Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Protokol – „SADA DUM“ Číslo sady DUM:

VY_42_INOVACE_MA_1

Název sady DUM:

Geometrie

Název a adresa školy:

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registrační číslo projektu:

CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony:

IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ

Obor vzdělávání:

26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP:

Počítačové řídicí systémy – Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů Výrobní a informační systémy - Planimetrie, Stereometrie, Vektorová algebra a analytická geometrie lineárních útvarů

Předmět a ročník:

Matematika, 1.-3. ročník

Autor:

Mgr. Lucie Pošvářová

Použitá literatura:

RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-174-4, RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7, RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9

Datum vytvoření:

leden – říjen 2013

Anotace

Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy a hry křížovku, osmisměrku a šibenice.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech.

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1

VY_42_INOVACE_MA_1_01

VY_42_INOVACE_MA_1_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY 2

Leden 2013

Vrcholy a hrany

Stěny

3

4

1

Podstavy

Plášť

5

Krychle

6

Kvádr

• stěny tvoří 6 shodných čtverců

• Protější stěny jsou shodné obdélníky (popř. čtverce)

7

8

2

Hranol • Podstavy jsou shodné mnohoúhelníky • Boční stěny jsou rovnoběžníky

Pravidelný n-boký hranol • Podstavy jsou pravidelné n-úhelníky • Boční stěny jsou shodné obdélníky nebo čtverce

Jehlan

Pravidelný jehlan

• Podstavou je mnohoúhelník • Boční stěny jsou trojúhelníky

• Podstavou je pravidelný núhelník • Boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky

9

Rotační válec

Čtyřstěn • Všechny stěny jsou trojúhelníky

10

• vznikne rotací obdélníku nebo čtverce kolem jedné jeho strany

Pravidelný čtyřstěn • Všechny stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky

11

12

3

Prameny a literatura

Rotační kužel • vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jeho jedné odvěsny

RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

13

4



AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Leden 2013

Podle čtvercové sítě doplňte chybějící barvu na stěně krychle.

Řešení

1


Řešení


Řešení

2


Podle čtvercové sítě doplňte chybějící obrázky na stěnách krychle.

Řešení

Řešení

3


Řešení


Řešení

4


Pojmenujte tělesa, kterými je vytvořený panáček.

Řešení

Řešení:

Trojboký hranol

Kvádr Krychle Válec Polovina válce Trojboký hranol

Polovina válce Polovina válce

Válec

Kvádr

Krychle

Kvádr

Krychle

5

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7


6


Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_1_03 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Leden 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie – vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin – Pracovní list – zadání, záznamový arch Ve všech následujících příkladech máme dánu krychli ABCDEFGH . Body S AB , S BC apod. jsou středy úseček AB , BC apod. 1. Určete vzájemnou polohu dvou přímek: a. AB , S DH S CG b. BC , ES DH c. AB , S BC S DC d. FC , S AB S BC

2

VY_42_INOVACE_MA_1_03 2. Určete vzájemnou polohu přímky a roviny: a. S AB S BC , ACH b. BH , EBC c. EC , AFH

3

VY_42_INOVACE_MA_1_03 3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin: a. ABS CG , S AB S DH S DG b. BDE , CFH c. BFH , ABS CG

4

VY_42_INOVACE_MA_1_03 Stereometrie – vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin – Pracovní list – řešení

1.a – rovnoběžné různé

1.b – mimoběžné

1.c - různoběžné

1.d - mimoběžné

2.a – rovnoběžné

2.b – přímka leží v rovině

5


2.c - různoběžné

3.a – rovnoběžné totožné

3.b – rovnoběžné různé

3.c – různoběžné

6

VY_42_INOVACE_MA_1_03 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

7



Analytická geometrie v prostoru Využití v úlohách ze stereometrie


Leden 2013

Příklad • některé metrické úlohy ve stereometrii se pomocí trigonometrických vztahů počítají „špatně“ • pokud vhodně zvolíme soustavu souřadnic a využijeme analytické geometrie, můžeme si značně usnadnit práci

Je dána krychle ABCDEFGH s délkou hrany a = 4cm. Jaká je vzdálenost bodu F od roviny S BF GE?

1

Naznačení řešení pomocí trigonometrie

Řešení pomocí analytické geometrie • nejprve vhodně zvolíme soustavu souřadnic

F [4;4;4] E [4;0;4]

G[0;4;4] S BF [4;4;2]

napíšeme rovnici roviny S BF GE S BFG = (- 4;0;2)

obecná rovnice roviny :

S BF E = (0;−4;2)

x + y + 2z + d = 0

n = (a; b; c )

S BF G ⋅ n = 0

dosadíme bod E :

S BF E ⋅ n = 0 zvolíme:

− 4a + 2c = 0 − 4b + 2c = 0 − 4a + 4b = 0

−a+b =0

vypočítáme vzdálenost bodu od roviny

/⋅ (− 1)

a =1

dopočítáme b a c:

4 + 0 + 2⋅4 + d = 0 d = −12

b = a 2c = 4a b = 1 c = 2a c=2

normálový vektor roviny : n = (1;1;2 )

obecná rovnice roviny : x + y + 2 z + −12 = 0

x=

4 + 4 + 2 ⋅ 4 − 12 12 + 12 + 2 2

x=

4

x=

4

x=

4 6 6

6

6

⋅

x=

6 6

2 6 cm 3

2

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9


3





1

VY_42_INOVACE_MA_1_05 Analytická geometrie v prostoru – využití v úlohách ze stereometrie – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [10; 0; 0] , B [10; 10; 0] a C [0; 10; 0] . Určete odchylku přímky CS od roviny ABC , S je střed EH .

2

VY_42_INOVACE_MA_1_05 2. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH , kde AB = 3 cm , BC = 4 cm a

AE = 5 cm .

3

VY_42_INOVACE_MA_1_05 3. Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1 cm . Bod M je střed GH . Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM .

4


Analytická geometrie v prostoru – využití v úlohách ze stereometrie – Pracovní list – řešení 1. Je dána krychle ABCDEFGH : A [10; 0; 0] , B [10; 10; 0] a C [0; 10; 0] . Určete odchylku přímky CS od roviny ABC , S je střed EH .

CS = (5;−10;10)

ABC : n = u z = (0; 0;1) Odchylka ABC a CS je odchylka n a CS : cos ϕ =

=

CS ⋅ n CS ⋅ n

=

0 + 0 + 10 25 + 100 + 100 ⋅ 1

=

10 2 = 15 3

ϕ =ɺ 48 11′ α = 90 − ϕ =ɺ 41 49′

2. Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu F od roviny BEG procházející vrcholy kvádru ABCDEFGH , kde AB = 3 cm , BC = 4 cm a

AE = 5 cm .

ρ = BEG u ρ = BE = (0; − 3; 5) v ρ = BG = (− 4;0; 5) n ρ = (a; b; c ) n ρ ⊥ u ρ … n ρ ⋅ u ρ = 0 … 0a − 3b + 5c = 0 n ρ ⊥ v ρ … n ρ ⋅ v ρ = 0 … − 4a + 0b + 5c = 0 − 4a + 3b = 0 − 4a = −3b volíme b = 4 , pak a = 3 , 12 dopočítáme c = 5 12   n ρ =  3; 4;  5  12 ρ : 3x + 4 y + z + d = 0 5

5

VY_42_INOVACE_MA_1_05 dosadíme například bod B a dopočítáme 12 ρ : 3x + 4 y + z − 24 = 0 5 12 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 + ⋅ 5 − 24 5 v(F ; BEG ) = = 144 9 + 16 + 25

d = −24

12 769 25

=

12 769 5

=

60 769

=

60 ⋅ 769 cm 769

3. Krychle ABCDEFGH s hranou délky a = 1 cm . Bod M je střed GH . Zvolte vhodně soustavu souřadnic a určete vzdálenost bodu A od přímky BM .

v( A; BM ) = AX

X [x; y; z ] ∈ BM 1   BM =  − 1; − ;1 2   BM : x = 1 − t 1 y = 1− t 2 z =t 1   X 1 − t ; 1 − t ; t  2   1   AX =  − t ;1 − t ; t  2  

AX ⊥ BM AX ⋅ BM = 0 1 1 t − + t +t = 0 2 4 9 1 t= 4 2 2 t= 9  2 8 2 AX =  − ; ;   9 9 9 4 64 4 AX = + + = 81 81 81 2 2 v( A; BM ) = cm 3

72 2 2 = 81 3

6

VY_42_INOVACE_MA_1_05 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

7





1

VY_42_INOVACE_MA_1_06 Analytická geometrie v prostoru – roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic – Pracovní list – zadání, záznamový arch Zakreslete následující roviny dané obecnou rovnicí do soustavy souřadnic – pomozte si krychlí o hraně délky a = 10 . 1. x + z − 10 = 0

2. x − y = 0

3. x + y − 5 = 0

2

VY_42_INOVACE_MA_1_06 4. x − 5 = 0

5. x = 0

6.

y=0

7. z = 0

3


Analytická geometrie v prostoru – roviny se zvláštní polohou vůči soustavě souřadnic – Pracovní list – řešení 1.

2.

4.

5.

3.

6.

7.

4

VY_42_INOVACE_MA_1_06 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

5




Leden 2013

Odchylka dvou přímek Najdeme vhodný trojúhelník.

V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek AC, AH.

Všechny strany trojúhelníku ACH jsou tvořeny …

…úhlopříčkami ve čtvercích.

Trojúhelník ACH je tedy rovnostranný.Všechny úhly v rovnostranném trojúhelníku mají velikost…

60°

1

Odchylka dvou přímek Najdeme vhodný trojúhelník.

V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímek BD, BH.

Trojúhelník DBH je pravoúhlý s odvěsnami dlouhými…

Použijeme goniometrickou funkci:

DB = a 2

a) tgϕ =

DH = a

a

b) tgϕ =

a 2 sin ϕ =

c)

a 2 2

a a 2

Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme:

tgϕ =

ϕ

ϕ

ϕ = 35°16′

1 2

Odchylka přímky a roviny V rovině ABC zvolíme vhodnou přímku a úlohu počítáme jako odchylku dvou přímek.

V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku přímky HB a roviny ABC.

Náhodou se jedná o stejné přímky jako v předchozím příkladě. Pro zapomnětlivé:

DB = a 2

Použijeme goniometrickou funkci: a) tgϕ =

DH = a

a

b) tgϕ =

a 2 c)

sin ϕ =

a 2 2

a a 2

Zkrátíme a na kalkulačce vypočítáme:

ϕ

ϕ

tgϕ =

1 2

ϕ = 35°16′

2

Odchylka dvou rovin Nejprve najdeme rovinu kolmou k oběma daným rovinám.

V krychli ABCDEFGH s hranou délky a vypočítejte odchylku rovin ADH, DBH.

Najdeme její průsečnice se zadanými rovinami.

Hledaná odchylka je odchylka těchto průsečnic.

ϕ

ϕ = 45°

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7


3


VY_42_INOVACE_MA_1_08 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Únor 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Únor 2013

Vypočítejte, kolik gramů váží panáček z kostiček. • spočítáme objemy jednotlivých dílků skládanky • tyto objemy sečteme • zjistíme hustotu dřeva • vypočítáme hmotnost podle vzorce:

m =V ⋅ρ hmotnost

objem

Kostičky mají následující rozměry: Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=2,5 cm. A jeho výška je 5 cm. Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu. Boty jsou krychle s délkou hrany 2,5 cm. Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou 2,5 cm. Čepička je trojboký hranol, jehož výška je 2,5 cm a podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3,2 cm.

hustota

1

Objem hranolu - noha

Objem válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu.

Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=2,5 cm. A jeho výška je 5 cm.

V1 = a ⋅ b ⋅ c

V1 = 2,5 ⋅ 2,5 ⋅ 5 cm

3

V2 = π ⋅ r 2 ⋅ v

V2 = π ⋅ 1,25 2 ⋅ 5 cm 3

a = 2,5 cm

d = 2,5 cm

b = 2,5 cm

r=

c = 5 cm

V1 = 31,25 cm

Objem krychle - bota

3

d = 1,25 cm 2

v = 5 cm

V2 = 7,8125π cm 3

Objem válce - hlava

Boty jsou krychle s délkou hrany 2,5 cm. Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou 2,5 cm.

V3 = a 3

V3 = 2,5 3 cm 3

a = 2,5 cm

V4 = π ⋅ 2,25 2 ⋅ 2,5 cm 3

V4 = π ⋅ r 2 ⋅ v d = 4,5 cm

V3 = 15,625 cm 3

r=

d = 2,25 cm 2

v = 2,5 cm

V4 = 12,65625π cm 3

2

Objem hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3,2 cm. Jeho výška je 2,5 cm.

V5 = S p ⋅ v a = 3,2 cm

v = 2,5 cm

1 2 a 2 1 S p = ⋅ 3,2 2 cm 2 2 Sp =

Objem celého panáčka • sečteme jednotlivé objemy • 2x nohu, 1x tělo, 2x botu, 1x hlavu, 1x čepici, 1x nohu (dvě ruce)

V = 2 ⋅ V1 + V2 + 2 ⋅ V3 + V4 + V5 + V1

S p = 5,12 cm 2

V5 = 5,12 ⋅ 2,5 cm 3

V5 = 12,8 cm 3

Vypočítáme, kolik gramů váží panáček z kostiček.

⋅

V = 202,1 cm 3

Pro kontrolu zvážíme

m =V ⋅ρ

na http://cs.wikipedia.org/wiki/Dřevo si zjistíme hustotu dosušeného dubového dřeva:

ρ = 660 kg ⋅ m -3 ⋅

V = 202,1 cm 3

objem převedeme na m3

V = 0,0002021 m 3 dosadíme a spočítáme:

m = 0,1334 kg

výsledek převedeme na gramy:

m = 133,4 g

3

Jak je možné, že to nevyšlo? • • • •

Nezapočítali jsme hmotnost barvy! Co s tím? Jak to provést? Vypočítáme ještě povrch všech kostiček a zjistíme si spotřebu barvy.

Povrch hranolu - noha Nohy jsou tvořeny hranolem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=2,5 cm. A jeho výška je 5 cm.

S 1 = 2( a ⋅ b + b ⋅ c + a ⋅ c ) a = 2,5 cm b = 2,5 cm

c = 5 cm

S1 = 62,5 cm 2

Povrch válce - tělo Tělo je válec, který lze vepsat do zmíněného hranolu.

S2 = 2 ⋅π ⋅ r 2 + 2 ⋅π ⋅ r ⋅ v d = 1,25 cm 2

v = 5 cm

S3 = 6 ⋅ a 2

a = 2,5 cm

d = 2,5 cm

r=

Povrch krychle - bota Boty jsou krychle s délkou hrany 2,5 cm.

S 3 = 37,5 cm 2

S 2 = 49,0625 cm 2

4

Povrch „válce“ - hlava

Povrch hranolu - čepice Čepička je trojboký hranol, jehož podstava je rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami dlouhými 3,2 cm. Jeho výška je 2,5 cm. Povrch je tvořen dvěma stejnými obdélníky, jedním odlišným obdélníkem a dvěma stejnými rovnoramennými pravoúhlými trojúhelníky, které dohromady vytvoří čtverec.

Celá hlava dohromady je válec s průměrem podstavy 4,5 cm a výškou 2,5 cm. Nesmíme zapomenout připočítat obsah dvou obdélníků na průřezu válce.

S4 = 2 ⋅π ⋅ r 2 + 2 ⋅π ⋅ r ⋅ v + 2 ⋅ d ⋅ v

a = 3,2 cm

v = 2,5 cm

d = 4,5 cm r=

d = 2,25 cm 2

v = 2,5 cm

S 4 = 89,6175 cm 2

Povrch kvádru - ruka

S 5 = 37,554 cm 2

Povrch všech kostiček

Obě ruce dohromady jsou stejně velké jako jedna noha. Nohy jsou tvořeny kvádrem, jehož podstavou je čtverec s délkou strany a=2,5 cm. A jeho výška je 5 cm.

S 6 = 2( a ⋅ b + b ⋅ c + a ⋅ c ) a = 2,5 cm

• sečteme jednotlivé povrchy • 2x nohu, 1x tělo, 2x botu, 1x hlavu, 1x čepici, 2x ruku S = 2 ⋅ S1 + S 2 + 2 ⋅ S 3 + S 4 + S 5 + 2 ⋅ S 6

b = 1,25 cm

c = 5 cm

S 6 = 43,75 cm

S5 = 2 ⋅ a ⋅ v + a ⋅ 2 ⋅ v + a 2

2

S = 463,734 cm 2

5

Vypočítáme, kolik gramů váží použitá barva. Po poradě s malířem bylo zjištěno, že průměrná spotřeba netoxické barvy na dřevo je

150 g ⋅ m -2 S = 463,734 cm 2 povrch převedeme na m2

S = 0,046 m

2

a spočítáme hmotnost použité barvy:

m = 0,046 ⋅ 150

Vypočítáme, kolik gramů váží nabarvený panáček.

m = 133,4 + 6,9

m = 140,3 g Rozdíl ve výpočtu a vážení je způsoben zaokrouhlováním při počítání a přibližným odhadem spotřeby barvy.

m = 6,9 g

6

7

Ahoj!

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Stereometrie. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-7196-004-7 Dřevo [online]. [cit. 1.2.2013]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/drevo Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

8

5.2.2014



Kuželosečky


Únor 2013


Kuželosečky získáme protnutím rotačního kužele rovinami, které

Kružnice

svírají s osou symetrie tohoto kužele různé úhly.

1

5.2.2014

Kružnice

Kružnice

•množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost

STŘED KRUŽNICE

Jak se kreslí kružnice - video

POLOMĚR KRUŽNICE

Kružnice •množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost libovolný bod kružnice střed kružnice

X [x; y ]

S [m; n]

poloměr kružnice

r

XS = r

(x − m )2 + ( y − n )2

=r

( x − m )2 + ( y − n )2 = r 2 středová rovnice kružnice

x2 + y2 = r 2 středová rovnice kružnice S[0;0]

2

5.2.2014

Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9


3

5.2.2014



Kuželosečky


Únor 2013



Elipsa


1

5.2.2014

Elipsa

Elipsa

•množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností •kužel protneme rovinou, která: • • •

není kolmá k jeho ose není s jeho osou rovnoběžná není rovnoběžná s jeho stranou

OHNISKA ELIPSY

Elipsa

Elipsa

•množina bodů, které mají od dvou daných bodů konstantní součet vzdáleností libovolný bod elipsy střed elipsy

X [x; y ] S [m; n]

vedlejší vrcholy

A, B C, D

ohniska elipsy

E, F

hlavní vrcholy

hlavní poloosa

a = AS = BS

vedlejší poloosa

b = CS = DS

AS || x excentricita

(x − m) a2

2

( y − n)

2

2

+

b2

osová rovnice elipsy

=1

2

x y + =1 a 2 b2

e = ES = FS

( x − m )2 + ( y − n )2 b2

a2

=1

osová rovnice elipsy

x2 y2 + =1 b2 a2 osová rovnice elipsy S[0;0]

AS || y

e = a2 − b2

osová rovnice elipsy S[0;0]

2

5.2.2014

Elipsy ve vesmíru všechny planety obíhají kolem Slunce po eliptických drahách Sluneční soustava obíhá kolem středu Mléčné dráhy po eliptické trajektorii umělé družice kolem Země obíhají také po elipse

Šeptací sály • úsečky, které spojují libovolný bod elipsy s ohnisky, svírají s tečnou v tomto bodě stejný úhel • přímka procházející ohniskem po „odražení se“ od elipsoidu prochází druhým ohniskem • dva lidé stojící v bodech, které jsou v ohniscích elipsoidu, se mohou dorozumívat šeptem

Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0825-0 (č.13)

Šeptání v Mohyle míru

šeptání v Mohyle míru jste mohli vidět v seriálu Četnické humoresky v díle Medovina, kde Toníček prosí Andělu o ruku

Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0825-0 (č.13) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

3



VY_42_INOVACE_MA_1_11 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_1_11 Kuželosečky - kružnice – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Napište středovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a) b)

c)

d)

2. Zakreslete do soustavy souřadnic: a) x 2 + ( y + 5) 2 ≤ 9

b) ( x − 3) + y 2 < 25 2

2


Kuželosečky - kružnice – Pracovní list – řešení 1.a) střed má souřadnice S [0;0] , poloměr je r = 5 Středová rovnice kružnice je x 2 + y 2 = 25 Obecná rovnice kružnice má tvar x 2 + y 2 − 25 = 0 1.b) střed má souřadnice S [− 6;0] , poloměr je r = 4

Středová rovnice kružnice je ( x + 6 ) + y 2 = 16 2

Obecnou rovnici vypočítáme jako x 2 + 12 x + 36 + y 2 − 16 = 0 x 2 + y 2 + 12 x + 20 = 0 1.c) střed má souřadnice S [− 4;5], poloměr je r = 3 Středová rovnice kružnice je ( x + 4 ) + ( y − 5) = 9 2

2

Obecnou rovnici vypočítáme jako x 2 + 8 x + 16 + y 2 − 10 y + 25 − 9 = 0 x 2 + y 2 + 8 x − 10 y + 32 = 0 1.d) střed má souřadnice S [3;2] , poloměr je r = 4

Středová rovnice kružnice je ( x − 3) + ( y − 2 ) = 16 2

2

Obecnou rovnici vypočítáme jako x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 − 16 = 0 x 2 + y 2 − 6x − 4 y − 3 = 0 2.a)

2.b)

3

VY_42_INOVACE_MA_1_11 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

4





1

VY_42_INOVACE_MA_1_12 Kuželosečky – elipsa – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Napište osovou i obecnou rovnici dané kuželosečky. a)

b)

c)

d)

2

VY_42_INOVACE_MA_1_12 2. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku, určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, hlavních a vedlejších vrcholů a ohnisek. Všechny tyto body znázorněte v obrázku. a) 16 x 2 + 9 y 2 = 144

b) 4( x + 3) + 25( y − 2 ) = 100 2

2

3


Kuželosečky - elipsa – Pracovní list – řešení 1.a) střed má souřadnice S [0;0] , hlavní poloosa a = 8 , vedlejší poloosa b = 3 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y 2

2

x y + =1 9 64 Obecná rovnice elipsy má tvar 64 x 2 + 9 y 2 = 576

Osová rovnice elipsy je

64 x 2 + 9 y 2 − 576 = 0 1.b) střed má souřadnice S [0;−1], hlavní poloosa a = 6 , vedlejší poloosa b = 3 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x 2 ( y + 1) 2 = 1 x Osová rovnice elipsy je + 36 9 2 Obecná rovnice elipsy má tvar x + 4 y 2 + 2 y + 1 = 36

(

)

x 2 + 4 y 2 + 8 y − 32 = 0 1.c) střed má souřadnice S [3;4] , hlavní poloosa a = 3 , vedlejší poloosa b = 1 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y Osová rovnice elipsy je ( x − 3) + 2

( y − 4) 2 = 1

9 Obecná rovnice elipsy má tvar 9 x − 6 x + 9 + y 2 − 8 y + 16 = 9

(

) (

2

)

9 x + y − 54 x − 8 y + 88 = 0 2

2

1.d) střed má souřadnice S [− 6;−4] , hlavní poloosa a = 3 , vedlejší poloosa b = 2 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x (x + 6) 2 + ( y + 4) 2 = 1 Osová rovnice elipsy je 9 4 2 Obecná rovnice elipsy má tvar 4 x + 12 x + 36 + 9 y 2 + 8 y + 16 = 36

(

) (

)

4 x 2 + 9 y 2 + +48 x + 72 y + 252 = 0

4

VY_42_INOVACE_MA_1_12 2.a) 16 x 2 + 9 y 2 = 144 x2 y2 + =1 9 16

S [0;0] , hlavní poloosa a = 4 , vedlejší poloosa b = 3 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou y e = a2 − b2 e = 16 − 9 e= 7 A[0;4] B[0;−4] C [0;−3] D[0;3]

[ ] F [0;− 7 ]

E 0; 7

5

VY_42_INOVACE_MA_1_12 2.b) 4( x + 3) + 25( y − 2 ) = 100 2

2

( x + 3) 2 + ( y − 2 ) 2 25

4

=1

S [− 3;2] , hlavní poloosa a = 5 , vedlejší poloosa b = 2 , hl. poloosa je rovnoběžná s osou x e = a2 − b2 e = 25 − 4 e = 21 A[− 8;2] B[2;2] C [− 3;4] D[− 3;0]

[ F [− 3 +

] 21;2]

E − 3 − 21;2

6


7

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_1_13 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Kuželosečky


Březen 2013



Hyperbola


1

5.2.2014

Hyperbola

Hyperbola

•množina bodů, pro které je ||XE|-|XF|| konstantní

XE − XF = 2 ⋅ a libovolný bod hyperboly střed hyperboly

X [x; y ] S [m; n] A, B

hlavní vrcholy ohniska hyperboly

EF || x

(x − m) a2

2

−

( y − n) b2

2

2

=1

osová rovnice hyperboly

Hyperbola

E, F

hlavní poloosa

a = AS = BS

vedlejší poloosa

b = CS = DS

excentricita

2

e = ES = FS

e = a2 + b2

x y − =1 a 2 b2 osová rovnice hyperboly S[0;0]

Asymptoty

( y − n)2 − (x − m )2 b2

a2

=1

y − n = k ⋅ (x − m)

osová rovnice hyperboly

y2 x2 − =1 b2 a2

k=±

b a

osová rovnice hyperboly S[0;0]

EF || y

2

5.2.2014



3

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_1_14 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Březen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Kuželosečky


Březen 2013



Parabola


1

5.2.2014

Parabola

Parabola

•množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky jako od daného bodu libovolný bod paraboly

řídící přímka

d

ohnisko paraboly

F

parametr

p

vrchol paraboly

o || x ( y − n )2

= 2 ⋅ p ⋅ (x − m )

vrcholová rovnice paraboly

Parabola

V [m; n]

p 2

vrcholová rovnice paraboly V[0;0]

Parabola

( y − n )2

= −2 ⋅ p ⋅ ( x − m )

(x − m )2


= 2 ⋅ p ⋅ ( y − n)


y 2 = −2 ⋅ p ⋅ x

x2 = 2 ⋅ p ⋅ y


o || x

VF =

y2 = 2⋅ p ⋅ x

X [x; y ]


o || y

2

5.2.2014

Parabola

Využití vlastností paraboly

(x − m )2

= −2 ⋅ p ⋅ ( y − n )


x 2 = −2 ⋅ p ⋅ y vrcholová rovnice paraboly V[0;0]

o || y

• úsečka, která spojuje libovolný bod paraboly s ohniskem, svírá s tečnou v tomto bodě stejný úhel jako přímka, která je rovnoběžná s osou paraboly a prochází týmž bodem • paprsky vstupující do paraboly rovnoběžně s její osou se odrážejí do ohniska a naopak • využití: satelitní antény, radioteleskopy, sluneční pece, reflektory Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0825-0 (č.13)

Sluneční pece

Sluneční pece v Himalájích

-a takto ve vesnici Kagbeni (2.776 m n.m.)

• soustřeďuje sluneční paprsky v ohnisku zrcadla • dosahuje teploty až 3800oC -takto si ohřívají vodu nedaleko Muktinathu (3.800 m n.m.) -v pozadí Dhaulaghiri 8.167 m n.m.

http://cs.wikipedia.org/wiki/Slune%C4%8Dn%C3%AD_pec - použity soukromé fotografie

3

5.2.2014

Kuželosečky ve vesmíru

komety se pohybují po drahách tvaru elipsy, paraboly nebo hyperboly nejčastěji po eliptických drahách – po nějaké době se vracejí zpět – Hallyova kometa – po 76 letech komety s drahami tvaru hyperboly a paraboly nepocházejí ze Sluneční soustavy – navštíví nás pouze jednou

Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0825-0 (č.13) Sluneční pec [online]. [cit. 16.3.2013]. Dostupný na WWW: http://cs.wikipedia.org/wiki/Sluneční_pec


Sbírka Mozkolam, ISBN: 978-83-248-0825-0 (č.13)

4





1

VY_42_INOVACE_MA_1_15 Kuželosečky – hyperbola – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Určete velikost hlavní a vedlejší poloosy, excentricitu, souřadnice středu, ohnisek, hlavních a vedlejších vrcholů, rovnice asymptot. Vše znázorněte v obrázku. a) 36 x 2 − 4 y 2 = 144

b) 4( y + 3) − 25( x − 2 ) = 100 2

2

2


Kuželosečky - hyperbola – Pracovní list – řešení 1.a) 36 x 2 − 4 y 2 = 144 x2 y2 − =1 4 36

S [0;0] , hlavní poloosa a = 2 , vedlejší poloosa b = 6 , hlavní poloosa je rovnoběžná s osou x e = a2 + b2 e = 4 + 36 e = 40 e = 2 10 A[− 2;0] B[2;0] C [0;6] D[0;−6]

[ F [2

E − 2 10 ;0 10 ;0

k=±

b a

k=±

6 2

]

]

k = ±3 Asymptoty mají rovnice: y = ± 3 x

3

VY_42_INOVACE_MA_1_15 1.b) 4( y + 3) − 25( x − 2 ) = 100 2

2

( y + 3) 2 − ( x − 2 ) 2 25

4

=1

S [2;−3] , hlavní poloosa a = 5 , vedlejší poloosa b = 2 , hl. poloosa je rovnoběžná s osou y e = a2 + b2 e = 25 + 4 e = 29 A[2;2] B[2;−8] C [0;−3] D[4;−3]

[ F [2;−3 −

] 29 ]

E 2;−3 + 29

k=±

a b

k=±

5 2

Asymptoty mají rovnice: y + 3 = ± tedy y =

5 (x − 2) , 2

5 5 x −8 a y = − x + 2 2 2

4


5





1

VY_42_INOVACE_MA_1_16 Kuželosečky – parabola – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Rozhodněte, o kterou kuželosečku se jedná: x 2 + 10 x + 18 y − 11 = 0 a)

b)

c)

d)

2

VY_42_INOVACE_MA_1_16 2. Zakreslete do soustavy souřadnic danou kuželosečku a její řídící přímku, určete souřadnice vrcholu a ohniska. a) ( y + 6 ) = −8 ( x − 3) 2

b) ( x − 6 ) = 8 ( y + 3) 2

3


Kuželosečky - parabola – Pracovní list – řešení 1. x 2 + 10 x + 18 y − 11 = 0

(x + 5)2 − 25 + 18 y − 11 = 0 (x + 5)2 = −18 y + 36 (x + 5)2 = −18 ( y − 2)

V [− 5;2] 2 p = 18 p=9 p 9 = 2 2

5  F − 5;−  2 

Řídící přímka má rovnici: d : y =

13 2

4

VY_42_INOVACE_MA_1_16 2.a) ( y + 6 ) = −8 ( x − 3) 2

V [3;−6] , osa paraboly je rovnoběžná s osou x 2p = 8 p=4 p =2 2

F [1;−6] Řídící přímka d : x = 5

5

VY_42_INOVACE_MA_1_16 2.b) ( x − 6 ) = 8 ( y + 3) 2

V [6;−3] , osa paraboly je rovnoběžná s osou y 2p = 8 p=4 p =2 2 F [6;−1] Řídící přímka d : y = −5

6


7



VY_42_INOVACE_MA_1_17 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_1_17 Planimetrie – základní pojmy – Pracovní list – zadání, záznamový arch V tajence se skrývá jedna ze zásad Doc. RNDr. Emila Caldy, CSc. pro řešení matematických úloh, kterou uvádí ve své příručce „Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F“ 1. Do okének vepisujte písmena slov podle legendy pod tabulkou. Písmeno ch pište vždy do jednoho okénka. 3 21 1 9 22 6 28 5 29 2 13 10 8 24 17 30 62 36 4 23 7 61 20 59 48 41 14 58 38 11 35 50

1

CALDA, Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, s. 22. ISBN42 80-7196-272-4

2

VY_42_INOVACE_MA_1_17 51 34 16 33 44 63 19 52 42 39 25 56 45 57 46 15 40 18 32 26 55 47 49 43 54 53 37 60 31 27 12 1. Dvěma různými body prochází právě jedna … . 2. Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné … . 3. Označení AB znamená … . 4. 5. 6. 7. 8.

Označení AB ≅ CD znamená, že usečka AB je s úsečkou CD … . Pokud mají dvě úsečky stejnou délku jsou … . Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné … . Polopřímky VA a VB se nazývají … . Bod V se nazývá … .

3

VY_42_INOVACE_MA_1_17 9. Úhel AVB , který vznikne průnikem polorovin VAB a VBA , se nazývá … . 10. Úhel AVB , který vznikne sjednocením polorovin opačných k polorovinám VAB a VBA , se nazývá … .

11. Jsou-li polopřímky VA a VB navzájem opačné, nazývá se úhel AVB … . 12. Jsou-li polopřímky VA a VB totožné, nazývá se úhel AVB … 13. nebo … .

14. Daný pětiúhelník ABCDE je … . 15. Daný pětiúhelník ABCDE je … .

16. Polopřímka, která má počátek ve vrcholu úhlu a dělí úhel na dva shodné úhly se nazývá … . 17. Úhly α a β se nazývají … a platí pro ně α + β = 180 . 18. Úhly α a β se nazývají … a platí pro ně α = β .

4

VY_42_INOVACE_MA_1_17 19. Úhel, který je shodný se svým vedlejším úhlem se nazývá … . 20. Konvexní úhel, který je menší než pravý, se nazývá … . 21. Konvexní úhel, který je větší než pravý, se nazývá … . 22. Ostré a tupé úhly dohromady nazýváme … . 23. Dvě přímky, které nemají žádný společný bod se nazývají různé … . 24. Dvě přímky, které mají právě jeden společný bod se nazývají … . 25. Dvě přímky, které mají celou přímku společných bodů se nazývají … rovnoběžky. 26. Část roviny, která je ohraničena dvěma různými rovnoběžkami se nazývá … . 27. Úhly α a β se nazývají … a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β . 28. Úhly α a β se nazývají … a v případě, že přímky p a q jsou rovnoběžné, platí pro ně α = β .

29. Přímka, která prochází středem úsečky a je k této úsečce kolmá se nazývá … . 30. a 31. Součet dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí. Tato poučka se nazývá … …. 32. a 33. Úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku se nazývá … … , je rovnoběžná se stranou třetí a její velikost je poloviční než velikost této strany. 34. Úsečka, která vede z vrcholu trojúhelníku kolmo na protější stranu se nazývá … . 35. Průsečík výšek v trojúhelníku se nazývá … . 36. Úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany se nazývá … . 37. Těžnice se protínají v … . 38. Střed kružnice opsané trojúhelníku je v průsečíku … . 39. Střed kružnice vepsané trojúhelníku je v průsečíku … . 40. Součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je … stupňů. 41. Trojúhelník, ve kterém platí Pythagorova věta se nazývá … . 42. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny úhly menší než 90 je … . 43. Trojúhelník, ve kterém je jeden úhel větší než 90 je … . 44. Trojúhelník, ve kterém jsou všechny těžnice zároveň výškami, se nazývá … . 45. Trojúhelník, ve kterém jsou právě dva úhly shodné je … . 46. Čtyřúhelník, ve kterém nejsou žádné dvě strany rovnoběžné, nazýváme … . 47. Čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě, které nejsou rovnoběžné, jsou stejně dlouhé, nazýváme … . 48. Jak nazýváme čtyřúhelník, ve kterém jsou právě dvě protější strany rovnoběžné a jedna ze dvou zbývajících je k nim kolmá? 49. Množina bodů, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost se nazývá … . 50. Úsečka, která spojuje dva body ležící na kružnici se nazývá … . 51. Tětiva je úsečka, která dělí kružnici na dva … . 52. Prochází-li tětiva středem kružnice, nazývá se … . 53. Průměr dělí kružnici na dvě … .

5

VY_42_INOVACE_MA_1_17 54. Tětiva dělí kruh na dvě … . 55. Tětiva procházející středem dělí kruh na dva … . 56. Dva poloměry dělí kruh na dvě … . 57. Na obrázku je … . 58. Kružnice na obrázku jsou … .

59. Přímka, která má s kružnicí dva společné body se nazývá … . 60. Přímka, která má s kružnicí jeden společný bod se nazývá … . 61. Přímka, která nemá s kružnicí společný bod se nazývá … . 62. Úhel ASB je … úhel příslušný k oblouku kružnice.

63. Úhel AVB je … úhel příslušný k oblouku kružnice.

6


Planimetrie – základní pojmy – Pracovní list – řešení 3 d

é

l

k

21 1 9 22 6 28 5 29 2

t p k k p s s o p

u ř o o o t h s o

p í n s l ř o a l

ý m v é o í d

13 10 8 24 17 30 62 36 4 23 7 61 20 59

p n v r v t s t s r r v o s

l e r ů e r t ě h o a n s e

48 41 14 58 38 11 35

p p k s o p o

a

ú

s

e

č

n

í

v v

i é

k

y

n

y

e í

č k m k

y a

e ú ě š e v e

x h ž í l á

n l k

í u y

n

í

k

o

v

ě

ž ú p

k h ř

y l í

u m k

a

l

ch o

k e

a x

o

r d n ú p

o a é s ř

n k ch z d o ř ž o v m ě t č

ý o o n l j e n d n e j r n

n l o e ú d i n o n š ý a

v

r r o o s ř r

a a n u

o o e t t ý c

ú ú x ř r

h h n e a

l l í d n

ý ý n

é

í t

v v v s s m o

e

n

t

r

u

m

50 t

ě

t

i

v

a

o v o p r o p p

b ý s ř o b r r

l š a í v v a ů

o k

u a ú č k n o o d v ý m ě

k

y

h a s o

l

u

t v

r ý

a

n

n

51 34 16 33 44 63 19 52

b j h o c á b a í

i

á

b

ě

ž

n

í

k

ý

r

7


42 39 25 56 45 57

o o t v r m

s s o ý o e

46 15 40 18 32 26 55 47 49 43 54

r n s v s r p r k t ú

53 37 60 31 27 12

p t t n s n

t

o h ž č o k

ú l n e r r

h ů é

l

t s v z

r ú o e n i

ý

a u

m e ž í

n

n

ů e t r t o ů o r u s

z k o ch ř v l v u p e

n o o o e i k n ž o č

o n s l d n r o n ú e

b v m o n n u r i h

ě e d v í ý h a c l

ž x e é

n n s

í í á

k

p

á

s

n

n

ů ě e e o u

l ž č r u l

k i n o h o

r š a v l v

u t

ž i

n

i

c

e

n a ý

o s

s n

t é

y m e e ý

ý

t

ý

l

i

ch o

b

ě

ž

n

í

k

S příkladem nevyjednávejte; vlídným a laskavým slovem nedosáhnete ničeho.

8

VY_42_INOVACE_MA_1_17 Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-174-4 Doc. RNDr. CALDA, CSc., Emil. Pedagogické zásady a termíny ve výuce M & F, 1. vyd. Praha: Prometheus, 2003, ISBN42 80-7196-272-4 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

9


VY_42_INOVACE_MA_1_18 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Shodnost trojúhelníků


Duben 2013

∆ABC ≅ ∆KLM


trojúhelník ABC je shodný s trojúhelníkem KLM trojúhelník ABC můžeme přemístit na trojúhelník KLM

Věty o shodnosti trojúhelníků

bod A přejde do bodu K bod B přejde do bodu L M

bod C přejde do bodu M

C

strana AB přísluší straně KL úhel CAB přísluší úhlu MKL K A L B každé dvě k sobě příslušné strany a každé dva k sobě příslušné úhly jsou shodné

1

Věta sss:

Věta usu:

dva trojúhelníky, které se shodují v délkách všech tří stran, jsou shodné

dva trojúhelníky, které se shodují v délce jedné strany a ve velikostech úhlů k této straně přilehlých, jsou shodné

C

C C’

C’

A

A

B’

B’

B

B

A’

A’

Věta sus:

Věta Sus:

dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou shodné

dva trojúhelníky, které se shodují v délce dvou stran a ve velikosti úhlu naproti větší z nich, jsou shodné

C

C C’

C’

A

A

B’ B

B’ B

A’

A’

2

Příklad: Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky p a q. Na přímce q leží body A, B. Na přímce p leží bod C. Bod S je střed úsečky AC. Průnikem přímek p a BS je bod D. Dokažte, že bod S je také středem úsečky BD.

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-174-4

Dokážeme, že trojúhelníky ABS a CDS jsou shodné. Délka strany AS je shodná s délkou strany CS. Velikost úhlu BAS je shodná s velikostí úhlu DCS. Jedná se o střídavé úhly. Velikost úhlu ASB je shodná s velikostí úhlu CSD. Jedná se o vrcholové úhly.


Podle věty usu je trojúhelník ABS shodný s trojúhelníkem CDS. Délky strany BS je tedy shodná s délkou strany DS. Bod S je střed úsečky BD.

3



Podobnost trojúhelníků


Duben 2013

∆ABC ≈ ∆KLM


trojúhelník ABC je podobný trojúhelníku KLM trojúhelník KLM je zmenšením trojúhelníku ABC

KL = k ⋅ AB

Věty o podobnosti trojúhelníků

LM = k ⋅ BC C

MK = k ⋅ CA

M

kladné číslo k se nazývá koeficient podobnosti K A je-li k > 1 jedná se o zvětšení

L

je-li k < 1 jedná se o zmenšení je-li k = 1 jedná se o shodnost

B

1

Věta sss:

Věta uu:

dva trojúhelníky, jejichž délky příslušných stran jsou ve stejném poměru, jsou podobné

dva trojúhelníky, které se shodují ve velikostech dvou úhlů, jsou podobné

C

C

A

A C’

C’

B

B

B’

B’

A’

A’

Příklad:

Věta sus:

Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3. první způsob:

dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a ve velikosti úhlu jimi sevřeném, jsou podobné

Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a BXN podle věty uu. Úhel AXM a BXN jsou vrcholové úhly. Úhel XAM a XBN jsou střídavé úhly.

C A C’ B

B’

A’

2

Příklad: Rozdělte danou úsečku AB bodem X v poměru 7 : 3.


druhý způsob: Využíváme podobnost trojúhelníků AXM a MPN podle věty uu. Úhly XAM a PMN jsou souhlasné úhly. Úhly AMX a MNP jsou souhlasné úhly.

RNDr. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-174-4


3



Pythagorova věta


Duben 2013

Pythagorova věta Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahu čtverců sestrojených nad oběma jeho odvěsnami.

Důkaz Pythagorovy věty

S = (a + b )

2

S = 4⋅

a ⋅b + c2 2

c2 = a2 + b2

1

S = (a + b )

2

a ⋅b S = 4⋅ + c2 2

Ještě jednou, trochu jinak

c2 = a2 + b2

(a + b )2 = 4 ⋅ a ⋅ b + c 2 2

a 2 + 2ab + b 2 = 2ab + c 2

a2 + b2 = c2

Příklad Sestrojte úsečku dlouhou

5 cm .

Příklad Sestrojte úsečku dlouhou

a2 + b2 = c2

c2 − a2 = b2

a2 + b2 = c

c2 − a2 = b

2 2 + 12 = 5

2 2 − 12 = 3

3 cm .

2



3



Eukleidovy věty


Duben 2013

•podle věty uu platí:

∆APC ≈ ∆CPB

Eukleidova věta o výšce Druhá mocnina výšky k přeponě pravoúhlého trojúhelníku se rovná součinu délek obou úseků přepony.

•příslušné strany jsou ve stejném poměru

cb v = v cb v = v ca

v 2 = c a ⋅ cb

v 2 = c a ⋅ cb

1

•podle věty uu platí:

∆CBP ≈ ∆ABC

Eukleidova věta o odvěsně Druhá mocnina odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku se rovná součinu přepony a úseku přepony přilehlého k této odvěsně.

•příslušné strany jsou ve stejném poměru

a c = ca a c = ca a

a 2 = c ⋅ ca

cb v = v

a 2 = c ⋅ ca

b 2 = c ⋅ cb Příklady

a c = ca

2

Příklad 1

Příklad 2

Sestrojte úsečku dlouhou 13 cm .

c a ⋅ cb = v 2

Je dán obdélník s délkami stran a, b. Sestrojte čtverec o stejném obsahu. Délku strany hledaného čtverce označíme jako x.

c a ⋅ cb = v

S1 = a ⋅ b

13 ⋅ 1 = 13

S2 = x

Eukleidova věta o výšce

2 Eukleidova věta o odvěsně

x = a ⋅b 2

x = a ⋅b

Eukleidova věta o výšce

2

výška

1. AB; AB = a + b

odvěsna má délku a+b

2. P; P ∈ AB, AP = a, BP = b

3. k (S; r ); S ∈ AB, AS = SB ; 2 ⋅ r = AB

x = a ⋅ba >b 2

odvěsna

úsek přepony přilehlý k x

přepona

Eukleidova věta o odvěsně

1. AB; AB = a 2. P; P ∈ AB, BP = b

3. k (S; r ); S ∈ AB, AS = SB ; 2 ⋅ r = AB

Thaletova kružnice

Thaletova kružnice

4. p ; p ⊥ AB, P ∈ p

4. p ; p ⊥ AB, P ∈ p

5. C ; C ∈ p ∩ k

5. C ; C ∈ p ∩ k

6. x ; x = CP

6. x ; x = CP

3



4


VY_42_INOVACE_MA_1_22 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Tečna ke kružnici


Květen 2013

Tečna ke kružnici

Tečna ke kružnici v bodě Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r v bodě T, který leží na dané kružnici.

1. Rozbor

1.

V BODĚ

T ∈k

2.

BODEM

P∉k

tečna je kolmá na poloměr

1

3. Popis konstrukce

2. Konstrukce

Tečna ke kružnici bodem

1. k (S ; r ), T ; T ∈ k

Narýsujte tečnu ke kružnici k se středem S a poloměrem r bodem P, který neleží na dané kružnici.

2. ST

1. Rozbor

3. t ; T ∈ t , t ⊥ ST

-tečna je kolmá na poloměr -narýsujeme Thaletovu kružnici s průměrem SP

-bod dotyku T bude ležet na průniku obou kružnic Úloha má jedno řešení.

2. Konstrukce

3. Popis konstrukce

1. k (S ; r ), P; P ∉ k , SP > r 2. SP 3. O; O ∈ SP, SO = OP 4. l (O; r = OP )

5. T1 , T2 ; T1 , T2 ∈ k ∩ l 6. t1 , t 2 ; t1 = PT1 , t 2 = PT2

PS > r

PS = r

Dvě řešení

Jedno řešení

PS < r Nemá řešení

Počet řešení závisí na vzdálenosti bodu P od středu kružnice.

Jak? 2

Prameny a literatura RNDr. POMYKALOVÁ, Eva.

Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-174-4


3



Osová souměrnost


Květen 2013

Osová souměrnost s osou o - shodné zobrazení

1. X ∉ o … O (o ) : X → X ′ ; XX ′ ⊥ o , S XX ′ ∈ o 2. Y ∈ o … O (o ) : Y → Y ′ ; Y = Y ′

Obrázek

ZPĚT

- o – osa souměrnosti - bod X a X´ – souměrně sdružené - bod Y – samodružný bod - množina samodružných bodů – osa souměrnosti - samodružné přímky – přímky kolmé na osu souměrnosti - nepřímá shodnost

Co to znamená?

1

Najděte všechny osy souměrnosti daných geometrických útvarů, podle kterých U=U´.

1. Čtverec

2. Obdélník

3. Rovnoramenný trojúhelník

2

4. Rovnostranný trojúhelník

5. Kružnice

Chlapec se musí cestou ze školy S zastavit u řeky r nabrat vodu a pak teprve může jít domů D. V kterém místě V má nabrat vodu, aby jeho cesta byla co nejkratší? - nejkratší spojnicí dvou bodů je úsečka


- to by musel bod D ležet v opačné polorovině určené přímkou r než bod S - hledaný bod V by byl průsečík SD a r - sestrojíme obraz bodu D v osové souměrnosti s osou r



3



Středová souměrnost


Květen 2013

Středová souměrnost se středem S - shodné zobrazení

1. X ≠ S … S (S ) : X → X ′ ; S XX ′ = S 2. S (S) : S = S ′

Obrázek

ZPĚT

- S – střed souměrnosti - bod X a X´ – souměrně sdružené - bod S – samodružný bod - jediný - samodružné přímky – přímky procházející středem souměrnosti - přímá shodnost Co to znamená?

1

Najděte všechny středy souměrnosti daných geometrických útvarů, podle kterých U=U´.

1. Čtverec

2. Obdélník

3. Kružnice

2

Je dán trojúhelník ABC a jeho vnitřní bod M. Sestrojte úsečku XY se středem v bodě M a s krajními body na hranici trojúhelníka ABC. 1. Rozbor

S (M ) : ∆ABC → ∆A′B ′C ′ X , Y = ∆ABC ∩ ∆A′B ′C ′

2. Konstrukce

3. Popis konstrukce

1. ∆ABC, M 2. S(M ) : ∆ABC → ∆A′B ′C ′ 3. X, Y; X, Y = ∆ABC ∩ ∆A′B ′C ′ 4. XY

Počet řešení závisí na umístění bodu M.

JAK?

Prameny a literatura Tři řešení


Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.

Jedno řešení

Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

3

5.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_1_25 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Květen 2013

Otočení - rotace

V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Květen 2013

Orientovaný úhel

Otočení R se středem S o orientovaný úhel φ

- uspořádaná dvojice polopřímek se společným počátkem - shodné zobrazení - víme, které rameno je počáteční a které koncové

1. X ≠ S … R (S , ϕ ) : X → X ′ ; X ′S = XS , velikost orientovaného úhlu XSX ′ je rovna ϕ 2. R (S, ϕ ) : S = S ′

Obrázek

- S – střed otočení - bod X a X´ – souměrně sdružené - bod S – samodružný bod – jediný – pokud není

ϕ = k ⋅ 360

- pokud ano –- identita - pokud je

ϕ = 180 + k ⋅ 360 - středová souměrnost

- přímá shodnost

Co to znamená?

1

5.2.2014

ZPĚT

Najděte všechna otočení daných geometrických útvarů, podle kterých U=U´. Kromě otočení o 360o. 1. Čtverec

2. Obdélník

2

5.2.2014

Je dána kružnice k a její vnitřní bod M. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC vepsaný do kružnice tak, aby bod M ležel na straně AB. 3. Kružnice

1. Rozbor

R(S , − ϕ ) : ∆A′B ′C ′ → ∆ABC R (S , ϕ ) : M → M ′

libovolný úhel

2. Konstrukce

ϕ = MSM ′

3. Popis konstrukce

1. k (S, r ), ∆A′B ′C ′, M

2. M ′, M ′ ∈ AB, MS = M ′S

3. α 1 , α 1 = MSM 1′ 4. R (S, − α 1 ), ∆A′B ′C ′ → ∆A1 B1C1

Dvě řešení – vzdálenost bodu S od bodu M je větší než vzdálenost bodu S od úsečky AB.

Jedno řešení – vzdálenost bodu S od bodu M je stejná jako vzdálenost bodu S od úsečky AB.

Počet řešení závisí na umístění bodu M.

JAK?

Nemá řešení – vzdálenost bodu S od bodu M je menší než vzdálenost bodu S od úsečky AB.

3

5.2.2014



4

5.2.2014



Posunutí - translace



Květen 2013

Orientovaná úsečka

B

- víme, který krajní bod je počáteční a který koncový

Posunutí T

AB A

- souhlasně orientované úsečky AB - mají stejný směr

-shodné zobrazení T(AB), které každému bodu X přiřadí bod X´ tak, že orientované úsečky XX´ a AB mají stejnou délku a stejný směr

CD D

B D

C

AB

– její délka – udává délku posunutí

Obrázek

– její směr – udává směr posunutí

A

B D

A

C

B D

A=C

- bod X a X´ – souměrně sdružené

B

A C - velikost orientované úsečky AB je velikost úsečky AB

- pokud je orientovaná úsečka AB nenulová, nejsou v tomto zobrazení žádné samodružné body - pokud je orientovaná úsečka AB nulová, je toto zobrazení identita - všechny přímky rovnoběžné s orientovanou úsečkou AB jsou samodružné

- nulová orientovaná úsečka - počáteční a koncový bod splývají - bod - přímá shodnost

Co to znamená?

1

5.2.2014

B

A

A X´ X ZPĚT B A B p= p´

Jsou dány dvě různoběžky a, b a úsečka MN. Sestrojte čtverec ABCD tak, aby bod A ležel na a, bod B na b a aby AB byla rovnoběžná s MN a stejně dlouhá jako MN. 1. Rozbor

( )

T AB : a → a ′

a′ ∩ b = B

2. Konstrukce

3. Popis konstrukce

1. a, b, MN

( )

2. a ′; T MN : a → a ′

3. B; B = a ′ ∩ b

( )

4. A; T NM : B → A 5. čtverec ABCD

2

5.2.2014



3



Stejnolehlost - homotetie



Květen 2013

- každému bodu X přiřadí bod X´ tak, že platí

Stejnolehlost H (

kappa

)

- podobné zobrazení H S , χ , které 1. každému bodu X přiřadí bod X´ tak, že pro vektory SX a SX ′ platí: SX = 2. bodu S přiřadí bod S´ tak, že S=S´ S

χ

- pro

χ > 0 leží bod X´na polopřímce SX

χ ⋅ SX ′ S X

– střed stejnolehlosti

X´

– koeficient stejnolehlosti

- pokud je koeficient stejnolehlosti

χ = −1 χ =1

- pro

χ >1

- středová souměrnost

χ <0

leží bod X´na polopřímce opačné k polopřímce SX

X´ S

χ <1 - identita

SX ′ = χ ⋅ SX

X - zvětšení

- zmenšení

Obrázek

1

χ=

2 3

χ =1 χ >1 0<χ 0 < χ <1 χ = −1

χ=

χ=−

S

4 3

1 2

Do daného půlkruhu vepište čtverec.

2. Konstrukce

3. Popis konstrukce

1. k ; k (S; r ) 1. Rozbor

H (S , χ ) : D ′ → D D ∈ k (S ; r )

2. čtverec A ′B′C′D ′; S ∈ A′B ′, A′S = SB ′ 3. C , D; H (S , χ ) : C ′ → C , C ∈ k H (S ; χ ) : D ′ → D, D ∈ k 4. čtverec ABCD ; AB ∈↔ A′B ′

1 řešení

2



3

VY_42_INOVACE_MA_1 _28


VY_42_INOVACE_MA_1_28 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_1 _28 Analytická geometrie v rovině – pojmy - osmisměrka – Pracovní list – zadání, záznamový arch V tabulce vyškrtejte uvedená slova. Každé písmeno je použito maximálně v jednom slově. Proto pozor na slova jako například rovina a polorovina! Z nepoužitých písmen sestavte tajenku. Vyškrtávat můžete všemi osmi směry. Písmeno „Ch“ je rozděleno do dvou okének jako „C“ a „H“. V

D

O

B

A

K

M

Í

Ř

P

O

L

O

P

R

A

S

M

Ě

R

E

Ú

S

K

A

L

Á

R

N

Í

X

O

W

O

N

A

K

L

É

D

K

A

S

Í

N

Č

E

T

Á

Č

O

P

V

I

A

H

O

L

O

P

T

L

K

E

K

O

N

C

O

V

Ý

I

V

T

S

O

M

L

O

K

O

Á

O

M

Č

D

E

Ř

T

S

N

O

V

E

L

I

K

O

S

T

R

A

D

N

Í

K

C

O

S

A

R

K

O

M

B

I

N

A

C

E

Í

V

C

I

Ú

Ř

A

A

O

O

E

C

I

N

D

A

Ř

U

O

S

N

A

H

Č

H

E

P

P

L

S

N

N

O

R

M

Á

L

O

V

Ý

R

T

Y

U

E

I

A

O

M

A

V

Y

J

Á

D

Ř

E

N

Í

Y

Á

S

L

O

L

Č

P

Ě

É

K

C

I

R

T

E

M

A

R

A

P

E

U

K

S

N

T

R

R

O

V

N

I

C

E

O

B

E

C

N

Á

N

O

A

Ý

I

O

E

C

I

N

R

Ě

M

S

G

M

E

R

E

T

I

S

F

C

V

Z

Á

V

I

S

L

O

S

T

T

E

Č

U

O

S

L

Í

K

Ý

A

L

U

N

T

S

O

N

Ž

Ě

B

O

N

V

O

R

úsečka, polopřímka, přímka, polorovina, rovina, souřadnice, bod, vektor, počáteční, koncový, velikost, délka, opačný, lineární, kombinace, závislost, skalární, součin, součet, úhel, kolmost, rovnoběžnost, poloha, směr, střed, směrový, normálový, odchylka, parametrické, vyjádření, obecná, rovnice, směrnice, soustava, cos, fí, nula, x, w

2

VY_42_INOVACE_MA_1 _28 Analytická geometrie v rovině - pojmy – Pracovní list – řešení V

D

O

B

A

K

M

Í

Ř

P

O

L

O

P

R

A

S

M

Ě

R

E

Ú

S

K

A

L

Á

R

N

Í

X

O

W

O

N

A

K

L

É

D

K

A

S

Í

N

Č

E

T

Á

Č

O

P

V

I

A

H

O

L

O

P

T

L

K

E

K

O

N

C

O

V

Ý

I

V

T

S

O

M

L

O

K

O

Á

O

M

Č

D

E

Ř

T

S

N

O

V

E

L

I

K

O

S

T

R

A

D

N

Í

K

C

O

S

A

R

K

O

M

B

I

N

A

C

E

Í

V

C

I

Ú

Ř

A

A

O

O

E

C

I

N

D

A

Ř

U

O

S

N

A

H

Č

H

E

P

P

L

S

N

N

O

R

M

Á

L

O

V

Ý

R

T

Y

U

E

I

A

O

M

A

V

Y

J

Á

D

Ř

E

N

Í

Y

Á

S

L

O

L

Č

P

Ě

É

K

C

I

R

T

E

M

A

R

A

P

E

U

K

S

N

T

R

R

O

V

N

I

C

E

O

B

E

C

N

Á

N

O

A

Ý

I

O

E

C

I

N

R

Ě

M

S

G

M

E

R

E

T

I

S

F

C

V

Z

Á

V

I

S

L

O

S

T

T

E

Č

U

O

S

L

Í

K

Ý

A

L

U

N

T

S

O

N

Ž

Ě

B

O

N

V

O

R

úsečka,polopřímka, přímka, polorovina,rovina,souřadnice,bod, vektor, počáteční,koncový,velikost,délka, opačný, lineární, kombinace, závislost,skalární,součin,součet,úhel, kolmost,rovnoběžnost, poloha,směr, střed, směrový, normálový,odchylka, parametrické, vyjádření,obecná, rovnice, směrnice, soustava,cos, fí, nula, x, w TAJENKA: Analytická geometrie

3

VY_42_INOVACE_MA_1 _28 Prameny a literatura RNDr. KOČANDRLE, CSc., Milan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo. Matematika pro gymnázia Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2002, ISBN 80-7196-163-9 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora.

4


VY_42_INOVACE_MA_1_29 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Vektory


Srpen 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku. 1. příklad

A = [5; − 8]

B = [− 6; − 19]

První příklad správně

2. příklad

u = (3; − 4 ) u =?

AB = ? AB = B − A = (− 11; − 11)

Správně

Špatně

u = 32 + (− 4) = 9 + 16 = 25 = 5 2

Správně

Špatně

Po zkontrolování výsledku klikněte na příslušné barevné políčko a budete odkázáni na další příklad.

1

První příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně

2. příklad

u = (3; − 4 )

3. příklad

u =?

u = (3; − 4 ) 5⋅u = ?

5 ⋅u = 5 ⋅ (3; − 4) = (15; − 20) u = 32 + (− 4) = 9 + 16 = 25 = 5 2

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně

3. příklad

u = (3; − 4 )

3. příklad

u = (3; − 4 )

5⋅u = ?

5⋅u = ?

5 ⋅u = 5 ⋅ (3; − 4) = (15; − 20)

5 ⋅u = 5 ⋅ (3; − 4) = (15; − 20)

Správně

Špatně

Správně

Špatně

2

První příklad špatně, druhý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

3. příklad

4. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 ) v = (− 1; 2 )

5⋅u = ?

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

5 ⋅u = 5 ⋅ (3; − 4) = (15; − 20) 3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně.

4. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

4. příklad

Špatně

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

Špatně

3

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

4. příklad

u = (3; − 4 )

4. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

u = (3; − 4 )

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 )

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně

4. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

4. příklad

Špatně

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

Špatně

4

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

4. příklad

u = (3; − 4 )

5. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

3⋅ u − 2 ⋅ v = ?

u⋅v = ?

3 ⋅ u − 2 ⋅ v = (9; − 12 ) − (− 2; 4 ) = (11; − 16 ) Správně

u = (3; − 4 )

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

5. příklad

Špatně

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

Špatně

5

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

5. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

u = (3; − 4 )

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

5. příklad

Špatně

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

Špatně

6

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

5. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

u = (3; − 4 )

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

5. příklad

Špatně

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

Špatně

7

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

5. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

u = (3; − 4 )

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

u = (3; − 4 )

u = (3; − 4 )

v = (− 1; 2 )

v = (− 1; 2 )

u⋅v = ?

u⋅v = ?

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

5. příklad

Špatně

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

Špatně

8

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

u = (3; − 4 )

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 1; 2 )

v = (− 4; − 3) γ =?

u⋅v = ? cos γ =

u ⋅ v = 3 ⋅ (− 1) + (− 4 ) ⋅ 2 = −3 − 8 = −11 Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

u = (3; − 4)

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

9

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

10

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

11

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

12

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

13

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

14

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

15

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

6. příklad

u = (3; − 4)

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

v = (− 4; − 3) γ =?

0 5⋅5

cos γ =

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

6. příklad

Špatně

u = (3; − 4)

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u = (3; − 4)

Špatně

u = (3; − 4) v = (− 4; − 3) γ =?

cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

0 5⋅5

γ = 90

Špatně

Správně

Špatně

16

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

vše správně

u = (3; − 4)

6. příklad

v = (− 4; − 3) γ =? cos γ =

u ⋅v u⋅v

=

1

0 5⋅5

γ = 90

Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18



19





1

VY_42_INOVACE_MA_1_30 Vektory – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. K jednotlivým vektorům přiřaďte jejich souřadnice: a. ሺ3; 2ሻ b. ሺ3; −2ሻ c. ሺ−2; 3ሻ d. ሺ−3; −2ሻ

2. Zakreslete vektor AB = (5; − 8) do soustavy souřadnic, je-li dán bod A :

2

VY_42_INOVACE_MA_1_30 3. Je dán vektor AB : a. určete jeho velikost b. napište souřadnice vektoru AC , který je kolmý na vektor AB a má poloviční velikost než vektor AB . Zakreslete vektor AC do soustavy souřadnic.

4. Body A, B, C tvoří trojúhelník. Platí: A[8; − 7 ] , B[2; 9] , AC = (− 12;12 ) . Zakreslete trojúhelník do soustavy souřadnic. Vyznačte střed úsečky AC .

3

VY_42_INOVACE_MA_1_30 Vektory –

Pracovní list – řešení

1. K jednotlivým vektorům přiřaďte jejich souřadnice: a. c = (3; 2 ) b. a = (3; − 2 )

c. d = (− 2; 3)

d. b = (− 3; − 2 )

2. .

3. a. AB = 8 2 + 6 2 = 10

4

VY_42_INOVACE_MA_1_30 b. AC1 = (4; 3)

AC 2 = (− 4; − 3)

4. .

5


6





1

VY_42_INOVACE_MA_1_31 Přímka – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Přímka ‫ ݌‬je dána bodem A[8; − 7 ] a směrovým vektorem u = (− 10;13) . Zakreslete přímku do soustavy souřadnic a zapište její parametrické vyjádření.

2. Přímka ‫ ݌‬je dána bodem A[− 6; 3] a normálovým vektorem n = (2; 5 ) . Zakreslete přímku do soustavy souřadnic a zapište její obecnou rovnici.

2

VY_42_INOVACE_MA_1_31 3. Přímka ‫ ݌‬je dána bodem A a směrovým vektorem u . Zakreslete přímku do soustavy souřadnic a zapište souřadnice jejích průsečíků s osami soustavy souřadnic.

4. V soustavě souřadnic je zakreslena přímka ‫݌‬. Napište její parametrické vyjádření i směrnicovýtvar rovnice.

3

VY_42_INOVACE_MA_1_31 Přímka –

Pracovní list – řešení

1. Parametrické vyjádření x = 8 − 10t y = −7 + 13t t∈R

2. Obecná rovnice 2x + 5 y − 3 = 0

4

VY_42_INOVACE_MA_1_31 3. Px = [2; 0 ] Py = [0; 3]

4. Parametrické vyjádření x = 2−t y=t t∈R Směrnicový tvar rovnice y = −x + 2

5


6


VY_42_INOVACE_MA_1_32 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Vzájemná poloha přímek v rovině


Srpen 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku. 1. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0

První příklad správně

2. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0

b : 4 x − 6 y + 12 = 0 zjisti vzájemnou polohu

b : 4x − 6 y − 2 = 0 zjisti vzájemnou polohu

Rovnoběžné totožné

Rovnoběžné různé

Správně

Špatně

Správně

Špatně

Po zkontrolování výsledku klikněte na příslušné barevné políčko a budete odkázáni na další příklad.

1

První příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně

2. příklad

3. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0

a : 2x − 3y + 6 = 0

b : 4x − 6 y − 2 = 0 zjisti vzájemnou polohu

b : 4x + 3y − 2 = 0 zjisti vzájemnou polohu

Rovnoběžné různé

Různoběžné

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně

3. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0

3. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0



Různoběžné

Různoběžné

Správně

Špatně

Správně

Špatně

2

První příklad špatně, druhý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

3. příklad

4. příklad

a : 2x − 3y + 6 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 4x + y + 2 = 0


Urči souřadnice průsečíku

P[− 1; 2]

Různoběžné

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně.

4. příklad

4. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 4x + y + 2 = 0 Urči souřadnice průsečíku


P[− 1; 2] Správně

Špatně


Špatně

3

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

4. příklad

4. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 4x + y + 2 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 4x + y + 2 = 0




P[− 1; 2]

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně

4. příklad

4. příklad




Špatně


Špatně

4

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

4. příklad

5. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 4x + y + 2 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0


Urči odchylku


γ = 90

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0 Urči odchylku


γ = 90 Správně

Špatně

γ = 90 Správně

Špatně

5

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

Urči odchylku

Urči odchylku

γ = 90 Správně

γ = 90

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad



γ = 90 Správně

Špatně

γ = 90 Správně

Špatně

6

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

Urči odchylku

Urči odchylku

γ = 90 Správně

γ = 90

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad



γ = 90 Správně

Špatně

γ = 90 Správně

Špatně

7

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

Urči odchylku

Urči odchylku

γ = 90 Správně

γ = 90

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

5. příklad



γ = 90 Správně

Špatně

γ = 90 Správně

Špatně

8

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

5. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0 b : 3x + 6 y + 2 = 0

b a;

Napiš obecnou rovnici přímky b

Urči odchylku

2x − y = 0

γ = 90 Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

B[0; 0]∈ b

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b


2x − y = 0 Správně

Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

9

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

10

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

11

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

12

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

13

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

14

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

15

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

6. příklad

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b




První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

2x − y = 0

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

6. příklad

B[0; 0]∈ b

Špatně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0

a : 2x − y + 4 = 0

b a;

b a;

B[0; 0]∈ b



Špatně

B[0; 0]∈ b



Špatně

16

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

vše správně

6. příklad

a : 2x − y + 4 = 0 b a;

B[0; 0]∈ b

1



Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18



19

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Recommend Documents