Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan VARIABEL RANDOM. Statistika dan Probabilitas

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan

VARIABEL RANDOM Statistika dan Probabilitas

Pengertian 2

q 

Random variable (variabel acak) q 

q 

Jenis q  q 

q 

suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space Discrete random variables Continuous random variables

Contoh q  q 

jumlah hari hujan selama 1 tahun à diskrit jumlah (volume) hujan selama 1 tahun à kontinu

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Variabel Random 3

q 

Notasi q  q 

q 

X à variabel random x à nilai variabel random

Fungsi q  q 

Suatu fungsi variabel random adalah variabel random pula Jika X adalah variabel random, maka Z = f(X) adalah juga variabel random

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Variabel Random Diskrit 4

q  q 

X

= discrete random variables = x1, x2, x3, …, xn fX(x1) fX(x2)

probabilitas ∑ fX(xi) = 1

fX(x3) fX(xn)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

fX(xi)

distribusi probabilitas diskrit x1 x2 x3

…

xn−1 xn

1

distribusi probabilitas kumulatif diskrit

FX(xi) 0 5

x1 x2 x3

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

…

xn−1 xn

probabilitas x ≤ xi Variabel Random

27-Apr-15

q  Distribusi probabilitas kumulatif suatu variabel random X untuk X = x FX (x ) =

∑ f X (x i )

xi ≤ x

q  Distribusi probabilitas suatu variabel random X untuk X = x fX (xi ) = FX (xi ) − FX (xi −1 )

6

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

§  Frekuensi relatif fx i = Fx i − Fx i −1

§  Probabilitas fX (xi ) = FX (xi ) − FX (xi −1 )

§  Frekuensi relatif kumulatif Fx i (x ) =

7

i

∑ fx j =1

j

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

FX (x ) =

∑ fX (xi )

xi ≤ x

Variabel Random

27-Apr-15

Variabel Random Kontinu 8

q 

Probabilitas n prob(A ) = i = fx i n

q 

ni = jumlah data di klas ke-i n = jumlah seluruh data

Dengan demikian fxi dapat dipandang sebagai nilai estimasi probabilitas fxi à estimasi prob (A) histogram frekuensi à pendekatan distribusi probabilitas frekuensi kumulatif à pendekatan distribusi probabilitas kumulatif

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

variabel random kontinu diperlakukan seolah-olah variabel random diskrit

Variabel Random

27-Apr-15

pX(x)

luas = prob(X ≤ b)

luas = 1 luas = prob(a ≤ X ≤ b)

a

x

b

1 PX(x) PX(b) PX(a) 0 9

pdf = probability density function

cdf = cumulative probability distribution function prob(a ≤ X ≤ b) a

b

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PX(x) = prob(X ≤ x)

x Variabel Random

27-Apr-15

pX(x) = probability density function of a continuous random variable PX(x) = cumulative probability distribution function x

PX (x ) = prob (X ≤ x )

d PX (x ) = pX (x ) d x

PX (x ) =

∫ pX (t )dt

−∞

10

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Beberapa Sifat Probabilitas 11

b

(1)

(5) prob(a ≤ X ≤ b ) = pX (t )d t = PX (b ) − PX (a )

pX (x ) ≥ 0, ∀x

∫ a

+∞

(2)

∫

c

p X (x ) d x = 1

(6) prob(X = c ) = pX (t )d t = PX (c ) − PX (c ) = 0

∫

−∞

(3)

PX (− ∞ ) = 0

(4)

PX (+ ∞ ) = 1

c

prob (a ≤ X ≤ b ) = prob (a < X ≤ b ) = prob (a ≤ X < b ) = prob (a < X < b )

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Kala Ulang (Return Period) 12

prob (X ≥ a ) = prob (X > a ) q 

Jadi dalam definisi kala ulang a.  suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu b.  suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu

q 

Kedua definisi, a dan b, adalah sama mengingat probabilitas suatu kejadian (event) menyamai suatu nilai tertentu bernilai nol

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Contoh #1 13

q 

Diketahui suatu variabel random X memiliki fungsi kerapatan probabilitas (pdf) sbb. ⎧ x 2 ⎪ pX (x ) = ⎨ ⎪0 ⎩ q  q  q  q 

untuk 0 < x < 2 untuk  nilai x yang  lain

Gambarlah pdf tersebut Tunjukkan bahwa prob(0 < X < 2) = 1 Hitunglah prob(X < 1.5)= PX(1.5) Hitunglah prob(0.5 < X < 1.5)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Contoh #2 14

q 

Pengolahan data annual series curah hujan harian maksimum, H mm, di suatu stasiun ARR (Automatic Rainfall Recorder) menunjukkan bahwa sebaran probabilitas suatu besaran curah hujan, pH(h), dapat dinyatakan dengan suatu fungsi (pdf) sbb. ⎧ 1 ⎪ 75 ⎪⎪ 1 (100 − h) pH (h ) = ⎨ 3750 ⎪ ⎪0 ⎪⎩ q  q  q 

untuk 0 < h < 50 untuk 50 < h < 100 untuk  nilai h yang  lain

Gambarlah pdf tsb. Carilah fungsi cdf berdasarkan pdf tsb. Hitunglah prob(40 mm < H < 60 mm)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Bivariate Distributions 15

q 

q 

Pada bahasan sebelumnya, variabel random adalah variabel tunggal (univariate distribution) Pada bahasan berikut ini, variabel random terdiri dari dua variabel (bivariate distributions) q 

q 

Apabila kita ingin mempelajari perilaku dua atau lebih variabel random, maka kita perlu menghitung probabilitas gabungan atau probabilitas bersama (joint probabilities) Probabilitas gabungan à pdf gabungan

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Bivariate Distributions 16

q 

Probabilitas gabungan, probabilitas bersama pX ,Y (x , y ) =

∂ PX ,Y (x , y ) ∂x ∂y

PX ,Y (x , y ) = prob (X ≤ x ∧ Y ≤ y )

pdf cdf

+∞ +∞

=

∫ ∫ pX ,Y (s, t )dt d s

−∞ −∞

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Bivariate Distributions 17

q 

Beberapa sifat bivariate distribution PX ,Y (x , ∞ )

cdf variabel random X saja (univariate)

PX ,Y (∞ , y )

cdf variabel random Y saja (univariate)

pX ,Y (x , y ) ≥ 0

PX ,Y (+ ∞ ,+∞ ) = 1 PX ,Y (− ∞ , y ) = PX ,Y (x ,−∞ ) = 0

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Distribusi Marginal 18

q 

Dua variabel random X dan Y q  q 

Ingin diketahui perilaku variabel X tanpa mempertimbangkan nilai variabel Y Densitas marginal (pdf) dan distribusi kumulatif marginal (cdf) pX ,Y (x , y ) → pX (x ) +∞

p X (x ) =

∫

pX ,Y (x , t )d t

−∞

pdf http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PX ,Y (x , y ) → PX (x ) PX (x ) = PX (x , ∞ ) = prob (X ≤ x ∧ Y ≤ ∞ ) = prob (X ≤ x ) x +∞

=

x

∫ ∫ pX ,Y (s, t )dt d s = ∫ pX (s)d s

−∞ −∞

−∞

cdf Variabel Random

27-Apr-15

Distribusi Marginal 19

q 

Dua variabel random X dan Y q 

Untuk variabel Y pX ,Y (x , y ) → pY (y ) +∞

pY (y ) =

∫ pX ,Y (s, y )d s

−∞

pdf http://istiarto.staff.ugm.ac.id

PX ,Y (x , y ) → PY (y ) PY (y ) = PY (∞ , y ) = prob (X ≤ ∞ ∧ Y ≤ y ) = prob (Y ≤ y ) y +∞

=

y

∫ ∫ pX ,Y (s, t )d s dt = ∫ pY (t )dt

−∞ −∞

−∞

cdf Variabel Random

27-Apr-15

Distribusi Bersyarat (Conditional Distributions) 20

q 

Dua variabel random X dan Y q 

Ingin diketahui perilaku variabel X yang bergantung pada variabel Y n  n 

Distribusi X jika Y = y0 Distribusi Y jika x1 ≤ X ≤ x2

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Distribusi Bersyarat (Conditional Distributions) 21

p (x , t ) d t ∫ p (x y  di  dalam  S ) = ∫ p (t )dt prob(x  di  dalam  R y  di  dalam  S ) = ∫ p (x y  di  dalam  S )d x X ,Y

i

S

X ,Y

S

Y

R

XY

pX ,Y (x , y 0 )    yang  lebih  sering  dituliskan pY (y 0 ) p (x , y ) pX Y (x y ) = X ,Y pY (y ) pX Y (x y = y 0 ) =

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Independence 22

q 

Variabel random X dan Y q 

X dan Y independence jika pX Y (x y )  bukan    fungsi y pX Y (x y ) = pX (x )

q 

Joint probabilities n 

Perkalian densitas marginal kedua variabel

pX ,Y (x , y ) = pX (x ) ⋅ pY (y )

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Contoh 23

Data jumlah hari yang memiliki temperatur udara rerata (T°C) dan kelembaban udara relatif (H%) di suatu stasiun klimatologi

Kelembaban relatif, H%

Temperatur udara, T°C 22-24

24-26

26-28

28-30

30-32

32-34

0 – 20

2

4

6

2

2

1

20 – 40

4

8

12

30

6

9

40 – 60

5

15

30

60

30

20

60 - 80

3

7

9

25

17

11

80 - 100

1

0

2

12

8

3

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

Contoh 24

q 

Dari tabel temperatur udara dan kelembaban udara tsb. q  q  q  q  q 

pdf (gabungan) pdf marginal dan cdf marginal temperatur udara rerata pdf marginal dan cdf marginal kelembaban udara relatif probabilitas temperatur udara berkisar pada 28°C s.d. 30°C probabilitas temperatur udara berkisar pada 28°C s.d. 30°C pada saat kelembaban udara relatif 60% s.d. 80%

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15

25

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Variabel Random

27-Apr-15