8
BAB II STATIKA FLUIDA Pengetahuan tentang statika Ouida dibahas ualam dua bagian yaitu:
> Studi telltang lekanan serta variasinya pada.seluruh bagiau t1uida dllilstudi mengrl1<\igaya-gaya tekanan pada permukaan yang terbatas besarnya_ IIJ Tel\;anan di matn titik.
Tekanan rata-rata dihitung dengan membagi ~aya normal ( gaya tegak-Iurus ) yang rnendorong suatu bidang datm-dengan luas bidang tersebut. Tckanan di suatu titik adalah limit perballdingan gaya normal terhadap luas bidall~ bila bidullg tersebut rncndckati ukuran nol pada titik itu. Di :-:natntitik, Huida yall~ tidak hergerak mempHnY:litekanan yang 8ama daJam semua arah. lIal illi berm'li bahwa suatu bidang clemen ()A yang sangat kecil luasllYa,yang bebas berputar t~rhadap pusatnya biJa tercndam daJam fluida yang tidak b~rgerak>akan mendapat gaya Ycmgbesarnya konstan Y~U1g beke~ia pada kedua sisinya, bagaimanapun ori0l1tasillya.
Ouna melHJl~iukkanhaJ ini, kita mempcrhatikan suatu bt"'ndabebas keci' yang berbentuk b~ii dengan lebar satuan di titik (x, Y ) dalam fIuida yang tidak bergerak(Gb.2.1). Kart?na tidak dapat terjadi gaya geser. maka gaya-gaya yang ada hanyalah gaya-gaya pennukaan normal dan gaya berat; maka. persamaal1-persamaan gcrnkan dalam arab x dan y masing-masing adalah : ~ Fr
.~
""
Pxay
-
Oxoy ~. psu,')sm 8 = -pax 2
::: 0
dan
r; ;r.~:..:;p,8.x.-
p sO:;cos {}- r &8y 2
= ~pa,:;O lixoy
dimana px.1\"psadalah te-kananrata-rata pada ketiga permukaan, r iaJah berat jenis fli1ida. p ken)patannya, dan a~, Bypercepatan. Bila diambiJ limitnya bila benda bebas tersebut
9
diperkeciJ mendekati ukuran nol dengan membuat permukaan miringnya mendekati (x,y) sambiI mempertahankan sudut 6 yang sarna dan bila kita menggunakan hubunganhubungan geometri
8,~sin 0
::
0)'
maka persamaun-persamaaulersebut
Oseos 0
:;
&-
tersederhanakall menjadi
Suku terakhir persamaan yang kedua adaJah keeil takbingga dengan orde kekecilan yang ling~i dan dapat diabaikan. Bila persamaal1-persamaandi atas diba~i masing-masin,~ . ..' . dcngan l5ydan l~X,maimpersamaan-persmnaan tcrsebut dapat digabungkan : ps = px
=
py. . . . . . . . . . . . . . ., . .. . . . . .. ... . .. . .. . . . . . . . . . . .2.1
Karenu e mempakan sembarang sudut, maka persamaall illi membuktikan bahwa t~kanan adalah sarna dalam semna arab di suatu titik dmam fluida statik. Walaupun pembllktian tersebul rlilaksanakan untuk kasus dua rlimensi, nanUlJ1dapat dihuklikan bagi kasus tiga dimensi del1gall persamaan-persamaan kes~ilIlbangan ulltuk sebuh bidang empat kecil fJuida dengan tiga nmka dalam bidang-bidang koordinat dill] muka keempat miring sembarang. __4 ___.___ -------------
. .f
p.6s
p,,6y
_z
GambaI' 2.1 Dia>tram bl~nda-bebas suatu partikel yang bcrbentuk baji.
Jika fluida bergerak sedemikian hingga satu lapisau bergerak relatif terhadap lapisan yang hordclmtan, teljadilah teg~Ulgan-teganp,an besar, clan tcgangan-tcgangan
10
normal di~:ualutitil~ rata-rata scmbarang tiga tegangan tekan yang saling tegak lunls disuatu titik,
p'"
p,+p,+p,. ~-"'
-
Dalrnn fJllida khayaJi yang viskosihumya nol. yakni tluida tampa gesekan, tidak ciapat terjadi tegal1gal1geser llutuk gerak~m Huida yang bagaimanapull. D~m uengan demikian h~bnan di snatu tifik sama dalam scmua arah.
1I.2 Persamaan Dasar Statika Fll1ida
Gaya-gaya ymlg beraksi pada suatu elemen fluida dalam keadaan diam (Gb.2.2) t~rdjri dari gaya-gaya permnkaan (Rurfaceforces) clan gaya-gaya b;Jdau (body forces). Deugau u;aya berat Rebagai satu-satunya gaya badan yang beraksi, den,gau mengambil E:umbny vcrtikal kc atas maka gaya tcrscbut adalah -y6xooz dalam arab y. Dengan '~ka.nanp elipusatnya (x, y, z), gaya yang beraksi terhadap si8i yang tegak Jurus terhadap slimbu y dan yang lerdekat dengan titik nol adalab kurallg -lebih
'
'
l
dp 8v
"
p -- .~- -~- t'ix& . ,Jy: .)
drul gaya yang beraksi terhadap sisi yang berseberangall adalah
I p Iii,:' f
\.
Jp .'~.1&& '
2
.I
di mana 6y/2 i~Jabjarak dari pusal ke muka yang tega.k-Iurus tcrhadap y. dengan mcnjmnlahkan gaya-gaya yang beraksi tcrhadap elemen tersebut dalam arah y kita mendnpal
11
y
%
Gambar 2.2 Elemen tluida dalam keadaan diarn yang berbent.lIkbalok genjang sikll-siku.
Untuk arab x dan Z,kare.natiadanya gaya badan yang beraksi. ~ of
:: 6
op &:: . Oyu.;~_ 0%
Vektor gaya elemental of dibcrikan oleb
Jika clemen tcrsebut diperkecil mendekati ukuran nol. setelah dibagi dengan oxoyoz= 0\1. nmms tersebut m{'!njadieksak
.~~ ~ '{i'~
+j
* + k ~ )p- Jr
limoy ~ 0
(2.2)
Inilab gays.resultanre per volume satuan di snatu tit.ik.yang barns disamakan dengan nol untuk fluida dalam keadaan diwn. Besaran yang dalam kurung adalah gradien, yang disebut V (del). Pasal 8.2.
a
a a
'i1 ~:i .-- + j -:-.k .ax 0' Cz
(2.3)
12 dan grndien negatif p, -Vp, adalah medan vektor f untuk gaya tekanan permukaan per volume 8atm111,
f = -Vp
(2.4)
Makahukumstatikafluidatentangvariasi tekananadal3h f -jy = 0
(2.5)
Bagi fluida tak viskos yang bergerak, atau suatu fluida yang bergerak sedemikiall hingga tegangan gasar di mana-mananol, hukum Newton yang kcdua berbentuk f:jy = pa.
(2.6)
dengan a percepatan elemen fluida tersebut.f - .i'Yadalah resultante gaya fluida apabila gaya berat adalah satu-satunya gaya badan yang beraksi.
Dahun
bentuk
komponen,
P~rs (2.6) menjadi op = 0 op = __r ap = 0
ox
az
0t
(2.6)
Turunan-turunall parsial untuk variasi ,dalam arab horisontal mernpakan snatu belltuk hukum Pascal; persamaan-persamaan itu menyatakan bahwa dua titik pada ketinggian yang sama dalam masa fluida yang sama dan yang tidak bergerak mempunyai tekanan yang sarna. Karena p m~rupakanfungsi y saj~ dp=-ydy
(2.7)
Persamaan diferensial sederhana ini menghubungkan perubahan tekanan dengan berat jenis serta pernbahan ketinggian dan berlaku untukl fl1!idayan.gmampumampat maupun yang tak mampumampat. Bagi fluida yang dapat diwlggap homogen serta tak mampumampat, r adalah konstal1dan pel's (2.7) bila diintegrasikan mel~iadi p=-yy+c dengan c konstanta integrasi. Hukum hidrostatika tentang variasi tekanan seringkali ditulis dalam bentuk. p = yh
(2.8)
dengml h diukllr vertikal ke bawah (h = -y) dari pe!lnukaan cairan bebas dan p adalab kenaikan tekanan dm'i pada permukaau bebas itu. Persamaan (2..8) dapaJ. diturunkan dengan rnenggunakan sebuah kolom bertikaJ cairan c!engan tinggi te=rbatash ymJg
13
pennulcaan-atasnya terletak di permukaan bebas sebagai benda bebas fluida. Penurunan ini kami sediakan sebagai latihan ba.gianda. Il.J PENGUKURANTEKANAN Tekanan dapa! dinyaiakan dengan mengacu kepada sembarang datum. Datum yang lazim ia1ahnol absolut (nol mutlak) dan tekanan atmosfer 10kal.Bila suatu tekanan dinyatakan sebagai beda 3ntara nilainya dan hampa sempurna, maka tekanan tersebut dinamakan tekanan absolut. Bi1atelcananitu dinyaiakan sebagai beda antara nilainya dan lekanan atmoster toka]. maka tek811antersebut dinamakan tekanan relatif Gambar 2.3 melukiskan data serta hubungan autar3:satuan-satuan ukuran tekanan yang lazim. Tekanan atmosf~ standar adaIah takanan rata-rata pada pennukaan Jaut, 29,92 inch H~ Tekanan yang dinyatakan dalam panjang kolom suatu cairan adaJah setara dengan gaya pcrluas satuan di dasar koJom itu. Hubungan untuk perubahan tekanan terhadap ketinggian daJwll suatu cairan p = 'Yh. menunjukkan hubungan antara tinggitekan h.dalam p~jang kolom fluida dengan berat jenis 'Y,dan tekanan p. Satuan tekanan p dalaIt1pascal, 'YdaImn newton per meter kubik, dan h daIam meter. Dengan berat jenis setiap cairnn yang dinyatakan daJam gravitasi jenisnya S kaJi berat jenis air. sehingga dapat ditulis : P =r. Sh
(2.9)
Untuk air "fwdapal diambil sebagai 9806 N/m3. 2 Tekanan
Tekanan atmosfer -------------
----14,7 psi 2116 Ib/ft2 29.92InHg 33.91 f1H20 1 atmosfer 760 mmHg 101,325 PI 10,34 mH20
atmosfer
Tekanan relatif {
Penunjukan barometer lokal
standar lokel
negati f hisap vakum
1
Tekanan
mutlak
Nol mutlak IVakum sempumal
Gambar 2.3 Satuan clan skala ukuran tekanan.
Dalam gambar 2-3 kita dapat menempatkan suat!J tekanan pada diagram, yang D1enu~iukkan hubun~annya dengan lloi absolut dan dengan tekanan atmosfir toka!. Jika
14
titik yang bersangkutan berada di bawah garis tekanan-atmosfir lokaJ dan ditunjuk terhadap datum (acuan) relatif, maka tekanan yang bersangkutan disebut ne,gatif, hisap atau hampa. Pe-rludip~rhatjkanbahwa : p Ib, = P bar + P
relatit'
IL
Dalam parawap-paragrap yang lain kila telah membahas variasi tekanan di dalam fluida. Gaya.gaya terbagi yang diakibatkan oleh aksi fluida terhadap suatu bidang yang Inasnya terb8t9~ mnrlah diganti dengan gays resultante, sejauh menyangknt reaksi hmT terhadap sistim gaya. Dalam paragrdp ini besar gaya resultante dan garis aksi nya (pusaf tekan) di tentukan dengan integrasi, dengan mmus, dan dengan meonggunakankonsepsi prisma tekanau.
r-i I r--"
." Gambar 2.4 l'~ota~i untuk tnt'nt'ntukan garis aksi sualu gaya.
Sebuah permukaan datru"(rata) dalam posisi horisoutal dalam tlnidu Y~U1.~ tidal< bcrgerak mengalami tekanan yang konstan. Besar gaya yang beraksi tcrhadap' saiu sisi pennnkaan itn adaJah
f p ciA = p f
dA
= pA
Gaya-gaya dell1~ntaJ p dA yan~ berak~i terhadap A semmU1ya ~e.iaiar dan dalam ~u'<'.h yang s:una~ kar~lm itu. pl'njumlahan
skala!" tbrhadap
s('genap
delm~n
dl'rnikiall
IS
menghasilkan besar .gaya resultante. Arahnya tegnk-Iurus terhadap pemmkaan dan ke arab pennukaan jika p posisti£ Guna menemukan garis aksi gaya resultant.e, yaitu titik pada bidang tempat n10men gaya terbagi terhadap setiap 8umbu yang melalui titik itu adalah nol, kita dapat memilih sumbu-8umbu xy sembw"ang,seperti dalam Gb. 2.4. Maka, karena momen gaya resultante harns sama dengan momen sistim gaya terbagi t.erhadap setiap slimbu, misalnya sumbu y, 'mnka pAx' :.;:J ldA
Dengan x' jarak 8umbu y ke resultante . karena p konstan. maka ) ,='" ~ -. ',4
J
x'fA ,4'
... -. :>.: --.
Di sini X adalah j,arak ke sentJ"oidbicbmgters('bu(.
Maka dari
itu, bagi bidm1g horisontal yang mengalami tekanan fluida. statik, resultallte melalni sentroid bidtmg(erscbut.
11.5. G aya Apung
Gaya resultante yang dilakukan terhadap Buatu benda oleh fluida statik tempat benda itu tt~rendamatau terapung dinamakan gaya apung. Gaya apung selalu beraksi vertikal ke atas. Tidak mungkin terdapat komponen horisontal dari resultantenya karena proycksi benda yang terendam atau bagian yang terendam daribcnda terapung itu pada hidang vE!rtika.lsl~lajunol.
Gamba!" 2.5 Gaya apung pada benda yang terapung dan bends yang terendam.
Gaya apullg pada benda yang terendam adclah beda antara komponen vertikaJ
~aya tckammterhadap sisi atas benda tersebut. Dalaa-nGb 2.5 ga.yake 31aspada sisi bawah 8ama dengan berat cairan, yang nyata atau yan~ khayali, yang tcrdapat vertika1 di
16
at:m pC'rmnkn:UJ ABC yang ditur~iukkanolclt ben1t cairan di-daJmn ABCEFA. Gaya kC' bawah pada permukaall atas sama dengan bcrat cairaIl ,L\DCEFA.Perbedaan antara kedua gaya torsobut adalah snatu gaya, yang vCltikaJke at:JSdisebabkan oleh berat fluida ABCD yang djpindahkan oleb benda paat itu. DaJambentuk p(~'-R:mmam FH= v 'Y Dcngan Fu gaya apllng, v volufi1l:.~ Huida yang dipindahkan, dan y adalah bera( jenis fluida. Rumns yang sarna bcrlaku ulltuk benda yang t~rapungbila sebagai v dipergunakan volume cairan yang dipindahkan. Hal ini nyata da1'ipemeriksaan tcrhadap benda yang terapullg dalam Ob 2.5.
C'T8Cnbar 2.5. Komponen-kClfnponen gaya vertikal pada elemen benda.
DaJam Gb 2.6 gaya vertikal yang dilakukaJ1terhOOapsuatu elemen benda tersebut yang berbentuk prisma vertikaJ yang berpenampa.llgoA adalah o Fa = (1'2-PI)oA = yh oA = y dv Dengan OVvolume prisma. Integrasi pOOaseluruh benda menghasilkan FB
.
=r J dv = r v .
Bila y dianggap konstan di SehJJ11h volume. Guna mendapatk3J1 garis aksi gaya apung kita mengambil mom.en-momen
.
terhadap suatu sumbu 0 yang mudall dipergunakan dan mempersembahkan dengan momeo resutantenya; jadi, yrxdv=rv; Jv
atau x=~rxdv v J.
\ . ..
-. ----
17
Dengan x sebagai jarak dari sumbu tersebut ke garis aksi. Persamaan ini menghasilkan jar-ak ke sentroid volume~ maka dari jlu gaya apung beraksi melalui sentroid volume fluida yang dipindahkan. Hal ini berlaku baile untuk benda yang terendam maupun benda yang terapung. Sentroid volume fluida yang dipindahkan disebut pusat apung. Dalam meuyelesaikan BOalstatik~ yang menyangkut benda-benda yang terendam atau yang tempung, pada umumnya kits menganggap benda tersebut sebagai benda bebas ..,
d~ kita men~gambar diagram benda bebas. Aksi f1uida dig~U1ti dengan gaya apung. Bera! benda hams ditunjl1kkan(yang beraksi melalui titik beratnya), demikian pula semua gaya konblk lainnya.
Gambar 2.7 Diagram-diagram benda bebas untuk.benda yang digantung dalam fluida.
Menimbang benda berbentuk aneh yang tergantung daJam dua fluida yang berlaimm memberikan cukup data guua menelltukan berat, volume jenis, dati gravitasi jenisnya. Gambar 2.7 menunjukkan dua diagram benda bebas untuk benda y~mgsanm Y~U1g diga!ltung serta ditimbaug dahun dua fluida. F1.F~ adalah benil dahun keadaan tcrendam, 11.12 ada1ah berat jenis fluida-fluida tersel:mt.Kita hams mcncari W dan V, yaitu bl'!ratserta volume henda itu. Kita menuliskan persmnaan-persamaaI1keseirnba1~ga.n FI + v 11= W
; F;: V 12 = W
Dan menyelesaikmmya /.Ian W
= Ftf2
-. F~rl
r 1- r .1
18
- - - - - -----------
II~I:~_ fJj~1
t=====:=:::=::::::: \iF::::::::::::::: -----------------.---------------------------------------.----------------------------------------
GambftJ"'2.8 Hidromet.er di dalam air dan di dalam cah'aJ1yang gravitasi jenisnya S.
COII!oh: Sebongkah bijih yang beratnya 1,5 N di udara te.myataberatnya 1,1 N bila terendam air. Berapakah volumenya dalam sentimeter kubik dan berapakah gravitasi jenisnya? Penyelesaian. Gaya apung yang disebabkan oleh u<:!m.a dapat diabaikan Dari Gb 2.7 1,5 N ==1,1 N + (9806 N/m3) v
v = 0,0000408m"3 = 40,8 em 3
S
- -w __
__
i' v
1,5N (9806 Wm 3)(0,0000408
- .3,75
__
m 3)
11.6. Stabilitas benda yang terap~ng dan yang tenggelam
Suatu benda yang terapung dalam cairan yang statik mempunyai stabilitas vertikal. Suatu perpindahan ke atas yang keci1 skan mengurang! volume cOO.anyang rlipindahkan. dt'!l1ganskibat adanya gaya ke bawah yang tidak terimbangi dan yang cendernng untuk mengembaJikan benda itu ke posisinya semula.demikian - pula, perpindahnn ke bawah yang keeil menghasilkan gaya apung YaJ)glebih besar. yang menyebabkan gaya ke atas yang tidak terimbangi.
19
Snatubt'ndamempunyaistabilitaslinear biJaperpindahanlinear yangkecil daJam sctiap arah manapun mengakibatkal1 terjadinya gaya pengemba1ian yang cenderung mengemba1ikanbenda itu ke'posisinya semuls_ snatu benda mempunyai stabilitas putar bila suatuperpindahan sudut yang kecil menyebabkan terjadinya kopel pengembalian. Dalwn pembahasan
berikut
akan dikembangkan
metode-metode
menentukan stabilitas putar. Suatu benda dapat mengapung dalam keseinban~
untuk stabiJ,
tak stabil mau netra1. Bita sumu benda ada dalam keadaan tak stabil. maka snatu perpindahan sudut yang kecil akan menyebabkan terjadinya kopel yang ccndhmg memperbeRarperpindahan sudut itu. Dalam hat benda dalam kesetimbangan netraJ. yaitu perpindaban sudut tidak menyebabksIl terjadinya momen apapUIl
