II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Dasar Fluida

4

II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan diberikan teori-teori yang berkaitan dengan penelitian ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan dasar fluida yang akan disarikan dari Billingham dan King [7], dan Witham [8]. Penyelesaian gelombang berjalan persamaan WBK yang disarikan dari Xie, et a.l [9] dan konsep metode homotopi berdasarkan rujukan Liao [6].

2.1 Persamaan Dasar Fluida Secara umum fluida dikenal memiliki kecenderungan untuk bergerak atau mengalir. Dalam penurunan persamaan dasar fluida diperlukan asumsi bahwa air dianggap sebagai fluida takmampat (incompressible), takberotasi (irrotational) dan takkental (inviscid). Untuk menurunkan persamaan dasar fluida diperlukan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa pada suatu sistem menyatakan laju perubahan massa, yaitu selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar pada sistem tersebut. Hukum kekekalan momentum pada suatu sistem menyatakan laju perubahan momentum, yaitu momentum yang masuk dan yang keluar ditambah gaya-gaya yang bekerja pada sistem tersebut.

Gambar 2.1. Fluks massa yang keluar - masuk pada elemen luas Untuk mendapatkan persamaan kontinuitas, maka perhatikan Gambar 2.1. Jika rapat massa  dan kecepatan partikel pada arah horizontal u, maka fluks

5

massa yang masuk dari sisi kiri dengan ketinggian (h0   ) adalah  u (h0   ), dengan  simpangan gelombang dan h0 kedalaman air. Fluks massa yang keluar dari sisi kanan adalah  u (h0   ) dievaluasi di x  x. Jika uraian Taylor digunakan, maka diperoleh

u (h0   ) x x  u (h0   ) 

 u (h0   ). x

Jadi fluks massa yang keluar dari sisi kanan adalah

u(h0   ) 

 ( u(h0   ))x. x

Pada sisi atas, kecepatan permukaan merupakan kecepatan partikel di permukaan, yaitu

  x . , sehingga fluks massanya adalah  t t

Karena diasumsikan fluida berupa fluida takmampat (incompressible), maka jumlah fluks massa yang masuk dikurangi dengan fluks massa yang keluar sama dengan nol, sehingga

 

 u (h0   )    u (h0   ) 

   (  u (h0   ))   x   0 x t 

atau

  u(h0   )   x   x  0 x t atau



  u(h0   )   x   x  0, x t

(2.1)

Jika persamaan (2.1) dibagi dengan  x , maka diperoleh

  u (h0   )    0 x t atau

 h0   

u   u   0. x x t

Jika peranan h0   diganti dengan  , maka diperoleh



u   u   0. x x t

(2.2)

6

Selanjutnya diasumsikan domain fluida dibatasi oleh dasar rata. Jadi kecepatan aliran fluida tidak bergantung pada kedalaman fluida, sehingga kecepatan partikel pada arah vertikal dianggap sangat kecil. Berdasarkan hukum kekekalan momentum pada arah vertikal diperoleh persamaan berikut:

v v v 1 p u v    g. t x y  y

(2.3)

dengan u adalah kecepatan partikel dalam arah horizontal dan v adalah kecepatan partikel pada arah vertikal, p tekanan fluida dan g gaya gravitasi. Jika percepatan fluida pada arah vertikal diabaikan, maka persamaan (2.3) menjadi



1 p g 0  y

atau

p    g. y

(2.4)

Jika persamaan (2.4) diintegralkan terhadap y, maka diperoleh

p  p0   g   y  .

(2.5)

Selanjutnya berdasarkan hukum kekekalan momentum pada arah horizontal diperoleh

u u u 1 p u v  . t x y  x

(2.6)

Jika turunan total dari u adalah

Du u u u  u v , Dt t x y maka persamaan (2.6) dapat ditulis

Du 1 p  . Dt  x

(2.7)

Karena u  u( x, t ), maka persamaan (2.6) menjadi

u u 1 p u  . t x  x Jika persamaan (2.5) diturunkan terhadap x, maka diperoleh

(2.8)

7

p   g x x

sehingga persamaan (2.8) menjadi u u  u   0, t x x

(2.9)

dan diasumsikan g  1. Persamaan (2.2) dan (2.9) adalah persamaan gelombang taklinear yang mengabaikan faktor dispersi. Selanjutnya akan ditinjau gelombang dengan relasi dispersi yang diberikan sebagai berikut:

 2  k 4    2 

(2.10)

dengan  frekuensi gelombang, k bilangan gelombang serta  dan  suatu konstanta. Gelombang yang diperoleh memiliki sifat dispersi, yaitu kecepatan gelombang c bergantung kepada bilangan gelombang k yang dirumuskan sebagai berikut: c

 k

(2.11)

.

Apabila diambil   1 dan   0, maka relasi dispersi yang diperoleh merupakan relasi dispersi bagi persamaan Boussinesq. Sedangkan apabila   0 dan   0, relasi dispersi yang diperoleh merupakan relasi dispersi bagi persamaan gelombang panjang [9]. Persamaan Boussinesq adalah suatu persamaan gerak gelombang yang merambat dalam dua arah. Relasi dispersi yang diberikan pada persamaan (2.10) dapat ditulis

i   (ik )2 ik  0. 3  (ik ) i   (ik )2

(2.12)

Jika k berkorespondensi dengan i  x dan  berkorespondensi dengan i  t , maka relasi dispersi pada persamaan (2.12) berkorespondensi dengan persamaan berikut

 t   xx    x3 atau

t

 u  0  t   xx   

8

ut   x   uxx  0

t   uxxx   xx  0.

(2.13)

Penurunan persamaan (2.13) diberikan pada Lampiran 1a. Persamaan (2.13) merupakan persamaan gelombang yang melibatkan faktor dispersi. Dengan demikian persamaan gelombang taklinear dan bersifat dispersi diberikan sebagai berikut: u u   2u u   2 0 t x x x   u  3u  2 u    3   2  0, t x x x x

(2.14)

dengan  adalah simpangan gelombang yang diukur dari dasar fluida. Persamaan (2.14) disebut persamaan Whitham-Broer-Koup (WBK). Berdasarkan Xie, et al. [9] diperoleh penjelasan mengenai penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan seperti yang akan dibahas pada bagian selanjutnya. Selain itu, persamaan WBK akan diselesaikan dengan metode homotopi dan membandingkan kedua hasil yang diperoleh.

2.2 Penyelesaian persamaan WBK dalam bentuk gelombang berjalan Misalkan penyelesaian persamaan (2.14), dinyatakan dalam bentuk gelombang berjalan berikut:

u( x, t )   ( ),  ( x, t )   ( ),

(2.15)

dengan   k ( x  x0  t ), dan x0 adalah konstanta sebarang. Jika persamaan (2.15) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.14), maka diperoleh

 k

    2  k k   k 2 2  0,    

3 2   3   2    k k     k 3   k 2  0.    

Jika persamaan di atas dibagi dengan k , maka diperoleh

9



    2     k 2  0,    

3    2 2        k   k  0.      3  2

(2.16)

Dengan menggunakan metode koefisien peubah, misalkan penyelesaian persamaan (2.16) memiliki bentuk berikut:

 ( )  b0  a cosh   b sinh  ,  ( )  B0  A1 cosh   B1 sinh   A2 cosh  sinh   B2 sinh 2  ,

(2.17)

dengan b0 , b, B0 , A1 , B1 , A2 , B2 akan ditentukan, sedangkan  bergantung pada

 dan memenuhi   sinh .  Jika persamaan (2.17) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.16), maka diperoleh

 A2  ab  b k  sinh    b0b  B1  b  cosh  sinh    ab0  A1  a  sinh 2    a 2  b 2  2 B2  2a  k  cosh  sinh 2    2 A2  2ab  2b k  sinh 3   0

(2.18)

 b0 A2  bA1  aB1  B1 k  A2  sinh 

  aA2  bB0  b0 B1  b k 2  A2  k  B1  cosh  sinh    b0 A1  2aB2  2bA2  aB0  4a k 2  4 B2  k  A1  sinh 2    2aA1  2b0 B2  2bB1  2 A1 k  2 B2  cosh  sinh 2    2b0 A2  2aB1  2bA1  2 B1 k  2 A2  sinh 3 

  3aA2  3bB2  6b k 2  6 A2  k  cosh  sinh 3    2bA2  2aB2  bA2  aB2  6a k 2  6 B2  k  sinh 4   0 (2.19) Karena sinh   0, dan cosh   0 untuk setiap   0, maka dari persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh sistem persamaan berikut:

10

A2  ab  b k  0 b0b  B1  b  0 ab0  A1  a  0 a 2  b 2  2 B2  2a  k  0 2 A2  2ab  2b k  0 b0 A2  bA1  aB1  B1 k  A2  0

(2.20)

aA2  bB0  b0 B1  b k 2  A2  k  B1  0 b0 A1  2aB2  2bA2  aB0  4a k 2  4 B2  k  A1  0 2aA1  2b0 B2  2bB1  2 A1 k  2 B2  0 2b0 A2  2aB1  2bA1  2 B1 k  2 A2  0 3aA2  3bB2  6b k 2  6 A2  k  0 2bA2  2aB2  bA2  aB2  6a k 2  6 B2  k  0.

Penurunan persamaan (2.18) dan (2.19) dapat dilihat pada Lampiran 1b. Dengan menggunakan bantuan software Mathematica diperoleh dua kasus penyelesaian dari persamaan (2.20). Kasus pertama diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

B0  B1  A1  A2  b  0, b0   a  2 k    2 

0.5

(2.21)



B2  2k 2    2      2 

0.5

,

sedangkan kasus kedua diperoleh penyelesaian sebagai berikut:

B0  B1  A1  0, b0   , a  k    2  , 0.5

b  a, a2  b(a  k  ),

(2.22)

B2   a (a  k  ). Dengan demikian penyelesaian persamaan (2.16) berdasarkan kasus pertama, diperoleh:

      2k    2  cosh  0.5



    2k         2

2

dan berdasarkan kasus kedua, diperoleh:



2 0.5

 sinh  2

(2.23)

11

      k    2  cosh   k    2  sinh  0.5



0.5

 cosh  sinh         sinh 

    k 2    2      2 



 k2    2 Karena

0.5

2 0.5

(2.24)

2

d  sinh  , maka diperoleh d

sinh    csch  , dan cosh   coth  .

(2.25)

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.23), (2.24) dan (2.25), serta   k , maka persamaan (2.23) berbentuk

u ( x, t )    2k (   2 )0.5 coth[k ( x  x0 )  t )],

 ( x, t )  2k 2 (   2   (   2 )0.5 ) csch 2[k ( x  x0 )  t )], (2.26) dan persamaan (2.24) berbentuk u ( x, t )    k    2  coth[k ( x  x0 )  t ]  k    2  0.5

0.5

 csch[k ( x  x0 )  t ]

 coth[k ( x  x )  t]  csch[k ( x  x )  t ]  k           

  x , t   k 2    2      2 

0.5

0

2

2

(2.27)

2 0.5

0

 csch 2 [k ( x  x0 )  t ].

Persamaan (2.26) dan (2.27) merupakan penyelesaian gelombang berjalan untuk persamaan WBK. Persamaan (2.26) dan (2.27) adalah persamaan yang akan digunakan sebagai pembanding dengan penyelesaian persamaan WBK dengan menggunakan metode homotopi. Konsep dasar metode homotopi akan diberikan pada bagian berikut.

2.3 Metode Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi dari konsep metode homotopi. Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:

v(t )  0,

t 

(2.28)

12

operator turunan, t variabel bebas dan v  t  fungsi yang akan

dengan

ditentukan. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear

yang

memenuhi

 f   0, bila

f  0.

(2.29)

Misalkan v0 (t ) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.28) dan q [0,1] suatu parameter. Didefinisikan fungsi real   t ; q  : Ω   0,1  R, dan suatu fungsi H sebagai berikut : H  ; q   1  q    v0  t    q

dengan

 

(2.30)

suatu fungsi sebarang. Berdasarkan persamaan (2.30), untuk q  0 dan q  1 masing-masing

memberikan persamaan berikut: H   t ;0  ;0  [  t;0   v0  t ]

dan H  (t;1);1 

  t ;1  .

(2.31)

Menurut persamaan (2.28), (2.29) dan (2.30) diperoleh bahwa fungsi

 (t ;0)  v0 (t ) dan  (t;1)  v(t ) masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan H[ (t;0);0]  0 dan H[ (t;1);1]  0.

Selanjutnya, misalkan fungsi  (t , q) penyelesaian dari persamaan

H[; q]  0 atau

1  q 

  v0  t   q

 .

(2.32)

Selanjutnya, penurunan m kali persamaan (2.32) terhadap q, dengan

q  0 dan dibagi m ! akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m berikut: [ xm (t )   m xm1 (t )]  Rm (v m1 )

(2.33)

dimana Rm (v m 1 ) 

1  m 1 [ (t ; q )] (m  1)! q m 1 q 0

(2.34)

13

dan

0, m  1 . 1, m  1 

m  

(2.35)

Dengan menggunakan deret Taylor,  (t , q) dapat diuraikan menjadi 

 (t; q)  v0 (t )   vm (t )q m ,

(2.36)

m 1

dimana vm (t ) 

1  m (t ; q ) . m ! q m q 0

(2.37)

Jika persamaan (2.37) dengan q  1, maka diperoleh 

v(t )  v0 (t )   vm (t )q m ,

(2.38)

m 1

dengan v0 (t ) adalah pendekatan penyelesaian awal dan vm (t ) diperoleh dari penyelesaian persamaan (2.33). Dengan demikian peningkatan nilai q dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai H[; q] dari

[  v0  t ] ke

 . Dalam topologi hal ini disebut dengan

deformasi. Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut:

d x(t )  4 y (t )  3et  4t  4  0, dt d y (t )  x(t )  3et  0, dt

(2.39)

dengan syarat awal x(0)  0 dan y(0)  0. Penyelesaian eksak dari masalah nilai awal tersebut adalah

x(t )  3et  2e2t  1, y(t )  e2t  t  1. Berikut

(2.40)

ini akan dicari penyelesaian persamaan (2.39) dengan

menggunakan metode homotopi. Untuk itu, misalkan operator taklinear diberikan sebagai berikut:

14

1 (t ; q)  22 (t; q)  et  4, t 2 (t ; q)  1 (t; q)  3et , 2 [1 (t ; q ), 2 (t ; q )]  t

1

[1 (t ; q), 2 (t; q)] 

(2.41)

dan opertor linear diberikan sebagai berikut:

[1 (t; q)] 

1

1 (t; q) , dan t

2

[2 (t; q)] 

2 (t; q) . t

(2.42)

Selanjutnya x(t ) dan y(t ) diperoleh dari persamaan berikut: 

x(t )  x0 (t )   xm (t )q m , m 1

(2.43)



y (t )  y0 (t )   ym (t )q , m

m 1

dimana xm (t ) 

1  m1 (t ; q) m ! q m q 0

(2.44)

1  m2 (t ; q) ym (t )  . m ! q m q 0

Kemudian xm (t ) dan ym (t ) diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

xm (t )   m xm1 (t ) 

1  m1 1 (m  1)!

1  m1 ym (t )   m ym1 (t )  2  (m  1)!

1

[1 (t ; q), 2 (t; q)] dt , q m1 q 0 2 [1 (t ; q ), 2 (t ; q )] dt. q m1 q 0

(2.45)

Dengan  m diberikan pada persamaan (2.35), yang bergantung pada nilai awal xm (0)  0 dan ym (0)  0. Misalkan penyelesaian pendekatan awal x0 (t )  t dan y0 (t )  t 2 , dan 1



2

 , maka menurut persamaan (2.45) diperoleh

 4t 3  x1 (t )   3  3et  5t  2t 2  , 3    4t 3  1 x2 (t )   3  3et  5t  2t 2   3  3 

2

 45  45e  51t  6t t

2

 10t 3  ,

15

 3t 2  t y1 (t )   3  3e  , 2    3t 2  1 y2 (t )   3  3et   2  3 

2

18 18e  9t  12t t

2

 2t 3  t 4  ,

demikian seterusnya hingga diperoleh serangkaian penyelesaian x0 , x1 , x2 , x3 ,... dan y0 , y1 , y2 , y3 ,... Jika dipilih

 1 , maka penyelesaian masalah nilai awal (2.39) dengan

metode homotopi adalah: 2 x(t )  9  9et  8t  4t 2  t 3  ... 3 2 1 y (t )  12  12et  3t  8t 2  t 3  t 4  ... 3 3

(2.46)

Penurunan persamaan (2.46) diberikan pada lampiran 1c. Berikut ini akan digunakan

bantuan software Mathematicha untuk

menggambarkan hampiran penyelesaian masalah nilai awal dengan menggunakan metode homotopi pada persamaan (3.39) hingga orde ke-10 dan dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.33). Jika parameter tambahan dipilih adalah

yang

 1, maka akan memberikan galat yang sangat kecil jika

dibandingkan dengan penyelesaian pada persamaan (2.33), seperti ditunjukkan pada Tabel 2.1. Pada Tabel 2.1 terlihat bahwa semakin tinggi orde yang digunakan maka akan semakin mendekati penyelesaian eksak dan daerah kekonvergenan akan semakin bertambah. Penambahan daerah kekonvergenan juga bergantung pada parameter dan y0 (t ).

dan nilai pendekatan penyelesaian awal x0 (t )

16

Tabel 2.1 Galat antara penyelesaian

dengan menggunakan metode

homotopi dan secara eksak t

-2 -1.4 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

x(t) Orde 3 3.0570×100 1.2330×101 3.8754×100 0.7696×100 4.9122×10-2 4.9146×10-15 5.4751×10-2 0.9664×100 0.5600×101 0.2108×102 0.6400×102

Orde 5 1.6043×101 4.1915×100 0.7482×100 6.6384×10-2 1.0583×10-3 2.8066×10-14 1.1430×10-3 7.7811×10-2 0.9609×100 0.5981×101 0.2590×102

y(t) Orde 10 7.4468×10-2 6.7802×10-3 3.0505×10-4 3.7768×10-6 1.9617×10-9 1.1419×10-11 2.4248×10-9 5.2760×10-6 5.0463×10-2 1.3312×10-2 0.17404×100

Orde 3 2.7276×100 1.2196×100 0.4300×100 9.6882×10-2 7.0884×10-4 1.6653×10-2 1.0578×1015 0.2161×100 0.14394×101 0.6159×101 0.2093×102

Orde 5 1.6778×100 0.4759×100 9.2775×10-2 9.0410×10-3 1.5911×10-4 3.5426×10-4 2.1180×1014 1.6051×10-2 0.2205×100 1.5227×100 0.7279×101

Orde 10 0.1485×100 1.2817×10-4 5.4570×10-4 6.3819×10-6 3.1818×10-9 1.0887×10-9 3.3101×1012 6.9862×10-6 6.2688×10-4 1.5506×10-2 0.1901×100