Statistik Pencacahan Radiasi

Statistik Pencacahan Radiasi (Radiation Counting Statistics)

Latar Belakang Radiasi dipancarkan secara acak (random) sehingga pengukuran radiasi berulang meskipun dilakukan dengan kondisi yang sama akan memperoleh hasil pengukuran yang berfluktuasi (berbeda-beda). Materi ini akan membahas sifat acak pancaran radiasi tersebut yang mengikuti distribusi Gauss, cara untuk menghitung ketidak-pastian pengukuran serta cara menyajikan nilai hasil pengukuran, pengujian data distribusi Gauss (chi square test), dan cara membuang data yang tidak menyimpang.

Tujuan Instruksional Setelah mengikuti mata pelajaran ini para peserta diharapkan mampu untuk menerapkan metode statistik dalam pengukuran intensitas radiasi baik menggunakan sistem pencacah maupun sistem spektroskopi. Secara khusus setiap peserta akan mampu untuk: 1. menguraikan sifat acak (random) dari besaran fisis; 2. menguraikan distribusi Gauss pada intensitas (aktivitas) radiasi; 3. menghitung penyimpangan pengukuran pada distribusi Gauss dengan mempertimbangkan faktor propagasi eror (error propagation); 4. menentukan ketidak-pastian pengukuran pada tingkat kepercayaan (level of confidence) tertentu; 5. menjelaskan limit deteksi dan limit kuantisasi; 6. menentukan nilai intensitas suatu spektrum energi radiasi; 7. menerapkan “chi square test” pada sekumpulan data pengukuran radiasi; 8. menerapkan uji Chauvenet pada sekumpulan data pengukuran radiasi.

Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 1

Materi Pembahasan

Pendahuluan

Latar Belakang

Tujuan Instruksional

Materi Pembahasan

Sifat Acak (Random)

Distribusi Gauss (Normal)

Propagasi Eror

Ketidak-pastian Pengukuran

Limit Deteksi dan Limit Kuantisasi

Pengujian Chi Square

Kriteria Chauvenet


Halaman 2

Statistik Pencacahan Radiasi (Radiation Counting Statistics)

Sifat Acak (random) Proses pengukuran, misalnya pengukuran temperatur, panjang atau berat, biasanya dilakukan secara berulang agar diperoleh hasil pengukuran yang lebih dapat dipercaya. Perhatikan tabel berikut ini yang menampilkan hasil tiga jenis pengukuran (A, B, dan C) yang diulang 10 kali. Tabel 1: hasil tiga jenis pengukuran berulang 10 kali

A

B

C

100 100 100 101 100 100 99 100 101 100

100 105 92 104 121 98 109 101 92 88

100 128 10 135 76 214 39 382 99 157

Hasil pengukuran manakah yang terbaik, pengukuran A, B, atau C. Jangan terlalu cepat menyimpulkan bahwa pengukuran A lah yang terbaik karena sangat bergantung pada besaran yang sedang diukur. Bila yang diukur adalah panjang sebuah meja atau tinggi sebatang pohon maka akan diperoleh hasil pengukuran A. Tetapi bila mengukur kecepatan angin di atas sebuah gedung maka mungkin akan dihasilkan data pengukuran C. Terdapat jenis pengukuran tertentu yang akan menghasilkan data pengukuran B. Jenis pengukuran tersebut mengikuti kecenderungan atau distribusi tertentu. Sebagai contoh, bila seseorang mempunyai 200 keping uang logam yang sama dan kemudian dilemparkannya semua ke lantai. Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 3

Berapa keping uang logamkah yang menunjukkan gambar ? Bila kegiatan tersebut diulang 10 kali maka akan diperoleh data pengukuran B, bukan pengukuran A apalagi pengukuran C. Eksperimen di atas juga dapat dilakukan dengan menggunakan 600 butir dadu. Data pengukuran B memang berfluktuasi tetapi mempunyai kecenderungan pada nilai 100. Nilai ini dapat ditentukan secara perhitungan yaitu X = p ⋅ N

Dengan X adalah nilai hasil pengukuran, p adalah probabilitas (pada uang logam ½ dan pada dadu 1/6), sedangkan N adalah jumlah benda yang terlibat untuk menghasilkan nilai pengukuran tersebut. Fenomena pengukuran ini bersifat acak (random), yang bila dilakukan secara berulang dengan jumlah ulangan sangat banyak (tak berhingga) akan menghasilkan nilai rata-rata 100. Ingat rumusan aktivitas radioaktif ! A = λ ⋅ N

A adalah aktivitas zat radioaktif, λ adalah konstanta peluruhan, sedangkan N adalah jumlah inti yang tidak stabil. Konstanta peluruhan ( λ ) merupakan probabilitas salah satu inti atom tersebut meluruh atau tidak. Dengan menganalogikan dua rumusan tersebut di atas maka dapat disimpulkan bahwa aktivitas radioaktif bersifat acak (random). Jadi, bila suatu zat radioaktif mempunyai aktivitas sebesar 100 Bq maka tidak berarti bahwa zat radioaktif tersebut selalu memancarkan 100 radiasi per detik, melainkan berbeda-beda tetapi mempunyai kecenderungan di sekitar nilai 100 sebagaimana data pengukuran B.

Distribusi Gauss (Normal) Sifat acak suatu pengukuran selalu mengikuti suatu distribusi tertentu, sebagai contoh eksperimen uang logam dan dadu di atas mengikuti distribusi binomial. Bila distribusi binomial tersebut mempunyai probabilitas sangat kecil maka akan berubah menjadi distribusi Poisson, sedangkan bila distribusi Poisson tersebut menghasilkan nilai ukur yang besar (beberapa literatur menuliskan > 40) maka berubah menjadi distribusi Gauss (Normal). Tiga jenis distribusi tersebut memang tidak dibahas pada tulisan ini, bagi yang berminat untuk mempelajari lebih lanjut silahkan membaca literatur statistik. Zat radioaktif mempunyai konstanta peluruhan ( λ ) yang sangat kecil, misalnya U-238 adalah 4.88 10-18 dan aktivitas sumber biasanya bernilai “sangat besar” dalam orde Bq (peluruhan per detik), misalnya aktivitas 1 µCi setara dengan 3.7 104 peluruhan per detik. Oleh karena itu pancaran radiasi mengikuti distribusi Gauss (Normal). Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 4

Gambar 1: distribusi Gauss Gambar di atas menunjukkan probabilitas nilai ukur yang mungkin dihasilkan oleh pengukuran berulang terhadap suatu besaran yang mengikuti distribusi Gauss. Terlihat bahwa nilai ukur yang dihasilkannya dapat bermacam-macam, dengan probabilitas terbesar adalah terletak pada nilai rata-ratanya.

Gambar 2: intensitas radiasi yang dipancarkan suatu sumber radiasi Oleh karena aktivitas zat radioaktif bersifat acak mengikuti distribusi Gauss (Normal) maka intensitas radiasi yang terukurpun akan bersifat acak sehingga data hasil pengukurannya juga akan mengikuti distribusi Gauss. Pengukuran intensitas radiasi yang dilakukan secara berulang pasti akan memperoleh hasil pengukuran yang berbeda-beda. Yang menjadi pertanyaan adalah “berapakah nilai ukur yang sebenarnya”. Dengan fenomena tersebut di atas maka pengukuran intensitas radiasi harus dilakukan secara berulang, baik beberapa kali atau dalam selang waktu cukup panjang, yang berarti akumulasi nilai dari pengulangan waktu beberapa detik. Nilai ukur sebenarnya diduga berada di dalam rentang nilai rata-rata ± nilai simpangannya. Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 5

Sebagaimana perhitungan matematika biasa, nilai rata-rata dapat dihitung dengan persamaan berikut

∑X

X =

i

(1)

N

Sedangkan nilai simpangan ( σ ) dari pengukuran tunggal suatu besaran yang mengikuti distribusi Gauss adalah akar dari nilai ukurnya. σ =

(2)

X

Propagasi Eror (Error Propagation) Propagasi eror adalah metode untuk menghitung simpangan suatu nilai yang berasal dari beberapa faktor, misalnya beberapa hasil pengukuran dan data pendukung lainnya. Rumusan dasar propagasi eror untuk suatu nilai F yang merupakan fungsi dari faktor X, Y dan Z adalah sebagai berikut. 2

σf

=

2

2

 ∂F   ∂F   ∂F  2 2 2   σx +   σy +   σz  ∂X   ∂Y   ∂Z 

(3)

σf adalah simpangan nilai F yang merupakan kalkulasi dari faktor nilai X, Y, dan Z. σx, σy, dan σz adalah masing-masing simpangan nilai X, Y, dan Z. Laju Cacah Laju cacah atau cacahan per detik adalah suatu nilai yang sebanding dengan aktivitas atau intensitas radiasi. R

=

C ∆T

(3)

Karena simpangan waktu ( σt ) dapat diasumsikan tidak ada maka simpangan laju cacah ( σr ) hanya dihitung dari satu faktor saja yaitu nilai cacahan ( C ) dengan simpangan cacahan ( σc ) adalah sebesar σc

=

(4)

C

Sehingga simpangan laju cacah ( σr ) dapat dihitung sebagaimana persamaan berikut. ∂R ∂C

=

1 ∆T 2

2

σr

=

 1  2   σ c maka σ r  ∆T 

σr


=

R ∆T

=

 1    C  ∆T 

(5)

Halaman 6

Cacahan Rata-rata Cacahan rata-rata ( C ) merupakan nilai rata-rata dari beberapa kali pengukuran, misalnya N kali. C1 + C 2 + C 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + C n N

C = 2

σC

=

2

2

2

1 1 1 1 2 2 2 2   σ c1 +   σ c 2 +   σ c3 + . . . . +   σ cn N N N N

σC

C N

(6)

R N ⋅ ∆T

(7)

=

Laju Cacah Rata-rata σR

=

Laju Cacah Sumber Hasil pengukuran intensitas radiasi suatu sumber selalu merupakan gabungan antara radiasi yang berasal dari sumber tersebut dan radiasi yang berasal dari lingkungan sekitarnya, atau disebut sebagai radiasi latar belakang. Laju cacah radiasi yang hanya berasal dari sumber saja ( Rs ) dapat dihitung dengan cara mengurangi laju cacah keseluruhan (Rt ) dengan laju cacah latar belakang ( Rb ). Rs

= Rt − Rb

Simpangan laju cacah sumber adalah σ Rs

=

2

σ Rt + σ Rb

2

(8)

Tentu saja nilai simpangan laju cacah keseluruhan ( σRt ) dan simpangan laju cacah latar belakang ( σRb ) harus dihitung dahulu menggunakan persamaan sebelumnya. Perhitungan propagasi eror, khususnya untuk yang mempunyai relasi matematik lebih rumit dapat menggunakan persamaan berikut. σf F

2

=


2 2  σy   σx   σz      +  +   x   z   y 

(9)

Halaman 7

Berikut ini sebuah contoh untuk menentukan simpangan dari efisiensi pengukuran ( η ) yaitu suatu nilai yang membandingkan antara laju cacah dan aktivitas sumber standar. R A

η = ση

2

=

η

 σR  σ    + A  R   A 

2

(10)

Nilai simpangan dari aktivitas sumber dapat dihitung dari toleransi sumber standar, misalnya toleransi 1% berarti nilai simpangan adalah sebesar 1% dari nilai aktivitasnya. σA = 0.01 x A

Ketidak-pastian Pengukuran (Measurements Uncertainty) Ketidak-pastian sebenarnya tidak hanya berasal dari pengukuran saja melainkan berasal dari semua langkah analisis mulai dari preparasi sampel, faktor kesalahan alat, kesalahan personil, kesalahan metode, dan pengukurannya sendiri. Akan tetapi dalam pembahasan ini hanya akan dipelajari ketidak-pastian yang berasal dari proses pengukuran dan faktor yang berkaitan langsung dengan pengukuran. Setiap pengukuran selalu mempunyai kesalahan (eror) oleh karena itu hasil pengukuran atau kalkulasi yang berdasarkan hasil pengukuran harus ditampilkan dalam bentuk suatu rentang nilai (bukan nilai tunggal). Rentang nilai tersebut adalah ketidak-pastian suatu pengukuran. Nilai ukur sebenarnya diduga berada di dalam rentang nilai tersebut. Pertanyaannya adalah “seberapa yakinkah nilai ukur sebenarnya berada di dalam rentang nilai tersebut”. Sebagai contoh, pengukuran aktivitas suatu sumber radiasi yang dilakukan 10 kali dengan kondisi yang sama, ternyata diperoleh hasil sebagai berikut. 125; 116; 103; 138; 121; 144; 119; 127; 112; dan 134. Berapakah nilai aktivitas sumber tersebut sebenarnya? Tidak ada yang tahu ! Kemungkinan nilai aktivitas sebenarnya berada di dalam suatu rentang nilai di sekitar nilai rata-ratanya. Sekali lagi hanya dugaan saja. Hasil pengukuran disajikan dengan “format” seperti berikut ini. X = X ± λ⋅σ

(11)

λ adalah suatu faktor yang menunjukkan tingkat kepercayaan (level of confidence) dengan nilai sebagaimana tabel berikut.


Halaman 8

Tabel 2: beberapa jenis tingkat kepercayaan yang sering digunakan. Jenis Tingkat Kepercayaan

λ

Prosentase Benar

1 sigma

1

68,5 %

nine tenth

1,645

90%

2 sigma

2

95,5 %

ninety nine

2,576

99%

3 sigma

3

99,5 %

Gambar 3: dugaan nilai sebenarnya berada di dalam rentang nilai yang ditampilkan dengan tingkat kepercayaan 1 sigma (kiri) dan tingkat kepercayaan 2 sigma (kanan). Memang dengan memilih tingkat kepercayaan yang semakin besar, misalnya 3 sigma, akan memperoleh kemungkinan nilai ukur sebenarnya berada di dalam rentang dugaan semakin besar, tetapi nilai rentangnya juga semakin lebar. Oleh karena itu, nilai simpangan ( σ ) harus diusahakan sekecil mungkin, yaitu dengan cara mengulang pengukuran semakin sering atau memperpanjang waktu pengukuran.

Limit Deteksi dan Limit Kuantisasi Sebagaimana telah dibahas sebelumnya bahwa setiap pengukuran radiasi akan menghasilkan kesalahan atau ketidak-pastian, termasuk pengukuran radiasi latar belakang (background). Yang menjadi permasalahan sekarang adalah bila aktivitas suatu sumber atau intensitas radiasi yang dipancarkan oleh sumber ”tidak terlalu” dibandingkan dengan intensitas radiasi latar belakang. Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 9

Sebagai contoh, hasil pengukuran intensitas suatu sampel -yang berarti pengukuran radasi yang berasal dari sumbernya dan ditambah dengan radiasi latar belakang- adalah 120 sedangkan pengukuran tanpa sampel -yang berarti hanya pengukuran radiasi letar belakang- adalah 100. Secara perhitungan dengan mudah dapat ditentukan bahwa radiasi latar belakang adalah 100 sehingga radiasi sumbernya saja adalah 20. Hal di atas tidak dapat dibenarkan karena nilai intensitas radiasi latar belakang selalu berfluktuasi sehingga nilai 120 tersebut mungkin saja hanya fluktuasi nilai intensitas radiasi latar belakang, jadi sampel tersebut sebenarnya tidak mengandung zat radioaktif sama sekali. Limit deteksi adalah suatu batas nilai yang digunakan untuk menentukan apakah zat radioaktif ”terdeteksi” ada di dalam sampel yang diukur atau memang tidak terdeteksi. Nilai limit deteksi ditentukan sebesar simpangan pengukuran latar belakang dengan tingkat kepercayaan 3 sigma. LD = 3 ⋅ R lb

(12)

Nilai hasil pengukuran radiasi sumber pada contoh di atas ( = 20 ) masih kurang dari limit deteksinya ( = 30 ) sehingga pada contoh di atas tidak terdeteksi ada zat radioaktif di dalam sampel. Contoh lain, hasil pengukuran intensitas suatu sampel -yang berarti pengukuran radasi yang berasal dari sumbernya dan ditambah dengan radiasi latar belakang- adalah 150 sedangkan pengukuran tanpa sampel -yang berarti hanya pengukuran radiasi letar belakang- adalah 100. Secara perhitungan dengan mudah dapat ditentukan bahwa radiasi latar belakang adalah 100 sehingga radiasi sumbernya saja adalah 50. Berdasarkan pembahasan limit deteksi, sampel pada contoh tersebut di atas dapat dinyatakan mengandung zat radioaktif karena hasil pengukuran sumber ( = 50 ) sudah lebih besar daripada limit deteksi pengukurannya. Tetapi nilai hasil pengukuran ( = 50 ) belum dapat dinyatakan sebagai kuantitas (atau dalam contoh ini adalah aktivitas) sumber. Limit kuantisasi adalah suatu batas nilai yang digunakan untuk menentukan apakah nilai hasil pengukuran dapat dinyatakan secara kuantitatif atau tidak. Nilai limit kuantisasi harus ditetapkan secara konvensi, dari satu negara atau laboratorium ke negara atau laboratorium lain mempunyai nilai yang berbeda. Nilai limit kuantisasi yang banyak digunakan adalah sebesar simpangan pengukuran latar belakang dengan tingkat kepercayaan 7 sigma. LK = 7 ⋅ R lb

(13)

Jadi pada contoh pengukuran di atas hanya dapat dinyatakan secara kualitatif saja bahwa di dalam sampel terdeteksi adanya zat radioaktif tetapi kuantitas atau aktivitas sumber tidak layak untuk dinyatakan karena masih kurang dari limit kuantisasinya ( = 70 ). Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 10

Chi Square Test Pengukuran besaran fisis yang bersifat acak secara berulang selalu akan menghasilkan nilai yang berubah-ubah, sebagai contoh 10 kali pengukuran intensitas radiasi akan menghasilkan 10 nilai yang berbeda-beda. Hal ini menimbulkan kesulitan untuk mengetahui bahwa perubahan nilai tersebut memang karena sifat acak dari sumber yang diukur, bukan disebabkan oleh ”anomali” alat pengukur. Chi square test adalah sebuah metode yang lazim digunakan untuk menguji apakah sekumpulan data mengikuti distribusi Gauss atau tidak. Terdapat kemungkinan bahwa fluktuasi nilai terlalu kecil (contoh data pengukuran A pada tabel 1) atau fluktuasi terlalu besar (contoh data pengukuran C pada tabel 1). Nilai Chi Square ditentukan dengan persamaan berikut. χ

2

=

∑ (X

i

−X

)

2

(14)

X

Dengan Xi adalah nilai setiap pengukuran. Nilai chi square ( χ2 ) dari perhitungan di atas kemudian dicocokkan ke tabel chi square yang terdapat pada lampiran. Tabel 3: sebagian tabel chi square n

2 χ 0,95

2 χ 0,90

2 χ 0,75

2 χ 0,50

2 χ 0,25

2 χ 0,10

2 χ 0,05

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8

15,5

13,4

10,2

7,34

5,07

3,49

2,73

9

16,9

14,7

11,4

8,34

5,90

4,17

3,33

10

18,3

16,0

12,5

9,34

6,74

4,87

3,94

11

19,7

17,3

13,7

10.3

7,58

5,58

4,57

12

21,0

18,5

14,8

11.3

8,44

6,30

5,23

13

22,4

19,8

16,0

12,3

9,30

7,04

5,89

14

23,7

21,1

17,1

13,3

10,2

7,79

6,57

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Cara pembacaan tabel chi square di atas: n adalah derajat kebebasan pengukuran yaitu jumlah pengulangan dikurangi 1 ( N – 1 ). Nilai-nilai pada kolom χ2 0,50 adalah nilai ideal bila semua nilai hasil pengukuran tepat sesuai dengan distribusi Gauss, tentu saja hal ini sangat sulit dicapai dalam Statistik Pencacahan Radiasi

Halaman 11

pengukuran sebenarnya. Seberapa besar toleransi tidak ideal harus ditentukan oleh masing-masing keperluan atau laboratoriumnya, tetapi walaupun begitu, nilai yang banyak digunakan adalah nilai di dalam rentang χ2 0,90 dan χ2 0,10. Data hasil 10 kali pengukuran “layak diterima” sebagai distribusi Gauss bila nilai χ2 nya berada di dalam rentang 4,17 ~ 14,7, sedangkan data 15 kali pengukuran harus berada di dalam rentang 7,79 ~ 21,1. Apabila data hasil pengukuran intensitas radiasi tidak memenuhi kriteria di atas maka terdapat kesalahan, mungkin di peralatan ukur atau di sumbernya sendiri.

Kriteria Chauvenet Memang secara teori distribusi Gauss, hasil pengukuran dapat bernilai berapapun bahkan sangat jauh berbeda dengan nilai rata-ratanya akan tetapi dalam kenyataannya kemungkinan tersebut sangat kecil sehingga hasil pengukuran yang menyimpang terlalu jauh dari nilai rata-ratanya dapat saja ”dibuang” agar tidak merusak nilai rata-rata pengukuran. Penyimpangan nilai hasil pengukuran dari nilai rata-ratanya kemungkinan disebabkan oleh gangguan dari luar sehingga mempengaruhi kondisi yang seharusnya dijaga selalu sama, sebagai contoh yang paling sering terjadi adalah gangguan listrik. Kriteria Chauvenet adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk ”membuang” salah satu atau beberapa nilai hasil pengukuran yang menyimpang terlalu jauh dari nilai rata-ratanya, atau disebut outlayer. τi

=

xi − x

(15)

x

Nilai Chauvenet dari setiap data pengukuran yang dihitung menggunakan persamaan di atas harus lebih kecil daripada tabel berikut ini. Tabel 4: nilai batas kriteria Chauvenet Jumlah Pengukuran 2 3 4 5 10

Nilai Chauvenet 1.15 1.38 1.54 1.65 1.96


Jumlah Pengukuran 50 100 200 500 1000

Nilai Chauvenet 2.58 2.81 3.02 3.29 3.48

Halaman 12

Sebagai contoh dalam eksperimen 10 kali pengukuran berulang, setiap data pengukuran harus mempunyai nilai τ yang lebih kecil daripada 1,96. Bila salah satu hasil pengukuran mempunyai nilai τ yang lebih besar daripada 1,96 maka data pengukuran tersebut dapat ”dibuang”. Bila jumlah pengulangan tidak terdapat dalam tabel tersebut maka dapat digunakan cara interpolasi linier.

ooOoo


Halaman 13

Lampiran Tabel Chi Square


Halaman 14

Daftar Pustaka 1. G.F. Knoll, Radiation Detection and Measurement, John Wiley, Toronto, 1989. 2. N. Tsoulfanidis, Detection and Measurement of Radiation, Taylor and Francis, New York, 1995 3. K. Debertin and R.G. Helmer, Gamma and X-ray Spectrometry with Semiconductor Detectors, North-Holland, Amsterdam, 1988. 4. Murray R. Spiegel, Mathematical Handbook, Mc Graw Hill, New York, 1968.


Halaman 15

Statistik Pencacahan Radiasi

Recommend Documents