Statistika. Random Variables Discrete Random Variables Continuous Random Variables. Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Statistika

Random Variables Discrete Random Variables Continuous Random Variables

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

1

Pengertian 

Random variable (variabel acak) 



Jenis  



suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space Discrete random variables Continuous random variables

Contoh  

jumlah hari hujan selama 1 tahun  diskrit jumlah (volume) hujan selama 1 tahun  kontinu


1-Sep-14

2

Random Variables 

Notasi  



X x

variabel random nilai variabel random

Fungsi 



Suatu fungsi variabel random adalah variabel random pula Jika X adalah variabel random, maka Z = g(X) adalah juga variabel random


1-Sep-14

3

Univariate Probability Distributions X = discrete random variables = x1, x2, x3, …, xn fX(x1) fX(x2) fX(x3)


probability fX(xn)

1-Sep-14

∑ fX(xi) = 1

4

a discrete probability distribution

fX(xi)

x1 x2 x3

…

xn−1 xn

1

a discrete cumulative probability distribution

FX(xi)

0

x1 x2 x3


…

probability x ≤ xi xn−1 xn 1-Sep-14

5

 Cumulative probability distribution suatu variabel random X untuk X = x

FX  x  

 f X xi 

xi  x

 Probability distribution suatu variabel random X untuk X = x

f X xi   FX xi   FX xi 1 


1-Sep-14

6

Univariate random variables Jika X dapat bernilai x1, x2 , …, xn yang masing-masing memiliki probability fX(x1), fX(x2), …, fX(xn) dan ∑fX(xi) = 1, maka X adalah variabel random diskrit.


1-Sep-14

7

 Frequency f xi  Fxi  Fxi 1

 frekuensi relatif

i

Fxi   f x j

 frekuensi relatif kumulatif

j 1

 Probability f X xi   FX xi   FX xi 1  FX x  

 f X xi 

xi  x


1-Sep-14

8

Continuous Random Variables 

Probability prob  A 

ni  f xi n

ni = jumlah data di klas ke-i n = jumlah seluruh data Dengan demikian, fxi dapat dipandang sebagai nilai estimasi probability. fxi  estimasi prob(A) histogram frekuensi  pendekatan distribusi probability

continuous random variable treated as thought it were discrete

frekuensi kumulatif  pendekatan distribusi probability kumulatif http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

9

pdf = probability density function

pX(x)

luas = 1 luas = prob(X ≤ b)

luas = prob(a ≤ X ≤ b)

a

x

b

1 PX(x)

PX(b) PX(a) 0

cdf = cumulative probability distribution function PX(x) = prob(X ≤ x)

prob(a ≤ X ≤ b) a

x

b


1-Sep-14

10

pX(x) = probability density function of a continuous random variable PX(x) = cumulative probability distribution function

PX  x   prob X  x  d PX  x   p X  x  d x PX  x  

x

 p X t  d t




1-Sep-14

11

Beberapa sifat probability 1) p X x   0, x 

2)

b

5) proba  X  b    p X t  d t a

 p X x  d x  1



3) PX     0 4) PX     1

 PX b   PX a  c

6) prob X  c    p X t  d t c

 PX c   PX c   0

proba  X  b   proba  X  b   proba  X  b   proba  X  b 


1-Sep-14

12

Kala Ulang prob X  a   prob X  a  

Jadi dalam definisi kala ulang a. suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu b. suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu Kedua definisi, a dan b, adalah sama mengingat probability suatu kejadian (event) menyamai suatu nilai tertentu adalah nol


1-Sep-14

13

Contoh

ST Contoh univariate probability distribution


1-Sep-14

14

Bivariate Distributions 



(1)

Apabila diinginkan untuk mengetahui perilaku dua atau lebih random variables  joint probabilities Joint probability density function 2 p X ,Y x, y   PX ,Y x, y  x y

(

PX ,Y (x , y) = prob X < x and Y < y =

)

+¥ +¥

ò ò p ( s,t )dt ds X ,Y

-¥ -¥


1-Sep-14

15

Bivariate Distributions 

(2)

Beberapa persamaan p X ,Y x, 

is a cumulative univariate probability function of X only

PX ,Y , y 

is a cumulative univariate probability function of Y only

p X ,Y  x, y   0

PX ,Y ,    1

PX ,Y  , y   PX ,Y x,  0


1-Sep-14

16

Marginal Distributions 

(1)

Two random variables, X and Y 



Ingin diketahui perilaku X tanpa mempertimbangkan nilai variabel Y Marginal density: p X ,Y x, y   p X x  p X x  



 p X ,Y x, t d t




1-Sep-14

17


(2)


Cumulative marginal distribution: PX ,Y x, y   PX x  PX x   PX x,    prob X  x dan Y     prob X  x  x 



  p X ,Y s, t d t d s

  x



 p X s d s




1-Sep-14

18


(3)

Untuk variabel Y 

Marginal density p X ,Y x, y   pY  y  pY  y  



 p X ,Y s, y d s





Cumulative marginal distribution: PY y  PY , y   prob X   dan Y  y   probY  y  y



 pY t d t




1-Sep-14

19

Conditional Distributions 


Ingin diketahui perilaku X yang bergantung pada Y  

Distribusi X jika Y = y0 Distribusi Y jika x1 ≤ X ≤ x2

p  x, t  d t  S X ,Y p X ,Y xi y di dalam S   S pY t d t probx di dalam R y di dalam S    p X Y x y di dalam S d x R p X ,Y  x, y0  p X Y x y  y0   yang lebih sering dituliskan pY  y0 

p X Y x y   http://istiarto.staff.ugm.ac.id

p X ,Y  x, y  pY  y 

1-Sep-14

20

Independence 

Two random variables, X dan Y 

Kedua variabel independence jika p X Y x y  bukan fungsi y p X Y x y   p X x 



Joint probabilities: perkalian density marginal kedua variabel adalah p X ,Y x, y   p X x  pY  y 


1-Sep-14

21

Contoh

ST Contoh bivariate probability distribution


1-Sep-14

22

Random Variables

Properties of Random Variables


1-Sep-14

23

Populasi

Samples Observasi statistik


estimasi

1-Sep-14

Samples (belum diukur)

24

Statistik 

Langkah 1. 2. 3. 4.

5.

Pengambilan sampel Observasi (analisis) terhadap sampel Penyimpulan tentang perilaku sampel Estimasi tentang perilaku populasi berdasarkan butir (3) Estimasi tentang sampel lain (yang belum diambil) berdasarkan butir (3)


1-Sep-14

25

Statistik 

Contoh 



Data debit suatu sungai selama 50 yang telah lalu dipakai sebagai dasar untuk melakukan estimasi debit sungai tersebut selama periode tak terbatas (estimasi tentang perilaku populasi). Informasi tersebut dapat pula dipakai untuk estimasi debit sungai tersebut selama periode tertentu pada masa yang akan datang (sampel yang belum diambil).


1-Sep-14

26

Moment and Expectation: Univariate Distributions A

Y

Moment pertama terhadap O dA

d 1  x d A 1   x d A

x

A

O

X

p X x 

Untuk suatu random variable

pdf

1   x d A A 

d A  p X x  d x



 x p X x  d x



dx http://istiarto.staff.ugm.ac.id

X 1-Sep-14

27

Moment and Expectation: Univariate Distributions 

Secara umum berlaku bahwa momen ke-i terhadap O adalah 

continuous random variables

i 



i x  p X x  d x

 

discrete random variables

 

i   x j i f X x j j


1-Sep-14

28

Moment and Expectation: Univariate Distributions 

Momen sentral ke-i: momen ke-i terhadap mean (nilai rata-rata) 

i 

i   x   

p X x  d x




1-Sep-14

29

Moment and Expectation: Univariate Distributions Nilai expektasi suatu random variable X EX  



 x p X x  d x



 

EX    x j f X x j

X continuous X discrete

j

Dengan demikian: E  X   i





E  X   i   i


1-Sep-14

30

Statistical Measures 

Common statistical measures 

Measure of central tendency   



Measure of variability   



Mean Mode Median Range Variance Standard deviation

Measure of an individual in a population  

z score Percentile rank


1-Sep-14

31

Measure of Central Tendency 

(1)

Nilai rata-rata (average)  



rata-rata (mean) mode  score yang paling sering muncul median  score yang berada di tengah dari suatu rangkaian score urut (dari nilai kecil ke besar atau sebaliknya)


1-Sep-14

32


Contoh 

Jumlah hari hujan selama 11 bulan terakhir adalah sbb. 21, 21, 21, 20, 18, 16, 12, 12, 6, 2, 1   



(2)

rata-rata mode median

= 14 = 21 = 16

=AVERAGE(...) =MODE(...) =MEDIAN(...)

MSExcel

Dari ketiga ukuran statistik tersebut, manakah yang paling baik menceritakan tentang pola jumlah hari hujan dalam 11 bulan tersebut?


1-Sep-14

33


(3)

Contoh 

Carilah contoh sejenis, yang berhubungan dengan pengelolaan sumberdaya air; misal: 





perilaku penduduk dalam pemakaian air (waktu, volume, debit, dsb.) data klimatologi (temperatur udara, kelembaban udara, lama penyinaran matahari, dsb.)

Diskusikan   

nilai rata-rata mode median


1-Sep-14

34


(4)

Contoh 

Cari dan diskusikan contoh-contoh yang berhubungan dengan bencana alam    

debit dan tinggi muka air banjir sungai lama genangan banjir di suatu kawasan banjir lahar, debris flow tanah longsor


1-Sep-14

35


(5)

Simbol dan rumus 

Nilai rata-rata (variabel random kontinu)  X  E  X   1 



 x  p X x  d x




1-Sep-14

36


(6)


Rata-rata (variabel random diskrit) X

1 X  n

X 

1 X  n

estimasi nilai ratarata populasi

Nilai rata-rata sampel n = jumlah anggota sampel

Nilai rata-rata populasi n = jumlah anggota populasi

parameter: berdasarkan seluruh anggota populasi besaran statistik: hanya berdasarkan sebagian anggota populasi http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

37

Measure of Central Tendency 

(6)

Beberapa sifat nilai rata-rata 1 C X  C X n

1 C  X   C  X  n

C = konstanta


1-Sep-14

38


(7)

Nilai rata-rata 

Arithmetic mean

1 X  X n



Geometric mean

X   X 



Harmonic mean



1n

X

Weighted mean

XW


=AVERAGE(...)

n 1 X wX   w

1-Sep-14

=GEOMEAN(...) =HARMEAN(...)

39


(8)

Nilai rata-rata 

Root mean square X RMS

1 n 2  xi  n i 1


1-Sep-14

40


(9)

Median 

Variabel random kontinu

 md 

 md

 p X x  d x  0.5

 

Variabel random diskrit

 md  x p

dalam hal ini xp ditentukan dari

p

 f X xi   0.5 i 1


1-Sep-14

41


(10)

Mode, nilai yang paling sering muncul/terjadi 

Variabel random kontinu

 mo  mode populasi, dihitung sedemikian hingga d p X x  d 2 p X x   0 dan 0 2 dx dx 

Variabel random diskrit

mode adalah suatu nilai X sedemikian hingga n

max f X xi  i 1


1-Sep-14

42

Measure of Variability 

(1)

Keragaman 

Variability, scatter, spread 



Range  beda antara nilai tertinggi dan terendah dalam distribusi 



menunjukkan apakah angka dalam distribusi saling berdekatan atau berjauhan

mungkin biasa digunakan dalam permasalahan seharihari

Standard deviation (simpangan baku) 

biasa dipakai dalam permasalahan “teknis”


1-Sep-14

43


(2)


Variance (ragam) variabel random kontinu merupakan momen kedua terhadap nilai rata-rata var X    2   2



 E  X   2

 



 E X 2  E 2 X 


1-Sep-14

44


(3)


Variance (ragam) variabel random diskrit 2 

2   X   

n

 X X  

2

s

2

variance populasi

variance sampel

=VAR(...)

n 1

estimasi nilai variance populasi http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

45

Measure of Variability 

(4)

Kenapa penyebut n − 1 



menghasilkan nilai yang lebih besar daripada dibagi dengan n; ini untuk mengompensasi kecenderungan variabilitas sampel yang lebih kecil daripada variabilitas populasi dari sisi praktis, hal ini juga menunjukkan variabilitas dari sampel beranggota 1 adalah tidak ada (tidak ada variabilitas dari 1 score)


1-Sep-14

46

Measure of Variability

(5)

 X X  

2

s

2

n 1

Cobalah Saudara uraikan


s

1-Sep-14

2

X  

2

n X

2

n 1

47

Measure of Variability   X X X     2

s

2

2

 2 XX  X 2

n 1

X  



2

2 X 

 2X  X  n X n 1

 X  

(6)



n 1

X

2

2



X  X   2  X  n

2

 n   

n

n 1

2

n 1


n



2 2 X  n X 

n 1

1-Sep-14

48


(7)


Standard deviation (deviasi standar, simpangan baku) 

2   X   

deviasi standar populasi

n

=STDEV.S(...)

 X  X 

2

s

deviasi standar sampel

n 1

estimasi nilai deviasi standar populasi http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

49


(8)

Coefficient of variation

s cv  X 

catatan

varc   0 varcX   c 2 var X  vara  bX   b 2 var X 


1-Sep-14

50

Simetri mode = median = mean

simetris mode median mean

positive skew


1-Sep-14

negative skew

51

Simetri    mo skewness populasi   X  X mo skewness sampel  s M3 n2 skewness coefficient, cs  n  1n  2 s X 3 dalam persamaan di atas: n = jumlah sampel M3 = momen ke-3 (sampel) sX = simpangan baku (sampel) http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

52

Peakedness

leptokurtic, k > 3, e > 0 normal, mesokurtic, k = 3, e > 0 platykurtic, k < 3, e < 0

kurtosis:

k k

4 2

2

M4 sX

4

(populasi) (sampel)

e  k3 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

53

Sample Moments

Lihat catatan: ST Sample moments


1-Sep-14

54

Some Measures of An Individual in A Population (1) 

z scores zX 



X 

X X zX  s

 Percentile rank

B  12 E 100  PRX  n

untuk menunjukkan posisi suatu score dalam populasi

B = jumlah score yang bernilai di bawah X E = jumlah score yang bernilai sama dengan X n = jumlah score seluruhnya

untuk populasi besar http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

55

Some Measures of An Individual in A Population (2) 

Beberapa fungsi di dalam MS Excel 

=RANK(...) 



=PERCENTILE(...) 



posisi suatu nilai (angka) pada suatu urutan angka

nilai percentile dalam suatu kisaran angka

=PERCENTRANK(...) 

posisi suatu nilai (angka) dalam suatu urutan angka, dalam persen

B score yang bernilai lebih kecil daripada X 100  BA == jumlah  jumlah score yang bernilai lebih besar daripada X ( B  A) perhatikan perbedaannya dengan PRX http://istiarto.staff.ugm.ac.id

1-Sep-14

56


1-Sep-14

57

Statistika. Random Variables Discrete Random Variables Continuous Random Variables. Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

Recommend Documents