Statika 2. Smyk za ohybu. Miroslav Vokáč 18. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M

Statika 2 M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

Statika 2 4. pˇrednáška Stabilita tlaˇcených prutu˚ Smyk za ohybu

Miroslav Vokáˇc [email protected] ˇ CVUT v Praze, Fakulta architektury

18. listopadu 2015

Vzperný ˇ tlak Poznámky ke vzperným ˇ délkám

Smyk za ohybu Složené nosníky Kontrolní otázky

Statika 2

Stabilita tlaˇcených prutu˚

M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

TAH

◮

F

◮

F Fmax = Aσdov

U tlaˇcených prutu˚ dochází pˇred dosažením pevnosti materiálu ke ztráteˇ stability, k vyboˇcení prutu a jeho porušení! Pˇredpokládejme materiál s lineárním materiálovým modelem (Hookeuv ˚ zákon). Únosnost prutu v tlaku je menší než únosnost v prostém tahu!

TLAK

F

Poznámky ke vzperným ˇ délkám


F Fmax < Aσdov

Statika 2

Eulerovo kritické bˇremeno

M. Vokáˇc

Ideální (perfektní) prut Stabilita tlaˇcených prutu˚

Eulerovo kritické bˇremeno je tlaková centrická síla, pˇri které dojde ke ztráteˇ stability ideálního (perfektního) prutu. Perfektní prut je: ◮ dokonale pˇrímý, ◮ ◮

síly na obou koncích prutu jsou vneseny dokonale souose, osová síla pusobí ˚ dokonale centricky.

e=0

e=0

e=0

Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak Poznámky ke vzperným ˇ délkám


Eulerovo kritické bˇremeno Teorie I. ˇrádu - vnitˇrní síly stanovujeme k nedeformovanému tvaru konstrukce. Teorie II. ˇrádu - vnitˇrní síly stanovujeme k deformované stˇrednici prutu. Podle teorie II. ˇrádu se urˇcí q ohybový moment: F F M(x ) = R x − 21 qx 2 + F w(x ) x w(x)

R=

1 2 qℓ

z x ℓ

Z diferenciální rovnice pruhybové ˚ cˇ áry: M(x ) = −EI w ′′ (x )

ˇ Z rovnosti techto výrazu˚ lze získat diferenciální rovnici: q F w(x ) = 2EI (x 2 − ℓx ) w ′′ (x ) + EI Euler ˇrešil vlastní problém této diferenciální rovnice, kdy se pˇredpokládá, že pravá strana rovnice je nulová, tj. q = 0, a hledá se netriviální ˇrešení w(x ) 6= 0. Odtud Euler (1707-1783) odvodil vzorec pro kritickou sílu Fcr .

Statika 2 M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak Poznámky ke vzperným ˇ délkám


Eulerovo kritické bˇremeno ˇ Rešení vlastního problému – prut typu kloub-kloub

w ′′ (x ) +

Fcr EI

w(x ) = 0

Statika 2 M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

ˇ Lze ukázat, že vlastní funkce (tvary vyboˇcení) splnující okrajové podmínky w(0) = w(ℓ) = M(0) = M(ℓ) = 0 mají v tomto pˇrípadeˇ tvar: w(x ) = sin nπx ℓ , kde n = 1, 2, 3, . . . Derivováním vlastní funkce získáme: w ′ (x ) =

nπ ℓ 2

cos nπx ℓ 2

w ′′ (x ) = − n ℓπ2 sin nπx ℓ Dosazením do diferenciální rovnice: 2

2

− n ℓπ2 sin nπx ℓ +

Fcr EI

sin nπx ℓ = 0

Odtud plyne hodnota Eulerovy kritické síly Fcr : Fcr =

n2 π 2 EI , ℓ2

kde n = 1, 2, 3, . . .

Rozhoduje nejmenší hodnota, tj. Fcr pro n = 1.



Statika 2



Lze odvodit a pro ruzná ˚ uložení prutu zobecnit vzorec pro Eulerovo kritické bˇremeno:


Smyk za ohybu Složené nosníky

2

Fcr = EImin

π L2cr

E. . . modul pružnosti Imin . . . menší z hlavních centrálních momentu˚ setrvaˇcnosti pruˇ ˚ rezu (za pˇredpokladu stejného uložení prutu v rovineˇ xy a xz) ˇ Lcr . . . vzperná délka, závisí na zpusobu ˚ uložení prutu

Kontrolní otázky

Statika 2


M. Vokáˇc

ˇ Vzperná délka

ˇ Vzperná délka je vzdálenost inflexních bodu˚ tvaru vyboˇcení prutu. Tvar vyboˇcení odpovídá vlastní funkci a je to sinusovka. Fcr Fcr

Fcr

Lcr = 2ℓ

Lcr

Lcr = 0, 7ℓ

Lcr = 21 ℓ


Smyk za ohybu

Kontrolní otázky

Lcr

Lcr = ℓ


Složené nosníky

Fcr

Lcr

ℓ

Stabilita tlaˇcených prutu˚


Statika 2 M. Vokáˇc

Pˇríklad Stabilita tlaˇcených prutu˚

Fcr =?


z η

ℓ = 3m

ζ t

Iy = Iz = 28,5.106 mm4 Iη = 45,3.106 mm4 Iζ = 11 800.103 mm4

y Imin = 11,8.106 mm4 Lcr = ℓ = 3 m E = 210 GPa

L 200 × 200 × 20

Fcr =

π 2 EImin π 2 210.106 . 11,8.10−6 = 271,7 kN = L2cr 32




Pˇríklad

Fcr =?

Fcr,z

x

1. Vyboˇcení v rovineˇ xy (k nehmotné ose) Iz = 1,16.106 mm4 Lcr ,z = 0,7ℓ = 2,1 m 2 6 −6 Fcr ,z = π 210.102,1. 1,16.10 2 Fcr ,z = 545,2 kN

ℓ = 3m

y

I200 x

Fcr,y

z

y

x z

2. Vyboˇcení v rovineˇ xz (k hmotné ose) Iy = 21,4.106 mm4 Lcr ,y = 2ℓ = 6 m 2 6 −6 Fcr ,y = π 210.10 6.221,4.10 Fcr ,y = 1 232,1 kN

Fcr = min(Fcr ,y , Fcr ,z ) = 545,2 kN

Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak Poznámky ke vzperným ˇ délkám


Statika 2

ˇ Vzperný tlak

M. Vokáˇc

Reálný (imperfektní) prut

Skuteˇcné pruty nejsou ideální, ale mají urˇcité imperfekce: ◮ tolerance prohnutí, ◮

tolerance ve svislosti,

◮

náhodná excentricita zatížení.



e

e

e

ˇ ˇ sloupy (ocelové, dˇrevené) Proto navrhujeme reálné osamelé ˇ na vzperný ˇ pomocí souˇcinitelu˚ vzperu tlak.

Statika 2

ˇ Vzperný tlak

M. Vokáˇc

Podmínka spolehlivosti Stabilita tlaˇcených prutu˚

Podmínka spolehlivosti podle teorie dovolených namáhání: |N| ≤ ϕ σdov |σ| = A



ˇ (vzpernostní ˇ ϕ. . . je souˇcinitel vzperu souˇcinitel), ϕ ≤ 1, v éˇre dovolených namáhání se používal souˇcinitel c ≥ 1, c = ϕ1 ˇ ϕ = ϕ(λ). . . vztah je dán složitejším výpoˇctem, který je cˇ asto tabelován (viz pˇríslušná norma) λ. . . je štíhlost prutu λ=

Lcr i

ˇ setrvaˇcnosti i. . . je polomer q i = AI

ˇ Vzperný tlak


Vývoj v našich normách pro navrhování ◮

◮

◮

◮

V éˇre dovolených namáhání se oznaˇcoval souˇcinitel ˇ c ≥ 1. vzperu ˇ Po zavedení mezních stavu˚ v systému norem CSN se ˇ ϕ ≤ 1. oznaˇcoval souˇcinitel vzperu ˇ Po zavedení Eurokódu se oznaˇcuje souˇcinitel vzperu χ ≤ 1. ˇ Eurokód zavádí nekolik druhu˚ štíhlostí: ◮

◮

◮

Základní štíhlost λy ,z = Lcr /iy ,z , kde index y , z oznaˇcuje, že se použije veliˇcina vztažená k ose y nebo k ose z. Srovnávací štíhlost, p která je napˇr. pro ocelové konstrukce rovna λ1 = 93,9 235/fy . ˇ Pomernou štíhlost λ = λy ,z /λ1 .

◮

ˇ vyjadˇrován jako funkce V Eurokódu je souˇcinitel vzperu ˇ pomerné štíhlosti χ = χ(λ).

◮

S ruznými ˚ metodami prokazování spolehlivosti stavebních ˇ konstrukcí se menily i metodiky pro stanovení souˇcinitelu˚ ˇ vzperu.



Statika 2

ˇ Vzperný tlak

M. Vokáˇc

Únosnost tlaˇceného prutu v závislosti na štíhlosti



Fmax

Kontrolní otázky

Prost´ y tlak F = Aσdov

Eulerovo bˇremeno 2 Fcr = π λEA 2 Vzpˇern´ y tlak F = Aσdov ϕ(λ)

λ=

Lcr i

ˇ Poznámky ke vzperným délkám


ˇ Vzperné délky u pˇríhradových vazníku˚ Stabilita tlaˇcených prutu˚

Lcr



Lcr

◮

◮

U pˇríhradových vazníku˚ je Lcr pro vyboˇcení v rovineˇ vazníku rovno délce prutu. ˇ Pro vyboˇcení z roviny vazníku muže ˚ být vzperná délka ˇ – v závislosti na konstrukˇcním uspoˇrádání vetší ˇ ˇ u. zavetrování, vaznic, svetlík ˚ ..

ˇ Poznámky ke vzperným délkám


ˇ Vzperné délky u rámových konstrukcí Stabilita tlaˇcených prutu˚

F


F


EI → ∞


◮

ˇ Nejedná se o osamelé sloupy!

◮

Závisí na ohybových tuhostech pruˇ ˚ rezu˚ EI a na délkách prutu˚ ℓ! ˇ Vzperné délky se urˇcují ˇ složitejším postupem nebo zjednodušeným postupem podle dané normy.

Lcr

F

F ◮

Lcr ℓ

Kontrolní otázky

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

ˇ o vzájemnosti teˇcných napetí ˇ Veta Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

x B τxz (B)



z x B τzx (B)

z ˇ o vzájemnosti teˇcných napetí: ˇ Veta τxz (B) = τzx (B)

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Grashofova hypotéza Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

y

t τx

M

N τxz ϕ

Grashofova hypotéza se týká ˇ ˇ τx podél rozdelení napetí úseˇcky MN: ˇ τxz je 1. Složka napetí konstantní. ˇ rují do 2. Vektory τx smeˇ jediného bodu (Grashofuv ˚ bod) a na obvodeˇ pruˇ ˚ rezu ˇ teˇcny. mají smer

G z Z Grashofovy hypotézy plyne: Maximální τx je na obvodeˇ pruˇ ˚ rezu a má velikost τxz τx = cos ϕ



Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Odvození vztahu pro τxz

M (x)

M (x) + V (x) dx

Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

t

y

z

x

τzx (z)



A z b(z)

Kontrolní otázky

σx =

M (x) Iy z

M (x)+V (x) dx z Iy

dx

σx =

R

M(x)+V (x) dx z Iy

z

→: −

R

M(x) Iy z

dA − τzx (z) b(z) dx +

A

−τzx (z) b(z) dx + τzx (z) =

R

A V (x) dx z Iy

A V (x) Iy b(z)

R

dA = 0

z dA

A

τxz (z) = τzx (z) =

V (x) Sy (A) Iy b(z)

dA = 0

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Pro smyk za ohybu musí platit: Pˇredpokládejme jen pruˇ ˚ rezy symetrické ke svislé ose z.

My 6= 0 ⇒ σx Vz 6= 0 ⇒ τx ˇ Schwedlerova veta: Vz (x ) = My′ (x )



y

t

τxz (z) =

Vz Sy (z) b(z) Iy

τxz (z) τxz

b(z) z

A

Vz . . . posouvající síla b(z). . . šíˇrka pruˇ ˚ rezu pro danou souˇradnici z Iy . . . moment setrvaˇcnosti pruˇ ˚ rezu k ose y Sy (z). . . statický moment dílˇcí cˇ ásti plochy pruˇ ˚ rezu A k ose y

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Smyk za ohybu obdélníkového pruˇ ˚ rezu Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

Podle Grashofovy hypotézy: ϕ = 0 ⇒ cos ϕ = 1 ⇒ τx = τxz y z

t

τxz,extr

h 2◦ τxz

A z b

2 τxz,extr

τxz (z) =

ˇ τxz (z): Napetí A(z) = b( h2 − z) Sy (z) = A(z + h4 − 2z ) 1 Iy = 12 bh3 b(z) = b

Vz Sy (z) 3 Vz 2 (h − 4z 2 ) = Iy b(z) 2 bh3

τxz,extr = τxz (z = 0) =

3 Vz 2 bh



Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

ˇ τxz vybraných pruˇ Prub ˚ ehy ˚ rezu˚


Smyk za ohybu

2 y

y

t

2◦

2◦

◦

◦y

2

t

Složené nosníky

t

Kontrolní otázky

2◦ z

τxz z

τxz

z

τxz

U pruˇ ˚ rezu˚ služených z obdélníku, ˚ kde ϕ = 0 a τxz = τx , je ˇ extrémní τx v težišti pruˇ ˚ rezu.

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

ˇ τxz vybraných pruˇ Prub ˚ ehy ˚ rezu˚


Smyk za ohybu

h y

2◦

h 2

y

t

t

z

y

a z

τxz

2◦

z

Složené nosníky Kontrolní otázky

t

√

2 8 a

τxz

2◦

2◦

τxz

Pokud pruˇ ˚ rez není složen z obdélníku, ˚ ϕ 6= 0 a τxz 6= τx , je ˇ nekdy nutné vyjádˇrit obecneˇ funkci τxz (z) a hledat polohu ˇ extrému teˇcných napetí.

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Pˇríklad

ˇ nosníku. ˇ teˇcných napetí ˇ v pruˇ Urˇcete prub ˚ eh ˚ rezu v 1/4 rozpetí q = 4 kN m−1

Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak

A = 12 qℓ = 6 kN V ( 4ℓ ) = A − 14 qℓ = 3 kN

ℓ = 3m A



10 cm t3 2

20 cm y 10 cm

z 10

10

1

1

3 2

τxz

1 . 30 . 403 − Iy = 12 Iy = 146 666 cm4

τxz =

1 12

. 20 . 203

V Sy b Iy

10 cm

bod 1:

Sy = 30 . 10 . 15 = 4 500 cm3 4 500.10−6 = 30,68 kPa τxz,1 = 0,33 .. 146 666.10−8

bod 2:

τxz,2 =

bod 3:

Sy = 30 . 10 . 15 + 10 . 10 . 5 = 5 000 cm3 5 000.10−6 τxz,3 = 0,13 .. 146 = 102,27 kPa 666.10−8

3 . 4 500.10−6 0,1 . 146 666.10−8

= 92,05 kPa

Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Specifika tenkostˇenných pruˇ ˚ rezu˚ Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

τxy

1◦

Vzperný ˇ tlak

Neplatí Grashofova hypotéza. Smykový tok t sleduje tvar pruˇ ˚ rezu a má velikost

δf

2◦

y

h

τxz b

A

t=

Vz Sy Iy

ˇ je podél tloušt’ky Teˇcné napetí ˇ ˇ eˇ δ rozdeleno rovnomern

δ τxy

1◦ z

ˇ Pro tenkostenný I pruˇ ˚ rez platí 1 b pˇribližný vztah δf < 10 2.

τxs =

Vz Sy t = δ δ Iy



Statika 2

Smyk za ohybu

M. Vokáˇc

Pruˇ ˚ rez bez svislé osy symetrie Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

1◦

τxy


Smyk za ohybu

ˇ Pro tenkostenný U pruˇ ˚ rez platí 1 pˇribližný vztah δf < 10 b.

δf y

Cs

h

t

2◦ τxz

b

Mx

U pruˇ ˚ rezu˚ bez svislé osy symetrie výslednice τx ˇ ˇ pruˇ neprochází težišt em ˚ rezu, ale stˇredem smyku Cs . Pokud zatížení neprochází stˇredem smyku, dochází také ke kroucení pruˇ ˚ rezu!

Rτ τxy z

1◦


Statika 2

Složené nosníky

M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

2 samostatné nosníky

Složený pruˇ ˚ rez



h 2

+ + h 2

b

− − σx,extr = σx

1 2 M h 2 1 6 b( 2 )

− h +

σx,extr =

σx

b

U složených pruˇ ˚ rezu˚ je tˇreba zajistit pˇrenášení smykových ˇ τzx vhodnými spojovacími prostˇredky dle daného napetí materiálu (svorníky, hmoždíky, lepením, nýty, šrouby, svary, betonáˇrskou výztuží, spˇrahovacími trny).

M 1 2 6 bh

Koutový svar svaˇrovaného ocelového nosníku


y

Smyk za ohybu

τw

A

ˇ ve Teˇcné napetí svaru:

z τw =

a

a t

. a = 0, 7 t

Vz Sy 2 . 0,7t Iy


Statika 2

ˇ Síla na svorník nebo hmoždík u dˇrevených trámových roštu˚

M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno Vzperný ˇ tlak Poznámky ke vzperným ˇ délkám

Smyk za ohybu

h


v v v v v v v v v

T = τzx b v =

Vz 1 bh2 Vz Sy Vz Sy vb= v = 18 3 v b Iy Iy 12 bh

T =

3 Vz v 2h

b A

Statika 2

ˇ Dˇrevené trámové rošty

M. Vokáˇc Stabilita tlaˇcených prutu˚ Eulerovo kritické bˇremeno

ˇ hmoždíky Dˇrevené



Ocelové hmoždíky „buldog“ Spolupusobení ˚ mohou zajišt’ovat svorníky, hmoždíky, zazubení, tesaˇrské skoby. . .

Spˇražený pruˇ ˚ rez beton-betonu Mostní T-nosník z pˇredpjatého betonu betonáˇrská v´ yztuˇz

monolitick´ y beton zdrsnˇen´ y horn´ı povrch



prefabrikát

Spolupusobení ˚ zajišt’uje betonáˇrská výztuž ˇ horní povrch prefabrikátu. a zdrsnený

Statika 2

Spˇražený pruˇ ˚ rez ocel-beton


Ocelobetonový nosník monolitick´ y beton spˇrahovac´ı trny



ocelov´ y nosn´ık

Spolupusobení ˚ zajišt’ují navaˇrené spˇrahovací trny.

Kontrolní otázka



Prut pˇríhradové konstrukce namáhaný normálovou silou N < 0 budu posuzovat na: a) Prostý tah b) Prostý tlak ˇ c) Vzperný tlak

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka



ˇ Vzperná (kritická) délka u tlaˇcených prutu˚ je definována takto: ˇ a) Vzperná délka je dvojnásobek délky prutu. ˇ b) Vzperná délka je vzdálenost kloubových podpor. ˇ c) Vzperná délka tlaˇceného prutu je zdálenost inflexních bodu˚ tvaru vyboˇcení.

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka



ˇ Vzperná (kritická) délka tlaˇceného prutu, který má délku L a je typu vetknutí-vetknutí, se vypoˇcte: a) Lcr = 0,5L b) Lcr = 0,7L c) Lcr = L

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka



Prostý smyk mužeme ˚ uvažovat: a) Kdykoli je posouvající síla nenulová. b) Jen u ohýbaných nosníku. ˚ c) Jen u spojovacích prostˇredku˚ jako jsou nýty, šrouby, svary, hˇreby atd.

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka


Smyk za ohybu

ˇ v pruˇ Teˇcné napetí ˚ rezu se v pˇrípadeˇ prostého smyku vypoˇcte podle vztahu: a) τ =

V A

b) τ =

Vz Sy (A) Iy b(z)

c) τ =

N A


Kontrolní otázka


Smyk za ohybu

ˇ v pruˇ Teˇcné napetí ˚ rezu se pˇri smyku za ohybu vypoˇcte podle vztahu: a) τ =

V A

b) τ =

Vz Sy (A) Iy b(z)

c) τ =

N A


Kontrolní otázka



ˇ v pˇrípadeˇ smyku za ohybu Extrémní hodnota teˇcného napetí se u obdélníkového pruˇ ˚ rezu šíˇrky b a výšky h vypoˇcte: a) τ = b) τ = c) τ =

3V 2bh3 3V 2bh2 3V 2bh

Kontrolní otázky

Konec pˇrednášky



ˇ Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX. Obrázky vytvoˇreny v systému METAPOST.

Statika 2. Smyk za ohybu. Miroslav Vokáč 18. listopadu ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 2. M

Recommend Documents