Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan ANALISIS FREKUENSI. Statistika dan Probabilitas

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan

ANALISIS FREKUENSI Statistika dan Probabilitas

Regresi Linear 2

Tabel data

Grafik/kurva data yi = f(xi) 0.5 2.5 2 4 3.5

6 7

6 5.5

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Hubungan antara variabel pertama, x, dengan variabel kedua, y, yang merupakan fungsi variabel pertama, y = f(x).

8 6 y = f(x)

xi 1 2 3 4 5

4 2 0 0

1

2

3

4

5

6

7

X Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Regresi Linear

Y

3

7 6 5 4 3 2 1 0

data

Kurva regresi merepresentasikan pola hubungan (tren, perilaku) variabel y terhadap x.

0

1


2

3

4 X

5

6

7

regresi 8

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Sebaran Data 4

q 

Situasi q  q 

Bagaimana kalau kita ingin mengetahui perilaku salah satu variabel itu sendiri? Misalnya: ingin mempelajari pola sebaran data X (X tentu saja adalah variabel random) Berilah contoh data X di bidang teknik sipil dan lingkungan.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Temperatur Udara Harian Maksimum 5

Tahun

Temperatur [°C]

Tahun

Temperatur [°C]

Tahun

Temperatur [°C]

Tahun

Temperatur [°C]

1971

31.8

1981

30.7

1991

30.1

2001

32.1

1972

32.9

1982

32.3

1992

31.1

2002

29.1

1973

32.7

1983

31.8

1993

31.9

2003

31.5

1974

30.7

1984

32.8

1994

33.9

2004

32.4

1975

30.4

1985

31.9

1995

31.9

2005

30.7

1976

29.0

1986

31.4

1996

30.3

2006

29.9

1977

31.5

1987

31.1

1997

29.7

2007

33.8

1978

32.6

1988

30.7

1998

33.8

2008

30.0

1979

32.0

1989

32.7

1999

34.1

2009

33.9

1980

30.2

1990

31.4

2000

30.4

2010

29.6


Analisis Frekuensi

18-Oct-16


35

Temperatur [oC]

34 33 32 31 30 29 28 1971 1974 1977 1980 1983 1986 1989 1992 1995 1998 2001 2004 2007 2010

Tahun http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Analisis Frekuensi

18-Oct-16


q 

Pertanyaan q  q  q  q 

Apa nama instrumen untuk mengukur temperatur udara? Dapatkah kalian menceritakan cara data tersebut diperoleh? Dapatkah kalian mendeskripsikan data tersebut secara statistis? Bandingkan presentasi data dalam bentuk tabel dan grafik; yang manakah yang lebih baik?


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Distribusi Normal 8

pX(x)

N(μ,σ2)

pdf (probability density function)

(

pX ( x) = 2πσ

2

)

− 12

e

− 12 ( x−µ ) σ 2

+∞

luas =

∫ p ( x) dx = 1 X

−∞

−∞ μ−3σ

μ−2σ


μ−σ

μ

μ+σ

μ+2σ

μ+3σ +∞

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

X

Distribusi Normal 9

q 

Jika X berdistribusi normal, N(µ,σ2), maka prob(X ≤ x) dapat dicari dengan: x

prob (X ≤ x ) = PX (x ) =

∫p

−∞

x

X

(t ) d t =

1 2 − 2

∫ (2πσ )

e

− 1 2 (t −µ ) σ 2

dt

−∞

luas di bawah kurva pdf (dari −∞ s.d. x) à cdf

cdf (cumulative distribution function) −∞ http://istiarto.staff.ugm.ac.id

x

+∞ Analisis Frekuensi

18-Oct-16

pdf - cdf 10

PX(x)

cdf

pX(x)

1

pdf

–∞ http://istiarto.staff.ugm.ac.id

µ

+∞ Analisis Frekuensi

0 18-Oct-16

Distribusi Normal Standar 11

pX(x)

ZX =

X −µ σ

−∞ μ−3σ μ−2σ −∞ −3 −2 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PX(x) 1

cdf

pdf

μ−σ −1

μ 0

μ+σ 1

μ+2σ 2

0

μ+3σ +∞ X +∞ Z 3

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Tabel Frekuensi 12

Rentang temperatur [°C]

Temperatur [°C]

frek

frek rel

28 −

29

28.5

1

0.025

29 −

30

29.5

5

0.125

30 −

31

30.5

9

0.225

31 −

32

31.5

12

0.300

32 −

33

32.5

8

0.200

33 −

34

33.5

4

0.100

34 −

35

34.5

1

0.025

40

1

Jumlah

Temperatur udara harian maksimum tahunan minimum maksimum rerata simp. baku

29.0°C 34.1°C 31.5°C 1.4°C

jika memakai MSExcel, gunakan fungsi =FREQUENCY(…,…) control+shift+enter http://istiarto.staff.ugm.ac.id

nilai median rentang temperatur

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Histogram Frekuensi 13

0.35

Frekuensi relatif

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 28 - 29

29 - 30

30 - 31

31 - 32

32 - 33

33 - 34

34 - 35

Temperatur [°C] http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Histogram Frekuensi 14

0.35

Frekuensi relatif

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 28 - 29

29 - 30

30 - 31

31 - 32

32 - 33

33 - 34

34 - 35


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Pengamatan vs Teoretik 15

q 

Ekspektasi frek. relatif (frek. relatif teoretis menurut distribusi normal) q 

klas ke-2: temperatur 29 – 30°C −1 2

30

fT (t = 29.5) = frek. relatif (dist. normal)

∫(

2πsT 2

29

)

e

−1 2(t−T )

2

sT 2

−1 2

30

dt =

∫(

29

2× π ×1.42

)

e

2

−1 2(t−32.1) 1.42

dt

% 30 − 31.5 ( % 29 − 31.5 ( = FT (30) − FT (29) = FZ ' * − FZ ' * & 1.4 ) & 1.4 ) = FZ (−1.0714) − FZ (−1.7857) = 0.1420 − 0.0371 = 0.1049


baca di tabel distribusi normal standar

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal) 16

Temperatur [°C]

z

FZ(z)

frek rel

28

−

29

28.5

-2.5000

−

-1.7857

0.0062

−

0.0371

0.0309

29

−

30

29.5

-1.7857

−

-1.0714

0.0371

−

0.1420

0.1049

30

−

31

30.5

-1.0714

−

-0.3571

0.1420

−

0.3605

0.2185

31

−

32

31.5

-0.3571

−

0.3571

0.3605

−

0.6395

0.2790

32

−

33

32.5

0.3571

−

1.0714

0.6395

−

0.8580

0.2185

33

−

34

33.5

1.0714

−

1.7857

0.8580

−

0.9629

0.1049

34

−

35

34.5

1.7857

−

2.5000

0.9629

−

0.9938

0.0309


Analisis Frekuensi

18-Oct-16


q 

Cara lain untuk memperkirakan frekuensi relatif dalam suatu interval klas fT (ti ) = Δti ⋅ pT (ti ) dz p Z ( zi ) pT (ti ) = p Z ( zi ) = dt sT


Analisis Frekuensi

18-Oct-16


q 

Cara lain (lanjutan…) i =2: Δti = 1°C 29.5 − 31.5 = −1.4286 1.4 p Z ( zi ) = p Z (−1.4286) = 0.1480

ti = 29.5 ⇒ zi =

pT (ti ) =

p Z ( zi ) sT

baca di tabel distribusi normal standar

$ 0.1480 ' =& ) = 0.1027 % 1.4 (

fT (ti ) = sT pT (ti ) = 1× 0.1027 = 0.1027 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

frek. relatif teoretis (distribusi normal)

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Frekuensi Teoretik (Distribusi Normal) 19

Temperatur [°C]

z

pz(z)

pT(t)

frek rel

28

−

29

28.5

-2.1429

0.0402

0.0287

0.0287

29

−

30

29.5

-1.4286

0.1438

0.1027

0.1027

30

−

31

30.5

-0.7143

0.3091

0.2208

0.2208

31

−

32

31.5

0.0000

0.3989

0.2850

0.2850

32

−

33

32.5

0.7143

0.3091

0.2208

0.2208

33

−

34

33.5

1.4286

0.1438

0.1027

0.1027

34

−

35

34.5

2.1429

0.0402

0.0287

0.0287


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Kurva Pengamatan vs Kurva PDF Teoretis 20

0.35

PDF Distribusi Normal

Frekuensi relatif

0.3 0.25 0.2

Kurva data

0.15 0.1 0.05 0 28 - 29

29 - 30

30 - 31

31 - 32

32 - 33

33 - 34

34 - 35


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Frekuensi Kumulatif Pengamatan vs Teoretis 21

Pengamatan

Temperatur [°C]

Distribusi Normal

frek rel

frek rel kum

frek rel

frek rel kum

28

−

29

28.5

0.025

0.025

0.0287

0.0287

29

−

30

29.5

0.125

0.15

0.1027

0.1314

30

−

31

30.5

0.225

0.375

0.2208

0.3522

31

−

32

31.5

0.3

0.675

0.2850

0.6372

32

−

33

32.5

0.2

0.875

0.2208

0.8580

33

−

34

33.5

0.1

0.975

0.1027

0.9607

34

−

35

34.5

0.025

1

0.0287

0.9894


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Kurva Pengamatan vs Kurva CDF Teoretis 22

Frekuensi relatif

1.2

CDF Distribusi Normal

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 28 - 29

29 - 30

30 - 31

31 - 32

32 - 33

33 - 34

34 - 35


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Kurva CDF pada Kertas Khusus 23

q 

Kurva CDF q  q 

Berupa garis lengkung. Ada satu cara tertentu yang memungkinkan kurva CDF berupa garis lurus, yaitu dengan melakukan transformasi koordinat. n 

Ordinat: magnitud data. n 

n 

Absis: probabilitas, PX(x) atau kadang dituliskan pula dengan notasi prob(X < x). n 

q 

Skala dibuat sedemikian hingga kurva CDF distribusi normal berupa garis lurus.

Pada tempo doeloe, kertas grafik seperti di atas dibuat dulu à priori sebelum pemplotan data. n  n 

q 

Skala biasa.

Kertas grafik seperti itu dikenal dengan nama kertas probabilitas. Pemplotan (penggambaran) data dilakukan pada kertas probabilitas tersebut.

Pada saat ini, langkah automatisasi dengan program aplikasi komputer dapat dilakukan sehingga kertas probabilitas dibuat bersama-sama dengan pemplotan data.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Untuk memplotkan data pengamatan dan kurva CDF teoretis Dapat diunduh dari http://istiarto.staff.ugm.ac.id/

Kertas probabilitas distribusi normal 24

prob(X > x) atau 1 − PX(x) ordinat adalah magnitud data (skalar)

absis adalah probabilitas, prob(X < x) atau PX(x) à frekuensi relatif kumulatif skala dibuat sedemikian hingga CDF berupa garis lurus


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Plot Data pada Kertas Probabilitas 25

q 

Data temperatur udara harian maksimum diplotkan pada kertas probabilitas. q 

q 

Urutkan data dari kecil ke besar, m = 1, 2, …, n m adalah nomor urut data, n adalah jumlah data. Posisi titik data pada kertas probabilitas adalah: n  n 

q 

absis: m/(n+1), ordinat: magnitud data.

Cara penempatan titik data tersebut adalah cara Weibul. Ada beberapa cara yang lain, yang akan dikenalkan pada kuliah Hidrologi.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Temperatur Udara Harian Maksimum (Data Urut) 26

m

m/(n+1) [%]

Temperatur [°C]

m

m/(n+1) [%]

Temperatur [°C]

m

m/(n+1) [%]

Temperatur [°C]

m

m/(n+1) [%]

Temperatur [°C]

1

2.44

29.0

11

26.83

30.4

21

51.22

31.5

31

75.61

32.6

2

4.88

29.1

12

29.27

30.7

22

53.66

31.8

32

78.05

32.7

3

7.32

29.6

13

31.71

30.7

23

56.10

31.8

33

80.49

32.7

4

9.76

29.7

14

34.15

30.7

24

58.54

31.9

34

82.93

32.8

5

12.20

29.9

15

36.59

30.7

25

60.98

31.9

35

85.37

32.9

6

14.63

30.0

16

39.02

31.1

26

63.41

31.9

36

87.80

33.8

7

17.07

30.1

17

41.46

31.1

27

65.85

32.0

37

90.24

33.8

8

19.51

30.2

18

43.90

31.4

28

68.29

32.1

38

92.68

33.9

9

21.95

30.3

19

46.34

31.4

29

70.73

32.3

39

95.12

33.9

10

24.39

30.4

20

48.78

31.5

30

73.17

32.4

40

97.56

34.1


Analisis Frekuensi

18-Oct-16


q 

q 

Data temperatur udara harian maksimum adalah time series data, data runtut waktu. Memperhatikan prosedur pemplotan data temperatur udara harian maksimum, yaitu data diurutkan, maka: q 

q 

q 

diartikan bahwa data adalah seri data independent sehingga urut data terhadap waktu boleh tidak diperhatikan, data diurutkan dari kecil ke besar dan percentile rank setiap titik data dianggap merupakan nilai pendekatan probabilitas, prob(T < t).

Arti notasi prob(T < t) = a q  q 

probabilitas temperatur udara kurang daripada t°C adalah a contoh: prob(T < 32°C) = 0.64


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

28


Analisis Frekuensi

18-Oct-16


q 

Kurva CDF distribusi normal (kurva cdf teoretis) q 

Dapat dengan mudah digambarkan pada kertas probabilitas

q 

Langkah n  n 

Tetapkan dua titik data, misal pada temperatur 29°C dan 34°C Hitung prob(T < 29°C) dan prob(T < 34°C) dengan menggunakan tabel distribusi normal standar " 29 − 31.5 % PT (29) = PZ $ ' = PZ (−1.7857) = 0.0371= 3.71% # 1.4 & " 34 − 31.5 % PT (34) = PZ $ ' = PZ (1.7857) = 0.9629 = 96.29% # 1.4 &

n 

Tarik garis lurus yang melewati titik (3.71%,29°C) dan (96.29%,34°C)


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

30


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Uji Kesesuaian Sebaran Data terhadap Distribusi Normal 31

q 

Dengan mencermati plot data temperatur dan garis CDF distribusi normal, tampak bahwa sebaran data temperatur tersebut mendekati CDF distribusi normal. q 

q 

Artinya, data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut berdistribusi normal.

Kesesuaian antara sebaran data dengan CDF distribusi normal perlu diuji q  q 

q  q 

Dikenal dengan istilah best fit test. Jenis uji, yang lazim dilakukan di bidang hidrologi, adalah uji Smirnov-Kolmogorov dan uji chi-kuadrat. Kedua jenis cara menguji kesesuaian tersebut akan dibahas pada kuliah Hidrologi. Pada kuliah Hidrologi, akan dikenalkan pula beberapa jenis distribusi teoretis selain distribusi normal.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Tugas/PR 32

q 

q 

Rapikan hitungan dan plot data temperatur udara harian maksimum tahunan tersebut. Unduh data debit aliran dari weblog saya dan lakukan analisis frekuensi dengan langkah kerja seperti yang telah dibahas pada kuliah ini. q 

q 

q  q 

http://istiarto.staff.ugm.ac.id/index.php/kuliah/kuliah-sarjana-s1/statistika-danprobabilitas/ Nama fail: Data debit puncak Sungai XYZ.xlsx

Tugas/PR dikumpulkan di ruang saya atau di Sekretariat MTPBA. Saran q 

Selain menghitung dan menyajikan data, berilah deskripsi tentang data dan interpretasi Saudara tentang data tersebut.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ 33

Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) Tahun ke- Debit (m3/s) 1 473 12 470 23 1110 34 687 45 843 56 871 2 544 13 663 24 717 35 801 46 450 57 705 3 872 14 809 25 961 36 323 47 284 58 777 4 657 15 800 26 925 37 431 48 460 59 442 5 915 16 523 27 341 38 770 49 804 60 206 6 535 17 580 28 690 39 536 50 550 61 850 7 678 18 672 29 734 40 708 51 729 62 829 8 700 19 115 30 991 41 894 52 712 63 887 9 669 20 461 31 792 42 626 53 468 64 602 10 347 21 524 32 626 43 1120 54 841 65 403 11 580 22 943 33 937 44 440 55 613 66 505

Data debit di atas berasal dari data debit rerata harian selama 66 tahun, yang kemudian dicuplik nilai maksimum pada setiap tahun.


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Debit Puncak Tahunan Sungai XYZ 34

1200

Debit [m3/s]

1000 800 600 400 200 0

0

10

20

30

40

50

60

70

Tahun kehttp://istiarto.staff.ugm.ac.id

Analisis Frekuensi

18-Oct-16

35


Analisis Frekuensi

18-Oct-16

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan ANALISIS FREKUENSI. Statistika dan Probabilitas

Recommend Documents