Statistik Dasar 1. Operasional Minitab Tampilan menu utama Minitab versi 12 keatas adalah :
Adapun fungsi-fungsi statistik dasar tersedia pada pilihan “Stat”.hampir semua fungsi statistik yang dibutuhkan dalam mengerjakan tahapan 6 Sigma semua tersedia pada pilihan ini, termasuk didalamnya regresi dan DOE maupun analisa ANOVA.
2. Menampilkan Statistik deskriptif Dalam Minitab dapat menggunakan Display Descriptive Statistic untuk menampilkan statistik tiap kolom atau subset dalam sebuah kolom.Kita dapat menampilkan statistik ini dalam seksi Windows dan secara opsi dalam grafik. Data : Data kolom harus berupa angka, sedangkan group kolom opsional dapat berupa bilangan, teks dan tanggal dan harus sama panjangnya seperti data kolom. Untuk menghitung statistik deskriptif adalah sebagai berikut : 1. Memilih Stat > Basic Statistic > Display Decriptive Statistic
1
2. Pada Variable, ketik kolom yang mengandung data yang kita ingin tampilkan 3. Jika dihendaki, dapat menggunakan satu atau lebih opsi sebagai berikut kemudian pilik OK Opsi : Kotak dialog Descriptive Statistic : Menampilkan statistik terpisah untuk tiap nilai unik dalam sebuah kolom Sub kotak dialog Graphs : Menghasilkan histogram, sebuah histogram dengan kurva normal, plot titik atau plot kotak dari data dalam jendela grafik terpisah Menampilkan statistik dalam sebuah ringkasan grafik tunggal, kita dapat menspesifik level kepercayaan untuk interval kepercayaan yang ditampilkan, Level asli adalah 95% Descriptive Statistic Graphs : Kita dapat menampilkan data dalam histogram, sebuah histogram dengan kurva normal, plot titik atau plot kotak atau ringkasan secara grafik. Contoh : Misalkan kita ingin memeriksa tinggi/height para siswa lak-laki (Sex =1) dan Wanita (Sex =2) yang berpastisipasi dalam penelitian pulsa. Kita memilih menampilkan descriptive statistic dengan opsi boxplot (plot kotak) untuk data. Misalkan data disimpan dalam file “Tinggi.MTW” sebagai berikut :
2
3
1. 2. 3. 4.
Buka file Tinggi.MTW Pilih Stat > Basic Statistic > Display Descriptive Statistic Pada Variable, masukan Height dan pada by variable masukan Sex Pada pilihan Graphs, pilih boxplot of data, lalu tekan OK
4
Hasil :
Dari data diatas (lihat Mean) menunjukkan bahwa tinggi laki-laki adalah 5.3 lebih tinggi dari wanita. 5
3. Menyimpan Statistik deskriptif Data : Data dalam kolom harus berupa angka. Opsional group kolom dapat berupa angka, teks atau tanggal/waktu dan harus sama panjang dengan data dalam kolom. Minitab secara otomatis akan mengabaikan data yang tidak lengkap dari perhitungan. Menyimpan statistik deskriptif : 1. Pilih Stat > Basic Statistic > Store Descriptive Statistics 2. Pada Variables, Ketik data pada kolom yang ingin dideskripsikan 3. Jika dikehendaki, gunakan satu atau lebih opsi yang terdaftar dibawah, kemudian tekan OK.
Options : Menghitung statistik sesuai dengan nilai-nilai dalam satu atau lebih kolom Statistics subdialog box : Pilih statistik yang akan disimpan. Ketetapan awal/semula adalah rata-rata sampel dan ukuran sampel Options subdialog box : Bila menggunakan By variables, maka dapat juga, -
Menyimpan statistik untuk sel kosong pada cross-classification dari by variables, ini merupakan ketetapan awal /semula Mengandung data hilang/ tidak lengkap sebagai By variable –classification yang sah Menyimpan nilai-nilai beda dari By variable, ini merupakan ketetapan awal.
6
4. Satu Sampel Z- Interval Kepercayaan Dan Pengujian Gunakan 1-sampel Z untuk menghitung interval kepercayaan atau mengerjakan uji hipotesis pada rata-rata bila diketahui, untuk data sampel dalam satu atau lebih kolom. Untuk 2-sisi /tailed satu sampel Z : H0 : = hipotesis lawannya H1: ≠ hipotesis Dimana adalah rata-rata populasi. Data : Masukan tiap sampel berupa bilangan ke kolom tunggal.Kita dapat membuat uji hipotesis atau interval kepercayaan untuk lebih dari satu kolom pada satu waktu.Minitab secara otomatis mengabaikan data tidak lengkap dari perhitungan untuk kolom bersangkutan. Untuk Melakukan Interval Kepercayaan dan Uji Rata-rata : 1. Pilih Stat > Basic Statistic > 1-Sample Z
2. Pada Samples in columns, masukan kolom yang memuat data sampel 3. Pada Standard deviation, masukan sebuah nilai 7
4. Pada Test mean, masukan sebuah nilai rata-rata yang dibutuhkan untuk pengujian 5. Bila dibutuhkan, kita bisa memilih opsi lain misalnya tampilan grafik (histogram, individual value, Boxplot untuk tiap kolom dan options yang berkaitan dengan confidence level (ketatapan awal = 95%) dan alternative (less than untuk sisi bawah, not equal untuk 2 sisi/ ini merupakan ketetapan awal, greater than untuk sisi atas).
Metode : Interval Kepercayaan : x’ – zα/2 (/n1/2 ) sampai x’ +zα/2 (/n1/2 ) x’ adalah rata-rata data, adalah standar deviasi populasi, n adalah ukuran sampel dan zα/2 adalah nilai dari tabel normal dimana α adalah 1 – level kepercayaan/100, nilai ketetapan awal adalah 95% untuk level 8
kepercayaan. Uji Hipotesis : Minitab menghitung uji statistik dengan, Z = (x’ - ) /(/n1/2 ) x’ adalah rata-rata sampel, adalah rata-rata hipotesa populasi, adalah standar deviasi populasi dan n adalah ukuran sampel. Bila tidak dinyatakan dalam Test mean maka =0 digunakan. Minitab akan selalu melakukan uji 2 sisi /two tailed bila tidak nyatakan lain oleh kita. Contoh : Terdapat 9 data dimana berdasarkan pengalaman selama ini diperoleh =0.2, karena diketahui maka ingin diuji jika rata-rata populasi adalah 5 dan interval kepercayaan 90% untuk rata-rata, dimana digunakan prosedur Z. Misalnya data disimpan dengan nama uji_Z.MTW
Tahapan 1 : Lakukan Uji Z Dengan Dotplot Pada Data 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Buka file uji_Z. MTW Pilih Stat > Basic Statistics > 1-Sample Z Pada samples in columns, masukan Values Test mean diisi 5 Tutup Standard deviation, masukan 0.2 Pada Graphs pilih Dotplot of data, lalu pilih OK
Tahapan 2 : Memperoleh Z- Interval Kepercayaan dengan Histogram Data 9
1. 2. 3. 4.
Ulang langkah 1-3 diatas Pada Options, Confidence level diisi 90 Pada Menu utama Standard deviation tetap diisi 0.2 Pada Graphs, pilihan Dotplot of data dihilangkan, lalu pilih Histogram of the data, pilih OK
Hasil :
Interpretasi : Hasil uji Z jika rata-rata populasi = 5 adalah -3.17. p-value untuk hipotesis null H0 benar atau probabilitas diperoleh lebih banyak nilai ekstrim pada uji statistik adalah 0.0002, nilai p ini adalah signifikan atau mencapai 10
α dalam pengujian. Karena p-value 0.0002 adalah lebih kecil dari pada level α mungkin, maka terdapat bukti yang signifikan bahwa tidak sama dengan 5 sehingga kita menolak H0 bahwa bukan 5. Dengan hipotesis pengujian pada α =0.05 dapat juga dikerjakan dengan melihat dotplot dimana tidak terdapat nilai-nilai yang dihipotesis jatuh diluar interval kepercayaan. Sedangkan pada interval kepercayaan 90% untuk rata-rata populasi adalah (4.6792, 4.8986), Histogram juga memperlihatkan interval ini.
2.3.2.4. Satu Sampel t – Interval Kepercayaan Dan Pengujian Menggunakan satu sampel t untuk menghitung interval kepercayaan dan melakukan pengujian hipotesis pada rata-rata bila standar deviasi populasi tidak diketahui. Untuk 2 sisi-satu sampel t, H0 : = hipotesis lawannya H1: ≠ hipotesis adalah rata-rata populasi. Data : Data tiap sampel berupa angka diisi ke kolom tunggal, kita dapat melakukan pengujian hipotesis atau interval kepercayaan untuk satu atau lebih kolom pada satu waktu. Minitab secara otomatis akan mengabaikan data tidak lengkap dalam perhitungan. Menghitung Interval Kepercayaan – t dan Menguji Rata-Rata : 1. Pilih Stat > Basic statistics > 1- Sample t
2. Pada Samples in columns, masukan kolom yang memuat data sampel 3. Pada test mean, nilai terisi adalah untuk pengujian hipotesis 4. Kita bisa menggunakan options lain sebagai berikut.
Options : -
Confidence level awal ditetapkan 95% Alternative berupa less than (sisi bawah), not equal (2 sisi) atau greater than ( sisi atas). Ketetapan awal adalah pengujian 2 sisi.
11
Graphs : Dapat menampilkan histogram, dotplot dan boxplot untuk tiap kolom. Grafik memperlihatkan rata-rata sampel dan interval kepercayaan untuk rata-rata dan juga nilai pengujian hipotesis null bila melakukan pengujian hipotesis. Metode : Interval Kepercayaan : x’ – tα/2 (s/n1/2 ) sampai x’ +tα/2 (s/n1/2 ) x’ adalah rata-rata data,s adalah standar deviasi populasi, n adalah ukuran sampel dan tα/2 adalah nilai dari tabel distribusi t dimana α adalah 1 – level kepercayaan/100, nilai ketetapan awal adalah 95% untuk level kepercayaan dan derajat kebebasan adalah 95% (ketetapan awal). Uji Hipotesis : Minitab menghitung uji statistik dengan, t = (x’ - ) /(s/n1/2 ) x’ adalah rata-rata sampel, adalah rata-rata populasi diestimasi, s adalah standar deviasi populasi dan n adalah ukuran sampel. Bila tidak dinyatakan dalam Test mean maka =0 digunakan. Minitab akan selalu melakukan uji 2 sisi /two tailed bila tidak nyatakan lain oleh kita. Contoh : Misalnya data pada contoh uji satu sampel Z diatas dipergunakan kembali, dimana kita tidak tahu nilai . Untuk menguji bila rata-rata populasi adalah 5 dan diperlukan interval kepercayaan 90% untuk rata-rata. Prosedur uji t sebagai berikut, Tahapan 1 : Melakukan uji t 1. 2. 3. 4.
Buka file uji_w.MTW kembali Pilih Stat > Basic statistics > 1-Sample t Pada Samples in columns, masukan Values Pada Test mean isi 5. Lalu pilih OK
Tahapan 2 : Untuk memperoleh t – interval kepercayaan 1. Ulang langkah 1-3 diatas 2. Pada options : pada confidence level, isi level 90, lalu pilih OK 3. Untuk pilihan lain seperti Graphs, terdapat pilihan Histogram of data, Individual value plot, atau Dotplot of data. Misalnya kita memilih histogram untuk pengujian ini. Hasil :
12
Interpretasi : Pada uji statistik, T untuk Ho : =5 dihitung sebagai -2.56. p-value untuk pengujian ini atau probabilitas memperoleh lebih banyak nilai ekstrim dalam pengujian statistik jika hipotesis null adalah benar. Ini dikatakan mencapai level signifikan atau p-value. Oleh karena itu menolak H0 jika α yang dapat diterima lebih besar dari p-value atau 0.033.Pada interval kepercayaan 90% untuk rata-rata populasi adalah (4.6356, 4.9422).Interval ini sedikit lebih lebar dari pengujian interval Z terkait.
5. Dua Sampel t – Interval Kepercayaan Dan Pengujian Menggunakan dua sampel t untuk melakukan pengujian hipotesis dan menghitung interval kepercayaan antara rata-rata dua populasi bila standar deviasi populasi tidak diketahui. Untuk 2 sisi-satu sampel t, H0 :1 = 2 lawannya H1 :1 ≠ 2 adalah rata-rata populasi. Data : Data tiap group sampel dapat berupa angka, teks dan tanggal/waktu diisi ke kolom tunggal dengan group kolom lain yang disebut subscripts atau pada kolom secara terpisah, Minitab secara otomatis akan mengabaikan data tidak lengkap dalam perhitungan. Untuk Uji Dua Sampel dan Interval Kepercayaan : 1. Pilih Stat > Basic statistics > 2-Sample t 13
2. Pada Samples in ……., terdapat dua cara memasukkan data sesuai dengan data yang disiapkan (satu kolom dengan subscripts atau berada pada kolom terpisah). Untuk satu kolom : o o o
Pilih samples in one column Pada Samples, masukan kolom yang memuat data angka Pada subscripts, masukan kolom yang memuat kode populasi atau group
Untuk kolom terpisah : o o o
Pilih Samples in different columns Pada First, masukan data sampel pertama Pada second, masukan data sampel kedua
3. Jika dibutuhkan dapat memilih option lain (Graphs dan Options) dibawah menu. Dalam options, diasumsikan bahwa populasi mempunyai varian sama, sedangkan ketetapan awal/sistem mengasumsikan varian tidak sama. Varian Sama Atau Tidak Sama : Jika menggunakan Assume equal variances, maka standar deviasi sampel disatukan untuk memperoleh estimasi tunggal. Metode dibawah sebagai contoh. Uji dua sampel- t dengan varian disatukan agak kuat dibandingkan dengan uji dua sampel – t dengan varian tidak sama, tetapi kesalahan serius dapat terjadi bika varian tidak sama. Karena itu, estimasi varian disatukan tidak digunakan dalam banyak kasus. Metode : Interval Kepercayaan : Interval kepercayaan dihitung sebagai, (x1’ – x2’) – tα/2 s sampai (x1’ – x2’) + tα/2 s
14
tα/2 adalah nilai dari tabel distribusi t dimana α adalah 1 – level kepercayaan/100. Standar deviasi sampel s pada x1’ – x2’ dan derajat kebebasan tergantung pada asumsi varian. Pada Minitab, level kepercayaan ditetapkan 95%. Uji Hipotesis : Minitab menghitung uji statistik t dengan, t = (x1’ – x2’) / s standar deviasi sampel s pada x1’ – x2’ tergantung pada asumsi varian. Standar Deviasi : Bila kita asumsikan unequal variances atau varian tidak sama, standar deviasi sampel pada x1’ – x2’ adalah, s = { (s12 /n1) + (s22 /n2) }1/2 derajat kebebasan uji statistik adalah, df = (VAR1 + VAR2)2 / {[(VAR1)2 /(n1-1)] +[(VAR2)2 /(n2-1)]} dimana VAR1 = s12/n1 dan VAR2 = s22/n2 . Minitab akan membulatkan ke bawah derajat kebebasan ke bilangan bulat terdekat. Bila kita asumsikan varian sama, standar deviasi sampel disatukan untuk x1’ – x2’ adalah, sp = { [(n1 -1) s12 + (n2 -1) s22 ] / (n1 +n1 -2) }1/2 standar deviasi sampel pada x1’ – x2’ diestimasi dengan, s = sp{ (1/n1) + (1/n2) }1/2 derajat kebebasan uji statistik adalah (n1 +n1 -2) Contoh : Sebuah study dilakukan untuk mengevaluasi efektivitas dua alat untuk perbaikan efisiensi sistem gas pemanasan rumah. Konsumsi energi dalam jam diukur setelah satu dari dua alat dipasang. Kedua alat ini adalah sebuah elektrik ventilasi terendam (Damper =1) dan sebuah pengaktif secara termal ventilasi terendam (Damper =2). Data konsumsi energi dalam BTU diisi dalam satu kolom dengan kolom pengelompokan (Damper) yang memuat pengidentifikasi atau subscripts untuk menandai populasi. Sebelumnya, uji varian menemukan tidak ada bukti bahwa varian tidak sama. Sekarang kita ingin membandingkan efektivitas kedua alat dengan menentukan apakah terdapat bukti bahwa perbedaan antara kedua alat adalah berbeda dari nol. Misalnya file disimpan dengan nama pemanasan.MTW sebagai berikut,
15
16
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Buka file Pemanasan. MTW (File > Open worksheet > nama file) Pilih Stat > Basic statistics > 2-Sample T Pilih Samples in one column Pada Samples masukan BTU In Pada Subscripts masukan Damper Tandai Assume equal variances Jika perlu opsi lain dapat memilih pada graphs dan options Tekan OK
17
Hasil :
Interpretasi : Minitab menampilkan sebuah tabel ukuran sampel, rata-rata sampel, standar deviasi dan standar kemelesetan/error untuk dua sampel. Karena sebelumnya kita menemukan tidak ada bukti varian tidak sama, kita pilih untuk menggunakan standar deviasi disatukan dengan memilih assume equal variances. Standar deviasi disatukan adalah 2.88, digunakan untuk menghitung uji statistik dan interval kepercayaan. Tabel kedua memberikan interval kepercayaan untuk perbedaan dalam rata-rata populasi.Pada contoh ini, interval kepercayaan 95% adalah (-1.45, 0.98), berikutnya adalah hasil uji hipotesis.Uji statistik adalah -0.38, dengan p-value 0.70 dan derajat kebebasan 88. Karena p-value lebih besar dari level α, maka tidak ada bukti untuk perbedaan dalam energi digunakan bila menggunakan elektrik ventilasi terendam dan pengaktif termal ventilasi terendam.
6. Pasangan t – Interval Kepercayaan dan Pengujian Menggunakan fungsi pasangan t untuk menghitung interval kepercayaan dan melakukan uji hipotesis pada perbedaan antara rata-rata populasi bila pengamatan adalah pasangan. Sebuah prosedur pasangan t mencocokkan respon yang bertergantungan atau berhubungan dalam ragam pasangan. Kecocokan ini memungkinkan kita untuk menghitung variabilitas antara pasangan yang biasanya menghasilkan suku kesalahan lebih kecil, sehingga meningkatkan sensitivitas pengujian hipotesis atau interval kepercayaan. Contoh tipikal data pasangan termasuk pengukuran terhadap kembaran atau sebelum dan sesudah pengukuran. Untuk pengujian pasangan t ; H0 :1 = 2 lawannya H1 :1 ≠ 2 adalah rata-rata populasi. Bila sampel diambil secara independen atau tidak berkaitan dari dua populasi, gunakan prosedur pengujian dua sampel – t diatas. Data : Data berupa angka dari tiap sampel harus dipisahkan dalam kolom yang sama panjangnya, Tiap baris memuat pasangan pengukuran untk sebuah pengamatan. Jika salah satu pengukuran pada baris tidak lengkap, Minitab secara otomatis akan mengabaikan baris tersebut dari perhitungan.
18
Menghitung Pasangan t – Interval Kepercayaan dan Pengujian : 1. Pilih Stat > Basic statistics > Paired t
2. Pada First sample, masukan kolom yang memuat sampel pertama 3. Pada Second sample, masukan kolom yang memuat sampel kedua 4. Jika diinginkan dapat menggunakan pilihan opsi lain dibawah, lalu tekan OK Opsi : Pilihan Graphs : -
Terdapat pilihan histogram, individual plot da boxplot differences
Pilihan Options : -
Menyatakan level kepercayaan untuk interval kepercayaan, ketetapan awal adalah 95% Menyatakan nilai uji hipotesis null. Ketetapan awal adalah 0 Menetapkan hipotesis alternatif dengan memilih less than (sisi bawah), not equal (dua sisi) atau greater than (sisi atas), Ketetapan awal adalah 2 sisi /two tailed.
19
Metode : Interval Kepercayaan : Untuk pengujian 2 sisi, interval kepercayaan dihitung sebagai, d’ – tα/2 (sd /n1/2) sampai d’ + tα/2 (sd /n1/2) dimana d’ adalah d/n, d = s1 –x2 dan x1, x2 adalah pengamatan pada populasi 1 dan 2.tα/2 adalah nilai dari distribusi t dengan α adalah 1- level kepercayaan/100, sd adalah standar deviasi pada perbedaan, n adalah banyaknya pasangan nilai. Standar deviasi untuk perbedaan dihitung dengan, sd = { (d –d’)2 /(n-1) }1/2 kita dapat menggunakan level kepercayaan apa saja diantara 1 sampai 100. Ketetapan awal adalah 95%. Pengujian Hipotesis : Minitab menghitung pengujian statistik t dengan, t = (d’ -d) / (sd /n1/2) dimana d adalah hipotesis perbedaan. Bila d tidak dinyatakan dalam Test mean, d = 0 digunakan. Minitab melakukan pengujian 2 sisi kecuali kita nyatakan pengujian satu sisi. Contoh : Misalkan perusahaan sepatu menggunakan bahan A dan B untuk alas sepatu laki-laki.10 anak dipilih untuk mencoba alas sepatu tersebut dengan bahan A pada satu kaki dan bahan B pada kaki lainnya.Ukuran sepatu dipilih secara acak untuk perhitungan perbedaan sistematik antara kiri dan kanan.Setelah 3 bulan pemakaian, sepatu diukur akibat pemakaian (sisa ketebalan alas sepatu). Untuk data ini, kita akan menggunakan rancangan perpasangan dari pada tidak berpasangan. Prosedur pasangan t akan mungkin mempunyai suku kemelesetan atau kesalahan lebih kecil dari pada prosedur tidak 20
berpasangan terkait karena ia menghilangkan variabilitas yang disebabkan oleh perbedaan antara pasangan. Misal, satu anak mungkin tinggal di kota dan berjalan di jalan bersemen sedangkan anak lain tinggal di desa tidak berjalan di jalan bersemen. Anggaplah data disimpan dalam file sepatu.MTW sebagai berikut,
1. Buka file sepatu.MTW ( file > open worksheet > sepatu.MTW) 2. Pilih Stat > Basic statistics > Paired t 3. Pada First Sample, masukan Mat-A dan pada Second sample, masukan Mat-B, lalu tekan OK
Hasil :
21
Interpretasi : Interval kepercayaan untuk perbedaan antara kedua bahan tidak mengandung nol yang mana menyatakan sebuah perbedaan antara mereka. Nilai p-value kecil (p=0.009) menyatakan bahwa data tidak konsisten dengan H0 :1 = 2, yaitu hasil kedua bahan tidak menunjukkan sama. Terutama bahan B (x’ =11.04) lebih baik dari pada bahan A (x’ = 10.63) setelah masa pakai 3 bulan. Jika kita ingin membandingkan hasil dari prosedur pasangan denngan hasil dari prosedur tidak berpasangan (Stat > basic statistics > 1-Sample t). Untuk prosedur pasangan, kita simpulkan bahwa data adalah tidak konsisten dengan H0 (t =-3.35; p = 0.009). Untuk prosedur tidak berpasangan, kita simpulkan bahwa data adalah konsisten dengan H0 (t =-0.37; p =0.72) yang berarti kita tidak akan mampu mendeteksi perbedaan apapun dalam pemakaian antara dua bahan tersebut.
7. Interval Kepercayaan dan Pengujian Satu Proporsi Menggunakan fungsi satu proporsi untuk menghitung interval kepercayaan dan melakukan pengujian hipotesis proporsi.Misalnya sebuah perusahaan layar sentuh seperti TPK Xiamen mengatakan bahwa sensor yang diproduksi tingkat kerusakan dibawah 0.02%.Lalu kita mengambil secara acak sejumlah modul layar sentuh dan menentukan apakah tingkat catat nyatanya adalah sesuai dengan yang dinyatakan. Untuk pengujian dua sisi pada proporsi, hipotesisnya adalah : H0 : p = p0 lawannya H1 :p ≠ p0 Dimana p adalah populasi proporsi dan p0 adalah nilai yang dihipotesis. Untuk menghitung satu proporsi dengan Minitab, kita gunakan perintah, Stat > Basic statistics > 1 proportions
22
Data : Data dapat disimpan dalam dua bentuk yaitu berupa daya mentah atau ringkasan /summarized sebagai berikut : Data Mentah : Masukan tiap data berupa bilangan, teks atau tanggal /waktu ke dalam kolom lembaran kerja. Kolom harus semua sama tipe. Tiap kolom memuat baik data sukses atau gagal dari sampel.Sukses dan gagal ditentukan dengan angka atau alphabet.Minitab mendefinisikan nilai terendah sebagai gagal, nilai tertinggi sebagai berhasil.Contoh : -
Untuk kolom angka masukan berupa “20” dan “40”, pengamatan atas 20 dianggap sebagai gagal dan atas 40 dianggap berhasil Untuk kolom alphabet masukan berupa “alpha” dan “omega”, pengamatan atas alpha dianggap gagal dan atas omega dianggap berhasil. Jika data masukan berupa “red” dan “yellow”, pengamatan atas red dianggap gagal dan atas yellow dianggap berhasil
Pada Minitab urutan dapat dibalik melalui penentuan urutan yaitu Ordering Test Categories pada fungsi Manipulating Data. Dengan data mentah, kita dapat menguji hipotesis atau interval kepercayaan untuk lebih dari satu kolom pada satu waktu. Bila kita memasukkan lebih dari satu kolom, Minitab akan melakukan analisis terpisah untuk tiap kolom. Minitab akan mengabaikan data tidak lengkap dari perhitungan. Data Ringkasan : Masukkan jumlah percobaan dan satu atau lebih nilai untuk banyaknya berhasil/sukses secara langsung ke kotak dialog 1 Proportion. Bila kita masukan lebih dari satu nilai berhasil.Minitab melakukan analisis terpisah untuk setiapnya. Untuk menghitung interval kepercayaan dan pengujian proporsi , dilakukan sebagai berikut : 1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1 Proportion 2. Bila berupa data mentah maka pilih Samples in column dan masukan kolom yang memuat data mentah 3. Bila berupa data ringkasan maka pilih Summarized data, pada Number of trial, masukan keseluruhan banyaknya, lalu pada Number of successes, masukan satu atau lebih keseluruhan banyaknya 4. Bila dibutuhkan dapat menggunakan opsi lain dibawah, kemudian tekan OK Options : -
Menentukan level kepercayaan untuk interval kepercayaan. Ketetapan awal 95% Menentukan nilai pengujian hipotesis null. Ketetapan awal 0.5 Menentukan hipotesis alternatif: less than ( sisi bawah), not equal (dua sisi) atau greater than (sisi atas). Ketetapan awal adalah dua sisi. Gunakan pendekatan normal lebih baik dari pada pengujian eksak bagi hipotesis dan interval kepercayaan.
23
Metode : Interval Kepercayaan : Ketetapan awal Minitab menggunakan metode eksak untuk menghitung batas-batas interval kepercayaan (pL, pU) : Pada batas bawah (pL) : pL = v1F / (v2+v1.F) v1 = 2x v2 = 2(n-x+1) x = banyaknya kali berhasil n = banyaknya kali coba F = titik α/2 bawah pada F dengan v1 dan derajat kebebasan v2 Pada batas atas pU : pU = v1F / (v2+v1.F] v1 = 2(x + 1) v2 = 2(n-x) x = banyaknya kali berhasil n = banyaknya kali coba F = titik α/2 atas pada F dengan v1 dan derajat kebebasan v2 Jika kita memilih menggunakan pendekatan normal. Minitab menghitung interval kepercayaan sebagai : p’ ± zα/2 {p’ (1-p’)/n}1/2 p’ = probabilitas teramati, p’ = x/n dimana x adalah banyaknya teramati berhasil dalam n kali coba zα/2 = nilai dari distribusi z dimana α = 1- level kepercayaan/100 n = banyaknya kali coba kita dapat menyatakan level kepercayaan pada angka berapa saja diantara 1 sampai 100 dalam level kepercayaan. Ketetapan awal adalah 95%. 24
Pengujian Hipotesis : Pada ketetapan awal, Minitab menggunakan metode eksak untuk menghitung pengujian probabilitas.Jika kita memilih menggunakan pendekatan normal. Minitab menghitung pengujian statistic Z sebagai : Z = (p’- p)/{p0(1-p0)/n}1/2 p’ = probabilitas teramati, p’= x/n dimana x adalah banyak kali berhasil teramati dalam n kali coba p0 = probabilitas yang dihipotesiskan n = banyaknya kali coba Probabilitas diperoleh dari tabel standar distribusi Z. Bila p0 tidak dinyatakan dalam Test proportion, p0 =0.5 digunakan. Minitab melakukan pengujian dua sisi kecuali kita definisikan lain. Contoh : Misalkan seorang kandidat pemimpin menyatakan bahwa dia akan ikut serta dalam pemilihan bila 65% lebih dari anggota partai mendukungnya. Sekarang kita perlu menguji, H0 : p =0.65 lawannya H1 : p > 0.65 Dalam hal ini manager kompanye mengumpulkan data terhadap 950 anggota partai secara acak dan menemukan bahwa 560 anggota mendukung. Pengujian proporsi dan interval kepercayaan dilakukan untuk menentukan apakah proporsi pendukung melebihi proporsi yang dibutuhkan 0.65 ? 1. 2. 3. 4. 5.
Pilih Stat > Basic statistics > 1 Proportion Pilih Summarized data Pada Number of trial, masukan 950 dan pada Number of successes, ,masukan 560 Pada option, Test proportion diisi 0.65 Lalu pada alternative, pilih greater than kemudian tekan OK
Hasil :
25
Interpretasi : P-value adalah 1 berarti bahwa data konsisten dengan hipotesis null (H0 : p =0.65), yaitu proporsi anggota partai yang mendukung tidak berbeda dari 0.65. Ini dapat disimpulkan bahwa proporsi anggota partai yang mendukung tidak lebih dari 0.65, karena itu manager kampanye mengusulkan agar tidak ikut dalam pemilihan.
8. Interval Kepercayaan dan Pengujian Dua Proporsi Menggunakan fungsi dua proporsi untuk menghitung interval kepercayaan dan melakukan pengujian hipotesis terhadap beda antara dua proporsi. Misalnya sebuah perusahaan layar sentuh seperti TPK Xiamen, ingin mengetahui apakah penelitian terhadap pemakai yang mengembalikan lembaran pertanyaan akan lebih banyak bila diberikan contoh modul layar sentuh dari pada kelompok yang tidak diberi contoh model layar sentuh. Untuk pengujian dua sisi terhadap dua proporsi, hipotesisnya adalah : H0 : p1 = p2 lawannya H1 :p1 ≠ p2 Dimana p1 dan p2 adalah proporsi yang berhasil dari populasi 1 dan 2. Untuk menghitung dua proporsi dengan Minitab, kita gunakan perintah, Stat > Basic statistics > 2 proportions
Data : Data dapat disimpan dalam dua bentuk yaitu berupa daya mentah atau ringkasan /summarized sebagai berikut : Data Mentah : Data mentah dapat diisi dengan dua cara, yaitu tumpuk dan tidak tumpuk. Untuk bentuk data tumpuk, 26
-
Masukan kedua sampel dalam sebuah kolom tunggal /tumpuk dengan kelompok kolom untuk identifikasi populasi. Kolom dapat berupa angka, teks atau tanggal/waktu. Berhasil dan gagal ditentukan dengan urutan angka atau alphabet. Minitab mendefinisikan nilai terendah sebagai gagal dan nilai tertinggi sebagai berhasil. Misalkan, o o
Untuk kolom angka masukan berupa “20” dan “40”, pengamatan atas 20 dianggap sebagai gagal dan atas 40 dianggap berhasil Untuk kolom teks masukan berupa “alpha” dan “omega”, pengamatan atas alpha dianggap gagal dan atas omega dianggap berhasil. Jika data masukan berupa “red” dan “yellow”, pengamatan atas red dianggap gagal dan atas yellow dianggap berhasil
Sedangkan untuk data tidak tumpuk, o
Masukan tiap sampel (tidak tumpuk) dalam kolom angka atau teks terpisah, kedua kolom harus sama tipenya yaitu angka atau teks. Berhasil atau gagal didefinisikan seperti diatas untuk macam data tumpuk.
Pada Minitab urutan dapat dibalik melalui penentuan urutan yaitu Ordering Test Categories pada fungsi Manipulating Data. Ukuran sampel tidak harus sama. Minitab secara otomatis mengabaikan data yang tidak lengkap dari perhitungan. Data Ringkasan : Masukan banyaknya kali coba dan banyaknya kali berhasil untuk tiap sampel secara langsung pada kotak dialog 2 Proportion. Untuk menghitung interval kepercayaan dan pengujian perbedaan proporsi , dilakukan sebagai berikut : 1. Pilih Stat > Basic Statistics > 2 Proportion
2. Bila berupa data tumpuk, maka pilih Samples in one column. Pada Samples masukan kolom yang memuat data mentah, lalu pada Subscripts, masukan kolom yang memuat kelompok atau kode populasi. 3. Bila berupa data tidak tumpuk, maka tiap sampel berada pada kolom terpisah. Pilih Samples in different columns, pada First, masukan kolom yang memuat sampel pertama. Pada Second, masukan kolom yang memuat sampel lainnya. 27
4. Bila berupa data ringkasan maka pilih Summarized data, pada Number of trial, masukan nilai angka untuk tiap sampel, lalu pada Number of successes, masukan nilai angka untuk tiap sampel 5. Bila dibutuhkan dapat menggunakan opsi lain dibawah, kemudian tekan OK Options : -
Menentukan level kepercayaan untuk interval kepercayaan. Ketetapan awal 95% Menentukan perbedaan pengujian hipotesis null. Ketetapan awal 0 Menentukan hipotesis alternatif: less than ( sisi bawah), not equal (dua sisi) atau greater than (sisi atas). Ketetapan awal adalah dua sisi. Gunakan estimasi disatukan pada p untuk menghitung pengujian statistik.
Metode : Interval Kepercayaan : p’1 –p’2 ± zα/2 {p’1(1-p’1)/n1 + p’2(1-p’2)/n2}1/2 dimana p’1 dan p’2 adalah probabilitas teramati pada sampel satu dan sampel dua, p =x/n, n adalah berhasil teramati dalam n kali coba. zα/2 adalah nilai dari distribusi Z dimana α adalah 1 – level kepercayaan/100. Kita dapat menyatakan level kepercayaan pada angka berapa saja antara 1 sampai 100. Nilai ketetapan awal untuk level kepercayaan adalah 95. Pengujian Hipotesis : Perhitungan pengujian statistik Z tergantung pada metode yang digunakan untuk estimasi p. Ketetapan awal Minitab menggunakan estimasi terpisah p untuk tiap populasi dan menghitung Z dengan : Z = [(p’1 – p’2) – d0] / {p’1(1-p’1)/n1 + p’2(1-p’2)/n2}1/2 d0 adalah perbedaan yang dihipotesiskan. Bila d0 tidak dispesifikasikan dalam Test difference, d0 =0 digunakan. Minitab melakukan pengujian dua sisi kecuali kita nyatakan sebagai pengujian satu sisi.Jika kita memilih menggunakan estimasi p disatukan untuk pengujian. Minitab menghitung Z dengan : Z = (p’1 – p’2) / { p’c(1- p’c) [(1/n1)+(1/n2)] }1/2 p’c adalah estimasi p disatukan (probabilitas teramati disatukan) p’c = (x1 + x 2) / (n1 + n2) Minitab melakukan pengujian dua sisi kecuali kita nyatakan pengujian satu sisi. Kita dapat hanya menggunakan opsi ini bila perbedaan dihipotesiskan adalah nol (d0= 0) Contoh : Misalkan bagian pembelian ingin menentukan pengadaan Laptop tambahan untuk kantor, selama ini kantor sudah memakai beberapa merek. Untuk sederhananya, kualitas laptop yang menjadi ukuran dinilai dari banyaknya kali servis pada tahun pertama.Karena dua merek yang dinilai selama ini sudah dipakai sehingga catatan servis juga diketahui, diambil masing-masing merek (X dan Y) sebanyak 50 laptop sebagai sampel.Laptop X pernah diservis sebanyak 6 laptop dan laptop Y sebanyak 8 laptop. 1. Pilih Stat > Basic statistics > 2 Proportions 2. Pilih Summarized data 28
3. Pada First sample, untuk Trials, masukan 50, untuk Event, masukan 44 4. Pada Second sample, untuk Trials, masukan 50, untuk Event, masukan 42 5. Lalu tekan OK Hasil :
Interpretasi : Karena p-value adalah 0,564 lebih besar dari α, data adalah konsisten dengan hipotesis null (H0 : p1 = p2), yaitu proporsi laptop yang memerlukan servis pada tahun pertama tidak berbeda berdasarkan merek, sehingga bagian pembelian memerlukan kriteria lain untuk menilai.
9. Korelasi Kita dapat menggunakan koefisien korelasi momen produk Pearson untuk mengukur derajat hubungan linear antara dua variabel.Koefisiensi korelasi mengasumsikan sebuah nilai antara -1 dan +1.Jika satu variabel cenderung meningkat sebanding yang lain menurun, koefisien korelasi adalah negatif. Sebaliknya jika dua variabel cenderung meningkat bersama, koefisiensi korelasi adalah positif. Untuk pengujian dua sisi korelasi adalah : H0 : ρ = 0 lawannya H1 : ρ ≠ 0 ρ adalah korelasi antara sepasang variabel. Data : Data harus berupa angka dan sama panjang. Minitab mengabaikan data tidak lengkap dalam perhitungan menggunakan metode yang sering disebut penghapusan berpasangan.Minitab mengabaikan perhitungan untuk tiap kolom yang pasangan baris memuat nilai tidak lengkap. Jika kita menghitung korelasi antara kolom banyak pada satu waktu, penghapusan berpasangan dapat menghasilkan beda pengamatan termasuk dalam variasi korelasi. Walaupun metode ini adalah terbaik untuk tiap korelasi individual, namun matrik korelasi sebagai keseluruhan mungkin tidak berperilaku patuh. Untuk menghitung korelasi momen produk Pearson : 1. Pilih Stat > Basic statistics > Correlation
29
2. Pada Variables, masukan kolom yang memuat data pengukuran 3. Jika diperlukan bisa memilih opsi lain, lalu tekan OK Option : -
Menampilkan p-value untuk pengujian hipotesis individual. Ini merupakan penetapan awal Menyimpan matrik korelasi. Minitab tidak menampilkan matriks korelasi bila kita menyimpan matrik. Untuk menampilkan matrik, pilih File > Display Data
Metode : Untuk dua variabel x dan y, r = (x-x’)(y-y’) / (n-1)sxsy x’ dan sx adalah rata-rata sampel dan standar deviasi untuk sampel pertama, dan y’ dan sy adalah rata-rata sampel dan standar deviasi untuk sampel kedua. Contoh : Misalnya kita mempunyai verbal, nilai matematika dan GPA untuk 200 mahasiswa tingkat pertama, kita ingin mengamati hubungan antara variabel-variabel.Kita gunakan korelasi dengan pilihan awal untuk menampilkan p-value. Data disimpan dalam file grade. MTW sebagai berikut :
30
31
32
33
34
1. Buka file Grade. MTW 2. Pilih Stat > Basic statistics > Correlation 3. Pada Variable, masukan Verbal, Math, GPA lalu tekan OK
35
Hasil :
Interpretasi : Minitab menampilkan korelasi untuk segitiga bawah dari matrik korelasi bila lebih dari dua variabel diperhitungkan. Korelasi Person antara Math dan Verbal adalah 0.275, antara GPA dan Verbal adalah 0.322 dan antara GPA dan Math adalah 0.194. Dari hasil diatas p-value semua lebih kecil dari α =0.01 yang berarti bahwa korelasi tidak nol untuk α =0.01.
10. Kovarian Kita dapat menghitung kovarian untuk semua pasangan kolom. Seperti koefisien korelasi Pearson. Kovarian adalah ukuran hubungan antara dua variabel. Namun, kovarian tidak distandarkan sebagaimana dilakukan pada koefisien korelasi. Koefisien korelasi distandarkan dengan membaginya dengan standar deviasi kedua variabel. Data : Data harus berupa angka dalam kolom dan sama panjang. Minitab mengabaikan data tidak lengkap dalam perhitungan menggunakan metode yang sering disebut penghapusan berpasangan.Minitab mengabaikan perhitungan untuk tiap kolom yang pasangan baris memuat nilai tidak lengkap. Jika kita menghitung kovarian antara kolom banyak pada satu waktu, penghapusan berpasangan dapat menghasilkan beda pengamatan termasuk dalam variasi kovarian. Walaupun metode ini adalah terbaik untuk tiap kovarian individual, namun matrik kovarian sebagai keseluruhan mungkin tidak berperilaku patuh. Untuk menghitung kovarian : 1. Pilih Stat > Basic statistics > Covariance
36
2. Pada Variables, masukan kolom yang memuat data pengukuran 3. Jika perlu bisa memilih opsi lain, lalu tekan OK Options : -
Menyimpan matrik kovarian. Minitab tidak menampilkan matriks kovarian bila kita menyimpan matrik. Untuk menampilkan matrik, pilih File > Display Data
Metode : Kovarian antara tiap pasangan kolom dihitung, menggunakan formula, Sxy = (x-x’)(y-y’) /(n-1) x’ adalah rata-rata sampel untuk sampel pertama, y’ adalah rata-rata sampel untuk sampel kedua.
11. Pengujian Normalitas Pengujian normalitas membuat sebuat plot probabilitas normal dan melakukan pengujian hipotesis untuk memeriksa apakah pengamatan mengikuti distribusi normal. Hipotesis untuk pengujian normalitas : H0 : Data mengikuti distribusi normal, lawannya H1 : Data tidak mengikuti distribusi normal Data : Kita memerlukan satu kolom angka, minitab secara otomatis mengabaikan data tidak lengkap dari perhitungan. Untuk melakukan pengujian normalitas adalah, 1. Pilih Stat > Basic statistics > Normality Test
37
2. Pada variables, masukan kolom yang memuat data pengukuran 3. Jika diperlukan dapat memilih opsi lain, lalu tekan OK Opsi : -
Membuat tanda referensi probabilitas dan nilai-nilai data terkait pada plot Melakukan pengujian terdahap normalitas dengan Anderson-Darling, Ryan-Joiner atau KolmogorovSmirnov Menggantikan judul grafik dengan pemberikan kita.
Memilih pengujian normalitas : -
Pengujian Anderson-Darling (penetapan awal) adalah sebuah pengujian berdasarkan ECDF (empirical cumulative distribution function) Pengujian Ryan-Joiner adalah berdasarkan korelasi, serupa pengujian Shapino Wilk Pengujian Kolmogorov-Smirnov adalah berdasarkan ECDF
Pengujian Anderson-Darling mempunyai kemampuan sama untuk mendeteksi bukan normalitas, sedangkan Pengujian Kolmogorov-Smirnov adalah paling lemah dari ketiga macam pengujian tersedia. Hipotesis pengujian adalah : H0 : data mengikuti distribusi normal, jika p-value adalah kurang dari level α maka menolak H0. Metode : Data masukan diplot sebagai nilai x. Minitab menghitung probabilitas kejadian, mengasumsikan sebuah distribusi normal dan plot probabilitas terhitung sebagai nilai y. Kisi pada grafik merakit kisi-kisi yang ditemukan pada lembaran kerja probabilitas normal, dengan sebuah skala log untuk probabilitas. Garis kuadrat terkecil adalah sesuai titik-titik plot dan digambarkan pada plot untuk referensi. Garis membentuk sebuah estimasi kumulatif fungsi distribusi untuk populasi dari mana data digambarkan. Minitab juga menampilkan rata-rata sampel, standar deviasi dan ukuran sampel pada plot. Bila kita masukan probabilitas referensi opsional, mereka ditandai dengan garis-garis referensi horisontal. Pada titik dimana garis referensi memotong kuadrat terkecil yang cocok. Sebuah garis referensi vertikal digambarkan dan dilabeli dengan nilai data bersesuaian. Untuk mengandung probabilitas referensi pada plot adalah dengan cara : -
Pada reference probabilities, masukan kolom yang memuat referensi probabilitas yang mana harus berupa nilai antara 0 dan 1. 38
Contoh : Misalnya untuk pengujian normalitas dengan Anderson-Darling. Bagian poros mesin yang bergerak naik turun, katakan AtoBDist yang diukur dalam mm dari posisi aktual titik A pada poros terhadap posisi dasar B. Untuk memastikan kualitas produksi, manajer mengambil 5 pengukuran tiap hari kerja pada lapangan produksi antara tanggal 28 Sep sampai 15 Okt dan kemudian 10 per hari dari tanggal 18 sampai 25. Kita ingin melihat bila data mengikuti sebuah distribusi normal, Untuk melihat pengujian normalitas (misalnya data disimpan dalam file bernama mesin. MTW) :
39
40
41
42
1. Bukan file mesin. MTW 2. Pilih Stat > Basic Statistics > Normality Test
43
3. Pada Variable, masukan AtoBDist, tekan OK Hasil :
Interpretasi : Grafik keluaran adalah sebuah plot probabilitas normal terhadap data. Data menyimpang dari garis sesuai/model merupakan paling jelas dalam ekstrim atau sisi-sisi distribusi. P-value dari pengujian Andersondarling menunjukkan bahwa pada level α lebih besar dari 0.022. ini adalah bukti bahwa data tidak mengikuti distribusi normal. Terdapat sedikit kecenderungan untuk data menjadi lebih sedikit berada pada sisi dari pada distribusi normal karena titik-titik terkecil dibawah garis dan titik terbesar diatas garis. Sebuah distribusi dengan sisi lebih banyak akan memperlihatkan pola ekstrim.
44
