STATISTIKA NONPARAMETRIK
adalah statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang bentuk distribusi kecuali bahwa sebaran itu kontinu.dan karena itu merupakan statistik yang bebas distribusi
Dalam statistik nonparametrik, kesimpulan dapat ditarik tanpa memperhatikan bentuk distribusi populasi, sedangkan dalam statistika parametrik yang telah dibahas sebelumnya , kesimpulan hanya benar apabila asumsi-asumsi tertentu yang membatasi adalah benar.
Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
2
SYARAT STATISTIKA NON PARAMETRIK DAPAT DIGUNAKAN APABILA :
KAPAN METODE NONPARAMETRIK DIGUNAKAN?
2.
Apabila digunakan data peringkat atau ordinal. (Data ordinal hanya memberikan informasi tentang apakah suatu item lebih tinggi, lebih rendah, atau sama dengan item lainnya; data ini sama sekali menyatakan ukuran perbedaan).
3.
Apabila data nominal digunakan. (Contoh : data nominal adalah seperti “laki-laki” atau “perempuan” diberikan kepada item dan tidak ada implikasi di dalam sebutan tersebut bahwa item yang satu lebih tinggi atau lebih rendah daripada item lainnya)
Distribusinya kontinu Ukuran sampel lebih kecil dari 30
3
STATISTIKA NON PARAMETRIK
Bila uji parametrik dan uji nonparametrik keduanya berlaku pada himpunan data yang sama, GUNAKANLAH selalu teknik parametrik yang lebih efisien. LT Sarvia/2012
Kelemahan dari penggunaan Statistika Non Parametrik :
LT Sarvia/2012
Perhitungannya lebih sederhana, mudah, dan cepat Data dapat bersifat kuantitatif atau kualitatif ( atribut ) Bisa digunakan untuk bentuk distribusi populasi apa saja asalkan kontinu Ukuran sampel yang digunakan bisa kecil
Efisiensi rendah, karena tidak menggunakan semua informasi yang ada dari sampel Tidak seteliti Uji Parametrik, jadi untuk mencapai b yg sama diperlukan sampel yg lebih besar. Uji nonparametrik akan menggunakan ukuran sampel yang lebih banyak dibandingkan dengan uji parametrik agar mencapai kuasa yang sama.
4
KESIMPULAN
Keuntungan dari penggunaan Statistika Non Parametrik :
Bentuk populasinya tidak diketahui / tidak normal
LT Sarvia/2012
Apabila ukuran sampel kecil sehingga distribusi statistik pengambilan sampel tidak mendekati normal, dan apabila tidak ada asumsi yang dapat dibuat tentang bentuk distribusi populasi yang menjadi sumber sampel.
LT Sarvia/2012
1.
LT Sarvia/2012
STATISTIKA NONPARAMETRIK
Akan tetapi, bila diketahui bahwa anggapan kenormalan sering tidak berlaku, dan ternyata bahwa kita sering menghadapi pengukuran yang tidak kuantitatif, maka disarankan menggunakan sejumlah cara nonparametrik yang dapat menangani berbagai keadaan percobaan yang lebih luas. Perlu dikemukakan bahwa kendati di bawah anggapan teori kenormalan baku, keefisienan teknik nonparametrik amat dekat ke prosedur parametrik padanannya.
Sebaliknya, penyimpangan yang besar dari kenormalan akan membuat metoda nonparametrik jauh lebih efisien daripada prosedur parametrik. 5
6
1
JENIS – JENIS STAT. NON PARAMETRIK :
4. Uji Kruskall Wallis untuk uji lebih dari 2 buah populasi ( k > 2 )
2. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon (Wilcoxon Sign Rank Test)
3. Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon ( Wilcoxon Rank Sum Test ) uji 2 sampel independent
• uji 1 sampel dan 2 sampel berpasangan
5. Uji Runtunan uji keacakan data untuk data kuantitatif dan data kualitatif
LT Sarvia/2012
1. Uji Tanda ( Sign Test ) untuk uji 1 sampel dan 2 sampel
6. Uji Kolmogorov – Smirnov
Memperhatikan besarnya data ?
Uji Statistik
Satu
---
Sign Test
Dua,
Tidak
Sign Test
Ya
Wilcoxon Rank Sum Test
Jumlah Sampel
independent Dua,
Tidak
Sign Test
Ya
Wilcoxon Sign Rank Test
dependent
7. Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman, dll.
7 8
LT Sarvia/2012
1.1 UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :
1.
Merupakan uji non parametrik yang paling mudah dan cepat. Digunakan untuk menguji rata-rata 1 populasi dan 2 populasi, dgn memperhatikan ‘tanda’nya. Prosedur ini didasarkan pada tanda negatif atau positif dari perbedaan antara pasangan data ordinal. Pada hakikatnya pengujian ini hanya memperhatikan arah perbedaan dan bukan besarnya perbedaan itu. Jika Ho : m = mo benar, peluang nilai sampel menghasilkan tanda + / - adalah ½ ; karena itu statistik uji berdistribusi Binomial dengan p = ½.
PERHITUNGAN
UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK
: m = m0
H1
: m < m0
b. H0
: m = m0
H1
: m > m0
1 ARAH :
α wilayah kritis Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Tentukan nilai
Struktur Hipotesis : a. H0
UJI
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X
Penentuan Tanda : Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan Jika data ( Xi ) < m0 tanda ‘ – ‘ Jika data ( Xi ) > m0 tanda ‘ + ‘ Jika data ( Xi ) = m0 data tersebut dibuang
9
UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) : (2) PROSEDUR
PERHITUNGAN
U JI TANDA 1 SAMPEL UNTUK
UJI
1 ARAH :
Bandingkan nilai X dengan Xa : X
PERHITUNGAN
UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK
Hipotesis :
Penentuan Tanda :
X
UJI
2 ARAH :
α wilayah kritis X1 a / 2 dan X2 a / 2 ( Binomial ; dengan p = ½ )
Tentukan nilai
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X
LT Sarvia/2012
H1 : m ≠ m0
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan Jika data ( Xi ) < m 0 tanda ‘ – ‘ Jika data ( Xi ) > m 0 tanda ‘ + ‘ Jika data ( Xi ) = m 0 data tersebut dibuang
X
Xa
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis LT Sarvia/2012
1.1.2. PROSEDUR
H0 : m = m0
X
Xa
b. Jika: X < Xa Terima H0 X ≥ Xa Tolak H0
10
Struktur
a. Jika : X > Xa Terima H0 X ≤ Xa Tolak H0
LT Sarvia/2012
1.1.1. PROSEDUR
LT Sarvia/2012
UJI TANDA ( SIGN TEST )
12 11
2
1.1.2. PROSEDUR
PERHITUNGAN
UJI TANDA 1 SAMPEL UNTUK
UJI
1.1. UJI TANDA 1 SAMPEL ( ONE SAMPLE SIGN TEST ) :
2 ARAH : (2)
Bandingkan nilai X dengan Xa :
Jika :
Terima H0 Tolak H0
Jika : n>10 , maka digunakan pendekatan Normal, sehingga : μ np σ
X
X
( x 0,5 ) - np npq
Ingat Binomial Normal (Diskrit Kontinu) : ( a – 0,5 ) X ( b + 0,5 ) ( X 0,5 ) - np Untuk : X ≤ m Z npq
X
X1 a / 2
Z
n pq
LT Sarvia/2012
X1 a / 2 < X < X2 a / 2 X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2
X2 a / 2
Untuk
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
X ≥ m
:
Z
( X 0,5 ) - np npq
14
13
LT Sarvia/2012
CONTOH SOAL (SIGN TEST) : JAWAB NO 1 1.
16
9
12
18
12
14
13
11
13
11
9
15
11
13
14
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika besarnya selisih data tidak diperhatikan dengan taraf keberartian 0,025.
12
10
16
9
12
x
-
+
-
x
+
14
12
14
13
11
13
+
x
+
+
-
+
11
9
15
11
13
14
-
-
+
-
+
+
n = 15 p = ½ X = 9
15
18
( hitung tanda + )
LT Sarvia/2012
10
14
LT Sarvia/2012
12
Struktur Hipotesis : H0 : m = 12 H1 : m ≤ 12 Taraf nyata : a = 0,025 Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test )
Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon yang menunggu untuk dilayani sbb :
16
CONTOH SOAL (SIGN TEST) :
Wilayah Kritis :
X1 a
2.
B ( x ; n ; p )
< 0,025
B ( 3 ; 15 ; 0,5 ) < 0,025 0,0176 < 0,025
X1 = 3
X= 9
3
LT Sarvia/2012
Keputusan : Terima H0 Kesimpulan : pernyataan pemilik salon benar bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, pada taraf nyata 0,025.
1.5
2.2
0.9
1.3
2.0
1.8
1.5
2.0
1.2
1.7
1.6
LT Sarvia/2012
B ( x ; 15 ; 0,5 ) < 0,025
Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali :
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi kembali, dgn tdk memperhatikan besarnya data.
18
17
3
Struktur Hipotesis : LT Sarvia/2012
: m = 1,8 : m ≠ 1,8
H0 H1
: a = 0,05 a/2 = 0,025 Statistik Uji:Uji Tanda 1 Sampel ( Sign Test ) Taraf nyata Tanda:1,5 -
2,2
0,9
1,3
2,0
1,6
+
-
-
+
-
n = 10 X = 3
1,8
1,5
2,0
1,2
1,7
-
+
-
-
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
Wilayah Kritis :
X1 a / 2 B ( x ; n ; p )
≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - 0,9893 ≤ 0,025 0,0107 ≤ 0,025
B ( 1 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025 0,0107 ≤ 0,025
B = 9
A = 1
X= 3
p = ½
Keputusan Kesimpulan
: Terima H0 :
bahwa median waktu bekerja alat pencukur tidak berbeda secara signifikan dari 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05.
( tanda + ) B= 9
A= 1 19
20
LT Sarvia/2012
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 9 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 7 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 – 0.999 ≤ 0,025
1 - 0,9453 ≤ 0,025
0,001 ≤ 0,025
0,0547≤ 0,025(Salah)
B = 10
B = 8
UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK
UJI
1 ARAH :
Digunakan untuk menguji 2 data sampel berpasangan atau 2 data sampel independent yang dapat dipasang-pasangkan satu dengan lainnya.
Struktur a. H0 : H1 : b. H0: H1:
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
PERHITUNGAN
Hipotesis :
m1 m2 = 0 m1 m2 < 0 m1 m2 = 0 m1 m2 > 0
atau : atau : atau : atau :
m1 m2 m1 < m2 m1 m2 m1 > m2
mD = 0 mD < 0 mD = 0 mD > 0
atau : atau : atau : atau :
LT Sarvia/2012
X2 a / 2 1 - B ( x ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025
1 - B ( 8 ; 10 ; 0,5 ) ≤ 0,025 1 - 0,9893 ≤ 0,025 0,0107 ≤ 0,025
B = 9 22 21
LT Sarvia/2012
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.1. PROSEDUR
PERHITUNGAN
UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK
UJI
1 ARAH :
Penentuan Tanda :
X
Jika data sampel 1 <
sampel 2 tanda ‘ – ‘
Jika data sampel 1 >
sampel 2 tanda ‘ + ‘
Jika data sampel 1 =
sampel 2 ke-2 data dibuang
wilayah kritis Xa ( Binomial ; dengan p = ½ )
Xa
b. Jika : X < Xa Terima H0 X ≥ Xa Tolak H0
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X
X
a. Jika : X > Xa Terima H0 X ≤ Xa Tolak H0
LT Sarvia/2012
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan LT Sarvia/2012
Tentukan nilai a
Bandingkan nilai X dengan Xa :
X
X
Xa
23
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
24
4
1.2 UJI TANDA 2 SAMPEL ( TWO SAMPLE SIGN TEST ) : 1.2.2. PROSEDUR
Struktur
PERHITUNGAN
UJI TANDA 2 SAMPEL UNTUK
UJI
2 ARAH :
Bandingkan nilai X dengan Xa :
Hipotesis : m1 m2 m1 m2
Jika
mD = 0 mD ≠ 0
atau : atau :
Penentuan Tanda :
Data sampel kuantitatif diubah menjadi atribut / tanda : + dan -
Jika data sampel 1 < sampel 2 tanda ‘ – ‘
Jika data sampel 1 > sampel 2 tanda ‘ + ‘
Jika data sampel 1 = sampel 2 ke-2 data dibuang
Tentukan nilai
α wilayah kritis X1 a / 2 dan X2 a / 2
: X1 a / 2 < X < X2 a / 2 X ≤ X1 a / 2 dan X ≥ X2 a / 2
X
X
Terima H0 Tolak H0 X
X1 a / 2
X2 a / 2
(Binomial ; dengan p = ½)
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Hitung jumlah tanda +, dilambangkan sebagai nilai X 25
26
JAWAB NO 3
CONTOH SOAL :
Klub A
Klub B
Data Ke
Klub A
Klub B
1
7,4
6,9
9
4,2
4,1
2
4,9
4,9
10
4,7
4,9
3
6,1
6,0
11
6,6
6,2
4
5,2
4,9
12
7,0
6,9
5
5,7
5,3
13
6,7
6,8
6
6,9
6,5
14
4,5
4,4
7
6,8
7,1
15
5,7
8
4,9
4,8
16
6,0
Tanda: Klub A
Klub B
Selisih
Data Ke
Klub A
Klub B
Selisih
1
7,4
6,9
+
9
4,2
4,1
+
2
4,9
4,9
x
10
4,7
4,9
-
3
6,1
6,0
+
11
6,6
6,2
+
4
5,2
4,9
+
12
7,0
6,9
+
5
5,7
5,3
+
13
6,7
6,8
-
5,7
6
6,9
6,5
+
14
4,5
4,4
+
5,8
7
6,8
7,1
-
15
5,7
5,7
x
8
4,9
4,8
+
16
6,0
5,8
+
data tidak diperhatikan.
x - np 10,5 - 7 1,87 1,87 npq
1,87
H1 : m 80 2. Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah tidak lebih dari 80 H0 : m = 80 H1 : m ≤ 80
•Keputusan : Tolak H0 •Kesimpulan :
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 PALING BESAR ADALAH 80
H0 : m = 80
bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A pada taraf nyata 0,05.
1,645
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah sama dgn 80 H0 : m = 80
3.
Wilayah Kritis :
28
LT Sarvia/2012
14 * 0,5 * 0,5 1,87
1.
LT Sarvia/2012
μ n p 14 * 0,5 7
Z
n = 14 (setelah data dibuang) p = ½ X = 11 ( tanda + )
27
Dengan menggunakan hampiran Normal terhadap sebaran Binomial : n pq
H1 : mA mB > 0 (klub B lebih singkat latihannya daripada klub A) Taraf nyata : a = 0,05 Za = 1,645 Statistik Uji:Uji Tanda 2 Sampel ( Sign Test )
Data Ke
Dapatkah disimpulkan pada taraf keberartian 0,05 bahwa klub B lebih singkat latihannya daripada klub A? Apabila besarnya selisih
σ
: mA mB = 0
H0
LT Sarvia/2012
Data Ke
Struktur Hipotesis :
LT Sarvia/2012
3. Dua tempat kursus dance akan dibandingkan hasilnya. Berikut ini adalah data hasil pencatatan dari kedua tempat kursus yang menyatakan bahwa lamanya latihan para dancer (dalam jam) sebelum acara hari H dilaksanakan :
LT Sarvia/2012
atau : atau :
LT Sarvia/2012
H0 : m 1 m 2 = 0 H1 : m 1 m 2 ≠ 0
H1 : m ≤ 80 29
30
5
2. UJI PERINGKAT BERTANDA WILCOXON ( WILCOXON SIGN RANK TEST ) 4.
Dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah MINIMAL 80 H1
Digunakan untuk menguji nilai tengah populasi (1 sampel atau 2 sampel), dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya. Merupakan perbaikan dari Uji Tanda, karena memanfaatkan besaran data dan arah perbedaan. Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 1 populasi dan 2 populasi berpasangan. Ekivalen dengan Uji T berpasangan dalam Statistik Uji Parametrik.
H1 : m ≥ 80 5. disimpulkan bahwa rata-rata UTS angkatan 2010 adalah PALING TIDAK LEBIH KECIL DARI 80 H1 H0 : m = 80 H1 : m < 80
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
H0 : m = 80
31
32
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed Rank Test ) :
2.1. WILCOXON SIGN RANK TEST 1 Sampel ( One Sample Signed Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel (2) :
Struktur Hipotesis :
Hitung :
•
c.
H0: m m0 H1: m ≠ m0
• Tentukan nilai α
W+
jumlah rangking di +
W-
jumlah rangking di –
W=
min ( W + ; W - )
Dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pd Struktur Hipotesis dan Statistik uji :
wilayah kritis dalam tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon di = Xi – m 0 ; jika : Xi = m 0 data tersebut dibuang
H0
• Hitung nilai di • Nilai di dimutlakkan di • Buat ranking di dari terkecil s/d terbesar, jika ada yg sama dibuat rangking rata-rata • Buat tanda : ‘ + ’ untuk di + dan ‘ – ‘ untuk di –
H1 m < m0 m > m0 m ≠ m0
m = m0
LT Sarvia/2012
b. H0 : m m0 H1 : m > m0
LT Sarvia/2012
a.H0 : m m0 H1 : m < m0
Statistik Uji W+ WW = min ( W + ; W - )
Wilayah Kritis : W* Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W- atau W ) 33
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
34
JAWAB NO 4
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) :
Struktur Hipotesis : H0 : m = 12 H1 : m ≤ 12 Taraf nyata : a = 0,025 Statistik Uji: Uji peringkat bertanda wilcoxon ( wilcoxon sign rank test )
4.
Data berikut menunjukkan lamanya waktu konsumen di salon yang menunggu untuk dilayani sbb : 16
9
12
18
12
14
13
11
13
11
9
15
11
13
14
Ujilah pernyataan pemilik salon bahwa rata-rata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, jika besarnya selisih data diperhatikan dengan taraf keberartian 0,025.
xi
12
10
16
9
18
14
14
13
11
13
11
9
15
11
13
di
-2
4
-3
6
2
2
1
-1
1
-1
-1
3
-1
1
ІdiІ
2
4
3
6
2
2
1
1
1
1
1
3
1
1
2
Rank
9,5
14
12,5
15
9,5
9,5
4
4
4
4
4
12,5
4
4
9,5
Tanda
-
+
-
+
+
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
n = 15 35
12
x
12
LT Sarvia/2012
10
14
LT Sarvia/2012
12
8 9 10 11 38 9,5 4 4
x
1 2 3 4 5 6 7 28 4 7 7
14 2
36
6
CONTOH SOAL (WILCOXON SIGN RANK TEST ) : Karena H1 : m < 12 maka Statistik Uji : W yang dihitung W+ = 14+15+9,5+9,5+4+4+12,5+4+9,5 = 82 a = 0,025 n = 15
Wa = 25 82
Wa 25 Karena : W > Wa ( 82 > 25 ) • Keputusan : Terima H0 • Kesimpulan : pernyataan pemilik salon benar bahwa ratarata konsumennya dapat terlayani setelah menunggu lebih dari 12 menit, pada taraf nyata 0,025.
Data berikut ini adalah berapa lama, dalam jam, sebuah alat listrik pencukur rambut dapat digunakan sebelum harus diisi tenaga listrik kembali : 1.5
2.2
0.9
1.3
2.0
1.8
1.5
2.0
1.2
1.7
LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : W Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
LT Sarvia/2012
5.
1.6
Ujilah hipotesis pada taraf keberartian 0,05 bahwa mesin ini bekerja dengan median 1,8 jam sebelum baterainya perlu diisi kembali, dengan memperhatikan besarnya data.
37
38
JAWAB NO 5 :
Struktur Hipotesis :
Taraf nyata :a = 0,05 a/2 = 0,025 ( 2 arah ) Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel
Wilcoxon Sign Rank Test 1 Sampel : Xi
:
di
: - 0,3 + 0,4 - 0,9 - 0,5 + 0,2 - 0,2
di : mutlak Rank : Tanda :
1,5
2,2
0,9
1,3
2,0
1,6
0,3
0,4
0,9
0,5
0,2
0,2
5,5 -
7 +
10 -
8 -
3 +
3 -
1,8
1,5
2,0
1,2
1,7
0
- 0,3 + 0,2 - 0,6 - 0,1
0
0,3
0,2
0,6
0,1
5,5 -
3 +
9 -
1 -
Karena H1 : m ≠ 1,8 maka Statistik Uji : W yang dihitung W+ = 7 + 3 + 3 = 13 W= 5,5 + 10 + 8 + 3 + 5,5 + 9 + 1 = 42 W = min ( W + ; W - ) = ( 13 ; 42 ) = 13
39
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
H0 : m = 1,8 H1 : m ≠ 1,8
40
Catatan :
Jika n > 15 , maka digunakan pendekatan distribusi Normal : μ W*
Z
n ( n 1) 4
σ W*
n ( n 1 ) ( 2n 1 ) 24
LT Sarvia/2012
13
LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon a = 0,05 ( 2 arah ) Wa = 8 n = 10
W * - μ W* σ W*
Wa 8 Karena : W > Wa ( 13 > 8 ) •Keputusan : Terima H0 •Kesimpulan : bahwa alat pencukur ini secara rata-rata dapat dikerjakan 1.8 jam sebelum harus diisi tenaga listrik kembali, pada taraf nyata 0,05.
41
42
7
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed Rank Test ) :
2.2. WILCOXON SIGN RANK TEST 2 Sampel ( Two Sample Signed Rank Test ) :
Prosedur perhitungan Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel :
Struktur Hipotesis : a. b. c.
: m 1 m 2 = d0
H1
: m 1 m 2 < d0
H0
: m 1 m 2 = d0
H1
: m 1 m 2 > d0
H0
: m 1 m 2 = d0
H1
: m 1 m 2 ≠ d0
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
Digunakan untuk menguji rata-rata 2 data sampel berpasangan ( n1 = n2 ).
H0
Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon Hitung nilai di di = X1 – X2 ; jika : X1 = X2 data tersebut dibuang ( di = 0 )
43
Hitung : W+ WW
LT Sarvia/2012
=
Dgn memperhatikan tanda H 1, yg dpt dilihat pd tabel Struktur Hipotesis dan Statistik uji : H0 m1 - m2 = d0
• •
6.
2 Sampel)
:
Resep Lama
Resep Baru
Felix
3
9
David
5
5
Devi
3
Shella
1
3
Rika
5
10
Ridani
8
4
2
2
Susi
8
5
Novi
4
6
Anton
6
7
46
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
Struktur Hipotesis : H0 : mlama mbaru = 0 H1 : mlama mbaru ≠ 0 Taraf nyata :a = 0,05 ( 2 arah ) Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
6
Kristian
Wilayah Kritis : W* Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
47
Konsumen Felix David Devi Shella Rika Ridani Kristian Susi Novi Anton
Resep Lama 3 5 3 1 5 8 2 8 4 6
Resep Baru 9 5 6 3 10 4 2 5 6 7
di di-d0 Іdi-doІ Rank Tanda W+ W-6
-6
6
8
-
8
-3 -2 -5 4
-3 -2 -5 4
3 2 5 4
4,5 2,5 7 6
+
4,5 2,5 7
3 -2 -1
3 -2 -1
3 2 1
4,5 2,5 1 36
+ -
LT Sarvia/2012
Konsumen
Statistik Uji W+ WW = min ( W + ; W - )
JAWAB :
LT Sarvia/2012
Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah konsumen yang menilai resep baru sama dengan dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
H1 m1 - m2 < d0 m1 - m2 > d0 m1 - m2 ≠ d0
Dimana : W* merupakan nilai Statistik Uji W yang digunakan ( W+, W - atau W)
45
Contoh Soal (Wilcoxon Sign Rank Test
jumlah rangking di – d0 + jumlah rangking di – d0 – min ( W + ; W - )
LT Sarvia/2012
Selisihkan nilai di dengan d0 , dimana : d0 = m1 – m2 Nilai di – d0 dimutlakkan di – d0 Buat ranking di – d0 dari terkecil s/d terbesar, jika ada yg sama dibuat rangking rata-rata Buat tanda : ‘ + ’ untuk di – d0 + ; ‘ – ‘ untuk di – d0 –
44
6 4,5 2,5 1 10,5 25,5
48
8
CONTOH SOAL : Karena H1 : mlama mbaru ≠ 0, maka Statistik Uji : W = min ( W + ; W - ) W = min ( W + ; W - ) = min (25,5 ; 10,5) = 10,5
a = 0,05 ( 2 arah ) n = 8
Wa = 4 10,5
7.
Ada yang mengatakan bahwa mahasiswa senior dapat meningkatkan skor TOEFL sekurang-kurangnya 50 angka bila ia sebelumnya diberikan contoh-contoh soalnya lebih dulu. Untuk menguji pendapat itu, 20 mahasiswa senior dibagi menjadi 10 pasang sedemikian shg setiap pasang mempunyai nilai mutu rata-rata yg hampir sama selama 3 tahun pertama kuliah. Soal-soal contoh dan jawabnya diberikan secara acak kepada salah seorang dari setiap pasang seminggu sebelum ujian. Ternyata skor TOEFL mereka adalah sbb :
Wa 4 Karena : W > Wa ( 10,5 > 4) •Keputusan : Terima H0 •Kesimpulan : adonan resep baru sama baiknya dengan adonan resep yang lama pada taraf nyata 0,05
Dengan Contoh Soal Tanpa Contoh Soal
1 531 509
2 621 540
3 663 688
4 579 502
Pasangan 5 6 451 660 424 683
7 591 568
8 719 748
9 543 530
10 575 524
Ujilah hipotesis nol pada taraf nyata 0,05 bahwa pemberian contoh soal dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka.
49
LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : W Wa Tabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon
LT Sarvia/2012
50
JAWAB :
di 22 81 -25 77 27 -23 23 -29 13 51
d0
di – d0
Rank
Tanda
50
-28 31 -75 27 -23 -73 -27 -79 -37 1
5 6 9 3,5 2 8 3,5 10 7 1
+ + +
W+
Wilayah Kritis : W WaTabel Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon a = 0,05 n = 10
( 1 arah )
Wa = 11
10,5
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
Struktur Hipotesis : H0 : m1 m2 = 50 H1 : m1 m2 < 50 Taraf nyata :a = 0,05( 1 arah ) Statistik Uji:Wilcoxon Sign Rank Test 2 Sampel
6
Wa 11
3,5
Karena : W ≤ Wa ( 10,5 ≤ 11) • Keputusan : Tolak H0 • Kesimpulan :bahwa pemberian contoh soal sebelum ujian tidak dapat meningkatkan skor sebesar 50 angka, pada taraf nyata 0,05.
1 10,5
Karena H1 : m1 m2 < 50 maka Statistik Uji : W + yang dihitung W + = 10,5
51
52
Prosedur perhitungan Wilcoxon Rank Sum Test :
3. UJI JUMLAH PERINGKAT WILCOXON (WILCOXON RANK SUM TEST )
Penentuan nomor urutan sampel, dimana : n 1 n2 Struktur Hipotesis :
a. b. c.
53
H0
: m1 = m2
H1
: m1 < m2
H0 H1 H0 H1
: : : :
LT Sarvia/2012
Disebut juga sebagai Mann – Whitney U Test Digunakan untuk menguji nilai tengah 2 populasi, dgn memperhatikan besaran data maupun arah perbedaannya. Digunakan untuk menguji hipotesis rata-rata 2 POPULASI INDEPENDENT. Jumlah sampel 1 ≤ sampel 2 Ekivalen dengan Uji T 2 Populasi ( s12 = s22 ) dalam Statistik Uji Parametrik.
LT Sarvia/2012
m1 = m2 m1 > m2 m1 = m2 m1 ≠ m2 54
9
LT Sarvia/2012
Cari nilai U – nya dgn memperhatikan tanda H1, yg dpt dilihat pada tabel Struktur Hipotesis dan Statistik uji : H0 m1 = m2
H1
Statistik Uji
m1 < m2
U1
m1 > m2
U2
m1 ≠ m2
U = min ( U1 ; U2 )
LT Sarvia/2012
Tentukan nilai a wilayah kritis dalam tabel Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon Gabungkan kedua data sampel dan diurutkan dari terkecil sampai terbesar Beri ranking untuk tiap data dari terkecil s/d terbesar, jika terdapat 2 atau lebih data yang sama maka diberikan ranking rata-rata Hitung W1 dan W2, dimana :
Dimana :
W1 = jumlah ranking data sampel 1 W2 = jumlah ranking data sampel 2
U1 W1
n 1 ( n1 1 ) 2
U 2 W2
n2 ( n2 1) 2
55
56
CONTOH SOAL (WILCOXON RANK SUM TEST )
Dimana : U* merupakan nilai Statistik Uji U yang digunakan ( U1 ; U2 ; atau U )
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
μ U*
n1 . n 2 2
σ U*
n1 . n 2 . ( n1 n 2 1 ) 12
Z
8. IPK untuk Angkatan 2008 untuk kedua kelas ditunjukkan sebagai berikut : Kelas A 2,1 3,3 3,5 1,1 0,9 3,7 2,5 3,3
U * - μ U* σ U* 57
Kelas B 4 0,6 3,1 2,5 4 3,2 1,6 2,2 1,9 2,4
Ujilah hipotesis pada taraf nyata 0,05 bahwa rata-rata IPK kedua kelas itu tidak sama.
LT Sarvia/2012
Catatan : Jika : n1 10 dan n2 > 20 , maka digunakan pendekatan Normal, sehingga :
LT Sarvia/2012
Wilayah Kritis : U* Ua Tabel Uji Jumlah Peringkat Bertanda Wilcoxon
58
JAWAB NO 8 1. Struktur Hipotesis :
Karena :
Rank B 17,5 1 11 9,5 17,5 12 4 7 5 8 92,5
LT Sarvia/2012
Kelas A Rank A Kelas B 2,1 6 4 3,3 13,5 0,6 3,5 15 3,1 1,1 3 2,5 0,9 2 4 3,7 16 3,2 2,5 9,5 1,6 3,3 13,5 2,2 1,9 2,4 WA 78,5 WB
H1 : m A ≠ m B maka Statistik Uji yang digunakan : U = min ( UA ; UB )
U A WA
nA ( nA 1) 8 ( 8 1) 78,5 42,5 2 2
U B WB
nB ( nB 1) 10 ( 10 1 ) 92,5 37,5 2 2
U = min ( UA ; UB ) = min ( 42,5 ; 37,5 ) = 37,5
LT Sarvia/2012
H0 : mA = mB H1 : mA ≠ m B 2. Taraf nyata a = 0,05 ( 2 arah ) 3. Statistik Uji : Wilcoxon Rank Sum Test
4. Wilayah Kritis : U Ua Tabel Uji Jumlah Peringkat Wilcoxon a = 0,05( 2 arah ) Ua = 17 n1 = 8 n2 = 10 5. Keputusan : Terima H0 37,5
59
Ua 17
6. Kesimpulan :bahwa rata-rata IPK untuk kelas A dan Kelas B adalah sama, pada taraf nyata 0,05.
60
10
SOAL 1.
SOAL
2,3
3,1
2,2
1,7
1,1
4,2
1,9
2,3
1,2
1,0
2,4
1,7
3,6
1,6
2,3
Dengan menggunakan hampiran normal terhadap distribusi normal, lakukan uji bahwa pada taraf keberartian 0,05 rata-rata persen bahan tambahan dalam botol merek x adalah 2,5 %, jika besarnya selisih data tidak diperhatikan.
Soal teori no 6, Texas Fried Chicken, Jika pada tahap pengembangan produk baru ini, pihak pemasaran tersebut tidak tertarik pada tingkat rasa atau kenikmatan. Informasi apa yang akan kita peroleh dari data penelitian pasar tersebut?
61
LT Sarvia/2012
2,4
2.
LT Sarvia/2012
Seorang pemeriksa makanan memeriksa 16 botol merek x tertentu untuk menentukan persen bahan tambahan. Tercatat data berikut (dalam %):
62
CONTOH SOAL :
Resep Lama
Resep Baru
Felix
3
9
David
5
5
Devi
3
6
Shella
1
3
Rika
5
10
Ridani
8
4
Kristian
2
2
Susi
8
5
Novi
4
6
Anton
6
7
Thank You
63
SOAL-SOAL RESPONSI 4.
LT Sarvia/2012
Konsumen
LT Sarvia/2012
Texas Fried Chicken telah mengembangkan sebuah resep baru untuk adonan tepung ayamnya dan dept pemasaran hanya ingin melihat apakah resep baru tersebut lebih enak daripada resep sebelumnya. Sepuluh konsumen dipilih secara acak guna menguji rasa. Setiap konsumen mencicipi dulu sepotong daging ayam yang disajikan dengan resep lama dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10 (1=buruk, 10=sangat baik). Kemudian konsumen tersebut mencicipi sepotong daging ayam yang digoreng dengan resep baru dan memberikan nilai rasa mulai dari 1 sampai 10. Manajemen perusahaan tersebut ingin mengambil keputusan mengenai adonan resep baru yang tidak hanya didasarkan pada berapa banyak orang menganggap bahwa resep baru tersebut memperbaiki rasa tetapi juga pada besarnya perbaikan rasa dari resep baru. Ujilah hipotesis bahwa jumlah konsumen yang menilai resep baru lebih baik dari resep lama. Berikut ini adalah data survei : (taraf nyata 0,05)
3.
64
SOAL-SOAL RESPONSI 5. Idem soal 3 jika besarnya data diperhatikan.
Dikemukan bahwa diet baru akan menurunkan berat badan orang 4,5 kg pada rataratanya dalam 2 minggu. Berat 10 wanita yang menggunakan diet tersebut dicatat sebelum dan setelah 2 minggu dan menghasilkan data sbb: Berat Setelah
58,5
60,0
2
60,3
54,9
3
61,2
58,1
4
69
62,1
5
64
58,5
6
62,6
7
56,7
8
Direktur pemasaran National Shampoo Company ingin mengetahui apakah dengan memekatkan warna shampo hijaunya, para pelanggan akan merasa lebih efektif. Pada saat ini, direktur tersebut hanya ingin me nentukan cocok tidaknya ide itu dikembangkan lebih jauh dan ingin mengetahui tingkat perbaikan dalam persepsi terhadap keefektifan produk. Data telah dikumpulkan dari 7 orang; semuanya telah memberikan penilaian terhadap shampo berwarna hijau muda dan shampo yang sekarang diberi warna hijau tua. Skala 1 sampai 10 digunakan dimana angka 1 berarti “sang at tidak efektif dan 10 berarti “paling efektif”. Data tesebut dipelihatkan dibawah ini :
Konsumen
Penilaian atas keefektifan shampo Hijau Muda
Penilaian atas keefektifan shampo Hijau Tua
59,9
Winda
4
2
54,4
Dessy
6
6
63,6
60,2
Evelyn
7
4
9
68,2
62,3
Ivan
5
6
10
59,4
58,7
Benny
9
8
Erliana
1
3
Ridani
3
8
Ujilah hipotesis bahwa diet ini menurunkan berat badan rata-rata sebanyak 4,5 kg apabila besarnya data tidak diperhatikan jika α =0,05. 65
Ujilah Hipotesis dengan taraf nyata 0,05.
LT Sarvia/2012
Berat sebelum
1
LT Sarvia/2012
Wanita
6.
66
11
6.
Berikut ini disajikan data mengenai hasil pengujian kekuatan kabel yang terbuat dari 2 logam yang berbeda : 18,3 16,4 22,7 17,8 18,9 25,3 16,1 24,2
Logam II
12,6 14,1 20,5 10,7 15,9 19,6 12,9 15,2 11,8 14,7
LT Sarvia/2012
Logam I
Ujilah apakah terdapat perbedaan rata-rata ke-2 jenis logam tsb. pada taraf nyata 5 %.
STATISTIKA NONPARAMETRIK (2) Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
67
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
4. UJI KRUSKALL WALLIS
1. Struktur Hipotesis :
Prosedur perhitungan Uji Kruskall Wallis :
Chi – Square : 2 ( a,v )
populasi secara keseluruhan. Jika terdapat 2 atau lebih data yang sama maka diberikan ranking rata-rata 4. Jumlahkan ranking dari masing-masing populasi ri
70
2 ( a,v )
6. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v ) dengan derajat kebebasan, v = k – 1 Dimana : k : jumlah populasi yang diamati 7. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis 71
9. Suatu Perusahaan ingin membeli satu dari lima mesin yang berbeda: A, B,C, D, atau E. Dalam suatu perancangan percobaan untuk menentukan apakah terdapat perbedaan penampilan antara mesinmesin tersebut, lima operator yang berpengalaman dipekerjakan pada setiap mesin dalam jumlah waktu yang sama. Tabel disamping ini menunjukkan jumlah unit yang diproduksi setiap mesin. Ujilah hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan antara mesin-mesin tersebut pada taraf nyata a = 0,05
MESIN A
B
C
D
E
68
72
60
48
64
72
53
82
61
65
77
63
64
57
70
42
53
75
64
68
53
48
72
50
53
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
k r2 12 i - 3 ( n 1) n ( n 1 ) i 1 n i
2. Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel
Contoh Soal :
5. Hitung Statistik Uji-nya : hitung nilai h
h
H0: m1 = m2 = m3 = ...... = mk H1: m1 , m2 , m3 , ...... , mk tidak semuanya sama
3. Berikan ranking pada data dari masing-masing
69
Dimana :
LT Sarvia/2012
Disebut juga sebagai Uji H Kruskall Wallis Merupakan perkembangan dari Wilcoxon Rank Sum Test, dimana dalam uji ini jumlah sampel yang diuji lebih dari 2. Untuk menguji apakah k sampel independen ( dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama. Ekivalen dengan Uji F ( Analisis Ragam ).
LT Sarvia/2012
72
12
MESIN
Jawab no 9 : 1.
Taraf nyata Statistik Uji
a = 0,05 Uji Kruskall Wallis
: :
73
Rank A
B
Rank B
68
17,5
72
21
77
24
42
1
53
6,5
48
rA=
70
rB=
C
72
21
Rank C
60
10
53
6,5
63 53
D
Rank D
E
Rank E
48
2,5
82
25
64
14
61
11
65
16
12
64
14
6,5
75
23
57
9
70
19
64
14
68
17,5
2,5
72
21
50
48,5
rC=
93
rD=
4
53
6,5
40,5
rE=
73
Dimana : terdapat 5 buah sampel mesin maka k = 5 Karena setiap sampel tdd 5 buah data, maka n A= n B= n C =n D=n E= 5 n = nA + n B + n C + n D + n E n = 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 25
LT Sarvia/2012
3.
LT Sarvia/2012
2.
Struktur Hipotesis : H0 : mA = mB = mC = mD = mE H1 : mA , mB , mC, mD, mE tidak semuanya sama
A
74
5. UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) k ri2 12 h - 3 ( n 1 ) n ( n 1 ) i 1 n i
d. Wilayah Kritis : h > 2 ( a,v )Tabel Chi – Square : 2 ( a,v ) a = 0,05 v = k–1 = 5–1 = 4
6,44
9,49
2 ( a,v ) = 9,49
e. Keputusan : Terima H 0 f. Kesimpulan : kita bisa menerima bahwa tidak terdapat perbedaan antara mesinmesing tersebut pada taraf nyata 0,05
1.
76
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) : 4.
3.
LT Sarvia/2012 77
2.
Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji Runtunan, dengan a diuji 2 arah Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a2
r
r
ra1 5.
LT Sarvia/2012 78
Struktur Hipotesis : H0: data pengamatan bersifat random / acak H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Runtunan ( diuji 2 arah ) Data yang akan diolah data sudah dikonversikan dalam bentuk ‘run’ : untuk 1 populasi : hitung banyaknya ‘run’ ( r ) lalu bandingkan dengan ‘run’ dari tabel Uji Runtunan ( Runs Test ). untuk 2 populasi : masing-masing dicari ‘run’ nya. Hitung nilai : n 1 dan n 2 dimana : n 1 n 2
Uji runtunan dapat digunakan untuk data kualitatif dan kuantitatif.
75
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
LT Sarvia/2012
Untuk menguji apakah data pengamatan memiliki sifat random ( acak ) atau melihat apakah 2 populasi memiliki distribusi yang sama.
70 2 48,52 93,52 40,52 732 12 - 3 * ( 25 1 ) 6,44 25 ( 25 1 ) 5 5 5 5 5 LT Sarvia/2012
h
r
ra2
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
13
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI RUNTUNAN ( RUNS TEST ) :
3.
LT Sarvia/2012
2.
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
5.
10.
2n1n 2 ( 2n1n 2 - n1 - n 2 ) (n 1 n 2 ) (n 1 n 2 1)
81
3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test ) Median = 3,9
2. Taraf nyata :
3,8
3,7
3,4
4,0
3,8
4,1
3,9
4,0
3,8
4,2
4,1 ( ltr )
5
6
7
8
digabung
diberi tanda ‘ + ‘ diberi tanda ‘ – ‘ data dibuang
n1
= 6
( tanda ‘+‘ )
n2
= 7
( tanda ‘– ‘ )
( uji 2 arah )
ra1
P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,05 P ( r ≤ 4 ) ≤ 0,05 0,043 ≤ 0,05 ra1 = 4
ra2
82
r ≥ ra 2 1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,05 1 - P ( r ≤ 10 ) ≤ 0,05 1 - 0,9660 ≤ 0,05 0,0340 ≤ 0,05 r a 2 = 10 + 1 = 11
LT Sarvia/2012
4
LT Sarvia/2012
3
a = 0,1
4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1 dan Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
X i : 3,6 3,9 4,1 3,6 3,8 3,7 3,4 4,0 3,8 4,1 3,9 4,0 3,8 4,2 4,1 Tanda : – + – – – – + – + + – + +
data > median data < median data = median
3,6
Jawab : 1. Struktur Hipotesis : H0 : data pengamatan bersifat random / acak H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak
r - μr σr
2
4,1
Gunakan a = 0,1
2
Z
3,9
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
2 n1 n 2 1 n1 n 2
Sebuah mesin diatur untuk membagi penipis cat akrilik ke dalam kaleng. Apakah banyaknya penipis cat yang dibagi oleh mesin ini berubah secara acak bila kelima belas kaleng ternyata berisi 3,6
Jika
ra2
CONTOH SOAL :
σr
1
r
ra1
Jika : n1 dan n2 > 10 , maka digunakan pendekatan Normal, sehingga : μr
r
r
Catatan :
Tentukan wilayah kritisnya gunakan Tabel Uji Runtunan, dengan a diuji 2 arah Wilayah Kritis : r ≤ r a 1 dan r ≥ r a2
4.
LT Sarvia/2012 80
Struktur Hipotesis : H0: data pengamatan bersifat random / acak H1: data pengamatan tidak bersifat random / acak Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Runtunan ( diuji 2 arah ) Data yang akan diolah data sudah dikonversikan dalam bentuk ‘run’ (data kuantitatif ) : Cari nilai median dari data nilai rata-rata tersebut bila data hanya 1 populasi Untuk data 2 populasi, masing-masing dicari nilai median nya. Konversikan data dalam bentuk ‘run’ , dengan cara bandingkan data pengamatan dengan nilai median nya : Jika : data > median diberi tanda ‘ + ‘ data < median diberi tanda ‘ – ‘ data = median data dibuang
1.
r= 8
ra1 = 4
Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
Jumlah runtunan = r = 8 83
r a 2 = 11
Keputusan : Terima H0 Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf nyata 0,1.
84
14
CONTOH SOAL : 11.
JAWAB NO 11 :
T
T
H
T
H
H
H
T
H
H
T
T
H
T
H
T
H
H
T
H
T
T
H
T
H
H
T
H
T
a. Tentukan jumlah runtun b. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah barisan ini terbentuk secara acak.
2n1n 2 ( 2n1n 2 - n1 - n 2 ) (n1 n 2 ) 2 (n1 n 2 1)
σr
2 16 14[(2 16 14) 16 14] 2,679 16 142 16 14 1
H
T
11
12
H
H
T
3
4
H 13
H
H
H
5
T
H
14
15
T
H
6
T
T 16
H
T
7
H
T
17
18
T 8
H
H 19
H
T
9
10
T
H
T
20
21
22
n 1 = 16 ( Jumlah H) n 2 = 14 ( Jumlah T) a. r = jumlah runtunan = 22
86
2,27 0,025
0,025
-1,96
LT Sarvia/2012
σr
T 2
LT Sarvia/2012
μr
2 16 14 1 15,93 16 14
T
4. Wilayah Kritis: a = 0,05 ( uji 2 arah 0,025 ) z 1,96
Karena n1 dan n2 > 10 , maka digunakan pendekatan Normal, sehingga : μr
3. Statistik Uji : Uji Runtunan ( Runs Test ) H 1
85
LT Sarvia/2012
H
2 n1 n 2 1 n1 n 2
1. Struktur Hipotesis : H0 : data pengamatan bersifat random / acak H1 : data pengamatan tidak bersifat random / acak 2. Taraf nyata : a = 0,05 ( uji 2 arah )
LT Sarvia/2012
Pada pelemparan keping uang sebanyak 30 kali, didapatkan barisan angka (H) dan gambar (T) dalam urutan sbb :
1,96
5. Keputusan : Tolak H0 Kesimpulan : bahwa pelemparan tersebut tidak dilakukan secara acak pada taraf nyata 0,05.
Jadi Z
r - μr σr
Z
22 - 15,93 2,27 2,679
87
88
Jawab no 12 4. Wilayah Kritis: r ≤ r a 1
dan
r ≥ ra 2
Tabel Uji Runtunan ( n 1 ; n 2 ) = (6,7)
12. Idem soal 10, gunakan α=0,05
ra2
1 - P ( r ≥ r a 2 ) ≤ 0,025 1 - P ( r ≤ 11 ) ≤ 0,025 1 - 0,992 ≤ 0,025 0,008 ≤ 0,025 r a 2 = 11 + 1 = 12
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
ra1
P ( r ≤ r a 1 ) ≤ 0,025 P ( r ≤ 3 ) ≤ 0,025 0,008 ≤0,025 ra1 = 3 r= 8
ra1 = 3 89
r a 2 = 12
Keputusan : Terima H0 Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf nyata 0,05.
90
15
Only a =0,05
Tabel r distribution for the run test of randomness for α=0,05 Leland Blank hal 636 (Lampiran B-8)
CARA LAIN MENCARI BATAS WILAYAH KRITIS 4. Wilayah Kritis: baca Tabel
n1
=
6
( tanda ‘+‘ )
n2
=
7
( tanda ‘– ‘ )
ra1 = 3 r a 2 = 12
LT Sarvia/2012
LT Sarvia/2012
r distribution for the run test of randomness for a =0,05 Leland Blank hal 636 (Lampiran B-8)
r= 8
ra1 = 3
r a 2 = 12
Keputusan : Terima H0 Kesimpulan :bahwa banyaknya penipis cat akrilik yang dikeluarkan oleh mesin ini bervariasi secara acak, pada taraf nyata 0,05.
91
92
SOAL RESPONSI
9.
10. 15 orang mengikuti program penurunan berat badan dalam 3 macam Diet (Diet Daging, Diet Karbohidrat, n Diet Garam). Data yang diperoleh secara acak dibawah ini adalah penurunan berat badan (dalam kg) sbb :
Reza 88
75
92
71
63
84
55
64
82
96
Shella 72
65
84
53
76
80
51
60
57
85
94
87
73
LT Sarvia/2012
Instruktur Reza dan Shella, keduanya mengajar pada tingkat I di Universitas NST. Dalam suatu ujian akhir, mahasiswa mereka memperoleh nilai sebagaimana yang terdapat pada tabel dibawah ini. Ujilah pada taraf nyata 0,05 suatu hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan antara penilaian kedua instruktur tersebut.
61
93
SOAL RESPONSI
0,021
0,02
0,019
0,02
0,018
0,023
0,021
0,024
0,022
0,023
Diet Garam
6,2
14,4
12,5
8,4
15,7
12,1
7,8
13,2
12,7
9,5
18,6
16,9
10
10,3
11,8
Ujilah hipotesis bahwa tidak ada perbedaan diantara 3 macam diet tersebut pada α =0,05
94
13. Dapatkah kita berkesimpulan bahwa mahasiswa dengan instruktur Reza memiliki nilai yang lebih baik dari mahasiswa intruktur Shella?
LT Sarvia/2012
0,019
Diet Karbohidrat
SOAL RESPONSI
LT Sarvia/2012
11. Suatu proses pelapisan perak digunakan untuk melapisi sejenis baki. Bila proses itu terkendali, maka tebal lapisan perak pada baki akan berubah secara acak mengikuti distribusi normal dengan rataan 0,02 mm dan simpangan baku 0,005 mm. Misalkan ke-12 baki yang kemudian diperiksa menunjukkan tebal perak sbb :
Diet Daging
LT Sarvia/2012
SOAL RESPONSI
0,022
Ujilah hipotesis untuk menentukan apakah perubahan ketebalan dari satu baki ke baki lainny adalah acak dengan menggunakan taraf nyata 0,05)
95
96
16
SOAL RESPONSI
33
38
36
40
31
35
B
32
40
42
38
30
34
C
31
37
35
33
34
30
D
27
33
32
29
31
28 97
Thank You
LT Sarvia/2012
A
LT Sarvia/2012
14. Suatu perusahaan ingin melakukan pengujian terhadap empat jenis ban yang berbeda A,B,C,dan D. Ketahanan ban tersebut ditentukan dengan melihat jejak yg ditinggalkannya. Tabel dibawah ini memperlihatkan hasil pengujian setiap jenis ban thd 6 buah kendaraan yg ditentukan secara acak. Apakah terdapat beda nyata antara ke-4 jenis ban tersebut pada a = 0,05 !
98
BAHAN UTS STATISTIKA INDUSTRI
LT Sarvia/2012
99
17
