STATISTIKA NONPARAMETRIK (3) Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Kristen Maranatha Bandung
6.UJI KOLMOGOROV – SMIRNOV
Untuk menguji apakah data berdistribusi tertentu.
Ekivalen dengan Uji 2 ( Goodness Of Fit ) dalam Statistik Uji Parametrik.
LT Sarvia/2012
104
1
PROSEDUR
PERHITUNGAN
UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV :
Struktur Hipotesis :
1.
H0 : data tersebut mengikuti distribusi ................ H1 : data tersebut tidak mengikuti distribusi ................
2.
Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Uji Kolmogorov – Smirnov ( Leland Blank, Tabel B–7, hal 635 )
3.
Statistik Uji : Uji Kolmogorov–Smirnov
105Sarvia/2012 LT
Urutkan data pengamatan ( nilai rata-rata ) dari terkecil sampai terbesar. Hitung nilai S(x), dimana S (x) i n
Catatan :
Jika terdapat 2 atau lebih nilai rata-rata X yg sama, maka nilai S(x) yg digunakan adalah nilai S(x) maksimum.
PROSEDUR
PERHITUNGAN
UJI KOLMOGOROV–SMIRNOV : (2)
Hitung nilai F(x) pada masing-masing nilai rata-rata (X), dimana rumus F(x) yang digunakan disesuaikan dengan bentuk distribusi yg dihipotesiskan. Hitung nilai S(x) – F(x) pada masing-masing nilai X. Tentukan nilai Statistik Uji : d = max { S(x) – F(x) } 4. Wilayah Kritis : Bandingkan nilai d dengan Do pada Tabel B–7 ( Leland Blank, hal. 635 )
106Sarvia/2012 LT
Wilayah Kritis : d > Do Do
5.
Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis
2
CONTOH SOAL 13.
No Berat
1 2 3 4 5 6 7 8 9 200,5 203,9 204,4 204,4 205,6 205,7 207,1 208,8 208,9
No Berat
10 11 12 13 14 15 16 17 18 205,5 200,7 200,8 200,9 201,6 201,9 202,5 203,1 205,6
LT Sarvia/2012
Berikut sampel berat sabun cuci yang diproduksi PT Wonder (angka dalam gram). Manajer produksi ingin mengetahui apakah data di atas berasal dari populasi (seluruh produk sabun cuci PT Wonder) yang berdistribusi normal dengan = 203,9 dan =2,69 ? a =0,05
107
JAWAB : a. Struktur Hipotesis :
b. Taraf nyata :
a = 0,05
LT Sarvia/2012
H0: data tersebut mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69 H1: data tersebut tidak mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69
c. Statistik Uji : Uji Kolmogorov – Smirnov
108
3
Urutkan data dari terkecil sampai terbesar Berat (x)
S(x)
z
F (x) = P(Z)
S(x)-F(x)
S x F ( x)
1
200.5
1/18 0.056
-1.264
0.103
-0.048
0.048
2
200.7
2/18 0.111
-1.190
0.117
-0.006
0.006
3
200.8
3/18 0.167
-1.152
0.125
0.042
0.042
4
200.9
4/18 0.222
-1.115
0.132
0.090
0.090
5
201.6
5/18 0.278
-0.855
0.196
0.082
0.082
6
201.9
6/18 0.333
-0.743
0.229
0.105
0.105
7
202.5
7/18 0.389
-0.520
0.301
0.088
0.088
8
203.1
8/18 0.444
-0.297
0.383
0.061
0.061
9
203.9
9/18 0.500
0.000
0.500
0.000
0.000
10
204.4
11
204.4
11/18 0.611
0.186
0.574
0.037
0.037
12
205.5
12/18 0.667
0.595
0.724
-0.057
0.057
13
205.6
14
205.6
14/18 0.778
0.632
0.736
0.041
0.041
15
205.7
15/18 0.833
0.669
0.748
0.085
0.085
16
207.1
16/18 0.889
1.190
0.883
0.006
0.006
17
208.8
17/18 0.944
1.822
0.966
-0.021
0.021
18
208.9
18/18 1.000
1.859
0.968
0.032
0.032
Contoh Perhitungan: un2uk data ke–9
i 2 0,111 n 18 x- Distribusi Normal : z
S (x)
200,7 203,9 z 1.19 2,69 Jadi F ( x ) P( z ) 0,117
LT Sarvia/2012
No
S x F ( x ) 0,111 0,117 0,006
d max S x F ( x ) 0,105
109
Wilayah Kritis : d > Do Tabel K – S (Leland Blank, Tabel B–7, halaman 635 ) 110Sarvia/2012 LT
0,105
0,309
Karena : d > Do ( 0,105 < 0,309 ) •Keputusan : Terima H0 •Kesimpulan : data sampel berat sabun cuci tersebut mengikuti distribusi normal = 203,9 dan =2,69 pada taraf nyata 0,05
4
TABEL KOLMOGOROV SMIRNOV a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 0,900 0,950 0,975 0,990 0,684 0,776 0,842 0,900 0,565 0,636 0,708 0,785 0,493 0,565 0,624 0,689 0,447 0,509 0,563 0,627 0,410 0,468 0,519 0,577 0,381 0,436 0,483 0,538 0,359 0,410 0,454 0,507 0,339 0,387 0,430 0,480 0,323 0,369 0,409 0,457 0,308 0,352 0,391 0,437 0,296 0,338 0,375 0,419 0,285 0,325 0,361 0,404 0,275 0,314 0,349 0,390 0,266 0,304 0,338 0,377 0,258 0,295 0,327 0,366 0,250 0,286 0,318 0,355 0,244 0,279 0,309 0,346 0,237 0,271 0,301 0,337 0,232 0,265 0,294 0,329 0,226 0,259 0,287 0,321 0,221 0,253 0,281 0,314 0,216 0,247 0,275 0,307 0,212 0,242 0,269 0,301 0,208 0,238 0,264 0,295
a = 0,01 0,995 0,929 0,829 0,734 0,669 0,617 0,576 0,542 0,513 0,486 0,468 0,449 0,432 0,418 0,404 0,392 0,381 0,371 0,361 0,352 0,344 0,337 0,330 0,323 0,317
n a = 0,20 a = 0,10 a = 0,05 a = 0,02 a = 0,01 26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311 27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305 28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300 29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295 30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290 35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269 40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252 45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238 50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226 55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216 60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207 65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199 70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192 75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185 80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179 85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174 90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169 95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165 100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161 Pendekatan 1,07/√n 1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n 1,63/√n
LT Sarvia/2012
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
111
SOAL
247 258 261 252 258 265 267 256 273 267 272 261 280 267 270
LT Sarvia/2012
Sebuah peternakan ayam ingin mengetahui bentuk distribusi dari produksi telur ayam tiap bulan dari tiap induk ayam yang dimiliki. Untuk menjawab hal tersebut, dilakukan pengumpulan data selama 15 bulan produksi. Data hasil pengamatan tersebut adalah :
Berdasarkan data tersebut, dapatkah disimpulkan bahwa produksi telur ayam per bulan dari peternakan ayam tersebut mengikuti distribusi uniform dengan perkiraan produksi telur 251 s/d 270? (a = 0,05)
112
5
7. UJI KOEFISIEN KORELASI PERINGKAT SPEARMAN
Koefisien
LT Sarvia/2012
Untuk menguji apakah ada hubungan korelasi antara variabel X dengan Y ( untuk menguji konsistensi ) Digunakan untuk mencari hubungan atau untuk menguji signifikansi hipotesis asosiatif bila masing-masing variabel yang dihubungkan berbentuk ordinal, dan sumber data antar variabel tidak harus sama.
korelasi :- 1 < r < 1
113
DATA
ORDINAL
LT Sarvia/2012
Data yang diperoleh dengan cara kategorisasi atau klasifikasi, tetapi di antara data tersebut terdapat hubungan. Angka mengandung pengertian tingkatan. CIRI : • Data mempunyai tingkatan atau jenjang • Tidak bisa dilakukan operasi matematika (+, -, x, :) CONTOH :
Kepuasan kerja,motivasi ranking 1, 2, dan 3. Ranking 1 menunjukkan lebih tinggi dari ranking 2 dan 3. Direktur = 1, Manajer = 2, Karyawan = 3 1 + 1 =2 Direktur+Direktur= Manajer???
114
6
Y
x
x x x
x x x x
x
x
r>0
x
x
x x
x x
x
r<0 X
Jika titik-titik tepat pada satu garis namun mengumpul mendekati satu garis
LT Sarvia/2012
x
x
r mendekati ± 1 hubungan ± kuat namun tidak sempurna
115
LT Sarvia/2012
r = – 1 : punya hubungan korelasi linear negatif yang sempurna (sangat kuat ) semua titik terletak pada satu garis r = + 1 : punya hubungan korelasi linear positif yang sempurna ( sangat kuat ) semua titik terletak pada satu garis r = 0 : tidak ada hubungan korelasi linear antar variabel tersebut titik – titik menyebar atau tidak ada suatu kecenderungan
116
7
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN KORELASI PERINGKAT SPEARMAN : 1.
Struktur Hipotesis H0 : rS=0 H1 : rS>0 konsisten ( searah ) rS<0 konsisten ( berlawanan ) Tentukan nilai a wilayah kritis dalam Tabel Koefisien Korelasi Peringkat Spearman ( Walpole, Tabel A.14, halaman 488 ) Tentukan variabel X dan Y ( dalam penentuan variabel X dan Y, boleh bebas ) Tentukan ranking terkecil sampai terbesar untuk masing-masing variabel X dan Y Hitung selisih ranking variabel X dan Y untuk masing-masing pasangan X dan Y, yang dilambangkan dengan d i
3. 4. 5.
LT Sarvia/2012
2.
117
PROSEDUR PERHITUNGAN UJI KOEFISIEN KORELASI PERINGKAT SPEARMAN (2): 6.
LT Sarvia/2012
7.
Hitung d i 2 Hitung nilai Statistik Uji r S n
rS 1 8.
10.
n = banyaknya data atau pasangan data
i 1
n ( n 2 -1)
Wilayah Kritis : Jika :
9.
6 di2
H1 : H1 :
rS>0 rS<0
maka Wilayah Kritis : maka Wilayah Kritis :
rS ≥ ra rS ≤ -ra
Keputusan Kesimpulan Hipotesis 118
8
CONTOH SOAL 14.
LT Sarvia/2012
Sebuah perusahaan asuransi di Jakarta telah menyelenggarakan kursus penyegaran penjualan yang dimaksudkan untuk meningkatkan prestasi para wiraniaganya. Beberapa kelas telah menyelesaikan kursus tersebut. Dalam memperkirakan nilai program tersebut, Manajer pelatihan penjualan ingin menentukan apakah ada hubungan antara prestasi dalam program dengan prestasi dalam menghasilkan penjualan tahunan setelah menjalani kursus. Tabel berikut ini menunjukkan data yang dikumpulkan oleh manajer pelatihan penjualan dari 11 lulusan program.
119
Tabel Data dari 11 orang yang lulus program Prestasi Kursus
Penjualan Tahunan (#)
Stella
38
4.000
Piere
40
6.000
Deni
55
1.000
Wulandari
60
2.000
Sari
62
7.000
Oky
63
10.000
Asrul
67
3.000
Rani
70
5.000
Susan
75
8.000
Synthia
88
9.000
Yusraini
90
110.000
LT Sarvia/2012
Wiraniaga
120
9
JAWAB : 1. Koefisien Korelasi Peringkat : X Y
Prestasi Kursus Penjualan Tahunan (#)
Rank
Penjualan
Rank
Kursus
Prestasi
Tahunan (#)
Penjualan
X
Kursus
Y
(#)
Stella
38
1
4000
4
-3
9
Piere
40
2
6000
6
-4
16
di =rank X - rank Y
di2
Deni
55
3
1000
1
2
4
Wulandari
60
4
2000
2
2
4
Sari
62
5
7000
7
-2
4
Oky
63
6
10000
10
-4
16
Asrul
67
7
3000
3
4
16
Rani
70
8
5000
5
3
9
Susan
75
9
8000
8
1
1
Synthia
88
10
9000
9
1
1
Yusraini
90
11
110000
11
0
0
Total
0
80
LT Sarvia/2012
Prestasi Wiraniaga
121
n
rS 1 -
6 di 2 i 1
n ( n2 -1)
1-
6 * 80 1 - 0,364 0,636 11 ( 112 - 1 ) LT Sarvia/2012
r S = 0, 636 menunjukkan bahwa adanya korelasi antara prestasi kursus dengan prestasi penjualan tahunan (#)
122
10
CONTOH SOAL MENGUJI SIGNIFIKANSI 15.
rs
LT Sarvia/2012
Pengujian yang lebih formal bisa dilaksanakan untuk menentukan apakah benar-benar ada hubungan statistik seperti yang diisyaratkan oleh rs . Karena manajer pelatih berkeyakinan bahwa kursus tersebut akan meningkatkan kemampuan menjual, maka pengujian satu-arah ke kanan dapat dilakukan, dan hipotesis alternatifnya akan menyatakan adanya hubungan positif antara prestasi kursus dengan prestasi penjualan yaitu H1 : rs >0. Ujilah hipotesis tersebut. Gunakan Taraf nyata 0,05.
123
MENGUJI SIGNIFIKANSI
rs
15.
Struktur Hipotesis konsisten ( searah )
Tentukan nilai a =0.05
Statistik Uji
r S = 0,636 Wilayah Kritis : r S ≥ r a a = 0,05 n = 11
:Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman
r a = 0,523
LT Sarvia/2012
H0 : r S = 0 H1 : r S > 0
Tabel A.14 Walpole
:Tolak H0 ( r S ≥ r a 0,636 > 0,523 ) Kesimpulan : bahwa Keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan prestasi penjualan wiraniaga memberikan hasil yang konsisten (satu arah ke kanan), pada taraf nyata 0,05. Keputusan
atau adanya hubungan statistik antara keikutsertaan dalam kursus penjualan dengan prestasi penjualan setelah mengikuti kursus tersebut pada taraf nyata 0,05
124
11
Catatan Uji Koefisien Korelasi Peringkat Spearman :
rs = 0
Z
σr s
1 n -1
LT Sarvia/2012
Jika : n > 30 , maka digunakan pendekatan Normal, sehingga :
rS - 0 rS n - 1 1 n -1
125
ISTILAH-ISTILAH PENTING Statistika Nonparametrik : statistik yang tidak memerlukan pembuatan asumsi tentang distribusi. Uji Tanda (Sign Test) : Uji yang didasarkan pada tanda negatif dan positif dari perbedaan antara pasangan data ordinal. Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon : pengujian yang dilakukan jika besaran maupun arah perbedaan relevan untuk menentukan apakah terdapat perbedaan yang sesungguhnya antara pasangan data yang diambil dari satu sampel atau dua sampel yang saling terkait.
LT Sarvia/2012
126
12
ISTILAH-ISTILAH PENTING (2)
LT Sarvia/2012
Uji Mann-Whitney : pengujian dimana yang diuji hipotesis nol yang mengatakan bahwa tidak ada perbedaan yang sesungguhnya antara kedua kelompok data, atau data tersebut diambil dari dua sampel yang tidak saling terkait. Uji H Kruskall Wallis : untuk menguji apakah k sampel independen ( dimana : k > 2 ) memiliki rata-rata yang sama.
127
ISTILAH-ISTILAH PENTING (2) Uji Runtunan/deret (Runs Test) : Uji untuk menentukan apakah keacakan akan terjadi atau apakah terdapat suatu pola yang mendasari urutan data sampel. Uji Kolmogorov smirnov : untuk menguji apakah data berdistribusi tertentu. Koefisien korelasi peringkat spearman : ukuran erat tidaknya kaitan antara dua variabel ordinal.
LT Sarvia/2012
128
13
UJI TANDING DARI Wilcoxon Sign Rank Test Uji T berpasangan Wilcoxon Rank Sum Test Uji T 2 populasi Kruskall-Wallis Test Uji F
LT Sarvia/2012
129
PERSAMAAN SIGN TEST DAN WILCOXON SIGN RANK TEST :
Keduanya digunakan untuk menguji rata-rata 1 populasi dan populasi LT Sarvia/2012
130
14
KESIMPULAN
LT Sarvia/2012
Kegiatan peneliti seringkali terganggu karena data yang tersedia untuk analisis tidak mempunyai “sifat” kuantitatif yang pasti. Misalnya, data tersebut mungkin diperoleh hanya dari jumlah sampel yang kecil, dan barangkali bentuk distribusi populasi dan pengaruhnya terhadap distribusi sampel tidak diketahui. Apabila masalah semacam itu timbul, maka metode nonparametrik digunakan. Dalam hal ini, kita baru membahas sebagian kecil dari metode nonparametrik yang lazim digunakan.
131
SOAL
LT Sarvia/2012
Jika anda seorang konsultan statistik dan anda diminta untuk menguji apakah ada kaitan antara prestasi kerja dengan nilai masuk kerja. Untuk itu anda melakukan pengambilan sampel secara acak dari karyawan yang bekerja pada perusahaan klien anda sebanyak 10 orang dan diperoleh data peringkat karyawan yang terkena sampel sbb :
132
15
No
Peringkat Tes Masuk
1
5
6
2
10
9
3
6
4
4
3
2
5
4
5
6
2
1
7
7
8
8
1
3
9
8
10
10
9
7
LT Sarvia/2012
Peringkat Prestasi Kerja
Kesimpulan apakah yang bisa ditarik pada taraf nyata 0,05? 133
DAFTAR PUSTAKA
J.Supranto, Statistik Teori dan Aplikasi, Edisi keenam, Jilid 2, Penerbit Erlangga,2001 LT Sarvia/2012
134
16
LT Sarvia/2012
Thank You
135
17
