istiarto.staff.ugm.ac.id STATISTIKA. Discrete Probability Distributions

STATISTIKA Discrete Probability Distributions

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

5-Sep-14

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada

1

• Distribusi Binomial • Distribusi Geometrik • Distribusi Binomial Negatif

• Poisson Processes • Distribusi Poisson • Distribusi Eksponensial • Distribusi Gamma

• Distribusi Multinomial


• Distribusi Hipergeometrik • Bernoulli Processes

5-Sep-14

Discrete Probability Distributions

2

Hypergeometric Distributions

5-Sep-14 http://istiarto.staff.ugm.ac.id

DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS

3


• Contoh • Suatu populasi berupa • hari hujan dan hari tak hujan • stasiun dengan data baik dan stasiun dengan data jelek • sukses dan gagal


• Mengambil sampel (random) berukuran n tanpa pengembalian dari suatu populasi berukuran N • Elemen-elemen di dalam populasi tersebut terbagi kedalam dua kelompok, masing-masing berukuran k dan (N – k)

5-Sep-14

• Situasi

4


æ N ö N! ç ÷= è n ø N -n !n!

(

)

• Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh x sukses dan (n – k) gagal dari suatu populasi yang terdiri dari k sukses dan (N – k) gagal adalah

(

) )(

æ k ö æ N -k ö N -k ! k! ç ÷ç ÷= è x ø è N - x ø k - x ! x! N -k -n+ x ! n- x !

(

) (

)


• Jumlah cara/hasil dari memilih n elemen dari N objek adalah kombinasi

5-Sep-14

• Persamaan/rumus

5

æ k ö æ N -k ö æ N ö fX x;N,n,k = ç ÷ç ÷ ç ÷ è x ø è n- x ø è n ø

(

)

• Distribusi kumulatif dari probabilitas mendapatkan x sukses atau kurang adalah

æ k ö æ N -k ö æ N ö FX x;N,n,k = åç ÷ç ÷ ç ÷ i ø è n-i ø è n ø i=0 è

(

)

x


• Jadi probabilitas mendapatkan X = x sukses dalam sampel berukuran n yang diambil dari suatu populasi berukuran N yang memiliki k elemen sukses adalah

5-Sep-14


6

Hypergeometric Distributions nk N

• Variance

( )

Var X =

(

)(

n k N -k N -n

(

)

)

N2 N -1

• Catatan

x £ k; x £ n; k £ N; n£ N; n- x £ N -k


( )

E X =

5-Sep-14

• Nilai rata-rata (mean) suatu distribusi hipergeometrik adalah

7



• Suatu DAS memiliki 12 stasiun pengukuran curah hujan dan diketahui bahwa 2 diantaranya dalam keadaan rusak. Manajemen telah memutuskan untuk mengurangi jumlah stasiun menjadi 6 saja. • Apabila 6 stasiun dipilih secara acak dari 12 stasiun tersebut, berapakah peluang terpilihnya stasiun rusak sejumlah 2, 1, atau tidak ada sama sekali?

5-Sep-14

• Contoh

8

Hypergeometric Distributions populasi, N = 12 jumlah stasiun rusak, k = 2 ukuran sampel, n = 6 peluang (probability) mendapatkan stasiun rusak sejumlah x = 2, 1, 0 dalam sampel adalah

æ k öæ N -k ö fX x;N,n,k = ç ÷ç ÷ è x øè n- x ø

(

)

æ N ö ç ÷ è n ø


• • • •

5-Sep-14

• Penyelesaian

9

(

)

æ x = 2: fX 2;12,6,2 = ç è æ x =1: fX 1;12,6,2 = ç è æ x = 0: fX 0;12,6,2 = ç è

(

)

(

)

(

)

æ N ö ç ÷ è n ø

2 ö÷æç 12-2 ö÷ æç 12 ö÷ = 0.2273 2 øè 6 -2 ø è 6 ø 2 ö÷æç 12-2 ö÷ æç 12 ö÷ = 0.5454 1 øè 6 -1 ø è 6 ø 2 ö÷æç 12-2 ö÷ æç 12 ö÷ = 0.2273 0 øè 6 -0 ø è 6 ø


æ k öæ N -k ö fX x;N,n,k = ç ÷ç ÷ è x øè n- x ø

5-Sep-14


10

( )

E X =

nk 6´2 = =1 N 12

• atau 2

( ) (

) (

) (

)

M1 = å xi fX xi = 0 0.2273 +1 0.5454 +2 0.2273 =1 i=0


• Ekspektasi jumlah stasiun rusak yang ada di dalam sampel adalah

5-Sep-14


11

Bernoulli Processes: Distribusi Binomial



12

Contoh Ilustrasi

• • • •

nilai ujian: 0 s.d. 100 status perkawinan: tidak kawin, kawin, cerai, duda/janda usia: 0 s.d. ... cuaca: cerah, berawan, hujan


• karakteristik populasi → variabel • nilai variabel

5-Sep-14

• Investigasi thd suatu populasi

13

Contoh Ilustrasi • Contoh lain ya / tidak benar / salah menang / kalah lulus / tak-lulus sukses / gagal

sukses vs gagal


• • • • •

5-Sep-14

• Jawaban pertanyaan:

14

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial • Probabilitas hasil suatu distribusi binomial


• variabel hanya memiliki 2 kemungkinan hasil • probabilitas (peluang) kedua hasil tersebut tidak berubah (tetap) apapun hasil experimen sebelumnya

5-Sep-14

• Jika

• prob(sukses) = p • prob(gagal) = q = 1 – p

15

Binomial ? (True / False)

Why ?

hujan tak-hujan

F

prob kejadian berubah

jenis kelamin warga desa

F

prob kejadian berubah

jenis kelamin bayi yang baru lahir

T

prob tetap


Event

5-Sep-14

Distribusi Binomial atau Bukan?

16

Distribusi Binomial

• peluang sukses • peluang gagal

p q

• 2x eksperimen: • • • •

peluang sukses kmd sukses (S,S): peluang sukses kmd gagal (S,G): peluang gagal kmd sukses (G,S): peluang gagal kmd gagal (G,G):

pp pq qp qq


• Peluang sukses (S) dalam suatu eksperimen adalah p → prob(S) = p • Peluang gagal (G) adalah q = 1 – p → prob(G) = q • 1x eksperimen:

5-Sep-14

• Ilustrasi

17

cara sukses

jumlah cara sukses

probabilitas

2

SS

1

pp

1 p2q0

1

SG atau GS

2

pq + qp

2 p1q1

0

GG

1

qq

1 p0q2


jumlah kesuksesan

5-Sep-14

Sukses-Gagal dalam 2× Eksperimen

18

cara sukses

jumlah cara probabilitas sukses

3

SSS

1

1 ppp

1 p3q0

2

SSG, SGS, GSS

3

3 ppq

3 p2q1

1

SGG, GSG, GGS

3

3 pqq

3 p1q2

0

GGG

1

1 qqq

1 p0q3


jumlah sukses

5-Sep-14

Sukses-Gagal dalam 3× Eksperimen

19

Sukses-Gagal dalam 3× atau 5× Eksperimen • 5× eksperimen: • peluang sukses 2×: ppqqq + pqpqq + ... + qqqpp

æ 5 ö 2 3 ç ÷ p q =10p2q3 è 2 ø


• peluang sukses pada experimen ke-3: qqp • peluang sukses di salah satu experimen: pqq + qpq + qqp

5-Sep-14

• 3× eksperimen:

20

• terjadi pada tahun ke-3, tetapi tidak terjadi pada tahun ke-2 dan ke-1 adalah qqp • terjadi satu kali pada salah satu tahun dalam periode 3 tahun adalah pqq + qpq + qqp = 3pq2 • terjadi 2 kali dalam periode 5 tahun adalah ppqqq + pqpqq + … + qqqpp = 10p2q3


• Peluang debit melampaui 100 m3/s dalam satu tahun adalah p  p = probability of exceedence (success) • maka, peluang debit melampaui 100 m3/s

5-Sep-14

Banjir

21

Distribusi Binomial

• Maka • peluang mendapatkan x kali sukses dalam n kali eksperimen adalah

æ n ö x n-x fX x;n,p = ç ÷ p 1- p è x ø

(

)

(

koefisien binomial

)

x = 0,1,2,...,n


• peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p • probabilitas sukses p tidak berubah apapun hasil eksperimen yang lain

5-Sep-14

• Jika

22

Distribusi Binomial (

)

(

)

• Nilai rata-rata dan varian

( ) Var ( X ) = n p q

E X =np

• Skewness coefficient cs =

q-p npq

p = q  simetris q > p  negative skew q < p  positive skew


æ n ö i n-i FX x;n,p = åç x = 0,1,2,...,n ÷ p 1- p i ø i=0è x

5-Sep-14

• Distribusi binomial kumulatif

23

Distribusi Binomial


• Setiap tahun dalam 5 tahun dilakukan pemilihan acak untuk menetapkan alokasi dana kepada 1 dari 4 kegiatan (A,B,C,D). • Setiap kali dilakukan pemilihan, masing-masing kegiatan memiliki peluang yang sama untuk terpilih (mendapatkan dana). • Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 3×? • Berapa persen peluang kegiatan A mendapatkan dana 5×, 4×, 3×, 2×, 1×, 0×?

5-Sep-14

• Contoh #1

24

Distribusi Binomial

• Dalam 5 kali pemilihan • peluang dipilih (sukses) 3 kali adalah

æ 5 ö fX x;n,p = fX 3;5,0.25 = ç ÷ 0.253 0.752 = 0.088 è 3 ø

(

)

(

)


• prob(As) = probabilitas kegiatan A dipilih prob(As) = ¼ = 0.25 = p • prob(Ag) = probabilitas kegiatan A tak dipilih prob(Ag) = 1 – p = 0.75 = q

5-Sep-14

• Setiap kali pemilihan

25

Distribusi Binomial jumlah kejadian

peluang terjadi

0

1

0.237

1

5

0.396

2

10

0.264

3

10

0.088

4

5

0.015

5

1

0.001 ∑=

1.000


jumlah sukses

5-Sep-14

koefisien binomial

• Dalam 5 kali pemilihan (n = 5)

26

Distribusi Binomial


• Diketahui probabilitas (risiko) muka air banjir dalam suatu tahun melebihi elevasi h m adalah 0.05. Apabila m.a. banjir melebihi h m, maka wilayah A akan tergenang. • Apabila setiap kejadian banjir adalah independent (banjir pada suatu tahun tak bergantung pada banjir pada tahun yang lain), maka kejadian banjir tersebut dapat dipandang sebagai proses Bernoulli. • Berapakah risiko (probabilitas) wilayah A tergenang 2 kali dalam periode 20 tahun?

5-Sep-14

• Contoh #2

27

Distribusi Binomial x = jumlah kejadian wilayah A tergenang n = periode (jumlah tahun) yang ditinjau p = risiko m.a. banjir melewati h m (risiko wilayah A tergenang) x = 2; n = 20; p = 0.05

• Maka: • Jadi:

æ 20 ö fX x;n,p = fX 2;20,0.05 = ç ÷ 0.052 0.9518 = 0.1887 è 2 ø

(

)

(

)


• Misal:

5-Sep-14

• Solusi

28

Distribusi Binomial

• Contoh #4 • Memperhatikan contoh #3, tariklah kesimpulan mengenai risiko debit banjir kala-ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1 kali dalam periode T tahun.


• Agar 90% yakin bahwa debit banjir rancangan yang akan dipilih tidak terlampaui selama periode 10 tahun, berapakah kala ulang debit banjir rancangan tersebut?

5-Sep-14

• Contoh #3

29

Distribusi Binomial • • • •

Qd = debit banjir rancangan p = probabilitas bahwa debit banjir rancangan terlampaui n = 10 tahun x = jumlah tahun debit banjir rancangan terlampaui

• Probabilitas debit banjir rancangan tak terlampaui adalah

(

)

prob Q

• Misal

5-Sep-14

• Solusi

30

Distribusi Binomial )

(

(

0.90 =1×1× 1- p

)

10

p =1-0.900.10 p = 0.0105

)

5-Sep-14

(

10

Kala ulang T =1 p = 95 tahun

• Jadi untuk memperoleh keyakinan 90% bahwa debit banjir rancangan tak terlampaui dalam 10 tahun, maka diperlukan debit banjir rancangan kala ulang 95 tahun.


æ 10 ö 0 fX 0;10,p = ç ÷ p 1- p è 0 ø

31

(

)

(

)

prob Q >Q10 =1- fX 0;10,0.10 = 0.651


• Apabila dipilih debit banjir kala ulang 10 tahun (p = 10%), maka kemungkinan debit ini dilampaui adalah

5-Sep-14

Distribusi Binomial

32

(

)

(

)

prob Q > Q10 =1- fX 0;10,0.10 = 0.651 atau 1-1 e » 0.63 • Jadi terdapat 63% kemungkinan bahwa debit kala ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1× dalam periode T tahun. • Jika umur rancangan bangunan dan kala ulang rancangan sama, maka sangat besar risiko bahwa debit rancangan tersebut akan dilampaui dalam periode umur rancangan.


• Secara umum dapat ditetapkan bahwa risiko debit banjir rancangan kala ulang T tahun terlampaui paling sedikit 1× dalam periode T tahun adalah:

5-Sep-14

Distribusi Binomial

33

5-Sep-14

Bernoulli Processes: Distribusi Geometrik



34

Distribusi Geometrik

probabilitas  p1 qx-1


• Suatu sequence proses Bernoulli, namun ingin diketahui probabilitas sukses yang pertama kali terjadi • Jika pada pengamatan (eksperimen) ke-x diperoleh sukses pertama kali, maka haruslah dimiliki (x – 1) kali gagal sebelumnya dan diikuti oleh sekali pengamatan dengan hasil sukses

5-Sep-14

• Situasi

35

Distribusi Geometrik • Probabilitas distribusi geometrik

• Distribusi geometrik kumulatif

( )

x

(

)

FX x;p = å pqi-1 =prob X £ x , x =1,2,3,... i=1

berlaku untuk x ³1

( )

jika x <1 maka FX x;p = 0


5-Sep-14

( )

fX x;p = pq x-1 , x =1,2,3,...

36

Distribusi Geometrik 1 p

• Varian

( )

var X =

q p2


( )

E X =

5-Sep-14

• Nilai rata-rata

37

Distribusi Geometrik x=1 ¥

(

= å x p 1- p x=1 ¥

)

x-1

¥

(

)

= p å x 1- p x-1 x=1

¶ ¶ 1 1 1- p x = -p = ¶p ¶p p p x=0

= på -

(

)

5-Sep-14

E X = å x pq x-1 , x =1,2,3,...


( )

¥

38



• Berapakah probability suatu banjir 10-tahunan akan terjadi pertama kali dalam 5 tahun pertama setelah proyek selesai? • Berapakah probability banjir tersebut akan terjadi pertama kali secepat-cepatnya pada tahun ke-5 setelah proyek selesai?

5-Sep-14

• Contoh

39

Distribusi Geometrik • Solusi

)

(

= 0.0656

)


(

fX 5;0.10 = 0.10× 1-0.10

4

5-Sep-14

• Probabilitas banjir terjadi pertama kali pada tahun ke-5 adalah:

40


4

(

q = 1-0.10 = 0.6561

)

4


• Probability banjir terjadi pertama kali paling cepat pada tahun ke-5 (jadi dapat terjadi pada tahun ke-5, 6, 7, 8, 9, atau 10) dapat dicari dengan memperhatikan bahwa banjir tidak datang selama periode 4 tahun pertama. • Dengan demikian probability banjir terjadi pertama kali paling cepat pada tahun ke-5 adalah:

5-Sep-14

• Solusi

41

5-Sep-14

Bernoulli Processes: Distribusi Binomial Negatif



42

Distribusi Binomial Negatif

æ x -1 ö k-1 x-k ç ÷p q è k -1 ø

 distribusi binomial


• Ingin diketahui probabilitas diperolehnya sukses ke-k terjadi pada eksperimen ke-x (tentu saja x ≥ k). • Dalam hal ini, pastilah terdapat (k – 1) sukses pada (x – 1) eksperimen, yang mendahului sukses ke-k pada eksperimen ke-x. • Probabilitas (k – 1) sukses dalam (x – 1) eksperimen adalah:

5-Sep-14

• Situasi

43

æ x -1 ö k x-k fX x;k,p = ç ÷ p q , x = k,k +1,... è k -1 ø

(

)

• Nilai rata-rata dan varian

( )

E X =

k p

( )

var X =

kq p2


• Sedangkan probabilitas sukses pada eksperimen ke-x adalah p. • Jadi probabilitas sukses ke-k pada pengamatan ke-x adalah:

5-Sep-14

Distribusi Binomial Negatif

44

Distribusi Binomial Negatif • Solusi

æ 40-1 ö 40-4 4 fX 40;4,0.10 = ç ÷ 0.10 1-0.10 è 4-1 ø æ 39 ö =ç ÷ 0.10 4 0.9036 è 3 ø = 0.0206

(

)

(

)


• Berapakah probabilitas banjir 10-tahunan akan terjadi keempat kalinya pada tahun ke-40?

5-Sep-14

• Contoh

45

5-Sep-14

Poisson Processes: Distribusi Poisson



46

Distribusi Poisson

• ekspektasi jumlah kejadian dalam interval waktu total  tetap


• Proses Bernoulli dalam suatu interval waktu  p adalah probabilitas terjadinya suatu event dalam interval waktu tersebut. • Jika interval waktu t sangat pendek sedemikian hingga probabilitas p menjadi kecil dan jumlah pengamatan (eksperimen) n bertambah sedemikian hingga np konstan, maka

5-Sep-14

• Situasi

47

Distribusi Poisson


• Proses Poisson adalah suatu proses diskrit pada skala waktu kontinu. • Oleh karena itu, distribusi probabilitas jumlah event dalam suatu waktu T adalah sebuah distribusi diskrit, akan tetapi distribusi probabilitas waktu antar events serta waktu sampai ke event ke-n adalah distribusi kontinu.

5-Sep-14

• Sifat

48

Distribusi Poisson ( )

• Distribusi geometrik kumulatif

l i e-l FX x;l = å i! i=0

( )

x


l x e-l fX x;l = , x = 0,1,2,... dan l = np > 0 x!

5-Sep-14

• Probabilitas distribusi poisson

49

Distribusi Poisson ( )

var X = l

• Skewness coefficient

cs = l

-1

2


( )

E X =l

5-Sep-14

• Mean dan variance

50

Distribusi Poisson • dengan memakai distribusi binomial

æ 10 ö fX 1;10,0.05 = ç ÷0.05×0.959 = 0.315 è 1 ø

(

)

• dengan memakai distribusi poisson

l = np =10×0.05 = 0.5 0.5e-0.5 fX 1;0.05 = = 0.303 1!

(

)


• Probabilitas banjir 20-tahunan (kala ulang 20 tahun) akan terjadi dalam 10 tahun:

5-Sep-14

• Contoh #1

51

Distribusi Poisson • dengan memakai distribusi binomial

æ 10 ö 5 fX 5;10,0.5 = ç ÷0.5 ×0.510-5 = 0.246 è 5 ø

(

)

• dengan memakai distribusi poisson

l = np =10×0.5 = 5 55 e-5 fX 5;5 = = 0.176  n tidak cukup besar untuk 5! mendapatkan pendekatan

( )

yang baik dengan distribusi poisson


• Probabilitas 5 kejadian banjir 2-tahunan dalam 10 tahun adalah:

5-Sep-14

• Contoh #2

52

Distribusi Poisson

n >> Þ distribusi poisson l = np =100×0.05 = 5

(

)

(

)

( )

prob X < 5 =prob X £ 4 = FX 4;5 5i e -5 FX 4;5 = å = 0.44 i! i=0

( )

4


• Probabilitas kurang daripada 5 kejadian (max. 4 kejadian) banjir 20-tahunan dalam 100 tahun adalah:

5-Sep-14

• Contoh #3

53

Poisson Processes: Distribusi Exponensial


CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS

54

( ) ( ) prob ( T > t ) = probability tidak terjadi event dalam waktu t = fX (0;lt ) prob T £ t =1-prob T > t

= e-lt


• Distribusi probabilitas waktu (interval) T di antara kejadiankejadian suatu event dapat dihitung sbb.

5-Sep-14

Distribusi Eksponensial

55

Distribusi Eksponensial

)

( )

• Probability density function, pdf

( )

pT t;l =

( ) = le-lt

dPT t;l dt


()

E T = l -1

()

var T = l -2


(

prob T £ t = PT t;l =1-e-lt

5-Sep-14

• Distribusi eksponensial kumulatif

56

Poisson Processes: Distribusi Gamma


CONTINUOUS PROBABILITY DISTRIBUTIONS

57

l n t n-1 e-lt pT t;n,l = n-1 !

(

)

t >0

( )

l>0 n =1,2,...


()

n E T = l

()

var T =


• Distribusi probabilitas waktu sampai terjadinya suatu event ke-n kalinya. • pdf

5-Sep-14

Distribusi Gamma

n l2

58

Distribusi Gamma

• Solusi

t =10,n= 4, g =np = 4×0.10 =0.4 l n t n-1 e-lt pT 10;4,0.4 = n-1 !

(

)

(

=

)

4

0.4 ×10

= 0.78

(

( )

-0.4 10

4-3

×e 4-1 !

)


• Berapakan risiko terjadi banjir ke-4 kalinya dalam waktu 10 tahun jika risiko banjir per tahun adalah 0.10?

5-Sep-14

• Contoh

59

5-Sep-14

Distribusi Multinomial



60

• hasil • prob

x1, x2, …, xk p1, p2, …, pk

n! x1 x2 xk fX ,X ,...,X x ,x ,...,x ;p ,p ,...,p = p1 p2 ...pk ( ) 1 2 k 1 2 k 1 2 k x1!x2 !...xk !


• Distribusi binomial: sukses vs gagal, yes vs no • Distribusi multinomial

5-Sep-14


61

Distribusi Multinomial )

fX x;n,p = n!Õ i=1

pi

xi

dalam persamaan tsb

xi !

X,x, dan p adalah vektor 1´k

k

Syarat

å pi =1 i=1

k

dan

å xi = n i=1


( )

E Xi = npi

( )

(

var Xi = npi 1- pi

)


(

k

5-Sep-14

• atau

62


Contoh multinomial distribution

5-Sep-14


63

64


5-Sep-14

istiarto.staff.ugm.ac.id STATISTIKA. Discrete Probability Distributions

Recommend Documents