Bab III Solusi Dasar Persamaan Lapisan Fluida Viskos Tipis
III.1 III.1.1
Solusi Dasar dari Model Prekursor Persamaan Fluida Tipis Dimensi Satu
Sebagai langkah pertama untuk memahami karakteristik aliran fluida yang akan dikaji adalah dengan mengasumsikan bahwa fluida mengalir tanpa membangun struktur dalam arah melintang (tranverse-direction). Dengan kata lain, kita akan memandang suatu persamaan yang tidak bergantung kepada y. Asumsi ini akan mereduksi persamaan lapisan fluida tipis (2.15) menjadi suatu persamaan differensial parsial satu variabel : ∂h = − h3 hxxx x + D(α) h3 hx x − h3 x . ∂t
(3.1)
Solusi gelombang berjalan dari persamaan ini merupakan solusi dasar dalam masalah ketidakstabilan lapisan fluida tipis yang sedang dikaji.
h
prekursor
b
Gambar III.1: Model dengan Prekursor. Salah satu syarat batas yang mungkin untuk Persamaan (3.1) adalah : h(0, t) = 1,
h(Lx , t) = b,
hx (0, t) = hx (Lx , t) = 0,
(3.2)
12 dengan Lx adalah ukuran (panjang) domain, dan b adalah ketebalan prekursor, (b 1) . Dasar pemikiran dari syarat batas ini yaitu bahwa jauh di depan maupun jauh di belakang garis kontak (contact line), h tidak berubah dan ketebalannya tetap.
Definisikan h0 (ξ) = h(x, t), dengan ξ = x − Up t, adalah solusi gelombang berjalan dari Persamaan (3.1) , dengan syarat batas (3.2). Selanjutnya, dengan mensubstitusi h0 (ξ) ke Persamaan (3.1) kemudian mengintegralkannya, akan menghasilkan suatu persamaan differensial biasa: −Up h0 + h30 h0ξξξ − D(α)h30 h0ξ + h30 = d,
(3.3)
dengan d adalah suatu konstanta.
Persamaan (3.3) menggambarkan profil fluida yang bergerak dengan kecepatan Up menuruni suatu kemiringan (inklinasi) α, dengan bentuk profil fluida tidak berubah dalam waktu. Jadi, bentuk profil fluida hanya bertranslansi yaitu berpindah dengan kecepatan Up sepanjang sumbu x.
Selanjutnya, substitusi syarat batas (3.2) akan menghasilkan konstanta integrasi d dan kecepatan translasi Up , yaitu: Up =
1 − b3 dan 1−b
d = −b(1 + b).
(3.4)
Dengan demikian, diperoleh Persamaan differensial biasa : h0ξξξ − D (α) h0ξ +
III.1.2
b(1 + b) (1 − b3 ) 1 − + 1 = 0. h30 (1 − b) h20
(3.5)
Hasil Numerik
Solusi dari Persamaan (3.3) adalah solusi dasar dari masalah ketidakstabilan lapisan fluida tipis yang akan dikaji. Profil solusi dari Persamaan (3.3) akan digunakan sebagai titik awal untuk melihat sifat-sifat fluida dalam masalah ketidakstabilan fluida ini. Jika b dan D(α) diberikan, maka solusi dari Persamaan (3.3) dapat diperoleh melalui pendekatan numerik. Metode numerik
13 yang digunakan adalah metode beda hingga, yaitu diskritisasi dengan menggunakan empat titik.
Gambar III.2 dan III.3 memperlihatkan profil solusi h(x) dengan parameter D(α) dan b. Hal yang menonjol dari profil solusi ini adalah terbentuknya suatu gundukan (bump) di dekat garis kontak, yang mengindikasikan terjadinya ketidakstabilan dari solusi. Gundukan ini dihasilkan dari akumulasi fluida dari daerah di belakangnya, yang terjadi karena tekanan viskos pada bidang inklinasi di daerah garis kontak lebih besar daripada daerah lainnya.
Gambar III.2 memperlihatkan profil solusi h(x) untuk b = 0.1, 0.01, dan 0.005 dengan D(α) = 0 . Profil dari ketiga grafik memperlihatkan adanya gundukan dengan ketinggian yang berbeda-beda. Semakin kecil nilai b, maka ketinggian gundukan makin besar. Hal ini merupakan akibat dari kekekalan massa, karena volume fluida yang mengalir adalah konstan. Sedangkan Gambar III.3 memperlihatkan profil solusi h(x) untuk suatu nilai b yang tetap dan nilai D(α) yang berbeda-beda. Gambar III.3 memperlihatkan bahwa untuk D(α) yang semakin besar maka ketinggian gundukan semakin turun, bahkan hilang sama sekali.
Gambar III.2: Solusi h(x) untuk D(α) = 0 dan b yang bervariasi.
14
Gambar III.3: Solusi h(x) untuk parameter D(α) yang bervariasi, dan parameter b yang tetap, yaitu b = 0.1. Gambar III.2 dan Gambar III.3 menunjukkan bahwa ketinggian dari solusi h(x) (ketinggian gundukan) adalah suatu fungsi dari parameter b dan D(α). Ketinggian gundukan ini merupakan parameter yang penting dalam menentukan profil stabil atau tidak.
D(a )
Gambar III.4: Ketinggian maksimum dari h(x) sebagai fungsi dari D(α). Gambar III.4 adalah gambar dari ketinggian maksimum h(x) sebagai fungsi dari parameter b dan D(α). Untuk setiap nilai b terdapat suatu nilai kritis D(α) dimana gundukan hilang. Gundukan yang hilang menunjukkan bahwa
15 profil stabil linier. Hal ini berarti parameter D(α) memegang peranan penting dalam mengontrol kestabilan dari solusi h(x). Dengan kata lain, kestabilan solusi sangat tergantung kepada sudut inklinasi α. Hal ini bersesuaian dengan ekspresi dari parameter D(α) yang telah dibahas sebelumnya. Semakin besar α, maka D(α) semakin kecil, yang berarti h-maks makin besar. Nilai D(α) = 0 bersesuaian dengan sudut inklinasi 90◦ , dimana kondisi ini merupakan kondisi paling tidak stabil dari solusi h(x).
III.2 III.2.1
Solusi Dasar dari Model Slip Persamaan Tipis Fluida Dimensi Satu
Perhatikan kembali persamaan lapisan fluida tipis (2.16), yang merupakan persamaan lapisan tipis fluida untuk model slip. Jika persamaan ini hanya dipandang sebagai persamaan dalam variabel x, maka diperoleh persamaan differensial parsial satu variabel : ∂h = − h3 + βh hxxx x + D(α) h3 + βh hx x − h3 + βh x . ∂t
(3.6)
Kondisi slip yang digunakan pada model, menyebabkan permukaan bebas dapat bersentuhan dengan permukaan padat (b → 0). Hal ini mengharuskan adanya syarat kemiringan dari garis kontak.
h
b® 0 q
Gambar III.5: Model dengan Parameter Slip. Oleh karena itu, syarat batas yang mungkin untuk model slip adalah : h(0, t) = 1,
h(Lx , t) = 0,
hx (Lx , t) = C (θ) ,
(3.7)
16 dengan C (θ) menyatakan nilai kemiringan garis kontak, yang diekspresikan sebagai fungsi dari bilangan kapiler Ca dan sudut kontak θ, C (θ) = (3Ca)−1/3 tan θ.
Definisikan h0 (ξ) = h(x, t), dengan ξ = x − Us t, adalah solusi gelombang berjalan dari Persamaan (3.6) , dengan syarat batas (3.7). Selanjutnya, dengan mensubstitusi h0 (ξ) ke Persamaan (3.6) kemudian mengintegralkannya dengan syarat batas (3.7), diperoleh persamaan differensial biasa: h0ξξξ − D (α) h0ξ −
1+β + 1 = 0, h20 + β
(3.8)
yang menyatakan solusi dari h0 (x − Us t) dengan Us = 1 + β.
III.2.2
Hasil Numerik
Solusi dasar untuk persamaan lapisan fluida tipis untuk model slip adalah solusi dari Persamaan (3.8). Solusi ini melibatkan parameter slip β, kemiringan kontak C(θ), serta D(α). Solusi ini diperoleh dengan pendekatan numerik dengan prosedur yang sama dengan model prekursor.
Gambar III.6: Solusi h(x) dengan parameter β yang bervariasi, C(θ) = 0.05 dan D(α) = 0 .
17 Gambar III.6 menunjukkan solusi untuk nilai parameter slip yang bervariasi, yaitu β = 0.1, β = 0.01 dan β = 0.001 dengan kemiringan kontak dan D(α) yang tetap, yaitu C(θ) = 0.05 dan D(α) = 0. Profil dari ketiga grafik memperlihatkan adanya gundukan dengan ketinggian yang berbeda-beda. Semakin kecil nilai β, maka ketinggian gundukan makin besar.
Hal ini menunjukkan bahwa ada kebergantungan antara parameter slip β dengan ketinggian gundukan dari solusi. Akan tetapi, karena terbentuknya gundukan ini menggambarkan adanya ketidakstabilan dari solusi, berarti perubahan parameter slip β tidaklah menyebabkan solusi menjadi stabil.
Selanjutnya, kita akan melihat pengaruh parameter sudut kontak, C(θ), terhadap kestabilan dari solusi. Gambar III.7 adalah grafik fungsi solusi h(x) dengan parameter C(θ) yang bervariasi, dengan β dan D(α) yang tetap, yaitu β = 0.1 dan D(α) = 0.
Gambar III.7: Solusi h(x) dengan parameter C(θ) yang bervariasi, β = 0.1, dan D(α) = 0. Gambar III.7 menunjukkan bahwa untuk C(θ) ≤ 0.1, parameter kemiringan kontak tidak memberikan perubahan yang signifikan terhadap solusi dasar. Sedangkan untuk nilai C(θ) > 0.1, dari simulasi numerik seperti yang ditunjukkan oleh gambar III.7 diperoleh bahwa solusi h(x) tidaklah valid, karena
18 terdapat nilai h(x) yang negatif di daerah dekat garis kontak. Hal ini disebabkan karena hampiran lubrikasi yang digunakan dalam penurunan model lapisan fluida tipis menggunakan asumsi bahwa kemiringan dari permukaan bebas haruslah kecil, yang berarti haruslah C(θ) 1. Jadi, selanjutnya kita hanya akan menggunakan parameter C(θ) untuk C(θ) ≤ 0.1 dalam menguji kestabilan solusi.
Selanjutnya, kita akan melihat peranan dari parameter D(α) terhadap kestabilan dari solusi dasar. Gambar III.8 adalah grafik fungsi solusi h(x) dengan parameter D(α) yang bervariasi, dengan β dan C(θ) yang tetap, yaitu β = 0.1 dan C(θ) = 0.05. Gambar ini memperlihatkan terjadinya gundukan di dekat garis kontak dari setiap grafik, yang megindikasikan terjadinya ketidakstabilan aliran fluida. Akan tetapi dibandingkan dengan parameter β dan C(θ), parameter D(α) memberikan pengaruh yang signifikan terhadap kondisi kestabilan solusi h(x).
Gambar III.8: Solusi h(x) dengan parameter D(α) yang bervariasi, β = 0.1, dan C(θ) = 0.05. Gambar III.8 menunjukkan bahwa semakin besar nilai D(α) maka ketinggian gundukan semakin turun, yang berati solusi h(x) lebih stabil. Ini berarti, bahwa semakin kecil sudut inklinasi α maka aliran fluida makin stabil.
19 III.3
Perbandingan Solusi Dasar antara Model Prekursor dengan Model Slip
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, model prekursor maupun model slip adalah dua buah model yang dipilih untuk menghindari singularitas yang terjadi karena penggunaan kondisi tidak slip pada batas permukaan padat-cair. Akan tetapi, hal yang belum diketahui adalah apakah kestabilan aliran fluida tergantung kepada cara pemilihan model atau tidak. Jadi, kita akan membandingkan solusi dasar dari kedua model sebagai dasar untuk membandingkan hasil analisis kestabilan linier nantinya.
Gambar III.9 adalah grafik perbandingan solusi h(x) antara model prekursor dengan model slip, yaitu perbandingan ketika b = β, dengan D(α) = 0. Untuk model slip digunakan parameter tambahan yaitu C(θ) = 0.05. Parameter C(θ) = 0.05 dapat digunakan, karena seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa untuk C(θ) ≤ 0.1, parameter kemiringan kontak tidak memberikan perubahan yang signifikan terhadap solusi dasar.
Gambar III.9: Perbandingan solusi h(x) antara model prekursor dengan model slip, dengan D(α) = 0. Gambar III.9 memperlihatkan bahwa kedua model memperlihatkan hasil kuantitatif yang hampir sama ketika b = β. Hal ini berati kondisi kestabilan solusi
20 dari kedua model relatif sama, ketika b = β . Perhatikan bahwa gambar III.9 juga merupakan grafik solusi dengan keadaan D(α) = 0, atau bersesuaian dengan sudut inklinasi 90◦ . Jadi berdasarkan gambar III.9, jelas terlihat bahwa profil solusi dasar dari kedua model adalah relatif sama pada keadaan D(α) = 0. Jadi, selanjutnya akan diperiksa untuk D(α) > 0, seperti yang ditunjukkan oleh gambar III.10.
Gambar III.10 menunjukkan bahwa terdapat perbedaan profil solusi h(x) yang cukup berbeda antara model prekursor dan model slip, jika D(α) > 0. Pada model slip, aliran fluida yang mengalir mengalami penurunan ketinggian sebelum membentuk gundukan di dekat garis kontak. Hal ini berbeda dengan aliran pada model prekursor, dimana ketinggian solusi h(x) pada daerah sebelum terbentuknya gundukan relatif tetap. Hal ini dikarenakan interaksi antara parameter D(α) dan C(θ) pada model slip, dimana pada model slip diasumsikan bahwa profil aliran fluida harus memenuhi kemiringan yang diparameterisasi oleh C(θ) di daerah garis kontak. Akan tetapi, kedua model tetap memperlihatkan bahwa aliran fluida lebih stabil jika D(α) lebih besar.
Gambar III.10: Perbandingan solusi h(x) antara model prekursor dengan model slip, dengan parameter D(α). Jadi, dengan melihat perbandingan solusi dasar antara model prekursor dengan model slip diperoleh hasil bahwa kedua model ini mempunyai karakteris-
21 tik kestabilan solusi dasar yang sama, yaitu penurunan parameter ketinggian prekursor untuk model prekursor ataupun parameter slip untuk model slip menyebabkan solusi dasar lebih tidak stabil, sedangkan penggunaan parameter D(α) yang nilainya lebih besar menyebabkan solusi dasar dari kedua model menjadi lebih stabil.
