Statika soustavy těles

Statika soustavy těles.

Základy mechaniky, 6. přednáška

Obsah přednášky :

uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho vlastnosti, prutové soustavy

Doba studia :

asi 1,5 hodiny Cíl přednášky :

seznámit studenty se základním metodou řešení statiky soustav těles - metodou uvolňování; její aplikace na soustavy těles a na prutové soustavy

Základy mechaniky, 6. přednáška Několik těles, spojených navzájem vazbami, nazýváme v mechanice soustavou těles nebo též (jedná-li se o pohyblivou soustavu) mechanismem. Ve statice se samozřejmě budeme zabývat výhradně nehybnými soustavami těles, zatíženými silami (momenty nebo spojitým zatížením). F1

F2

A

B

2

F3

F4 3 1 C rám

V mechanice, zejména pak v kinematice, jednotlivá tělesa, tvořící soustavu (členy soustavy) číslujeme. Číslo 1 přisuzujeme obvykle rámu. Rám je nehybné těleso, pevně spojené se Zemí. Základní úlohou statiky soustavy těles je určení vazbových sil (momentů), tedy sil (momentů), přenášených vazbami. Úloha je velmi podobná, ne-li totožná s úlohou řešení reakcí v uložení jednoho tělesa.

Základní metodou je metoda uvolňování. Uvolnit těleso znamená pomyslně odstranit vazby a zavést vazbové účinky. Postup demonstrujeme na příkladu.

Dvě tělesa charakteru tyče AB (těleso 2) a BC (těleso 3) jsou vázána jak k rámu (body A a C) tak mezi sebou navzájem (bod B) kloubovými vazbami. Tyč 2 je zatížena silami F1 a F2, tyč 3 pak silami F3 a F4.

Základy mechaniky, 6. přednáška Kromě vnějšího zatížení F1 ... F4 působí na tělesa 2 a 3 v kloubech A, B a C vazbové síly RAx, RAy, RBx, RBy, RCx a RCy. Síly RAx, RAy, RCx a RCy jsou reakce od rámu. Síly RBx a RBy, jimiž na sebe navzájem působící na tělesa 2 a 3 v kloubu B, jsou podle zákona akce a reakce stejně velké, navzájem opačně orientované. Vzhledem k uložení F2 F1 RBy se obě tělesa A B B RAx RBx RBx nemohou pohybovat. Z toho je zřejmé, 2 že silové soustavy, RAy RBy působící na obě tělesa, jsou v rovnováze. F4 F 3 Zde F1x, F1y, F2x, F2y, F3x, F3y, F4x a F4y Pro každé těleso jsou vodorovné a svislé složky působících sil, 3 (každou silovou soustavu) a, b, c, d, e, f, g, h a i jsou ramena, můžeme sestavit na nichž působí jak akční, tak reakční síly tři rovnice rovnováhy. vůči zvoleným momentovým bodům (A a C). C ∑ Fxi = R Bx + F3x − F4 x − R Cx = 0 RCx ∑ Fxi = R Ax + F1x − F2 x − R Bx = 0 F = R +F +F −R =0

∑F = R ∑M = F yi

Ay

Ai

1y

∑ ∑M

yi

RCy

− F1y − F2 y + R By = 0 ⋅ a + F2 y ⋅ b − R By ⋅ c = 0

By

Ci

3y

4y

Cy

= R Bx ⋅ d + R By ⋅ e + F3 x ⋅ f + + F3 y ⋅ g − F4 x ⋅ h + F4 y ⋅ i = 0

Z této soustavy šesti rovnic není již problém vyřešit šest neznámých RAx, RAy, RBx, RBy, RCx a RCy. 2 2 2 2 Celkové reakce pak jsou : R = R 2 + R 2 R = R +R R = R +R A

Ax

Ay

B

Bx

By

C

Cx

Cy

Základy mechaniky, 6. přednáška Tento postup použijeme vždy při řešení vazbových sil na soustavě těles. Jednotlivé konkrétní příklady se budou lišit jednak rozsahem (větší počet těles, větší počet sil), jednak použitými vazbami. V této souvislosti je třeba připomenout vlastnosti vazeb z hlediska přenosu sil, tak jak byly popsány na 4. přednášce. Pro demonstraci uvedeme příklad, dosti podobný předchozímu, avšak místo kloubové vazby mezi oběma tělesy je použitá vazba posuvná.

A

1

2

B

C

rám

3

Základy mechaniky, 6. přednáška F

MB RAx

A

2

B

RAy RBy RBy MB

B

Kloubové vazby těles 2 a 3 vůči rámu přenáší dvě složky síly, nepřenáší moment. Posuvná vazba mezi tělesy 2 a 3 přenáší pouze sílu, kolmou k posuvu, přenáší však rovněž moment. Podobně jako v předchozím příkladě jsou RAx, RAy, RCx a RCy reakce od rámu, RBy a MB je síla a moment, jimiž na sebe působí tělesa 2 a 3 navzájem. Jsou stejně velké, opačně orientované.

RCx C RCy

Podobně jako v předchozím příkladě sestavíme šest rovnic rovnováhy (po třech pro každé těleso - pro každou silovou soustavu). Z těchto rovnic vypočteme šest neznámých vazbových sil, uvedených v předchozím odstavci (přesněji pět vazbových sil a vazbový moment).

9 vazbových sil (8 sil a 1 moment).

9 rovnic rovnováhy,

Základy mechaniky, 6. přednáška Soustava těles může být topologicky složitější, zvláště je-li tvořena větším počtem těles. pevný kloub 2

1

posuvná vazba

3

pevný kloub

pevný kloub

4

posuvný kloub

rám

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace. Počet neznámých vazbových sil / momentů je roven počtu rovnic rovnováhy.

Soustava těles je nehybná, staticky určitá. Z rovnic rovnováhy přímo vypočteme vazbové síly (momenty).




1

posuvná vazba

3

pevný kloub

pevný kloub

4

pevný kloub

rám

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace. Počet neznámých vazbových sil / momentů je větší než počet rovnic rovnováhy.

Soustava těles je nehybná, staticky neurčitá. Abychom mohli vypočíst vazbové síly (momenty), musíme k rovnicím rovnováhy přidat chybějící rovnici (rovnice) - deformační podmínky. Např. posunutí bodu, v němž je kloubová vazba k rámu, je nulové.




posuvná vazba

pevný kloub

pohyb 1

3

4

pohyb

pohyb posuvný kloub posuvný kloub rám

Při uvolňování soustavy těles mohou nastat tři, kvalitativně odlišné situace. Počet neznámých vazbových sil / momentů je menší než počet rovnic rovnováhy.

Soustava těles je pohyblivá. Rovnice rovnováhy nemohou být všechny splněny. Úlohu nelze řešit na poli statiky. Soustava těles se bude pohybovat a její pohyb (včetně vazbových sil / momentů) je třeba řešit z pohybových rovnic. Tím se však dostáváme na pole dynamiky.

Základy mechaniky, 6. přednáška Na tomto místě je třeba definovat zvláštní druh tělesa, jež budeme nazývat prutem. Prut je těleso : - jehož příčné rozměry jsou mnohokrát menší než jeho délka (podobně jako nosník); - jež je k ostatním tělesům vázáno kloubovými vazbami; - jež není zatíženo jinak, než vazbovými silami, přenášenými kloubovými vazbami. Na uvolněný prut působí v kloubech A a B vazbové síly RAx, RAy, RBx a RBy. Ze silových rovnic rovnováhy vyplývá : RAy R Ax = R Bx R Ay = R By A Momentové rovnice rovnováhy k bodu B resp. k bodu A určují poměr vodorovné a svislé složky vazbových sil, RAx přenášených klouby A a B : prut

R Ax ⋅ b = R Ay ⋅ a R Ay

b

R Ax RBx B RBy a

R Bx ⋅ b = R By ⋅ a

=

R By R Bx

=

b a

Jak je zřejmé, oba klouby (A i B) přenášejí stejně velkou vazbovou sílu RA=RB, jež má směr osy prutu (spojnice bodů A a B). Prut přenáší sílu, jež má směr osy prutu.

Základy mechaniky, 6. přednáška Tuto sílu budeme dále nazývat osovou silou. Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku, pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak. Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá. Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty. Nosník 2 soustavy je v bodě A kloubově vázán k rámu, v bodě B je pak podepřen prutem 3.

A

B

D

2 prut 1

3 C rám

Základy mechaniky, 6. přednáška Tuto sílu budeme dále nazývat osovou silou. Srovnáme-li namáhání prutu s vnitřními statickými účinky nosníku, pak osová síla je normálovou silou a namáhá prut na tah nebo tlak. Namáhání posouvající silou a ohybovým momentem u prutu odpadá. Tato skutečnost výrazně zjednodušuje statické řešení soustav těles, jež obsahují pruty. Nosník 2 soustavy je v bodě A kloubově vázán k rámu, v bodě B je pak podepřen prutem 3.

RAx

A

RAy

2

B

D

RB

Pro statické řešení nám zcela stačí uvolnit nosník 2. Víme, že prut 3 na nosník působí silou RB, jež má směr osy prutu (spojnice BC), má tedy známý směr. Stačí tedy sestavit tři rovnice rovnováhy o třech neznámých RAx, RAy a RB. V momentové rovnici k bodu A bude dokonce jen jedna jediná neznámá - osová síla v prutu RB.

Základy mechaniky, 6. přednáška Prutová soustava je soustava, tvořená výhradně pruty, - jež jsou k ostatním prutům vázány výhradně kloubovými vazbami; - jenž jsou zatíženy výhradně ve styčnících (kloubová spojení jednotlivých prutů). FB

B

D

FD

FF

4

styčník

F

8

prut

1

3

5

7

9

11

A

G 2

C

FC 6

E

FE

10

Kloubové vazby mezi jednotlivými pruty nazýváme styčníky (stýkají se v nich jednotlivé pruty). Styčníky jsou na obrázku označeny písmeny A, B, ..., G. V každém styčníku se může stýkat několik prutů. Pruty jsou označeny čísly 1, 2, ..., 11. Ve styčnících působí zatěžující síly FB, FC, ..., FF. Předmětem řešení statiky prutové soustavy je zjištění velikosti osových sil v prutech. Označíme je S1, S2, ..., S11. Pruty jsou těmito osovými silami namáhány na tah nebo tlak. Osové síly mají směr prutů, jejich směr je tedy dán geometrií prutové soustavy.

Základy mechaniky, 6. přednáška Než provedeme řešení osových sil, vypočteme reakce v uložení soustavy. To provedeme způsobem, popsaným na 4. přednášce. Při tom si uvědomíme, že na prutovou soustavu můžeme pohlížet jako na jedno těleso, neboť geometrie soustavy je jednoznačně dána délkami prutů. FB

FD

FF

A

G

RAx

FE

FC RAy

RG

∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 ix iy

i

⇒

R Ax = ? R Ay = ? RG = ?

Jak však uvidíme dále, tento předběžný výpočet reakcí není nezbytný. Jde jen o možnost, nikoliv nutnost.

Základy mechaniky, 6. přednáška Seznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil : - metoda styčníková (již lze považovat za základní metodu), - metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu). B α

FB β S4

S1

S4 S5

S3

RAx

FD δ

FF S8 S8 ε S7

S9

S7

S1 A

D γ

S3 α S2

β

S5

S2 C

γ S6 FC

S6 δ E

RAy

ε

S9

F φ S11 S11 φ G

FE S10 S10 RG

Styčníková metoda spočívá v uvolnění jednotlivých styčníků. Na styčníky působí tři druhy sil : vnější zatížení - síly FB, FC, ..., FF, reakce RAx, RAy a RG a konečně právě osové síly S1, S2, ..., S11 (dvě, stejně velké, opačně orientované osové síly Si působí na dva styčníky, které prut spojuje). Tyto síly, působící na styčník, tvoří rovinnou silovou soustavu se společným působištěm. Rovnováhu této silové soustavy vyjádříme dvěma rovnicemi rovnováhy. S1 Např. na styčník A Na styčník D působí FD D A α působí reakce RAx a RAy síla FD (její složky jsou FDx a FDy) γ δ S8 S4 S2 RAx a osové síly S4, S5, S7 a S8. a osové síly S1 a S2. S S 5 7 RAy Rovnice rovnováhy jsou : Rovnice rovnováhy jsou :

∑F ∑F

xi

= R Ax + S1 ⋅ cos α + S 2

yi

= R Ay + S1 ⋅ sin α

∑F ∑F

xi

= FDx + S 4 + S5 ⋅ cos γ − S 7 ⋅ cos δ − S8

yi

= FDy + S5 ⋅ sin γ + S 7 ⋅ sin δ

Základy mechaniky, 6. přednáška Seznámíme se se dvěma metodami řešení osových sil : - metoda styčníková (jež lze považovat za základní metodu), - metoda průsečná (lze ji považovat za doplňkovou metodu). B α

FB β S4

S1

S4 S5

S3

RAx

FD δ

FF S8 S8 ε S7

S9

S7

S1 A

D γ

S3 α

S2 RAy

β

S5

S2 C

γ S6

FC

S6 δ E

ε

S9

F φ S11 S11 φ G

FE S10 S10 RG

Pro každý styčník sestavíme dvě rovnice rovnováhy. V takto vzniklé soustavě rovnic budou neznámé jednak hledané osové síly S1, S2, ..., S11, jednak reakce v uložení RAx, RAy a RG. V uvedeném příkladu, kde je 7 styčníků, sestavíme tedy 14 rovnic, v nichž bude 14 neznámých - 11 osových sil a 3 reakce v uložení. Jak je zřejmé, tyto reakce není nutné vypočíst předem z rovnováhy na soustavě jako celku. Mohou být vyřešeny současně s osovými silami z jedné soustavy rovnic. Součástí řešení je znaménková dohoda. Tahové síly pokládáme za kladné, tlakové za záporné. Tahové síly pak působí na styčníky směrem ze styčníku ven, tlakové naopak do styčníku. + tah

tlak

Základy mechaniky, 6. přednáška Průsečná metoda umožňuje vypočíst pouze některé z osových sil, nikoliv všechny. Proto ji lze považovat za doplňkovou metodu. Spočívá v rozdělení prutové soustavy na dvě dílčí pod-soustavy pomyslným přerušení tří prutů, jež nahradíme příslušnými osovými silami. Na takto pomyslně oddělené dílčí podsoustavy prutů již pohlížíme jako na tuhá tělesa. B

1

S5 RAx

C

γ S6

FC

FD

FF

3

F

8 5

7

9

11

A

G 2

S4 S5

A

D 4

FB S4

FB

B

D γ

C

FD

FF

FC 6

G FE

RAy

FE

10

F

S6 E

E

Soustavy sil, působící na obě, zdánlivě izolovaná tělesa, jsou v rovnováze. Protože se jedná o rovinné silové soustavy s různým působištěm, můžeme sestavit pro každou soustavu tři rovnice rovnováhy.

RG

∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 xi

yi

i

∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0 xi

yi

i

Z jedné soustavy rovnic vypočteme tři neznámé osové síly (v uvedeném příkladu to jsou síly S4, S5 a S6). Druhou soustavu rovnic můžeme použít pro kontrolu.

Základy mechaniky, 6. přednáška Obsah přednášky :

uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho vlastnosti, prutové soustavy

Statika soustavy těles

Recommend Documents