1.7.8
Statika I
Předpoklady: 1707 Pedagogická poznámka: Hodinu rozděluji na dvě části. V první části (25 minut) počítáme první čtyři příklady, ve druhé (20 minut) zbývající tři. Př. 1:
Na koncích tyče o hmotnosti 20 kg a délce 1m jsou zavěšena závaží o hmotnostech 20 kg a 10 kg . Ve kterém místě je třeba tyč podepřít, aby byla v rovnováze?
mt = 20 kg , d = 1m , m1 = 20 kg , m2 = 10 kg , x = ?
x
Fp d/2-x d-x d
F1
Ft
F2
Tyč je v rovnováze ⇒ • výsledná síla je nulová, • výsledný moment působících sil je nulový (vzhledem k libovolné ose). Osu otáčení zvolíme v místě podložení, aby byl moment síly od podložky nulový a nemuseli jsme sílu podložky určovat. Bod podložení bude od středu blíže k větší síle F1 . Momenty: • M 1 = Fg 1 x = m1 gx (proti směru HR),
•
M Fp = Fp ⋅ 0 = 0
•
d M t = Fgt x = mt g − x (po směru HR), 2 M 2 = Fg 2 x = m2 g ( d − x ) (po směru HR).
•
Výsledný moment je nulový: M 1 = M 2 + M t . d m1 gx = m2 g (d − x) + mt g − x 2 d m1 x = m2 d − m2 x + mt − mt x 2 d m1 x + m2 x + mt x = m2 d + mt 2 2 x ( m1 + m2 + mt ) = d ( 2m2 + mt )
(2m2 + mt )d ( 2 ⋅10 + 20 ) ⋅1 m = 0, 4 m = 2(m1 + m2 + mt ) 2 ( 20 + 10 + 20 ) Tyč je třeba podepřít ve vzdálenosti 0,1m od působiště tíhové síly směrem k těžšímu závaží. x=
1
Pedagogická poznámka: Snažím se, aby studenti pochopili, že metoda řešení příkladů je stejná: nakreslíme si situaci, zvolíme nejvhodnější osu otáčení, vyjádříme momenty a dosazením do momentové věty určíme požadovanou veličinu. Pedagogická poznámka: Možností, jak označit vzdálenosti na páce je více. Ještě o něco výhodnější než uvedené řešení je volba vzdálenosti x jako vzdálenosti místo podložení od těžiště tyče. Urči hmotnost trámu na obrázku, jestliže je v rovnováze držen závažím o hmotnosti 50 kg položeným na jeho levém konci. Celková délka trámu je 3 m , podložen je 50 cm od levého okraje. 3m
Př. 2:
0,5m mz = 50 kg , r = 50 cm = 0, 5 m , d = 3m , mt = ?
Fp d/2-r d/2
r Fgt
Fgz
Na trám působí tři síly: tíha závaží položeného na levém konci ( Fgz ), tíha trámu působící v jeho těžišti ( Fgt ) a síla podpěry ( Fp ). Trám je v rovnováze ⇒ • součet všech působících sil je nulový, • součet momentů všech působících sil vzhledem k libovolné ose otáčení je nulový. Protože nás velikost síly Fp nezajímá, můžeme využít pouze podmínku pro momenty a umístit osu otáčení do místa podložení. Momenty: • M Fgz = Fgz r = mz gr (proti směru HR), • •
M Fgz
M Fp = Fp ⋅ 0 = 0 , d d M Fgt = Fgt − r = mt g − r (po směru HR). 2 2 = M Fgt
d mz gr = mt g − r 2 mz r mz r = mt = d d − 2r −r 2 2
2
2mz r 2 ⋅ 50 ⋅ 0, 5 mt = kg = 25kg . d − 2r 3 − 2 ⋅ 0, 5 Trám má hmotnost 25 kg . mt =
Př. 3:
Dva lidé nesou břemeno o hmotnosti 99 kg zavěšené na vodorovné tyči o délce 150 cm . Tyč mají opřenou o ramena. Závěsný bod O břemene je umístěn ve vzdálenosti 50 cm napravo od ramene prvního člověka. Jaké síly působí na ramena obou nosičů, je-li hmotnost tyče vůči hmotnosti břemena zanedbatelná?
m = 99 kg , d = 1,5 m , d1 = 0,5 m , Fg1 = ? , Fg 2 = ? d F1 F2 d-d1 d1
Fg1
Fg2
Fg
Síly, které působí na ramena obou nosičů, musí být podle třetího Newtonova zákona stejně velké jako síly, kterými působí ramena na nosnou tyč ⇒ určíme síly, kterými působí ramena nosičů na tyč (hledané síly jsou stejně velké). Tyč je v rovnováze (například ve chvíli, kdy nosiči stojí) ⇒ • součet všech působících sil je nulový, • součet momentů všech působících sil vzhledem k libovolné ose otáčení je nulový. Určujeme dvě neznámé velikosti sil F1 , F2 ⇒ zvolíme osu otáčení tak, aby moment jedné z těchto sil byl nulový a nemuseli jsme řešit soustavu rovnic. Osa otáčení v působišti síly F1 ⇒ momenty:
•
M1 = 0
•
M Fg = Fg d1 (po směru HR),
•
M 2 = F2 d (proti směru HR).
M Fg = M 2 mgd1 99 ⋅10 ⋅ 0,5 = N = 330 N d d 1,3 F1 + F2 = Fg ⇒ F1 = mg − F2 = 99 ⋅10 N - 330 N = 660 N Fg d1 = F2 d ⇒ F2 =
Fg d1
=
Na rameno prvního člověka působí síla 660 N , druhého 330 N .
Př. 4:
Na homogenní tyč otáčivou kolem osy v bodě O , působí v bodech A, B a C síly FA ,
FB a FC . Urči hmotnost tyče, je-li za této situace v rovnováze. Jsou dány tyto hodnoty: AC = 1m , AB = 0, 2 m , AO = 0, 4 m , FA = 4 N , FB = 15 N , FC = 2 N ,
3
α = 30° (úhel, který svírá síla FA se směrem páky). FA
O
C
B
A
FC Fg
FB
AC = 1m , AB = 0, 2 m , AO = 0, 4 m , FA = 4 N , FB = 15 N , FC = 2 N , α = 30° , mt = ? Tyč je v rovnováze ⇒ • součet všech působících sil je nulový, • součet momentů všech působících sil vzhledem k libovolné ose otáčení je nulový. Protože nás velikost síly Fp nezajímá, můžeme využít pouze podmínku pro momenty a umístit osu otáčení do místa podložení. Momenty: • M A = FA AO sin α (po směru HR),
Fp FA A
O
•
M B = FB BA (proti směru HR),
•
M Fp = Fp ⋅ 0 = 0 ,
•
M C = FC OC (po směru HR),
•
M Fg = Fg OT (po směru HR).
C
B
FC Fg
FB
Momentová věta: M A + M Fg + M C = M B .
FA AO sin α + Fg OT + FC OC = FB BA Příklad bychom mohli řešit obecně, ale protože rovnice je poměrně složitá, rovnou dosadíme. 4 ⋅ 0, 4 ⋅ 0, 5 + Fg 0,1 + 2 ⋅ 0, 6 = 15 ⋅ 0, 2 0,8 + 0,1Fg + 1, 2 = 3
Fg = 10 N
Fg = mt g ⇒ mt =
Fg
=
g Hmotnost tyče je 1kg .
10 kg = 1kg 10
Pedagogická poznámka: Pokud si toho někdo ze žáků všimne, můžete si popovídat, proč síla Fp na obrázku nesměřuje kolmo vzhůru.
4
Dodatek: Síla Fp na obrázku nesměřuje kolmo vzhůru (jak předpokládá většina lidí). Důvodem je první podmínka pro rovnováhu (nulová výsledná síla): na páku působí síla FA s nenulovou vodorovnou složkou a proto na ní musí působit jiná síla se stejně velkou vodorovnou složkou opačného směru. Touto silou může být jedině síla Fp (ostatní síly jsou svislé a vodorovnou složku mají nulovou). Př. 5:
Odlitek o hmotnosti 200 kg je zavěšen u stropu pomocí dvou lan způsobem nakresleným na obrázku. Urči síly, kterými jsou obě lana napínána.
m = 200 kg , α1 = 90° , α 2 = 60° , F1 = ? , F2 = ? Odlitek je při zavěšení v klidu ⇒ výslednice působících sil je nulová. Stejná podmínka platí pro místo, kde jsou svázaná lana: výslednice sil Fg , F1 a F2 musí být nulová ⇒ vektory sil F2 můžeme zakreslit tak, aby tvořily trojúhelník. F1
Fg
F1
Trojúhelník tvořený silami je pravoúhlý s jedním úhlem o velikosti 45°. Známe velikost síly Fg , musí platit: cos 45° =
Fg
F2
Fg
⇒ F2 =
Fg
F2 cos 45° F tg 45° = 1 ⇒ F1 = Fg ⋅ tg 45° Fg
mg 200 ⋅10 = N ≐ 2800 N cos 45° cos 45° cos 45° F1 = Fg ⋅ tg 45° = mg tg 45° = 200 ⋅10 ⋅ tg 45° N = 2000 N Lana jsou napínána silami 2000 N a 2800 N. F2 =
Fg
=
Pedagogická poznámka: Stejně jako u rovnováhy na pákách v počátku hodiny i nyní počítáme tři příklady velmi podobným způsobem: nakreslíme si situaci, určíme si působící síly, zakreslíme je do trojúhelníku a pomocí goniometrických funkcí (nebo podobnosti trojúhelníků) určíme jejich velikosti.
5
Pedagogická poznámka: Pokud má někdo problém se směrem síly F1 , vyzvěte ho, aby si představil, co by nastalo, kdyby síla přestala působit (dotyčné lano by se přetrhlo). Odlitek o hmotnosti 200 kg je zavěšen u stropu pomocí dvou lan způsobem nakresleným na obrázku. Urči síly, které napínají lana.
Př. 6:
m = 200 kg , α1 = 60° , α 2 = 30° , F1 = ? , F2 = ? Odlitek je při zavěšení v klidu ⇒ výslednice působících sil je nulová. Stejná podmínka platí pro místo, kde jsou svázaná lana: výslednice sil Fg , F1 a F2 musí
F1
F2
být nulová ⇒ vektory sil můžeme zakreslit tak, aby tvořily trojúhelník.
Fg Trojúhelník tvořený silami je pravoúhlý s jedním úhly o velikostech 30° a 60° . Známe velikost síly Fg , musí platit (například):
F2
Fg F1
F1 = Fg cos 30° F2 = Fg sin 30°
F1 = Fg cos 30° = mg cos 30° = 200 ⋅10 ⋅ cos 30° N ≐ 1730 N F2 = Fg cos 60° = mg cos 60° = 200 ⋅10 ⋅ cos 60° N = 1000 N Lana jsou napínána silami 1730 N a 1000 N.
Pedagogická poznámka: Část žáků kreslí špatně síly F1 a F2 (druhou sílu si představují jako větší). Buď s nimi můžete porovnat velikosti vodorovných složek obou sil (musí být stejné, aby vodorovná složka výslednice byla nulová, nebo je nechte rozložit do vyznačených směrů sílu opačnou k síle Fg .
6
Př. 7:
Závaží o hmotnosti m = 100 kg je zavěšeno na nosníku skládajícího se ze dvou ramen o délkách a = 0,8 m a b = 1m . Vzdálenost mezi body, ve kterých jsou ramena upevněna do zdi, je c = 0, 4 m . Urči síly, které působí na obě ramena nosníku. a
c
b
m m = 10 0 kg , a = 0,8 m , b = 1m , c = 0, 4 m , Fa = ? , Fb = ? Závaží je při zavěšení v klidu ⇒ výslednice působících sil je nulová. Stejná podmínka platí pro místo, kde je závaží Fb připevněno k nosníku: výslednice sil Fg , Fa a Fb musí Fa a být nulová ⇒ vektory sil můžeme zakreslit tak, aby tvořily trojúhelník. F Síla Fa působí na bod zavěšení šikmo dolů ke zdi (bez g c b nosníku a by se bod zavěšení vzdaloval od zdi). Síla Fb působí na bod zavěšení šikmo vzhůru (bez m nosníku b by bod zavěšení padal dolů). Trojúhelník tvořený silami je podobný trojúhelníku, F g který tvoří nosníky a zeď (se stranami a, b, c): Fb Z rovnosti poměrů odpovídajících si stran plyne: Fa a a a Fa Fa = ⇒ Fa = Fg = mg . a Fg c c c Fg Z rovnosti poměrů odpovídajících si stran plyne: Fb b c b b b = ⇒ Fb = Fg = mg Fg c c c
m a 0,8 mg = ⋅100 ⋅10 N= 2000 N c 0, 4 b 1 Fb = mg = ⋅100 ⋅10 N= 2500 N c 0, 4 Na ramena nosníku působí síly Fa = 2000 N a Fb = 2500 N . Fa =
Př. 8:
Koule o hmotnosti 2 kg je zavěšena na provázku připevněném ke svislé stěně tak, že vlákno svírá se stěnou úhel 30° . Urči síly, kterými koule působí na stěnu i vlákno.
m = 2 kg , α = 30° , Fp = ? , Fs = ? Tíhová síla, která působí na kouli se rozloží na dvě složky. Složka Fp má stejný směr jako provázek, na kterém je zavěšena koule. Složka Fa je potom silou, kterou působí koule na provázek. Složka Fs má směr kolmý ke stěně a je tedy silou, kterou působí koule na stěnu.
7
Síla Fg se rozkládá právě do těchto dvou směrů, protože na kouli mohou působit vnější síly pouze v těchto směrech. Tahová síla provázku, která vyrovná složku Fp a tlaková síla stěny, která vyrovná sílu Fs . Koule tak zůstane v klidu.
Fs
S Fg
Fp
A B Velikosti sil Fp a Fs určíme z trojúhelníku ∆SAB cos α =
Fg
Př. 9:
Parovodná trubka o hmotnosti m = 1, 5 t a délce d = 4 m je na koncích zavěšena na dvou ocelových lanech o délce l = 3 m připevněných na druhém konci na hák jeřábu. Urči sílu, která napíná lana.
⇒F=
Fg
=
mg cos α
F cos α Fs tgα = ⇒ Fs = Fg ⋅ tgα = mg ⋅ tgα Fg mg 2 ⋅10 F= = = 23,1N cos α cos 30° Fs = mg ⋅ tgα = 2 ⋅10 ⋅ tg 30° N = 11, 5 N Koule působí na provázek silou 23,1N a na stěnu působí silou 11,5 N .
l
l
d
d = 4m
l = 3m
m = 1, 5 t = 1500 kg
F =?
8
C l
l h
E FA1 A
FA
D
FA2
FB F B1 B FB2
S d/2
d/2 Fg
Na trubku působí tři síly: tahové síly obou lan ( FA a FB ) a tíhová síla země. Aby byla trubka v klidu, musí být výslednice všech působících sil nulová. Obě tahové síly můžeme rozložit do dvou na sebe kolmých směrů – na vodorovné složky ( FA 2 , FB 2 ) a svislé složky ( FA1 , FB1 ) a těmito složka mi je nahradit. Takto získáme pět sil, které působí na trubku ( Fg , dvě síly o velikosti F1 a dvě síly o velikosti F2 ) a jsou vzájemně kolmé nebo rovnoběžné. Všechny síly působící ve vodorovném směru musejí mít nulovou výslednici. Ve vodorovném směru působí síly FA 2 , FB 2 , mají opačný směr, jejich velikosti tedy musejí být stejné. Platí
FA2 = FB 2 . Síla FA 2 je vodorovnou složkou síly FA , síla FB 2 je vodorovnou složkou síly FB . Síly FA a FB svírají s vodorovným směrem stejný úhel, mají-li stejnou vodorovnou složku a svírají-li stejný úhel musejí mít i stejnou velikost a stejné svislé složky FA1 , FB1 , pro které platí FA1 = FB1 . Ve svislém směru působí tři síly FA1 , FB1 (nahoru) a Fg (dolů). Platí tedy:
FA1 + FB1 = Fg dosadím FA1 = FB1 FA1 + FA1 = Fg 2 FA1 = Fg ⇒ FA1 =
Fg
2 Známe tedy vodorovnou složku síly FA . Velikost síly FA určíme z podobnosti trojúhelníků ∆ADE ∼ ∆ASC : FA l = FA1 h l l FA = FA1 = Fg h 2h Vzdálenost h určíme pomocí Pythagorovy věty: h 2 = l 2 − ( d2 ) ⇒ h = l 2 − ( d2 ) 2
l l Fg = mg 2 2h 2 l − ( d2 ) 2 l 3 F= mg = ⋅1500 ⋅10 N = 10000 N 2 2 l 2 − ( d2 ) 2 2 32 − ( 42 )
Dosadíme za h: F ==
9
2
Ocelová lana jsou napínána silami 10000 N .
Shrnutí: Při výpočtu rovnováhy sil je výhodné zakreslit působící síly do trojúhelníku.
10
