Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, sehingga kami dapat menyusun modul ini. Modul ini disusun semaksimal mungkin untuk memenuhi tugas mata kuliah Program Komputer I.
Modul ini berisikan tentang materi-materi dan konsep-konsep trigonometri yang ada di SMA/SMK seperti perbandingan suatu sudut pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri, dan sebagainya. Modul ini menjelaskan berbagai persoalan yang berhubungan dengan trigonometri. Dalam modul ini juga dijelaskan mengenai langkah-langkah petunjuk penggunaan program Quis Maker yang kami gunakan untuk mendampingi bahan ajar ini.
Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk para siswa SMA/SMK. Namun demikian, kami sadar modul ini masih banyak kekurangannya
dan
memerlukan
masukan
maupun
perbaikan.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.
1
Kami mengharapkan kritik dan saran dari Bapak, teman-teman, dan masyarakat pada umumnya khususnya para siswa SMA/SMK, sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya bagi para siswa SMA/SMK.
Cirebon, Oktober 2013
Tim Penyusun
2
Daftar Isi Kata Pengantar ..........................................................................................
1
Daftar Isi .....................................................................................................
2
Kata-kata Motivasi ....................................................................................
4
Tujuan Pembelajaran ................................................................................
5
Trigonometri ...............................................................................................
6
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku ...............................................................................
6
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa ................................................................................
8
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran ................................................................................
10
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
11
E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub ...
14
F. Identitas Trigonometri .........................................................
16
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana ........
16
H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut .............................................................................
18
I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap .................................
21
J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan atau Pengurangan ........................................................................
21
Rangkuman ...............................................................................................
23
Aplikasi Trigomometri Dalam Kehidupan Sehari-hari ...........................
26
Latihan Soal ...............................................................................................
28
Daftar Pustaka ...........................................................................................
29
Petunjuk Penggunaan Program Quiz Maker ...........................................
30
Biodata Kelompok ....................................................................................
31
Deskripsi Kerja Kelompok ........................................................................
3
Kata-kata Motivasi “Hidup tanpa mempunyai TUJUAN sama seperti “Layang-layang putus” Miliki tujuan dan PERCAYALAH Anda dapat mencapainya.”
“Jangan pernah putus asa atas mimpimu, karena mimpi bisa memberimu tujuan hidup. Ingatlah, sukses bukan merupakan kunci utama dari kebahagiaan, sebenarnya kebahagiaan adalah kunci sukses yang utama. Semangat!”
“Waktu adalah pedang, jika kamu bisa mengguanakan dengan baik, maka
pasti
akan
membawa
keberuntungan,
tapi
jika
kau
menggunakan dengan buruk, pasti dia akan membunuhmu.”
4
Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat : - Memahami perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga sikusiku. - Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. - Memahami dan mampu menerapkan tentang perbandingan trigonometri sudut yang berelasi. - Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartsius dan kutub. - Memahami konsep identitas trigonometri. - Memahami dan mampu menyelesaikan tentang persamaan trigonometri sederhana. - Memahami konsep trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut - Memahami konsep trigonometri sudut rangkap. - Mampu mengubah rumus perkalian ke rumus penjumlahan/pengurangan
5
Trigonometri Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan
masalah
yang
berkaitan
dengan
perbandingan-
perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien. Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut pada segitiga tersbut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka sgitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (90°) artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.
A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku Gambar disamping adalah segitiga siku-
B
siku dengan titik sudut sikunya di C. a
c
C
Panjang sisi di hadapan sudut A adalah A
b Gb. 2.2 perbandingan trigonometri
a, panajang sisi di hadapan B adalah b, dan panjang sisi di hadapan C adalah c Terhadap sudut :
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
6
Berdasarkan
keterangan di atas,
didefinisikan 6
(enam)
perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut : 1. sin
panjang sisisiku - siku di depan sudut A a panjanghipotenusa c
2. cos
panjang sisisiku - siku di dekat (berimpit) sudut A b panjanghipotenusa c
3. tan
panjang sisisiku - siku di depan sudut A a panjang sisisiku - siku di dekat sudut A b
4. csc
panjanghipotenusa c panjang sisisiku - siku di depan sudut A a
5. sec
panjanghipotenusa c panjang sisisiku - siku di dekat sudut A b
6. cot
panjang sisisiku - siku di dekat sudut A c panjang sisisiku - siku di depan sudut A a
Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus : tan
sin cos
sec
1 1 dan csc cos sin
dan cot
cos sin
Contoh : Pada gambar di samping segitiga siku-siku ABC dengan panjang a 24
B
dan c 25. Tentukan
a
keenam
trigonometri untuk . Penyelesaian :
perbandingan
c
A b Gb. 2.3 perbandingan trigonometri C
Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras
b 252 242 625 576 49 7
7
sin
a 24 c 25
csc
c 25 a 24
cos
b 7 c 25
sec
c 25 b 7
tan
a 24 b 7
cot
c 7 a 24
B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu : 0, 30, 45,60, dan 90. Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45, dan 60. Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri
sudut istimewa
digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini. 3 30
2
1 1
45
2 60
1 Gb. 2.4.a. sudut istimewa
Gb. 2.4.b. sudut istimewa
Dari gamabar 2.4.a dapat ditentukan
sin 45
1 1 2 2 2
csc 45
2 2 1
cos 45
1 1 2 2 2
sec 45
2 2 1
1 tan 45 1 1
1 cot 45 1 1
Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan sin 30
1 2
sin 60
3 1 3 2 2
8
cos 30
3 1 3 2 2
cos 60
1 2
tan 30
1
tan 60
3 3 1
csc 30
2 2 1
csc 60
2
sec 60
2 2 1
cot 60
1
3
1 3 3
sec 30
2
cot 30
3 3 1
3
2 3 3
3
3
2 3 3
1 3 3
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
45
60
90
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
1 3 3
1
3
cot
Tak terdefinisi
1
3
Tak terdefinisi
1 3 3
0
Contoh :
1 1 1 2 2 2 2 2
1.
sin 30 cos 45
2.
sin45 tan 60 cos 45 cot 60
1 1 1 2 3 2 3 2 2 3 1 1 4 2 6 6 6 6 2 6 6 3
9
C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran P adalah sembarang titik di kuadran I dengan Y
berputar terhadap titik asal O dalam koordinat
r O
koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat
P(x,y)
kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0
y
1 x
X
Gb. 2.5
sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa
OP x 2 y 2 r dan r 0
Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r) sebagai berikut : 1. sin α
ordinat P y panjang OP r
4. csc α
panjang OP r ordinat P y
2. cos α
absisP x panjang OP r
5. sec α
panjang OP r absisP x
3. tan α
ordinat P y absisP x
6. cot α
absisP x ordinat P y
Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini. P(x,y)
Y
Y
P(x,y) y
r O
y
1 x
2 X
3
x O
x
O
4
x
X
Y
Y
y
r
X
r
O
X r
y
P(x,y) P(x,y) Gb. 2.6 titik di berbagai kuadran
10
Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran : Perbandingan
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
IV
Sin
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tan
+
-
+
-
Csc
+
+
-
-
Sec
+
-
-
+
Cot
+
-
+
-
D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus sudut 110 adalah 70. 1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - ) Y
y=x
Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)
P1(x1,y1) r1
y1
Akibat pencerminan garis y x,
P(x,y)
sehingga diperoleh :
r
O
a. XOP = dan XOP1 = 90 -
y (90-)
x1
Dari gambar 2.7 diketahui
X
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
x
Gb. 2.7. sudut yang berelasi
Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh : a.
y x sin 90 1 cos r1 r 11
b.
x y cos 90 1 sin r1 r
c.
y x tan 90 1 cot x1 y
Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut : a. sin 90 cos
d. csc 90 sec
b. cos 90 sin
e. sec 90 cos ec
c. tan 90 cot
f. cot 90 tan
2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - ) Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari
Y
titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga
P1(x1,y1)
a. XOP = dan XOP1 = 180 -
r1 y1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r
P(x,y) r (180-)
y
x1
maka diperoleh hubungan : a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y tan 180 1 tan x1 x
O
x
X
Gb. 2.8. sudut yang berelasi
Dari hubungan di atas diperoleh rumus: a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos
e. sec 180 sec
c. tan 180 tan
f. cot 180 cot
12
3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah
Y P(x,y)
bayangan dari titik P(x,y) akibat r
pencrminan terhadap garis y x,
(180+)
y
sehingga x1
a. XOP = dan XOP1 = 180 +
x
O
X
y1 r1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r P1(x1,y1)
maka diperoleh hubungan :
Gb. 2.9. sudut yang berelasi
a.
y y sin 180 1 sin r1 r
b.
x x cos 180 1 cos r1 r
c.
y y y tan 180 1 tan x1 x x
Dari hubungan di atas diperoleh rumus : a. sin 180 sin
d. csc 180 csc
b. cos 180 cos
e. sec 180 sec
c. tan 180 tan
f. cot 180 cot
4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) Y
Dari gambar 2.10 diketahui titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y) Akibat
pencerminan
terhadap
(360-1)
sumbu x, sehingga a. XOP = dan XOP1 = -
P(x,y) ,y)
r
O
-
y x x1 r1
X y1
b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r maka diperoleh hubungan : a.
y y sin 1 sin r1 r
P1(x1,y1) Gb. 2.10. sudut yag berelasi
13
b.
x x cos 1 cos r1 r
c.
y y tan 1 tan x1 x
Dari hubungan di atas diproleh rumus : a. sin sin
d. csc csc
b. cos cos
e. sec sec
c. tan tan
f. cot cot
Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360 , misalnya sin (360 ) sin
E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub Cara lain dalam menyajikan letgak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub. Y
P(x,y)
Y r
y O
x
P(r, )
X
Gb 2.11. koordinat kartesius
O
y
x
X
Gb. 2.12 koordinat kutub
Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam koordinat kutub P(r, ) seperti pada gambar 2.12. Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari dengan hubungan : cos
x x r cos r
sin
y y r sin r
14
Jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik P(r, ) dapat dicari dengan hubungan :
r x2 y 2 tan
y y arc tan , arc tan adalah invers dari tan x x
Contoh : 1. Ubahlah menjadi koordinat kutub b. C( 4,4 3 )
a. B(5,5)
2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius Penyelesaian : b. C( 4,4 3 )
1. a. B (5,5) x 5, y 5 (kuadran I)
x 4, y 4 3 (kuadran II)
r 52 52
r
25 25 5 2 tan
42 4
3
2
16 48 64 8
5 1 45 5
tan
Jadi, B (5 2,45)
4 3 3 120 4
jadi, C (8, 120)
2. P (12,60) diubah ke koordinat kartesius x r cos
y r sin
12 cos 60
12 sin 60
12(1/2)
1 12 3 2
x6
y 6 3
Jadi koordinat kartesiusnya P 6,6 3
15
F. Identitas Trigonometri Y
P(x, y) r
gambar
, sin
y r
x
X
di
samping
diperoleh
dan r x 2 y 2 . Sehingga
y
O
Dari
sin2 cos2
y2 r2
x2 r2
Gb. 2.13. rumus identitas
x2 y 2 r2
r2 r2
1
Jadi
sin2 +cos2 1
G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat prbandingan trigonometri suatu sudut, dimana sudutnya dalam ukuran derajat atau radian. Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan nilainya akan menjadi benar. 1. Menyelesaikan persamaan sin x sin Dengan mengingat rumus Sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh : Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B 2. Menyelesaikan persamaan cod x cos Dengan mengingat rumus
cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B
16
3. Menyelesaikan persamaan tan x tan Dengan mengingat rumus tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka diperoleh: Jika tan x tan maka x + k. 180 , k B contoh : Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360. a)
sin x
b) cos x
1 2
c) tan x 3
1 3 2
Penyelesaian : a)
sin x
1 sin x sin 30 2
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150 b) cos x
1 3 cos x cos 30 2
x + k. 360 untuk k = 0 x 30 x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330 c)
tan x 3 tan x tan 120
x + k. 180 untuk k = 0 x 120 untuk k = 1 x 120 + 180 300 Catatan : satuan sudut selain derajat adalah radian, dimana satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari. B
AOB = 1 rad Hubungan radian dengan derajat
2r 360 = rad r
r O
r A
17
= 2 rad 180 = rad pendekatan 1 rad = 57,3. Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula
menggunakan
satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A maka penyelesaiannya adalah : x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B dimana x dan A masing-masing satuannya radian. H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )
C
Pada gambar disamping diketahui
garis CD dan AF keduanya adalah garis tinggi dari segitiga
G
ABC.
Akan dicari rumkus cos ( + ). AD cos AC
A
F
D E B Gb. 2.14
AD AC cos Pada segitiga siku-siku CGF GF GF CF sin CF
sin
…………..(1)
Pada segitiga siku-siku AFC, sin
CF CF AC sin AC
…………..(2)
cos β
AF AF AC cos AC
…………..(3)
Pada segitiga siku-siku AEF, cos
AE AE AF cos AF
…………..(4)
Dari (1) dan (2) diperoleh 18
GF AC sin sin Karena DE GF maka DE AC sin sin Dari (3) dan (4) diperoleh AE AC cos cos sehingga
AD AE DE
AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin
jadi
cos ( + ) cos cos sin sin
Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu disubstitusikan ke rumus cos ( + ). cos ( ) cos ( + ()) cos cos () sin sin () cos cos sin (sin ) cos cos + sin sin jadi
cos ( ) cos cos + sin sin
2. Rumus sin ( + ) dan sin ( ) Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus seblumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) ) cos (90 ) cos + sin (90 ) sin sin cos + cos sin jadi
sin ( + ) sin cos + cos sin
Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ). sin ( ) sin ( + ( )) 19
sin cos () + cos sin () sin cos + cos (sin ) sin cos cos sin Jadi
sin ( ) sin cos cos sin
3. Rumus tan ( + ) dan tan ( ) Dengan mengingat tan
tan ( )
sin , maka cos
sin ( ) sin cos cos sin cos ( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos tan ( ) cos cos sin sin sin sin 1 cos cos cos cos tan tan 1 tan tan jadi
tan ( )
tan tan 1 tan tan
Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke tan ( + ). tan ( ) tan ( + ( ))
jadi
tan tan (-) 1 tan tan (-)
tan tan () 1 tan ( tan )
tan tan 1 tan tan
tan ( )
tan tan 1 tan tan
20
I.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap Dari rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap. 1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos Jadi
sin 2 2 sin cos
2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2
Jadi
Rumus-rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1. cos 2 cos2 sin2
cos 2 cos2 sin2
cos2 (1 cos2)
(1 sin2) sin2
2cos2 1
1 2 sin2
Sehingga
1) cos 2 cos2 sin2 2) cos 2 2cos2 1 3) cos 2 1 2 sin2
3.
tan 2 tan ( ) Jadi
tan 2
tan tan 2 tan 1 tan tan 1 tan 2
2 tan 1 tan 2
J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan/Pengurangan 1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh : cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos Jadi
+
cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos
21
cos ( + ) cos cos sin sin cos ( ) cos cos + sin sin cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin Jadi
cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin
2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut diperoleh : sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
+
sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos
sin ( + ) sin cos + cos sin sin ( ) sin cos cos sin sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos Jadi
sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
22
RANGKUMAN 1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
0
30
45
60
90
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
1 3 3
1
3
cot
tak terdefinisi
terdefinisi
1 3 3
1
3
tak
0
2. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran Perbandingan
Kuadran
Trigonometri
I
II
III
IV
Sin
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tan
+
-
+
-
Csc
+
+
-
-
Sec
+
-
-
+
Cot
+
-
+
-
3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - ) 1) sin 90 cos
4) csc 90 sec
2) cos 90 sin
5) sec 90 csc
3) tan 90 cot
6) cot 90 tan 23
b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )
c.
1) sin 180 sin
4) csc 180 csc
2) cos 180 cos
5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + ) 1) sin 180 sin
4) csc 180 csc
2) cos 180 cos
5) sec 180 sec
3) tan 180 tan
6) cot 180 cot
d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- ) 1) sin sin
4) cosec cosec
2) cos cos
5) sec sec
3) tan tan
6) cot cot
4. Menyelesaikan persamaan trigonometri a. Jika sin x sin maka x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B b. Jika cos x cos maka x + k. 360 atau x + k. 360, k B c.
Jika tan x tan maka x + k. 180 k B
5. Rumus-rumus trigonometri a. Jumlah dan selisih dua sudut 1) cos ( + ) cos cos sin sin 2) cos ( ) cos cos + sin sin 3) sin ( + ) sin cos + cos sin 4) sin ( ) sin cos cos sin
24
5)
tan ( )
tan tan 1 tan tan
6)
tan ( )
tan tan 1 tan tan
b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap 1) sin 2 2 sin cos
3) tan 2
2) cos 2 cos2 sin2
2 tan 1 tan 2
cos 2 2cos2 1 cos 2 1 2 sin2 c.
Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan 1) cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos 2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin 3) sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos 4) sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin
25
Aplikasi Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Tigonometri memiliki banyak aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada bidang teknik sipil dan astronomi. Trigonometri memili kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita, baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri. Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus dikembangkan, dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama. Sebagai bagian dari rentetan artikel tentang aplikasi matematika dalam kehidupan sehari-hari Contoh :
26
27
Soal Latihan 1. Carilah nilai dari a. sin 120
c. tan 150
e. cot 330
b. cos 300
d. sec 210
f. csc 120
2. Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = ….. 3. Jika cos =
4 tan 0 90 maka nilai tan adalah …… 5
4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah….. 5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120) adalah …….
B
6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping 12
1 7. Jika nilai tan = maka nilai dari x
C
cos2 - sin2 = ……….. 8. Himpunan penyelesaian dari sin x =
30
A
Gb. 2.15
1 3 untuk 0 x 360 2
adalah ….. 9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30 untuk 0 x 360 adalah …….. 10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)! 11. Jika dan sudut-sudut lancip dngan sin =
3 5 dan sin = , 5 13
hitunglah sin ( + ) 12. Sederhanakan bentuk cos 100 cos 10 + sin100 sin 10 13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = …… 14. Buktikan 1 + tan2 = sec 2 15. Sederhanakan a. (1 – cos ) (1 + cos ) b. tan2 - sec2
28
Daftar Pustaka
Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM. Yogyakarta: PPPG Matematika. Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika. Winarno & Al. Krismanto. (2011) Bahan Standarisasi SMU Trigonometri. Yogyakarta: PPPG Matematika. abuindri.files.wordpress.com/.../modul-matematika-ke... setiyaantara.files.wordpress.com/.../modul-matematika... modul.smkn1-cirebon.sch.id/indexs.php?...doc.../07%2...
29
Petunjuk Penggunaan Program Quis Maker 1. Masukan CD quis maker kami setelah anda mempelajari materi Trigonometri dari modul yang kami buat. 2. Setelah Anda masukkan CD kuiz kami, silahkan anda klik dua kali file yang kami beri judul kuis Trigonometri (dalam bentuk Adobe flash player). 3. Masukkan password untuk mengaksesnya, yakni “0987654321”. 4. Klik START, kemudian akan muncul soal. 5. Pilih jawaban yang menurut anda benar. Setelah selesai menjawab lalu klik “submit”. Ulangi langkah nomer (5) dalam menjawab soalsoal selanjutnya. 6. Jawab soal-soal tersebut satu persatu secara teliti. 7. Apabila anda ingin mengubah jawaban yang sudah anda jawab pada soal sebelumnya, silahkan klik pilihan “prev”, dan silahkan rubah jawaban anda. 8. Setelah anda selesai mengerjakan 20 soal yang ada, dan anda sudah yakin akan jawaban anda. Silahkan klik pilihan “submit”. 9. Setelah anda submit jawaban anda, silahkan anda klik pilihan “result” untuk mengetahui hasilnya, dan nilai dari ujian anda pun akan keluar. 10. Kriteria kelulusannya adalah 75% atau skor minimal 150. 11. Setelah keluar hasil ujian anda, silahkan klik pilihan “review”. 12. Setelah anda mengklik pilihan review, silahkan anda klik pilihan “Review Feedback” untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah, serta mengetahui penyelesaian soal untuk jawaban yang benar. 13. Setelah selesai melihat feedback satu soal, silahkan klik pilihan “next”. Dan lakukan hal sama pada soal yang lain untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah, serta mengetahui penyelesaian soal untuk jawaban yang benar. 30
BIODATA ANGGOTA KELOMPOK
Nama
: Endang Nurkholis
TTL
: Cirebon, 6 April 1993
Alamat : Jl. P. Antasari Blok Desa RT 002/RW 02 Desa Kejuden Kec. Depok Kab. Cirebon 45115 No. HP : 08996380821 Email
:
[email protected]
Nama
: Aprian Nurdin
TTL
: Kuningan, 16 Juni 1992
Alamat : Jl. Raya Cilimus Gg. Kramat RT 004 / RW 001 Desa Cilimus Kec. Cilimus Kab. Kuningan 45556 No. HP : 087723066944 Email
:
[email protected]
31
Deskripsi Kerja Kelompok Dalam pembuatan proyek UTS ini kami membagi tugas, dimana Endang Nurkholis bertugas membuat Model Pembelajaran dan Aprian Nurdin membuat Quiz Maker. Dalam proses pengerjaannya kami saling membantu satu sama lain. Proses pengerjaan proyek ini kami kerjakan secara bersama-sama di kampus, kosan teman dan kami mengerjakan sendiri-sendiri di rumah masing-masing. Pembuatan Model Pembelajaran Pada tahap awal kami mengumpulkan materi bahan ajar yang akan di buat dari berbagai sumber seperti buku dan dari internet. Setelah kami mendapatkan bahan untuk membuat modul ini, lalu kami ketik dan copy materi yang sudah kami dapat ke dalam microsoft word untuk membuat modul ini. Pertama kami mengetik Isi dari modul ini, lalu dilanjutkan dengan bagian-bagian yang lainnya. Pengetikan modul ini dilakukan oleh Endang Nurkholis dengan bantuan dari Aprian Nurdin. Pembuatan Quiz Maker Kami mengumpulkan materi yang akan digunakan untuk membuat quiz maker. Sumbernya dari latihan soal, contoh soal yang ada di modul, dan dari berbagai sumber lainnya. Pembuatan quiz maker ini dilakukan oleh Aprian Nurdin dan dibantu oleh Endang Nurkholis.
32
