Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Protokol – „SADA DUM“ Číslo sady DUM:

VY_42_INOVACE_MA_4

Název sady DUM:

Čísla

Název a adresa školy:

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Registrační číslo projektu:

CZ.1.07/1.5.00/34.0596

Číslo a název šablony:

IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků SŠ

Obor vzdělávání:

26-41-M/01 Elektrotechnika, 23-41-M/01 Strojírenství

Tématická oblast ŠVP:

Počítačové řídicí systémy – Opakování učiva základní školy, Algebraické výrazy, Mocniny a odmocniny, Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Výrobní a informační systémy - Opakování učiva základní školy, Algebraické výrazy, Mocniny a odmocniny, Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Matematika, 1.-3. ročník Mgr. Lucie Pošvářová, Mgr. Vladimír Klikar

Předmět a ročník: Autor: Použitá literatura:

Datum vytvoření:

PhDr. BUŠEK, Ivan; Doc. RNDr. BOČEK, CSc., Leo; Doc. RNDr. CALDA, CSc., Emil. Matematika pro gymnázia Základní poznatky. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-34-8, Doc. RNDR. CALDA, CSc., Emil; prof. RNDr. DUPAČ, DrSc., Václav. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 8085849-10-0, Doc. RNDr. CALDA, CSc., Emil. Matematika pro gymnázia Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 80-85849-85-2

leden – říjen 2013

Anotace

Využití ve výuce

Sada obsahuje prezentace, pracovní listy, testy a hry– křížovku, osmisměrku a šibenice.

Vysvětlení nového učiva i možné samostudium, které je podpořeno názornými ukázkami na obrázcích a příkladech. Seznámení s novými pojmy i jejich upevnění, procvičení vysvětlené látky na příkladech.

Vytvořeno v rámci projektu OP VK zavedení nové oblasti podpory 1.5 s názvem Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách. Stránka 1 z 1

VY_42_INOVACE_MA_4_01

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910

VY_42_INOVACE_MA_4_01 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Duben 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596

AKTIVITA JE SPOLUFINANCOVÁNA EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1

VY_42_INOVACE_MA_4_01 Statistika – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Na internetu zjistěte průměrné měsíční teploty v Královehradeckém kraji v daných letech a doplňte níže uvedenou tabulku. Data zjišťujte např. na stránkách Českého hydrometeorologického ústavu. Průměrná denní teplota ve C Měsíc Rok

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Průměr za rok

2000 2010 2011 2012 Průměrná teplota a. Uvedené hodnoty z let 2000, 2010, 2011 a 2012 zpracujte do spojnicového diagramu. Můžete použít například MS Excel. b. Čím se liší léto roku 2000 a 2011 oproti rokům 2010 a 2012? c. Určete, ve kterém roce byl nejteplejší únor. d. Seřaďte jednotlivé roky od nejchladnějšího po nejteplejší. e. Který měsíc je průměrně nejchladnější? f. V kterém měsíci bude nejteplejší počasí v období od května do září (včetně)?

2

VY_42_INOVACE_MA_4_01 2. Na internetu zjistěte průměrné měsíční srážky v Královehradeckém kraji v daných letech a doplňte níže uvedenou tabulku. Data zjišťujte např. na stránkách Českého hydrometeorologického ústavu. Průměrné měsíční srážky v mm Měsíc Rok

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Průměr za rok

2000 2010 2011 2012 Průměrné srážky a. Uvedené hodnoty z let 2000, 2010, 2011 a 2012 zpracujte do sloupcového diagramu. Můžete použít například MS Excel. b. Určete, ve kterém roce a měsíci nejméně pršelo. c. Určete, ve kterém roce byl nejdeštivější srpen. d. Seřaďte jednotlivé roky od nejdeštivějšího po nejméně deštivý. e. Který měsíc je průměrně nejméně deštivý? f. Proprší vám méně dovolená v květnu, červnu, červenci, srpnu nebo v září? 3. Na www.kdejsme.cz zjistěte potřebné informace o svém příjmení a doplňte tabulku: Příjmení Počet výskytů v ČR v roce 2010 Počet výskytů v ČR v roce 2011 Hustota Počet výskytů v Náchodě Oblast s největším počtem výskytů Procentuelní zastoupení v Náchodě1

1

1…………. na ………………….obyvatel

Např. kolik procent příjmení Pošvář/Pošvářová žije v Náchodě z celkového počtu tohoto příjmení v ČR.

3

VY_42_INOVACE_MA_4_01 Statistika – Pracovní list – řešení 1. Průměrná denní teplota ve C Měsíc Rok 2000 2010 2011 2012

1

2

-2,9 1,6 -5,3 -1,8 -1,6 -2,2 -0,8 -5,6

Průměr -2,7 -2,0 za měsíc

3

4

5

6

7

8

9

3,1 11,5 15,2 17,3 15,1 18,6 12,6 2,4 8,1 11,4 16,8 20,1 17 11,2 3,5 10,4 13,2 16,9 16,4 17,7 14,1 4,5 8,1 14,4 16,5 18 17,7 12,6 3,4

10

11

11,1 5,6 6,3 5 7,7 2,6 7,1 5,1

9,5 13,6 16,9 17,4 17,8 12,6 8,1

4,6

0,6 -5,2 1,5 -1,9

Průměr za rok 9,1 7,2 8,4 8,0

-1,3

8,2

12

a.

Průměrné denní teploty 25 20

Teplota ve °C

15 Rok 2000 Rok 2010 Rok 2011 Rok 2012

10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-5 -10 Měsíce

b. V letech 2010 a 2012 teplota roste až do července a pak začne klesat, zatímco v letech 2000 a 2011 v červenci poklesne a v srpnu opět vzroste. Červencové teploty v letech 2000 a 2011 jsou podprůměrné. c. Nejteplejší únor byl v roce 2000. d. Nejchladnější byl rok 2010, pak rok 2012, pak rok 2011 a nejteplejší byl rok 2000. e. Nejchladnější je leden. f. Nejteplejší počasí v období od května do září bude v červenci a srpnu.

4

VY_42_INOVACE_MA_4_01 2. Průměrné měsíční srážky v mm Měsíc Rok

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Průměr za rok

2000 2010 2011 2012

82 58 53 100

76 25 10 50

147 47 26 14

21 51 22 33

74 128 58 62

54 39 82 77

125 90 160 156

45 170 60 86

46 108 63 50

34 11 48 49

59 78 1 36

40 68 87 56

66,9 72,8 55,8 64,1

Průměr 73,3 40,3 58,5 31,8 80,5 63,0 132,8 90,3 66,8 35,5 43,5 62,8 za měsíc

64,9

a. .

Průměrné měsíční srážky 180 160

Srážky v mm

140 120 Rok 2000 Rok 2010 Rok 2011 Rok 2012

100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Měsíce

b. Nejméně pršelo v listopadu roku 2011. c. Nejdeštivější srpen byl v roce 2010. d. Nejdeštivější rok byl rok 2010, pak rok 2000, pak rok 2012 a nejméně deštivý byl rok 2011. e. Nejméně deštivý je duben. f. Nejméně proprší dovolená v červnu a září, pak v květnu a srpnu a nejvíce v červenci.

5


Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Územní teploty [online]. [cit. 7.4.2013]. Dostupný na WWW: http://www.chmu.cz/portal/dt?portal_lang=cs&menu=JSPTabContainer/P4_Historicka_data/P4_1_Poc asi/P4_1_4_Uzemni_teploty&last=fals Územní srážky [online]. [cit. 7.4.2013]. Dostupný na WWW:

http://www.chmu.cz/portal/dt?menu=JSPTabContainer/P4_Historicka_data/P4_1_Pocasi/P4_ 1_5_Uzemni_srazky Kde jsme [online]. [cit. 7.4.2013]. Dostupný na WWW: www.kdejsme.cz

Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

6


VY_42_INOVACE_MA_4_02 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červenec 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Statistika - diagramy


Červenec 2013

Statistické diagramy • pro přehlednost • tři nejvíce používané

Počet rodinných příslušníků Počet rodinných příslušníků

1

2

3

4

5

6

7

Četnost

3

9

24

33

18

2

1

Počet rodinných příslušníků 35

1. spojnicový diagram - Polygon 2. sloupkový diagram - Histogram 3. kruhový diagram

30

SPOJNICOVÝ DIAGRAM

Četnost

25 20

Počet rodinných příslušníků

15 10 5 0 1

2

3

4

5

6

7

Poče t rodinných příslušníků

1

Průměrné měsíční srážky 1 Měsíc průměrné srážky 39 v mm

Výsledky voleb

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

32

70

63

61

79

119

91

108

26

55

63

Politická strana

ČSSD

ODS

KSČM

Koalice KDU-ČSL a US-DEU

Počet mandátů

70

58

41

31

Výsledky voleb do Poslanecké sněmovny z června 2012 průměrné měsíční srážky

16%

140

SLOUPKOVÝ DIAGRAM

průměrné srážky v mm

120

Koalice

100

34%

ČSSD

80 průměrné srážky v mm 60 40

KRUHOVÝ DIAGRAM 21%

KSČM ODS

20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

29%

mě síc

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc.. Matematika pro tříleté učební obory SOU. 3.díl. Praha: Prometheus, 2004, ISBN 80-7196-295-3


2



Statistika - základní pojmy


Červenec 2013

Statistika • sbírá a studuje údaje • objevuje zákonitosti například

•příčiny dopravních nehod na určitém úseku cesty •výsledky hokejových zápasů daného týmu v určitém období

Statistický soubor • souhrn objektů, které jsou zkoumány • osoby, zvířata, rostliny, věci, události,… například

•auta, která projedou v určité době určitým místem •hokejové zápasy daného týmu v určitém období

1

Statistické jednotky

Statistický znak • jev, který u statistických jednotek zkoumáme

• prvky statistického souboru například

1. kvalitativní

•jednotlivá auta, která projedou v určité době určitým místem •jednotlivé hokejové zápasy daného týmu v určitém období

2. kvantitativní

například

•příčina nehody •výsledek hokejového zápasu

Relativní četnost

Četnost •

•

počet jednotek souboru, jejichž znak má určitou hodnotu (vlastnost)

•vytvoříme TABULKU ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ

četnost vydělíme rozsahem souboru Příčina nehody

Rychlost

Alkohol

Počasí

Jiná

Součet

Četnost

158

166

25

21

370

Relativní četnost

158 370

166 370

25 370

21 370

1

Relativní četnost v%

42,7%

44,86%

6,76%

5,68%

například Příčina nehody

Četnost

•

Rychlost

158

Alkohol

166

Počasí

25

Jiná

21

Součet

370

sečteme-li četnosti, dostaneme ROZSAH SOUBORU

•

sečteme-li relativní četnosti, dostaneme 1

•

sečteme-li relativní četnosti v procentech, dostaneme 100

100

2

Příklad •

Prameny a literatura

doplňte tabulku Den narození

Po

Út

St

Čt

Pá

So

Ne

Součet

Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0

Četnost

Relativní četnost


Relativní četnost v%

3



Pravděpodobnost - narozeninový paradox


Červenec 2013

• Jaká je pravděpodobnost toho, že z 25 lidí mají nejméně dva narozeniny ve stejný den ?

• myšleno např. 25.7.

• vypočítáme pravděpodobnost opačného jevu a odečteme od jedné

1

Jev opačný • • • • •

každý z 25 lidí má narozeniny v jiný den celkem možností: n = 36525 počet příznivých možností: m = 365*364*363*...*(366-25) pravděpodobnost vypočítáme jako podíl čísel m a n P(Ā) = 0,4313

A kolik to bude, když budeme mít 48 lidí?

Pravděpodobnost jevu A • P(A) = 1 – 0,4313 • P(A) = 0,5687 • pravděpodobnost toho, že aspoň dva lidé z 25 mají narozeniny ve stejný den je přibližně 56,87%

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc..

Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0

82,89%


2



VY_42_INOVACE_MA_4_05 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červenec 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_4_05 Pravděpodobnost – test

Skupina A 1. Házíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne součet nejvýše rovný 7.

2. Do opravny přivezli 12 přístrojů, z nichž polovina potřebovala generální opravu. Pět přístrojů šlo přímo do dílny. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich potřebuje opravu?

Skupina B 1. Házíme dvěma kostkami. Určete pravděpodobnost, že padne součet aspoň rovný 10.

2. Do opravny přivezli 12 přístrojů, z nichž polovina potřebovala generální opravu. Pět přístrojů šlo přímo do dílny. Jaká je pravděpodobnost, že nejvýše čtyři z nich potřebují opravu?

2

VY_42_INOVACE_MA_4_05 Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Doc. RNDr. Jirásek, František, DrSc., Mgr. Braniš, Karel, PhDr. Horák, Stanislav, CSc., RNDr. Vacek, Milan. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 2. Díl. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 80-7196-012-8 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

3





1


Pravděpodobnost – jev a jev opačný – Pracovní list – zadání, záznamový arch V osudí jsou červené a zelené kuličky. Náhodný pokus – vytáhnu 3 kuličky.

Jev A

Jev opačný k jevu A ....... Ā

Všechny kuličky jsou červené.

Právě jedna kulička je červená.

Právě dvě kuličky jsou červené.

Žádná kulička není červená.

Alespoň jedna kulička je červená.

Alespoň dvě kuličky jsou červené.

Nejvýše dvě kuličky jsou červené.

2

VY_42_INOVACE_MA_4_06 Pravděpodobnost – jev a jev opačný – Pracovní list – řešení

Jev A

Jev opačný k jevu A ....... Ā

Všechny kuličky jsou červené.

Alespoň jedna je zelená.

Právě jedna kulička je červená.

Buď jsou alespoň dvě červené nebo jsou všechny zelené.

Právě dvě kuličky jsou červené.

Buď je nejvýše jedna červená nebo jsou všechny červené.

Žádná kulička není červená.

Alespoň jedna je červená.

Alespoň jedna kulička je červená.

Všechny jsou zelené.

Alespoň dvě kuličky jsou červené.

Nejvýše jedna je červená.

Nejvýše dvě kuličky jsou červené.

Všechny jsou červené.

3

VY_42_INOVACE_MA_4_06 Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4





1

VY_42_INOVACE_MA_4_07 Statistika – kruhový diagram – Pracovní list – zadání, záznamový arch V jisté třídě udělil učitel matematiky v pololetí tyto známky: 2, 3, 5, 5, 4, 2, 2, 4, 2, 5, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 Doplňte tabulku, určete aritmetický průměr, modus a medián. V MS Excel vytvořte kruhový diagram. Známka Četnost Relativní četnost Relativní četnost v %

2

3

4

5

součet

x= Mod (x) = Med (x) =

2


Statistika – kruhový diagram – Pracovní list – řešení Známka Četnost Relativní četnost Relativní četnost v %

2 12 0,43 43

3 11 0,39 39

4 2 0,07 7

5

součet 3 28 0,11 1 11 100

x = 2,86 Mod (x) = 2 Med (x) = 3 Známky v pololetí

5 11% 4 7% 2 43%

2 3 4 5

3 39%

3


4





1

VY_42_INOVACE_MA_4_08 Úprava výrazů - mocniny – Pracovní list – zadání, záznamový arch S pojmem mocnina se setkáváme již ve starověkém Řecku. Trvalo však velmi dlouho než nauka o mocninách dosáhla své dnešní podoby. Zápis mocnin, který se používá dnes, zavedl francouzský matematik a filosof ……………………viz tajenka …………………………….. Upravte následujících 13 výrazů a výsledky zapište do tabulky tak, že do jednoho okénka napíšete jednu číslici resp. Jedno písmenko (i s exponentem). Číslice pište první, pak písmena podle abecedy. Např. 25ܽଶ ܾ ଺ zapíšete následovně: 2

1. 2.

ଷ௘ ర ௙ య

4.

4݁ ିସ ∙ 3݁ ହ ଼ௗషయ ସௗషర

6.

ሺ2݁ ଷ ሻଶ ∙ ݁ ିହ

7.

ሺ‫ ݏݎ‬ଶ ‫ି ݐ‬ସ ሻଷ ∙ ‫ି ݎ‬ଵ ‫ି ݏ‬ହ ‫ݐ‬ଵ଻

8.

ሺ7ܽ଺ ܾ ିଷ ܿ ିଶ ݀ሻ ∙ ሺ8ܽିଷ ܾ ିହ ܿ ଷ ݀ ିଵ ሻ

9.

ሺ91ܽି଻ ܾ ହ ܿ ିଵ ݀ሻ ÷ ሺ7ܽି଼ ܾ ଷ ܿ ିଵ ݀ ଶ ሻ

11.

ܾ଺

ଷ଺௘ ఱ ௙ ర

ሺ2݉ሻଶ ݊

10.

ܽଶ

2‫ ∙ ݏݎ‬2‫ݏ‬

3.

5.

5

ହ௥௧௨ ଵ଴௥ మ ௧ మ ௦మ ଶ௥ ఱ ௧௨మ ଷ௥ ర ௧ య ௨

∙ 2‫ ݎ‬ଶ ‫ି ݐ‬ଶ ‫ݑ‬ଷ

÷ ሺ3‫ ݎ‬ସ ‫ ݐ‬ଷ ‫ݑ‬ሻିଵ

12. ሺ4݁ ଷ ݂ ଶ ݃ሻଷ ∙ ሺ2݁ ସ ݂ ହ ݃ିଶ ሻିଶ 13. ሺ5‫ ݎ‬ହ ‫ି ݏ‬ହ ‫ି ݐ‬ଵଵ ሻଶ ∙ ሺ4‫ି ݎ‬ଶ ‫ݏ‬ଵଵ ‫ ݐ‬ଶ ሻ

2


Úprava výrazů - mocniny – Pracovní list – řešení

3

VY_42_INOVACE_MA_4_08 Prameny a literatura PhDr. Bušek, Ivan, Doc. RNDr. Boček, Leo, CSc., Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro gymnázia, Základní poznatky z matematiky. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4

VY_42_INOVACE_MA_4 _09




1

VY_42_INOVACE_MA_4 _09 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika – pojmy - osmisměrka – Pracovní list – zadání, záznamový arch V tabulce vyškrtejte uvedená slova. Každé písmeno je použito maximálně v jednom slově. Z nepoužitých písmen sestavte tajenku. Vyškrtávat můžete všemi osmi směry. Písmeno „Ch“ je rozděleno do dvou okének jako „C“ a „H“. K

O

M

B

I

N

A

T

O

R

I

K

A

H

A

S

Z

O

R

Í

F

A

V

K

E

C

A

T

U

M

R

E

P

Č

Í

S

L

O

N

V

A

T

J

Ě

O

T

R

O

J

Ú

H

E

L

N

Í

K

P

Á

A

B

K

O

I

N

T

M

Í

N

V

I

T

A

L

E

R

A

V

R

S

I

T

N

S

U

S

A

B

M

E

D

I

Á

N

K

S

O

I

T

S

N

O

D

T

L

N

A

D

I

T

Á

R

K

A

C

K

A

A

J

O

O

R

O

Ý

A

P

L

U

S

N

A

P

N

A

A

C

T

E

L

U

M

I

H

Ý

N

Ž

O

M

E

N

A

Z

L

P

E

I

V

Y

A

B

I

Á

A

B

S

O

L

U

T

N

Í

C

O

A

S

S

T

C

L

O

C

L

Í

N

Č

A

N

I

B

M

O

K

E

T

U

P

Z

E

B

R

K

S

T

O

A

K

L

Y

H

C

D

O

I

D

Z

J

E

D

N

A

Á

D

O

P

L

Ň

K

O

V

Ý

B

K

O

O

N

Á

H

O

D

N

Ý

E

S

R

Ě

M

Ů

R

P

I

A

M

R

L

T

S

O

N

T

E

Č

P

R

A

V

D

Ě

P

O

D

O

B

N

O

S

T

A

G

E

M

O

Kombinatorika, variace, permutace, kombinace, opakování, bez, faktoriál, kombinační, číslo, binomická, věta, nad, Pascal, trojúhelník, statistika, pravděpodobnost, soubor, rozsah, četnost, relativní, absolutní, modus, medián, průměr, znak, hodnota, odchylka, rozptyl, jev, jistý, nemožný, náhodný, doplňkový, sto, nula, jedna, krát, plus, omega

2


Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika - pojmy – Pracovní list – řešení K

O

M

B

I

N

A

T

O

R

I

K

A

H

A

S

Z

O

R

Í

F

A

V

K

E

C

A

T

U

M

R

E

P

Č

Í

S

L

O

N

V

A

T

J

Ě

O

T

R

O

J

Ú

H

E

L

N

Í

K

P

Á

A

B

K

O

I

N

T

M

Í

N

V

I

T

A

L

E

R

A

V

R

S

I

T

N

S

U

S

A

B

M

E

D

I

Á

N

K

S

O

I

T

S

N

O

D

T

L

N

A

D

I

T

Á

R

K

A

C

K

A

A

J

O

O

R

O

Ý

A

P

L

U

S

N

A

P

N

A

A

C

T

E

L

U

M

I

H

Ý

N

Ž

O

M

E

N

A

Z

L

P

E

I

V

Y

A

B

I

Á

A

B

S

O

L

U

T

N

Í

C

O

A

S

S

T

C

L

O

C

L

Í

N

Č

A

N

I

B

M

O

K

E

T

U

P

Z

E

B

R

K

S

T

O

A

K

L

Y

H

C

D

O

I

D

Z

J

E

D

N

A

Á

D

O

P

L

Ň

K

O

V

Ý

B

K

O

O

N

Á

H

O

D

N

Ý

E

S

R

Ě

M

Ů

R

P

I

A

M

R

L

T

S

O

N

T

E

Č

P

R

A

V

D

Ě

P

O

D

O

B

N

O

S

T

A

G

E

M

O

Kombinatorika, variace,permutace, kombinace, opakování, bez, faktoriál, kombinační,číslo, binomická, věta, nad, Pascal,trojúhelník, statistika,pravděpodobnost, soubor, rozsah,četnost, relativní,absolutní,modus,medián, průměr, znak,hodnota, odchylka, rozptyl, jev,jistý, nemožný,náhodný, doplňkový, sto, nula, jedna, krát, plus,omega TAJENKA: Blaise Pascal

3

VY_42_INOVACE_MA_4 _09 Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4





1

VY_42_INOVACE_MA_4_10 Vyjadřování neznámé ze vzorce – Pracovní list – zadání, záznamový arch Najděte dané vzorce z mechaniky v tabulkách a vyjádřete neznámou uvedenou v závorce. 1. Hustota homogenní látky (V) 2. Hybnost tělesa (v) 3. Moment síly (F) 4. Průměrný výkon (t) 5. Rovnoměrný pohyb po kružnici – úhlová dráha (s) 6. Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb – dráha (v0) 7. Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb – rychlost (t) 8. Rovnoměrný pohyb – dráha (t) 9. Rovnováha na páce (b) 10. Rovnováha na volné kladce (F2) 11. Rovnováha u kola na hřídeli (r) 12. Tíha (m) 13. Tíhová síla (F0) 14. Tíhová síla (m) 15. Třetí Keplerův zákon (T2) 16. Volný pád – dráha (t)

2

VY_42_INOVACE_MA_4_10 Vyjadřování neznámé ze vzorce – Pracovní list – řešení 1. =

=

2. = ∙ =

=

3. = ∙ = 4. =

5. = = ∙

6. = + ∙ + ∙ =

7. = + =

$$

8. = ∙ =

9. ∙ = ∙ % % =

! "

#∙ "

#

$ &! ∙# &"

10. = = 2 11. ∙ ( = ∙ =

&! ∙) &"

,

12. * = ∙ + = 13. , = - + = , − 14. , = ∙ + =

&/ -

15. 0 ÷ 0 = 2 ÷ 2 0 = 3

4!" ∙#"5 #!5

16. = + ∙ = 3 -

3

VY_42_INOVACE_MA_4_10 Prameny a literatura RNDr. Mikulčák, Jiří, CSc., Doc. Ing. Dr. tech. Klimeš, Bohdan, CSc., RNDr. Široký, Jaromír, CSc., RNDr. Šůla, Václav, RNDr. Zemánek, František. Matematické, fyzikální a chemické tabulky. Praha: SPN, 1990, ISBN 80-04-24962-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4


VY_42_INOVACE_MA_4_11 Vytvořila: Mgr. Lucie Pošvářová Červenec 2013

Absolutní hodnota reálného čísla

V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Červenec 2013

Absolutní hodnota reálného čísla značíme

definujeme

a∈R

Příklady:

2=

a

− 3,5 =

pro a ≥ 0 a = a pro a < 0 a = −a

10 − 3 − − 17 − (− 5) = 7 − 4 − 11 = Řěšení

1

Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla

Absolutní hodnota reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku. −55

-5

Znázorněte na číselné ose všechna reálná čísla, pro která platí:

x =4 - hledáme všechna čísla x, jejichž vzdálenost od nuly je 4

2

0

-4

2

0

4

x ∈ {− 4; 4}



x ≤4

x >4

-hledáme všechna čísla x, jejichž vzdálenost od nuly je 4 nebo menší než 4

-4

0

4

x ∈ − 4; 4

-hledáme všechna čísla x, jejichž vzdálenost od nuly je větší než 4

-4

0

4

x ∈ (− ∞; − 4) ∪ (4; ∞ )

2

Geometrický význam absolutní hodnoty rozdílu reálných čísel Absolutní hodnota rozdílu reálných čísel je rovna Vzdálenosti jejich obrazů na číselné ose.


x−2 = 4 - hledáme všechna čísla x, jejichž vzdálenost od 2 je 4

7 10 − 3 3 − 10 =

3

-2

10

2

6

x ∈ {− 2; 6}


2= 2

x+2 = 4

− 3,5 = 3,5

x − (− 2 ) = 4

10 − 3 − − 17 − (− 5) =

- hledáme všechna čísla x, jejichž vzdálenost od -2 je 4

-6

-2

= 7 − − 17 + 5 = 7 − − 12 = 7 − 12 = −5

7 − 4 − 11 =

2

x ∈ {− 6; 2}

= 7− −7 = 7−7 = 0 = 0

3

Prameny a literatura PhDr. Bušek, Ivan, Doc. RNDr. Boček, Leo, CSc., Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc.

Matematika pro gymnázia Základní poznatky z matematiky. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0


4



Číselné obory


Červenec 2013

Přirozená čísla

Celá čísla - vyjadřují počet

1, 2, 3, 4,…

N

- přirozená čísla, čísla k nim opačná a nula

… , − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3,…

N

Z

1

Racionální čísla

Iracionální čísla

- lze je napsat ve tvaru zlomku

2 7 − 3,26; ; − 1, 08080…;1;− 2 ; 3;… 7 9

N

Z

- nelze je napsat ve tvaru zlomku - mají nekonečný neperiodický desetinný rozvoj

e; π ; 2 ; 3; cos 30 …

Q

N

Reálná čísla

Z

Q

I

Kam patří?

N ⊂Z ⊂Q⊂R I⊂R

−6 100 0 sin 60 10

6 23

− 0 , 26 R

9

R

N

Z

Q

I N

Z

Q

I

2

N0 −

Z Z 0+

R−

R+ + 0

R

R0−

0; 1; 2; 3; …

Prameny a literatura

Kladná reálná čísla PhDr. Bušek, Ivan, Doc. RNDr. Boček, Leo, CSc., Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc.

Nezáporná reálná čísla


0; 1; 2; 3; …

Záporná reálná čísla -1; -2; -3; -4; …


Nekladná reálná čísla

3



Usměrňování zlomků


Červenec 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku.

1 2

1. příklad

1 2 2 ⋅ = 2 2 2

Správně

Špatně

První příklad správně

2. příklad

8 2

8 2 8 2 ⋅ = =4 2 2 2 2

Správně

Špatně

Po zkontrolování výsledku klikněte na příslušné barevné políčko a budete odkázáni na další příklad.

1

První příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně

8 2

2. příklad

(

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně

)

4 5 −1 4 5 −1 ⋅ = = 5 −1 5 −1 5 + 1 5 −1

8 2 8 2 ⋅ = =4 2 2 2 2

Správně

4 5 +1

3. příklad

Správně

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně

4 5 +1

3. příklad

(

)

4 5 −1 4 5 −1 ⋅ = = 5 −1 5 −1 5 + 1 5 −1

Správně

Špatně

4 5 +1

3. příklad

(

)

4 5 −1 4 5 −1 ⋅ = = 5 −1 5 −1 5 + 1 5 −1

Správně

Špatně

2

První příklad špatně, druhý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

4 5 +1

3. příklad

(

)

(

4 5 −1 4 5 −1 ⋅ = = 5 −1 5 −1 5 + 1 5 −1

Správně

6 5− 2

4. příklad

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Špatně

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

)

Špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně.

6 5− 2

4. příklad

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

Špatně

6 5− 2

4. příklad

)

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

)

Špatně

3

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně

6 5− 2

4. příklad

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

6 5− 2

4. příklad

(

)

Špatně

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

)

Špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně

6 5− 2

4. příklad

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

Špatně

6 5− 2

4. příklad

)

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

)

Špatně

4

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně

6 5− 2

4. příklad

(

) (

6 5+ 2 6 5+ 2 ⋅ = =2 5− 2 5− 2 5− 2 5+ 2

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

5. příklad

)

3

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

Špatně

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

3

1 3 2

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

Špatně

5

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

5. příklad

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

1 3 2

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

3

Špatně

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

3

1 3 2

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

Špatně

6

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

5. příklad

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

1 3 2

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

3

Špatně

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

3

1 3 2

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

Špatně

7

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

5. příklad

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně

5. příklad

3

1 3 2

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

3

Špatně

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně

5. příklad

3

1 3 2

Špatně

1 3 2

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

Špatně

8

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně

1 3 2

5. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 3 22 3 22 3 4 ⋅ = = 2 2 2 3 22

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

9

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

10

První příklad správně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

11

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

12

První příklad správně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

13

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

14

První příklad špatně, druhý příklad správně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

15

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad správně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

1 3 9

6. příklad

3

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

3

Špatně

1 3 9

6. příklad

Špatně

1 3 9

6. příklad

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad špatně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad správně, pátý příklad správně

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad správně

Špatně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

Špatně

16

První příklad špatně, druhý příklad špatně, třetí příklad špatně, čtvrtý příklad špatně, pátý příklad špatně

vše správně

1 3 9

6. příklad

3

1 33 33 ⋅ = 3 9 33

Správně

1

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



Druhá a třetí odmocnina


Červenec 2013

Pokud se chcete ještě zachránit, vyřešte následujících 6 příkladů. Za každé správné řešení vám zmizí část obrázku. 1. příklad

8

= 4⋅2 = 4 ⋅ 2 = 2 2

Správně

Špatně


2. příklad

3

81

= 3 27 ⋅ 3 = 3 27 ⋅ 3 3 = 3 ⋅ 3 3

Správně

Špatně


1



2. příklad

3

3. příklad

81

= 3 27 ⋅ 3 = 3 27 ⋅ 3 3 = 3 ⋅ 3 3

Správně

= 3 ⋅ 27 = 81 = 9

Špatně


3 ⋅ 27

Správně

Špatně


3. příklad

3 ⋅ 27

= 3 ⋅ 27 = 81 = 9

Správně

Špatně

3. příklad

3 ⋅ 27

= 3 ⋅ 27 = 81 = 9

Správně

Špatně

2



3. příklad

4. příklad

3 ⋅ 27

= 3 ⋅ 27 = 81 = 9

Správně

x5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Špatně


3

Správně

Špatně


4. příklad

3

x

5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

Špatně

4. příklad

3

x5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

Špatně

3



4. příklad

3

4. příklad

x5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

x5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Špatně


3

Správně

Špatně


4. příklad

3

x

5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

Špatně

4. příklad

3

x5

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

Špatně

4



4. příklad

3

5. příklad

x5

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

= 3 x3 ⋅ x 2 = 3 x3 ⋅ 3 x 2 = x ⋅ 3 x 2

Správně

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

5



5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75

12 − 48 + 2 75

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

6



5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75

12 − 48 + 2 75

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

7



5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75

12 − 48 + 2 75

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

= 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně

Špatně

8



5. příklad

12 − 48 + 2 75 = 4 ⋅ 3 − 16 ⋅ 3 + 2 ⋅ 25 ⋅ 3 = 2 3 − 4 3 + 10 3 = 8 3

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

9



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

10



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

11



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

12



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

13



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

14



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

15



6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 16 − 1024 3

3

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně


= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Správně


128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

Špatně

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Špatně

6. příklad 3

6. příklad 3

Špatně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

Špatně

16


vše správně

6. příklad 3

128 + 2 ⋅ 3 16 − 3 1024

= 3 64 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 8 ⋅ 2 − 3 512 ⋅ 2 = 4 ⋅ 3 2 + 4 ⋅ 3 2 − 8 ⋅ 3 2 = 0

Správně

1

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



Faktoriál


Červenec 2013


3!+0!


2. příklad

4!−(3!)!

= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 − (3 ⋅ 2 ⋅1)!= 24 − 6!= 24 − 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 − 720 = −696 = 3 ⋅ 2 ⋅1 + 1 = 6 + 1 = 7

Správně

Špatně

Správně

Špatně


1



4!−(3!)!

2. příklad

7! 5!

3. příklad

= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 − (3 ⋅ 2 ⋅1)!= 24 − 6!= 24 − 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 − 720 = −696 =

Správně

Špatně


7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 7 ⋅ 6 = 42 5!

Správně

Špatně


7! 5!

3. příklad

=

7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 7 ⋅ 6 = 42 5!

Správně

Špatně

7! 5!

3. příklad

=

7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 7 ⋅ 6 = 42 5!

Správně

Špatně

2



7! 5!

3. příklad

=

4. příklad

7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 7 ⋅ 6 = 42 5!

Správně

=

Špatně


10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně


4. příklad

=

10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně

4. příklad

=

10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně

3



4. příklad

=

10! 3!⋅5!

4. příklad

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

=

Špatně


10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně


4. příklad

=

10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně

4. příklad

=

10! 3!⋅5!

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně

Špatně

4



4. příklad

=

5. příklad =

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5040 3 ⋅ 2 ⋅ 5!

Správně


5. příklad =

10! 3!⋅5!

10! 3!+5!

Špatně

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně

Špatně

Správně


5. příklad =

Špatně

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně

Špatně

5


5. příklad =

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

5. příklad =

10! 3!+5!

Špatně

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Špatně

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


Špatně

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně

Špatně

6


5. příklad =

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

5. příklad =

10! 3!+5!

Špatně

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Špatně

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


Špatně

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně

Špatně

7


5. příklad =

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

5. příklad =

10! 3!+5!

Špatně

Správně


5. příklad =

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Špatně

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


Špatně

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně

Špatně

8


5. příklad =

10! 3!+5!

10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 28800 3!+5 ⋅ 4 ⋅ 3! 3!⋅(1 + 5 ⋅ 4) 21

Správně


=

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

9


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

10


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

11


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

12


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

13


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

14


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

15


=

6. příklad

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

6. příklad

=

(n + 3)! (n + 1)!

Špatně

6. příklad

Správně


=

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Špatně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně


6. příklad

Špatně

(n + 3)! (n + 1)!

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

Správně

Špatně

16


=

6. příklad

(n + 3)! (n + 1)!

vše správně

(n + 3) ⋅ (n + 2) ⋅ (n + 2)! = (n + 3)⋅ (n + 2) = n 2 + 5n + 6 (n + 1)!

1 Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



Intervaly


Červenec 2013



2. příklad

Zapište danou nerovnost pomocí intervalu

−8 ≤ x < 5 x ∈ − 8; 5)

Správně

Zapište daný interval pomocí nerovnosti

x ∈ 7,5; ∞ )

x ≥ 7,5

Špatně

Správně

Špatně


1



2. příklad

3. příklad

(− 7; 3 ∪ (− 4; 5)

Zapište daný interval pomocí nerovnosti

x ∈ 7,5; ∞ )

(− 7; 5)

x ≥ 7,5

Správně

Špatně


Správně

Špatně


3. příklad

(− 7; 3 ∪ (− 4; 5) (− 7; 5)

Správně

3. příklad

(− 7; 3 ∪ (− 4; 5) (− 7; 5)

Špatně

Správně

Špatně

2



3. příklad

4. příklad

(− 7; 3 ∪ (− 4; 5)

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5) (− 4; 3

(− 7; 5)

Správně

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5) (− 4; 3

Správně

4. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5) (− 4; 3

Špatně

Správně

Špatně

3



4. příklad

4. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5)

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5)

(− 4; 3

Správně

(− 4; 3

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5) (− 4; 3

Správně

4. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5) (− 4; 3

Špatně

Správně

Špatně

4



4. příklad

5. příklad

(− 7; 3 ∩ (− 4; 5)

− 7; − 4 ∩ (3; 5

(− 4; 3

Správně

Ø

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně

Správně

Špatně

5



5. příklad

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně

Správně

Špatně

6



5. příklad

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně

Správně

Špatně

7



5. příklad

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

5. příklad

− 7; − 4 ∩ (3; 5

Ø

Správně

Ø

Špatně

Správně

Špatně

8


5. příklad


− 7; − 4 ∩ (3; 5

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

Ø

R

Správně


Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

9



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

10



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

11



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

12



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

13



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

14



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

15



6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně


R

Špatně

Správně


6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

R

Správně

Špatně

R

Špatně

Správně

Špatně

16


vše správně

6. příklad

(− ∞; 7 ∪ (− 4; ∞ )

1

R

Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



Absolutní hodnota reálného čísla


Červenec 2013


2. příklad

5 − 2 − 12 − 15 = 3 − −3 = 3−3 = 0

Správně


Špatně

x = 16

x ∈ {− 16;16}

Správně

Špatně


1



2. příklad

3. příklad

x ≤5 x = 16 x ∈ − 5; 5

x ∈ {− 16;16}

Správně

Špatně


Správně

Špatně


3. příklad

3. příklad

x ≤5 x ∈ − 5; 5

Správně

Špatně

x ≤5 x ∈ − 5; 5

Správně

Špatně

2



3. příklad

4. příklad

x ≤5

x >5 x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

x ∈ − 5; 5

Správně

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

4. příklad

x >5 x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

Špatně

x >5 x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

Špatně

3



4. příklad

4. příklad

x >5

x >5

x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

4. příklad

x >5 x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

Špatně

x >5 x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

Špatně

4



4. příklad

5. příklad

x >5

x−3 > 4

x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (5; ∞ )

Správně

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

5



5. příklad

5. příklad

x−3 > 4

x−3 > 4

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

6



5. příklad

5. příklad

x−3 > 4

x−3 > 4

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

7



5. příklad

5. příklad

x−3 > 4

x−3 > 4

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

x−3 > 4 x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně

Špatně

8



5. příklad

6. příklad

x−3 > 4

x+2 ≤3

x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (7; ∞ )

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

9



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

10



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

11



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

12



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

13



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

14



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

15



6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3

x+2 ≤3

x ∈ − 5;1

Správně


x ∈ − 5;1

Špatně

Správně


6. příklad

6. příklad

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

x+2 ≤3 x ∈ − 5;1

Špatně

Správně

Špatně

16


vše správně

6. příklad

x+2 ≤3

1

x ∈ − 5;1

Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19



VY_42_INOVACE_MA_4_18 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo GP: CZ.1.07/1.5.00/34.0596


1

VY_42_INOVACE_MA_4 _18 Komplexní čísla – pojmy - osmisměrka – Pracovní list – zadání, záznamový arch V tabulce vyškrtejte uvedená slova. Každé písmeno je použito maximálně v jednom slově. Pozor na slova jako na příklad Gauss a Gaussova. Z nepoužitých písmen sestavte tajenku. Vyškrtávat můžete všemi osmi směry. Písmeno „Ch“ je rozděleno do dvou okének jako „C“ a „H“. I

G

O

N

I

O

M

E

T

R

I

C

K

Ý

A

N

D

E

J

A

K

M

S

L

Í

D

Z

O

R

G

A

U

S

S

O

V

A

R

A

T

O

T

A

D

R

I

V

K

V

A

D

R

A

T

I

C

K

Á

B

O

M

N

E

G

R

O

A

Ů

C

Á

K

C

I

M

O

N

I

B

S

N

P

E

S

A

I

U

V

N

E

I

Í

N

Ě

N

C

O

M

U

O

D

L

M

U

L

F

N

Ž

N

I

R

R

Í

G

A

U

S

S

S

L

O

E

U

N

F

Í

C

Á

E

I

V

V

A

N

K

A

R

L

I

U

H

X

G

Í

A

E

D

N

R

N

C

O

I

N

X

R

S

X

N

T

F

N

R

M

R

P

I

R

C

N

É

E

R

O

I

E

E

S

U

N

T

Ě

A

O

O

Č

G

A

I

H

Í

C

O

S

M

N

L

Á

S

Í

S

K

Z

D

U

B

E

T

A

S

O

U

Č

E

T

L

C

P

L

U

Á

V

Í

O

Í

N

L

Á

I

C

N

E

N

O

P

X

E

O

M

N

Č

L

S

Ý

K

C

I

A

R

B

E

G

L

A

R

Y

Z

E

M

O

Á

Č

Í

S

L

O

A

T

V

A

R

R

A

K

T

O

N

D

E

J

K

komplexní, číslo, reálná, imaginární, část, jednotka, mocnina, ryze, algebraický, goniometrický, tvar, sinus, cos, alfa, beta, fí, exponenciální, komplexně, sdružené, součet, rozdíl, součin, podíl, umocnění,Moivreův, vzorec, absolutní, hodnota, argument, kvadratická, binomická, rovnice, Karl, Gauss, Gaussova, rovina, mínus, jedna, C, i, R, x

2


Komplexní čísla – pojmy - osmisměrka – Pracovní list – řešení I

G

O

N

I

O

M

E

T

R

I

C

K

Ý

A

N

D

E

J

A

K

M

S

L

Í

D

Z

O

R

G

A

U

S

S

O

V

A

R

A

T

O

T

A

D

R

I

V

K

V

A

D

R

A

T

I

C

K

Á

B

O

M

N

E

G

R

O

A

Ů

C

Á

K

C

I

M

O

N

I

B

S

N

P

E

S

A

I

U

V

N

E

I

Í

N

Ě

N

C

O

M

U

O

D

L

M

U

L

F

N

Ž

N

I

R

R

Í

G

A

U

S

S

S

L

O

E

U

N

F

Í

C

Á

E

I

V

V

A

N

K

A

R

L

I

U

H

X

G

Í

A

E

D

N

R

N

C

O

I

N

X

R

S

X

N

T

F

N

R

M

R

P

I

R

C

N

É

E

R

O

I

E

E

S

U

N

T

Ě

A

O

O

Č

G

A

I

H

Í

C

O

S

M

N

L

Á

S

Í

S

K

Z

D

U

B

E

T

A

S

O

U

Č

E

T

L

C

P

L

U

Á

V

Í

O

Í

N

L

Á

I

C

N

E

N

O

P

X

E

O

M

N

Č

L

S

Ý

K

C

I

A

R

B

E

G

L

A

R

Y

Z

E

M

O

Á

Č

Í

S

L

O

A

T

V

A

R

R

A

K

T

O

N

D

E

J

K

komplexní, číslo,reálná,imaginární,část, jednotka, mocnina,ryze, algebraický,goniometrický, tvar, sinus, cos,alfa, beta, fí,exponenciální,komplexně, sdružené, součet,rozdíl, součin,podíl, umocnění,Moivreův, vzorec,absolutní,hodnota, argument, kvadratická,binomická, rovnice, Karl,Gauss,Gaussova, rovina, mínus, jedna, C, i, R, x TAJENKA: Karl Friedrich Gauss

3

VY_42_INOVACE_MA_4 _18 Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro gymnázia, Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4

6.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_4_19 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Znázornění komplexních čísel v Gaussově rovině


Srpen 2013

Gaussova rovina Osa x se nazává reálná osa. Jsou na ní zobrazena reálná čísla a + 0i. Osa y se nazává imaginární osa. Jsou na ní zobrazena ryze imaginární čísla 0 + bi.

Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině Zobrazte v Gaussově rovině čísla : 4 + 2i − 2 − 8i −7+i 8-7i.

1

6.2.2014

Zobrazení komplexních čísel v Gaussově rovině Zobrazte v Gaussově rovině čísla : z = 4 + 2i z = 4 − 2i − z = −4 − 2i

Sčítání komplexních čísel v Gaussově rovině

(4 + 2i ) + (− 2 − 8i ) = 2 − 6i

Odčítání komplexních čísel v Gaussově rovině

(4 + 2i ) − (− 2 − 8i )

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro gymnázia Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 80-85849-85-2

Odečíst komplexní číslo znamená přičíst číslo opačné.

(4 + 2i ) + (2 + 8i ) = 6 + 10i


2

6.2.2014



Absolutní hodnota komplexního čísla


Srpen 2013

Absolutní hodnota komplexního čísla je rovna vzdálenosti jeho obrazu v Gaussově rovině od počátku soustavy souřadnic.

Zobrazte v Gaussově rovině všechna komplexní čísla, pro která platí:

z =6

1

6.2.2014


z ≤6


z ≥6


z <6


z >6

2

6.2.2014


z−2 ≤3


z + 3i ≥ 5 z − (− 3i ) ≥ 5



z − 2 + 3i ≤ 3

z − 2 = z + 2i

z − (2 − 3i ) ≤ 3

z − 2 = z − (− 2i )

3

6.2.2014



z − 2 ≤ z + 2i

z − 2 > z + 2i

z − 2 ≤ z − (− 2i )

z − 2 > z − (− 2i )


z − 2 + 3i ≤ z + 7 − 2i


z − (2 − 3i ) ≤ z − (− 7 + 2i ) Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

4



Komplexní čísla


Srpen 2013


i5 = i 4+1 = i


2. příklad

z = −1,4 + 2,3i z =? −z =?

z = −1,4 − 2,3i − z = 1,4 − 2,3i

Správně

Špatně

Správně

Špatně


1



2. příklad

z = −1,4 + 2,3i

3. příklad

z =? −z =?

z1 = 3 + 5i z 2 = −6 + 3i z1 + z 2 = ?

z = −1,4 − 2,3i − z = 1,4 − 2,3i

3 + 5i − 6 + 3i = − 3 + 8i =

Správně

Špatně


Správně

(− 3)2 + 82

= 9 + 64 = 73

Špatně


3. příklad

z1 = 3 + 5i z 2 = −6 + 3i z1 + z 2 = ?

3 + 5i − 6 + 3i = − 3 + 8i =

Správně

(− 3)2 + 82

= 9 + 64 = 73

Špatně

3. příklad

z1 = 3 + 5i z 2 = −6 + 3i z1 + z 2 = ?

3 + 5i − 6 + 3i = − 3 + 8i =

Správně

(− 3)2 + 82

= 9 + 64 = 73

Špatně

2


3. příklad

z1 = 3 + 5i


4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

z 2 = −6 + 3i z1 + z 2 = ?

3 + 5i − 6 + 3i = − 3 + 8i =

Správně

(− 3)2 + 82

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

= 9 + 64 = 73

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Správně

Špatně

4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Správně

Špatně

3



4. příklad

4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Správně

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Správně

Špatně

4. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

Správně

Špatně

4



4. příklad

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

= −1 + i + i − i 2 = −1 + 2i + 1 = 2i

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

Správně


Špatně


5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

5



5. příklad

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

(

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Špatně

Správně


Špatně


5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

6



5. příklad

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

(

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Špatně

Správně


Špatně


5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

7



5. příklad

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

(

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Špatně

Správně


Špatně


5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )

5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

2

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

(

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně

Špatně

8



5. příklad

(− 1 + i ) ⋅ (1 − i )2

6. příklad

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

(

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

)

= (− 1 + i ) ⋅ 1 − 2i + i 2 = (− 1 + i ) ⋅ (− 2i ) = 2i − 2i 2 = 2 + 2i

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

9


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

10


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

11


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

12


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

13


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

14


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

15


6. příklad

1 + 3i 2 − 5i


1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =


6. příklad

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

=

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

6. příklad

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně


6. příklad

Špatně

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

16


vše správně

6. příklad

1 + 3i 2 − 5i

1 + 3i 2 + 5i 2 + 6i + 5i + 15i 2 ⋅ = = 2 − 5i 2 + 5i 4 + 25 =

1

2 + 11i − 15 13 11 =− + i 29 29 29

Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc.

Matematika pro gymnázia Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 80-85849-85-2


19

6.2.2014



Mocniny imaginární jednotky i


Srpen 2013

i 2 = −1

i 2 = −1

i3 =

= i 2+1 = = i2 ⋅i = = −1 ⋅ i =

= −i

i4 =

= i 2+2 = = i2 ⋅ i2 = = −1 ⋅ (− 1) =

=1 1

6.2.2014

i14 = = i 4⋅3+ 2 = 3 = (i 4 ) ⋅ i 2 =

= 1 ⋅ (− 1) =

= −1 i +i +i +i 13

23

33

= −i + i12 +1 + i 20+ 3 + i 32+1 = = −i + i − i + i =

=0

i = −1

i 4 k + 2 = −1

i = −i

i 4 k + 3 = −i

i4 = 1

i 4k = 1

2

3

3

i 4 k +1 = i

i

=

3



2





1

VY_42_INOVACE_MA_4_23 Komplexní čísla – Pracovní list – zadání, záznamový arch 1. Které z níže uvedených komplexních čísel je znázorněno v Gaussově rovině? a. z1 = 5 + 3i b. z1 = 3 + 5i c. z1 = −5 + 3i d. z1 = 5 − 3i

2. Daným komplexním číslům přiřaďte absolutní hodnotu: a. 4 b. 6 c. 2 d. 5

2

VY_42_INOVACE_MA_4_23 3. Sečtěte graficky komplexní čísla z1 a z 2 , výsledek ověřte výpočtem:

4. Do Gaussovy roviny zakreslete − z1 a z 2 , výsledek také vždy zapište jako komplexní číslo v algebraickém tvaru:

3

VY_42_INOVACE_MA_4_23 Komplexní čísla – Pracovní list – řešení 1. c 2. a. z 2 = 4 b. z 3 = 6 c. z 4 = 2 d. z1 = 5 3. z1 + z 2 = = 1 + 3i + 6 − 8i = = 7 − 5i

4.

− z1 = −1 − 3i z 2 = 6 + 8i

4

VY_42_INOVACE_MA_4_23 Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc. Matematika pro gymnázia, Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0 Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu. Všechny neocitované kliparty a další grafické objekty jsou součástí prostředků MS Office nebo dílem autora za použití programu Funkce 2.01 (Freeware).

5



Binomická rovnice


Srpen 2013

Binomická rovnice

Binomická rovnice

x −a =0 n

xn − a = 0

a = a (cos α + i ⋅ sin α ) Kořeny rovnice jsou:

a ∈C n∈ N, n >1

α + 2kπ α + 2kπ   xk = n a  cos + i ⋅ sin  n n   k = 0,1, 2, …, n − 1

1

Příklad:

x4 −1 = 0

Příklad:

- komplexní číslo 1 napíšeme v goniometrickém tvaru:

a = a (cos α + i ⋅ sin α )

a =1

α + 2 kπ α + 2 kπ   xk = n a  cos + i ⋅ sin  n n  

k = 0,1, 2,3

x0 = 1

α =0

a = 1 ⋅ (cos 0 + i ⋅ sin 0 )

0 + 2 ⋅ 0 ⋅π 0 + 2 ⋅ 0 ⋅π   x0 = 4 1 ⋅  cos + i ⋅ sin  4 4   x0 = 1 ⋅ (cos 0 + i ⋅ sin 0 ) 0 + 2 ⋅1 ⋅ π 0 + 2 ⋅1 ⋅ π   x1 = 4 1 ⋅  cos + i ⋅ sin  4 4   π π  x1 = 1⋅  cos + i ⋅ sin  2 2 

x0 = 1

x4 −1 = 0

x1 = i x2 = 0 x3 = −i

0 + 2 ⋅ 2 ⋅π 0 + 2 ⋅ 2 ⋅π   x2 = 4 1 ⋅  cos + i ⋅ sin  4 4   x2 = 1 ⋅ (cos π + i ⋅ sin π )

x1 = i x2 = 0

0 + 2 ⋅ 3 ⋅π 0 + 2 ⋅3⋅π   x3 = 4 1 ⋅  cos + i ⋅ sin  4 4   3 3   x3 = 1⋅  cos π + i ⋅ sin π  2 2  

x3 = −i

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc.

Matematika pro gymnázia Komplexní čísla. Praha: Prometheus, 1996, ISBN 80-85849-85-2


2

6.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_4_25 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Září 2013 V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596

Goniometrický tvar komplexních čísel


Září 2013

Gaussova rovina

z = a + bi γ

- argument

z = a + bi

sin γ =

b z

b = z ⋅ sin γ

cos γ =

a z

a = z ⋅ cos γ

komplexního čísla

sin γ =

b z

cos γ =

a z

z = z ⋅ cos γ + z ⋅ i ⋅ sin γ

z = z ⋅ (cos γ + i ⋅ sin γ ) 1

6.2.2014

Příklad: Převeďte na goniometrický tvar komplexní číslo

z = z ⋅ (cos γ + i ⋅ sin γ ) sin γ =

z = 5 + 5i

z = 25 + 25

b z

z = 2 ⋅ 25 = 5 2

a z 5 1 2 sin γ = = =  π 2  5 2 2  γ = 4 5 1 2 cos γ = = =  2  5 2 2 cos γ =

Příklad: Převeďte na algebraický tvar komplexní číslo

π π  z = 4 ⋅  cos + i ⋅ sin  3 3  1 3  z = 4 ⋅  + i  2 2  

z = 2 + 2i 3

π π  z = 5 2 ⋅  cos + i ⋅ sin  4 4 



2

6.2.2014



Házení kostkami - pravděpodobnost


Srpen 2013

Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na obou kostkách padne sudé číslo? A … padne „sudá, sudá“

Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne součet minimálně 7? B … padne součet minimálně 7

1

6.2.2014

Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že na první kostce padne větší číslo než na druhé? C … na první padne větší než na druhé

Házíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že padne aspoň jedna šestka? D … padne aspoň jedna 6

Prameny a literatura Doc. RNDr. Calda, Emil, CSc., prof. RNDr. Dupač, Václav, DrSc.. Matematika pro gymnázia Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Praha: Prometheus, 1995, ISBN 80-85849-10-0


2

6.2.2014



Kombinatorické pravidlo součinu


Srpen 2013

Václav má tři různá trička, čtvery různé kalhoty a dvě různé čepice. Kolika způsoby se může obléci?

K červenému tričku si může vzít čtvery různé kalhoty, to máme čtyři modely. K modrému tričku si může vzít čtvery různé kalhoty, to máme celkem dvakrát čtyři modely.

Zatím máme

3 ⋅ 4 = 12

modelů.

K hnědému tričku si může vzít čtvery různé kalhoty, to máme celkem třikrát čtyři modely.

1

6.2.2014

Zatím máme

3 ⋅ 4 = 12

Václav má tři různá trička, čtvery různé kalhoty a dvě různé čepice. Kolika způsoby se může obléci?

modelů. Zbývá zvolit hnědou nebo šedou čepici.

tričko

3

kalhoty

.

4

.

čepice

2

= 24 možností celkem

? Celkem tedy máme

3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 modelů.

Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n2 způsoby, …, k-tý člen po výběru všech předchozích členů nk způsoby, je roven

n1 ⋅ n2 ⋅… ⋅ nk



2

6.2.2014



Vlastnosti kombinačních čísel


Srpen 2013

Kombinační čísla lze seřadit do schématu, které se nazývá Pascalův trojúhelník

Kombinační číslo

Po vyčíslení dostaneme:

n n!   =  k  k! ⋅ (n − k ) !

n ∈ Z 0+

n nad k

k ∈ Z 0+ n≥k

1

6.2.2014

Zadívejte se na Pascalův trojúhelník a zkuste odhalit nějaké vlastnosti kombinačních čísel. Čeho si všimnete? První diagonála Druhá diagonála Svislá diagonála Jak vzniká další řádek Součet čísel v řádku Částečný součet diagonály Pro ukázku dané vlastnosti klikněte myší na barevné políčko. Pro návrat do hlavní nabídky (sem) klikněte na tlačítko se šipkou „zpět“.

První diagonálu tvoří jedničky.

Druhou diagonálu tvoří po sobě jdoucí přirozená čísla.

n n   =   = 1 0 n

 n  n    =   = n  1   n − 1

2

6.2.2014

Pascalův trojúhelník je souměrný podle svislé diagonály.

n  n    =   k n − k    

Sečtením čísel v n-tém řádku dostaneme:

n n  n   +   + … +   = 2 n 0 1      n

Sečtením dvou sousedních čísel v témže řádku dostaneme číslo o řádek níž „uprostřed mezi“ těmito čísly.

 n   n   n + 1   +   =   k k + 1 k + 1      

Částečným sečtením diagonály dostaneme:

 n   n + 1  n + 2   n + k   n + k + 1   +   +   + … +   =   0  1   2   k   k 

3

6.2.2014



4



Vlastnosti kombinačních čísel


Srpen 2013


 32    =  32 

 23    = 1

2. příklad

= 23

=1 Správně


Špatně

Správně

Špatně


1



 23    = 1

2. příklad

3. příklad

= 23 Správně

x = 20 − 18 x=2

Špatně


 20   20    =    18   x 

Správně

Špatně


3. příklad

 20   20    =    18   x 

x = 20 − 18 x=2 Správně

3. příklad

 20   20    =    18   x 

x = 20 − 18 x=2 Špatně

Správně

Špatně

2



3. příklad

4. příklad

 20   20    =    18   x 

Vyjádřete jako jedno kombinační číslo:

 34   34    +   =  32   33 

x = 20 − 18 x=2 Správně

 35     33  Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

4. příklad



 34   34    +   =  32   33 

 34   34    +   =  32   33 

 35     33  Správně

Špatně

 35     33  Správně

Špatně

3



4. příklad

4. příklad



 34   34    +   =  32   33 

 34   34    +   =  32   33 

 35     33  Správně

 35     33 

Špatně


Správně

Špatně


4. příklad

4. příklad



 34   34    +   =  32   33 

 34   34    +   =  32   33 

 35     33  Správně

Špatně

 35     33  Správně

Špatně

4



4. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

 34   34    +   =  32   33   35     33  Správně

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Špatně


Správně

Špatně


5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně

Špatně

5



5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně


Špatně


5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně

Špatně

6



5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně


Špatně


5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně

Špatně

7



5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně


Špatně


5. příklad

5. příklad



18  18    +   =  2  15 

18  18    +   =  2  15 

18  18  19  =   +   =   2 3 3

18  18  19  =   +   =   2 3 3

Správně

Správně

Špatně

Špatně

8



5. příklad Vyjádřete jako jedno kombinační číslo:


18  18    +   =  2  15 

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3

18  18  19  =   +   =   2 3 3 Správně


Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

9



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

10



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

11



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

12



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

13



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

14



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

15



6. příklad

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně


 5 =    3

Špatně

Správně


6. příklad

Špatně

6. příklad



1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

 5 =    3 Správně

Špatně

 5 =    3 Správně

Špatně

16


vše správně


1  2  3  4   +   +   +   = 0 1  2  3

1

 5 =    3 Správně

Špatně

jedna chyba

dvě chyby

2

2-

17

tři chyby

čtyři chyby

3

pět chyb

3-

vše špatně

4

5

18




19

6.2.2014


VY_42_INOVACE_MA_4_30 Vytvořil: Mgr. Vladimír Klikar Srpen 2013

Binomická věta

V rámci školního projektu: Zlepšení podmínek pro vzdělávání na středních školách Registrační číslo projeku:CZ.1.07/1.5.00/34.0596 Z.1.07/1.5.00/34.0596


Srpen 2013

Binomická věta

Napište vzorce pro

(a + b )n = 

n  n  n  n −1  n  a +   a b +   a n − 2 b 2 + … + 0 1  2

(a + b ) = a+b (a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b )3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 1

n +   a n − k b k + … + k   n  n −1  n  n  a b +   b +   n − 1 n

1 1

Jak to souvisí s Pascalovým trojúhelníkem?

eventuelně

(a + b )

0

1

=1

1

1 1

2 3

Jak to souvisí s Pascalovým trojúhelníkem?

3

1

…

1

6.2.2014

Binomická věta n n n (a + b )n =   a n +   a n−1 b +   a n− 2 b 2 + … + 0 1  2 n +   a n − k b k + … + Jak vytváříme exponenty? k   n  n −1  n  n  a b +   b +   n − 1 n -u

Binomická věta

 n  n −k k (a + b ) = ∑   a b k =0  k  n

n

a, b ∈ R n∈ N

a se exponent snižuje, vzniká odečtením n-k

-u

b se exponent zvyšuje, je to k

n 1. člen   a n 0 n 2. člen   a n −1 b 1 n 3. člen   a n −2 b 2  2 ⋮

Jak vypadá k-tý člen rozvoje výrazu (a+b)n?



 n  n −( k −1) k −1  a k - tý člen  b k − 1  

2





1

VY_42_INOVACE_MA_4_31 Binomická věta – Pracovní list – zadání, záznamový arch

(

1. Vypočítejte: 3 + 2

)

4

2. Vypočítejte: 2,01 3

1   3. Určete absolutní člen rozvoje  2 x 2 −  6 . 2x  

2


Binomická věta – Pracovní list – řešení

(

1. Vypočítejte: 3 + 2

(3 + 2 ) = 3 4

4

)

4

2

3

4

+ 4 ⋅ 33 ⋅ 2 + 6 ⋅ 3 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 =

= 81 + 108 ⋅ 2 + 108 + 24 ⋅ 2 + 4 = 193 + 132 2

2. Vypočítejte: 2,01 3 3

2

3

1  1   1   1  3 2 2,01 =  2 + + 3⋅ 2⋅  = 2 + 3⋅ 2 ⋅  +  = 100  100   100   100  3

= 8 + 12 ⋅

1 1 1 + 6⋅ + = 100 10000 1000000

= 8 + 0,12 + 0,0006 + 0,000001 = 8,120601

1   3. Určete absolutní člen rozvoje  2 x 2 −  6 . 2x  

( )

 n  n −(k −1) k −1  6   ⋅ a  ⋅ 2 x 2 k-tý člen…….  ⋅ b =   k − 1  k − 1

(2 x )

2 6 − k +1

 1  ⋅   2x 

k −1

( )

= 2x

2 6 − k +1

 1  ⋅   2x 

k −1

( )

= 2x

6 − k +1

2 7−k

 1  ⋅   2x 

k −1

1 2 7 −k ⋅ x14− 2 k ⋅ = (2 x )k −1 2 k −1 ⋅ x k −1

x 14−2 k = x0 k −1 x

14 − 2k − (k − 1) = 0 15 − 3k = 0 k =5 Pátý člen je absolutní.

3


4

6.2.2014



Kombinatorické pravidlo součtu


Srpen 2013

Malý Míša má sadu pastelek, ve které je 32 různých barviček. Má vybarvit vlajku, která je tvořena dvěma vodorovnými pruhy tak, že každý pruh bude mít jinou barvu a spodní pruh musí být bílý nebo černý. Kolika způsoby může vlajku vybarvit?

1

6.2.2014

Malý Míša má sadu pastelek, ve které je 32 různých barviček. Má vybarvit vlajku, která je tvořena dvěma vodorovnými pruhy tak, že každý pruh bude mít jinou barvu a spodní pruh musí být bílý nebo černý. Kolika způsoby může vlajku vybarvit? Spodní pruh bílý:

Spodní pruh

bílá

1

Spodní pruh černý: černá

.

Vrchní pruh

31

= 31

Kombinatorické pravidlo součtu Je-li A1 množina s p1 prvky, …, An množina s pn prvky, a jsou-li každé dvě z těchto množin disjunktní, pak počet prvků množiny A1 u … u An je roven

+ Spodní pruh

1

.

Vrchní pruh

31

= 31 =

62 možností celkem

p1 +… + pn

62



2

Čísla Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

Recommend Documents