42_INOVACE_MA_3_03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_03 Nepřímá úměrnost - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Do připravených soustav souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí a rozhodněte, zda je funkce sudá nebo lichá: f1 : y =

2 x

f2 : y = −

f3 : y = 2 x

2 x

f4 : y = −

2 x

2

VY_42_INOVACE_MA_3_03 2. Je dán obdélník ABCD . Jeho obsah je 24 cm 2 . Napište předpis funkce, která vyjadřuje závislost strany a na straně b . Doplňte tabulku funkčních hodnot a zakreslete graf této funkce.

b a

1

2

3

4

6

8 12 24

3


Nepřímá úměrnost - Pracovní list – řešení 1.

lichá

lichá

sudá

sudá

4

VY_42_INOVACE_MA_3_03 2. Vzorec pro výpočet obsahu obdélníku je: S = a ⋅ b . S 24 Odtud vyjádříme a jako: a = tedy a = . b b

b 1 2 3 a 24 12 8

4 6

6 4

8 12 24 3 2 1

5

VY_42_INOVACE_MA_3_03 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7


6





1

VY_42_INOVACE_MA_3_04 Lineární lomená funkce - Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Do připravených soustav souřadnic zakreslete grafy následujících funkcí a napište jejich definiční obor a obor hodnot: 1 +2 x 1 f2 : y = − 3 x

f1 : y =

1 x+2 1 f4 : y = x−3 f3 : y =

2


2. Do připravené soustavy souřadnic zakreslete graf následující funkce a napište její definiční obor a obor hodnot: g:y=−

2 +4 x+3

3

VY_42_INOVACE_MA_3_04 3. Upravte si předpisy následujících funkcí, napište jejich definiční obory a obory hodnot a popište, jak by se načrtl graf (kam posunete graf jaké nepřímé úměry). f :y=

x+3 x−4

b. g : y =

1− x x+3

a.

c. h : y =

2x + 1 x −3

d. k : y =

3x + 4 2x + 1

e. l : y =

2x + 1 3x − 6

4


Lineární lomená funkce - Pracovní list – řešení 1.

D( f 1 ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

D( f 2 ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

D( f 3 ) = (− ∞;−2 ) ∪ (− 2; ∞ )

D( f 4 ) = (− ∞;3) ∪ (3; ∞ )

H ( f 1 ) = (− ∞;2 ) ∪ (2; ∞ )

H ( f 3 ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

H ( f 2 ) = (− ∞;−3) ∪ (− 3; ∞ )

H ( f 4 ) = (− ∞;0 ) ∪ (0; ∞ )

5


2. D( g ) = (− ∞;−3) ∪ (− 3; ∞ )

H ( g ) = (− ∞;4 ) ∪ (4; ∞ )

3.

x+3 x−4

a.

f :y=

y=

x−4+4+3 x−4

y=

x−4 7 + x−4 x−4

y = 1+

7 x−4

D( f ) = (− ∞; 4 ) ∪ (4; ∞ ) H ( f ) = (− ∞;1) ∪ (1; ∞ ) Posuneme y =

7 o 1 nahoru a o 4 doprava. x

6

VY_42_INOVACE_MA_3_04 b. g : y =

1− x x+3

y=

− ( x − 1) x+3

y=

− ( x + 3 − 3 − 1) x+3

y=

− ( x + 3) + 4 x+3

y=−

x+3 4 + x+3 x+3

y = −1 +

4 x+3

D( g ) = (− ∞; − 3) ∪ (− 3; ∞ ) H ( g ) = (− ∞; − 1) ∪ (− 1; ∞ ) Posuneme y = c. h : y =

4 o 1 dolu a o 3 doleva. x

2x + 1 x −3

1  2 x +  2 y=  x−3 1  2 x − 3 + 3 +  2 y=  x−3 7  2 x − 3 +  2 y=  x −3 y=

2( x − 3) 7 + x−3 x−3

y = 2+

7 x−3

7


D(h ) = (− ∞; 3) ∪ (3; ∞ ) H (h ) = (− ∞; 2) ∪ (2; ∞ ) Posuneme y = d. k : y =

7 o 2 nahoru a o 3 doprava. x

3x + 4 2x + 1

4  3 x +  3 y=  1  2 x +  2  1 1 4  3 x + − +  2 2 3 y=  1  2 x +  2  1 5  3 x + +  2 6 y=  1  2 x +  2  1 5  3 x +  + 2 2 y=  1  2 x +  2 

3 y= + 2

5 4 x+

1 2

1  1   D(k ) =  − ∞; −  ∪  − ; ∞  2  2   3 3   H (k ) =  − ∞;  ∪  ; ∞  2 2   5 3 1 nahoru a o doleva. Posuneme y = 4 o x 2 2

8

VY_42_INOVACE_MA_3_04 e. l : y =

2x + 1 3x − 6

1  2 x +  2 y=  3(x − 2 ) 1  2 x − 2 + 2 +  2 y=  3( x − 2 ) 5  2 x − 2 +  2 y=  3(x − 2 ) y=

2 (x − 2) + 5 3( x − 2 )

y=

2 (x − 2) 5 + 3( x − 2 ) 3( x − 2 )

5 2 y= + 3 3 x−2

D(l ) = (− ∞; 2) ∪ (2; ∞ ) 2 2   H (l ) =  − ∞;  ∪  ; ∞  3 3   5 2 Posuneme y = 3 o nahoru a o 2 doprava. x 3

9



10



Lineární lomená funkce


Únor 2013

c=0

Lineární lomená funkce •je funkce daná předpisem

cx + d ≠ 0

cx ≠ −d d x≠− c

ax + b y= cx + d c≠0

f :y=

f :y= a, b, c, d ∈ ℜ

y=

3x − 1 2 D( f ) = (− ∞;∞ ) 3 1 x− 2 2

ax + b cx + d

ad − bc = 0 g:y=

D(g ) = (− ∞; 2 ) ∪ (2; ∞ )

g:y=

3x − 6 −x+2

− 3 (− x + 2 ) −x+2 g : y = −3

ad − bc ≠ 0

•jinak by se jednalo •jinak by o lineární se jednalo funkci o část konstantní funkce

d  d   D( f ) =  − ∞; −  ∪  − ; ∞  c  c  

1

ax + b y= cx + d

Načrtněte graf funkce Úprava předpisu funkce: •rozložíme na dva zlomky

Grafem lineární lomené funkce je •zkrátíme

ROVNOOSÁ HYPERBOLA •k sestrojení grafu využijeme graf funkce nepřímá úměrnost

f :y=

y = 2−

y=

2x − 5 x D( f ) = (− ∞; 0) ∪ (0; ∞ )

2x 5 − x x

H ( f ) = (− ∞; 2) ∪ (2; ∞ )

5 x

•můžeme přehodit činitele v rozdílu

y=−

5 +2 x

•nejprve však budeme muset upravit předpis dané lineární lomené funkce •posuneme graf nepřímé úměry o 2 nahoru •nezapomene posunout také asymptotu

•do grafu dokreslíme graf nepřímé úměry

5 y=− x

Načrtněte graf funkce

f :y=

Úprava předpisu funkce:

D( f ) = (− ∞; − 3) ∪ (− 3; ∞ )

•využijeme k tomu body

[− 5;1] [− 1; 5] [1; − 5] [5; − 1]

1. v čitateli potřebujeme stejný výraz jako ve jmenovateli, abychom mohli krátit

•posuneme graf o 2 nahoru

y=

•pomocné body se posunou do bodů:

[− 5; 3] [− 1; 7] [1; − 3] [5;1] •načrtneme graf

2x − 5 f :y= x

− 4( x + 3 − 3) x+3

− 4( x + 3) + 12 y= x+3 2. rozložíme na dva zlomky

y=

− 4(x + 3) 12 + x+3 x+3

− 4x x+3

3. zkrátíme

y = −4 +

12 x+3

4. můžeme přehodit činitele v rozdílu

y=

12 −4 x+3

5. posuneme graf nepřímé úměry o 4 dolu a o 3 doleva

H ( f ) = (− ∞; − 4) ∪ (− 4; ∞ )

2

•do grafu dokreslíme graf nepřímé úměry

y=

12 x

Prameny a literatura

•využijeme k tomu body

[− 12; − 1] [− 1; − 12] [1;12] [12;1]

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7

•posuneme graf o 4 dolu a o 3 doleva •pomocné body se posunou do bodů:

[− 15; − 5] [− 4; − 16] [− 2; 8] [9; − 3] •načrtneme graf

f :y=


− 4x x+3

3





1

VY_42_INOVACE_MA_3_06 Lineární lomená funkce – Test Skupina A 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: 5 f1 : y = x +1 5 f2 : y = − +1 x

2


2. Napište předpis pro funkci znázorněné níže a do téže soustavy souřadnic zakreslete 3x + 9 graf funkce g : y = , napište jejich definiční obory a obory hodnot. x+4

3


Lineární lomená funkce – Test Skupina B 1. Přiřaďte k sobě předpisy funkcí a grafy: 5 f1 : y = − x −1 5 f2 : y = −1 x

4


2. Napište předpis pro funkci znázorněné níže a do téže soustavy souřadnic zakreslete 4x − 8 graf funkce g : y = , napište jejich definiční obory a obory hodnot. x−3

5



6

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_3_07 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013

Lineární lomená funkce s absolutní hodnotou

V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Únor 2013

Načrtněte graf funkce •budeme vycházet z grafu funkce

f :y=

•upravíme předpis funkce f

y=

x + 2 − 2 −1 x+2

y=

x+2 3 − x+2 x+2

y=−

3 +1 x+2

•všechny záporné funkční hodnoty se díky absolutní hodnotě stanou kladnými •část grafu, která byla pod osou x nakreslíme souměrně nad osu x

H ( f 1 ) = 0; ∞ )

x −1 x+2

f1 : y =

x −1 x+2

D( f 1 ) = (− ∞; − 2) ∪ (− 2; ∞ )

Načrtněte graf funkce •budeme vycházet z grafu funkce

f :y=

•úpravu předpisu funkce f i její graf známe z předchozího příkladu

y=−

x −1 x+2

f2 : y =

x −1 x +2

D ( f 2 ) = (− ∞; ∞ )

3 +1 x+2

•díky absolutní hodnotě budeme pro záporná x dostávat stejné funkční hodnoty jako pro kladná •např. pro x=-1 dostaneme stejnou funkční hodnotu jako pro x=1 •část grafu, která byla vlevo od osy y smažeme a nakreslíme sem souměrně s osou y část grafu, která je vpravo od osy y

1 H ( f 2 ) = − ;1) 2

1

5.2.2014

Načrtněte graf funkce

f3 : y =

•odstraníme ze jmenovatele absolutní hodnotu

D( f 3 ) = (− ∞; − 2) ∪ (− 2; ∞ )

•najdeme nulový bod

x+2=0

x ∈ (− 2; ∞ )

x ∈ (− ∞; − 2 ) x −1 −x−2

y=

x −1 − (x + 2)

y=

x + 2 − 2 −1 − (x + 2)

y=

3 x+2 − − (x + 2) − (x + 2 ) y=

3 −1 x+2

x −1 x+2 x + 2 − 2 −1 y= x+2 x+2 3 y= − x+2 x+2 y=

y=−

Načrtněte graf funkce •nyní nakreslíme druhou funkci

x ∈ (− 2; ∞ )

Načrtněte graf funkce •z předchozích výpočtů víme, že budeme kreslit dvě funkce, každou na jiném intervalu

x ∈ (− ∞; − 2)

x = −2 y=

x −1 x+2

y=−

3 +1 x+2

•tato funkce má ale platit pouze pro

x ∈ (− 2; ∞ )

x ∈ (− 2; ∞ )

y=

3 −1 x+2

y=−

3 +1 x+2

f3 : y =

x −1 x+2

D( f 3 ) = (− ∞; − 2 ) ∪ (2; ∞ )

•tato funkce má ale platit pouze pro

x ∈ (− ∞; − 2 )

3 +1 x+2

f3 : y =

x −1 x+2

D( f 3 ) = (− ∞; − 2 ) ∪ (− 2; ∞ )

Načrtněte graf funkce •výsledný graf má tedy následující podobu

f3 : y =

x −1 x+2

D( f 3 ) = (− ∞; − 2 ) ∪ (− 2; ∞ )

H ( f 3 ) = (− ∞;1)

2

5.2.2014

Načrtněte graf funkce •zkuste samostatně výsledek:

f4 : y =

x −1 x+2


D( f 4 ) = (− ∞; − 2 ) ∪ (− 2; ∞ ) Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Funkce. Praha: Prometheus, 2000, ISBN 80-7196-164-7

H ( f 4 ) = (− ∞; − 1) ∪ 0; ∞ )


3



Užití integrálního počtu - obsah rovinného útvaru


Únor 2013

Vypočítejte obsah plochy ohraničené přímkami:

y = 2x + 2 x=2 x=4

y=0

•plochu můžeme rozdělit na dvě části

•musíme určit průsečíky přímek

•pravoúhlý trojúhelník a obdélník

y = 2x + 2 x=2

•obsah obdélníku je •pro nás tedy

S1 = a ⋅ b

S1 = 2 ⋅ 6 = 12 j 2

•obsah pravoúhlého trojúhelníku vypočítáme jako

S2 = •pro nás tedy

S2 =

y = 2x + 2 x=4

y=6

y = 10

P1 [2; 6]

P2 [4;10]

a ⋅b 2

2⋅4 = 4 j2 2

•obsah celé plochy je

S = S1 + S 2 = 12 + 4 = 16 j 2

1

Jiný způsob řešení •obsah plochy pod křivkou vypočítáme jako určitý integrál

S = ∫ f (x )dx b

a

S = ∫ (2 x + 2) dx = 4

2

[

= x + 2x 2

]

4 2

=

= 16 + 8 − (4 + 4 ) =

Vypočítejte obsah plochy ohraničené křivkami:

y = cos x x=0

x = 2π y=0

= 16 j 2

•plochu můžeme rozdělit na čtyři části •všechny čtyři části mají stejný obsah

π

S = 4 ⋅ ∫ 2 cos x dx = 0

π

= 4 ⋅ [sin x ] 02 =  π  = 4 ⋅  sin − sin 0  = 2  


y = x2 − 4

x = −2

x=2 y=0

= 4 ⋅ (1 − 0 ) = 4 j 2

2

•funkce nabývá v daném intervalu nekladných hodnot •pro příslušný integrál platí

∫ (x −2

2

−2

•obsah plochy tedy spočítáme jako

S = −∫

2 −2

(x

2

)

− 4 dx ≤ 0

)

∫ (x −2

S=

−2

2

)

− 4 dx = − ∫

− 4 dx =

2 −2

(x

2

)

− 4 dx


y = x2 − 4

x = −3

2

1  = − x 3 − 4 x = 3  −2

x=2

8  8  = − − 8 −  − + 8   = 3 3   

y=0

8 8   16  = − + − 8 − 8  = − − 16  = 3 3   3   32  32 2 = − −  = j  3 3

•plochu rozdělíme na dvě části

S=∫

(x

−2 −3

2

)

(

)

2 − 4 dx +  − ∫ x 2 − 4 dx  =  −2 

−2 2  1 1    =  x 3 − 4 x  +  −  x 3 − 4 x  = 3  −3   3  −2 

Prameny a literatura RNDr. Hrubý, Dag, RNDr. Kubát, Josef.

Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4

•použijeme výsledek předchozího příkladu

 8  27   32 =  − + 8 −  − + 12   + = 3 3   3 


 8 27  32 = − + + 8 − 12  + =  3 3  3

=

19 32 −4+ = 13 j 2 3 3

3





1

VY_42_INOVACE_MA_3_09 Užití integrálního počtu – obsah rovinného útvaru – Pracovní list – zadání, záznamový arch Vypočítejte obsah plochy ohraničené křivkami: 1.

y = − x 2 + 5x , y = 0

2. y = − sin x − 3 , y = 0 , x = 0 , x = π

2

VY_42_INOVACE_MA_3_09 3. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

4.

y = x 2 − 6x , y = x

3


Užití integrálního počtu – obsah rovinného útvaru – Pracovní list – nápověda 1. y = − x 2 + 5 x , y = 0

3. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

2. y = − sin x − 3 , y = 0 , x = 0 , x = π

4. y = x 2 − 6 x , y = x

4


Užití integrálního počtu – obsah rovinného útvaru – Pracovní list – řešení 1. y = − x 2 + 5 x , y = 0

(

5

)

S = ∫ − x 2 + 5 x dx = 0

5

5   1 = − x 3 + x 2  = 2 0  3 =−

125 125 125 2 + = j 3 2 6

2. y = − sin x − 3 , y = 0 , x = 0 , x = π

π

S = − ∫ (− sin x − 3) dx = 0

π

= ∫ (sin x + 3) dx = 0

= [− cos x + 3 x ] 0 = π

= 1 + 3π + 1 = 2 + 3π j 2

5

VY_42_INOVACE_MA_3_09 3. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

4. y = x 2 − 6 x , y = x

(

2

4

0

2

S = ∫ x 2 dx + ∫ 16 x − 2 dx = 2

[

1  =  x 3  + − 16 x −1 3  0 8 20 2 −4+8 = j 3 3

)

(

)

7 6 7 S = ∫ x dx +  − ∫ x 2 − 6 x dx  − ∫ x 2 − 6 x dx = 0  0  6

]

4 2

=

7

6

7

 1  1  1  =  x 2  −  x 3 − 3x 2  −  x 3 − 3 x 2  =  2  0 3 0 3 6 7

=

49  1 3  −  x − 3x 2  = 2 3 0

=

49  343  343 2 − − 147  = j 2  3 6 

6

VY_42_INOVACE_MA_3_09 Prameny a literatura RNDr. Hrubý, Dag, RNDr.Kubát, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4


7

6.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_3_10 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Užití integrálního počtu - objem rotačního tělesa


Březen 2013

Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danými přímkami kolem osy x:

Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danými přímkami kolem osy x:

y=x

y=x

x=0 x=9 y=0

x=0 x=9 y=0

1

6.2.2014

•přímky ohraničují rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník

Jiný způsob řešení

•jeho rotací kolem jedné odvěsny vznikne kužel •výška kuželu je

9j

•poloměr podstavy je

•objem tělesa vypočítáme pomocí určitého integrálu

9j

b

V =π ⋅∫ f

•objem kuželu vypočítáme jako

1 V = π r2 v 3 •pro nás tedy

V =

2

a

(x ) dx

9

V = π ⋅ ∫ x 2 dx = 0

1 ⋅ π ⋅ 9 2 ⋅ 9 = 243π j 3 3

r

•což je přibližně

v

9

1  = π ⋅  x3  = 3  0 1  = π ⋅  ⋅ 93  = 3 

763 j 3

= 243π j 3


Vzorce pro zapamatování: objem tělesa, které vznikne rotací

RNDr. Hrubý, Dag, RNDr. Kubát, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4

•kolem osy x

b

V =π ⋅∫ f a

2

(x ) dx


•kolem osy y

b

V =π ⋅∫ f a

2

( y ) dy

2



VY_42_INOVACE_MA_3_11 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_11 Užití integrálního počtu – objem rotačního tělesa – Pracovní list – zadání, záznamový arch Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danými křivkami kolem osy x: 1. y = − x 2 + 5 x , y = 0

2. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

2

VY_42_INOVACE_MA_3_11 Užití integrálního počtu – objem rotačního tělesa Pracovní list – nápověda 1. y = − x 2 + 5 x , y = 0

2. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

3

VY_42_INOVACE_MA_3_11 Užití integrálního počtu – objem rotačního tělesa Pracovní list – řešení 2. y = 16 x −2 , y = x 2 , y = 0 , x = 4

1. y = − x 2 + 5 x , y = 0

(

)

5

V = π ⋅ ∫ − x 2 + 5 x dx = 0

2

4

3

( )

2

V = π ⋅ ∫ x2

π ⋅ ∫ (x − 10 x + 25x )dx 5

0

2

0

2

5

2

(

4

dx + π ⋅ ∫ 16 x − 2

1  = π ⋅  x5  + π 5  0

2

)

2

dx =

4

 256 −3  ⋅ − x  =  3 2

5 25 3  1 = π ⋅  x5 − x4 + x = 2 3  0 5  32 256 256  236 π ⋅ − + π j3 = 3125 3125  625  3 = π ⋅  625 − + π j  5 3 ⋅ 64 3 ⋅ 8  15 = 2 3  6 

4



5


VY_42_INOVACE_MA_3_12 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Posloupnosti


Duben 2013

Nekonečná posloupnost - FUNKCE, jejímž definičním oborem je množina N funkce:

f : y = 2x

x∈R

nekonečná posloupnost:

f : y = 2n

(2 )

n ∞ n =1

n∈ N

(2 )

n ∞ n =1

VZOREC PRO n-TÝ ČLEN

an = 2 n a1 = 21 = 2 a2 = 2 2 = 4

a3 = 2 3 = 8 a 4 = 2 4 = 16 atd.

1

Konečná posloupnost - FUNKCE, jejímž definičním oborem je množina {1; 2; 3;…; n}

(2 )

n 2 n =1

Příklad: Vypište z grafu všechny členy konečné posloupnosti a zapište danou posloupnost pomocí vzorce pro n-tý člen.

a1 = −1 a 2 = −2 a 3 = −3

a 4 = −4 a5 = −5 a 6 = −6

VZOREC PRO n-TÝ ČLEN

an = 2 n n ∈ {1; 2}

a n = −n

a 7 = −7

(− n )7n =1

Příklad: Vypište z grafu všechny členy konečné posloupnosti a zapište danou posloupnost pomocí vzorce pro n-tý člen. Podívejme se, jak vypadá příslušná funkce:

f : y = −x

a1 = 1 a2 = 4

a3 = 9 an = n 2

(n )

2 3 n =1

2


f : y = x2

a1 = 3 a2 = 3

a3 = 3 a4 = 3

a5 = 3 an = 3

(3)5n=1


f :y=3

a1 = −4 a2 = 4

a 3 = −4 a4 = 4

a5 = −4 a6 = 4

a n = (− 1) ⋅ 4 n

((− 1) ⋅ 4) n

6 n =1

3

Podívejme se, jak vypadá příslušná funkce:

Taková funkce neexistuje – nemůžeme mít základ mocniny

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-195-7

u exponenciální funkce menší než nula!!! Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4


VY_42_INOVACE_MA_3_13 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013

Posloupnosti - rekurentní určení



Duben 2013

(a n )∞n=1

recurrere - z latiny- vraceti se, jíti zpět -každý další člen posloupnosti dostaneme pomocí předchozího členu nebo předchozích členů

(an )∞n=1 a1

-2.a1

a1 = 2

-každý další člen dostaneme tak, že ten stávající vynásobíme -2

a n +1 = −2 ⋅ a n a2

-2.a2

a3

-2.a3

-2.an

a4

-4 -2.2

8 -2.(-4)

-16 -2.8

a n +1 = −2 ⋅ a n

a 2 = −2 ⋅ a1 = −2 ⋅ 2 = −4 a3 = −2 ⋅ a 2 = −2 ⋅ (− 4) = 8

-2.an+1

… 2

a1 = 2

… an

an+1

an+2

a 4 = −2 ⋅ a3 = −2 ⋅ 8 = −16 a5 = −2 ⋅ a 4 = −2 ⋅ (− 16) = 32

…

1

Určete k dané posloupnosti vyjádřené rekurentně vzorec pro n-tý člen.

Danou posloupnost již známe rekurentně i vzorcem pro n-tý člen. Ještě nakreslíme graf.

(a )

(a n )∞n=1

∞ n n =1

a1 = 2 a n +1 = −2 ⋅ a n

a1 = 2 a n +1 = −2 ⋅ a n

a n = (− 1)

n +1

⋅ 2n

Vypíšeme si několik členů posloupnosti:

a1 = 2 a 2 = −4 a3 = 8 a 4 = −16 a5 = 32

a n = (− 1)

21 = 2 22 23 24 25

=4 =8 = 16 = 32

a n = (− 1)

n +1

n +1

? ⋅…

⋅ 2n

Snažíme se najít souvislost mezi n-tým členem a n. Střídá se nám + a - . Ve vzorci musí být mocnina čísla -1.

•Čtvercová čísla představují počet kamínků, které potřebujeme k vytvoření čtverce. •napište rekurentní určení a vzorec pro n-tý člen

Zvláštní posloupnosti - čtvercová čísla

c1=1

c2=4

c1 = 1

c n+1 = c n + (2 ⋅ n − 1)

cn = n 2

c3=9

c4=16

2

•Trojúhelníková čísla představují počet kamínků, které potřebujeme k vytvoření rovnostranného trojúhelníku. •napište rekurentní určení a vzorec pro n-tý člen

Zvláštní posloupnosti - trojúhelníková čísla

t1=1

t2=3

t1 = 1 t n +1 = t n + n + 1

tn =

n ⋅ (n + 1) 2

t3=6

t4=10

•Záclonová čísla představují počet „žabek“, které potřebujeme k pověšení záclony tak, že první dvě dáme na konce záclony a další vždy doprostřed. •napište rekurentní určení a vzorec pro n-tý člen

Zvláštní posloupnosti - záclonová čísla

KVAK, TAK, KVAK! TAK!

z1 = 2 z n +1 = 2 ⋅ z n − 1

z n = 2 n −1 + 1

3



4


VY_42_INOVACE_MA_3_14 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Vlastnosti posloupností


Duben 2013

Klesající posloupnost Posloupnost (a

)

∞ n n =1

se nazývá

klesající, právě když pro všechna r , s ∈ N platí : je - li r < s, pak a r > a s .

Klesající posloupnost Posloupnost (a n )n =1 se nazývá ∞

klesající, právě když pro všechna n ∈ N platí : a n +1 < a n S rostoucím n, klesá a n .

a n +1 − a n < 0

1

a n +1 − a n = −2 ⋅ (n + 1) + 10 − (− 2n + 10) =

a n = −2n + 10 a n +1 = −2 ⋅ (n + 1) + 10

= −2n − 2 + 10 + 2n − 10 =

= −2 < 0

a n +1 − a n < 0

Rostoucí posloupnost Posloupnost (a n )n =1 se nazývá ∞

rosotucí, právě když pro všechna r , s ∈ N platí : je - li r < s, pak a r < a s .

posloupnost je klesající

a n +1 − a n = n + 1 − 8 − (n − 8) =

Rostoucí posloupnost Posloupnost (a n )n =1 se nazývá ∞

an = n − 8 a n +1 = n + 1 − 8

= n−7−n+8 =

=1 > 0

rostoucí, právě když pro všechna n ∈ N platí : a n +1 > a n

a n +1 − a n > 0

S rostoucím n, roste a n . posloupnost je rostoucí

a n +1 − a n > 0

2



3



Aritmetmetická posloupnost



Duben 2013

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost

Posloupnost (a n )n =1 se nazývá

- jak dostaneme libovolný člen pomocí diference a prvního členu?

aritmetick á, právě když existuje takové d ∈ R,

V aritmetické posloupnosti (a

∞

že pro každé n ∈ N platí : a n +1 = a n + d .

a 2 = a1 + d a3 = a1 + 2 ⋅ d

)

∞ n n =1

a 4 = a1 + 3 ⋅ d

s diferencí d ∈ R pro každé n ∈ N platí :

- každý další člen dostaneme tak, že ke stávajícímu členu přičteme d

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d .

a5 = a1 + 4 ⋅ d

- d se nazývá diference aritmetické posloupnosti +d

+d

+d

+d

+d

+d

… a1

a2

a3

a4

+d

+d

+d

+d

… an

an+1

an+2

… a1

a2

a3 +2d

a4 +3 d

a5 + 4d

… an

an+1

+ (n-1).d + n.d

1

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti

Aritmetická posloupnost - jak dostaneme libovolný člen pomocí diference a jiného členu?

V aritmetické posloupnosti (a

a5 = a 2 + 3 ⋅ d

)

a4 = a2 + 2 ⋅ d

∞ n n =1

s diferencí d ∈ R pro každé r , s ∈ N platí : as = a r + (s − r ) ⋅ d . +d

+d

+d

+d

- pozorně se posaďte, utište se a poslouchejte…

a7 = a 4 + 3 ⋅ d

… povíme si pohádku

a6 = a 2 + 4 ⋅ d

+d

… a možná je to pravda

+d …

a1

a2

a3

a4 + 2d

a5 + 3d

a6 + 4d

a7 + 3d

Obrázek byl stažen z: http://www.rare-earth-magnets.com/t-johann-carl-friedrich-gauss.aspx

O malém Gaussovi Kdysi dávno (přesněji mezi lety 1777 a 1855) žil Karl Friedrich Gauss. Podívejme se do doby, kdy mimochodem byl tento velikán jeden ještě z největších malý, asi tak fyziků v první a matematiků třídě.

Napsal všechna čísla od 1 do 100 vedle sebe. Pod ně napsal čísla od 100 do 1. A sečetl čísla ve sloupečcích.

Gaussův učitel Büttner chtěl mít od dětí chvíli pokoj… …a tak zadal malým počtářům následující úkol: to už se tak učitelům někdy stává☺ Sečíst všechna čísla od 1 do 100.

1

2

A všichni žáčci počítali a počítali a počítali… … a počítali a počítali…

+

+

+

+…

+

+

+

+

Všichni, kromě Gausse.

100 99

98

97 …

4

3

2

1

Když se ho učitel zeptal, proč nepočítá, odvětil, že…

3

4 …

97 98 99 100

s100 =

100 ⋅ (1 + 100 ) 2

101 101 101 101 … 101 101 101 101

„Výsledek je 5050.“ Místo sčítání čísel od 1 do 100 jednoho po druhém, tedy stačilo, aby „Jak na to mohl tak rychle přijít?“

sečetl 100x číslo 101 a výsledek vydělil 2.

čerpáno z knihy:

čerpáno z knihy:

ŠTOLL, Ivan. Historky o slavných fyzicích a matematicích. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 62 s. ISBN 80-719-6309-7.

ŠTOLL, Ivan. Historky o slavných fyzicích a matematicích. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 62 s. ISBN 80-719-6309-7.

2

Součet prvních n členů aritmetické posloupnosti


- z předchozího odvodíme obecný vzorec…

sn =

n ⋅ (a1 + a n ) 2

ŠTOLL, Ivan. Historky o slavných fyzicích a matematicích. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 62 s. ISBN 80-719-6309-7. AUTOR NEUVEDEN. Johann Carl Friedrich Gauss [online]. [cit. 2.4.2013]. Dostupný na WWW: http://www.rare-earth-magnets.com/t-johann-carl-friedrich-gauss.aspx

kolik členů sčítáme první člen součtu (posloupnosti)

Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-195-7

poslední člen součtu Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

3



Geometrická posloupnost



Duben 2013



Posloupnost (a n )n =1 se nazývá

- jak dostaneme libovolný člen pomocí kvocientu a prvního členu?

geometrická, právě když existuje takové q ∈ R,

a 2 = a1 ⋅ q

V geometrické posloupnosti (a

a3 = a1 ⋅ q 2

∞

že pro každé n ∈ N platí : a n +1 = a n ⋅ q. - každý další člen dostaneme tak, že stávající člen vynásobíme q

)

∞ n n =1

s kvocientem q ≠ 0 pro každé n ∈ N platí :

a 4 = a1 ⋅ q 3

a n = a1 ⋅ q n −1 .

a5 = a1 ⋅ q 4

- q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti .q

.q

.q

.q

.q

.q

… a1

a2

a3

a4

.q

.q

.q

.q

… an

an+1

an+2

… a1

a2

a3 .q2

a4 .q3

a5 .q4

… an

.qn-1

an+1 .qn

1

Geometrická posloupnost - jak dostaneme libovolný člen pomocí kvocientu a jiného členu?

a5 = a 2 ⋅ q 3

V geometrické posloupnos ti (a n )n =1

a4 = a2 ⋅ q 2

s kvocientem q ≠ 0 pro každé r , s ∈ N platí :

a7 = a 4 ⋅ q 3

as = a r ⋅ q s −r .

a6 = a 2 ⋅ q 4

∞

.q

.q

.q

.q

.q

a2

a3

a4

a5 .q3

.q2

a6 .q4

s n = a1 ⋅

s n = n ⋅ a1

a7

q −1 q −1 n


.q3

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti

pro q ≠ 1

pro q = 1

.q …

a1

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti




kvocient

2



VY_42_INOVACE_MA_3_17 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_17 Posloupnosti a jejich vlastnosti – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Následující graf znázorňuje část konečné posloupnosti (a n )n=1 . 15

a. Vypište prvních pět členů posloupnosti. b. Napište vzorec pro n-tý člen posloupnosti. c. Napište rekurentní vyjádření posloupnosti. d. Určete, zda je posloupnost aritmetická nebo geometrická. Své tvrzení zdůvodněte. e. Určete poslední člen posloupnosti. f. Určete součet všech členů posloupnosti. g. Určete, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající. Své tvrzení zdůvodněte.

2

VY_42_INOVACE_MA_3_17 2. Následující graf znázorňuje část konečné posloupnosti (bn )n =1 . 20

a. Vypište první tři členy posloupnosti. b. Napište vzorec pro n-tý člen posloupnosti. c. Napište rekurentní vyjádření posloupnosti. d. Určete, zda je posloupnost aritmetická nebo geometrická. Své tvrzení zdůvodněte. e. Určete poslední člen posloupnosti. f. Určete součet všech členů posloupnosti. g. Určete, zda je posloupnost rostoucí nebo klesající. Své tvrzení zdůvodněte.

3

VY_42_INOVACE_MA_3_17 Posloupnosti a jejich vlastnosti – Pracovní list – řešení 1. a. Prvních pět členů: a1 = 0 a 2 = −1 a 3 = −2 a 4 = −3 a 5 = −4 b. Vzorec pro n-tý člen: a n = − (n − 1) = − n + 1 c. Rekurentní určení: a1 = 0 a n+1 = a n − 1 d. Posloupnost je aritmetická, protože a n+1 = a n − 1 , odtud a n+1 − a n = −1 . Rozdíl dvou sousedních členů není závislý na tom, jaké členy odčítáme. Je pořád stejný. Je to diference posloupnosti, d = −1 . a − (n + 1) + 1 −n = Geometrická není, protože n +1 = . Podíl dvou sousedních an − n +1 − n +1 členů je závislý na tom, jaké členy dělíme. e. Posloupnost má 15 členů, a15 = −15 + 1 = −14 . f. Součet všech členů posloupnosti: 15 15 s15 = ⋅ (0 + (− 14 )) = ⋅ (− 14 ) = 15 ⋅ (− 7 ) = −105 2 2

g. Posloupnost je klesající. Každá aritmetická posloupnost se zápornou diferencí je klesající.

4

VY_42_INOVACE_MA_3_17 2. 3 2 9 b2 = 4 27 b3 = 8

a. První tři členy: b1 =

3 b. Vzorec pro n-tý člen: bn =   2

n

c. Rekurentní určení: b1 = 0 bn +1 = bn ⋅

3 2

b 3 3 , odtud n +1 = . Podíl dvou 2 bn 2 sousedních členů není závislý na tom, jaké členy dělíme. Je pořád stejný. Je to 3 kvocient posloupnosti, q = . 2

d. Posloupnost je geometrická, protože, bn +1 = bn ⋅

3 Aritmetická není, protože bn +1 − bn =   2 n

n +1

n

3 3 3 −  = ⋅  2 2 2

n +1

n

3 −  = 2

n

3 3  3 1 =   ⋅  − 1 =   ⋅ . Rozdíl dvou sousedních členů je závislý na tom, 2 2  2 2 jaké členy odčítáme. 20

3 e. Posloupnost má 20 členů, b20 =   . 2 f. Součet všech členů posloupnosti: 20 20 20 3 3 3   −1   −1   −1   3  20  3 2 3 2 3 2 3 s 20 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ 2 ⋅    − 1 =  2   3 1 1 2 2 2 2   −1 2 2 2   3  20   (3 − 2 )20   3 20   3 20 − 2 20   120      20  = = 3 ⋅    − 1 = 3 ⋅  20 − 1 = 3 ⋅  = 3 ⋅ = 3 ⋅ 20   2 20   2   2 2     2     

1 = 3⋅  2

20

g. Posloupnost je rostoucí. Každá geometrická posloupnost s kladným prvním členem a kladným kvocietem je rostoucí.

5

VY_42_INOVACE_MA_3_17 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-195-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

6


VY_42_INOVACE_MA_3_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Limita posloupnosti


Květen 2013

Posloupnost (a n )n =1 má limitu a. ∞

Posloupnost (a n )∞n=1 se nazývá konvergentní, právě když

∃ a ∈ R ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n ∈ N n ≥ n0 a n − a < ε Číslo a se nazývá limita posloupnosti.

„Od jistého n0 počínaje se mi an vejde do malinkatého okolí bodu a.“ - máme zvolené ε

>0

- umíme k němu najít

n0 ∈ N

tak, že od tohoto n0 počínaje, vzdálenost každého an od a - je vezmeme menší ε menší než zvolené ε -to - vezmeme znamená,ještě že všechna menší εtato an patří do vnitřku pásu ohraničeného a+ε,- vezmeme a-ε ještě menší ε

- a ještě menší ε

lim a n = a n →∞

Čteme: limita an pro n jdoucí do nekonečna je rovna a.

Posloupnost, která není konvergentní, se nazývá divergentní.

1

Posloupnost (a n )n=1 , a n =

n je konvergentní, její limita a = 1. n +1 1 1 1 Obrázek Volte postupně ε = 1; ; ; 2 50 10000 a udejte vždy od jakého n0 ∈ N platí a n − 1 < ε . ∞

1 n n − (n + 1) n − n −1 −1 −1 = = = = a n −1 = n +1 n +1 n +1 n +1 n +1

ε =1

ε=

1 <1 n +1

n0 ∈ N

1 2

ε=

ε= 1 1 < n +1 2

n0 = 2

1 50

1 1 < n + 1 50

1 10000 1 1 < n + 1 10000

-vzpomeňte si nejdříve, jak vypadá graf funkce

y=

x x +1

-nyní tento graf změníme na graf posloupnosti

an =

n n +1

n0 = 50

n0 = 10000



2


VY_42_INOVACE_MA_3_19 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Zápis pomocí ∑


Květen 2013

6

Suma a n pro n od jedné do nekonečna.

1. Zapište pomocí součtu následující sumu:

∞

∑ (3n + 2) n =1

∑ a n = a1 + a2 + a3 + …

6

∑ (3n + 2) =

n =1

-budeme za n postupně dosazovat čísla od 1 do 6 a jednotlivé výrazy sčítat

n =1

= (3 ⋅ 1 + 2 ) + (3 ⋅ 2 + 2 ) + (3 ⋅ 3 + 2 ) + (3 ⋅ 4 + 2 ) + (3 ⋅ 5 + 2 ) + (3 ⋅ 6 + 2 ) =

Suma a n pro n od jedné do pěti.

= (3 + 2 ) + (6 + 2 ) + (9 + 2 ) + (12 + 2 ) + (15 + 2 ) + (18 + 2 ) =

5

∑a n =1

n

= a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a5

= 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 = = 75 Příklady

1

13

2. Zapište pomocí součtu následující sumu:

∑n n =5

13

∑n =

počet členů

-budeme za n postupně dosazovat čísla od 5 do 13 a jednotlivé výrazy sčítat

n =5

= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = -jedná se o součet prvních devíti členů aritmetické posloupnosti, kde první člen a1=5 a diference d=1

=

n s n = ⋅ (a1 + a n ) 2 poslední člen

první člen

9 9 ⋅ (5 + 13) = ⋅18 = 9 ⋅ 9 = 2 2

= 81 Další příklad

3. Zapište součet pomocí sumy:

5 + 7 + 9 + 11 + … + 21

-sčítáme lichá čísla od 5 do 21 -libovolné liché číslo můžeme napsat jako:

2 ⋅ n +1

1 1 1 1 1 + + + +…+ 3 9 27 81 6561

-čísla ve jmenovateli zlomku jsou mocniny 3

n ∈ N0

-lichá čísla od 5 do 21 získáme, když pro n bude platit:

n ∈ {2; 3; 4;…;10} Součet pomocí sumy tedy zapíšeme jako: 10

4. Zapište součet pomocí sumy:

∑ (2n + 1)

31 , 3 2 , 33 , 3 4 ,…, 38 Součet pomocí sumy tedy zapíšeme jako:

1   ∑ n =1  3  8

n

n=2

2

Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-195-7 RNDr. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika, příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. Praha: Prometheus, 2006, ISBN 80-7196-099-3.


3


VY_42_INOVACE_MA_3_20 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Nekonečná geometrická řada


Červen 2013

- máme dánu posloupnost

(a n )∞n =1

- vytvoříme novou posloupnost

n

členů posloupnosti

(a )

∞ n n =1

(s n )∞n=1 , kde

Co to znamená, že je posloupnost součtů konvergentní?

sn

je součet prvních

s1 = a1 s 2 = a1 + a 2 s3 = a1 + a 2 + a 3 s 4 = a1 + a 2 + a 3 + a 4 ⋮ s n = a1 + a 2 + a3 + a 4 + ⋯ + a n ⋮

- posloupnost má vlastní limitu

lim s n = s

n →∞

reálné číslo

Říkáme, že určujeme součet nekonečné řady.

NEKONEČNÁ ŘADA ∞

a1 + a 2 + a 3 + … + a n + … = ∑ a n n =1

A budeme se ptát, zda je posloupnost součtů konvergentní.

1

- pokud je posloupnost součtů konvergentní, říkáme, že nekonečná řada je konvergentní

- pokud je daná posloupnost (a n )∞n =1 geometrická s kvocientem q

- limita posloupnosti se nazývá součet nekonečné řady

∞

-nekonečná řada

lim s n = s

n →∞ ∞

∑a n =1

n

∑a n =1

n

se nazývá

nekonečná geometrická řada

=s

s kvocientem q

- pokud je posloupnost součtů divergentní, říkáme, že nekonečná řada je divergentní

∞

Nekonečná geometrická řada

∑a n =1

n

, kde a1 ≠ 0, je konvergentní,

právě když pro její kvocient q platí q < 1 .

Pro součet s konvergentní nekonečné geometrické řady platí:

s=

a1 1− q

Příklad: Napište ve tvaru zlomku číslo

0,123 .

0,123 = 0,12323232323… = = 0,1 + 0,023 + 0,00023 + 0,0000023 + … = = 1 ⋅ 10 −1 + 23 ⋅ 10 −3 + 23 ⋅ 10 −5 + 23 ⋅ 10 −7 + … a1 ∞

∑a n =1

n

=

∞

∑ 23 ⋅ 10 ( n =1

0,123 =

− 2 n +1)

a2 =

a3

23 ⋅ 10 −3 0,023 23 = = 1 − 10 −2 0,99 990

1 23 99 + 23 122 61 + = = = 10 990 990 990 495

a n = 23 ⋅ 10 −(2 n +1) q = 10 −2 a1 ≠ 0

q <1

s=

a1 1− q

Výsledek můžete zkontrolovat na kalkulačce.☺

2



3



VY_42_INOVACE_MA_3_21 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_21 Nekonečná geometrická řada – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Vypočítejte délku „nekonečné“ lomené čáry na obrázku.

2. Vypočítejte délku „nekonečné“ spirály na obrázku. Největší polokružnice má poloměr 10 m .

2


Nekonečná geometrická řada Pracovní list – řešení 1. Lomenou čáru rozdělíme na dvě části, vypočítáme délku každé z nich a tyto délky pak sečteme. Nejdříve vypočítáme délku „šikmých“ úseček:

A1 A2 = 2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 A3 A4 = 12 + 12 = 2 2

2

1 2 1 1 A5 A6 =   +   = = 2 2 2 2 ⋮ Každá další úsečka je poloviční. Délky úseček tedy tvoří geometrickou posloupnost, kde první člen a1 = 2 2 1 a kvocient q = . 2 Součet příslušné geometrické řady označíme s1 .

s1 =

a1 2 2 2 2 = = =4 2 1 1 1− q 1− 2 2

Nyní vypočítáme délku „rovných“ úseček:

A2 A3 = 2 A4 A5 = 1 A6 A7 =

1 2

⋮ Každá další úsečka je poloviční. Délky úseček tedy tvoří geometrickou posloupnost, kde první člen a1 = 2 1 a kvocient q = . 2 Součet příslušné geometrické řady označíme s 2 . a 2 2 s1 = 1 = = =4 1 1 1− q 1− 2 2 Celková délka je tedy s = s1 + s 2 = 4 2 + 4 .

3


2. První polokružnice má délku l1 = π ⋅ r1 = 10π m , druhá polokružnice má délku l 2 = π ⋅ r2 = 5π m , třetí polokružnice má délku l 3 = π ⋅ r3 = 2,5π m … Každá další polokružnice má poloviční délku, délky polokružnic tvoří geometrickou 1 posloupnost, kde první člen a1 = 10π a kvocient q = . Součet příslušné geometrické řady 2 a 10π 10π je s = 1 = = = 20π m . 1 1 1− q 1− 2 2

4

VY_42_INOVACE_MA_3_21 Prameny a literatura Doc. RNDr. Odvárko, DrSc., Oldřich. Matematika pro gymnázia Posloupnosti a řady. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-195-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

5


VY_42_INOVACE_MA_3_22 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013

Rovnost funkcí



Září 2013

- funkce

f

a

g

se rovnají, právě když:

1. D( f ) = D(g ) 2. pro každé x ∈ D ( f ) platí f (x ) = g ( x )

Příklad: Zjistěte, zda se rovnají funkce

f :y=

x2 − 4 x+2

a

D( f ) = (− ∞; − 2) ∪ (− 2; ∞ ) f (x ) =

Zapisujeme jako

g: y = x−2 D(g ) = R

x 2 − 4 (x + 2 ) ⋅ (x − 2 ) = = x − 2 = g (x ) x+2 x+2

f ≠g

f =g

1

Příklad: Zjistěte, zda se rovnají funkce 2

x f :y= 2 x

a

Příklad: Zjistěte, zda se rovnají funkce

g : y =1 D(g ) = R

D( f ) = (− ∞; 0) ∪ (0; ∞ ) f (x ) =

x3 + x 2 + x + 1 f :y= x2 +1

x2 = 1 = g (x ) x2

f ≠g

g : y = x +1

a

D(g ) = R

D( f ) = R f (x ) =

(

)

x 3 + x 2 + x + 1 x 2 ( x + 1) + x + 1 ( x + 1) ⋅ x 2 + 1 = = = x + 1 = g (x ) x2 + 1 x2 + 1 x2 +1

f =g

Prameny a literatura RNDr. Hrubý, Dag, RNDr. Kubát, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4


2



VY_42_INOVACE_MA_3_23 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_23 Signum reálného čísla – Pracovní list – zadání, záznamový arch y = sgn x , D( f ) = R , H ( f ) = {− 1; 0;1} Pro x > 0 je sgn x = 1 , pro x = 0 je sgn x = 0 , pro x < 0 je sgn x = −1 .

Přiřaďte ke grafům funkcí uvedené předpisy: y = ( x + 3)

− sgn x

y = e x⋅sgn x

y = sgn x y = sgn ( x + 3) − 5 y = sgn ( x − 2) y = x sgn x

2


3

VY_42_INOVACE_MA_3_23 Signum reálného čísla Pracovní list – řešení

f 3 : y = ( x + 3)

− sgn x

f 5 : y = e x⋅sgn x

f 2 : y = sgn x f1 : y = sgn ( x + 3) − 5 f 4 : y = sgn ( x − 2) f 6 : y = x sgn x

4



5



VY_42_INOVACE_MA_3_24 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_3_24 Celá část reálného čísla – Pracovní list – zadání, záznamový arch

y = [x] , D( f ) = R , H ( f ) = Z Celá část reálného čísla x je celé číslo n , pro které platí: n ≤ x < n + 1 .

Přiřaďte ke grafům funkcí uvedené předpisy:

y = − [x] y = [x − 1] y = [x ] + 1 y =[ x] y = [x ]

2


3

VY_42_INOVACE_MA_3_24 Celá část reálného čísla Pracovní list – řešení f 5 : y = − [x ]

f1 : y = [x − 1] f 2 : y = [x ] + 1 f4 : y = [ x ] f 3 : y = [x]

4



5


VY_42_INOVACE_MA_3_25 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013

Weierstrassova věta



Září 2013

Je – li funkce

f

spojitá v uzavřeném intervalu

a;b ,

x1 ∈ a; b , že pro všechna x ∈ a; b platí f ( x ) ≤ f ( x1 ), a alespoň jeden takový bod x2 ∈ a; b , existuje alespoň jeden takový bod

že pro všechna

x ∈ a; b

platí

f (x ) ≥ f ( x2 ).

f spojitá v uzavřeném intervalu a;b , f (a ) ≠ f (b ), potom ke každému číslu K ,

Je – li funkce a

které leží mezi čísly

že

f(x2)

x1

f (b ),

Bolzano-Weierstrassova věta

f(b) a c

b

c ∈ (a; b ),

f (c ) = K .

K =f(c)

x2 a

a

existuje alespoň jeden takový bod

f(x1)

Weierstrassova věta

f (a )

b

f(a)

1

f spojitá v uzavřeném intervalu a;b , f (a ) ≠ f (b ), potom ke každému číslu K ,

Je – li funkce a

které leží mezi čísly

f (a )

a

f (b ),

existuje alespoň jeden takový bod že

c ∈ (a; b ),

f (c ) = K .

f spojitá v uzavřeném intervalu a;b , a mají-li čísla f (a ) a f (b ) různá znaménka, tj. f (a ) ⋅ f (b ) < 0, Je – li funkce

potom existuje alespoň jeden takový bod

f (c ) = 0.

že

f(b)

může jich být i víc než jeden

c ∈ (a; b ),

a c

b

Důsledek Bolzano-Weierstrassovy věty

f(a)

f spojitá v uzavřeném intervalu a;b , a mají-li čísla f (a ) a f (b ) různá znaménka, tj. f (a ) ⋅ f (b ) < 0, Je – li funkce

potom existuje alespoň jeden takový bod že

f (c ) = 0.

c ∈ (a; b ),



může jich být i víc než jeden

2


VY_42_INOVACE_MA_3_26 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Limita funkce


Září 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku. 1. příklad

2. příklad

5x 2 + 2 lim 3 = x →1 3 x + 6 x 2 + 5 =

5+ 2 7 1 = = 3 + 6 + 5 14 2

Správně

První příklad správně

Špatně

x2 − 4x + 4 lim = x →2 x2 − 4 (x − 2 ) = lim x − 2 = 0 0 =   = lim  0  x→ 2 ( x − 2) ⋅ ( x + 2 ) x→2 x + 2 2

Správně

Špatně

Po zkontrolování výsledku klikněte na příslušné barevné políčko a budete odkázáni na další příklad.

1

První příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně

2. příklad

3. příklad

x2 − 4x + 4 lim = x →2 x2 − 4

3− x +9 = x →0 x

lim

 3− x + 9 3+ x +9  9 − (x + 9) 0  = lim =   = lim ⋅ = x 3 + x + 9  x →0 x ⋅ 3 + x + 9  0  x →0 

(

(x − 2 ) = lim x − 2 = 0 0 =   = lim  0  x→ 2 ( x − 2) ⋅ ( x + 2 ) x→2 x + 2 2

Správně

)

−x −1 1 = lim = lim =− x→ 0 x ⋅ 3 + 6 x + 9 x→ 0 3 + x + 9

(

Špatně

)

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně

3. příklad

3. příklad

3− x +9 = x →0 x

3− x +9 = x →0 x

lim

lim

 3− x + 9 3+ x +9  9 − (x + 9) 0  = lim =   = lim = ⋅ x 3 + x + 9  x →0 x ⋅ 3 + x + 9  0  x →0 

(

= lim x→ 0

−x −1 1 = lim =− 6 x ⋅ 3 + x + 9 x→ 0 3 + x + 9

(

)

Správně

Špatně

)

 3− x + 9 3+ x +9  9 − (x + 9) 0  = lim =   = lim = ⋅ x 3 + x + 9  x →0 x ⋅ 3 + x + 9  0  x →0 

(

= lim x→ 0

)

−x −1 1 = lim =− 6 x ⋅ 3 + x + 9 x→ 0 3 + x + 9

(

)

Správně

Špatně

2

První příklad špatně, druhý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

3. příklad

4. příklad

3− x +9 = x →0 x

sin 5 x = x →0 x

lim

lim

 3− x + 9 3+ x +9  9 − (x + 9) 0  = lim =   = lim ⋅ = x 3 + x + 9  x →0 x ⋅ 3 + x + 9  0  x →0 

(

)

= lim

−x −1 1 = lim = lim =− x→ 0 x ⋅ 3 + 6 x + 9 x→ 0 3 + x + 9

(

x →0

)

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně.

4. příklad

4. příklad

sin 5 x = x →0 x

sin 5 x = x →0 x

lim = lim x →0

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

lim = lim x →0

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

3

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

4. příklad

4. příklad

sin 5 x = x →0 x

sin 5 x = x →0 x

lim = lim x →0

lim

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

= lim x →0

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně

4. příklad

4. příklad

sin 5 x = x →0 x

sin 5 x = x →0 x

lim = lim x →0

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

lim = lim x →0

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = 5 ⋅ lim =5 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

4

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

4. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

sin 5 x = x →0 x

lim

lim

7x 7 7 7 − 2 − 2 2 0−0 x x = lim 2 = lim x x = =0 x→∞ 6 x x → ∞ 6 6 6+0 6 + + 2 x x2 x2

5 ⋅ sin 5 x sin 5 x = lim = 5 ⋅ lim =5 x →0 x →0 5x 5x

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim

7x 7 7 7 − 2 − 2 2 0−0 x x = lim 2 = lim x x = =0 x→∞ 6 x 6 x →∞ 6 + 6 6+0 + 2 2 2 x x x

Správně

Špatně

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

5

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim

lim


Správně


Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

6

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim

lim


Správně


Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

7

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim

lim


Správně


Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

7x − 7 = x →∞ 6 x 2 + 6

lim


Správně

Špatně

8

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

5. příklad

7x − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6


7 7 x3 7 − 2 7x − 3 2 +∞−0 x x x = lim 2 = lim = = +∞ x→∞ 6 x 6 x →∞ 6 + 6 6+0 + 3 x x2 x2

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 7 7 7x − 3 − 2 2 +∞−0 x x x = lim 2 = lim = = +∞ x→∞ 6 x 6 x →∞ 6 + 6 6+0 + 2 3 2 x x x


Správně

Špatně

Správně

Špatně

9

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

10

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

11

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

12

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

13

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

14

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

15

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6



Správně

Špatně

Správně

Špatně

16

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

vše správně

6. příklad

7 x3 − 7 lim 2 = x →∞ 6 x + 6

1


Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



Derivace funkce


Září 2013

Mějme funkci

f

definovanou v jistém okolí bodu

Existuje-li vlastní limita

f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) , ∆x

lim ∆ x →0

nazýváme ji derivací funkce

x0 .

f

v bodě

x0 .

značíme f ′( x0 )

Geometrická interpretace Danou limitu lze psát také ve tvaru:

lim x → x0

f (x ) − f (x0 ) . x − x0

Tato limita nám však udává směrnici tečny grafu funkce v bodě

T [x0 , y0 ].

f(x0+∆x) f(x0)

∆x x0

x0+∆x

1

Příklad: Na základě definice derivace funkce v2 bodě vypočítejte derivaci funkce f : y = x v bodě

f ′(x0 ) = lim x → x0

= lim x → x0

= lim x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) = x − x0

x 2 − x02 = x − x0

x → x0

x → x0

Obecně lze vyjádřit:

0

x − x0

= lim (x + x0 ) =

Příklad: Na základě definice derivace funkce v bodě vypočítejte derivaci funkce g : y = x v bodě

g ′( x0 ) = lim

(x − x )⋅ (x + x ) = 0

x0 :

f (x ) = x 2 f ′(x ) = 2 x

= lim x → x0

x − x0 = x − x0

= lim1 = x → x0

g (x ) − g ( x0 ) = x − x0

1

x0 :

Obecně lze vyjádřit:

g (x ) = x g ′( x ) = 1

2x0



2



Derivace funkce


Září 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku. 1. příklad

2. příklad

y = 2 x3 + 5x 2 − 7 x + 2 y′ = y ′ = 6 x 2 + 10 x − 7

Správně

První příklad správně

Špatně

y = x ⋅ cos x y′ = y ′ = 1⋅ cos x + x ⋅ (− sin x ) = = cos x − x ⋅ sin x

Správně

Špatně

Po zkontrolování výsledku klikněte na příslušné barevné políčko a budete odkázáni na další příklad.

1

První příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně

2. příklad

3. příklad

y = x ⋅ cos x y′ =

y = x2 ⋅ ex y′ =

y ′ = 1⋅ cos x + x ⋅ (− sin x ) = = cos x − x ⋅ sin x

Správně

y′ = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x =

(

= e x 2x + x2

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně

Správně

)

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně

3. příklad

3. příklad

y = x2 ⋅ ex y′ =

y = x2 ⋅ ex y′ =

y′ = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x =

y′ = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x =

= e 2x + x

= e x 2x + x2

x

Správně

(

2

)

Špatně

(

Správně

)

Špatně

2

První příklad špatně, druhý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

3. příklad

4. příklad

y = x ⋅e y′ = 2

x

y′ = 2 x ⋅ e x + x 2 ⋅ e x =

(

= e x 2x + x2

Správně

(

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2x2 − 4 x2 − 2 = = 4x2 2x2

)

y′ =

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

x2 + 2 y= 2x y′ =

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně.

4. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2 2 2x − 4 x − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

Špatně

4. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2 2 2x − 4 x − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

Špatně

3

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

4. příklad

4. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2x2 − 4 x2 − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

(

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2x2 − 4 x2 − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

x2 + 2 y= 2x y′ =

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně

4. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2 2 2x − 4 x − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

Špatně

4. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2 2 2x − 4 x − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

Špatně

4

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

4. příklad

5. příklad

x2 + 2 y= 2x y′ = (

10

)

2x ⋅ 2x − x2 + 2 ⋅ 2 4x2 − 2x2 − 4 = = 4x2 4 x2 2x2 − 4 x2 − 2 = = 4x2 2x2 y′ =

Správně

y = (x + 1) y′ =

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

9

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

Špatně

y = (x + 1) y′ =

9

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

9

Špatně

5

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

y = (x + 1) y′ =

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1)

9

9

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

9

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

Špatně

y = (x + 1) y′ =

9

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

9

Špatně

6

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

y = (x + 1) y′ =

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1)

9

9

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

9

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

Špatně

y = (x + 1) y′ =

9

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

9

Špatně

7

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

y = (x + 1) y′ =

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1)

9

9

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

9

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

y = (x + 1) y′ =

10

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

Špatně

y = (x + 1) y′ =

9

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

9

Špatně

8

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

y = (x + 1) y′ =

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

10

y ′ = 10 ⋅ ( x + 1) ⋅1 = 10 ⋅ ( x + 1) 9

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

y′ = 2 cos 2 x

9

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

9

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

10

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

11

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

12

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

13

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

14

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

15

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

y = sin 2 x y′ =

y′ = 2 cos 2 x

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

Správně

Špatně

16

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

vše správně

6. příklad

y = sin 2 x y′ =

1

y′ = 2 cos 2 x

Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19


VY_42_INOVACE_MA_3_29 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Říjen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Asymptoty grafu funkce


Říjen 2013

Načrtněte vedle sebe dva grafy funkcí:

f1 : y = x 3

f 2 : y = tg x

 π π x ∈ − ;   2 2

(a, δ ) \ {a} nebo v (a − δ ; a ) nebo v (a; a + δ ). Nechť je funkce definována v U

Přímka o rovnici

x=a

se nazývá

asymptota bez směrnice grafu funkce právě když má funkce

f

v bodě

f,

a

alespoň jednu jednostrannou nevlastní limitu.

Asymptota má rovnici:

x=a

1

Přímku y = ax + b nazveme asymptotou se směrnicí grafu funkce

f ( x ) − (ax + b ) =0 x x → +∞ 0 b  f (x ) −a−  = 0  lim x x x → +∞ 

x → +∞

x →+∞

nebo

x →−∞

lim ( f (x ) − ax − b ) = 0 x → +∞

b = lim ( f ( x ) − ax )

 f (x )  − a = 0  lim x x → +∞   a = lim

nebo b =

x → +∞

f (x ) x

x x−2 x a = lim x 2 x → +∞ x − x x

a = lim x → +∞

a =1

x2 . x−2

b = lim ( f ( x ) − ax ) x → +∞

  x2 b = lim  − x  x → +∞  x − 2   x2 − x2 + 2x   b = lim  x−2 x → +∞  

 2x    b = lim  x  2 x →+∞  x  −  x x

D( f ) = (− ∞; 2) ∪ (2; ∞ )

1. bez směrnice x2 =∞ lim x →2 + x − 2 x2

lim x − 2 = −∞ x→2 −

lim ( f (x ) − ax ) x → −∞

f (x ) f (x ) a = lim x nebo x x → −∞

2. se směrnicí

x2 . x−2

x=2

x → +∞

Určete asymptoty grafu funkce f : y =

a = lim

f,

lim [ f (x ) − (ax + b)] = 0 lim [ f (x ) − (ax + b)] = 0 .

jestliže

lim

Určete asymptoty grafu funkce f : y =

Určete asymptoty grafu funkce f : y = D( f ) = (− ∞; 2 ) ∪ (2; ∞ )

x2 . x−2

D( f ) = (− ∞; 2 ) ∪ (2; ∞ )

1. bez směrnice nebo

a = lim x → −∞

f (x ) x

a =1

b = lim ( f ( x ) − ax ) x → −∞

b=2

y = x+2

x=2 2. se směrnicí

y = x+2 Chcete vidět celý graf této funkce? Klikněte sem.

b=2

2



3



VY_42_INOVACE_MA_3_30 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Říjen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

1

VY_42_INOVACE_MA_3_30 Jednostranné limity – Pracovní list – zadání, záznamový arch Určete jednostranné limity v bodech, ve kterých nejsou dané funkce definovány: x2 f1 : y = x −1

D( f1 ) =

x3 f2 : y = (x − 1)2

D( f 2 ) =

f3 : y =

x 3 + 3x 2 + 5 x

D( f 3 ) =

2


Jednostranné limity – Pracovní list – řešení f1 : y =

x2 x −1

D( f1 ) = (− ∞;1) ∪ (1; ∞ ) x2 = +∞ lim x →1+ x − 1 x2 = −∞ lim x →1− x − 1

f2 : y =

x3 (x − 1)2

D( f 2 ) = (− ∞;1) ∪ (1; ∞ ) x3 = +∞ lim 2 x →1+ ( x − 1) x3 = +∞ lim 2 x →1− ( x − 1)

f3 : y =

x 3 + 3x 2 + 5 x

D( f 3 ) = (− ∞; 0 ) ∪ (0; ∞ )

x 3 + 3x 2 + 5 = +∞ lim x x →1+ x 3 + 3x 2 + 5 = −∞ lim x x →1−

3



4





1

VY_42_INOVACE_MA_3_31 Konvexnost a konkávnost funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch Funkci f nazýváme konvexní v intervalu I , právě tehdy když pro libovolná čísla x1 , x 2 , x3 ∈ I , která splňují nerovnost x1 < x 2 < x3 , platí, že bod [x2 ; f ( x2 )] leží pod přímkou procházející body [x1 ; f ( x1 )] , [x3 ; f (x3 )] , nebo na ní.

Funkci f nazýváme konkávní v intervalu I , právě tehdy když pro libovolná čísla

x1 , x 2 , x3 ∈ I , která splňují nerovnost x1 < x 2 < x3 , platí, že bod [x2 ; f ( x2 )] leží nad přímkou

procházející body [x1 ; f ( x1 )] , [x3 ; f (x3 )] , nebo na ní.

2

VY_42_INOVACE_MA_3_31 Rozhodněte, na jakém intervalu je daná funkce konvexní a na jakém konkávní.

3


Konvexnost a konkávnost funkce – Pracovní list – řešení

Konvexní: x ∈ (1; ∞ )

Konvexní: x ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ )

Konkávní: x ∈ (− ∞;1)

3 π  Konvexní: x ∈ ∪  + 2kπ ; π + 2kπ  k ∈Z  2 2 

Konkávní: x ∈ (− ∞; 0)

Konvexní: x ∈ ∪ (π + 2kπ ; 2π + 2kπ ) k ∈Z

π  π  Konkávní: x ∈ ∪  − + 2kπ ; + 2kπ  Konkávní: x ∈ ∪ (2kπ ; π + 2kπ ) k∈Z k∈Z  2 2 

4



5


6





1

VY_42_INOVACE_MA_3_32 Průběh funkce – Pracovní list – zadání, záznamový arch 9 ( x + 1) , vyšetřili jsme její průběh. Zakreslete tuto funkci do soustavy x2 souřadnic a zapište její obor hodnot.

Je dána funkce f : y =

1. Definiční obor: D( f ) = (− ∞; 0 ) ∪ (0; ∞ ) Periodická – není Sudá/lichá:

9 ( x + 1) x2 9 (− x + 1) 9 (− x + 1)  f (− x ) = = ≠ − f ( x ) 2 2 x  (− x )  ani sudá, ani lichá 9 (− x + 1)  f (− x ) = ≠ f (x )  x2 f (x ) =

2. Jednostranné limity v bodech, kde není funkce definována: 9 ( x + 1) = +∞ lim x2 x →0 +

lim x →0 −

9 ( x + 1) = +∞ x2

Limity v nevlastních bodech: 9 (x + 1) =0 lim x2 x →+∞ 9 (x + 1) =0 lim x2 x →−∞ Spojitost: spojitá na celém definičním oboru 3. Průsečíky s osami souřadnic:

9 ( x + 1) x2 9 (x + 1) 0= x2 0 = 9 ( x + 1) x = −1 [− 1; 0]

-

Průsečík s osou x:

[x; 0]

y=

-

Průsečík s osou y:

[0; y]

0 ∉ D( f ) - průsečík s osou y neexistuje

2


Znaménka funkčních hodnot: x (-∞; -1) f (x) -

(-1; 0) +

(0; +∞) +

4. První derivace: 9 x 2 − (9 x + 9) ⋅ 2 x − 9 x 2 − 18x − 9 x − 18 9 ( x + 2) ′ y = = = =− 4 4 3 x x x x3 Nulové body první derivace: y′ = 0 9 ( x + 2) − =0 x3 x = −2 Body, ve kterých neexistuje první derivace: x=0 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti: x f´ (x) f (x) -

(-∞; -2) klesá

(-2; 0) + roste

(0; +∞) klesá

v bodě x = −2 má lokální minimum, f (− 2) = −

9 4

6. Druhá derivace: − 9 x 3 − (− 9 x + 18) ⋅ 3x 2 18x 3 + 54x 2 18x + 54 18 (x + 3) y ′′ = = = = x6 x6 x4 x4 Nulové body druhé derivace: y ′′ = 0 18 ( x + 3) =0 x4 x = −3 Body, ve kterých neexistuje druhá derivace: x=0 7. Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti: (-3; 0) (0; +∞) x (-∞; -3) f´´ (x) + + f (x) konkávní konvexní konvexní -

v bodě x = −3 má inflexní bod, f (− 3) = −2

3

VY_42_INOVACE_MA_3_32 8. Asymptoty: - Asymptota bez směrnice – viz bod č.2 x=0 -

Asymptota se směrnicí: y = ax + b

f (x) 9 (x + 1) = lim =0 x x3 x →+∞ x →+∞ 9 ( x + 1) b = lim[ f (x ) − ax] = lim =0 x2 x →+∞ x →+∞ f (x) 9 ( x + 1) a = lim = lim =0 x x3 x →−∞ x→−∞ 9 ( x + 1) b = lim[ f ( x ) − ax] = lim =0 x2 x →−∞ x →−∞ a = lim

y=0 H(f )=

4


Průběh funkce Pracovní list – řešení

9 H ( f ) = − ; + ∞) 4

5


Prameny a literatura RNDr. Hrubý, Dag, RNDr.Kubát, Josef. Matematika pro gymnázia Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2005, ISBN 80-7196-210-4


6

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Recommend Documents