Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA. Continuous Probability Distributions

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

STATISTIKA

Continuous Probability Distributions

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

5-Sep-14

1

Continuous Probability Distributions      

Normal Distribution Uniform Distribution Exponential Distribution Gamma Distribution Lognormal Distribution Extreme Value Distributions  

 

Extreme Value Type I Extreme Value Type III Minimum (Weibull)

Beta Distribution Pearson Distributions


5-Sep-14

2

Normal Distribution


5-Sep-14

3

Distribusi Uniform pX(x)

a

b

X

1 pdf: p X ( x ) = , a£ x £b b-a cdf: PX ( x ) =

x-a , a£ x £b b-a

E ( X ) = 1 (b + a ) 2


2 var ( X ) = 1 (b - a ) 12

5-Sep-14

4

Distribusi Eksponensial pX(x)

Coefficient of skew: cs = 2 (konstan)

Parameter l: 1 ˆ estimasi l = X X

pdf: p X ( x ) = l e-l x , x > 0, l > 0 cdf: PX ( x ) =

x

-l t -l x l e d t = 1e , x>0 ò 0


5-Sep-14

5

Distribusi Gamma 

Penjumlahan sejumlah n variabel random berdistribusi exponensial, masing-masing berparameter l, menghasilkan variabel random berdistribusi gamma dengan parameter l. pdf ® p X ( x ) = l h x h-1 e-l x G ( h) , x,l,h > 0 cdf ® PX ( x ) =

x

h h-1 -l t l ò t e G ( h) d t 0

® PX ( x ) = 1- e

-l x


h-1

å

j=0

(l x) j!

j

, h = integer

5-Sep-14

6

Distribusi Gamma G ( h) = fungsi gamma

Mean:

G ( h) = ( h -1) !, h = 1,2,3,...

E(X) = h l

G ( h+1) = hG ( h) , h > 0 G ( h) =

¥

ò t h-1 e-h d t ,

Variance: var ( X ) = h l 2

h>0

0

G (1) = G ( 2) = 1

Coef. of skew:

G 1 = p

g=2

(2)


5-Sep-14

h

7

Distribusi Gamma h = konstan pX(x)

l1

l 2 < l1 l3 < l 2 < l1

X

1 pX ( x) = l h x h-1 e-l x , x,l,h > 0 G ( h)


5-Sep-14

8

Distribusi Lognormal 

Variabel random X 



Jika disusun dari penjumlahan sejumlah pengaruh variabel kecil, maka X kemungkinan besar berdistribusi normal. Jika disusun dari perkalian sejumlah pengaruh variabel kecil, maka ln X kemungkinan besar berdistribusi normal.

X i = berdistribusi normal

X = X1 + X 2 +...+ X n

X = berdistribusi normal

X = X1 × X 2 ×...× X n ln X = ln X1 + ln X 2 + ...+ ln X n


5-Sep-14

ln X = berdistribusi normal

9

Distribusi Lognormal Y = ln X Yi = ln X i

Y = Y1 +Y2 +...+Yn pY ( y ) =

- 1 ( y-mY )

1 s Y 2p

e

Y berdistribusi normal 2

2

sY 2

, - ¥ < y < +¥

Distribusi X ? p X ( x ) = pY ( y )

dy dx

pX ( x) =


Y = ln X Þ

1 x s Y 2p

dy 1 = , x>0 dx x

- 1 ( ln x-mY )

e

2

5-Sep-14

2

sY 2

, x>0

10

Distribusi Lognormal Estimasi mY dan s Y mY ® Y Data xi ditransformasikan dulu menjadi yi = ln xi s Y ® sY

Cara lain: æ 2 ö X ÷ Y = 1 ln ç 2 ç 2 ÷ c +1 è v ø

(

)

sY 2 = ln cv 2 +1


cv = koefisien variasi data asli sX cv = X

5-Sep-14

11

Distribusi Lognormal • Mean

æ ö çmY + 1 sY 2 ÷ è 2 ø

E(X) = e

• Koefisien variasi æ s 2 ö2 cv = ç e Y -1÷ è ø


• Varian

æ s 2 ö var ( X ) = m X ç e Y -1÷ è ø 2

• Coefficient of skew g = 3cv + cv 3

5-Sep-14

12

Distribusi Nilai Ekstrem 

Contoh nilai ekstrem  





Debit banjir Debit minimum

Nilai-nilai ekstrem variabel random juga merupakan variabel random. Distribusi variabel random nilai ekstrem tsb bergantung pada: 



distribusi variabel random tempat asal variabel nilai ekstrem tsb diperoleh  parent distribution jumlah/ukuran sampel


5-Sep-14

13


Contoh 

Variabel random

X = x1, x2 ,..., xn Y = nilai ekstrem variabel random tersebut

PY ( y ) = prob (Y £ y )

PX ( x ) = prob ( X i £ x ) i

PY ( y ) = prob (Y £ y ) = prob (semua x yang £ y )


5-Sep-14

14

Distribusi Nilai Ekstrem maka: n é ù PY ( y ) = PX ( y ) × PX ( y ) ××× PX ( y ) = ë PX ( y )û 1 2 n

pY ( y ) =

d PY ( y ) dy

n-1 é ù = në PX ( y )û

d PX ( y ) dy

n-1 é ù = në PX ( y )û p X ( y )


5-Sep-14

15


Contoh   



Waktu antara 2 hujan berurutan berdistribusi eksponensial. Waktu rata-rata antara 2 hujan = 4 hari Waktu antara tsb merupakan kejadian independent satu dengan yang lain Dicari: 

waktu antara terbesar, misal probabilitas waktu antara tsb lebih besar daripada 8 hari.


5-Sep-14

16

Distribusi Nilai Ekstrem Ditinjau 10 kejadian hujan

h

h x1

h x2

h x3

h x4

h

h

x5

x6

h x7

h x8

h x9  n = 9

Distribusi Eksponensial:

p X ( x ) = l e-l x , x > 0, l > 0

PX ( x ) = 1- e-l x , x > 0 E(X) = l

-1


1 Þ l= E(X) 5-Sep-14

ˆl = 1 X

17

Distribusi Nilai Ekstrem -1 x

pX ( x) = 1 e

4

4

-1 x

PX ( x ) = 1- e

4

PY (8) = prob (Y £ 8) = prob ( semua x £ 8) 9 é ù = ë PX (8)û

(

-2

= 1- e

)

9

= 0.271

prob (Y > 8) = 1- 0.271 = 0.729 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

5-Sep-14

18




Permasalahan yang sering ditemui adalah bahwa jenis parent distribution tidak diketahui. Hal ini diatasi dengan   

ukuran sampel cukup besar, n » pemakaian distribusi asimtotis dikenal 3 jenis distribusi asimtotis 





Type I – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution exist (exponential type distributions) Type II – parent distribution unbounded in direction of the desired extreme and all moments of the distribution do not exist (Cauchy type distributions) Type III – parent distribution bounded in the direction of the desired extreme (limited distributions)


5-Sep-14

19

Distribusi Nilai Ekstrem 



Permasalahan yang menjadi interest umumnya menyangkut nilai-nilai ekstrem maximum atau extrem minimum. Beberapa contoh parent distributions 

   

Type I – extreme value largest – normal, lognormal, eksponential, gamma Type I – extreme value smallest – normal Type II – extreme value largest or smallest – distribusi Cauchy Type III – extreme value largest – distribusi beta Type III – extreme value smallest – beta, lognormal, gamma, eksponential


5-Sep-14

20

Distribusi Nilai Extrem 

(9)

Permasalahan di bidang hidrologi 

Type II – extreme value largest or smallest 



Type I – extreme value largest 



jarang dijumpai/dipakai nilai ekstrem maksimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi unbounded di sisi kanan

Type III – extreme value smallest 

nilai ekstrem minimum sering mengikuti distribusi jenis ini mengingat banyak variabel hidrologi bounded di sisi kiri oleh nilai nol


5-Sep-14

21

Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution)

{

p X ( x ) = exp ∓ ( x -b) a - expéë∓ ( x -b) aùû

}

a

-¥ < x < +¥ -¥ < b < +¥ a>0 − untuk nilai maksimum + untuk nilai minimum α = skala β = lokasi = mode


5-Sep-14

22

Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) E ( X ) = b + 0.577a (max) = b - 0.577 a (min)

var ( X ) = 1.645a2 (max min)

g = 1.1396 (max) = -1.1396 (min)


5-Sep-14

23

Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) Dengan memakai transformasi Y = x - b a pY ( y ) = expéë ∓ y - exp ( ∓ y ) ùû − untuk nilai maksimum

PY ( y ) =

+¥

+ untuk nilai minimum

ò expéë ∓ t - exp ( ∓t ) ùû d t ,

- ¥ < y < +¥

-¥

= exp éë - exp ( - y ) ùû

= 1- exp éë - exp ( y ) ùû


(max) (min)

5-Sep-14

Pmin ( y ) = 1- Pmax ( -y ) 24

Type I Extreme Value Distribution (Gumbel Distribution) Estimasi parameter α dan β s 1.283 bˆ = X - 0.45s

(max)

= X + 0.45s

(min)

aˆ =


5-Sep-14

25

Type II Extreme Value Distribution PX ( x ) = 0

if x £ b

é æ kù ö u -b ú = exp ê- ç ÷ ê è x -bø ú ë û

if x ³ b

k >0 ® bentuk u - b > 0 ® skala b

® lokasi

E ( X ) = b+ ( u - b) G (1-1 k ) 2é

var ( X ) = ( u -b) ê G (1- 2 k ) - G 2 (1-1 k ) ùú, k > 2 ë û http://istiarto.staff.ugm.ac.id

5-Sep-14

26

Type III Extreme (Minimum) Value Distribution (Weibull Distribution) é æ öa ù x p X ( x ) = a x a-1 b-a expê- ç ÷ ú, x ³ 0 ê èb ø ú ë û é æ öa ù x ú ê PX ( x ) = 1- exp - ç ÷ ê èbø ú ë û

E ( X ) = b G (1+1 a)

var ( X ) = b2 éê G (1+ 2 a) - G 2 (1+1 a) ùú ë û g=


G (1+ 3 a) - 3G (1+ 2 a) G (1+1 a ) + 2G3 (1+1 a ) éG 1+ 2 a - G 2 1+1 a ù3 2 ) ( )úû êë ( 5-Sep-14

27

Type III Extreme (Minimum) Value Distribution (Weibull Distribution) Estimates:

l = b-a lˆ =

n n

aˆ x åi i=1

aˆ =

n n

n

lˆ å xi ln xi - å ln xi aˆ

i=1 -1 aˆ

i=1

bˆ = ( aˆ )


5-Sep-14

28

Extreme Value Distributions 

Silakan baca discussion pada hlm 118 (Haan, 1982)


5-Sep-14

29

Beta Distribution Distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah pX ( x) = x

a-1

b-1

(1- x)

B (a,b) , 0 < x < 1 and a,b > 0

B ( a,b) = beta function =

1

òx

a-1

(1- x )

b-1

dx

E(X) =

0

=

G ( a ) G (b)

var ( X ) =

G ( a + b)


5-Sep-14

a a+b ab

(a + b +1) (a + b)

2

30

Pearson Type III Distribution p X ( x ) = p0 (1+ x a)

a 5 -x d

e

• mode di x = 0 • batas bawah di x = −α Dengan transformasi (translasi) sehingga:

• mode di x = α • batas bawah di x = 0 ab æ ö - x-a d x p X ( x ) = p0 e ( ) ç ÷ èaø


5-Sep-14

31

Distribusi Chi-square Distribusi t Distribusi F

DISTRIBUSI SAMPEL STATISTIK http://istiarto.staff.ugm.ac.id

5-Sep-14

32

Chi-square Distribution X -m Z= s

variabel random berdistribusi normal

Y = å Zi 2

berdistribusi chi-square dengan n degrees of freedom

n

i=1

Distribusi chi-square = distribusi gamma dengan λ=½ η = kelipatan ½

p

c

2 ( x) =

x

( )

E c2 = n http://istiarto.staff.ugm.ac.id

-(1-n 2) -x 2

x,n > 0

e

2 n 2 G ( n 2)

( )

n = 2h

var c2 = 2n

nˆ = X

5-Sep-14

33

t Distribution Y = normal standar Y dan U independent

U = chi-square X =Y

n U

pT (t ) =

 berdistribusi t dengan ν degrees of freedom

(

G éë 1 ( n +1)ùû 1+ t 2 n 2

)

- 1 ( n+1) 2

p n G ( n 2)

-¥ > t < +¥ n>0

E (T ) = 0

( )

var c http://istiarto.staff.ugm.ac.id

2

n = n-2 5-Sep-14

untuk n > 2 34

F Distribution U = chi-square dengan γ = m degrees of freedom

V = chi-square dengan γ = n degrees of freedom

U dan V independent

maka: X = (U m) (V n)  berdistribusi F dengan γ1 = m dan γ2 = n degrees of freedom pF ( f ) =

(

)

g1 2 g2 2 é ù 1 G ë g1 + g2 û g1 g 2

( g2 + g1 f )

(

1 g +g 2 1 2

g1 E(F) = g2 - 2 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

f

(

1 g -2 2 1

)

)G g 2 G g 2 (1 ) (2 ) var ( F ) = 5-Sep-14

g1,g2 > 0

g22 ( g1 + 2)

g1 ( g2 - 2) ( g2 - 4) 35


5-Sep-14

36

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada STATISTIKA. Continuous Probability Distributions

Recommend Documents