Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data

Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data Atina Ahdika Program Studi Statistika, Universitas Islam Indonesia Jalan Kaliurang Km 14,5 Sleman Yogyakarta [email protected] ABSTRACT Study about the distribution of the function of a random variable, in particular the distribution of the sum of two or more random variables, has been done widely. While studies on the distribution of the difference between two random variables still rarely done, moreover for discrete random variables. This work focuses on the derivation of the distribution of two independent Poisson random variables. The methods used to determine the distribution are method of moment generating function and probability mass function. The properties of the distribution are derived through the characteristics of the k  th moment; the first up to fourth moments in particular. Furthermore, the distribution of the difference of two independent Poisson random variables is compared to the Poisson Difference (PD) distribution of Alzaid and Omair (2010) or also known as Skellam distribution. Parameters of the distribution are estimated using method of moment and maximum likelihood estimation. Application to the literate population data is carried out to get a better understanding about the distribution. Keywords: Poisson distribution, Poisson Difference distribution, moment generating function, probability mass function, method of moment, maximum likelihood estimation. ABSTRAK Kajian mengenai distribusi dari suatu fungsi peubah acak, khususnya mengenai distribusi dari jumlah dua atau lebih peubah acak, sudah banyak dilakukan. Sedangkan kajian mengenai distribusi dari selisih dua peubah acak masih jarang dilakukan, terlebih pada peubah acak-peubah acak diskrit. Penelitian ini berfokus pada penurunan distribusi selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas. Metode yang digunakan untuk menentukan distribusi tersebut adalah metode fungsi pembangkit momen dan metode fungsi massa peluang. Karakteristik-karakteristik dari distribusi diturunkan melalui sifat-sifat dari momen ke- k ; khususnya dari momen pertama hingga momen keempat. Selanjutnya, distribusi dari selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas ini akan dibandingkan dengan distribusi Poisson Difference (PD) yang diturunkan oleh Alzaid dan Omair (2010) atau dikenal juga dengan nama distribusi Skellam. Parameter-parameter dari distribusi diestimasi menggunakan metode momen dan maksimum likelihood. Aplikasi pada data penduduk melek huruf dilakukan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih baik mengenai distribusi tersebut. Kata Kunci: distribusi Poisson, distribusi Poisson Difference, fungsi pembangkit momen, fungsi massa peluang, metode momen, metode maksimum likelihood.

Pendahuluan Salah satu konsep dasar yang harus dipahami dan berperan penting dalam ilmu statistika adalah distribusi peluang suatu data. Pemahaman mengenai hal

tersebut sangat penting untuk diketahui ketika

seseorang

harus

berhadapan

dengan serangkaian data dan menentukan langkah yang tepat untuk menangani data yang tersedia.

Berdasarkan

sampelnya,

yang sama. Kemudian terdapat pula

distribusi peluang suatu data dibagi

pembahasan mengenai distribusi serupa

menjadi dua, yaitu distribusi kontinu dan

yang dikenal dengan nama distribusi

distribusi diskrit. Ada banyak kajian yang

Poisson Difference (PD) yang diturunkan

berkaitan

dengan

distribusi-distribusi

oleh Alzaid dan Omair (2010) atau

tersebut,

salah

satunya

adalah

dikenal juga dengan nama distribusi

menentukan bentuk distribusi dari suatu

Skellam, di mana distribusi tersebut

peubah acak bila ia dikenai suatu fungsi

melibatkan

tertentu. Fungsi dari peubah acak yang

dalamnya. Untuk itu, di dalam paper ini

paling sederhana dan paling masuk akal

akan dibahas juga kaitan antara distribusi

(bermakna)

selisih dua peubah acak Poisson yang

ketika

ruang

diterapkan

dalam

suatu data adalah penjumlahan atau

saling

pengurangan dari dua peubah acak.

tersebut.

peubah

bebas

acak

dengan

ketiga

distribusi

di

PD

Secara khusus, kajian mengenai distribusi Terdapat beberapa aplikasi dari

jumlah dua atau lebih peubah acak sudah banyak dipelajari dan mudah diturunkan. Sedangkan distribusi selisih peubah acak masih jarang dilakukan. Pada umumnya, kejadian dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan kejadian yang terhitung (diskrit). Berdasarkan kedua hal tersebut, maka dalam penelitian ini akan dilakukan formulasi terhadap distribusi dari selisih dua peubah acak diskrit, khususnya selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas. Selain itu akan diturunkan pula karakteristik-karakteristik distribusi, penaksiran parameter, serta aplikasi dari distribusi tersebut pada data real. Pada penelitian terdahulu, J.O. Irwin (1937) telah membahas mengenai distribusi dari selisih dua peubah acak

distribusi Poisson Difference ini; Karlis dan Ntzoufras (2000) mengaplikasikan distribusi tersebut untuk memodelkan perbedaan

banyaknya

gol

dalam

permainan sepak bola, Hwang et al (2007) mengukur perbedaan intensitas piksel dalam kamera. Pada paper ini akan dilakukan aplikasi dari distribusi selisih dua peubah acak Poisson saling bebas pada persentase melek huruf di atas 15 tahun berdasarkan golongan umur dan daerah tempat tinggal untuk melihat peluang

kenaikan

serta

penurunan

persentasenya tiap tahun. Tujuan Penelitian 1.

Memformulasikan distribusi selisih dua peubah acak Poisson yang

Poisson saling bebas dengan parameter 62

EKSAKTA Vol. 16 No. 1-2 Agustus 2015

saling

bebas

dan

menurunkan

Distribusi Poisson

karakteristik-karakteristiknya. 2.

Mempelajari tersebut

kaitan

dengan

Peubah

distribusi

distribusi

PD/

distribusi Skellam. 3.

Melakukan

estimasi

yang

berdistribusi Poisson jika X menyatakan banyaknya hasil (sukses) pada selang

parameter

saling

sifat distribusi Poisson adalah: 1.

Banyaknya hasil yang terjadi dalam

bebas

suatu selang waktu atau daerah

menggunakan metode momen dan

tertentu tidak terpengaruh (bebas

maksimum likelihood.

dari) apa yang terjadi pada selang waktu

4.

dikatakan

X

waktu tertentu (daerah tertentu). Sifat-

distribusi selisih dua peubah acak Poisson

acak

Mengaplikasikan konsep distribusi

atau

daerah

lain

yang

suatu

hasil

terpisah.

selisih dua peubah acak Poisson yang saling bebas ke dalam data

2.

Peluang

terjadinya

real, yaitu data persentase melek

(tunggal) dalam selang waktu yang

huruf penduduk di atas 15 tahun

amat pendek atau dalam daerah

berdasarkan golongan umur dan

yang

daerah tempat tinggal.

panjang selang waktu atau besarnya

kecil

sebanding

dengan

daerah dan tidak bergantung pada Landasan Teori

banyaknya hasil yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.

Kebebasan Peubah Acak Peubah acak merupakan fungsi

3.

Peluang terjadinya lebih dari satu

yang memetakan anggota ruang sampel

hasil dalam selang waktu yang

ke himpunan bilangan riil: X : S  R

pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

Dua peubah acak

X1

dan

X2

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika: P X 1  x1 , X 2  x 2   P X 1  x1   P X 2  x 2 

Suatu peubah acak X berdistribusi Poisson

dengan

dinotasikan

parameter

dengan



X ~ POI  

atau jika

fungsi massa peluangnya adalah P X  x   e 

x x!

, x  0, 1, 2,  ,   0

Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

63

Sedangkan

fungsi

distribusi

kumulatifnya adalah P X  x  

k



e 

x0

x

P( Z  z )  e



z/2



   1  I z 2  1 2 ,  2  z   ,  1, 0, 1, 

 1  2  

dengan

x! k

 x I y x      2

Berikut adalah karakteristik dari distribusi Poisson:

y 

 k 0

1. Nilai mean dan variansinya sama,yaitu

I y x 

E  X   Var  X   

pertama termodifikasi.

2. Nilai skewness (kemiringan data) lebih

Pembahasan

 x2     4    k !  y  k !

merupakan fungsi Bessel jenis

besar dari nol, yang berarti bahwa data Distribusi Selisih Dua Peubah Acak

menceng ke kanan.

Poisson yang Saling Bebas 3. Nilai kurtosis (kelancipan data) lebih Pada

besar dari tiga, yang berarti bahwa nilai data-datanya

mengumpul

di

sekitar

bagian

diformulasikan

ini

mengenai

akan distribusi

selisih dari dua peubah acak Poisson

meannya.

yang saling bebas. 4. Fungsi pembangkit peluangnya adalah M X t   e  e

t

Misalkan X 1 ~ POI  1  saling bebas



1

X 2 ~ POI  2  .

dengan Distribusi Poisson Difference (PD) Alzaid

dan

mendefinisikan

Omair

distribusi

Z  X 1  X 2 , maka distribusi dari peubah

(2010) Poisson

Difference sebagai berikut Definisi

1.

Misalkan

sebagai

acak

Z

dapat

ditentukan

dengan

menggunakan kedua teknik berikut: Teknik Fungsi Pembangkit Momen

terdapat

pasangan peubah acak  X , Y  yang bisa dituliskan

Misalkan

X  W1  W3

dan

Y  W2  W3 dengan W1 ~ POI  1  saling

bebas dengan W2 ~ POI  2  dan W3

Fungsi pembangkit momen dari Z adalah sebagai berikut

      E e  E e   E e  e

M Z t   E e tZ  E e t  X 1  X 2  tX 1

 tX 2

 e  1  2 1e

t

tX 1

 tX 2

 2 e  t

sebarang distribusi, maka fungsi massa peluang dari Z  X  Y diberikan

Bentuk fungsi pembangkit momen tersebut

64

tidak

sama

dengan

fungsi


pembangkit

momen

dari

distribusi

Poisson. Teknik Fungsi Massa Peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak Z diperoleh dari penurunan berikut Gambar 1. Simulasi Numerik

PZ  k   P X 1  X 2  k  



 P X

1

 X 2  k | X 2  n  P X 2  n 

n0 



f n0 



X1

sehingga:

n  k  f X n  2

1n  k

e  

Sifat PZ  k | 1 ,  2   PZ  k |  2 , 1  ,

1

n  k !

n0



e  2

PZ  k |  1 ,  2  PZ   k |  2 ,  1    1   PZ   k |  1 ,  2  PZ   k |  1 ,  2    2

2n n!

1n  k  2 n

 n  k ! n!

 e  1  2 

n0

Berdasarkan

hubungan

  

k

tersebut,

Jika Z   k , maka fungsi peluangnya

maka fungsi massa peluang dari distribusi

adalah:

selisih dua peubah acak Poisson yang saling

P Z   k   P  X 1  X 2   k  



 P X

1



f n0 



e

X1

 X 2   k | X 2  n  P X 2  n 

n  k  f X n 

1

n0

 e  1  2 

n  k ! 

e

 2

2n n!

e

1 n k  2 n

 n! n  k ! n0

Selanjutnya,

diturunkan

 PZ  k |  1 ,  2   PZ   k |  1 ,  2   1  2  e  1  2 

2

1 n k

dapat

dan

diperoleh yaitu sebagai berikut:

n0



bebas

terdapat

PZ  k | 1 ,  2   PZ  k |  2 , 1 

sifat yang

  

k



1 n k  2 n  1    n! n  k  !  2  n0



k

k

 2  1 n k  2 n  1      2  n  0 n! n  k !   2

 1  2    1



k

  e  1  2   1  2

 2   1 n 2 n  k   1    n  0 n  k ! n!   2

  e  1  2   1  2

 2   1 2 1 / 2   n  0 n! n  k  !

ditunjukkan oleh hasil simulasi berikut: e

 1  2    1



k



k





2   I k 2  1 2  2 

k

2  



2n k



dengan I z (x ) adalah fungsi Bessel jenis pertama termodifikasi.


k

2  

65

Fungsi massa peluang tersebut

saling bebas bukan merupakan distribusi

sama dengan fungsi massa peluang

Poisson. Selanjutnya kita akan menyebut

distribusi

pada

distribusi tersebut sebagai distribusi Beda

Definisi 1. Perbedaan dan kaitan antara

Poisson saling bebas dengan parameter

distribusi selisih dua peubah acak Poisson

1 ,  2  .

Poisson

Difference

saling bebas dengan distribusi Poisson Difference ini akan dibahas pada bab

Berikut adalah grafik sebaran data, fungsi

selanjutnya.

massa

peluang,

serta

fungsi

distribusi kumulatif dari distribusi Beda Jika dilihat dari bentuknya, fungsi

Poisson saling bebas.

peluang tersebut memiliki bentuk yang berbeda dengan fungsi peluang dari distribusi Poisson. Berdasarkan sifat unik dari suatu distribusi

dan

hasil

perhitungan

menggunakan dua teknik tersebut, maka dapat

disimpulkan

bahwa

distribusi

selisih dua peubah acak Poisson yang

Gambar 2. Sebaran Data Berdistribusi Beda Poisson Saling Bebas

Gambar 3. Fungsi Massa Peluang Distribusi Beda Poisson Saling Bebas dengan 1   2 dan 1   2

66


Gambar 4. Fungsi Distribusi Kumulatif Beda Poisson Saling Bebas dengan 1   2 dan 1   2

Gambar 2 menunjukkan bahwa

Selanjutnya,

akan

ditentukan

sebaran data berdistribusi Beda Poisson

karakteristik-karakteristik dari distribusi

saling bebas berada di sekitar nilai selisih

Beda Poisson saling bebas melalui sifat-

parameternya,

1   2 .

yaitu

Berbeda

sifat momen ke- k dari distribusi tersebut.

dengan distribusi Poisson, pada distribusi

Momen

Beda Poisson saling bebas terdapat juga

Poisson saling bebas diperoleh dengan

kemungkinan

negatif.

menggunakan turunan ke- k dari fungsi

Selanjutnya pada Gambar 3, ditampilkan

pembangkit momen X 1  X 2 pada saat

pola fungsi massa peluang dari distribusi

t  0 , yaitu

data

bernilai

ke- k

dari

distribusi

Beda

Beda Poisson saling bebas dengan 1   2 dan 1   2 . Berdasarkan grafik tersebut dapat

dilihat

bahwa

nilai

M k X 1  X 2 t 

t 0 

dk dt



e k t 0 

 1  2 1e t  2 e  t

 

peluang

terbesarnya (modus) berada pada data

Dengan teknik tersebut, diperoleh

dengan nilai di sekitar  1   2 . Selain itu,

momen pertama hingga momen keempat

dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa

sebagai berikut:

kenaikan nilai peluang terbesar berada

1.

E  X 1  X 2   M ' X1  X 2 0  1   2

pada data yang nilainya di sekitar  1   2 . Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa distribusi Beda Poisson saling bebas bersifat unimodal.

Momen ke-1

2.

Momen ke-2





E  X 1  X 2 2  M " X 1  X 2 0

  1   2    1   2 2


67

3.

Momen ke-3





Secara

E  X 1  X 2 3  M "' X 1  X 2 0   1   2 

4.



  1   2   3  1 2   2 2





ke- k

dari

ditampilkan oleh Gambar 5 berikut.

3

Berdasarkan Gambar 5 dapat dilihat bahwa untuk 1   2 momennya akan

E  X 1  X 2 4  M iv X 1  X 2 0

 

  1   2   6  1   2



momen

distribusi Beda Poisson saling bebas

Momen ke-4



visual,

 6 1   2 2

  1   2 4

2

2

2

selalu bernilai positif, sedangkan untuk



1   2 memungkinkan nilai momen yang

2 1   2    1   2 

negatif.

(a)

(b) Gambar 5. Momen ke- k Distribusi Beda Poisson Saling Bebas; (a) 1   2 , (b) 1   2

68


Dari keempat momen tersebut,

Gambar 6 merupakan plot mean

diperoleh karakteristik dari distribusi

dan variansi distribusi Beda Poisson

Beda Poisson saling bebas yang meliputi

saling bebas dengan parameter 1   2

mean, variansi, skewness, serta kurtosis

dan 1   2 menggunakan sampel acak

dari Z  X 1  X 2 yaitu

sebanyak n  10, 100, 1000, 10000 . Dari plot

1.

bisa dilihat bahwa baik mean maupun

Mean E Z   E  X 1  X 2    1   2

2.

variansi sampel distribusi Beda Poisson saling bebas akan semakin mendekati

Variansi Var Z   Var  X 1  X 2 



nilai parameternya untuk n yang semakin



 E  X 1  X 2 2  E  X 1  X 2 2

membesar. Nilai meannya akan selalu di

 1   2

bawah variansinya baik 1   2 maupun

Berbeda dengan distribusi Poisson, mean dan variansi dari distribusi Beda

1   2 (underdispersion).

3.

Skewness

Poisson saling bebas tidak memiliki nilai  Z   3  1   2 Z    1  E   3         1   2  2

yang sama. Secara visual, mean dan variansi dari distribusi Beda Poisson saling bebas ditunjukkan oleh Gambar 8. 4.

Kurtosis  Z   Z  1  E     

Nilai

  

4

 1  3    1 2   1   2 

skewness

dan

kurtosis

distribusi Beda Poisson saling bebas (a)

antara suatu sampel dengan sampel yang lain berbeda-beda tergantung dengan besarnya  1 dan  2 . Kaitan antara Distribusi Beda Poisson Saling Bebas dengan Distribusi Poisson Difference

(b) Gambar 6. Mean vs Variansi; (a) 1   2 , (b) 1   2

Berdasarkan Definisi 1, terdapat peubah

acak

ketiga

pada

Poisson Difference yaitu W3

distribusi dengan


69

sebarang distribusi, sehingga dalam hal

f   e

ini kita tidak bisa mengatakan bahwa

 3

min( x , y )

 k 0

 x  y  3     k !   k   k    1 2

  

k

peubah acak X dan peubah acak Y Ambil salah satu kasus, misalkan

saling bebas.

min( x, y )  x ,

Untuk peubah acak Poisson yang tidak saling bebas, misalkan X ~ POI  1  Y ~ POI  2  ,

dan

R.

Vernic

(1997)

dijabarkan akan menjadi f    e

 3

min( x , y )

 k 0

menyatakan fungsi peluang bivariatnya, e

yaitu

 3

x

 k 0

P X  x, Y  y   e

 1  2  3 

min( x , y )

 k 0

1  2 x

y

x!

y!

e

 3

x

 k 0

 x  y  3     k !   k   k    1 2

  

maka fungsi f   apabila

k

 x  y  3     k !   k   k    1 2

  

k

  y! x! k !  3 k ! ( x  k )! k ! ( y  k )!   1 2 y!   3 x!  k ! ( x  k )! ( y  k )!   1 2

    e  3  1  xy  3   1 2 

  

  

k

k

 y!   3      ( y  x )!   1 2 

  

x

Pada distribusi Bivariat Poisson, Sedangkan fungsi peluang bersama

nilai korelasinya adalah

untuk dua peubah acak Poisson yang saling bebas adalah

 X ,Y 

P X  x, Y  y   e  1  2 

Dari

fungsi

1 x  2 y x!

(1   3 )( 2   3 )

Jika nilai  3  0 maka  X ,Y  0 dan

y!

peluang

3

bivariat

f   1 . Ini berarti bahwa jika korelasinya

Poisson dan fungsi peluang bersama dua

nol,

peubah acak Poisson yang saling bebas,

merupakan fungsi peluang bersama dari

kita bisa melihat peranan dari korelasi di

dua peubah acak Poisson yang saling

antara

bebas.

kedua

peubah

acak

tersebut

maka

fungsi

Bivariat

Poisson

(dinotasikan sebagai f   ) yaitu sebagai Berdasarkan hal tersebut, maka

berikut

distribusi Beda Poisson saling bebas P X  x, Y  y   P X  x  PY  y  f   e  1  2 

1  2 x

y

x!

y!

merupakan kasus khusus dari distribusi

f 

Poisson Difference di mana peubah acak ketiganya,

Dengan demikian nilai dari

f  

yaitu

W3 ,

berdistribusi

sebarang dengan  3  0 .

dapat diperoleh, yaitu

70


   

Selanjutnya

Penaksiran Parameter Pada tulisan ini, metode yang

likelihood

tersebut di-ln-kan sebagai berikut

digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi Beda Poisson saling bebas

fungsi

ln L 1 , 2   ln

zi         2  e 1 2  1  I zi 2 1 2   2  



n

 i 1

adalah metode momen dan maksimum

n

likelihood.



Metode Momen



n

    



       2 ln   ln   1

zi

2

i 1

1

2

i 1

 ln I 2    n

zi

i 1

Misalkan

adalah

Z1 , Z 2 ,  , Z n

Kemudian

1 2

fungsi

ln L  1 ,  2 

sampel acak dari distribusi Beda Poisson

tersebut diturunkan terhadap  1 dan  2

saling

sehingga diperoleh penaksiran parameter

bebas

yang

identik

dan

independen, maka

untuk kedua parameter tersebut yaitu

E( Z )  Z  1   2

ˆ1 MLE  ˆ2 MLE  z

Var ( Z )  S  1   2 2

Dengan mensubstitusikan kedua persamaan

tersebut

diperoleh

nilai

penaksir untuk  1 dan  2 yaitu ˆ1 MM ˆ2 MM

 

1  S2 Z 2 1  S2 Z 2

Distribusi Beda Poisson saling bebas

ini

diaplikasikan

pada

data

persentase penduduk berumur 15 tahun

 

ke atas yang melek huruf menurut golongan umur dan daerah tempat tinggal dari tahun 2000 sampai 2014. Data ini

Metode Maksimum Likelihood Misalkan

Aplikasi

diperoleh dari repositori data Badan Pusat adalah

Z1 , Z 2 ,  , Z n

Statistik (BPS) Indonesia. Gambar 7 berikut menunjukkan

sampel acak dari distribusi Beda Poisson dan

plot data persentase dan selisih persentase

independen, maka fungsi likelihoodnya

penduduk melek huruf pada waktu t dan

adalah

t 1.

saling

bebas

L 1 ,  2  

n



yang

identik

menunjukkan

PZ i  z i 

penurunan

i 1 n



 i 1

      1  e 1 2    2 

Selisih

  

zi 2

I zi

2



 1 2

  

persentase

tersebut

kenaikan

maupun

persentase

banyaknya

penduduk melek huruf dari tahun ke tahun.


71

Berdasarkan

statistik

deskriptif

tersebut, terlihat bahwa secara umum di pedesaan rata-rata kenaikan persentase melek huruf dari tahun ke tahun lebih besar daripada di perkotaan. Namun (a)

penurunan

persentase

terbesar

juga

terjadi di pedesaan, tepatnya pada tahun 2006. Selanjutnya, distribusi (b)

menggunakan

Gambar 7. Persentase dan Selisih: Persentase Melek Huruf (a), Penduduk di Atas 15 Tahun (b) Tabel 1. Statistik Deskriptif Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun Daerah

Mean

Variansi

Kota Desa

0.2379 0.5221

0.2579 0.7602

Maks Selisih % 1.34 2.57

Min Selisih % -0.63 -0.81

Statistik deskriptif dari data selisih persentase melek huruf disajikan dalam Tabel 1.

data

parameter tersebut

metode

dari

diestimasi

momen

dan

maksimum likelihood dengan bantuan software MATLAB dan diperoleh hasil Tabel 2. Estimasi Parameter Distribusi Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun Daerah

ˆ1 MM

ˆ2 MM

ˆ1 MLE

ˆ2 MLE

Kota Desa

0.2479 0.6412

0.01 0.119

0.201 0.501

0.01 0.01

Dengan

menggunakan

estimasi

parameter tersebut kemudian dihitung peluang selisih persentase melek huruf penduduk di atas 15 tahun untuk daerah perkotaan dan pedesaan.

Gambar 8. Sebaran Peluang Selisih Persentase Melek Huruf Penduduk di Atas 15 Tahun di Perkotaan dan Pedesaan 72


Berdasarkan

Gambar

8,

dapat

Kesimpulan

dilihat bahwa besar peluang untuk selisih persentase melek huruf penduduk di atas 15 tahun baik menggunakan metode momen maupun maksimum likelihood memberikan hasil sebaran peluang yang

Berdasarkan analisis

yang

pembahasan

dan

dilakukan,

dapat

disimpulkan beberapa hal sebagai berikut 1.

Distribusi selisih dua peubah acak

hampir sama. Peluang tertinggi terjadi

Poisson yang saling bebas tidaklah

ketika

berdistribusi

kenaikan

ataupun

penurunan

Poisson

namun

persentase melek huruf berada di sekitar

memiliki jenis distribusi lain yang

nilai nol, artinya dari tahun ke tahun

dalam paper ini dinamakan distribusi

mulai tahun 2000 sampai 2014 tidak

Beda Poisson saling bebas.

terjadi

kenaikan

maupun

penurunan

2.

persentase melek huruf yang cukup

Distribusi Beda Poisson saling bebas merupakan

berarti.

kasus

khusus

distribusi Difference Poisson (PD)

Namun, secara umum, persentase

/distribusi

Skellam

kenaikan melek huruf memiliki peluang

parameter

dari

yang

ketiganya bernilai nol,  3  0 .

lebih

besar

penurunannya.

Hal

dibandingkan ini

3.

menyatakan

ini

peubah

besar

selisih

mana

peubah

acak

acak

menggunakan

metode

momen dan maksimum likelihood

Z

dan penyelesaiannya dapat dilakukan

persentase

secara

penduduk melek huruf. Selain itu, bila

numerik

dengan

bantuan

MATLAB.

dibandingkan antara perkotaan dengan pedesaan, ternyata peluang kenaikan

Estimasi parameter dapat dilakukan dengan

yang bernilai positif daripada z negatif. hal

di

ditunjukkan

dengan lebih tingginya peluang dari z

Dalam

dari

4.

Distribusi Beda Poisson saling bebas

persentase melek huruf di pedesaan lebih

ini diaplikasikan pada data besarnya

besar daripada di perkotaan. Hal ini

persentase melek huruf penduduk di

mungkin saja terjadi karena saat ini

atas 15 tahun di perkotaan dan

pembangunan sumber daya manusia di

pedesaan.

pedesaan lebih diprioritaskan daripada di

estimasi,

perkotaan.

bahwa penaksiran parameter dan

Berdasarkan diperoleh

hasil

kesimpulan

peluang selisih persentase melek huruf baik menggunakan metode Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data (Atina Ahdika)

73

momen

maupun

maksimum

likelihood memberikan hasil yang sama baiknya.

Distribution: Application to the Color Edge Detection. IEEE Conference on Computer Vision and Patern Recognition, pp 1 – 8.

Pustaka Alzaid, A., Omair, M. 2010. On The Poisson Difference Distribution Inference and Applications. Bull. Malays. Math. Sci. Soc. (2) 33(1), 17-45. Badan Pusat Statistik (BPS). http://www.bps.go.id/Subjek/view/id/28# subjekViewTab3|accordiondaftar-subjek1. Diakses pada 15 Desember 2015. Irwin, M. 2006. Moment Generating Function. Statistics 110. Harvard : Summer 2006. Karlis, D., Ntzoufras, I. 2000. Discrete Distribution with Applications in Sports. Department of Statistics Athena University of Economics and Bussiness, Technical Report. Karlis, D., Ntzoufras, I. 2006. Bayesian Analysis of The Differences of Count Data. Wiley InterScience. Ross,

S. 2007. Introduction to Probability Models, 9th Edition. Berkeley California: University of California. Hal. 32, 51, 53, 66, 307.

Vernic, R. 1997. On The Bivariate Generalized Poisson Distribution. ASTIN Bulletin, Vol. 27, Issue 01, May 1997, pp 23-32. Walpole, R., Myers, R. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi ke-4 (Terjemah). Bandung: Penerbit ITB. Hwang, Y., et al. 2007. Sensor Noise Modeling Using the Skellam 74


Distribution of the Difference of Two Independent Poisson Random Variables and Its Application to the Literate Population Data

Recommend Documents